A1 Matlab

MATLAB 

Osnove

Šta je MATLAB? 

• programsko okruženje za raĉunanje u tehnici 

– u osnovi je matematiĉki alat 

– ima veliku primenu u primenjenim disciplinama - inženjerstvu 

• poseduje visoke performanse u numeriĉkim izraĉunavanjima i 

vizuelizaciji podataka 

• Matlab je interpreter i programski jezik 

– pruža i interaktivni rad i batch-obradu 

• osnovni elemenat je matrica koja ne zahteva dimenzionisanje 

– većina problema se jednostavno rešava u odnosu na programske 

jezike poput Fortran-a, Pascal-a, C-a, ... 

– nazvan je prema matrix laboratory

Osnovne osobine 

• Jezik visokog nivoa za tehniĉko raĉunanje 

• Razvojno okruženje za upravljanje programskim kodom, datotekama 

i podacima 

• Interaktivni alati za iterativno istraživanje, dizajn i rešavanje 

problema 

• Biblioteka matematičkih funkcija iz linearne algebre, statistike, 

Forijeove analize, fitriranja, optimizacije, numeriĉke integracije 

• 2D i 3D grafičke funkcije za prikaz podataka 

• Alati za kreiranje korisničkog interfejsa 

• Funkcije za integraciju MATLAB algoritama sa spoljašnjim 

aplikacijama i programskim jezicima: Fortran, C, C++, Java, COM, i 

Microsoft Excel

• na Univerzitetima je alat za obuku 

Primena 

• u industriji se upotrebljava za istraživanje i 

rešavanje praktiĉnih inženjerskih i matematiĉkih 

problema 

• tipiĉna upotreba pokriva: 

– Matematiku i numeriku 

– Razvoj algoritama 

– Modeliranje, simulaciju i razvoj prototipova 

– Analizu podataka, istraživanja i vizuelizaciju 

– Nauĉnu i inženjersku grafiku 

– Razvoj aplikacija, ukljuĉujući grafiĉki 

korisniĉki interfejs 

• poseduje kolekcije metoda (alata, rešenja) 

specifiĉnih za odreĊene oblasti - Toolbox-ovi

http://www.mathworks.com 

MATLAB familija proizvoda

Toolbox-ovi 

• Toolbox je kolekcija (biblioteka) izabranih 

funkcija (M-datoteka) namenjena rešavanju 

problema odreĊenje oblasti 

• oni proširuju mogućnosti Matlab-a 

• postoje toolbox-ovi za oblasti 

– analize signala 

– automatskog upravljanja 

– simulacije dinamiĉkog ponašanja sistema 

– identifikacije sistema 

– veštaĉkih neuronskih mreža 

– fuzzy sistema 

– optimizacije 

– analize robustnosti sistema 

– ... 

• postojeći toolbox-ovi se usavršavaju, a novi 

nastaju � 

Aerospace Toolbox 

Bioinformatics Toolbox � 

Communications Toolbox 

Control System Toolbox 

Curve Fitting Toolbox 

Data Acquisition Toolbox 

Database Toolbox 

Datafeed Toolbox 

Excel Link 

Filter Design Toolbox 

Filter Design HDL Coder 

Financial Toolbox 

Financial Derivatives Toolbox 

Fixed-Income Toolbox 

Fixed-Point Toolbox 

Fuzzy Logic Toolbox 

GARCH Toolbox 

Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox 

Image Acquisition Toolbox 

Image Processing Toolbox 

Instrument Control Toolbox 

Mapping Toolbox 

Model-Based Calibration Toolbox 

Model Predictive Control Toolbox 

Neural Network Toolbox 

Optimization Toolbox 

OPC Toolbox 

Partial Differential Equation (PDE) Toolbox 

RF Toolbox 

Robust Control Toolbox 

Signal Processing Toolbox 

Spline Toolbox 

Statistics Toolbox 

Symbolic Math Toolbox 

System Identification Toolbox 

Virtual Reality Toolbox 

Wavelet Toolbox

Raĉunarske platforme 

• Podržane su brojne raĉunarske platforme 

• i operativni sistemi 

• kod pisan u Matlab-u je prenosiv, ukljuĉujući i aplikacije sa 

korisniĉkim interfejsom u obliku prozora 

Tekuća verzija MATLAB 7.3 

sastavni deo paketa R2006b od 1. septembra 2006

• Ĉine ga: 

Radno okruženje Matlab-a (nekad �) 

– komandni prozor (samo je jedan) 

– nekoliko grafiĉkih prozora 

– korisnikov editor za pisanje M-skript datoteka 

• Komandni prozor 

– je mesto gde se daju (kucaju) naredbe interpreteru i ispisuju rezultati 

– sekvencijalno prihvata i izvršava naredbe 

– poseduje linijski editor 

• Grafiĉki prozor 

– obiĉno prikazuje 2D i 3D dijagrame 

– više dijagrama se može prikazati u razliĉitim prozorima i/ili se jedan 

prozor može podeliti na nekoliko delova 

– automatski se pojavljuje kod izvršavanja grafiĉkih naredbi 

– sadržaj prozora se može odštampati na nekoliko naĉina

Radno okruženje Matlab-a (i sad �) 

Sastoji se od većeg broja prozora: 

• Command Window (ranije – komandni prozor) 

• Command History 

• Launch Pad 

• Help Browser 

• Current Directory Browser 

• Workspace Browser 

• Array Editor 

• Editor/Debugger 

Ostali alati: 

• UnapreĊen uvoz i izvoz podataka 

• Profiler – pomaže u otkrivanju uskih grla u aplikaciji 

• Podrška Source Control System-ima 

• Notebook – pristup Matlab-u iz programa za obradu teksta (MS Word)

Drugi naĉini povezivanja i prenosa podataka 

• prenos podataka preko datoteke (u binarnom ili ASCII formatu) 

• prenos teksta i grafike preko Windows Clipboard-a 

• povezivanje drugih aplikacija sa Matlab-om preko DDE (Dynamic 

Data Exchange) mehanizma 

(Tekuća verzija Matlab-a podržava COM (Component Object Model)) 

Matlab može da radi kao: 

– server 

– klijent 

• Matlab poseduje biblioteku C i Fortran funkcija, C++ klasa 

– za rad sa Matlab-ovim datotekama podataka i za osnovne matriĉne 

operacije 

– mogu se upotrebiti za pisanje korisnikovih funkcija koje se 

pozivaju iz Matlab-ovog okruženja

Matlab promenljive 

• naziv promenljive ĉine slova i brojevi 

(mora poĉeti slovom) 

(prvih 19 (31 kod verzije �) znakova se uzima u obzir) 

• razlikuju se mala i velika slova (npr. a i A su dve promenljive)

• Oblik 

Matlab izraz 

promenljiva = izraz 

• izraz ĉine: nazivi promenljivih, funkcije, operatori i drugi specijalni 

znaci. 

• promenljiva je niz 

• ako se izostavi promenljiva sa leve strane znaka “=”, privremena 

promenljiva ans prima vrednost izraza 

• kod dugaĉkih izraza, kada je potrebno unos nastaviti u narednom redu, 

predhodni red završiti sa “...” (tri taĉke) 

• znak “;” na kraju izraza spreĉava da se ispiše vrednost promenljive

Brojevi 

• Realni 3 -99 0.0001 -9.639825 1.62e-20 -10.34e200 

– opseg od 2.2251*10 -308 do 1.7977*10 308 

• Kompleksni -4+7i 8i -9j -9*j 1.23-12e-4j 

– imaginarna jedinica je: i ili j 

– funkcije 

• realna vrednost broja real(z) 

• imaginarna vrednost broja imag(z) 

• konjugovano kompleksna 

vrednost conj(z) 

• moduo abs(z) 

• argument angle(z) 

– nizovi kompleksnih brojeva 

imag(z) 

abs(z) 

8+i9 

angle(z) 

real(z) 

conj(z) 

z

• Aritmetiĉke operacije: 

– sabiranje + 

– oduzimanje - 

– množenje * 

– delenje (levo) / 

– desno delenje \ 

– stepenovanje ^ 

Aritmetiĉke operacije 

• Redosled operacija je odreĊen na osnovu 

prioriteta: 

1. unarni minus 

2. stepenovanje 

3. množenje ili delenje 

4. sabiranje ili oduzimanje 

– upotrebom ( ) može se uticati na 

redosled izraĉunavanja 

» 4 \ 1 

ans = 

0.2500 

» 4 / 1 

ans = 

4 

» 1 + 3 * 2 ^ 4 / 6 - 9 

ans = 

0 

» 1 + (3 * 2) ^ 4 / (6 - 9) 

ans = 

- 431

• Posebni brojevi: 

– Ludolfov broj pi (3.1415...) 

– Imaginarna jedinica i ili j 

– beskonaĉna vrednost � Inf 

Posebni brojevi 

– neodreĊena vrednost (not a number) NaN 

– podrazumevana taĉnost eps (2.2204e-16) 

– “privremena” promenljiva ans 

– konstante opsega brojeva realmin i 

realmax 

• Delenje nulom ne prekida program, 

već nastaje vrednost Inf 

• NaN je rezultat neodreĊenih izraza 

– Inf/Inf ili 

– 0/0 

» 1 / 0 

Warning: Divide by zero 

ans = 

Inf 

» x = Inf / Inf 

x = 

NaN

Nizovi u Matlab-u 

• osnovni tip podataka je niz (Array) 

• skalar je niz dimenzije 1x1 

sliĉno je i sa vektorima u obliku kolone ili vrste 

• elemenat niza može biti kompleksan broj 

• niz se može tumaĉiti kao 

– niz koeficijenata polinoma 

– niz slova u string-u 

– bit-mapirana slika (dvodimenzioni niz) 

– zvuĉni zapis 

• podržan je rad sa retkim nizovima 

• dimenzije niza se ne unose 

• potreban memorijki prostor za niz se automatski zauzima (alocira) 

– veliĉina niza nije ograniĉena i može prevazići raspoloživi RAM 

raĉunara (zahvaljujući virtuelnoj memoriji)

• Unosom kao eksplicitna lista 

brojeva ili izraza 

• kao rezultat izvršavanja 

ugraĊene naredbe ili funkcije 

(Matlab-ove unutrašnje 

funkcije) 

• formiranjem u M-datoteci 

(Matlab-ovoj spoljašnjoj 

funkciji) 

• uĉitavanjem iz datoteke 

podataka 

Nastanak brojnog niza 

» a = [ 1 2 3; 4 5 6 ] 

a = 

1 2 3 

4 5 6 

» b = sum(a) 

b = 

5 7 9 

» save abdat a b 

» clear 

» b 

??? Undefined function or variable b. 

» load abdat 

» b 

b = 

5 7 9

Funkcije 

• Tip funkcije (nebitan za korisnika) 

– ugraĊena (unutrašnja, najbrže se izvršava) 

– M-datoteka iz MATLAB biblioteke (spoljašnja) 

– funkcija korisnika (spoljašnja, M-datoteka) 

• Grupe funckcija: 

– elementarne matematiĉke 

– specijalne funkcije 

– elementarne matriĉne 

– specijalne matrice 

– za dekompoziciju i faktorizaciju matrica 

– za analizu podataka 

– za rad sa polinomima 

– za rešavanje diferencijalnih jednaĉina 

– za optimizaciju i rad sa nelinearnm jednaĉinama 

– za numeriĉku integraciju 

– ... 

• pomoć o funkciji se dobija pomoću help ime_funkcije 

• svaki Toolbox dodaje nove funkcije

Poziv funkcije 

• funkcija se poziva njenim imenom, 

tj. imenom M-datoteke 

clc % brisanje ekrana 

• ako funkcija ima parametre navode 

se u malim zagradama ( ) razdvojeni 

zarezom 

• ako funkcija vraća vrednosti, 

promenljive koje ih prihvataju se 

navode u uglastim zagradama [ ] 

razdvojene zarezom 

• redosled parametara je bitan 

• ako funkcija dozvoljava, ne moraju 

se navesti svi parametri u pozivu 

i ne moraju se preuzeti sve vrednosti 

• ugnježdeni pozivi 

» atan2(-1,-1) == -pi + pi/4 

ans = 

1 

» x = [1 3 2]; 

» a = max(x) 

a = 

3 

» [m,i] = max(x) 

m = 

3 

i = 

2 

» x = pi / 4; 

» log( cos( sin(x) + 1 ) - 5 ) 

ans = 

1.6363 + 3.1416i

Matematiĉke funkcije 

• primenjuju se nad matricom elemenat po elemenat 

• trigonometrijske: sin cos tan asin acos atan atan2 

sinh cosh tanh asinh acosh atanh 

• neke elmentarne funkcije 

– apsolutna vrednost abs 

– kvadratni koren sqrt 

– signum sign 

– ostatak delenja rem(x,y) 

– exponencijalna exp 

– prirodni logaritam log 

– logaritam osnove 10 log10, osnove 2 log2 

• zaokruživanje vrednosti na celobrojnu 

– ka najbližem celom broju round 

– ka nuli fix 

– ka -� floor 

– ka +� ceil 

• specijalne funkcije: bessel, beta, gamma, ... 

» x=pi*[1/3 1/6]; 

» y=sin(x) 

y = 

0.8660 0.5000 

» 2*y-1 

ans = 

0.7321 -0.0000 

» 2*y-1 >= 0 

ans = 

1 0 

» floor(2*y-1) 

ans = 

0 -1

• ima 15 ugraĊenih 

tipova podataka 

(klasa) 

• svaki tip je višedimenzioni niz 

Tipovi podataka 

– dvo-dimenzioni nizovi su matrice 

– sparse su retki nizovi 

• složene strukture podataka: cell i structure 

• numeric i array su virtuelni tipovi podataka, nose neke zajedniĉke 

osobine za izvedene tipove 

• korisnikov tip: user classes, Java classes

Tipovi podataka - primeri 

Tip Primer 

int8, uint8, int16, uint16(65000) 

uint16, int32, 

uint32, int64, 

uint64 

single single(3 * 10^38) 

double 3 * 10^300 5 + 6i 

logical magic(4) > 10 

char 'Hello' 

cell array a{1,1} = 12; 

a{1,2} = 'Red'; 

a{1,3} = magic(4); 

structure a.day = 12; 

a.color = 'Red'; 

a.mat = magic(3); 

function handle @sin 

user class polynom([0 -2 -5]) 

Java class java.awt.Frame

Numeriĉki tipovi 

Tip Opseg M-funkcija 

Celobrojan 

Označen 8-bit integer -2 7 to 2 7 -1 int8 




Neoznačen 8-bit integer 0 to 2 8 -1 uint8 




U pokretnom zarezu 

Jedostruke preciznosti 

32-bit 

Dvostruke preciznosti 

64-bit 

-3.4 e 38 to 

3.4e 38 

IEEE 

Standard 754 

single 

double 

» x = int16(325); 

» x = 325.5; 

» int16(fix(x)) 

ans = 

325 

» int16(325) * 4.39 

ans = 

1427 

» uint8('Danas je ...') 

ans = 

68 97 110 97 115 32 … 

106 101 32 46 46 46

Provera numeriĉkih tipova 

Komanda Opis 

whos x Ispisuje tip od x. 

xType = class(x); Tip od x dodeljuje promenljivoj xType. 

isnumeric(x) Da li je x numerik? 

isa(x, 'integer') 

isa(x, 'uint64') 

isa(x, 'float') 

isa(x, 'double') 

isa(x, 'single') 

Da li je x numerik određenog podtipa? 

isreal(x) Da li je x realan ili kompleksan? 

isnan(x) Da li x nije broj (Not a Number NaN) ? 

isinf(x) Da li je vrednosti x beskonačna? 

isfinite(x) Da li je vrednost x konačna?

• Vrednosti: 

– “Laž” = 0 (false) 

– “Istina” = 1 (true) 

vrednost razliĉita od nule 

(uobiĉajeno je 1) 

Logiĉki tip 

• Tipiĉno nastaje kao rezultat operacija 

poreĊenja 

• Važna primena u indeksiranju nizova 

» z = [true true false] 

z = 

1 1 0 

» A = [7 2 6 1 9]; 

» k = A > 5 

k = 

1 0 1 0 1 

» b = A(k) 

b = 

7 6 9 

» b = A(A > 5) 

b = 

7 6 9 

» A(A > 5) = 0 

A = 

0 2 0 1 0

• Redosled 

– da li je promenljiva? 

– da li je ugraĊena funkcija? 

Parsiranje imena 

– da li je MEX, DLL ili M-datoteka u tekućem 

direktorijumu? 

– da li je MEX, DLL ili M-datoteka u nekom 

od MATLAB-ovih direktorijuma? 

– prijavljuje se greška. 

• imena MATLAB-ovih direktorijuma se dobijaju 

(ureĊuju) pomoću path funkcije 

• imena se mogu preklopiti 

» sin(1) 

ans = 

0.8415 

» sin=1 

sin = 

1 

» sin 

sin = 

1 

» sin(1) 

ans = 

1 

» clear sin 

» sin(1) 

ans = 

0.8415

Matriĉne operacije 

• Osnovne operacije: 

– sabiranje + 

– oduzimanje - 

– množenje * 

– delenje (levo) / 

X=B/A je rešenje sistema X*A=B 

– desno delenje \ 

X=A\B je rešenje sistema A*X=B 

– stepenovanje ^ 

– transponovanje ’ 

• Operacije nad elementima matrice: 

– množenje .* 

– delenje (levo) ./ 

– desno delenje .\ 

– stepenovanje .^ 

» r = A’*P + P*A - P*B*inv(R)*B’*P + Q; 

» a = [ 1 2; 3 4 ]; 

» a * a' 

ans = 

5 11 

11 25 

» b = [ -1 2; 1 3 ]; 

» a .* b 

ans = 

-1 4 

3 12 

» a * b 

ans = 

1 8 

1 18 

» b=a .\ 3 

b = 

3.0000 1.5000 

1.0000 0.7500

Rešavanje linearnog sistema jednaĉina 

• Sistem A·x=b ima rešenje x=A -1 ·b 

– u Matlab-u: x = A\b 

• Sistem x·A=b ima rešenje x=b/A 

– u Matlab-u: x = b/A 

• Primer: 

x 

1 

� x 

� 2x 

1 

� x 

1 

� 1 

� 

� 

�1 

�� 

�1 

2 

� 3x 

� x 

2 

2 

3 

� x 

2 

�1 

� 

3 

� 2x 

x 

3 

� 

�2. 

5 

3 

� 

� 

1. 

5 

�1� 

�x 

2 

� 

� 

� 

� � 

x 

1 �� 

�� 

x 

0. 

5 

1 

2 

3 

� �� 2. 

5� 

� � � 

� 

� 

� 

0. 

5 

� 

�� 

�� 

1. 

5 �� 

» A = [1 2 -1; -1 3 2; -1 -1 1]; 

» b = [-2.5; 0.5; 1.5]; 

» x = A\b 

x = 

2.5000 

-1.0000 

3.0000 

» A*x 

ans = 

-2.5000 

0.5000 

1.5000 

» x = inv(A)*b 

x = 

2.5000 

-1.0000 

3.0000

Rešavanje linearnog sistema jednaĉina (2) 

• Mogu re rešavati i preodreĊeni i 

neodreĊeni sistemi jednaĉina 

– Upotrebljava se metoda 

najmanjih kvadrata 

» A = [ 1 2 -1 

-1 3 2 

-1 -1 1 

1 2 3 ]; 

» B = [ -2.5 

0.5 

1.5 

4 ]; 

» x = A\B 

x = 

0.6238 

-0.7002 

1.5950 

» A*x 

ans = 

-2.3715 

0.4657 

1.6713 

4.0086

Matrice i funkcije 

• parametri i vraćene vrednosti funkcije su matrice 

• matematiĉka funkcija f koja ima parametar matricu X kao rezultat 

vraća matricu Y=f(X) sa elementima y ij = f(x ij) 

• elementarne matriĉne funkcije 

– determinanta matrice det(x) 

– inverzija inv(x) 

– pseudo-inverzija ne kvadratne matrice pinv(x) 

– formiranje karakteristiĉnog polinoma poly(x) 

– trag matrice trace(x) 

– ... (help matfun) 

• transcedentalne matriĉne funkcije 

– expm(x) 

– logm(x) 

– sqrtm(x) 

– ...

Operacije poreĊenja 

• operacije poreĊenja se primenjuju nad dve matrice jednakih dimenzija 

• rezultat operacije je matrica nula (“laž”) i jedinica (“istina”) 

• postoji šest relacionih operatora 

– manje < 

– manje ili jednako 

– veće ili jednako >= 

– jednako == 

– nejednako ~= 

» 2 + 3 ~= 5 

ans = 

0 

» [ 1 2; 3 4 ] > [ 1 3; -3 5 ] 

ans = 

0 0 

1 0

Logiĉke operacije 

• logiĉke operacije se upotrebljvaju nad nizovima sa logiĉkim 

vrednostima 

• rezulati logiĉkih operacija su uvek matrice sa elementima 0 i 1 

• Logiĉke operacije su: 

– negacija (unarna operacija) ~ 

– konjukcija (binarna operacija, logiĉko “i”) & 

– disjunkcija (binarna operacija, logiĉko “ili”) | 

» a = [0 0 1 1]; b = [0 1 0 1]; 

» a & b 

ans = 

0 0 0 1 

» a | ~b 

ans = 

1 0 1 1

Logiĉke i funkcije poreĊenja 

• ove funkcije vraćaju logiĉku vrednost (ili više vrednosti) 

• funkcija any(x) vraća istinitu vrednost ako je barem jedan elemenat u x 

istinit (“radi po kolonama”) 

tipiĉna upotreba je: if any(x > 0.01) 

blok naredbi 

end 

• funkcija all(x) vraća istinitu vrednost ako su svi elemenati u x istiniti 

• funkcija find(x) vraća indekse elemenata sa “istinitom” vrednosti 

• provera “neregularnih vrednosti” u matrici 

– gde poseduje beskonaĉnosti isinf(x) 

– ... 

• provera tipa matrice (vraća skalar) 

– da li matrica postoji? exist(x) 

– da li je prazna? isempty(x) 

– da li je globalna promenljiva? isglobal(x) 

– ...

Generisanje vektora 

• Vektor sukcesivnih celobrojnih vrednosti iz itervala [a,b] 

x = a : b % “operator” “:” 

• Vektor vrednosti iz itervala [a,b] sa rastojanjem (korakom) c 

x = a : c : b 

» x = 1 : 6 

x = 

1 2 3 4 5 6 

» x = 2 : 3 : 13 

x = 

2 5 8 11 

» x = 2 : 0.2 : 3 

x = 

2.0000 2.2000 2.4000 2.6000 2.8000 3.0000 

» x = 2 : -1 : -2 

x = 

2 1 0 -1 -2

Selekcija elemenata matrice i vektora 

• indeksi elemenata su pozitivni, celi brojevi: 1, 2, ... 

• dimenzije 

– matrice [vrsta,kolona] = size(x) 

– vektora n = length(x) 

• selektovanje jednog elementa 

– matrice x(vrsta,kolona) 

– vektora x(n) 

• selektovanje submatrice (subvektora) 

– izdvajaju se elementi na preseku vrsta i kolona 

– vrste i kolone su odreĊene 

• pomoću indeks vektora 

• pomoću vektora logiĉkih vrednosti 

(za svaku npr. kolonu je zadata logiĉka 

vrednost i ako je ta vrednost “istina” kolona 

je selektovana) 

a = 

1 2 3 

4 5 6 

» n = size(a) 

n = 

2 3 

» [n,m] = size(a) 

n = 

2 

m = 

3

» a = [1 2 3; 4 5 6] 

a = 

1 2 3 

4 5 6 

» a(1,3) 

ans = 

3 

» a( : , [1 3] ) 

ans = 

1 3 

4 6 

» a( : , : ) 

a = 

1 2 3 

4 5 6 

Primeri selekcija elemenata 

» a( [false true], 2:3 ) 

ans = 

5 6 

» a( : , 3:-1:1 ) 

ans = 

3 2 1 

6 5 4 

» v = 3:-1:1 

v = 

3 2 1 

» a( : , v ) 

ans = 

3 2 1 

6 5 4 

» a( [2 1] , v ) 

ans = 

6 5 4 

3 2 1 

» x = -pi : 0.01 : pi; 

» y = sin(x); 

» y(y > 0.9999)' 

ans = 

0.9999 

1.0000 

1.0000 

» x(y > 0.9999)' 

ans = 

1.5584 

1.5684 

1.5784 

» find(y > 0.9999) 

ans = 

471 472 473

Brisanje i spajanje 

• Brisanje promenljivih i elemenata matrice 

– uklanjanje promenljivih iz radne memorije clear x y z 

– matrica može biti prazna x = [ ] (i tada postoji kao promenljiva) 

– brisanje celih kolona ili vrsta se vrši dodeljivanjem prazne matrice 

• Spajanje submatrica 

– spajanje po kolonama (matrice moraju imati jednak broj vrsta) 

– spajanje po vrstama (matrice moraju imati jednak broj kolona) 

» a = [ ] 

a = 

[ ] 

» b = [ 1 2 3 4 5 ] 

b = 

1 2 3 4 5 

» b(2:4) = [ ] 

b = 

1 5 

» b(4) = -1 

b = 

1 5 0 -1 

» b = [ 1 5 ]; 

» b = [ b; 1+b ] 

b = 

1 5 

2 6 

» a = [ b b’ + 

a = 

1 5 1 2 

2 6 5 6 

» a = * b, b’ +;

Tekstualna promenljiva - string 

• predstavljena je vektorom vrstom od slova (ASCII znakova) 

• omogućava 

– formatizovanje ispisa i uĉitavanja vrednosti 

– prenošenje (i ureĊivanje) naredbi 

• postoji nekoliko grupa funkcija 

• spajanje stringova je kao spajanje vektora vrsta 

» a1 = 2; a2 = 3; 

» i = 1; 

» s = [ '5 * a' int2str(i) '^2’ + 

s = 

5 * a1^2 

» eval(s) 

ans = 

20

Matrice i vektori “poznatih” vrednosti 

• matrica nula zeros(n,m) 

• matrica jedinica ones(n,m) 

• jediniĉna matrica eye(n,m) 

• matrica elemenata po uniformnoj 

raspodeli rand(n,m) 

• matrica elemenata po normanoj 

raspodeli randn(n,m) 

• vektor ekvidistantnig vrednosti 

linspace(n,m,N) 

• vektor logaritamske 

baze logspace(n,m,N) 

• matrica za bazu 3D 

crtanja meshgrid(v1,v2) 

» a = zeros(2,3) 

a = 

0 0 0 

0 0 0 

» a( [2 3], [1 2] ) = 1 

a = 

0 0 0 

1 1 0 

1 1 0 

» a( [2 3], [1 2] ) = ones(2,2); 

» a = [ 1 2; 3 5 ] 

a = 

1 2 

3 5 

» abs(inv(a)*a - eye(2)) > 10*eps 

ans = 

0 0 

0 0

• dvodimenzioni niz == matrica 

Višedimenzioni nizovi 

– prvi indeks je redni broj vrste 

– drugi indeks je redni broj kolone 

• trodimenzioni niz 

Indeksi 

poĉinju 

od 1 

– treći indeks je redni broj strane

Pristup elementima nizova 

» A(2,3,2) 

ans = 

6 

» A(1,2,2) 

ans = 

8 

» A(:,2,1) 

ans = 

0 

-1 

2 

» A(:,:,2) 

ans = 

6 8 3 

4 3 6 

5 9 2 

» A(:,2,:) 

ans(:,:,1) = 

0 

-1 

2 

ans(:,:,2) = 

8 

3 

9 

» A([1 3],3,[2 1]) 

ans(:,:,1) = 

3 

2 

ans(:,:,2) = 

3 

1

Formiranje višedimenzinonih nizova 

• na naĉin formiranja matrica, preko 

indeksa 

– broj elemenata u podnizovima 

se mora slagati 

• primer dodavanja nove 

dimenzije za A 

A je sada 3x3x3x2 

» A(:,:,1,2) = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; 

» A(:,:,2,2) = [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]; 

» A(:,:,3,2) = [1 0 1; 1 1 0; 0 1 1]; 

» A=[1 0 3; 4 -1 2; 8 2 1]; 

» A(:,:,2)=[6 8 3; 4 3 6; 5 9 2]; 

» A(:,:,3) = 5 

A(:,:,1) = 

1 0 3 

4 -1 2 

8 2 1 

A(:,:,2) = 

6 8 3 

4 3 6 

5 9 2 

A(:,:,3) = 

5 5 5 

5 5 5 

5 5 5

Formiranje višedimenzinonih nizova (2) 

• upotrebom funkcija: ones, zeros, 

randn, ... 

• umnožavanjem repmat osnovne 

matrice 

• upotrebom cat funkcije 

B = cat(dim,A1,A2,...) 

– spaja listu nizova duž dimenzije 

dim 

– jediniĉne dimenzije se automatski 

umeću 

» B = cat(4,[2 8; 0 5],[1 3; 7 9]) 

B(:,:,1,1) = 

2 8 

0 5 

B(:,:,1,2) = 

1 3 

7 9 

» B = randn(1,1,2) 

B(:,:,1) = 

-0.6918 

B(:,:,2) = 

0.8580 

» B = repmat([1 0],[3 4 2]) 

B(:,:,1) = 

1 0 1 0 1 0 1 0 

1 0 1 0 1 0 1 0 

1 0 1 0 1 0 1 0 

B(:,:,2) = 

1 0 1 0 1 0 1 0 

1 0 1 0 1 0 1 0 

1 0 1 0 1 0 1 0

Informacije o višedimenzionim nizovima 

• broj elemenata po dimenzijama size 

• ukupan broj dimenzija ndims 

• spisak promenljivih sa dimenzijama i 

formatima whos 

» size(A) 

ans = 

3 3 3 2 

» ndims(A) 

ans = 

4 

» whos 

Name Size Bytes Class 

A 4-D 432 double array 

B 4-D 64 double array 

ans 1x1 8 double array 

Grand total is 63 elements using 504 

bytes

Rad sa dimenzijama matrice 

• redimenzionisanje matrice B = reshape(A,[s1 s2 s3 ...]) 

(s1, s2, ... su nove dimenzije matrice B) 

• uklanjanje jediniĉnih dimenzija C = squeeze(B) 

• permutovanje dimenzija “prepakuje niz” 

B = permute(A,dims) 

– generalizacija transponovanja

Raĉunanje nad višedimenzionim nizovima 

• funkcije koje rade nad vektorima, 

npr. sum, mean, ... 

– obiĉno rade po prvoj nejjediniĉnoj 

dimenziji niza 

• funkcije koje rade elemenat po 

elemenat, npr. sin, ... 

• funkcije koje rade sa matricama 

– ne prihvataju višedimenzione 

nizove kao argumente 

» ndims(A) 

ans = 

4 

» eig(A) 

??? Error using ==> eig 

Input arguments must be 2-D. 

» eig(A(:,:,1,1)) 

ans = 

6.4897 

-3.6978 

-1.7919

Blok naredbi 

• blok naredbi saĉinjava nekoliko MATLAB iskaza (komandi) 

razdvojenih separatorom “;” ili “,” 

– separator “;” spreĉava ispis vrednosti dodeljenih promenljivima iz 

naredbe 

• naredbe se mogu navoditi u jednoj liniji ili u nekoliko linija 

• kada je potrebno jednu naredbu nastaviti u narednoj liniji, predhodna 

linija se završava “...” 

» a = [ 1 2 3 

4 5 6 ] 

a = 

1 2 3 

4 5 6 

» b = [ 1 2 3 ... 

4 5 6 ] 

b = 

1 2 3 4 5 6

• uslovni skok if-else i switch 

• programske petlje 

– prebrojiva petlja for 

Kontrola toka programa 

– neprebrojiva petlja sa ispitivanjem uslova na poĉetku while 

– nasilni izlazak iz petlje break 

• nasilni povratak iz funkcije return 

• nasilni povratak iz funkcije po otkrivanju greške i njen ispis error 

• ne postoji bezuslovni skok

FOR petlja 

• FOR je prebrojiva petlja, tj. unapred se zna broj prolaza kroz blok 

naredbi 

• oblik: 

for promenljiva = izraz 

blok naredbi 

end 

• rezultat izraĉunavanja izraz-a je matrica, a promenljiva prima vrednosti 

od prve do poslednje kolone rezultata 

• uobiĉajeno upotreba je npr. for i=1:n, ... 

• petlja se nasilno napušta sa break 

• mogu se upotrebljavati ugnježdene petlje 

» for i = 1:5 

for j = 1:4 

a(i,j) = 1 / (i+j-1); 

end 

end

WHILE petlja 

• petlja se izvršava sve dok je neki uslov ispunjen i u principu se ne zna 

broj prolazaka kroz petlju do prestanka važenja uslova 

• uslov se proverava na poĉetku petlje 

• oblik: 

while uslov 

blok naredbi 

end 

• uslov je skalar sa logiĉkom vrednosti 

• petlja se nasilno napušta sa break 

• mogu se upotrebljavati ugnježdene petlje 

» s = 0; n = 1; 

» while 1 / n^2 > 1e-4 

s = s + (-1)^n / n^2; 

n = n+1; 

end 

» s 

s = -0.8225 

» f = [1 1]; i = 1; % Fibonacci-jevi brojevi 

» while f(i) + f(i+1) < 1000 

f(i+2) = f(i) + f(i+1); 

i = i + 1; 

end 

» f 

f = 

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987

Uslovno grananje programa 

• opšti oblik: 

if uslov 1 

blok naredbi 1 

elseif uslov 2 


elseif uslov 3 

... 

else 

blok naredbi n 

end 

• uslov je skalar sa logiĉkom vrednosti 

• tipiĉne upotrebe: 

ili 

if uslov 

blok naredbi 

end 

if uslov 


else 


end 

“3n+1” problem iz teorije 

brojeva. Da li postoji 

prirodan broj za koji se 

unutrašnja petlja ne 

završava? 

» while 1 

n = input('Unesi n:'); 

if n 1 

if rem(n,2) == 0 

n = n / 2 

else 

n = 3*n+1 

end 

end 

end

Kontrola toka programa - switch, case 

• switch komanda izvršava blok komandi u 

zavisnosti od vrednosti promenljive uslova. 

• case oznaĉava i razdvaja blokove komandi 

• samo prvo poklapanje sa case se ivršava 

• swich se završava end-om 

• “switch ne propada”, nakon završene poslednje 

komande case bloka, program nastavlja ispod 

end-a. 

(break izraz iz C-a ne postoji) 

switch izraz 

case 0 

blok 1 

case 1 

blok 2 

case 2 

... 

otherwise 

blok 

end

Kontrola toka programa - izuzeci 

• Podržan je rad sa izuzecima 

try 

a = [1 2]; 

b = a * [1 4]; 

catch 

e = lasterror 

… 

end 

• Lasterror je funkcija koja vraća opis greške 

e = 

message: [1x58 char] 

identifier: 'MATLAB:innerdim' 

stack: [1x1 struct]

Nizovi ćelija i struktura 

• su posebne klase MATLAB nizova 

• Ćelija 

– sadrži ćelije (binarne podatke) koji su sami po sebi nizovi 

– omogućava smeštanje 

• Struktura 

• razliĉitih tipova podataka u niz i 

• podataka razliĉitih dimenzija 

– takoĊe udružuje podatake (razliĉitih tipova) 

– za razliku od ćelija struktura sadrže polja kojima se može pristupati 

preko imena

• sastoji se od imenovanih polja 

• svako polje može sadržati 

proizvoljan tip podataka 

• formiranje 

– dodelom vrednosti 

– upotrebom struct funkcija 

Struktura 

» patient 

patient = 

name: 'John Doe' 

billing: 127 

test: [3x3 double]

Formiranje strukure dodelom vrednosti 

» patient.name = 'John Doe'; 

» patient.billing = 127.00; 

» patient.test = [79 75 73; 180 178 177.5; 220 210 205]; 

» patient(2).name = 'Ann Lane'; 

» patient(2).billing = 28.50; 

» patient(2).test = [68 70 68; 118 118 119; 172 170 169]; 

» patient 

patient = 

1x2 struct array with fields: 

name 

billing 

test 

» patient(2).test 

ans = 

68 70 68 

118 118 119 

172 170 169

Višedimenzioni nizovi struktura 

patient(1,1,1).name = 'John Doe'; patient(1,1,1).billing = 127.00; 

patient(1,1,1).test = [79 75 73; 180 178 177.5; 220 210 205]; 

patient(1,2,1).name = 'Ann Lane'; patient(1,2,1).billing = 28.50; 

patient(1,2,1).test = [68 70 68; 118 118 119; 172 170 169]; 

patient(1,1,2).name = 'Al Smith'; patient(1,1,2).billing = 504.70; 

patient(1,1,2).test = [80 80 80; 153 153 154; 181 190 182]; 

patient(1,2,2).name = 'Dora Jones'; patient(1,2,2).billing = 1173.90; 

patient(1,2,2).test = [73 73 75; 103 103 102; 201 198 200];

Formiranje strukture upotrebom struct 

• str_array = struct('field1','val1','field2','val2', ...) 

» patient = struct( 'name', 'John Doe’, ... 

’billing’, 127.00, ... 

‘test’, [79 75 73; 180 178 177.5; 220 210 205] );

Pristup podacima u nizu struktura 

• može se pristupiti jednoj strukturi 

• polju u okviru odreĊene strukture 

• nekim vrednostim iz polja 

• ne može se formirati nov niz na osnovu izbora polja strukture 

» p.name 

ans = 

John Doe 

ans = 

Ann Lane 

ans = 

Ja 

» p(3) 

ans = 

name: 'Ja' 

billing: 0 

test: [2x2 double] 

» p(2).billing 

ans = 

28.5000 

» p(2).test([1 3],2) 

ans = 

70 

170 

» y=p.name 

??? Illegal right hand side in 

assignment. Too many elements. 

» [p.billing] 

ans = 

127.0000 28.5000 0

Polje strukture 

• ĉitanje vrednosti polja 

f = getfield( array, {array_index}, 'field', {field_index} ) 

• postavljanje vrednosti polja 

f = setfield( array, {array_index}, 'field', {field_index}, value ) 

• dodavanje polja 

patient(2).ssn = '000–00–0000'; 

• brisanje polja 

struc2 = rmfield( array, 'field name‘ )

Organizovanje podataka u nizove struktura 

• naĉin organizacije je bitan radi kasnijeg pristupa podskupo podataka 

• Primer: posmatra se bit-mapirana slika dimenzije 128x128 sa 3 matrice 

boja RED, GREEN i BLUE. 

– grupisanje podataka po bojama 

– grupisanje podataka po pixel-ima 

A.r = RED; 

A.g = GREEN; 

A.b = BLUE; 

for i = 1:size(RED,1) 

for j = 1:size(RED,2) 

B(i,j).r = RED(i,j); 

B(i,j).g = GREEN(i,j); 

B(i,j).b = BLUE(i,j); 

end 

end

A(1).data = [3 4 7; 8 0 1]; 

A(1).nest.testnum = 'Test 1'; 

A(1).nest.xdata = [4 2 8]; 

A(1).nest.ydata = [7 1 6]; 

Ugnježdene strukture 

A(2).data = [9 3 2; 7 6 5]; 

A(2).nest.testnum = 'Test 2'; 

A(2).nest.xdata = [3 4 2]; 

A(2).nest.ydata = [5 0 9];

Niz ćelija 

• je niz ĉiji su elementi ćelije, tj. to je kontejner MATLAB-ovih nizova 

• npr., jedna ćelija može sadržati matricu, druga string, treća vektor 

kompleksnih brojeva, itd.

Višedimenzioni nizovi ćelija - cells 

• sliĉno brojevima, višedimenzini nizovi ćelija su generalizacija matrice 

ćelija 

» A{1,1} = [1 2;4 5]; 

» A{1,2} = 'Name'; 

» A{2,1} = 2 - 4i; 

» A{2,2} = 7; 

» B{1,1} = 'Name2'; 

» B{1,2} = 3; 

» B{2,1} = 0:1:3; 

» B{2,2} = [4 5]'; 

» C = cat(3,A,B);

Formiranje niza ćelija dodelom vrednosti 

• niz ćelija se formira popunjavanjem ćelija po ćelija 

• dva ravnopravna naĉina 

– indeksiranje ćelije 

– indeksiranje sadržaja 

A(1,1) = { [1 4 3; 0 5 8; 7 2 9] }; 

A(1,2) = { 'Anne Smith‘ }; 

A(2,1) = { 3+7i }; 

A(2,2) = { –pi:pi/10:pi }; 

A{1,1} = [1 4 3; 0 5 8; 7 2 9]; 

A{1,2} = 'Anne Smith'; 

A{2,1} = 3+7i; 

A{2,2} = –pi:pi/10:pi; 

– {} је konstruktor niza ćelija (poput [] za matrice) 

– {} se takoĊe upotrebljavaju za spajanje ćelija 

– prealokacija mem. prostora za ćelije X=cell(3,9)

Pristup podacima u nizu ćelija 

• indeksiranje sadržaja daje pristup podacima 

• indeksiranje ćelija se upotrebljava za dodelu niza ćelija drugoj 

promenljivoj 

• pojedine ćelije se mogu brisati 

» x = { [1 1], [2 2], [3 3], [4 4] }; 

» x(2) 

ans = [1x2 double] 

» x(1:2) 

ans = [1x2 double] [1x2 double] 

» x{1:2} 

ans = 1 1 

ans = 2 2 

» x(3)=[] 

x = [1x2 double] [1x2 double] [1x2 double] 

» x{3}=[] 

x = [1x2 double] [1x2 double] []

Zamena liste promenljivih nizom ćelija 

• kod liste ulaznih i izlaznih 

parametara funkcije 

• kod prikaza na displeju 

• kod formiranja nizova 

» C(1) = { [1 2 3] }; ... 

C(2) = { [1 0 1] }; 

» conv( C{1:2} ) 

ans = 

1 2 4 2 3 

» [C{1:2}] 

ans = 

1 2 3 1 0 1 

» [ E{1:2} ] = eig( [-1 2;0 -2] ) 

E = 

[2x2 double] [2x2 double] 

» E{1:2} 

ans = 

1.0000 -0.8944 

0 0.4472 

ans = 

-1 0 

0 -2

Ugnježdeni nizovi ćelija 

» clear A 

» A(1,1) = { magic(5) }; 

» A(1,2) = { { [5 2 8; 7 3 0; 6 7 3] 'Test 1'; [2-4i 5+7i] { 17 [] } } } 

A = 

[5x5 double] {2x2 cell} 

» A(2) 

ans = 

{2x2 cell} 

» A{2} 

ans = 

[3x3 double] 'Test 1' 

[1x2 double] {1x2 cell} 

» A{2}{1,1} 

ans = 5 2 8 

7 3 0 

6 7 3 

» A{2}{1,1}(1,3) 

ans = 8

Niz ćelija popunjenih strukturama 

» c_str = cell(1,2) 

» c_str{1}.label = '12/2/94 - 12/5/94'; 

» c_str{1}.obs = [47 52 55 48; 17 22 35 11]; 

» c_str{2}.xdata = [-0.03 0.41 1.98 2.12 17.11]; 

» c_str{2}.ydata = [-3 5 18 0 9]; 

» c_str{2}.zdata = [0.6 0.8 1 2.2 3.4]; 

» c_str{1:2} 

ans = 

label: '12/2/94 - 12/5/94' 

obs: [2x4 double] 

ans = 

xdata: [-0.0300 0.4100 1.9800 2.1200 17.1100] 

ydata: [-3 5 18 0 9] 

zdata: [0.6000 0.8000 1 2.2000 3.4000] 

» c_str{2}.zdata(4) 

ans = 

2.2000

Polinomi 

• polinomi se predstavljaju vektor vrstom ĉiji su elementi koeficijenti 

polinoma po opadajućem stepenu 

npr., polinomu Q(s) = 2s 3 + 4.1s 2 - 12 

odgovara vektor Q = [ 2 4.1 0 -12 ] 

• funkcije za rad sa polinomima: 

– conv množenje polinoma 

– deconv delenje polinoma 

– poly karakteristiĉni polinom 

– polyder diferenciranje polinoma 

– polyfit daje polinom koji aproksimira zadate podatke 

– polyval izraĉunavanje vrednosti polinoma 

– polyvalm sraĉunavanje vrednosti matriĉnog polinoma 

– residue razvoj na parcijalne sabirke (reziduale) 

– roots daje nule polinoma

» P = [2 1.1]; Q1 = [1 3 2]; Q2 = [1 2 3]; 

» Q = conv( Q1, Q2 ) 

Q = 1 5 11 13 6 

» [r,p,k] = residue( P, Q ) 

r = 

0.9667 

-0.2583 - 0.3418i 

-0.2583 + 0.3418i 

-0.4500 

p = 

-2.0000 

0. 

9667 

� � 

s � 2 

-1.0000 + 1.4142i 

-1.0000 - 1.4142i 

-1.0000 

k = 

[ ] 

» [pp,qq] = residue( r(2:3), p(2:3), k ) 

pp = 

-0.5167 0.4500 

qq = 

1.0000 2.0000 3.0000 

Primer upotrebe polinoma 

� 

0. 

2583 

� 

s � 1 � 

0. 

3418j 

2j 

� 

W( 

s) 

� 

( s 

2 

� 

3s 

2s 

2)( 

s 

1. 

1 

2s 

� 1. 

1 

� 4 3 

2 

s � 5s 

� 11s 

� 13s 

� 6 

� 0. 

2583� 

0. 

3418j 

� 0. 

45 

� � 0 

s � 1 � 2j 

s � 1 

0. 

9667 � 0. 

45 

� � � 

s � 2 s � 1 

� 

� 

� 

2 

� 

0. 

5167s 

2 

s � 2s 

2s 

� 

3) 

� 0. 

45 

� 3

M - skript-datoteke i funkcije 

• omogućavaju izvršavanje ranije pisanog koda; olakšavaju ispravljanje 

grešaka i dorade, a time olakšavaju programiranje 

• M - skript-datoteke su ASCII datoteke sa blokom naredbi 

– ime datoteke se završava sa “.m” 

– pozivaju se imenom datoteke (bez “.m”) 

– nemaju parametre 

– vrednosti promenljivih preuzimaju i ostavljaju u radnom okruženju 

• M - funkcije su skript-datoteke odreĊenog formata zaglavlja: 

jedna 

datoteka 

ime.m 

function [ ip1, ip2, ... ipn ] = ime ( up1, up2, ... upm ) 

blok naredbi (negde u bloku izlazni parametri primaju vrednosti) 

– imaju ulazne: up1,up2,...upm i izlazne parametre: ip1,ip2,...ipn 

– kod poziva funkcije se ne moraju navoditi svi parametri; broj 

upotrebljenih ulaznih parametara je nargin, a izlaznih nargout 

– sve promenljive koje definišu su lokalne 

– uobiĉajeno je da ime funkcije bude jednako imenu datoteke “.m”

Persistent 

• Deklariše perzistentne promenljive u funkcijama 

– Vidljive su samo u funkciji koja ih deklariše 

persistent X Y Z 

• Vrednost promenljivih se oĉuvava izmeĊu poziva funkcije

Primer M-funkcije 

function [ status, sv ] = stabilan( X, stepen ) 

% STABILAN - ispituje stabilnost sistema na osnovu imenioca funkcije 

% prenosa ili na osnovu matrice sistema u prostoru stanja 

% Ulaz: 

% X - polinom ili matrica sistema 

% stepen - je zadati stepen stabilnosti 

% Izlaz: 

% status - =1 ako je sistem stabilan, inace =0 

% sv - sopstvene vrednosti ili koreni karakteristicne jednacine 

% A. Erdeljan, 14.4.98 

if nargin == 1, stepen = 0; end % podrazumevana vrednost 

if min(size(X)) == 1 % karak. polinom 

sv = roots(X); 

else % matrica sistema 

sv = eig(X); 

end 

status = all(sv < stepen);

Pimer (nastavak)... 

• komentar iza zaglavlja funkcije se ispisuje naredbom 

help stabilan 

• Primeri upotrebe: 

» Q = [1 3 2]; 

» stabilan(Q) 

ans = 

1 

» [s,v] = stabilan(Q) 

s = 

1 

v = 

-2 

-1 

» [s,v] = stabilan(Q,-1) 

s = 

0 

v = 

-2 

-1 

» [s,v] = stabilan( [0 1; 0 -3], eps ) 

s = 

1 

v = 

0 

-3

• Je promenljiva koja se koristi za 

indirektno pozivanje funkcije 

Handle funkcije 

– Postojeće funkcije (ukljuĉujući 

spoljašnje f-je) 

– Anonimne funkcije (upravo 

kreirane) 

» s = @sin; 

» s(pi/4) 

ans = 

0.7071 

» parabola = @(x) x.^2+3*x+4 

parabola = 

@(x) x.^2+3*x+4 

» parabola(-1) 

ans = 

2 

» parabola([0 1 2]) 

ans = 

4 8 14 

» f = @(x, a) a*x+4; 

» f(2,3) 

ans = 

10

Funkcije funkcija 

• imaju M-funkciju (handl f-je) kao argument @funkcija 

• su nelinearne numeriĉke metode za: 

– analizu i crtanje funkcija 

• fminbnd - traženje minimuma f-je jedne promenljive 

• fminsearch - traženje minimuma f-je više promenljivih 

• fzero - nule funkcije jedne promenljive 

– crtanje funkcija 

• fplot - crtanje funkcije, … 

– rešavanje sistema diferencijalnih jednaĉina 

• ode23 - Runge-Kutta matod 2-3 reda 

• ode45 -Runge-Kutta-Fehlberg matod 4-5 reda 

• … 

– numeriĉko rešavanje integrala (quadrature) 

• quad - Simson-ovo pravilo, …

Rešavanje diferencijalnih jednaĉina pomoću ode23 ili ode45 

• može se rešiti obiĉna diferencijalna jednaĉina višeg reda 

• treba napraviti sistem diferencijalnih jednaĉina 1. reda i zapisati ga u 

zasebnu M-funkciju (sistem jednaĉina može biti nelinearan) 

zaglavlje funkcije mora biti oblika: function xprim = ime( t, x ) 

gde je t vreme, a x vektor promenljivih stanja 

postoji problem sa prenošenjem parametara u ovakvu M-funkciju 

• poziv metode: [ t, x ] = ode23( @ime, [tp, tk], x0 ) 

ili [ t, x ] = ode45( @ime, [tp, tk], x0 ) 

Ulazni parametri: ime - ime M-funkcije koja opisuje sistem jednaĉina, 

tp - poĉetni trenutak integracije, tk - krajnji trenutak, x0 - vektor 

poĉetnih vrednosti promenljivih stanja. 

Izlazni parametri: t - vektor vremenskih trenutaka u kojima su 

izraĉunata rešenja, a x - matrica kretanja promenljivih stanja poreĊanih 

po kolonama. Prva vrsta odgovara x0 i poĉetnom trenutku tp, dok je u 

poslednjoj vrsti krajnja vrednost prom. stanja (u tk). 

• ode metode imaju promenljivi (adaptivni) korak integracije, tako da 

dobijena rešenja nisu ekvidistantna

Van der Pol - ova jednaĉina: 

�x 

�� 

( x 

x 

x� 

x� 

1 

1 

2 

� 

� 

� 

2 

x� 

, 

�x 

x 

1 

�1) 

x� 

� 

1 

x 

2 

( x 

� 

2 

2 

x 

x 

�1) 

� 

Primer upotrebe ode23 

� 

x 

0 

2 

function xprim = vdpol( t, x ) 

% Opis Van der Pol-ove dif. jednacine 

xprim = [ x(1) * (1-x(2)^2) - x(2) 

x(1) ]; 

» tp = 0; tk = 20; x0 = [ 0 0.25 ]; 

» [ t, x ] = ode23( @vdpol, [tp tk], x0 ); 

» plot( t, x ) 

Napomena: Brojevi “23”, odnosno “45” u imenu funkcija ode23 i ode45 se odnose 

na stepene Taylor-ovih redova upotrebljanih u odgovarajućim algoritmima, a 

ne odnose se na red diferencijalne jednaĉine koja se rešava. U principu, metod 

ode45 je namenjen rešavanju diferencijalnih jednaĉina visokog reda.

Primer funkcije: Metoda Runge-Kutta 4. reda 

function [t, x] = rkutta4( F, tp, tf, x0, T ) 

% Metod integracije RUNGE-KUTTA 4. reda 

% parametri su isti kao kod ode23, 

% sem T koje predstavlja korak integracije 

if nargin < 5, T = 0.1; end 

t = tp : T : tf; 

n = length(t); 

x = zeros( n, length(x0) ); 

x(1,:) = x0(:)'; 

tl = tp; 

for i = 1 : n-1 

tl = tl + T; 

xp = x(i,:)'; 

k1 = T * feval( F, tl, xp ); 

k2 = T * feval( F, tl+0.5*T, xp+0.5*k1 ); 

k3 = T * feval( F, tl+0.5*T ,xp+0.5*k2 ); 

k4 = T * feval( F, tl+T, xp+k3 ); 

x(i+1,:) = x(i,:) + (k1/6 + k2/3 + k3/3 + k4/6)'; 

end

Globalne promenljive 

• uvedene su da bi im se pristupalo iz M-funkcija 

• rešavaju problem parametrizovanja sistema dif. jednaĉina koje se 

rešavaju pomoću ode metoda 

x� 

x� 

1 

2 

� 

x 

1 

� �x 

��x 

2 

1 

x 

2 

� �x 

1 

x 

2 

function xp = lotka( t, x ) 

% Lotka-Volterra model 

global ALPHA BETA 

xp = [ x(1) - ALPHA*x(1)*x(2) 

-x(2) + BETA*x(1)*x(2) ]; 

» global ALPHA BETA 

» ALPHA = 0.01; 

» BETA = 0.02; 

» [ t, x ] = ode23( @lotka',[ 0 10], [1 1] );

Primer upotrebe ode23/ode45 – model sa parametrima � 

• ode23/ode45 omogućava 

zadavanje parametara 

modela 

x� 

x� 

1 

2 

� 

x 

1 

� �x 

��x 

2 

1 

x 

2 

� �x 

1 

x 

2 

1000 

function xp = lotka7( t, x, alpha, beta ) 

% Lotka-Volterra model 

xp = [ x(1) - alpha*x(1)*x(2) 

-x(2) + beta*x(1)*x(2) ]; 

0 

0 5 10 15 20 

» al = 0.01; 

» be = 0.02; 

» [ t, x ] = ode45( @lotka7, [0, 10], [1; 1], [ ], al, be ); 

» plot( t, x, ‘.-’ ) 

800 

600 

400 

200

Klase i objekti 

• klase su novi tipovi podataka koje korisnik uvodi 

• objekti su primerci tih klasa (instance) 

• klasa definiše strukturu podataka i vrste operacija i funkcija koje se 

mogu primeniti nad tim podacima (metode klase) 

• ugraĊene klase su: double, sparse, char, struct, cell, … 

• toolbox-ovi definišu dodatne klase 

• Primer: 

Formiranje objekta tipa polinoma p(x) = x 3 – 2x – 5, na osnovu vektora 

koeficijenata polinoma: 

p = polynom([1 0 -2 -5])

• Mesto opisa klase 

Naĉini opisa klase 

– Opis cele klase u jednoj .m datoteci (v7.6) neka_klasa.m 

– Opis metoda klase u posebnim .m datotekama u njima 

zajedniĉkom direktorijumu @neka_klasa 

(privatne metode su u private poddirektorijumu) 

• Klase se mogu grupisati u pakete 

– Paket je direktorijum naziva +neki_paket 

– Sadrži opise klasa 

– Klasa paketa se identifikuje neki_paket.neka_klasa

• Delovi opisa klase (blokovi) 

– Definicija klase classdef 

Opis klase 

– Atributi properties 

– Metode methods 

– DogaĊaji events 

classdef polynom 

% opis klase 

properties 

coef 

end 

methods 

function obj = polynom(a) 

% konstruktor 

... 

end 

function obj = set.coef(obj, val) 

... 

end 

... % ostale metode 

end 

end

Konstruktor 

• Konstruktor se uvek izvršava kod formiranja novog objekta 

• U starijim verzijama (pre v7.6) postavljao se tip 

obj = class(p,'polynom'); 

function obj = polynom(a) 

%POLYNOM Polynomial class constructor. 

% p = POLYNOM(v) creates a polynomial object from the vector v, 

% containing the coefficients of descending powers of x. 

if isa(a,'polynom') 

obj.coef = a.coef; 

else 

obj.coef = a(:).'; 

end 

end

Konverzije tipova 

• zahteva postojanje metode sa imenom klase u koju se dozvoljava 

konverzija 

• najĉešće upotrebljavane su konverzije u tipove double i char 

• display (ili disp) je metoda koja se poziva kod dodele vrednosti 

promenljivoj (a MATLAB izraz se ne završava sa “;”) 

function c = double(p) 

% POLYNOM/DOUBLE Convert polynom object to coefficient vector. 

% c = DOUBLE(p) coverts a polynomial object to the vector c 

% containing the coefficients of descending powers of x. 

c = p.coef; 

end 

» double(p) 

ans = 

1 0 -2 -5

Definisanje metoda klase 

• methods polynom - daje spisak motoda klase “polynom” 

• Konstruktor je metod istog imena kao i klasa 

• Destruktor je delete metod 

function q = diff(p) 

% POLYNOM/DIFF DIFF(p) is the derivative of the polynom p. 

c = p.coef; 

d = length(c) – 1; % degree 

q = polynom(p.c(1:d).*(d:–1:1)); 

end

Preopterećenje operatora 

• svi ugraĊeni aritmetiĉki operatori imaju svoje funkcije 

function r = plus(p,q) 

% POLYNOM/PLUS Implement p + q for polynoms. 

p = polynom(p); q = polynom(q); 

k = length(q.coef) – length(p.coef); 

r = polynom([zeros(1,k) p.coef] + [zeros(1,–k) q.coef]); 

end 

» q = p + 1 

q = 

x^3 – 2*x – 4 

» r = p*q 

r = 

x^6 – 4*x^4 – 9*x^3 + 4*x^2 + 18*x + 20 

• mogu se preopteretiti: 

aritmetiĉki, logiĉki, relacioni operatori, ”:”, transponovanje, ispis na 

displej, spajanje vrsta i kolona [], indeksiranje.

Prioritet metoda objekta 

• kod izraĉunavanja izraza a+b ili b+a poziva se metoda plus levog 

operanda 

• ukoliko je plus metod desnog operanda višeg prioriteta, tada će on biti 

izvršen 

• funkcije koje postavljaju objekat na željeno mesto u hijerarhiji 

objekata su: 

– superiorto(‘naziv_druge_klase’) i 

– inferiorto(‘naziv_druge_klase’) 

One se pozivaju u konstruktoru objekta.

Primer - polynom 

» a = polynom([1 2 3]) 

a = 

x^2 + 2*x + 3 

» r = roots(a) 

r = 

-1.0000 + 1.4142i 

-1.0000 - 1.4142i 

» y = a(0:0.5:2) % y = polyval(a, 0:0.5:2) 

y = 

3.0000 4.2500 6.0000 8.2500 11.0000 

» b = polynom([2 1]) 

b = 

2*x + 1 

» c = a*b + 2*b - 4 

c = 

2*x^3 + 5*x^2 + 12*x + 1 

» d = diff(c) 

d = 

6*x^2 + 10*x + 12 

» plot(c) -50 

-4 -2 0 2 4 

150 

100 

50 

0 

2*x 3 + 5*x 2 + 12*x + 1

» b = [2 1]; 

» c = a*b + 2*b - 4 

c = 

2*x^3 + 5*x^2 + 12*x + 1 

» d = c.diff 

d = 

6*x^2 + 10*x + 12 

» c.plot 

» c 

c = 

2*x^3 + 5*x^2 + 12*x + 1 

» p = double(c) 

p = 

2 5 12 1 

» p(2) 

ans = 

5 

» c(2) 

c = 

Još primera - polynom 

61 -50 

-4 -2 0 2 4 

150 

100 

50 

0 

2*x 3 + 5*x 2 + 12*x + 1

NasleĊivanje 

• kljuĉna osobina ponovne upotrebe koda u OOP 

• kada se objekat potomak izvede iz objekta roditelja, tada on nasledi 

sva polja strukture roditelja i može da izvršava njegove metode 

• objekat roditelja može izvršavati metode potomka koje je on nasledio, 

dok ne može izvršavati novouvedene metode 

• Tipovi nasleĊivanja 

– jednostruko - potomak nasleĊuje osobine samo jednog roditelja 

– višestruko - potomak nasleĊuje osobine više roditelja 

• nasleĊivanje se može protezati kroz nekoliko generacija

Jednostruko nasleĊivanje 

• klasa nasleĊuje atribute neke druge 

klase (roditeljske) i obiĉno dodaje 

nove atribute (podatke i metode) 

• objekat potomka sadrži ista polja 

kao i roditeljska klasa i obiĉno još 

neka 

• konstruktor klase potomka treba da 

– pozove konstruktor roditeljske 

klase 

– pozove funkciju class da 

objektu “nalepi etiketu” tipa 

klase i roditeljske klase 

(pre v7.6) 

L = roditeljska_klasa(Ny,Nu,Ts) 

sys = class(sys, ’naziv_klase', L) 

classdef Potomak < Roditelj 

properties 

neki_atribut_potomka = 0; 

… 

end 

methods 

function p = Potomak(a,b,c) 

p = p@Roditelj(b); 

… 

end 

… 

end 

end

Primer jednostukog nasleĊivanja

Višestruko nasleĊivanje 

• klasa potomak nasleĊuje sve atribute više od jedne roditeljske klase 

• klasa sadrži sva polja roditeljskih klasa i obiĉno dodaje nova 

• realizuje se preko konstruktora pozivom class funkcije (pre v7.6) 

obj = class(structure,'class_name',parent1,parent2,...) 

• ako roditeljske klase imaju iste nazive motoda, MATLAB će izvršavati 

metode roditelja koji je prvi naveden u listi funkcije class 

classdef Potomak < Roditelj_A & Roditelj_B 

… 

end

Primer višestrukog nasleĊivanja

Agregacija 

• se javlja kada jedan objekat A kao polje ima drugi objekat B i tada se 

kaže da A agregira B 

• Primer: objekat rational bi mogao da sadrži dva objekta tipa polynom 

kao brojilac i imenilac. 

• metode agregiranog objekta B se mogu izvršavati samo pozivom iz 

metoda objekta A, zapravo, agregirani objekat B nije dostupan za 

korisnika

Privatne metode ĉlanice klase 

• klasa može sadržati privetne metode 

(funkcije) koje nisu vidljive 

korisniku već samo ostalim 

metodama klase 

Pre ver. 7.6: 

• privatne metode se nalaze u 

poddirektorijumu private 

odgovarajućeg klasnog 

direktorijuma 

• private direktorijum može sadržati i 

druge funkcije koje ne rade nad 

objektom, ali vrše neko korisno 

izraĉunavanje 

classdef NekaKlasa 

properties 

neki_atribut = 12.34; 

… 

end 

properties (SetAccess = private) 

privatni_atribut = 0; 

… 

end 

… 

end

Šta ovde nedostaje? 

• opis funkcija za faktorisanje i dekompoziciju matrica; raĉunanje ranga, 

kondicionog broja, norme matrice 

• analza signala i filtriranje; FFT algoritam 

• rad sa grafikom 

• opis korisnih naredbi: echo, input, keyboard, pause, menu, feval, disp, ... 

• rad sa datotekama 

• rad sa Debugger-om 

• rad sa retkim matricama 

• detaljan opis funkcija � 

• i još štošta ... 

Kraj �

A1 Matlab

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?