tc süleyman demirel üniversitesi fen bilimleri enstitüsü kane tipi ...

T.C.
SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KANE TİPİ YARIİLETKEN KUANTUM NOKTALARINDA YÜK
TAŞIYICILARININ ENERJİ SPEKTRUMLARI
Mustafa BALCI
Danışman: Prof. Dr. Arif BABANLI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİMDALI
ISPARTA-2011

İÇİNDEKİLER
İÇİNDEKİLER ............................................................................................................. i
ÖZET............................................................................................................................ ii
ABSTRACT ................................................................................................................ iii
TEŞEKKÜR ................................................................................................................ iv
ŞEKİLLER DİZİNİ ...................................................................................................... v
SİMGELER DİZİNİ.................................................................................................... vi
1. GİRİŞ .................................................................................................................... 1
2. KAYNAK ÖZETİ................................................................................................. 7
3. MATERYAL VE YÖNTEM ................................................................................ 9
4. ARAŞTIRMA BULGULARI VE TARTIŞMA ................................................. 36
5. SONUÇ ............................................................................................................... 45
6. KAYNAKLAR ................................................................................................... 46
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................... 47
i

ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
KANE TİPİ YARIİLETKEN KUANTUM NOKTALARINDA YÜK
TAŞIYICILARININ ENERJİ SPEKTRUMLARI
Mustafa BALCI
Süleyman Demirel Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Arif BABANLI
Bu tez çalışmasında, Kane tipi yarı iletken kuantum noktalarında yük taşıyıcılarının
dalga fonksiyonları ve enerji spektrumları hesaplanmıştır. Yük taşıyıcılarının enerji
spektrumlarını ve dalga fonksiyonlarını hesaplamak için dönme grubuna göre
değişmez kalan birinci mertebeden diferansiyel denklemler sisteminden
yararlanılmıştır. Denklemlerde valans bandı ve iki iletkenlik bandı olmak üzere üç
bant yapısı incelenmiştir. Elektronların, hafif deşiklerin ve ağır deşiklerin enerjileri,
kuantum noktasının yarıçapına bağlı değişimi incelenmiştir.
Anahtar Kelimeler: Kane tipi yarıiletken, kuantum noktası, nanoyapı, enerji
spektrumu
2011, 47 sayfa
ii

ABSTRACT
M.Sc. Thesis
ENERGY SPECTRUM OF CHARGE CARRİERS IN KANE
TYPESEMİCONDUCTOR KUANTUM DOTS
Mustafa BALCI
Süleyman Demirel University
Graduate School of Applied and Natural Sciences
Physics Department
Supervisor: Prof. Dr. Arif BABANLI
In this work, the energy spectrums and wave functions of charge carriers in Kane
type semiconductor quantum dots have been calculated. The first-order differential
equations that are invariant under the transformations of the rotations group have
been used in order to calculate energy spectrums and wave functions of charge
carriers. In those equations three bands including valance band and two conducting
bands have been analyzed. The energy variation of electrons, light and heavy holes
with radius of quantum dots has been investigated.
Key Words: Kane type semiconductor, quantum dot, nanostructure, energy
spectrum.
2011, 47 pages
iii

TEŞEKKÜR
Bu araştırma için beni yönlendiren, karşılaştığım zorlukları bilgi ve tecrübesi ile
aşmamda yardımcı olan değerli Danışman Hocam Prof. Dr. Arif BABANLI’ya
teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca Akdeniz ÜniversitesiEnformatik Bölüm Başkanlığı
Öğretim Görevlisi Turgut Fatih KASALAK’a teşekkürlerimi sunarım.
2064-YL-09 No’lu Proje ile tezimi maddi olarak destekleyen Süleyman Demirel
Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Yönetim Birimi Başkanlığı’na teşekkür
ederim.
Tezimin her aşamasında beni yalnız bırakmayan aileme sevgi ve saygılarımı
sunarım.
iv
Mustafa BALCI
ISPARTA, 2011

ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 1.1. Kuantum nanoyapılar ve bu yapılarda durum yoğunluğunun enerjiye
bağlı değişimi ............................................................................................... 4
Şekil 3.1. GaAs tipli yarıiletkenlerin k=0 noktası etrafında bant oluşumu .................. 9
Şekil 4. 1. Elektronların ve hafif deşiklerin yarıçapa bağlı enerji spektrumu grafiği 38
Şekil 4. 2. Ağır deşiklerin enerji spektrumunun yarıçapa bağlı değişim grafiği........ 40
Şekil 4. 3. Elektronlar için yarıçapa bağlı ε/ grafiği ............................................... 43
Şekil 4. 4. Deşikler için yarıçapa bağlı ε/ grafiği ................................................... 43
v

SİMGELER DİZİNİ
Brillouin bölgesinin merkezi
Bantların açısal momentum kuantum sayısı
Magnetik kuantum sayısı
Bantların numarası
Bantlara ait dalga fonksiyonu
Bessel fonksiyonu
Planck sabiti
Enerji
Yasak enerji aralığı (k=0 noktası ile elektron bandı arasındaki)
Yasak enerji aralığı (k=0 noktası ile ağır deşikler bandı arasında)
Ağır deşiklerin enerjisi
Hafif deşiklerin enerjisi
Dalga vektörü
Bantlar arası etkileşim sabiti
Bantlara ait enerji
Bessel fonksiyonu
Küresel Bessel fonksiyonu
Diferansiyel denklemin çözümünden gelen Bessel sabiti
Elektronun etkin kütlesi
Ağır deşiklerin etkin kütlesi
Hafif deşiklerin etkin kütlesi
Birinci iletim bandı ile valans bandının etkileşim sabiti
İkinci iletim bandı ile valans bandının etkileşim sabiti
vi

1. GİRİŞ
Hızla gelişen teknolojiye bağlı olarak hesaplama teknikleri son zamanlarda gelişmiş
ve bunun sonucunda bilgisayarların hesaplama hızı ) yükselmiş ve mikro
sistemlerin büyüklüğüne ( ) bağlı olarak ileri bir seviyeye ulaşmıştır. Klasik
fizik yasalarının uygulanabildiği mikro dünyanın sınırı olan yi aştığımızda
ve bilgisayarların hesaplama hızlarını artırdığımızda yepyeni bir fiziksel dünyaya
ulaşırız. Bu fiziksel dünya nano dünyadır. Nano dünya bizlere daha önceki bilinen
mikro dünyadan farklı fiziksel anlamlar sunmaktadır. Bu temel fark; nano dünyada,
mikro dünyada bulunmayan kuantum etkilerinin bulunmasıdır. Bu nedenle
günümüzde kullandığımız teknolojik cihazlar şimdiye kadar kullanılan ilkelerden
farklı olarak yeni ilkelere dayanarak çalışmaktadır.
Nano kelime anlamıyla ifade edilecek olursa; herhangi bir fiziksel büyüklüğün bir
milyarda biri olarak tanımlanır. Nanoyapılar, uzunluk olarak ( )
bakıldığında yaklaşık olarak 10-100 atomluk bir sisteme karşılık gelmektedir. Bu
boyuttaki sistemlerde mikro sistemlere göre farklı fiziksel özellikler
gözlemlenmektedir. Nanobilim ve nanoteknoloji olarak adlandırılan bu yeni
özellikler, yaklaşık 15 yıldır dünyada ülkelerinin askeri, sivil ve teknoloji
stratejilerini belirler duruma gelmiştir.
Nano seviyesinde, malzemelerin fiziksel özellikleri değişmektedir. Makroskopik
ölçekten tamamen farklı olup birçok yeni ve yararlı özellikler ortaya çıkmaktadır.
Örnek olarak iletim özelliklerinin (momentum, enerji ve kütle) artık sürekli değil
kesikli değerler alacağı söylenebilir. Benzer şekilde optik, elektronik, manyetik ve
kimyasal özelliklerinde de klasik değil kuantum özellikleri gözlemlenmektedir.
Maddeleri nanometre seviyesinde işleyerek ortaya çıkan yeni özellikleri kullanarak,
nano-ölçekte yeni teknolojik aygıt ve malzemeler yapmak mümkün olmuştur.
Örneğin tarama tünelleme ve atomik kuvvet mikroskoplarını kullanarak yüzey
üzerindeki atomları iterek birbirlerinden ayırmak, istenilen şekillerde yerleştirmek
mümkün olmuştur. Nanoteknolojiyi 19. yüzyılda gerçekleşen Sanayi Devrimi’ne
eşdeğer kabul edebiliriz. Bu yeni devrim, bilim ve teknolojide yeni bir çağ açmıştır.
1

Bu yeni dönemde atom ve moleküllerle oynayarak tek molekülden oluşan
transistorlar ve elektronik aygıtlar elde edilmiştir. Halen çalışmalar devam etmekte
ve geliştirilmektedir. Yapılan bütün çalışmalar elektronik, fizik, kimya, malzeme
bilimi, optik, uzay bilimleri ve tıp alanlarında büyük bir çığır açmıştır.
İçinde bulunduğumuz döneme damgasını vuran nanoteknoloji kuantum fiziğinin
uygulamalarının bir sonucudur. Kuantum fiziğinin uygulamalarından faydalanılarak,
çalışma ilkeleri kuantum etkilerine bağlı olarak şekillenen yeni cihazlar üretilmesi
hedeflenmektedir. Yarıiletkenler elektroniğinde kuantum mühendisliğinin
uygulanması sonucu yapay kuantum noktaları ve yapay kuantum telleri elde
edilmiştir. Böylece yeni elektronik cihazların ve malzemelerin elde edilmesi
mümkün olmuştur. Gelecekte de bu yeni teknolojiden faydalanılarak süper
bilgisayarlara mikroskop altında bakılabilecek, insan vücudundaki hastalıklı dokuları
bulup iyileştiren nanorobotlar oluşturulabilecektir. İnsan beyni, hafızasına ek
nanohafızalarla güçlendirilebilecektir. Kirliliği önleyen nano parçacıklar ile çevre
kirliliğinin önüne geçilebilecektir. Malzeme biliminde daha hafif ve daha dayanıklı
malzemeler elde edilebilecektir. Halen kullanılmakta olan malzemelerden, yaklaşık
olarak birim ağırlık başına 50 kat daha hafif olabilecek ve kullanım ömürleri bugün-
kilerinden daha uzun olacaktır. Sanayi alanında kir tutmayan ve temizlenebilen
boyalar üretilmiştir. Üzerinde sıvı tutmayan ve kırışmayan kumaşlar elde edilmiştir.
Tıp alanında geliştirilecek nano robotlar ameliyat yapabilecek ve hastalıklı dokuları
bulup iyileştirebilecektir. Ayrıca hastalıklar daha ilk safhalarında teşhis edilebilecek
ve tedavisi hastalık aktif hale geçmeden yapılabilecektir. Nano teknoloji ile kirliliği
önleyen nano parçacıklar ile çevre kirliliğinin de önüne geçmek mümkün olacaktır.
Nanoteknoloji ile ulusal güvenlikte alanında da yeni gelişmeler sağlanabilmekte
savunma sanayisinde, haberleşmede ve gizlilik konularında ilerlemeler
gözlenmektedir. Malzeme bilimiyle birlikte daha hafif ve daha dayanıklı yeni askeri
teçhizatlar üretilmektedir.
Nanobilim ve nanoteknolojinin merkezinde düşük boyutlarda baskın hale geçen
boyut, sınır ve kuantum etkileri gibi temel fizik araştırması içeren konuların yanında,
atomik boyutlarda görüntülemede deneysel yöntemlerin geliştirilmesi, Angström altı
(10 -10 metreden küçük) boyutlarda ölçüm yapabilme teknikleri, düşük boyutlarda
2

istenilen özelliklerde malzeme üretebilmeyi mümkün kılar. Bu yöntem, kızılaltı ve
morötesi radyasyonlara tepkisi kontrol edilebilir malzeme ve aygıt geliştirme
yöntemidir.
Bilgisayar çağının başları olan 1950’lerden bu yana yaklaşık her 18 ayda bir
bilgisayar performansının iki katına çıktığı ve büyüklüğünün yarıya indiği
düşünülürse (Moore kuralı) 2020 yılına ulaşıldığında bu kurala göre bilgisayar
boyutları molekül boyutuna ulaşacaktır. Buna bağlı olarak günümüzdeki işlemcilerin
5 milyar transistorlu olduğu düşünüldüğünde, önümüzdeki dönemde işlemcilerin
hızla artması beklenmektedir.
Boyuta göre kuantumlanmış enerji durumlarının son yıllarda, bilginin üretilmesi ve
kaydedilmesi teknolojisinde uygulanılabilirliği tartışılmaya başlanmıştır. Bilginin
alınması, işlenmesi, korunması ve geri kullanımını sağlayan bilgi sistemlerindeki
gelişmeler göz önüne alındığında, nano-yapılarda meydana gelen kuantum etkilerinin
denetlenme kapasitesi önem taşımaktadır. Nanoyapılarda bilginin kodlanması için üç
önemli kuantum etkisi; yük taşıyıcıların enerjisinin boyuta göre kuantumlanması,
girişim ve tünel olayı incelenmelidir. Büyüklükleri 1 nm mertebesinde olan atomlar
sistemi (kuantum noktası) elektronların lokalizasyona uğradıklarından enerji
spektrumları da kuantumludur. Bu nedenle kuantum noktaları yapay atomlar olarak
kabul edilmektedir. Dolayısıyla A3B5 ve A2B6 tipli Kane tipi yarıiletkenlerle
oluşturulan yapay kuantum yapılarında kuantum etkilerini incelemek çok
önemlidir.Bu şekilde bilgiyi işleme hızı oldukça artarken enerji kullanımı çok az
olacaktır. Nanoteknoloji devriminin insanlığın yakın geleceğinde yaratacağı
değişiklik sadece ana hatlarıyla tahmin edilebilir (Çıracı vd., 2004).
Nano teknolojisinin sadece başlangıcında olduğumuzu unutmamalıyız. Bu teknoloji
ile nereye kadar gidebileceğimizi kestirmek mümkün değildir. Sadece yakın
gelecekle ilgi tahminde bulunabiliriz.
İnce bir yarıiletken tabakasında yük taşıyıcılarının (elektron ve holler)
sınırlandırılması sonucu boyutta küçülmenin yarıiletkenin davranışlarında köklü bir
değişikliğe neden olduğu görülmektedir. Boyutların küçülmesiyle elde edilen iki
boyutlu kuantum kuyuları, tek boyutta kuantum telleri ve boyutsuz kuantum
3

noktalarıdır. Burada yük taşıyıcıların serbestlik derecesi ile sınırlanma yönlerinin
toplamı katı sistemlerde üç olmalıdır. Bu yapıların boyutları de Broglie dalga boyu
mertebesinde olduğundan enerji kuantumlanır ve boyuta göre kuantumlanmış pek
çok enerji seviyesi gözlenir. Bu sebeple son zamanlarda kuantum nanoyapıların
enerji spektrumlarını ve optik özelliklerini hem teorik hem de deneysel olarak
araştırmak çok popüler bir alan olmuştur (Bimberg vd.,2001).
Yapılar incelendiğinde enerjileri ve birim enerji aralığındaki izinli durumların
sayısını veren durum yoğunluğu ile ilgili şunlar ifade edilebilir. Bulk yapılarda
boyutlarda sınırlama olmadığı için enerji ve durum yoğunluğu süreklidir. Tek
boyutta sınırlama ile elde edilen kuantum kuyuları iki boyutlu kristaller olup enerji
bir boyutta kuantumlanmıştır. İki boyutta kuantumlanma sonucu kuantum telleri elde
edilmekte ve enerji iki boyutta kuatumlanmaktadır. Düşük boyutlarda x,y,z
yönlerinde sınırlandırma sonucunda boyutsuz kuantum noktaları elde edilmektedir.
Bu yapıda ise enerji üç boyutta da kuantumlanmıştır. Durum yoğunluğunun kuantum
nanoyapılarda enerjiye bağlı değişimi Şekil 1.1.’de gösterilmektedir(Harrison, 1999;
Çakmaktepe, 2006).
Şekil 1.1. Kuantum nanoyapılar ve bu yapılarda durum yoğunluğunun
enerjiye bağlıdeğişimi
Kuantum yapılarda durum yoğunluğunun enerjiye bağlı değişim grafikleri; bulk
yapılar, kuantum kuyuları, kuantum telleri ve kuantum noktaları için ifade edilmiştir.
Bulk yapılarda, elektronun hareketi serbesttir ve enerji spektrumu süreklidir. Birim
4

enerji aralığındaki izinli durum sayısını veren durum yoğunluğu da sürekli olur.
Kuantum kuyularında toplam enerji, sınırlandırılan doğrultu ile buna dik olan
doğrultudaki düzlemlerin toplam kinetik enerjisini ifade etmektedir. Durum yoğunlu
bu durumda her bir basamağı n. alt banda karşılık gelen bir merdiven şeklinde oluşur.
İki boyutta sınırlandırma ile elde edilen kuantum tellerinde enerji, sınırlandırılan
seviyeler ile sınırlandırılmayan tel boyunca sürekli olan enerjilerin toplamıdır.
Durum yoğunluğu ise her bir alt bandın tabanında birbirinden ayrılır ve enerjinin
artması ile azalır. Kuantum noktalarında ise üç boyutta sınırlama olduğundan enerji
tamamen kuantumlanmıştır. Durum yoğunluğu ise delta fonksiyonunun sınırlı bir
serisi olmuştur.
Nanoyapılarla ilgili çalışmalar daha çok Kane tipi yarıiletkenler (InAs, GaAs, InSb,
HgTe) temellidir. Düşük boyutlu sistemlerdeki deneysel çalışmalarda, yasak bant
aralığı küçük olan yarıiletkenler kullanılırken, yarıiletkenlere ait gerçek bant
yapısının kullanılması gerekir. Çünkü basit parabolik bant yapısı gerçek
yarıiletkenlerin optik ve elektronik özellikleri için yeterli değildir. Ancak nitel bir
tanımlama elde etmek için yeterli olmaktadır. Nanokristallerin optik özellikleri
elektronlar ve deşikler arasındaki geçişler sonucu meydana gelir. Bu sebeple yük
taşıyıcılarına ait enerji seviyeleri bu yarıiletkenlerde bulunan gerçek bant yapısı
dikkate alınarak hesaplanmalıdır (Efros ve Rosen, 1998).
Kane modeli yarıiletkenlerde yük taşıyıcılarının enerji spektrumunu elde etmek
amacıyla iletkenlik bandı ile hafif deşikler ve spin-yörüngesel parçalanma
deşiklerinden oluşan üç bandın etkileşmesi dikkate alınarak kurulmuştur. Bantlar
arası etkileşme Kane parametresi olarak tanımlanan P matris elemanı ile karakterize
edilmektedir (Askerov, 1970).
Dönme grubuna göre değişmeyen birinci mertebeden diferansiyel denklemleri
kullanarak, üç bant modeli (valans bandı ve iki iletkenlik bandı) dikkate alınarak,
spin orbital etkileşmesi ihmal edilerek, GaAs tipi yarıiletken kuantum noktalarında
yük taşıyıcılarının enerji spektrumlarının yarıçapa bağlı değişimi ve dalga
fonksiyonları incelenmiştir.
5

Tez altı bölüm olarak hazırlanmıştır. Giriş bölümü ve kaynak özetlerinin ardından
üçüncü bölümde materyal ve yöntem kısmında iki iletkenlik bandı ve valans bandı
dikkate alınarak Dönme grubuna göre değişmez kalan birinci mertebeden
diferansiyel denklemler sistemi yazılmıştır. Bu diferansiyel denklemlerin çözümleri,
Küresel Bessel fonksiyonları kullanılarak, bulunmuştur. Dördüncü bölüm, araştırma
bulguları ve tartışma bölümünde, GaAs tipi yarıiletken kuantum noktaları için
küresel Bessel fonksiyonlarının sınır koşullarından yararlanılarak yük taşıyıcılarının
enerjileri yarıçapa bağlı olarak incelenmiştir.
Tez çalışması, sonuç bölümünün ardından kaynaklar kısmı ile sona ermiştir.
6

2. KAYNAK ÖZETİ
Spin-yörünge etkileşmesinin ve elektronların g-faktörüne olan katkısı, Kiselev ve
arkadaşları tarafından araştırılmıştır. Elektronların g-faktörü hesaplanırken
elektronların, hafif deşiklerin ve valans bandının kompleks yapısının parabolik
olmamasını dikkate alan üç bantlı Kane modeli kullanılmıştır. Bu model enerji bant
yapısını, Brillouin bölgesinin noktası etrafında tanımlar. Kuantum telleri ve
kuantum noktaları için elektron g-faktörü değerleri GaAs/AlxGal-xAs hetero
sistemine ait parametreler kullanılarak pertürbasyon teorisi ile hesaplanmıştır
(Kiselev vd., 1996).
Genel olarak elektriksel iletkenlik, elektrik alanının etkisi ile yük taşıyıcıların
hareketi olarak tanımlanmaktadır. Yük taşıyıcılarının akışından başlayan ve örneğin
kenarlarında sürdürülen ve daha sonra yüklerin nasıl oluştuğunu, alanların nasıl
geliştiğini hesaplayan alternatif bir yaklaşım düzensiz sistemlerin davranışlarının
incelenmesinde kabul görmüştür. Landauer (1987), bu yaklaşıma ait üzerinde
durulması gereken sonuçları analiz etmiştir.
Efros ve Rosen (1998), küresel yarıiletken nanokristallerde elektron ve deşiklerin
boyuta göre kuantumlanmış enerji seviyelerinin boyuta bağlı değişimi üzerine
çalışmışlardır. Çalışmalarında kuantum enerji seviyeleri için iletkenlik ve valans
bantlarının etkileşimini dikkate alan ve küresel sekiz bantlı Pidgeon ve Brown
modelini içeren analitik bir kuram geliştirmişlerdir. Yasak enerji aralığı küçük olan
yarıiletkenlerde bantlar arası etkileşiminin ihmal edilemeyeceğini göstermişlerdir.
Hesaplamalar dar yasak enerji aralıklı InSb için, orta yasak enerji aralıklı CdTe ve
geniş yasak enerji aralıklı CdS nanokristalleri için sunulmuştur.
Gashimzade vd. (2000), A 3 B 5 ve A 2 B 6 tipli yarı iletken küresel kuantum noktalarında
serbest yük taşıyıcılarının enerji spektrumlarının kuantum noktalarının yarıçapına
bağlılığını çalışmışlardır. Kuantum noktalarında yük taşıyıcılarının enerji
spektrumunu hesaplamak için rotasyon grubuna göre değişmez kalan denklemlerin
elde edilmesinde kullanımlı bir yöntemin üstün yanları gösterilmiştir. Küresel InAs
kuantum noktasının ve yasak bant aralığı sıfır olan (HgTe) ile yasak bant aralığı dar
7

olan (Cd1-xHgxTe; x

3. MATERYAL VE YÖNTEM
Bu çalışmada GaAs tipli yarıiletkenlerin küresel kuantum noktalarında yük
taşıyıcılarının enerji spektrumları incelenmiştir. Basit parabolik bant modeli
yarıiletken nanoyapıların enerji spektrumlarını tam ifade edememektedir. GaAs tipi
yarıiletkenlerin iletkenlik bandı, yalnız bandın k=0 noktasının yakın çevresinde
paraboliktir. Bu sebeple basit parabolik bant modeli yarıiletkenlerin optik
özelliklerini detaylı öğrenmek için yeterli değildir. Nanoyapıların optik özelliklerini
deşikler ve elektronlar arasındaki geçiş zamanı ortaya çıkarır. GaAs tipi
yarıiletkenlerin optik özelliklerini araştırmak için valans bandının karmaşıklığını ve
valans bandı ile iletkenlik bandı arasındaki etkileşmeyi dikkate alan yeni çok bantlı
bir model kurulması gerekmektedir. Bu çalışmada çok bantlı model, dönme grubuna
göre değişmez kalan birinci mertebeden diferansiyel denklemler sisteminden
yararlanılarak yapılmıştır (Gelfand, 1958; Lyubarskiy, 1957).
Şekil 3.1. GaAs tipli yarıiletkenlerin k=0 noktası etrafında bant oluşumu
Şekil 3.1.’de GaAs tipli yarıiletkenlerin Brillouin bölgesi merkezi noktası etrafında
bant yapısı gösterilmiştir. Bantlar iki simge ile belirtilmektedir (l, ). Burada ilk
9

simge (l) bantların açısal momentum kuantum sayısını, ikinci simge ( ) bant
numarasını ifade etmektedir. Yaptığımız çalışmada =1, l=1 bandı valans bandını
göstermektedir. Bu bant katlı ağır deşikleri ve hafif deşiği ifade etmektedir.
İletkenlik bantları ise =0, l=0 ve =2, l=2 numaralı bantlarla ifade edilmektedir.
Çok bantlı modelde, dönme grubuna göre değişmez kalan birinci mertebeden
diferansiyel denklemler sisteminden yararlanılarak yük taşıyıcılarının fonksiyonları
ve enerji spektrumları hesaplanmıştır. Küresek kuantum noktalarında ve bulk
yapılarda bantların radyal fonksiyonları için yazılmış diferansiyel denklemler
sisteminden yararlanılmıştır (Gelfand, 1958; Lyubarskiy, 1957).
Radyal fonksiyonlar için diferansiyel denklemler sistemi,
10
(3.1)
şeklinde tanımlanır. (3.1) denklemler sistemi keyfi sayıda bandı dikkate alarak
yazılmıştır. Bu bantlardaki yük taşıyıcıların fonksiyonları ve enerji spektrumları,
yazılan diferansiyel denklemler sisteminden elde edilen denklemlerin çözümlenmesi

ile mümkün olacaktır.
Bu denklemler sisteminde, bantlara ait enerji sabitidir. katsayıları bantlar arası
etkileşme sabitleridir. Burada l bantların tam açısal momentum kuantum sayısını,
ise bant numarasını ifade etmektedir. bulunmak istenen fonksiyonlardır.
Fonksiyonlar alt indisleriyle ifade edilmiştir. Açısal momentum değerleri l,
magnetik kuantum sayıları m ve bantların numarası ile gösterilmektedir.
Diferansiyel denklemlerde açısal momentum değerleri, l=0 için m=0, = 0, l=1 için
m=-1, 0, 1, = 1 ve l=2 için m= -2, -1, 0, 1, 2 , =2 değerleri kullanılarak dokuz
denklem elde edilmiştir.
11
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)

12
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Elde edilen bu denklemler valans bandı ve iki iletkenlik bandı göz önüne alınarak
yazılmıştır. Katlı olan ağır deşiklerin fonksiyonlarını elde etmek için l=2 bandına ait
fonksiyonları, (3.6), (3.7), (3.8), (3.9) ve (3.10)denklemlerinden elde edilir.
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)

13
(3.15)
(3.11), (3.12), (3.13), (3.14), (3.15) fonksiyonları, (3.2), (3.3), (3.4) ve (3.5)
denklemlerinde yerlerine yazıldığında,
denklemleri elde edilir. (3.16), (3.17), (3.18) ve (3.19) denklemleri düzenlenirse,
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)

14
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
şeklinde dört denklem elde edilir. Bu denklemleri kullanarak ağır deşiklerin
fonksiyonları ve enerji spektrumları bulunabilir.
Ağır deşiklerin katlı fonksiyonlarını elde etmek için (3.20), (3.21), (3.22), (3.23)
denklemleri kullanılır. Ağır deşiklerin ilk fonksiyon grubunu ve enerji spektrumunu
bulmak için (3.23) denkleminden (3.21) denklemi taraf tarafa çıkarılırsa,
(3.24)
(3.24) denklemi bulunur. Bu diferansiyel denklem, Bessel diferansiyel denklemidir.

Bessel diferansiyel denklemi (Abramowitz, 1964),
şeklindedir. Buradaki Bessel fonksiyonu ise
dir. Diferansiyel denklemden,
15
(3.25)
(3.26)
(3.27)
enerji spektrumu ve dalga fonksiyonu, Bessel diferansiyel denkleminin çözümünde
aranmalıdır. Dalga vektörü,
(3.28)
(3.28) denkleminde, ve değerleri yerine
yazılırsa,
(3.29)
buradan, olduğu için olarak alınabilir. Böylece enerji ifadesi,
deşikler için enerji spektrumunu ifade etmektedir.
(3.26) Bessel fonksiyonundan, fonksiyonu ise,
dir.
(3.30)
(3.31)
Böylece katlı ağır deşikler için birinci fonksiyon grubunda fonksiyonu
bulunmuş oldu. Diferansiyel denklemlerde fonksiyonunun diğer

fonksiyonlar ile etkileşimi olmadığı için
dır. Bu durumda ağır deşiklerin birinci fonksiyon grubu;
16
(3.32)
dur. Bessel fonksiyonundan küresel Bessel fonksiyonuna dönüşümü (Abramowitz,
1964),
dir. Küresel Bessel fonksiyonu grubu ise
(3.33)
(3.34)
şeklinde olur. Ağır deşikler için birinci grup küresel Bessel dalga fonksiyonları
bulunmuş oldu.
Katlı ağır deşiklerin, ikinci grup fonksiyonlarını için (3.21), (3.23) denklemleri taraf
tarafa toplanır.
(3.35)

Denklem düzenlenirse,
17
(3.36)
elde edilir. (3.20), (3.22) ve (3.36) denklemlerinde ve
değişken dönüşümleri yapıldığında denklemler,
(3.37)
(3.38)
(3.39)
olur. Ağır deşikler için denklemler çözülürken dikkate alınması gereken ilk şart, ağır
deşiklerin elektron bandıyla (l=0 bandı) olan etkileşmelerinin ihmal edilmesidir.
Böylece olacaktır. Bu şart dikkate alınarak (3.37), (3.38), (3.39)
denklemleri,
(3.40)
(3.41)

18
(3.42)
Denklemlerden anlaşılıyor ki katlı olan ağır deşiklerin ikinci grup fonksiyonlarında
çekildiğinde,
ve fonksiyonları bulunmaktadır. (3.40) denkleminden fonksiyonu
olur. fonksiyonu (3.42) denkleminde yerine yazılıp,
denklemde türev alınırsa,
olur. Denklem düzenlendiğinde
(3.43)
(3.44)
(3.45)
(3.46)
elde edilir. Diferansiyel denkleminin çözümü Bessel fonksiyonlarıdır. Dalga vektörü
(3.28) denklemindeki gibi
dir. Dalga vektöründe değerler yerine yazıldığında elde edilen (3.29) denklemi
idi. olduğu için olarak alınabilir.

Böylece enerji spektrumu (3.30) denkleminden,
olur. fonksiyonunun Bessel denkleminde çözümü,
şeklinde bulunur. (3.47) fonksiyonu (3.43) denkleminde yazılarak, fonksiyonu,
bulunacak olursa, türev almak için (Abromowitz, 1964)
19
(3.47)
φ= - (3.48)
z=k.r
denklemi kullanılır. Böylece fonksiyonunun türevi,
(3.49)
dz=k.dr (3.50)
olur. (3.51) ifadesi (3.48) denkleminde yazılarak fonksiyonu elde edilir.
(3.51)
(3.52)
Ağır deşikler için ve fonksiyonları bulunmuş oldu. Diğer fonksiyon
diferansiyel denklemlerde olmadığı için dır. Böylece ağır deşikler
için ikinci grup fonksiyonlar,
(3.53)

şeklinde bulunmuştur. Buradan(3.33) deki küresel Bessel dönüşümü yapılırsa,
20
(3.54)
Ağır deşikler için ikinci grup küresel Bessel fonksiyonları bulunmuş oldu. Katlı ağır
deşiklere ait iki küresel Bessel fonksiyon grupları (3.34), (3.54) ve enerji denklemi
(3.30) bulunmuştur.
Elektronların ve hafif deşiklerin fonksiyonlarını ve enerji denklemlerini bulmak için
ilk dokuz denklemden (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) denklemlerini tekrar yazılsın.

denklemleri kullanılarak elektronların ve hafif deşiklerin fonksiyonları ve enerji
spektrumları bulunmuştur. Denklemlerde öncelikle ağır deşiklere ait l=2 bandıyla
olan etkileşimler ihmal edilmiştir. α= ,
dönüşümleri yapılarak, (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) denklemleri,
21
(3.55)
(3.56)
(3.57)
(3.58)
şekline gelmiştir. Denklemlerden (3.56) ve (3.58) denklemleri taraf tarafa toplanırsa,
elde edilir. Denklemden fonksiyonu çekilerek,
(3.57) denkleminde yerine yazılırsa,
(3.59)
(3.60)
(3.61)

denklem sadeleştirildiğinde,
olur. Denklemden fonksiyonu çekilerek,
(3.36) denkleminde yerine yazılırsa,
denklemi elde edilir. Denklemde türev alındığında
olur.
değişken dönüşümü yazılırsa,
22
(3.62)
(3.63)
(3.64)
– (3.65)
olur. fonksiyonu (3.20) denkleminde yazıldığında,
olur. Denklemde türev alınarak,
(3.66)
(3.67)
(3.68)
(3.69)

denklemi elde edilmiş oldu. (3.66) denklemindeki dönüşüm (3.69) denkleminde de
uygulandığında
ve (3.70) denkleminde her taraf ifadesine bölünürse,
elde edilir. (3.67) denkleminden fonksiyonunu çekilip,
(3.72) denklemi (3.71) denkleminde yerine yazılırsa,
(3.73) düzenlendiğinde,
olur. Burada,
(3.75) denkleminde her taraf ifadesine bölünürse,
denklemi elde edilir. (3.66) dönüşümünde değeri (3.76) da yerine yazılırsa,
23
(3.70)
(3.71)
(3.72)
(3.73)
(3.74)
(3.75)
(3.76)

24
(3.77)
şeklinde diferansiyel denklem elde edilir. Denklem Bessel diferansiyel denklemidir.
Denklemin Bessel çözümünden fonksiyonu,
olur. fonksiyonuna (3.33) teki küresel Bessel dönüşümü uygulanırsa,
fonksiyonu bulunur. (3.77) denkleminden dalga vektörü,
olmaktadır. Dalga vektörü düzenlenerek,
yerlerine yazılırsa,
olur. Denkleminde,
(3.78)
(3.79)
(3.80)
(3.81)
, ve değerleri
olduğu için olarak alınabilir. (3.82) denklemi
(3.82)
(3.83)
(3.84)

olur. ile g arasındaki ilişki, kabul edilir ve alınırsa,
25
(3.85)
olur. Ağır deşiklerle etkileşme ihmal edilecek kadar küçük olduğu için kabul
edilebilir. Bu durumda denklem,
haline gelir. (3.86) denkleminden σ değeri,
olmaktadır. Burada ifadesi çekilerek,
(3.30) denkleminden elde edilen değeri ile birlikte
(3.85) denkleminde yerlerine yazılırsa,
denklemi elde edilir. (3.90) denkleminde sadeleştirme yapılarak,
değerleri bulunmalıdır.
enerji parantezine alınırsa,
(3.86)
(3.87)
(3.88)
(3.89)
(3.90)
(3.91)
(3.92)
(3.93)

denklemin çözümü için,
26
(3.94)
ikinci dereceden denkleminin kökleri bulunmalıdır. Köklerden bir tanesi
elektronların enerjisini diğeri ise hafif deşiklerin enerjisini vermektedir.
(3.95)
Böylece elektronların ve hafif deşiklerin enerji değerlerini bulunmuş oldu. Enerjinin
köklerinden,
ifadesi elektronlar için enerji değerini,
ifadesi ise hafif deşiklerin enerji değerini ifade etmektedir.
(3.96)
(3.97)
Elektronlar ve hafif deşiklerin fonksiyonlarından dalga fonksiyonunu bulmak
için (3.63) denkleminde, (3.78) denklemindeki fonksiyonu yazılırsa,
(3.98) denklemindeki türev işlemi için (3.49) ve (3.50) ifadelerinden faydalanılır.
(3.98)

denklem düzenlenirse,
olur. Bulunan ve değerleri (3.37) denkleminde yerine yazılsın.
Buradan fonksiyonu hesaplanır.
(3.49) ve (3.50) deki türev uygulanması ile
27
(3.99)
(3.100)
(3.101)
(3.102)
(3.103)

fonksiyonu,
elde edilmiş oldu. Elektronların ve hafif deşiklerin fonksiyonlarında
28
(3.104)
(3.105)
fonksiyonu bulunmadığı için değeri sıfırdır. Böylece elektronların ve hafif deşiklerin
Bessel fonksiyonları,
(3.106)
bulunmuş oldu. (3.33) teki dönüşüm kullanılarak küresel Bessel fonksiyonları elde
edildi.
Elektronlara ait Bessel fonksiyonları,
(3.107)
(3.108)

Küresel Bessel fonksiyonları
dır. Hafif deşiklerin Bessel fonksiyonları
ve Küresel Bessel fonksiyonları
29
(3.109)
(3.110)
= (3.111)
olarak bulundu. Böylece elektronların ve hafif deşiklerin küresel Bessel
fonksiyonları bulunmuş oldu. (3.82) denkleminden faydalanılarak elektronların ve
hafif deşiklerin enerji değerleri elde edildi.
Bu denklem elektronlar ve hafif deşikler için yazılacak olursa.
(3.112)
(3.113)

30
(3.114)
Böylece ağır deşiklerin, hafif deşiklerin ve elektronların küresel Bessel fonksiyonları
ve enerji denklemleri bulunmuş oldu. Katlı ağır deşiklerin, elektron ve hafif
deşiklerin küresel Bessel fonksiyonları,
(3.34)
(3.54)
(3.107)
dir. Elde edilen (3.34), (3.54), (3.107) küresel Bessel fonksiyonları için sınır koşulları
belirlenmeli ve fonksiyonlarının küresel Bessel denklemlerinde çözümleri
aranmalıdır. Kuantum noktaları için Küresel Bessel fonksiyonlarının sınır şartı,
yarıçapı olan kuantum noktası içerisinde potansiyelin sıfır, dışında ise sonsuz
olmasıdır.
Sınır koşulları uygulanarak D1, D2, D3 determinant sabitleri ile denklem,
(3.115)

yazılır. Bu denklemin çözümü için birinci satırdan gelen denklem,
31
(3.116)
(3.117)
dir. Denklemin çözümünden, elektronlar ve hafif deşikler için enerji spektrumunun
yarıçapa bağlı değişim grafiği elde edilir. (3.95) denklemindeki elektronlara ve hafif
deşiklere ait enerji denklemi,
(3.95)

dir. (3.96) denklemi elektronlar için enerjinin yarıçapa bağlı değişimini verir.
32
(3.96)
(3.97) denklemi ise hafif deşiklerin yarıçapa bağlı enerji denklemini ifade
etmektedir.
(3.115) denkleminin ikinci satırlarından gelen denklem,
(3.97)
(3.118)
dır. Bu denklemin çözümü ile ağır deşiklerin enerji spektrumunun yarıçapa bağlı
değişimini bulmak mümkün olacaktır. Küresel Bessel denkleminin grafiğinin elde
edilebilmesi için kh ve (khr) 2 değerleri, (3.29) ve (3.30) denklemlerinden
faydalanılarak bulunur.
(3.119)
Boyuta göre diğer kuantumlanmış hallerin enerji spektrumları (3.120)
determinantının çözülmesiyle bulunmuştur.

determinantın çözümü için,
şeklinde iç çarpımı alınarak,
33
(3.120)
(3.121)
(3.122)
(3.122) şeklinde bulunmuştur. Denklem de değişken dönüşümü
yazılırsa,
(3.123)

(3.123) denklemi düzenlenirse,
34
(3.124)
elde edilir. (3.124) denkleminden l değerinin sıfırdan farklı değerler alması gerektiği
anlaşılmaktadır. l=0 değeri için çözüm yoktur. Bu nedenden dolayı tam açısal
momentum kuantum sayısı l=1.2.3.4… değerlerini alır.
Denklemin çözümü,
olur. Denklemin grafiğini çizmek için kh ve k değerleri aşağıdaki gibi alındı.
(3.125)
(3.126)
(3.127)
Denklemin çözümü için küresel Bessel fonksiyonları kullanılmıştır. Küresel Bessel
fonksiyonunun yarıçapa bağlı grafiğinde kestiği ilk noktalar tespit edildi.

35
(3.128)
Bu noktalara karşılık gelen, elektronlara ve deşiklere ait değerleri yarıçapa bağlı
olarak elde edilmiştir.
(3.129)
Bu denklemde >1 değerleri küresel Bessel denkleminde elektronların yarıçapa
bağlı grafiğini,

4. ARAŞTIRMA BULGULARI VE TARTIŞMA
Yapılan çalışmada, GaAs tipi yarıiletken kuantum noktalarının yük taşıyıcılarının
enerji spektrumlarını elde etmek için dönme grubuna göre değişmez kalan birinci
mertebeden diferansiyel denklemler sistemi kullanılmıştır. Ağır deşiklerin
fonksiyonları ikinci dereceden katlıdır.
Hafif deşiklerin ve elektronların fonksiyonları ise,
36
(3.34)
(3.57)
(3.107)
dir. Fonksiyonlara kuantum noktasının sınır şartı uygulanmıştır. Kuantum noktası
için sınır şartı, kuantum noktasının içinde potansiyelin sıfır, yüzeyinde ise sonsuz
olmasıyla sağlanır.
(3.115)
Sınır şartını uygulayarak enerji spektrumları bulunmuştur. D1, D2, D3, determinant
sabitleri kullanarak sınır koşulu (3.116) denkleminde uygulanmıştır.

Yukarıdaki denklemin birinci satırlardan gelen denklem,
37
(3.116)
(3.117)
dir. Denklemin çözümüyle elektronlar ve hafif deşikler için enerji spektrumunun
yarıçapa bağlı değişim grafiği elde edilmiştir. Bunun için (3.95) denklemindeki
elektronlara ve hafif deşiklere ait enerji denklemi kullanılmıştır.
(3.95)

(3.96) denklemi elektronlar için enerjinin yarıçapa bağlı değişimi,
38
(3.96)
(3.97) denklemi ise hafif deşiklerin yarıçapa bağlı enerji denklemini ifade
etmektedir.
(3.97)
GaAs yarıiletkeni için elektronların ve hafif deşiklerin enerji spektrumlarını yarıçapa
bağlı grafiğini elde etmek için denklemlerde; g = 1.52 eV , =1.05457 x10 -34 J.s,
(k.r) 2 =(7.7252) 2 eV/N (r=20x10 -10 m değeri için), elektronun etkin kütlesi
me= 0.065x9.1093x10 -31 kg= 5.9211x10 -32 kg, hollerin etkin kütlesi
mlh= 0.065x9.1093x10 -31 kg= 5.921x10 -32 kg ve mhh=0.4x9.1093x10 -31 kg=
3.6437x10 -32 kg dır. Kuantum noktasının yarıçapı ise 2x10 -9 m ile 2x10 -8 m arasında
alınmıştır. Bu şartlar altında elektronların ve hafif deşiklerin yarıçapa bağlı enerji
spektrumu grafiği Şekil 4.1 de görülmektedir.
Şekil 4.1. Elektronların ve hafif deşiklerin yarıçapa bağlı enerji spektrumu grafiği

Bu şekilden görüldüğü gibi kuantum noktasının yarıçapı küçüldükçe; elektronların
enerjisi artmakta, hafif deşiklerin enerjisi azalmaktadır. Yasak bant aralığı, kuantum
noktasının yarıçapının azalmasıyla artmakta ve enerji seviyeleri
kuantumlanmaktadır. Yarıçapın artmasıyla bulk yapıya gidilmekte, elektronların
enerjisi azalmakta ve hafif deşiklerin enerjisi artmaktadır. Enerji seviyeleri yarıçapın
artmasıyla birlikte birbirine yaklaşmakta ve yasak bant aralığı sabit kalmaktadır.
Yarıçapın artması ile enerji seviyeleri sürekli hale gelmektedir.
(3.115) denkleminin ikinci satırlarından gelen ifade,
39
(3.118)
dır. Bu denklemin çözümü ile ağır deşiklerin enerji spektrumunun yarıçapa bağlı
değişim grafiğini bulmak mümkün olacaktır. Küresel Bessel denkleminin grafiğinin
elde edilebilmesi için kh ve (khr) 2 değerleri,
enerjinin yarıçapa bağlı ifadesi,
(3.29)
(3.30)
(3.119)
(3.118) denkleminde; ħ =1.05457x10 -34 J.sn, (kh.r) 2 =3.141592 eV/N (r=5x10 -10 m),
(kh.r) 2 yarıçapa bağlı olarak değişmektedir. Ağır deşiklerin etkin kütlesi
mh=0.4x9.1093x10 -31 kg= 3.6437x10 -31 kg dır. Şekil 4.2 grafiğinde kuantum
noktasının yarıçapı, 5x10 -10 m ile 1x10 -7 m arasında alınmıştır.

Şekil 4.2. Ağır deşiklerin enerji spektrumunun yarıçapa bağlı değişim grafiği
Ağır deşiklerin enerjilerinin yarıçapa bağlı değişimini veren Şekil 4.2 grafiğinde de
görüldüğü gibi yarıçapın azalması ile ağır deşiklerin enerjisi azalmakta ve enerji
kesikli değerler almaktadır. Yarıçapın azalması ile enerji seviyeleri
kuantumlanmaktadır. Yarıçap arttıkça enerji artmakta, enerji seviyeleri birbirine
yaklaşmaktadır.
Boyuta göre diğer kuantumlanmış hallerin enerji spektrumları aşağıdaki
determinantın çözülmesiyle bulunacaktır.
bu determinant çözümü,
40
(3.120)
(3.124)

dır. Denklemden l değerinin sıfırdan farklı değerler alması gerektiği anlaşılmaktadır.
l=0 değeri için çözüm olmayacaktır. Bu nedenden dolayı açısal momentum kuantum
sayısı l=1.2.3.4… değerlerini alabilecektir.
Denklemin çözümünde,
olarak alınır. Denklemin grafiğini çizmek için, kh ve k değerleri, belirlenmiştir.
41
(3.125)
(3.126)
(3.127)
Bu denklemlerde sabit değerler olan; g= 2.4353x10 -12 erg, ħ= 1.0551x10 -27 erg.s,
elektronun etkin kütlesi me= 0.065x9.1093x10 -28 gr = 5.9211x10 -29 gr ve hollerin
etkin kütlesi mh= 0.4x9.1093x10 -28 gr = 3.6437 x10 -28 gr dır. Yarıçap 30x10 -8 cm ile
300x10 -8 cm arasında ve açısal momentum kuantum sayıları için l=1.2.3.4.5 değerleri
alınarak yarıçapa bağlı enerji spektrumları elde edilmiştir. Değerler yerlerine
yazılarak, küresel Bessel denkleminin grafiğinde oranının kestiği ilk noktalar
tespit edilir.

42
] (3.128)
Küresel Bessel denkleminin grafiğinde kesilen ilk noktaların bulunmasının ardından,
bu noktalara karşılık gelen elektronlara ait enerji spektrumlarının yarıçapa bağlı
değerleri elde edilmiştir.
] (3.129)

Elde edilen değerleri birden büyük ve sıfırdan küçük değerler olmaktadır. Bu
değerlerden >1 değerleri elektronların yarıçapa bağlı grafiğini vermektedir (Şekil
4.3).
Şekil 4.3. Elektronlar için yarıçapa bağlı / g grafiği
Şekil 4.3 grafiğine göre; yarıçap arttıkça / g oranı bire yaklaşmakta, enerji seviyeleri
arasındaki genişlik azalmakta ve bulk yapıya gidilmektedir. Böylece enerji sürekli
hale gelmekte ve elektronların enerjisi yarıçapın artması ile azalmaktadır. Yarıçap
azaldıkça / g oranı artmakta ve elektronların enerjisi artmaktadır. Böylece enerji
seviyeleri kuantumlanmakta ve yasak bant aralığı artmaktadır.
Şimdi < 0 değerleri hollerin yarıçapa bağlı grafiğini vermektedir (Şekil 4.4).
Şekil 4.4. Deşikler için yarıçapa bağlı / g grafiği
43

Şekil 4.4 grafiğine göre; yarıçap arttıkça, / g oranı sıfıra yaklaşmakta, deşiklerin
enerjisi artmakta, yasak bant aralığı azalmakta, bulk yapıya gidilmektedir. Yarıçap
arttıkça enerji seviyeleri arasındaki genişlik azalmakta bulk yapıda enerji seviyeleri
sürekli hale gelmektedir. Yarıçap azaldıkça (nanoyapılarda), yasak bant aralığı
genişlemekte enerji seviyeleri kuantumlanmaktadır. Yarıçapın azalması ile
elektronların enerjisi artmakta, hollerin enerjisi azalmaktadır.
44

5. SONUÇ
Üç bant modeli (valans bandı ve iki iletkenlik bandı) dikkate alınarak dönme
grubuna göre değişmez kalan birinci mertebeden diferansiyel denklemler sistemi
kullanılarak fonksiyonlar Bessel fonksiyonları cinsinden bulunmuştur. Fonksiyonlara
sınır şartları uygulanarak, GaAs tipli yarıiletken küresel kuantum noktalarında yük
taşıyıcıların enerji spektrumlarının yarıçapa bağlı değişimleri incelenmiştir. Şekil 4.1
grafiğinde elektronlar ve hafif deşiklerin, Şekil 4.2 grafiğinde ise ağır deşiklerin
enerji spektrumlarının yarıçapa bağlı değişimi incelenmiştir. Grafiklere göre; makro
yapılardan (Bulk yapı), nanoyapılara geçtikçe enerji spektrumları kuantumlanmakta,
yasak bant aralığı artmaktadır. Yarıçapın azalması ile elektronların enerjisi artmakta,
hafif deşiklerin ve ağır deşiklerin enerjisi azalmaktadır. Buna bağlı olarak farklı
fiziksel özellikler gözlenmektedir. Kuantum noktalarında yarıçapın artması ile bulk
yapılara gidilmekte buna bağlı olarak enerji seviyeleri birbirine yaklaşmakta ve
sürekli olmaktadır. Yarıçapın artması ile elektronların enerjisi azalmakta, hafif
deşiklerin ve ağır deşiklerin enerjisi artmaktadır.
45

6.KAYNAKLAR
Abromowitz M., 1964. Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs
and Matematical Tables, United States Department of Commerce,
Washington D.C., 20402. 1037s
Askerov, B.M., 1970. Kinetic Effects in Semiconductors. Nauka, 358. Leningrad.
Bimberg, D., Grundman, M., Ledentsov, M., 2001. Quantum Dot Heterostructures.
JOHN WILEY, British Library, 328p, New York.
Çakmaktepe, Ş., 2006. Kane Tipi Yarıiletken Kuantum Çubuklarında Yük
Taşıyıcılarının Enerji Spektrumları. Fizik Anabilim Dalı, Doktora Tezi,
Isparta, 79s.
Çıracı, S., 2004. Nanobilim ve Nanoteknoloji Stratejileri. Ankara Tübitak yayını,
Ankara, 26s.
Efros, AI. L., Rosen M., 1998. Quantum size level structure of narrow-gap
semiconductor nanocrystals: Effect of bant coupling. Physıcal Revıew B, 58-
11, 7120-7135.
Efros, AI. L.,Rosen M., 1999. Intrinsic Gap Semiconductor Nanocrystals. Physical
Review Letters, 83-12, 2394-2397.
Ekimov A.I., Onushchenko A.A., Plyukhin A.G., Efros Al.L.,1984. Size quantization
of excition and determination of the parameters of their energy spectrum in
CuCl. Sov. Phys, 1490-1501, 891-897.
Harrison, P., 1999. Quantum Wells, Wires and Dots. John Wiley and Sons Ltd,
Chichester
Kiselev, A.A., Ivchenko, E.L., 1996. Kuantum telleri ve kuantum noktalarında
elektron g-faktörü. Pismo JETF 67-1, 41-45.
Landauer, R.Z., 1987. Electrical transport in open and closed systems, Volum 68,
Number 2-3, Condenset Matter, 217-228, Newyork.
46

Adı Soyadı: Mustafa BALCI
Doğum Yeri ve Yılı: Kula/Manisa - 1981
Medeni Hali: Bekar
Yabancı Dili: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise: Salihli İmam Hatip Lisesi
ÖZGEÇMİŞ
Lisans: Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü
Yüksek Lisans: Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik
Öğretmenliği Tezsiz Yüksek Lisans
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl: Bil Dershanesi 2004-2006
Fen Bilimleri Dershanesi 2008
Hedef Etüt Merkezi 2008
Keçiborlu Sincer Dershanesi 2009-2011
47