x - Süleyman Demirel Üniversitesi
x - Süleyman Demirel Üniversitesi
x - Süleyman Demirel Üniversitesi
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
T.C.<br />
SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ<br />
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ<br />
SİNGÜLER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR<br />
DEĞER PROBLEMLERİ<br />
Pakize Neval ZEYNELGİL<br />
Danışman: Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU<br />
YÜKSEK LİSANS TEZİ<br />
MATEMATİK ANABİLİM DALI<br />
ISPARTA – 2008
İÇİNDEKİLER<br />
i<br />
Sayfa<br />
İÇİNDEKİLER………………………………………………………………………i<br />
ÖZET………………………………………………………………………………..iii<br />
ABSTRACT………………………………………………………………………....iv<br />
TEŞEKKÜR………………………………………………………………………….v<br />
SİMGELER DİZİNİ………………………………………………………………....vi<br />
1. GİRİŞ………………………………………………………………………………1<br />
2. TEMEL KAVRAMLAR…...……...………………………………………………3<br />
3.BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİ VE BESSEL DİFERANSİYEL<br />
DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ…………………….……………………………………...6<br />
3.1. Bessel Diferansiyel Denklemi……………………………………………………6<br />
3.2. Bessel Diferansiyel Denkleminin Çözümü………………………………………8<br />
3.3. Bessel Fonksiyonlarının İndirgeme Formülleri………………………………...14<br />
3.4. Hankel Fonksiyonları…………………………………………………………...15<br />
3.5. ν Tek Tam Sayının Yarısı İken Jν (x)<br />
Bessel fonksiyonu……………………..16<br />
3.6. Jν (x)<br />
ile J − ν (x)<br />
in Lineer Bağımsızlığı……………………………………….17<br />
3.7. Değiştirilmiş ( Modifiye ) Bessel Denklemi……………………………………20<br />
3.8. Jacobi Açılımı ve Bessel İntegrali………...……………………………………21<br />
3.9. Bessel Denklemine Dönüşebilen Denklemler………………………………….24<br />
3.10. Bessel-Fourier Açılımı………………………………………………………...27<br />
4. BESSEL KARESİ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ VE BU DENKLEM İÇİN<br />
LİM-4 DURUMU…………………………………………………………………...28<br />
4.1. Hamilton Sistem Formülü ve Regüler Sınır Koşulları………………………….29<br />
4.2. ‘S’ Dönüşümü ve Plücker Özdeşliği……………………………………………38<br />
4.3. Lim-4 Durumu Genel Teori…………………………………………………….40
4.4. Bessel Karesi Denkleminin Çözümleri…………………………………………44<br />
4.5. Lim-4 Durumunun Bessel Karesi Denklemine Uygulanması………………….52<br />
5. KAYNAKLAR…………………………………………………………………...57<br />
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………59<br />
ii
ÖZET<br />
Yüksek Lisans Tezi<br />
SİNGÜLER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR DEĞER<br />
PROBLEMLERİ<br />
Pakize Neval ZEYNELGİL<br />
<strong>Süleyman</strong> <strong>Demirel</strong> <strong>Üniversitesi</strong> Fen Bilimleri Enstitüsü<br />
Matematik Anabilim Dalı<br />
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.<br />
Jüri : Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU (Danışman)<br />
Prof. Dr. Sadulla JAFAROV<br />
Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN<br />
Birinci bölümde konunun tarihsel gelişimi verilmiştir.<br />
İkinci bölümde bazı temel kavramlar verilmiştir.<br />
Üçüncü bölümde Laplace denkleminin silindirik koordinatlardaki ifadesinden<br />
yararlanarak Bessel denklemi elde edilmiştir. Bessel denkleminin çözümleri olan<br />
Bessel fonksiyonları ve onların özellikleri üzerinde durulmuştur. Daha sonra Bessel<br />
denklemine dönüşebilen denklemler incelenmiş ve son olarak da Bessel fourier<br />
açılımı verilmiştir.<br />
Dördüncü bölümde Bessel karesi denklemi incelenmiştir. Dördüncü mertebeden<br />
diferansiyel denklem için Hamilton sistem formülü ve regüler sınır koşulları<br />
incelenmiştir. Son olarak da lim-4 durumunun genel teorisi verilerek, Bessel karesi<br />
denklemi çözülmüş ve Bessel karesi denklemi için lim-4 durumu incelenmiştir.<br />
Anahtar Kelimeler: Laplace Denklemi, Bessel Denklemi, Dördüncü Mertebeden<br />
Diferansiyel Denklem, Bessel Karesi Denklemi<br />
2008, 59 sayfa<br />
iii
ABSTRACT<br />
M. Sc. Thesis<br />
BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SINGULAR ORDINARY<br />
DIFFERENTİAL EQUATİONS<br />
Pakize Neval ZEYNELGİL<br />
<strong>Süleyman</strong> <strong>Demirel</strong> University Graduate School of Applied and Natural Sciences<br />
Mathematics Department<br />
Thesis Committee: Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU (Supervisor)<br />
Prof. Dr. Sadulla JAFAROV<br />
Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN<br />
This thesis consists of four chapters.<br />
In the first chapter, the historical progress of the subject is considered.<br />
In the second chapter, some essential definitios is given.<br />
In the third chapters, Bessel equation is obtained through the cylindrical coordinates<br />
of Laplace equation. In addition, Bessel functions which are the solutions of Bessel<br />
equation and their proporties are studied. At the end Fourier-Bessel expansions are<br />
obtained.<br />
In the fourth chapter, Bessel-squared equation is obtained. Hamiltonian system<br />
formulation and regular boundary condiations are studied for fourth order differential<br />
equation. At the end we obtain independent solutions of the Bessel-squared equation<br />
and wish to apply the teory to the Bessel-sqared operator that lim-4 case<br />
Key Words: Laplace Equation, Bessel Equation, Fourth Order Symmetric<br />
Differential Equation, Bessel-Squared Equation<br />
2008, 59 pages<br />
iv
TEŞEKKÜR<br />
Bu çalışmayı bana öneren, çalışmalarım süresince yakın ilgi ve yardımlarını<br />
esirgemeyen, değerli hocam Sayın Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU’na teşekkür<br />
ederim.<br />
Ayrıca tezimin her aşamasında maddi ve manevi desteklerini devamlı hissettiğim<br />
aileme en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.<br />
v<br />
Pakize Neval ZEYNELGİL<br />
ISPARTA, 2008
R Reel sayılar kümesi<br />
C Kompleks sayılar kümesi<br />
D (A)<br />
A’nın tanım kümesi<br />
L Maksimal operatör<br />
2<br />
∇ Laplace operatörü<br />
SİMGELER DİZİNİ<br />
J v (x)<br />
ν inci basamaktan 1 inci çeşit Bessel fonksiyonu<br />
I v (x)<br />
ν inci basamaktan 1 inci çeşit değiştirilmiş Bessel fonksiyonu<br />
γ Euler sabiti<br />
Yv (x)<br />
ν inci basamaktan 2 inci çeşit Bessel fonksiyonu (Weber Fonksiyonu)<br />
H v (x)<br />
ν inci basamaktan 3 üncü çeşit Bessel fonksiyonu (Hankel)<br />
Γ (v)<br />
Gamma fonksiyonu<br />
ω (λ)<br />
Özdeğer<br />
f (x)<br />
Özfonksiyon<br />
G ( x,.,<br />
λ)<br />
Green fonksiyonu<br />
vi
1.GİRİŞ<br />
Doğada gerçekleşen fiziksel olayların incelenmesi, kuantum mekanik ve kuantum<br />
fiziğin konularının oluşmasına yol açmıştır. Fizik alanındaki bu bilimsel gelişmeler<br />
matematik biliminin gelişmesinde büyük ölçüde etkili olmuştur.<br />
Tezde singüler adi diferansiyel denklemlerden biri olan Bessel denklemlerine yer<br />
verilmiştir. Bessel denklemleri ile matematiğin birçok dallarında matematiksel fizik,<br />
temel bilimler ve mühendislik bilimlerinin uğraşlarına giren pek çok problemin<br />
çözümünde karşılaşılır. Bessel fonksiyonlarına göre seri açılımı hem diferansiyel<br />
denklemler teorisi hem de fonksiyonlar ve seriler teorisi gibi dallarda sıkça<br />
kullanılmaktadır. Bessel fonksiyonları üzerindeki çalışmalar 19. yüzyılda Alman<br />
matematikçi Freidrich Wilhelm Bessel (1784-1846) tarafından yapılmıştır.<br />
Astronomik bir problem olan yerkürenin güneş etrafında dönme yörüngesinin<br />
bulunması ile uğraşırken Bessel denklemini ortaya çıkarmıştır. Zaman geçtikçe telin<br />
ve zarın titreşimleri gibi fiziksel olaylarda Bessel denklemine getirilmiştir. 20.<br />
yüzyılda ise bu denklem, kuantum mekanik ve kuantum fizik problemlerinde de sık<br />
sık kullanılmıştır.<br />
Ayrıca fiziğin ve mekaniğin pek çok problemi adi diferansiyel denklemler için sınır<br />
değer problemi ile bağlantılıdır. Bu problemler genellikle kısmi türevli denklemlerde<br />
değişkenleri ayrılması yöntemi (Fourier yöntemi) kullanıldıktan sonra adi<br />
diferansiyel denklemler için sınır değer problemine dönüşmektedir. Bu problemlerin<br />
singüler (tekil) diferansiyel denklemler için daha da önemli olduğu son yıllarda<br />
ortaya çıkmıştır. Tanım kümesi sınırlı ve katsayıları sürekli fonksiyonlar olan<br />
diferansiyel operatörlere regüler; tanım bölgesi sınırsız veya katsayıları (bazıları veya<br />
tamamı) integrallenebilir olmayan (veya her ikisi sağlanacak biçimde) diferansiyel<br />
operatörlere ise singüler denir. Singüler operatörler için spektral teori ilk olarak Weyl<br />
tarafından incelenmiştir. Daha sonra Rietsz, Neumann ve diğer matematikçiler<br />
tarafından simetrik ve self-adjoint operatörlerin genel spektral teorisi<br />
oluşturulmuştur.<br />
1
Dördüncü mertebeden Bessel denklemleri, Bessel denklemlerine ait sınır değer<br />
problemini ve Bessel karesi denklemini Everitt (2006-2007) ve Fulton (1988) yapmış<br />
oldukları çalışmalarında incelemişlerdir.<br />
Bu tezde Bessel karesi denklemi ele alınmış daha sonra bu denklem için özfonksiyon<br />
elde etme noktasına kadar analizler yapılmıştır. Son olarak da Lim-4 durumunun<br />
genel teorisi verilerek Bessel karesi denklemi için Lim-4 durumu incelenmiştir.<br />
2
2.TEMEL KAVRAMLAR<br />
Tanım 2.1: f ( x)<br />
ve g ( x)<br />
fonksiyonları bir x x ≤ a<br />
3<br />
− 0 aralığında birinci türevlere<br />
sahip olsunlar. Bu durumda W ( f , g)<br />
= f ( x)<br />
g′<br />
( x)<br />
− f ′ ( x)<br />
g(<br />
x)<br />
ifadesine ( x)<br />
g ( x)<br />
fonksiyonlarının wronskiyeni denir (Marchenko, 1986).<br />
f ve<br />
Tanım 2.2: (Hilbert uzayı) x , y,<br />
z elemanlarından oluşan herhangi bir cümle H<br />
olsun ve aşağıdaki aksiyomları sağlasın.<br />
1. H lineer kompleks uzay olsun<br />
2. H nin her x, y ikili elemanına karşılık gelen < x, y > kompleks sayısı için<br />
a) < x , y >= < y,<br />
x ><br />
b) x + x , y >=< x , y > + < x , y > , ( x , x ∈ H )<br />
< 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 2<br />
c) < λ x , y >= λ < x,<br />
y > (Her kompleks λ sayısı için)<br />
3. d( x,<br />
y)<br />
= x − y metriği anlamında H tamdır.<br />
4. Her n doğal sayısı için H de n sayıda lineer bağımsız eleman vardır. Yani<br />
H sonsuz boyutludur. Bu durumda, 1− 4 şartlarını sağlayan uzaya Soyut Hilbert<br />
Uzayı, 1− 3 şartlarını sağlayan uzaya ise Üniter Hilbert uzayı denir (Liusternik,<br />
1961).<br />
Tanım2.3: (Lineer Operatör) H Hilbert uzayının herhangi bir D ⊆ H lineer alt<br />
uzayı ve bir A operatörü için,<br />
A : D ⊆ H → H<br />
dönüşümü verilsin. Eğer α ∈ C ve her D x x , ∈ için<br />
1 2 ,α<br />
( α 1x1<br />
+ α 2 x2<br />
) = α1<br />
Ax1<br />
+ 2 Ax2<br />
A α<br />
eşitliği sağlanıyorsa A dönüşümüne lineer operatör, D ye ise A operatörünün tanım<br />
bölgesi denir ve D ( A ) ile gösterilir. A operatörünün değer kümesi de Im(A ) veya<br />
R (A)<br />
ile gösterilir (Naimark, 1968).<br />
Tanım2.4: H Hilbert uzayında tanımlanan bir lineer A operatörü için, her<br />
x ∈ H olmak üzere<br />
1<br />
2
Ax ≤ C<br />
eşitliğini sağlayacak şekilde bir C sayısı varsa A ya sınırlı operatör denir. Bu C<br />
sayılarının en küçüğüne A sınırlı operatörünün normu denir ve A ile gösterilir.<br />
4<br />
x<br />
A = sup Ax = sup<br />
x ≤1<br />
x ≠0<br />
eşitliği yardımı ile de normu hesaplayabiliriz (Naimark, 1968).<br />
Tanım:2.5: (Eşlenik Operatör) H hilbert uzayı ve A bu uzayda lineer bir operatör<br />
olmak üzere, A nın tanım kümesi D (A)<br />
, H kompleks Hilbert uzayında yoğun<br />
olsun. f , g ∈ D(<br />
A)<br />
için,<br />
eşitliğini sağlayan<br />
Af , g<br />
= f , A<br />
∗<br />
g<br />
Ax<br />
x<br />
∗<br />
A operatörüne A nın adjoint (eşlenik) operatörü denir. Bu<br />
eşitliği sağlayan g ∈ H vektörler kümesine<br />
gösterilir (Naimark, 1968).<br />
Eşlenik operatörü aşağıdaki şartları sağlar:<br />
∗∗<br />
(i ) A = A<br />
(ii )<br />
(iii )<br />
(iv )<br />
∗<br />
( λ A) = λA<br />
( A )<br />
( BA)<br />
∗ ∗ ∗<br />
+ B = A + B<br />
∗<br />
∗ ∗ ∗<br />
= B A<br />
∗<br />
(v ) A = A<br />
( A sınırlı ise) (Naimark, 1968).<br />
∗<br />
Tanım 2.6: (Self-adjoint Operatör) Eğer A = A<br />
operatör denir (Naimark, 1968).<br />
∗<br />
∗<br />
A ın tanım kümesi denir ve ( A )<br />
D ile<br />
ise, A ya self-adjoint (kendine eş)<br />
Tanım 2.7: L ( a,<br />
b)<br />
uzayı) ( a , b)<br />
aralığında karesi integrallenebilen fonksiyonların<br />
( 2<br />
Hilbert uzayına L ( a,<br />
b)<br />
2 uzayı denir.<br />
L<br />
2<br />
b ⎧<br />
= ⎨ ∫<br />
⎩ a<br />
( a,<br />
b)<br />
x()<br />
t : [ x()<br />
t ]<br />
2<br />
⎫<br />
dt〈∞⎬<br />
⎭
Bu uzay reel ise iç çarpım<br />
f ( x),<br />
g(<br />
x)<br />
= f ( x)<br />
g(<br />
x)<br />
dx<br />
şeklinde tanımlanır. Burada, f ( x)<br />
ve g( x)<br />
reel fonksiyonlarıdır (Naimark, 1968).<br />
Tanım 2.8: (Özdeğer, özfonksiyon) L lineer bir operatör olsun. Bu durumda A<br />
operatörünün tanım kümesinde<br />
Ay = λy<br />
olacak şekilde bir y ≠ 0 vektörü varsa λ sayısına A operatörünün özdeğeri, y<br />
vektörüne ise λ özdeğerine karşılık gelen özvektör denir.<br />
5<br />
b<br />
∫<br />
a
3. BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİ VE BESSEL DİFERANSİYEL<br />
DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ<br />
Frobenius seri metodu ile çözülebilen ikinci mertebeden değişken katsayılı<br />
diferansiyel denklemler arasında Bessel diferansiyel denkleminin önemi büyüktür.<br />
Matematiksel fizik, temel bilimler ve mühendislik bilimlerinin uğraşı alanına giren<br />
birçok problemin çözümünde bu denklem ve çözümü ile çok karşılaşılır. Bu<br />
bakımdan Bessel denklemi ve Bessel fonksiyonlarının incelenmesi oldukça önem<br />
taşımaktadır.<br />
3.1. Bessel Diferansiyel Denklemi<br />
Bessel diferansiyel denklemi,<br />
2 2 2<br />
2 ∂ V ∂ V ∂ V<br />
∇ V ≡ + + = 0<br />
(3.1)<br />
2 2 2<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
eşitliği ile verilen üç boyutlu Laplace denklemi için ( x , y,<br />
z)<br />
düzleminde ( u ,φ , z)<br />
silindirik koordinatları kullanılmak suretiyle elde edilebilir. Burada x, y ve z<br />
değişkenleri u ve φ ye bağlı olarak;<br />
x = u cosφ<br />
, y = u sinφ<br />
, z = z<br />
şeklinde tanımlanır ve bu dönüşümler ile ( u , z)<br />
6<br />
,φ silindirik koordinatlarına geçilirse;<br />
2<br />
2 2<br />
2 ∂ V 1 ∂V<br />
1 ∂ V ∂ V<br />
∇ V ≡ + + + = 0<br />
2<br />
2 2 2<br />
∂u<br />
u ∂u<br />
u ∂φ<br />
∂z<br />
(3.2)<br />
denklemi elde edilir. Bu denklemlerin çözüm yollarından biri olan, değişkenlerine<br />
ayırma yöntemi uygulanırsa, yani çözümün;<br />
( u,<br />
φ, z)<br />
= U ( u)<br />
Φ(<br />
) Z(<br />
z)<br />
V φ<br />
olduğu farz edilerek gerekli türevler alınırsa; türevler<br />
∂V<br />
=<br />
∂u<br />
2 2<br />
dU ∂ V d U<br />
ΦZ<br />
; = ΦZ<br />
;<br />
2 2<br />
du ∂u<br />
du<br />
2 2<br />
2 2<br />
∂ V d Φ ∂ V d Z<br />
= UZ ; = UΦ<br />
2 2<br />
2 2<br />
∂φ<br />
dφ<br />
∂z<br />
dz<br />
olarak bulunur. Bu türevler yukarıdaki (3.2) denkleminde yerine yazılırsa;
2<br />
2<br />
2<br />
d U 1 dU 1 d Φ d Z<br />
ΦZ + ΦZ<br />
+ UZ + UΦ<br />
=0<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
du u du u dφ<br />
dz<br />
denklemi elde edilir. ( u)<br />
Φ( ) Z(<br />
z)<br />
≠ 0<br />
denklemin her iki tarafı UΦ Z ile bölünürse;<br />
U φ olduğundan bulunan yukarıdaki son<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 d U 1 1 dU 1 1 d Φ 1 d z<br />
+ + + = 0<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
U du U u du u Φ dφ<br />
Z dz<br />
U ′<br />
1 U ′ 1<br />
+ + 2<br />
U u U u<br />
7<br />
Φ ′<br />
Z ′<br />
+ = 0<br />
Φ Z<br />
U ′<br />
1 U ′ 1 Φ ′<br />
Z ′<br />
+ + = −<br />
(3.3)<br />
2<br />
U u U u Φ Z<br />
eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafı yalnız z ye ve sol tarafı da yalnız u ve φ<br />
ye bağlı olması nedeniyle<br />
Z ′<br />
2<br />
= + λ<br />
Z<br />
olacağından<br />
2<br />
− λ gibi bir sabite eşit olabilir. Buradan;<br />
U ′<br />
1 U ′ 1<br />
+ + 2<br />
U u U u<br />
Z ′ − λ Z<br />
Φ ′<br />
2<br />
= −λ<br />
Φ<br />
2 =<br />
0<br />
2<br />
u ile çarpılırsa;<br />
(3.4)<br />
elde edilir. (3.4) de verilen denklemin her iki tarafı<br />
2 U ′<br />
U ′ Φ ′<br />
2 2<br />
u + u + = −λ<br />
u<br />
U U Φ<br />
bulunur. Burada gerekli düzenlemeler yapılırsa,<br />
2 U ′ U ′ 2 2 Φ ′<br />
u + u + λ u = −<br />
U U<br />
Φ<br />
elde edilir. Bu ifade de<br />
(3.5)<br />
şeklinde yazılabilir. Burada,<br />
Φ ′<br />
Φ<br />
= −V<br />
2<br />
olacağından<br />
2<br />
V sabitine eşit seçilsin. Bu durumda yukarıdaki denklem;<br />
U ′<br />
U<br />
U ′<br />
U<br />
2<br />
2 2 2<br />
u + u + λ u = −V<br />
(3.6)<br />
Φ ′ + V<br />
2<br />
Φ = 0<br />
elde edilir. Böylece son olarak elde edilen (3.6) denklemi<br />
2 2 2 ( u − ) = 0<br />
′ ′ λ U<br />
(3.7)<br />
2<br />
u U + uU<br />
+ ν
şeklinde yazılabilir. Burada λ u = x dönüşümü yapılırsa<br />
8<br />
x<br />
u = olması nedeniyle,<br />
λ<br />
U (u ) da y (x ) şeklini alabilir. U (u ) fonksiyonunun birinci ve ikinci türevleri<br />
alınırsa türevler;<br />
dU<br />
du<br />
=<br />
dU<br />
dx<br />
dx<br />
du<br />
dU dy<br />
= λ = λ<br />
dx dx<br />
2<br />
2<br />
d U d ⎛ dU ⎞ d ⎛ dy ⎞ dx 2 d y<br />
= 2 ⎜ ⎟ = ⎜λ<br />
⎟ = λ 2<br />
du dx ⎝ du ⎠ dx ⎝ dx ⎠ du dx<br />
olarak bulunur. Bu türevler (3.7) denkleminde yerine yazılırsa;<br />
d y<br />
dx<br />
bulunur. Yukarıdaki denklemden de;<br />
2 2<br />
2<br />
x ⎛ 2 d y ⎞ x ⎛ dy ⎞ ⎛ 2 x 2 ⎞<br />
+<br />
= 0<br />
2 ⎜<br />
⎜λ<br />
2 ⎟ + ⎜λ<br />
⎟ ⎜<br />
⎜λ<br />
−ν<br />
2 ⎟<br />
⎟y<br />
λ ⎝ dx ⎠ λ ⎝ dx ⎠ ⎝ λ ⎠<br />
dy<br />
dx<br />
2 2 ( x − ) = 0<br />
2<br />
2<br />
x + x 2 + ν y<br />
(3.8)<br />
2<br />
x y + xy<br />
+ ν<br />
2 2 ( x − ) = 0<br />
′ ′ y<br />
denklemi elde edilir. Bu denklem Bessel denklemi olarak bilinir ve çözümleri olan<br />
fonksiyonlara ν inci dereceden Bessel fonksiyonları veya silindirik fonksiyonlar<br />
denir.<br />
3.2. Bessel Diferansiyel Denkleminin Çözümü<br />
ν sabit sayı olmak üzere Bessel diferansiyel denklemi;<br />
2 2 ( x − ) = 0<br />
′ ′ y<br />
2<br />
x y + xy<br />
+ ν (3.9)<br />
şeklinde ifade edilir. Bessel denkleminde x = 0 noktası singüler (tekil) yani düzgün<br />
aykırı nokta olduğundan, bu denklemin çözümünü Frobenius metodu ile<br />
genelleştirilmiş kuvvet serisi şeklinde bulunur. Yani;<br />
p<br />
y x ∑<br />
k<br />
∞<br />
=<br />
= 0<br />
a<br />
k<br />
x<br />
k<br />
( a o ≠ 0)<br />
(3.10)<br />
serisi ile çözüm bulunabilir. Burada y nin birinci ve ikinci türevleri alınırsa;<br />
y<br />
′ = x<br />
p<br />
∞<br />
k = 0<br />
k −1<br />
( p k)<br />
a x<br />
∑ +<br />
k
y ′<br />
= x<br />
p<br />
∞<br />
∑<br />
k = 0<br />
k −2<br />
( p + k)(<br />
p + k −1)<br />
a x<br />
eşitlikleri bulunur. Bu türevler Bessel diferansiyel denkleminde yerlerine yazılırsa;<br />
2<br />
x<br />
∞<br />
∞<br />
ν<br />
∞<br />
k = 0<br />
k = 0<br />
k = 0<br />
∞<br />
∑ p + k<br />
∞<br />
k + p<br />
p + k −1<br />
ak<br />
x + ∑<br />
∞<br />
∞<br />
k + p<br />
k + p+<br />
2 2<br />
p + k ak<br />
x + ∑ ak<br />
x −ν<br />
∑<br />
k = 0<br />
k = 0<br />
k = 0<br />
k = 0<br />
k + p−2<br />
k + p−1<br />
2 2<br />
k + p<br />
∑(<br />
p + k)(<br />
p + k −1)<br />
ak<br />
x + x∑<br />
( p + k)<br />
ak<br />
x + ( x − ) ∑ ak<br />
x = 0<br />
k + p<br />
( )( ) ( ) a x = 0<br />
elde edilir. Buradan da;<br />
0<br />
2 2 p ( p ) x + a ( p + 1)<br />
2 2 p+<br />
1 p<br />
2 2<br />
k<br />
[ −ν<br />
] x + x { [ ( p + k)<br />
− ] a + a } x = 0<br />
a ν ν<br />
(3.11)<br />
− 1<br />
∑<br />
2<br />
∞<br />
k =<br />
eşitliği bulunur. Yukarıdaki eşitliğin sağlanması için x in kuvvetlerinin tüm<br />
katsayıları sıfıra eşit olmalıdır. Yani;<br />
k<br />
a<br />
1<br />
a<br />
0<br />
2 2 ( p −ν ) = 0<br />
2 2<br />
[ ( p + 1)<br />
−ν<br />
] = 0<br />
2 2<br />
[ ( p k)<br />
− ] + a = 0<br />
a ν<br />
+ k−2<br />
bağlantıları sağlanmalıdır. İlk eşitlikte a o sıfırdan farklı seçilebileceğinden<br />
2 2<br />
p −ν = 0 dan p = mν<br />
bulunur. Buradan a 0 ve<br />
9<br />
1 =<br />
2 2<br />
[ ( k)<br />
− ] a + a = 0;<br />
p ν k ≥ 2<br />
+ k k −2<br />
indirgeme formülü elde edilir ve k = 2,<br />
3...<br />
için<br />
k<br />
k<br />
k −2<br />
2 2<br />
[ ( p + 2) −ν<br />
] a2<br />
+ a0<br />
= 0 ⇒ ( p + ν + 2)(<br />
p −ν<br />
+ 2)<br />
a2<br />
= −a0<br />
2 ( p + 3) −<br />
2<br />
a + a = 0 ⇒ p + ν + 3 p −ν<br />
+ 3 a = −a<br />
[ ] 3 1 ( )( ) 3 1<br />
2 2<br />
[ ( p + 4) −ν<br />
] a4<br />
+ a2<br />
= 0 ⇒ ( p + ν + 4)(<br />
p −ν<br />
+ 4)<br />
a4<br />
= −a2<br />
2 [ ( p + 5) 2<br />
−ν<br />
] a5<br />
+ a3<br />
= 0 ⇒ ( p + ν + 5)(<br />
p −ν<br />
+ 5)<br />
a5<br />
= −a3<br />
ν (3.12)<br />
eşitlikleri yazılabilir. Bu ifadelerde görüldüğü gibi a , a ,...<br />
bağımsızdır. Bu durumda<br />
a<br />
.<br />
.<br />
.<br />
3 = a5<br />
= ... = a2n<br />
−1<br />
= ... = 0<br />
a 1,<br />
3 5 katsayıları 0<br />
k<br />
a dan
olur. Diğer katsayılar ise,<br />
a<br />
2k<br />
= +<br />
şeklinde 0<br />
= +<br />
a<br />
2<br />
= −<br />
( p + ν + 2)(<br />
p −ν<br />
+ 2)<br />
10<br />
a<br />
0<br />
a<br />
0<br />
a 4<br />
(3.13)<br />
( p + ν + 2)<br />
( p + ν + 4)<br />
( p −ν<br />
+ 2)<br />
( p −ν<br />
+ 4)<br />
.<br />
.<br />
.<br />
k ( −1)<br />
a0<br />
( p + ν + 2)(<br />
p + ν + 4)<br />
... ( p + ν − 2k)(<br />
p −ν<br />
+ 2)(<br />
p −ν<br />
+ 4)(<br />
p −ν<br />
+ 2k)<br />
a katsayısına bağlı olarak bulunur. p = ν olarak alınırsa, katsayılar;<br />
a<br />
4<br />
a<br />
2<br />
= −<br />
a2 k = − 2k<br />
2<br />
= −<br />
2 4<br />
k!<br />
olarak elde edilir. Bu durumda çözüm;<br />
2 2<br />
2!<br />
1!<br />
a<br />
0<br />
( ν + 1)<br />
a<br />
0<br />
( ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
.<br />
.<br />
.<br />
2k<br />
( −1)<br />
a0<br />
( ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
... ( ν + k)<br />
2<br />
4<br />
ν ⎧ x<br />
x<br />
y = a0<br />
x ⎨1<br />
− +<br />
− ...<br />
⎩ 2<br />
( ) ( )( ) ⎭ ⎬⎫<br />
2ν<br />
+ 2 2.<br />
4 2ν<br />
+ 2 2ν<br />
+ 4<br />
( ) ( )( ) ⎭ ⎬⎫<br />
2<br />
4<br />
ν ⎧ x<br />
x<br />
y = a0<br />
x ⎨1<br />
− +<br />
− ...<br />
(3.14)<br />
2<br />
4<br />
⎩ 2 ν + 1 2 2!<br />
ν + 1 ν + 2<br />
olarak bulunur. Burada a 0 katsayısı için özel bir değer seçilir. Bu özel değer Gamma<br />
fonksiyonudur. Faktöriyel fonksiyonunun genelleştirmesi olan Gamma fonksiyonu;<br />
( + 1) = ν Γ ( ν ) = ν ( ν − 1)<br />
Γ ( − 1)...<br />
Γ ν ν (ν reel)<br />
olarak tanımlanır (Karaoğlu, 1998). Tamsayılı argüman için Gamma fonksiyonu<br />
faktöriyele dönüşür. Yani;
Γ<br />
( ν + 1) = ν Γ ( ν ) = ν ( ν − 1)<br />
Γ ( ν − 2 ) = ... = ν !<br />
olarak yazılabilir. Buna göre a 0 özel olarak,<br />
1<br />
a 0 = ν<br />
(3.15)<br />
2 Γ<br />
( ν + 1)<br />
biçiminde seçilirse, yukarıda a2 k ile verilen ifade de a 0 yerine yazılırsa diğer<br />
katsayılar bulunur. Bu durumda diğer katsayılar;<br />
a2k = − 2k<br />
2<br />
ν<br />
2 k!<br />
Γ<br />
k ( −1)<br />
( ν + 1)(<br />
ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
... ( ν + k)<br />
11<br />
= 2k<br />
+ ν<br />
2<br />
k<br />
k ( −1)<br />
! Γ(<br />
k + ν + 1)<br />
şeklinde ifade edilir. Gamma fonksiyonu, tüm pozitif ν değerleri ve tüm pozitif<br />
kompleks değerler için belirlenir. Γ ( ν ) fonksiyonu integralle;<br />
Γ<br />
∞<br />
−x<br />
ν −1<br />
( ν ) = e x dx<br />
∫<br />
0<br />
olarak da ifade edilir. (3.15) eşitliği ile gösterilen a 0 değeri (3.14) ile ifade edilen<br />
çözümde yerine yazılırsa;<br />
ν<br />
2<br />
4<br />
x ⎧ x<br />
x<br />
y = 1−<br />
+<br />
− ...<br />
ν<br />
2 Γ ⎩<br />
( ) ( ) ( )( ) ⎭ ⎬⎫<br />
⎨ 2<br />
4<br />
ν + 1 2 ν + 1 2 2!<br />
ν + 1 ν + 2<br />
çözümü elde edilir. Buradan Jν ( x)<br />
fonksiyonu;<br />
∑ ∞<br />
=<br />
k = 0<br />
2k<br />
+ ν<br />
k ⎛ x ⎞<br />
( −1)<br />
⎜ ⎟<br />
( ) ⎝ 2<br />
J<br />
⎠<br />
ν x<br />
(3.16)<br />
k!<br />
Γ<br />
( k + ν + 1)<br />
şeklinde bulunur. Bu fonksiyona birinci çeşit ν inci dereceden Bessel fonksiyonu<br />
denir ve Jν ( x)<br />
ile gösterilir. Burada ν > 0 olup x in her sonlu değeri için (3.16)<br />
yakınsaktır. İkinci çözümü bulmak için; (3.13) ifadelerinde p = −ν<br />
alınarak<br />
katsayılar elde edilir ve bu katsayılar (3.14) ile ifade edilen çözümde yerine<br />
yazıldığında;<br />
bulunur.<br />
y = a<br />
ν < 0 için çözüm;<br />
⎧<br />
⎨ −<br />
⎩ 2<br />
2<br />
−ν<br />
0 x 1 2 + 4<br />
1<br />
a 0 = olarak alınırsa<br />
−ν<br />
2 Γ<br />
( −ν<br />
+ 1)<br />
x<br />
− ...<br />
( ) ( )( ) ⎭ ⎬⎫<br />
−ν<br />
+ 1 2 2!<br />
−ν<br />
+ 1 −ν<br />
+ 2<br />
x<br />
4
∑ ∞<br />
=<br />
k = 0<br />
12<br />
2k<br />
−ν<br />
k ⎛ x ⎞<br />
( −1)<br />
⎜ ⎟<br />
− ( ) ⎝ 2<br />
J<br />
⎠<br />
ν x<br />
(3.17)<br />
k!<br />
Γ<br />
( −ν<br />
+ k + 1)<br />
şeklinde elde edilir. Eğer ν tamsayı değilse bu iki çözüm birbiriyle lineer<br />
bağımsızdır. O halde ν ∉ Ζ iken A ve B keyfi sabitler olmak üzere Bessel<br />
denkleminin genel çözümü;<br />
şeklinde ifade edilebilir.<br />
( x)<br />
= AJ ( x)<br />
+ BJ ( x)<br />
y ν −ν<br />
ν =0 İken Bessel Denkleminin Çözümü<br />
ν = 0 için (3.9) ile ifade edilen Bessel denklemi;<br />
şekline dönüşür. (3.14) den de çözüm,<br />
x<br />
2<br />
( 0 ) 0<br />
2 2<br />
x − =<br />
y′<br />
′ + xy′<br />
+ y<br />
x<br />
2<br />
2<br />
y′<br />
′ + xy′<br />
+ x y = 0<br />
( ) ( ) ( ) ⎭ ⎬⎫<br />
2<br />
p ⎧ x<br />
y = a0<br />
x ⎨1<br />
−<br />
2<br />
⎩ p + 2<br />
4<br />
x<br />
+<br />
−...<br />
2 2<br />
p + 2 p + 4<br />
(3.18)<br />
2 2<br />
olarak bulunur. p −ν = 0 dan ν = 0 için p = 0 bulunur. Yukarıdaki denklemde<br />
p = 0 yazılırsa,<br />
2 4<br />
⎧ x x ⎫<br />
y = a0<br />
⎨1<br />
− + − ...<br />
2 2 2 ⎬<br />
⎩ 2 2 4 ⎭<br />
= a<br />
= a<br />
0<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
∑ ∞<br />
0<br />
k = 0<br />
y =<br />
a0<br />
J 0<br />
2<br />
4<br />
x x ⎫<br />
− + − ...<br />
2<br />
⎬<br />
1!<br />
2 2!<br />
22 ⎭<br />
1 2<br />
2 k<br />
k ⎛ x ⎞<br />
( −1)<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
k!<br />
Γ(<br />
k + 1)<br />
( x)
elde edilir. Burada J 0 ( x)<br />
fonksiyonu 0 ıncı dereceden 1 inci çeşit Bessel<br />
dy<br />
fonksiyonudur. p 1 = 0, p2<br />
= 0 ise ikinci çözüm, y( x)<br />
= dan bulunur (Uyhan,<br />
dp<br />
13<br />
p=<br />
0<br />
1999). (3.18) eşitliğinin her iki yanının p ye göre türevi alınırsa,<br />
dy d ⎪⎧<br />
⎡ p<br />
= ⎨a0x<br />
⎢1−<br />
dp dp⎪⎩<br />
⎣<br />
⎧ p<br />
= a0x<br />
lnx⎨1<br />
−<br />
⎩<br />
⎧ p<br />
+ a0x<br />
⎨<br />
⎩<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( p+<br />
2)<br />
( p+<br />
2)<br />
( p+<br />
4)<br />
2<br />
2<br />
( p+<br />
2)<br />
( p+<br />
2)<br />
( p+<br />
4)<br />
2<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
−<br />
+<br />
+<br />
x<br />
4<br />
⎞<br />
⎟+<br />
...<br />
⎠<br />
( ) ( ) ( ) ⎭ ⎬⎫<br />
2<br />
2 2<br />
p+<br />
2 p+<br />
2 p+<br />
2 p+<br />
4 p+<br />
2 p+<br />
4<br />
x<br />
x<br />
4<br />
4<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎤⎪⎫<br />
−...<br />
⎥⎬<br />
⎦⎪⎭<br />
⎫<br />
−...<br />
⎬<br />
⎭<br />
bulunur (Uyhan,1999). Burada p = 0 değeri yerine konursa,<br />
2 4<br />
2 4<br />
dy ⎧ x x ⎫ ⎧x<br />
2 x ⎛ 2 2⎞<br />
⎫<br />
= a0<br />
lnx⎨1 − + −...<br />
⎬+<br />
a ⎨ − ⎜ + ⎟+<br />
...<br />
2 2 2<br />
0 2 2 2 ⎬<br />
dp ⎩ 2 2 4 ⎭ ⎩2<br />
2 2 4 ⎝2<br />
4⎠<br />
⎭<br />
elde edilir. J 0 ( x)<br />
fonksiyonu;<br />
2 4<br />
⎧ x x ⎫<br />
J 0 ( x)<br />
= a0<br />
⎨1<br />
− + − ...<br />
2 2 2 ⎬<br />
⎩ 2 2 4 ⎭<br />
şeklinde ifade edilmektedir ve Y0 ( x)<br />
fonksiyonu da;<br />
+<br />
2<br />
(3.19)<br />
2 4 ⎧ x x ⎛ 1 ⎞ ⎫<br />
Y 0 ( x)<br />
= ln xJ 0 ( x)<br />
+ ⎨ − ⎜1+<br />
⎟ + ...<br />
2 2 2 ⎬<br />
(3.20)<br />
⎩2<br />
2 4 ⎝ 2 ⎠ ⎭<br />
olduğundan (3.19) ifadesi<br />
⎛ dy ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dp ⎠<br />
olur. Bu durumda,<br />
p=<br />
0<br />
= a<br />
xJ<br />
( x)<br />
⎧ x<br />
+ a0<br />
⎨<br />
⎩2<br />
4<br />
x<br />
− 2<br />
2 4<br />
0 ln 0<br />
2 2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
dy<br />
dp<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
p=<br />
0<br />
2<br />
= a Y<br />
0<br />
0<br />
( x)<br />
⎛ 1 ⎞ ⎫<br />
⎜1+<br />
⎟ + ... ⎬<br />
⎝ 2 ⎠ ⎭<br />
bulunur (Uyhan, 1999). Y0 ( x)<br />
fonksiyonuna 0 ıncı dereceden 2 inci çeşit Bessel<br />
fonksiyonu denir. ν tamsayı iken Bessel denkleminin genel çözümünün
ulunabilmesi için ikinci lineer bağımsız özel çözümün bulunması gerekir. Bu çözüm<br />
Yν (x)<br />
ile gösterilir ve Yν (x)<br />
fonksiyonu;<br />
cosνπJν ( x)<br />
− J −ν<br />
( x)<br />
Yν<br />
( x)<br />
=<br />
sinνπ<br />
(3.21)<br />
şeklinde tanımlanmıştır. Yν ( x)<br />
fonksiyonu Jν ( x)<br />
ve J − ν ( x)<br />
fonksiyonlarının bir<br />
lineer birleşimi olduğundan Bessel denkleminin çözümü olduğu görülür. (3.21) ile<br />
tanımlanan Yν ( x)<br />
fonksiyonuna 2 inci cins ν dereceden Bessel fonksiyonu veya<br />
Weber fonksiyonu denilir (Yıldız, 2000). Sonuç olarak A ve B keyfi sabitler olmak<br />
üzere Bessel denkleminin genel çözümü;<br />
şeklinde ifade edilir.<br />
( x)<br />
= AJ ( x)<br />
+ BY ( x)<br />
y ν<br />
ν<br />
3.3. Bessel Fonksiyonlarının İndirgeme Formülleri<br />
Bessel fonksiyonları arasındaki bazı indirgeme formülleri aşağıda verilmiştir.<br />
ν ( x)<br />
= ( −1)<br />
J ( x)<br />
− ν = 1,<br />
2,<br />
3...<br />
dir. (3.22)<br />
J ν<br />
ν<br />
d<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
ν<br />
ν<br />
{ x J ( x)<br />
} x J ( x)<br />
ν<br />
= ν −1<br />
−ν<br />
−ν<br />
{ x J ( x)<br />
} −x<br />
J ( x)<br />
ν<br />
= ν + 1<br />
( x)<br />
= J ( x)<br />
− J ( x)<br />
J ′ ν −1<br />
ν 1<br />
14<br />
(3.23)<br />
(3.24)<br />
2 ν +<br />
(3.25)<br />
J ′ = −J<br />
(3.26)<br />
0<br />
1<br />
2ν<br />
− 1 ( x)<br />
+ Jν<br />
+ 1(<br />
x)<br />
= J<br />
x<br />
( x)<br />
(3.27)<br />
x J x = 2J<br />
′ x<br />
Jν ν<br />
( ) − ν + 1(<br />
) ( )<br />
( x)<br />
− J ( x)<br />
= xJ<br />
( x)<br />
Jν −1<br />
ν<br />
(3.28)<br />
xJν ν ′<br />
ν<br />
ν<br />
−1 (3.29)<br />
( r −1)<br />
( r)<br />
r.<br />
Jν ( x)<br />
= Jν<br />
−r<br />
( x)<br />
− rJν<br />
−r<br />
+ 2 ( x)<br />
+ Jν<br />
−r<br />
+<br />
ν + r<br />
2!<br />
r<br />
2 4<br />
Benzer indirgeme bağıntıları ( x)<br />
J ν<br />
r<br />
( x)<br />
− ... + ( −1)<br />
J ( x)<br />
− Bessel fonksiyonu içinde elde edilebilir.<br />
(3.30)
3.4. Hankel Fonksiyonları<br />
Hankel fonksiyonları üçüncü çeşit Bessel fonksiyonları olarak isimlendirilir. Hankel<br />
fonksiyonları birinci çeşit Bessel fonksiyonu Jν ( x)<br />
ve ikinci çeşit Bessel fonksiyonu<br />
Yν ( x)<br />
ye bağlı olarak;<br />
H<br />
( 1)<br />
ν<br />
( x)<br />
J ( x)<br />
+ iY<br />
( x)<br />
15<br />
( x)<br />
− J ( x)<br />
−νπi<br />
e Jν<br />
−ν<br />
= ν<br />
ν = i<br />
(3.31)<br />
sinνπ<br />
( x)<br />
− J ( x)<br />
νπi<br />
( 2)<br />
e Jν<br />
−ν<br />
Hν<br />
( x)<br />
= Jν<br />
( x)<br />
− iYν<br />
( x)<br />
= −i<br />
sinνπ<br />
(3.32)<br />
şeklinde ifade edilir (Koronev, 2002). Yukarıdaki fonksiyonlar sırasıyla ν inci<br />
dereceden birinci ve ikinci çeşit Hankel fonksiyonları olarak isimlendirilir (Koronev,<br />
2002). Ayrıca bu fonksiyonlar Bessel denkleminin lineer bağımsız çözümleridir.<br />
Özellikle büyük x ler ( x → ∞)<br />
için asimptotik tanımların basitliği nedeniyle birçok<br />
uygulamada kullanılır. Yukarıda ifade edilen ν inci dereceden birinci ve ikinci çeşit<br />
Hankel fonksiyonları kullanılarak aşağıdaki bağıntılar elde edilebilir.<br />
( x)<br />
1 (<br />
ν ve H ( x)<br />
) 2 (<br />
H )<br />
ν ile ifade edilen fonksiyonlar taraf tarafa toplanırsa;<br />
( 2)<br />
( x)<br />
+ H ( x)<br />
= 2J<br />
( x)<br />
( 1)<br />
Hν ν<br />
ν<br />
[ ]<br />
1 ( 1)<br />
( 2)<br />
Jν<br />
( x)<br />
= Hν<br />
( x)<br />
+ Hν<br />
( x)<br />
(3.33i)<br />
2<br />
ifadesi elde edilir. Taraf tarafa çıkarılırlarsa da;<br />
( 2)<br />
( x)<br />
− H ( x)<br />
= 2iY<br />
( x)<br />
( 1)<br />
Hν ν<br />
ν<br />
[ ]<br />
1 ( 1)<br />
( 2)<br />
Yν<br />
( x)<br />
= Hν<br />
( x)<br />
− Hν<br />
( x)<br />
(3.33ii)<br />
2i<br />
iνπ<br />
elde edilir. Yine burada ν inci mertebeden birinci çeşit Hankel fonksiyonu e ve<br />
ikinci çeşit Hankel fonksiyonu da<br />
elde edilir. ≠ n<br />
J<br />
e<br />
− ν<br />
iνπ<br />
H<br />
ν ( N )<br />
iνπ<br />
e −<br />
ile çarpılıp taraf tarafa toplanırsa;<br />
( 1)<br />
−iνπ<br />
( 2)<br />
( x)<br />
+ e H = 2J<br />
( x)<br />
ν<br />
ν<br />
−ν<br />
[ ]<br />
1<br />
= ν<br />
ν<br />
(3.33iii)<br />
2<br />
i νπ ( 1)<br />
−iνπ<br />
( 2)<br />
( x)<br />
e H ( x)<br />
+ e H ( x)<br />
n ∈ için burada elde edilen fonksiyonlarda Bessel<br />
0<br />
denkleminin bir temel çözüm sistemini oluşturur (Tuncer, 1997).
3.5. ν tek Tamsayının Yarısı iken Jν ( x)<br />
Bessel Fonksiyonu<br />
(3.16) ile ifade edilen Jν ( x)<br />
fonksiyonunda<br />
J<br />
1<br />
2<br />
( x)<br />
( −1)<br />
16<br />
1<br />
ν = alınırsa,<br />
2<br />
∞<br />
⎛ x ⎞<br />
= ∑<br />
⎜ ⎟<br />
k = 0 ⎛ 3 ⎞ 2<br />
k!<br />
Γ k<br />
⎝ ⎠<br />
⎜ + ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
fonksiyonu elde edilir. Burada Gamma fonksiyonu;<br />
k<br />
1<br />
+ 2k<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛<br />
1 ⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
Γ⎜k + 1 + ⎟ = Γ⎜1+<br />
⎟⎜<br />
+ 1⎟⎜<br />
+ 2⎟...<br />
⎜ + k ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝<br />
2 ⎠⎝<br />
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
olarak yazılır.<br />
⎛ 3 ⎞<br />
Γ ⎜ ⎟ =<br />
⎝ 2 ⎠<br />
π<br />
olduğu göz önünde bulundurulsun. Bu durumda<br />
2<br />
yukarıdaki Gamma fonksiyonu;<br />
( 2k<br />
+ 1)<br />
⎛ 1 ⎞ 1.<br />
2.<br />
3...<br />
Γ⎜k<br />
+ 1+<br />
⎟ = π<br />
⎝ 2 ⎠ 2.<br />
2.<br />
2...<br />
2<br />
şeklinde ifade edilir. Yukarıdaki eşitliğin pay ve paydası 2. 4.<br />
6...(<br />
2k<br />
) = 2k.<br />
k!<br />
ile<br />
çarpılırsa;<br />
⎛ 1 ⎞<br />
Γ⎜ + + ⎟ = π<br />
⎝ 2 ⎠<br />
( 2k<br />
+ 1)<br />
k 1 2k<br />
+ 1<br />
eşitliği elde edilir (Tuncer, 1997). Bu eşitlik J ( x)<br />
J<br />
1<br />
2<br />
( x)<br />
2<br />
π x<br />
= ∑ ∞<br />
k = 0<br />
2<br />
k 2k<br />
( −1)<br />
x<br />
( 2k<br />
+ 1)<br />
fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun türevi alınırsa;<br />
fonksiyonu elde edilir.<br />
J<br />
dx<br />
2<br />
!<br />
k!<br />
1 fonksiyonunda yerine yazılırsa;<br />
+ 1<br />
!<br />
=<br />
2<br />
sin x<br />
πx<br />
(3.34)<br />
2 1 2<br />
J ′ 1 ( x)<br />
= cos x − cos x<br />
(3.35)<br />
π x x 2πx<br />
2<br />
( x)<br />
ν J<br />
= ν −1 − formülü kullanılarak<br />
x<br />
d ν<br />
ν ( x)<br />
J ( x)<br />
1<br />
d 2<br />
1 ( x)<br />
= J 1 ( x)<br />
−<br />
2<br />
−1<br />
x<br />
2<br />
J<br />
dx<br />
1<br />
2<br />
J<br />
( x)
J ′<br />
1<br />
2<br />
( x)<br />
= J ( x)<br />
− J ( x)<br />
1<br />
−<br />
2<br />
17<br />
1<br />
2x<br />
eşitliği bulunur (Koronev, 2002). Bu eşitlik x ile çarpılırsa;<br />
x J ′<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
( x)<br />
= x J ( x)<br />
− J ( x)<br />
1<br />
−<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
x J ′ 1 ( x)<br />
+ J 1 ( x)<br />
= x J 1 ( x)<br />
(3.36)<br />
2<br />
−<br />
2<br />
2<br />
eşitliği elde edilir. (3.34) ve (3.35) fonksiyonları, yukarıda yerine yazılırsa, ( )<br />
fonksiyonu;<br />
⎛<br />
x⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 1<br />
cos x −<br />
πx<br />
x<br />
1 ⎞ 1<br />
cos x⎟<br />
+<br />
2πx<br />
⎟<br />
⎠ 2<br />
2<br />
2<br />
sin x = xJ<br />
πx<br />
2 1 1 1 2<br />
cos x − cos x + sin x = J 1<br />
πx<br />
x 2πx<br />
2x<br />
πx<br />
−<br />
2<br />
olarak bulunur. ν ∈ Z olmak üzere<br />
fonksiyonları cinsinden;<br />
J<br />
J<br />
( x)<br />
=<br />
2<br />
J 1 cos<br />
− πx<br />
2<br />
( x)<br />
= x<br />
1<br />
ν +<br />
2<br />
ν ( −1)<br />
( 2x)<br />
1<br />
−<br />
2<br />
( x)<br />
( x)<br />
J 1 x<br />
−<br />
2<br />
J Bessel fonksiyonları sinüs ve cosinüs<br />
1<br />
ν +<br />
2<br />
2 ( dx )<br />
⎛ sin x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
ν +<br />
ν<br />
x<br />
2 π<br />
( x)<br />
şeklinde elde edilir (Koronev, 2002).<br />
=<br />
ν ( −1)<br />
( 2x)<br />
1<br />
ν +<br />
2<br />
d<br />
ν<br />
2 ( dx )<br />
⎛ cos x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
−ν −<br />
ν<br />
x<br />
2 π<br />
3.6. Jν ( x)<br />
ile J − ν ( x)<br />
in lineer bağımsızlığı<br />
1 = J ( x)<br />
ile y = J −ν<br />
( x)<br />
y ν<br />
d<br />
ν<br />
2 fonksiyonlarının lineer bağımsızlığı için wronskiyenin<br />
sıfırdan farklı olması gerekir. Wronskiyen;
W ( y1<br />
, y2<br />
) =<br />
y1<br />
y′<br />
1<br />
y2<br />
y′<br />
2<br />
ile ifade edilir. Bu durumda Jν ( x)<br />
ve J − ν ( x)<br />
fonksiyonları için wronskiyen;<br />
W ( y1<br />
, y2<br />
) = W [ Jν<br />
( x)<br />
, J −ν<br />
( x)<br />
]<br />
Jν<br />
( x)<br />
=<br />
J ′ ν ( x)<br />
J −ν<br />
( x)<br />
J ′ −ν<br />
( x)<br />
J ( x)<br />
J ′ ν − ν ( x)<br />
− J ν ( x)<br />
J ′ − −ν<br />
( x)<br />
şeklinde bulunur. J − ν ( x)<br />
ve ( x)<br />
olduğundan (3.9) denklemi sağlanmalıdır. J − ν ( x)<br />
ve ( x)<br />
denkleminde yerine yazılırsa;<br />
= . (3.37)<br />
J ν fonksiyonları, Bessel denkleminin çözümü<br />
18<br />
J ν fonksiyonları, (3.9)<br />
2<br />
1 ⎛ ν ⎞<br />
J ′′ ′<br />
−ν + J −ν<br />
+ ⎜<br />
⎜1−<br />
= 0<br />
2 ⎟<br />
⎟J<br />
−ν<br />
(3.38i)<br />
x ⎝ x ⎠<br />
2<br />
1 ⎛ ν ⎞<br />
J ′′ + ′ + ⎜<br />
⎜1−<br />
= 0<br />
2 ⎟<br />
ν Jν<br />
Jν<br />
(3.38ii)<br />
x ⎝ x ⎠<br />
denklemleri elde edilir. Yukarıdaki denklemlerden birincisi ν J ile ikincisi de −ν<br />
ile çarpılırsa,<br />
J ′<br />
1<br />
+ J ′ −<br />
x<br />
2 ⎛ ν ⎞<br />
+ ⎜<br />
⎜1−<br />
2 ⎟<br />
⎟J<br />
⎝ x ⎠<br />
′ −ν Jν<br />
ν Jν<br />
−ν<br />
Jν<br />
= 0<br />
2<br />
1 ⎛ ν ⎞<br />
J ′ ′<br />
ν J −ν + Jν<br />
J −ν<br />
+ ⎜<br />
⎜1−<br />
= 0<br />
2 ⎟<br />
⎟Jν<br />
J −ν<br />
x ⎝ x ⎠<br />
denklemleri bulunur. Bu denklemler taraf tarafa çıkarılırsa da;<br />
[ J J ′ − J J ′ ] = 0<br />
J ′ − ′<br />
ν J ν J −ν<br />
Jν<br />
denklemi elde edilir. Bu da;<br />
1<br />
+<br />
x<br />
ν −ν<br />
−<br />
d<br />
dx<br />
− ν ν<br />
1<br />
x<br />
[ J J − J J ′ ] + [ J J ′ − J ′ J ] = 0<br />
ν<br />
′ −ν −ν<br />
ν<br />
ν −ν<br />
−ν<br />
ν<br />
dw w<br />
demektir. Buna göre + = 0 olup integrasyonla<br />
dx x<br />
w<br />
( x)<br />
( ν )<br />
J<br />
(3.39)<br />
C<br />
= (3.40i)<br />
x
( ν ) x[<br />
J J ′ − J J ]<br />
C ′<br />
= ν − ν −ν<br />
ν<br />
(3.40ii)<br />
eşitlikleri yazılır. Burada x → 0 yapılarak C ( ν ) belirlenebilir (Tuncer, 1997).<br />
Bunun için,<br />
ve x → 0 için,<br />
ve benzer biçimde<br />
J<br />
ν<br />
∞<br />
( x)<br />
( −1<br />
)<br />
= ∑<br />
k = 0<br />
ν<br />
k<br />
k!<br />
Γ<br />
1<br />
( k + ν + 1)<br />
∞<br />
⎛ x ⎞ 1<br />
= ⎜ ⎟ +<br />
⎝ ⎠ Γ(<br />
ν + ) ∑<br />
2 1 k = 1<br />
ν<br />
19<br />
( −1)<br />
⎛ x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
k<br />
2k<br />
+ ν<br />
k!<br />
Γ<br />
2 ( 1 0(<br />
x )<br />
1<br />
( k + ν + 1)<br />
⎛ x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
2k<br />
+ ν<br />
⎛ x ⎞ 1<br />
J ν ( x)<br />
= ⎜ ⎟ +<br />
(3.41)<br />
⎝ 2 ⎠ Γ(<br />
ν + 1)<br />
ν −1<br />
2 ( 1 0(<br />
x )<br />
⎛ x ⎞<br />
J ′ ν ( x)<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
1<br />
2Γ(<br />
ν )<br />
+<br />
(3.42)<br />
yazılabilir. x = ν yerine –ν almakla x → 0 için<br />
−ν<br />
2 ( 1 0(<br />
x )<br />
⎛ x ⎞ 1<br />
J −ν<br />
( x)<br />
= ⎜ ⎟<br />
+<br />
(3.43)<br />
⎝ 2 ⎠ Γ(<br />
1−ν<br />
)<br />
−ν<br />
−1<br />
2 ( 1 0(<br />
x )<br />
x<br />
J ′<br />
⎛ ⎞<br />
−ν<br />
( x)<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
1<br />
2Γ(<br />
−ν<br />
)<br />
+<br />
(3.44)<br />
dir (Koronev, 2002). (3.41), (3.42), (3.43), (3.44) ifadeleri (3.40ii) de yerine konursa;<br />
ν ⎡⎛<br />
x ⎞ 1<br />
⎢⎜<br />
⎟<br />
⎢⎝<br />
2 ⎠ Γ 1<br />
C (v)<br />
= x⎢<br />
−ν<br />
⎢ ⎛ x ⎞ 1<br />
− ⎜ ⎟<br />
⎢<br />
⎣ ⎝ 2 ⎠ Γ 1<br />
⎡⎛<br />
x⎞<br />
= x⎢⎜<br />
⎟<br />
⎢⎣<br />
⎝ 2⎠<br />
−1<br />
Γ<br />
( + ν )<br />
( −ν<br />
)<br />
1<br />
2 ( 1+<br />
O(<br />
x )<br />
( 1+<br />
ν ) 2Γ(<br />
−ν<br />
)<br />
−ν<br />
−1<br />
⎛ x ⎞ 1<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ 2Γ<br />
ν −1<br />
⎛<br />
⎜<br />
2 ⎛ x ⎞ 1<br />
1+<br />
O(<br />
x ) ⎜<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎝ 2 ⎠ 2Γ<br />
2 ( 1+<br />
0(<br />
x )<br />
2<br />
⎛ x⎞<br />
− ⎜ ⎟<br />
⎝ 2⎠<br />
( −ν<br />
)<br />
( ν )<br />
−1<br />
Γ<br />
2 ( 1+<br />
O(<br />
x )<br />
⎤<br />
( ( ) ⎥<br />
⎥ ⎥⎥⎥ ⎞ 2<br />
1+<br />
O x ⎟<br />
1<br />
( 1−ν<br />
) 2Γ(<br />
ν )<br />
⎟<br />
⎠⎦<br />
⎤<br />
2 2<br />
( 1+<br />
0(<br />
x ) ⎥<br />
⎥<br />
eşitliği elde edilir. Burada x → 0 yapılırsa 0( ) 0<br />
2 x = olur. Bu durumda C ( ν )<br />
fonksiyonu;<br />
1<br />
1<br />
C ( ν ) =<br />
−<br />
(3.45)<br />
Γ<br />
( 1+<br />
ν ) Γ(<br />
−ν<br />
) Γ(<br />
1−ν<br />
) Γ(<br />
ν )<br />
⎦
olarak bulunur. Diğer yandan ( x)<br />
Γ(<br />
− x)<br />
(3.45) den<br />
C<br />
( ν )<br />
π<br />
Γ 1 = de x = −ν<br />
ve x = ν yazılırsa<br />
sin πx<br />
sinνπ<br />
sinνπ<br />
2sinνπ<br />
= − − = −<br />
π π π<br />
2sinνπ<br />
W [ Jν<br />
( x)<br />
, J − ν ( x)<br />
] = −<br />
πx<br />
elde edilir. ν tamsayı olmamak üzere sinνπ ≠ 0 olduğundan W [ Jν<br />
( x)<br />
, J −ν ( x)<br />
] ≠ 0<br />
dır. Jν ( x)<br />
ile ( x)<br />
fonksiyonları lineer bağımsız olup, dolayısıyla bir temel<br />
J −ν<br />
çözüm sistemi oluşturur (Tuncer, 1997).<br />
3.7. Değiştirilmiş (modifiye) Bessel Denklemi<br />
2<br />
x y + xy<br />
+ ν<br />
2 2 ( x − ) = 0<br />
′ ′ y<br />
ile ifade edilen Bessel denkleminde x = ± ix değişken değişimi yapılırsa,<br />
2 ( ) ⎜ ⎟ + ( ix)<br />
+ ( ix)<br />
20<br />
2 2 ( − ) = 0<br />
⎞<br />
ix ⎜ ⎟<br />
ν<br />
⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠<br />
2 ⎛ d y ⎛ dy ⎞<br />
− 2 ⎜ ⎟<br />
y<br />
⎛ d y ⎞<br />
⎜−<br />
⎟<br />
⎝ dx ⎠<br />
dy<br />
⎝ dx ⎠<br />
2 2 ( − x − ) = 0<br />
2<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
− x ⎜ ⎟ + x +<br />
2 ⎜ ⎟ ν y<br />
⎛ d y ⎞<br />
⎜<br />
⎝ dx<br />
⎟<br />
⎠<br />
dy<br />
⎝ dx ⎠<br />
2 2 ( x + ) y = 0<br />
2<br />
2 ⎛ ⎞<br />
x ⎜ ⎟ + x −<br />
2 ⎜ ⎟ ν<br />
2 2 ( x + ) = 0<br />
′ ′ y<br />
2<br />
x y + xy<br />
− ν (3.46)<br />
denklemi elde edilir. Bu denklem Değiştirilmiş (modifiye) Bessel denklemi olarak<br />
bilinir. Değiştirilmiş (modifiye) Bessel denkleminin çözümleri<br />
K<br />
ν<br />
−ν<br />
Iν ( x)<br />
= i Jν<br />
( ix)<br />
π I −ν<br />
( x)<br />
− Iν<br />
( x)<br />
( x)<br />
=<br />
2<br />
sinνπ<br />
olarak tanımlanmıştır. ν nin tamsayı olması durumunda ( x)<br />
= I ( x)<br />
I ν ν<br />
− olduğundan<br />
Modified Bessel denkleminin ikinci çözümü Kν ( x)<br />
fonksiyonudur (Yıldız, 2000). ν
nin tamsayı olmaması durumunda ise bu denkleminin çözümleri I − ν ( x)<br />
ile Iν ( x)<br />
fonksiyonlarıdır.<br />
3.8. Jacobi Açılımı ve Bessel İntegrali<br />
x⎛<br />
1 ⎞<br />
t−<br />
⎜ ⎟<br />
2⎝<br />
t ⎠<br />
t ≠ 0 için ϕ ( x,<br />
t)<br />
= e fonksiyonunu gözönüne alalım.<br />
ϕ<br />
( x,<br />
t)<br />
= e<br />
= e<br />
x⎛<br />
1 ⎞<br />
⎜ t−<br />
⎟<br />
2⎝<br />
t ⎠<br />
x<br />
t<br />
2<br />
e<br />
x<br />
− t<br />
2<br />
s<br />
r<br />
⎛ ⎞⎛<br />
⎞<br />
⎜ ⎛ x ⎞ ⎟⎜<br />
⎛ x ⎞<br />
⎜−<br />
⎟ ⎟<br />
∞ ⎜ ⎟ ∞<br />
⎜ ⎝ 2 ⎠ s ⎟⎜<br />
⎝ 2 ⎠ ⎟<br />
= ⎜∑<br />
t ⎟⎜∑<br />
r ⎟<br />
s=<br />
0 s!<br />
s=<br />
0<br />
⎜ ⎟⎜<br />
r!<br />
t<br />
⎟<br />
⎜ ⎟⎜<br />
⎟<br />
⎝ ⎠⎝<br />
⎠<br />
bulunur (Tuncer, 1997). m 1<br />
t ve nin katsayılarını belirlenirse;<br />
m<br />
t<br />
ϕ<br />
( , t)<br />
21<br />
x<br />
e , Maclaurin serisinden<br />
m+<br />
k<br />
k<br />
k<br />
m+<br />
k<br />
m+<br />
r ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞<br />
t ∞ ∞ ⎜ ⎟ ⎜−<br />
⎟ ∞ ∞ ⎜ ⎟ ⎜−<br />
⎟<br />
x<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
+<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2<br />
=<br />
⎠<br />
∑∑ ∑∑<br />
+<br />
m= 0 k=<br />
0<br />
m= 1 k=<br />
0<br />
!<br />
=<br />
=<br />
∞<br />
m k<br />
( m + k)<br />
! r!<br />
k!<br />
( m + r)<br />
t<br />
2k<br />
+ m<br />
2k<br />
+ m<br />
⎛ x ⎞<br />
⎛ x ⎞<br />
∞ k ⎜ ⎟<br />
∞<br />
∞ k ⎜ ⎟<br />
m ( −1)<br />
2 1<br />
( )<br />
( 1)<br />
2<br />
t<br />
⎝ ⎠<br />
m −<br />
+ 1<br />
⎝ ⎠<br />
m<br />
0 0 k!<br />
( m k)<br />
∑ − ∑<br />
= + ! m= 1tk= 0 k!<br />
( m + k)!<br />
∑ ∑<br />
m= k<br />
∞<br />
∑<br />
m=<br />
0<br />
−m<br />
( x)<br />
+ t J ( x)<br />
∑<br />
m<br />
t J m<br />
m<br />
m=<br />
1<br />
m<br />
elde edilir (Tuncer, 1997). ( ) ( x)<br />
= J ( x)<br />
ϕ<br />
∞<br />
−1 olduğundan<br />
J m<br />
−m<br />
x<br />
∞<br />
∑ m<br />
∞<br />
∑ −m<br />
m=<br />
0<br />
m=<br />
1<br />
m<br />
−m<br />
( , t)<br />
= t J ( x)<br />
+ t J ( x)<br />
ϕ<br />
x<br />
m<br />
∑<br />
m<br />
m<br />
+∞ =<br />
= −∞<br />
m<br />
( , t)<br />
= t J ( x)<br />
(3.47)
elde edilir. (3.47) ifadesi ( x,<br />
t)<br />
1997). t yerine<br />
( x,<br />
t)<br />
= ϕ⎜<br />
x,<br />
⎟<br />
⎝ t ⎠<br />
1<br />
− konursa;<br />
t<br />
x⎛<br />
1 ⎞<br />
⎜ t−<br />
⎟<br />
2⎝<br />
t ⎠<br />
ϕ = e nin t = 0 da Laurent açılımıdır (Tuncer,<br />
ϕ<br />
( x,<br />
t)<br />
⎛ 1⎞<br />
ϕ − olur. Buradan<br />
ϕ<br />
elde edilir. Açılımın tekniğinden<br />
olarak bulunur.<br />
= e<br />
= e<br />
= e<br />
x⎛<br />
1 ⎞<br />
⎜ t−<br />
⎟<br />
2⎝<br />
t ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
x<br />
⎜<br />
1 1<br />
− − ⎟<br />
2⎜<br />
t 1 ⎟<br />
⎜ − ⎟<br />
⎝ t ⎠<br />
x⎛<br />
1 ⎞<br />
⎜ t−<br />
⎟<br />
2⎝<br />
t ⎠<br />
22<br />
= e<br />
x⎛<br />
1 ⎞<br />
⎜ − + t ⎟<br />
2⎝<br />
t ⎠<br />
⎛ 1⎞<br />
= ϕ ⎜ x,<br />
− ⎟<br />
⎝ t ⎠<br />
x<br />
+∞<br />
∑ −<br />
m=<br />
−∞<br />
−m<br />
m<br />
( , t)<br />
= ( 1)<br />
J ( x)<br />
m<br />
−m<br />
m<br />
( 1 ) ( x)<br />
= ( −1)<br />
J ( x)<br />
= ( −1)<br />
J ( x)<br />
= J ( x)<br />
− J −m<br />
−m<br />
−m<br />
m<br />
x<br />
x<br />
t<br />
∑<br />
m<br />
m<br />
+∞<br />
⎛ 1 ⎞<br />
−<br />
= −∞<br />
⎜ ⎟<br />
2⎝<br />
t ⎠<br />
m<br />
( , t)<br />
= e = t . J ( x)<br />
ϕ (3.48)<br />
Fonksiyonuna, Bessel fonksiyonuna ilişkin doğurucu fonksiyon denir. (3.47)<br />
eşitliğinde<br />
t ± e<br />
iθ<br />
= olarak alınırsa,<br />
x⎛ iθ<br />
1 ⎞ x<br />
⎜ e − ⎟<br />
iθ<br />
−iθ<br />
i ( e −e<br />
)<br />
2 θ<br />
⎝ e ⎠ 2<br />
imθ<br />
e = e = e J m<br />
∑<br />
m<br />
+∞<br />
= −∞<br />
iθ<br />
−iθ<br />
e − e<br />
θ<br />
olur. Burada sinθ<br />
= ve e mθ<br />
i mθ<br />
2i<br />
im<br />
= cos + sin olduğundan<br />
bulunur. Buradan<br />
( x)<br />
( cos mθ<br />
+ i sin m ) J ( x)<br />
ix<br />
e ∑<br />
m<br />
m<br />
∞<br />
sinθ<br />
=<br />
= −∞<br />
θ<br />
−1<br />
ix sinθ<br />
e = ∑<br />
m 0<br />
∞<br />
∑<br />
m<br />
m=<br />
−∞<br />
m=<br />
1<br />
( cos mθ<br />
+ i sin mθ<br />
) J ( x)<br />
+ J ( x)<br />
+ ( cos mθ<br />
+ i sin mθ<br />
) J ( x)
=<br />
J 0<br />
∞<br />
∑<br />
−m<br />
∞<br />
∑<br />
m<br />
n=<br />
1<br />
m=<br />
1<br />
( x)<br />
+ ( cos mθ<br />
− i sin mθ<br />
) J ( x)<br />
+ ( cos mθ<br />
+ i sin mθ<br />
) J ( x)<br />
m<br />
şeklinde yazılabilir. ( x)<br />
= ( −1)<br />
J ( x)<br />
J m<br />
m<br />
− olduğundan<br />
m<br />
( cos sin mθ<br />
) J ( x)<br />
m<br />
( x)<br />
+ mθ<br />
+ ( −1)<br />
cos mθ<br />
+ i sin mθ<br />
− i(<br />
−1)<br />
∑<br />
m<br />
∞<br />
= 1<br />
ix sinθ<br />
e = J<br />
m<br />
0<br />
J 0<br />
∞<br />
∑ 2<br />
m=<br />
1<br />
2m<br />
2m+<br />
1<br />
( x)<br />
+ ( cos(<br />
2mθ<br />
) J ( x)<br />
+ 2i<br />
sin(<br />
( 2m<br />
+ 1)<br />
) ) J ( x)<br />
= θ<br />
∞<br />
( x)<br />
+ 2 J ( x)<br />
cos 2m<br />
± 2i<br />
J ( x)<br />
sin(<br />
2m<br />
+ 1)<br />
∑<br />
m=<br />
1<br />
23<br />
∞<br />
∑<br />
= J θ θ (3.49)<br />
0<br />
2m<br />
elde edilir. e x i x<br />
ix<br />
= cos + sin olduğundan (3.49) eşitliğinin reel ve sanal kısımları<br />
ayrılırsa<br />
m=<br />
0<br />
2m+<br />
1<br />
( sin ) = J ( x)<br />
+ 2 J ( x)<br />
0<br />
∑ ∞<br />
m=<br />
1<br />
cos x θ cos 2mθ<br />
(3.50i)<br />
sin<br />
2m<br />
( sin ) = 2 J ( x)<br />
sin(<br />
2m<br />
+ 1)<br />
∑ ∞<br />
m=<br />
0<br />
x θ θ<br />
(3.50ii)<br />
2m+<br />
1<br />
π<br />
olarak elde edilir. (3.50i) eşitliğinde θ yerine −θ<br />
yazılırsa<br />
2<br />
( ) ∑ ( )<br />
∞<br />
⎛ ⎛ π ⎞⎞<br />
⎛ π ⎞<br />
cos⎜<br />
xsin⎜ −θ<br />
⎟⎟<br />
= J 0 x + 2 J 2m<br />
x cos 2m⎜<br />
−θ<br />
⎟<br />
⎝ ⎝ 2 ⎠⎠<br />
m=<br />
1<br />
⎝ 2 ⎠<br />
cos<br />
( x cosθ<br />
) = J ( x)<br />
+ 2 J ( x)<br />
cos(<br />
mπ<br />
− 2mθ<br />
)<br />
0<br />
∑ ∞<br />
m=<br />
1<br />
2m<br />
m<br />
( cos ) = J ( x)<br />
+ 2 ( −1)<br />
J ( x)<br />
0<br />
∑ ∞<br />
m=<br />
1<br />
cos x θ cos 2mθ<br />
(3.51i)<br />
π<br />
elde edilir. (3.50ii) eşitliğinde de θ yerine −θ<br />
yazılırsa<br />
2<br />
2m<br />
∑ ( ) ( )<br />
∞<br />
⎛ ⎛ π ⎞⎞<br />
⎛ π ⎞<br />
sin⎜<br />
xsin⎜ −θ<br />
⎟⎟<br />
= 2 J 2m+<br />
1 x sin 2m<br />
+ 1 ⎜ −θ<br />
⎟<br />
⎝ ⎝ 2 ⎠⎠<br />
n=<br />
0<br />
⎝ 2 ⎠<br />
sin<br />
m<br />
( cos ) = 2 ( −1)<br />
J ( x)<br />
cos(<br />
2m<br />
+ 1)<br />
∑ ∞<br />
n=<br />
0<br />
x θ θ<br />
(3.51ii)<br />
elde edilir. (3.50i), (3.50ii), (3.51i) ve (3.51ii) açılımlarına Jacobi açılımı adı verilir.<br />
(3.50i) ifadesinde m yerine k alınır, eşitliğin her iki yanı cos mθ<br />
ile çarpılır ve 0<br />
dan π ye kadar integrali alınırsa,<br />
2m+<br />
1
π π<br />
∞ ⎡<br />
⎤<br />
∫cos ∫⎢0∑2k⎥ 0 0⎣k= 1<br />
⎦<br />
( xsinθ<br />
) cos mθdθ<br />
= J ( x)<br />
+ 2 J ( x)<br />
cos( 2kθ<br />
) cos mθdθ<br />
=<br />
π<br />
∫<br />
0<br />
0<br />
24<br />
π ∞<br />
∫∑<br />
0 k = 1<br />
2k<br />
( x)<br />
cos(<br />
2kθ<br />
)<br />
J ( x)<br />
cos mθdθ<br />
+ 2 J<br />
cos mθdθ<br />
∫∑ ∞ π<br />
0 = 1<br />
= 2<br />
k<br />
cos<br />
( x)<br />
( 2k<br />
θ ) J ( x)<br />
2k<br />
cos mθdθ<br />
⎧πJ<br />
m<br />
= ⎨<br />
⎩ 0<br />
m = 2k⎫<br />
⎬<br />
m ≠ 2k⎭<br />
(3.52)<br />
elde edilir (Korenev, 2002). Benzer şekilde (3.50ii) eşitliğinde m yerine k alınır,<br />
eşitliğin her iki yanı sin mθ<br />
ile çarpılır ve 0 dan π ye kadar integrali alınırsa,<br />
π<br />
∫<br />
0<br />
∞<br />
∫∑<br />
0 k = 0<br />
2k<br />
+ 1<br />
( x)<br />
sin(<br />
2k<br />
+ 1)<br />
sin( xsinθ<br />
) sin mθdθ<br />
= 2 J<br />
θ sin mθdθ<br />
⎧ 0 m = 2k<br />
+ 1 ise<br />
= ⎨<br />
⎩πJ<br />
m ( x)<br />
m ≠ 2k<br />
−1<br />
ise<br />
elde edilir (Korenev, 2002). (3.52) ve (3.53) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,<br />
π<br />
( x)<br />
= [ cos( xsinθ<br />
) cos mθ<br />
sin( xsinθ<br />
) sin mθ<br />
] dθ<br />
π J m ∫ +<br />
=<br />
0<br />
π<br />
∫<br />
0<br />
cos( m θ − xsinθ<br />
) dθ<br />
π<br />
(3.53)<br />
1<br />
J m ( x)<br />
= θ θ θ<br />
π ∫ cos( m − xsin<br />
) d<br />
(3.54)<br />
0<br />
elde edilir (Korenev, 2002). Burada m sıfır ya da pozitif tamsayıdır. (3.54) eşitliğine<br />
Bessel integrali denir.<br />
3.9. Bessel Denklemine Dönüşebilen Denklemler<br />
Bessel denkleminin kanonik şekilde yazılışı;<br />
2 2 ( x − ) = 0<br />
2<br />
x y′<br />
′ + xy′<br />
+ ν y<br />
şeklindedir. Bu denklemdeki x ve y değişkenleri, yeni bir t değişkeni ve u ( t)<br />
fonksiyonuna bağlı olarak tanımlansın. Yani;
β<br />
α<br />
x = γ t ve y t u(<br />
t)<br />
25<br />
= (3.55)<br />
özel dönüşümleri yapılsın. Burada β , γ ≠ 0 olmak üzere α, β ve γ sabitlerdir<br />
(Yıldız, 2000). Bessel denklemi bu dönüşümler altında tekrar düzenlenirse,<br />
bulunur. Yani,<br />
dx<br />
dt<br />
= γ β t<br />
β −1<br />
dy 1−β<br />
dy dt 1<br />
= = t<br />
dx dt dx βγ<br />
2<br />
y d ⎛ 1<br />
= ⎜ t<br />
2<br />
dx dx ⎝ βγ<br />
d 1−β<br />
=<br />
=<br />
1 d ⎛<br />
⎜t<br />
βγ dt ⎝<br />
1<br />
t 2 2<br />
β γ<br />
1−β<br />
1−β<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
dy<br />
dt<br />
dy ⎞<br />
⎟<br />
dt ⎠<br />
dy ⎞ dt<br />
⎟<br />
dt ⎠ dx<br />
2<br />
y<br />
= 2<br />
dx<br />
1 1−β<br />
⎛<br />
t ⎜<br />
2 2<br />
β γ ⎝<br />
dy<br />
dt<br />
elde edilir. (3.55) dönüşümlerinin ikincisinden,<br />
yani,<br />
dy<br />
dt<br />
d β<br />
2<br />
y d ⎛ dy ⎞<br />
= = t<br />
2 ⎜ ⎟ α<br />
dt dt ⎝ dt ⎠<br />
= t<br />
dx<br />
2<br />
d y ⎞<br />
2<br />
dt ⎠<br />
( ) ⎟ −β<br />
1−β<br />
1−<br />
β t + t<br />
2<br />
d y ⎞<br />
2<br />
dt ⎠<br />
( ) ⎟ −β<br />
1−<br />
1−<br />
β t + t<br />
dy α<br />
1<br />
du<br />
+ t<br />
dt<br />
(3.56)<br />
du α −<br />
+ α t u()<br />
t<br />
(3.57)<br />
dt<br />
d α −1<br />
α<br />
α −1<br />
2<br />
d u<br />
+ α 2<br />
dt<br />
α −2<br />
( α −1)<br />
t u(<br />
t)<br />
+ α t<br />
2<br />
2<br />
d y α d u α −1<br />
du<br />
α −2<br />
= t + 2α<br />
t + α(<br />
α −1)<br />
t u(<br />
t)<br />
(3.58)<br />
2<br />
2<br />
dt dt dt<br />
elde edilir (Yıldız, 2000). (3.55)-(3.56) ifadeleri, kanonik tipli Bessel diferansiyel<br />
denkleminde yerine yazılır ve yeniden düzenlenirse;<br />
veya,<br />
2β<br />
t<br />
t 2<br />
β<br />
1−β<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
dy<br />
dt<br />
2<br />
d y ⎞<br />
2<br />
dt<br />
⎟<br />
⎠<br />
β<br />
t<br />
β<br />
dy<br />
dt<br />
du<br />
dt<br />
−β<br />
1−β<br />
1−β<br />
2 2β<br />
2<br />
( 1−<br />
β ) t + t ⎟ + t + ( γ t −ν<br />
) y = 0<br />
2 2 2β<br />
2 2<br />
[ β γ t − β ] = 0<br />
d y dy<br />
+ y<br />
dt dt<br />
2<br />
2<br />
t 2 t +<br />
ν<br />
(3.59)
şeklinde yazılabilir. (3.57) ve (3.58) ifadeleri yukarıdaki son denklemde yerlerine<br />
yazılırsa,<br />
t<br />
2<br />
⎡<br />
⎢t<br />
⎣<br />
α<br />
⎡<br />
+ t<br />
⎢<br />
t<br />
⎣<br />
α<br />
2<br />
d u<br />
+ 2α<br />
t<br />
2<br />
dt<br />
du<br />
+ α t<br />
dt<br />
α −1<br />
α −1<br />
⎤<br />
u<br />
⎥<br />
+<br />
⎦<br />
du<br />
+ α<br />
dt<br />
elde edilir (Yıldız, 2000). Bu ifade düzenlenirse,<br />
26<br />
( α −1)<br />
t<br />
α −2<br />
⎤<br />
u⎥<br />
⎦<br />
2 2 2β<br />
2 2 α<br />
[ β γ t − β ν ] t u = 0<br />
2<br />
2 d u du 2 2 2 2 2 2β<br />
t + ( 2α<br />
+ 1)<br />
t + ( α − β ν + β γ t ) u = 0 (3.60)<br />
2<br />
dt<br />
dt<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
elde edilir. Bu denklemde; a = 2 α + 1,<br />
b = α − β ν , c = β γ , m = 2β<br />
alınırsa,<br />
m ( b + ct ) = 0<br />
2<br />
2 d u du<br />
t + at +<br />
2<br />
dt dt<br />
u<br />
(3.61)<br />
elde edilir. Burada a ≠ 0, b ≠ 0,<br />
c ≠ 0 dır. Kanonik tipli Bessel denkleminin genel<br />
çözümü<br />
( x)<br />
c J ( x)<br />
+ c J ( x)<br />
y = 1 ν 2 −ν<br />
şeklindedir. Sonuç olarak (3.55) özel dönüşümü göz önüne alınarak, (3.60)<br />
şeklindeki Bessel denklemine dönüşen bir denklem sınıfının çözümü, kanonik tipli<br />
Bessel denkleminin çözümü vasıtasıyla,<br />
şeklinde bulunur (Yıldız, 2000).<br />
−α<br />
−α<br />
β −α<br />
β<br />
() t t y(<br />
x)<br />
= c t J ( γ t ) + c t J ( γ t )<br />
u = 1 ν<br />
2 −ν<br />
(3.62)<br />
2<br />
2 d y dy ⎛ 1 6 ⎞<br />
Örnek3.1. t + 3t<br />
+ = 0<br />
2 ⎜ + t ⎟y<br />
denklemi verilsin. Bu denklemin genel<br />
dt dt ⎝ 9 ⎠<br />
çözümünü bulunuz.<br />
Çözüm:<br />
Burada, (3.61) ile verilen denklemden; a , b,<br />
c ve m ifadeleri;<br />
b<br />
a = 2 α + 1 = 3<br />
2 2 2<br />
= α − β ν<br />
c<br />
2 2<br />
= β γ<br />
m<br />
= 2 β =<br />
=<br />
= 1<br />
6<br />
1<br />
9
olur. Yukarıdaki denklemler çözüldüğünde α , β,<br />
γ , m değerleri;<br />
1 2 2<br />
α = 1 , β = 3,<br />
γ = , m =<br />
3 9<br />
olarak bulunur. (3.62) den denklemin çözümü,<br />
−1 ⎛ 1 3 ⎞ −1<br />
⎛ 1 3 ⎞<br />
y () t = c1t<br />
J ⎜ t ⎟ + c<br />
2 2<br />
2t<br />
J 2 2 ⎜ t ⎟<br />
⎝ 9 ⎠<br />
− ⎝ 3 ⎠<br />
şeklinde bulunur.<br />
3.10: Fourier-Bessel Açılımları<br />
Bir f (x)<br />
fonksiyonu seri şeklinde;<br />
9<br />
∑ ∞<br />
⎛ x ⎞<br />
f ( x)<br />
= ak<br />
Jν<br />
⎜ µ k ⎟<br />
(3.63)<br />
k = 1 ⎝ λ ⎠<br />
olarak verilsin. Burada ν > −1<br />
ve µ µ , µ ... ; Jν ( x)<br />
= 0 denkleminin pozitif<br />
1 , 2 3<br />
⎛ x ⎞<br />
kökleridir. a k katsayılarını belirlemek için (3.63) açılımının her iki tarafı xJν ⎜ µ k ⎟<br />
⎝ λ ⎠<br />
ile çarpılır ve [ , λ]<br />
0 aralığında integrali alınırsa;<br />
λ λ<br />
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞<br />
( dx<br />
∫xf x)<br />
Jν<br />
⎜ µ k ⎟dx<br />
= ∫akJν⎜µ k ⎟Jν<br />
⎜ µ k ⎟<br />
⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠<br />
0 0<br />
elde edilir. Burada Bessel fonksiyonlarının aşağıdaki ortogonallik özelliğinden<br />
yararlanılır.<br />
λ<br />
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎪<br />
⎧ 0<br />
⎞<br />
2<br />
2<br />
⎜ µ k ⎟Jν<br />
⎜ µ i ⎟dx<br />
= ⎨λ<br />
λ<br />
⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠ ′<br />
⎪⎩<br />
Jν<br />
µ<br />
2<br />
27<br />
9<br />
k ≠ i<br />
⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
∫ xJν<br />
i<br />
0 2<br />
( µ k ) = Jν<br />
+ 1(<br />
i ) k =<br />
⎪⎭ (3.64)<br />
(3.64) eşitliği ν ye göre Bessel fonksiyonlarının ortogonallik şartıdır. (3.64) eşitliği<br />
göz önüne alındığında a i katsayıları;<br />
2<br />
⎛ x ⎞<br />
i =<br />
xf x J dx<br />
J ( ) ∫ ( ) ν ⎜ µ<br />
2 2<br />
⎟<br />
µ ⎝ λ ⎠<br />
a k<br />
λ ν + 1 k 0<br />
λ<br />
(3.65)<br />
şeklinde bulunur. (3.63) formülündeki a i katsayıları (3.65) formülü ile belirlenir ve<br />
f (x)<br />
fonksiyonuna Fourier Bessel seri ayrışımı denir.
4.BESSEL KARESİ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ VE BU DENKLEM İÇİN<br />
LİM-4 DURUMU<br />
Aşağıdaki dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi göz önüne alalım;<br />
Ly ⎡ + λ<br />
r x ⎢⎣<br />
⎥⎦<br />
′<br />
1 ″<br />
= 2<br />
1<br />
0<br />
( )<br />
( q y′<br />
′ ) − ( q y′<br />
) q y⎤<br />
= y<br />
28<br />
a < x < b , (4.1)<br />
burada q0, q1 , 1 q′ , q2 , q′ 2 , q ′ 2 nin q2 > 0 olmak üzere bu fonksiyonların ( a , b)<br />
aralığında sürekli ve reel değerli olduğu farz edilir. Buradaki amaç Bessel<br />
diferansiyel denkleminin karesi için öz fonksiyon açılım elde etme noktasına kadar<br />
analizler yapmaktır. ν inci dereceden Bessel denklemi ;<br />
2<br />
d y<br />
2<br />
dx<br />
şeklindedir. Bu denklemde s = λ alınırsa,<br />
elde edilir. Burada ;<br />
2<br />
d y<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
1 dy 2 ν<br />
+ + ( s - ) y = 0 (4.2)<br />
2<br />
x dx x<br />
2<br />
d y<br />
dx<br />
- 2<br />
1<br />
+<br />
x dx<br />
2<br />
dy ν<br />
+ λ y - y = 0<br />
2<br />
2<br />
1 dy ν<br />
- + y = λ y<br />
2<br />
x dx x<br />
2<br />
2<br />
1 d y dy ν<br />
(- x - + y ) = λ y<br />
2<br />
x dx dx x<br />
2<br />
d y dy ′<br />
- x - = - ( x y′<br />
) 2<br />
dx dx<br />
olduğundan yukarıda yerine yazılırsa;<br />
2<br />
1 ν<br />
My = (- ( x y′<br />
) ′ + y) = λ y (4.3)<br />
x<br />
x<br />
denklemi elde edilir. Bu denkleme Bessel diferansiyel denklemi denir. Bu denkleme<br />
M işlemi tekrar uygulanırsa;<br />
( ) ⎟ 2<br />
1 ⎛<br />
ν ⎞<br />
My = ⎜<br />
⎜−<br />
xy′<br />
′ + y′<br />
+ y<br />
x ⎝<br />
x ⎠<br />
2<br />
y′<br />
ν<br />
My =<br />
− y′<br />
′ − + y 2<br />
x x<br />
x
⎧<br />
′<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 ⎫<br />
1 ⎪ ⎡ ⎛ y′<br />
′ y′<br />
ν 2ν<br />
⎞⎤<br />
⎡ν<br />
⎛ y′<br />
ν ⎞⎤⎪<br />
y = ⎨−<br />
⎢x<br />
⎜<br />
⎜−<br />
y′<br />
′<br />
− + + y′<br />
− y ⎟<br />
⎟⎥<br />
+ ⎢ ⎜<br />
⎜−<br />
y′<br />
′ − + y ⎟<br />
2 2<br />
3<br />
⎥⎬<br />
x ⎪ ⎣ ⎝ x x x x ⎠⎦<br />
⎣ x ⎝ x x ⎠⎦<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎭<br />
2<br />
M 2<br />
⎧<br />
2<br />
2 ′<br />
2<br />
2 4 ⎫<br />
1 ⎪ ⎡<br />
y′<br />
ν 2ν<br />
⎤ ⎡ ν ν ν ⎤⎪<br />
= ⎨−<br />
⎢−<br />
xy′<br />
′<br />
− y′<br />
′ + + y′<br />
− y⎥<br />
+ ⎢−<br />
y′<br />
′ − y′<br />
+ y<br />
2<br />
2 3 ⎥⎬<br />
x ⎪ ⎣<br />
x x x ⎦ ⎣ x x x ⎦<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎭<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎧ ⎡<br />
y′<br />
′ y′<br />
ν ν 2ν<br />
4ν<br />
⎤⎫<br />
⎪−<br />
⎢−<br />
y′<br />
′<br />
− xy′<br />
′<br />
′ − y′<br />
′<br />
+ − + y′<br />
′ − y′<br />
− y′<br />
+ y<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3 ⎥⎪<br />
1 ⎪ ⎣<br />
x x x x x x ⎦⎪<br />
= ⎨<br />
⎬<br />
x<br />
2<br />
2 4<br />
⎪ ⎡ ν ν ν ⎤<br />
⎪<br />
⎪<br />
+ ⎢−<br />
y′<br />
′ − y′<br />
+ y<br />
2 3 ⎥<br />
⎪<br />
⎩ ⎣ x x x ⎦<br />
⎭<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎧<br />
y′<br />
′ y′<br />
ν ν 2ν<br />
4ν<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪xy′<br />
′<br />
′ + 2y′<br />
′<br />
− + − y′<br />
′ + y′<br />
+ y′<br />
− y<br />
2<br />
2<br />
3<br />
1<br />
⎪<br />
x x x x x x<br />
= ⎨ 2<br />
2 4<br />
⎬<br />
x ⎪ ν ν ν<br />
− y′<br />
′ − y′<br />
+ y<br />
⎪<br />
⎪<br />
2 3<br />
⎩ x x x<br />
⎪⎭<br />
⎨<br />
x ⎩<br />
′<br />
⎜<br />
⎝ x x ⎟<br />
⎠<br />
⎜ 2<br />
⎝ x<br />
2<br />
x<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
x<br />
⎞ ⎫<br />
⎟<br />
⎟y⎬<br />
⎠ ⎭<br />
elde edilir. Burada gerekli düzenlemeler yapılarak ;<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
1 ⎧<br />
⎛ 1 2ν<br />
⎞ ⎛ 1 2ν<br />
⎞ ⎛ν ( ν − 4)<br />
= xy<br />
′<br />
′ + 2y′<br />
′<br />
− ⎜ + ⎟y′<br />
′ + ⎜ + ⎟y′<br />
+ ⎜<br />
⎡<br />
2 ′ 2 2 ⎤<br />
2 1<br />
ν ν ν<br />
M y ⎢ ″ ⎛1<br />
+ 2 ⎞ ( − 4)<br />
= λ<br />
x ⎢ ⎜ x ⎟<br />
3<br />
⎝ ⎠ x ⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
( xy′<br />
′ ) − ⎜ y′<br />
⎟ + y⎥<br />
= y<br />
29<br />
(4.4)<br />
denklemi elde edilir. Burada elde edilen dördüncü merteben diferansiyel denkleme<br />
de Bessel karesi denklemi denir. (4.1) ve (4.4) denklemleri aynı olduğundan<br />
bulunur.<br />
r ( x)<br />
= x , q ( x)<br />
= x<br />
2 , 1( ) x<br />
2<br />
1+ 2ν<br />
q =<br />
x<br />
2 2<br />
q 0 x = 3<br />
, ( )<br />
4.1 Hamilton Sistem Formülü ve Regüler Sınır Koşulları<br />
ν ( ν − 4)<br />
x<br />
Dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi Hamilton sistem şekline çevirmek için<br />
⎡ y1<br />
⎤ ⎡ y ⎤<br />
⎡Y<br />
⎢ ⎥<br />
1 ⎤<br />
Y= ⎢ ⎥ = ⎢<br />
y<br />
⎢<br />
⎥<br />
2 ⎥ = ⎢<br />
y′<br />
⎥<br />
⎣Y2<br />
⎦ ⎢ y ⎥ ⎢<br />
⎥<br />
3 − ( q ′<br />
′ ′<br />
2 y ) + q1<br />
y<br />
⎢ ⎥ ⎢<br />
⎥<br />
⎣y<br />
4 ⎦ ⎣ q y′<br />
′ 2 ⎦<br />
(4.5)
eşitliği kullanılarak (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi;<br />
⎡<br />
r x<br />
⎛−<br />
q<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎛ ( ) 0 0 0⎞<br />
0 0 0 0 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟⎥<br />
⎢<br />
⎜ − q ⎟⎥<br />
JY ′<br />
⎜ 0 0 0 0<br />
0 1 0 0<br />
⎟<br />
= ( λ A+B) Y = ⎢λ<br />
⎜<br />
⎟ + ⎜ 0 1 0 0 ⎟⎥Y<br />
(4.6)<br />
⎢ 0 0 0 0<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
1 ⎟⎥<br />
⎢ ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 0 0 0 ⎥<br />
⎣<br />
q ⎟<br />
⎝ 0 0 0 0⎠<br />
⎝<br />
2 ⎠⎦<br />
şeklinde ifade edilebilir. Burada hem A hem de B reel ve simetrik matrislerdir. J<br />
matrisi<br />
J = ⎟ ⎛0<br />
⎜<br />
⎛ 0 − I 2 ⎞ ⎜0<br />
⎜ =<br />
⎝ I 2 0 ⎜<br />
⎠ 1<br />
⎜<br />
⎝0<br />
30<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
−1⎟<br />
0 ⎟<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
⎠<br />
(4.7)<br />
şeklinde tanımlanmıştır (Fulton, 1988). Dördüncü mertebeden diferansiyel<br />
denklemin çözümleri φ 1 , φ 2 sembolleri ile ve (4.5) den elde edilen vektörler de<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
Φ ,Φ sembolleri ile gösterilsin. (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel<br />
denklemin çözümleri y ( x,<br />
λ)<br />
ve z ( x,<br />
µ ) olsun; bu durumda denklemin Green<br />
formülü;<br />
olarak bulunur (Fulton, 1988). Burada [ , z]<br />
( x)<br />
b<br />
[ y, z](<br />
x)<br />
= ( zLy yLz)<br />
r(<br />
x)<br />
=<br />
∫ −<br />
a<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
b<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
[ y,<br />
z]<br />
b<br />
( zLy − yLz)<br />
r(<br />
x)<br />
dx = ( x)<br />
Ι<br />
(4.8)<br />
dx<br />
⎧ z ⎡ ″ ′<br />
⎨<br />
+<br />
⎩r<br />
x ⎢⎣<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
y ;<br />
( q y′<br />
′ ) − ( q y′<br />
) q y⎤<br />
− ( q z′<br />
′ ) − ( q z′<br />
)<br />
0<br />
⎥⎦<br />
a<br />
⎡ ⎫<br />
+ ⎤<br />
⎢⎣<br />
⎥⎦<br />
⎬<br />
⎭<br />
′<br />
y ″<br />
2<br />
1 q0<br />
z dx<br />
r(<br />
x)<br />
∫ ( ) ( ) ( ) ( )<br />
⎭ ⎬⎫<br />
⎧ ⎡ ⎡ ″ ′ ⎤<br />
⎨<br />
+ ⎤ − ′<br />
− ′ +<br />
⎩ ⎢⎣<br />
⎥⎦ ⎢⎣<br />
⎥⎦<br />
′ ″<br />
= z q ′<br />
− ′<br />
2 y q1<br />
y q0<br />
y y q2<br />
z q1z<br />
q0<br />
z dx<br />
a<br />
q y′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
z − q y′<br />
′ z′<br />
+ q y′<br />
′ z − q y′<br />
z − q yz′<br />
′<br />
+ q y′<br />
z′<br />
′ − q yz′<br />
′ + q yz′<br />
= 2<br />
2<br />
2<br />
1 2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
[ ( y′<br />
′<br />
z − yz′<br />
′<br />
) − ( y′<br />
′ z′<br />
− y′<br />
z′<br />
′ ) ] − q [ y′<br />
z − yz′<br />
] + q′<br />
[ y′<br />
′ z − yz′<br />
]<br />
= 2 1<br />
2<br />
(4.9)<br />
q ′<br />
olarak elde edilir. Z ( x,<br />
λ)<br />
ve Y ( x,<br />
λ)<br />
, (4.5) in yöndeş vektörleri ise Green<br />
formülünün;
T<br />
T b<br />
− ( µ − λ)∫<br />
Z AYdx = Z JY |<br />
(4.10)<br />
versiyonu elde edilir (Fulton, 1988). (4.5) kullanılarak;<br />
Z<br />
T<br />
⎡<br />
⎢<br />
JY = ⎢<br />
⎢−<br />
⎢<br />
⎣<br />
z<br />
z′<br />
′<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
a<br />
⎡0<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
( q z′<br />
′ ) + q z′<br />
⎥ ⎢1<br />
0 0 0 ⎥⎢−<br />
( q y′<br />
′ )<br />
2<br />
q z′<br />
′<br />
= z z′<br />
− ( q z′<br />
′ )<br />
2<br />
1<br />
⎥<br />
⎦<br />
T<br />
⎢<br />
⎣0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
−1<br />
⎡<br />
⎢⎣<br />
2<br />
′<br />
+ q ′ 1z<br />
⎡0<br />
⎢<br />
q z′<br />
′ ⎤⎢<br />
0<br />
2 ⎥⎦ ⎢1<br />
⎢<br />
⎣0<br />
= − ( q z′<br />
′ )<br />
bulunur. Buradan da;<br />
0<br />
0<br />
31<br />
0 ⎤⎡<br />
⎥⎢<br />
−1<br />
⎥⎢<br />
⎥⎢<br />
0 ⎦⎣<br />
⎡<br />
⎢⎣<br />
2<br />
′<br />
+ q ′ 1z<br />
q ′<br />
2 z − z<br />
⎡<br />
⎢<br />
− z′<br />
⎤⎢<br />
⎥⎦ ⎢−<br />
⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
a<br />
2<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
( q y′<br />
′ )<br />
2<br />
y ⎤<br />
y′<br />
⎥<br />
⎥<br />
′<br />
+ q ′ ⎥ 1 y<br />
⎥<br />
q y′<br />
′ 2 ⎦<br />
0 ⎤⎡<br />
⎢<br />
−1<br />
⎥<br />
⎥⎢<br />
0 ⎥⎢−<br />
⎥⎢<br />
0 ⎦⎣<br />
y ⎤<br />
y′<br />
⎥<br />
⎥<br />
′<br />
+ q ′ ⎥ 1 y<br />
⎥<br />
q y′<br />
′ 2 ⎦<br />
= y ( q z′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
) + yq z′<br />
+ q z′<br />
′ y′<br />
+ z(<br />
q y′<br />
′ ) − zq y′<br />
− z′<br />
q y′<br />
′<br />
− 2<br />
1 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
y ⎤<br />
y′<br />
⎥<br />
⎥<br />
′<br />
+ q ′ ⎥ 1 y<br />
⎥<br />
q y′<br />
′ 2 ⎦<br />
( q y′<br />
′ )<br />
= y q z q z yq z q z y z⎜<br />
⎛ ′<br />
⎜<br />
⎛ ′<br />
− ′<br />
+ ′<br />
⎟<br />
⎞ + ′ + ′<br />
′ + q y′<br />
′ + q y′<br />
′<br />
⎟<br />
⎞ − zq y′<br />
− z′<br />
q y′<br />
′<br />
2 2<br />
1 2<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎝<br />
⎠<br />
= y ( q z′<br />
′<br />
′ ) + yq z′<br />
+ q z′<br />
′ y′<br />
+ z(<br />
q y′<br />
′<br />
′ ) − zq y′<br />
− z′<br />
q y′<br />
′<br />
− 2<br />
1 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
= q [ ( y ′<br />
z − yz′<br />
′<br />
) − ( y′<br />
′ z′<br />
− y′<br />
z′<br />
′ ) ] − q [ y′<br />
z − yz′<br />
] + q [ y′<br />
′ z − yz′<br />
′ ]<br />
2<br />
′ 1<br />
2<br />
[ y,<br />
z]<br />
′<br />
2<br />
=[y,z](x)<br />
Z JY x<br />
T<br />
( )( ) = (4.11)<br />
eşitliğinin sağlandığı görülür. (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel denkleminin<br />
dört çözümünün wronskiyenlerini değerlendirmek için bir özdeşliğe ihtiyaç vardır.<br />
Bu özdeşlik; üçüncü mertebeden türevleri sürekli olan, dört fonksiyonu<br />
u , u , u , u } şeklinde tespit edilen cebirsel bir niceliktir. Dördüncü merteben<br />
{ 1 2 3 4<br />
diferansiyel denklem için wronskiyen;<br />
W x<br />
( u , u , u , u )<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
u1<br />
u′<br />
u′<br />
′ 1<br />
u′<br />
′<br />
1 2 3 4<br />
= (4.12)<br />
1<br />
u2<br />
u′<br />
u′<br />
′ 2<br />
u′<br />
′<br />
2<br />
u3<br />
u′<br />
u′<br />
′ 3<br />
u′<br />
′<br />
3<br />
u4<br />
u′<br />
u′<br />
′ 4<br />
u′<br />
′<br />
4
şeklinde tanımlanır. Bu durumda;<br />
q<br />
2<br />
2<br />
W<br />
x<br />
[ u1,<br />
u2<br />
] ( ) [ u ] x 3,<br />
u4<br />
( x)<br />
[ u1,<br />
u3<br />
] ( ) [ u ] x 2 , u4<br />
( x)<br />
[ u1,<br />
u4<br />
] ( ) [ u u ] x 2 , 3 ( x)<br />
⎧−<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
( u1,<br />
u2<br />
, u3<br />
, u4<br />
) = ⎨+<br />
⎬<br />
(4.13)<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
−<br />
⎭<br />
eşitliği elde edilir (Fulton,1988). ( a , b)<br />
aralığındaki dördüncü mertebeden<br />
diferansiyel denklem ile ilişkisi olan maksimal L 1 operatörünün tanım kümesi;<br />
3<br />
D( L ) = { f ∈ L (( a,<br />
b);<br />
r | f ∈ C ( a,<br />
b)<br />
ve<br />
1<br />
2<br />
32<br />
( 4)<br />
f nün ( , b)<br />
a deki öz alt kümeleri<br />
mutlak süreklidir, Lf ∈ L (( a,<br />
b);<br />
r)}<br />
(4.14)<br />
2<br />
şeklinde ifade edilsin. Eğer x = a regüler bir uç noktası olursa, o zaman x = a da iki<br />
sınır koşulu verilebilir. α 1 ve α 2 reel 2 x 2 matrisleri;<br />
α α + α α = I<br />
(4.15i)<br />
1<br />
T<br />
1<br />
2<br />
T<br />
2<br />
2<br />
T T<br />
α α − α α = 0<br />
(4.15ii)<br />
1<br />
koşullarını sağlasın. Bu matrisler yukarıdaki koşullara denk olan;<br />
T<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
T<br />
2<br />
1<br />
α α + α α = I<br />
(4.15iii)<br />
T<br />
α α −α α = 0<br />
T<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
(4.15iv)<br />
koşullarını da sağlar. f ∈ D L ) ve F nin (4.5) değişkenler değişimi adı altında<br />
( 1<br />
yöndeş vektörler oldukları düşünülürse, x = a daki iki regüler sınır koşulları;<br />
( α 1 , α 2 ) F (a) = α1 F 1(a)<br />
+ α 2 2<br />
F (a)<br />
⎡ f ( a)<br />
⎤ ⎡−<br />
( q ′<br />
′ ′<br />
2 f ) ( a)<br />
+ q1<br />
f ( a)<br />
⎤ ⎡0<br />
⎤<br />
= α1 ⎢ ⎥ + α 2<br />
⎣ f ′ ( a)<br />
⎢<br />
⎥ =<br />
⎦ ⎣ q ′<br />
2 f ( a)<br />
⎢ ⎥ (4.16)<br />
⎦ ⎣0⎦<br />
olarak yazılabilir. Benzer bir şekilde, eğer x = b regüler bir uç noktası olursa β 1 ve<br />
β 2 reel 2 x 2 matrisleri seçilsin. Bu matrisler<br />
β β + β β = I<br />
(4.17i)<br />
1<br />
T<br />
1<br />
2<br />
T<br />
2<br />
2<br />
T<br />
T<br />
β β − β β = 0<br />
(4.17ii)<br />
koşullarını sağlasın. Buradan da iki regüler sınır koşulları;<br />
( β 1 , β 2 ) F (b) = β1 1 F (b) + β 2 2<br />
= 1<br />
1<br />
2<br />
⎡ f ( b)<br />
⎤<br />
β ⎢ ⎥<br />
⎣ f ′ ( b)<br />
⎦<br />
2<br />
1<br />
F (b)<br />
⎡−<br />
( q ′<br />
′ ′<br />
2 f ) ( b)<br />
+ q1<br />
f ( b)<br />
⎤ ⎡0<br />
⎤<br />
β ⎢<br />
⎥ =<br />
⎣ q ′<br />
2 f ( b)<br />
⎢ ⎥⎦ (4.18)<br />
⎦ ⎣0<br />
+ 2
olarak yazılır. Burada x = a ve x = b deki regüler sınır koşulları (4.6) Hamilton<br />
sistemi için self-adjoint sınır değer problemini ifade etmektedir. Diğer bir alternatifte<br />
dördüncü mertebeden (4.1) diferansiyel denklemi x = a ve x = b deki regüler sınır<br />
koşulları ile birlikte bir sınır değer problemi olarak kabul edilebilir (Fulton, 1988).<br />
Bu da hem sistem formülünü hem de özdeğer probleminin skaler dördüncü<br />
mertebeden formülünü elde etmeye yardımcı olur. Buradaki amaç Bessel karesi<br />
denkleminin açılım teorisini ele almak için nasıl genişletilebileceğini göstermektir.<br />
α i ve β i matrisleri<br />
( i)<br />
⎛α11<br />
α = ⎜ i ⎜ ( i)<br />
⎝α<br />
21<br />
( i)<br />
( i)<br />
α ⎞ ⎛<br />
12<br />
β11<br />
⎟<br />
( i)<br />
α ⎟<br />
, β ⎜ i =<br />
⎜ ( i)<br />
22 ⎠ ⎝ β 21<br />
( i)<br />
β ⎞ 12 ⎟<br />
( i)<br />
β ⎟<br />
i = 1,2 (4.19)<br />
22 ⎠<br />
şeklinde tanımlansın. Bu durumda α 1 ve α 2 matrisleri;<br />
( 1)<br />
⎛α11<br />
α = ⎜ 1 ⎜ ( 1)<br />
⎝α<br />
21<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
α ⎞ ⎛<br />
12<br />
α11<br />
⎟<br />
( 1)<br />
α ⎟<br />
, α ⎜ 2 =<br />
⎜ ( 2)<br />
22 ⎠ ⎝α<br />
21<br />
( 2)<br />
α ⎞ 12 ⎟<br />
( 2)<br />
α ⎟<br />
22 ⎠<br />
olarak ifade edilir. Burada da (4.15ii) koşulunda α 1 ve α 2 matrisleri yerine yazılırsa;<br />
( 1)<br />
⎛α11<br />
α<br />
⎜<br />
( 1)<br />
⎝α<br />
21 α<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
( ⎛α<br />
⎜<br />
(<br />
⎝α<br />
1)<br />
11<br />
1)<br />
21<br />
( ⎛α<br />
⎜<br />
(<br />
⎝α<br />
1)<br />
11<br />
1)<br />
21<br />
α<br />
α<br />
( 1)<br />
12<br />
( 1)<br />
22<br />
α<br />
α<br />
( ⎞ ⎛α<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ (<br />
⎠ ⎝α<br />
( 1)<br />
12<br />
( 1)<br />
22<br />
2)<br />
11<br />
2)<br />
21<br />
⎞⎛α<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝α<br />
α<br />
α<br />
( 2)<br />
12<br />
( 2)<br />
22<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
11<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
12<br />
α<br />
α<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
11<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
11<br />
+ α<br />
+ α<br />
12<br />
22<br />
α<br />
α<br />
12<br />
12<br />
α<br />
α<br />
0<br />
11<br />
21<br />
α<br />
α<br />
21<br />
21<br />
+ α<br />
+ α<br />
12<br />
22<br />
21<br />
22<br />
α<br />
α<br />
T<br />
( ⎛α<br />
-⎜<br />
⎜ (<br />
⎝α<br />
⎞ ⎛α<br />
⎟ − ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝α<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( α α + α α ) − ( α α + α α )<br />
21<br />
11<br />
22<br />
12<br />
bulunur. Böylelikle;<br />
21<br />
11<br />
22<br />
22<br />
22<br />
12<br />
2)<br />
11<br />
2)<br />
21<br />
33<br />
α<br />
α<br />
( 2)<br />
12<br />
( 2)<br />
22<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
11<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
21<br />
⎞ ⎛α<br />
⎟ − ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝α<br />
α<br />
α<br />
12<br />
22<br />
( ⎞ ⎛α<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ (<br />
⎠ ⎝α<br />
⎞⎛α<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝α<br />
1)<br />
11<br />
1)<br />
21<br />
α<br />
α<br />
( 1)<br />
12<br />
( 1)<br />
22<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
T<br />
⎛0<br />
0⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝0<br />
0⎠<br />
( 1)<br />
( 1)<br />
⎞ ⎛0<br />
0<br />
11 α 21 ⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
() () =<br />
1 1<br />
12<br />
α<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
11<br />
( 2)<br />
21<br />
α<br />
α<br />
11<br />
( 1)<br />
11<br />
+ α<br />
+ α<br />
12<br />
( 2)<br />
22<br />
α<br />
α<br />
12<br />
( 1)<br />
12<br />
22<br />
⎟<br />
⎠<br />
α<br />
α<br />
( 2)<br />
11<br />
( 2)<br />
21<br />
⎝0<br />
α<br />
α<br />
( 1)<br />
21<br />
( 1)<br />
21<br />
0⎠<br />
+ α<br />
+ α<br />
( 2)<br />
12<br />
( 2)<br />
22<br />
α<br />
α<br />
( 1)<br />
22<br />
( 1)<br />
22<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( α α + α α ) − ( α α + α α )<br />
11<br />
( ( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
11 α 21 + α12<br />
α 22 ) − ( α11<br />
α 21<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
+ α12<br />
α 22 ) = 0<br />
( ( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
α + α α ) − ( α α<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
+ α α ) = 0<br />
21<br />
12<br />
22<br />
0<br />
11<br />
21<br />
12<br />
22<br />
⎞<br />
⎟<br />
= 0<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
= 0<br />
⎠<br />
α (4.20i)<br />
α (4.20ii)<br />
21<br />
11<br />
22<br />
12<br />
koşulları elde edilir. Bu da (Everit, 1957) tarafından kullanılan self-adjoint sınır<br />
koşuluna denktir. Uygun başlangıç koşullarıyla a ve b deki iki sınır koşulunu<br />
sağlayan lineer bağımsız çözümü bulmak için; ( x,<br />
λ)<br />
de tanımlanan çözümler olsun, başlangıç koşulları;<br />
21<br />
11<br />
22<br />
12<br />
Φ ve ( x,<br />
λ)<br />
Ψ sırasıyla a ve b
⎛− α<br />
Φ (a, λ ) = ⎜<br />
T<br />
⎝ α1<br />
T<br />
2<br />
( 2 ⎛−<br />
α11<br />
⎜<br />
( 2 ⎞ ⎜−<br />
α12<br />
⎟<br />
= ⎜ ( 1)<br />
⎠ ⎜<br />
α11<br />
⎜ ( 1)<br />
⎝ α12<br />
34<br />
)<br />
)<br />
(<br />
−α<br />
ve (4.21)<br />
( 2 ⎛−<br />
β11<br />
⎜<br />
T<br />
( 2<br />
⎛− β ⎞ 2 ⎜−<br />
β12<br />
Ψ (b, λ ) = ⎜ ⎟<br />
⎜ T ⎟<br />
= ⎜ ( 1)<br />
⎝ β1<br />
⎠ ⎜<br />
β11<br />
⎜ ( 1)<br />
⎝ β12<br />
)<br />
)<br />
α<br />
α<br />
α<br />
2)<br />
21<br />
( 2)<br />
22<br />
( 1)<br />
21<br />
( 1)<br />
22<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
( 2)<br />
− β ⎞ 21 ⎟<br />
( 2)<br />
β 22 ⎟<br />
( 1)<br />
⎟<br />
β 21 ⎟<br />
( 1)<br />
β ⎟<br />
22 ⎠<br />
olarak verilirsin. Burada Φ nin a da ki sınır koşulları, Ψ nin de b deki sınır<br />
koşullarını sağladığı kolaylıkla gösterilir. Yukarıdaki başlangıç koşulları ile verilen<br />
çözüm<br />
ve<br />
⎡<br />
⎢<br />
Φ = ⎢<br />
⎢−<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
Φ (x, λ ) = ( ,Φ )<br />
⎡<br />
⎢<br />
Ψ = ⎢<br />
⎢−<br />
⎢<br />
⎣<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
Ψ (x, λ ) = ( ,Ψ )<br />
φ1<br />
φ′<br />
′<br />
′<br />
( q φ′<br />
′ ) + q φ′<br />
− ( q φ′<br />
′ )<br />
2<br />
1<br />
q φ′<br />
′<br />
2<br />
1<br />
1<br />
χ ′ 1<br />
′<br />
1<br />
1<br />
( q χ ′<br />
) + q χ − ( q χ ′<br />
)<br />
2<br />
χ<br />
1<br />
2<br />
1<br />
q χ′<br />
′<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
φ2<br />
⎤<br />
φ′<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
+ ′ ⎥<br />
2 q1φ<br />
2<br />
⎥<br />
q ′<br />
2φ2<br />
⎥⎦<br />
χ 2 ⎤<br />
χ′<br />
′<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
′<br />
+ ⎥<br />
2 q1χ<br />
2<br />
⎥<br />
q ′<br />
2 χ 2 ⎦<br />
(4.22)<br />
(4.23)<br />
olarak yazılabilir. Bu Φ nın her bir bileşeninin a da ki sınır koşullarının her ikisini<br />
de sağladığı ve Ψ nin de b deki sınır koşullarının her ikisini de sağladığını gösterir.<br />
(4.21) deki başlangıç koşullarında lineer bağımsız { } ) 2 ( ) 1 (<br />
, Φ<br />
bağımsız çözümlerdir. Aynı durum { } ) 2 ( ) 1 (<br />
Ψ ,Ψ ve { }<br />
Φ ve { }<br />
1 , χ 2<br />
φ ; lineer<br />
1 ,φ2<br />
χ içinde geçerlidir<br />
(Fulton, 1988). Dördüncü mertebeden (4.1) diferansiyel denklemin çözümleri<br />
{ , φ , χ , χ }<br />
φ olarak gösterilir. (4.11) eşitliği ve (4.21) başlangıç koşulları<br />
1<br />
2<br />
1<br />
kullanılarak<br />
2<br />
( x,<br />
λ ) JΦ(<br />
x,<br />
λ)<br />
T<br />
Φ =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
[ ]( ) [ ]( )<br />
[ ]( ) [ ]( ) ⎥ φ1,<br />
φ1<br />
x φ2<br />
, φ1<br />
x ⎤<br />
φ1,<br />
φ2<br />
x φ2<br />
, φ2<br />
x ⎦<br />
⎡0<br />
0⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣0<br />
0⎦<br />
(4.24i)
ve<br />
( x,<br />
λ ) JΨ(<br />
x,<br />
λ)<br />
T<br />
Ψ =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
[ ]( ) [ ]( )<br />
[ ]( ) [ ]( ) ⎥ χ1,<br />
χ1<br />
x χ 2 , χ1<br />
x ⎤<br />
χ1,<br />
χ 2 x χ 2 , χ 2 x ⎦<br />
35<br />
⎡0<br />
0⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣0<br />
0⎦<br />
T<br />
Φ ( a,<br />
λ ) JΦ(<br />
a,<br />
λ′<br />
)<br />
T<br />
Ψ ( b,<br />
λ ) JΨ(<br />
b,<br />
λ′<br />
)<br />
bağıntıları elde edilir (Fulton, 1988). Burada [ φ ]( x)<br />
= [ ]( ) x , χ<br />
(4.24ii)<br />
= 0 ∀ λ , λ′ ∈C (4.25i)<br />
= 0 ∀ λ , λ′ ∈C (4.25ii)<br />
1 2 ,φ<br />
görülür. (4.16) ve (4.18) sınır koşulları Φ ve Ψ kullanılarak;<br />
( a,<br />
λ)<br />
JF(<br />
a)<br />
T<br />
Φ =<br />
[ f , φ ]( a)<br />
χ = 0 olduğu<br />
[ ]( )⎟ ⎟<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛0<br />
⎞<br />
⎜<br />
= ⎜ ⎟<br />
(4.26)<br />
⎝ f , φ2<br />
a ⎠ ⎝0<br />
⎠<br />
[ f , χ ]( b)<br />
T<br />
Ψ ( b,<br />
λ)<br />
JF(<br />
b)<br />
=<br />
[ ]( )⎟ ⎟<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛0<br />
⎞<br />
⎜<br />
= ⎜ ⎟<br />
(4.27)<br />
⎝ f , χ 2 b ⎠ ⎝0<br />
⎠<br />
olarak yazılabilir. İki regüler (4.16) ve (4.18) sınır koşulu için ara durumlar<br />
özetlenirse; İlk önce öz değerler, aşağıdaki fonksiyonun kökleri olarak belirlenir.<br />
2 ( λ)<br />
q x)<br />
W ( φ , φ , χ , χ )<br />
Yukarıdaki eşitlik de (4.13) eşitliği kullanılarak;<br />
W<br />
α , β<br />
( λ)<br />
α , β<br />
W = 2 ( x 1 2 1 2<br />
(4.28)<br />
⎧−<br />
2<br />
⎪<br />
= q2<br />
( x)<br />
Wx<br />
( φ1,<br />
φ2<br />
, χ1,<br />
χ 2 ) = ⎨+<br />
⎪<br />
⎩−<br />
[ φ1,<br />
φ2<br />
] ( λ)<br />
[ χ1,<br />
χ 2 ] ( λ)<br />
⎫<br />
⎪<br />
[ φ1,<br />
χ1<br />
] ( λ)<br />
[ φ2<br />
, χ 2 ] ( λ)<br />
⎬<br />
[ φ , ] ( ) [ , ] ( ) ⎪<br />
1 χ 2 λ φ2<br />
χ1<br />
λ ⎭<br />
yazılabilir. Burada birinci satır (4.24i) ve (4.24ii) bağıntılarından 0 a eşit olur. Bu<br />
durumda;<br />
W<br />
α , β<br />
( λ)<br />
⎧ φ1<br />
⎪+<br />
⎪ φ′<br />
1<br />
= ⎨<br />
⎪<br />
φ1<br />
−<br />
⎪<br />
⎩ φ′<br />
1<br />
= ( )( )<br />
χ1<br />
φ2<br />
χ ′ ′ 1 φ2<br />
χ 2 φ2<br />
χ′<br />
φ′<br />
2<br />
2<br />
χ 2 ⎫<br />
⎪<br />
χ′<br />
2 ⎪<br />
⎬<br />
χ1<br />
⎪<br />
χ′<br />
⎪ 1 ⎭<br />
⎧ φ ′ ′ ′ ′<br />
1χ1<br />
− φ1χ<br />
1 φ2<br />
χ 2 −φ<br />
2χ<br />
2<br />
⎨<br />
⎩−<br />
φ ′ − ′ ′ − ′<br />
1χ<br />
2 φ1χ<br />
2 φ2<br />
χ1<br />
φ2<br />
χ1<br />
( )( ) ⎭ ⎬ ⎫<br />
φ1χ<br />
′ 1 −φ<br />
′ 1χ1<br />
=<br />
φ χ′<br />
−φ<br />
′ χ<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
φ χ′<br />
−φ<br />
′ χ<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
φ χ′<br />
−φ<br />
′ χ<br />
φ<br />
, χ ( λ)<br />
φ , χ ( λ)<br />
= [ ] [ ]<br />
1 1<br />
2 1<br />
[ φ , χ ] ( λ)<br />
[ φ , χ ] ( λ)<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2
=<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
⎟ ⎛[<br />
φ1,<br />
χ1](<br />
λ)<br />
det ⎜<br />
⎝ φ1,<br />
χ 2 ( λ)<br />
φ2<br />
, χ1<br />
( λ)<br />
⎞<br />
[ φ2<br />
, χ 2 ]( λ)<br />
⎠<br />
şeklinde yazılabilir. Bu eşitliğinde (4.24) den<br />
T ( x,<br />
λ ) JΦ(<br />
x,<br />
λ)<br />
biliniyor. Bu durumda;<br />
36<br />
Ψ ye eşit olduğu<br />
α , β<br />
T<br />
W ( λ)<br />
= det( Ψ ( x,<br />
λ ) JΦ(<br />
x,<br />
λ)<br />
) (4.29)<br />
yazılabilir. Hamilton sistemi formülüne yardımcı olan 4× 2 matrisleri için Φ ve Ψ<br />
nin başka sembolleri kullanılır. φ 1 ve φ 2 hem de onların türevlerini içeren 2× 2<br />
matrisleri Φ ( , λ)<br />
ve ( ) λ ,<br />
1 x<br />
Φ ;<br />
2 x<br />
⎡Φ1(x,<br />
λ)<br />
⎤<br />
Φ ( x,<br />
λ)<br />
= ⎢ ⎥ (4.30)<br />
⎣Φ<br />
2 (x, λ)<br />
⎦<br />
olarak tanımlanır. Benzer tanımlama Ψ ( x,<br />
λ)<br />
için de yapılır. Yukarıdaki tanımlama<br />
kullanılarak öz değerleri belirleyen 2x2 matrisi ;<br />
T<br />
T<br />
ω λ = Ψ ( x,<br />
λ)<br />
JΦ<br />
x,<br />
λ<br />
( ) ( )<br />
⎛ω<br />
11(<br />
λ)<br />
= ⎜<br />
⎝ω12<br />
( λ)<br />
ω21(<br />
λ)<br />
⎞<br />
⎟<br />
ω22<br />
( λ)<br />
⎠<br />
= [ ]( ) [ ]( )<br />
[ ]( ) [ ]( ) ⎟⎟<br />
⎛ φ1,<br />
χ1<br />
λ<br />
⎜<br />
⎝ φ1,<br />
χ 2 λ<br />
φ2<br />
, χ1<br />
λ ⎞<br />
φ2<br />
, χ 2 λ ⎠<br />
= β Φ b, λ)<br />
+ β Φ ( b,<br />
λ)<br />
1<br />
1(<br />
2 2<br />
= ( ) ( ) T<br />
T T<br />
T<br />
− Φ , λ α − Ψ a,<br />
λ α<br />
1<br />
a 1 2<br />
2<br />
= ( ) ( ) T<br />
− α Ψ a , λ + α Ψ a,<br />
λ )<br />
(4.31)<br />
( 1 1<br />
2 2<br />
olarak yazılabilir (Fulton, 1988). φ ve χ fonksiyonlarını Titchmarsh’ın<br />
fonksiyonları “φ ve χ ’’ ile kıyaslayınca, φ ve χ ;<br />
φ ( x , λ)<br />
: = ⎟ ⎛φ1(x,<br />
λ)<br />
⎞<br />
⎜<br />
ve χ ( x , λ)<br />
: =<br />
⎝φ<br />
2 (x, λ)<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛ χ1(x,<br />
λ)<br />
⎞<br />
⎜<br />
(4.32)<br />
⎝ χ 2 (x, λ)<br />
⎠<br />
olarak tanımlanır. (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi , x = a ve x = b<br />
deki sınır koşullarıyla elde edilen sınır değer problemi için Green fonksiyonunun<br />
x = ξ da bulunan 3 üncü mertebeden türevdeki sıçrayan süreksizliği ;<br />
ω( λ)<br />
matrisiyle;
G(x, ξ , λ ) =<br />
⎧x<br />
⎨<br />
⎩x<br />
olarak ifade edilir (Fulton, 1988). ( ) 0<br />
operatör<br />
şeklindedir (Fulton, 1988). Buradaki<br />
R<br />
T<br />
T<br />
−1<br />
( ξ,<br />
λ)<br />
ω φ(<br />
x,<br />
λ),<br />
a ≤ x p ξ ⎫<br />
−<br />
⎬<br />
(4.33)<br />
1<br />
( x,<br />
λ)<br />
ω φ(<br />
ξ,<br />
λ),<br />
ξ p x ≤ b⎭<br />
α , β<br />
W λ ≠ sağlayan her λ için rezolvent<br />
b<br />
α , β ( λ; L ) f : = ∫ G(<br />
x,<br />
ξ;<br />
λ)<br />
f ( ξ ) r(<br />
ξ ) dξ<br />
a<br />
37<br />
(4.34)<br />
α , β<br />
L ; sınır koşulları (4.16) ve (4.18) ile verilen<br />
ve L 1 in kısıtlanması olarak belirlenen self-adjoint operatördür.<br />
r (λ ) = rank ω(<br />
λ)<br />
; k ( λ ), [ a,<br />
b]<br />
üzerinde lineer bağımsız olan λ nın öz fonksiyon<br />
sayısı olarak tanımlansın. (4.35)<br />
Teorem 4.1: (i) λ nın bütün değerleri için r ( λ ) + k ( λ ) = 2<br />
(ii) λ n ,<br />
α , β<br />
W nin bir basit sıfırı ise , r ( n ) = k ( λ n ) = 1<br />
λ dir.<br />
normal durumdaki reel değere sahip bir öz fonksiyon için<br />
1<br />
2<br />
⎛ k ⎞<br />
Ψ n ( x) =<br />
⎜<br />
[ ω22<br />
( λn<br />
) φ1(<br />
x,<br />
λn<br />
) − ω12<br />
( λn<br />
) φ2<br />
( x,<br />
λn<br />
) ]<br />
ω22<br />
( λn<br />
) W ( λn<br />
) ⎟<br />
(4.36)<br />
⎝ ′ ⎠<br />
elde edilir. Burada “ k ” lineer bağımlılık ilişkisi tarafından belirlenen bir reel sabit<br />
katsayıdır.<br />
( λ ) χ ( x λ ) ω χ ( x,<br />
λ ) = k[<br />
ω ( λ ) φ ( x,<br />
λ ) − ω ( λ ) φ ( x λ ) ]<br />
ω − , (4.37)<br />
22<br />
Burada ( λ)<br />
≠ 0<br />
22<br />
n<br />
1<br />
, n 21 2 n<br />
22 n 1 n 12 n 2<br />
ω kabulü yapılırsa, yukarıdaki öz fonksiyon<br />
olarak elde edilir.<br />
(iii) Eğer r ( λ ) = 0 ve ( ) = 2<br />
lineer bağımlı olursa;<br />
n<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
Ψ<br />
n<br />
2<br />
( ) r(<br />
x)<br />
x dx = 1<br />
k λ n ise ve hem χ 1 hem de 2<br />
( x , λ)<br />
c1φ1<br />
( x,<br />
λ)<br />
+ c2φ2<br />
( x λ)<br />
( x λ)<br />
d φ ( x,<br />
λ)<br />
+ d φ ( x λ)<br />
n<br />
(4.38)<br />
χ , φ 1 ve φ 2 üzerinde<br />
χ = ,<br />
(4.39i)<br />
1<br />
χ = ,<br />
(4.39ii)<br />
2<br />
, 1 1<br />
2 2<br />
şeklinde sabitler oluşur. ∆ = c d − c d ≠ 0 olur.<br />
Bu durumda Schmidt ortagonalleştirme yöntemi ile;<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1
Ψ<br />
2n<br />
elde edilir.<br />
(iv)<br />
1<br />
2<br />
1n ( )<br />
d 2ω11(<br />
λn<br />
) c2ω12<br />
( λn<br />
) ⎟ ⎛ ∆ ⎞<br />
=<br />
⎜<br />
′ − ′<br />
38<br />
( x,<br />
)<br />
Ψ x φ1<br />
λn<br />
(4.40i)<br />
⎝<br />
⎠<br />
{ } ⎟ ⎟⎟<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜(<br />
c ′ ′<br />
′ ′<br />
1ω12(<br />
λn)<br />
−d1ω<br />
11(<br />
λn))<br />
φ1(<br />
x,<br />
λn)<br />
−(<br />
d2ω11(<br />
λn)<br />
−c2ω12(<br />
λn))<br />
φ2(<br />
x,<br />
λn)<br />
( x)<br />
=<br />
⎜<br />
1<br />
⎝ ( d ′ − ′ ′ ′ − ′ ′ 2<br />
2ω11(<br />
λn)<br />
c2ω12(<br />
λn))(<br />
ω11(<br />
λn)<br />
ω22(<br />
λn)<br />
ω12(<br />
λn)<br />
ω21(<br />
λn))<br />
⎠<br />
α , β<br />
L , self-adjoint operatöre karşılık gelen öz fonksiyon açılımı da;<br />
şeklinde elde edilir. (Fulton, 1988)<br />
⎛<br />
Ψ<br />
⎝<br />
4.2 ‘ S ’ Dönüşümü ve Plücker Özdeşliği<br />
b<br />
f = ∑ ⎜∫<br />
n<br />
⎟ n<br />
∀λn<br />
a<br />
( x)<br />
⎜ ( x)<br />
f ( x)<br />
r(<br />
x)<br />
dx⎟Ψ<br />
( x)<br />
⎞<br />
⎠<br />
(4.40ii)<br />
(4.41)<br />
S– dönüşümü, Bessel karesi denkleminin Lim-4 durumu için yardımcıdır. (4.1)<br />
dördüncü mertebeden diferansiyel denklemin temel çözümleri u , u , u , u } olarak<br />
alınsın bu durumda<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
[ ] [ ] [ ] [ ]<br />
[ ] [ ] [ ] [ ]<br />
[ ] [ ] [ ] [ ]<br />
[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎥⎥⎥<br />
u1,<br />
u1<br />
u2<br />
, u1<br />
u3,<br />
u1<br />
u4<br />
, u1<br />
⎤<br />
u1,<br />
u2<br />
u2<br />
, u2<br />
u3,<br />
u2<br />
u4<br />
, u2<br />
u1,<br />
u3<br />
u2<br />
, u3<br />
u3,<br />
u3<br />
u4<br />
, u3<br />
u , u u , u u , u u , u<br />
1<br />
4<br />
2<br />
4<br />
3<br />
4<br />
4<br />
4<br />
⎦<br />
=<br />
⎡0<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢1<br />
⎢<br />
⎣0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
{ 1 2 3 4<br />
0 ⎤<br />
−1<br />
⎥<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
⎥<br />
0 ⎦<br />
(4.42)<br />
normal koşulu yazılabilir (Fulton, 1988). Yukarıda yazılan koşul ve (4.13) eşitliği<br />
kullanılarak;<br />
elde edilir ve<br />
⎧−<br />
2<br />
⎪<br />
q 2 Wx<br />
( u1,<br />
u2<br />
, u3<br />
, u4<br />
) = ⎨+<br />
⎪<br />
⎩<br />
−<br />
2<br />
2<br />
[ u1,<br />
u2<br />
] ( ) [ u3<br />
, u ] x<br />
4 ( x)<br />
[ u1,<br />
u3<br />
] ( ) [ u2<br />
, u4<br />
] x<br />
( x)<br />
[ u1,<br />
u4<br />
] ( ) [ u2<br />
, u3<br />
] x<br />
( x)<br />
( x)<br />
W u , u , u , u ) = 1<br />
( 1 2 3 4<br />
⎫ ⎧0⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎬ = ⎨1⎬<br />
= 1<br />
⎪ ⎪0⎪<br />
⎭ ⎩ ⎭<br />
q x (4.43)<br />
olduğu görülür. (4.5) altındaki u , u , u , u } den elde edilen vektörleri<br />
U , U , U , U } ile ifade edilerek ;<br />
{ 1 2 3 4<br />
{ 1 2 3 4<br />
0 ( x)<br />
JU 0 ( x)<br />
= J<br />
(4.44)<br />
U T
normal koşulu yazılabilir. U 0 ;<br />
0<br />
[ U , U , U , U ]<br />
U = (4.45)<br />
1<br />
olarak ifade edilen 4x4 matrisidir (Fulton, 1988). Bu da U 0 ın üçüncü ve dördüncü<br />
satırlarını takip ederek detU 0 = 1 olan (4.42) normal koşulunu kullanarak devam<br />
ediyor. f ∈ D L ) için, (4.5) vasıtasıyla Hamilton sistemleri için yöndeş<br />
( 1<br />
elementlerle bağlantı kurulursa ;<br />
f ↔ F =<br />
elde edilir. Buradan S dönüşümü;<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢−<br />
( q<br />
⎢<br />
⎣<br />
2<br />
2<br />
39<br />
3<br />
4<br />
f ⎤<br />
f ′<br />
⎥<br />
⎥<br />
f ′<br />
) ′ + q ′ ⎥ 1 f<br />
⎥<br />
q f ′<br />
2 ⎦<br />
(SF) (x) = ⎟ 2 ⎡q<br />
⎤<br />
2Wx(<br />
f , u2<br />
, u3<br />
, u4<br />
)<br />
⎢ 2<br />
⎥<br />
⎛ ( SF)<br />
1(<br />
x)<br />
⎞ −1<br />
⎜ = U 0 F = ⎢q<br />
2Wx(<br />
u1,<br />
f , u3<br />
, u4<br />
) ⎥<br />
⎝(<br />
SF)<br />
2 ( x)<br />
⎠ ⎢ 2<br />
q ( , , , ) ⎥<br />
2Wx<br />
u1<br />
u2<br />
f u4<br />
⎢ 2<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
q2Wx(<br />
u1,<br />
u2<br />
, u3<br />
, f ) ⎥⎦<br />
(4.46)<br />
olarak tanımlanır. Bu eşitliğin sağ tarafı, Cramer kuralı uygulanarak ve U ( SF)<br />
= F<br />
formülü kullanılarak kolayca bulunabilir (Fulton,1988). Yukarıdaki eşitliğin sağ<br />
kısmı (4.12) kullanılarak sadeleştirilebilir; böylelikle<br />
(SF) (x) =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
[ f , u3<br />
]<br />
[ f , u4<br />
]<br />
[ u1,<br />
f ]<br />
[ u , f ]<br />
2<br />
( x)<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
( x)<br />
⎥ = ⎢<br />
( x)<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
( x)<br />
⎦ ⎢⎣<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥<br />
T<br />
U ⎤<br />
3 JF ( x)<br />
T<br />
U 4 JF ( x)<br />
T<br />
F JU1<br />
( x)<br />
T<br />
F JU ( x)<br />
2<br />
⎦<br />
0<br />
(4.47)<br />
elde edilir. Bu eşitlik ikinci mertebeden denklemlerdeki duruma benzer bir Plücker<br />
özdeşliğidir (Fulton,1988).<br />
Lemma4.1 : ( ) L D g ∀ f ∈ için<br />
, 1<br />
Sağlanır (Fulton, 1988).<br />
T<br />
T<br />
[ f , g]<br />
( x)<br />
G JF = ( SG)<br />
J ( SF)<br />
= (4.48)<br />
−1<br />
İspat: Eğer (4.44) normalleştirmesi kullanılıp ve V0= U yerine yazılırsa ;<br />
elde edilir. Buradan ;<br />
V T<br />
0<br />
0 JV0<br />
= J<br />
(4.49)
ulunur.<br />
T<br />
−1<br />
T −1<br />
T T<br />
T<br />
( SG)<br />
J ( SF ) = ( U G)<br />
J ( U F ) = G ( V JV ) F = G JF<br />
4.3: Lim-4 Durumu Genel Teori<br />
(4.6) denklemi;<br />
şeklinde yazılabilir. (4.42-45) ün U 0 matrisinin<br />
0<br />
0<br />
40<br />
0<br />
0<br />
J F′<br />
= ( λ A+B) F (4.50)<br />
J U ′ = BU<br />
(4.51)<br />
0<br />
formülünü sağladığını varsayalım. (4.50) sisteminin çözümleri için S dönüşümünü<br />
uygularsak;<br />
0<br />
−1<br />
Y ( x)<br />
= ( SF)(<br />
x)<br />
= U F(<br />
x)<br />
(4.52)<br />
−1<br />
olduğu görülür. V = U için, (4.44) ve (4.49) kullanarak V 0 ın<br />
0<br />
0<br />
0<br />
T<br />
JV<br />
′ = −U<br />
B<br />
(4.53)<br />
0<br />
denklemini sağladığı görülür. Bu eşitlik kullanılarak; yukarıdaki değişken<br />
değişiminin,(4.50) ifadesini;<br />
T<br />
JY<br />
′ = λ(<br />
U AU )Y<br />
(4.54)<br />
eşitliği ile ifade edilen modifiye şekle dönüştürdüğü görülür. Burada<br />
T<br />
U 0 AU 0 i j<br />
0<br />
0<br />
0<br />
= [ u u r]<br />
(4.55)<br />
alınmıştır. x = b deki lim-4 önermesi altında, r (x)<br />
e göre tüm çözümlerin<br />
integrallenebilir fonksiyonlar olması koşulu sağlanır. Böylece U AU L ( a b)<br />
T<br />
,<br />
0 0 ∈ 1 ve<br />
(4.54) denkleminin bu çözümleri de, singüler lim-4 uç noktasındaki başlangıç<br />
koşulları ile tanımlanabilir. Regüler uç noktasında da x = b , self-adjoint sınır<br />
koşulları ifade edilebilir (Fulton, 1988). γ 1 ve γ 2 reel 2x2 matrisleri;<br />
koşullarını sağlasın. x = b deki Lim-4 koşulları<br />
( )<br />
γ γ + γ γ = I<br />
(4.56i)<br />
1<br />
T<br />
1<br />
2<br />
T<br />
2<br />
1 2 ,γ γ (SF)(b)= γ 1 (SF)1(b) + 2<br />
2<br />
T T<br />
γ γ + γ γ = 0<br />
(4.56ii)<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
γ (SF)2(b)
[ ]<br />
[ ] ⎟ f , u3<br />
( b)<br />
⎞<br />
f , u ( b)<br />
⎛<br />
= γ 1 ⎜<br />
⎝ 4<br />
+ γ 2<br />
⎠ [ ] ⎟ ⎛ u1,<br />
f ( b)<br />
⎞<br />
⎜ = 0 (4.57)<br />
⎝ u2<br />
, f ( b)<br />
⎠<br />
olarak yazılabilir. Burada ( ) L D f deki keyfi bir vektör ve f , F de (4.46) – (4.47)<br />
; 1<br />
41<br />
[ ]<br />
ile ilişkilidir. Lim-4 önermesi altında ui , i = 1,<br />
4 çözümleri x = b de r ye göre<br />
integrallenebilir fonksiyonlardır (Fulton, 1988). Bu durumda bu da Green’nin (4.8)<br />
formülünü<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
lim( SF)(<br />
x)<br />
= lim<br />
x→b<br />
x→b<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
[ ] ⎟ ⎟⎟⎟⎟<br />
f , u3<br />
( x)<br />
⎞<br />
f , u4<br />
( x)<br />
u1,<br />
f ( x)<br />
u , f ( x)<br />
2<br />
⎠<br />
(4.58)<br />
olarak takip eder, bu ifade de ∀ f ∈ D L ) için geçerlidir. Bu şekilde (4.57) da<br />
( 1<br />
belirtilen limitler var olur ve x = b de dört lineer bağımsız sınır değeri ifade edilir<br />
(Dunford and Schwarlz, 1963). Yb ( x,<br />
λ)<br />
, x = b deki sınır koşullarını sağlayan (4.54)<br />
denkleminin tek çözümü olsun. O halde<br />
olmak üzere<br />
limY<br />
x→b<br />
b<br />
T ⎛− γ ⎞<br />
λ<br />
⎜<br />
(4.59)<br />
T<br />
⎝ γ 1 ⎠<br />
( ) ⎟ 2<br />
x,<br />
= ⎜<br />
Ψ ( , λ) = U ( x)<br />
Y ( x,<br />
λ)<br />
: (4.60)<br />
x o b<br />
alalım. (4.52) değişken değişimi altında, Ψ ( x,<br />
λ)<br />
; (4.50) denkleminin bir çözümüdür<br />
ve bu yüzden dördüncü mertebeden (4.1) denklemin iki skaler çözümü χ 1 ve χ 2 nin<br />
terimleri (4.23) şeklinde yazılabilir (Fulton, 1988). Bu durumda;<br />
Y b<br />
( x,<br />
λ) = ( SΨ)(<br />
x,<br />
λ)<br />
elde edilir. Burada (4.54) modifiye edilmiş denklemi ihmal edip, (4.50) denkleminin<br />
tek çözümü Ψ yi gözlemleyerek sınır koşullarıyla;<br />
( ) ⎟ T ⎛− γ ⎞ 2<br />
lim(<br />
S Ψ)<br />
X , λ = ⎜<br />
→<br />
⎜<br />
(4.61)<br />
x b<br />
⎝ γ 1 ⎠<br />
yazılabilir. Burada (4.57) koşulları yerine yazılırsa, Ψ nin b deki sınır koşullarını<br />
sağladığı görülür. (4.59) ve (4.60) deki iki sütun vektörde lineer bağımsız<br />
olduklarından,<br />
() 1 ( 2)<br />
, Ψ )<br />
Ψ = ( Ψ , (4.50) denkleminin iki lineer bağımsız çözümünü
verir ve skaler çözümlerden { χ 1 , χ 2 } de lineer bağımsızdır. (4.11) ve (4.61) sınır<br />
koşulları kullanıldığında<br />
ve<br />
Ψ<br />
T<br />
( x,<br />
) JΨ(<br />
x,<br />
λ)<br />
[ χ1,<br />
χ1<br />
] ( x)<br />
[ χ 2 , χ1<br />
] ( x)<br />
⎤ ⎡0<br />
0⎤<br />
=<br />
[ χ , ] ( ) [ , ] ( )<br />
⎥ ⎢<br />
0 0<br />
⎥<br />
1 χ 2 x χ 2 χ 2 x ⎦<br />
⎡<br />
λ = ⎢<br />
(4.62)<br />
⎣<br />
⎦ ⎣<br />
( x,<br />
λ ) JΨ(<br />
x,<br />
λ′<br />
) = 0∀λ,<br />
λ′<br />
∈ C<br />
T<br />
lim Ψ<br />
(4.63)<br />
x→b<br />
bağıntıları elde edilir (Fulton,1988). Bu bağıntıları kanıtlamak için (4.48) de Plücker<br />
özdeşliği kullanılarak ,<br />
T<br />
( x,<br />
λ ) JΨ(<br />
x,<br />
λ′<br />
) = lim(<br />
SΨ)<br />
( x,<br />
λ)<br />
J ( SΨ)(<br />
, λ′<br />
)<br />
T<br />
lim Ψ<br />
x<br />
x→b<br />
x→b<br />
= ( ) ⎟ T ⎛− γ ⎞ 2<br />
− γ ⎜<br />
2 , γ 1 J<br />
⎜<br />
(4.64)<br />
T<br />
⎝ γ 1 ⎠<br />
elde edilir. (4.57) singüler sınır koşulu Ψ nin terimleri ile ifade edilirse;<br />
42<br />
[ f , χ1<br />
]( b)<br />
⎞ ⎛0<br />
⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
[ ]( ) ⎟<br />
f , b<br />
T<br />
⎛<br />
lim Ψ ( x,<br />
λ ) JF(<br />
x)<br />
= ⎜<br />
x→b ⎝ χ 2 ⎠<br />
(4.65)<br />
⎝0<br />
⎠<br />
elde edilir (Fulton, 1988). Bu da kolaylıkla Plücker özdeşliğini ve (4.61) sınır<br />
α , γ<br />
koşullarını kullanarak saptanabilir. L operatörünün tanım kümesi<br />
{ f ∈ D(<br />
L ) | α F ( a)<br />
+ α F ( a)<br />
= 0,<br />
γ ( SF)<br />
( b)<br />
+ ( SF)<br />
( ) = 0}<br />
α,<br />
γ<br />
D( L ) = 1 1 1 2 2<br />
1 1 γ 2 2 b<br />
olarak tanımlansın.<br />
durumda olduğu gibi, öz değerler aşağıdaki fonksiyonun kökleriyle belirlenir<br />
Buradan<br />
(4.66)<br />
α , γ<br />
L operatörü bir self-adjoint (kendine eş) operatördür. Regüler<br />
2 ( λ)<br />
q W ( φ φ , χ , χ ) = det(<br />
( x)<br />
)<br />
α , γ<br />
W = x ω . (4.67)<br />
2<br />
1,<br />
2 1 2<br />
⎛ω<br />
( λ)<br />
⎜<br />
⎝ω12<br />
( λ)<br />
ω ( λ)<br />
⎞<br />
ω22<br />
( λ)<br />
⎠<br />
( ) ( ) ( ) ⎟ T<br />
11<br />
21<br />
λ = Ψ x,<br />
λ JΦ<br />
, λ = ⎜<br />
T<br />
ω x<br />
= [ ] [ ]<br />
[ ] [ ] ⎟ ⎛ φ1,<br />
χ1<br />
( λ)<br />
φ2<br />
, χ1<br />
( λ)<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝ φ1,<br />
χ 2 ( λ)<br />
φ2<br />
, χ 2 ( λ)<br />
⎠<br />
= γ 1 (S Φ )1 (b, λ ) + γ 2 (S Φ )2 (b, λ )<br />
= ( ( ) ( ) ) T<br />
α Ψ a λ + α Ψ a,<br />
λ<br />
− (4.68)<br />
1<br />
1<br />
, 2 2<br />
elde edilir. (4.31) den kaynaklanan tek değişiklik, Plücker özdeşliği ve sınır<br />
koşullarının (4.61) kullanımını gerektiren x = b deki ω (λ)<br />
nın değerlendirilmesidir.
Green fonksiyonu, rezolvent operatörü ve (4.32) – (4.41) deki öz fonksiyon açılımı<br />
için olan formüller aynı kalır (Fulton, 1988).<br />
α , γ<br />
Lemma 4.1. , g D(<br />
L )<br />
sağlanır (Fulton, 1988).<br />
α , γ<br />
İspat : D(<br />
L )<br />
f ∈ ve F, G (4.5) in yöndeş vektörleri olsun. Bu durumda;<br />
f ∈ ise;<br />
olduğu biliniyor. A sabit vektörü;<br />
γ<br />
1<br />
[ f , g](<br />
x)<br />
0<br />
lim =<br />
x→b<br />
şeklinde tanımlansın. Bu denklemler;<br />
( SF ) ( b)<br />
+ γ ( SF )( b)<br />
= 0<br />
1<br />
2<br />
( SF ) ( b)<br />
γ ( SF ) ( b)<br />
A = γ 1 1 + 2 2<br />
( SF ) 1(<br />
b)<br />
⎞ ⎛ 0 ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
( ) ( ) ⎟<br />
SF b<br />
⎛ γ 1<br />
⎜<br />
⎝−<br />
γ 2<br />
γ 2 ⎞⎛<br />
⎟<br />
⎜<br />
γ 1 ⎠⎝<br />
2 ⎠ ⎝ A⎠<br />
şeklinde yazılabilir. Burada 4× 4 matrisinin tersi;<br />
⎛ γ 1<br />
⎜<br />
⎝−<br />
γ 2<br />
γ 2 ⎞<br />
⎟<br />
γ 1 ⎠<br />
T ⎛γ 1<br />
= ⎜<br />
T<br />
⎝γ<br />
2<br />
T<br />
− γ ⎞ 2 ⎟<br />
T<br />
γ ⎟<br />
1 ⎠<br />
olarak elde edilir. Yukarıdaki eşitlik 4× 4 matrisinin tersi ile çarpılırsa;<br />
−1<br />
( SF ) 1(<br />
b)<br />
( SF ) ( b)<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
T<br />
⎞ ⎛− γ ⎞ 2<br />
⎟ = ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
A T ⎟<br />
⎠ ⎝ γ 1 ⎠<br />
bulunur. Benzer şekilde G için bir 2-vektör vardır. G için de;<br />
( SG)<br />
1(<br />
b)<br />
( SG)<br />
( b)<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
T<br />
⎞ ⎛− γ ⎞ 2<br />
⎟ = ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
B T ⎟<br />
⎠ ⎝ γ 1 ⎠<br />
eşitliği yazılır. Bu sonuçlar kullanılarak;<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T ⎛− γ ⎞ 2<br />
lim[<br />
f , g](<br />
x)<br />
= lim(<br />
G JF )( x)<br />
= ( SG)<br />
( b)<br />
J ( SF )( b)<br />
= B ( − γ 2 , γ 1 ) J⎜<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
A = 0<br />
x→b x→b<br />
T<br />
⎝ γ 1 ⎠<br />
elde edilir.<br />
43
4.4. Bessel – Karesi Denkleminin Çözümleri<br />
Bessel diferansiyel denkleminin (4.3) ;<br />
2<br />
1 ⎡ ′ ν ⎤<br />
Ly = ⎢−<br />
( xy′<br />
) + y⎥<br />
= λy<br />
x ⎣ x ⎦<br />
şeklinde ifade edildiği biliniyor. Bu denklemi Bessel denklemine çevirmek için<br />
gerekli düzenlemeler yapılırsa (4.3) denklemi<br />
44<br />
2 2 ( λ x − ) = 0<br />
d y dy<br />
+ y<br />
dx dx<br />
2<br />
2<br />
x 2 x + ν<br />
şekline dönüşür. Burada s = λ x dönüşümü yapılırsa<br />
s<br />
2<br />
2 2 ( s − ) = 0<br />
2<br />
d y dy<br />
+ s + ν<br />
2<br />
ds ds<br />
denklemi elde edilir. Bu denklem Bessel diferansiyel denklemidir. Bu denklemin<br />
genel çözümü :<br />
= AJ ( s)<br />
+ BJ ( s)<br />
(4.69)<br />
y ν −ν<br />
olarak elde edilir. Burada A ve B sabitlerdir. Yukarıdaki genel çözümde s yerine<br />
λ x yazılırsa (4.3) denkleminin genel çözümü;<br />
y = AJ ( x)<br />
+ BJ ( λ x)<br />
ν λ −ν<br />
olarak elde edilir. Bessel karesi denkleminin dört çözümü; x = 0 singüler bir nokta<br />
olduğu için, x = 0 ın yakınındaki Frobenius teorisinin uygulanması ile elde<br />
edilebilir. Daha kolay bir yaklaşım da z ( x,<br />
λ)<br />
ikinci dereceden Bessel denkleminin<br />
çözümü ise bunu yorumlamaktır (Fulton,1988). Bessel diferansiyel denkleminde y<br />
yerine z yazılırsa;<br />
2<br />
1 ⎡ ′ ν ⎤<br />
Az = ⎢−<br />
( xz′<br />
) + z⎥<br />
= λz<br />
x ⎣ x ⎦<br />
elde edilir. Bu denkleminin iki çözümü;<br />
2<br />
z ( x,<br />
) = λ J ( λ x)<br />
1<br />
ν<br />
−<br />
λ ν<br />
ν<br />
− ⎡<br />
2 = λ ⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
∞<br />
∑<br />
k = 0<br />
k<br />
(<br />
−1)<br />
⎛<br />
⎜<br />
k!<br />
Γ(<br />
ν + k + 1)<br />
⎜<br />
⎝<br />
λ x ⎞<br />
⎟<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
2k<br />
+ ν<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦
ν<br />
⎛ x ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
∑ ∞<br />
k = 0<br />
2<br />
z ( x,<br />
) = λ J ( λ x)<br />
2<br />
ν<br />
λ −ν<br />
ν ⎡<br />
2 = λ ⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎛ x ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
∞<br />
∑<br />
k = 0<br />
−ν<br />
45<br />
k k<br />
( −1)<br />
λ ⎛ x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
k!<br />
Γ(<br />
ν + k + 1)<br />
⎝ 2 ⎠<br />
k<br />
( −1)<br />
⎛<br />
⎜<br />
k!<br />
Γ(<br />
−ν<br />
+ k + 1)<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
∑ ∞<br />
k = 0<br />
2k<br />
λ x ⎞<br />
⎟<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
k k<br />
( −1)<br />
λ ⎛ x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
k!<br />
Γ(<br />
−ν<br />
+ k + 1)<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
2k<br />
−ν<br />
2k<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
(4.70i)<br />
(4.70ii)<br />
olarak alınır. Bu çözümler, sabit x ∈ ( 0,<br />
∞)<br />
için λ ya göre tam fonksiyonlardır.<br />
Yukarıdaki yorumdan Ly = A y = λy<br />
2<br />
denkleminin çözümleri y ( x,<br />
λ ) = z(<br />
x,<br />
± λ )<br />
dır. Buradan dördüncü mertebeden Bessel karesi denkleminin çözümleri ;<br />
y x,<br />
λ ) = z ( x,<br />
+ λ ) y x,<br />
λ) = z ( x,<br />
− λ ) (4.71i)<br />
11(<br />
1<br />
12 ( 1<br />
y x,<br />
λ ) = z ( x,<br />
+ λ ) y x,<br />
λ) = z ( x,<br />
− λ ) (4.71ii)<br />
21(<br />
2<br />
22 ( 2<br />
şeklinde yazılabilir. Yukarıdaki çözümler, λ nin kesirli üslerinin oluşumundan<br />
dolayı λ ya göre tam fonksiyon değildirler. Ancak uygun lineer kombinasyonlarla,<br />
kesirli üsler yok edilebilir. Bu şekilde dört lineer bağımsız çözüm ;<br />
1<br />
⎛ x ⎞<br />
w 1(<br />
x,<br />
λ ) = [ y21<br />
+ y22<br />
] = ⎜ ⎟<br />
2<br />
⎝ 2 ⎠<br />
−ν<br />
1<br />
⎛ x ⎞<br />
w 2 ( x,<br />
λ ) = [ y11<br />
+ y12<br />
] = ⎜ ⎟<br />
2<br />
⎝ 2 ⎠<br />
- y11<br />
+ y12<br />
w3<br />
( x,<br />
λ)<br />
=<br />
2 λ<br />
ν<br />
⎛ x ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
ν<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
∑ ∞<br />
k = 0<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
∑ ∞<br />
k = 0<br />
∞<br />
∑<br />
k = 1<br />
1,<br />
2<br />
k<br />
λ ⎛ x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
( 2k)!<br />
Γ(<br />
−ν<br />
+ 2k<br />
+ 1)<br />
⎝ 2 ⎠<br />
k<br />
λ ⎛ x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
( 2k)!<br />
Γ(<br />
ν + 2k<br />
+ 1)<br />
⎝ 2 ⎠<br />
k −1<br />
λ ⎛ x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
( 2k<br />
−1)!<br />
Γ(<br />
ν + 2k)<br />
⎝ 2 ⎠<br />
4k<br />
4k<br />
4k<br />
−2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
(4.72i)<br />
(4.72ii)<br />
(4.72iii)<br />
−ν<br />
- y21<br />
+ y22<br />
⎛ x ⎞ ⎡ ∞<br />
k −1<br />
4k<br />
−2<br />
λ ⎛ x ⎞ ⎤<br />
w4<br />
( x,<br />
λ)<br />
=<br />
= ⎜ ⎟ ⎢∑<br />
⎜ ⎟ ⎥ (4.72iv)<br />
2 λ ⎝ 2 ⎠ ⎢⎣<br />
k = 1 ( 2k<br />
−1)!<br />
Γ(<br />
−ν<br />
+ 2k)<br />
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦<br />
olarak bulunur. Yukarıdaki teorinin uygulanması için, normal çözümleri (4.42) ve<br />
(4.43) koşullarını sağlayan λ = 0 için dört lineer bağımsız çözümü seçmek gerekli<br />
olacaktır. Dört çözümü elde etmek için (4.4) Bessel karesi denkleminde λ = 0<br />
yazılarak elde edilen Cauchy-Euler denklemi çözülebilir (Fulton, 1988). (4.4) Bessel<br />
karesi denkleminde paydalar eşitlenip gerekli düzenlemeler yapılırsa;
4<br />
3<br />
2 2<br />
2<br />
2 2<br />
x y′<br />
′<br />
′ + 2x<br />
y′<br />
′<br />
− ( 1+<br />
2ν<br />
) x y′<br />
′ + ( 1+<br />
2ν<br />
) xy′<br />
+ ν ( ν − 4)<br />
y = 0<br />
Cauchy-Euler denklemi elde edilir.<br />
yapılırsa;<br />
t<br />
x = e dönüşümü yapılarak gerekli düzenlemeler<br />
2<br />
2 2 2<br />
[ D( D −1)( D − 2)(<br />
D −3)<br />
+ 2D(<br />
D −1)(<br />
D − 2)<br />
− ( 1+<br />
2ν<br />
) D(<br />
D −1)<br />
+ ( 1+<br />
2ν<br />
) D + ν ( ν − 4)<br />
] y = 0<br />
2<br />
2 2 2<br />
[ D( D − 2)(<br />
D − 2D<br />
− 2ν<br />
) + ν ( ν − 4)<br />
] y = 0<br />
bulunur. Buradan karakteristik denklemin çözümleri m = v m = −ν<br />
, m = ν + 2 ve<br />
46<br />
1<br />
, 2<br />
3<br />
m = −ν<br />
+ 2 olarak elde edilir. Bu durumda denklemin dört çözümü<br />
4<br />
−ν ν ν + 2<br />
x , x , x ve<br />
2−ν<br />
x olarak elde edilir. Plücker özdeşliğinin gerekliliği ve (4.42) normalleştirmesine<br />
ulaşmak için, (4.9) eşitliği kullanılarak lineer olmayan sonuçlar hesaplanabilir.<br />
Buradan<br />
−ν ν+<br />
2 [ , x ]<br />
x =<br />
ν 2−ν<br />
[ ,x ]<br />
x =<br />
⎡−ν<br />
( ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
x⎢<br />
⎢ ⎣−ν<br />
( ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
x<br />
x<br />
x<br />
−ν<br />
−3<br />
ν + 2<br />
x<br />
−ν<br />
−2<br />
ν + 1<br />
−ν<br />
( ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
x<br />
−ν<br />
( ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
x<br />
−ν<br />
x<br />
−ν<br />
−1<br />
ν + 1<br />
2<br />
1 + 2ν<br />
−ν<br />
−1<br />
ν + 2<br />
−ν<br />
ν + 1<br />
- [ −νx<br />
x − ( ν + 2)<br />
x x ]<br />
x<br />
−ν<br />
−2<br />
ν + 2<br />
+ 1[<br />
ν ( ν + 1)<br />
x x<br />
−ν<br />
ν<br />
− ( ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
x x ]<br />
3 2<br />
=[ − 4ν<br />
−12ν<br />
3 2<br />
− 8ν<br />
] − [ − 4ν<br />
− 4ν<br />
− 2ν<br />
− 2]<br />
+ [ − 2ν<br />
− 2]<br />
3 2<br />
3 2<br />
= − 4ν<br />
−12ν<br />
− 8ν<br />
+ 4ν<br />
+ 4ν<br />
+ 2ν<br />
+ 2 − 2ν<br />
− 2<br />
= 8ν 8ν<br />
2 − −<br />
= − 8 ν ( ν + 1)<br />
⎡−ν<br />
( ν −1)(<br />
ν − 2)<br />
x<br />
x⎢<br />
⎢ ⎣−ν<br />
( ν −1)(<br />
2 −ν<br />
) x<br />
ν −3<br />
ν −2<br />
x<br />
x<br />
2−ν<br />
1−ν<br />
−ν<br />
( 2 −ν<br />
)( 1−ν<br />
) x x<br />
ν −1<br />
+ ν ( 1−ν<br />
)( 2 −ν<br />
) x x<br />
x<br />
−ν<br />
−ν<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
ν −ν<br />
−1<br />
2<br />
1+<br />
2ν<br />
ν −1<br />
2−ν<br />
ν 1−ν<br />
- [ νx<br />
x − ( 2 −ν<br />
) x x ]<br />
x<br />
ν −2<br />
2−ν<br />
−ν<br />
ν<br />
+ 1[<br />
ν ( ν −1)<br />
x x − ( 2 −ν<br />
)( 1−ν<br />
) x x ]<br />
3 2<br />
3 2<br />
=[ 4ν<br />
−12ν + 8ν<br />
] − [ 4ν<br />
− 4ν<br />
+ 2ν<br />
− 2]<br />
+ [ 2ν<br />
− 2]<br />
3 2<br />
3 2<br />
= − 4ν<br />
−12ν<br />
+ 8ν<br />
− 4ν<br />
+ 4ν<br />
− 2ν<br />
+ 2 + 2ν<br />
− 2<br />
= 8ν 8ν<br />
2 − +<br />
= − 8ν ( ν −1)<br />
elde edilir. (4.43) koşulunun sağlanması için; { , u , u , u }<br />
u fonksiyonları;<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4
47<br />
ν<br />
ν<br />
−<br />
= x<br />
x<br />
u<br />
2<br />
1<br />
)<br />
(<br />
1<br />
(4.73i)<br />
ν<br />
ν x<br />
x<br />
u<br />
2<br />
1<br />
)<br />
(<br />
2 = (4.73ii)<br />
2<br />
3<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
1<br />
)<br />
(<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
ν<br />
ν<br />
x<br />
x<br />
u (4.73iii)<br />
2<br />
4<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
1<br />
)<br />
(<br />
+<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
ν<br />
ν<br />
x<br />
x<br />
u (4.73iv)<br />
şeklinde seçilebilir. Bu fonksiyonlar (4.4) Bessel karesi denkleminin çözümüdür ve<br />
dolayısıyla bu denklemi sağlar. Bu fonksiyonların her biri yukarıdaki Cauchy-Euler<br />
denkleminde yerine yazılırsa;<br />
0<br />
2<br />
)<br />
4<br />
(<br />
2<br />
)<br />
2<br />
1<br />
(<br />
2<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
2<br />
1<br />
(<br />
2<br />
)<br />
2<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
2<br />
2<br />
)<br />
3<br />
)(<br />
2<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
4<br />
4<br />
=<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+ −<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
− ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
x<br />
xx<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
0<br />
2<br />
)<br />
4<br />
(<br />
2<br />
)<br />
2<br />
1<br />
(<br />
2<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
2<br />
1<br />
(<br />
2<br />
)<br />
2<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
2<br />
2<br />
)<br />
3<br />
)(<br />
2<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
4<br />
4<br />
=<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
− −<br />
−<br />
−<br />
− ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
x<br />
xx<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
0<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
)<br />
4<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
)<br />
2<br />
)(<br />
2<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
)<br />
2<br />
)(<br />
1<br />
)(<br />
2<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
)<br />
2<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
2<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
2<br />
)(<br />
1<br />
( 2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
4<br />
=<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
− +<br />
+<br />
−<br />
− ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
x<br />
xx<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
0<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
)<br />
4<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
)<br />
2<br />
)(<br />
2<br />
1(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
)<br />
2<br />
)(<br />
1<br />
)(<br />
2<br />
1(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
)<br />
2<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
2<br />
)<br />
1<br />
(<br />
4<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
2<br />
)(<br />
1<br />
( 2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
4<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
− +<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
− ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
x<br />
xx<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
bulunur. Bu da { }<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
,<br />
,<br />
, u<br />
u<br />
u<br />
u fonksiyonlarının Bessel karesi denkleminin çözümleri<br />
olduğunu gösterir. Bu çözümlerin wronskiyeni için (4.43) koşulu, (4.12) in<br />
kullanımıyla kanıtlanabilir. Bu durumda (4.43) koşulu;<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
′′<br />
′′<br />
′′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′′′<br />
−<br />
+<br />
′′′<br />
′′′<br />
′′′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′′<br />
−<br />
+<br />
′′′<br />
′′′<br />
′′′<br />
′′<br />
′′<br />
′′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
′′′<br />
′′′<br />
′′′<br />
′′<br />
′′<br />
′′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
4<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
x<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
)<br />
,<br />
,<br />
,<br />
(<br />
)<br />
(<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
x<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
W<br />
x<br />
q x<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
=
48<br />
şeklinde açılır. Buradaki her bir determinant birinci satıra göre ayrı ayrı açılırsa;<br />
⎭<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎩<br />
⎨<br />
⎧<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
=<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
1<br />
4<br />
2<br />
4<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
4<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
⎭<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎩<br />
⎨<br />
⎧<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
− 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
)<br />
1<br />
(<br />
16<br />
)<br />
2<br />
)(<br />
2<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
16<br />
)<br />
2<br />
5<br />
4<br />
)(<br />
2<br />
(<br />
16<br />
4<br />
2<br />
1 ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
3<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
16<br />
8<br />
8<br />
2<br />
2 −<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
= x<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
⎭<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎩<br />
⎨<br />
⎧<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
′<br />
−<br />
=<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
1<br />
4<br />
2<br />
4<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
4<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
⎭<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎩<br />
⎨<br />
⎧<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
− 1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
)<br />
1<br />
(<br />
16<br />
)<br />
2<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
16<br />
)<br />
2<br />
5<br />
4<br />
(<br />
16<br />
)<br />
4<br />
(<br />
2<br />
1 ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
3<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
16<br />
2<br />
4<br />
8<br />
2 −<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
= x<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
⎭<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎩<br />
⎨<br />
⎧<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
′<br />
′<br />
=<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
1<br />
4<br />
2<br />
4<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
4<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
⎭<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎩<br />
⎨<br />
⎧<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
=<br />
−<br />
− ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
16<br />
)<br />
2<br />
3<br />
2<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
16<br />
2<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
16<br />
)<br />
4<br />
(<br />
2<br />
)<br />
1<br />
(<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
)<br />
1<br />
(<br />
16<br />
2<br />
2 −<br />
−<br />
−<br />
= x<br />
ν<br />
ν<br />
⎭<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎩<br />
⎨<br />
⎧<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
=<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
′<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
1<br />
4<br />
2<br />
4<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
4<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
4<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
⎭<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎩<br />
⎨<br />
⎧<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
− 1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
16<br />
2<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
16<br />
2<br />
3<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
1<br />
(<br />
16<br />
)<br />
4<br />
(<br />
2<br />
)<br />
2<br />
)(<br />
1<br />
( ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
ν<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
)<br />
1<br />
(<br />
16<br />
4<br />
2<br />
2 −<br />
−<br />
−<br />
+<br />
= x<br />
ν<br />
ν<br />
ν
elde edilir. Bu değerler yukarıda yerine yazılırsa;<br />
3 2<br />
3 2<br />
2<br />
2<br />
2 ⎧ 2ν<br />
+ 2ν<br />
+ 8ν<br />
− 8 2 − 2ν<br />
+ 8ν<br />
− 4ν<br />
− 2 −2<br />
2ν<br />
− 2 −2<br />
2ν<br />
+ 2ν<br />
− 4<br />
x ⎨<br />
x +<br />
x + x +<br />
x<br />
⎩ 16(<br />
ν + 1)(<br />
ν −1)<br />
16(<br />
ν + 1)(<br />
ν −1)<br />
16(<br />
ν −1)<br />
16(<br />
ν −1)<br />
=1<br />
bulunur. Bu da (4.43) koşulunun sağlandığını gösterir. Bessel karesi operatörünün<br />
− − −2<br />
0
1 −ν<br />
4<br />
= x [ 1+<br />
0(<br />
x ) ]<br />
2ν<br />
ν 1<br />
y 2 x,<br />
λ)<br />
= 2 Γ(<br />
1+<br />
ν ) w<br />
2ν<br />
( 2<br />
( x,<br />
λ)<br />
ν<br />
ν 1 ⎛ x ⎞ 1<br />
4<br />
= 2 Γ(<br />
1+<br />
ν ) ⎜ ⎟ ( 1+<br />
0(<br />
x ))<br />
2ν<br />
⎝ 2 ⎠ Γ(<br />
ν + 1)<br />
1 ν<br />
4<br />
= x [ 1+<br />
0(<br />
x ) ]<br />
2ν<br />
ν + 2<br />
1<br />
y3<br />
( x,<br />
λ)<br />
= 2 Γ(<br />
ν + 2)(<br />
− ) w3<br />
4(<br />
ν + 1)<br />
50<br />
( x,<br />
λ)<br />
ν + 2<br />
ν + 2 ⎛ 1 ⎞⎛<br />
x ⎞ 1<br />
4<br />
= 2 Γ(<br />
ν + 2)<br />
⎜−<br />
⎟⎜<br />
⎟ ( 1+<br />
0(<br />
x ))<br />
⎝ 4(<br />
ν + 1)<br />
⎠⎝<br />
2 ⎠ Γ(<br />
ν + 2)<br />
1 ν + 2<br />
4<br />
= − x [ 1+<br />
0(<br />
x ) ]<br />
4(<br />
ν + 1)<br />
2−ν<br />
1<br />
y4<br />
( x,<br />
λ)<br />
= 2 Γ(<br />
−ν<br />
+ 2)(<br />
− ) w4<br />
4(<br />
ν −1)<br />
( x,<br />
λ)<br />
−ν<br />
+ 2<br />
2−ν<br />
⎛ 1 ⎞⎛<br />
x⎞<br />
1<br />
4<br />
= 2 Γ(<br />
−ν<br />
+ 2)<br />
⎜−<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
( 1+<br />
0(<br />
x ))<br />
⎝ 4(<br />
ν −1)<br />
⎠⎝<br />
2⎠<br />
Γ(<br />
−ν<br />
+ 2)<br />
1 −ν + 2<br />
4<br />
= − x [ 1+<br />
0(<br />
x ) ]<br />
(4.74i)<br />
(4.74ii)<br />
(4.74iii)<br />
(4.74iv)<br />
4(<br />
ν −1)<br />
şeklinde elde edilir. (4.47) eşitliğini uygulayıp, (4.46) deki S – dönüşümünde (4.73)<br />
deki çözümü kullanarak, yukarıdaki her bir çözüm içinde (4.9) u, kullanıp lineer<br />
bağımlı olmayan sonuçlar hesaplanabilir. x → 0 gibi y , u ]( x)<br />
için (4.9)<br />
[ 1 3<br />
uygulanırsa;<br />
y , u ]( x)<br />
= q [( y′<br />
′ u′<br />
− y u′<br />
′<br />
) − ( y′<br />
′ u′<br />
− y′<br />
u′<br />
′ )] − q y′<br />
u − y u′<br />
] + q ′ y′<br />
′ u − y u′<br />
′ ]<br />
[ 1 3<br />
2 1 3 1 3 1 3 1 3<br />
elde edilir. Burada değerler yerine yazılırsa;<br />
⎡⎛<br />
−(<br />
ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
[ y 1,<br />
u3](<br />
x)<br />
= x⎢<br />
⎜<br />
x<br />
⎣⎝<br />
2<br />
⎡ ν + 1)<br />
− x⎢<br />
x<br />
⎣ 2<br />
4 −1<br />
[ 1+<br />
0(<br />
x )] x<br />
4(<br />
ν + 1)<br />
1[<br />
1 3 1 3<br />
1<br />
− x<br />
2ν<br />
2[<br />
1 3 1 3<br />
4 −ν(<br />
ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
[ 1+<br />
0(<br />
x )]<br />
x<br />
4(<br />
ν + 1)<br />
−ν −3<br />
ν+<br />
2 −ν<br />
ν−1<br />
4 − ( ν + 2)<br />
[ 1+<br />
0(<br />
x ) x<br />
4(<br />
ν + 1)<br />
−1<br />
− x<br />
2<br />
⎞⎤<br />
⎟<br />
⎟⎥<br />
⎠⎦<br />
− ( ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
⎤<br />
[ 1+<br />
0(<br />
x )]<br />
x<br />
4(<br />
ν + 1)<br />
⎥<br />
⎦<br />
( −ν −2<br />
ν + 1<br />
−ν<br />
−1<br />
4<br />
ν<br />
2<br />
1+ 2ν<br />
⎡ 1 ν −1<br />
4 −1<br />
ν : + 2 1 −ν<br />
4 − ( ν + 2)<br />
ν<br />
− ⎢−<br />
x [ 1+<br />
0(<br />
x )] x − x [ 1+<br />
0(<br />
x )] x<br />
x<br />
⎣ 2<br />
4(<br />
ν + 1)<br />
2ν<br />
4(<br />
ν + 1)<br />
− + 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦
⎡(<br />
ν + 1)<br />
+ 1⎢<br />
x<br />
⎣ 2<br />
4 −1<br />
[ 1+<br />
0(<br />
x )] x<br />
4(<br />
ν + 1)<br />
51<br />
1<br />
− x<br />
2ν<br />
4 − ( ν + 1)(<br />
ν + 2)<br />
⎤<br />
[ 1+<br />
0(<br />
x )]<br />
x<br />
4(<br />
ν + 1)<br />
⎥<br />
⎦<br />
−ν −2<br />
ν + 2<br />
−ν<br />
ν<br />
2 ( 1+<br />
2ν<br />
) [<br />
4<br />
⎡ ( ν + 2)[<br />
1+<br />
0(<br />
x )] ⎤ ⎡ 1+<br />
0(<br />
x<br />
= ⎢<br />
⎥ − ⎢<br />
⎣ 2 ⎦ ⎣ 4ν<br />
2<br />
4 ⎡ν<br />
+ 2 1+<br />
2ν<br />
1 ⎤<br />
= [ 1+<br />
0(<br />
x )] ⎢ − + ⎥<br />
⎣ 2 4ν<br />
4ν<br />
⎦<br />
2<br />
2<br />
4 ⎡ 2ν<br />
+ 4ν<br />
−1<br />
− 2ν<br />
+ 1⎤<br />
= [ 1+<br />
0(<br />
x )] ⎢<br />
⎥<br />
⎣ 4ν<br />
⎦<br />
= [ 1+<br />
0(<br />
x<br />
4<br />
)]<br />
)] ⎤<br />
⎥ +<br />
⎦<br />
4<br />
⎡ 2[<br />
1+<br />
0(<br />
x<br />
⎢<br />
⎣ 8ν<br />
bulunur. Aynı yolla diğer değerlerde elde edilip yerine yazılırsa;<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
[ ] ⎟ ⎟⎟⎟⎟<br />
y1,<br />
u3<br />
( x)<br />
⎞<br />
y1,<br />
u4<br />
( x)<br />
u1,<br />
y1<br />
( x)<br />
u , y ( x)<br />
4<br />
⎛<br />
⎛ 1+<br />
0(<br />
x ) ⎞<br />
⎜<br />
⎜ ⎟<br />
−2ν<br />
+ 4<br />
⎜<br />
⎜0(<br />
x ) ⎟<br />
( SY1 )( x,<br />
λ ) = ⎜ = ⎜ −2ν<br />
+ 2 ⎟<br />
⎜<br />
⎜<br />
0(<br />
x )<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ 2 1 ⎠ ⎝ 0(<br />
x ) ⎠<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
[ ] ⎟ ⎟⎟⎟⎟<br />
y2<br />
, u3<br />
( x)<br />
⎞<br />
y2<br />
, u4<br />
( x)<br />
u1,<br />
y2<br />
( x)<br />
u , y ( x)<br />
2ν<br />
+ 4<br />
⎛<br />
⎛ 0(<br />
x ) ⎞<br />
⎜<br />
⎜ ⎟<br />
4<br />
⎜<br />
⎜1+<br />
0(<br />
x ) ⎟<br />
( SY2 )( x,<br />
λ ) = ⎜ = ⎜ 2 ⎟<br />
⎜<br />
⎜<br />
0(<br />
x )<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎜ 2ν<br />
+ 2 ⎟<br />
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 0(<br />
x ) ⎠<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
[ ] ⎟ ⎟⎟⎟⎟<br />
y3<br />
, u3<br />
( x)<br />
⎞<br />
y3<br />
, u4<br />
( x)<br />
u1,<br />
y3<br />
( x)<br />
u , y ( x)<br />
2ν<br />
+ 6<br />
⎛<br />
⎛ 0(<br />
x ) ⎞<br />
⎜<br />
⎜ ⎟<br />
6<br />
⎜<br />
⎜ 0(<br />
x ) ⎟<br />
( SY3 )( x,<br />
λ ) = ⎜ = ⎜ 4 ⎟<br />
⎜<br />
⎜<br />
1+<br />
0(<br />
x )<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎜ 2ν<br />
+ 4 ⎟<br />
⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 0(<br />
x ) ⎠<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
[ ] ⎟ ⎟⎟⎟⎟<br />
y4<br />
, u3<br />
( x)<br />
⎞<br />
y4<br />
, u4<br />
( x)<br />
u1,<br />
y4<br />
( x)<br />
u , y ( x)<br />
6<br />
⎛<br />
⎛ 0(<br />
x ) ⎞<br />
⎜<br />
⎜ ⎟<br />
−2ν<br />
+ 6<br />
⎜<br />
⎜0(<br />
x ) ⎟<br />
( SY4 )( x,<br />
λ ) = ⎜ = ⎜ −2ν<br />
+ 4 ⎟<br />
⎜<br />
⎜<br />
0(<br />
x )<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎜ 4 ⎟<br />
⎝ 2 4 ⎠ ⎝1<br />
+ 0(<br />
x ) ⎠<br />
4<br />
)] ⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(4.75i)<br />
(4.75ii)<br />
(4.75iii)<br />
(4.75iv)<br />
sonuçları bulunur. Buradaki Y i vektörleri, (4.5) in değişken değişimleri altında y i ,<br />
i = 1,<br />
4 den elde edilir.
4.5. Lim-4 Durumu 0
çözümleri ortaya çıkarmak hiç de doğal olmaz. Bu sebepten dolayı, Bessel karesi<br />
denkleminin çözümlerinin terimlerindeki; x = b de (4.21) başlangıç koşullarıyla<br />
tanımlanan Ψ çözümünü ifade etmeye çalışmaktan kaçınılır. Bunun yerine (4.77)<br />
uç koşulları ile tanımlanan Φ çözümüyle bağlantılı skaler { φ1 ,φ2<br />
} fonksiyonlarını<br />
belirlenir. Böylelikle ω ( λ)<br />
fonksiyonunu kullanarak, öz fonksiyon teorisinin tüm<br />
detayları çözülebilir (Fulton, 1988). Bu çözümler için<br />
elde edilir. { }<br />
1 ,φ2<br />
( λ)<br />
= β Φ ( b λ)<br />
+ β Φ ( b λ)<br />
, 2 2<br />
T<br />
ω ,<br />
1<br />
1<br />
⎡φ1<br />
( b)<br />
φ2<br />
( b)<br />
⎤<br />
= β 1 ⎢<br />
⎥<br />
⎣φ<br />
′ ( ) ′<br />
1 b φ2<br />
( b)<br />
⎦<br />
⎡(<br />
q ′′ ′ ′ ′′ ′ ′<br />
2φ1)<br />
( b)<br />
+ ( q1φ1<br />
)( b)<br />
− ( q2φ2<br />
) ( b)<br />
+ ( q1φ2<br />
)( b)<br />
⎤<br />
+ β 2 ⎢<br />
⎥<br />
⎣ ( q ′′ )( ) ( ′′<br />
2φ1<br />
b q2φ2<br />
)( b)<br />
⎦<br />
53<br />
(4.80)<br />
φ fonksiyonlarının her biri (4.74) da yi , i = 1,<br />
4 dört çözümünün<br />
lineer bir birleşimi olmalı. (4.5) değişken değişimi altında y = 1,<br />
4 yöndeş vektörlerin<br />
terimleri, ν ∈ ( 0,<br />
1)<br />
için (4.75) dan takip edilirse,<br />
elde edilir. (4.26) için<br />
formülü veya<br />
ve<br />
[ )( 0),<br />
( SY )( 0),<br />
( SY )( 0),<br />
( SY )( 0)<br />
]<br />
( 1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
SY = 1 ∀λ ∈C<br />
(4.81)<br />
γ 1 =<br />
( ⎛γ<br />
⎜<br />
(<br />
⎝γ<br />
1)<br />
11<br />
1)<br />
21<br />
γ<br />
γ<br />
( 1)<br />
12<br />
( 1)<br />
22<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
4<br />
∑<br />
j=<br />
1<br />
, γ 2 =<br />
( ⎛γ<br />
⎜<br />
(<br />
⎝γ<br />
2)<br />
11<br />
2)<br />
21<br />
γ<br />
γ<br />
( 2)<br />
12<br />
( 2)<br />
22<br />
φ ( x, λ)<br />
= c y ( x,<br />
λ)<br />
i = 1,<br />
2<br />
i<br />
Φ<br />
( i)<br />
ij<br />
4<br />
∑<br />
j=<br />
1<br />
j<br />
( x, λ ) = c Y ( x,<br />
λ)<br />
i = 1,<br />
2<br />
ij<br />
j<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(4.82)<br />
formülleri kullanılır. S dönüşümünü her iki tarafa uygulayıp, bilinmeyen sabit cij yi<br />
bulmak için (4.77) sınır koşulları ve (4.81) eşitliği uygulanabilir. Buradan da ;<br />
( x λ)<br />
( 2)<br />
−γ<br />
11 y1<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
− γ 12 y2<br />
+ γ 11 y3<br />
( 1)<br />
γ 12 4<br />
( x λ)<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
−γ<br />
21 y1<br />
− γ 22 y2<br />
+ γ 21 y3<br />
( 1)<br />
γ 22 4<br />
φ 1 , = + y<br />
(4.83i)<br />
φ 2 , = + y<br />
(4.83ii)
elde edilir. (4.78) deki 2x2 matrisi ω ( λ)<br />
; (4.80) de (4.83) eşitliği göz önünde<br />
bulundurularak, x = b de değerlendirilen yi , i = 1,<br />
4 çözümlerinin terimleriyle<br />
yazılabilir. Bu da 1 2 ,γ γ ve β 1, β 2 matrisleri ile ifade edilen tüm on altı sınır koşulu<br />
katsayıları üzerindeki ω ( λ)<br />
nin açık ifadesini verir (Fulton, 1988).<br />
1<br />
Örnek: Bessel karesi denklemini ν = için çözüp, Lim-4 durumunu uygulayınız.<br />
2<br />
Çözüm: Bessel karesi denkleminin çözümünü bulmak için Bessel fonksiyonlarından<br />
1<br />
yararlanılabilir. Bu durumda ν = durumu için; Jν (x)<br />
ve J − ν (x)<br />
fonksiyonları;<br />
2<br />
2<br />
J 1<br />
sin<br />
πx<br />
2<br />
( x)<br />
= x<br />
olarak ifade edilmektedir. Burada x yerine λ x yazılarak,<br />
54<br />
1<br />
2<br />
2<br />
J 1 cos<br />
− πx<br />
2<br />
( x)<br />
= x<br />
⎛ 2 ⎞<br />
J 1 ( λ x)<br />
= ⎜ ⎟ sin( λ x)<br />
(4.84i)<br />
⎝ π λ x ⎠<br />
2<br />
J 1 (<br />
2<br />
⎛ 2 ⎞<br />
λ x)<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝ π λ x ⎠<br />
cos( λ x)<br />
(4.84ii)<br />
şeklinde elde edilir. (4.74) de verilen Bessel karesi denklemlerinin dört çözümü ;<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1 −<br />
2 4<br />
4<br />
2<br />
y 1 ( x,<br />
λ) = x (cos( λ x)<br />
+ cosh( λ x))<br />
= x<br />
2<br />
⎟ ∞ k ⎛ λ 4k<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜∑<br />
x<br />
⎝ k=0<br />
( 4k)!<br />
⎠<br />
1 1 1<br />
1<br />
1<br />
1 − −<br />
4 2 4<br />
4<br />
2<br />
y 2 ( x,<br />
λ) = λ x (sin( λ x)<br />
+ sinh( λ x))<br />
= x<br />
2<br />
⎟ ⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜∑<br />
⎝ + ⎠<br />
∞ k<br />
λ 4k<br />
x<br />
k =0 ( 4k<br />
1)!<br />
1<br />
2<br />
(4.85i)<br />
(4.85ii)<br />
3 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 − −<br />
4 2<br />
4<br />
4<br />
2<br />
y3 ( x,<br />
λ) = − λ x (sinh( λ x)<br />
− sin( λ x))<br />
= −x<br />
2<br />
⎟ ⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜∑<br />
⎝ − ⎠<br />
∞ k−1<br />
λ 4k<br />
−2<br />
x (4.85iii)<br />
k=<br />
1 ( 4k<br />
1)!<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 − −<br />
−<br />
2 2<br />
4<br />
4<br />
2<br />
y4 ( x,<br />
λ) = λ x (cosh( λ x)<br />
− cos( λ x))<br />
= x<br />
2<br />
⎟ ⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜∑<br />
⎝ − ⎠<br />
∞ k−1<br />
λ 4k<br />
−2<br />
x (4.85iv)<br />
k=<br />
1 ( 4k<br />
2)!
olarak bulunur. Bir örnek olarak ikinci mertebeden öz değer problemiyle birleşmiş öz<br />
fonksiyon ve öz değerlerin karesini almayla sonuçlanan öz fonksiyon açılımını<br />
düşünülebilir. Bu durumda<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
x + ⎜−<br />
4 + λ x⎟<br />
y = 0<br />
(4.86i)<br />
⎜ x ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
( ) ′<br />
y′<br />
lim xWx x→0<br />
1 ⎛ ⎞<br />
⎜ 2 , ⎟<br />
⎜<br />
x y<br />
⎟<br />
= 0<br />
⎝ ⎠<br />
(4.86ii)<br />
y ( b)<br />
= 0<br />
(4.86iii)<br />
eşitlikleri yazılabilir. (4.85) ile bağlantılı öz değer ve öz fonksiyonlar;<br />
2<br />
⎛ kπ<br />
⎞<br />
λ k = ⎜ ⎟<br />
⎝ b ⎠<br />
, =<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
−<br />
yk x<br />
kπx<br />
sin<br />
b<br />
olarak tanımlanabilir. Buradaki öz fonksiyonu koruyan Bessel karesi denklemi için<br />
uygun sınır koşullarına ulaşılırken ikinci mertebeden denklemin sınır koşullarının<br />
nasıl alınması gerektiği açık değildir. Ancak bazı deneyimlerden sonra<br />
⎛1<br />
γ 1 = ⎜<br />
⎝0<br />
0⎞<br />
⎟<br />
0⎠<br />
⎛0<br />
, γ 2 = ⎜<br />
⎝0<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
(4.87i)<br />
−1⎠<br />
β 1 =<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎝<br />
0 ⎞<br />
1 ⎟<br />
⎟<br />
2 ⎠<br />
55<br />
1<br />
2<br />
, β 2 =<br />
⎛0<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎝<br />
0 ⎞<br />
1 ⎟<br />
⎟<br />
2 ⎠<br />
(4.87ii)<br />
sınır koşullarının uygun olduğu görülür. γ 1 , γ 2 , β 1 ve β 2 matrisleri (4.76) ve (4.18)<br />
de yerine yazılarak ;<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎝0<br />
0⎞⎛<br />
⎟ ⎜<br />
0⎠⎝<br />
[ f , u3<br />
]<br />
[ f , u ]<br />
4<br />
( 0)<br />
⎞ ⎛0<br />
⎟ + ⎜<br />
( 0)<br />
⎠ ⎝0<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎝<br />
0 ⎞⎛<br />
⎟ ⎜<br />
−1⎠⎝<br />
[ u1,<br />
f ] ( 0)<br />
⎞ ⎛[<br />
f , u3<br />
]( 0)<br />
⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0<br />
⎞<br />
= ⎜ ⎟ +<br />
= ⎜ ⎟<br />
[ ] ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
u , f ( 0)<br />
0 − [ u , f ]( 0)<br />
0<br />
2<br />
[ ]<br />
[ ] ⎟ f , u3<br />
( 0)<br />
⎞<br />
u , f ( 0<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎛<br />
⎜<br />
=<br />
⎝−<br />
2 ) ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
0 ⎞ ⎛<br />
⎟⎛<br />
f ( b)<br />
⎞<br />
0<br />
1 ⎜ ⎟ +<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ f ′ ( b)<br />
⎠<br />
⎜0<br />
2 ⎠ ⎝<br />
⎝<br />
[ ]<br />
[ ] ⎟ f , y3<br />
( 0)<br />
⎞<br />
f , y ( 0)<br />
2<br />
2<br />
⎠<br />
⎠<br />
⎝<br />
2<br />
⎛0<br />
⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
(4.88i)<br />
⎝0⎠<br />
0 ⎞<br />
⎟⎛−<br />
( bf<br />
′<br />
) ′ ( b)<br />
+ bf<br />
′ ( b)<br />
⎞ ⎛0<br />
1<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟ = ⎜ ⎟<br />
⎟<br />
⎝ bf<br />
′<br />
( b)<br />
⎠<br />
⎠ ⎝0<br />
2<br />
⎠<br />
⎛ f ( b)<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟ ⎛0<br />
⎞<br />
1<br />
⎜ ( f ′ ( b)<br />
+ bf<br />
′<br />
( b))<br />
⎟<br />
= ⎜ ⎟<br />
(4.88ii)<br />
⎝ 2<br />
⎠<br />
⎝0⎠<br />
⎠<br />
⎝<br />
⎠
yöndeş sınır koşulları elde edilir. Buradaki sınır koşulları uygulanarak<br />
φ x , λ)<br />
= y ( x,<br />
λ)<br />
φ x , λ)<br />
= y ( x,<br />
λ)<br />
(4.89)<br />
1(<br />
3<br />
56<br />
2 ( 2<br />
elde edilir. Bessel karesi probleminin, ω ( λ)<br />
matrisini belirleyen (4.78) kullanılarak<br />
(4.88);<br />
⎛<br />
T ⎜<br />
ω ( λ ) =<br />
⎜<br />
⎝<br />
φ1(<br />
b)<br />
φ2<br />
( b)<br />
⎞<br />
1<br />
1<br />
⎟<br />
[ φ′<br />
( ) + ′<br />
( )] [ ′ ( ) + ′<br />
( )] ⎟<br />
1 b bφ1<br />
b φ2<br />
b bφ2<br />
b<br />
2<br />
2<br />
⎠<br />
(4.90)<br />
formülü ile verilir. (4.89) ve (4.85) yi kullanarak yapılan hesaplama daha sonra tüm<br />
fonksiyonun sıfırları olarak öz değerleri verir.<br />
γ , β<br />
W ( λ)<br />
nın sıfırları<br />
W<br />
γ , β<br />
λ k =<br />
( λ)<br />
= det( ω(<br />
λ))<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
=<br />
kπ<br />
b<br />
1<br />
1<br />
1<br />
− ⎛<br />
⎞<br />
2 ⎜ 4 λ ⎟<br />
⎜<br />
sinh( λ b) sin( λ b)<br />
2<br />
⎟<br />
(4.91)<br />
⎝<br />
⎠<br />
1 4<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
olup, bunların tümü basittir. ( λ ) ≠ 0<br />
22<br />
n<br />
, k = 1,2 … (4.92)<br />
ω olduğundan, (4.36) – (4.37) in<br />
normalleştirilmiş öz fonksiyonu hesaplamak için kullanılabilir. Buradan<br />
2 − ⎛ kπx<br />
2 ⎞<br />
ψ k ( x)<br />
= x sin⎜<br />
⎟<br />
b ⎝ b ⎠<br />
1<br />
(4.93)<br />
1<br />
bulunur. (4.88) sınır koşulları ile bağlantılı ν = için öz fonksiyon açılım formülü<br />
2<br />
olarak elde edilir.<br />
∑ ∞<br />
=<br />
k = 1<br />
k<br />
k<br />
k<br />
b<br />
f ( x)<br />
c Ψ ( x),<br />
∫ Ψ = c f ( x)<br />
dx<br />
(4.94)<br />
0<br />
k
ÖZGEÇMİŞ<br />
Adı Soyadı : Pakize Neval ZEYNELGİL<br />
Doğum Yeri ve Yılı : Isparta 1981<br />
Medeni Hali : Bekâr<br />
Yabancı Dili : İngilizce<br />
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)<br />
Lise : 1995 - 1999, Gürkan Süper Lisesi<br />
Lisans : 1999 - 2003, Dokuz Eylül <strong>Üniversitesi</strong><br />
Buca Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Öğretmenliği<br />
Çalıştığı Kurumlar ve Yıl<br />
Budur – Bucak Kocaaliler İlköğretim Okulu (2003 - 2005)<br />
Isparta – Atabey 75. Yıl Y.İ.B.O (2005 - 2008)<br />
59