Tvorba systémov úloh a ich implementácia do zbierky úloh

Vedecká rada Prírodovedeckej fakulty 

Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach 

RNDr. Ingrid Minďáková 

Autoreferát dizertačnej práce 

Tvorba systémov úloh a ich implementácia 

do zbierky úloh 

na získanie vedecko – akademickej hodnosti philosophiae doctor 

v odbore doktorandského štúdia: 11-17-9 Teória vyučovania matematiky 

Košice 2008

Dizertačná práca bola vypracovaná v internej forme doktorandského štúdia na Ústave 

matematických vied Prírodovedeckej fakulty Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach. 

Predkladateľ: RNDr. Ingrid Minďáková 

Ústav matematických vied, Prírodovedecká fakulta UPJŠ, Košice 

Školiteľ: Doc. RNDr. Dušan Šveda, CSc. 

Ústav matematických vied, Prírodovedecká fakulta UPJŠ, Košice 

Oponenti: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. 

Katedra matematiky, Fakulta prírodných vied UKF, Nitra 

Doc. PhDr. Oliver Židek, CSc. 

Katedra matematiky, Pedagogická fakulta TU, Trnava 

Doc. RNDr. Peter Mihók, CSc. 

Katedra aplikovanej matematiky a hospodárskej informatiky, Ekonomická 

fakulta TU, Košice 

Autoreferát bol rozoslaný dňa .................................................. 

Obhajoba dizertačnej práce sa koná dňa ......................... o ............ pred komisiou pre 

obhajobu dizertačnej práce v odbore doktorandského štúdia vymenovanou predsedom 

spoločnej odborovej komisie dňa ......................... vo vednom odbore 11-17-9 Teória 

vyučovania matematiky na ............................................................................................. 

2 

Predseda spoločnej odborovej komisie: 

Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. 

Fakulta prírodných vied UKF 

Trieda Andreja Hlinku č. 1 

949 74 Nitra

Úvod 

Rozvoj počítačovej techniky sa prejavuje aj prudkým nárastom toku informácií. 

Informácie sa stávajú rozhodujúcim prvkom vývoja spoločnosti. Vo všetkých sférach života 

ľudskej spoločnosti sa zvyšujú nároky na efektívne vyhľadávanie, spracovanie a využívanie 

informácií. Tento trend ovplyvňuje aj vzdelávací proces. Snahou učiteľov je zefektívniť 

svoju prípravu na vyučovanie. Súčasťou tejto činnosti učiteľa matematiky je aj výber 

vhodných úloh pre výuku. Jedným z prostriedkov na rýchlejšie vyhľadávanie úloh je 

elektronická zbierka úloh ako databáza. Zvolenými úlohami usporiadanými do účelného 

systému možno skvalitniť učebnopoznávaciu činnosť žiakov. 

1. Prehľad o súčasnom stave skúmanej problematiky 

Štruktúra a klasifikácia úloh 

Poznávanie skutočnosti je zložitý proces. Žiaci by mali poznávať matematiku 

prostredníctvom činností, ktoré sú pre matematiku charakteristické. Mali by čo najmenej 

preberať hotové poznatky a v samotnom vyučovacom procese by mali byť čo najaktívnejší, 

pretože činnosť je neoddeliteľnou súčasťou uvedomelého osvojovania si poznatkov. Aby sa 

matematické učivo stalo predmetom záujmu a činnosti žiakov na vyučovacích hodinách je 

dobré, aby bolo podávané vo forme úloh a nie v podobe hotových poznatkov. 

Úlohy a ich riešenie je základným obsahom vyučovania matematiky. Uplatňujú sa 

vo všetkých fázach vyučovacieho procesu a to znamená, že plnia rôzne didaktické funkcie. 

Riešením úloh sa žiaci zoznamujú s metódami práce v danej oblasti ľudského poznania a 

poznatky z matematiky sú nenahraditeľným nástrojom na riešenie problémov každodenného 

života. 

Zadávaním skupiny úloh, ktoré žiaci riešia v určitom poradí, sa zároveň stanovuje 

systém ich činnosti, štruktúra poznávacieho procesu. Skupinu úloh, v ktorej každá úloha 

zvlášť, resp. viac úloh spolu plnia konkrétnu didaktickú funkciu v súlade s učebnými cieľmi, 

štruktúrou poznávacieho procesu a podmienkami učebného procesu, budeme nazývať 

systém úloh (viď [53]). 

Najvhodnejší postup pri tvorbe systému úloh je podľa D. Švedu [53] nasledovný: 

1. logicko - didaktická analýza učiva 

(komplexný rozbor učiva pozostáva z 

a. hľadania odpovede na otázku Čo učiť?, teda 

• vyjasnenie logickej štruktúry učiva (pojmy, vety, 

spôsoby riešenia) 

• formulácia učebných cieľov 

• konkretizácia učebných cieľov 

b. hľadania odpovede na otázku Ako učiť? (výber metód a foriem 

vyučovania)) 

2. stanovenie učebných cieľov a ich konkretizácia pomocou typových úloh 

3. vymedzenie postupnosti osvojovania jednotlivých elementov učiva 

4. tvorba samotného systému úloh, kde úlohy postupne reprezentujú konkrétne 

didaktické funkcie 

Pri hľadaní vhodných kritérií pre klasifikáciu úloh do zbierky úloh sme sa v literatúre 

(viď [2], [3], [11], [15], [20], [22], [24], [25], [26], [32], [36], [38], [42], [56], [65], [71]) 

stretli s rozličnými ďalšími typológiami úloh v závislosti od zvoleného kritéria. Medzi 

3

najbežnejšie kritéria pre klasifikáciu úloh patria: téma, obsah úlohy, formulácia úlohy, 

didaktické ciele sledované úlohou, matematická symbolika v zadaní úlohy, fáza 

vyučovacieho procesu, v ktorej môže byť úloha použitá, otvorenosť odpovede, subjekt teda 

žiak, metóda riešenia, poznávacia úroveň, nevyhnutný stupeň vedomostí potrebný 

na riešenie úlohy, náročnosť úlohy a mnohé iné. 

Ako najprimeranejšia klasifikácia úloh pre elektronickú zbierku úloh z matematiky, 

ktorá spĺňa požiadavky učiteľov, sa javí štruktúra kritérií zo zbierky úloh zostavenej 

I. Bobovníkovou [4] a M. Fečom [18]. Tento model pre triedenie úloh bol s malými 

zmenami prevzatý a aplikovaný do vytváranej elektronickej zbierky úloh. 

Úlohy sú rozdelené v databáze podľa piatich kritérií. 

Prvé kritérium je rozdelenie úloh podľa témy (Funkcie, Rovnice, nerovnice a ich 

sústavy, Planimetria, ... ). 

Druhým kritériom delenia úloh v tejto databáze je podtéma (v rámci témy Funkcie 

existujú podtémy Lineárna funkcia, Kvadratická funkcia, Lineárna lomená funkcia, ... ). 

V učive matematiky môžeme vymedziť tri základné elementy učiva: pojmy, 

matematické vety a spôsoby (metódy) riešenia základných tried úloh. Tretím kritériom 

zaraďovania úloh sú elementy učiva matematiky. 

Rozdelenie stredoškolskej matematiky na témy, podtémy a elementy učiva bolo 

prevzaté z [18]. Túto štruktúru sme rozšírili o témy Diferenciálny počet a Integrálny počet. 

Okrem toho sme v téme Rovnice, nerovnice a ich sústavy v podtéme Kvadratické rovnice 

a nerovnice doplnili element učiva Vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej 

rovnice (tzv. Viétove vzorce), ktorý považujeme za natoľko dôležitý, aby nebol zahrnutý 

v elemente učiva Kvadratické rovnice. 

Každý systém úloh k danej téme by mal spĺňať požiadavky, ktoré vychádzajú 

zo zákonitosti poznávacieho procesu. Tieto požiadavky možno vyjadriť pomocou 

didaktických funkcií, ktoré plnia jednotlivé úlohy. Štvrtým kritériom sú didaktické funkcie 

úloh. Podľa D. Švedu [53] rozlišujeme nasledovné didaktické funkcie: 

1) úlohy na motiváciu učebnopoznávacej činnosti žiakov 1 

2) úlohy na aktualizáciu učiva 

3) prípravné úlohy 

4) úlohy na osvojenie definície pojmu, formulácie vety a postupu riešenia 

5) úlohy na upevňovanie učiva 

6) úlohy na aplikáciu učiva mimo matematiky 

7) úlohy na aplikáciu učiva vo vnútri matematiky 

8) úlohy propedeutického charakteru 

9) úlohy na opakovanie a systemizáciu učiva 

Ak úloha plní viacero didaktických funkcií, napr. slovná úloha môže byť 

upevňovacieho charakteru, ale môže slúžiť aj na aplikáciu poznatkov či už vo vnútri alebo 

mimo matematiky, tak je zaradená ku všetkým týmto didaktickým funkciám. 

Piatym kritériom delenia úloh, ktoré sme použili v zbierke je úroveň poznávacích 

procesov podľa taxonómie M. Zelinu [71]: 

1) vnímanie 

2) pamäť 

1 Pozn. autora: Ďalej budeme používať aj pojem motivačné úlohy. 

4

3) nižšie konvergentné procesy 

4) vyššie konvergentné procesy 

5) hodnotiace myslenie 

6) tvorivé, divergentné myslenie 

Úloha, ktorá rozvíja určitú úroveň poznávacích procesov, rozvíja aj všetky nižšie 

úrovne poznávacích procesov. Pri zaradení úloh sme teda často používali len najvyššiu 

možnú úroveň poznávacích procesov, ktorá je ňou rozvíjaná. 

Uvedomujeme si, že klasifikácia úloh podľa didaktickej funkcie a poznávacej úrovne je 

často subjektívna (teda aj náročná) a závisí nielen od formulácie úlohy, ale aj od vedomostí 

a skúseností žiakov, podmienok vyučovacieho procesu a prístupu učiteľa k organizácii 

učebnopoznávacej činnosti žiakov. A práve preto je triedenie úloh podľa didaktickej funkcie 

a poznávacej úrovne z hľadiska plánovacej činnosti učiteľa dôležité a veľmi užitočné. 

V snahe uľahčiť a urýchliť prípravu učiteľov na vyučovaciu hodinu sme sa rozhodli 

vytvoriť praktický prostriedok na prezentáciu matematických úloh, ich charakteristík ale aj 

samotných systémov úloh. Týmto prostriedkom je elektronická zbierka úloh ako databáza 

prístupná na internete. 

Elektronická zbierka úloh 

Elektronická zbierka úloh je vytváraná od roku 1993 na Ústave matematických vied 

Prírodovedeckej fakulty UPJŠ v Košiciach. Zbierka úloha chránená heslom je prístupná 

učiteľom na internetovej adrese http://sis.science.upjs.sk/matematika/zbierka/ a obsahuje 

stovky úloh zaradených k rôznym témam. 

V snahe zistiť stav vo vývoji elektronických zbierok úloh, sme na internete 

prehľadávali webstránky stredných a vysokých škôl, ich učiteľov a takisto firiem 

ponúkajúcich výučbové programy. Analýza elektronických zbierok úloh z hľadiska obsahu a 

klasifikácie úloh potvrdila, že v každej z dostupných elektronických (ale aj knižných) 

zbierok úloh sa klasifikácia úloh končí pri téme poprípade podtéme, ku ktorej úloha 

prislúcha, ojedinele pri elemente učiva. Z takejto klasifikácie úloh však učitelia nezískajú 

pre nich cennú informáciu o náročnosti úlohy a o fáze vyučovacieho procesu, v ktorej by 

mohla byť úloha použitá. 

Problém zmeny obsahu a funkcie úloh 

Nedostatok úloh plniacich rôzne didaktické funkcie je hlavným problémom 

pri dopĺňaní zbierky úloh. Jedným z postupov na tvorbu úloh je preformulovávanie 

existujúcich úloh. V literatúre (viď [7], [16], [28], [29], [32], [50], [51], [52], [55], [58], 

[59], [60], [67], [68], [69]) sme sa stretli s rôznymi pohľadmi na preformulovávanie úloh. 

Od jednoduchých zmien v zadaní úlohy až po prepracované koncepcie na variácie úloh. 

Preformulovávanie úloh možno vidieť z niekoľkých aspektov: preformulovávanie úloh ako 

metóda na tvorbu nových úloh, ako metóda na tvorbu skupiny úloh, ako metóda na rozvoj 

logického a tvorivého myslenia alebo ako vyučovacia metóda. 

My nazeráme na preformulovávanie úloh ako na už spomínanú metódu na tvorbu 

chýbajúcich typov úloh, ako na metódu na zmenu kvality úlohy, ako na metódu 

na zvyšovanie resp. znižovanie náročnosti úlohy, ako na metódu na tvorbu neštandardných, 

divergentných úloh, ktoré sú tak potrebné pre rozvíjanie logického myslenia. 

Najviac sa k nášmu postupu na preformulovávanie úloh približuje model 

M. Cirjaka [12] a model H. Schuppa [48]. M. Cirjak popisuje preformulovávanie úloh 

z hľadiska možnosti zvyšovania tvorivého potenciálu štandardných úloh. Inšpirovaní 

5

M. Cirjakom delíme v našej práci metódy preformulovávania úloh vzhľadom na zmenu 

náročnosti úlohy, ktorú preformulovanie úloh často mení. 

H. Schupp zostavil komplexný, ale ako sám autor píše v žiadnom prípade nie úplný a 

ani disjunktný, systém metód na preformulovávanie úloh. Ten bol aj podnetom pre 

zostavenie metódy Tvorba otočenej úlohy, ktorú používame. 

V našej práci ponúkame jednoduchší systém metód, ktorý je všeobecnejším pohľadom 

na prefomulovávanie úloh. Oproti Schuppovmu modelu je náš systém disjunktný, a teda 

umožňuje jednoznačne pomenovať zmenu úlohy. Tento model by mal byť ľahko 

aplikovateľný v praxi aj pre bežného učiteľa. 

2. Ciele dizertačnej práce a zvolené metódy práce 

Základné ciele a hypotézy dizertačnej práce 

Na základe získaných poznatkov pri spracovávaní teoretickej časti práce sme 

sformulovali nasledovné ciele dizertačnej práce. 

C1 Charakterizovať úlohy, ich postavenie a triedenie z hľadiska poznávacieho procesu. 

Analyzovať prístupné elektronické zbierky úloh vzhľadom na zvolené kritéria triedenia 

úloh. 

C2 Navrhnúť spôsob dopĺňania úloh plniacich rôzne didaktické funkcie do zbierky a 

aplikovať ho pri tvorbe zbierky úloh ako databázy. 

K plneniu cieľa C2 sme si stanovili vyriešiť nasledujúce úlohy: 

Ú1 Analyzovať učebnice matematiky a zbierky úloh z hľadiska existencie úloh 

plniacich rôzne didaktické funkcie. 

V súvislosti s týmto cieľom sme sformulovali hypotézu: 

H1 V učebniciach matematiky a zbierkach úloh je počet úlohy podporujúcich 

aktívne osvojovanie poznatkov menší ako tretina počtu všetkých úloh. 

Didaktické funkcie, ktoré sme zvolili ako jedno z kritérií pre triedenie úloh, 

a úlohy, ktoré ich reprezentujú, možno rozdeliť do dvoch skupín. Do prvej 

skupiny patria úlohy, ktoré umožňujú aktívny prístup k získavaniu nových 

poznatkov, teda motivačné úlohy, úlohy na aktualizáciu učiva, prípravné 

úlohy a úlohy na osvojenie definície pojmu, formulácie vety a postupu 

riešenia. Druhú skupinu úloh tvoria úlohy, ktoré súvisia s upevňovaním a 

aplikáciou učiva. Sú to úlohy na upevňovanie učiva, aplikáciu učiva mimo a 

vo vnútri matematiky, úlohy propedeutického charakteru a úlohy 

na opakovanie a systemizáciu učiva. 

Ú2 Charakterizovať spôsob vytvárania úloh a aplikovať ho na dopĺňanie 

chýbajúcich úloh do zbierky. 

C3 Experimentálne overiť využiteľnosť zostavovanej zbierky úloh v školskej praxi. 

K plneniu tohto cieľa sme stanovili riešenie nasledujúcich úloh: 

Ú3 Systematicky doplniť zbierku úloh podľa stanovených kritérií tak, aby aspoň 

dva tématické celky stredoškolskej matematiky boli v zmysle didaktických funkcií 

kompletne doplnené. 

V aktuálnej verzii elektronickej zbierky úloh sú doplnené stovky úloh k rôznym 

témam. My sme sa venovali zaraďovaniu úloh k témam Funkcie a Rovnice, 

nerovnice a ich sústavy. 

Ú4 Na báze úloh v zbierke navrhnúť systémy úloh pre vybrané témy a prakticky ich 

overiť v štandardných podmienkach výučby. 

6

Aby bolo možné výsledky výskumu kvalitatívne a kvantitatívne verifikovať, 

zostavili sme nasledujúce hypotézy: 

H2 Zostavené systémy úloh sú prínosom pri príprave učiteľa na vyučovaciu 

hodinu. 

H3 Nie je možné vytvoriť systém úloh, ktorý vyhovuje požiadavkám všetkých 

učiteľov a konkrétnym podmienkam na jednotlivých typoch škôl. 

C4 Navrhnutú metodológiu zostavovania úloh aplikovať aj pri tvorbe úloh žiakmi priamo 

vo vyučovacom procese. 

Pri napĺňaní cieľa C4 sme si stanovali nasledujúcu úlohu: 

Ú5 Pri riešení slovných úloh ukázať žiakom možnosť zmeny fabuly úlohy a viesť ich 

k tomu, aby sami zostavovali podobné úlohy. 

V súvislosti s týmto cieľom sme sformulovali nasledujúcu hypotézu: 

H4 Žiaci sú schopní vytvárať matematické úlohy. 

Zvolené metódy práce 

Pri napĺňaní uvedených cieľov a overovaní našich hypotéz sme použili tieto metódy 

práce: 

Metódy prípravy na výskumnú činnosť 

M1 štúdium a obsahová analýza odbornej literatúry a pedagogickej dokumentácie 

(knihy, časopisy, zborníky, učebnice matematiky pre SŠ, vzdelávacie štandardy 

pre SŠ, časovo tematické plány konkrétnych škôl), 

M2 zhotovovanie výpiskov, ich triedenie a spracovanie. 

Metódy získavania nových údajov o pedagogickom experimente 

M3 prirodzený pedagogický experiment 2 , 

M4 pozorovanie, 

M5 rozhovor, 

M6 dotazníková metóda, 

M7 štúdium produktov žiackej činnosti. 

Metódy spracovania získaných údajov 

M8 štatistické metódy spracovania získaných údajov, 

a) kvantitatívne – metódy popisnej štatistiky, charakteristiky polohy aritmetický 

priemer, modus, medián a charakteristiky rozptýlenosti smerodajná odchýlka 

a variačný koeficient. 

b) kvalitatívne – porovnávanie. 

Metódy M1 a M2 sme použili pri plnením cieľa C1 (pri zisťovaní súčasného stavu 

skúmanej problematiky) a riešení úloh Ú2 (pri hľadaní rôznych prístupov 

k preformulovávaniu úloh v literatúre) a Ú3 (pri systematickom hľadaní vhodných úloh 

v učebniciach a zbierkach úloh z matematiky). Pri riešení úlohy Ú1 (pri analýze učebníc a 

zbierok úloh z matematiky) boli okrem iných metód uplatnené aj metódy M1 a M2. 

2 Pozn. autora: Prirodzený pedagogický experiment je osobitne skonštruovaný a uskutočnený 

pedagogický proces. Prirodzeným ho nazývame preto, lebo k nemu dochádza priamo v reálnych 

podmienkach školy (viď [14]). 

7

Pri riešení úloh Ú4 a Ú5 sme aplikovali metódy M3 (prvý experiment prebiehal 

na 7 gymnáziách a stredných školách v Košiciach, Prešove a Michalovciach v školskom 

roku 2003/2004, druhý experiment sme realizovali na 1 gymnáziu a na 1 strednom 

odbornom učilišti v Košiciach v školskom roku 2006/2007), M4 (v priebehu oboch 

experimentov sme sa zúčastňovali vyučovacích hodín, na ktorých sa pracovalo 

s testovanými pracovnými listami a podrobne sme zaznamenávali priebeh vyučovacích 

hodín; vyučovacie hodiny druhého experimentu realizovaného na gymnáziu sme viedli 

osobne), M5 a M6 (pri získavaní názorov učiteľov a žiakov na pracovné listy 

a prefomulovávanie úloh). Pri plnení cieľa C4 bola použitá aj metóda M7. 

Metódou M8 sme vykonali spracovanie získaných údajov v úlohách Ú4 a Ú5, a takisto 

sme ju využili pri verifikácií hypotéz H1-H4. Pri riešení úlohy Ú1 bola čiastočne uplatnená 

aj metóda M8. 

3. Výsledky dizertačnej práce s uvedením nových poznatkov 

Analýza učebníc matematiky a zbierok úloh z hľadiska zastúpenia úloh plniacich 

rôzne didaktické funkcie 

Pri napĺňaní zbierky úloh sme sa stretli s mnohými problémami. Snáď najväčším 

problémom je nedostatok úloh, ktoré by plnili rôzne didaktické funkcie. Toto naše tvrdenie 

vyplýva z analýzy učebníc matematiky a zbierok úloh (viď [1], [6], [8], [9], [10], [21], [31], 

[33], [34], [35], [39], [40], [41], [43], [45], [47], [49], [54], [63], [64]). Rozbor bol vykonaný 

na úlohách v témach Rovnice, nerovnice a ich sústavy a Funkcie. Každú úlohu sme v rámci 

tejto analýzy jednoznačne zaradili k práve jednej didaktickej funkcii. 

Výsledkom analýzy je, že učebnice matematiky a zbierky úloh obsahujú veľké 

množstvo rutinných, algoritmických úloh na upevňovanie učiva (48,85%) a pomerne dosť 

úloh na aplikáciu učiva mimo (12,92%) a vo vnútri (11,05%) matematiky. Dostatočne 

zastúpené sú aj úlohy na opakovanie a systemizáciu učiva (16,39%). 

Avšak najmenej zastúpené sú úlohy na aktualizáciu učiva (0,3%), prípravné úlohy 

(2,84%) a úlohy na osvojenie definície pojmu, formulácie vety a postupu riešenia (3,25%). 

Vo veľmi nízkom zastúpení sú aj motivačné úlohy (2,9%). Do skupiny málo početných úloh 

patria aj propedeutické úlohy (1,5%). Výsledky našej analýzy teda potvrdzujú hypotézu H1. 

Keďže práve motivačné úlohy, úlohy na aktualizáciu učiva, prípravné úlohy a úlohy 

na osvojenie definície pojmu, formulácie vety a postupu riešenia sú dôležité pre 

zabezpečenie kvalitnej, efektívnej učebnopoznávacej činnosti žiakov, je potrebné tento 

deficit úloh eliminovať. Zvolili sme dva postupy na tvorbu chýbajúcich typov úloh: 

1. tvorba „nových úloh“ – tento postup vnímame z dvoch hľadísk. Prvým je tvorba úplne 

nových úloh, ktoré sa v zbierkach úloh bežne nevyskytujú, hoci ich niektorí učitelia 

zaraďujú do vyučovacích jednotiek. Sú to väčšinou úlohy vo forme jednoduchých otázok, 

ktoré sú používané vo fáze aktualizácie učiva, v prípravnej fáze alebo vo fáze osvojovania 

učiva. Druhým hľadiskom tvorby „nových úloh“ je nové, iné zaradenie úlohy v rámci 

témy, podtémy a elementu učiva. 

2. preformulovávanie existujúcich úloh 

8

Preformulovávanie úloh 

Hlavným problémom, ktorému sa v práci venujeme, je preformulovávanie 

existujúcich úloh a ich účelné dopĺňanie na „prázdne miesta“ v štruktúre stredoškolskej 

matematiky. Existujú viaceré postupy na dopĺňanie chýbajúcich úloh. Náš prístup k riešeniu 

tohto problému v sebe zahŕňa tri metódy: 

1. Zmena podmienky v zadaní úlohy 

2. Tvorba otočenej úlohy 

3. Zmena fabuly úlohy 

Prvé dve metódy ovplyvňujú zaradenie úlohy do zbierky úloh vzhľadom na tému, 

podtému, element učiva a takisto vzhľadom na didaktickú funkciu a poznávaciu úroveň. 

Posledná metóda väčšinou neovplyvňuje zaradenie úloh do zbierky, ale má dôležitý význam 

pri pochopení a osvojovaní si nových poznatkov. Jej význam popíšeme neskôr. 

Vytvorené metódy sme ďalej špecifikovali vzhľadom na zmenu náročnosti úlohy, ktorú 

samotné preformulovanie často prináša. Náročnosť úlohy sledujeme vzhľadom na element 

učiva, didaktickú funkciu a poznávaciu úroveň. Rozdelenie úloh podľa náročnosti úlohy je 

náročné a častokrát subjektívne. V práci však používame toto rozdelenie úloh 

do troch skupín: A) Náročnosť úlohy sa zvýšila, B) Náročnosť úlohy sa znížila, 

C) Náročnosť úlohy sa nezmenila. 

Zmena podmienky v zadaní úlohy 

Zmenou podmienky v zadaní úlohy možno dosiahnuť zmenu zaradenia úlohy podľa 

témy, podtémy a elementu učiva, ale aj didaktickej funkcie a poznávacej úrovne, zvýšiť 

kvalitu úlohy, teda z konvergentnej úlohy vytvoriť divergentnú, zmeniť počet postupov 

riešenia úlohy, ... 

Tento spôsob preformulovávania úloh popíšeme na nasledujúcej ukážke. 

Úloha 408: Zo zastávky A ide autobus na zastávku B (viď obr. 1). Dobehne 

chlapec tento autobus, ktorý mu ušiel v mieste A, keď autobus ide priemernou 

rýchlosťou 36 km/hod a chlapec beží skratkou rýchlosťou 10,8 km/hod? 

Zaradenie tejto úlohy do zbierky je nasledovné: 

Téma: Planimetria 

Podtéma: Trojuholník 

Element: Euklidove a Pytagorova veta 

Funkcia: motivačné úlohy 

úlohy na upevňovanie učiva 

úlohy na aplikáciu učiva mimo matematiky 

Úroveň: nižšie konvergentné procesy 

vyššie konvergentné procesy Obr. 1 

Úvahy pri zaraďovaní úloh podľa zvolených kritérií popíšeme podrobne len 

na úlohe 408. Pri ostatných úlohách sa obmedzíme len na aspekty, na ktoré budeme chcieť 

upozorniť. 

V jednom z niekoľkých postupov riešenia úlohy 408 možno použiť Pytagorovu vetu. 

Z tohto dôvodu je daná úloha zaradená k elementu učiva Euklidove a Pytagorova veta 

v téme Planimetria a v rámci nej k podtéme Trojuholník. Zaradenie úlohy 408 

k didaktickým funkciám závisí od fázy vyučovacieho procesu, v ktorej môže byť úloha 

9

použitá. Ak žiaci nepoznajú Pytagorovu vetu, môže táto úloha slúžiť na motiváciu 

učebnopoznávacej činnosti žiakov. Ak už žiaci ovládajú spomínanú vetu, možno úlohu 

použiť vo fáze upevňovania učiva. Keďže je spomínaná úloha slovnou úlohou z praxe, tak 

táto úloha môže plniť aj didaktickú funkciu aplikácie učiva mimo matematiky. Stupeň 

poznávacích procesov, ktoré úloha rozvíja vyplýva zo zvoleného postupu pri vyučovaní. Ak 

je úloha aplikovaná ako motivačná úloha, rozvíja vyššie konvergentné procesy, ale ak je 

zaradená k úlohám na upevňovanie učiva alebo k aplikačným úlohám t.j. už sa riešili úlohy 

podobného typu, tak rozvíja nižšie konvergentné procesy. 

Ako sa zmení zaradenie úlohy 408 podľa zvolených kritérií, ak by v úlohe nebola 

podmienka, že cesty sú na seba kolmé? 

Úlohu už nemožno riešiť pomocou Pytagorovej vety, ale je potrebné použiť kosínusovú 

vetu, teda zaradenie je nasledovné: 

Téma: Trigonometria 

Podtéma: Trigonometria 

Element: Sínusová a kosínusová veta (riešenie všeobecného trojuholníka) 





vyššie konvergentné procesy 

Jednoduchým preformulovaním úlohy sa zmenilo jej zaradenie podľa témy, podtémy a 

elementu učiva. Zaradenie k didaktickým funkciám a poznávacím úrovniam ostáva 

nezmenené. 

Zaujímavá je však zmena zaradenia úlohy 408 v rámci témy Planimetria, podtémy 

Trojuholník a elementu učiva Euklidove a Pytagorova veta vzhľadom k didaktickej funkcii. 

Táto úloha plní v spomínanom zaradení propedeutickú funkciu ku kosínusovej vete. 

Ak sa zadá žiakom úloha z témy, ktorá sa ešte „oficiálne“ nepreberala, môžu rozvinúť 

individuálne stratégie riešenia. Ak sa učiteľ pri preberaní kosínusovej vety vráti k riešeniu 

úlohy 408, vytvorí sa tým spojenie medzi novým a starším učivom a súčasne prebieha 

implicitné opakovanie. 

Toto bol jeden z klasických príkladov, ako dopĺňame chýbajúce typy úloh, najmä 

prípravné úlohy, úlohy na osvojenie definície pojmu, formulácie vety a postupu riešenia 

a propedeutické úlohy, do vytváranej zbierky úloh. 

Tvorba otočenej úlohy 

Na základe [17] sa rozlišujú 2 pojmy opačná a obrátená úloha k priamej (pôvodnej) 

úlohe. Niekedy je rozlíšenie opačnej a obrátenej úlohy k danej úlohe ťažké (subjektívne) a 

pri preformulovávaní úloh nehrá dôležitú rolu, preto sme sa rozhodli tieto úlohy nazývať 

jedným pojmom otočené úlohy k priamej úlohe. 

Toto preformulovávanie zväčša nemení zaradenie úlohy v rámci témy, podtémy a 

elementu učiva, ale je jednou z metód ako vytvárať otvorené, divergentné úlohy a je dôležitá 

z hľadiska naplnenia rozvíjajúcich cieľov vyučovania matematiky (viď [17]). 

Na úlohe 396 prezentujeme tento spôsob preformulovania úloh. 

Úloha 396: Kozy sú známe tým, že spasú všetko, kam dočiahnu. Načrtnite útvar, 

ktorý spaše koza priviazaná následovne: medzi 2 kolíkmi vzdialenými 12 m je 

natiahnuté oceľové lanko, na ktorom je navlečený oceľový krúžok tak, aby sa 

10

na ňom mohol kĺzať. Na kovovom krúžku je upevnený 2-metrový povrázok, 

na konci ktorého je priviazaná koza. 

Úlohu 396 možno zaradiť do zbierky nasledovne: 

Téma: Planimetria 

Podtéma: Konštrukčné úlohy 

Element: Množiny bodov danej vlastnosti 






K danej úlohe je možné sformulovať takúto otočenú úlohu: 

Úloha 248: Ako priviažeme kozu (pomocou pevných kolíkov, natiahnutých laniek 

a povrazov), aby mohla vypásť geometrický útvar zobrazený na obrázku (viď 

obr. 2)? Dôvodov na vypasenie takýchto alebo aj iných obrazcov môže byť 

niekoľko, napr. nechceme, aby koza spásla kapustu, aby sa utopila v rieke a pod. 

Obr. 2 

Zaradenie úloh 396 a 248 sa v rámci témy, podtémy, elementu učiva a didaktickej 

funkcie zhoduje. Úloha 248 však rozvíja tvorivé, divergentné myslenie, pretože žiaci musia 

najprv vymyslieť stratégiu riešenia úlohy a následne zvážiť možnosti priviazania kozičky. 

Takýmto spôsobom možno zostavovať ďalšie zaujímavé otvorené úlohy. 

Zmena fabuly úlohy 

Pod pojmom fabula rozumieme dejovú osnovu, príbeh úlohy. Použitím tejto metódy 

preformulovávania úloh sa buď zaradenie úlohy v zbierke nezmení vôbec, alebo sa zmení 

zaradenie úlohy vzhľadom na didaktickú funkciu. Táto metóda preformulovávania úloh má 

dôležitý význam vo fáze osvojovania nových poznatkov. Zmena kontextu úlohy môže 

niekedy pomôcť pochopiť podstatu úlohy a odhaliť „skryté“ vzťahy a súvislosti. 

Na nasledujúcej ukážke vysvetlíme túto metódu preformulovania úloh. 

Úloha 683: Jedným prívodom sa naplní bazén za 12 hodín a druhým za 8 hodín. 

Za aký čas sa naplní bazén, ak bude napĺňaný oboma prívodmi? 

Daná úloha je zaradená v zbierke nasledovne: 

Téma: Rovnice, nerovnice a ich sústavy 

Podtéma: Rovnice a nerovnice s neznámou menovateli 

Element: Jednoduché rovnice a nerovnice (úprava na lineárnu a kvadratickú rovnicu) 



11




Úlohu možno zadať aj s týmito námetmi: 

Úloha 684: Z miesta A do miesta B vybehne bežec. V tom istom okamžiku 

vyštartuje z miesta B oproti bežcovi cyklista. Po akom čase sa stretne bežec 

s cyklistom, keď bežcovi trvá ubehnutie úseku z A do B 12 minút a cyklistovi trvá 

cesta z B do A 8 minút? 

Úloha 685: Jedna kravička by spásla kopu sena za 12 minút a druhá kravička 

za 8 minút. Za aký čas spasú túto kopu sena obe kravičky spoločne? 

Úloha 686: Za aký čas zorú pole spoločne dvaja traktoristi, keď prvý z nich by 

sám zoral toto pole za 12 hodín a druhý za 8 hodín? 

Všetky 4 úlohy je možné vyriešiť tou istou rovnicou s neznámou v menovateli, teda 

zaradenie nových úloh v zbierke je rovnaké ako zaradenie úlohy 683. Toto preformulovanie 

úlohy síce nezmenilo zaradenie úlohy v zbierke, ale, ako sme už uviedli, je prínosom pre 

lepšie pochopenie podstaty úlohy, pretože tá istá úloha s novým námetom je pre niekoho 

prístupnejšia. 

Pracovné listy v praxi 

Za účelom ukázať praktický význam vytváranej elektronickej zbierky úloh sme sa 

rozhodli realizovať pedagogický experiment. Cieľom výskumu bolo v praxi overiť 

použiteľnosť systémov úloh zostavených z vytváranej zbierky úloh. Našou úlohou bolo 

na báze úloh v zbierke navrhnúť systémy úloh pre vybrané témy. Zostavené pracovné listy 

bolo potrebné prakticky overiť v štandardných podmienkach výučby. 

Experiment prebiehal na 7 gymnáziách a stredných školách v Košiciach, Prešove 

a Michalovciach (Stredné odborné učilište železničné, Košice; Stredná priemyselná škola 

dopravná, Košice; Gymnázium Trebišovská 12, Košice; Gymnázium Šrobárova 1, Košice; 

Súkromné gymnázium Dneperská 1, Košice; Stredná priemyselná škola elektrotechnická, 

Prešov; Gymnázium Pavla Horova, Michalovce). Do experimentu bolo zapojených 

9 učiteľov, ktorí aplikovali pracovné listy na vyučovacích hodinách spolu v 10 triedach 

prvého a v 1 triede druhého ročníka. Výskum bol realizovaný v školskom roku 2003/2004. 

Učiteľom boli predkladané systémy úloh vo forme pracovných listov na tému, ktorú 

v danom čase preberali na vyučovacích hodinách, a metodické komentáre k príslušným 

pracovným listom. Úlohou učiteľov bolo použiť systémy úloh pri príprave na vyučovaciu 

hodinu alebo priamo na vyučovacej hodine. Podľa potreby boli pracovné listy 

prispôsobované podmienkam v triedach a následne slúžili ako podklady na vyučovacích 

hodinách. Výber metódy práce s pracovnými listami bol ponechaný na samotných učiteľov. 

Výstupom experimentu boli učiteľmi vyplnené dotazníky, zápisy z rozhovorov 

s učiteľmi a priame pozorovanie na vyučovacích hodinách, na ktorých sa systémy úloh 

používali. Výsledky výskumu možno zhrnúť do niekoľkých záverov: 

1. Učitelia ocenili nielen kvantitu, ale aj kvalitu úloh v zbierke a systémoch úloh. 

Vysoko hodnotená bola rôznorodosť úloh a rozmanitosť ich formulácií. Zadania úloh 

v pracovných listoch učiteľom vyhovovali a považovali ich za vhodné. 

12

2. Veľmi pozitívne bolo hodnotené aj iné, nové zaradenie úloh k tematickým celkom, 

ktoré vychádza z metódy na tvorbu nových úloh. Učitelia vyjadrili prekvapenie a ocenili 

zaujímavé zaradenie niektorých úloh v tematickom celku. 

3. Počet vynechaných úloh a niekoľko podľa učiteľov chýbajúcich typov úloh 

dokazuje, že nie je možné vytvoriť systém úloh, ktorý vyhovuje požiadavkám všetkých 

učiteľov a konkrétnym podmienkam všetkých typov stredných škôl. Toto tvrdenie je 

v súlade s hypotézou H3, čím sa spomínaná hypotéza potvrdila. 

4. Začínajúci učitelia považujú pracovné listy za užitočnú pomôcku pri príprave 

na vyučovaciu hodinu a učitelia s dlhoročnou praxou vidia v pracovných listoch nový návrh 

ako sprístupniť určitý tematický celok žiakom. Z týchto výrokov, kvantitatívnej 

a kvalitatívnej analýzy dotazníka vyplýva, že sa potvrdila hypotéza H2, t.j. systémy úloh sú 

pre učiteľov prínosom pri príprave na vyučovaciu hodinu. 

Výsledky experimentu teda potvrdzujú spokojnosť učiteľov so zostavenými systémami 

úloh a poukazujú na užitočnosť vytvárania elektronickej zbierky úloh. Všetky informácie 

získané z tohto pedagogického experimentu sme využili pre skvalitnenie vytváranej zbierky 

úloh a takisto systémov úloh zostavených zo zbierky. 

Preformulovávanie úloh na vyučovacej hodine 

Cieľom nášho druhého experimentu bolo navrhnutú metodológiu zostavovania úloh 

aplikovať aj pri tvorbe úloh žiakmi priamo vo vyučovacom procese. Nosným prvkom 

experimentu bolo preformulovávanie úloh pomocou zmeny fabuly. Úlohou bolo na základe 

vyriešených slovných úloh predviesť žiakom, ako možno zmeniť fabulu úlohy a viesť ich 

k tomu, aby sami zostavovali úlohy, ktoré možno riešiť pomocou toho istého matematického 

modelu. 

Experiment bol realizovaný na Strednom odbornom učilišti železničnom v Košiciach 

v 2 triedach prvého ročníka (12 žiakov a 26 žiakov) v rámci bežného vyučovania 

a na seminári z matematiky na Gymnáziu sv. Tomáša Akvinského v Košiciach (10 žiakov). 

Výskum bol uskutočnený v školskom roku 2006/2007. Vyučovanie na gymnáziu sme 

prevádzali osobne a vyučovací proces na strednom odbornom učilišti bol realizovaný 

učiteľkou, ktorá v daných triedach vyučuje matematiku. Charakter výskumu nevyžadoval 

kontrolnú vzorku. 

Experimentálna výučba prebehla na oboch školách v zásade rovnako. Žiaci dostali 

na vypracovanie pracovný list 1, úlohy ktorého najprv riešil každý žiak samostatne. V tejto 

fáze vyučovania pôsobil učiteľ v role konzultanta. V ďalšej etape vyučovacieho procesu 

bolo riešenie úloh prezentované na tabuli. Po vyriešení úloh z pracovného lista boli žiaci 

vyzvaní zostaviť slovnú úlohu, ktorá spĺňala určité požiadavky. Žiakmi zostavené úlohy boli 

pozbierané, pretože tvorili hlavnú časť výstupu nášho výskumu. Práca s pracovným listom 2 

bola realizovaná podľa rovnakého modelu. Na záver experimentu žiaci vyplnili nami 

zostavený dotazník. 

Ako už z popisu priebehu experimentu vyplýva, výstup tohto výskumu tvorili úlohy 

zostavené žiakmi, žiakmi vyplnené dotazníky a hospitačné záznamy z hodín, na ktorých sa 

používali pracovné listy a na ktorých sme my nevystupovali v roli učiteľa. 

V práci prezentujeme 63 úloh zostavených žiakmi počas popisovaného experimentu. 

Medzi úlohami možno nájsť niekoľko nezmyselných úloh, pár nereálnych úloh alebo 

skupinu úloh, ktorých dejová osnova viac či menej napodobňuje príbehy v úlohách 

z pracovných listov. Avšak nezanedbateľnú časť tvoria pozoruhodné úlohy s nápaditým 

námetom. 

13

Najmä posledná skupina úloh, ale aj ostatné úlohy, ich množstvo, kvalita a originalita 

potvrdzujú hypotézu H4. Žiaci sú schopní vytvárať matematické úlohy. Na záver chceme 

zhrnúť niekoľko faktov vychádzajúcich z analýzy žiackych prác, ktorú sme práve popísali. 

Dovolíme si tvrdiť, že žiaci stredného odborného učilišťa zostavili originálnejšie úlohy 

ako žiaci gymnázia. Naše tvrdenie dokazujú úlohy poslednej skupiny úloh, ktoré boli 

zostavené žiakmi stredného odborného učilišťa. Témy použité v týchto úlohách sú 

nápaditejšie a ojedinelejšie ako tie, ktoré využili žiaci gymnázia. 

Asi polovica žiakov stredného odborného učilišťa zostavovala úlohy, ktoré možno 

riešiť pomocou kvadratickej rovnice (pracovný list 2). Pričom na gymnáziu to boli len dvaja 

žiaci, ktorí sa pokúsili o preformulovanie tejto úlohy. Náš predpoklad, že žiaci budú 

zostavovať častejšie úlohy na lineárne rovnice sa potvrdil len u žiakov gymnázia. 

Množstvo „chybných“ úloh, úloh, ktoré nemajú riešenie, nereálnych a nezmyselných 

úloh dokazuje, že existuje veľký priestor pre modifikáciu úloh žiakmi. Tento spôsob práce 

s úlohami umožňuje rozvoj tvorivého myslenia a podporuje fantáziu žiakov, a preto je ho 

vhodné využívať aj priamo na vyučovaní. Zostavovanie úloh, skúmanie riešiteľnosti 

zostavených úloh, tvorba úloh, ktoré nemožno počítať podľa „predpísaného“ matematického 

modelu. To je len zlomok z možností, ktoré v sebe skrýva preformulovávanie úloh žiakmi. 

4. Zhrnutie výsledkov, odporúčania pre pedagogickú prax a záver 

Prínos dizertačnej práce 

V práci prezentujeme metódy preformulovávania úloh, ktoré používame pri tvorbe 

elektronickej zbierky úloh. Vytváraná aplikácia je učiteľom prístupná cez internet. Táto 

zbierka úloh obsahuje úlohy doplnené k rôznym témam, podtémam a elementom učiva 

matematiky. Úlohy sú ďalej klasifikované podľa didaktickej funkcie, ktorú na vyučovaní 

môžu plniť, a podľa poznávacej úrovne, ktorú môžu rozvíjať pri učebnopoznávacej činnosti 

žiakov. Posledne spomínané kritéria sú pre učiteľov cennou informáciou o úlohe. Príprava 

učiteľov matematiky na vyučovanie pozostáva aj z výberu vhodných úloh. Intuitívna 

navigácia pri vyhľadávaní úloh je praktickou pomôckou pri hľadaní úloh spĺňajúcich 

konkrétne požiadavky. 

Súčasťou vytváranej zbierky úloh je aj 15 systémov úloh zostavených z úloh danej 

zbierky. Tieto systémy úloh boli zostavované k jednotlivým elementom učiva tak, aby 

tvorili základ prípravy učiteľa na vyučovaciu hodinu. Našou snahou nebolo zostaviť 

univerzálne systémy úloh, pretože zostaviť systémy úloh použiteľné pre všetky typy škôl nie 

je možné. Zostavili sme systémy úloh, ktoré slúžia učiteľom ako návod pre vyučovanie 

pomocou úloh a v prípade potreby ich môžu učitelia prispôsobiť v závislosti od typu školy 

a konkrétnych podmienok v triede. 

Náš výskum využiteľnosti elektronickej zbierky úloh a systémov úloh v praxi 

potvrdil, že tieto dva prvky sú užitočným pomocným prostriedkom pri každodennej práci 

učiteľov. Analýza získaných výsledkov bola v súlade s našim predpokladom, že neexistuje 

univerzálny systém úloh. Na druhej strane však rozbor výsledkov výskumu ukázal 

spokojnosť učiteľov s úlohami v zbierke a zostavenými systémami úloh. Učitelia považujú 

zbierku úloh a systémy úloh v nej za prínos a praktickú pomôcku pri ich práci. 

Analýza učebníc a zbierok úloh z matematiky potvrdila nedostatok úloh plniacich 

rôzne didaktické funkcie. K úlohám s najmenším percentuálnym zastúpením patria úlohy 

motivačné, úlohy na aktualizáciu učiva, prípravné úlohy a úlohy na osvojenie definície 

pojmu, vety a postupu riešenia. Tieto úlohy sú však neoddeliteľnou súčasťou aktívneho 

14

osvojovania poznatkov, preto sme sa v ďalšej časti našej práce venovali zostavovaniu práve 

týchto typov úloh. Navrhli sme dva postupy zostavovania úloh: 

1. Tvorba „nových úloh“ 

2. Preformulovávanie existujúcich úloh 

Pomocou týchto postupov sa nám podarilo zdvojnásobiť percentuálne zastúpenie 

spomínanej skupiny úloh vo vytváranej zbierke úloh vzhľadom na ich zastúpenie 

v učebniciach a zbierkach úloh z matematiky. Tento fakt považujeme za úspech. 

Druhý postup tvorby úloh, preformulovávanie existujúcich úloh, sme rozpracovali 

do systému metód na preformulovávanie úloh. Nami zostavený systém metód 

na preformulovávanie úloh pozostáva z troch metód: 

1. Zmena podmienky v zadaní úlohy 

2. Tvorba otočenej úlohy 

3. Zmena fabuly úlohy 

Tieto metódy preformulovávania úloh možno jednoducho uplatniť pri príprave 

na vyučovaciu hodinu, pri tvorbe chýbajúcich typov úloh. 

Posledný ale nemenej dôležitý prínos našej práce vidíme v aplikácii preformulovania 

úloh priamo na vyučovaní. Výsledky nášho experimentu, originálnosť a množstvo 

vytvorených úloh poukazujú na fakt, že žiaci sú schopní použiť metódu zmena fabuly 

na tvorbu nových úloh. 

Možnosti ďalšieho výskumu 

Odporúčame ďalej intenzívne rozvíjať projekt zostavovania elektronickej zbierky úloh. 

Vzhľadom na rýchly vývoj informačných technológií a programovacích jazykov je dôležité 

zvážiť využitie najnovších technických možností pri údržbe a správe elektronickej zbierky 

úloh. V neposlednej rade je nutné vytváranú zbierku úloh rozširovať o ďalšie zaujímavé 

úlohy. Dopĺňanie úloh k ďalším témam, podtémam a elementom učiva by malo byť 

základným prvkom ďalšieho rozvoja tohto projektu. 

Výsledky našej práce poukazujú na záujem učiteľov o systémy úloh zostavených z úloh 

vytváranej zbierky. Ako sme už spomínali neexistuje univerzálny systém úloh, ale učitelia, 

začiatočníci hodnotia systémy úloh ako výbornú pomôcku pri ich príprave na vyučovanie 

a skúsení učitelia oceňujú nový pohľad pre preberanie toho ktorého tématického celku. 

Z týchto dôvodov považujeme zostavovanie ďalších systémov úloh za neoddeliteľný 

element tvorby tejto zbierky úloh. 

V neposlednej rade vidíme využitie preformulovávania úloh priamo na vyučovaní 

ako zaujímavú metódu rozvoja logického myslenia a tvorivosti žiakov. 

Nami prevedený experiment, v ktorom sme skúmali uplatnenie preformulovania úloh 

priamo vo vyučovaní, by bolo možné rozšíriť o úlohy typu: Vymyslite podobnú úlohu, ktorú 

nemožno riešiť pomocou predpísaného matematického modelu. Pozoruhodným aspektom 

pre výskum by mohlo byť skúmanie riešiteľnosti úloh zostavených žiakmi. Posudzovanie 

riešiteľnosti úloh by mohlo rozvíjať schopnosť vyjadrovania a argumentačné schopnosti 

u žiakov. 

V procese vyučovania možno použiť nielen metódu zmeny fabuly ale aj ďalšie dve 

metódy preformulovávania úloh (zmena podmienky v zadaní úlohy a tvorba otočenej 

úlohy). Metódy preformulovávania úloh možno aplikovať vo viacerých fázach 

vyučovacieho procesu, napr. v motivačnej fáze alebo vo fáze upevňovania a systemizácie 

učiva. Aplikácia preformulovávania úloh v rôznych fázach vyučovacieho procesu by 

mohla byť námetom pre ďalší pedagogický experiment. 

15

Záver 

Náš výskum potvrdil, že idea zostavovania elektronickej zbierky úloh a s ňou súvisiaca 

tvorba úloh má potenciál byť všeobecným prínosom pre pedagogickú prax. V predkladanej 

práci sme rozpracovali systém postupov na zostavovanie úloh. Preformulovávanie úloh, či 

už ako metóda na tvorbu úloh alebo ako pomocná metóda pri príprave učiteľa 

na vyučovanie alebo ako vyučovacia metóda, ponúka široké možnosti využitia. Dúfame, že 

sa naša práca podnieti ďalšie výskumy v tejto oblasti. 

5. Zoznam prác autora, ktoré majú vzťah ku skúmanej problematike 

[A1] Minďáková I., Šveda D.: Task reformulation as a practical tool for formation of 

electronic digest of tasks. Teaching Mathematics and Computer Science, University 

of Debrecen, 5(2007), č.1, 1-27. 

[A2] Minďáková I., Šveda D.: Elektronická zbierka úloh a systémy úloh. Matematika, 

Informatika, Fyzika, MPC Prešov, 13(2004), č.23, 127-130. 

[A3] Minďáková I., Šveda D.: Zbierka úloh ako databáza. Zborník z medzinárodnej 

konferencie „Model ďalšieho vzdelávania učiteľov prírodovedných predmetov“, 

Prírodovedecká fakulta UPJŠ, Košice, 2001, 128 - 131, ISBN 80-7097-474-5. 

[A4] Minďáková I.: Elektronická zbierka úloh. Sborník příspěvků „Dva dny s didaktikou 

matematiky 2003“, Univerzita Karlova, Praha, 2003, 132-133. 

[A5] Minďáková I., Semanišinová I., Šveda D.: Using an electronic collection of 

mathematical problems in mathematics classrooms. Zborník z medzinárodnej 

konferencie „Information & Communication Technology in Education 2004“, 

Rožnov pod Radhoštěm, 2004, 210-214. 

[A6] Minďáková I., Šveda D.: Vytváranie databázy úloh. Matematika v škole dnes 

a zajtra, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, Ružomberok, 2002, 

http://pf.ku.sk/katedry/kmat/data/konferenciasub/pdf2002/MindakovaSveda.pdf. 

[A7] Minďáková, I.: Zbierka úloh ako databáza. Písomná práca k dizertačnej skúške, 

Prírodovedecká fakulta UPJŠ, Košice, 2002. 

6. Zoznam ohlasov na práce autora 

Práca [A1] Minďáková I., Šveda D.: Task reformulation as a practical tool for formation of 

electronic digest of tasks. Teaching Mathematics and Computer Science, University of 

Debrecen, 5(2007), č.1, 1-27. 

• Semanišinová, I.: O (ne)vhodnosti niektorých úloh na precvičovanie výpočtov 

obsahov a objemov. Matematika, Informatika, Fyzika, MPC Prešov, (prijaté na 

publikovanie). 

Práca [A7] Minďáková, I.: Zbierka úloh ako databáza. Písomná práca k dizertačnej skúške, 


• Fencáková, J.: Zbierka úloh z matematiky ako databáza. Diplomová práca, 


• Kropoková I.: Využitie elektronickej zbierky úloh vo vyučovaní matematiky. 

Diplomová práca, Prírodovedecká fakulta UPJŠ, Košice, 2006. 

16

7. Literatúra 

[1] Bálintová, M., Burjanová, Ľ., Viskupová, I.: Matematika strednej školy v testoch 

(2. časť). EXAM, Bratislava 2004. 

[2] Baumert, J. et al.: TIMSS/III. Dritte Internationale Mathematik- und 

Naturwissenschaftsstudie. Berlin 2000. 

[3] Bloom, B. S.: Taxonomie von Lernzielen im kognitiven Bereich. Weinheim, Beltz 

1973. 

[4] Bobovníková, I.: Zbierka úloh z matematiky v prostredí systému TeX. Diplomová 

práca, Prírodovedecká fakulta UPJŠ, Košice 1993. 

[5] Bruner, J. S.: Entwurf einer Unterrichtstheorie. Schwann, Düsseldorf 1974. 

[6] Brunová, J., Michalovičová, S.: Zbierka aplikovaných úloh z matematiky pre odbory 

chemického zamerania. Bratislava 1992. 

[7] Büchter, A., Leuders, T.: Mathematikaufgaben selbst entwickeln – Lernen fördern – 

Leistung überprüfen. Cornelsen Verlag Scriptor GmbH & Co. KG, Berlin 2005. 

[8] Burjanová, Ľ., Viskupová, I.: Matematika strednej školy v testoch (1. časť). EXAM, 

Bratislava 2003. 

[9] Calda, E.: Úlohy ze středoškoské matematiky - Grafy funkcií II. In: Matematika, 

fyzika, informatika, No. 6, Olomouc 1995. 

[10] Černek, P., Hecht, T., Božek, M.: Matematika pre 2. ročník gymnázií a SOŠ 

(zošit 4). Bratislava 1998. 

[11] Cirjak, M.: Hodnotenie učebných výsledkov žiakov. KPÚ, Bratislava 1984. 

[12] Cirjak, M.: Zbierka divergentných a iných neštandardných úloh (tvorivosť 

v matematike). Essox, Prešov 2000. 

[13] Dewey, J.: Demokratie und Erziehung. Westermann, Braunschweig 1916. 

[14] Dillingerová, M.: Rukopis dizertačnej práce. MFI UK, Bratislava 2005. 

[15] Dörner, D.: Problemlösen als Informationsverarbeitung. Klett, Stuttgart 1979. 

[16] Dröge, R.: Kindgerechtes Sachrenen. In: mathematik lehren, Heft 68, 1995. 

[17] Erdnijev, P. M.: Metodika upražnenij po matematike. Prosveščenije, Moskva 1970. 

[18] Fečo, M.: Zbierka úloh z matematiky na PC. Diplomová práca, Prírodovedecká 

fakulta UPJŠ, Košice 1997. 

[19] Fencáková, J.: Zbierka úloh z matematiky ako databáza. Diplomová práca, 

Prírodovedecká fakulta UPJŠ, Košice 2004. 

[20] Fischer, H. E., Draxler, D.: Aufgaben und naturwissenschaftlihcer Unterricht. In: 

Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, Vol. 54, No. 7, 2001. 

[21] Franek, A., Vidlák, L.: Zbierka aplikovaných úloh z matematiky pre odbory 

so zameraním na obchod a služby. Bratislava 1992. 

[22] Franek, A., Zapletal, F.: Téze, otázky a cvičení z teórie vyučování matematice. 

Pedagogická fakulta UP, Olomouc 1973. 

[23] Freudenthal, H.: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Bd. I., Klett, 1973. 

[24] Glaeser, G.: Didaktik mathematischer Probleme und Aufgaben. Vieweg, 

Braunschweig 1980. 

[25] Graf, D.: Welche Aufgabentypen gibt es?. In: Der mathematische und 

naturwissenschaftliche Unterricht, Vol. 54, No. 7, 2001. 

[26] Greeno, J. G., Simon, H. A.: Problem solving and reasoning. In: Atkinson, R. C., 

Herrnstein, R. J., Lindzey, G., Luce, R. D. (Eds.): Stevens' handbook of 

experimental psychology. Vol. 2.: Learning and cognition, Wiley, New York 1988. 

17

[27] Hejný M., Kuřina F.: Dítě, škola a matematika. Portál, s.r.o., Praha 2001. 

[28] Herget, W.: Rechnen können reicht ... eben nicht!. In: mathematik lehren, Heft 100, 

2000. 

[29] Hole, V.: Erfolgreicher Mathematikunterricht. Herderbücherei, Breisgan 1973. 

[30] Hrdina, Ľ., Mäsiar, P.: Tvorivosť žiakov vo vyučovaní matematiky. Bratislava 1994. 

[31] Jirásek, F., Braniš, K., Horák, S., Vacek, M.: Zbierka úloh z matematiky pre SOŠ a 

študijné odbory SOU 1. časť. Bratislava 1986. 

[32] Kopka, J.: Hrozny problémů ve školské matematice. Acta Universitatis Purkynianae, 

Ústí nad Labem 1999. 

[33] Křesáková, H., Nepovímová, E.: Zbierka aplikovaných úloh z matematiky pre 

odbory so zameraním na textil a odevníctvo. Bratislava 1993. 

[34] Kriegelstein, E. a kolektív: Zbierka úloh z matematiky pre stredné priemyselné školy 

a stredné poľnohospodárske technické školy. Bratislava 1965. 

[35] Kudláček, L., Burian, F., Válka, F.: Matematika pre 1. a 2. ročník štúdia 

na stredných priemyselných školách pre pracujúcich. Bratislava 1979. 

[36] Kuřina, F., Půlman, Z.: Otázky a úlohy ve vyučování matematice. In: Matematika a 

fyzika ve škole, Vol. 17, No. 6, 1887. 

[37] Kvaska, R.: Zbierka úloh ako databáza na WWW serveri. Diplomová práca, 

Prírodovedecká fakulta UPJŠ, Košice 2000. 

[38] Mayer, R. E.: Human nonadversary problem solving. In: K. J. Gilhooly (Ed.): 

Human and machine problem solving, Plenum, New York 1989. 

[39] Odvárko, O., Calda, E., Kolouchová, J., Řepová, J.: Matematika pre stredné 

odborné školy a študijné odbory stredných odborných učilíšť (6. časť). Bratislava 

1987. 

[40] Odvárko, O., Řepová, J., Skříček, L.: Matematika pre študijné odbory SOŠ a SOU 

(2. časť). Bratislava 1984. 

[41] Odvárko, O., Řepová, J.: Matematika pre študijné odbory SOŠ a SOU (3. časť). 


[42] Oganesján, V. A. a kol.: Metodika prepodavanija matematiky v srednej škole. 

Prosveščenije, Moskva 1980. 

[43] Partiková, K., Reiterová, M.: Nová maturita Matematika 1. Príroda, Bratislava 2005. 

[44] Roth, H.: Pädagogische Psychologie des Lehrens und Lernens. 15. Auflage, 

Hermann Schroedel Verlag, Hannover 1976. 

[45] Rovan, K., Balala, J., Fecek, P., Malina, Š., Minárik, A., Petrák, M., Smida, J., 

Šimčisková, V., Vlachynský, Z., Zöldy, M.: Zbierka riešených úloh z algebry pre 

stredné všeobecnovzdelávacie školy a stredné odborné školy. Bratislava 1969. 

[46] Sammlung Mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TeX. Zentrum zur Förderung 

des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts, Bayreuth 2003. 

[47] Schmidtmayer, J., Petránek, O., Šikola, R.: Matematika pre stredné priemyselné 

školy a stredné poľnohospodárske technické školy. Bratislava 1981. 

[48] Schupp, H.: Thema mit Variationen. Verlag Franzbecker, Berlin 2002. 

[49] Šedivý, O., Sýkora, V.: Matematika pre stredné pedagogické školy II.diel. 


[50] Strick, H. K.: Keine Angst vor Mischungsaufgaben. In: Der mathematische und 

naturwissenschaftliche Unterricht, Vol. 51, No. 3, 1998. 

[51] Strick, H. K.: Rechengeschitchen zur vertieften Behandlung von Textaufgaben. In: 

Praxis der Mathematik in der Schule, Vol. 37, No. 5, 1995. 

18

[52] Strick, H. K.: Vom Rechenschema zu Rechcengeschichten: Einkleidung gesucht!. In: 

mathematik lehren, Heft 81, 1997. 

[53] Šveda, D.: Tvorba systémov úloh v matematike. MC, Prešov 1992. 

[54] Svoboda, T.: Zbierka aplikovaných úloh z matematiky pre odbory so zameraním 

na poľnohospodárstvo. Bratislava 1993. 

[55] Taulien, M.: Die richtigen Fragen Stellen. In: mathematik lehren, Heft 113, 2002. 

[56] Tücke, M.: Psychologie in der Schule – Psychologie für die Schule. LIT Verlag, 

Münster 1998. 

[57] Učebné osnovy predmetu matematika pre stredné odborné školy. Bratislava 1995. 

[58] Ulm, V.: Mathematikunterricht in der Sekundarstufe für individuelle Lernwege 

öffnen. Kallmeyersche Verlagbuchhandlung GmbH, Seelze-Velber 2005. 

[59] Ulm, V.: Wege zur Weiterentwicklung von Mathematikunterricht. In: Praxis der 

Mathematik, Vol. 43, No. 4, 2001. 

[60] Ulshöfer, K.: Mach doch die Aufgaben selbst!. In: Mathematik in der Schule, 

Vol. 36, No. 12, 1998. 

[61] Ulshöfer, K: Lernende dürfen verschiedene Lösungswege kennenlernen. In: 

Mathematik in der Schule, Vol. 36, No. 4, 1998. 

[62] Ulshöfer, K: Wie lösen wir diese Geometrieaufgabe in Klasse x?. In: Mathematik in 

der Schule, Vol. 37, No. 2, 1999. 

[63] Vejsada, F., Talfous, F.: Zbierka úloh z matematiky pre stredné 

všeobecnovzdelávacie školy. Bratislava 1972. 

[64] Vondrášek, F.: Zbierka úloh z matematiky pre lesnícke školy. Bratislava 1966. 

[65] Vyšín, J.: Tři kapitoly o problémovem vyučování matematice. SPN, Praha 1972. 

[66] Vzdelávací štandard s exemplifikačnými úlohami z matematiky pre gymnázium, 

štvorročné štúdium. Štátny pedagogický ústav, Bratislava 2001. 

[67] Walsch, W.: „Aufgabenfamilien“ Folge 1. In: Mathematik in der Schule, Vol. 33, 

No. 2 a No. 3, 1995. 

[68] Walther, G.: Eine einfache Aufagabe – und was man daraus als Lehrer für 

problemorientierten Unterricht lernen kann. In: Didaktik der Mathematik, Vol. 4, 

1985. 

[69] Wittmann, E.: Koplementäre Einstellungen beim Problemlösen. In: Beiträge zum 

Mathematikunterricht, Hermann Schroedel Verlag, Hannover 1971. 

[70] Wurz, L.: Unterrichtspraktische Überlegungen zu einer geometrischen Figur. In: 

Mathematik in der Schule, Vol. 36, No. 7/8, 1998. 

[71] Zelina, M.: Tvorivosť v matematike (metodický materiál). Bratislava 1990. 

[72] Ziller, T.: Die Theorie der formalen Stuffen des Unterrichts. Quelle&Meyer, 1965. 

[73] Zvára, K., Štěpán, J.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Matfyzpress – 

vydavateľstvo Matematicko-fyzikálnej fakulty UK, Praha 2001. 

Internetové zdroje 

[74] http://standards.nctm.org/index.htm 

[75] http://www.statpedu.sk 

19

Summary 

Creative thinking as well as thinking itself is being developed at active learningcognitive 

activity of students. To make mathematic matter a subject of interest and work of 

students at classes, it is efficacious to submit it in a form of tasks. The tasks may be set up in 

a purposeful system of tasks by means of which reaching the teaching goals in the sense of 

quality and durability of gained knowledge may be more effective. A group of tasks where 

one task itself or more tasks altogether fulfil a certain didactic function in accordance with 

tuition aims, cognitive process structure and teaching process conditions is called a task 

system. 

A suitable means for presentation of tasks with their characteristics (as e.g. didactic 

function and cognitive level) as well as task systems themselves is an electronic digest of 

tasks as a database. As the most suitable task classification for an electronic digest of 

tasks in the mathematics field that meets the requirements for task system formation appears 

to be the criteria structure from the digest of tasks: topic, subtopic, elements of mathematics 

subject matter, didactic functions and level of cognitive processes. 

The analysis of textbooks and digests of tasks commonly used at schools in Slovakia 

shows that they do not include all the types of tasks necessary for setting up complete (in the 

sense of didactic functions) task systems. It is necessary to eliminate this shortage of tasks. 

We have chosen two methods to form tasks covering all the didactic functions: 

1. creation of „new tasks” - firstly, it means creation of absolutely new tasks. They are 

usually the tasks that do not occur in the digests of tasks, however, they are often used by 

teachers at mathematics lessons at the stage of subject matter updating, at preparatory stage 

as well as at the stage of subject matter adoption. Secondly, it is a new, different assigning in 

the framework of topics, subtopics and subject matter elements of secondary school 

mathematics. 

2. reformulation of tasks already existing - we see task reformulation as the above 

mentioned method for providing missing types of tasks, as a method for changing the task 

quality, as a method for increase or decrease of task’s difficulty, as a method for creation of 

non-standard, divergent tasks so necessary for logical thinking development. The main goal 

of this Ph.D. thesis was to develop the individual strategies of task reformulation. When 

forming the tasks, we apply the following three methods of task reformulation: 

1. Change of a condition in the task setting 

2. Change of the task plot 

3. Creation of a reversed task 

In order to show practical importance of electronic digest of tasks being formed and the 

task reformulation, we decided to perform two pedagogical experiments. The aim of the first 

survey was to test in school practice the usability of this digest and applicability of the task 

systems set up from the tasks of the electronic digest of tasks. The goal of the second one 

was to proof the ability of students to create new mathematical tasks using the task 

reformulation. 

The both of the experiments showed the importance and utility of electronic digest of 

tasks and task reformulation. We are convinced that this project has to power to be usefull 

for the teacher praxis at all. 

20

Tvorba systémov úloh a ich implementácia do zbierky úloh

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?