You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
A.Ü. FEN FAKÜLTESIDÖNER SERMAYE I ŞLETMESIYAY INLARINO:13FONKSIYONEL ANALIZEGilliş( Yeniden Dilzentenmis Yedinci Bask ı)Erwin Kreyszig'denUyarlayanProf. Dr. Öner ÇAKARANKARA 2007
BÜTÜN HAKLARI SAKLIDIRYazarın yazılı izni olmad ıkça,bu kitabın bir kısm ı ya da tamam ıhangi yolla olursa olsun çoğaltıl ıpsablamaz ve kullanılamaz.
BÖLÜM 1. METRİK UZAYLAR1. O. Giri ş 11. l Metrik Uzay 21. 2. Metrik Uzaya İli şkin Diger Örnekler 71. 3. Aç ık Küme, Kapal ı Küme, Kom şuluk 131. 4. Yak ınsakl ık, Cauchy Dizisi, Taml ık 191. 5. Taml ık İspatlar ına İli şkin Örnekler 231. 6. Metrik Uzaylar ın Tamlaşt ınlmas ı 29BÖLÜM 2. NORMLU UZAYLAR, BANACH UZAYLARI2. 1. Vektör Uzay 352. 2. Normlu Uzay, Banach Uzay ı 422. 3. Normlu Uzaylara İlişkin Diğer Özelikler 482. 4. Sonlu Boyutlu Normlu Uzaylar ve Altuzaylar 522. 5. Kompaktl ık ve Sonlu Boyut 552. 6. Lineer Operatörler 592. 7. S ınırl ı ve Sürekli Lineer Operatörler 662. 8. Lineer Fonksiyoneller 742. 9. Sonlu Boyutlu Uzaylarda Lineer Operatörler ve Fonksiyoneller 802.10. Normlu Operatör Uzaylan. Dual Uzay 84BÖLÜM 3. İÇÇARPIM UZAYLARI. H İLBERT UZAYLARI3. 1. İççarp ım Uzay ı. Hilbert Uzay ı 923. 2. İççarp ım Uzaylarm ın Diğer Özelikleri 973. 3. Ortogonal Tümleyenler ve Direkt Toplam 1013. 4. Ortonormal Kümeler ve Diziler 1083. 5. Ortonormal Dizi ve Kümelere İlişkin Seriler 1143. 6. Total Ortonormal Kümeler ve Diziler 1203. 7. Legendre-Hermite ve Laguerre Polinomlan 1253. 8. Hilbert Uzaylarmda Fonksiyonellerin Gösterimi 1343. 9. Hilbert-Adjoint Operatör 1393.10. Self-Adjoint, Üniter ve Normal Operatörler 143BÖLÜM 4. NORMLU UZAYLAR VE BANACH UZAYLARI İÇINTEMEL TEOREMLER4. O. Giri ş 1494. 1. Zorn Lemmas ı 1494. 2. Hahn-Banach Teoremi 1524. 3. Kompleks Vektör Uzaylan ve Normlu Uzaylar için Hahn-BanachTeoremi 1554. 4. Cja,b] Uzay ı Üzerinde Tan ıml ı S ın ırl ı lineer Fonksiyonellereİlişkin Uygulama 1604. 5. Adjoint Operatör 1644. 6. Yans ımalı Uzaylar 1704. 7. Kategori Teoremi. Düzgün Sinirlilik Teoremi 1754. 8. Kuvvetli ve Zay ıf Yak ınsakl ık 1824. 9. Operatör ve Fonksiyonel Dizilerinin Yak ınsaklığı 1864.10. Dizilerin Toplanabilmesine İli şkin Uygulama 1904.11. Say ısal İntegrasyon ve Zayd Yak ınsakl ık 1944.12. Açık Dönü şüm Teoremi 2024.13. Kapal ı Lineer Operatörler. Kapal ı Grafik Teoremi207
BÖLÜM 1METRiK UZAYLAR1.0. GIRIŞFonksiyonel Analiz, matemati ğin, klasik analizden kaynaklanan, soyut bir dal ı olaraktan ımlananabilir. Geli şimi yaklaşık yüz y ıl önce ba şlam ış olan bu dal ın ortaya ç ıkard ığıyöntem ve sonuçlar, günümüz matemati ğinin çe şitli alan ve uygulamalar ında çok önemliroller oynamaktad ır. Fonksiyonel analizin ortaya ç ıkmas ı için yap ılan zorlamalar, lineercebir, lineer adi ve k ısmi diferensiyel denklemler, varyasyon hesab ı , yaklaşım teorisi veözellikle lineer integral denklemler teorisinden gelmi ştir. Kolayca gözlenebilece ği gibi,matematikte farkl ı alanlardan gelen problemler ilgili alanlar ın yap ı ve özelikleriyleyak ından ilişkilidir. Bu durum, bu tip problemlere belirli bir yönden yakla şma eğitiminikuvvetli k ılmakta ve dolay ıs ıyla çözüme gidiş, bir çok önemsiz ayr ınt ılar yüzündenengellenmekte ya da zorla şt ı r ılmaktad ır. Bu nedenle, bu gibi önemsiz ayr ınt ılar ı birkenara b ırakarak, sorunun temel özelikleriyle ilgili olan soyut bir yakla şı mla problemlereyaklaşmak bu tip engelleme ve zorla şt ırmalan ortadan kald ıracakt ı r.Bu soyut yakla şımda, çoğunlukla, elemanlar ı belirli aksiyomlar ı gerçekleyenkümelerden yola ç ık ı l ır. Elemanlar ın doğal özelikleri belirlenmemi ş olarak b ırak ı l ır. Ve buözellikle yap ı l ır. Bu durumda söz konusu teori, aksiyomlardan ortaya ç ıkan mant ıksalsonuçlardan olu şur. Bu ise, teorisi soyut yollarla geli ştirilen, matematiksel yap ılar ın eldeedilmesine olanak sa ğlar. Bu yolla elde edilen genel teoremler ise, daha sonra, belirliaksiyomlan gerçekleyen özel kümelere uygulanarak, yukar ıda sözü edilen önemsizayr ınt ılar ın neden olduğu engelleme ve zorla şt ırmalar ortadan kald ır ı l ı r.Bu tip soyut yakla şımlar ın, örneğin cebirde cisim, halka ve gruplarla yap ılmas ı nakarşı n, fonksiyonel analizde söz konusu yakla şımlar soyut uzaylar yard ım ıylayap ılmaktad ır. Konular ımız içinde bunlardan baz ılar ını (Banach Uzay ı , Hilbert Uzay ı ,v.b.) ayr ınt ı l ı olarak inceleyece ğiz.Bu arada, uzay kavram ı n ın çok geni ş ve şaşırt ıc ı şekilde genel anlamlardakullan ı ld ığı n ı da göreceğiz. Bir soyut uzay belirli aksiyomlan gerçekleyen(tan ımlanmam ış) elemanlardan olu şan bir küme olarak tan ımlan ır. Ve değ işik aksiyomgruplar ı seçilerek değ işik soyut uzaylar elde edilir. Soyut uzaylann kullan ı lma fikriM.Frechet'ye kadar uzanmaktad ır.(1906).Bu bölümde, klasik analizde R reel ekseninin oynad ığı role benzer bir rol oynamas ınedeniyle çok önemli olan metrik uzaylar ı inceleyeceğiz. Gerçekte, metrik uzay kavram ıR 'yi genelleştirmekte olup, analizin çe şitli dallar ından gelen önemli problemlerin ortak bir
2çözümü için bir temel olu şturmak amac ıyla tan ımlanm ışt ı r.Önce, metrik uzaylar ı ve buna ili şkin kavramlar ı tan ı mlay ı p, tipik örneklerleşekillendirmeye çal ışacağız. Uygulamada önem ta şıyan özel uzaylar ı ayr ı nt ı l ı olaraktart ışacağız. Dikkatlerimizin ço ğunu, bir metrik uzay ın sahip olabildiği ya daolamayabildiği bir özelik üzerinde, yani, taml ı k özeliği üzerinde yo ğunlaşt ıraca ğız. Taml ı kkavram ı tüm konular ı m ız için bir anahtar rolü oynayacakt ı r.Önemli kavramlar ve temel konulara ili şkin k ısa bilgilendirmeBir metrik uzay (Bkz.1.1.1), üzerinde bir metrik tan ımlanm ış bir X kümesidir. Metrik, X'in herhangi bir eleman (nokta) çiftine bir uzakl ık karşı l ık getirir. Metrik, aksiyomatikolarak tan ımlan ı r ve söz konusu aksiyomlar, a reel ekseni ya da C kompleks düzlemiüzerindeki noktalar aras ındaki, bilinen uzakl ık kavram ı n ı n belirli temel özelikleritaraf ından çağrışt ı r ılan özeliklerdir. Temel örnekler (1.1.2-1.2.3) bir metrik uzaykavram ı n ın dikkati çekecek kadar genel oldu ğunu göstermektedir. Bir metrik uzay ı nsahip olabileceği çok önemli bir ek özelik K ıs.1.5 ve 1.6 'da ayr ı nt ı l ı olarak incelenecekolan taml ık özeliğidir (Bkz.1.4.3). teorik ve uygulama aç ıs ından ilginç olan diğer birkavram bir metrik uzay ın aynlabilirliğidir (Bkz.1.3.5). Ayr ıiabilir uzaylarayr ılabilir-olmayanlardan daha basittir.1.1.METR İ K UZAYKlasik analizde, R üzerinde tan ımlanan fonksiyonlar ı incelediğimizi biliyoruz. Konuyak ısa bir bak ış, limit işlemlerinde ve diğer çeşitli araşt ırmalar ı m ızda, R üzerinde uzakl ıkfonksiyonu ad ını alan ve her x,y E R için d(x,y)=Ix — yl şeklinde tan ımlanan bir dfonksiyonunun bulunduğunu gösterir. Şekil 2 'de kulland ığımız notasyonlar belirtilmi ştir.Düzlemde ve al ışı lm ış üç-boyutlu uzayda da durum benzerdir.k 5 1-c 4.213 8 -2.5 0 1.7d(3, 8) = 13 - 8 1 5 d(1.7, - 2.5) = 11.7 - (-2.5) 1= 4.2Şekil 2. R üzerinde uzakl ıkFonksiyonel analizde ise, daha genel uzaylar ı ve bunlar üzerinde tan ımlananfonksiyonlar ı inceleyeceğiz. Yeterince genel ve esnek bir uzay kavram ına aşağıdakişekilde ulaşabiliriz: Önce R reel say ı kümesi yerine, elemanlar ı n ı n özelikleribelirlenmemiş olarak b ırak ılan, soyut bir X kümesi al ı n ır ve bunun üzerinde, R dekiuzakl ık fonksiyonunun en temel özeliklerinden baz ılar ına sahip bir uzakl ı k fonksiyonutan ımlan ır.Ancak burada en temel sözcü ğüyle neyi ifade etmek istedi ğimiz pek aç ıkdeğildir. Gerçekte, bir tan ımdaki aksiyomlar ın seçimi ve formüle edilmesi daima,deneyim, uygulamal ı problemlere yak ı nl ık ve belirgin bir hedefe gereksinim
3göstermektedir. Seksen y ı ll ık bir gelişimin sonunda ortaya ç ıkan ve fonksiyonel analiz veonun uygulama alanlar ında çok yararl ı olan bir tan ım ı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:1.1.1.TANIM (Metrik uzay ve metrik). Bir metrik uzay, X bir küme ve d, X üzerinde birmetrik (ya da bir uzakl ık fonksiyonu), yani, X x X üzerinde, her x,y E X için,(M1) d, reel değerli, sonlu ve negatif olmayan,(M2) d(x,y) O x y,(M3) d(x,y) = d(y,x) (simetri)(M4) d(x,y) < d(x,z) + d(z,y) (üçgen eşitsizliğ i)olacak şekilde tan ımlanan bir fonksiyon olmak üzere, bir (X,d) çifti olarak tan ımlan ı r.X kümesine, (X,d) metrik uzay!~ temel kümesi denir ve bu kümenin elemanlar ınokta 'lar olarak adland ı r ı l ır. Sabit x ve y noktalar ına karşı l ı k gelen d(x,y) negati-olmayan say ıs ı ise x 'den y 'ye olan uzakl ık ad ın ı al ır. (M1) - (M4) özelikleri ise, metrikaksiyomlandir. (M4) e üçgen e şitsizliği denilmesinin nedeni, Şekil . 3 de de görüldü ğ ügibi, elemanter geometriden kaynaklanmaktad ı r.Şekil 3. Düzlemde üçgen e şitsizliği(M4) den yararlanarak, tümevar ımla genelleştirilmiş üçgen eşitsizliğini elde edebilirizd(x ı ,x,i) < d(x,,x 2) + d(x2 ,x 3 ) (1)Herhangi bir yan ı lg ı tehlikesi olmad ığı sürece, (X,d) yerine, k ısaca, X yazabiliriz.Eğer, bir Y c X altkümesini al ı p, d fonksiyonunu Y x Y'ye k ıs ıtlarsak, (X,d) 'nin bir(Y:J) altuzay ın ı elde ederiz. Dolay ıs ıyla, Y üzerindeki ii 'ye, d taraf ından Y üzerindedoğurulan metrik ad ı verilir.Şimdi, baz ılar ı n ı daha önceden de bildi ğiniz, elemanter metrik uzay örneklerivereceğiz. Aç ıkca görüldüğü gibi, her bir örnekte, verilen fonksiyonun bir metrik oldu ğunugöstermek için, (M1)-(M4) aksiyomlar ı n ı gerçeklediğini göstermek gerekir. Bu konuyailişkin daha karma şık örnekleri bundan sonraki k ısımda göreceğiz.ÖRNEKLER1.1.2. R Reel Ekseni. Bütün reel say ı lardan olu şan bu küme, üzerinde tan ımlanan,d(x,Y) = k — Y İ (2)metriğine göre bir metrik uzayd ır. (Gösteriniz).1.1.3. R 2 Euclid Düzlemi. x = y = (771,772),••. şeklindeki s ı ral ı reel say ıçiftlerinden olu şan kümeyi ve bunun üzerinded(x,y) = ,1(4 — 1) 2 + (42 — n2) 2 (k O)N
şeklinde tan ımlanan Euclid metri ğini gözönüne al ı rsak, Euclid Düzlemi olarakadland ı r ı lan R 2 metrik uzay ı n ı elde ederiz.Ayn ı küme üzerinde,d (x,y) =4- 7711+g2-7121şeklinde tan ımlanan değ işik bir di metriği ile, diğer bir metrik uzay elde etmemiz demümkündür. (Şekil 4).(4)Şekil 4. Düzlemde Euclid metri ğ iBunlar ı n ışığı alt ında, farkl ı metrikler seçerek, verilen bir kümeden (birden fazlaeleman içeren) de ğ işik metrik uzaylar elde edebilece ğimizi görmekteyiz.1.1.4.Üç Boyutlu Euclid Uzay ı , R. 3 . Bu metrik uzay, x =Y = (n ı , q2,n3),v.b.s ı ral ı reel say ı üçlülerinin kümesiyle ,ile tan ımlanan Euclid metri ğinden oluşur.d(x,y) = 41 (41 — 111) 2 + (2 —112) 2 + (3 — 113) 2 (k O)(5)1.1.5. R" Euclid Uzay ı , Cn Üniter Uzay ı , C Kompleks Düzlemi.Yukar ıda verdiğ imizörnekler, n-boyutlu Euclid uzay ı olarak adland ı r ı lan R," uzay ı n ın özel halleridir. Bu uzayise,x = ( 1,,• • •, 4n), y = ( i71, • • •, 11n),v.b. şeklinde yaz ılan, tüm s ı ral ı reel say ı n-lilerininkümesiyle,d(x,Y) = — 1i) 2 +•••+(4.- 11,7) 2 (k O)ile tan ımlanan Euclid metriğinden oluşur.n-boyutlu Cn Üniter uzay ı ise, tüm s ı ral ı kompleks say ı n-lileriyle,(6)d(x,y) = ı — i1 ı i2 +... - )41 2 (? O) (7)şeklinde verilen metrikten olu şan bir uzay olarak tan ımlan ı r.Bu örnekte, n = 1 al ınmas ı halinde ise, al ışı lm ışd(x,y) = Ix — yj (8)metriğ i alt ında kompleks C düzlemini elde ederiz. Cn 'e bazen n-boyutlu kompleks Eucliduzay ı da denir.
1.1.6. t' Dizi Uzay ı . Bu ve bundan sonraki örnek, metrik uzay kavram ı n ın ne kadargenel bir nitelik ta şıd ığı konusunda bizlere ilk izlenimleri kazand ıracakt ı r. Bir X kümesiolarak, kompleks terimli tüm s ı n ı rl ı dizilerden olu şan kümeyi alal ım; yani, X'in her bireleman', cx , x'e bağ l ı olduğu halde, j 'ye bağ l ı olmayan reel bir say ıyı göstermek üzere,herj = 1,2,...için5olacak şekilde, kompleks terimli birya da, k ısaca,x = (./)dizisidir. Şimdi, bu küme üzerinde, y = ( ıiı ) e X ve N = {1,2,...} olmak üzere,d(x,y) = supgi -JENile tan ımlanan bir metrik seçelim. Bu yolla elde edilen metrik uzay, genellikle V°sembolüyle belirtilir. X 'in her bir eleman ı bir dizi olduğundan, r bir dizi uzay ıd ı r.1.1.7 .C[a,b] Fonksiyon Uzay ı . X kümesi olarak, ba ğıms ız reel bir t değ işkenininfonksiyonu olan ve verilen kapal ı bir J = [a,lı] aral ığı üzerinde tan ım!' ve sürekli tüm reeldeğerli x,y,...fonksiyonlar ından oluşan kümeyi alal ım. Bu küme üzerinde,(9)d(x,y) = nlap(t) - y(t)I (10)ile tan ımlanan metri ği göz önüne al ırsak, C[a,b] sembolüyle belirtilen bir metrik uzayelde ederiz. (Burada kulland ığım ız C harfi "sürekli" sözcü ğünün ingilizce karşı l ığı n ı n ilkharfinden esinlenilerek yaz ı lm ışt ı r.) C[a,b] 'nin her bir noktas ı bir fonksiyon oldu ğundan,bu uzay bir fonksiyon uzay ıd ı r.Burada, diferensiyel ve integral hesaptaki yakla şım ile, şimdiki yaklaşim ımızaras ındaki farka dikkat çekmemiz yerinde olacakt ır. Birincisinde , ayn ı anda yaln ızca birya da ancak bir kaç fonksiyonu gözönüne alabilmemize kar şın, ikincisinde, bir fonksiyon,büyük bir uzay ı n yaln ızca bir noktas ı haline gelmektedir.1.1.8.Diskre Metrik Uzay. Herhangi bir X kümesi ve bunun üzerinde,d(x,x) = 0d(x,y) = 1 (x # y)ile tan ımlanan ve X'in diskre metri ği ad ı n ı alan bir metrik alal ım. Bu yolla elde edilen(X, d) uzay ına diskre metrik uzay ad ı verilir. Uygulamada pek s ık karşı laşılmamas ınakarşı n baz ı kavramlar ı aç ıklayabilmek için örneklerimizde kullanaca ğız.
6PROBLEMLER1. Reel doğrunun bir metrik uzay oldu ğunu gösteriniz.2. d(x,y) = (x - y) 2 , tüm reel say ılann olu şturduğu küme üzerinde bir metrik tan ımlarm ı?3. d(x,y) = - yl 'nin tüm reel say ı lar ı n oluşturduğu küme üzerinde bir metriktan ımlad ığın ı gösteriniz.4. iki noktadan olu şan bir X kümesi üzerinde tan ı ml ı bütün metrikleri bulunuz. Ayn ısoruyu tek noktadan olu şan kümeler için tekrarlay ı n ız.5. d, X üzerinde bir metrik olsun.(i)kd,(ii) d + kX üzerinde bir metrik olacak şekildeki tüm k sabitlerini bulunuz.6. 1.1.6 'da verilen d metriğinin üçgen eşitsizliğini gerçeklediğini gösteriniz.7. A,Q°' dizi uzay ı n ı n yaln ızca s ıf ır ve bir'lerden olu şan dizilerinin olu şturdu ğ u biraltuzay ise, A üzerindeki metrik ne olur?8. C[a,b] üzerindeki diğer bir metriğin,d(x,y) Six(t) - y(t)idtile tantmlanan d metriği olduğunu gösteriniz.9. 1.1.8 'de verilen d fonksiyonunun bir metrik olduğunu gösteriniz.10. (Hamming uzakl ığı). S ıf ır ve bir'lerle yaz ı lan tüm s ı ral ı üçlülerin kümesi Xolsun. X'in sekiz elemandan olu ştuğunu ve X üzerindeki bir d metriğinind(x,y) = x ve y 'nin farkl ı bileşenlere sahip oldu ğu yerlerin say ısıile tan ımlandiğınt gösteriniz.11. (1) 'de verilen genelle ştirilmiş üçgen eşitsizliğini ispatlay ı n ız.12.(0çgen E şitsizliği). (1) e şitsizliğini kullanarak,olduğunu gösteriniz.13.Üçgen eşitsizliğ ini kullanarak,Id(x,y) - d(z,w)1 < d(x,z)+ d(y,w)id(x,z) - d(y,z)1 5 d(x,y)olduğunu gösteriniz.14. (Metrik Aksiyomlar ı). (Tan ımı değ iştirmeksizin) (M1)-(M4) aksiyomlar ı yerinebaşka aksiyomlar al ı nabilir. Örneğin, (M3) ve (M4) 'ün, (M2) ile,d(x,y) < d(x,z) + d(z,y)`den elde edilebilece ğini gösteriniz.15.Bir metriğin negatif-olmayan bir fonksiyon oldu ğunu (M2)-(M3) 'den yararlanarakgösteriniz.
71.2. METRIK UZAYLARA ILI Ş KIN DIĞER ÖRNEKLERBir metrik uzay Kavram ı n ı , ve bir metriğin ilgili aksiyomlar ı , özellikle (M4) üçgeneşitsizliğini gösterme i şlemlerini daha anla şı l ır hale getirmek için, üç örnek dahavereceğiz.Bunlardan sonuncusu olan QP dizi uzay ı , uygulamalarda kar şılaşaca ğım ız enönemli örneklerden birisi olacakt ı r.1.2.1. s Dizi Uzay ı . Bu uzay kompleks terimli (s ı n ı rl ı ya da s ı n ırs ız) tüm dizilerinkümesi ile x = (.;) ve y = (4i ) olmak üzere,d(x,y) = v 12/ 1 + -ile tan ımlanan d metriğinden oluşur. Örnek 1.1.6 'da tan ımlad ığı m ız metriğin buradauygun olmayaca ğına dikkat etmemiz gerekir. (Neden?)Kolayca görebilece ğimiz gibi, (MI)-(M3) aksiyomlar ı gerçeklenir. Şimdi (M4) 'üngerçeklendi ğini gösterece ğiz. Bu amaçla, R üzerinde,f(t) =1 + tile tan ımlanan yard ımc ı bir f fonksiyonu kullanaca'ğız, Bu fonksiyonun türevini al ırsak,f (t) = (1÷1,)2 elde ederiz; bunun ise pozitif oldu ğu görülmektedir. Dolay ıs ıyla, f , monotonolarak artan bir fonksiyondur. Sonuç olarak,olduğundan,la + bi 5 lal + !biJCIa + bi) $_ faal+ ibi)yazabiliriz. Bunu aç ık olarak yaz ıp, say ılara ilişkin üçgen e şitsizliğini de kullan ı rsak,la + bl
8ile tan ımlan ı r. A kümesinin bir A = [a,b] c R aral ığı olmas ı halinde, B(A) yerine B[a, bigösterimini kullanaca ğı z.Şimdi, B(A) 'n ın bir metrik uzay oldu ğunu gösterelim. (M1) ve (M3) 'ün gerçeklendi ğ iaç ıkca görülmektedir. Ayr ıca, d(x,x) = 0 olduğu a şikard ır. Tersine olarak, d(x,y) = 0olmas ı halinde, her t e A için, x(1) y(t) = 0 olaca ğı ndan, x = y bulunur. Bu ise, (M2)'nin gerçeklendi ğini gösterir. Bunun yan ı s ı ra, her t e A için,!x(t) — y(t)IIx(t) — z(t)I + Iz(t) — y(t)I< sup İx(t) — z(t)I +sup Iz(t) — y(t)irEAyazabiliriz. Bu da x —y 'nin A üzerinde s ı n ı rl ı olduğunu gösterir. Ikinci sat ırda yaz ı lans ı n ı r ı n t 'den ba ğıms ız olmas ı nedeniyle, sol tarafta supremum olarak (M4) 'ü eldeederiz.1.2.3.QP Uzay ı . Q2 Hilbert Dizi Uzay ı , Toplamlara ilişkin Hölder ve MinkowskiEşitsizlikleri.p > 1 sabit bir reel say ı olsun.Tan ım olarak, V uzay ındaki her bir eleman,tc,4toplam ı yak ınsak, yani,g IP ± g21 1) -R • •Zgı IP 1 ve sabit) (1)olacak şekilde bir x = (,;j) = (1,42,...) dizisi olup, ilgili metrik, y = ve l ıb IP < coolmak üzere,d(x,y) =si ıp,002_,g • - Turile tan ımlan ı r.(1) 'i gerçekleyen dizilerden yaln ızca reel olanlar ın' al ırsak, reel QP uzay ı n!,kompleks olanlar ın' al ırsak, kompleks QP uzay ın ı elde ederiz.P uzay ı n ınp = 2 özel haline karşı l ık gelen uzay ise, me şhur, Q 2 Hilbert Dizi Uzay ı 'd ı r.Buna ilişkin metrik ise,\ J=1(2)d(x,y) = L4Iİ Tl» 2 (3)ile verilir. Bu uzay ilk kez 1912'de D.Hilbert taraf ından integral denkiemlere ili şkin olaraktan ımlanm ış ve incelenmi ş olup, bugün Hilbert Uzay ı olarak adland ı rd ığım ız uzaylann ilkörneğ idir. (Hilbert uzaylar ı n ı Bölüm 3'den itibaren inceleyece ğiz.)Şimdi QP uzay ı n ı n bir metrik uzay oldu ğunu ispatlayaca ğız. Aşikar olarak, (2) iletan ımlanan fonksiyon, sa ğ yandaki seri yak ı nsak olmak ko şuluyla, (M1)-(M3)aksiyomlar ı n ı gerçekler. Şimdi bu serinin yak ınsak olduğunu ve (M4) aksiyomununsağland ığı n ı ispatlayal ım. Bu ispat ı yapmak için ad ım ad ım ilerleyerek( a) önce bir yard ımc ı eşitsizlik,(b) sonra, (a)'dan yararlanarak, Hölder E şitsizliğini,J=i
(c) (b) 'den yararlanarak Minkowski E şitsizliğinielde edecek ve(d) (c) 'den faydalanarak, (M4) üçgen e şitsizliğini ç ıkartaca ğız.Şimdi ayr ınt ılara geçelim:(a)p > 1 olsun ve q 'yu9P q =eşitliği ile tan ı mlayal ı m. p ve q say ı lar ına eşlenik üsler ad ı verilir. (4) e şitliğinden,(4)p + qI = Pq pq = p + q, (p — 1)(q —1) = I(5)'yazabiliriz. Dolay ıs ıyla, 1/(p 1) = q — 1 olup, u = eş itliğ i, t = uq--1 sonucunu verir. ave /3 herhangi iki pozitif say ı olsun. Şekil 5 'de görülen dikdörtgenin alan ı a. fiolduğundan, integrasyon yoluyla,a. /3 < 1P-1 dt + uq-ldu = + PJ, (6)ooeşitsizliğini elde ederiz. a = 0 ya da fl = 0 olmas ı halinde de bu e şitsizliğin doğru olduğ uaşikard ı r.tŞekil 5C) (6) /daki ilk integrale ve0, ikinci integrale kar şı l ık gelmek üzere,(6) e şitsizliğ i(b) (Zi) ve (ili),Eizr = 1, = ı (7)olacak şekilde iki dizi olsun. a = ve = 17/11 alarak, (6) ifadesindenı )3- ı z,IP +177,1qeşitsizliğini elde ederiz. Burada, j üzerinden toplam al ıp, (7) ve (4)'ü kullan ırsak,ırğ ı l 5 = 1 ( 8)buluruz. Şimdi, s ıfı rdan farkl ı herhangi bir x = (4i) E QP ve y = (71j) E 12P alal ım ve
1 0(L4k1 P) 1/P(»Ni g) ligdiyelim. Bu durumda (7) ifadesi gerçeklenir; dolay ısıyla (8) 'i uygulayabiliriz. (9) 'dakideğerleri, (8)'de yerine koyar ve elde edilen e şitsizliği (9) 'daki paydalarla çarparsak,toplama ili şkin Hölder e şitsizliğ i olarak bilinen( 9)ııp (-_ Egkr f E irn Ii= I k=1eşitsizliğini buluruz. (Önceden de söyledi ğimiz gibi, burada p)1 olup, l ıp + 1/q = 1 dir.) Bueşitsizlik ilk kez 1889'da O.Hölder taraf ı ndan verilmiştir.Eğerp = 2 ise, tan ım ı gereğ i q = 2 olur ve (10) ifadesi, toplama ili şkin,Cauchy-Schwarz E şitsizliği'ni verir:l ıqEgiiİİ I Egki 2 Lilin1 2 •J= 1 Y k=I m=1p 'nin eşleniği olan q 'ya eşit olduğ u p = q = 2 hali hakk ında daha fazla söz söylemekiçin vakit daha çok erkendir. Ancak bu halin ilerideki bölümlerde çok önemli rolleroynayaca ğı n ı ve bizi p # 2 hallerinden "daha güzel" olan bir uzaya, Hilbert uzay ı'nayöneltece ğini hat ırlatmakta yarar görüyoruz.(c) Şimdi de, x = E el! y = ( ıii ) E QP vep > 1 olmak üzere11p< (Eg kipllp)(12)şeklinde ifade edilen, toplama ilişkin, Minkowski Eşitsizliği'ni ispatlayaltm. Sonlutoplamlar için, bu e şitsizlik 1896 'da H.Minkowski taraf ından verilmiştir.p = 1 için bu eşitsizlik,say ı lara ilişkin üçgen e şitsizliğinden kolayca elde edilir. Bunedenle, M alal ım. Formülleri basitle ştirebilmek amac ıyla, + = (o; yazaca ğız.Say ı lara ilişkin üçgen eşitsizliği bize,10)./IP =5 (gii 1 71ii)Ecor isonucunu verir. Burada, j üzerinden, 1'den herhangi bir sabit n 'e kadar toplam al ırsak,lco./I P 5 giiicoir i Eir/iikoii 3)elde ederiz. Sa ğ taraftaki ilk toplama Hölder e şitsizliğini uygulayarakg.iii£0.i1P1 [EgkIP ] lPM( İcomr 1 )1buluruz. pq = p + q olduğundan ((5)'e bak ı n ız) sağ tarafta,(p — 1)q = pyazabiliriz. (13) 'deki son toplam ı da, ayn ı şekilde düzenlersek,
11elde ederiz. Bu iki sonucu birlikte ele al ı rsak,Libl ıcor' [E ı nk ıPriElconirr»o, I P 5 {[Egk ıPr-F[E ıtikrr}(E ıcom ıPryazabiliriz. Bu e şitsizliğin her iki yan ı n ı sağ taraftaki son çarpan ile bölüp, ayr ıca,1 — = P olduğunu da göz önüne al ırsak, (12) formülünü, 00 yerine n gelmiş olarak eldeederiz. Şimdi, n 'i sonsuza götürelim. Bu i şlem, x,y E QP olmas ı nedeniyle , sa ğ tarafta ikiyak ınsak seri meydana getirir. Dolay ısıyla sol taraftaki seri de yak ınsak olur ve busurette (12) ispatlanm ış olur.(d) (12) 'den faydalanarak, QP'deki x ve y 'ler için, (2) 'de ad ı geçen serinin yak ınsakolduğunu söyleyebiliriz. (12) ifadesi, ayr ıca, üçgen eşitsizliğini de verir. Gerçekten,herhangi x,y,z E QPalarak, z = (4";) al ıp, say ılara ilişkin üçgen eşitsizliğini ve daha sonrada, (12) 'yi kullan ırsak,d(x.Y) = (Egi İDIP) IIP(E[g .i — ç.il+Içi -7/ıır) uP5 (Egı + (Elçi — Ip) Ilp= d(x,z) + d(z,y)buluruz. Bu da, QP 'nin bir metrik uzay oldu ğunu ispatlar.(10), (11) ve (12) no.lu e şitsizlikler, çe şitli teorik ve uygulamal ı problemlerde sonderece gerekli araçlar olarak büyük önem ta şırlar. Ilerideki çal ışmalar ım ızda, bunlar ı çoksay ıda kullanma f ırsat ı bulaca ğız.PROBLEMLER1.1.2.1'de, 1/21 yerine, E yak ınsak olacak şekilde, p,)0 say ısı alarak, diğer birmetrik elde edebilece ğ imizi gösteriniz.2. (6) 'y ı kullanarak, iki pozitif say ı n ın geometrik ortalamastn ı n, aritmetikortalamas ından daha büyük olamayaca ğı n ı gösteriniz.3. (11) no.lu Cauchy-Schwarz e şitsizliğinin,(1411+...-f-g.1) 2 5_ n(g1( 2 +...+14.1 2 )eşitsizliğini gerektirdi ğini gösteriniz.4. (QP uzay ı). ü 'a yak ınsad ığı halde, 1 < p < co olmak üzere, hiç bir QP uzay ında yeralmayan bir dizi bulunuz.5. x o Q 1 olmas ına karşın, p > 1 olmak üzere, QP uzay ında bulunan bir x dizisibulunuz.6. (Çap,S ın ı rl ı küme). Bir (X,d) metrik uzay ında bulunan, boş olmayan bir Akümesinin 8(A) çap ı ,
126(A) = sup d(x,y),x,yEAolarak tan ımlan ı r.
13d(x,y) = max[d i (x ,y ı ),d2 (x2 >Y2)1ile tan ımland ığı n ı gösteriniz.(Prob.13-15 'de tan ımlanan metrikler uygulama aç ıs ından önemli olup, X üzerindebaşka metrikler tan ımlamak da mümkündür.)1.3. AÇIK KÜME, KAPALI KÜME, KOM Ş ULUKMetrik uzaylara ili şkin olarak kullan ılan çok say ıda yard ımc ı kavrambulunmaktad ır. Bu k ıs ımda, bunlardan bizim için gerekli olanlann ı görece ğiz. Dolay ıs ıyla,notlar ım ız ın bu k ısm ında çok say ıda kavram yer alacakt ır. Ancak bunlardan bir ço ğunun,Euclid uzay ına uygulanmas ı halinde, önceden bilinen kavramlar oldu ğu görülecektir.Önce, verilen bir X = (X,d) metrik uzay ın ın önemli altküme tiplerini inceleyeceğiz.1.3.1. TANIM (Yuvar ve küre). Bir xo E X noktas ı ve reel bir r > 0 say ısı verilmişolsun. Buna göre, üç tip küme tan ım ı yapabiliriz:(a)B(xo;r) = {x E X : d(x,xo) < r} (Aç ı k Yuvar)(b) 73- (x0,r) = {x E X :d(x,xo) r} (Kapal ı Yuvar)(c) S(xo;r) = {x e X : d(x,xo) =(Küre).Her üç halde de, xo merkez, r ise, yar ıçap ad ı n ı al ı r.Bu tan ıma göre, r yançapl ı bir aç ık yuvar ı n, X 'in, yuvar ın merkezine r 'den dahayak ın tüm noktalar ından olu ştuğu görülmektedir. Ayr ıca, yine bu tan ımlar ı n ışığı alt ında,S(xo;r) =7?(xo; r) — B(xo ; r) (2)yazabiliriz.Uyar ı : Metrik uzaylara ili şkin çal ışmalar ı m ızda, Euclid geometrisindekilere benzerterimler kullanmam ız bize büyük kolayl ıklar sağlar. Ancak, örneğin, keyfi bir metrikuzaydaki yuvar ve kürelerin, t18 3 'deki yuvar ve kürelerle ayn ı özeliklere sahip oldu ğunudüşünmek gibi bir yan ı lg ıya düşmememiz gerekir. Al ışı lm ışı n d ışı nda bir özelik olarak,bir küre bo ş olabilir. Örneğin, bir diskre metrik uzayda, r * 1 ise, S(xo;r) = P dir. (1.1.8'ebak ın ız). (Bu durumda, yar ıçap ı 1 olan küreler hakk ında ne söyleyebilirsiniz?).Al ışı lm ışı n d ışında diğer bir özeliğe de ileride değineceğiz.Şimdi, konuya ilişkin iki yeni kavram daha verelim.1.3.2.TANIM (Aç ık Küme, Kapal ı Küme). Bir Xmetrik uzay ı ve bunun bir Maltkümesini gözönüne alal ım. Eğer, M kümesi, her noktas ın ın etraf ında bir yuvariçeriyorsa, M kümesi aç ı k't ır denir. K, X 'in bir altkümesi olsun. E ğer, K 'n ın X'dekitümleyeni, yani, K(' -= X— K aç ık ise, K kapal ı 'd ır denir.Verilen tan ımlar ın ışığında, okuyucu, bir aç ık yuvar ın, bir aç ık küme, bir kapal ıyuvar ın ise, bir kapal ı küme olduğunu kolayca görecektir.e yançapl ı bir B(x0; e) aç ık yuvar ı na, xo ' ı n bir e — komsulu ğu da denir. (Burada,Tan ım.1.3.1 uyar ınca, e > O 'd ır. xo' ın bir kom şuluğu deyimi ile, X'in, xo ' ın bire —komşuluğunu içeren herhangi bir altkümesini anlatmak i ştiyoruz,
14Tan ımdan, x o 'In her bir kom şuluğunun, x o içerdiğini , ya da, diğer bir deyimle, xo' ın, kendisinin her bir kom şuluğunun bir noktas ı oldu ğunu doğrudan doğruya görürüz. VeN, xo 'in bir komşuluğu ise ve N c M olduğu biliniyorsa, M'nin kendisi de x o 'in birkomşuluğudur.Bir M c X kümesini göz önüne alal ım. Eğer, M, xo ' ın bir komşuluğu ise, xo 'a, Mkümesinin bir içnoktas ı ad ı verilir. M 'nin içi ise, M 'nin tüm iç noktalar ından oluşanküme olup, yayg ın olarak kabul edilmi ş bir gösterim yok ise de M° ya da Int(M) şeklindegösterilebilir. Int(M) aç ı k olup, M 'de içerilenen büyük aç ık kümedir.X 'in tüm aç ık altkümelerinin, T olarak adland ıraca ğımız, topluluğunun aşağıdakiözelikleri gerçekledi ğini göstermek zor değildir:(T1) (1) e r, X E r,(T2) T 'nun herhangi say ıda eleman ı n ın birleşimi yine T 'nun bireleman ıd ı r.(T2) T 'nun sonlu say ıda eleman ı n ın kesişimi yine T 'nun bireleman ıd ı r.Ispat: 'D 'nin hiçbir eleman içermemesi nedeniyle aç ı k olduğu ve X 'in de, a şikarolarak, aç ı k olduğu göz önüne al ı n ırsa, (T1) 'in gerçeklendi ği kolayca görülür. Şimdi, (T2)'yi ispatlayal ı m. Aç ık kümelerin birleşimi olan U'nun herhangi bir x noktas ı bukümelerden en az bir tanesine aittir; bu kümeyi M ile gösterelim. Aç ık olmas ı nedeniyle,M kümesi, x etraf ında, bir B yuvar ı içerir. Dolay ısıyla, birleşimin tan ı m ı gereğ i, B c Uolur. Bu ise (T2) 'yi ispatlar. Son olarak, e ğer y, aç ık kümelerinin kesi şimininherhangi bir noktas ı ise, bu durumda, her bir Mi, y etraf ında bir yuvar içerir ve buyuvarlar ın en küçüğü bu kesişimde içerilir. Bu da (T3) 'ü ispatlar.(T1)-(T3) özeliklerinin gerçekten çok önemli temel özelikler oldu ğunu belirtmekteyarar görüyoruz. Bunlar ı n kullan ılmas ıyla, bir (X,T) topolojik uzay ı , bir X kümesiyle, X'in,(T1)-(T3) aksiyomlar ı n ı gerçekleyen altkümelerinin bir T toplulu ğu olarak tan ımlan ı r.kümesi, X için bir topoloji ad ı n ı al ır. Bu tan ımdan, hemen,"Bir metrik uzay, bir topolojik uzay'd ı r"diyebiliriz.Aç ık kümeler, sürekli dönü şümlere ilişkin konularda da önemli bir rol oynar. Buradasözünü ettiğimiz süreklilik, analizden bildi ğimiz süreklilik kavram ı n ı n doğal birgenelleştirmesi olup, a şağıdaki şekilde tan ı mlan ı r.1.3.3.TANIM (Sürekli Dönüşüm). X = (X,d) ve Y = (Y, d) iki metrik uzay olsun. BirT : X -4 Y dönü şümünü göz önüne alal ım. Eğer, her bir e > 0 say ıs ına karşı l ık,d(x,xo) < S koşulunu gerçekleyen bütün x 'ler için,d(Tx,Txo) < eolacak şekilde bir d > 0 say ısı bulunabiliyorsa, T dönüşümü, xo E X noktas ındasürekli'dir denir (Bkz. Şek.6).
15Şekil 6.Tan ım1.3.3`deki esitsizliklerin, X=R 2 ve Y---1R 2 Euclid düzlemi haline iliskin gösterimiSürekli dönü şümlerin, aç ık kümeler cinsinden, a şağıdaki şekilde karakterizeedilebilmesi önemli ve ilginç bir konudur.1.3.4. TEOREM (Sürekli Dönü şüm). Bir X metrik uzay ından, bir Y metrik uzay ı içinetan ımlanan bir T dönü şümünün sürekli olmas ı için gerek ve yeter ko şul, Y 'nin herhangibir aç ık altkümesinin ters görüntüsünün, X 'in bir aç ık altkümesi olmas ıd ı r.ispat. (a) T 'nin sürekli oldu ğunu varsayal ı m. S c Y aç ı k ve So, S 'nin ters görüntüsüolsun. So = (I) ise aç ıkt ı r. So # 41) alal ım. Herhangi bir xo E So için, yo = Txo olsun. S aç ı kolduğundan, yo ' ı n bir N, E —komşuluğu içerir; Şekil 7'e bak ı n ız. T 'nin sürekli olmas ınedeniyle, xo, N 'nin içine dönü ştürülen bir No 5 —kom şuluğuna sahiptir. N c Solduğundan, No c So yazabiliriz. Dolay ısıyla, xo e So noktas ın ın keyfi olarak seçildiğini degöz önüne al ırsak, So ' ın aç ı k olduğu ortaya ç ıkar.Şekil 7. Teorem 1.3.4'ün ispat ının (a) k ısm ındaki gösterim(b) Tersine olarak, Y 'deki her aç ık kümenin ters görüntüsünün X 'de aç ık bir kümeolduğunu kabul edelim. Bu durumda, her xo E X ve Tx o ' ın herhangi bir N E —komşuluğ uiçin, N 'nin aç ık olmas ı ve No ı n xo 'ı içermesi nedeniyle, N 'nin ters görüntüsü olan Noaç ıkt ı r. Dolay ıs ıyla, No, xo 'in, N 'nin içine dönü ştürülen bir 8 —komşuluğunu içerir.(Çünkü, No 'in kendisi N 'nin içine dönü ştürülmektedir.) Sonuç olarak, tan ım gereğ i, T'nin xo 'da sürekli oldu ğunu söyleyebiliriz. Buna göre, xo E X 'in keyfi olarak seçildi ğinigöz önüne al ırsak, T 'nin sürekli olduğu ortaya ç ıkar.Şimdi, konuya ilişkin, iki yeni kavram ı tan ıtacağız. M, bir X metrik uzay ı n ın biraltkümesi olsun. X 'in (M nin noktas ı olabilen ya da olmayan) bir xo noktas ı n ı ele alal ım.
16Eğer, xo' ı n her bir kom şuluğ u, x o 'dan farkl ı , en az bir y E M noktas ı içeriyorsa, xonoktas ı na, M 'nin bir y ığı lma noktas ı , (ya da, M 'nin bir limit noktas ı) ad ı verilir. M 'ninnoktalanyla, M 'nin y ığılma noktalar ından olu şan kümeye ise, M 'nin kapan ışi denir veMile gösterilir. Bilindiğ i gibi, M, M 'yi içeren en küçük kapal ı kümedir.Konuya devam etmeden önce, bir metrik uzayda tan ımlanan yuvarlara ili şkin,al ışı lm ışı n d ışı nda diğer bir özelikten söz etmek istiyoruz. R. 3 'de, bir B(xo;r) aç ıkyuvar ı n ı n kapan ış' olan B(xo;r), B(xo;r) kapal ı yuvar ı olmas ı na karşı n, bu durum genelbir metrik uzay üzerinde gerçeklenmeyebilir. (Bu gerçe ği bir örnekle görüntüleyiniz.)Kapan ış kavram ın ı kullanarak, ilerideki çal ışmalar ı m ızda özellikle önemli olacak birtan ım verelim:1.3.5,TANIM (Yoğun Küme, Ayr ı labilir Uzay). Bir X metrik uzay ı n ı n bir Maltkümesiverildiğinde, eğer,M = Xise, M kümesi X 'de yoğundur denir. E ğer, X kümesi, X 'de yoğun say ı labilir biraltkümeye sahip ise, ayr ı labilirdir diyece ğiz.Buna göre, eğer M, X 'de yoğun ise, ne kadar küçük olursa olsun, X 'deki her yuvar,M 'nin noktalar ın' içerecektir; ya da di ğer bir deyimle, bu durumda, M 'nin noktalar ı n'içermeyen bir kom şuluğa sahip hiç bir x E X noktas ı yoktur.Ayr ılabilir metrik uzaylar ın, aynlabilir-olmayanlara göre biraz daha basit oldu ğunuileride görece ğiz. Şimdilik, ayr ı labilir ve aynlabilir-olmayan uzaylara ili şkin önemliörnekleri inceleyerek, bu kavramlara biraz daha a şina hale gelmekte yetinece ğiz.Örnekler.1.3.6. (Reel Eksen). R reel ekseni ayr ı labilirdir.ispat. Tüm rasyonel say ılann kümesi olan Q say ı labilir olup, R 'de yo ğ undur.1.3.7. (Kompleks Düzlem). C kompleks düzlemi aynlabilirdir.ispat. C 'nin say ı labilir yoğun bir altkümesi, reel ve sanal k ı s ımlar ı n ın her ikisi derasyonel olan tüm kompleks say ılardan olu şan bir kümedir.1.3.8. (Diskre Metrik Uzay). Bir Xdiskre metrik uzay ı n ın ayr ılabilir olmas ı için gerekve yeter ko şul,-X 'in say ılabilir olmas ı d ı r. (Tan ım için, 1.1.8 'e bak ın ız).ispat. Söz konusu metri ğin cinsi, X 'in hiçbir gerçek altkümesinin, X 'de yoğunolmas ına imkan vermez. Bu da ispat ı tamamlar.1.3.9. (12°'' Uzay ı). r uzay ı ayr ılabilir değildir. (Tan ım için, 1.1.6 'ya bak ı n ız.)ispat. y = (711,q2,173,• • .), s ıf ı r ve bir'lerden olu şan bir dizi olsun. Buna göre, y E e''dur. y dizisiyle, ikilik sisteme göre gösterimi,+ /12 + 773 +2 1 2 2 2 3olan, reel bir y say ıs ı n ı eşleyelim. Şimdi, [0,1] aral ığı ndaki noktalardan olu şan kümeninsay ılamaz olduğunu, her bir :y" c [0,1] say ısı n ın ikilik sisteme göre bir gösterime sahipbulunduğunu ve farkl ı .5)- 'lar ı n farkl ı gösterimlerle temsil edildiklerini söyleyebiliriz. Ohalde, s ıf ı r ve biderden olu şan say ı lamaz çoklukta dizi vard ır. ' üzerinde tan ım! ı metrik,bunlardan birbirine e şit olmayan herhangi ikisi aras ı ndaki uzakl ığı n 1 birim olmas ı n ı ngerektiğini gösterir. Eğer, bu dizilerin her birini, küçük birer yuvam, örne ğin, yar ıçap ı 1/3olan bir yuvar ı n merkezi olarak dü şünürsek, bu yuvarlar kesi şmeyeceklerdir vebunlardan say ılamayacak çoklukta bulabiliriz. E ğer, M, V' 'da yo ğun herhangi bir kümeise, bu kesişmeyen yuvarlann her biri M'nin bir eleman ı n ı içermek zorunda olur. Vedolay ıs ıyla, Msay ılabilir olamaz. M 'nin keyfi bir yo ğun küme olmas ı nedeniyle, bu
17durum, r° 'un say ı labilir yoğun altkümelere sahip olamayaca ğı n ı gösterir. O halde, sonuçolarak, r ayr ı labilir değildir.1.3.10. (P Uzay ı). 1 < p < oo olmak üzere, QP uzay ı , ayr ılabilirdir. (Tan ım için 1.2.3 'ebak ı n ız).Ispat. M,n herhangi bir pozitif tam say ı ve 'ler rasyonel olmak üzere,y = )şeklindeki tüm y dizilerinden olu şan bir küme olsun. A4 say ı labilirdir. Şimdi, M 'nin, QP 'deyoğun olduğunu göstermek istiyoruz. x = e QP keyfi bir dizi olsun. Her E > 0 say ısıiçin,00^ISYİIP < ePI2j=n+Iolacak şekilde (£ 'a ba ğ l ı) bir n say ısı vard ır. (Sol taraftaki toplam ın, yak ınsak bir serininkalan k ısm ı olduğuna dikkat ediniz.) Rasyonel say ılar, R 'de yoğun olduğundan, her bir 4,için, buna yeterince yak ın rasyonel nj say ıs ı vard ır. O halde,7/İ IP < eP/2olacak şekilde biry e Mdizisi bulabiliriz. Buna göre,[(10C,A] P = Egi Tİİ IP Egir < sPj=1 frn+1yazabiliriz. Dolay ıs ıyla, d(x,y) < e elde eder ve M 'nin, Y' 'de yoğun olduğunu görürüz.COPROBLEMLER1. (a) Herhangi bir aç ık yuvar ın, bir aç ık küme,(b) Herhangi bir kapal ı yuvar ın, bir kapal ı küme,olduğunu ispatlayarak, "aç ık yuvar" ve "kapal ı yuvar" deyimlerini do ğrulay ı n ız.2. R üzerinde, B(x0;1) aç ık yuvar ı nedir? Ayn ı soruyu, C 'de ve C[a,b] 'detekrarlay ı n ız. Şekil 8 'i aç ı klay ı n ız.
18Şekil 8. xo(t)=t 2 ile verilen xo EC[-1, 1] fonksiyonunun, e=1/2c=1/2 olmak üzere, e-komsulu ğu olusturan tüm xeC[-I, 1] fonksiyonlar ı n ı n grafikleriniiçeren bölge3. C[0,27r] 'yi göz önüne al ı n ız ve x( ı) = sin t ve y(t) = cos t olmak üzere, y E 1-3(x; r)olacak şekilde en küçük r say ıs ı n ı belirleyiniz.4.Boş-olmayan, herhangi bir A c (X,d) kümesinin aç ık olmas ı için gerek ve yeterkoşul, bu kümenin, aç ık yuvarlar ı n bir birle şimi olmas ıd ı r. Gösteriniz.5. Baz ı kümelerin, ayn ı zamanda, hem aç ık , hem de kapal ı olabileceğini görmekönemlidir. (a) X ve cip için durumun daima böyle oldu ğunu, (b) Diskre bir X metrikuzay ında her altkümenin, hem aç ık, hem de kapal ı olduğunu gösteriniz.6. Eğer xo, bir A c (X,d) kümesinin bir y ığı lma noktas ı ise, xo 'ın herhangi birkomşuluğunun, A 'n ın sonsuz çoklukta noktas ı n ı içerdiğini gösteriniz.7. Aşa ğıdaki altkümelerin her birinin kapan ışı n ı belirleyiniz. (a) R üzerindekitamsay ı lar, (b) 1 üzerindeki rasyonel say ı lar, (c) C 'de reel ve sanal k ıs ımlar ı rasyonelolan kompleks say ı lar, (d) : 1z1(1} c C diski.8. Bir metrik uzayda, bir B(xo;r) aç ı k yuvartn ı n kapan ış' olan, B(xo;r) 'nin, B(xo;r)kapal ı yuvar ından farkl ı olabileceğini gösteriniz.9.Ac4,A- =A,AUB=AUT3,71- n -B-"c -A- rı T3 olduğunu gösteriniz.10. Kapal ı bir M c (X, d) kümesine ait olmayan bir x noktas ı , daima Mkümesindens ıf ı rdan-farkl ı bir uzakl ıkta bulunur. Bunu göstermek için, x E olmas ı için gerek veyeter koşulun D(x,A) = 0 olduğunu gösteriniz. (K ıs.1.2, Prob.10'a bak ınız); Burada, A, X'in boş-olmayan herhangi bir altkürnesidir.11. (S ı n ı r). Bir A c (X,d) kümesiyle, X 'in (A 'ya ait olabilen ya da olmayan) bir xnoktas ı n ı gözönüne alal ım. Eğer, x 'in her kom şuluğu, A 'ya ait olmayan noktalar ın yan ıs ı ra, A 'ya ait noktalar ı da içeriyorsa, x 'e A kümesinin bir s ı n ı r noktas ı ad ı verilir. A 'n ıntüm s ı n ı r noktalar ı n ı n olu şturduğu küme ise, A 'n ın s ı n ı r ı ad ı n ı al ı r. (a) Rüzerinde, (-1,1),[-1, 1), [-1,1] aral ıklann ı n; (b) R üzerindeki tüm rasyonel say ı lar ın kümesinin;(c) : tzl < c C ve {z : < 1} c C disklerinin s ı n ı rlar ı n ı belirleyiniz.12. (B[a,b] Uzay ı). a < b olmak üzere, B[a,b] 'nin ayr ı labilir-olmad ığı n ı gösteriniz.(Tan ım için, 1.2.2 'ye bak ı n ız.)13. Bir X metrik uzay ın ın ayr ılabilir olmas ı n ın gerek ve yeter ko şulunun, X 'inaşağıdaki özeliğe sahip say ılabilir bir Y altkümesine sahip olmas ı olduğunu gösteriniz:Her E > 0 say ıs ı ve her x E X için, d(x,y) < c olacak şekilde bir y E Y vard ı r.
1914. (Sürekli Dönü şüm). Bir T : X Y dönüşümünün sürekli olmas ı için gerek veyeter ko şul herhangi bir kapal ı M c Y kümesinin ters görüntüsünün X 'de kapal ı birküme olmas ıd ı r. Gösteriniz.15. Aç ık bir kümenin, sürekli bir dönü şüm alt ı ndaki, görüntüsünün aç ı k olmakzorunda bulunmad ığı n ı gösteriniz.1.4. YAKINSAKLIK, CAUCHY DiZiSi, TAMLIKAnalizde reel say ı dizilerinin önemli bir rol oynad ığı n ı ve böyle bir dizinin yak ınsakl ıkkavram ı n ı tan ı mlayabilmek için, R üzerindeki metriği kulland ığı m ız ı biliyoruz. Ayn ı şeykompleks terimli diziler için de geçerlidir; Bu durumda, kompleks düzlem üzerindekimetriği kullanmam ız gerekir. Rastgele bir X = (X,d) metrik uzay ında da durumöncekilere oldukça benzerdir; yani, X 'in, x ı ,x2,...gibi elemanlar ı ndan olu şan bir (xn)dizisini göz önüne alabilir ve d metriğini kullanarak, analizdekine benzer şekilde,yak ı nsakli ğı tan ı mlayabiliriz:1.4.1. TANIM (Bir Dizinin Yak ınsakl ığı , Limit). Bir X = (X,d) metrik uzay ında bir (xn)dizisini ele alal ım. Eğer,iimd(x„,x) = 0olacak şekilde bir x E X noktas ı varsa, (x„) dizisi yak ınsak't ır, ya da, x noktas ına yak ınsardenir. x noktas ına (xn) dizisinin limit'i ad ı verilir veya da k ısaca,limx„ = x, n-0x, xyaz ı l ı r. (x n) dizisi yak ınsak değilse ıraksak't ı r denir.Burada, d metriğinin bu tan ımda nas ı l kullan ıld ığı sorusunu sorabiliriz. Görüldü ğügibi, d metriğ i = d(x„,x) şeklindeki reel say ı lardan olu şan bir dizi beklemekte ve budizinin yak ınsakl ığı , (x n ) dizisinin yak ı nsakl ığı n ı tan ımlamaktad ı r. O halde, eğer xn xise, verilen bir E > 0 say ısına karşı l ık, n > N oldukça, tüm x„ terimleri x 'in bir E > 0kom şuluğu olan B(x; e) 'un içinde kalacak şekilde bir N = N(s) say ısı n ı n varl ığı n ısöyleyebiliriz.Aşikar yanl ış anlamalardan kaç ınmak için, 1.4.1'de, yak ı nsak bir dizinin limitinin, Xuzay ın ın bir noktas ı olmas ı n ın gerektiğini belirtmek zorunday ız. Örneğin, X,d(x,y) = k — yi ile tan ımlanan al ışı lm ış metriğ i ile, R üzerindeki (0,1) aç ı k aral ığı olsun.Bu durumda, (1/2, 1/3, 1/4,...) dizisi, "yak ınsamak istediği nokta" olan O ' ı n X 'deolmamas ı nedeniyle, yak ınsak de ğildir. ileride bu ve buna benzer durumlara yenidendöneceğiz.Önce, yak ı nsak dizilere ili şkin, analizden bildiğimiz, iki özeliğin (limitin tekliği vesinirlilik) şu anda inceledi ğimiz genel konumda da geçerli oldu ğunu göstereceğiz.Boş-olmayan bir M c X altkümesini göz önüne alal ım. Eğer bu kümenin çap ı olan8(M) = sup d(x,y)x,yeMsonlu ise, M 'ye bir s ı n ı rl ı küme ad ı verilir. X 'deki bir (xn) dizisinin elemanlar ındanoluşan nokta kümesi X 'in s ı n ı rl ı bir altkümesi ise, (x,i) dizisine bir s ı n ı rl ı dizi denir.Aşikar olarak, eğer M s ı n ı rl ı ise, xo e X herhangi bir nokta ve r yeterince büyük reelbir say ı olmak üzere, M c B(xo;r) dir ve bunun tersi de do ğrudur.
20Şimdi iddiam ızı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:1.4.2. LEMMA (S ı n ı rl ı l ı k,Limit). X= (X,d) bir metrik uzay olsun. Bu durumda,(a) X 'de yak ı nsak olan bir dizi s ı n ı rl ı olup, limiti tek'dir.(b) X 'de, x„ x ve y„ y ise,d(x„,y„)d(x,Y)dir.Ispat. (a) (x n ) x olduğunu kabul edelim. Buna göre, E = 1 alarak, her n > N için,d(x n,x) < 1 olacak şekilde bir N say ısı bulabiliriz. Dolay ısiyla, (M4) üçgen eşitsizliğ i(K ıs.1.1) uyar ınca her n için,a = max-{d(xl,x),...,d(xN,x)}olmak üzere, d(xn,x) < 1 + a yazabiliriz. Bu ise, (x„) dizisinin s ı n ı rl ı olduğunu gösterir.x„ x ve x„ z olduğunu varsayarak, (M4) uyar ı nca,0 < d(x,z) < d(x,x,)+ d(x„,,z) 0 + 0elde ederiz. Buradan da, (M2) 'yi göz önünde tutarak, limitin tekli ğini ifade eden, x = zsonucuna var ı r ız.(b) K ıs ım 1.1 'deki (1) eşitsizliği uyar ınca,yazabiliriz. Buna göre,d(x,,,y n) < d(xn,x) +' d(x,Y) -1- d(Y,Yn)d(x,Y) d(x,,,x)+ d(Yn,Y)eşitsizliğ ini ve diğer bir benzer e şitsizliği de, x n ile x 'in ve yn ile y 'nin yerlerini de ğ iştirip,sonucu -1 ile çarparak elde ederiz. Bu ikisinin birlikte göz önüne al ınmas ı ise, bize,n --> ce için,id(xn,Yn) — d(x,Y)I d(xn,x) + d(y.,y) 0sonucunu verir.Şimdi de, ilerideki çal ışmalar ım ıza temel olu şturacak olan, bir metrik uzay ın taml ığı n ıtan ımlayaca ğız. Bu arada, tam-olmayan metrik uzaylar ın da var olmas ı nedeniyle,taml ığı n, K ıs ım 1.1 'deki (M1)-(M4) aksiyomlar ından ç ıkart ılamayaca ğı n ı göreceğiz.Diğer bir deyimle, taml ık, bir metrik uzay ın sahip olabildiği ya da olamad ığı ek birözeliktir.Önce, analizden, reel ya da kompleks terimli bir (x n ) dizisinin, s ıras ıyla, R reel ekseniüzerinde, ya da C kompleks düzlemi içinde yak ı nsamas ı için gerek ve yeter ko şulun, budizilerin Cauchy yak ınsakl ık kriteri 'ni gerçeklemesi oldu ğunu hat ı rlayal ım. Yani, sözkonusu dizilerin yak ınsak olmas ı için gerek ve yeter ko şul, verilen her e > 0 say ısı nakarşı l ık, her m,n > N için,olacak şekilde bir N = N(c) say ıs ı n ın varolmas ıd ı r. Bilindiği gibi, burada — x„Ibüyüklüğü, 118 reel ekseni üzerinde, ya da, C kompleks düzlemi içinde, x,„ ve x„ noktalar ıaras ı ndaki d(x,,,,x„) uzakl ığ ıd ı r. Dolay ıs ıyla, Cauchy kriterindeki e şitsizliğ i, IV)şeklinde yazabiliriz. Ve, e ğer, bir (xn) disizi, Cauchy kriterindeki ko şulu gerçekliyorsa, budiziyi bir Cauchy dizisi olarak da adland ırabiliriz. O halde, Cauchy kriteri bize k ısaca
21şunu söyler:Reel ya da kompleks terimli bir dizinin, s ıras ıyla, R üzerinde, ya da, C içindeyak ınsak olmas ı için gerek ve yeter ko şul, bu dizinin bir Cauchy dizisi olmas ıd ır. Ancak,hemen belirtelim ki, bu söyledi ğimiz, R ya da C 'deki duruma ili şkindir. Maalesef, dahagenel uzaylarda durum daha da karma şık olabilir; örneğin, bir dizi yak ınsak olmad ığıhalde, bir Cauchy dizisi olabilir. Bu durumda, böyle bir uzay, taml ık olarak adland ı r ı lan,çok önemli bir özelikten yoksun bulunmaktad ır. Bu inceleme, ilk kez 1906 'da M.Frechettarafndan verilen, a şa ğıdaki tan ı m ı ortaya koymu ştur:1.4.3. TANIM (Cauchy Dizisi, Taml ı k). Bir X= (X,d) metrik uzay ı nda, bir (xn) dizisinigözönüne alal ım. Eğer, her E > 0 say ısına karşı l ık, her m,n > N içind(x„„x„) < s ( İ)olacak şekilde bir N = N(e) say ısı bulunabiliyorsa, (xn ) dizisine bir Cauchy dizisi, ya dak ısaca, bir Cauchy 'dir denir. X 'deki her Cauchy dizisi yak ınsak ise, (yani, yine X 'debulunan bir limit noktas ı na sahip ise) X uzay ı tam 'd ı r denir.Taml ık kavram ı cinsinden, Cauchy kriterini a şa ğıdaki şekilde ifade edebiliriz.1.4.4. TEOREM (Reel Doğru, Kompleks Düzlem). Reel do ğru ve kompleks düzlemtam metrik uzaylard ı r.Daha genel olarak, tar ımın ışığı alt ında, tam metrik uzaylar ı n, (1) no.lu Cauchykoşulunun yak ı nsakl ık için gerek ve yeter ko şul olma özeliğini sürdürdüğü uzaylarolduğunu görebiliriz.Uygulamada önem ta şıyan tam ve tam-olmayan metrik uzaylar, bundan sonrakik ıs ımda, sistematik bir biçimde incelenecektir.Şimdilik, şu ana kadar elde etti ğimiz bir kaç tam-olmayan uzay örne ğinden sözetmekle yetinelim. Reel do ğrudan bir a noktas ı n ın ç ıkart ılmas ı , tam-olmayan 1 — {a}uzay ı n ı verir. Daha çarp ıc ı bir örnek olarak, reel do ğrudan, tüm irrasyonel say ı lar ıç ı kart ırsak, tam-olmayan, Q rasyonel doğrusu'nu elde ederiz. R 'deki metrik alt ında, (a,b)aç ık aral ığı da yine diğer bir tam-olmayan metrik uzay örne ğ idir.Tanimdan da aç ı kça görüldü ğü gibi, keyfi bir metrik uzayda, (1) ko şulu, söz konusuuzay ın tam olmayabilece ği gerekçesiyle, art ı k yak ınsakl ık için yeterli olmayabilir. Budurumun tümüyle, iyice anla şılmas ı gerekir; bu nedenle, basit bir örne ği incelemekteyarar görüyoruz. d(x,y) = 1x — yl ile tan ımlanan al ışı lm ış metrik alt ında, X— (O, I]kümesin' gözönüne alal ım ve xn = 1 In (n = 1,2,...) olmak üzere, (x n ) dizisinitan ı mlayal ım. Bu dizi bir Cauchy dizisi oldu ğu halde, 0 noktas ı (yani, dizinin "yak ınsamakistediği" nokta)X kümesinin bir noktas ı olmad ığı için, yak ı nsak değildir. Bu örnek, ayn ızamanda, yak ınsakl ık kavram ı n ın dizinin kendisine has bir özelik olmay ıp, dizininüzerinde tan ı mland ığı uzaya da ba ğ l ı oldu ğunu göstermektedir.Di ğer bir deyimle,yak ınsak bir dizi, tan ımland ığı uzay ı n bir noktas ına yak ınsamak zorundad ı r.(1) koşulunun, yak ı nsakl ık için yeter ko şul olmamas ına karşı n, gerek koşul olmaözeliğini sürdürdüğünü hat ı rlatmam ız yerinde olacakt ır. Gerçekten, a şağıdaki sonucukolayca elde edebiliriz.1.4.5. TEOREM ( Yak ınsak Dizi). Bir metrik uzaydaki her yak ınsak dizi, bir Cauchydizisidir.Ispat. x n x ise, her E > 0 say ısı için, n > N oldukça,d(x,,,x) < el2olacak şekilde bir N = N(e) say ısı vard ır. Buna göre, üçgen e şitsizliği uyar ı nca, m,n > Niçin,
22d(x„„x n) < d(x m,x) + d(x,x„) < e/2+8/2 = Eelde ederiz. Bu ise, (x„) dizisinin bir Cauchy oldu ğunu gösterir.Ileride, örneğin lineer operatörler teorisinde, çok say ıda temel sonucun, konuya ili şkinuzaylar ın tam'l ığına ba ğ l ı oldu ğunu görece ğiz. R reel doğrusunun taml ı k özeliğ i,analizde, Q rasyonel doğrusundan (R 'deki metrik alt ında tüm rasyonel say ılar kümesi)daha çok, R 'nin kullan ılmas ı n ın esas nedenidir.Notlar ı m ızın bu k ısm ı n ı , yak ınsakl ık ve taml ığa ilişkin olup, daha sonra gereksinmeduyaca ğım ız üç teorem ile bitirece ğiz.1.4.6. TEOREM (Kapan ış, Kapal ı Küme). M, bir (X,d) metrik uzay ı n ın boş-olmayanbir altkümesi ve M bu kümenin kapan ış' olsun. Buna göre,(a) x e Molmas ı için gerek ve yeter ko şul, M 'de, x„ x olacak şekilde bir (xn)dizisinin varolmas ıd ı r.(b) M 'nin kapal ı olmas ı için gerek ve yeter ko şul ise, x„ E M ve x„ x ise, x e Molmas ıd ı r.Ispat. (a) x E M olsun. x e M ise, bu tip bir dizi, (x,x,...) dizisidir. x o M ise, x, M 'ninbir y ığılma noktas ıd ır. O halde, her bir n = 1,2,... için, B(x,11n) yuvan, bir x,„ e Meleman' içerir ve n -> CO için, lin -4 0 olduğundan, xn x olur.Tersine olarak, (x„), M 'de ve x n x ise, ya x e M olur, ya da, x 'in her kom şuluğuxn # x noktalar ı içerir; dolay ıs ıyla, x, M 'nin bir y ığılma noktas ıd ır. Buna göre, kapan ışı ntan ım ı gereği, x E M yazanz.(b) Bilindiği gibi, M 'nin kapal ı olmas ı için gerek ve yeter ko şul, M= M olmasidir. Ohalde, (b) 'nin ispat ı (a) 'dan kolayca elde edilir.1.4.7. TEOREM (Tam Altuzay). Bir X tam metrik uzay ı n ın bir Maltuzay ın ın da tamolmas ı için gerek ve yeter ko şul, M 'nin X 'de kapal ı bir küme olmas ıd ır.Ispat. M tam olsun. 1.4.6.(a) gere ğince, her x E M için, M 'de x 'e yak ınsayan bir(x n ) dizisi vard ır. 1.4.5 uyar ı nca, (x n ) bir Cauchy dizisi ve M tam olduğundan, (xn ) dizisiM 'de yak ınsak olup,1.4.2 uyar ınca, limiti tek'dir. Dolay ısıyla, x e M yazabiliriz. Bu ise,x E M 'nin keyfi olarak seçilmi ş olmas ı nedeniyle, M 'nin kapal ı olduğunu ispatlar.Tersine olarak, M kapal ı bir küme ve (x,,), M 'de bir Cauchy dizisi olsun. Buna göre,x,, x E X yazabiliriz. Bu ise, 1.4.6 (a) uyar ınca, x E M sonucunu gerektirir. Ve kabulgereği, M= M olduğundan, x E M bulunur. O halde, keyfi olarak al ınan (xn ) Cauchydizisi, M 'de yak ınsamaktad ı r. Bu da, M 'nin taml ığı n ı ispatlar.Çok yararl ı olan bu teoreme ileride s ı k s ık gereksinme duyaca ğız. Bundan sonrakik ısımda göreceğimiz Örnek 1.5.3 bu teoremin ilk tipik uygulamas ı olacakt ı r.Son teoremimiz, bir dönü şümün sürekliliğine ilişkin olarak dizilerin yak ınsakl ığı n ı nönemini ortaya koyacakt ı r.1.4.8. TEOREM (Sürekli Dönü şüm). Bir (X,d) metrik uzay ından, bir (Y,d) metrikuzay ı n ın içine olan bir T : X Y dönü şümünün bir xo e X noktas ında sürekli olmas ı içingerek ve yeter ko şul-+ xo Txn Txoolmas ıd ı r.Ispat. T 'nin xo noktas ında sürekli olduğunu varsayal ım; Tan ım 1.3.3 'e bak ı n ız. Budurumda, verilen bir e > 0 say ıs ı için, d(x,x o) < S oldukça, 7/(Tx,Txo) < E olacak şekildebir 8 > 0 say ıs ı vard ır. xn xo olsun. n > N oldukça,d(x„,x0)
23olacak şekilde bir N say ısı vard ır. O halde, her n > N için,c1(Tx„,Tx0) < Eyazabiliriz. Bunun anlam ı ise, tan ım gereğ i, Tx„ Txo 'd ı r.Tersine olarak,x n xo Tx n --> Txoolduğunu varsayal ım ve bu durumda, T 'nin xo 'da sürekli oldu ğunu ispatlayal ım. Bir aniçin, T 'nin, xo 'da sürekli olmad ığı n ı kabul edelim. Buna göre, her 8 > 0 say ısı için,d(x,xo) < 8 olduğu halde, 7/(Tx, Txo) > s eşitsizliğini gerçekleyen biri # xo say ısıvarolacak şekilde bir e > 0 say ısı vard ır. Özel olarak, S = lln için, d(x n,x0) < 1/n olduğuhalde, 71(Tx„,Tx0) > e eşitsizliğini gerçekleyen bir x n bulabiliriz. Aç ıkça görüldü ğü gibi,x n xo olduğu halde, (Txn ) dizisi, Txo değerine yak ınsamamaktad ı r. Bu ise, Tx, -> Txogerçeğiyle çelişir ve teoremin ispat ı tamamlanm ış olur.PROBLEMLER1. (Altdizi). Bir X metrik uzay ı nda, bir (x n) dizisi yak ınsak ve x limitine sahip ise, (xn)'in her (x„,) altdizisinin de yak ınsak olduğunu ve ayni x limitine sahip oldu ğunugösteriniz.2. (xn) bir Cauchy dizisi ise ve yak ı nsak bir altdiziye (x n, x, diyelim) sahip ise, (xn)dizisinin de x limitine yak ınsad ığı n ı gösteriniz.3. x n x olmas ı için gerek ve yeter ko şul, x 'in her V komşuluğu için, n > no oldukça,xn E Volacak şekilde bir n o tamsay ısı n ın varolmas ıd ı r. Gösteriniz.4. (Sinirlilik). Bir Cauchy dizisinin s ını rl ı olduğunu gösteriniz.5. Bir metrik uzayda, bir dizinin sinirlili ğ i bu dizinin (a) Cauchy, (b) yak ınsak olmas ıiçin yeterli midir?6. (xn ) ve (yn), bir (X,d) metrik uzay ında iki Cauchy dizisi ise, an = d(xn,Yn) olmaküzere tan ımlanan (an) dizisinin yak ı nsak olduğunu gösteriniz. Aç ıklay ıcı örnekler veriniz.7. Lemma 1.4.2.(b) 'ye dolayl ı bir ispat veriniz.8. d ı ve d2, ayn ı X kümesi üzerinde iki metrik ise ve her x,y E X için,ad ı (x,Y) d2(x,y) bdi(x,y)olacak şekilde, pozitif a ve b say ı lar ı varsa, (X,d ı ) ve (X,d2) 'deki Cauchy dizilerinin ayn ıolduğ unu gösteriniz.9. Prob.8 'i kullanarak, K ıs.1.2, Prob.13-15 'deki metrik uzaylar ın ayn ı Cauchydizilerine sahip olduklar ı n ı gösteriniz.10. R 'nin taml ığın ı kullanarak, C 'nin taml ığı n ı ispatlay ınız.1.5.TAMLIK iSPATLARINA ILI ŞKIN ÖRNEKLERÇeşitli uygulamalarda, bir X kümesi verilir (örne ğin, bir diziler kümesi ya da birfonksiyonlar kümesi) ve X üzerinde bir d metriği seçilerek, X kümesi bir metrik uzayhaline dönüştürülür. Bundan sonra yap ı lacak iş ise, (X,d) 'nin tam olma için gerekliözeliklere sahip olup olmad ığı n ın araşt ı r ılmas ıd ır. Taml ığı ispatlamak için, X 'de keyfi bir
24(x„) Cauchy dizisi al ıp bunun X 'de yak ınsak olduğunu gösteririz. Bu tür ispatlar, farkl ıuzaylar için, çe şitli kar ışı kl ıklar gösterir ise de genel olarak izlenen yollar hemen hemenayn ıd ı r:(i) (Limit olarak kullan ı lmak üzere) Bir x eleman' belirlenir,(ii) x 'in incelenen uzayda bulundu ğu ispatlan ı r,(ili) (Metrik anlam ında) x m x yak ınsakl ığı gösterilir.Şimdi teorik ve uygulamal ı ara ştırmalarda s ık s ık ortaya ç ıkan baz ı uzaylar ı ntaml ığı na ilişkin ispatlar verece ğiz. Okuyucu, inceleyeceğimiz örneklerde (Örnek 1.5.1 -1.5.5) reel do ğrunun ve kompleks düzlemin taml ığından yararland ığı m ıza dikkatetmelidir. (Teorem 1.4.4 'e bak ı n ız.)ÖRNEKLER1.5.1. R n ve C" 'in Taml ığı . R" Euclid uzay ı ve C" üniter uzay ı tam'd ır, (Tan ı m için1.1.5'e bak ı n ız).ispat. Önce R" uzay ı n ı ele alal ı m. R" üzerindeki metri ğin (Euclid metriğ i), x = vey = ( ıii ) olmak üzere,nd(x,Y) = (E(.1 "q ı ) 2 ) 1/2>=1ile tan ı mland ığı n ı hat ı rl ıyoruz. (K ıs.1.1 'de (6) 'ya bak ı n ız).Şimdi, x,„ = (4;m) ,...,4;,m) ) yazarak, R" 'de herhangi bir (x,„) Cauchy dizisini ele alal ı m.(x m) Cauchy oldu ğundan, her E > 0 say ıs ı için, m,r > N oldukça,d(x„„x„) = (E( j„,) _ ,şr)) 2 )1/2 < e(i)olacak şekilde bir N say ısı vard ı r. Kare alarak, m,r > N vej =( in) — ir) ) 2 < 6 2 ve kim) — fr) I < en için,yazabiliriz. Bu ise, her sabit j için, (1 < j < n), (4, 1) 42) ,...) dizisinin, reel terimli birCauchy dizisi oldu ğ unu gösterir. Bu dizi, Teorem 1.4.4 uyar ınca yak ı nsakt ı r: m Go için,4.; diyelim. Bu yolla elde edilen n tane limiti kullanarak, x =tan ı mlayal ı m. Aç ıkça görüldü ğ ü gibi, x E R n 'dir. (1) 'den yararlanarak, r co için,d(x,„,x) < e(In > IV)yazabiliriz. Bu da, x 'in, (x.) dizisinin limiti oldu ğunu gösterir ve (x„,) 'in keyfi bir Cauchydizisi olarak al ı nm ış olmas ı nedeniyle de, 118 n 'in taml ığı n ı ispatlar.C" 'in taml ığı da, ayn ı tür bir ispat yöntemiyle, Teorem 1.4.4 'den elde edilir.1.5.2. r' 'un Taml ığı . r uzay ı tam'd ı r. (Tan ım için, 1.1.6'ya bak ın ız).ispat. x„, = ( m) ,, m),...) olmak üzere, (x m ), uzay ı nda herhangi bir Cauchy dizisiolsun. Q' üzerindeki metrik, x = (4;) ve y = (rh) olmak üzere,d(x,y) =sup I İ — Tİ,1ile verildiğinden ve (x.) Cauchy oldu ğundan, verilen herhangi bir e > 0 say ıs ına karşı l ık,her m,n > N için,d(x„„x„) =sup 151") —
25_ < E (m,n > N) (2)yazabiliriz.Buna göre, her sabit j için, (4i 1) ,_,2),...) say ı dizisi bir Cauchy dizisidir.Teorem 1.4.4 uyar ı nca, bu dizi yak ı nsakt ı r: ın --> oc> için, .1(in),;.; diyelim. Sonsuzçokluktaki bu limitlerini kullanarak, x = dizisini tan ımlayal ım vex E Q' ve x„, x olduğunu gösterelim. (2) 'den yararlanarak, n -> oc> için,kr') 5- E (in > (21yazabiliriz. x m = (4?) E Qsay ıs ı vard ır. O halde, üçgen e şitsizliğ i yard ı m ıyla,olduğundan, her] için, Wn1) 1 < k„, olacak şekilde reel bir kmgı l S I 4,ç'n) I + Win) I S F. + km (In >elde ederiz. Bu e şitsizlik, herj için geçerli olup, buna kar şı n, sağ taraf, j 'yiiçermemektedir. Dolay ısıyla, dizisi s ı n ı rl ı bir say ı dizisidir. Bu durum, x = E Q"sonucunu gerektirir. Ayr ıca, (2*) 'dan,d(xm,x) =sup I ğim) - S İ I 5_ e (m > N)Jyazabiliriz. Bu ise, x„, x olduğunu gösterir. Buna göre, (x„,) dizisinin keyfi bir Cauchydizisi olarak al ınd ığı n ı da gözönüne al ırsak, r> dizi uzay ı n ın taml ığı n ı ispatlam ış oluruz.1.5.3. c 'nin Taml ığı . c dizi uzay ı , kompleks terimli tüm x = (;) yak ınsak dizilerindenoluşur ve Q' üzerinde tan ımlanan metriğe sahiptir.c uzay ı tam'd ı r.Ispat. c uzay ı , Q' uzay ın ı n bir altuzay ıd ır. Buna göre, c 'nin Q' 'da kapal ı olduğunugösterirsek, Teorem 1.4.7 gere ğince c 'nin taml ığı n ı söylemiş oluruz.c,c 'nin kapan ışı n ı göstermek üzere, herhangi bir x = (.;) E -u dizisini göz önünealal ım. 1.4.6 (a) gere ğince, x n x olacak şekilde xn = (4) 11)) e e dizileri vard ır. O halde,verilen herhangi bir e > 0 say ıs ına karşı l ı k, n > N ve her j için (özel olarak, n = N ve her jiçin,ki n) - j I < d(x,,x) < 813olacak şekilde bir N say ıs ı vard ı r. xN E c olduğundan, bu dizinin 47') terimleri yak ınsak birdizi olu ştururlar. Böyle bir dizi ise, bir Cauchy'dir. Dolay ıs ıyla,WN) - di) I < £13 (j,k N ı )olacak şekilde bir N i say ısı vard ır. Bu durumda, üçgen e şitsizliği, her j, k > Ni içinaşa ğıdaki eşitsizliği verir:K KK r --4k ı < E5-KK- fl) I + kr) - 1+Bu da, x = ( j ) dizisinin yak ınsak olduğunu gösterir. O halde, x E e 'dir. x E "u 'nin keyfiolarak al ı nd ığı n ı düşünürsek, bu sonuç, c 'nin Q" 'da kapal ı olduğunu ispatlar ve e 'nintaml ığı 1.4.7 'den elde edilir.1.5.4. QP 'nin Taml ığı . p sabit ve 1 < p < -ı-oo olmak üzere, QP uzay ı tam'd ır. (Tan ımiçin, 1.2.3 'e bak ı n ız.)ispat. x. = (4 (ım) Zm),...) olmak üzere, (x n ), P uzay ında herhangi bir Cauchy dizisiolsun. Buna göre, verilen her s > 0 say ısına karşı l ık, her m,n > N için,
2 6I pd(x„,,x,,) = < (3)olacak şekilde bir N say ıs ı vard ı r. Buradan, her j = I,2,... için,ky n) _ j(n) < e (m,n > N) (4)yazabiliriz. Şimdi, sabit bir j seçelim. (4) yard ım ıyla,dizisinin, terimlerisay ı lar olan bir Cauchy dizisi oldu ğunu görüyoruz. R ve C 'nin tam olmas ı nedeniyle, budizi yak ınsakt ı r: m oo için, ğ5m) -+ diyelim. Şimdi de, bu limitleri kullanarak,x = 1, ) dizisini tan ımlay ı p, x E P ve x m x olduğunu göstereceğiz.(3) 'den, her m,n > N için,kZW m) .1(n) I P N olmak üzere, n -› oo için,k(k = 1,2,...)Elm) IP N olmak üzere, k -› oo için,buluruz. Bu ise,EWm) P < £1' (5)X. — X = ( ni) — E Qpolduğunu gösterir. xm E QP olduğundan, Minkowski e şitsizliği (K ıs.1.2, Formül (12) 'yebak ı n ız.) gereğincex = x. + (x -xm ) E Qpelde ederiz. Ayr ıca, (5) 'deki seri, [d(x,,,,x)]P büyüklüğünü belirtiğinden, (5) ifadesi, xm y xsonucunu gerektirir. (xm ) 'in P 'de keyfi bir Cauchy dizisi olarak seçildi ğini göz önündebulundurursak, 1 < p < +oo olmak üzere P 'nin taml ığı n ı ispatlam ış oluruz.1.5.5. C[a,b] 'nin Taml ığı . [a,b], R üzerinde, verilen herhangi bir kapal ı aral ık olmaküzere, C[a,b] fonksiyon uzay ı tam'd ı r. (Tan ım için 1.1.7 'ye bak ın ız).ispat. (xm ), C[a,b] 'de herhangi bir Cauchy dizisi olsun. Bu durumda, verilen herhangibir e > O say ıs ı için, m,n > N oldukça, J = [a,b] olmak üzere,d(x,„,x, ı) = max km(t)-xn(t)1 < etcrolacak şekilde bir N say ısı vard ır. O halde, herhangi bir sabit t = to E J için,lx.(to) -xn(to)l < e (m.n > N)yazabiliriz. Bu ise, (x1(to),x2(to),...) dizisinin, reel terimli bir Cauchy dizisi oldu ğunugösterir. R. 'nin tam olmas ı nedeniyle (1.4.4 'e bak ı n ız), bu dizi yak ınsakt ı r: m oo için,xm (to) x(to) diyelim. Bu yolla, her bir t E J noktas ıyla, bir tek reel x(t) say ısıeşleyebiliriz. Bu ise, J üzerinde (noktasal) bir x fonksiyonu tan ımlar ve ispat ıtamamlamam ız için geriye, x E C[a,b] ve xm x olduğunu göstermek kal ı r.(6) yard ımıyla, n oo için,(6)
yazabiliriz. O halde, her t E J için,27max Ix„,(t) -x(t)1 < E (m > N)ix„,(t) - x(t)I < e (m > N)bulunur. Görüldü ğü gibi, bu sonuç, (xm(t)) 'nin, J üzerinde, x(t) 'ye düzgün olarakyak ı nsad ığı n ı ifade etmektedir. x„, 'lerin sürekli ve yak ınsakl ığın düzgün olmas ınedeniyle, analizden de bildiğimiz gibi (Prob.9 'a bak ın ız), limit fonksiyonu olan x de Jüzerinde süreklidir. O halde, x E C[a,b] yazabiliriz. Ayr ıca, x. x 'dir. Bu da, C[a,b] 'nintam'l ığı n ı ispatlar.Yukar ıda vermiş olduğumuz ispat, ayn ı zamanda, a şağıdaki gerçe ği de ispatlar:1.5.6. TEOREM (Düzgün Yak ınsakl ık). C[a,b] uzay ında, xm x yak ınsakl ığıdüzgündür; yani, (x.) dizisi, [a,b] üzerinde, x 'e düzgün olarak yak ınsar.Buna göre, C[a,b] üzerindeki metrik, [a,b] üzerinde düzgün yak ınsakl ığıbeklemektedir ve bu nedenle, bazen düzgün (üniform) metrik ad ını da al ır.Taml ık ilkesini ve buna ili şkin kavramlar ı daha iyi bir şekilde anlayabilmek için,tam-olmayan baz ı metrik uzay örneklerinden de söz etmek istiyoruz.TAM-OLMAYAN METR İ K UZAY ÖRNEKLERI1.5.7. Q Uzay ı . Bu uzay, x,y E Q olmak üzere, d(x,y) = - yl ile verilen al ışılm ışmetrik alt ında, tüm rasyonel say ılardan oluşur ve rasyonel doğru ad ını al ı r. Q tamdeğildir. ( İspatlay ı n ız).1.5.8. Polinomlar. X, sonlu ve kapal ı bir J = [a,b] aral ığı üzerinde, t 'nin birfonksiyonu olarak göz önüne al ınan tüm polinornlann olu şturdu ğu bir küme olsun. Ve Xüzerinde, d metriğini,d(x,y) =max lx(t) -y(t)Iile tan ımlayal ım. Bu yolla elde edilen (X,d) metrik uzay ı tam değildir. Gerçekten, limiti X'de bulunmayan bir Cauchy dizisi örne ğ i, J üzerinde bir polinoma değ il, sürekli birfonksiyona düzgün olarak yak ınsayan, herhangi bir polinom dizisi olarak veritebilir.1.5.9. Sürekli Fonksiyonlar. X, J = [0,1] üzerinde, tüm sürekli, reel de ğerlifonksiyonlardan oluşan bir küme ved(x,y) = JIx(t) - y(t)idioolsun. Bu şekilde elde edilen (X,d) metrik uzay ı tam değ ildir.Ispat. Şekil 9'daki x. fonksiyonlar ı bir Cauchy dizisi olu ştururlar. Çünkü, d(x.,xn),Şekil 10 'da görülen üçgenin alan ı olup, verilen her E > 0 say ısı için, m,n > lk oldukça,d(x.,xn) < e'dur. Şimdi bu Cauchy dizisinin yak ınsak olmad ığı n ı göstereceğiz.
282IŞekil 9. Örnek 1.5.9 Şekil 10. Örnek 1.5.9vea m = 1/2 + 1/m olmak üzere,yazabiliriz. Buna göre, her x E X için,x fli (t) = t E [O, 1/2]x m (1) = 1; t e [a m , 1]1/2 amd(x x) = x m(t) — x(t)Idt = [x(t)Idt + i lx m(t) — x(t) ıdt + f il —x(r)idro O 1 /2 ambulunur. Integrantlar ın negatif olmamaları nedeniyle, sağ taraftaki integrallerin her biri denegatif-olmayan de ğerlerdir. O halde, d(x m,x) 0 isteği, her bir integralin s ıf ı rayaktaşmas ı n ı gerektirir ve x 'in sürekli olmas ı nedeniyle,x(t) = O; t E [0,1/2)x( ı) = 1; t E (1/2, 1]olmas ı gerekir. Bu ise, sürekli bir fonksiyon için mümkün değildir. Dolay ıs ıyla, (x m )yak ı nsayamaz, yani, X 'de bir limite sahip olamaz. Bu da X 'in tam olmad ığı n ı ispatlar.PROBLEMLER1. a, b E R ve a < b olsun. [a, b] kapal ı aral ığı n ın tam olmas ına karşı l ı k, (a, b) aç ı karal ığı n ı n, R 'nin tam-olmayan bir altuzay ı olduğunu gösteriniz.2. X, x = (41,...,„) şeklindeki tüm s ıral ı reel say ı ikililerinden olu şan uzay ve y = (Ili)olmak üzere,d(x, y) =max ISi — iliolsun.(X, d) 'nin tam oldu ğunu gösteriniz.3.M c r, ancak sonlu say ıda s ıf ırdan farkl ı terim içeren tüm x = dizilerindenoluşan bir altuzay olsun. M 'de öyle bir Cauchy dizisi bulunuz ki, bu dizi M 'deyak ınsamas ın ve dolay ısıyla M tam olmas ı n.
294. Prob.3 'de tan ımlanan M uzay ı n ın tam olmad ığı n ı Teorem 1.4.7 'yi uygulayarakgösteriniz.5. Tüm tamsay ılardan olu şan X kümesinin, d(x,y) = İm — ni ile tan ımlanan d metriğ ialt ında bir tam metrik uzay olu şturduğunu gösteriniz.6. Tüm reel say ılardan olu şan kümenind(x,y) = tarctanx — arctanylile tan ımlanan metrik alt ında tam-olmayan bir metrik uzay olu şturduğunu gösteriniz.7. X, tüm pozitif tamsay ılar kümesi ve d(m, n) = — olsun. (X, d) 'nin tamolmad ığı n ı gösteriniz.8. C[a, b] Uzay ı . x(a) = x(b) koşuluna uygun tüm x = C[a,b] fonksiyonlar ından olu şanY c C[a,b] altuzay ı n ın tam oldu ğunu gösteriniz.9. 1.5.5'de analiz derslerinden bildi ğimiz bir teoremi kaynak gösterdik: [o, b]üzerindeki sürekli fonksiyonlardan olu şan bir (x.) dizisi [a,b] üzerinde yak ınsaksa ve[a,b] üzerindeki bu yak ınsakl ık düzgün ise, limit fonksiyonu olan x de [a,b] üzerindesüreklidir. Bu teoremi ispatlay ın ız.10. (Diskre Metrik). Diskre metrik uzay ın tam olduğunu gösteriniz. (Tan ım için 1.1.8'e bak ın ız).11. (s Uzay ı). s uzay ında (Bkz.1.2.1), x n = (4 n> ) ve x = (.;) olmak üzere, xn xolmas ı için gerek ve yeter ko şulun, her j = 1,2,... için, 45")olduğunu gösteriniz.12.Prob.11 'i kullanarak, 1.2.1 'de tan ımlanan s dizi uzay ı n ın tam olduğunugösteriniz.13. 1.5.9. 'da diğer bir Cauchy dizisininxn(t)=n ;0
metrik uzay olsun.30(a) X 'den liçine bir T dönüşümünü göz önüne alal ım. Eğer T dönüşümü uzakl ı klar ıkoruyorsa, yani, Tx ve Ty, s ıras ıyla, x ve y 'nin görüntüleri olmak üzere, her x,y E X için,71(Tx,Ty) = d(x,y)ise, T dönüşümüne bir izometrik dönü şüm, ya da, bir izometri ad ı verilir.(b) X 'den X üzerine bire-bir ve örten bir izometrinin varolmas ı halinde, X uzay ıı ile izometrik'tir denir. Bu durumda, X veluzaylar ı izometrik uzaylar ad ı n ı al ı rlar.uzayBuna göre, izometrik uzaylar ancak noktalar ı n ın yap ıs ı yönünden farkl ıolabilmelerinine kar şı n, metrik bak ış aç ısı ndan, birbirlerinden farkl ı olmayan uzaylard ı r.Ve noktalar ın yap ı lar ını n etkin olmad ığı incelemelerde, böyle iki uzay ı , ayn ı "soyut"uzay ı n iki kopyas ı olarak, birbirine denk iki uzay şeklinde dü şünebiliriz.Şimdi, her metrik uzay ı n tamla şt ı r ılabileceğine ilişkin bir teoremi ifade ve ispatedeceğiz.1.6.2. TEOREM (Tamla şt ı rma). Bir X = (X,d) metrik uzay ı için, X ile izometrik olup,'da yoğun olan bir Waltuzay ına sahip, tam bir 5\C = (Vs,d) metrik uzay ı vard ır. Bu :;Y\uzay ı , izometrileri d ışı nda , tek'dir; yani, eğer X , X ile izometrik, yoğun bir W altuzay ınasahip, herhangi bir tam metrik uzay ise, X ve ,Yizometriktir.Ispat. Teoremin ispat ı uzun olmakla birlikte, kolayca izlenebilir niteliktedir. Bunedenle, ispat ı m ız ı dört ad ımda tamamlayaca ğız. Önce,(a) k = (X\ ,d) metrik uzay ın!,(b) W = ;Y\ olmak üzere, X'in W üzerine bir izometrisini in şa edecek,ve daha sonra da,(c) .,Y‘ 'n ı n taml ığın ı ,(d) 5t''n ı n, izometrileri d ışı nda, tekli ğini ispatlayacağız. Kabaca söylersek,yapaca ğı m ız şey, X 'de yak ınsak olmayan Cauchy dizileriyle uygun timitleri e şlemekolacakt ır. Bununla birlikte, "çok fazla say ıda" limit tan ımlayaca ğız. Ancak, belirli dizilerin,sahip olduklar ı terimlerin "bir yerden itibaren birbirlerine istenildi ği kadar yak ın olacağı"gerekçesiyle "ayn ı limite yak ınsamak isteyecekleri" gerçe ğini gözönündebulunduraca ğ' ız. Sezgiye dayanan bu fikri, uygun bir denklik ba ğı nt ıs ı cinsindenmatematiksel olarak ifade edebiliriz. (A şa ğıda(1) no.lu fornmüle bak ı n ız). lzleyece ğimizyol yapay olmay ı p, bu k ısm ı n ba şında sözünü ettiğimiz rasyonel do ğrununtamlaştı r ılmas ı işleminde izlenen yolun sonunda ortaya ç ıkm ışt ı r.Şimdi ispat ı nayr ı nt ı lar ına geçelim.(X, d) 'n ı n in şas ı . (xn) ve ()c in ), X 'de iki Cauchy dizisi olsun.lim d(x„,x„1 ) = 0 (1)olmas ı halinde, (x„) dizisini, (x n1 ) dizisine denk olarak tammlayal ım ve (x„) (x„)yazal ım Bu yolla elde edilen Cauchy dizilerinin denklik s ı n ıflar ı , ve bu denkliks ı n ıflar ı n ın tümünün olu şturdu ğu küme ise, .5?« olsun. (x n ) dizisinin, .2 'n ın bir eleman ı (.•••s ı n ıf ının bir temsilcisi) olduğunu, (X ) E z yazarak ifade edelim. Şimdi de, (xn) E 'X' ve(Ya) e 53 olmak üzerediyelim. Önce bu limitin varoldu ğunu gösterelim.'. 71.;=lim d(xa,Ya) (2)
yazabiliriz. Buradan da,31d(x„,yn) d(Xn,Xm) d(x„„y„,)+ d(y,„,y,)d(x„,y,,)- d(x„„y,,) d(Xn,Xm) + d(y.,y, ı)eşitsizliğiyle, In ve n 'nin yer değ iştirdiği benzer bir eşitsizliği elde ederiz. Bu iki e şitsizliğ ibirlikte gözönüne al ırsak,Id(x,,,y,,)- m)I d(xn,x.)+ d(ym,3 7n) ( 3)buluruz. (x n) ve (yn) dizilerinin Cauchy olmalar ı nedeniyle, sağ taraf ı istediğimiz kadarküçük yapabiliriz. Bu ise, lik'nin taml ığı nedeniyle, (2) 'deki limitin varl ığı n ı gerektirir.Burada, ayr ıca,(2) 'deki limitin, temsilci eleman ın özel seçiminden ba ğıms ız olduğunugöstermemiz gerekmektedir. Gerçekten, e ğer (x.) (x,9) ve (yn) (y„' ) ise, (1) uyar ınca,n 00 için,buluruz; bu ise,ıd(x„,y,,)- d(x in,Y„)1 5_ d(x.,x ın) +Osonucunu gerektirir.lim d(xn,,Yn) =tim d(x`n,Y in)n-■coŞimdi de, (2) 'de tan ımlanan d 'n ı n, .;Y\ üzerinde bir metrik oldu ğunu gösterece ğiz.Aşikar olarak, d, d(k, -X") = 0 eşitliğinin yan ı s ıra, K ıs.1.1 'de gördüğümüz (M1) ve (M3)aksiyomlar ı n ı gerçekler. Ayr ıca,= O = (x.) (yn) x =gerektirmesi (M2) 'yi verir. d 'ya ili şkin (M4) aksiyomu ise, n 00 için,eşitsizliğinden elde edilir.d(xn,Yn) _5 d(xn,z.)+ d(ın,Yn)(b). Bir T : X --i W c X izometrisinin in şas ı . Her bir b e Xeleman ı ile, sabit (b,b,...)Cauchy dizisini içeren, b E /Xs s ın ıf ın' eşieyelim. Bu eşleme, W = T(X) e ;Y\ altuzay ıüzerine bir T : X -+ Wdönü şümü tan ımlar. Tan ımlanan Tdönüşümü, (b,b,...) E 7>olmak üzere, b b = Tb ile verilmektedir. (2) e şitliği, kolayca,d(b,c) = d(b,c)şekline dönü ştürülebileceğinden, T 'nin bir izometri oldu ğunu görebiliriz; burada, c , her niçin, yn = c olmak üzere, (y,,) s ınıfıd ı r. Bilindiği gibi , her izometri içine bir dönü şümdür veT(X) = W olmas ı nedeniyle, T : X W üzerine bir dönü şümdür. Dolay ıs ıyla, W ve Xizometriktir (Tan ım 1.6.1(b) 'ye bak ınız).Şimdi de, W 'nin X 'da yo ğun oldu ğunu gösterece ğiz. Herhangi bir 5' c e :İY alal ım.(xn) E 5? olsun. Her e > O say ıs ı için,d(xn,xN) < e/2 (n > N)olacak şekilde bir N say ıs ı vard ı r. (xN,x/v,...) e .'"Ar olsun. Bu durumda, zN C W olur. (2)gereğince,-c-l( ,?,£ N) =lim d(x,,,xN) < 612 < 6yazabiliriz. Bu ise, keyfi bir z E ;İ''n ın her E -komşuluğunda W'nin bir eleman ın ın
32bulundu ğ unu gösterir.O halde, W„'3'1' 'da yoğundur.(c) it' 'n ı n Taml ığı . (5?„), X 'da herhangi bir Cauchy dizisi olsun. W, X 'da yo ğ unolduğundan, her ".'„ için,olacak şekilde bir 'i n E W vard ır. Üçgen e şitsizliği uyar ınca,ci(5 . < 1/n (4)71(2 n) < ckz„„3e m ) + + d(±„, z n) < 1/m + e"/(.„„:5c,ı) + 1/nyazabiliriz ve bu değer, (."„,) 'in Cauchy olmas ı nedeniyle, yeterince büyük m ve n say ılar ıiçin, verilen herhangi bir s > 0 say ısından daha küçüktür. 0 halde, (î„,) bir Cauchydizisidir. T : X -+ Wdönü şümü izometrik ve 2 -„, E W olduğundan, z,,, = T-1 "z"„, olmak üzeretan ımlanan (zm ) dizisi, X 'de bir Cauchy olur. X E ',,(z„,) dizisinin ait oldu ğu s ı n ıf olsun.Şimdi, (Z"„) 'n ı n limitinin Z" olduğunu göstereceğiz. (4) uyar ınca,71(5? „, ') < d(xn, X)
33(d) ;Y 'n ı n İzometrileri D ışı nda Tekliği. Eğer, (X ,d), X 'da yoğun ve X ile izometrik birW altuzay ına sahip diğer bir tam metrik uzay ise, herhangi x,yeX için, x„ ve y „olacak şekilde, W'daeşitliği, ((3)'e benzer bir e şitsizlik olan) ve ( -in ) dizilerini bulabiliriz; dolay ıs ıyla,d (x,y) =limd (x r, ,y,, )(;,;) )1 S d (;;;n ) (jr,y- ) Oifadesinden elde edilir. W, W c X ile izometrik ve W = 5 s< olduğundan, Ive -.X\ üzerindekiuzakl ı klar ayn ı olmal ıd ır. O halde, X7 ve ./X\ izometriktir.Bundan sonraki iki bölümde (özellikle, 2.3.2, 3.1.5 ve 3.2.3 'de), ispatlad ığım ız buteoremin, tam olmayan uzaylara ve bu tip uzaylar ın tüm s ı n ıflar ına ilişkin temeluygulamalar ı göreceğiz.PROBLEMLER1. Bir metrik uzay ı n, bir Y altuzay ı sonlu çoklukta noktadan olu şuyorsa, Y 'nin tamolduğunu gösteriniz.2. X, tüm rasyonel say ılar kümesi ve d(x,y) — y ı ise, (X,d) 'nin tamlanm ışı nedir?3. BirXdiskre metrik uzay ı n ın tamlanm ışı nedir? (Tan ım için,1.1.8 'e bak ın ız.)4. XI ve X2 izometrik ve XI tam ise, X2 'nin de tam olduğunu gösteriniz.5. (Homeomorfizm). Bir homeomorfizm, tersi de sürekli olan, sürekli, bire-bir ve örtenbir T : X -4- Ydönü şümüdür; böyle bir durumda, Xve Y metrik uzaylar ı homeomorfik'dirdenir. (a) X ve Y izometrik iseler, bunlar ın homeomorfik olduklar ı n ı gösteriniz. (b) Birtam ve bir de tam-olmayan metrik uzay ın homeomorfik olabilece ğini bir örnekleaç ıklay ın ız.6. C[0, l] ve C[a,brnin izometrik oldu ğunu gösteriniz.7. (X,d) tam ise, 71 = d/(1 + d) olmak üzere, (X,7/) 'n ın da tam olduğunu gösteriniz.8. Prob.7 'de, (X, d) 'n ın taml ığı n ı n, (X,d) 'nin taml ığı n ı gerektirdi ğini gösteriniz.9. (4) ve (xnı ), (X,d) 'de, (1) gerçeklenecek.ve x n Q olacak şekilde iki dizi ise, (x„)dizisinin yak ı nsak ve limitinin Q olduğunu gösteriniz.10. (x„) ve (4) bir (X,d) metrik uzay ında yak ınsak ve ayn ı Q limitine sahip iki dizi ise,(1) ba ğı nt ıs ın ı gerçeklediklerini gösteriniz.11. (1) ba ğınt ısı n ın, X'in elemanlar ından oluşan tüm Cauchy dizilerinin kümesiüzerinde bir denklik ba ğınt ısı olduğunu gösteriniz.12. (x„), (X,d) 'de bir Cauchy ve X'de (1) bağınt ıs ını gerçekliyorsa, (4) 'nün X'de bir Cauchy oldu ğunu gösteriniz.13. (Pseudo (Sözde) Metrik). Bir X kümesi üzerinde, bir sonlu sözde-metrik, K ıs.1.1'de verilen, (M1), (M3) (M4) ved(x,x) = 0aksiyomlartn ı gerçekleyen bir d: XxX --> R fonksiyonudur. Bir metrik ile bir sözde-metrikaras ındaki fark nedir? x = (4 1 , 2) ve y = ( ıi i , ı72) olmak üzere, d(x,y) = — 'in tüms ı ral ı reel say ı çiftleri kümesi üzerinde bir sözde-metrik tan ı mlad ığı n ı gösteriniz. (Baz ıyazarlar ın, sözde-metrik yerine yar ı-metrik (semi-metrik) deyimini kulland ığı n ınt daunutmay ınız).(M2*)
3414. X,(i) [a, b] üzerinde tüm sürekli reel-de ğerli fonksiyonlar ın kümesi,(ii) [a, b] üzerinde Riemann anlam ında integrallenebilir tüm reel-de ğerlifonksiyonlann kümesi ise,d(x , y) = flx(t) — y(t)IdtX üzerinde, bir metrik ya da bir sözde-metrik tan ımlar m ı?15. Eğer (X, d) bir sözde-metrik uzay ise,B(x0; r) = e X : d(x,xo) < r} (r > O)kümesine, X 'de, xo merkezli ve r yar ıçapl ı bir aç ık yuvar ad ı verilir. (Bu tan ı m ın 1.3.1'deki tan ı ma benzediğine dikkat ediniz). Prob.13 'de 1 yançap ı l ı aç ık yuvar nedir?
BÖLÜM 2NORMLU UZAYLAR, BANACH UZAYLARIMetrik uzaylar ın en önemli ve yararl ı olanlar ı , bir vektör uzay ı ve bunun üzerinde birnorm yard ı m ıyla tan ımlanan bir metrikle olu şturulanlar ıd ı r. Bu yolla elde edilen metrikuzaylara normlu uzay ve bunlar ın tam olanlar ına ise Banach uzay ı ad ı n ı vereceğ iz.Normlu uzaylar ve özellikle Banach uzaylar ı teorisi ve bunlar ın üzerinde tan ımlananlineer operatörler teorisi, fonksiyonel analizin en geli şmiş k ıstmland ı r. Notlar ı m ız ın bubölümü, an ı lan teorilere ili şkin temel dü şüncelere aynim ışt ı r.Önemli kavramlar ve temel konulara ili şkin k ısa bilgilendirmeBir normlu uzay (Bkz.2.2.1), üzerinde bir norm (Bkz.2.2.1) yard ım ıyla tan ımlanm ış birmetrik'e sahip bir vektör uzay'd ır. Norm kavram ı , düzlemde ya da üç-boyutlu uzaydakibir vektörün uzunluğu kavram ın ı genelle ştiren bir kavramd ır. Bir Banach uzay ı(Bkz.2.2.1) bir tam metrik uzay olan bir normlu uzayd ır. Bir normlu uzay, bir Banachuzay ı olan bir tamlanm ışa sahiptir (Bkz.2.3.2). Bir normlu uzayda, bir sonsuz seriyitan ımlayabilir ve kullanabiliriz (Bkz. K ıs.2.3).Bir normlu X uzaymdan, normlu bir Y uzay ı içine tan ıml ı bir dönüşüme bir operatörad ı verilir. X'den R ya da C skaler cismi içine yap ılan dönüşümler ise, bir fonksiyonelolarak adland ır ı l ın Özel öneme sahip dönü şümler, sürekli olman ın yan ı s ıra, vektör uzayyap ıs ının avantajlar ına da sahip olan ve s ın ı rl ı lineer operatör (Bkz.2.7.1) ve s ı n ı rl ı lineerfonksiyonel (Bkz.2.8.2) olarak adland ınlantard ır. Gerçekten, Teorem 2.7.9, bir lineeroperatörün sürekli olmas ı için gerek ve yeter ko şulun bu operatörün s ınırl ı olmas ıolduğunu ifade etmektedir. Bu temel bir sonuçtur. Ve vektör uzayiar, daha çok,üzerlerinde tan ımlanan lineer operatörler ve fonksiyoneller aç ıs ından önemlidir.Verilen bir X normlu uzay ından, verilen bir Y normlu uzay ı içine tan ım!' tüm s ın ı rl ılineer operatörlerin kümesi, "X, Y) ile gösterilen bir normlu uzay haline dönü ştürülebilir.Benzer şekilde, X üzerinde tan ıml ı tüm s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerin kümesi, X'in X ı dualuzay ı olarak adland ır ılan bir normlu uzay haline dönü şür. (Bkz.2.10.3).Analizde, sonsuz boyutlu normlu uzaylar, sanki boyutlu uzaylardan daha önemlidir.Sonlu boyutlu olanlar daha basit olup (Bkz.2.4-2.5), bunlar üzerinde tan ıml ı operatörlermatrisler yard ı m ıyla gösterilebilirler (Bkz. K ıs.2.9).Gösterimlere ilişkin uyar ıUzaylan Xve Y, operatörleri büyük harflerle (tercihen T), x 'in T alt ındaki görüntüsünü(parantezsiz olarak) Tx, fonksiyonelleri küçük harflerle (tercihen f) ve f 'in x 'deki değerini(parantezli olarak) f(x) ile gösterece ğiz. Bu gösterimler uygulamada yayg ın olarakkullan ılmaktad ır.2.1. VEKTÖR UZAYVektör uzay kavram ı , matemati ğin bir çok dal ve uygulamalar ında rol oynar.Gerçekten, çe şitli uygulamal ı (ve teorik) problemlerde, elemanlar ı , üç boyutlu uzayda,say ı dizileri uzay ında ya da fonksiyon uzaylannda vektörler olabilen bir X kümesi buluruz,Ve bu kümenin elemanlar ı , sonuçta ortaya ç ıkan vektör, yine X'in bir eleman, olacakşekilde, doğal bir biçimde toplanabilmekte ve sabitlerle (sayfada) çarp ılabilmektedir. Busoyut durum, bir vektör uzay kavram ı n ı aşağıdaki biçimde tan ımlamam ıza yol açm ışt ı r.Tan ımda genel olarak bir k cisminden söz edilmekle birlikte, fonksiyonel analizde bu kcismi, ya da C olarak al ınacakt ır. k 'n ın elemanlanna skaler ad ı verilir; dolay ıs ıyla, söz35
36konusu skalerler, bizim incelemelerimizde reel ya da kompleks say ılar olacakt ı r.2.1.1. TAN1M (Vektör Uzay). Bir k cismi üzerinde, bir vektör uzay (ya da lineer uzay),vektör ad ı n ı ta şıyan, x,y,... elemanlar ından olu şan ve üzerinde iki cebirsel i şlemtan ıml ı , boş-olmayan bir X kümesidir. Bu işlemler, vektör toplam ı ve vektörlerinskalerlerle (yani, k 'n ın elemanlar ıyla) çarp ım ı olarak adland ı nl ır.Vektör toplam ı , her s ı ral ı (x,y) vektör çiftine, x ve y vektörlerinin toplam ı ad ı n ı ta şıyanve a şağıdaki özelikler gerçeklenecek şekilde tan ımlanan bir x + y vektörü karşı l ık getirir.Vektör toplam ı , öncelikle, değ işme ve birleşme özeliğine sahiptir; yani, bütün vektörleriçin,veyaz ık. Ayr ıca, bütün vektörlerx+y=y+xx+(y+z)=(x+y)+zvex+0=xx + (—x) = 0olacak şekilde, s ıfır vektörü olarak adland ı rılan bir 0 vektörü ve her x vektörü için bir —xvektörü vard ır.Skalerle çarp ım ise, her x vektörü ve a skalerine, a ile x 'in çarp ım ı ad ını ta şıyan vebütün x,y vektörleri ve a, fi skalerleri için, a şağıdaki özelikleri gerçekleyen bir ax vektörükarşı l ık getirir:a(fix) = (a/3)x1 x = xa(x + y) = ax + fiy(a + fi)x = ax + fix.Tan ımdan, skalerle çarpma i şleminin, bir k x X -› X dönüşümü olmas ına karşın,vektör toplam ı n ı n, bir X x X X dönü şümü olduğunu görmekteyiz.k 'ya Xvektör uzay ı n ın skaler cismi ad ı verilir. Eğer, k = R (reel say ı cismi) ise, X 'e,bir reel vektör uzay ı , k = C (kompleks say ı cismi) ise, kompleks vektör uzay ı denir.sembolünün, s ıf ır vektörü için oldu ğu gibi, s ıf ır skaleri için de kulan ılmas ı , geneldepek fazla yan ılg ıya neden olmaz. Ancak biraz daha aç ıkl ık getirilmek istenirse, s ıfırvektörünü O şeklinde gösterebiliriz.Okuyucu, tüm vektör ve skalerler için,Ox —veolduğunu ispatlayabilir.a8 = e(-1)x = —x
ÖRNEKLER372.1.2. R n Uzay ı . Bu uzay, 1.1.5 'de tan ı mlad ığı m ız Euclid uzay ı olup, x = ıı),Y = (q „) v.s. şeklindeki tüm s ıral ı reel say ı n-lilerinden olu şan bir temel kümedir.Ve şimdi, doğal bir biçimde,x + y = (,;1+111,...,n+Tin)ax = (a e R)şeklinde tan ı mlanan iki cebirsei i şleme sahip bir reel vektör uzay ı olduğunu görüyoruz.2.1.3. C" Uzay ı . 1.1.5 'de tan ımlam ış olduğumuz bu uzay, x = (41,...,4n),y =• ,ti n ) v.s. şeklindeki tüm s ı ral ı kompleks say ı n-lilerinden olu şmakta olup, a E Colmak üzere, bir önceki örnekte tan ımlanan cebirsel i şlemlere sahip bir vektör uzay ıd ı r.2.1.4. C[a,b] Uzay ı. 1.1.7 'de tan ımlam ış olduğumuz bu uzay ın her bir noktas ı , [a,b]üzerinde sürekli, reel de ğerli bir fonksiyondur. Bu tipteki tüm fonksiyonlar ın kümesi,al ışı lm ış şekilde tan ımlanan,(x + y)(t) = x(t) + y(1)(ax)(t) = ax(t)(a e [k)cebirsel i şlemleri alt ı nda, reel bir vektör uzay ı oluşturur. Gerçekten, x ve y, [a,b] üzerindesürekli ve reel de ğerli fonksiyonlar ve a reel bir katsay ı olmak üzere, x + y ve axfonksiyonlar ı da [a,b] üzerinde sürekli ve reel de ğerli birer fonksiyondur.Konuya ilişkin, diğer önemli vektör uzay örnekleri, (a) 1.2.2 'de tan ımlanan B(A)uzay ı , (b) R üzerinde türevlenebilen tüm fonksiyonlardan olu şan vektör uzay ı , (c) [a,b]üzerinde, herhangi bir anlamda integrallenebilen tüm reel de ğerli fonksiyonlardan olu şanvektör uzaylar ıd ır. (Bu son örneklerde sözü edilen uzaylar ın birer fonksiyon uzay ıolduklar ına dikkat ediniz.)2.1.5. Q 2 Uzay ı .1.2.3. 'de tan ımlanan bu uzay, dizilere ili şkin olarak,(41,42,•••) +(71,712,•••) (41+ T11,42 +1/2,•••)a(4 1,• 2,...) -- (41,42,- •)şeklinde belirlenen, cebirsel i şlemler alt ında birer vektör uzay ıd ır. Gerçekten, Minkowskieşitsizliğinden de kolayca görülece ği gibi (K ıs.1.2, For.(12)'ye bak ınız), x = e Q 2 vey = (ri,) E V 2 ise, x + y E Q 2 olmak zorundad ı r. Ayr ıca, ax E Q 2 olduğu da gösterilebilir.Noktalar ı diziler olan diğer vektör uzay örnekleri ise, 1.1.6 'da gördü ğümüzQ",1.2.3.'de gördüğümüz ,QP (1 < p < co) ve 1.2.1 'de gördü ğümüz s uzaylar ıd ı r.Bir X vektör uzay ın ın bir altuzay ı , X 'in heryby2 e Y, ve her a, fi skalerleri için,ay ı + fiy2 e Y özeliğini gerçekleyen, boş-olmayan bir Y altkümesidir. O halde, Y 'ninkendisi de bir vektör uzay olup, X üzerinde tan ıml ı cebirsel i şlemler, Y üzerinde degeçerlidir.X 'in özel bir altuzay ı , yine kendisi olup, diğer tüm altuzaylar ı , gerçek altuzay ı ad ı n ıal ı r. (Burada X 3r {O} olduğuna dikkat ediniz.).Herhangi bir X vektör uzay ın ı n diğer bir özel altuzay ı ise, Y = {0} 'd ı r.Bir X vektör uzay ı n ın elemanlar ı olan, x i ,...,xn, vektörlerinin bir lineer kombinasyonu,a ,a„„ herhangi skalerler olmak üzere,a ix + a 2x2 +... +a „,x,„şeklinde bir ifadedir.Boş-olmayan herhangi bir M c X kümesi için, M 'deki vektörlerin tüm lineerkombinasyonlar ının kümesine M 'nin geren' i (span'i) denir ve
38SpanMolarak yaz ı l ı r. Aşikar olarak, bu küme, X 'in bir Y altuzay ı olup, Y uzay ı M taraf ı ndangeriliyor deriz.Şimdi de, ileride defalarca kullanaca ğı m ı z iki önemli kavram ı tan ıtal ı m.2.1.6. TANIM (Lineer Ba ğıms ızl ık, Lineer Ba ğı ml ı l ı k). Bir X vektör uzay ı ndaki,x i ,x 2 ,...,x„, vektörlerinden olu şan bir M kümesini ele alal ı m. a ı ,a2,•..,a m skalerler olmaküzere,alxl + a2x2 +...+amx m = 0 (3)e ş itliği, ancak ve ancak, al = az —...= a m = 0 olmas ı halinde gerçekleniyorsa,vektörleri, di ğer bir deyimle, M kümesi, lineer ba ğıms ız, aksi halde, lineerba ğı ml ı'd ı r denir.X 'in keyfi bira/ altkümesini göz önüne alal ım. Eğer, M 'nin, boş-olmayan her sonlualtkümesi lineer ba ğı ms ız ise, M 'ye lineer ba ğıms ızd ı r denir. Aksi halde, M lineerba ğı ml ı küme olarak adland ı r ı l ı r.Tan ımdan da anla şılaca ğı gibi, M = kümesinin lineer ba ğı ml ı olmas ıhalinde, M 'nin vektörlerinden en az bir tanesi di ğerlerinin bir lineer kombinasyonuolarak ifade edilebilir. Örne ğin, (3) e şitliğ i, a m # 0 olmak üzere gerçekleniyorsa, Mkümesi lineer ba ğı ml ı olup, x m 'i (3) eş itliğinden faydalanarak çözebiliriz:x„,— /3 /x1+...+fi,x,1(13,= —gıla ğ„)-Lineer ba ğıml ı l ık ve bağıms ızl ık kavramlar ı n ı kullanarak, bir vektör uzay ın boyutu'nutan ı mlayabiliriz.2.1.7. TANIM (Sonlu ve Sonsuz Boyutlu Vektör Uzay). n pozitif bir tamsay ı olmaküzere, bir X vektör uzay ı lineer bağıms ız n tane vektör içeriyor ve n + I ya da daha fazlasay ıda vektör lineer ba ğıml ı oluyorsa, bu X vektör uzay ı sonlu boyutlu'dur denir. nsay ısına X 'in boyutu ad ı verilir ve n = dim X olarak yaz ı l ı r. Tan ım olarak, X = {O} uzay ısonlu boyutlu olup dim X = 0 'd ı r. Eğer bir X uzay ı sonlu boyutlu değilse, sonsuz boyutluuzay olarak adland ı r ı l ı r.Analizde, sonsuz boyutlu vektör uzaylar sonlu boyutlu olanlardan daha çok ilgiçekicidir. Örneğ in, [R, " ve C" 'in n —boyutlu olmalar ı na karşı n, Cla,b] ve C 2 uzaylar ı sonsuzboyutlu uzaylard ı r.E ğer, dim X= n ise, X 'in lineer ba ğıms ız bir vektör n —lisine, X için bir baz (ya da, X'in bir baz' ı) ad ı verilir. Bu durumda, örneğ in, {el,•..,en}..X 'in bir baz ı ise, her x E Xvektörü, baz vektörlerinin lineer bir kombinasyonu olarak, tek bir gösterime sahiptir:Örne ğin, R n 'in bir baz ı ,x = aierı-...+ane nel= (1,0,0,...,0)e2= (0,1,0,...,0)e n = (0,0,0,..., 1)'d ır. Bu baz'a, R" 'in kanonik baz' ı denir.Daha genel olarak, X, sonlu boyutlu olmas ı gerekmeyen, herhangi bir vektör uzay ı veB, X 'in, X 'i geren lineer ba ğıms ız bir altkümesi ise, s ıf ı rdan farkl ı her x E Xeleman ı , B
39'nin elemanlar ı n ı n, katsay ı olarak s ıf ı rdan farkl ı skalerlerle olu şturulan lineer birkombinasyonu biçiminde, tek bir gösterime sahiptir.Vektör uzaylara ili şkin temel bir teoremi a şağıdaki şekilde ifade edebiliriz:Her X #{0} vektör uzay ı bir baz'a sahiptir.Sonlu boyutlu halde teorem a şikard ır. Sonsuz boyutlu herhangi bir vektör uzayda ise,böyle bir baz ı n varl ığın ın ispat ı Zorn lemmas ından yararlan ılarak verilecektir. Bunedenle, söz konusu ispat ı, Zorn lemmas ın ı göreceğimiz, K ıs.4.1'e erteliyoruz.Burada, (sonlu ya da sonsuz boyutlu) verilen bir X vektör uzay ı n ın tüm bazlar ı n ı nayn ı kardinal say ıs ına sahip olduğunu söylememiz gerekmektedir. Bu say ıya, X 'inboyut 'u ad ı verilir. Görüldü ğü gibi, bu tan ım, Tan ım 2.1.7 'yi içermekte ve a şmaktad ı r.Şimdi de, ileride gereksinme duyaca ğımız basit bir teoremi ifade ve ispat edece ğiz.2.1.8. TEOREM. (Bir Altuzay ın Boyutu). X, n —boyutlu bir vektör uzay olsun. Budurumda, X 'in herhangi bir gerçek Y altuzay ı , n 'den küçük bir boyuta sahiptir.ispat. n = 0 ise, X = {0} olup, gerçek bir altuzaya sahip de ğildir. dim Y = 0 ise, X Yolduğundan, dim X> 1 olmal ıdır. Ve aşikar olarak, dim Y < dim X = n 'dir. dim Y = nolsayd ı , Y attuzay ı , dim X= n olduğundan, ayn ı zamanda, X 'in de bir baz ı olan, nelemandan olu şan bir baza sahip olmas ı gerekirdi ki bu durum X = Y sonucunu verir. Buise, Y 'deki lineer ba ğıms ız herhangi bir vektör kümesinin, n 'den daha az say ıda elemaniçerdiğini ve dim Y < n olduğunu gösterir.PROBLEMLER1. Al ışı lm ış toplama ve çarpma i şlemleri alt ında, tüm reel say ılardan oluşan kümenin,bir-boyutlu reel bir vektör uzay ı , tüm kompleks say ılardan olu şan kümenin ise,bir-boyutlu kompleks bir vektör uzay ı oluşturdu ğunu gösteriniz.2. (1) ve (2) 'yi ispatlay ın ız.3. R 3 'de, M = «1,1,1),(0,0,2» kümesinin gerenini belirtiniz.4, x = (4 1 ,4 2,4 3 ) olmak üzere, R 3 'ün, aşağıdaki altkümelerinden hangisi, R 3 'ün biraltuzay ı n ı oluşturur?(a) 41 = 4 2 ve 43 = 0 olmak üzere, tüm x 'ler,(b) 41 = 1 olmak üzere, tüm x 'ler,(c) 41,42,43 pozitif olmak üzere, tüm x 'ler,(d) 41 — 42 + 3 = k (sabit) olmak üzere, tüm x 'ler.5. xj ( ı) = tl olmak üzere, {xl,...x„} kümesinin, C[a,b] 'de lineer ba ğıms ız bir kümeolduğunu gösteriniz.6. n boyutlu bir Xvektör uzay ında, herhangi bir x eleman ı n ı n, verilen e i ,...,e„ bazvektörlerinin lineer kombinasyonu olarak ifade edilen gösteriminin tek oldu ğunuispatlay ı n ız.7. {e kompleks bir Xvektör uzay ı n ın bir baz ı olsun. Reel bir vektör uzayolarak düşünülmek üzere, X için bir baz bulunuz. Her iki halde de, X 'in boyutu nedir?8. M, kompleks bir Xvektör uzay ında, lineer ba ğıml ı bir küme ise, X reel bir vektöruzay olarak dü şünüldüğünde, M, X 'de lineer ba ğıml ı m ıd ır?9. Sabit bir [a,b] c R aral ığı üzerinde tan ıml ı, reel katsay ı l ı ve derecesi verilen bir nsay ıs ından daha büyük olmayan tüm polinomlarla, (derecesi tan ıms ız olan) x = 0polinomundan olu şan X kümesini göz önüne alal ı m. X 'in al ışılm ış toplama ve reelsay ılarla çarpma i şlemleri alt ında, n + 1 boyutlu reel bir vektör uzay oldu ğunu gösteriniz.
40X için bir baz bulunuz. Katsay ı lar ı kompleks olarak al ıp, benzer şekilde, kompleks bir "İvektör uzay ı elde edebileceğimizi gösteriniz. X, X'n ı n bir altuzay ı m ıd ır?10. Y ve Z, bir X vektör uzay ı n ı n altuzaylar ı ise, Y n z 'nin, X 'in bir altuzay ı olduğunu,fakat, YU Z 'nin bir altuzay olmak zorunda bulunmad ığı n ı gösteriniz. Örnekler veriniz.11. M LF bir Xvektör uzay ı n ın herhangi bir altkümesi ise, span M 'nin, X 'in biraltuzay ı olduğunu gösteriniz.12. İki-sat ırli tüm karesel matrisler kümesinin, bir X vektör uzay ı olu şturdu ğ unugösteriniz. X 'deki s ıf ır vektörü hangisidir? dim X 'i belirleyiniz. X için bir baz bulunuz. X'in altuzaylar ı na örnekler veriniz. x E X simetrik matrisleri bir altuzay olu şturur mu?Singüler matrisler bir altuzay olu şturur mu?13. (Çarp ı m). Ayn ı cisim üzerinde tan ıml ı iki vektör uzay ı n X = Xı x X2 kartezyençarp ımlann ı n, ilgili cebirsel i şlemlerin,(x l ,x2) + (y,,y2) = (x i +y i ,x2-4-y ı)a(X1,X2)(aXI,CtX2)ile tan ımlanmas ı halinde, bir vektör uzaya dönü ştüğünü gösteriniz.14. (Bölüm Uzay ı , Eşboyut). Y, bir X vektör uzay ı n ı n bir altuzay ı olsun. Bir x E Xeleman ı n ı n, Y 'ye göre, e şkümesi, x + Y ile gösterilir vex + Y {v : v = x +y, y e Y}kümesi olarak tan ımlan ı r (Şekil 12'ye bak ın ız). Farkl ı eşkümelerin, X 'in bir parçalan ışin ıoluşturduğunu gösteriniz.(w + Y) + (x + Y) = (w + x) + Ya(x + Y) = ax + Yile tan ımlanan cebirsel i şlemler alt ında. bu eşkümelerin bir vektör uzay ı n ın elemanlar ı n ıoluşturduğunu gösteriniz (Şekil 13 ve 14 'e bak ın ız.). Bu uzaya, X 'in, Y 'ye, ya da, Ymodülüne göre, bölüm uzay ı (bazen de, çarp ım uzay ı) ad ı verilir ve X/Y şeklindegösterilir. Bunun boyutu ise. Y 'nin e şboyutu ad ı n ı al ır ve codim Y olarak gösterilir, yani,'dir.codimY =elim (X/Y)
41(w + Y) + (x + + x) +Şekil 12. prob.14'deki x+Ygösteriminin aç ıklamas ıŞekil 13. Bir bölüm uzay ında vektör toplam ının aç ıklamas ıŞekil 14. Bir bölüm uzay ında skalarlerle çarp ım ın gösterimi (Prob.14'e bakma)15. X = R. 3,ve Y = {(41,0,0) : 41 E tik} olsun. XIY, X/Xve X/{0} uzaylar ın ı bulunuz.
422.2. NORMLU UZAY, BANACH UZAYIBundan önceki k ıs ımda verdi ğimiz örnekler, çoğu hallerde, bir X vektör uzay ı n ı n, dmetriğinin X üzerinde tan ımlanm ış olmas ı nedeniyle, ayn ı zamanda bir metrik uzayolduğunu göstermiştir. Bununla birlikte, X 'in cebirsel yap ıs ıyla, metriği aras ında herhangi bir ba ğı nt ı bulunmamas ı halinde, cebirsel ve metrik kavramlar ı birleştiren, yararl ıve uygulanabilir bir teoriyi bekleyemeyiz. Bu nedenle, X 'in "cebirsel" ve "geometrik"özelikleri aras ı nda böyle bir ba ğıntly ı garanti edebilmek için, X 'üzerinde bir d metri ğ ini,aşağıdaki şekilde, özel bir yolla tan ımlamam ız gerekmektedir. Bunun için önce, vektöruzay ın cebirsel işlemlerini kullanan yard ımc ı bir kavram (norm kavram ı) verip dahasonra bu normu kullanarak arzu edilen tipte bir d metriğini elde edeceğiz. Bu düşüncebizi bir normlu uzay kavram ına götürecektir. Zengin ve ilginç bir teori için yeterli birtemel olan normlu uzaylar, uygulama aç ısından önemli bir çok soyut modeli deiçerecektir. Gerçekten, analizden bildi ğimiz çok say ıda metrik uzay bir normlu uzayolarak dü şünülebilecektir. Bu nedenle, bir normlu uzay, en az ı ndan bugünküuygulamalar ım ız aç ıs ından, fonksiyonel analizdeki en önemli uzay tipi olmaktad ı r. Şimdibir normlu uzay ın tan ım ı n ı verelim:2.2.1. TANIM (Normlu Uzay, Banach Uzay ı). Üzerinde bir norm tan ımlanm ış olan birX vektör uzay ına bir normlu uzay ad ı verilir. Bir tam normlu uzaya (norm taraf ındantan ımlanan metriğe göre tam) ise, bir Banach uzay ı denir. Bir X vektör uzay ı üzerindekinorm ise, X üzerinde tan ıml ı olup, bir x E X noktas ındaki değeri,ile gösterilen ve x ve y, X 'de keyfi vektörler ve e bir skaler olmak üzere, a şağıdakitizelikleri gerçekleyen, reel de ğerli bir fonksiyondur:(Ni) 11x11 .? 0(N2) llxll=0
43Şekil 15. (N4) üçgen e şitsizliğinin gösterimi(N1)-(N4) aksiyomlar ı ndan faydalanarak, (1) 'in bir metrik tan ımlad ığı n ı göstermekzor değildir. Dolay ıs ıyla, normlu uzaylar ve Banach uzaylan birer metrik uzayd ı r.Banach uzaylar ı , tam olmayan normlu uzaylarda bulunmayan baz ı özeliklere sahipolduklarından önem ta şırlar (Bölüm 4'e bak ı n ız).(N4)'den kolayca,111), (1 — 11x111 _5_ ILY — xli (2)sonucunu elde edebilir (Prob.3) ve bu sonuçtan yararlanarak, norma ili şkin, aşağıdakiönemli özeliği ifade edebiliriz:"Norm süreklidir, yani, x -.11x II fonksiyonu,(X, Ip'den R 'nin içine sürekli bir fonksiyondur."Normlu uzaylar ın ilk örnekleri, düzlemde ve üç boyutlu uzaydaki tüm vektörlerdenoluşan, bildiğimiz uzaylard ı r. Konuya ili şkin diğer örnekler, K ıs.1.1 ve 1.2 'den bulunabilir.Çünkü, bu k ıs ımlarda verdiğimiz metrik uzaylardan baz ılar ı , doğal bir yolla, birer normluuzay haline dönüştürülebilirler. Bununla birlikte, bir metrik uzay üzerindeki her metri ğinbir normdan elde edilemeyeceğini biraz sonra göreceğiz.ÖRNEKLER.2.2.2. R n Euclid Uzay ı ve C" Üniter Uzay ı . 1.1.5 'de tan ımlam ış olduğumuz buuzaylar,) 1/2= E14.1 1 2 = 1/1411 2 +...+gnI2 (3)J=.1ile tan ımlanan norm alt ında birer Banach uzay ıd ır. Gerçekten, Ok n ve C" 'in tam'l ığı n ıbiliyoruz (1.5.1 'e bak ı n ız) ve (3) e şitliği, K ıs.1.1 'deki (7) metriğini verir:R 3 'de özel olarak,d(x,y) =-11x — y lI = j - /711 2— 71,71 2 •11x11 = ki= 114i + +olduğunu belirtmek istiyoruz. Bu durum, normun, bir vektörün elemanter lx1 uzunlukkavram ını genelleştirdiği konusunda yapm ış olduğumuz uyar ıy ı doğrulamaktad ı r.2.2.3. t" Uzay ı . 1.2.3 'de tan ımlanan bu uzay,kil = Eg,IP),==-1ile verilen norm alt ında bir Banach uzay ıd ır. Gerçekten, bu norm, 1.2.3 'deki metri ğ idoğurmaktad ı r:ilp
44d(x,y) = 11X = Yll = (4)tP uzay ı n ı n taml ığı n ı ise, 1.5.4 'de göstermi ştik.2.2.4. Uzay ı . 1.1.6 'da tan ı mlanan bu uzay ın bir Banach uzay ı olduğunu,üzerindeki metri ğin,Ilx II ----suP 1411Ilpile tan ımlanan normdan elde edilebildi ğini ve taml ığın 1.5.2 'de gösterildiğini göz önünealarak söyleyebiliriz.2.2.5. C[a,b] Uzay ı . 1.1.7 'de tan ımlanan bu uzay, J = [a,b] olmak üzere,ilx Il =max lx(t)IrFJile verilen norm alt ında bir Banach uzay ıd ı r. Taml ığı n ı ise, 1.5.5 'de göstermi ştik.2.2.6. Tam-Olmayan Normlu Uzaylar. 1.5.7, 1.5.8 ve1.5.9 'da verdi ğ imiztam-olmayan metrik uzaylardan, kolayca, tam-olmayan normlu uzaylar elde edebiliriz.Örne ğin, 1.5.9 'daki metrik,x Il = [x(t)Idtoile tan ımlanan norm taraf ından doğ urulur.Burada, tam-olmayan her normlu uzay ın tamlaşt ı r ı l ıp, tamla şt ı r ı lamad ığı sorusunusorabiliriz. Bir metrik uzay olarak cevab ın, 1.6.2 uyar ı nca, kesinlikle olumlu olduğunubiliyoruz. Ancak, acaba normlu uzaylarda durum nedir? Notlar ı m ızın bundan sonrakik ısm ında, söz konusu i şlemin yine mümkün oldu ğunu göreceğiz.2.2.7. Tam-Olmayan bir Normlu Uzay ve Bunun Tamlanm ışı Olan L 2 [a,b] Uzay ı .[a,b] üzerindeki tüm sürekli, reel-de ğerli fonksiyonlardan meydana gelen vektör uzay ıb1/2(5)(6)= S x(1) 2 dt (7 )ile tan ımlanan norm alt ında, normlu bir X uzay ı oluşturur. Bu uzay tam de ğildir. Örneğ in,[a,b] = [O, 1] ise, 1.5.9 'da tan ımlad ığı m ız dizi, burada ele ald ığı m ız X uzay ında da birCauchy dizisidir; K ıs.1.5 'deki Şekil 8 'den bunu hemen hemen a şikar olarak görmekteyizve n > m için,(n m) 2Ilin — Xm 2 = j[X,( İ) — Xm(t)] 2dt =
45Daha genel olarak, herhangi bir, sabit p > 1 say ısı için, LP[a,b] Banach uzay ı , [a,b]üzerinde tan ı ml ı , tüm sürekli ve reel-de ğerli fonksiyonlardan olu şan vetipIIxII p = Six(t)1Pdt (8 )ile tan ımlanan norma sahip, normlu uzay ın tamlaşt ınlm ışıd ı r. Buradaki p indisi,tan ımlanan normun, sabit olarak korunan p say ısı n ın seçimine bağ l ı olduğunuhat ırlatmak amac ıyla konulmu ştur. p = 2 için, (7) 'yi verdi ği aç ıkt ır.Lebesgue integrali kavram ına eşine olan okuyucular için bir hususu belitmekte yarargörüyoruz: Lqa, bi uzay ı , Lebesgue integrali ve 1x1P 'nin [a,lı] üzerindeki Lebesgueintegrali mevcut ve s ı n ı rl ı olacak şekilde, [a,b] üzerinde Lebesgue ölçülebilir xfonksiyonlar ı yard ı m ıyla doğrudan bir yolla elde edilebilir. LP[a,b] 'nin elemanlar ı sözkonusu fonksiyonlar ın denklik s ın ıflar ıd ır. Burada x ve y elemanlar ı n ın denkliği, k —yiP'nin [a,b] üzerindeki Lebesgue integralinin s ıf ır olmas ı anlam ında tan ımlanm ışt ı r. (Budurumun, Aksiyom (N2) 'nin geçerlili ğini garanti ettiğine dikkat ediniz.)Lebesgue integrali konusunda yeterli bilgisi olmayan okuyucular da endi şeyekap ılmas ı nlar. Asl ı nda bu örnek ilerideki konular ı m ız için fazla önemli değildir. Görüldüğügibi, böyle bir örnek, tamla şt ırman ın bizi yeni tür elemanlara yöneltebildi ğini ve bunlar ı nyap ı lar ın ın ne olduğunu bulmak zorunda b ı rakabildiğini göstermektedir..2.2.8. s Uzay ı ."Bir vektör uzay üzerindeki her metrik bir normdan elde edilebilir mi?"sorusunun cevab ı "Hay ı r"d ı r. Bu konudaki bir kar şıt örnek, 1.2.1 'de tan ımlad ığımız sdizi uzay ıd ır. Gerçekten, s bir vektör uzayd ır; fakat, bunun üzerinde,d(x,y) Z 1 +1%; _ili 71 1i=1ile tan ımlanan metrik, bir normdan elde edilemez. Bu durumu, bir normdan elde edilenbir d metriğinin iki temel özeli ğini ifade eden a şa ğıdaki lemmadan hemen görebiliriz.(9a) ile ifade edilen ilk özelik, d 'nin öteleme değ işmezliği olarak adland ı nl ı r.2.2.9. LEMMA (öteleme De ğ işmezliği). Normlu bir X uzay ı üzerinde, bir normtaraf ından doğurulan bir d metriği, her x,y,a e X ve her a skaleri için,özeliklerini gerçekler.Ispat. Kolay bir hesaplamayla,veelde ederiz.d(x + a,y + a) = d(x,y)d(ax,ay) = lajd(x,y)d(x + a,y + a) = fix + a (y + a)11 = flx — y = d(x,y)d(ax,ay) = ilax — ayli =—y = lad(x,y)(9a)(9b)
46PROBLEMLER1. x 'in normu olan, 11x11 büyüklü ğünün, x 'den 0 'a kadar olan uzakl ık olduğunugösteriniz.2. Düzlemde, ya da, üç boyutlu uzaydaki bir vektörün bilinen uzunlu ğunun, normailişkin (N1)-(N4) özeliklerini gerçekledi ğini gösteriniz.3. (2) 'yi ispatlay ın ız.4. Norm kavram ın ı değ iştirmeksizin, (N2) yerine,114 = O = Oifadesini alabilece'ğimizi gösteriniz. Bir normun negatif olmama özeli ğinin (N3) ve (N4)'den ç ıkart ılabileceğini gösteriniz.5. (3) 'ün bir norm tan ımlad ığın ı gösteriniz.6. X, x = y = (ni,q2),••• şeklindeki tüm s ı ral ı reel say ı çiftlerinden olu şanvektör uzay ı olsun. X üzerindeki normlar ı n,11x11 1 =14 11+142111x11 2=(i + D 11211x11. = max{141 1,1421}ile tan ımland ığı n ı gösteriniz.7. (4) 'ün (N1)-(N4) özeliklerini gerçekledi ğini gösteriniz.8. S ıral ı say ı n-lilerinden olu şan vektör uzay ı üzerinde, uygulama aç ısından önemtaşıyan çeşitli normlar vard ır; bunlardan baz ılar ı ,11x1H1411+1421+... +14.111x11p=(I +. • +14.1P )' IP, (1 < p < co)Ilx II = max{1411,...,14.1}ile tan ımlan ır. Bunlardan her birinin, (N1)-(N4) özeliklerini gerçekledi ğini gösteriniz.9. (5) 'in bir norm tan ı mlad ığın ı gösteriniz.10. (Birim Küre). Normlu bir X uzay ında,S(0;1) = {x E X : IIx1I = 1}küresine birim küre ad ı verilir. Prob.6 'da tan ımlanan normlar ile,11.4 4 = Ş1)"4eşitliğiyie tan ımlanan norm için söz konusu birim kürelerin Şekil 16'da gösterildi ğ ibiçimde olduğunu ispatlay ın ız.
47Şekil 16. Prob.10 / daki birim küreler11. (Konveks Küme, Dilim). Bir X vektör uzay ı n ı n bir A altkümesini ele alal ım. Eğer,x,y e A olduğunda,M = {Z E X : Z -= ax +(I - a)y, O a < 1} c Aoluyorsa, A kümesi konveks'dir denir. M 'ye, s ı n ır noktalar ı x ve y olan kapal ı dilim, diğerz e M noktalar ı na da M 'nin bir içnoktas ı ad ı verilir. Normlu bir X uzay ında,h(0; I) = {x E X : 114 5_ 1}kapal ı birim yuvar ı n ın konveks olduğunu gösteriniz. ( Şek.17).(a) Konveks(b) Konveks-olmayanŞekil 17. Konveks ve konveks-olmayan küme örneklerine ili şkin gösterimler (Bkz.Prob.11)12, Prob.11 'i kullanarak,q)(x)= +J/142 1)2
48fonksiyonunun, x = (41,2),... şeklindeki tüm s ı ral ı reel say ı ikililerinden olu şan vektöruzay ı üzerinde bir norm tan ımlad ığı n ı gösteriniz. cp(x) = 1 eğ risini çiziniz ve Şekil 18 ilekarşılaşt ır ı n ız.Şekil 18. Prob.12'deki T(x)=1 eğrisi13. Bir X {O} vektör uzay ı üzerindeki diskre metri ğin, bir normdan eldeedilemeyeceğini gösteriniz. (Bkz.1.1.8).14. d metriği, bir X {O} vektör uzay ı üzerinde bir normdan elde edilen bir metrikolsun. 7/ metriği,71(x,x) = O, d(x,y) = d(x,y) +1 (x y)şeklinde tan ımlan ıyorsa, 7/ 'n ın bir normdan elde edilemeyeceğini gösteriniz.15. (S ı n ı rl ı Küme). Normlu bir X uzay ında bir Maltkümesinin s ın ı rl ı olmas ı için gerekve yeter ko şul, her x e M için, 114 < c olacak şekilde, pozitif bir c say ısı n ı nvarolmas ıd ır. ispatlay ın ız. (Tan ım için, K ıs.1.2 'deki Prob.6 'ya bak ı mı)2.3. NORMLU UZAYLARA İ LiŞKiN D İĞER OZEL İKLERNormlu bir X uzay ı verilmiş olsun. X 'i bir vektör uzay olarak gözönüne al ıp, bir Yaltkümesini belirleyelim. Y altkümesi, X 'deki normun, Y altkümesi üzerinek ıs ıtlanmas ıyla elde edilen norm alt ında, tan ım olarak, X 'in bir altuzay ı ad ını al ı r.Görüldü ğü gibi, Y üzerindeki bu norm, X üzerindeki norm taraf ından doğurulmu ştur.Eğer, Y, X 'de kapal ı ise, Y 'ye X 'in bir kapal ı altuzay ı denir.Tan ım olarak, bir X Banach uzay ı n ın, bir Y altuzay ı , normlu bir uzay olarakgözönüne al ınan X uzay ın ın bir Yaltuzayd ır. Burada Y 'nin kapal ı olmas ın ıistemiyoruz. (Hemen belirtelim ki, baz ı yazarlar söz konusu tan ımda, Y 'nin kapal ı olmakoşulunu da isterler. Bu nedenle değ işik kitaplardan çal ışırken dikkatli olmal ıs ınız.)Konuya ilişkin olarak, aşağıdaki sonucu hemen vermesi nedeniyle, daha öncegörmüş olduğumuz Teorem 1.4.7 oldukça yararl ıd ı r.2.3.1. TEOREM. (Bir Banach Uzay ının Altuzay ı). Bir X Banach uzay ın ın, bir Yaltuzay ı n ın tam olmas ı için gerek ve yeter ko şul, Y 'nin X 'de kapal ı bir küme olmas ıd ır.Normlu bir uzayda, dizilerin yak ı nsakl ığı ve buna ilişkin kavramlar, metrik uzaylar içinverdiğimiz Tan ım 1.4.1 ve 1.4.3 'den ve d(x,y) = - oluşundan faydalan ılarak
49kolayca yap ı labilir:(i) Normal bir X uzay ında bir (x,,) dizisi verilmiş olsun. Eğer, X uzay ı ,lim fix„ —x11 = Oolacak şekilde bir x eleman, içeriyorsa, (x„) dizisi yak ı nsakt ır denir. Bu durum, x„ xolarak yaz ı l ır ve x 'e, (x„) dizisinin limiti ad ı verilir.(ii) Normlu bir X uzay ında bir (x„) dizisini ele alal ım. Eğer, her s > 0 say ısı için,m,n > N oldukça,11Xm Xn11
50yaz ı l ı r.Örne ğin, 2.2.3 'de tan ımlad ığı= QP uzay ı , e, = (4), yani, her bir en 'in n inci terimi1, diğer bütün terimleri 0 olmak üzere,e l = (1,0,0,0,...)e2 = (0,1,0,0, . ..) ( 4 )şeklinde tan ımlanan bir (e n ) Schauder baz ına sahiptir denir.Bir Schauder baz ına sahip olan normlu bir X uzay ı ayr ı labilirdir. (Tan ım için 1.3.5 'ebak ı n ız). Bu teoremin basit olan ispat ın ı okuyucuya b ı rak ıp, ifade olunan hükmün karşı t ıile ilgilenelim. Acaba, her ayr ılabilir Banach uzay ı bir Schauder baz ına sahip midir?Yakla şı k 65 y ıl önce, bizzat Banach taraf ından ortaya at ılan bu sorunun cevab ı , bilinenhemen hemen bütün ayr ılabilir Banach uzaylar ın ın bir Schauder baz ına sahip olduklar ıgösterilebildiği için, olumlu olarak dü şünülmü ş ise de, 1973 'de P.Enflo, Schauderbaz ı na sahip olmayan, ayr ılabilir bir Banach uzay ı in şa etmeyi ba şarm ış ve yukar ıdakisorunun cevab ı n ı n genelde "hay ı r" oldu ğunu ortaya koymu ştur.Şimdi de, son olarak, bundan önceki k ısımda k ısaca sözünü etti ğimiz, bir normluuzay ın tamlaşt ır ılmas ı problemine dönelim.2.3.2. TEOREM (Tamlaşt ı rma). X = (X, II. 11) normlu bir uzay olsun. Bu durumda, birBanach uzay ı ve X 'den,vard ı r. X uzay ı , izometrileri d ışı nda, tek'tir.yoğun olan bir W altuzay ı üzerine bir A izometrisiIspat. Teorem 1.6.2 uyar ınca, bir X = (X, -ḏ) tam metrik uzay ın ı n ve W, i'V‘ 'da yo ğunolmak üzere, bir A : X -› W = A(X) izometrisinin varl ığı n ı ve X 'n ı n izometrileri d ışı ndatek'liğini söyleyebiliriz. Buna göre, teoremimizi ispatlayabilmek için, X\' 'y ı bir vektör uzayhaline dönü ştürmemiz ve daha sonra, X üzerinde uygun bir norm tan ımlamam ızgerekmektedir.X üzerinde, bir vektör uzaya ili şkin iki cebirsel işlem tan ımlayabilmek için, herhangiE _X elemanlar ıyla, herhangi (x„) E :k- ve (y,i) E y temsilcilerini göz önüne alal ım. 'X ve5,- 'n ın, X'deki Cauchy dizilerinin denklik s ı n ıflar ı olduklar ı n ı hat ı rl ıyoruz. z„ = x„ + y„diyelim. Buna göre,11z. — z.11-11x,i+y„ — (x„, + y„,) II^Ilxn —xm ıı +Ilyas—Ym IIyaz ılabileceğinden, (z,i) dizisi de X 'de bir Cauchydir. -X ve y 'n ın, î = z + -Y'toplam ı n ı , temsilci eleman] (z„) olan denklik s ın ıf ı olarak tan ı mlayal ım; o halde, (z„) E 2'dir. Vermiş olduğumuz bu tan ım, X ve y 'ya ait Cauchy dizilerinin özel seçimlerindenbağıms ızd ır. Gerçekten, K ıs.1.6 'daki (1) ifadesi, (x,,) (x,i) ve (y as ) () n ) olmas ıhalinde,yaz ılabileceğinden, (xnllx„ +y„ — (x;, +y;,) :5. — Il 4- İlYn - Ynı Il(x„ +y„' ) olduğunu gösterir. Benzer şekilde, bir askaleriyle, X 'n ın çarp ı m ı n ı , temsilci eleman' (ax„) olan, a:x". E ,Y ' çarp ım ı olaraktan ımlayaca ğız. Burada da, yap ılan tan ı m, 'X"' 'n ın temsilci eleman ı n ın özel seçimindenbağıms ızd ır. X 'n ın s ıf ır eleman ı , s ıf ı ra yak ınsayan tüm Cauchy dizilerini içeren denkliks ın ıf ıd ı r. Yukar ıda tan ı mlad ığı= iki işlemin, tan ım ın gerektirdi ğ i tüm özelikleri
gerçekledi ğini kolayca gösterebiliriz; dolay ıs ıyla, .X' bir vektör uzayd ır. Tan ım ından51yararlanarak, W üzerinde, X 'dan kaynaklanan vektör uzay i şlemlerinin, A yard ımıyla X'den elde edilen i şlemlerle uyum içinde olduğunu gösterebiliriz.Ayr ıca, A, W üzerinde, her :1", = Ax E W 'deki değeri 11511, = !kil olan bir L II i normudoğurur. W üzerinde buna kar şı l ık gelen metrik ise, A 'nin izometrik olmas ı nedeniyle, 7/'n ın W 'ye k ıs ıtlamas ıdır. Her -.X' E X için, V? 11, = d('Ö,'"X) yazarak, it. II , normunu X 'yagenişletebiliriz. Gerçekten, II .II Z normunun, K ıs.2.2 'deki (N1) ve (N2) aksiyomlann ıgerçeklediği a şikard ır. Diğer iki aksiyom olan (N3) ve (N4) ise, bir limit i şlemiyle, L II,normuna ilişkin özeliklerden elde edilir.PROBLEMLER1. c c Q" 'un, Q' 'un bir alt vektör uzay ı olduğunu gösteriniz (Tan ım için, 1.5.3 'ebakma). Ayn ı soruyu, s ıf ıra yak ı nsayan skaler terimli tüm dizilerin olu şturdu ğu c o uzay ıiçin tekrarlay ın ız.2. Prob.1 'deki c o ' ın, Q' 'un kapal ı bir altuzay ı olduğunu ve dolay ıs ıyla, 1.5.2 ve 1.4.7uyar ınca, c o taml ığı n ı gösteriniz.3. Q" 'da, yaln ızca sonlu say ıda s ıf ırdan-farkl ı terimi bulunan tüm dizilerden olu şanaltküme Y olsun. Y 'nin, Q' 'un bir altuzay ı olduğunu, fakat, kapal ı bir altuzay ı olmad ığı n ıgösteriniz.4. (Vektör Uzay i şlemlerinin Normlu bir X uzay ında, vektör toplama veskalerle çarpma i şlemlerinin, norma göre, sürekli olduklar ını , yani,(x, y) x + y ve (a, x) -+ axile tan ımlanan dönü şümlerin sürekli oldu ğunu gösteriniz.5. xn x ve y n y ise, x„ + y„ -+ x + y ve a n a ve xn x ise, anx n -* ax olduğunugösteriniz.6. Normlu bir X uzay ı n ın bir Y altuzay ı n ı ele alal ım. Y 'nin kapan ış! olan, T 'nin debir alt vektör uzay oldu ğunu gösteriniz.7. (Mutlak Yak ı nsakl ık). by, II + lly2 + Ily3 ü +...'n ın yak ı nsakl ığı n ı n, yi + y2 + y3 +...'n ın yak ı nsakl ığı n ı gerektirmeyebileceğini gösteriniz. (Yol Gösterme: Prob.3 'detan ımlanan Y altuzay ın ı ve y n = (775n) ), 17;:n) = 1 İn2 ve her j n için, rir = 0 olmak üzere,tan ımlanan (yn) dizisini göz önüne al ınız.)8. Normlu bir X uzay ında, herhangi bir serinin mutlak yak ınsakl ığı , daima, bu serininyak ınsakl ığını gerektiriyorsa, X'in tam oldu ğunu gösteriniz.9. Bir Banach uzay ı nda, mutlak yak ınsak bir serinin yak ınsak olduğunu gösteriniz.10. (Schauder Baz ı). Bir Schauder baz ına sahip olan normlu bir uzay ı n ayrtlabilirolduğunu gösteriniz.11. e n = olmak üzere, (en ) 'in, QP (I < p < oo) uzay ı için bir Schauder baz ıolduğunu gösteriniz.12. (Yan-norm). Bir X vektör uzay ı üzerinde, K ıs.2.2 'de verilen (N1), (N3) ve (N4)aksiyomlann ı gerçekleyen bir p : X ddnüşümüne bir yan-norm ad ı verilir. (Baz ıyazarlar bu norma sözde (psedo)-norm demektedirler). Buna göre,p(0) = 0.Ip(x) - P(Y)I P(x -Y)
52olduğunu gösteriniz. (Dolay ısıyla, p(x) = 0 olduğunda x = 0 oluyorsa, p bir normdur.)13. Prob.12 'de, p(x) = 0 koşulunu gerçekleyen x E X elemanlar ı n ı n, X 'in bir Naltuzay ı n ı oluşturduğunu ve XIN üzerinde bir normun, x E X"' ve X E XIN olmak üzere,113' t Il o = p(x) ile tan ımland ığı n ı gösteriniz. (Tan ı mlar için, K ıs.2.1 'de Prob.14 'e bak ı n ız.)14. (Bölüm Uzay ı). Y, normlu bir (X, Ii. II) uzay ın ın kapal ı bir altuzay ı olsun. X/Yüzerinde bir iI. Il o normunun, "X' e X/Y, yani, 'J, Y 'nin herhangi bir e şkümesi olmak üzere,Irili ° =inf Ilx İ lile tan ımland ığın ı gösteriniz. (K ıs.2.1, Prob.14 'e bak ı n ız.)15. (Normlu Uzaylar ın Çarp ı m ı). (XI, Ii. il i ) ve (X2, II. 112) iki normlu uzay olsun.X = XI x X2 vektör uzay çarp ım ı n ı n,XEX11x11 = max(11x ı ll i ,11x211 2 ) = (x ı ,x2))ile tan ımlanan norm alt ında bir normlu uzaya dönüştüğünü gösteriniz.2.4. SONLU BOYUTLU NORMLU UZAYLAR VE ALTUZAYLARSonsuz boyutlu normlu uzaylar ın, sonlu boyutlu normlu uzaylardan daha önemliolmalar ına karşın, sonlu boyutlu uzaylar, çeşitli alanlarda, örne ğin, yaklaşım teorisindeve spektral teoride, önemli rol oynarlar. Bu konuda söylenecek çok say ıda ilginç şeyvard ır. Bu nedenle, bu ve bundan sonraki k ıs ımda, bunlar hakk ında baz ı temel kavramve özeliklere değineceğiz.Arzu edilen tipteki sonuçlar için önemli bir kaynak a şağıdaki lemma olacakt ı r.2.4.1. LEMMA. (Lineer Kombinasyon). {x l ,...,x„} (herhangi boyutlu) normlu bir Xuzay ı n ın vektörlerinden oluşan lineer bağıms ız bir küme olsun.Bu durumda, ah..., a nskalerlerinin her seçimi için,Ila +...+anx„ c(la I +—Hani) (1)olacak şekilde bir c > 0 say ısı vard ır.ispat. s = la, I +...+Ia n i yazal ım. s = 0 ise, a, 'lerin tümü birden s ıf ır olup, dolay ısıyla,(1) eşitsizliği, herhangi bir c say ıs ı için gerçeklenir. s > 0 alal ım. Bu durumda, (1)eşitsizliği, (1) 'in her iki yan ını s ile bölüp, fij = a,ls yazarak elde edece ğ imiz,(n1113 ıx ı +...±(3,,xn Il c Elal = 1 (2)eşitsizliğine denktir. O halde, »il = 1 olmak üzere, her pi,...,p, skaler n-lisi için, (2)gerçeklenecek şekilde bir c > 0 say ıs ın ın varl ığın ı ispatlamak yetertidir.Bir an için bunun doğru olmad ığını varsayal ım. Bu durumda,ny. = fi( ini)x, = 1r=1olmak ve m 00 için,11.Y.11 0koşulu gerçeklenmek üzere, bir (y.) vektör dizisi vard ır. Elpr) I = 1 olduğundan,
53I fir (< 1 yazabiliriz. Bu nedenle, her bir sabit j için.(Ar ') = (P2 ), P52', )dizisi s ı n ı rl ıd ır. Sonuç olarak, Bolzano-Weierstrass teoremi uyar ınca, (firi) ) dizisininyak ınsak bir altdiziye sahip oldu ğu ortaya ç ıkar. fi l bu altdizinin limitini ve (y,,„,) ise, (ym)'in söz konusu altdizisini belirtsin. Ayn ı düşünceyle, (y ı,.) dizisinin bir (y2,m) altdizisinesahip olduğunu söyleyebiliriz; burada da, [3 m) skalerlerinden olu şan altdizi yak ınsakolacakt ı r. Bu dizinin limitini ise /32 ile gösterelim. Bu yolla devam ederek, n ad ım sonra,(y„,) 'in,n,m) = n,I,Y n,2, • • • )şeklinde bir altdizisini elde ederiz. Bu dizinin terimleri,y„,m =y.."'")x;ı=1 ı-1n =şeklinde olup, y51") skalerleri, m co için, (m) -› /3; koşulunu gerçekler. Dolay ıs ıyla,= 1 olmak üzere, m y Go için,Y n,m —Y = Eflixiyazabiliriz. O halde, fi, 'lerin tümü birden s ıf ır olamaz. lineer bağıms ız birküme olduğundan, y 0 olmal ıd ır. Diğer taraftan, normun süreklili ği nedeniyle, ynm -+ yolmas ı,I İLY»,.11 -› Ily Il sonucunu gerektirir. Kabul gere ğ i, IlY.11 0 olduğundan ve (y„„),(y.) 'in bir altdizisi olduğundan, 0 olmal ıd ır. O halde, Ilyll = 0 olup, K ıs.2.2 'deki(N2) aksiyomu uyar ınca, y = 0 bulunur. Bu ise, y # 0 sonucuyla çelişir ve lemmaispatlanm ış olur.Bu lemman ın ilk uygulamas ı olarak, aşağıdaki temel teoremi ispatlayaca ğız.2.4.2. TEOREM. (Taml ık). Bir X normlu uzay ı n ın, sonlu boyutlu her Y altuzay ıtam'd ır. Özel olarak, sonlu boyutlu her normlu uzay tam'd ı r.ispat. Y 'de keyfi bir (y.) Cauchy dizisi ele al ıp, bu dizinin, Y 'de yak ınsak olduğunugöstereceğiz; dizinin yak ınsayacağı limiti de y ile belirtelim. dim Y = n ve {e ı,...,e n }, Y'nin herhangi bir baz ı olsun. Bu durumda her bir y.,ym = a (im)ei +...+a;Menşeklinde tek bir gösterime sahiptir. (ym ) bir Cauchy dizisi olduğundan, her E > 0 say ıs ıiçin, m,r > N olmak üzere, bir c > 0 say ısı iç n,E > IlYm - yr Il = E(a J alr)) eli=incElaf - aş' ) Inj=1yazabiliriz. Burada, c > 0 say ıs ıyla yapaca ğım ız bölme işlemi, m,r > N olmak üzere.Ict m) - a J ç r) I
sonucunu verir. Bu ise,(54a (nı) ) = (a (1) a2) • " )JJ= 1,...,n)şeklinde ifade edilen n tane dizinin her birinin, R. 'de ya da C 'de Cauchy oldu ğ unugösterir. O halde, bunlar yak ı nsakt ı r. Bu dizilerin yak ınsad ığı limitleri aj ile belirtelim.a , a n olarak buldu ğumuz bu n tane limiti kullanarak,y = aie, +...+a ne ntan ımı n ı yaparsak, y E Y olduğunu aç ıkça görürürz. Ayr ıca,IlYm - Y11 = (a j(m) - aj)ej E laj(m) - ai t IIeİ IIyazabiliriz. Sağ tarafta, aj(m) ai olmaktad ır. Dolay ısıyla, il ym - .32 İI -+ 0, yani, ym y 'dir.Bu ise, (ym ) dizisinin Y 'de yak ınsak olduğunu gösterir. Ve, (ym) 'in Y 'de keyfi birCauchy dizisi olarak seçilmi ş olmas ı nedeniyle, elde edilen bu sonuç, Y 'nin taml ığı n ıispatlar.lspatlad ığı m ız bu teorem ile Teorem 1.4.7 'yi göz önüne al ırsak, a şağıdaki teoremiifade edebiliriz:2.4.3. TEOREM. (Kapal ı l ık). Normlu bir X uzay ı n ın, sonlu boyutlu her Y altuzay ı , X'de kapal ıd ı r.ilerideki çal ışmalar ı m ızda bu teoreme bir çok kez gereksinim duyaca ğız.Burada, sonsuz boyutlu uzaylar ı n kapal ı olmak zorunda bulunmad ığı n ı belirtmemizgerekmektedir.Örnek. X = C[0,1] ve xı(t) = ti olmak üzere, Y = span(xo,x ı ,...) olsun. Dolay ıs ıyla, Ykümesi tüm polinomlardan olu şmaktad ır. Y, X 'de kapal ı değildir,(Neden?)Sonlu boyutlu bir X vektör uzay ını n diğer bir ilginç özeli ği de, X üzerindeki bütünnormlann, bizi X için ayn ı topolojiye götürmesidir; yani, X üzerindeki normun özelseçimine bağ l ı olmaks ızın, X üzerindeki aç ık altkümeler ayn ı olmaktad ı r (K ıs.1.3 'ebak ı n ız). Konuya biraz daha aç ı kl ık getirmek için, a şağıdaki tan ım ı verelim.2.4.4.TANIM. (Eşdeğer Normlar).Bir X vektör uzay ı üzerinde bir L Il normuyla, di ğerbir İİ . İ l o normunu göz önüne alal ım. Eğer, her x E X için,allxii o 5_ 114 5_ bilx IL° ( 3 )olacak şekilde, pozitif a ve b say ı lar ı varsa, ll. ll ve II-Ilo normlar ı eşdeğer'dir denir.Bu kavram ı aşa ğıdaki hükümle şekillendirebiliriz:X üzerindeki eşdeğer normlar, X için ayn ı topolojiyi tan ımlar.Gerçekten bu hükmün do ğruluğunu, (3) 'den ve bo ş olmayan her aç ık kümenin aç ı kyuvarlar ın bir birle şimi olduğu gerçeğini (Kıs.1.3, Prob.4) kullanarak gösterebiliriz.Format bir ispat için gerekli ayr ı nt ı lar ı (Prob.4) ve (X,11. ll) ve (X, L ll o) 'daki Cauchydizilerinin ayn ı olduğunun gösterilmesini (Prob.5) okuyucuya b ı rak ıyoruz.2.4.5. TEOREM (E şdeğer Normlar). Sonlu boyutlu bir Xvektör uzay ında, herhangibir İİ . İİ normu, diğer herhangi bir İj. Il o normuna eşdeğerdir.ispat. dim X= n ve X 'in herhangi bir baz ı {el,...,e,i } olsun. Bu durumda, her x E Xeleman, bir tekx = agösterimine sahiptir. Lemma 2.4.1 uyar ınca,+...+anen
55Ilxll k c(ia +... +la n i)olacak şekilde, pozitif bir c sabitinin varl ığı n ı söyleyebiliriz. Öte yandan,üçgen e şitsizliğ i,jlxll o Elaj I Ile, II o < (k =max Iki Il )ı=1sonucunu verir. Bu ikisini birlikte göz önüne al ırsak, a = cl k > 0 olmak üzere,aitx it o 5_ 'kil elde ederiz.(3) 'deki diğer eşitsizlik ise, yukar ıda izlediğimiz düşünce şeklinde, ll. ll ile . Il o ' ı nrolleri değ iştirilerek elde edilir.Uygulama aç ıs ından önemli olan bu teorem, örne ğin, sonlu boyutlu bir vektöruzay ı nda, bir dizinin yak ınsakl ık ya da ıraksakl ığı n ın, bu uzay üzerindeki normun özelseçimine bağl ı olmad ığı n ı belirtir.PROBLEMLER1. r ve 'nin, kapal ı olmayan altuzaylanna örnekler veriniz.2. X= R 2 , XI (1, 0) ve xı = (0,1) al ınmas ı halinde, (1) 'de ad ı geçen en büyük csabiti ne olur? Ayni soruyu, X = R 3 , x ı = (1,0,0), x2 = (0,1,0) ve x3 = (0,0,1) içintekrarlay ın ız.3. Tan ım 2.4.4 'de denkiik ba ğı nt ıs ı aksiyomlar ının gerçeklendiğini gösteriniz.4. Bir X vektör uzay ı üzerindeki e şdeğer normlar ı n, X için, ayni topolojiyic ,,ğurduğunu gösteriniz.5. 11. 11 ve 11. Il o , X üzerinde eşdeğer normlar ise, (X, L 11) ve (X, II. 11 0) 'daki Cauchydizilerinin ayn ı olduklar ı n ı gösteriniz.6. Teorem 2.4.5 uyar ınca, K ıs.2.2, Prob.8 'de tan ımlanan 11.11 2 ve 11. 11. normlar ıeşdeğerdir. Bu gerçe ği belirleyen direkt bir ispat veriniz.7. L 11 2 normu, K ıs.2.2, Prob.8 'de verildi ği gibi al ıns ı n ve II. jj, X uzay ı üzerindekiherhangi bir norm olsun. (2.4.5 'i kullanmaks ız ın) her x için,114 5 bIlx11 2olacak şekilde pozitif bir b sabitinin varolduğunu doğrudan doğruya gösteriniz.8. K ıs.2.2, Prob.8 'de verilen, II.1j ı ve H. 11 2 normlann ın,Illxll 1 _5 Ilx11 2 5 llxll ıeşitsizliğini gerçekledi ğini gösteriniz.9. Bir X vektör uzay ı üzerindeki Il. II ve 11 0 gibi iki norm eşdeğer ise, (i)Ilx. - x11 0 ve (ii) 11xn -x11 0 0 ifadelerinin kar şı l ıkl ı olarak birbirlerini gerektirdi ğinigösteriniz.10. m ve n sabit say ı lar olmak üzere, kompleks terimli m x n tipindeki tüm A ---- (aik)matrislerinin, mn -boyutlu bir Z vektör uzay ı oluşturduğunu gösteriniz. Bu Z uzay ı için,K ıs.2.2, Prob.8 'deki H. H i ve 11. 11 2 'nin benzerleri ne olabilir.2.5. KOMPAKTLIK VE SONLU BOYUTSonlu boyutlu normlu uzaylarla, bunlar ın altuzaylar ı n ı n diğer baz ı temel özeliklerikompaktl ık kavram ı na ilişkindir. Bu kavram ı aşağıdaki şekilde tan ımlayabiliriz.
562.5.1. TANIM (Kompaktl ık). Bir X mekik uzay ı verilmiş olsun. Eğer X 'deki her diziyak ınsak bir altdiziye sahip ise, X uzay ı kompakt't ı r denir. X 'in bir M altkümesi, X 'inbir altuzay ı olarak ele al ı nd ığında kompakt oluyorsa, yani, M 'deki her dizi, limiti M 'ninbir eleman' olan yak ınsak bir diziye sahip ise, M 'ye kompakft ı r diyeceğ iz.Uyar ı : Burada tan ımlad ığım ız kompaktl ık, analizdeki en önemli kompaktl ık tipi olandizisel kompaktl ı k't ır. Bu tan ımin d ışında iki tür daha kompaktl ık varsa da, metrikuzaylarda bu üç kavram birbirine denk olmakta ve dolay ısıyla, çal ışmalar ımız s ıras ındabu farktan söz etmememiz bir sak ınca yaratmamaktad ı r.Kompakt kümelere ait genel bir özeti ği aşağıdaki lemmada ifade edece ğiz.2.5.2. LEMMA (Kompaktl ık). Bir metrik uzay ın kompakt bir Maltkümesi kapal ı ves ın ı rl ıdı r,ispat. Her x E M için, M 'de, x n x olacak şekilde bir (xn ) dizisi vard ır; 1.4.6(a) 'yabak ı n ız. M 'nin kompakt olmas ı nedeniyle, x e M yazabiliriz. O halde, x E M keyfiolarak al ı nd ığı ndan, M 'nin kapal ı olduğu ortaya ç ıkar. Şimdi de M 'nin s ın ı rl ı olduğunuispatlayaca ğız. M s ı n ırs ız olsayd ı , b herhangi bir sabit eleman olmak üzere, d(yn,b) > nolacak şekilde s ını rs ız bir (ya) dizisi içerirdi. Lemma 1.4.2 uyar ınca, yak ınsak biraltdizinin s ın ı rl ı olmas ı gerekeceğinden, söz konusu dizi yak ınsak bir altdiziye sahipolamaz. Bu da ispat ım ız ı tamamlar.Bu lemman ın karşıt ı , genelde, doğru değildir.ispat. Bu önemli gerçe ği ispatlayabilmek için, en = (8.), yani, n. terimi 1, diğer bütünterimleri 0 olmak üzere, Q 2 'de (e n) dizisini göz önüne alal ım (K ıs.2.3, For.(4)'e bak ınız).İİ en İ(= 1 olduğundan, bu dizi s ını rl ıd ı r. Bu dizinin terimleri, y ığılma noktas ına sahipolmad ıklar ı için, kapal ı olan bir nokta kümesi olu şturur. Ve ayn ı nedenle, bu noktakümesi kompaktBuna karşı l ık, sonlu boyutlu normlu bir uzayda a şağıdaki teoremi verebiliriz:2.5.3. TEOREM (Kompaktl ık). Sonlu boyutlu normlu bir X uzay ında, herhangi birM c Xaltkümesinin kompakt olmas ı için gerek ve yeter koşul, M 'nin kapal ı ve s ınırl ıolmas ıd ı r.ispat. Kompaktl ık, Lemma 2.5.2 gere ğince, kapal ı l ık ve sinirliliği gerektireceğinden,teoremin karşıt k ısm ın ı ispatlamam ız yeterli olacakt ı r. M, kapal ı ve s ın ırl ı olsun.dimX = n alal ım ve {e i ,••.,e n }, M 'nin bir baz ı olsun. M 'de herhangi bir (x.) dizisini gözönüne alal ım. Her bir x.,x. = 4(i'") e İ + +4"`) e aşeklinde bir gösterime sahiptir. M 'nin s ı n ı rl ı olmas ı nedeniyle, (x„,) de s ın ı rlid ır; her ıniçin, Ilx„,11 5 k diyelim. Lemma 2.4.1 uyar ınca, c > 0 olmak üzere,k > İİ xm İİ = E inoe., ?_,E( notyazabiliriz. O halde, j sabit olmak üzere, ( .;frı) ) say ı dizisi s ı n ı rl ı olup,Bolzano-Weierstrass teoremi uyar ınca, birj-1(1 < j < n) yığılma noktas ına sahiptir.Buna göre, Lemma 2.4.1 'in ispat ında olduğu gibi, (x.) dizisinin, z = E ej 'yeyak ınsayan bir (z.) altdizisine sahip oldu ğu sonucunu ç ıkartabiliriz. M kapal ıolduğundan, z E Molur. Bu ise. M 'deki keyfi bir (x.) dizisinin, M 'de yakinsayan biraltdiziye sahip olduğunu gösterir. Dolay ıs ıyla, M kompaktt ır.İncelemelerimiz, EV 'de (ya da sonlu boyutlu herhangi bir normlu uzayda) kompakt
57aitkümelerin, kesinlikle kapal ı ve sinirli altkümeler oldu ğunu göstermi ştir. Bu nedenle, buözelik (kapal ı l ık ve sinirlilik) kompaktl ığı n tan ımlanmas ı için kullan ılabilir. Ancak sonsuzboyutlu uzaylarda bunu yapamay ız.Aşağıdaki lemma, konuya ilişkin diğer ilginç sonuçlar için bir kaynak niteli ğindedir.2.5.4. F.RIESZ LEMMASI. Y ve Z, herhangi boyutlu normlu bir X uzay ın ınaltuzaylar ı olsun. Y 'nin kapal ı olduğunu ve ayn ı zamanda, Z 'nin gerçek bir altkümesiolduğunu kabul edelim. Bu durumda, (0,1) aral ığındaki her O say ısı için,Hz] = 1ve her y e Y için hz -y Il _k Oolacak şekilde bir z E Z vard ı r.ispat. Herhangi bir v E Z- Yeleman ı n ı göz önüne alal ım ve bunun Y 'ye olanuzakl ığını a ile gösterelim, yani,olsun. (Şekil 19)a =inf Ii v - y il',EYIŞekil 19. Riesz Lemmas ı n ınispat ındaki gösterimlerY kapal ı olduğundan, a > 0 olduğu aç ıkça görülmektedir. Şimdi herhangi birO E (0,1) alal ım. infimum tan ımı gereğince,a 5_ liv -yoti 5, al0 (i )olacak şekilde, biryo E Y vard ır (burada, 0 < O < 1 olduğundan, al0 > a olduğuna dikkatediniz). c = 1/II v -yo II olmak üzere,z = c(v -yo)diyelim. Bu durumda, Ild = 1 'dir. Ve hery E Y için, Hz -yll > O olduğunu gösterebiliriz:y ı - yo + c'y olmak üzere,Ilz —y II = 11c(v —yo) —yll= e lli, —yo — c'y II= elly —y ı Il
58yazabiliriz. y 'in yap ıs ı , yIEY olduğunu gösterir. O halde, a 'n ın tan ı m ı nedeniyle,11 v -yi li > a 'd ı r. e 'nin de ğerini yaz ıp, (1) 'i de kullanarak,aIlz - Yll = clIv -y ı 11 ca => a = ov - al°elde ederiz. Bu ise, y E Y 'nin keyfi oldu ğu hat ı rlan ı rsa, ispat ı tamamlar.Sonlu boyutlu normlu bir uzayda, kapal ı birim yuvar, Teorem 2.5.3 gere ğ ince,kompaktt ı r. Tersine olarak, Riesz Lemmas ı , aşa ğıdaki yararl ı sonucu verir:2.5.5.TEOREM (Sonlu Boyut). Normlu bir X uzay ında, kapal ı M= {x : 114 5 1}birim yuvan kompakt ise, Xsonlu boyutludur.ispat. M 'nin kompakt, fakat dim X = Go olduğunu kabul edelim ve bu kabulün bizi birçelişkiye sürükledi ğini gösterelim. Normu 1 olan, herhangi bir x i eleman! seçelim. Bu x iı , X 'in, bir boyutlu bir X I altuzay ı n ı oluşturur. Bu altuzay kapal ı olup (2.4.3 'eelemanbak ı n ız), dim X= co olduğundan, X 'in bir gerçek altuzay ıd ır. Riesz lemmas ı gereğince,Ilx2 - x ı II = 1/2olacak şekilde, normu 1 olan bir X2 E Xeleman ı vard ı r.x ı ve x2 elemanlar ı , X 'in iki boyutlu ve kapal ı gerçek bir X2 altuzay ı n ı oluşturur. YineRiesz lemmas ı uyar ınca, her x E X2 için,11x3 -x11 1/2olacak şekilde, normu 1 olan bir x3 eleman, vard ır. Özel olarak,dir. Tümevar ım yoluyla,11x3 Il? 1/2Ilx3 - x211 k. 1/2Ilxm - x,11 > 1/2olacak şekilde, xn E X elemanlar ından oluşan bir (xn ) dizisi elde ederiz. Aç ıkcagörüldüğü gibi, (xn) dizisi yak ınsak bir altdiziye sahip olamaz. Bu ise, M 'nin kompaktl ığıile çelişir. O halde, dim X = 00 kabulümüz hatal ı olup, dim X < co olur.Çeşitli uygulama alanlar ına sahip olan bu teoremi, kompakt operatörlere ili şkinkonularda temel bir araç olarak kullanaca ğız.Fonksiyonel analizde önemli bir yer tutan kompakt kümeler, sonlu kümelerinkinebenzeyen ve kompakt olmayan kümelerce payla şılmayan baz ı temel özeliklere sahiptir.Sürekli dönü şümlere ilişkin olarak ifade edilen önemli bir özelik, kompakt kümelerinkompakt görüntülere sahip olmas ıd ı r:2.5.6. TEOREM (Sürekli Dönü şüm). X ve Y metrik uzaylar ve T : X Y sürekli birdönüşüm olsun (1.3.3 'e bak ı n ız). Bu durumda, X 'in kompakt bir Maltkümesinin Talt ındaki görüntüsü de kompaktt ır.ispat. Kompaktl ığı n tan ı m ı gereğ i, T(M) c Y görüntüsündeki her (yn ) dizisinin, T(M)'de yak ınsayan bir altdiziye sahip oldu ğunu göstermek yeterlidir. y n E T(/14) olduğundan,bir xn E M için, yn E Txn yazabiliriz. M 'nin kompakt olmas ı nedeniyle, (xn) dizisi, M'de yak ınsayan, bir (x„) altdizisi içerir. (x„) 'n ın görüntüsü ise, (yn ) 'in, T 'nin sürekliolmas ı nedeniyle, 1.4.8 uyar ınca, T(M) 'de yak ınsayan bir altdizisidir. Dolay ıs ıyla, T(M)kompaktt ı r.Bu teoremin ışığı alt ında, sürekli fonksiyonlar için analizden bildi ğimiz bir özeliğimetrik uzaylara aktaran bir sonucu ç ıkartabiliriz:
592.5.7. SONUÇ (Maksimum ve Minimum). Bir X metrik uzay ı n ın kompakt bir Maltkümesini, R 'nin içine dönü ştüren sürekli bir T dönüşümü, M 'nin baz ı noktalar ı ndabir maksimum ve bir minimuma sahiptir.Ispat. T(M) c D8 , Teorem 2.5.6 gere ğince kompakt olup, Lemma 2.5.2 uyar ınca,kapal ı ve s ı nirl ıd ı r. Dolay ısıyla, inf T(M) E T(M) ve supT(M) e T(M) yaz ı labilir. Bu ikinoktan ın ters görüntüleri ise, M 'nin, Tx 'in, s ıras ıyla, minimum ve maksimum değerlereulaşt ığı noktalardir.PROBLEMLER1. R" ve C" 'in kompakt olmad ığı n ı gösteriniz.2. Sonsuz çoklukta noktadan olu şan bir X diskre metrik uzay ı n ı n kompakt olmad ığı n ıgösteriniz. (Tan ım için, 1.1.8 'e bak ı n ız.).3. R, 2 düzleminde, kompakt ve kompakt-olmayan e ğrilere örnekler veriniz.4. s uzay ı n ı n sonsuz bir M altkümesinin kompakt olmas ı için gerek ko şulun, herx = (i,(X)) E M için, gk(x); < Y k olacak şekilde, y 1,r2,... say ı lar ı n ı n varl ığı olduğunugösteriniz. (Bu koşulun, M 'nin kompaktl ığı için yeterli oldu ğ u da gösterilebilir.). (suzay ı n ı n tan ı m ı için, 2.2.8 'e bak ı n ız.).5. (Yerel Kompaktl ı k). Bir X metrik uzay ı verilmi ş olsun. Eğer, X 'in her noktas ıkompakt bir kom şuluğa sahip ise, X 'e yerel kompakt't ı r denir. R ve C 'nin ve dahagenel olarak, R" ve Cn 'in yerel kompakt oldu ğunu gösteriniz.6. Kompakt bir X metrik uzay ı n ın yerel kompakt oldu ğunu gösteriniz.7. 2.5.4. Riesz lemmas ı nda, dim Y < co ise, 0 = 1 bile seçilebileceğini gösteriniz.8. K ıs.2.4, Prob.7 'de (2.4.5 'i kullanmaks ız ı n), allx Il 2 < IIX il olacak şekilde bir a > 0say ıs ı n ın var oldu ğunu doğrudan doğruya gösteriniz. (2.5.7 'yi kullan ı n ız).9. X, kompakt bir metrik uzay ve M c X kapal ı ise, M 'nin kompakt olduğunugösteriniz.10. Xve Y iki metrik uzay, X kompakt ve T : X -› Y dönüşümü bire-bir , örten vesürekli olsun. T 'nin bir homeomorfizm olduğunu gösteriniz (Tan ı m için, K ıs.1.6, Prob.5'e bak ı n ız.).2.6. LiNEER OPERATÖRLERAnaliz derslerinde, R reel doğrusunu ve R 'nin (ya da, R 'nin bir altkümesinin)üzerinde tan ıml ı reel değerli fonksiyonlar ı incelemiştik. Aşikar olarak, böyle herhangi birfonksiyon, kendi tan ım kümesinden, R. 'nin içine olan bir dönü şümdür. Fonksiyonelanalizde ise, metrik uzay ve normlu uzay gibi, daha genel uzaylar ı ve dönü şümleriinceleyece ğiz.Vektör uzaylar ve özellikle, normlu uzaylar söz konusu oldu ğunda tan ımlanacakdönüşümlere bir operatör ad ı verilir.Ilginç olan operatörler, a şağıdaki tan ımda belirlendiği anlamda, vektör uzaya ili şkin ikicebirsel işlemi koruyan operatörlerdir.2.6.1. TANIM (Lineer Operatör). Bir T lineer operatörü, a şa ğı daki özeliklerigerçekleyen bir operatördür:(i) T 'nin D(T) tan ım bölgesi bir vektör uzay olup, R(T) 'değer bölgesi, ayn ı cisimüzerinde bir vektör uzayd ı r.
(ii) Her x,y E D(T) ve a skaleri için,60T(x + y) = Tx + Ty ( ı )T(ax) = aTxdir.Bundan böyle, fonksiyonel analizde standart olarak kullan ılan bir gösterime ba ğ l ıolarak, T(x) yerine Tx yazaca ğız. Ayr ıca, notlar ı m ız ı n bundan sonraki k ıs ımlar ında,D(T) ile, T 'nin tan ım bölgesiniR(7) ile,T !nin de ğer bölge sinN(T) ile de, T 'nin s ıfır uzay ın!gösterece ğiz.Tan ım olarak, T 'nin s ıf ı r uzay ı , Tx = 0 koşulunu gerçekleyen tüm x e D(T)elemanlar ından oluşur. (S ıf ır uzay ı yerine kullan ı lan diğer bir deyim de çekirdek'dir.Ancak biz çekirdek deyimini ileride integral denklemler teorisinde kullanmak amac ıylasaklayaca ğız.)T operatörünün D(T) tan ım bölgesi ile, R(T) değer bölgesi aras ında bir eşlemeolduğunu göz önünde bulundurursak, üzerine ve içine operatör tan ımlar ınr burada daverebiliriz. X ve Y, her ikisi de reel , ya da her ikisi de kompleks, iki vektör uzay olmaküzere, D(7') c X ve R(7) c Y olsun. Bu durumda, T, D(7) 'den R(7) üzerine bir operatör(ya da dönü şüm) olup,T : D(7) R(T)olarak yaz ı l ı r. D(T) 'den Y 'nin içine bir operatör ise,T : D(T) --> Yolarak belirtilir. E ğer, D(7) tan ım bölgesi, X uzay ın ın tümü ise, bu -ve yaln ızca budurumda,yazaca ğız.Aç ıkça görüldüğü gibi, (1) ifadesi,T : X -› YT(ax + ğ3y) = aT(x) + ğ3T(y) (2)ile eşdeğerdir.(1) 'de a = 0 alarak, ilerideki çal ışmalar ım ızda s ık s ık gereksinme duyaca ğımız birformülü elde ederiz:T O = O. (3)(1) formülü, lineer bir T operatörünün, bir vektör uzay ın (kendi tan ı m bölgesi) diğer birvektör uzay içine olan bir homomorfizmi oldu ğunu ifade eder; yani, T dönüsümü, vektöruzaya ilişkin iki işlemi, a şağıdaki anlamda, korur. (1) 'in sol taraf ında, önce bir vektöruzay işlemi (toplama ya da skalerle çarpma) uygulay ıp, elde edilen vektörü, Y 'nin içinedönü ştürmemize karşı l ık, sağ tarafta, önce x ve y 'yi Y 'nin içine dönü ştürüp, dahasonra, Y 'de vektör uzay i şlemlerini uygularsak, her ikisinde de elde edece ğimiz sonuçayn ı olacakt ı r. Bu özelik lineer uzaylar ı önemli hale getirir. Bunun yan ı s ıra, lineeroperatörier vektör uzaylar üzerinde tan ımland ığından, vektör uzaylar fonksiyonelanalizde önemli bir yer tutar.
61Şimdi, lineer operatörlere ili şkin baz ı temel örneklerden söz edece ğ iz. Her birörnekteki operatörün lineer olup olmad ığı n ı n gösterilmesini okuyucuya b ı rak ıyoruz.ÖRNEKLER.2.6.2. özde şlik Operatörü. tv : X X özdeşlik operatörü, her x e X için, /xx = xeşitliğ i ile tan ımlan ı r. Kolayl ık amac ıyla, tx, yerine yaln ızca / yazaca ğız; o halde, lx = xolacakt ı r.2.6.3. S ıf ır Operatörü. O : X -› Y s ıf ır operatörü, her x e X için, Ox = 0 ile tan ımlan ı r.2.6.4. Türev Operatörü. X, [a,b] üzerinde tan ı ml ı tüm polinomlardan olu şan vektöruzay olsun. O notasyonu, t 'ye göre türetmeyi göstermek üzere, her x e X için,Tx(t) = x' (t)yazarak, X üzerinde bir lineer T operatörü tan ımlayabiliriz. Bu T operatörü X 'i kendiüzerine dönü ştürür.2.6.5. İntegral Operatörü. ga,b] 'den kendi içine lineer bir T operatörü,Tx(t) = S x( ı)dz(t E [a,b])ile tan ı mlanabilir.2.6.6. t ile Çarpma Operatörü. C[a,b] 'den kendi içine di ğer bir lineer operatör,Tx(t) = ıx(t)ile tan ımlan ı r.2.6.7. Elemanter Vektör Cebri. Bir çarpan ı sabit tutulmak koşuluyla, vektörelçarp ım,lineer bir Tl = 118 3 -+ R' operatörü tan ımlar. Benzer şekilde, yine bir çarpan ı sabittutulmak üzere, skaler çarp ım lineer bir T2 : [I8 operatörü tan ımlar: a = (a.,) E K 3sabit olmak üzere,T2x = x.a = 4 i cı i -ı< 2a 2+4 3a 3 •2.6.8. Matrisler. r sat ırh ve n kolonlu„ reel bir A = (a k) matrisi,y = Axeşitliği yard ı m ıyla, bir T : u8n -› BU operatörü tan ımlar; burada, x = n tane bile şene,y = (ni ) ise, r tane bile şene sahip olup, her iki vektör de, matris çarp ı m ına uygunolabilmeleri için birer kolon vektörü olarak yaz ı l ı rlar. y = Ax 'i aç ık olarak yazarsak,r1 ı 1 r alı a ı2 • • • a ı n 5 ıa2Ia22 • • • aznTır Ur! ar2 • • • cern 411elde ederiz. Matris çarp ım ı lineer bir i şlem olduğundan, tan ımlanan T operatörülineerdir. E ğer A matrisi kompleks olsayd ı , Cn 'den Cr içine lineer bir operatör tan ımlard ı .Matrislerin lineer operatörlere ili şkin rolleri, K ıs.2.9 'da ayr ı nt ı l ı olarak incelenecektir.Verdiğimiz bu örneklerde, lineer operatörlerin de ğer bölgeleriyle, s ıf ır uzaylar ı n ı nbirer vektör uzay oldu ğunu kolayca gösterebiliriz. Bu tipik bir özeliktir. Şimdi, lineerliğinbasit ispatlarda nas ı l kullan ı ld ığı n ı da görerek, bu gerçe ği ispatlayaca ğız. Ve söz konusuteorem, ilerideki çal ışmalar ım ızda da çe şitli uygulama alanlar ına sahip olacakt ı r.
6 22.6.9 TEOREM (Değer Bölgesi ve S ıf ır Uzay ı). T lineer bir operatör olsun. Budurumda,(a) R(7) değer bölgesi bir vektör uzayd ı r.(b) dim D(7) = n < co ise, dim R(7) < n 'dir.(c) N(T) s ıfır uzay ı bir vektör uzay ıd ı r.Ispat. (a) Herhangi yi,y2 e R(7) elemanlar ı al ıp, herhangi a, fi skalerleri için,ay ı + fiy2 E R(T) olduğunu gösterece ğiz. y ı ,y2 E R(7) olduğundan, uygun x ı ,x2 E D( 7)elemanlar ı için, y ı = Tx ı ve y2 = Tx2 yazabiliriz. Ayr ıca, D(T) bir vektör uzayolduğundan, ax ı + fix2 e D(T) 'dir. T °nin lineerliği nedeniyle deT(ax, +13x2) = aTx ı + fix2 = ay ı + fiy2elde ederiz. O halde, ay ı + fiy2 E R(T) 'dir. yi,y2 E R(r) elemanlar ı ve al ınan skalerlerkeyfi olarak seçildiğinden, bu sonuç R(T) 'nin bir vektör uzay oldu ğunu ispatlar.(b) R(7) 'den keyfi bir biçimde, n + 1 tane, y ı ,. • • yn+1 eleman ı seçelim. Buna göre,D(7) 'deki baz ı x ı ,...,x„+, elemanlar ı için, y ı = Tx1,...yn+1 = Txnf ı yazabiliriz. dimD(7) = n olduğundan {xl,...,x„+,} kümesi lineer ba ğı ml ı olmal ıd ı r. Dolay ıs ıyla, hepsibirden s ıf ır olmayan baz ı al, , a „Tl skalerleri için,a ıx ı = 0yazabiliriz. T lineer ve T O = 0 olduğundan, T 'nin her iki yana uygulanmas ı ,T(a ıx ı +...+am ı xn+ ı ) = Geo, ' +...+cın+lyn+1 = 0sonucunu verir. Bu ise, lerin hepsinin birden s ıfır olmamas ı nedeniyle, {y ı ,...,yn+1}kümesinin lineer ba ğıml ı olduğunu gösterir. R(7) 'nin bu altkümesinin keyfi bir biçimdeseçildiğini hat ırlarsak. R(T) 'nin n + 1 ya da, daha fazla say ıda eleman içeren lineerbağıms ız bir altkümeye sahip olamad ığı sonucuna var ım. Bunun anlam ı ise, tan ımgereği, dimR(T) < n olduğudur.(c) Herhangi x ı ,x2 e N(T) alal ım. Buna göre, Txi = Tx2 = 0 'd ır. T lineerolduğundan, herhangi a, fi skalerleri için,T(ax ı + fix2) = aTx ı + 13Tx2 = 0yazabiliriz. Bu da, axi px2 E N(T) olduğunu gösterir. Dolay ıs ıyla, N(7) bir vektöruzayd ır.(b) 'nin aşikar bir sonucu olarak a şağıdaki ifadeyi verebiliriz:"Lineer operatorler lineer bağıml ılık korur."Şimdi de bir lineer operatörün tersini inceleyece ğiz. Önce, bire-bir bir T : D(7) Ydönüşümünün tan ım ını hat ı rlayal ı m. Bilindiği gibi, bir T dönüşümü, tan ım bölgesindekifarkl ı noktalara farkl ı görüntüler karşı l ık getiriyorsa , yani, herhangi xı , x2 E D(7') için,ya da, buna e şdeğer diğer bir deyimle,x ı + x2Tx, Tx2Tx ı = Tx2 = x ı = x2oluyorsa, Tdönüşümüne, bire-bir dönü şüm ad ı verilir. Böyle bir durumda, her yo E R(T)eleman ını , Txo = yo olacak şekilde, x o E D(T) üzerine dönü ştüren birT-I : R(7) D(7)
63dönü şümü vard ı r. ( Şekil 20). T-, dönüşümüne, T 'nin tersi ad ı n ı verece ğ iz.Şekil 20. Bir dönü şümün tersine ili şkin gösterimler.Bkz (5)(5) 'den yararlanarak , kolayca,her x e D(T) için T I Tx = xhery E R(T) için 7T- 'y = yyazabiliriz.Vektör uzaylar üzerindeki lineer operatörlere ili şkin durumu ise, a şağıdaki şekildeifade edebiliriz. Bir lineer operatörün tersinin var olabilmesi için gerek ve yeter ko şul, sözkonusu operatörün s ıf ır uzay ı n ı n yaln ızca s ıf ır vektöründen olu şmas ıd ır. Daha aç ıkolarak, ileride s ık s ık kullanaca ğı= yararl ı bir kriteri vermemiz yerinde olacakt ı r:2.6.10. TEOREM (Ters Operatör). X ve Y, her ikisi de reel, ya da, her ikisi dekompleks iki vektör uzay olsun. Tan ım bölgesi D(T) c X ve değer bölgesi R(T) c Y olanlineer bir T : D(7) -+ Y operatörünü ele alal ım. Bu durumda,(a) T-1 R(T) D(7) ters operatörünün var olmas ı için gerek ve yeter ko şul,Tx=0x=0'd ı r.(b) Eğer T' mevcut ise, lineer bir operatördür.(c) dim D(T) = n < co ve T-1 mevcut ise, dim R(T) = dimD(T) 'dir.Ispat. (a) Tx = 0 olduğunda, x = 0 olduğunu kabul edelim. T,x, = Tx2 olsun. T lineerolduğundan,T(x ı -x2) = Tx 1 -7X2= 0ve, hipotez gere ği, x i - x2 = 0 yazabiliriz. Dolay ısıyla, Tx1 = Tx2 olmas ı , x ı = x2olmas ı n ı gerektirmektedir ve (4*) uyar ınca, 1-1 mevcuttur. Tersine olarak, e ğer T- 'mevcut ise, (4*) gerçeklenir. x2 = 0 olmak üzere, (4*) ve (3) formüllerini göz önüneal ırsak,Tx1 = 7D = O x ı = Oelde ederiz. Bu da, (a) 'n ı n ispat ı n ı tamamlar.(b) mevcut oldu ğunu kabul edip, lineer oldu ğunu gösterelim. T' 'in tan ım
64bölgesi R(T) olup, Teo.2.6.9(a) uyar ı nca, bir vektör uzayd ır. Herhangi x ,x2elemanlar ıyla, bunlar ı n görüntüleri olan,elemanlar ını gözönüne alal ım. Buna göre,y ı ---- Tx ı ve y2 = Tx2x, = T-51 ve x2 = T-1y2yazabiliriz. T lineer olduğundan, herhangi a ve /3 skalerleri için,buluruz. xj = T- ly, olduğundan,ay ı + fiy2 = aTx ı + fiTx2 = T(ax ı + fix2)t(ayl + fly2) = ax ı + fix2 = + 137-52elde ederiz. Bu da Tl 'in lineer oldu ğunu ispatlar.(c) Teorem 2.6.9(b) uyar ınca, dim R(7) < dim D(T) yazabiliriz. Ve ayn ı teoremin'e uygulanmas ıyla da, dim D(7) < dim R(7) elde ederiz.Son olarak, lineer operatörlerin bile şimlerinin tersi hakk ında yararl ı bir formülden sözetmek istiyoruz.2.6.11. LEMMA (Çarp ımı n Tersi). T : X Y ve S : Y -± Z bire-bir ve örten iki lineeroperatör olsun. (Burada, X, Y, ve Z birer vektör uzayd ır.) Bu durumda, ST çarp ı m ı n ın(bileşiminin) tersi olan (ST) -' : Z X operatörü mevcut olup(s7) -1 = r is-1 (6)'dir. (Şekil 21).ispat. ST : X Z operatörü bire-bir ve örten olup, dolay ısıyla, (S7) -1 mevcuttur. Bunagöre, /z, Z üzerindeki özdeşlik operatörü olmak üzere,ST(ST)- ' = IZyazabiliriz. Eşitliğin her iki yan ına S-1 'i uygulay ıp, S- 'S = Ir (Y üzerindeki özde şlikoperatörü) oldu ğunu da hat ırlarsak,elde ederiz.S-IST(ST) -1 = T(ST) -1 = S-'IZ =S '(S T) --- 1Şekil 21. Lemma 2.6.11'deki gösterimierBu kez de, ri 'i uygulay ıp, T-1 T = lx eşitliğini kultan ırsak, arzu edilen,
65T- I T(ST) - I = (S7) - I =sonucunu elde ederiz. Bu ise, ispat ım ız ı tamamlar.PROBLEMLER1. 2.6.2, 2.6.3 ve 2.6.4 'deki operatörlerin lineer olduklar ı n ı gösteriniz.2. R 2 'den, R 2 içine, s ıras ıyla,( 1 ,4 2 ) (1 ,0)(,, 2 ) (0, 2 )(,, 2 ) (42 , İ )(1,2) (r ı ,r42)ile tan ımlanan, T ı ,T2 ı T3,T4 operatörlerinin lineer olduklar ın ı gösteriniz ve bu operatörlerigeometrik olarak yorumlay ı n ız.3. Prob.2 'de ad ı geçen Tl, T2 ve T3 operatörlerinin tan ım bölgesi, değer bölgesi ves ıfır uzaylar ı nedir?4. (a) Prob.2 ' deki, T4 'ün, (b) 2.6.7 'deki, T, ve T2 'nin, (c) 2.6.4 'deki, T 'nin s ıf ıruzaylar ı nedir?5. T : X -› Y bir lineer operatör olsun. X 'in bir V altuzay ının görüntüsünün vedolay ısıyla, Y 'nin bir W altuzay ın ın ters görüntüsünün bir vektör uzay oldu ğunugösteriniz.6. İki lineer operatörün çarp ım ı (bileşimi) mevcut ise, bu çarp ımın lineer olduğunugösteriniz.7. (Komütatiflik). X herhangi bir vektör uzay ve S : X -› Xve T : X X herhangi ikioperatör olsun. E ğer, ST = 7S, yani, her x e Xiçin, (ST)x = (TS)x ise, S ve T operatörlerikomütatiftir denir. Prob.2 'deki T ı ve T3 operatörleri komütatif operatörler midir?8. Prob.2 'deki operatörleri 2x2 tipindeki matrisler kullanarak yaz ı n ız.9. 2.6.8 'de, y = Ax bileşenleri cinsinden yaz ın ız ve T 'nin lineer olduğunu gösteripörnekler veriniz.10. 2.6.10(a) 'daki koşulu, T 'nin s ıf ır uzay ı cinsinden formüle ediniz.11. X, 2 x 2 tipindeki tüm kompleks terimli matrislerden olu şan vektör uzay olsun.T : X --> Xdönüşümünü, b E X sabit ve bx bilinen matris çarp ırn ı n ı göstermek üzere,Tx = bx ile tan ımlayal ım. T 'nin lineer olduğunu gösteriniz. Hangi koşul alt ında T- Imevcut olur?12. 2.6.4. 'de tan ımlanan T operatörünün tersi var m ıd ır?13. T : D(7) -* Y, tersi var olan, lineer bir operatör olsun. {xi,...xn }, D(T) 'de lineerbağıms ız bir küme ise, {Txi,••.,Tx t,} kümesinin lineer ba ğıms ız olduğunu gösteriniz.14. T : X Y lineer bir operatör ve dim X = n < oo olsun. R(7) = Y olmas ı için gerekve yeter koşulun, T-I 'in varl ığı olduğunu gösteriniz.15. R üzerinde tan ıml ı olan ve R üzerinde her yerde, her mertebeden türevlenebilirolan tüm reel değerli fonksiyonlardan olu şan Xvektör uzay ını ele alal ım. T:X->Xdönüşümünü, y(t) = Tx(t) = x' (t) ile tan ımlayal ım. R(7) 'nin, X 'in tümü olduğunu, fakat,7-I 'in mevcut olmad ığın ı gösteriniz. Bu problemi, Prob.14 ile kar şılaşt ı r ın ız veyorumlay ınız.
662.7.SINIRLI VE SÜREKL İ L İ NEER OPERATÖRLERK ıs.2.6 'da, normdan hiç bir şekilde yararlanmad ığı m ız dikkatinizden kaçmam ışt ı r.Şimdi, aşağıdaki temel tan ımda normu yeniden göz önüne al ıyoruz.2.7.1. TAN1M (S ı n ı rl ı Lineer Operatör). X ve Y normlu uzaylar ve D(T) c X olmaküzere, T : D(7) --> Y lineer bir operatör olsun. E ğer her x E D(T) için,II TxJIcjix jiolacak şekilde, reel bir c say ıs ı varsa, T operatörü s ı n ı rl ı 'd ı r denir.(1) 'de sözü edilen normlardan, sol taraftaki Y üzerinde, sa ğ taraftaki ise, Xüzerindeki normdur. Kolayl ık aç ısı ndan, her iki normu da, kan şt ırma tehlikesi olmaks ızı n,ayn ı L IJ sembolüyle gösteriyoruz. Alt indislerde yap ılacak 'kil o , JITxII , v.b. farkl ıgösterimler burada gereksiz görülmü ştür. (1) formülü, s ı n ı rl ı lineer bir operatörü, D(T)'deki s ın ı rl ı kümeleri, Y içindeki s ın ı rl ı kümeler üzerine dönü ştürdüğünü göstermektedir.S ı n ı rl ı operatör deyimi de buradan kaynaklanmaktad ı r.Uyar ı. Burada kulland ığım ız s ı n ı rl ı deyiminin, analizdekinden farkl ı olduğuna dikkatetmemiz gerekmektedir. Analizde, de ğer bölgesi s ın ı rl ı bir küme olan fonksiyonlaras ı n ı rl ı fonksiyon ad ı n ı veriyorduk. Fakat, ne yaz ık ki, her iki deyim de standart halegelmiş olup, az da olsa bir kar ışt ırma tehlikesine ra ğmen, kullan ı lmaktad ı r.(1) ifadesi, s ıf ırdan farkl ı her X E D(7) için gerçeklenecek şekilde, mümkün olan enküçük c değeri nedir diye sorabiliriz. (Burada, K ıs.2.6, For.(3) uyar ınca, x = 0 için, Tx = 0olaca ğından, x = 0 halini hariç tutuyoruz). (1) ifadesinden, bölme i şlemiyle,JJ TxII
67ispat. (a) IIx II = a yazal ım ve x # 0 olmak üzere, y = (11a)x diyelim. Bu durumda,IIYII = lIxIlla = I olup, T 'nin lineer olmas ı nedeniyle de, (2) ifadesi,II TII = supâ II Tx II = sup Il = sup II Ty IIxcD(T) xd:/(T) yd:)(/)sonucunu verir. Sa ğ tarafta, y yerine x yazarsak, (4) 'ü elde ederiz.(b) (N1) aşikard ır ve dolay ıs ıyla, 110 II = 0 'd ır. II TII = 0 idan,her x E D(7) için, Tx = 0elde ederiz; O halde, T = 0 'd ır. Buna göre, (N2) aksiyomu da gerçeklenir. Ayr ıca, (N3)aksiyomu, x E D(7) olmak üzere,sup IlaTxp =sup IallITx11 = la! sup IIx II=I Ilxll =1'den elde edilir. Son olarak, (N4) aksiyomu, x E D(7') olmak üzere,sup (Tl + T2)x II =sup IIT1x +T2xII C[0,1] integral operatörünü,y(t) = k(t,r)x( ı)dıoolmak üzere, y = Tx ile tan ımlayabiliriz. Burada, k verilen bir fonksiyon olup, T 'ninçekirdeği ad ını al ır ve J=[0,1] olmak üzere, tı - düzlemindeki G = J x J kapal ı karesiüzerinde sürekli oldu ğu varsay ı l ır. Bu operatör lineerdir.Ayr ıca, T s ın ı rl ıd ır. Bunu ispatlayabilmek için, önce, k 'n ın kapal ı kare üzerindekisürekliliğinin, k 'n ın s ını rl ı l ığı n ı gerektirdi ğine dikkat etmemiz gerekir; ko reel bir say ıolmak üzere, her (t,r) e G için, Ik(1,1-)I < ko diyelim. Bunun yan ı s ıra,ix(t)i s_rnax lx(t)I = Ilx II
yazabiliriz. O halde,68ily lI = II Tx Il =maxtcJk(1,1-)x(r)dıo5 max fik(t,r) !k(t) Ictıle•✓oko llx IIbulunur. Sonuç olarak, Il Tx11 < kolk Ii bulmu ş oluyoruz. Bu ise, c = ko al ınmak üzere,(1) ifadesinden ba şka bir şey değildir. O halde, T s ın ı rl ıd ı r.2.7.7. Matris. r sat ı rl ı ve n kolonlu, reel bir A = (aik) matrisi,eşitliği yard ım ıyla, bir T : [It n [18r operatörü tan ımlar. Burada, x = (4,) ve y = (%),s ıras ıyla, n ve r bileşenli kolon vektörleri olup, 2.6.8 'de tan ımland ığı şekliyle, matrisçarp ı m ı kullan ı lm ışt ı r. Bileşenler cinsinden yaz ı l ı rsa, (5) ifadesi,yrh =E ajkiclı=, 1Ax= 1,...,r)şekline dönüşür. Matris çarp ımı lineer bir operatör oldu ğundan, T lineerdir.T 'nin s ı n ı rl ı olduğunu göstermek için, önce, 2.2.2 'den, ER n üzerinde,jn114 = E nk4„=1 )ile verilen norm ile, benzer şekilde, y E 118 r için verilen normu hat ı rlayal ım. (5') ile, K ıs.1.2'deki (11) no.lu Cauchy-Schwarz e şitsizliğini göz önüne al ırsak,r r — 2liTx 11 2 =
69Matrislerin lineer operatörlere ili şkin rolleri K ıs.2.9 'da ayr ıca incelenecektir. Bukonuda sinirlilik tipik bir özelik olup, sonlu boyutlu hallerde kar şı laşaca ğı m ız bu durumu,aşağıdaki teoremle belirlemek istiyoruz.2.7.8.TEOREM (Sonlu Boyut). E ğer normlu bir X uzay ı sonlu boyutlu ise, Xüzerindeki her lineer operatör s ı n ı rl ı d ı r.Ispat. dim X = n ve , e n }, X 'in bir baz ı olsun. Herhangi bir x = 5eleman ı n ı ve X üzerinde herhangi bir lineer T operatörünü göz önüne alal ım. T lineerolduğundan (toplamlar 1 'den n 'e kadar al ınmak üzere),yazabiliriz. Son toplama, a,Tx Il = ;Te; II 0 say ıs ı verilmiş olsun. Buna göre, T lineer olduğundan, S = E/IITII olmak üzere,Ilx — xo Il < 8 olacak şekildeki her x E D(T) için,Il Tx — Tx o = T(x — x o) İl S. ii T iix — xo < 11 7'11(5 = Eyazabiliriz. xo e D(T) 'nin keyfi olmas ı nedeniyle, bu sonuç , T 'nin sürekli oldu ğunugösterir.Tersine olarak, T 'nin, keyfi bir x o e D(T) noktas ında sürekli oldu ğunu varsayal ım.
70Buna göre, herhangi bir e > 0 say ısı verildiğinde, I İx - xo Il < S koşulunu gerçekleyen herx E D(T) için,llTx-TxoII < solacak şekilde bir 0 say ıs ı vard ı r. Şimdi, D(T) 'de herhangi bir y 0 alal ım veyazal ım. Bu durumda,x = X0x - xo - y'IYI'olur. O halde, llx -x o Il = 8 olup, dolay ıs ıyla, (6) 'y ı kullanabiliriz. T 'nin lineer olmas ınedeniyle,yazabiliriz ve (6) ifadesi,'IYI'fiTx- Txoil = NT(x - xo)ii = 111(113,8 HyY)11 = ıly11 "TY"Ilvll Ii TY Il 5- Esonucunu gerektirir. Buradan dal Tyll < s Ilyll bulunur. Bu ise, c = £18 olmak üzere,Tyll 5_ 411 şeklinde yaz ılabilir T 'nin s ı n ı rl ı olduğunu gösterir.(b) T 'nin bir noktadaki süreklili ği, (a) 'n ın ispat ı n ı n ikinci k ısm ı gereğince, T 'nins ı n ı rl ı l ığın ı gerektirir; bu ise, (a) uyar ınca, T 'nin sürekliliğini verir.2.7.10. SONUÇ (Süreklilik , S ıf ır Uzay ı ). T s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. Bunagöre,(a) x„,x E D(7) olmak üzere, x„ x olmas ı , Txn Tx sonucunu gerektirir.(b) N(7) sıfı r uzay ı kapal ıd ı r.ispat. (a) İspat ın bu k ısm ı, Teorem 2.7.9(a) ve 1.4.8 'den, ya da, n 00 için,Il l'x ı, - = linxn - x)ii - --+ Oolmas ı nedeniyle, doğrudan doğruya, (3) 'den elde edilir.(b) Her x E N(7') için, N(7) 'de, xn --> x olacak şekilde bir (x„) dizisi vard ır; 1.4.6 (a) 'yabak ınız. O halde, Sonucumuzun (a) k ısm ı uyar ınca, Tx n -* Tx yazabiliriz. Ayr ıca, l'x,, = 0olduğundan, Tx = 0 'd ır; dolay ısıyla, x e N(7) olur. Buna göre, x e N(T) 'nin keyfi olarakseçildiğini düşünürsek, N(7) 'nin kapal ı olduğu ortaya ç ıkar.Bu arada, s ını rl ı lineer bir operatörün, değer bölgesinin kapal ı olmayabileceğinibelirtmemiz yerinde olacakt ır. (Prob.6 'ya bak ınız).Okuyucular, X, Y,Z normlu uzaylar olmak üzere, T2 :X->Y,T İ :Y->ZveT:X-->Xs ınırl ı lineer operatörleri için geçerli olan diğer bir yararl ı formülün, yani, daha aç ık olarakyazarsak,Ii Tı Tzll SIIT ı iiiirı ll, T" ii 5 ii (n e N)formülünün basit bir ispat ın ı verebilirler.Operatörlerin birer dönü şüm olduklar ın ı biliyoruz ve dönü şümlere ilişkin, tan ımbölgesi, değer bölgesi ve bir operatörün s ıf ır uzay ı gibi baz ı kavramlar ı inceledik. Şimdibunlara, k ıs ıtlama ve genişletme ad ını vereceğimiz, iki yeni kavram daha ekleyebiliriz.Asl ında bunu daha önce de yapabilirdik. Ancak, hemen ard ından, ilginç bir uygulamas ınıverebileceğimiz için, burada vermeyi tercih ediyoruz (Teorem 2.7.11'e bak ım). Işe,operatörlerin e şitliğini tan ımlayarak başlayal ım.(6 )
71Tl ve T2 gibi iki operatör verilmi ş olsun. Eğer bunlar, ayni D(7)) = D(T2) tan ımbölgesine sahip ise ve her x E D(T,) = D(T2) için, Tix = T2x oluyorsa, Tl ve T2operatörleri e şit 'dir denir veTı= T2yaz ı l ı r.Bir T : D(7) -> Y operatörünün, bir B c D(7) altkümesine olan k ısıtlamas ı ,ile gösterilen veT 1 BTIB -+ Y, her x B için T 18x=Txşeklinde tan ımlanan bir operatördür.T 'nin bir M D D(T) kümesine olan geni şlemesi ise,için, Tx = Tx olacak şekilde tan ımlanan birT:M-. YD(T)=T, yani, her x E D(T)operatörüdür. (Buna göre, T, -1 'n ı n D(7) 'ye olan kis ıtlamas ıdir. )Eğer, D(T), M 'nin gerçek bir altkümesi ise, verilen bir T operatörü bir çokgenişlemeye sahip olur. Bunlardan genellikle, pratik aç ıdan önemli olanlar!, örne ğin,lineerlik ve sinirlilik gibi, baz ı temel özelikieri koruyan geni şlemelerdir. Aşağıdaki teorem,bu bak ımdan, ilginçtir. Bu teorem, s ın ı rl ı lineer bir operatörün, kendi tan ım bölgesininD(T) kapan ışı na olan ve geni şletilmi ş operatör yine s ı n ı rl ı ve lineer ve hatta ayn ı normasahip olacak şekilde tan ımlanm ış bir genişlemesine ilişkindir. Bu durum, normlu bir Xuzay ı ndaki yoğun bir kümeden, X 'in tümüne yap ılan bir genişletmeyi de içerecektir.Ayr ıca, normlu bir X uzay ından, bu uzay ın tamlanm ışına olan (2.3.2) geni şleme dekapsanm ış olacakt ı r.2.7.11. TEOREM (S ın ı rl ı Lineer Geni şleme). D(T), normlu bir X uzay ında bulunmakve Y bir Banach uzay ı olmak üzere,T : D(7) Ys ını rl ı lineer bir operatör olsun. Bu durumda, T operatörü, Y,IITII = IIT ı Inormuna sahip, s ını rl ı lineer bir operatör olmak üzere, bir-7':D(1) -* Ygenişlemesine sahiptir.ispat. Herhangi bir x E D(T) göz önüne alal ım. Teorem 1.4.6 (a) uyar ınca, D(T) 'de,x„ x olacak şekilde bir (x„) dizisi vard ı r. T lineer ve s ın ı rl ı olduğundan,İ l Txn - TX.11 = IIT(x„ - xm)lI 5 IITIIIIx„` xm llyazabiliriz. Bu ise, (x„) dizisinin yak ınsak olmas ı nedeniyle, (Tx,,) dizisinin bir Cauchydizisi olduğunu gösterir. Kabulümüz gere ğ i, Y tam'd ı r; dolay ısıyla, (Tx„) yak ınsakt ı r;diyelim. T 'y ı ,Tx„ ->yE YTx = yile tan ımlayal ım. Şimdi, bu tan ımı n, D(T) 'de x 'e yak ınsayan bir dizinin özelseçimlerinden bağıms ız olduğunu göstereceğiz. x„ x ve ın x olduğunu varsayal ım.
Buna göre, (v,,),7 2dizisi olmak üzere, z„, x yazabiliriz. O halde, (Tv.) dizisi, 2.7.10 (a) uyar ınca, yak ınsakolup, (Tv.) 'in (Tx n ) ve (Tz n ) gibi iki altdizisi ayn ı limite sahip olmak zorundad ır. Bu ise, 7''n ı n, her x E D(7) noktas ında tek olarak tan ıml ı olduğunu ispatlar.Aç ıkça görüldü ğü gibi, T lineerdir ve her X E D(7) için, T x = Tx 'dir; o halde, 7' , T'nin bir geni şlemesidir. Şimdi,II Tx,j1 5_ II TIIIIxn IIeşitsizliğini kullan ı p, n 'i sonsuza götürelim. Buna göre, Tx, y = T x elde ederiz.x -+ 11xli sürekli bir dönü şüm tan ımlad ığından (K ıs.2.2 'ye bak ı n ız),i ı Tx Il Iki'buluruz. Dolay ıs ıyla, 7' s ın ı rl ı olup, 117 . 11 < 11711 'dir. Ku şkusuz, bir supremum olaraktan ımland ığı hat ı rlan ırsa, normun bir geni şlemede azalmas ı söz konusuolamayacağından, II 711 .? II Til 'dir. Bu iki sonuç ise, birlikte, 117'11 = II TII oldu ğunugösterir.PROBLEMLER1. (7) 'yi ispatlay ın ız.2. X ve Y iki normlu uzay olsun. Bir lineer operatörünün s ınırl ı olmas ı için gerek veyeter koşul, T 'nin X'deki s ı n ı rl ı kümeleri, Y 'deki s ı n ı rl ı kümeler içine dönü ştürmesidir.Gösteriniz.3. T # 0 s ı n ı rl ı lineer bir operatör ise, IIx il < 1 ko şuluna uygun herhangi bir x E D(T)için, 11 Tx II < 11711 (kesin) e şitsizliğini yazabileceğimizi gösteriniz.4. 2.7.9 (a) 'y ı kullanmaks ızın, 2.7.9 (b) için, doğrudan bir ispat veriniz.5. x = ıl; = .,/j olmak üzere, y = ( r7;) = Tx ile tan ımlanan, T :operatörünün lineer ve s ını rl ı olduğunu gösteriniz.6. (Değer Bölgesi). S ı n ı rl ı lineer bir T : X Y operatörünün R(7) değer bölgesinin, Y'de kapal ı olmak zorunda bulunmad ığın ı gösteriniz. (Yol Gösterme. Prob.5 'deki Toperatörünü kullan ı n ız.)7. (Ters Operatör). T, normlu bir X uzay ından, normlu bir Y uzay ı üzerine, s ınırl ılineer bir operatör olsun. Her x E X için,117'4 bfix11olacak şekilde, pozitif bir b say ısı varsa, : Y -+ X 'in mevcut ve s ın ı rl ı olduğunugösteriniz.8. S ın ı rl ı lineer bir T : X -› Yoperatörünün tersi olan, T-' : R(T) -+ X operatörününs ı n ı rl ı olmak zorunda bulunmad ığı n ı gösteriniz. (Yol Gösterme: Prob.5 'deki Toperatörünü kullan ı n ız.)9. T : C[0,1] y C[0,1] operatörü,y(t) = x(r)choile tan ımlanm ış olsun. R(7) ve T' : R(7) --> C[0,1] bulunuz. 1"-1 lineer ve s ın ı rl ı m ıd ı r?10. C[0,1] üzerinde, S ve T 'yi, s ıras ıyla,
73y(s) = s x(t)dt,oy(s) = sx(s)ile tan ımlayal ım. S ve T komütatif midir? IlSll , II T11, 115711, II TS11 'yi bulunuz.11. X, Ek üzerinde,=sup 1X(1)1ile tan ıml ı norma sahip, tüm s ı n ı rl ı reel değerli fonksiyonlardan olu şan normlu bir uzayolsun ve T : X -› Xoperatörü, A > 0 bir sabit olmak üzere,leRy(t) = Tx(t) = x(t —ile tan ımlans ı n. (Bu, y ç ı kt ıs ı , x girdisinin geciktirilmi ş versiyonu olan bir elektrik cihaz ıolan bir geciktirme hatt ı'n ın modeli olup geciktirme süresi A kadard ı r;Bkz. Şek.22). Tlineer midir? S ını rl ı m ıd ır?geciktirme hatt ı0y
IIA II =74nnj=1 Is=1ile tan ımland ığı n ı , fakat, n > 1 için, bunun, [R n üzerindeki Euclid normu ile tan ımlanandoğal norm olmad ığı n ı gösteriniz.14. Prob.12 'de,seçmemiz halinde, uyumlu bir normun,ct j2kIlx Il I = 11)211 2 =k=I11Ak k=1ile tan ımland ığı n ı gösteriniz.15. r = n için, Prob.14 'deki normun, bu problemde tan ı mlanan, il. Il 1 ve ii. 11 2normlar ına karşı l ık gelen do ğal norm olduğunu gösteriniz.1/22.8. LiNEER FONKSIYONELLERDeğer bölgesi, L8 reel ekseni, ya da, C kompleks düzleminde bulunan bir operatörebir fonksiyonel diyoruz. Ve fonksiyonel analiz, esas olarak, fonksiyonellerin analizidir.Fonksiyonelleri,fg,h,... gibi küçük harflerle,/ 'in tan ım bölgesini D(J), değer bölgesiniR(1) ile ve/ 'in bir x e D(J) noktas ı ndaki değerini del(x) ile gösterece ğiz.Fonksiyonellerin birer operatör olmalar ı nedeniyle, daha önce verdi ğimiz tan ımlarbunlara da uygulan ır. Ele al ınacak fonksiyonellerin ço ğunun lineer ve s ı n ı rl ı olmalar ınedeniyle, a şağıdaki iki tan ıma, özellikle, gereksinme duyaca ğız.2.8.1. TANIM (Lineer Fonksiyonel). Tan ım bölgesi bir X vektör uzay ında, değerbölgesi ise, X 'in bir k skaler cismi içinde bulunan lineer bir f operatörüne bir lineerfonksiyonel ad ı verilir; dolay ısıyla, X reel ise, k = E ve X kompleks ise, k = C olmaküzere,f :D(f) -› kyaz ı l ı r.2.8.2. TANIM (S ı n ı rl ı Lineer Fonksiyonel). D(J) tan ım bölgesi, normlu bir Xuzay ı nda, değer bölgesi ise, bu normlu X uzay ı n ı n skaler cismi içinde bulunan, s ı n ı rl ılineer bir f operatörüne s ı n ı rl ı lineer fonksiyonel ad ı verilir. Buna göre, her x e D(J) için,1f(x)1 cliz ı l )olacak şekilde reel bir c say ıs ı vard ı r. Ayr ıca,/ 'nin normu,Ilfll = supIf(x) 1(-2axD(I) X 11ya da,'dir. (K ıs.2.7. For(2) 'ye bak ı n ız.)IUII = sup If(x)1ıı4-1(2b)
Buna göre, K ıs.2.7 'deki (3) formülü,75Ax)I II/1111x li(3 )sonucunu gerektirir. Teorem 2.7.9 'un bir özel hali de a şağıdaki şekilde ifade edilebilir.2.8.3. TEOREM (Süreklilik ve Sinirlilik). Normlu bir uzayda, tan ım bölgesi D(1) olanlineer birffonksiyonelinin sürekli olmas ı için gerek ve yeter ko şul, f 'in s ı n ı rl ı olmas ıd ı r.ÖRNEKLER.2.8.4. Norm. Normlu bir (X, Il. Il) uzay ı üzerinde, Il. II : X R normu, lineer olmayanbir fonksiyoneldir.2.8.5. Skaler Çarp ım. Bir çarpan ı sabit tutulmak koşuluyla, bildiğimiz skaler çarp ım,.f(x) = = + + 42a2 4 3a 3yard ı m ıyla, birf : 08 3 -± R fonksiyoneli tan ımlar; burada, a = (a.,) F 118 3 sabit olarakal ı nm ışt ı r.f 'nin lineer olduğu kolayca görülebilir. Ayr ıca,/ s ı n ı rl ıd ır. Gerçekten,1/(x)1 = lx. al 5 ilxil11 a 11olup, normu 1 olan bütün x 'ler üzerinden supremum al ırsak, (2b) uyar ınca, MI 5_elde ederiz. Diğer taraftan, x = a al ıp, (3) 'ü de kullan ırsak,İi(a)I Ila Il11/11 — — Patilia Il liallbuluruz. O halde, f 'in normu = [la 'd ı r.2.8.6. Belirli İ ntegral. Analizde ço ğu zaman yapt ığım ız gibi, bir tek fonksiyon için gözönüne ald ığım ızda, belirli integral bir say ıdı r. Bununla birlikte, söz konusu integral, bellibir fonksiyon uzay ı ndaki tüm fonksiyonlar için ele al ı nd ığında, durum tamamendeğ işmektedir. Bu durumda, belirli integral, bu uzay üzerinde bir f fonksiyoneli halinedönüşür. Bir uzay olarak C[a,b] 'yi seçelim (Tan ım için 2.2.5 'e bak ı n ız). Bu durumda, ffonksiyoneli,i(X) = Jx(t)dt,x e C[a,b]ile tan ımlan ı r. f 'nin lineer oldu ğu aç ıkça görülmektedir. Şimdi,f 'nin s ın ı rl ı olduğunu ve= b - a normuna sahip bulunduğunu gösterelim. Gerçekten, J = [a, b] yaz ı p, C[a,b]üzerindeki normu hat ırlarsak,iflx)1 = jx(t)dt 5_ (b - a) max ix(t)1 = (b - a)11x1IteJbuluruz. Buradan, normu 1 olan tüm x 'ler üzerinden supremum alarak, b - a eldeederiz. Mi > b - a olduğunu görebilmek için, özel olarak, x = xo = 1 seçip, llx o ll = 1olduğunu göz önünde bulundurup, (3) 'ü kullan ırsak,llfll'&0?.:)1= lf(xol = J dt = b aiixollelde ederiz.2.8.7. C[a,b] Uzay ı . C[a,b] üzerinde, uygulama aç ıs ından önemli diğer birfonksiyonel ise, sabit bir to E ./ = [a, b] seçilip,ha
76fi(x) = x(t o ),yaz ılarak elde edilir. f I 'in lineer olduğu kolayca görülebilir. Ayr ıca, f s ını rl ı olup,VI Il = 1 normuna sahiptir. Gerçekten,xIfı (x)1 = lx(ro)I 5- Iki'yazabiliriz ve bu, (2) uyar ınca, IV, II < 1 sonucunu gerektirir. Di ğer taraftan, xo = 1 için,llx o II = I olup, (3) yard ım ıyla,VI II ?_ (x0 ) 1 =buluruz.2.8.8. Q 2 Uzay ı . t2 Hilbert uzay ı üzerinde (1.2.3 'e bak ın ız), sabit bir a = (aj) e t 2seçip, x = ( .i) E t 2 olmak üzere,1(x) =00S.l alyazarak, lineer bir f fonksiyoneli elde edebiliriz. K ıs.1.2 'deki (11) no.lu Cauchy-Schwarzeşitsizliği, toplamlar j üzerinden, 1 'den 00 'a kadar al ınmak üzere,if(x)i = IE4ıaı I 5 L4.igil 5_ Egi ı 2 = l ıx ıı ila Ilsonucunu vereceğinden, bu seri mutlak yak ınsakt ır ve f s ı n ı rl ıd ı r.Bir X vektör uzay ı üzerinde tan ıml ı tüm lineer fonksiyonellerden olu şan kümenin debir vektör uzay haline dönü ştürülebileceğini belirtmemiz gerekmektedir. Bu uzay, X 'incebirsel dual uzay ı olarak adland ır ı l ır ve X* ile gösterilir. (Uyar ı : Bu tan ımda normkavramtn ın içerilmediğine dikkat edilmelidir. X üzerindeki tüm s ını rl ı lineerfonksiyonellerden oluşan, X' dual uzay ı , K ıs.2.10 'da incelenecektir.) Bu uzaya ili şkin,vektör uzay işlemleri, aşağıdaki şekilde, doğal yolla tan ımlan ır. fi ve f2 gibi ikifonksiyonelin, f, + f2 toplam ı, her x E Xnoktas ındaki değeri,s(x) (fı + f2)(x) = f ı (x) + f2(x)olan bir s fonksiyonelidir; bir a skaleriyle, bir f fonksiyonelinin çarp ı m ı ise, x E X 'dekideğeri,p(x) = (af)(x) = af(x)olan birp fonksiyonelidir. Verilen tan ımlar ın, fonksiyonlarda al ışılm ış toplam ve bir sabitleçarp ım tan ımlarıyla uyum içinde oldu ğu da görülmektedir.Burada bir ad ım daha ileri giderek, X* 'in, elemanlar ı X* üzerinde tan ıml ı lineerfonksiyoneller olan(X*)* cebirsel dualini inceleyebiliriz. (X")* ' ı , X** ile gösterecek ve X'in ikinci cebirsel duali olarak adland ıraca ğız.X** ' ı incelememizin nedeni, X ile X** aras ında, aşağıda göreceğimiz, ilginç veönemli bağınt ı lar ın elde edilebilmesidir. Önce kullanaca ğımız notasyonlar ı seçelim.Uzay Genel eleman Bir noktadaki de ğeriXx" f f(x)x** g X19
77X* üzerinde tan ı ml ı lineer bir fonksiyonel olan, bir g E X** eleman ı n ı , sabit birx E X seçip,g(f) = gx(1) = j(x) (x E X sabit, .f E X* değ işken) (4)yazarak elde edebiliriz. Buradaki x alt-indisi, g 'yi belli bir x E X eleman ı kullanarakelde ettiğimiz konusunda ufak bir uyar ıcıd ır. Okuyucu, burada, x 'in sabit olmas ınakarşın, f 'in değ işken olduğunu unutmamal ıd ır. Bunun ak ılda tutmas ı halinde,incelemelerimizi anlamakta hiç bir güçlükle kar şı laşmayacakt ı r.(4) 'de tan ımland ığı haliyle, gx lineerdir. Bunu,gx(afı + fif2) = (afi + f3f2)(x) = af ı (x)+ ğJf2(x) = agx(fı ) + f3g,(f2)yazarak görebiliriz. Dolay ıs ıyla, gx , tan ı m ı gereğ i, x** ' ın bir eleman ıd ı r.Her bir x E X 'e , bir g, E X** karşı l ık gelir. Bu ise, birC :xX X**gxdönüşümü tan ımlar. C 'ye, X 'in X** içine olan kanonik dönü şümü ad ı verilir.Tan ım bölgesinin bir vektör uzay olmas ı ve(C(ax + fly))(f) = gax+py(f)= f(ax + fay)= af(x)+ fif(y)= agx (f) + f3gy(f)= a(Cx)(f) + fi(Cy)(1)yaz ılabilmesi nedeniyle, C lineerdir.C 'ye, X 'in, X** içine olan kanonik gömülü şü de denir. Bu deyimi anlayabilmemiziçin, genel aç ıdan da ilginç olan, "izomorfizm" kavram ı n ı aç ıklamam ız gerekir.Çal ışmalar ım ız s ıras ında çeşitli uzaylar ı ele ald ığımız ı biliyoruz. Bunlar ın hepsindeortak olan şey, her birinin bir küme ile (ad ına X diyelim), X üzerinde tan ıml ı bir "yap ı ""dan otuşmas ıd ır. Bir metrik uzay için, bu yap ı , söz konusu metrik'dir. Bir vektör uzayiçin, iki cebirsel işlem yap ı 'y ı oluşturur. Ve bir normlu uzay için, söz konusu yap ı , ikicebirsel işlem ile normdan olu şur.Ayn ı cinsten, X ve Xgibi iki uzay verildiğinde (örneğin, her ikisi de vektör uzay), Xve '‘ı 'n ın "esasta denk" olup olmad ığın ın , yani, en fazla, noktalar ı n ın yap ılar ıaç ısı ndan birbirinden farkl ı olup olmad ıklar ı n ın bilinmesi önem taşı r. Eğer böyle ise, Xve '15" uzaylar ı - ayn ı "soyut" uzay ı n iki kopyas ı biçiminde- birbirine denk olarakdüşünülebilir. S ık s ık karşım ıza ç ıkacak olan bu durum, bizi bir "izomorfızm" kavram ınagötürmektedir. Tan ım olarak, izomorfizm, X 'in X üzerine, yap ıy ı koruyan, bire-bir veörten bir dönü şümüdür.Buna göre, bir X= (X, d) metrik uzay ının, bir Yı" = (I, d) metrik uzay ı üzerine olanbir T izomorfizmi, uzakl ığı koruyan, yani, her x,y E X için,aş(Tx,Ty) = d(x,y)koşulunu gerçekleyen, bire-bir ve örten bir dönü şümdür. Bu durumda,X ile
78izomorfik 'dir denir. Bu tan ım bizim için yeni bir şey olmay ıp, Tan ım 1.6.1 'degördüğümüz, bire-bir ve örten bir izometri için di ğer bir isimdir. Şimdi verece ğ imiz tan ı mise yenidir.Ayn ı cisim üzerinde, bir X vektör uzay ı n ın, bir X vektör uzay ı üzerine olan bir Tizomorfizmi, vektör uzaya ili şkin iki cebirsel işlemi koruyan, bire-bir ve örten birdönüşümdür. O halde, her x,y E X ve a skaleri için,yazabiliriz. Yani, T : XT(x + y) = Tx + Ty,T(ax) = aTx, bire-bir ve örten, lineer bir operatördür. Böyle birizomorfizmin var olmas ı halinde, X, X ile izomorfik' dir denir.Normlu uzaylara ili şkin izomorfizm ise, normu da koruyan, vektör uzayizomorfizmidir. Bu konudaki ayr ı nt ı l ı bilgiyi Kts.2.10 'da görece ğiz. Şimdilik, yaln ızca,vektör uzay izomorfizmi ile ilgileniyoruz.C kanonik dönüşümünün, "içine" bir dönü şüm olduğu gösterilebilir. C lineerolduğundan, X 'in, R(C) c X** değer bölgesi üzerine olan bir izomorfizmidir.Eğer, X, bir Y vektör uzay ı n ı n bir altuzay ı ile izomorfik ise, X, Y 'de gömülebilir'dirdenir. Dolay ıs ıyla, X, X** 'da gömülebilirdir ve C 'ye, X 'in X** içine kanonik gömülü şüde denir.Eğer C, örten (ve dolay ıs ıyla, bire-bir ve örten) ise, R(C) = X** olup, X 'e cebirselyans ımal ı uzay ad ı verilir. Bundan sonraki k ıs ımda, X 'in sonlu boyutlu olmas ı halinde,cebirsel yans ımal ı olduğunu ispatlayaca ğız.Normlar ı da içine alan ve bizi normlu bir uzay ın yans ımal ı olma kavram ınayöneltecek benzer bir incelemeyi, gerekli ön bilgileri ö ğrendikten, özellikle, ünlüHahn-Banach Teoremini gördükten sonra, K ıs.4.6 'da verece ğiz.PROBLEMLER1. 2.8.7 ve 2.8.8 'de tan ımlanan fonksiyonellerin lineer olduklar ın ı gösteriniz.2. ga,b] üzerinde,f i (x) = x(t ) y o(t) dt(yoe C[a,b])f2(x) = ax(a) + )3x(b)(a, 13 sabit)ile tan ımlanan fonksiyonellerin lineer ve s ın ı rl ı olduğunu gösteriniz.3. C[-1, 1] üzerinde,of(x) = x(t)dt - x(t)dtile tan ımlanan, f lineer fonksiyonelinin normunu bulunuz.4. J = [a,b] olmak üzere,fi (x) =max x(t)tc,1f2(x) =min x(t)'nin C [a, b] üzerinde birer fonksiyonel tan ı mlad ığın ı gösteriniz. Bunlar lineer midir?o
79S ı n ı rl ı m ıd ı r?5. Herhangi bir X dizi uzay ı üzerinde, lineer bir f fonksiyonelini, x = (.;) olmaküzere,fix) = ğ n (n sabit) alarak tan ı mlayabileceğimizi gösteriniz. X = Q"' olmas ı halinde,f s ı n ı rl ı m ıd ı r?6. (Cla, bi Uzay ı). C' [a, b] ya da, C[a, 6] uzay ı , J = b] üzerinde, süreklitüretilebilen tüm fonksiyonlar ı n oluşturdu ğu,Ilx=max ;x(t) I +maxıcJrEJnormuna sahip, bir normlu uzayd ır. Norm aksiyomlar ı n ın gerçeklendi ğini gösteriniz.c = (a + b)12 olmak üzere,fix) = x'(c) 'nin, C la, bi üzerinde, s ını rl ı lineer birfonksiyonel tan ı mlad ığın ı gösteriniz. f 'in C [a, bi 'nin tüm sürekli türetilebilenfonksiyonlar ından olu şan altuzay ı üzerinde bir fonksiyonel olarak göz önüne al ı nmas ıhalinde, s ını rl ı olmad ığı n ı gösteriniz.7. Eğer f, bir kompleks normlu uzay üzerinde, s ı n ı rl ı lineer bir fonksiyonel ise, 7s ı n ı rl ı m ıd ır? Lineer midir? (Burada, "---" sembolü kompleks e şleniği göstermektedir.)8. (S ıf ı r Uzay ı). Bir M* c X* kümesinin N(M*) s ıf ır uzay ı , her f E M* için, f(x) = 0koşulunu gerçekleyen tüm x e X elemanlar ından oluşan küme olarak tan ımlan ı r. N(M*)'in bir vektör uzay oldu ğunu gösteriniz.9. f O, bir X vektör uzay ı üzerinde herhangi bir lineer fonksiyonel ve xo, N(f), f'in s ıf ır uzay ı olmak üzere, X— N(/) 'in herhangi bir sabit eleman ı olsun. Herhangi birx e X eleman ı n ın, y E N(f) olmak üzere, tek bir x = a xo gösterimine sahip olduğunugösteriniz.10. Prob.9 'da, x ı ,x2 E X gibi iki eleman ı n, XIN(1) bölüm uzay ını n ayn ı eleman ı naait olmas ı için gerek ve yeter koşulun, f(x ı ) = f(x2) olduğunu gösteriniz. (Tan ım içinK ıs.2.1, Prob.14 'e bak ı n ız.)11. Ayn ı vektör uzay ı üzerinde tan ımlanan ve ayn ı s ıf ır uzay ına sahip fi 0 vef20 gibi iki lineer fonksiyonelin oranl ı (' olduğunu gösteriniz.12. (Hiper-Düzlem). Y bir X vektör uzay ı n ın bir altuzay ı ve codim Y= 1 ise(K ıs.2.1,Prob.14 'e bak ı n ız), XIY 'nin her eleman', Y 'ye paralel bir hiper-düzlem ad ı n ıal ır. X üzerindeki herhangi bir f 0 lineer fonksiyoneli için, H ı = {x E X : f(x) = 1}kümesinin, f 'in N(f) 'in s ıfır uzay ına paralel bir hiper-düzlem oldu ğunu gösteriniz.13. Y, bir X vektör uzay ı n ın bir altuzay ı ve f ,f(Y), X 'in tüm skaler cismiolmayacak şekilde, X üzerinde tan ım!' lineer bir fonksiyonel olsun. Bu durumda, hery E Y için, f(y) = 0 olduğunu gösteriniz.14. Normlu bir X uzay ı üzerindeki bir f 0 s ı n ı rl ı lineer fonksiyonelinin 11/11normunun, geometrik aç ıdan, başlang ıç noktas ı n ın H = {x E X :/(x) = 1}hiper-düzlemine olan 71 = inf filx : f(x) = 1} uzakl ığın ın tersi olarakyorumlanabileceğini gösteriniz.15. (Yar ım Uzay). f 0, bir X reel normlu uzay ı üzerinde tan ım!' s ı n ı rl ı lineer birfonksiyonel olsun. Bu durumda, herhangi bir c skaleri için, H, = {x E X : f(x) = c}hiper-düzlemini elde ederiz ve ,Xc ı ={x : .f(x) c} ve ={x:1(x) c}gibi iki yar ım düzlem belirler. c = VII olmak üzere, kapal ı birim yuvar ın, X,' içindebulunduğunu, fakat, hiç bir E > 0 say ısı için, c = — E olmak üzere, Xc ı yar ımuzay ı n ın, bu yuvart içermedi ğini gösteriniz.
809 SONLU BOYUTLU UZAYLARDA L İ NEER OPERATÖRLER VEFONKSIYONELLERSonlu boyutlu vektör uzaylar, sonsuz boyutlu olanlardan daha basit olup, budurumun, böyle bir uzay üzerinde tan ımlanan lineer operatörler ve fonksiyonelleraç ıs ından ne gibi kolayl ıklar getirdiği sorusu doğal olarak akla gelir. Bu k ısımdainceleyeceğimiz soru bu olacak ve bulaca ğımız yan ıt, sonlu matrislerin lineeroperatörlere ve bunun yan ı s ıra, sonlu boyutlu bir X vektör uzay ı n ın X* cebirseldualinin yap ıs ı na ilişkin rollerinin ne olduğu konusuna aç ıkl ı k getirecektir.Aşağıda da aç ıklayacağım ız gibi, sonlu boyutlu vektör uzay üzerinde tan ıml ı lineeroperatörler, matrisler cinsinden ifade edilebilirler. Bu bak ımdan, matrisler, sonlu boyutluhallerde, lineer operatörlerin incelenmesi için en önemli araç haline dönü şür. Bu konudayapaca ğım ız incelemeyi tümüyle anlayabilmemiz için, Teo.2.7.8 hat ırlamam ızgerekmektedir. Şimdi ayr ı nt ılara geçelim.X ve Y , ayn ı cisim üzerinde, sonlu boyutlu iki vektör uzay ve T : X -+ Y lineer biroperatör olsun. E X için ve B = 'yi Y için bir baz olarakseçelim; burada söz konusu vektörler, sabit olarak tutaca ğımız, belirli bir s ıradadüzenlenmişlerdir. Bu durumda, her bir x E X eleman!,şeklinde tek bir gösterime sahiptir. T lineer olduğundan, x ,x = ı e ı (1)y = Tx =T(Zkek)= E wek (2)k=-1 k-1görüntüsüne sahip olur. (1) gösteriminin tekli ğini göz önüne al ırsak, ilk sonucumuzuifade edebiliriz:gibi n tane baz vektörünün yk = Tek görüntüleri belirlenmiş ise, Toperatörü tek anlaml ı olarak ifade edilebilir.y ve y k = Tek, Y 'de bulunduklar ından, bunlar,y = E TlJbi(3a)Tek =Erikbiı=1şeklinde birer tek gösterime sahiptir. Bunlar ın (2) 'de yerine konulmas ı bize,r ( nY = E nik = E= E E = E E Ti k4 A)bjİ=I k--1 j=1 j=1sonucunu verir. bi 'lerin lineer ba ğıms ız bir küme olu şturmalar ı nedeniyle, sağ ve solyandaki her bir bi 'nin katsay ılar ı ayn ı olmal ıd ır; yani,(3b)= E T.ikk J = 1,...,r (4)k- ı'dir. Bu ise, bize ikinci sonucu verir:x = E kek 'n ın görüntüsü olan, y= Tx = E ilik (4) 'den elde edilebilir.(3b) 'deki TJk 'n ın j toplama indisinin al ışı lm ışın d ışındaki konumuna dikkatetmemiz gerekir; bu durum, (4) 'deki toplama indisinin bilinen konumuna ula şabilmemiziçin zorunludur.
81(4) 'deki katsay ı lar, r sat ı rl ı ve n kolonlu birTEB = ( Tik)matrisi olu ştururlar. Eğer, X 'in E baz ı ve Y 'nin B baz ı , E ve B 'nin elemanlar ıbelli bir s ırada (keyfi, fakat sabit) düzenlenmi ş olmak üzere verilmi ş ise, TEB matrisilineer T operatörü taraf ından, tek olarak belirlenir. Bu durumda, TEB matrisi, bu bazlarcinsinden, T operatörünü temsil eder diyece ğ iz.-X" = (4k) ve 5, = (rb) kolon vektörlerini tan ımlayarak, (4) 'ü matris formundayazabiliriz:_P= TEB: - .Benzer şekilde, (3b) de, matris formunda yaz ı labilir:Te = TE-Bh;burada T e (kendileri de birer vektör olan) T e 1, ...,T e„ bileşenlerine sahip bir kolonvektör, h ise, b ı ,..„b„ bileşenlerine sahip bir kolon vektördür. Bu arada, (4) 'de ikinciindis olan k üzerinden toplam almam ıza kar şı n, (3b) 'de ilk indis olan j üzerindentoplam almam ız nedeniyle, TEB 'nin, TEB transpozunu kullanmak zorunda kald ığı m ızadikkat etmemiz gerekir.Incelemelerimiz, lineer bir T operatörünün, T 'yi, X ve Y 'nin verilen birer baz ıcinsinden temsil eden bir tek matrisi belirledi ğini göstermektedir; burada, bazlar ın herbirindeki vektörlerin sabit bir s ırada düzenlenmi ş olduğu varsay ılmaktad ır. Tersineolarak, r sat ı rl ı , n kolonlu her matris, X ve Y 'nin verilen bazlar ı cinsinden temsilettiği lineer bir operatör belirler. (2.6.8 ve 2.7.7 'ye bak ı n ız.)Şimdi, önceden de oldu ğ u gibi, dim X = n ve {el, e „} X 'in bir baz ı olmaküzere, X üzerinde tan ı ml ı lineer fonksiyonellere dönelim. Bundan önceki k ısımda dagördü ğümüz gibi, bu fonksiyoneller X 'in X" cebirsel dualini olu ştururlar. Böyle her ffonksiyoneli ve her x = E i ej e X için,(4' )(3b')yazabiliriz; burada,j(x) =ai =i ej = E ğif(ei) = E aj) i=i fratj = 1,...,nolup, f , kendisinin, X 'in n tane baz vektöründeki aj değerleri yard ım ıyla, tek olarakbelirlenir.Tersine olarak, her ai,...,a, skaler n —lisi, X üzerinde, (5) yard ım ıyla, lineer birfonksiyonel belirler. Özel olarak,(I, O, O, ... O, O)(0, 1, 0, ... 0, 0)(Sa)(5b)(O, 0, O, ... O, 1)n —Illerini alal ım. Bu seçim, (5) gere ğince,ile belirtilen ve
820: j kfk(ei) = S;k =(6)1 : j = kdeğerlerini, yani, k. baz vektörde 1 ve di ğer n — 1 baz vektöründe 0 de ğerini alan, ntane fonksiyonel verir. Burada ad ı geçen d,k 'ya Kroneker Deltas ı denir. {fı ,...,f„}, X'in {el,...,e n > baz ı n ı n dual baz ı olarak adland ı r ı l ır. Buna ilişkin olarak a şağıdaki teoremiverebiliriz.2.9.1. TEOREM ( X* 'in Boyutu). X, n —boyutlu, bir vektör uzay ve E = {el,...,en},X 'in bir baz ı olsun. Bu durumda, (6) ile verilen F = {fi,...,fn}, X 'in cebirset duali olanX* için bir baz olup, dim X* = dim X = n 'dir.ispat. F lineer ba ğıms ız bir kümedir. Çünkü, x = e, olmak üzere,eşitliğ i,E J3kfli(x) = O (x X)ııE fikfk(e.i) = E fik3,k = /3, = 0Ic=1sonucunu verir; dolay ısıyla, (7) 'deki bütün fi k 'lar s ıfırd ır. Şimdi, her f e X* 'in, F 'inelemanlar ı n ın lineer bir kombinasyonu olarak, tek bir biçimde temsil edilebildi ğinigösterece ğiz. (5b) 'de olduğu gibi, ftei) = ai yazal ım. (5a) uyar ınca, her x E X için,(7)yazabiliriz. Öte yandan, (6) gere ğince,AX) = E 4jaij=1elde ederiz. Bu ikisini birlikte göz önüne al ırsak,= fi( ğı e ı ±...+4nen) --- 4iJ(x) = E aif,(x)buluruz. O halde, X üzerinde, keyfi bir lineer fonksiyonelin,cinsinden, tek gösterimif= al fı +...-Fanfnfonksiyonelleri'dir.Bu teoremin ilginç bir uygulamas ına haz ı rl ık olmak üzere, önce a şağıdaki lemmay ıispatlayaca ğız. (Keyfi normlu uzaylar için benzer bir lemma 4.3.4. 'de verilecektir.)2.9.2.Lemma. (S ıf ır Vektörü) X sonlu boyutlu normlu bir uzay olsun. E ğer, X0 E Xeleman!, her f E X' için, f(xo) = 0 özeliğini gerçekliyorsa, xo = 0 'd ı r.ispat.
832.9.3. TEOREM (Cebirsel Yans ıma). Sonlu boyutlu bir vektör uzay ı cebirselyans ımal ıd ı r.Ispat. Bundan önceki k ısımda incelediğimiz C : X -> X** kanonik dönüşümülineerdir. C 'nin tan ım ı gereğince, Cxo = 0 'in anlam ı , her .f e X* için,(Cx0)(f) = gx„(1) f(xo) = 0olduğudur.Bu ise, Lemma 2.9.2 uyar ınca, xo = 0 sonucunu gerektirir. O halde, Teorem2.6.10 'dan faydalanarak, C dönüşümünün, C-1 : R(C) -+ X şeklinde bir tersinin varolduğunu söyleyebiliriz. Ayr ıca, yine ayn ı teorem gereğince, dimR(C) =dim X yazabiliriz.Teorem 2.9.1 uyar ınca ise,dimX** = dimX* = dimXbuluruz. Bunlar ın birlikte göz önüne al ınmas ı ise,dimR(C) = dimX**sonucunu verir. O halde, R(C) = X** 'd ır. Çünkü, R(C) bir vektör uzay olup, Teorem2.1.8 uyar ı nca, X** ' ın, dim X** 'dan daha küçük bir boyuta sahip, gerçek bir altuzay ıd ı r.Bu ise, tan ım gereğince, cebirsel yans ıman ın ispat ı n ı verir.PROBLEMLER1.1 3 2-2 1 0ile temsil edilen, T : IR 3 R 2 operatörünün s ıf ır uzay ın, belirleyiniz.2. T : R 3 -› 1i8 3 operatörü,ile tan ımlanm ış olsun. R(T), N(T) 'yi ve T 'yi temsil eden bir matris bulunuz.3. R 3 için, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} baz ı n ın dual baz ını bulunuz.4. {fl,f2,f3}, R 3 'ün {ei,e2,e3} baz ı n ın dual baz ı olsun; burada, el = (1,1,1),e2 = (1,1,-1) ve e3 = (1,-1,-1) 'dir. x = (1,0,0) olmak üzere, fı (x), f2(x) ve f3(x)bulunuz.5.f, n -boyutlu bir X vektör uzay ı üzerinde, lineer bir fonksiyonel ise, N(f) s ıfıruzay ı n ın boyutu ne olabilir?6. R 3 üzerinde, x = (41,2,43) olmak üzere, f(x) = + -3 ile tan ımlanan ffonksiyonelinin s ıfır uzay ı için bir baz bulunuz.7.Prob.6 'daki soruyu, a l # 0 olmak üzere, f(x) = a ı ı + a22 +a33 içintekrarlay ınız.8. Z, n -boyutlu bir X vektör uzay ı n ı n, (n - 1) -boyutlu bir altuzay ı ise, Z 'nin, Xüzerinde, skaler çarpmaya göre, tek olarak tan ımlanan, uygun bir lineer ffonksiyonelinin s ıfır uzay ı olduğunu gösteriniz.9. X, reel değ işkenli ve derecesi verilen bir n say ıs ından daha küçük olan tümpolinomlarla, (derecesi tan ıms ız olarak b ı rak ılan) x = 0 polinomundan olu şan vektöruzay olsun. f(x) = x(k) (a), yani, x E X 'in k. türevinin (k sabit) sabit bir a e R 'dekideğeri, olsun. f 'nin, X üzerinde lineer bir fonksiyonel oldu ğunu gösteriniz.10. Z, n -boyutlu bir X vektör uzay ın ın gerçek bir altuzay ı ve xo E X- Z olsun. X2)
84üzerinde, f(x 0) = 1 ve her x E Z için, f(x) = 0 olacak şekilde lineer bir ffonksiyonelinin varoldu ğunu gösteriniz.11. Eğer, x ve y, sonlu boyutlu bir X vektör uzay ı nda iki farkl ı vektör ise,j(x) r f(y) olacak şekilde, lineer bir f fonksiyonelinin varoldu ğunu gösteriniz.p < n olmak üzere, n —boyutlu bir X vektör uzay ı üzerinde, lineerfonksiyoneller ise, X 'de, fı (x) = 0 fp(x) = 0 olacak şekilde bir x 0 vektörününvaroldu ğunu gösteriniz. Bu buldu ğumuz sonuç, lineer denklemlere ili şkin olarak ne gibisonuçlar verir?13. (Lineer Genişleme). Z, n —boyutlu bir X vektör uzay ının bir gerçek altuzay ı ve fZ üzerinde lineer bir fonksiyonel olsun. f 'in X 'e lineer olarak geni şletilebileceğ ini,yani, X üzerinde, 7 iz =f olacak şekilde, lineer bir 7 fonksiyonelinin varoldu ğunugösteriniz.14. R 2 üzerindeki f fonksiyoneli, x = (41,42) olmak üzere, f(x) = 441 — 342 iletan ımlanm ış olsun. R 2 'yi R 3 'ün, S3 = 0 ile verilen bir altuzay ı olarak dü şünelim. f 'ninR 2 'den R 3 'e, tüm lineer 7 genişlemelerini belirleyiniz.15. Z c R 3 , 42 = 0 ile belirlenen bir altuzay ve f , Z üzerinde, f(x) = ( 41— 43)12 iletan ımlanan bir fonksiyonel olsun. f 'in, R 3 'e, 7(x 0)= k (verilen bir sabit) olacakşekilde, lineer bir 7 genişlemesini buiunuz (Burada x o = (1,1,1) 'dir). 7 tek midir?2.10. NORMLU OPERATÖR UZAYLARI. DUAL UZAY.K ıs. 2.7 'de bir s ı n ı rl ı lineer operatör kavram ı n ı tan ımlam ış ve okuyucuya, buoperatörlerin önemi hakk ında ilk izlenimleri kazand ıracak temel örnekleri vermi ştik.Şimdi, (ikisi de reel, ya da, ikisi de kompleks ) her- hangi iki X ve Y normlu uzay ı ile, X'den Y 'nin içine olan tüm s ın ı rl ı lineer operatörlerden olu şanB(X,Y)kümesini göz önüne alal ım. B(X,Y) 'nin de normlu bir uzay haline dönü ştürülebileceğinigöstermek istiyoruz.Yap ılacak iş oldukça basittir. Her şeyden önce, Tl, T2 E B(X,Y) gibi iki operatörünT ı + T2 toplam ı n ı , doğal bir şekilde,ile ve T E B(X,Y)( + T2)x T 1x + T2x'nin bir a skaleriyle olan a T çarp ı m ı n ı(al)x = aTxile tan ımlarsak, B(X, Y) bir vektör uzay haline dönü şür. Şimdi, Lemma 2.7.2 (b) 'yihat ırlay ıp istediğimiz sonuca hemen ula şabiliriz:2.10.1. TEOREM ( B(X, Y) Uzay ı). Normlu bir X uzay ından, normlu bir Y uzay ıiçine olan tüm s ı n ı rl ı lineer operatörlerden olu şan B(X,Y) vektör uzay ı n ın kendisi de,—supxEx ilx11 xExs-0—sup II Txilile tan ı mlanan norma sahip bir normlu uzayd ı r.Acaba hangi durumda, B(X, Y) bir Banach uzay ı olabilir? Temel bir nitelik ta şıyan busorunun cevab ı n ı aşağıdaki teoremde verece ğiz. Görüleceği gibi, teoremdeki ko şul X 'iiçermemektedir; yani X tam olabilir ya da olmayabilir.2.10.2. TEOREM (Taml ık). Y 'nin bir Banach uzay ı olmas ı halinde, B(X, Y) bir(i)
85Banach uzay ıd ı r.ispat. B(X, Y) 'de keyfi bir (T„) Cauchy dizisi ele al ıp, (T„) 'in bir T E B(X, Y)operatörüne yak ınsad ığı n ı gösterece ğiz. (T,i) Cauchy olduğundan, her e > 0 say ıs ıiçin,IITn - Tmll < e (m,n > N)olacak şekilde bir N say ısı vard ır. Buna göre, her x E X ve m,n > N için,Tnx Tmxii = Il 5 Ii Tmiiiix ii 5 Ellx ll (2)yazabiliriz (K ıs.2.7,For.(3) 'e bak ı n ız). Şimdi,herhangi bir sabit x ve verilen bir 7 için,e,. 114 < 7 olacak şekilde bir s = ex seçebiliriz. Buna göre, (2) 'den, Il T„x - T„,x11 y diyelim. Aşikar olarak, y E Y limiti, x E X 'in seçimine bağl ıd ı r. Buise, y = Tx olmak üzere, biroperatörü tan ımlar.lim Tr,(cıx + j3z) = lim(aT„xT:X-+Y(T„z) = alimT„x + filim Tnz)olduğundan, T operatörü lineerdir.Şimdi de, T 'nin s ınırl ı ve T,, -> T , yani, ll T„- T„,11 -> 0 olduğunu ispatlayaca ğız.Her m > N için, (2) gerçeklendiğinden ve T„ix -> Tx olduğundan, m 'yi sonsuzagötürebiliriz. Normun süreklili ğini kullanarak, (2) 'den, her n > N ve her x E X için,Il Tnx Txii = IIT,,x -lim =lim - Tnix II elix Il (3 )elde ederiz. Bu da, n > N olmak üzere, (T,,- T) 'nin s ınırl ı lineer bir operatör oldu ğunugösterir. T„ s ı n ı rl ı olduğundan, T = T,,- (T,,- 7) operatörü de s ınırl ıd ır; yani,T e B(X, Y) 'dir. Ayr ıca, (3) 'de, normu 1 olan tüm x 'ler üzerinden supremum al ırsak,T„ Til 5_ e (n > IV)elde ederiz. O halde, T„ - T„, il -> 0 'dir.Bu teoremin, X 'in X' dual uzay ı na ilişkin, aşağıda tan ım ın ı vereceğimiz, önemli birsonucu vard ır.2.10.3. TANIM (X' Dual Uzay ı). X normlu bir uzay olsun. X üzerindeki tüm s ınırl ılineer fonksiyonellerden olu şan küme,Ilfiilf(x)I=sup =sup jf(x)I(4)xcxh.II=1ile tan ımlanan norma sahip olan, normlu bir uzay olu şturur. Bu uzaya, X 'in dual uzay ıad ı verilir ve X' sembolüyle gösterilir. (Bkz. K ıs.2.8,(2)).X üzerindeki bir lineer fonksiyonel, X 'i, R ya da C 'nin (X 'in skaler cismi) içinedönüştürdüğünden ve R ya da C, al ışılm ış metrikleri alt ında, tam olduklar ından, Y = illya da C olmas ı halinde, X' nün B(X, Y) uzay ı olduğu ortaya ç ıkar. Dolay ısıyla, Teorem2.10.2 'yi kullanabilir ve a şağıdaki temel teoremi elde ederiz.2.10.4. TEOREM (Dual Uzay). Nomılu bir X uzay ının, X' dual uzay ı (X olsun yada olmas ın) bir Banach uzay ıd ı r.Fonksiyonel analizin temel ilkelerinden biri, uzaylar ın incelenmelerinin bunlar ın dualuzaylar ıyla birlikte dü şünülmesidir. Bu nedenle, s ık s ık karşımıza ç ıkacak olan uzaylar ıincelememiz ve bunlar ın duallerinin neler oldu ğunu bulup ç ıkarmam ız yerinde olacakt ı r.
86Bu konuya ili şkin olarak, yapaca ğım ız incelemeleri anlayabilmemizde izomorfizmkavram ı yard ımc ı olacakt ı r. K ıs.2.8 'deki bilgilerimizi hat ırlayarak, a şa ğıdaki tan ım ıverebiliriz.Normlu bir X uzay ından, normlu bir /uzay ı üzerine olan bir izomorfizm, normukoruyan, yani, her x E X için,liTxli = 113c11eşitliğini gerçekleyen, bire-bir ve örten lineer birT : X ->operatörüdür. (Dolay ısıyla, T izometriktir.) Bu durumda, X uzay ı X ile izomorfiktirdiyecek ve X ve X uzaylar ına izomorfik normlu uzaylar ad ı n ı vereceğiz. Soyut aç ıdan,X ve 3
87kl' göz önüne alal ım. f lineer ve s ı n ı rl ı olduğundan, yk = f(ek) say ılar ı , f taraf ından,tek anlaml ı olarak belirlenmiş olmak üzere,yazabiliriz. Ayr ıca, IIekII = 1 veCOAX) -= E 4kyk, yk = f(e k ) ( 6)k-1Tki = Ifick)i 11'11 Ilek II = suP !Tki Ç Etli (7)k'dir. Dolay ısiyla, (yk) e Q' elde ederiz.Diğer taraftan, her b = (fik) e r için, QI üzerinde buna kar şı l ık gelen, s ı n ı rl ı lineerbir g fonksiyoneli bulabiliriz. Gerçekten, QI üzerinde, g 'yi, x = k) E t 1 olmak üzere,g(x) = E/c fikk-1ile tan ımlayabiliriz. Bu durumda, g lineerdir ve sinirlili ği (toplamlar 1 'den cc 'a kadaral ınmak üzere)İg(x)i < Ekk fik( 5_suP İPilEgki = IIXII suP IPAJ'den görülür. O halde, g E t" 'dür.Son olarak, f 'in normunun, Q" uzay ı üzerindeki norm olduğunu gösterece ğiz. (6)'dan,ıf(x) ı = rkl 5._sup = 11.4 sup IYJIyazabiliriz. Normu 1 olan tüm x 'ler üzerinden supremum al ı rsak,Itill
88yazabiliriz. q, p 'nin eşleniği olsun (1.2.3'e bak ı n ız) ve= Irkri/rk : k 5 n ve r k # 00 : k > n veya y k = Oolmak üzere,X„ = ( ı((") )'i göz önüne alal ım. Bunu, (10) 'da yerine koyarsak,f(x,7 ) = (ırn) ?' k = kl qk=1 11elde ederiz. Ayr ıca, (11) 'i ve (q - 1) p = q e şitliğ ini kullan ırsak, (toplamlar 1 'den n 'ekadar al ınmak üzere)fixn)IV II IIxII = l ıfıı (Ld n) I P) 1 / P= (EIrkl (q-1)P) -1/P= l ıfll (»kr')buluruz. Bu sonuçlar ı birlikte göz önüne al ırsak,Axn) = 11f11 (Z ırklq) 149yazabiliriz. Son çarpan ile bölüp, 1 - 1/p = 1/q e şitliğini kullanmam ız halinde ise,/ n )1-11p11qırk ıq = Lyalq(„k-1elde ederiz. n keyfi olduğundan, n 'i sonsuza götürürsek,LYklq)k=1IlqIUIIlifil(12)buluruz. O halde, (ya) e Qg 'dur.Tersine olarak, herhangi bir b = (/3k) e Qg için, QP 'de buna karşı l ık gelen sinirli lineerbir g fonksiyoneli elde edebiliriz. Gerçekten, QP üzerindeki g fonksiyonelini,x = (y k) e QP olmak üzere,g(x) = E kl3 kyazarak tan ımlayabiliriz. Bu durumda, g lineer olup, sinirliliğ i, K ıs.1.2'deki (10) no.luHölder e şitsizliğinden elde edilir. O halde, g e QP' 'dür.Son olarak, f 'nin normunun, Qq uzay ı üzerindeki norm olduğunu göstereceğiz. (10)'dan ve Hölder e şitsizliğinden faydalanarak (toplamlar 1 'den Q0 'a kadar al ınmaküzere),V(X), = IZ k y ki ki P)k-I11p(Eir klq) Ilq= ııx ıı (Eirk ıq)yazabiliriz; buradan da, normu 1 olan tüm x 'ler üzerinden supremum alarak,q
l ıfll89(ElYklq) ugelde ederiz. (12) 'den, e şitlik işaretinin geçerli olmas ı gerektiğini görmekteyiz; yani,Ilfil = (Eirkl gr (13)'dur. Bu ise, c = (yk) E Pq ve yk = f(ek) olmak üzere, liffi = mi, şeklinde yaz ılabilir. tP`'den t' üzerine,f ile tan ımlanan dönü şüm, lineer, bire-bir ve örtendir. Ayr ıca,budönüşümün, normu koruyan bir dönü şüm olduğunu (13) 'den görmekteyiz. Dolay ısıyla,bir izomorfizmdir.Burada, bu ve benzeri örneklerin öneminin ne oldu ğu sorusu sorulabilir. Uygulamada,pratik aç ıdan önemli olan uzaylar üzerindeki s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerin genelformlar ı n ın bilinmesi oldukça faydal ıd ır. Ve bir çok uzay bu aç ıdan incelenir.Orneklerimiz, R n , ve p > 1 olmak üzere, t" üzerindeki s ı n ı rl ı lineer fonksiyonelleringenel gösterimlerini vermi ştir. C[a, b] uzay ı ise, K ıs.4.4 'de, gerekli ön bilgiler verildiktensonra incelenecektir.Ayr ıca, K ıs.2.8 'de, X** ile gösterdiğimiz, ikinci cebirsel dualin incelenmesinihat ırlayarak, X 'in ikinci dual uzay ı olan Xn = 'nün incelenmesinin yararl ı olupolmad ığı n ı sorabiliriz. Bu sorunun "evet" olan cevab ı n ı , yine gerekli ön bilgilerden sonravermek üzere, K ıs.4.6 'ya erteleyece ğiz. Şimdi ise, dikkatlerimizi, biraz daha basit olaniççarp ım uzay ı ve Hilbert uzay ı konular ına çeviriyoruz.PROBLEMLER1. B(X, Y) vektör uzay ın ın s ıf ır eleman' nedir? Tan ım 2.1.1 anlam ında, T E B(X, Y)'nin tersi nedir?2. Notlar ım ızda, operatör ve fonksiyonellerin, X uzay ın ın tümü üzerindetammland ığını görüyoruz. Fonksiyoneller söz konusu oldu ğunda, bu varsay ımolmaks ız ın da a şağıdaki teoremi ifade edebilece ğimizi gösteriniz. f ve g, tan ı mkümeleri normlu bir X uzay ında bulunan s ı n ı rl ı lineer fonksiyoneller ise, s ıf ırdan farkl ıherhangi a ve ğ3 skalerleri için, h = af + /3g lineer kombinasyonu, tan ım kümesiD(h) = D(I) + D(g) olan s ı n ı rl ı lineer bir fonksiyoneldir.3. Prob.2 'deki teoremi, s ı n ı rl ı lineer bir Tl ve T2 operatörlerine geni şletiniz.4. X ve Y normlu uzaylar ve T„ : X -› Y (n = 1,2,...) 'ler s ın ı rl ı lineer operatörlerolsun. T„ T olmas ı halinde, verilen her e > 0 say ıs ına karşı l ık, her n > N ve verilenherhangi bir kapal ı yuvar içindeki her x için, ► T„x - Txli < E olacak şekilde bir Nsay ıs ı n ı n varolduğunu gösteriniz.5. 2.5.8 ile, 2.10.5 'in uyum içinde oldu ğunu gösteriz.6. X, s ı ral ı reel say ı n -Iilerinden olu şan bir uzay ve x = olmak üzere,lixj1 =max ise, X' dual uzay ı üzerinde buna karşı l ık gelen norm hangisidir?7. 2.10.6 'dan, tüm s ı ral ı reel say ı n -lilerinden oluşan X uzay ı na ilişkin ne gibi birsonuç ç ıkartabiliriz?8. co uzay ı n ın dual uzay ı n ı n Q 1 olduğunu gösteriniz, (Tan ım için, K ıs.2.3, Prob.1 'ebak ı n ız.)9.f , bir X vektör uzay ı üzerinde, lineer bir fonksiyonel olsun. f 'nin, X 'in bir Namelbaz ı üzerinde ald ığı değerler cinsinden, tek anlaml ı olarak belirlenebildiğini gösteriniz.(K ıs.2.1 'e bak ın ız)10. X ve Y {0} iki normlu uzay ve dim X = Go olsun. En az bir tane, s ı n ırs ız lineer
90T : X Y operatörünün varoldu ğunu gösteriniz. (Bir Hamel baz ı kullan ınız.)11. X normlu bir uzay ve dim X = op ise, X' dual uzay ı n ı n, X' cebirsel dual uzay ıile özdeş olmad ığı n ı gösteriniz.12. (Taml ık). Konu içinde verdi ğimiz örnekler, baz ı uzaylar ın taml ıklar ı n ın ispat ındakulian ılabilirler. Nas ıl? Ve hangi uzaylar için?13. (S ıfı rlayan). M * cD, normlu bir X uzay ın ın herhangi bir altkümesi olsun. M 'ninMa s ıf ı rlayan ı , M üzerinde her yerde s ıfır değerini alan ve X üzerinde tan ıml ı tüms ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerden olu şan küme olarak tan ımlan ır. O halde, Ma, X 'in X'dual uzay ın ın bir altkümesidir. Ma 'n ı n, X "nün bir altvektör uzay ı olduğunu ve kapal ıolduğunu gösteriniz. Xa ve {O}° nedir?14. M, n -boyutlu normlu bir X uzay ını n, m -boyutlu bir altuzay ı ise, Ma 'n ı n, X''nün, (n m) - boyutlu bir altuzay ı olduğunu gösteriniz.15. M = «1,0,-1),(1,-1,0),(0,1,-1» c U olsun. Ma için bir baz bulunuz.
BÖLÜM 3.IÇÇARPIN.1 UZAYLARI, H İ LBERT UZAYLARINormlu bir uzayda, elemanter vektör cebrinde oldu ğu gibi, vektörleri toplayabiiir veskalerlerle çarpabiliriz. Ayr ıca, norm kavram ı , böyle bir uzay üzerinde, bir vektörünelemanter uzunluk kavram ı n ı genelleştirir. Bununla birlikte, genel bir normlu uzayda, yinede eksik olan, ya da , e ğer mümkün ise, yapmay ı istediğ imiz şey, bilinena.b = a,p, +a2f32+a3p3skaler çarp ı m ı n benzerini tan ımlamak ve bunun sonucu olarak da,formülünü ve ortogonallik (diklik) içinIIaI İ= Ja•aa.b = 0koşulunu elde edebilmektir. Bu durumda, skaler çarp ı m ve diklik kavram ı n ı n keyfi vektöruzaylara genelle ştirilip, genelle ştirilemeyeceği sorusu ortaya ç ıkmaktad ır. Gerçekte,bugenele ştirmeler yap ı labilmekte ve bizi iççarp ım uzay ı ve daha sonra da, Hilbert uzay ıad ı verilen tam iççarp ı m uzaylar ı'na götürmektedir.ileride de görece ğ imiz gibi, iççarp ım uzaylar ı , özel normlu uzaylar olup, genel normluuzaylardan daha eski bir tarihe sahiptir. Teorileri de daha zengin olup, Euclid uzaylar ınabüyük benzerlik göstermekte ve ana kavram diklik olmaktad ı r. Asl ı nda, iççarp ım uzaylar ıEuclid uzay ı n ı n en doğal genelleştirmesi olup, okuyucu bu alandaki kavram veispatlardaki büyük uyum ve güzelli ği sezinleyecektir. Teorinin tümü, D.Hilbert'in integraldenklemler hakk ı ndaki bir çal ışmas ından kaynaklanmaktad ır, (1912). Bugünkullan ılmakta olan gösterim ve deyimler, Euclid geometrisindekilere benzer olup,G.Kowalewski'nin önerileri do ğrultusunda, E.Schmidt taraf ı ndan ortaya at ı lm ışt ı r (1908).Söz konusu uzaylar, günümüze de ğin. fonksiyonel analizin pratik uygulamalar ında enyararl ı uzay olma özeli ğini hala korumaktad ı r.Önemli kavramlar, temel konulara ili şkin k ısa bilgilendirmeBir X iççarp ım uzay ı (Tan ım 3.1.1), üzerinde bir < x,y > iççarp ı m ı tan ı ml ı olan bir Xvektör uzay ıd ı r. İççarp ım, üç boyutlu uzaylarda vektörlerin skaler çarp ı m ı kavram ı n ıgenelle ştiren ve(I) İlxll =< X,X > 112 ile bir II. Il normu,(Il) < x,y >= 0 ile dikliğ i tan ımlamakta kullan ı l ı r.Bir H Hilbert uzay ı , tam olan bir iççarp ım uzay ıd ır. iççarp ım ve Hilbert uzaylar ı teorisi,genel normlu uzaylar ve Banach uzaylar ı teorisinden daha zengindir. Bu zenginli ği ortayaç ıkaran hususlar,(i) H 'In, kapal ı bir altuzay ı ile bu altuzay ın dik tümleyeninin direkt toplam ı olarakbelirtilmesi (Bkz.3.3.4),(ii) ortonormal kümeler ve diziler ve H ' ın elemanlar ı n ı n bunlara karşı l ık gelengösterimleri (Bkz. K ıs. 3.4, 3.5)91
92(iii) s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerin iççarp ım yard ı m ıyla Riesz gösterimi (3.8.1),(iv) s ı n ı rl ı lineer bir T operatörünün Hilbert-adjoint operatörünün (Bkz. 3.9.1)bulunmas ıd ı r.Ortonormal kümeler ve diziler, total olmalar ı halinde gerçekten ilginçtir (K ıs.3.6).Hilbert-adjoint operatörler, uygulamada büyük önem ta şıyan operatör s ı n ıtlann ı n(self-adjoint, üniter, normal) operatör s ı n ıflar ı n ın tan ımlanmas ında kullan ılabilir (Bkz.K ıs.3.10).3.1. iççarpim Uzay ı . Hilbert Uzay ı .Bu bölümde inceleyeceğimiz uzaylar ın tan ımlar ın' vererek i şe ba şlayal ım.3.1.1. Tan ım (Iççarp ım Uzay ı , Hilbert Uzay ı). Bir iççarp ım uzay ı (ya da, ön-Hilbertuzay ı), üzerinde bir iççarp ım tan ımlanm ış bir X vektör uzay ıd ı r. Bir Hilbert uzay ı ise,üzerindeki iççarp ırnla tan ımlanm ış metriğe göre, tam olan bir iççarp ı m uzay ıd ır. Buradasözü edilen iççarp ım, Xx X 'den X 'in bir k skaler cisimi içine yap ı lan birdönü şümdür; yani, X 'in her x ve y vektör çifti, x ve y 'nin vektörel çarp ımı olarakadland ı r ılan ve < x,y > ile gösterilen ve her x, y ve z vektörleri ve a skaleri içinaşağıdaki özelikleri gerçekleyen bir skalerle e şlenmektedir:(Iç 1) < x +y, z > = < x, z > + < y, z >( İç 2) < ax,y > = a < x,y >(Iç 3) < x,y > = < y,x >(iç 4) < x,x > O< x,x > = O x = O.X üzerinde tan ımlanan bir iççarp ı m, X üzerinde,ile verilen bir norm ve114 = x,x > (1)d(x,y) = ilx - y ıl = İI(x- y,x- y) (2)ile verilen bir metrik tan ımlar.Buna göre, iççarp ım uzaylar ı birer normlu uzay olup, Hilbert uzaylar ı ise birer Banachuzay ıd ı r.(Iç 3) 'deki üst çizgi, kompleks e şleniği göstermekte olup, X 'in reel bir vektör uzayolmas ı halinde, kolayca,< x,y >=< y,x > (simetri)sonucunu elde ederiz.(1) ile tan ımlanan fonksiyonun (N1)-(N4) norm aksiyomlar ı n ı gerçekledi ğini bundansonraki k ıs ımda gösterece ğiz.(Iç 1)-(Iç 3) ifadelerinden ise, s ık s ık kullanacağımız,(a) < ax + 13y,z >= ct < x,z > +P < y,z > (3)(b) < x,ay >=cz < x,y >(c) < x, ay + Pz > = â < x,y > +7-3 < x,z >formüllerini elde ederiz. (3a) formülü, iççarp ım ın birinci çarpana göre lineer oldu ğunuortaya koyar. (3c) ise, sa ğ tarafta rı ve eşlenikleri bulunduğundan, iççarp ım ın ikinciçarpana göre e şlenik lineer olduğunu gösterir. Bu iki özeli ği birlikte ifade ederek,
93iççarp ı m ı n sesquilineer oldu ğunu söyleyece ğiz. Bunun anlam ı , eşlenik lineerliğin, bazen,yar ı-lineer olarak adland ı rlmas ı nedeniyle, "1} kere lineer" demektirOkuyucu, iççarp ım uzay ı üzerindeki normun, paralelkenar e şitliği olarak bilinen,Ilx +311 2 + = 2(114 2 + (4)eş itliğ ini gerçeklediğini, doğrudan bir hesaplamayla, kolayca gösterebilir. Normkavram ı n ın, bir vektör uzunlu ğunun elemanter kavram ı n ın genelleştirilmesi oldu ğunu gözönünde bulundurursak, a şağı daki şekilde de görece ğimiz gibi, elemanter geometrinindeyimlerine benzetilerek, bu ismin kullan ı lma nedenini anlayabiliriz. Böyle bir e ş itliğ in çokdaha genel durumlarda da geçerlili ğini korudu ğunu belirtmemiz yerinde olacakt ı r.XŞekil 23. x ve y kenarlanna sahip paralelkenar(4) eş itliğini gerçeklemeyen bir normun, (1) 'in kullan ı lmas ıyla, bir iççarp ımdan eldeedilemeyece ğ ini söyleyebiliriz. Böyle normlar vard ır ve bunlara ili şkin örnekler a şağıdaverilecektir. Bu nedenle, herhangi bir yanl ış anlamaya yer vermeksizin,"Normlu uzaylar ı n hepsi bir iççarp ım uzay ı değ ildir."diyebiliriz.Orneklerimizi incelemeden önce, teorinin tümünde esas olan diklik (ortogonallik)kavram ı n ı tan ımlamam ız yerinde olacakt ı r. Üç boyutlu uzaylarda iki vektörün skalerçarp ı m ı n ın s ıf ır olmas ı halinde, bu iki vektörün dik olduklar ı n ı , ya da, en az bir tanesinins ıf ır vektörü oldu ğunu biliyoruz. Bu durum bizi a şağıdaki tan ıma götürmektedir:3.1.2. TANIM (Diklik). Bir X iççarp ım uzay ı n ın, x ve y gibi, iki eleman ı verildiğinde,eğer,< x,y > -= Oise, x eleman ı , y eleman ına dik'dir denir ve x ı y şeklinde yaz ı l ı r. Benzer şekilde, A,B c X altkümeleri verildi ğinde, eğer, her a E A için, x ı a ise, x ı A ve her a E A veher b E B için, a ı b ise, A ı B yazar ız.ÖRNEKLER3.1.3. k n Euclid Uzay ı . ilk" uzay ı , x = = ve y = (//ı ) = ( 711, ,r1n)olmak üzere,< x,y >= 11 .1 1ile tan ımlanan iççarp ıma göre, bir Hilbert uzay ıd ı r.Gerçekten, (5) 'den,(5)
ve bundan da,9411X Il X,X > 1/2 = (jd(x,y) = Ilx -yll x -y,x -y > I/2 = {(41-7/1 ) 2 -1-...±(4 n-il n ) 2 1 1/2ile tan ımlanan Euclid metriğini elde ederiz. Bu metri ğe göre, ad ı geçen uzay ı n taml ığı n ıise, 1.5.1 'de görmü ştük.n = 3 olmas ı halinde, (5) formülü. x = (1,2,3) ve y = (ril,7/2,773) 'ün, bilinen,skaler çarp ım ın ı verir vedikliği, elemanter diklik kavram ıyla uyuşur.3.1.4. Cn Birim Uzay ı . Cn uzay ı ,< x,y >= x.y = 1111 + 27/2 +43113< x,y >= x.y = O< x,y >= 1 -7T n (6)ile verilen iççarp ıma göre bir Hilbert uzay ıd ır. Gerçekten, (6) 'dan,11,4 = +...+4,znya +...414,1 2) 1/2ile tan ımlanan normu elde ederiz. Burada, ayr ıca, (6) 'da neden "frj kompleks e şleniğinialmak zorunda oldu ğumuzu da görmekteyiz; bu durum, < y,x > = < x,y > eşitliğinigerektirmektedir ki, bu da, (Iç3) 'den ba şka bir şey değildir. Dolay ısıyla, < x,x > reeldir.3.1.5. L 2 [a, bi Uzay ı. örnek 2.2.7 'deki norm,(b 1/2IIX =X(02dtile tan ımlan ır ve< x,y >= x(t)y(t)dtJaile tan ımlanan iççarp ımdan elde edilir.Kolayl ık olmas ı nedeniyle, örnek 2.2.7 'deki fonksiyonlar ın reel-değerli fonksiyonlarolduğu varsay ılm ışt ı . Ancak, belli uygulamalarda bu k ısıtlamay ı kald ırmak vefonksiyonlar ı (t E [a,lı] olmak koşuluyla) kompleks-değerli fonksiyonlar olarak almakbaz ı avantajlar sa ğlar. Bu fonksiyonlar,(7)< x,y f x(t) y(t) dt (7*)tan ım ı n ı yapmam ız halinde, bir iççarp ım uzay ına dönüşecek olan bir kompleks vektöruzay ı oluştururlar. Burada kulland ığımız üst çizgi yine kompleks e şleniği göstermektedir.Buna göre, (Iç 3) gerçeklenmekte ve dolay ısıyla, < x,x > yine reel olmaktad ı r. Buözeliğe, x(t)x(t) = lx(t)1 2 olmas ı nedeniyle,1/211X11 =\.afiX( İ)1 2diile tan ımlanan norma ilişkin işlemlerde yine gereksinme duyaca ğız.
95(7) 'ye kan şı l ık gelen metrik uzay ın tamlanm ışı reel L 2 [a,b] uzay ıd ır (2.2.7 'yebak ı n ız). Benzer şekilde, (7*) 'a kar şı l ık gelen metrik uzay ın tamlanm ışı ise, kompleksL 2 [a,b] uzay ıd ır. Bundan sonraki k ıs ımda, iççarp ım ın, bir iççarp ım uzay ından,bu uzay ı ntamlanm ışına genişletilebileceğini göreceğiz. Bu durum, yapt ığı m ız incelemelerle birlikte,L 2 [a,b] uzay ı n ı n bir Hilbert uzay ı olmas ı n ı gerektirir.3.1.6. Q 2 Hilbert Uzay ı . ( 2 uzay ı ,< x,y >= E .1 71.-;J- İile tan ımlanan iççarp ıma göre bir Hilbert uzay ıd ır. Buradaki serinin yak ınsakl ığı , birincibölümde gördü ğümüz Cauchy-Schwarz e şitsizliğinden ve x, y E C 2 varsay ım ındanç ıkmaktad ır. Görüldü ğü gibi, (8) ile tan ımlanan iççarp ı m, (6) ile tan ımlad ığı m ız iççarp ım ıgenelle ştirmektedir. Q 2 'deki norm ise,IIx ı I X,X > 112ile tan ı mian ı r. V 2 uzay ı n ın bu norma göre tam oldu ğu ise, 1.5.4 'de ispatlanm ışt ı .Q 2 uzay ı Hilbert uzaylar ı n ın ilk örneği olup, ilk kez, D.Hilbert taraf ı ndan integraldenklemlere ili şkin bir çal ışmas ında tan ımlanm ış ve incelenmiştir (1912). Bununlabirlikte, Hilbert uzay ın ın aksiyomatik tamm ı ,daha sonralar ı , J. von Neumann taraf ı ndankuantum mekaniğinin matematiksel temellerine ili şkin bir çal ışmada verilmi ştir(1927),s.15-16. Bu konuda, ayr ıca, J. von Neumann (1929-30), s. 63-66 ve M.H.Stone(1932), s.3-4 'e bak ı n ız. Bu tan ım, Hilbert uzay ı n ı n "ayr ı labilme" koşulunu içermektedir.Ancak,söz konusu ko şul, H.Löwig (1934), F.Rellich (1934) ve F.Riesz (1934) 'inçal ışmalar ı sonucu, teorinin bir çok k ısımlar ında gereksiz bir k ıs ıtlama olarak görülmü şve kald ı r ılm ışt ır. (Bu çal ışmalar Ek.3 'de s ıralanm ışt ı r).3.1.7. Qp Uzay ı . p 2 olmak üzere, QP uzay ı bir iççarp ım uzay ı olmay ıp, dolay ıs ıyla,bir Hilbert uzay ı da değ ildir.Ispat. Yukar ıdaki ifademiz, p 2 olmak üzere, QP 'nin normunun bir iççarp ımdan eldeedilemeyeceği anlam ına gelmektedir. Bu durumu, söz konusu normun, (4) 'dekiparalelkenar e şitliğini gerçeklemedi ğini göstererek ispatlayabiliriz. Gerçekten,x = (1,1,0,0,...) e P ve y = (1,-1,0,0,...) E (P al ırsak,IIxll = IIYII = 2 uP, lix = İlx -- Yll = 2olduğunu hesaplayabiliriz. Ve buradan da, p 2 olmas ı halinde, (4) 'üngerçeklenmedi ğini görebiliriz.QP uzay ı n ın tam olduğunu daha önce görmü ştük. Buna göre, p 2 olmak üzere, QPdizi uzay ı , Hilbert uzay ı olmayan bir Banach uzay ıd ı r.3.1.8. C[a,b] Uzay ı . C[a,b] uzay ı , bir iççarp ım uzay ı olmay ıp, dolay ıs ıyla, bir Hilbertuzay ı da değ ildir.ispat. (4) 'deki paralelkenar e ş itliğini sağlamamas ı nedeniyle,Ilxtl =max lx(t)i,=,(J = [a,b])ile tan ımlanan normun, bir iççarp ımdan elde edilemeyece ğini göstermemizgerekmektedir. Gerçekten, x(t) = 1 ve y(t) = (t - a)I(b - a) al ırsak, 114 = 1, HA = 1 ve1/2(8)x(t) + y(t) - 1a
96x(t) y(t) - 1elde ederiz. Buna göre, Ilx +yil = 2, Ilx -yil = 1 vefakat,t a ab - ailx+YI1 2 + lix - Y11 2 = 52 (11XII 2 + IlY 11 2 ) = 4bulunur ki, bu da ispat ım ız ı tamamlar.Son olarak, a şağıdaki ilgi çekici gerçeklerden söz etmek istiyoruz. Bilindi ğ i gibi, biriççarp ıma, (1) ile verilen bir norm kar şı l ık gelmektedir. Tersine olarak, iççarp ı m ı n,kendisine karşı l ık gelen normdan elde edilebilece ğine dikkati çekmemiz de yerindeolacakt ır. Gerçekten, elemanter i şlemler sonucu, reel bir iççarp ım uzay ı için,< x,y >= 1 (11x +y11 2 + -y11 2 )4yaz ı labileceği ve kompleks bir iççarp ım uzay ı için de,Re < x,y > = 4 (1Ix +y11 2 + lix -y11 2 )Im < x,y > = â ( + iyli 2 + - 2 )olduğu gösterilebilir. (10) formüllerine, polarizasyon özde şliği de denilmektedir.PROBLEMLER1. (4) 'ü ispatlay ı n ız.2. (Pythagoras Teoremi). Bir X iççarp ım uzay ında, x ı y ise,lix +YII 2 = İlx11 2 + 11)11 2olduğunu gösteriniz. (Şek.24). Bu formülü, iki şer ikişer dik, m tane vektör halinegenelleştiriniz.xŞekil 24. Düzlemde Pythagoras teoreminin gösterimi3. Prob.2 'deki X 'in reel olmas ı halinde, verilen ba ğınt ıntn, tersine olarak, x L ysonucunu gerektirdi ğini gösteriniz. X 'in kompleks olmas ı halinde bunun geçerliolmayabileceğini gösterip örnekler veriniz.4. Bir X iççarp ım uzay ı reel ise, Ilxll = IIYN ko şulunun, < x +y,x -y >= 0 sonucunugerektirece ğini gösteriniz. X = R 2 ise, bunun geometrik anlam ı nedir? X 'in kompleks
97olmas ı halinde bu ko şul neyi ifade eder?5. (Appolonius Özdeşliği). Bir iççarp ım uzay ındaki herhangi elemanlar için,liZ X11 2 11 2 -= -y11 2 — 2 11Z —(x + y)11 2olduğunu doğrudan do ğruya hesaplayarak gösteriniz. Bu özde ş liğin, ayn ı zamanda,paralelkenar eşitliğinden de elde edilebilece ğini gösteriniz.6. x 0 ve y 0 olsun. (a) x 1 y ise, {x,y} 'nin lineer ba ğıms ız bir küme oldu ğunugösteriniz. (b) Bu sonucu, iki şer ikişer birbirine dik, s ıf ı rdan farkl ı , x ı ,...,x„, vektörleriiçin genelle ştiriniz.7. Bir iççarp ım uzay ı nda, her x için, < x,u > = < x,v > ise, u = v olduğunugösteriniz.8. (9) ba ğınt ısı n ı ispatlay ı roz.9. (10) ba ğı nt ılann ı ispatlay ı n ız.10. z ı ve z2 iki kompleks say ı olsun. < z ı , z2 > = z ı z-2- 'nin, kompleks düzlemdekibilinen metriği veren bir iççarp ım tan ımlad ığı n ı gösteriniz. Hangi koşul alt ındaortogonalliği elde ederiz.11. X, bütün s ı ral ı kompleks say ı çiftlerinden olu şan vektör uzay olsun. X üzerinde,= 1411+ 1421 [x = (41,42)]ile tan ımlanan normu bir iççarp ımdan elde edebilir miyiz?12. (a) 4„ = (b) l/n olmak üzere, x = (1,42,...) ise, 3.1.6 'daki IIx IInedir?13. Sürekli fonksiyonlar için, 3.1.5. 'de verilen iççarp ım ı n (iç 1)-(Iç 4) koşullar ı n ıgerçekledi ğini gösteriniz.14. C[a,b] üzerindeki normun, t = az + f3 lineer dönü şümü alt ında invaryant kald ığı n ıgösteriniz. Bu gerçe ğ i, [a,b] 'yi [0,1] üzerine dönü ştürüp, daha sonra da, T e [0,1]olmak üzere, 1-(ı) = 1, 37(ı) = z ile tan ımlanan fonksiyonlar ı göz önüne alarak, 3.1.8.'deki ifadeyi ispatlamak için kullan ın ız.15. X sonlu boyutlu bir vektör uzay ve (e ;), X için bir baz ise, X üzerindeki biriççarp ım ın, tamamiyle , kendisinin, yjk = < ek> değerleriyle belirlenebilece ğ inigösteriniz. Böyle, yik skalerlerini tamamen keyfi biçimde seçebilir miyiz?3.2. İÇÇARPIM UZAYLARININ DI ĞER ÖZELIKLERIİlk olarak, yukar ıda verdiğimiz (1) ba ğı nt ısı n ın bir norm tan ımlad ığı n ı göstermemizgerekmektedir.(N1) ve (N2) ko şullar ı , (iç 4) 'den ç ıkmaktad ı r. Ayr ıca, (N3) koşulu, (Iç 2) ve ( İç 3)'den yararlan ılarak elde edilir; gerçekten,ax Ii 2 =< ax,ax >= aâ < X, X >= lai 2 2'dir. Son olarak, (N4) ko şulu, aşağıdaki lemmada içerilmektedir.3.2.1. LEMMA (Schwarz E şitsizliği, Üçgen E şitsizliği). Bir iççarp ım ve buna kar şı l ıkgelen norm Schwarz e şitsizliğini ve üçgen eşitsizliğini, aşağıda belirtildi ğ i şekilde,gerçekler:(a) Eşitlik hali, ancak ve ancak, {x,y} 'nin lineer ba ğı ml ı olmas ı halinde geçerli olmaküzere,
98l< x,y >I < IIxII IIYII (Schwarz e şitsizliğ i) (1)'dir.(b) Söz konusu norm, e şitlik hali,ancak ve ancak, y = 0 ya da, x = cy (c reel ve> 0) halinde geçerli olmak üzere,11x +3, 11 5 IIxII + (Üçgen Eşitsizliği) (2)eşitsizliğini gerçekler.ispat. (a) y = 0 olmas ı halinde, < x,0 > = 0 oldu ğundan, (1) gerçeklenir. y ı 0 olsun.Her a skaleri için,O < 11x - ay11 2 = < x - ay, x - ay > = < x, x > < x,y > -ak y,x > —re < y,y >Iyazabiliriz. Buradan, kö şeli parantez içindeki ifadenin, -o- = < y,x > / < y,y > almam ızhalinde s ıf ı r olduğunu görebiliriz. Geriye kalan e şitsizlik,< y,x >O < x,y >=< Y,Y > ıly ıl2olup, burada, < y,x > = < x,y > eşitliğini kulland ık. Bu ifadeyi, Ily1I 2 ile çarp ıp, son terimisola geçirdikten sonra karekök al ırsak (1) 'i elde ederiz. Bu formülde e şitlik hali ancak veancak, y = 0 ya da 0 = Ilx ay11 2 olmas ı halinde ortaya ç ıkar. Bu durumda ise,x - ay = 0, yani, x = ay bulunur ki bu da lineer ba ğıml ı l ığı gösterir.(b) (2) eşitsizliğini ispatlayabilmek için önce,Ilx +y11 2 = < x + y,x + y > = lix l ı 2 x,y > + < y,x > +11y11 2yazabiliriz. Say ılara ilişkin üçgen e şitsizliğini kullan ırsak,11x +Y il 2 5 + 2i< x,Y >1+5 ilxii 2 + 2 11X II IlY + 1137 11 2= (IIX II ILY 11) 2x,yelde ederiz. Her iki taraf ın karekökünü alarak da (2) e şitsizliği bulunur.Bu formülde de, e şitlik hali, ancak ve ancak,+< Y,x>= 211x IIIlYIIolmas ı halinde geçerlidir. Burada sol yan, Re reel k ısm ı belirtmek üzere, 2 Re < x,y >'dir. Bundan ve (1) 'den yararlanarak,Re < x,y > = İIxIIIIYII l< x,y (3)yazar ız. Kompleks bir say ı n ın reel k ısm ı mutlak değerinden daha büyükolamayaca ğından, (3) 'de eşitlik hali geçerli olmal ıd ır. Bu ise, a) gere ğince, lineerbağı ml ı l ığı gerektirmektedir. Yani, y = 0 ya da x = cy 'dir. Şimdi, c 'nin reel ve k 0olduğunu gösterece ğiz. Eşitlik halini göz önüne alarak, (3) 'den, Re < x,y >= I< x,y >Iyazabiliriz. Ancak, kompleks bir say ı n ın reel k ısm ı , bu say ının mutlak değerine e şit ise,sanal k ıs ım' s ıf ır olmak zorundad ır. Buna göre, (3) 'den, < x,y > = Re < x,y > 0bulunur ve0 = < cy,y, > ='den de, c > 0 sonucu elde edilir.(1) Schwarz e şitsizliği oldukça önemli olup, ispatlar ı m ızda sürekli olarakkullan ı lacakt ır. Yine s ık s ık kullanaca ğımız diğer bir önemli özelik de iççarp ımı n
99sürekliliğidir:3.2.2. LEMMA (iççarp ım ı n Sürekliliği). Bir iççarp ı m uzay ında, x„ x ve y n y ise,< > < x,y > 'd ir.ispat. Bir terim ekleyip ç ıkartarak, say ılar için üçgen e şitsizliğini ve son olarak daSchwarz e şitsizliğini kullanarak ve n -■ 00 için, y n - y --> 0 ve x n -x O olduğunu gözönüne alarak,l< xn ,Yn > - < x.y >I = l< Xn,Yn > —› < x n,y > + < x,,,y > < x,y >Il< xn ,yn —y >I+ i< x,, —x,y >I11x,1111..vn —Y Ii + x II Hy Ii oelde ederiz.Bu lemman ın ilk uygulamas ı olarak, her iççarp ım uzay ı n ın tamlanabilece ğiniispatlayaca ğız. Tamlanm ış uzay bir Hilbert uzay ı olup (kendisine izomorf olanlar ı nd ışında) tek'dir. Burada söz konusu olan izomorfizmi a şağıdaki şekilde tan ı mlayabiliriz:Bir X iççarp ım uzay ı n ın, ayn ı cisim üzerinde tan ı ml ı diğer bir 31.'" iççarp ı m uzay ıüzerine olan T izomorfizmi, iççarp ım ı koruyan, yani, her x,y E X için,< Tx,Ty >=< x,y >olacak şekilde tan ımlanan bire-bir ve üzerine bir lineeroperatörüdür. Bukoşullara uygun X vel iççarp ım uzaylar ına izomorfik iççarp ım uzaylar ı ad ı verilir.Bire-bir ve üzerine olmayla lineerli ğ in, T 'nin X 'in, "İ üzerine bir vektör uzayizomorfizmi olmas ı n ı garantiledi ğini ve bu nedenle de, T 'nin iççarp ım uzay ı n ın tümyap ıs ı n ı korudu ğunu belirtmemiz yerinde olacakt ı r. X ve X" üzerindeki uzunluklar ın, Xve .A."; .. üzerindeki iççarp ımlarla tan ımlanan normiar yard ı m ıyla belirlenmesi nedeniyle, Tayn ı zamanda X 'in 31"; üzerine bir izometrisidir.Şimdi de, bir iççarp ım uzay ın ın tamla şt ı r ı lmas ı na ilişkin teoremimizi ifade edelim.3.2.3. TEOREM (Tamla şt ı rma). Herhangi bir X iççarp ım uzay ı için, bir H Hilbertuzay ı ve X 'den W c H yoğun altuzay ı üzerine bir A izomorfizmi vard ı r. H uzay ı ,kendisine izomorf olanlar ı n d ışı nda tek'dir.ispat. Teorem 2.3.2 gere ğince, bir H Banach uzay ı ve X 'den, H ' ı n H 'da yoğunbir W altuzay ı üzerine bir A izomorfizmi vard ır. Süreklilik nedeniyle, böyle bir izometrialt ında, X ve W 'deki elemanlar ı n toplamlar ı ve skaler çarp ımlar ı , birbirlerine kar şı l ıkgelir ve dolay ıs ıyla, A izometrisi, ayn ı zamanda, her ikisi de normlu uzaylar olarak gözönüne al ı nmak üzere, X 'in W üzerine bir izomorfizmi olur. Lemma 3.2.2, H üzerindebir iççarp ı m ın, Teorem 2.3.2 'deki gösterimlere benzer olarak, (x„) ve (y,), s ı ras ıyla, 'k"H ve 5i- e H 'in temsilcileri olmak üzere,< X, y >=1im< x„,y, >yazarak tan ımlanabilece ğini göstermektedir. K ıs.3.1 'deki (9) ve (10) ba ğı nt ı lar ı n ı gözönüne alarak, A 'n ı n, X 'den W üzerine, her ikisi de iççarp ım uzaylar ı olarak ele al ınmaküzere, bir izomorfizm oldu ğunu görürüz.Teorem 2.3.2, ayn ı zamanda, H ' ı n izometrileri d ışı nda tek oldu ğunu da garantieder; yani, X 'in H ve 7--/ gibi tamlanm ışlar ı , T : H -+ X şeklinde bir izometriylebirbirlerine bağ l ıd ı r. Buradan, T 'nin, II Hilbert uzay ı n ı n, H Hilbert uzay ı üzerine bir
100izomorfizmi olmas ı gerektiğ ini de söyleyebiliriz.Bir X iççarp ı m uzay ı n ı n bir Y altuzay ı , X üzerindeki iççarp ım, Y x Y üzerinek ısıtlanm ış olarak al ınmak üzere, X 'in vektör altuzay ı olarak tan ımlan ır.Benzer şekilde, bir H Hilbert uzay ı n ı n bir Y altuzay ı , H ' ı n, bir iççarp ım uzay ı olarakdü şünülen bir altuzay ı olarak tan ımlan ır. Y 'nin bir Hilbert uzay ı olmas ı gerekmediğ inibelirtmeliyiz. Gerçekten, Teorem 2.3.1 ve 2.4.2 'den hemen a şağıdaki teoremin (a) ve(b) ifadelerini elde ederiz:3.2.4. TEOREM (Altuzay). Y bir H Hilbert uzay ı n ın bir altuzay ı olsun. Bu durumda,(a) Y 'nin tam olmas ı için gerek ve yeter ko şul, Y 'nin H 'da kapal ı olmas ı d ı r.(b) Y sonlu boyutlu ise, tam'd ı r.(c) H ayr ılabilir ise, Yde ayr ılabilirdir.Daha genel olarak, ayr ılabilir bir iççarp ımuzay ın ın her altkümesi de ayr ı labilirdir.Burada (c) 'nin elemanter olan ispat ı nt okuyucuya b ı rak ıyoruz.PROBLEMLER1. IR 2 ve 'deki Schwarz e şitsizliklerini ifade edip ispatlar ı n ı veriniz.2. 'nin altuzaylar ına örnekler veriniz.3.X, x = 0 polinomu ile, K ıs.3.1 'deki (7) ile tan ımlanan iççarp ım alt ı nda reelt E [a,b] için göz önüne al ınan, t 'nin derecesi 2 'den büyük olmayan bütün reelpolinomlar ından oluşan bir iççarp ım uzay ı olsun. X 'in tam olduğunu gösteriniz. Y, X 'inbir altuzay ı m ıd ı r? 2 inci dereceden tüm x E X 'ler X 'in bir altuzay ını oluşturur mu?4. y s xn ve x„ x 'in birlikte, x 1 y sonucunu gerektirdi ğini gösteriniz.5. Bir X iççarp ım uzay ı ndaki bir (x,,) dizisi için, lIxt ı -› Iki' ve < x„,x >-+ < x,x >koşullar ın ın, x„ x yak ınsakl ığı n ı gerektirdiğini gösteriniz.6. Prob.5 'deki ifadeyi, kompleks düzlem özel hali için ispatlay ı n ız.7. Bir iççarp ım uzay ında, x s y olmas ı için gerek ve yeter ko şul, her a skaleri için,ljx + ayll llx — ayil olmas ıd ır. Ispatlay ı n ız. (Bkz. Şek.25).x + cry--oyx + ay = x --- fYy x + ay I — ay ıŞekil 25. Prob.7'nin L. 2 Euclid düzlemindeki gösterimi8. Bir uzay ında, x ı y olmas ı için gerek ve yeter ko şul, her a skaleri için, + ayll >Ilx olduğunu gösteriniz.9. V, J = [a,b] üzerinde tan ıml ı tüm sürekli kompleks-değerli fonksiyonlardan olu şan
101vektör uzay olsun. ilxj1 c, =max lx(t)l olmak üzere, X I = (V,11.10) ve(„1Ilx 11 2 =< x,x >".< x,y >=, fx(t)y(t)dtolmak üzere, X2 = . 112) alal ım. X I 'in, X2 üzerine olan x x özdeş likdönü şümünün sürekli olduğunu gösteriniz. (Bu dönü şüm, X2 'nin tam olmamas ınedeniyle, bir homeomorfizm değ ildir.)10. (S ıf ır Operatörü). T : X X, kompleks bir X iççarp ım uzay ı üzerinde s ın ı rl ılineer bir operatör olsun. Her x E X için, < Tx,x >= 0 ise, T = 0 olduğunu gösteriniz. Budurumun, reel bir iççarp ım uzay ında geçerli olmad ığı n ı gösteriniz. (Yol Gösterme. Eucliddüzleminin bir döndürülmesini göz önüne at ı n ız.)3.3. ORTOGONAL TÜMLEYENLER VE DIREKT TOPLAMLARBir X metrik uzay ı nda, bir x E X eleman ı ndan, boş olmayan bir M c X altkümesineolan S uzakl ığı ,=inf d(x,Y)37€3.4olarak tan ımlan ır. Bu tan ım, normlu bir uzayda,(M 4r (D)=inf Ilx (M #37.mşekline dönü şür. Bu tan ı mlara ilişkin şekilsel bir örnek Şekil 26 'da gösterilmiştir.(1)Şekil 26. 11 2 düzleminde (1)'in gösterimiIleride,8 = - Yli (2)olacak şekilde bir y e M noktas ı n ın bulunup bulunmad ığı n ı n bilinmesinin önemliolduğunu göreceğiz, Diğer bir deyimle, verilen bir x eleman ına en yak ın olan biry e Mnoktas ı var m ıd ır ve eğer varsa tek midir? Bu soru bir varl ık ve teklik problemi'dir.Şek.27, örne ğin, R 2 Euclid düzlemi gibi en basit uzaylarda bile (2) 'yi gerçekleyen hiç biry 'nin var olmad ığı n ı , ya da bir tek y 'nin varoldu ğu, ya da birden fazla y 'ninvarolabileceğini göstermektedir. Di ğer uzaylarda, özellikle, sonsuz boyutlu uzaylarda,durumun daha karma şık olabileceğini dü şünebiliriz.
c\ x■102Tx15s/61(a) Hiç bir y (b) Bir tek y (c) Sonsuz çoklukta yŞekil 27, M c: R. 2 verilen aç ık uçlu bir doğru parças ı [(a) Ida ve (b) fde ], ve dairesel bir yay [(c) ide]olmak üzere, (2)'yi gerçekleyen yEM noktalann ın varl ığı ve tekliğ iBununla birlikte, genel normlu uzaylarda durumun böyle olmas ına karşı n (Bkz.Böl.6), Hilbert uzaylar ı için, durum diğerlerine göre daha basit olmaktad ı r. Oldukça ilginçolan bu durumun bir çok teorik ve pratik sonuçlar ı vard ır. Hilbert uzaylar ı teorisinin, genelBanach uzaylar ı teorisinden daha basit olmas ı n ın önemli bir nedeni de budur.Hilbert uzaylar ı için varl ık ve teklik problemlerini inceleyebilmek için, konuya ili şkin ikikavrama gereksinme duymaktay ız. Önce bunlar ı görelim:Bir X vektör uzay ı n ı n, verilen x ve y gibi iki eleman ın ı birleştiren do ğru parças ı ,z = ax + (1 a)y (a E 118,0 a < 1)şeklindeki tüm z E X elemanlar ından oluşan küme olarak tan ımlan ı r.X 'in bir M altkümesi verilmi ş olsun. Her x,y E M için, x ve y 'yi birleştiren doğ ruparças ı M 'de içeriliyorsa, M kümesi konveks'dir denir. Şekil 28 'de konveks bir kümeiçinde yer alan bir do ğru parças ı görüyoruz.Şekil 28. Konveks bir küme içindeki birbir doğru parças ı örneğinin gösterimiX 'in her Y altuzay ı da konveks olup, konveks kümelerin arakesitleri de konvekstir.Şimdi de, bu k ıs ımdaki önemli teoremlerden birisini ifade ve ispat edece ğ iz.3.3.1. TEOREM (Minimumlaşt ı ran Vektör). X bir iççarp ım uzay ı ve M el)(iççarp ımla doğurulan metriğe göre) tam olan konveks bir altküme olsun. Bu durumda,verilen her x e X için,6 =inf llx — yll = l ıx —y ı lyckıolacak şekilde bir tek y E M vard ı r.ispat. (a) Varl ık. İnfimum tan ım ı gereğince, M 'de, 6n = lix — y.11 olmak üzere,( 3)
103S n -› S (4)olacak şekilde bir (yn) dizisi vard ı r. Şimdi, bu (y,,) dizisinin bir Cauchy dizisi oldu ğunugöstereceğiz. y„ - x = v„ yazarsak, II = S n vev„ + v„, = ilyn +y. - 2x = 2114(Y. +y.)-x II 2Selde ederiz. Çünkü, M kümesi konveks olup, bu nedenle, -32-(y,, +y m) E M 'dir. Ayr ıca,y,, -y m = V ?, - Vm 'dir. Buna göre, paralelkenar e şitliği gereğince,1lYn — Ym 2 Vn VM 11 2 = Vm 1/ 2 + 2 (11 1'n 2 + 11Vm 2 )5 —(28) 2 4- 2(3;, + ı5„)yazabiliriz ve (4) 'ü göz önüne al ırsak, (yn) 'in bir Cauchy oldu ğu ortaya ç ıkar. M tamolduğundan, (y,,) yak ınsakt ır. y„ y E Mdiyelim. y E M olduğundan, 11x -y11 ? S 'd ır.Ayr ıca, (4) gereğince,İtx - Y11 lix - Yn II + IlYn - YII = Sn + iiYn 3bulunur ki, bu da, l ıx = S olduğunu gösterir.(b) Teklik. y E M ve yo E M 'in her ikisinin de,l ıx — yfi = 8 ve Itx - yoll =eşitliklerini gerçeklediklerini varsay ıp, yo = y olduğunu gösterece ğiz. Paralelkenareşitliği gereğince,ii.Y - Yoll 2 = l ı (y—x) — (yo —x)11 211 2y -x11 2 + 211yo -x11 2 - 11(Y -x)+ (yo -x)11 2= 26' 2 +2S2 - 2 2 111-(Y +Yo) - x11 2yazabiliriz. Sa ğ tarafta, .1-(y +yo) E M olup, dolay ısıyla,11 1-01-Y0)-x11?..5'd ır. Bu ise, sa ğ taraf ı n, 28 2 +2(52 _4 0 ,2 = 0 'dan küçük, ya da e şit olmas ı n ı gerektirir.Buna göre, 11y -yo 11 S 0 yazabiliriz. Aşikar olarak, 11y 0 'd ır. O halde, zorunluolarak, y = yo bulunur.Keyfi konveks kümelerden, altuzaylara dönerek, elemanter geometrinin bilinen"verilen bir x noktas ı n ın, verilen bir Y altuzay ına en yak ı n olduğu tek y noktas ı , x 'den Y'ye bir dik indirilerek elde edilir" fikrini genelle ştiren bir lemma elde edece ğiz.3.3.2. LEMMA (Ortogonallik). Teorem 3.3.1.'de, M, tam olan bir Y altuzay ı ve x E Xsabit olsun. Bu durumda, z = x -y, Y 'ye ortogonaldir.ispat. z ı Y doğru değilse,
104< z,y >= # O (5)olacak şekilde bir y ı E Y varolmal ıd ı r. Aç ıkça görüldü ğü gibi, y ı * 0 'd ır; aksi halde,< z,y, > = 0 olmas ı gerekirdi. Ayr ıca, herhangi bir a skaleri için,yazabiliriz.Ilz - ay 1 11 2 =< z - ayı ,z - ay ı >z,z > -71 < z,y > -ak y ı ,z > -71 -70 - arR - 71 < y ı , y ı >1?t" =seçmemiz halinde, köşeli parantezin içindeki ifade s ıf ı rd ır. (3) 'den, IIzII = Ilx-yll =yazabiliriz, ve buna göre, e ş itliğimiz'Iz _ ay, 11 2 = liz11 2 < 62sonucunu verir. Ancak, bu sonuç olanaks ızd ır; çünkü, y2 = y+ ay ı E Y olmak üzere,z - ay ı = x - y2 yazabiliriz ve dolay ısıyla, (5 'n ın tan ımı gereğince, Hz - ay ı II ?_ S 'd ır. Ohalde, (5) geçerli olamaz ve lemma ispatlanm ış olur.Burada amac ım ız, bir Hilbert uzay ının, ortogonallikten yararlanmas ı nedeniyle,özellikle basit ve uygun olan, bir direkt toplam olarak gösteremini elde etmektir.3.3.3. TANIM (Direkt toplam). Bir X vektör uzay ı ve bunun Y ve Z gibi iki altuzay ıverilmiş olsun. Eğer, her x e Xeleman ı , y e Y ve z e Z olmak üzere,x = y + zşeklinde tek bir gösterime sahip ise, X vektör uzay ı , Y ve Z altuzaylarm ı n direkttoplam ı 'd ır denir veX= YEDZolarak yaz ı l ır. Bu durumda, Z 'ye Y 'nin (ya da, Y 'ye Z 'nin)X 'deki cebirsel tümleyenidenir ve Y ve Z 'ye, X'deki altuzaylar ın bir tümleyen çifti ad ı verilir.Örneğin, Y = R, R2 Euclid düzleminin bir altuzay ıd ır. Aşikar olarak, Y, R 2 'de, her biribir reel eksen olan, sonsuz çoklukta cebirsel tümleyene sahiptir. Ancak bunlardan enuygunu "dik" olan bir tümleyendir. Bu konumdan, kartezyen koordinat sisteminiseçtiğimiz zaman yararlan ı yoruz. 118 3 'deki durum da, esas yönünden, ayn ıd ır.Benzer şekilde, genel bir H Hilbert uzay ı al ınmas ı halinde, ilgi çekici esas konu, H' ın, kapal ı bir Y altuzay ı ile, bunun Y 'ye dik olan bütün vektörlerin olu şturduğuYi--,--.(zeH:z ı Y}ortogonal tümleyeninin bir direkt toplam ı olarak gösterilebilmesidir. Bu konu, buk ısımdaki, ispattan sonra aç ıklayaca ğım ız nedenlerle, bazan izdü şüm teoremi olarak daadland ı r ılan, temel sonucu ortaya koymaktad ı r.3.3.4. TEOREM (Direkt Toplam). Y bir H Hilbert uzay ı n ın, herhangi bir, kapal ıaltuzay ı olsun. Bu durumda,H= YEDZ, Z = (6)'dir.Ispat. Birinci bölümden, H ' ın tam ve Y 'nin kapal ı olmas ı halinde, Y 'nin de tam
105olmas ı gerektiğini biliyoruz. Y konveks olduğundan, Teorem 3.3.1 ve Lemma 3.3.2, herx E H için,x=y+z zeZ= Yı (7)olacak şekilde bir y E Y'nin varl ığı n ı gerektirir.Tekliği ispatlamak için, y, y ı E Y ve z, 2. 1 e Z olmak üzere,x=y+z=yı +z ıolduğunu varsayal ım. Bu durumda, y - y ı =z-z ı olmaktad ır. z ı -z eZ= Yr iken,y-y ı E Y olduğundan, y -y, E Yn P = {O} olduğu ortaya ç ıkar. Bu da, y = y ıolmas ını gerektirir. Dolay ıs ıyla, z = Z, 'dir.(7)'deki z değerine, x 'in Y üzerindeki dik izdü şümü (ya da k ısaca, izdü şümü) ad ıverilir. (7) e şitliği,P : H-› Yx-->y=Pxşeklinde bir dönü şüm tan ımlamaktad ı r. P 'ye, H 'in Y üzerine (dik) izdüşümü (ya daizdüşüm operatörü)ad ı verilir (Bkz. Şek.29). Aç ıkça görüldü ğü gibi, P sinirli lineer biroperatördür.Şekil 29. Teo.3.3.4 ve For.(9)'a ilişkin gösterimlerP,H Y ' nin üzerine,Y iyi, kendi üzerineZ = ise,{0} üzerine
dönüştürür ve e şkuvvetli'dir, yani,106p2 = p'dir. Buna göre, her x E H için,P2x = P(Px) = Px'dir. Dolays ıyla, P l y ,Y üzerindeki özde şlik operatörü olmaktad ı r. Ve Z = Y-L olmas ıhalinde a şağıdaki lemmay ı elde ederiz.3.3.5. LEMMA (S ıfı r Uzay ı). Bir H Hilbert uzay ın ın, kapal ı bir Y altuzay ı n ın Y'ortogonal tümleyeni, H ' ı n Y üzerindeki P ortogonal izdü şümünün N(P) s ıf ı r uzay ıd ı r.Bir X iççarp ım uzay ında, bir M kümesinin M' ile gösterilen s ıf ırlayan ı= {xEX:x ı M}kümesi olup, x E Mi olmas ı için gerek ve yeter ko şul, her v E M için, < x,v > = 0olmas ıd ır. Bu tar ımın ışığı alt ında, bir ortogonal tümleyenin özel bir s ıf ırlayan olduğunusöyleyebiliriz.x,y E M al ınmas ı halinde, her v E M ve her a, skalerleri için,=a+/3=0yaz ı labileceğinden ve dolay ıs ıyla, ax + fiy E M' olduğundan, MI 'nin de bir vektör uzayolduğu ortaya ç ıkar.M' 'in kapal ı olduğu, okuyucu taraf ından kolayca ispatlanabilir. (Prob.8)(M-T yerine, Mil yazaca ğız. Genel olarak,olmas ı nedeniyle,M c ( 8*)elde ederiz. Bununla birlikte, kapal ı altuzaylar için, bundan da öte, a şa ğıdaki lemmay ıifade edebiliriz.3.3.6 LEMMA (Kapal ı Altuzay). Y, bir H Hilbert uzay ı n ı n kapal ı bir altuzay ı ise,Y - Y' (8)'dir.Ispat. (8*) gere ğince, Y c Yil 'dir. Şimdi de, Y D olduğunu gösterece ğ iz. x E Y"'alal ım. (8*) 'dan dolay ı , y E Y c Yil olmak üzere, 3.3.4 gere ğince, x = y+ z yazabiliriz.r--` bir vektör uzay oldu ğundan ve x E Y' varsay ım ı ndan hareketle, ayr ıca,z = x -y E Y-u- yazara ki, bu da bize, z ı Y' sonucunu verir. Ancak, 3.3.4 gere ğ ince,z E Yi 'dir. O halde, z ı z olup, buradan z= 0 olduğu ve dolay ısıyla, x = y bulunur;yani, x E Y 'dir. x E Y' keyfi bir eleman oldu ğundan, bu sonuç, Y Y' olduğunuispatlar.(8) ba ğı nt ıs ı , bu konuda, kapal ı altuzaylara ili şkin temel bir sonuçtur. ZL = YLL = Yolmas ı nedeniyle, (6) formülü,H= ZEDZ°şeklinde de yaz ılabilir. Buradan, x z dönüşümünün, H 'In Z üzerine,Pz : H Z (9)olarak belirlenen ve yukar ıda incelenen P izdü şümünün özeliklerine benzer özelikleresahip olan bir izdü şüm tan ımlad ığı ortaya ç ıkar. Hilbert uzaylar ında, geren'i (span'i)yoğun olan kümelerin bir karakterizasyonu, Teorem 3.3.4 taraf ından a şa ğıdaki şekilde
107ima edilmektedir.3.3.7. LEMMA (Yoğun Küme). Bir H Hilbert uzay ı n ın, herhangi bir Maltkümesi verildiğinde, M 'nin span'inin H 'da yoğun olmas ı için gerek ve yeter ko şul,M1 = {0} olmas ıd ır.ispat. (a) x E Mi olsun ve V = span M 'in H 'da yoğun olduğunu varsayal ım. Budurumda, x e 17 = H 'd ır. Bölüm 1 'de gördüğümüz gibi, V 'de, x„ x olacak şekildebir (x„) dizisi vard ı r. x E MI ve M- ı V olduğunda, < x„,x > = 0 yazabiliriz. iççarp ım ı nsürekli olmas ı (Bkz.Lemma 3.2.2), < x„,x > < x,x > sonucunu gerektirir. Buna göre,< x,x > Ilx11 2 = 0 ve dolay ıs ıyla, x = 0 bulunur. x e M' keyfi olduğundan, bu sonuç Mi= {0} olduğunu ispatlar.(b) Tersine olarak, Mi = {0} oldu ğunu varsayal ım. x i V ise, x İ. M olup,dolay ısıyla, x E Mı ve x = 0 bulunur. Buna göre, VI = {O} 'd ı r. V 'nin, H ' ın bir altuzay ıolduğunu göz önüne al ırsak, Y =ii almak üzere, 3.3.4 'den, -P = H elde ederiz.PROBLEMLER1. H bir Hilbert uzay, M c H konveks bir altküme ve (x„), M 'de, d =inf Iki' olmaküzere, d olacak şekilde bir dizi olsun. (x„) dizisinin, H 'da yak ı nsak olduğunugösteriniz. R 2 ya da R 3 'de şekilsel bir örnek veriniz.2. C' kompleks uzay ında, M = {y = (%) : E İ,,=1} altkümesinin tam ve konveksolduğunu gösteriniz. M 'de minimum norm vektörünü bulunuz.3.(a) [—I, 1] üzerinde tan ıml ı bütün reel-de ğerli sürekli fonksiyonlardan olu şan Xvektör uzay ın ın, [—L 1] üzerinde tan ıml ı , bütün sürekli tek fonksiyonlarla , bütün sürekliçift fonksiyonlar ın direkt toplam ı olduğunu gösteriniz.(b) 3 'ü, (i) bir altuzay ı ile, bununortogonal tümleyeninin, (ii) altuzaylann ın herhangi tümleyen çiftinin bir direkt toplam ıolarak gösteriniz.4. (a) Teorem 3.3.1 'deki içerme ba ğınt ıs ını n, X 'in bir Hilbert uzay ı ve M c X 'inkapal ı bir altuzay olmas ı halinde de geçerli oldu ğunu gösteriniz. (b) Appoloniusözdeşliğini, Teorem 3.3.1 'in ispat ında nas ı l kullanabiliriz?5. X= (}8 2 olsun. (a)x = {41,2} # 0 olmak üzere, M = {x}, (b) M = {x ı ,x2} c Xlineer bağıms ız kümesi olarak verildi ğinde, bulunuz.6. Y= {x : X= (4j) E t 2,2n = 0,n e N} kümesinin, Q2 'nin kapal ı bir altuzay ıolduğunu gösteriniz ve bulunuz. ei = (Sik) olmak üzere, Y = span{e ı,...,en } ise, yınedir?7. A ve B D A, bir X iççarp ım uzay ın ın boş-olmayan altkümeleri olsunlar. (a)A c A'', (b) c Al, (c) A 111 = A` olduğunu gösteriniz.8. Bir X iççarp ım uzay ı ndaki bir M kümesinin, M1 s ıfırlayan ı , X 'in kapal ı biraltuzay ıd ır. Ispatlay ı n ız.9. Bir H Hilbert uzay ının bir Y altuzay ın ın kapal ı olmas ı için gerek ve yeter koşul,Y = olmas ıd ı r. Ispatlay ı n ız.10. M # O, bir H Hilbert uzay ı n ın herhangi bir altkümesi ise, Mu- 'in, H' ın M'yiiçeren en küçük kapal ı altuzay ı olduğunu, yani, Miı 'in, Y D M olacak şekilde kapal ıherhangi bir Y c H altuzay ında içerildiğini gösteriniz.xEM
1083.4. ORTONORMAL KÜMELER VE DIZILERK ıs ı m 3.1 'de tanimland ığı gibi, elemanlar ın ortogonalliği, iççarp ım uzaylar ıyla,Hilbert uzaylannda önemli rol oynamaktad ır. Bu durumu bundan önceki k ıs ımdagörmüştük. Özel ilgi çekici bir küme grubu da, elemanlar ı ikişer ikişer ortagonal olankümelerdir. Bunu daha iyi anlayabilmek için, R' Euclid uzay ındaki bilinen durumuhat ı rlayal ım. R" uzay ı nda bu çeşit bir küme, dik koordinat sistemindeki eksenlerin pozitifdoğ rultular ındaki üç birim vektörden, yani, ei,e2, ve e3 vektörierinden olu şan kümedir.Bu vektöller R,' için bir baz olu ştururlar, yani, her x e Elk 3 eleman ı , tek bir,gösterimine sahiptir ( Şek. 30).x = alei +a2e2 + a3e3Şekil 30. R 3 'de {e 1, e2,e 3 } ortogonal kümesi ve x-ale ı +a 2 e2+a 3 e3 gösterimiŞimdi de, ortogonalliğin büyük bir yarann ı göreceğ iz. bir x verildiğinde, al,a2,a3bilinmeyen katsay ı lar ı iççarp ım (skaler çarp ım) al ınarak kolayca belirlenebilir.Gerçekten, örne ğin, al 'i elde etmek için, x 'in gösterimini e ı ile çarpmam ızgerekmektedir, yani,< x,e i >= al < e be > +a2 < e ı ,et > +a3 < e3,e1 >= alvb. Daha genel iççarp ım uzaylannda, buna benzer ve diğer baz ı özelikler mevcut olup,bu özelikler, ortogonal ve ortonormal kümeler ve dizilere ili şkin özeliklerdir. Bu tip kümeve dizilerin uygulamalar ı , iççarp ım ve Hilbert uzaylar ı teorisinde oldukça önemli birkesimi oluşturmaktad ırlar. Bu nedenle, konuya ilişkin incelemelerimize, baz ı gereklikavramlar ı tan ıtarak ba şlayal ım.3.4.1. TANIM (Ortonormal Kümeler ve Diziler). Bir X iççarp ım uzay ında, elemanlar ıikişer ikişer ortogonal olan bir M c X altkümesine ortogonal küme ad ı verilir. Bir M c Xortonormal kümesi, X 'de, elemanlar ı 1 normuna sahip, yani, her x, y e M için,< x,y > = (1)olacak şekilde verilen, ortogonal bir kümedir.Eğer, ortogonal, ya da, ortonormal bir M kümesi say ılabilir ise bunu bir (xn) dizisiolarak düzenleyebilir ve, s ıras ıyla, ortogonal , ya da, ortonormal dizi olarak adland ır ı r ız.Daha genel olarak, numaralanm ış bir (xa), a e I kümesi ya da ailesi verildi ğinde,eğer, her a,fl e I, a # 13 için, xa 1 xft ise, bu aileye, ortogonal aile, ad ı verilir. Bir aile
109ortogonal ise ve bütün X a 'lar 1 normuna sahip ise, yani, her cı,fl E I için,0, a rt< xa ,Xp >= (5a13 =1 , a =(2)yaz ı labiliyorsa, bu aileye ortonormal aile denir. (Burada 45 a p Kronecker Deltas ıd ır.)Şimdi de, ortogonal ve ortonormal kümelere ili şkin baz ı basit özelik ve örnekleriinceleyece ğ iz.x ve y ortogonal elemanlar ı için, < x, y > = 0 yaz ılabileceğimiz için, kolaycaPythagoras ba ğı nt ıs ı n ı elde ederiz:ııx+ y ı l 2= ıı xIi 2+ily ı l 2 - (3)Şekil 31. 08 3 ı de (3) no.lu Pythagorasbağı nt ıs ıŞekil 31, bilinen bir örneği göstermektedir. Daha genel olarak, {x l ,...,x,} ortogonalbir küme ise,'dir. Gerçekten, j # k ise, < xf,xk > = 0 olduğundan,2E(x, = EXj,EXk ı =EE11X1 +... +Xn 11 2 = llx ı 11 2 4-...+11X,11 2 (4)kE - = ai < eh ej > = aj = Overir ve bu sonuç, herhangi bir sonlu ortonormal küme için, iineer ba ğıms ızl ığı ispatlar.Bu ayn ı zamanda, lineer ba ğıms ızl ığın tan ı m ı gereğince, verilen ortonormal kümeninsonsuz olmas ı halinde de lineer ba ğı ms ızl ığı gerektirir.ÖRNEKLER3.4.3. R. 3 Euclid Uzay ı . 118 3 uzay ı nda, dik koordinat sisteminin üç eksenidoğrultusundaki, (1,0,0), (0,1,0) ve (0,0, I) birim vektörleri ortonormal bir kümeoluştururlar. ( Şekil 28 'e bak ı n ız.)3.4.4. C 2 Uzay ı . F 2 uzay ında, e„ = (45„) olmak üzere (n inci eleman ı 1, diğerleri 0),
110(e n ) dizisi ortonormal bir dizidir. (Bkz.3.1.6)3.4.5. Sürekli Fonksiyonlar. X, [0,27r] üzerinde sürekli tüm reel de ğerlifonksiyonlardan olu şan ve2 ır< x,y >= x(t) y(t)Joile tan ımlanan iççarp ıma sahip bir iççarp ım uzay ı olsun (Bkz. 3.1.5). Bu şekildetan ımlanan bir X uzay ında, bir ortogonal dizi,u n (r) = cos nt,n = O, I,...olmak üzere verilen bir (u n) dizisidir. X 'deki diğer bir ortogonal dizi de,v n (t) = sirı nt, n = 1,2,...olmak üzere tan ımlanan (v n) dizisidir. Gerçekten, integral alarak,2 ır O, M 3 n< um ,u n >= cosmtcosntdt = ır, m = no27ı ,m = n = O(5)elde ederiz. Benzer şekilde, (v n) için de ayn ı işlem yap ı l ır. Buna göre,eo(t) = 1 , e n (t) "n(t)olmak üzere, ortonormal bir dizi, (e n i)v n (t) sin nt?'n(r)ilacos nt(n = 1,2,...),,rfrdizisinden de,(n = 1,2,...)olmak üzere, ortonormal bir (?„) dizisi elde ederiz. Burada, her m ve n için, üstelik,u,,, 1 vn olduğunu da belirtmemiz yerinde olacakt ır.(Ispat ?) Bu seriler, bundan sonrakik ıs ımda inceleyece ğimiz Fourier serilerinde ortaya ç ıkacakt ı r. Buraya de ğin verdiğimizörnekler, konu hakk ındaki ilk izlenimleri edinmemiz için yeterlidir. Di ğer önemliortonormal dizi örneklerini daha sonraki k ısımlarda inceleyeceğiz. (Bkz. K ıs.3.7)Şimdi de, keyfi lineer ba ğıms ız diziler üzerinde tan ımlanan ortonormal dizilerin büyükbir yarar ından söz edeceğ iz. Verilen bir x 'in, ortonormal bir dizinin baz ı elemanlar ı n ı nlineer bir kombinasyonu olarak gösterilebildi ğini biliyorsak, bu durumda, ortonormallik,katsay ı lar ın belirlenmesini çok kolayla ştı r ı r. Gerçekten, (e 1, e2, ...), bir X iççarp ımuzay ında ortonormal bir dizi ve n sabit olmak üzere, x E span{e 1, . ,e n } ise, span'intan ı m ı gereğince,yazabiliriz ve sabit bir e, ile iççarp ım alarak da,elde ederiz. Bu katsay ılarla, (6) ifadesi,x = a ke (6)k- ı(x,c; ) = Makek,e,) = ak < ek,ej >= a,X = E < x,ek > ek (7)k=1şekline dönü şür. Bu ise, (6) 'daki bilinmeyen katsay ı lar ın belirlenmesinin kolayl ığı n ı
111göstermektedir. Ortonormalli ğin diğer bir üstünlü ğü de, (6) ve (7) 'ye diğer bir an+Ien+1terimini eklememiz halinde ortaya ç ıkmaktad ı r;= x + an+le,,+1 E sparr{el,...,en+ İ }inceleyebilmek için, di ğer katsay ılar ın değ işmeden kalmas ı nedeniyle, yaln ızca bir fazlakatsay ı hesaplamam ız gerekmektedir.Daha genel olarak, Y, = span{el,...,e,,} 'de bulunmas ı zorunlu olmayan, herhangibir x e X eleman ın ı göz önüne al ırsak, y e Y„ eleman ı n ı ,y = 5 < x,ek > ekk—Iyazarak tan ımlayabilir ve daha sonra, z eleman ın ı ,x=y+z,(8a)(8b)yani, z = x -y yazarak tan ımlayabiliriz. Şimdi, z ı y olduğunu göstermek istiyoruz.Daha iyi anlayabilmek için konuya biraz aç ı kl ık getirelim: Her y E Ya,yakekşeklinde bir lineer kombinasyondur. Az önceki incelememizden de anla şılacağı üzere,ak =< y,ek > 'd ır. iddiam ız, özel, ak =< x,ek >, k = 1,...,n, seçimi için, z = x-y i yolacak şekilde bir y elde edebileceğimizdir.Bunu ispatlayabilmek için, önce, ortonormallik nedeniyle,11Y11 2 = < < x,ek > ek,E < x,e n, > e m > = Zl< x,ek >1 2 (9)yaz ılabileceğini belirtmemiz gerekmektedir. Şimdi bunu kullanarak, z ı y olduğ unugösterebiliriz:< z,y >=< x - y,y >=< x,y > < y,y >= (x,E < x,ek > ek) - ily11 2= < x,ek > < x,ek > -El< x,ek >1 2-= Obulunur. Buna göre, (3) no.lu Pythagoras ba ğı nt ıs ı ,l ıx ıı 2 = ııy11 2 + 11211 2 . (la)sonucunu verir. (9) gere ğince de,bulunur. 11z11 > 0 olduğundan, her n = 1,2,... için,nl ız ı l 2 = ıı x i ı 2 - ıly11 2 .= 114 2 -El< x,ek >12 (11)Ll< x,ek >1 2 < 114 2 (.1 2*)k—Ielde ederiz. Bu toplamlar negatif olmayan terimlerden olu şmaktad ırlar; bu nedenle,monoton artan bir dizi olu ştururlar. Bu dizi, 11x11 2 taraf ından s ı n ırland ı r ı kl ığından yak ınsakolup, ayn ı zamanda, sonsuz bir serinin de k ısmi toplamlar dizisi oldu ğundan, bu seri deyak ınsakt ır. Bu nedenle, (12*) 'in ışığı alt ında, aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz:3.4.6. TEOREM (Bessel E şitsizliği). (ek), bir X iççarp ım uzay ında ortonormal bir dizi
olsun. Buna göre, her x E X için,112kHx,ek >j 2 < ilx11 2 (Bessel E şitsizliğ i) (12)'dir.(12) 'deki, < x,ek > iççarp ımlar ına, x 'in, (ek) ortonormal dizisine göre, Fourierkatsay ı lar ı ad ı verilir.X 'in sonlu boyutlu olmas ı halinde, X 'deki her ortonormal kümenin de, 3.4.2gereğince lineer ba ğıms ız olmas ı nedeniyle, sonlu olmak zorunda oldu ğunu belirtmemizgerekmektedir. Dolay ıs ıyla, (12) 'de sonlu bir toplam bulunacakt ı r.Buraya de ğ in, ortonormal dizilerin, çal ışmalar ı m ızda ne gibi kolayl ıklar sa ğlad ığı n ıgördük. Geriye, keyfi bir lineer ba ğı ms ız dizi verildi ğinde, ortonormal bir dizinin nas ı lelde edilebilece ği sorunu kalmaktad ır. Bunu, bir iççarp ım uzay ında, lineer ba ğıms ız bir(x,) 'nin ortonormalle ştirilmesine ili şkin Gram-Schmidt i şlemiyle yapaca ğız. Bu işlemsonucunda ortaya ç ı kan (e,) ortonormal dizisi, her n için,özeliğine sahiptir. Şimdi, ad ım ad ım Gram-Schmidt i şlemini aç ı klayal ı m.1. ad ı m. (ek) 'n ı n birinci eleman],'dir.2. ad ım. x2,şeklinde yaz ı labilir. Buna göre ( Şek.32),=1 = x ıiki jjx2 =< x2,e ı > el + v2V2 = X2 -< x2,e1 > etvektörü, (x,) 'nin lineer ba ğıms ız olmas ı nedeniyle, bir s ıf ı r vektörü değildir; ayr ıca,< v2,e ı > = O olduğundan, v2 ı el olup, dolay ıs ıyla,alabiliriz.e2 —1v2ilvı il
113n—Ek 1xn. ek> ekŞekil 32. Gram-Schmidt i şlemi (2.ad ım)Şekil 33. Gram-Schmidt i şlemi (n.ad ım)3. ad ım.v 3 = x 3 --- e ı x3,e2 > e2vektörü, s ıf ır vektörü de ğildir ve v 3 e 2 olup, ayn ı zamanda, v3 ı e l 'dir. Buna göre,e 3 —1V3il 17 3al ır ız.n. ad ım.bir s ıf ır vektörü olmay ıp (Bkz. Şek 33),= Xt,—E ekk=1e n —1'e ortogonaldir. Buradan,vn(1 4)elde ederiz.Bunlar Gram-Schmidt yöntemine ili şkin, E.Schmidt (1907) ve ayr ıca J.P.Gram (1883)taraf ından düzenlenen genel formüllerdir.Burada, (13) 'ün sa ğ taraf ında x„ 'denç ıkartt ığım ız toplam ı n, x„ 'in span{el, ,e,i} üzerindeki izdü şümü olduğuna dikkatetmemiz gerekmektedir. Diğer bir deyimle, her bir ad ımda, x„ 'den, x„ 'in, daha öncekiad ımlarda ortogonalle ştirilen vektörler do ğrultusundaki "bileşenlerini" ç ıkartmaktay ız. Buişlem v„ 'i vermekte ve daha sonra, v,,, 1/11v.11 ile çarpdarak, normu "1" olan bir vektörelde edilmektedir. v„, hiç bir n için s ıf ır olmamaktad ır. Gerçekten, e ğer n, v„= 0 olacakşekilde en küçük indis ise, (13) ba ğınt ısı , x,, 'in,lineer bir kombinasyonuolduğunu gösterir. Dolay ıs ıyla, x,,, 'in lineer bir kombinasyonu olur ki, budurum, {xl,...,x„} 'in lineer ba ğıms ız olma varsay ım ı ile çelişir.PROBLEMLER1. (Sonlu) n boyutlu bir iççarp ım uzay ı n ın, ortonormal vektörlerden olu şan,
114incelenecektir.)2. r > n olmak üzere, (12*) ba ğı nt ısı n ı , BU 'de, geometrik olarak, nas ıl gösteririz?3. Schwarz e şitsizliğini (K ıs.3.2) (12*) 'dar ı elde ediniz.4. (12) 'de kesin e şitsizlik hali geçerli olacak şekilde, bir x e Q 2 dizisine örnek veriniz.5. (ek), bir X iççarp ım uzay ında ortonormal bir dizi ve x E X ise, y,yI?Eak ek,k=1ak =< x,ek >ile verilmek üzere, x —y 'nin, Y„ =altuzay ı na ortogonal olduğunugösteriniz.6. (Fourier Katsay ı lar ı n ın Minimum özeliği). n sabit olmak üzere, {e l ,...,e n }, bir Xiççarp ım uzay ı nda ortonormal bir küme olsun. x E X herhangi bir sabit eleman vey = the, +...+13,,e n olsun. Bu durumda, — y II, fil,.. 4,, 'e ba ğı ml ıd ı r. Doğrudan birhesaplamayla, lix — y II 'nin minimum olmas ı için gerek ve yeter koşulun, = < x,ej >,= 1,...,n) olduğunu gösteriniz.7. (e k ), bir X iççarp ım uzay ında herhangi bir ortonormal dizi olsun. Herhangix,y E X için,Eo0l< x,ek >< y,ek >I 5_olduğunu gösteriniz.8. Bir X iççarp ım uzay ı n ı n, bir x eleman ın ın, (ek) verilen bir ortonormal dizi olmaküzere, "büyük" < x,ek > Fourier katsay ı lar ından "çok fazlas ına" sahip olamayaca ğı n ıgösteriniz; daha aç ık olarak, l< x,ek >1 > 1 Im koşuluna uygun < x,e k > 'lar ın say ısı olan,n. 'in, n„, < m 2 114 2 eşitsizliğini gerçeklediğini gösteriniz.9.< x,y >= x(t) y(t) dt-1olmak üzere, [-1,1] aral ığı üzerinde, xj (t) = t" ile tan ımlanandizisinin ilküç terimini ortonormalle ştiriniz.10. x i (t) = t2 , x2(t) = t ve x3(t) = 1 olsun. Prob.9 'da verilen iççarp ıma göre, [-1, 1]aral ığı nda, x ı ,x2,x3 'ü bu s ırada ortonormalleştiriniz. Sonucu Prob.9 ile kar şı laşt ı r ıpyorumlay ın ız.3.5. ORTONORMAL DIZI VE KÜMELERE ILI ŞKIN SERILERBessel e şitsizliğine ilişkin olarak ortaya ç ıkan baz ı gerçekler ve sorular vard ır. Buk ıs ımda, ilk olarak, "Fourier katsay ı lar ı" deyimini belirteyip, ortonormal dizilere ili şkinsonsuz serileri inceleyip, say ılamayan ortonormal kümelerin ilk incelemesini yapaca ğız.
1153.5.1. ÖRNEK (Fourier Serisi). Bir trigonometrik seri,ao +(akcoskt + bksinkt)şeklinde bir seri olup, R üzerinde, reel de ğerli bir x fonksiyonu verildi ğinde, her t E Riçin, x(t + p) = x(t) olacak şekilde, pozitif bir p say ısı (x 'in periyodu) varsa, xfonksiyonu periyodiktir denir.x, 27r periyotlu ve sürekli bir fonksiyon olsun.Tan ım gereği, x 'in Fourier serisi, akve b k katsay ı lar ı ,2ıra0=-12 1r2ıe0x(t)dtak= 2T 1 Jx(t)cosktdt k = 1,2,... (2)o2 ırbk = X(t)sinkt dt k = 1,2,...oşeklinde Euler formülleriyle verilmek üzere, (1*) trigonometrik serisidir. Bu katsay ılara, x'in Fourier katsay ı lar ı ad ı verilir.Eğer x 'in Fourier serisi her ı için yak ınsak ve x(t) toplam ına sahipse,x(t) = ao +E(akcoskt + bksinkt) (1)yazabiliriz.x 'in 2,r periyotlu olmas ı nedeniyle, (2) 'de, [0,2z] integrasyon aral ığı yerine, 27ruzunluklu herhangi bir aral ığı , örneğ in, [-g,tr] aral ığı n! alabiliriz.Fourier serileri, ilk kez, D.Bernoulli (titre şen sicimler, 1753) ve J.Fourier ( ıs ı kontrol,1822) taraf ından incelenen fiziksel problemlere ili şkin olarak ortaya ç ı km ışt ır. Bu serilerkarma şık periyodik fenomenlerin, basit periyodik fonksiyonlar (kosinüs ve sinüs)cinsinden ifade edilmesinde yard ımc ı olmu ştur. Bunlar ı n (titre şim, ıs ı kontrol, potansiyelproblemler, v.b gibi) diferensiyel denklemlere ili şkin çeşitli fiziksel uygulamalar ıbulunmaktad ı r.(2) 'den, Fourier katsay ı lar ı n ın belirlenmesinin integrasyon i şlemi gerektirdiğinigörüyoruz. Fiziksel problemlerde ortaya ç ıkan Fourier serilerini daha önce görmemi şolan okuyuculara yard ım amac ıyla, önce, bir örnek olarak,x(t) =-tr/2 < t < at/2- t, tr/2 < t < 3tr/2ve x(t + 2,c) = x(t) ile verilen fonksiyonu göz önüne alal ım. (Şekil 34 'e bak ı n ız)
116Şekil 34. tE [—ıı12,n12) ise, x(t)--t,tE (tı/2,37ı/21 ise, x(t)= İı-t ile verilen, 2/ı periyotlu, periyodik x fonksiyonunun grafi ğ i(2) 'den, k = O, 1,... için, ak = 0 elde ederiz. Ve [-7/12,3/r/2] aral ığı n ı uygun birintegrasyon aral ığı olarak seçip, k ısmi integrasyon i şlemini uygulayarak,1nI2--x/2tsinkt dt 13 ır/2ır12( ır - Osin kt dt=[ COS kt rr2 +ıırk x12 ırkır/2-n/2cos ktdt— --3K/21 [(71" — cos kt] 372I2 --L cos ktdtırk't- tek nI2buluruz. Buna göre, (1) e şitliği,= sinKk2 2(k = 1,2,...)x(t) = "-;1- r (sin t - sin 3t + 52sin 5t - +...şeklini al ır. Okuyucu, k ısmi toplamlardan ilk üçünün grafığini çizip bunlar ı , x 'in yukar ıdaverilen grafıği ile karşı laşt ırabilir.Şimdi, genel Fourier serilerine dönelim. Aç ıkça görüldü ğü gibi, (1) 'deki kosinüs vesinüs fonksiyonlar ı, 3.4.5 'deki (uk) ve (vk) fonksiyonlar ına karşı l ık gelmektedir, yani,'dir. Buna göre, (1) ifadesini,14(0 = coskt, vk(t) = sin ktx(t) = aouo(t) + E[ak uk(t) + bk vk(t)] (3)şeklinde yazabiliriz. Şimdi, (3) 'ü sabit bir u, ile çarp ıp, t 'ye göre, 0 'dan, 2tr 'ye kadarintegre edelim. Bunun anlam ı , 3.4.5 'de tan ımland ığı şekliyle, u, ile iççarp ım almakt ır.Burada, terim terim integrasyonun mümkün oldu ğunu varsay ıp (düzgün yak ınsakl ıkyeterli olacakt ır), her j,k için, u, 1 vk özeliğinin yan ı s ı ra, (uk) ve (v k ) 'n ı nortogonalliğinden yararlan ıyoruz. Buna göre,
117< x, uj >= ao < uo,ui > +[ak < uk,ui > +b k < vk,ui >I= aj < uj, ui >= ai l[1122 ıcao, j = Oicat ,j(1,2,...)elde ederiz. (K ıs.3.4 'deki (5) ile kar şılaşt ı r ı n ız). Benzer şekilde, (3) 'ü v, ile çarp ı p,ayni işlemleri tekrarlarsak, j = 1,2,... olmak üzere,< x, v, >= bi llvj 2 = ırbisonucuna veririz. Buradan, af ve bi 'yi çözüp, ej = ve =üzere, (e;) ve (e;) dizilerini kullanarak,- l vj olmaka• =bi =ıı .,11 2ıı v,h 2< X, Ui >< x, vj >< x,ei >liui Il_ı < x,"j >— Ili', Ilelde ederiz. Bu sonuçlar (2) ile e şdeğer olup, (3) 'deakuk(t) -1< x,ek > Uk(t) = < x,ek > ek(t)iiuk Il(4)olduğunu gösterir ve bkvk(t) için benzer formül yaz ılabilir. Buna göre, (1) Fourier serisi,x x,e0 > eo +E[< x,e k > ek +< k > ekik=1şeklinde yaz ı labilir.Bu sonuç, önceki kesimde kulland ığım ız "Fourier katsay ılan" deyimine de aç ıklamagetirmektedir.Bu örneği tamamlarken, okuyucunun, Fourier serilerine bir giri şi, W.Rogosinski(1959)'da bulabilece ğini belirtmekte yarar görüyoruz. Ayr ıca, R.V.Churchill (1963), s.77-112 ve E.Kreyszig (1972), s.377-407 'ye de bakabilirsiniz.Vermiş olduğumuz örnek sonsuz serilere ili şkin olup, konunun, diğer ortonormaldizilere, nas ı l genişletilebileceği ve bunlara kar şı l ık gelen serilerin yak ınsakl ıklar ıhakk ında neler söylenebilece ği sorusunu ortaya ç ıkarmaktad ır.Bir H Hilbert uzay ında, herhangi bir ortonormal (ek) dizisi verildiğinde, al, a2,...herhangi skalerler olmak üzere,(5)E akekk=1şeklindeki serileri göz önüne alabiliriz. Bilindi ği gibi, böyle bir serinin yak ınsamas ı ve bir stoplam ına sahip olmas ı ,sn = alet +...+a ne nk ısmi toplamlar ından olu şan, (4) dizisi için, n -> co olduğunda, Us, - sll 0 olacakşekilde bir s e H 'in varl ığı olarak tan ımların'.3.5.2. TEOREM (Yak ınsakl ık). (ek), bir H Hilbert uzay ında ortonormal bir dizi olsun.Bu durumda,(6)
118(a) (6) serisinin (H üzerindeki norma göre) yak ınsak olmas ı için gerek ve yeter ko şul,Elakl 2 (7)k-1serisinin yak ınsamas ıd ı r.(b) (6) 'n ın yak ınsamas ı halinde, x, (6) 'n ın toplam ını belirtmek üzere, a k katsay ılar ı ,< x,ek > Fourier katsay ılar ıd ı r. Bu durumda, (6),x = < x,ek > ek (8)k-1olarak yaz ı labilir.(c) Herhangi x E I/ için, a k = < x,ek > al ınmak üzere, (6) serisi (H 'daki norma göre)yak ınsakt ı r.ispat. (a) s,, = al e +...+a„ en ve a n = la i l 2 +...+Ia,,1 2 olsun. Buna göre,ortonormallik nedeniyle, herhangi m ve n > m için,IISn -s. ll z = +... +an e n 11 2= la„,,, 1 2 +...+Ian[ 2 = —yazabiliriz. O halde, (s a) 'in H 'da bir Cauchy olmas ı için gerek ve yeter ko şul, (a n )'in, R 'de Cauchy olmas ıd ır. H ve R 'nin tam oldu ğunu göz önüne al ırsak, teoreminbirinci k ısm ı n ın ispat ı tamamlanm ış olur.(b) s„ ve e, 'nin iççarp ımı n ı al ıp, ortonormalli ği kullanacak olursak, j = 1,...,k için,yazabiliriz. Varsay ım olarak, s„nedeniyle de,< s„,ej > = aJ (k < n ve sabit)x al ınm ışt ı . Dolay ısıyla, iççarp ı m ın sürekliliğ iotj =< s„,e; >•< x,ej > U < k)elde edilir.Burada. n 00 olmas ı nedeniyle, k (< n) say ıs ı n ı istediğimiz kadar büyük alabilirve dolay ısıyla, her j = 1,2,... için, ai = < x, e; > elde ederiz.(c) Teorem 3.4.6 'daki Bessel e şitsizliğinden yararlanarak,El< x,ek12>serisinin yak ınsak olduğunu görürüz. Bundan ve (a) 'dan, (c) 'nin gerçeklenmek zorundaolduğu görülür.Bir X iççarp ım uzay ında, ortonormal bir (e k), ıc E /, ailesi, (/ indeks kümesininsay ılamaz olmas ı nedeniyle) say ılamaz ise, K e I olmak üzere, bir x E X 'in, < x, e K >Fourier katsay ılann ı yine de olu şturabiliriz. Her sabit m = 1,2,... için, l< x,e, >I> llmkoşuluna uygun Fourier katsay ılar ı n ın say ıs ı n ın sonlu olmak zorunda oldu ğu sonucunavarmak için, K ıs.3.4 7deki (12*) bağınt ısı n ı kullanabiliriz. Bu sonuç, aşağıdaki önemlilemmay ı ispatlar:3.5.3. LEMMA (Fourier Katsay ı lar ı). Bir X iççarp ım uzay ında herhangi bir x, X 'dekiortonormal bir (e,,), ıc E / ailesine göre, en fazla say ılabilir çoklukta, s ıfırdan farkl ı< x,ek > Fourier katsay ısına sahip olabilir.Buna göre, herhangi bir sabit x E H eleman ı n ı, (8) 'e benzer bir
119EK(1< x,e K > eKserisiyle eşleyebilir ve eK 'y ı < x,e K > # 0 olmak üzere, (9) serisi (8) şeklini alacakşekilde, (e I, ez, ...) gibi bir dizi olarak düzenleyebiliriz. Yak ınsakl ık Teorem 3.5.2 'denç ı kar. Ayr ıca, toplam ı n, e K 'lar ın dizi içindeki dizili şinin s ıras ına bağ l ı olmad ığı n ı dagösterebiliriz.ispat. (w „,), (e n ) 'in yeni bir düzenlemesi olsun. Bu varsay ım, tan ım gereği, N 'ninkendi üzerine, iki dizinin kar şı l ıkl ı terimleri e şit, yani, w n,(„) = e n olacak şekilde, bire-bir veüzerine bir n m(n) dönüşümünün varl ığı n ı ifade eder.vea n =< x>en >,p„,=< x,w„,>(9)x, E an en X2 = E fimw myazal ım. Teorem 3.5.2 (b) gereğince,a n =< x,e„ >=.< xı ,en >, pn, =< x,wmyazabiliriz. e n = w,,,(n) olmas ı nedeniyle de,nı.-1x2,wm< xı — x, ,e „ >=< xbe n > — < x2,wm(n) >= < x,e„ > — < x,w„,( n) >= Ove benzer şekilde, < x, — x2,w. >= 0 elde ederiz. Bu ise,Ik i —X211 2 = — x2, — fim wm= E < x, —x2,e. > —E < x, _x2,wm >= oolmas ı n ı gerektirir. Sonuç olarak, x ı — x2 = O ve x ı = x2 'dir. (e n ) 'in (w m )düzenlemesi keyfi olduğundan, ispat ı m ız tamamlanm ış olur.PROBLEMLER1. (6) yak ınsak ve toplam ı x ise, (7) 'nin toplam ının IIX 11 2 olduğunu gösteriniz.2. (1) ve (2) 'den, (r 'nun) keyfi p periyotlu, bir z fonksiyonunun bir Fouriergösterimini elde ediniz.3 Yak ınsak bir E < x,ek > ek serisinin, x toplam ına sahip olmas ı gerekmediğinibir ömekle gösteriniz.4. (xj ), bir X iççarp ım uzay ı nda, jjx, jj + 11x2 jj +... serisi yak ınsak olacak şekilde birdizi ise, .4 = x ı +...+xn olmak üzere, düzenlenen (4) dizisinin bir Cauchy oldu ğunugösteriniz.5. Bir H Hilbert uzay ında, Eilx,11 'nin yak ınsakt ığının, Ex, 'nin yak ınsakl ığınıgerektirdiğini gösteriniz.6. (ej), bir H Hilbert uzay ı nda, ortonormal bir dizi olsun.
120x = aie Y E Pieii=1serileri mutlak yak ınsak olmak üzere, < x,y >= E a, R olduğunu gösteriniz.-17. (ek), bir H Hilbert uzay ı nda ortonormal bir dizi olsun. Her x E H için,yIc=1< x,e k > ekvektörünün H 'da mevcut ve x — y 'nin bütün ek 'lara ortogonal olduğunu gösteriniz.8. (ek), bir H Hilbert uzay ında ortonormal bir dizi ve M = span (ek) olsun. Her x E Hiçin, x E liolmas ı n ın gerek ve yeter ko şulu, x 'in, katsay ı lar ı ak =< x,e k > olmaküzere, (6) ile gösterilebilmesidir. Ispatlay ı niz.9. (e n ) ve (e n), bir H Hilbert uzay ında ortonormal iki dizi ve M, = span (e n ) veM2 = span (en ) olsun. Prob.8 kullanarak, Tt ı = R2 olmas ı için gerek ve yeter ko şulun,(a) en =Z an.? n , (b)en= c nme , anm =< en,7m >M= nt-1olduğunu gösteriniz.10. Lemma 3.5.3 'ün ispat ındaki ayr ı nt ılar ı tamamlay ı n ız.3.6. TOTAL ORTONORMAL KÜMELER VE DIZILERiççarp ım uzaylar ı ve Hilbert uzaylar ında gerçekten ilgi çekici ortonormal kümeler,uzaydaki her eleman, bu ortonormal kümeler yard ım ıyla gösterilebilecek, ya da,yeterince sa ğ l ıkl ı yakla şı labilecek şekilde, "yeterli çoklukta" elemandan olu şantard ı r.Sonlu boyutlu (n —boyutlu) uzaylarda durum basit olup, gereksinim duydu ğumuz tek şey,n elemanl ı bir ortonormal kümedir. Esas sorun, sonsuz boyutlu uzaylarda neleryapabilece ğimizdir. Önce konuya ilişkin kavramlar ı verelim.3.6.1. TANIM (Total Ortonormal Küme). Normlu bir X uzay ında, bir total küme (yada, temel küme), span'i X 'de yoğun olan bir M c X altkümesidir. Buna göre, bir Xiççarp ım uzay ında, X 'de total olan, bir ortonormal kümeye (ya da, diziye, ya da, aileye),s ıras ıyla, X 'de bir total ortonormal küme (ya da, dizi, ya da, aile)ad ı verilir.Tan ımdan aç ıkça görüldü ğü gibi, M 'nin X 'de total olmas ı için gerek ve yeter ko şul,spanM = Xolmas ıd ır.X 'de bir total ortonormal aileye, bazen, X 'in ortonormal baz ı da denir. Bununlabirlikte, bunun, X bir vektör uzay ı olarak al ınmak üzere, X sonlu boyutlu olmad ıkça,cebir anlam ında bir baz olmad ığı n ı önemle belirtmeyiz.Her H # {O} Hilbert uzay ında, bir total ortonormal küme vard ı r.Sonlu boyutlu bir H için, bu aç ı kt ır. sonsuz boyutlu ayr ılabilir bir H için (Bkz. 1.3.5)ise, (adi) tümevar ım yoluyla, Gram-Schmidt i şlemiyle elde edilebilir. Aynlabilir olmayanbir H uzay ı için (inşasal olmayan) bir ispat, K ıs ım. 4.1 'de. ba şka bir amaç içinvereceğimiz ve aç ıklayaca ğı m ız Zorn Lemmas ı ndan yararlan ılarak yap ı l ı r.Verilen bir H {O} Hilbert uzay ında bütün total ortonormal kümeler ayn ıkardinaliteye sahiptir. Bu de ğere, H 'in Hilbert boyutu, ya da, ortogonal boyutu denir.
121(H = {O} ise, bu boyut 0 olarak tan ımlan ı r. )Sonlu boyutlu bir H uzay ı için, Hilbert boyutu, cebir anlam ı ndaki boyutla ayn ıolaca ğından, ifade a şikard ı r. Sonsuz boyutlu ayr ı labilir bir H uzay ı için, ifadenindoğ ruluğu, a şağıda ispatlayaca ğı m ız Teorm 3.6.4 'den kolayca elde edilir. Ve genel bir Hiçin ifadenin ispat ı , kümeler teorisinden daha ileri bilgiler gerektirecektir; Bkz.E.Hewitt-K.Stromberg, Real and Abstract Analysis (1969) S.246.Aşağıdaki teorem, total ortonormal bir kümenin, yeni elemanlar eklenerek, dahageniş ortonormal bir kümeye geni şletilemeyeceğini göstermektedir.3.6.2. TEOREM (Totallik). M, bir X iççarp ım uzay ı n ı n bir altkümesi olsun. Budurumda,(a) M, X 'de total ise, M 'nin bütün elemanlar ına ortogonal olan, s ıf ırdan farkl ı birx e X eleman ı mevcut değ ildir; k ısaca,o (1)'d ı r.(b) X 'in tam olmas ı halinde , bu koşul, ayn ı zamanda, M 'nin X 'de total olmas ıiçin yeterlidir.lspat.(a) H, X 'in tamlanm ışı olsun (Bkz.3.2.3). Bu durumda, X, H ' ı n , H 'da yoğ unbir altuzay ı olarak göz önüne al ınabilir. Hipotez gereğ i, M, X 'de total olup, bu nedenle,span M, X 'de ve dolay ısıyla, H 'da yoğundur. Buna göre, Lemma 3.3.7, M 'nin H'daki ortogonal tümleyeninin {O} olmas ı n ı gerektirir. A şikar olarak, x e X ve x M ise,x = 0 bulunur.(b) X bir Hilbert uzay ı ise ve M, (1) koşulunu gerçekliyorsa, Ml = {O} olup, Lemma3.3.7, M 'nin X 'de total olmas ı n ı gerektirir.(b) 'de X 'in taml ığı esast ı r. Eğer, X tam değilse, M, X 'de total olacak şekilde,ortonormal bir M c X kümesi mevcut olmayabilir. Buna ilişkin bir örnek, Dixmier,J.(1953) Acta Math. Szeged 15, 29-30 'da verilmi ştir.Totallik için, diğer bir önemli kriter de, Bessel E şitsizliğinden elde edilebilir. Buamaçla, bir H Hilbert uzay ında, verilen herhangi bir M ortonormal kümesini göz önünealaca ğız. Lemma 3.5.3 'den, her sabit x E H eleman ı n ı n, en fazla, say ı labilir çoklukta,s ıf ırdan farkl ı Fourier katsay ısına sahip olabilece ğini ve bunlar ı bir dizi halinde, örne ğin,< x,e ! >,‹ x,e2 > şeklinde düzenleyebilece ğimizi biliyoruz. Bessel e şitsizliği, sol taraf ısonsuz bir seri ya da sonlu bir toplam olmak üzere,E l< x,ek >12 < Iki! 2 (Bessel (2)k'dir. Eşitlik işaretiyle, bu ifade,E l< x,ek >12 = iix ıı 2 (Parseval Bağınt ıs ı)kşekline dönü şür ve totallik için diğer bir kriter verir:3.6.3. TEOREM (Totallik). Bir H Hilbert uzay ında, bir M ortonormal kümesinin, H'da total olmas ı için gerek ve yeter ko şul, her x E H için, (3) no.lu Parseval ba ğınts ı n ı ngerçeklenmesidir. (Buradaki toplam, x 'in M 'e göre, s ıf ırdan farkl ı bütün Fourierkatsay ılar ı üzerinden al ınmaktad ı r.)ispat. (a) M kıta! değilse, Teorem 3.6.2 gereğince, H 'da, s ıfırdan farkl ı , bir x ı Mvard ı r. x M olduğundan, (3) 'de her k için, < x,ek >= 0 elde ederiz: dolay ısıyla,llx1l 2 0 olmas ına karşın, (3) 'ün sol taraf ı s ıf ı rd ır. Bu, (3) 'ün geçerli olmad ığı n ı(3)
122gösterir. O halde, (3), her x E H için gerçekleniyorsa, M, H 'da total olmak zorundad ı r.(b) M 'nin H 'da total oldu ğunu varsayal ım. Herhangi bir x e H eleman ı ve bunun,< x,e, >,< x,e2 >, ... gibi bir dizi olarak s ıralanm ış ya da sonlu say ıda olmalar ı halinde,belli bir s ı rada yaz ılm ış, s ıf ırdan farkl ı Fourier katsay ılar ın ı göz önüne alal ı m. Şimdi, y'yi, sonsuz seri olmas ı halinde, yak ınsakl ığın Teorem 3.5,2 'den ç ıkacağına dikkatederek,y = < x,ek > ek8xii 2 = ek,Z < x,e,„ > emkmkile tan ımlayal ı m. x - y ı M olduğunu göstermek istiyoruz. Ortonormalli ği kullan ırsak, (4)'de ortaya ç ıkan her e, için,< x - y, e; >=< x, e; > -E < x,ek >< ek,e, >=< x, e; > - < x, e; >= 0yazabiliriz. Ve (4) 'de içerilmeyen her v e M için, < x,v >= 0 'd ır. Dolay ıs ıyla,< x - y,v >=< x,v > _E < ek,v >= O - O -= Obulunur. O halde, x-y ı M, yani, x-y E Ml 'dir. M 'nin H 'da total olmas ı nedeniyle,3.3.7 'den, MI = {0} yazar ız. (4) 'ü ve yine ortonormalli ği kullan ırsak, (3) 'denkEk < x,ek >elde ederiz ki, bu da ispat ı tamamlar.3.6.4. TEOREM (Ayr ı labilir Hilbert Uzaylar ı). H bir Hilbert uzay ı olsun. Buna göre,(a) H ayr ılabilir ise, H 'daki her ortonormal küme say ılabilirdir.(b) H, H 'da total, ortonormal bir dizi içeriyorsa, H ayr ılabilirdir.Ispat. (a) H ayr ı labilir, B, H 'da yoğun herhangi bir küme ve M herhangi birortonormal küme olsun. Bu durumda, M 'nin herhangi farkl ı iki x ve y elemanlar ıaras ı ndaki uzakl ı k,Ilx -y11 2 x - y,x- y >=< x,x > + < y,y >= 2olmas ı nedeniyle, J kadard ır. Buna göre, x 'in ,/-2- /3 yar ıçapl ı Nx ve y 'nin ayn ıyar ıçapl ı Ny küresel kom şuluklan ayr ıkt ı r. B 'nin H 'da yoğun olmas ı nedeniyle, M 'debir b e B ve N,, 'de bir -I; e B vard ır ve Nx n Ny = Ğ olduğundan, b # b 'dir. Dolay ıs ıyla,M 'nin say ılamaz olmas ı halinde, böyle iki şer ikişer ayr ık küresel kom şuluklardansay ılamaz çoklukta elde etmemiz gerekirdi ve bu nedenle, B say ılamaz olurdu. Bherhangi bir yoğun küme oldu ğundan, bu durum, H 'in say ı labilir yoğun bir kümeiçermeyeceği anlam ına gelirdi ki, bu ayr ı labilirlik tan ımıyla çelişirdi. Buradan, M 'ninsay ı labilir olmas ı gerektiği sonucunu ç ıkart ınz.(b) (ek), H 'da total ortonormal bir dizi ve A, y (k"> = + ib (k") ve a(kn> ve b;,") rasyonel(H reel ise, lı ,n) = 0 olmak üzere,y;n)ei +...+y;:")e„ (n = 1,2,...)şeklindeki bütün lineer kombinasyonlar ın kümesi olsun. A 'n ın say ı labilir olduğu aç ıkçagörülmektedir. Şimdi, her x E H ve E > 0 için, Ilx - vll < E olacak şekilde bir v e A 'n ı nvarl ığı n ı göstererek, A 'n ı n H 'da yoğun olduğunu ispatlayaca ğız.(ek) dizisi, H 'da total oldu ğundan, Y„ = span{e ı ,...,en}, x 'e uzakl ığı , 6/2'den dahaküçük bir nokta içerecek şekilde bir n vard ır. Özel olarak, x 'nin, Y„ üzerinde,( )
y =k-1123< x,ek > ekile verilen (Bkz.(8),K ıs.3.4), y dik izdüşümü için, (lx-ylf < s/2 'dir. Buna göre,X —k=1< x,ek > ekyazabiliriz.Rasyonel say ı lar ı n, R 'de yo ğun olmalar ı nedeniyle, her < x,ekrsZ[.< x,e k > -y (klek < e124-1olacak şekilde, (rasyonel reel ve sanal k ıs ımlara sahip) bir y ş,") vard ı r.Buna göre,(V = E rk n) ekk= 1ile tan ımlanan v E A,(n)px -vjj = X — Er k e kli x- E< 8/2 +c/2 = e< el2> için,(< x,ek > eki' + İIE ek r k n) eki'ifadesini gerçekler. Bu sonuç, A 'n ı n H 'da yoğun olduğunu ispatlar ve A 'n ı nsay ılabilir olmas ı nedeniyle de H ' ın ayr ı labilir oldu ğunu ortaya ç ı kart ı r.Bu k ısımdaki incelemelerimizi sonuçland ırabilmek için, önemli olan ve Hilbertuzaylar ı n ı n izomorfizmi cinsinden ifade edilebilen di ğer baz ı özeliklere de ğineceğiz.Bir H Hilbert uzay ı n ın, ayn ı cisim üzerinde, di ğer bir ri Hilbert uzay ı üzerine olanizomorfizmi, her x,y E H için,< Tx,Ty >=< x,y >olacak şekilde, bire-bir ve örten bir T : H lineer operatörüdür. Bu durumda, Hveuzaylar ı na izomorfik Hilbert uzaylar ı ad ı verilir. T operatörü lineer oldu ğundan, vektöruzay yap ısı n ı korur ve (5), T 'nin izometrik oldu ğunu gösterir. Bunu ve T 'nin bire-bir veörten olu şunu da göz önüne alarak, H ve H uzaylar ı n ın, gerek cebirsel ve gereksemetrik özelikler aç ısı ndan farkl ı olmad ı klar ı n ı , elemanlar ı n ın yap ısı d ışında esasta ayn ıolduklar ı n ı söyleyebiliriz. Dolay ıs ıyla, 'y ı , H ' ın her bir eleman ına bir T"etiketi"iliştirilmiş olarak dü şünebiliriz. Ya da, H ve 7-İ uzaylar ı n ı , n-boyutlu Euclid uzaylar ı ndayapt ığı m ız gibi, ayn ı soyut uzay ın iki kopyas ı (modeli) gibi gözönüne alabiliriz.Bu incelemelerimizin en önemli yan ı , her bir Hilbert boyutu için, bir tek soyut reelHilbert uzay ı ve yine bir tek soyut kompleks Hilbert uzay ı n ı n varl ığını söyleyebilmemizdir.Diğer bir deyimle, ayn ı cisim üzerindeki iki soyut Hilbert uzay ı , ancak kendilerinin Hilbertboyutlar ı aç ıs ından birbirinden ayr ılabilirler. Bu durumu, genel olarak, a şa ğıdaki teoremlebelirtiyoruz.3.6.5. TEOREM ( İzomorfizm ve Hilbert Boyutu). Her ikisi de reel ya da kompleks , H(5)
124ve ^fi gibi iki Hilbert uzay ı n ın izomorfik olmas ı için gerek ve yeter ko şul, bunlar ı n ayn ıHilbert boyutuna sahip olmalar ıd ı r.ispat. (a) H uzay ı H ile izomorfik ise ve T : H -› ri bir izomorfızm ise, (5) e şitliğ i, H'daki ortonormal elemanlar ı n, T alt ında ortonormal görüntülere sahip oldu ğunu gösterir. T'nin bire-bir ve üzerine olmas ı nedeniyle, T 'nin, H 'daki her total ortonormal kümeyi,içinde yine total ortonormal bir kümeye dönü ştürdüğü sonucunu ç ıkartabiliriz. O halde, Hve 71 ayn ı Hilbert boyutuna sahiptir.(b) Tersine olarak, H ve 'n ı n ayn ı Hilbert boyutuna sahip oldu ğunu varsayal ım.H= {O} ve ri = {O} olmas ı halinde durum aşikard ır. 7-1 {0} olsun. Bu durumda,H {O} 'd ır ve H 'daki herhangi bir total ortonormal M kümesiyle, H 'daki M kümesiayn ı kardinaliteye sahiptir ve dolay ısıyla, bu iki kümeyi ayn ı {k} indis kümesiylenumaralayabilir ve M= (ek) ve H = (ek) yazabiliriz.H ve T/ 'n ın izomorfik olduğunu göstermek için, H 'dan 7/ üzerine bir izomo ıfizm inşaetmemiz gerekmektedir. Her x e H için,x =E ekyazabiliriz. Burada, sağ taraf, sonlu bir toplam ya da, sonsuz bir seri olup, Besseleşitsizliği gereğince, El< x,ek >1 2 < oo 'dur. Buna göre,kk3c- = Tx = E < x,ek > ektan ım ı n ı yaparak, 3.5.2 gere ğince, yak ınsakl ığı elde ederiz; dolay ısıyla, 1". e 'd ir.iççarp ımın, birinci çarpana göre, lineer olmas ı nedeniyle, T operatörü lineerdir. Ayr ıca,önce (7) 'yi, daha sonra da (6) 'y ı kullanarak,kIIII z = IlTx11 2 = E < x,ek >1 2 = 114 2kyaz ılabileceğinden, T 'nin izometrik oldu ğu ortaya ç ıkar. Bu sonuçla, K ıs.3.1 'deki (9) ve(10) ifadelerini göz önüne al ırsak, T 'nin iççarp ım ı koruduğunu görürüz. Ayr ıca, izometribire-bir olmay ı gerektirir. Gerçekten, Tx = Ty ise,Ilx — YN = 11T(x — y)11 = 11Tx — Ty11 = 0olup, bu nedenle, x = y 'dir ve T bire-bir bir dönü şümdür.Son olarak da, T 'nin "üzerine" bir dönü şüm olduğunu gösterelim. 71 'da herhangibir,= E a k7 kkverildiğinde, Bessel eşitsizliği yard ım ıyla , »1,1 2 < co yazabiliriz. Buna göre,( 6)( 7)E akekksonlu bir toplam, ya da, 3.5.2 gere ğince, bir x E H 'a yak ınsayan bir seri olup, ayn ıteorem gere ğince ak =< x,ek > 'd ır. Buna göre, (7) yard ım ıyla, .ek- = Tx elde ederiz.3-ı e 71 keyfi olarak al ı nd ığından, bu sonuç, T 'nin üzerine bir dönü şüm olduğunu gösterirve ispat ım ız tamamlanm ış olur.
125PROBLEMLER1. F, bir X iççarp ım uzay ında, ortonormal bir baz ise, her x E X eleman!, F 'ninelemanlar ı n ı n lineer bir kombinasyonu olarak gösterilebilir mi? (Tan ım gereği, bir lineerkombinasyon soniu çoklukta terimden olu şur.)2. Bir H Hilbert uzay ı n ı n ortogonal boyutu sonlu ise, bu boyutun, H 'in bir vektöruzay olarak göz önüne al ı nmas ı halindeki boyutuna e şit olaca ğı n ı gösteriniz. Tersineolarak, ikincisinin sonlu olmas ı halinde, birincisinin de sonlu olaca ğı n ı gösteriniz.3. (3) ba ğı nt ıs ı , n —boyutlu Euclid uzay ı halinde,elemanter geometrinin hangiteoreminden elde edilir?4. (3) 'den (ço ğunlukla, Parseval ba ğı nt ısı olarak bilinen) aşağıdaki formülüç ıkart ı n ız:< x,y >=Z< x,e k>< y, ek >.k5. Bir H Hilbert uzay ında, ortonormal bir (e,), K E I ailesinin total olmas ı için gerekve yeter ko şulun, Prob.4 'deki ba ğı nt ı n ı n, her x ve y E H için gerçeklenmesi oldu ğunugösteriniz.6. H ayr ı labilir bir Hilbert uzay ı ve M, H ' ın say ı labilir yoğun bir altkümesi olsun. H'in, Gram-Schmidt i şlemiyle, M 'den elde edilebilen bir total ortonormal dizi içerdi ğinigösteriniz.7. Bir H Hilbert uzay ı ayr ı labilir ise, H 'da total ortonormal bir kümenin varl ığın ı n,Zorn lemmas ı kullan ılmadan, ispatlanabilece ğini gösteriniz.8. Ayr ı labilir bir H Hilbert uzay ındaki herhangi ortonormal F dizisi için, 'i içerentotal ortonormal bir P dizisinin varoldu ğunu gösteriniz.9. M, bir X iççarp ım uzay ında total bir küme olsun. Her x E M için, < v.x > = < w,x >ise v = w oldu ğunu gösteriniz.10. M, bir H Hilbert uzay ı n ın bir altkümesi ve v,w e H olsun. Her x E M için,< v.x > = < w,x > e şitliğinin v = w eşitliğini gerektirdiğini kabul edelim. E ğer bu durum,her v,w e H için geçerli ise, M 'nin H 'da total oldu ğunu gösteriniz.3.7. LEGENDRE -HERMITE VE LAGUERRE POUNOMLARIHilbert uzaylar ı teorisi, analizin çe şitli konular ında uygulama alanlar ına sahiptir. Buk ısımda, uygulamal ı problemlerde (örne ğin, Bölüm 11 'de görece ğimiz gibi, kuantummekaniğinde) s ık s ı k kullan ılacak olan baz ı total ortogonal ve ortonormal dizileri elealacağız. Bu dizilerin özelikleri ayr ı nt ı l ı bir şekilde incelenmiştir. Genel bir referans, Ek.3'de bulaca ğı n ız, A.Erdelyi ve Ark. (1953-55) 'n ın kitab ıdır.Bu k ısm ın okutulmas ı isteğe bağ l ıd ı r.3.7.1. LEGENDRE POUNOMLARI. [-1,1] üzerinde tan ıml ı tüm süreklifonksiyonlardan olu şan ve< x,y >= x(t) y(t) dtiççarp ım ıyla verilen X iççarp ım uzay ı , Teorem 3.2.3 'e göre, tamla şt ır ı labilir. Butamlaşt ı rma L 2[-1,1] ile belirtilen bir Hilbert uzay ı verir; Örnek 3.1.5 'e de bak ı n ız.
126L 2 [-I, 1] uzay ı nda, kolayl ıkla inceleyebileceğimiz fonksiyonlardan olu şan, totalortonormal bir dizi elde etmek istiyoruz. Polinomlar bu tip fonksiyonlar olup, çok basit birfikir vermemizde yard ımc ı olacakt ı r.x o(t) = 1, x (t) = t, , x,(t) = t ' , (t E [-1,11) (1)olmak üzere, xo, x, , x2,...kuvvetlerinden ba şlayal ım. Bu dizi lineer ba ğıms ızd ır (ispat ?).Gram-Schmidt yöntemini uygulayarak ortonormal bir (e n) dizisi elde ederiz. Bu i şlems ıras ında, x, 'lerin lineer kombinasyonlar ı n ı ald ığım ız için, e n 'lerin her biri birerpolinomdur. ileride de görece ğimiz gibi, en 'in derecesi n 'dir.(e n), L 2[-1, İ ] 'de totaldir.ispat. Teorem 3.2.3 uyar ınca, W = A(X) 'in L 2[-1,1] 'de yoğun olduğunusöyleyebiliriz. Bu nedenle, herhangi bir sabit x E L 2[-1,1] ve verilen bir e > 0 için,11x - Y11 0 keyfiolduğundan,bu sonuç, (e n) 'in totailiğini ispatlar.Pratik amaçlar için aç ık formüllere gereksinim vard ı r.olmak üzere,P n(t) = - on] (2a)e n(t) - 2n2+ 1 Pn (t) (n = 0,1,...) (2b)olduğunu ileri sürüyoruz. P,,, n. basamaktan Legendre polinomu olarak adland ınl ı r.(2a) formülüne ise, Rodrigues formülü denir. (2b) 'deki karekök ise, gereksinimduymad ığım ız için ispatlamayaca ğımız bir özelik olan P n(1) = 1 sonucunu doğurur.Binom teoremini (t 2 - O n 'e uygulay ıp, sonucu terim terim türetirsek, (2a) 'dan, n çiftolduğunda N = nI2 ve n tek olduğunda N = (n - 1)/2 al ınmak üzere,elde ederiz. Buna göre,ı (0 = z ( ___ İ ); (2n -- 2j)! tn_2,1.r=0j)!(n - 2j)!( 2 o)
v.b. bulunur. (Bkz. Şekil 35)127P(t) = 1 P = tP2(t) = i2-(3t 2 — 1) P3(t) = -12-(5t 3 — 3t) (21P4(t) = -1,(35t 4 — 301 2 3) Ps(t) = +(63/ 5 — 70t 3 + 1 5t)Şekil 35. Legendre Polinomlar ı(2a) ve (2b) 'nin ispat ı . ispat ın (a) ad ı m ında, (2a) 'n ı n,— 1/211/3/1 II = I PW) ılt2(3)2n + 1_ —eş itliğ ini gerektirdiğini göstereceğiz. Dolay ıs ıyla, (2b) 'deki e n , 1 'e eşit olan gerçeknormuyla elde edilecektir. ispat ın (b) ad ımında ise, (P n ) 'in, L 2 [-1,1] uzay ında ortogonalbir dizi oldu ğnu ispatlayaca ğız. Bu ispat, a şağıda aç ıklayaca ğı= nedenle, (2a) ve (2b)'yi olu şturma= için yeterli olacakt ı r. İlk olarak, (2b) 'nin sa ğ taraf ını yn(t) ilegösterelim. Bu durumda, yn, n. dereceden bir polinom olup (a) ve (b) ad ımlar ı , (yn)dizisinin, L 2 [-1, 1] 'de ortonormal bir dizi oldu ğunu gösterecektir.17n= span{eo, ...,e span{x0,...,x.}= span{yo,...,yn}diyelim; burada, ikinci e şitlik işareti Gram-Schmidt yöntemindeki algoritmadan, soneşitlik ise, yo,...,y,, 'in 3.4.2 'de ifade edilen, lineer ba ğıms ızl ığ lyla, dimYn = n + 1oluşundan kaynaklanmaktad ı r. Dolay ıs ıyla, yn,yn = E ai (4)ej.frogösterimine sahiptir. Şimdi, ortogonallik nedeniyle,yn ı Yn_ ı = span{yo,•••,y n_ ı } = }yazabiliriz. Bu ise, k = O, ...,n — 1 için,0 =< y„,e k >= Ea.1 = ak
128sonucunu gerektirir. Buna göre, (4) formülü, y,, = a n e n 'e indirgenir. Burada,ii Y n II = ilen II = 1 olduğundan, !a n i = 1 'dir. Gerçekten, yn ve e n 'in her ikisi de reelolduğundan, a n = +1 ya da —I 'dir. (2c) 'deki ın 'in katsay ıs ı pozitif oldu ğundan,yeterince büyük t için, yn(t)> 0 'd ı r. Ayr ıca, x n(t) = t" oluşuyla ve K ıs.3.4 "deki (13)ve (14) 'den görece ğimiz gibi, yeterince büyük t için, e„(t) > 0 'd ır. Buna göre, a = +Ive yr, = e n olup, (2a) 'da verilen P„ ile birlikte (2b) elde edilir.Bütün bu sonuçlar, yukar ıda sözü edilen (a) ve (b) ad ımlar ı n ın at ılmas ından sonra,ispat ı n tamamlanaca ğı n ı göstermektedir.(a) (2a) 'dan (3) 'ü elde edebiliriz. u = t2-' yazal ım. u" ve türevleri olan(un)',...,(un)(n- I ), t = ±1 noktalar ında s ıfırd ı r ve (un) (2n) = (2n)! 'dir. Buna göre, k ısmiintegrasyon yöntemiyle, n kez integre ederek, (2a) 'dan(2n no2 2 = .f (un)(n)(un)(n)di-11= ( un)(n - 1)(un)(n) l 1 1 1( un)(n-1)( un)(n+l)dt= (-1 )"(2n)! .f undt= 2(2n)! j(1 — t 2 ) dtOır/2= 2(2n)! cosz"+ 1 z dzO22n+1(n!)22n + 1(t = sin ı)elde ederiz. (2"n!) 2 ile bölme ise, (3) 'ü verir.(b) 0 < m < n olmak üzere, < P., P n >=, 0 olduğunu gösterelim. P. bir polinomolduğundan, x m , (1) ile tan ımlanm ış olmak üzere, m < n için, < .x.,P, >= 0 olduğunugöstermek yeterlidir. Bu da, k ısmi integrasyon yöntemiyle, m kez integral al ınarak eldeedilir:
2nn! < x„,,P n >= j IJ129tm(un)(n)dt= tm(un) (`" ) Ş i i tm- i(un) (n- Odt= (-1)%! f(un) (n-m)dt= (-1)mm İ (un) (n--in-1) 1 1 1 = O.Bu sonuç da (2a) ve (2b) 'nin ispat ın ı tamamlar.Legendre polinomlar ı , ünlü Legendre diferensiyel denklemi(1 — t2)/3,, — 2tP„' + n(n+1)P„ = 0 (5)'in çözümleridir. Ve (2c), (5) 'e kuvvet serisi yöntemi uygulanarak da elde edilebilir.Ayr ıca, L 2 [a,b] uzay ında, total ortonormal bir dizi,qn = HpnIl p„, p n(t) = Pn(s), s = 1 -t- 2 tş_ ba (6)olmak üzere tan ımlanan, (q n) dizisidir. ispat ise, a < t < b 'nin karşı l ık geldiği veortogonalliğin t s lineer dönü şümü alt ında korunduğu göz önüne al ınd ığında ortayaç ıkar. Bu nedenle, Teorem 3.6.4 şu sonucu gerektirir:L 2[a,b] reel uzayı ayrdabilirdir.3.7.2. Hermite Polinomlar ıUygulamada ilginç olan diğer uzaylar, L 2(-00,-1-co), L 2 [a,-Foo), L2 (—co,b1 uzaylar ıd ır. Buuzaylar ı 3.7.1 'de dikkate almam ışt ık. Zira, integrasyon aral ıklann ın sonsuz olmas ınedeniyle, 3.7.1 'deki xo,x1,... kuvvetleri yaln ız başına yeterli olmayacakt ı . Fakat,bunlar ın her birini, yeterince h ızl ı azalan basit bir fonksiyonla çarparsak, sonlu olanintegraller elde etmeyi ümit edebiliriz. Uygun bir üs'se sahip bir üste) fonksiyon do ğal birseçim olarak görülmektedir.Reel L 2(-00,+co) uzay ı n ı göz önüne alal ım. İççarp ı m,-WD< x,y >= x(t) y(t) dtile verilmektedir. Gram-Schmidt yönteminiw(t) = e -42/2 , t w(t), t2 w(t),...ile tan ımlanan fonksiyonlar dizisine uygulayaca ğız. Üs 'de yer alan 1/2 çarpan ı , tümüyleuygunluk aç ısından seçilmiş olup daha derin bir anlam ı yoktur. Bu fonksiyonlar,L 2 (—co,+co) 'un elemanland ır. Gerçekten, bu fonksiyonlar R üzerinde s ı n ı rl ı olup(itnw(01 < kn diyelim),ILOe-'2/2 tn e-t2/2 dt k„,,„ e -1212 dt ='dir.
130Gram-Schmidt yöntemi,en(t) =1şr-)112e-' 212 11,,(t)(7a)veHo(1) = 1, 11 n( 1) = (-1 ) n ef' Cdt„ (e -12 ) (n = 1 , 2,• • •) 7b)olmak üzere, ortonormal (e n ) dizisini verir. (Bkz. Şekil 36).Şekil 36_ (7a)'da Hermite polinomlann ı içeren e„ fonksiyonlar ıHn, n. basamaktan Hermite polinomu olarak adland ı r ı l ı r.(7b) 'de belirtilen türev alma i şlemlerini gerçekleştirerek, n çift olduğunda N = n/2ve n tek olduğunda N = (n - 1)/2 olmak üzere,Hn(t) = n!E(-1).12 n- 2j- 2)!t„-2j(7 C)elde ederiz. Bunun, ayn ı zamanda,Hn (t) = E n(n - 1) ...(n - 2j + 1)(20" -2.1 (7c)1-0olarak da yaz ılabileceğine dikkat ediniz.Ilk birkaç Hermite polinomunun aç ık ifadeleriHow = 1 H ı (t) = 2tH2(1) = 4t2 — 2 H3(1) = 8t 3 - 12t(71H4(t) = 16t4 — 48t2 + 12"(7a) ve (7b) ile tan ımlanan (e n) dizisi ortonormaldir."Ispat. (7a) ve (7b),H5(t) = 32t 5 — 160t 3 + 120t+00e-' 2 H,n(t) Hn (t) dt =2nn!0 menm = nolduğunu ispatlamam ız gerektiğini göstermektedir. (7c') 'yü türevleyerek, n çiftolduğunda, M = (n - 2)/2 ve n tek oldu ğunda, M((n - 1)/2) olmak üzere, n > 1 için,(11 n(t) = 2n (n 1)(n - (n - 2j)(20 1" -2-1.1!= 2n 11,1(0elde ederiz.Bu formülü, m < n varsay ıp, (8) 'deki üs'sü kolayl ık amac ıyla, v ile belirtip,
131m kez k ısmi integrasyon yöntemini kullanarak H,„ 'e uygulayacağız. Buna göre, (7b)gereğince,+CO +00(-1)" H,n(t) Hn(t) dt = f H„,(t) v
132Hermite polinomlar ı n ın kuantum mekaniğindeki bir uygulamas ı K ıs.11.3 'de eleal ınacakt ı r.3.7.3. Laguerre Polinomlar ı . L 2(-00,b] ya da L 2 [a,+00) uzaylar ında total ortonormalbir dizi, L 2 [0,-1-00) uzay ında bu özeliğe sahip bir diziden, s ıras ıyla, t = b - s ve t = s+ adönüşümüyle elde edilir. L 2[0,-1-00) uzay ı n ı göz önüne alal ı m.e-t/2 , te l/2 t2e-t/2 ,ile tan ımlanan diziye Gram-Schmidt yöntemini uygulayarak ortonormal bir (e n ) dizisi eldeederiz. (e n) dizisinin L 2 [0,+00) uzay ında total olduğu vee n(t) = e -'12 L n (t) (n = 0,1 , ...) (10a)ile verildiği gösterilebilir. (Bkz. Şekil 37). Burada, n. basamaktan Laguerre polinomuyani,L o (t) = 1,ın(o= -e2-- i" c (t" e-') (n = 1,2,...) ( ı ob)n ! dt -ı n (t) =froJ( n )ti(10c)ile tan ımlan ı r.Şekil 37. (10aYcla, Laguerre polinomlar ını içeren e n fonksiyonları'dür.İlk bir kaç Laguerre polinomlar ın ın aç ık ifadeleriLo(t) = 1 Li(t) = 1-tL2(1) = l - 21+ -ft 2 L3(t) = 1 - 3f + .kt 3L.4(t) = 1 - 4t + 3t2 - +t3 + *t4L„ Laguerre polinomlar ı ,tL,,"1-(1 - t)L;, nL n = 0Laguerre diferensiyel denkleminin çözümleridir.Daha ileri ayr ınt ılar için, A.Erdelyi ve Ark. (1953-55) 'e ve ayr ıca, R.Courant veD.Hilbert (1953-62) Cilt 1 'e bak ınız.
-PROBLEMLER1. Legendre diferensiyel denkleminin,133[(I - t2 )P;,] ı = -n(n + 1)P „olarak yaz ılabildiğini gösteriniz. Bu denklemi P„, ile çarp ınız. P„, 'e karşı l ık gelendenklemi, -P ile çarp ıp, bu iki denklemi toplay ı n ız. Bulduğunuz sonuç denklemini -1'den, +1 'e kadar integre ederek, (P „) 'in, L 2 [-1,1] uzay ında ortogonal bir diziolduğunu gösteriniz.2. (2b) 'den (2c) 'yi elde ediniz.3. (Üretici Fonksiyon).,İI - 2tw + w 2E P n(t)w nolduğunu gösteriniz. Sol taraftaki fonksiyon, Legendre polinomlar ının bir üreticifonksiyonu olarak adland ı r ı l ı r. Üretici fonksiyonlar, çe şitli özel fonksiyonlara ilişkinişlemlerde yararl ı olmaktad ır;Bkz. R.Courant ve David Hilbert (1953-62), A.Erdelyi veArk. (1953-55).4. r, Şekil 38 'de gösterildi ği gibi, R. 3 'de verilen A ı ve A2 noktalar ı n ın aras ındakiuzakl ı k ve r2 > 0 olmak üzere,1 1r Jr f + rz - 2r i r2 cos OEpn(cos9)(1± .• r2 r2,İ=oolduğunu gösteriniz. (Bu formül, potansiyel teoride yararl ıdır.)Şekil 38. Prob. 45. Legendre polinomlar ı n ı , kuvvet serileri yöntemiyle, a şağıdaki şekilde elde ediniz:Legendre denkleminde, x( ı) = co + cit+ c2t 2 +... koyunuz ve katsay ı lar ı belirleyerek,ven(n + 1) t2 +(n 2)n(n + 1)(n + 3) 4Xi (t) = 1 +...2! 4! t(n - 1)(n + 2) (n - 3)(n - 1)(n + 2)(n + 4)x2(t) = tt 3 + t5 +...3! 5 !olmak üzere, x = cox ı + c ı.x2 çözümünün elde edilece ğini gösteriniz. n E N için, bufonksiyonlardan bir tanesinin, c„ = (2n)1/2 4 (n!) 2 seçilmesi halinde, P„ ile uyuşan birpolinoma indirgendiğini gösteriniz.6. (Üretici Fonksiyon).
134exp(2wt - w 2) = E --17-14,(1)W nır-0 ı 1 •olduğunu gösteriniz. Sol taraftaki fonksiyon, Hermite polinomlar ı n ı n bir üretici fonksiyonuolarak adland ı r ı l ı r.7. (7b) 'yi kullanarak,Hn+İ (t) = 2tHh(t)- Hn(t)olduğunu gösteriniz.8. Prob.6 'daki üretici fonksiyonun t 'ye göre türevini alarak,11;,(1) = 2nH,i(t) (n I)olduğunu gösteriniz. Ve Prob.7 'yi kullanarak, H„ 'in, Hermite diferensiyel denkleminigerçeklediğini gösteriniz.9. y" +(2n + 1 - t2 )y = 0 diferensiyel denklemini, Hermite polinomlar ı cinsinden,çözünüz.10. Prob.8 'i kullanarak,(e° 2 1-4) 1 = -2ne-£ 2 Hnolduğunu gösteriniz. Bu sonucu ve Prob.1 'de aç ıklanan yöntemi kullanarak, (7a) iletan ımlanan fonksiyonlann R. 'de ortogonal oldu ğunu gösteriniz.11. (Üretici Fonksiyon) (10c) 'yi kullanarak,V'(t,w) =w exp[ tww ] - EL n (t)wnn=oolduğunu gösteriniz.12. Prob.11 'deki ıff fonksiyonunun w 'ye göre türevini alarak,(a) (n +1)Ln+I(t) - (2n + 1 - t)Ln(t) + nL,i(t) = 0olduğunu gösteriniz.yı fonksiyonunun t 'ye göre türevini alarak,olduğunu gösteriniz.13. Prob.12 'yi kullanarak,(b) L n_ ı (t) = L'„_.1 (t) - L', 7 (t)(c) tL„f (t) = Ln(t) - nL n- ı (t)olduğunu gösteriniz. Bu sonucu ve Prob.12 'deki (b) 'yi kullanarak, L n 'in (11) no.luLaguerre diferensiyel denklemini gerçekledi ğini gösteriniz.14. (10a) 'daki fonksiyonlann normunun 1 oldu ğunu gösteriniz.15. (10a) 'daki fonksiyonlar ın, L 2 [0,0o) uzay ı nda ortogonal bir dizi olu şturduğunugösteriniz.3.8 H İ LBERT UZAYLARINDA FONKSIYONELLER İN GÖSTER İMLER İÇeşitli uzaylar üzerinde, s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerin genel şekillerinin bilinmesiuygulamada önem ta şımaktad ır.Bu hususa, K ıs.2.10 'da değinmiş ve aç ıklam ışt ık.Genel Banach uzaylar ında bu tip formül ve sonuçlar ın oldukça karışık olabilmesinekarşın, bir Hilbert uzay ında durum şa şı rt ı c ı şekilde basittir:3.8.1. RIESZ TEOREM İ (Hilbert Uzay ı Üzerinde Fonksiyoneller). Bir H Hilbert uzay ıüzerinde, her s ı n ı rl ı lineer f fonksiyoneli, iççarp ım cinsinden ifade edilebilir, yani, z, f 'ebağıml ı olmak üzere,
135j(x) = < x,z >,eşitliğiyle, f taraf ı ndan tek olarak belirlenmi ş olup,ilzil = IVlinormuna sahiptir.ispat. ispat ı yapabilmek için, önce (a) f 'in (1) şeklinde bir gösterime sahipolduğunu, (b) (1) 'deki z 'nin tek oldu ğunu ve (c) (2) formülünün sa ğland ığı n ıgöstermemiz gerekmektedir. Buna göre,(a)f = 0 ise, (1) ve (2), z = 0 almam ız halinde gerçeklenir.f 0 alal ım. ispattakifikri olu şturmak için, (1) gösteriminin mevcut olmas ı halinde, z 'nin hangi özelikleresahip olmas ı gerektiğini araşt ı ral ım. ilk olarak, z 0 'd ır; çünkü, aksi halde f = 0olmas ı gerekirdi. İkinci olarak, 1(x) = 0 ko şuluna uygun her x için. < x, ı > = O 'd ı r; yani,f 'in N(f) s ıf ır uzay ındaki bütün x 'ler için, < x,z >= O 'd ı r. Dolay ıs ıyla, z ı N(j) 'dir. Budurum, N(f) ve bunun ortogonal tümleyeni olan N(f) 1 uzay ın' göz önüne almam ız ı imaetmektedir.ikinci bölümden hat ı rlad ığım ız gibi, N(f) bir vektör uzay ı olup, kapal ıd ı r. Ayr ıca, f 0olmas ı , N(f) H ve dolay ısıyla, 3.3.4 izdü şüm teoremi gere ğince, N(f) 1 {0} olmas ı n ıgerektirir. Buna göre, N(f) 1 , bir zo 0 eleman ı içerir. x e H keyfi olmak üzere,yazal ım. Buna,f 'i uygulayarak,v = f(x) zo —f(zo) x.f(v) f(x) f(z o) - f(zo) f(x) = 0elde ederiz. Bu ise, v E N(f) oldu ğunu gösterir. z o ı N(f) olduğundan,0 = < v,zo >=< f(x)zo — AZ0)X,Zo >= ,AX) < Zo,Zo > < X,Zo >buluruz. Buradan, < zo,z o >= 11411 2 0 olduğunu da göz önüne alarak, f(x)çözersek, sonuç,olur. Bu ise,f(x) = < x,zo >f(zo)Z =Zo< 20,Z0 >olmak üzere, (1) şeklinde yaz ılabilir. Böylece, x e H keyfi olduğundan, (1) ispatlanm ışolur.(b) Şimdi de, (1) 'deki z 'nin tek oldu ğunu ispatlayal ım. Her x e H için,f(x) = < x,z, > < x,z 2 >olsun. Bu durumda, her x için, < X,Z1 Z2 > = 0 'd ır. Özel olarak, x = ı l< x,z ı — z2 >=< z i z2,zi — Z2 >= HZ] — Z211 2 = 0Z2 seçersek,buluruz. Dolay ıs ıyla, zi z2 = 0, yani, z ı = z2 elde edilir ki, bu sonuç z 'nin tekliğiniispatlar.(c) Son olarak, (2) 'yi ispatlayal ım. f = 0 ise, z = 0 olup, (2) gerçeklenir.f 0 olsun.Bu durumda, z 0 'd ır. x = z al ınmak üzere, (1) 'den ve K ıs.2.8 'deki (3) no.luformülden yararlanarak,
1 36Il Z II 2 =< Z, Z >= X') 5elde ederiz. Bunu, 11z11 * 0 ile bölersek, lizil < IlflI buluruz. Geriye, VII 5 Ilzil olduğunungösterilmesi kalmaktad ır. (1) 'den ve K ıs.3.2 'deki Schwarz eşitsizliğinden,olduğunu görürüz. Bu ise,If(x)1 = i< x,z >1 5 Ilxll Il ı flilfll =sup l< x,z5 ilzilsonucunu gerektirir.(b) 'deki teklik ispat ında kulland ığımız düşünce, ilerideki çal ışmalar ım ızda yararl ıolacakt ı r.3.8.2. LEMMA (Eşitlik). Bir X iççarp ım uzay ındaki her w için, < v i ,w >=< v2 , w >ise, vi = v2 'dir. Özel olarak. her w E X için, < vi ,w >= 0 olmas ı, vi = 0 sonucunugerektirir.ispat. Hipotez gere ği,her w için,< Vi — V2, W >=< Vi ,W > — < V2, W O'd ır. w = v i - v2 için, bu eşitlik, Iyi - v2 11 2 = 0 sonucunu verir. Buna göre, vi - v2 = 0 vedolay ıs ıyla, Vi = v2 bulunur. Özel olarak, w = vi olmak üzere, < v ] ,w >= 0 eşitliğ i,11v, 11 2 = 0, yani, v i = 0 verir.(1) gösterimi, Hilbert uzaylar ındaki operatörler teorisinde, oldukça önemlidir. Bunedenle, baz ı önbilgileri vermemiz yerinde olacakt ır.3.8.3. TANIM (Sesquilineer Form). X ve Y, ayn ı bir k (=R ya da C) cismi üzerinde ikivektör uzay olsun. X x Y üzerinde bir h sesquilineer formu (ya da, sesquilineerfonksiyoneli), her x, x ı , x2 E X ve y, y ı , y2 E Y ve her a,fi skalerleri için,olacak şekilde bir,(a)h(x + x2,y) = h(x 1,y) + h(x2,Y)(b) h(x,yi + y2) = lı(x,y1)-1- h(x,y2)(c) h(ax,y) = ah(x,y)(d) h(x, fly) = h(x,y)h:Xx Y -+ kdönüşümüdür.Buna göre, h , birinci argümente göre lineer, ikinci argümente göre de e şleniklineerdir. X ve Y reel ise (k = (3d) k ısaca,h(x, fly)f3h(x,y)olarak yaz ı l ır ve h, her iki argümente göre de lineer oldu ğundan, bilineer'dir denir.X ve Y normlu uzaylar ise, ve her x, y için,ih(x,y)Ici1x11IIYIlolacak şekilde reel bir c say ısı varsa, h 'a s ın ı rl ı'd ır denir vesay ıs ına da, h ' ın normu ad ı verilir.11 hIl = sup !11(x' Y)1 =sup Ih(x,y)1xex-(o) lix ii Il Y Il fix 11=1Yer-{0}İlY11-1(3)(4)(5)
137Örneğ in, iççarp ım, sesquilineer ve s ı n ı rl ıd ı r.(4) ve (5) 'den,1 1-1(x,Y)i IIhIIIIxIIIIYII ( 6,elde edebilece ğimizi de belirtmeliyiz.Tan ım 3.8.1'de kulland ığımız "form" ve "fonksiyonel" sözcüklerinin her ikisi de yayg ı nolmakla birlikte, "form" sözcü ğünü iki-değ işkenli hallerde kullan ıp, "fonksiyonel"sözcü ğünü tek-de ğ işkenli hallere saklamak baz ı kar ışı kl ı klar ı önlemek aç ısındanyararl ıd ı r.Teorem 3.8.1 'den yararlanarak, Hilbert uzaylar ı üzerindeki sesquilineer formlar ı ngenel bir gösterimini a şağıdaki teoremle elde edebilmekteyiz.3.8.4. TEOREM (Riesz Gösterimi). H, ve H2 iki Hilbert uzay ı veh : Il ı x H2 -› ks ı n ı rl ı sesquilineer bir form olsun. Bu durumda, S : H ı --> H2 s ı n ı rl ı lineer bir operatörolmak üzere, h,h(x,y) Sx,y >şeklinde bir gösterime sahiptir. S, h taraf ından tek olarak belirlenmi ş olup, normuIlSil = Ilhll'dir.ispat. h(x,y) 'yi göz önüne alal ım. Üst çizgi nedeniyle, bu ifade y 'ye göre lineerdir.Teorem 3.8.1 'in uygulanabilirliğini sağlamak için, x 'i sabit tutal ım. Bu durumda, sözkonusu teorem, y değ işken olmak üzere, bir gösterim verir:diyelim. Buna göre,h(x,y) y,z >h(x,y) z,y >yazabiliriz. Burada, z E I/2 tek olup, ku şkusuz sabit tuttu ğunuz x E 11, 'e bağ l ıdı r. xdeğ işken olmak üzere, (9) 'un, z = Sx ile verilen birS : 1-11 --> H2operatörü tan ımlad ığı n ı söyleyebiliriz. (9) 'da, z = Sx yazarsak, (7) 'yi elde ederiz.S 'in lineer oldu ğunu söyleyebiliriz. Gerçekten, S 'in tan ım kümesi 1/1 vektör uzay ıolup, (7) 'den ve sesquilineerlikten yararlanarak, H2 'deki her y için,< S(ax ı + fix2),Y > = h(S(axi fix2),y)ah(xl,Y)+ fili(x2,Y)= a < Sxby > ÷ fi < SX2,Y >= < aSxi + fiSx2,Y >(9)yazabilir ve dolay ıs ıyla, Lemma 3.8.2 gere ğince,S(ax + fix2) = aSx ı + fiSx2elde ederiz.S, ayr ıca, s ı n ı rl ıd ır. Gerçekten, S = 0 a şikar halini bir kenara b ı rak ırsak, (5) ve (7)'den,
138IIhII =sup l< sx,sxsx,Y >I >su> 1 l ı sx ıısup „ x = l ı s ı lo ı ly -,j) iki' Sxv.0 SYxOelde ederiz. Bu ise, s ı n ı rl ı l ığı n yan ı s ı ra, IIhII > IISII oldu ğunu ispatlar.Şimdi, Schwarz e şitsizliğinin bir uygulamas ı olarak, Ilh Il 5 IISII 'in ortaya ç ıkt ığı n ı gözönüne alarak, (8) 'i elde edebiliriz:IIh II= sup i< Sx ' y >I supliSx ilyo Vi! Ilxli IlY llY.0=11511.Şimdi de, S 'nin tek oldu ğunu gösterelim. Her x E H, ve y e H2 için,h(x,y) = < Sx,y > = < Tx,y >olacak şekilde, lineer bir T : H ı -> H2 operatörünün varl ığın ı kabul edip, Lemma 3.8.2gere ğince, her x e H, için, Sx = Tx olduğunu görebiliriz. O halde, tan ım gereğ i, S = T'dir.PROBLEMLER1. (118 3 Uzay ı). R 3 üzerindeki herhangi birf lineer fonksiyonelinin,J(x) = X.2 = Ğ iy I + 24-2 43Ç3şeklinde bir iççarp ımla gösterilebilece ğini ispatlay ın ız.2. (Q2 Uzayı ). Q2 üzerindeki her s ı n ı rl ı lineer f fonksiyonelinin,fix) = E = GI) E 2 ).İ= 1şeklinde gösterilebilece ğini gösteriniz.3. z, bir X iççarp ım uzay ında herhangi sabit bir eleman ise,f(x) x,z > 'nin, Xüzerinde, normu IIzII olan s ını rl ı lineer bir f fonksiyoneli tan ımlad ığı n ı gösteriniz.4. Prob.3 'ü göz önüne al ın ız. z ile verilen X -4 dönüşümü üzerine birdönüşüm ise, X 'in bir Hilbert uzay ı olmas ı gerektiğini gösteriniz.5. Reel Q 2 uzay ının dual uzay ını n da Q 2 olduğunu gösteriniz. (3.8.1 'i kullan ınız.)6. Teorem 3.8.1 'in, lineer olmad ığı halde, e şlenik lineer olan, yani,az + fiv -> Tzfz +7ffs, koşuluna uygun bir T : H -+ H', z >4- f2 = bire-bir ve örten birizometrik dönü şümü tan ımlad ığın ı gösteriniz.7. Bir H Hilbert uzaytn ı n, H' dual uzay ı n ın dajz (x) =< x,z > v.b. olmak üzere,< fz,f, >1 = < z,v > =< v,z >ile tan ımlanan 1 iççarp ım ına göre, bir Hilbert uzay ı olduğunu gösteriniz.8. Bir H Hilbert uzay ının, kendisinin ikinci duali olan, H " = (H ')' uzay ına izomorfikolduğunu gösteriniz. (Bu özeliğe H 'In yans ıma özeliği denir. Bu konu, K ıs.4.6 'da,normlu uzaylar için daha ayr ı nt ı l ı olarak incelenecektir.)9. (Sif ı rlayan). M + 4) 'in, bir H Hilbert uzay ının altkümesi olmas ı durumunda,K ıs.2.10, Prob.l3 'deki Ma ile, K ıs.3.3 'deki M ı aras ındaki bağınt ıy ı aç ı klay ı n ız.10. Bir X iççarp ım uzay ı üzerindeki bir iççarp ımı n ın s ı n ı rl ı sesquilineer bir hformu olduğunu gösteriniz. Bu durumda, II/711 nedir?11. X bir vektör uzay ve h, X x X üzerinde bir sesquilineer form olsun. Bu durumda,
139yo sabit olmak üzere, f (x) = h(x,y o ) ' ı n X üzerinde lineer bir ji , ve xo sabit olmaküzere, f2 (y) = h(ax ,y) 'in X üzerinde lineer bir f2 fonksiyoneli tan ımlad ığı n ı gösteriniz.12. X ve Y iki normlu uzay olsun. X x Y üzerindeki s ı n ı rl ı bir sesquilineer formun,her iki değ işkene göre ortakla şa sürekli oldu ğunu gösteriniz.13. (Hermityen Form). X bir k cismi üzerinde bir vektör uzay olsun. X x X üzerindebir Hermityen sesquilineer form, ya da, k ısaca, bir h Hermityen form, her x,y,z e X vea e k için,h(x + y,z) = h(x,z) + h(y,z)h(ax,y) = ah(x,y)h(x,y) = h(y,x)olacak şekilde, bir h : X x X -+ k dönüşümüdür. k = R olmas ı halinde, son koşul neolur? h 'in X üzerinde bir iççarp ım olabilmesi için, hangi ko şul eklenmelidir?14. (Schwarz E şitsizliği). X bir vektör uzay ı ve h, X x X üzerinde bir Hermityen formolsun. Bu forma, her x E X için, h(x,x) > 0 olmas ı halinde, pozitif yar ı-tan ı ml ı ad ıverilir. h 'in,h(x,y) I 2 h(x,x)+ h(y,y)Schwarz eşitsizliğini gerçekledi ğini gösteriniz.15. (Yar ı-norm). h, Prob.14 'deki koşullar ı gerçekliyorsa,p(x) = (?_ O)'in, X üzerinde bir yar ı-norm tan ımlad ığın ı gösteriniz. (K ıs.2.3, Prob.12 'ye bak ın ız.)3.9. HILBERT-ADJOINT OPERATÖRBir önceki k ıs ımda elde etti ğimiz sonuçlar, bir Hilbert uzay ı üzerinde, s ınırl ı lineer biroperatörün Hilbert-adjoint operatörünü tan ımlamam ıza olanak sa ğlamaktad ır. Sözkonusu operatör, matrislere, lineer diferensiyel ve integrel denklemlere ili şkin problemlernedeniyle ortaya ç ıkm ışt ır. Bu operatörün, ayn ı zamanda, self-adjoint, üniter ve normaloperatör olarak adland ır ılan, üç önemli operatör s ın ıfın ın tan ımlanmas ında ve çeş itliuygulamalar ı n ın incelenmesinde anahtar rolü oldu ğunu da göreceğiz.3.9.1. TANIM (T* Hilbert-Adjoint Operatör). H i ve H2 Hilbert uzaylar ı olmak üzere,T : H ı H2 s ını rl ı lineer bir operatör olsun. T 'nin, T* Hilbert-adjoint operatörü, herx E 1/1 ve y E H2 için,olacak şekilde bir< Tx,y (x,T*y > (1)T* : 112 111operatörüdür.Kuşkusuz, önce, bu tan ımın bir anlam ı n ın olduğunu, yani, verilen bir T için, böyle birT* ' ı n var olduğunu göstermemiz gerekmektedir.3.9.2. TEOREM (Varl ık). Tan ım 3.9.1. 'deki, T 'nin, T* Hilbert-adjoint operatörümevcuttur, tek'dir veii = N TII ( 2)
140normuna sahip, s ı n ı rl ı lineer bir operatördür.Ispat. İççarp ı m ın sesquilineer ve T 'nin lineer olmas ı nedeniyle,h(y,x) y,Tx >formülü, H2 >< H ı üzerinde, sesquilineer bir form tan ımlar. Gerçekten, söz konusuformun, e şlenik lineerliğ i,h(y,ax ı + fix2) =< y,T(ax ı + 13x2) >_< y, aTx + fiTx2 >= â < y,Txı > < y,Tx2 >= h(y,x ı ) + h(y,x)yaz ılarak hemen görülür. Ayr ıca, h s ı n ı rl ıd ı r. Gerçekten, Schwarz e şitsizliğ iyard ı m ıyla,Ih(Y,x)1 = l< Y,Tx >i 5- 113, ii IITx İ ITITIZ Iixll IIYIIyazabiliriz. Bu yaz ış, ayr ıca, 111111 < IITII sonucunu da verir. Bunun yan ı s ı ra,l< y,Tx >I l< Tx 'Tx >1lih ?sup —(I TTIx-4-cı IIYII IIxII -‹*0 II TxIIiix(3)eşitsizliğinden, > elde ederiz. Bu ikisi birlikte,Ilhll = IITIIsonucunu verir. Teorem 3.8.4, h için, bir Riesz gösterimi vermektedir; S yerine, T*yazacak olursak,h(y,x) =< T*y,x >elde ederiz. Ve söz konusu teoremden, T* : H2 --> H ıII T* Il = 111711 = Il Tilnormuna sahip olan ve tek olarak belirli s ın ı rl ı lineer bir operatör oldu ğunu biliyoruz. Busonuç '(2) ispatlar. Ayr ıca, (3) ve (5) 'i kar şılaşttr ırsak, < y, Tx >=< T*y,x > olduğunugörürüz. Eşlenik alarak da, (1) 'i elde ederiz ki, bu bize, T* ' ın arad ığım ız tipte biroperatör oldu ğunu gösterir.Aşağıdaki lemman ın kullan ı m ı , Hilbert-adjoint operatörlerin özeliklerine ili şkinçal ışmalar ım ızda kolayl ık sağlayacakt ı r.3.9.3. LEMMA (S ıf ır Operatörü). X ve Y iççarp ım uzaylar ı ve Q : X --> Y s ın ı rl ı lineerbir operatör olsun. Buna göre,(a) Q = 0 olmas ı için gerek ve yeter ko şul, her x e X ve y E Y için, < Qx,y >= 0olmas ıd ır.(b) X kompleks ve her x E X için, < Qx,x >= 0 ise, Q = 0 'd ı r.ispat. (a) Q = O 'in anlam ı , her x için, Qx = 0 olup, bu durum,'in,< Qx,y >=< 0,y >= O < w,y) = Oolmas ın ı gerektirir. Tersine olarak, her x ve y için, < Qx,y >= 0 olmas ı, 3.8.2.gereğince, her x için, Qx = 0 sonucunu verir ki, bu da, tan ım gereğince, Q = 0demektir.(b) Hipotez gereği, her v = ax + y E X için, < Qv„v >= 0, yani,0 =< Q(ax +y),ax +y >=lal z < Qx,x > + < Qy,y > +a < Qx,y > +-Ğt- < Qy,x >(4)(5)
141'dir. Sağ taraftaki ilk iki terim, kabul gere ği s ıfırd ı r. a = 1 al ın ırsa,bulunur. a = i ise, —cf = —i olup,< Qx,y > + < Qy,x >= O< Qx,y > < Qy,x >= Obulunur. Taraf tarafa toplayarak, < Qx,y >= 0 ve (a) 'dan da, Q = 0 elde edilir.Bu lemman ın (b) k ısm ında , X 'in kompleks olmas ı esast ır. Gerçekten, X 'in reelolmas ı halinde sonuç geçerli olmayabilir. Buna ili şkin bir karşıt örnek, R 2 düzleminin dikaç ı kadar bir Q döndürülmesidir. Q lineerdir ve Qx 1 x olup, bu nedenle, her x e R 2Qx,x >= 0 yaz ı l ır. Ancak, Q * 0 'd ır. (Kompleks düzlemde böyle bir döndürme için, --=< y,Tx > (x e y E H2 )(b) (S + 7)* = S* + T*(e)(a7)* ZrT*(d) (T*)* = T (6)(e) il T* = il /T* Il = Tli 2(f) T*T=0.c=>T= O(g) (ST)* = T * S* (H2 = H ı varsay ımı ile)'dir.ispat. (a) (1) 'den (6a) 'y ı elde edebiliriz:(b) (1) 'den, her x ve y için,< T*y,x >=< x,r'y >=< Tx,y >=< y,Tx >.< x, (S + 7)*y > = < (S + 7)x,y >= < Sx,y > + < Tx,y >= < x,S*y > + < x,T*y >= < x„S'y > + < x,T*y >yazil ır. Buna göre, her y için, 3.8.2 uyar ınca, (S+ 7)*y = (S* + T*)y olup, bu da,tan ım gereği, (6b) 'dir.(c) T* (ax) = aT*x formülüyle kar ıştır ılmamas ı gereken, (6c) formülü,a şağıdakihesaplamalar ve Lemma 3.9.3(a) 'n ın Q = (a7)* — "Cı'T* 'a uygulanmas ı sonucu eldeedilir:
142< (a7)*y,x > - < y, (a7)x >= < y,a(Tx) >= -Ct < y,Tx >= < T * y,x >= < y,x >(d) (T*)*, r* olarak yaz ı l ır ve her x e H ı ve y G H2 için, (6a) ve (1) 'den,< (T*)*x,y >=< x, T* y >=< Tx,y >yaz ı labileceğinden, T 'ye e şittir ve (6d), Q = (T*)* - T al ınmak üzere, Lemma 3.9.3 (a)'dan elde edilir.(e) T*T : H, 11 1 olduğunu görebiliriz, ancak, // H2 -9. H2 'dir. Schwarzeşitsizliği yard ımıyla,Tx11 2 =< Tx,Tx >=< T* Tx,x >< IIT* TxII IIxII :5_ IIT* TII Ilx ll zyaz ılabilir. Normu 1 olan tüm x 'ler üzerinden supremum al ı rsak, IlTll z < Il T*T il eldeederiz. Ayr ıca,Til 2 S ii r T11lI T* IIllTIF = IlTll zyaz ılabileceğinden, jI T*Tll = Il TI1 2 bulunur. T yerine, T* alarak ve yine, (2) 'yikullanarak,Il r* T* II = IIT* 11 2 = II TII 2yaz ık. Burada, (6d) gere ğince, T** = T olup, dolay ısıyla, (6e) ispatlan ı r.(f) (6e) 'den yararlanarak hemen (6f) 'yi elde ederiz.(g) (1) 'in tekrarl ı uygulanmas ı ,< x, (ST)* y >=< (S7)x,y >=< Tx, S* y >=< x, T * S* y >sonucunu verir. Buna göre, 3.8.2 gere ğince, (S7)* y = T* S* y olup, bu da, tan ım gereğ i,(6g) 'dir.PROBLEMLER1. 0* = 0 ve /* = 1 olduğunu gösteriniz.2. H bir Hilbert uzay ı ve T : H H, tersi de s ın ı rl ı olan, bire-bir ve üzerine s ı n ı rl ılineer bir operatör olsun. (Tl' 'in mevcut ve(r)--1 = (1,--1)*olduğunu gösteriniz.3. (T„), bir Hilbert uzay ı üzerindeki s ın ı rl ı lineer operatörlerin bir dizisi ve T„ -› Tise, 7;,` T* olduğunu gösteriniz.4. Hi ve H2 Hilbert uzaylar ı ve T : H ı -› H2 s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun.T(M İ ) c M2 olacak şekilde, M ı c H ı ve M2 c H2 ise, MI T* (M -) olduğunugösteriniz.5. Prob.4 'deki, M ı ve M2 kapal ı altuzaylar olsun. T(M1) c M2 olmas ı için gerek veyeter koşulun, Mt D T* (MD olduğunu gösteriniz.6. Prob.4 'de, MI = N(7) = : Tx = 0} ise,(a)r (H2) c Mi, (b)[T(Hffl ıc N(T*), (c)M i =[T* (H2))1
143olduğunu gösteriniz.7. T I ve T2, kompleks bir H Hilbert uzay ından kendi içine s ı n ı rl ı lineer operatörlerolsun. Her x e H için, < Tlx,x >=< Ta,x > ise, Tl = T2 olduğunu gösteriniz.8. T s ı n ı rl ı ve lineer olmak üzere, S = I+ T* T : H -+ H olsun. S-1 : S(H) H ' ı nmevcut oldu ğunu gösteriniz.9. Bir H Hilbert uzay ı üzerindeki s ın ı rl ı lineer bir T:H-+H operatörünün, soniuboyutlu bir de ğer bölgesine sahip olmas ı için gerek ve yeter ko şulun, T 'nin,Tx =Z < x,vi > wi (vi,wi E H)şeklinde bir gösterime sahip olmas ı olduğunu gösteriniz.10. (Sağ Kayd ırma Operatörü). (e n ), ayr ı labilir bir H Hilbert uzay ında, totalortonormal bir dizi olsun. Ve sa ğ kayd ırma operatörünü, n = 1,2,... için, Te n = en+1olacak şekilde, lineer T : H H operatörü olarak tan ımlayaltm. Bu deyimi aç ıklay ınız. T'nin değer bölgesini, s ıf ır uzay ın', normunu ve Hilbert-adjoint operatörünü bulunuz.3.10. SELF-ADJONT, ÜNITER VE NORMALOPERATÖRLERHilbert-adjoint operatör yard ım ıyla, uygulamada büyük önemi olan baz ı s ı n ı rl ı lineeroperatör s ı n ıflann ı tan ımlamak mümkündür. Bir H Hilbert uzay ında, s ı n ı rl ı lineer birT : H -+ H operatörü verilmi ş olsun.T* = T ise, T 'ye self-adjolnt ya da Hermityen,T bire-bir, üzerine ve T* = T -1 ise, T 'ye üniter,77' = T* T ise, T 'ye normal operatörad ı verilir.T 'nin T* Hilbert-adjoint operatörü, K ıs.3.9 'daki (1) ile, yani,ile tan ımlan ı r. T self-adjoint ise, bu formül,< Tx,y >=< x, Ty >< Tx,y >=< x,Ty > (1)şekline dönüşür.Tan ımdan, a şikar olarak görebileceğimiz üzere, T, self-adjoint ya da üniter ise,normardir.Kuşkusuz, bir normal operatör, self-adjoint ya da üniter olmak zorunda de ğildir.Örneğin, / : H H özdeşlik operatörü ise, T* = -2i1 olmas ı nedeniyle, T = 2iInormaldir; dolay ıs ıyla, TT* = T*T = 41 olup, buna karşı l ık, T* 7-1 = -+iI olmas ın ınyan ı s ıra, T' T'dir.Tan ım 3.10.1 'deki deyimler, matrislere ili şkin olarak da kullan ılmaktad ı r. Şimdi,bunun nedenini aç ıklay ıp, baz ı önemli bağı nt ılardan söz edece ğiz.3.10.2. ÖRNEK (Matrisler). C" 'i< x,y xry (2)ile tan ımlanan içarp ımla birlikte göz önüne alal ım: burada, x ve y, kolon vektörleri olarakyaz ılm ış olup, " T" transpoz anlam ındad ır. Dolay ıs ıyla, xT = 4,2) olup, adi matrisçarp ımı kullan ılm ışt ı r.
144T : C" C",(Teo.2.7.8 uyar ınca s ı n ı rl ı olan) lineer bir operatör olsun. C" için bir bazverildiğinde, T ve T 'nin rHilbert-adjoint operatörünü, s ıras ıyla, A ve B ad ı n ıvereceğimiz, n —sat ı r! ı iki kare matrisle gösterebiliriz.(2) 'yi, çarp ım ın transpozuna ilişkin, bilinen (Bx)T = xT BT kural ı n ı kullanarak,ve< Tx,y (Ax)Ty = xTAT-y-=xTByelde ederiz. Bu iki e şitlikte, sol taraflar, K ıs.3.9 'daki (1) gereğince, her x,y E C" için,eşittir. Bu nedenle, AT = S olmas ı gerekmektedir. Sonuç olarak,B =2 1-bulunur ve bu da ispat ım ız ı tamamlar. Bu sonucu a şa ğıdaki şekilde ifade edebiliriz:C" için bir baz verildiğinde ve C" üzerindeki lineer bir operatör belirli bir matrislegösterilebiliyorsa, bu operatörün Hilbert-adjoint operatörü, bu matrisin kompleks e şleniktranspozu ile gösterilir.Sonuç olarak, gösterim matrisleri,'dir.Benzer şekilde, bir T : ilk"T self-adjoint (Hermityen) ise, Hermityen,T üniter ise, üniterT normal ise, normal.R n lineer operatörü için, gösterim matrisleri,T self-adjoint ise, reel-simetrik,T üniter ise, normal'dir.Konuya ilişkin olarak, baz ı tan ımlar] hat ırlamam ız yerinde olacakt ır.Karesel birA = (ajk) matrisi verildiğinde, A matrisine,2 T = A ise Hennityen, (dolayısıyla, Ttk = gik)= —A ise Burgu-Hermityen, (dolay ısıyla, = —aik)'dir denir.Reel karesel bir A = (ajk) matrisine de, T = A -1 ise, ÜniterA-A-T = -.A-TA ise, normalAT = A ise, reel simetrik (dolay ısıyla, ak, = ajk)A T = —A ise, reel burgu simetrik (dolay ısıyla, ak; = —Geik)AT = A -' ise, ortogonal'dir denir.Buna göre, bir reel Hermityen matris bir ( reel) simetrik matris; bir reel burgu
145Hermityen matris bir (reel) burgu hermityen matris; ve bir reel üniter matris bir ortogonalmatristir. (Hermityen matris deyimi, Frans ız matematikçisi Charles Hermite'in ad ınaizafeten verilmi ştir (1822-1901)).Şimdi, yine, keyfi Hilbert uzaylar ı üzerinde tan ım!' lineer operatörlere dönelim veself-adjdoint olmaya ilişkin, önemli ve oldukça basit bir kriteri ifade edelim:3.10.3. TEOREM (Self-adjointlik). T : H -+ H, bir H Hilbert uzay ı üzerinde s ın ı rl ılineer bir operatör olsun. Bu durumda,(a) T self-adjoint ise, < Tx,x >, her x e H için, reeldir.(b) H kompleks ve < Tx,x >, her x e H için, reel ise, T operatörü self-adjointtir.ispat. (a) T self-adjoint ise, her x için,< Tx,x > =< x,Tx >=< Tx,x >'dil. O halde, < Tx,x > kendisinin kompleks eşleniğine eşittir, yani reeldir.(b) < Tx,x >, her x için reel ise,yazabiliriz. Buna göre,< Tx,x < Tx,x > = < x,T* x > =< T* x,x >O =< Tx,x > — < T* x,x >=.< (T — T*)x,x >olup, H 'in kompleks olmas ı nedeniyle, Lemma 3.9.3 (b) gere ğince, T T* = 0 'd ır.Teoremin (b) k ısm ında, H ' ın kompleks olmas ı esast ır. Ve bu aç ıkça görülmektedir.Çünkü, reel bir H için, iççarp ım reel-değerli olup, bu durumda, T lineer operatörüüzerine hiç bir varsay ım koymaks ız ın, < Tx,x > reel olur.Self-adjoint operatörlerin çarp ımlar ı (bileşimleri) uygulamada s ık s ık ortayaç ıkmaktad ır. Bu nedenle a şağıdaki teorem yararl ı olacakt ır.3.10.4. TEOREM (Çarp ımın Self-adjointliği). Bir H Hilbert uzay ı üzerinde, s ınırl ıself-adjoint lineer iki S ve T operatörierinin çarp ım ı n ın self-adjoint olmas ı için gerek veyeter koşul bu operatörlerin komütatif yani,ST = TSolmas ıd ı r.ispat. Bundan önceki k ısımda verdiğimiz (6g) ve hipotezden,yazabiliriz. Buna göre,(ST)* = T* S* -- TSST = (ST)* ST = TS'dir. Bu da ispat ı tamamlar.Şimdi de, çeşitli problemlerde ortaya ç ıkan self-adjoint operatör dizilerine ili şkin birteorem vereceğiz:3.10.5. TEOREM (Self-adjoint Operatör Dizileri). (Tn), bir H Hilbert uzay ı üzerindekis ını rl ı self-adjoint lineer T„ : H H operatörterinden olu şan bir dizi olsun. (T„) 'inyak ınsak olduğunu varsayal ım ve T„ T diyelim: yani, IJ. II, B(H,F1) üzerindeki normolmak üzere, II T„ — Til 0 olsun. Bu durumda, T limit operatörü, H üzerinde, s ın ı rl ıself-adjoint lineer bir operatördür.ispat. T* = T olduğunu göstermemiz gerekmektedir. Bu ise, II T— 11 = 0 'dan eldeedilir. Bunu ispatlayabilmek için de, 3.9.4 ve 3.9.2 gere ğince,IITn — T*I İ =iI(T„—T)* İİ=İİ (T„—T) İİ
146yaz ı p, B(H, H) 'daki üçgen e şitsizliği gereğince,IIT- T* 11 5 IIT- Tn Il + - T;',11 + - T*11NI +O+ Tll= 211 T„ - O (n co)elde edilerek ispatlan ır.Şimdi de, üniter operatörlere dönelim ve bunlar ın baz ı temel özeliklerini inceleyelim.3.10.6. TEOREM (Üniter Operatör). H bir Hilbert uzay ı olmak üzere,U:H-4-11 ve V: H -+ H operatörleri üniter olsunlar. Buna göre,(a) U izometrikdir; dolay ıs ıyla, her x E H için, Il UxIl = llxll 'dir.(b) H {O} olmak üzere, Il Ull = 1 'dir.(c) U-1 (= U*) üniterdir.(d) UV üniterdir.(e) U normaldir.Ayr ıca,(f) Bir kompleks H Hilbert uzay ı nda, s ı n ı rl ı lineer bir operatörün, üniter olmas ı içingerek ve yeter ko şul, T 'nin izometrik ve üzerine olmas ıd ı r.Ispat. (a)IjUxII Z =< Ux,Ux >=< (x, U* Ux >=< x,Ix >= 11x112'den hemen görülür.(b) Hemen, (a) 'dalı ç ıkart ı l ı r.(c) U bire-bir ve üzerine oldu ğundan, U--1 de bire-bir ve üzerinedir ve 3.9.4gereğince,yaz ı l ı r.(U-1 )* = U** = U= (U-1 ) -1(d) UV bire-bir ve üzerinedir ve 3.9.4 yard ım ıyla,(UV)* = V* U* = V-1 U-1 = (UV) -1bulunur.(e) U-1 = U* ve UU-1 = U-1 U= I olduğu göz önüne al ınarak elde edilir.(f) T 'nin, izometrik ve üzerine oldu ğunu varsayal ım. izometri bire-bir olmay ı gerektirirve dolay ıs ıyla, T bire-bir ve üzerinedir. T* = T-1 olduğunu gösterece ğiz. lzometrinedeniyle,yazabiliriz. Buna göre,< T* Tx,x >=< Tx,Tx >=< x,x >=< lx,x >< (T*T - I)x,x >= Ove Lemma 3.9.3(b) gere ğince, rr- ı = 0 olup, T*T = I bulunur. Bundan da,TT* = Tl" (TT -I) = T(T*T)7-1 = TIT-1 = Ielde edilir. Bu ikisinden de, T* T = TT* = I ve dolay ıs ıyla, T* = T-1 bulunur, yani, Tüniterdir.İspat ın tersi, T 'nin, (a) gere ği, izometrik ve tan ım gereği üzerine olmas ı nedeniyleaşikard ır. Üzerine olmayabileceği için, izometrik bir operatörün, üniter olmas ı gerekmez.Buna bir örnek, x = (41 ) e Q2 olmak üzere,
147ile verilen, T : Q 2 -› Q 2 , sağ-kayd ırma operatörüdür.PROBLEMLER1. S ve T, bir H Hilbert uzay ı üzerinde, s ın ı rl ı self-adjoint lineer operatörler ise, a ve)3 reel say ılar olmak üzere, -1= aS + fiT 'nin de self-adjoint oldu ğunu gösteriniz.2. Bir H Hilbert uzay ında, Teorem 3.10.5 'i ispatlamak için, Teorem 3.10.3 'ü nas ı lkullan ım?3. T : H -÷ H s ı n ı rl ı self-adjoint lineer bir operatör ise, n pozitif bir tamsay ı olmaküzere, P 'nin de s ı n ı rl ı self-adjoint lineer bir operatör oldu ğunu gösteriniz.4. H üzerinde, herhangi s ın ı rl ı lineer T operatörü için,-2(T+ T* ) ve T2 = 2ı (T- r)operatörlerinin self-adjoint oldu ğunu gösteriniz.T = T, + iT2 ,Tl — iT2olduğunu gösteriniz. Tekli ği gösteriniz; yani, S 1 ve S2 self-adjoint olarak al ınmak üzere,+ iT2 = S1 + iS2 eşitliğinin Si = T, ve S2 -= T-, sonucunu gerektirdiğini gösteriniz.5. C 2 üzerinde, T : C 2 --> C 2 operatörü, x = ( 4 ,, 2) olmak üzere,Tx = (41 + gı , ğı — i42) ile tan ımlanm ış olsun. T*T = TT* = 21 olduğunu gösteriniz.Prob.4 'de tan ımland ığı şekilde, T ı ve T2 'yi bulunuz.6.T:H-.11 s ı n ı rl ı self-adjoint lineer bir operatör ve T 0 ise, 7" 'd ı r. Buönermeyi, (a) n = 2,4,6, 8, 16, ... , (b) Her n E N için ispatlay ın ız.7. Üniter bir matrisin kolon vektörlerinin, C" üzerindeki iççarp ıma göre, ortonormal birküme oluşturduğunu gösteriniz.8. I, H üzerindeki özdeşlik operatörü olmak üzere, izometrik lineer bir T:11-*Hoperatörünün, T* T = I koşulunu gerçeklediğini gösteriniz.9. Üniter olmayan, izometrik lineer bir T : H H operatörünün, H Hilbert uzay ı n!, H'In uygun bir kapal ı altuzay ı üzerine dönü ştürdüğünü gösteriniz.10. X bir iççarp ım uzay ı ve T : X X izometrik lineer bir operatör olsun. dimX < coise, T 'nin üniter olduğunu gösteriniz.11. (Üniter Denklik) S ve T, bir H Hilbert uzay ı üzerinde lineer operatörler olsun. Hüzerinde,S = UTU-1 = UTU*olacak şekilde, üniter bir Uoperatörü varsa, S operatörü, T 'ye üniter olarak denktirdenir. T 'nin self-adjoint olmas ı halinde, S 'nin de self-adjoint oldu ğunu gösteriniz.12. T 'nin normal olmas ı için, gerek ve yeter ko şul, Prob.4 'de tan ımlanan, Ti ve T2'nin komütatif olmas ıd ır. ispatlay ın ız.13. : H -+ H (n = I, 2, ... ) normal lineer operatörler ve T„ T ise, T 'nin normallineer bir operatör olduğunu gösteriniz.14. S ve T, ST* = T*S ve TS* = S*T koşullar ı n ı gerçekleyen normal lineeroperatörler ise, bunlar ın S+ T toplamlar ıyla, ST çarp ımlar ın ın da normal olduğunugösteriniz.15. Kompleks bir H Hilbert uzay ı üzerinde, s ı n ı rl ı lineer bir T : H H operatörünün
148normal olmas ı için gerek ve yeter ko şul, her x E H için, T* x il = II Tx Il olmas ıd ı r.ispatlay ı n ız. Bunu kullanarak, normal lineer bir operatör için,olduğunu gösteriniz.II11 = IlTil z
BÖLÜM 4NORMLUZAYLAR VE BANACH UZAYLARI IÇIN TEMEL TEOREMLER4.0. GIRIŞBu bölüm, normlu uzaylarla, Banach uzayiar ın ın daha ileri teorilerinin esaslann ıiçerecek olup, bunlar ın bilinmemesi, söz konusu uzaylar ın yarar ve uygulamalar ındaoldukça k ısıtl ı bir alanda kalmam ıza neden olacakt ır. Banach uzaylar ı teorisinin köşetaşlar ı olarak nitelendirebilece ğimiz dört teorem, Hahn-Banach Teoremi, DüzgünSinirlilik Teoremi, Aç ık Dönüşüm Teoremi ve Kapal ı Grafik Teoremi'dir. (Ad ı geçen ilkteorem herhangi bir normlu uzayda da geçerlidir.)Temel konulara ilişkin k ısa bilgilendirme1. Hahn-Banach Teoremi 4.2.1 (de ğ işik formlar ı 4.3.1., 4.3.2). Bu teorem, vektöruzaylar üzerinde tan ım!' lineer fonsiyonellere ili şkin bir genişletme teoremidir. Bir normluuzay ın zengin bir biçimde lineer fonksiyonellerle donat ılabileceğini garanti eden buteorem, uygun bir dual uzaylar teorisinin elde edilmesinin yan ı s ıra, adjoint operatörlerindoyurucu bir teorisinin olu şturulmas ına da yard ımc ı olur (K ıs.4.5,4.6).2. Banach ve Steinhaus taraf ından verilen Düzgün Sinirlilik Teoremi 4.7.3. Buteorem, 'ler bir Banach uzay ından bir normlu uzay içine tan ıml ı , s ın ı rl ı lineeroperatörler olmak üzere, (II T n II) dizisinin s ın ı rl ı olmas ı için yeterli ko şullar ı vermektedir.Bu teorem, analizde, örne ğin, Fourier serileriyle (Bkz.4.7.5), zay ıf yak ınsakl ıkla(Bkz.4.8,4.9), dizilerin toplanabilmesiyle (Bkz. 4.10), say ısal integrasyonla (Bkz.4.11) vebenzerleri konularla ili şkin (basit ya da ileri) uygulamalar ı sahiptir.3.Açik Dönü şüm Teoremi (4.12.2). Bu teorem, bir Banach uzay ından, bir Banachuzay ı üzerine tan ım!' s ı n ı rl ı lineer bir operatörün bir aç ık dönüşüm olduğunu, yani, aç ıkkümeleri aç ık kümelerin üzerine dönü ştürdü ğünü ifade eder. Dolay ıs ıyla, T bire-bir veörten ise, T-' süreklidir (sınırlı invers teoremi).4. Kapal ı Grafik Teoremi 4.13.2. Bu teorem, kapal ı lineer bir operatörün hangikoşullar alt ında sinirli olacağı n ı ifade eder (Bkz.4.13.1). Kapal ı lineer operatörler, fizikselve diğer baz ı uygulamalarda önemlidir.4.1. ZORN LEMMASI. Lineer fonksiyoneller için bir geni şletme teoremi olup formüleettiğimiz zaman ifade edece ğimiz nedenler yüzünden çok önemli olan Hahn-BanachTeoreminin ispat ında Zorn lemmas ına gereksinme duyaca ğız. Zorn lemmay ı , iki tanesinibu k ısm ın sonunda görece ğimiz, çok çeşitli uygulama alanlar ına sahiptir. Bu lemmay ıüzerinde tan ımlayaca ğım ız yap ı bir k ısmi s ıral ı küme olacakt ı r:4.1.1. TANIM (K ısmi S ıral ı Küme, Zincir). K ısmi s ıral ı bir M kümesi, üzerinde k ısmis ıralama ad ı verilen, yani, < şeklinde yaz ı l ıp, aşağıdaki koşullar ı gerçekleyen bir ikilibağınt ın ın tan ımland ığı bir kümedir:149
(KS 1) Her a E M için a < a 'd ı r(KS 2) a < b ve b < a ise, a b 'dir.(KS 3) a < b ve b < e ise, a < e' dir150(Yans ıma)(Ters simetri)(Geçişme)"K ısmi" sözcü ğ ü, M kümesinin, a < b ve b < a s ıralamalar ı ndan her ikisine deuygun olmayan a ve b elemanlar ı n ı içerebileceğini vurgulamaktad ır. Bu tür a ve belemanlar ı na k ıyasianamaz elemanlar ad ı verilir.Tersine olarak, a < b ya da b < aba ğı nt ısı n ı (ya da her ikisini birden) gerçekleyen a ve b elemanlar ına ise k ıyaslanabilirelemanlar denir.Bir tam s ı ral ı küme, ya da zincir, herhangi iki eleman, k ıyaslanabilir olan bir k ısmis ı ral ı kümedir. Diğer bir deyimle, k ıyaslanamaz eleman içermeyen k ısmi s ı ral ı kümeolarak tan ı mlan ı r.K ısmi s ı ral ı bir M kümesinin bir W altkümesinin bir üsts ı n ı r ı ,her x E W için, x < uolacak şekildeki bir u E M eleman ıd ır. (M ve W 'ye ba ğ l ı olarak, böyle bir ueleman' varolabilir ya da olmayabilir). M 'nin bir maksimal eleman' ise,m
151olan, bir üsts ın ıra sahiptir. Zorn lemmas ı uyar ı nca, M 'nin bir B maksimal eleman'vard ı r. Şimdi, B 'nin X için bir Hamel baz ı olduğunu gösterece ğiz. Y = span B olsun. Budurumda, Y, X 'in bir altuzay ı olup Y = X 'dir. Çünkü, aksi halde, z E X, z o Y olmaküzere, BU {z}, B 'yi gerçek bir altküme olarak içeren lineer ba ğıms ız bir küme olur ki,bu da, B 'nin maksimal oluşuyla çelişir.4.1.8. Total Ortonormal Küme. Her H * {O} Hilbert uzay ında total ortonormal birküme vard ı r. (Bkz.K ıs.3.6).ispat. M, H 'daki bütün ortonormal altkümelerin kümesi olsun. H * {0} olduğundan,bir x 0 eleman' varolup, H ' ın bir ortonormal altkümesi, y = x olmak üzere, {y}kümesidir. Dolay ıs ıyla, M 'dir. Küme içerme ba ğı nt ısı , M üzerinde bir k ısmi s ıralamatan ımlar. Her C c M zinciri bir üst s ı n ıra sahip olup, bu üsts ı n ı r, X 'in, C 'nin eleman ıolan bütün altkümelerin birle şimidir. Zorn lemmas ı gereğince, M, bir F maksimaleleman ı na sahiptir. Şimdi, F 'nin, H 'da total oldu ğunu gösterece ğiz. Bir an bunun doğruolmad ığı n ı varsayal ım. Teorem 3.6.2 gereğince, zil.' olacak şekilde, s ıf ı rdan farkl ı birz E II eleman' vard ır. Buna göre, e = fizr i z olmak üzere, Fi = FU {e} ortonormalolup, F, F 1 'in gerçek bir altkümesidir. Bu ise, F 'nin maksimal eleman olu şunaayk ı r ıdı r.PROBLEMLER1. Örnek 4.1.3 'deki ifadeleri gerçekleyiniz.2. X, [0,1] aral ığı üzerinde, tüm reel değerli x fonksiyonlar ın ın kümesi olsun. Vex < y, her t E [0,1] için, x(t) < y(t) anlam ına gelsin. Bu ba ğı nt ın ın bir k ısmi s ıralamatan ımlad ığın ı gösteriniz. Bu s ıralama bir tam s ıralama m ıd ır? X bir maksimal elemanasahip midir?3. Bütün z = x + iy, w = u + iv,... kompleks say ılar ından oluşan kümenin, "s", reelsay ılar için bilinen anlamda kullan ılmak üzere, z < w ba ğıntis ıyia, x < u ve y < volduğunu belirterek tan ımlayaca ğı m ız bağınt ı yard ım ıyla, k ısmi s ıralanabileceğinigösteriniz.4. M kümesi, (a) {2,3,4,8) ve (b) bütün asal say ılar kümesi olmak üzere, M 'nin4.1.5 'deki k ısmi s ıralama ba ğı nt ısına göre, bütün maksimal elemanlar ı n ı bulunuz.5. Sonlu k ısmi s ıral ı bir A kümesinin en az bir maksimal elemana sahip oldu ğunugösteriniz.6. (En Küçük Eleman, En Büyük Eleman). K ısmi s ıralanm ış bir M kümesi verilmişolsun. Her x E M için, a < x olacak şekilde, en fazla bir tek a eleman' ve yine, herx E M için, x < b olacak şekilde en fazla bir tek b eleman ı n ın varolduğunu gösteriniz.Eğer böyle bir a (ya da b) eleman' varsa, buna, M 'nin en küçük eleman ı (ya da, enbüyük eleman') ad ı verilir.7. (Alt S ı n ır). K ısmi s ı ral ı bir M kümesinin bir A * altkümesinin bir alt s ı n ırı , hery E A için, x < y olacak şekilde bir x E M eleman ıd ır. Örnek 4.1.5 'de, A = {4,6}altkümesinin üst ve alt s ınırlar ı n ı bulunuz.8. K ısmi s ı ral ı bir M kümesinin, bir A * d> altkümesinin bir en büyük alts ı n ı r ı , A 'n ı nherhangi bir P alt- s ın ı r ı için, P < x koşulunu gerçekleyen bir x alts ı n ır ıdır; Bunu,x = ebas A = inf A olarak yazaca ğız. Benzer şekilde, A 'n ın bir en küçük üst s ı n ır ı , A 'n ınherhangi bir u üsts ı n ır ı için, y < u koşulunu gerçekleyen bir y üsts ınırıd ır; bunu da,y = eküs A = sup A olarak yazaca ğız. (a) Eğer A bir en büyük alts ın ıra sahip ise, bunun
152tek oldu ğunu gösteriniz. (b) Örnek 4.1.3 'de ebas{A,B} ve eküs{A,B} nedir?9. (Örgü). M k ısmi s ı ral ı bir küme olsun. E ğer, M 'nin herhangi iki x,y eleman' (x Ayolarak belirtilen) bir ebas 'a ve (x v y olarak belirtilen) bir eküs 'e sahip ise, bir örgü ad ınıal ır. Örnek 4.1.3 'deki k ısmi s ı ral ı kümenin, AAB=AnB ve AVB=AUB al ınmaküzere,bir örgü oldu ğunu gösteriniz.10. K ısmi s ı ral ı bir M kümesinde bir x E M eleman ı, y
153g(x) < p(x)koşuluna uygun bütün g lineer genişlemelerinin oluşturduğu küme olsun. f e Eolduğundan, a şikar olarak, E 'dir. E üzerinde, "h, g 'nin bir geni şlemesidir; yani,tan ım gereği, D(h) D D(g) ve her x e D(g) için, h(x) = g(x) dir" anlam ında kullan ılmaküzere, g < h ile bir k ısmi s ıralama tan ımlayabiliriz.Herhangi bir C c E zinciri için, k' fonksiyonelini,x E D(g) ise, ğ(x) = g(x) (g E C)ile tan ımlayal ı m. lineer bir fonksiyonel olup, tan ım kümesi, C 'nin bir zincir olmas ınedeniyle, bir vektör uzay olan,D(ğ) =U D(g)gcC'dir. "ğş 'n ı n tan ımı belirgin değildir. Gerçekten, g ı ,g2 e C olmak üzere, birx e D(g ı ) fl D(g2 ) için, C 'nin bir zincir olmas ı nedeniyle, g ı (x) = g2(x) yazabiliriz;dolay ıs ıyla, g ı < g2, ya da, g2 < g ı 'dir. Aşikar olarak, her g e C için, g < 'd ı r. Bunagöre, ğ, C 'nin bir üst s ın ınd ır. C c E keyfi oldu ğundan, Zorn lemmas ı , E 'nin bir 7maksimal eleman ına sahip olmas ı n ı gerektirir. E 'nin tan ım ı gereği, bu maksimaleleman, f 'ninkoşulunu gerçekleyen, lineer bir geni şlemesidir.7(x) 5 p(x) x e D(f) ( 4 )(b) Şimdi de, D«) 'n ı n, X 'in tümü olduğunu göstereceğiz. Bunun hatal ı olduğunuvarsayal ım. Bu durumda, bir y ı e X- D(7) seçebilir ve X 'in D(7) ve y ı taraf ındangerilen Y, altuzay ın ı göz önüne alabiliriz. 0 e D(75 olmas ı nedeniyle, y ı # 0 olduğugörülmektedir. Herhangi bir x E Y, eleman ı n ıx = y + ay ı(y e D(7))şeklinde yazabiliriz ve bu gösterim tek'dir. Gerçekten, 57 E DO5 olmak üzere,y + ay ı = y + Ay ı eşitliği, y ı D(7) olmas ına karşı n, y -y = DO)'.. olmak üzere,y-y = (/3 - a)y ı eşitliğini gerektirir; dolay ısiyla, tek çözüm, y - y = 0 ve 13 - a = 0olup, bu da tekliğin ispat ını tamamlar.Yi üzerinde bir g ı fonksiyoneli, c herhangi bir reel sabit olmak üzere,g ı (y+ ay ı ) = 7(y) + acile tan ımlan ı r. g ı 'in lineer olduğunu göstermek zor değildir. Ayr ıca, a = 0 için,g ı (y) = 7(y) yazabiliriz. Buna göre, g ,, 7 'n ın bir gerçek geni şlemesidir. Yani, D(75 ,D(g ı ) 'in bir gerçek altkümesi olacak şekilde bir genişlemesidir. Son olarak, her x ED(g ı ) için,( 5)g ı (x) p(x) (6)olduğunu göstererek, g ı e E olduğunu ispatlayabilirsek, bu sonuç, 7 'n ın maksimaleleman olu şu gerçeğiyle çelişecek ve dolay ısıyla, D(7)« # X varsay ım ı hatal ı olup, D(7)= X doğru olacakt ır.(c) Buna göre, son olarak, g ı 'in, (5) 'deki uygun bir c için, (6) 'y ı gerçeklediğinigöstermemiz gerekmektedir.D(f)- 'da herhangi y ve z 'yi göz önüne alal ım. (4) ve (1) 'den,
1547(y) - 7(z) = 7(y-z) < P(Y - z)= P(Y +Y İ - y ı - z)5 P(Y+Y İ )+P(-y ı - z)elde ederiz. Son terimi sola ve 7(y) terimini sağa geçirerek, y ı sabit olmak üzere,- P(-.Y ı - z) - 7(z) 5 P(Y +Y ı ) - 7(Y)yazabiliriz. Sol tarafta y ve sağ tarafta z bulunmad ığından, buradaki eşitsizlik, soltarafta, z E D6.5 üzerinden supremum (mo diyelim), ve sa ğ tarafta, y e D(7) üzerindeninfimum (m ı diyelim) almam ız halinde de geçerli olacakt ır. Buna göre, mu 5 m ı olup,mo < c < m ı olacak şekildeki bir c say ıs ı için, (7) 'den,-p(-y i -z) - 7(z) 5 c (her z E D(f) için) (8a)e 5 p(y + y 1) -7(y) (her y E D6)- için) (8b)yazabiliriz. (6) 'y ı , önce (5) 'deki negatif a ve sonra da pozitif a için ispatlayaca ğız.a < 0 için, (8a) 'y ı , z yerine, et- 'y alarak, yani,- 74y) cşeklinde kullanaca ğız. Bu eşitsizliğin, -a > 0 ile çarp ı m ı ,ap(-y ı - kl y) + 7(y) 5 -acsonucunu verir. Bu e şitsizlik ile, (5) 'den, y + ay ı = x kullanarak, istenilen,eşitsizliğini elde ederiz.gi(x) = 7(y) + ac < -ap(-yı - --(k) = p(ayi + y) = p(x)a = 0 için, x E D(f) olup, ispatlanacak bir şey yoktur. a > 0 için, (8b) 'yi, y yerinea-ly yazarak,c 5- P(âY 4- y ı ) - 7(7-1 iY)eşitsizliğini elde etmek için kullanaca ğız. Bunun, a > 0 ile çarp ım ı ise,sonucunu verir. Bundan ve (5) 'den de,ac 5 aP(âY +Y ı ) - 7(Y) = P(r) - 7(Y)g (x) = 7(y) + ac < p(x)elde edilir.Zorn lemmas ı olmaks ız ın yolumuza devam edebilir miyiz? Bu soru; özellikle, sözkonusu lemman ı n bir inşa yöntemi vermemesi nedeniyle, ilginçtir. E ğer (5) 'de, 7 yerine fal ırsak, her reel c say ısı için, f 'nin, D(f)u {y} taraf ından gerilen Z ı altuzay ına bir gjlineergenişlemesini elde ederiz ve ispat ı n (c) k ısm ında 7 yerine,/ al ınmas ı halinde ortayaç ıkacak durumdan da görece ğimiz gibi, her x E Z ı için, g ı (x) < p(x) olacak şekilde bir cseçebileceğimizi görürüz. X = Z ı ise amaca ula şılm ışt ı r. X Z, ise, biry2 E X-Zi al ıp, fZ ı ve y2 taraf ından gerilen Z2 'ye genişletmek için işlemi tekrarlar ve bu şekilde devamederiz. Bu yöntem,her biri bir öncekini içeren Zi altuzaylar ı n ın bir dizisini verir ve
155dolay ıs ıyla,/ 'nin bu altuzaylar ı n birinden diğerine lineer olarak geni şletilebileceğini vebu gi genişlemelerinin, her x E Zi için gi(x) < p(x) koşulunu gerçeklediğni gösterir.Eğer,X =Ziise, n ad ım sonra amaca ula şınz. Eğer,X U Z-,ise, adi tüme var ım yöntemini kullanabiliriz. Bununla birlikte, X böyle bir gösterime sahipdeğilse, burada sundu ğumuz ispatta Zorn lemmas ı na mutlaka gereksinim duyar ız.Ku şkusuz, özel uzaylar için durum daha basit olabilir. örne ğin, Hilbert uzaylar ı , Rieszgösterimi (3.8.1) nedeniyle bu tip uzaylard ır. Bu durumu bundan sonraki kesimdeinceleyeceğ iz.4.3. KOMPLEKS VEKTÖR UZAYLARI VE NORMLU UZAYLAR IÇINHAHN-BANACH TEOREM İ .4.2.1. no.lu Hahn-Banach Teoremi reel vektör uzaylara ili şkin olup, bu teoreminkompleks vektör uzaylar ı n ı da içeren bir genelle ştirilmesi H.F.Bohnenblust ve A.Sobczyk(1938) taraf ı ndan elde edilmi ştir.4.3.1. GENELLEST İ R İ LMIS HAHN-BANACH TEOREMI. X reel ya da kompleks birvektör uzay ı ve p, X üzerinde alttoplamsal olan, yani, her x,y e X için,eşitsizliğini gerçekleyen ve her a skaleri için,p(x -1- y) < p(x) +1)(Y)p(ax) = laLp(x)eşitliğine uygun, reel de ğerli, bir fonksiyonel olsun. Ayr ıca, f, X 'in bir Z altuzay ı üzerindetan ımlanan ve her x e Z için,jf(x)i p(x)13)eşitsizliğini gerçekleyen bir lineer fonksiyonel olsun. Bu durumda, f, Z 'den X 'e, herx E X için,I7(x) I 5_ p(x) (31eşitsizliğini gerçekleyen bir f lineer geni şlemesine sahiptir.Ispat. (a) Reel Vektör Uzay ı . X reel ise, durum basittir. Bu durumda, (3) formülü, herx e Z için,f(x) < p(x) sonucunu verir. Dolay ıs ıyla, 4.2.1 Hahn-Banach Teoremigereğince, Z 'den X 'e, her x G X için,7(x) 5_ p(x) (4)olacak şekilde bir 7 lineer genişlemesi vard ı r. Bu sonuç ve (2) 'nin yard ı m ıyla,-7(x) = 7(-x)p(x) = - -1 Ip(x) = p(x),yani, 7(x) > -p(x) elde ederiz. Bu ise, (4) ile birlikte, bize (3*) ' ı verir.(b) Kompleks Vektör Uzay ı . X kompleks olsun. Bu durumda, Z de bir kompleksvektör uzay ıd ır. O halde/ kompleks değerli olup, f ı ve f2 reel-de ğerli olmak üzere,f(x) = fı (x) + if2(x) (x e Z)
156yazabiliriz. Bir an için, X ve Z 'yi reel vektör uzaylar ı olarak dü şünelim ve bunlar ı ,s ıras ıyla, X„ ve Z, ile gösterelim. Bu durum, skalerle çarpma i şlemini (kompleks say ı laryerine) reel say ılara indirgediğimizi ifade eder.); Z üzerinde lineer vefı ve f2 reeldeğerli olduklar ından,fi ve f2, Z, üzerinde lineer fonksiyonellerdir. Ayr ıca, bir komplekssay ı n ın reel k ısm ı , bu kompleks say ı n ın mutlak de ğerinden daha büyükolamayaca ğı ndan,fi(x) < jf(x)I yazabiliriz. Dolay ısıyla, (3) gere ğince, her X E Z, için,(x) 5 p(x)elde ederiz. 4.2.1 Hahn-Banach Teoremi uyar ınca,fi 'in Z„ 'den X, 'ye, her x E X, için,7, (x) p(x) (5)olacak şekilde, bir fı lineer genişlemesi vard ır. öylece, fi için gerekli ko şulu eldeettiğimize göre, şimdi de f2 'ye bakal ım. Z 'ye dönerek ve f = + if2 'yi kullanarak, herx E Z için,i(fı (x) + if2(x)) = if(x) = f(ix) = fi(ix) + if2(ix)elde ederiz. Her iki yandaki reel k ıs ımlar birbirine e şit olmal ıd ı r:Buna göre, her x E X için,/2(x) (ix) (x E Z)7(x) = 7, (x) — i7, (ix) (x E X)dersek, (6) 'dar ı , Z üzerinde, 7(x) = f(x) olduğunu görürüz. Bu da bize, 7 'n ın,/ 'in , Z'den X 'e bir genişlemesi olduğunu gösterir. Bundan sonraki i şimiz,(i)7 'n ı n, X kompleks vektör uzay ı üzerinde bir lineer fonksiyonel oldu ğunu ve(ii)7 'n ı n X üzerinde, (3*) gerçekledi ğini ispat etmek olacakt ı r.(i) 'in gerçeklendi ğini, (7) 'yi, 7, 'n ı n X„ reel vektör uzay ı üzerindeki lineerliğinikullanarak yapt ığı m ız aşağıdaki hesaplamalar sonucunda görebiliriz; burada, a + ib, ave b reel olmak üzere, herhangi bir kompleks skalerdir:7((a + ib)x) = 7 ı (ax + ibx) i7 t (iax bx)= a7 ı (x) + b7 i (ix) — i(a7 i (ix) — b7 1 (x))= (a + ib)rf7(x) — 7 i (ix)]= (a + ib)7(x).Şimdi de, (ii) 'yi ispatlayal ım. (1) ve (2) gere ğince, p(x) = 0 olduğundan, 7(x) = 0olacak şekildeki herhangi bir x için, (ii) gerçeklenir. x 7(x) * 0 olacak şekilde alal ım. Budurumda, kompleks say ı lar ın kutupsal formlann ı kullanarak,7(x) = 17(x) I ei°yazabiliriz ve dolay ısıyla,I7(x) I = 7(x). e -'6 -- 7(e' .x)buluruz. I7(x) I reel oldu ğundan, son ifade de reel olup, kendisinin reel k ısm ına eşittir. Ohalde (2) uyar ınca,17(x)I = 7(e» x) = 7, (e-'6 .x) p(e -19 x) = le -i° ip(x) = p(x)yaztl ır ve bu da ispat! tamamlar.
157Hahn-Banach teoreminin süreklilik hakk ında doğrudan doğruya bir şeysöylememesine karşın, teoremin temel uygulamalar ı ndan birisi sinirli lineerfonksiyonellere ilişkindir.Bu da bizi, esas inceleme konumuz olan normlu uzaylaragötürür. Gerçekten, Teorem 4.3.1 a şa ğıdaki temel teoremi verir:4.3.2. HAHN-BANACH TEOREMi (Normlu Uzaylar). f, normlu bir X uzay ı n ı n bir Zaltuzay ı üzerinde s ı n ı rl ı lineer bir fonksiyonel olsun. Bu durumda, X üzerinde, f 'nin X 'ebir genişlemesi olan veolmak üzere, ayni11711x =s„':xP I7(x) Il ı x11=1z =sup ifix)111 711 x = ıılıı z (8 )normuna sahip, s ı n ı rl ı lineer bir 7 fonksiyoneli vard ı r (ve Z = {O} aşikar halinde,II/11 z = O 'dir).Ispat. Z = {O} ise, f = 0 ve genişlemesi olan 7 = 0 'd ı r. Z * {O} olsun. Teorem'i kullanmak istiyoruz. O halde, önce uygun birp bulmaliy ız. Her x E Z için,yazabiliriz. Bu ise,if(x)i 5- 11111 z lix IlP(x) = IUII z IIxIl (9)al ınmak üzere, (3) formundad ı r.p 'nin X 'in tümü üzerinde tan ı ml ı olduğunu görüyoruz. Ayr ıca, üçgen e şitsizliğinedeniyle,IXx + Y) = 11111 z lix +y1Iolduğundan, p, X üzerinde, (1) gerçekler.Ilf11,(11x II + IIYII) = p(x) +p(Y)p(ax) = 11f11 z il ax11 = la] lifil z lIxti = Ict İP(x)olmas ı nedeniyle, p, X üzerinde, (2) 'yi de gerçekler. O halde, art ık Teorem 4.3.1. 'iuygulayabilir ve X üzerinde, f 'in genişlemesi olan lineer bir 7 fonksiyonelininvarolduğunu söyleyebiliriz. Normu 1 olan bütün x 'ler üzerinden supremum alarak,11711 x =suP 17(x)1 5- lifil zeşitsizliğini elde ederiz. Bir geni şleme alt ında norm azalmayaca ğından, ayn ı zamanda,11711 x I(fli z yazabiliriz. Bu sonucu (8) ile birlikte gözönüne al ırsak teoremin ispatitamamlanm ış olur.Özel durumlarda konu çok daha basit hale gelebilmektedir. Örne ğin, Hilbert uzaylar ıbunlardan birisidir. Gerçekten, Z, bir X = H Hilbert uzay ınin kapal ı bir altuzay ı ise f,Ilz Il = 1[111 olmak üzere, örneğin,f(x) x,z > (z E Z)şeklinde bir Riesz gösterimine sahiptir (3.8.1). iççarpim ın, H 'in tümü üzerindetan ımlanm ış olmas ı nedeniyle, kuşkusuz, bu gösterimf 'in, Z 'den H 'a bir 7genişlemesini verir ve Teorem 3.8.1 gere ğince, 117Ilzll = Ilill olduğundan, 7, f ileayn ı norma sahiptir. O halde, bu durumda geni şleme a şikard ır.Şimdi de, Teorem 4.3.2 'den, ileride çok kullanaca ğımız, önemli bir sonucu
158ç ıkartaca ğız; kabaca söylersek, bu sonuç, normlu bir X uzay ı n ı n X' dual uzay ın ı n X 'infarkl ı noktalar ı ndaki farkl ı l ı klar ı yans ıtacak, yeterli çoklukta s ı n ı rl ı lineer fonksiyoneldenoluştuğunu gösterir. Bu konu, adjoint operatörler (K ıs.4.5) ve zay ıf yak ınsakl ı k (K ıs. 4.8)konular ı na ilişkin durumlarda önemli olacakt ı r.4.3.3.. TEOREM. (S ı n ı rl ı Lineer Fonksiyoneller). X normlu bir uzay ve x o # 0, X 'inherhangi bir eleman ı olsun. Bu durumda, X üzerinde,11711 = 1, 7(xo) = Ilxo ilolacak şekilde, s ın ı rl ı lineer bir 7 fonksiyoneli vard ı r.Ispat. X 'in, a bir skaler olmak üzere, x = axo şeklindeki tüm elemanlar ından olu şanbir Z altuzay ı n ı göz önüne alal ı m. Z üzerinde lineer birf fonksiyonelinişeklinde tan ımlayabiliriz. f s ı n ı rl ı olup,J(x) = f(axo) = ailxo 11If(x)1 = Kax0)1 = laIllxo Il = ilaxo 11 = 11x11olmas ı nedeniyle, Ilfil = 1 normuna sahiptir. Teorem 4.3.2 'nin ışığı alt ı nda, f 'in, Z 'denX 'e, 11711 = l[fil = 1 normuna sahip bir 7 lineer geni şlemesine sahip olduğunusöyleyebiliriz. (10) formülünden ise, 7(xo) =f(xo) = lIxo II olduğunu görürüz.4.3.4. SONUÇ. (Norm, S ıf ı r Vektörü). Norrniu bir Xuzay ındaki her x için,l ıx II =sup !f(x)1fax 1V11yazabiliriz. Buna göre, xo, her f E X için,f(x o) = 0 olacak şekilde bir eleman ise, xo = 0'd ı r.ispat. Teorem 4.3.3 'den, xo yerine x yazarak,if(x)i > 17(x)1 _sup — 117 iiIlxllfEY ııfııfrobuluruz ve jj(x)I < VI& II olduğunu göz önüne alarak,If(x)1supfeX 1[111elde ederiz.PROBLEMLER1.(Yar ı-norm). (1) ve (2) 'nin, p(0) = 0 ve p(x) > 0 sonuçlar ı n ı gerektirdi ğ ini vedolay ısıyla, p 'nin bir yar ı-norm olduğunu gösteriniz. (Bkz. K ıs.2.3, Prob.12)2. (1) ve (2) 'nin, Ip(x) — p(y)I < p(x — y) eşitsizliğini gerektirdiğini gösteriniz.3. (7) ile tan ımlanan 7 'n ın kompleks bir X vektör uzay ı üzerinde lineer birfonksiyonel olduğunu göstermi ştik. Bu amaç için, 7 (ix) = /7 (x) olduğunun ispatedilmesinin yeterli oldu ğunu gösteriniz.4. p, bir X vektör uzay üzerinde tan ımlanm ış olsun ve (1) ile (2) 'yi gerçeklesin.Verilen herhangi bir X0 E X 'e karşı l ık, X üzerinde, her x e X için, 7 (xo) = p(xo) ve17(x) I < p(x) olacak şekilde bir 7 lineer fonksiyonelinin varolduğunu gösteriniz.5. Teorem 4.3.1. 'deki X bir normlu uzay ve baz ı k > 0 sabitleri için, p(x) < kjlxll ise,11711 S k olduğunu gösteriniz.fro( ı o)
1596. Teorem 4.3.2 'yi görüntüleyebilmek için, R 2 Euclid düzlemi üzerinde,f(x) = cıı 41+ a242, x = (41,2) ile tan ımlanan bir f fonksiyoneli ile, bunun R 3 'e olanlineer 7 genişlemesini ve bunlara kar şı l ık gelen normlar ı inceleyiniz.7. Teorem 4.3.3 'ün diğer bir ispat ı n ı , ele al ınan uzay ın bir Hilbert uzay ı olmas ıhalinde veriniz.8. X normlu bir uzay ve X', X 'in dual uzay ı olsun. Eğer X {O} ise, Xl dualinin {O}olamayaca ğı n ı gösteriniz.9. Ayr ılabilir normlu bir X uzay ı için, Teorem 4.3.2 'nin, (Teorem 4.2.1. 'in ispat ı ndadolayl ı olarak kullan ılan) Zorn lemmas ından yararlan ılmadan, doğrudanispatlanabilece ğini gösteriniz.10. 4.3.4. 'deki ikinci ifadeyi, do ğrudan doğruya, 4.3.3 'den elde ediniz.11. Normlu bir X uzay ı üzerinde tan ıml ı her s ı n ı rl ı lineerf fonksiyoneli için,j(x) = j(y) ise, x = y olduğunu gösteriniz.12. Teorem 4.3.3 'ü görüntüleyebilmek için, X'i R 2 Euclid düzlemi olarak al ıp, 7fonksiyonelini bulunuz.13. Teorem 4.3.3 'ün varsay ımlar! alt ında, X üzerinde, 11711 = l ıxo IL' ve 7(x0) = 1olacak şekilde s ı n ı rl ı lineer bir 7 fonksiyonelinin varl ığını gösteriniz.14. (Hiperdüzlem). Normlu bir X uzay ındaki herhangi bir S(0 ; r) küresi ve herhangi. —bir xo S(0; r) noktas ı ıç ın, B(0; r) yuvar ı tümüyle, Ho ile belirlenen iki yar ım uzay ın birisiiçinde bulunacak şekilde, bir No D xo hiperdüzleminin varoldu ğunu gösteriniz. (Bkz.K ıs.2.8, Prob.12,15). Basit bir görüntüleme Şekil 39'da gösterilmi ştir.Şekil 39. Prob.14'ün ER 2 Euclid düzlemi için görüntüsü15. Eğer xo, normlu bir X uzay ında, normu 1 olan her f e X' için, ji(x0)1 5. e olacakşekilde bir eleman ise, lixo II < e oldu ğunu gösteriniz.
1604.4. C[a,b] ÜZERINDE TANIMLI SINIRLI L İ NEER FONKS İYONELLERE ILI Ş KINUYGULAMA4.3.2 Hahn-Banach teoremi bir çok önemli uygulamaya sahiptir. Bundan sonrakik ısımda, bunlardan bir tanesini göz önüne alaca ğız. Bu k ısımda ise, bu uygulamalardanbir diğeri sunulacakt ı r (Bu k ıs ım isteğe ba ğ l ıd ı r. Yaln ızca bir kez K ıs.9.9 'da gereksinimduyulacakt ı r.). Asl ında,Teorem 4.3.2 'yi, [a,b.] belirlenmiş kompakt bir aral ı k olmaküzere, C[a,b] 'de tan ım!' s ı n ı rl ı lineer fonksiyoneller için, genel bir gösterim formülü eldeetmek için kullanaca ğız. Özel uzaylar üzerinde tan ı m!' fonksiyonellerin böyle genelgösterimlerinin önemi K ıs.2.10 'da aç ıklanm ışt ı . Ele ald ığım ız problemde, söz konusugösterim Riemann-Stieltjes integrali cinsinden olacakt ır. Bu nedenle, al ışı lm ış Riemannintegralinin bir genelleştirmesi olan bu integralin tan ım ı n ı ve bir kaç dzeli ğ inihat ırlamam ız uygun olacakt ı r. Aşağıdaki kavram ı vererek işe ba şlayal ı m.w, [a,b] üzerinde tan ıml ı bir fonksiyon olsun. E ğer,olmak ve söz konusu supremum, [a,b] aral ığı n ın tümVar(w) = sup ZIw(t,) — w(ti_1)1 (1)J= Ia = to < t l 0 say ısı için,oldukça,s(P„) =Ex(t,)[ (1„) — w(th ı )] (4)ı=1n) < 8 (5)IS—s(Pn)I < (6)olacak şekilde bir 6 > 0 say ısı varolacak biçimde bir S say ısı vard ı r. Bu S say ısı , x[a,b] üzerinde, w 'ye göre, Riemann-Stieltjes integrali olarak adlandtr ı l ı r vex(t)dw(t)(7)ile belirtilir.0 halde, (7) 'yi, [a,b] 'nin, n co için, ri(P„)--> 0 koşulunu gerçekleyen
161parçalan ışlar ı n ı n bir (P „) dizisi için, (4) 'ün limiti olarak elde edebiliriz. ((5) ilekarşı laşt ı r ı n ız).w(t) = t al ınmas ı halinde, (7) 'deki integralin, x fonksiyonunun [a,b] üzerindeki,bilinen Riernann integraline dönü ştüğüne dikkat ediniz.Ayr ıca, eğer, x, [a,b] üzerinde sürekli ise ve w,[a,b] üzerinde integrallenebilen birtüreve sahip ise,J x(t) dw(t) = x(t) (t) dt ( 8)yazabiliriz; burada, ('), t 'ye göre türevi belirtmektedir.(7) 'deki integral, lineer olarak, x E C[a,b] 'ye bağ l ıd ır; yani, her x ı , x2 E C[a,b] vea, fi skalerleri için,[aX 1(0 -f- fix2(0idw(t) = ot x ı (t)dw(t) + fi x2(t)dw(t)yazabiliriz.Söz konusu integral, ayn ı zamanda, w E BV[a,b] 'ye de lineer olarakbağıml ıd ır; yani, her w ı ,w2 E BV[a,b] ve r ve 8 skalerleri için,J x(t)d(Yw i +Sw2)(t) = r x(t)dw ı (t) + 8 j. x(t)dw 2 (1)'dir. Incelemelerimizde, J = [a,b] olmak üzere,aX(t) dw(t) 5max tx(t)! Var(w)eşitsizliğine de gereksinim duyaca ğız. Bu eşitsizliğin, diferensiyel ve integral hesaptanaşina olduğumuz bir formülü genelleştirdiğini de belirtmekte yarar görüyoruz. Gerçekten,eğer w(t) = t ise, Var(w) = b — a olup, (9) eşitsizliğ i,(9 )şeklini al ı r.ax(t) dt S..max jx(t)1(b — a)C[a,b] üzerinde tan ım'', s ınırl ı lineer fonksiyonlar için, F.Riesz (1909) taraf ındanispatlanan gösterim teoremi a şağıdaki şekilde ifade edilebilir.4.4.1. RIESZ TEORENII. (C[a,b] üzerinde tan ım!' fonksiyoneller). C[a,b] üzerindetan ım,' her s ı n ı rl ı lineer fonksiyonelJ(x) = X(t) dw(t) (İ o)şeklinde bir Riemann-Stieltjes integraliyle gösterilebilir. Burada, w fonksiyonu [a,b]üzerinde s ı n ı rl ı sal ınıml ı olup,Var(w) =total sal ın ım ına sahiptir.Ispat. Normlu uzaylara ili şkin 4.3.2 Hahn-Banach teoreminden,f 'nin, C[a,b] 'den,
162[a,b] üzerinde tan ı ml ı tüm s ı n ı rl ı fonksiyonlardan olu şan veIlx II =sup pc(t)1 J = [a, b]ile tan ıml ı norma sahip, B[a,b] normlu uzay ına bir 7 genişlemesinin varl ığı n ı görebiliriz.Ayr ıca, ad ı geçen teorem uyar ınca, 7 lineer fonksiyoneli s ın ı rl ı olup, f ile ayn ı normasahiptir; yani,117 11 = lifil'dir.Şimdi, (10) 7da gereksinim duyulan w fonksiyonunu tan ımlayabiliriz. Bu amaçlaŞekil 40'da gösterilen x, fonksiyonunu göz önüne alal ım. Bu fonksiyon [a,b] üzerindetan ı ml ı olup, tan ım gereğ i, [a, t] üzerinde 1, aksi halde 0 de ğerini almaktad ı r. Aşikarolarak, x, E B[a,b] 'dir. x, 'nin, [a, ı] aral ığı n ın karakteristik fonksiyonu olarakadland ı r ı ld ığın ı da hat ı rlatal ım. x, ve 7 fonksiyonelini kullanarak, [a,b] üzerinde bir wfonksiyonunu,w(a) = 0 w(t) = 7(x i ) t E (a,b]ile tammlayabiliriz. Şimdi bu w fonksiyonunun, s ın ı rl ı sal ınıml ı olduğunu ve Var(w) 5_ l[fliolduğunu gösterelim.•Şekil 40. x, fonksiyonuBir kompleks büyüklük için, kutupsal formu kullanaca ğız. Gerçekten, 9 = arg Çalarak,e(4) =1 Ç=0el°Ç Oolmak üzere,= içi e(0yazabiliriz. Ç -# 0 ise, KI = Ç/e ı8 = Ç e' olduğunu görüyoruz. Buna göre, s ıfır olsun ya daolmas ın herhangi bir Ç için,IDI = Ç e(Ç)elde ederiz; burada, üst çizgi, al ışı lm ış biçimde, kompleks e şleniği göstermektedir.Bundan sonraki formüllerimizi de sadele ştirebilmek amac ıyla, ayr ıca,= e(w(t,) w(th ı ))ve x,, = x, yazaca ğız. Bu yolla, indisin indisinden de kurtulmu ş olaca ğız. Bu durumda,(12) uyar ınca, herhangi bir (2) bölüntüsü için,
nEiw( ıj ) - ) 1163n= 17(x + Erim - 70;_l )j=1 fr-2n= 17(x i) + EJ17(t.i) - 7(t.hi) Ij=2= 7(6 IX ı + _ 1)11 7 1I£ İX1 + £;[x.; _j=2elde ederiz. Sağ tarafta, 11711 = l[fli olup (öncekine bak ı n ız), diğer Ilçarpan ı , = 1olmas ı ve x, lerin tan ı m ı gereği, her bir t E {a,b] için, x1,x2 - x ı ,... terimlerindenyaln ızca bir tanesinin s ıf ırdan farkl ı (ve normu 1 ) olmas ı nedeniyle, 1 'e e şittir. Şimdi,sol tarafta, {a,b] 'nin tüm bölüntüleri üzerinden supremum alabiliriz. Ve bununsonucunda,Var(w) (1 3)elde ederiz. O halde, w, [a,b] üzerinde, s ı n ı rl ı sal ı n ıml ıd ı r.Şimdi, x E C[a, bi olmak üzere, (10) 'u ispatlayal ım. (2) formundaki her P n bölüntüsüiçin, (örneğin, z(Pn) ya da, zp„ yerine) k ısaca, zn ile belirteceğimiz bir fonksiyontan ımlayal ım ve zn 'in, yaln ızca n 'e değ il, P „ 'e ba ğ l ı olduğunu da akl ım ızdanç ıkarmayal ım. Tan ımlanan formülZ n = X(t 0)X E x(ti-.1)[xı - I I'dir. Bu durumda, zn E B[a, bi 'dir. w 'nin tan ımı gereği,J=27(Z n) = X(t0)7(x1) +E X(tj-1)[7(Xİ) — 7(Xj-1)] (1 5)J=2n= x(to) w(t ı )+ Ex(t,_,)[w(ti ) )1j=2= X(t.1.4)[W (ti ) — w(ti-1)]ı=1bulunur; burada son eşitlik, w(to) = w(a) = 0 oluşundan kaynaklanm ışt ı r. Şimdi, [a, b] 'ninbölüntülerinin, ti(P n) 0 olacak şekilde, herhangi bir (P n ) dizisini seçelim; Bkz. (5). (t.,,ngibi kalabal ık bir notasyonla göstermeksizin, yaln ızca akl ım ızda tutarak, (15) 'deki t, 'ninP ,, 'e bağ l ı olduğuna dikkat edeceğiz.) n co olduğunda, (15) 'in sa ğ taraf ındaki toplam,(10) 'daki integrale yak ınsar ve (10) elde edilir; burada 7(zn) -* 7(z) olup, bu da,X E ([a,b] olmas ı nedeniyle, f(x) 'e eşittir.Şimdi, 7(zn) 7(z) olduğunu ispatlayal ım. xt 'nin tan ım ın ı hat ırlayarak (Bkz. Şekil40), (14) 'deki toplam ı n t = a 'da s ıf ır olmas ı nedeniyle, (14) 'ün z „(a) = x(a). Isonucunu verdi ğini görebiliriz. O halde, z „(a) - x(a) = 0 'd ı r. Ayr ıca, (14) uyar ınca,tt_ ı < t 5 t, ise, zn (t) = x(t,_1) elde ederiz; Bkz. Şekil 40. Buradan da, böyle t 'ler için.Izn(t) - x(t)I = lx((,-1) - x(t)1
164bulunur. Sonuç olarak, 71(P„) — 0 ise, x 'in [a, b] üzerinde sürekli, [a, bi 'nin kompaktolmas ı nedeniyle de, düzgün sürekli olmas ı sonucu, —xII 0 yaz ı l ır. Bu durumda,/'in sürekliliğ i, 7(z„) 7(x) ve7(x) = .f(x) sonucunu gerektirir ve böylece, (10) elde edilir.Son olarak, (11) 'i ispatlayal ım. (10) ve (9) 'danf f(x)I Smax lx(t)I Var(w) = lix il 7(z „) -4- .7(x)Var(w)telyazabiliriz. Normu 1 olan tüm x E C[a,b] 'ler üzerinden supremum alarak, VI < Var(w)yazabiliriz. Bu sonuç, (13) ile birlikte, (11) 'i verir.Teoremdeki w 'nin tek olmad ığı na, ancak, w 'nin a noktas ında s ıf ır ve sağdan sürekli,yani,w(a) 0, w(t + O) = w(t) (a < t < b)normalleştirme koşulu alt ında tek yap ılabileceğine dikkat ediniz. Ayr ı nt ılar için,A.E.Taylor (1958), S.197-200 'e bak ı n ız. Ayr ıca, F.Riesz B.Sz. Nagy (1955) s.111 ilekarşı laşt ı r ı n ız.Riesz teoreminin, daha sonra modern integrasyon teorisine bir ba şlang ıç noktas ıolarak hizmet etmesi de ilginçtir. Daha fazla tarihsel uyar ı için N.Bourbaki (1955) S.169'a bak ı n ız.4.5. ADJO İ NT OPERATÖRNormlu bir X uzay ı üzerinde, s ı n ı rl ı lineer bir T : X Y operatörü ile, T 'nin adjointoperatörü ad ı verilen T" operatörünü e şleyebiliriz. Tx operatörüne olan gereksinim,bunlar ın, operatörleri içeren denklem sistemlerinin çözümünde sa ğlad ığı yararlardankaynaklanmaktad ı r. Bu k ısımda, r< operatörünü tan ımlayarak, özeliklerinden baz ı lar ın ıve K ısım 3.9 'da tan ımlanan T* Hilbert adjoint operatörlerte olan ili şkisini inceleyece ğiz.Burada yapaca ğı m ız tart ışmalar ı n Hahn-Banach Teoremine ba ğ l ı olaca ğı n ı ve buolmaks ız ın fazla bir şey yapamayaca ğı m ız ı belirtmemiz yerinde olacakt ı r.X ve Y normlu uzaylar olmak üzere, s ı n ı rl ı lineer bir T : X -+ Y operatörünü gözönüne alal ı m. Şimdi T 'nin, T' adjoint operatörünü tan ımlamak istiyoruz. Bu amaçla, Yüzerinde tan ıml ı herhangi bir s ın ı rl ı lineer g fonksiyonelinden yola ç ıkar ız. Aşikar olarak,g, her y E Y için tan ıml ıd ır. y = Tx diyerek, X üzerinde, f ad ı n ı verece ğimiz birfonksiyonel elde ederiz:g ve T lineer oldu ğundan, f lineerdir. Ayr ıca,f(x) = g(Tx) (x E X). (1)f(x)] = ig(Tx)1 < figll llTxll< BgII11Tllllx llyaz ılabileceğinden, f s ın ı rl ıd ır. Normu 1 olan tüm x E X 'ler üzerinden supremumal ırsak,ligfil T (2)eşitsizliğini elde ederiz. Bu ise, X', X 'in dual uzay ın, göstermek üzere (Bkz.2.10.3),f E X' olduğunu gösterir. Kabul gereğ i, g E Y' dür. Sonuç olarak, değ işken g e Y' için,(1) formülü, Y' den X' içine, T 'nin adjoint operatörü ad ı n ı ta şıyan ve T şeklindegösterilen bir operatör tan ımlar. O halde,
165XTX +---- YY(3 )elde ederiz. Burada, T 'nin X üzerinde tan ımlanm ış olmas ına karşın, T" 'in Y' üzerindetan ım,' bir operatör oldu ğuna dikkat etmemiz gerekmektedir. K ısaca özetlersek:4.5.1. TANIM. (T" Adjoint Operatörü). X ve Y normlu uzaylar olmak üzere, T : X Ys ın ı rl ı lineer bir operatör olsun. Buna göre, X ' ve Y ' , s ıras ıyla, X ve Y 'nin dual uzaylar ıolmak üzere, T 'nin T" : X --> Y' adjoint operatörü,f(x) = (T"g)(x) = g(Tx) (g E Y ' )ile tan ımlan ı r.Adjoint operatörün norma ile, esas operatörün normunun ayn ı olduğunu, yani, herikisinin de ayn ı norma sahip olduğunu göstermek ilk hedefimiz olacakt ı r. Ileride degöreceğimiz gibi, bu temel bir özeliktir. Bu özeli ğin ispat ında, Hahn-BanachTeoreminden kaynaklanan, Teorem 4.3.3 'e gereksinme duyaca ğız.4.5.2. TEOREM (Adjoint Operatörün Normu). 4.5.1 'de tan ımlad ığı m ız T" operatörü,lineer ve s ı n ı rl ı olup,Il 7- II = IITII (5)'dir.Ispat. Tan ım kümesi olan Y' 'nün bir vektör uzay olmas ı nedeniylelineerdir. Ve kolayca,(T' (ag + 13g2))(x) = (agı + f3g2)(Tx)ag (Tx) + fig2(Tx)= a(r g 1)(x) + /3(r g2)(x)operatörüelde ederiz. Şimdi (5) 'i ispatlayal ım. (4) 'den,,f=g yazabiliriz ve (2) uyar ınca,II rg 11 = Ilf11 11g11 117'11elde edilir. Normu 1 olan tüm g E Y' 'ler üzerinden supremum alarak,IITII 11 711 te)> II T11 olduğunu göstermemizeşitsizliğini buluruz. O halde, (5) 'i elde etmek için,gerekmektedir. Teorem 4.3.3 'ün ışığı alt ında, s ıf ırdan farkl ı her xo E X için,Ilgo 11 = 1ve go(Txo) = il Troolacak şekilde, bir go E Y' 'nün varl ığı n ı söyleyebiliriz. Burada, 7- operatörünün tan ımıuyar ınca go(Txo) (rgo)(x0) 'd ır. Buna göre,f0 = T"go yazarak,Il Tx0 N = go(Txo) = fo(xo)Ilfo 1111xo II= Il Txgo II 11xo IlIITNIIgoIlllxoIlelde ederiz. Ij go Il = 1 olmas ı nedeniyle, her xo e Xiçin,
16 6II Txo Il 5Tx il 11xo IIbulunur. (TO = 0 oldu ğundan, bu durum, x o = 0 halini de içerir.)Ancak, daimaII TxoIl 5 II TII'd ır ve burada, c = II TII, her X0 E X için, II Txo Il < clIxo II e şitsizliği gerçeklenecek şekildebulunabilecek en küçük c sabitidir. O halde, II T" II, II Til 'den daha küçük olamaz, yani,II T" ii T ii olmal ı d ı r. Bu sonucu ve (6) 'y ı birlikte göz önüne al ı rsak, (5) 'i elde ederiz.Şimdi yapm ış olduğumuz bu incelemeyi, operatörleri temsil eden matrisler yard ı m ıyladaha belirgin hale getirece ğiz. Bu, ayn ı zamanda, okuyucular ı n kendi kendilerine örnekkurmas ına da yard ı mc ı olacakt ı r.4.5.3. ÖRNEK (Matris). n boyutlu R n Euclid uzay ı nda lineer bir T : 08n -›operatörü matrisler yard ı m ıyla belirlenebilir. Burada, söz konusu böyle bir TE = (ılk)matrisi, R" için, elemanlar ı sabit olarak tutulacak herhangi bir s ırada düzenlenmi ş birE = t, , e n } baz ı n ı n seçimine bağ l ıd ı r. x = = {rı ı , } kolonvektörleri olarak al ıp, matris çarp ı m ı için bilinen gösterimleri kullanarak bir E baz ıseçelim. Buna göre, j = 1,...,n olmak üzere,y = T Ex,bileşenler cinsinden ri; = E Tikkk=1yazabiliriz. FE 'nin dual baz ı olsun (Bkz.K ıs.2.9). F, yine n boyutlu birEuclid uzay ı olan (Ilkn)` için bir bazd ı r. Dolay ısıyla, her g E (118 n ) 1 eleman',g = affa +...+a„f nşeklinde bir gösterime sahiptir. Dual baz tan ım ı uyar ınca, f3(y) = fj(Enk e k) = 77İyazabiliriz. Dolay ıs ıyla, (7) 'yi göz önüne al ırsak,n ng(y) = g(TEx) = E ajrİİ = E E air.ikkfr-1 k=1bulunur. Toplam ın s ıras ını değiştirerek, bunu fik = E'ıjka; olmak üzere,g(TEx) =şeklinde yazabiliriz. Bu sonucu, X üzerindeki bir f fonksiyonelinin, g cinsinden, tan ımıolarak düşünebiliriz; yani,k= ıfi k4 k(8)XX) = g(TEx) = E fik4kk=1diyebiliriz. Adjoint operatörün tan ım ı n ı hat ırlayarak da, bu buldu ğumuzu,ajf = TEg,bileşenler cinsinden fik = ETjkk= ışeklinde yazabiliriz. f3k 'da birinci indis üzerinden toplam ald ığım ıza dikkat edersek (kidolay ısıyla, TE 'nin bir kolonu üzerindeki bütün elemanlar ı toplam ış oluyoruz) a şağıdakisonucu yazabiliriz:Eğer T, bir TE matrisiyle temsil ediliyorsa, T" adjoint operatörü, TE 'nin transpozuyard ımıyla temsil edilir.
167Bu sonucun, T 'nin, C" 'den C" içine bir lineer operatör olmas ı halinde de geçerliolduğunu söylemekte yarar görüyoruz.Adjoint operatörlerle yap ılan çal ışmalarda (9)-(12) no.lu formüller yard ımc ıolmaktad ır; bunlar ın, benzer şekildeki, ispatlar ı n ı okuyucuya b ı rak ıyoruz. S,T E B(X,Y)olsun (Bkz.K ıs.2.10). Bu durumda,(S + I)"= Sx+P(a7")" = aP'dir.X,Y,Z normlu uzaylar ve T E B(X,Y) ve S E B(Y,Z) olsun. Buna göre, ST çarp ım ı«adjoint operatörü için,(Sir = rsx ( ı l)yazabiliriz (Bkz. Şekil 41).rxsxŞekil 41.(11) no.lu formülün gösterimiT E B(X,Y), T- ' mevcut ve T-' E B(Y,X) ise, (71 -4 de mevcut olup,(ii-, E B(X ',Y') ve(71 -' = ( 7-1 ) x'dir.P ADJO İ NT OPERATÖRÜ İLE HILBERT-ADJOINT OPERATÖRÜ ARASINDAK İİ LI ŞKI (Bkz.K ıs.3.9).X ve Y Hilbert uzaylar ı ise (örneğin, X= H ı , ve Y = H2 diyelim), s ın ı rl ı lineer birT : X --> Y operatörünün ele al ınmas ı halinde, böyle bir ilişkinin varolduğunugöstereceğiz. Bu durumda, önceden oldu ğu gibi, verilen bir T operatörünün P operatörü,ile tan ımlanmak üzere,(a)(b)Pg = fg(Tx) = f(x)(f e ITI ,g E I-T2 )
168111H ıiT ,,112T"11 2(13)yazabiliriz ( Şek.42). Buradaki yeni durum,f ve g 'nin Hilbert uzaylar ı üzerindekifonksiyoneller olmalar ı nedeniyle(a) f(x) = < X,X0 > (X0 E H ı )(b) g(Y) = < Y,Y0 > ())0 E H2)şeklinde Riesz gösterimlerine sahip olmalar ıd ır (Bkz,3.8.1) ve ayr ıca, Teorem 3.8.1.'den, xo ve yo 'in, s ıras ıyla, f ve g yard ı m ıyla, tek anlaml ı olarak belirlendiklerinibiliyoruz. Bu durum,(16)A If = x o yard ım ıyla A l : H a y H ıA ıg = yo yard ımıyla Az : HI2 H2operatörlerini tan ımlar. Teorem 3.8.1 'den, A, ve A2 'nin bire-bir ve üzerine oldu ğ unugörebiliriz. Ayr ıca, IIA 1t1I = Ilxo II = Itfil olup, benzer e şitlik A2 için de yaz ılabileceğinden,Al ve A2 'nin izometrik oldu ğunu söyleyebiliriz.Şekil 42.(13) ve (17) no.lu formüllerdeki operatörlerBunun yan ı s ı ra, A ı ve A2 operatörleri e şlenik lineerdir (Bkz.K ıs.3.1). Gerçekten,fi (x) =< x,x1 > vef2(x) =< x,x2 > dersek, bütün x 'ler ve a,f3 skalerleri için,(afi + 13f2)(x) = afı (x) + l3f2(x) (16)a < x,x1 > +13 < x,x2 >= < + -T3x2 >yazabiliriz. Bu sonuç, A I 'in tan ım ı uyar ınca, eşlenik lineerliği gösterir:Al (afı + 13f2 ) = Affa + 73-AA2 için de ispat benzer şekilde yap ı l ı r.Yap ılacak bir kompozisyon, T*yo = xo ile tan ımlananoperatörünü verir. (Bkz. Şekil 40).T* = A ı T
169TX lineer operatörüne ek olarak, e şlenik lineer iki dönü şüm içerdiğinden, T* lineerdir.Şimdi, T* 'in, gerçekten, T 'nin Hilbert-adjoint operatörü oldu ğunu gösterece ğiz.(14)-(16) no.lu formüllerden, hemen< Tx,y0 >- g(Tx) = f(x) x,x0 >=< x,ryo >yazabiliriz ki, bu da, K ıs.3.9 'daki (1) formülünden ba şka bir şey değildir. Bu da bize şusonucu verir:(17) formülü, bir Hilbert uzay ı üzerindeki lineer bir Toperatörünün,r.Hilbert - adjoint operatörünü, T'nin, T" adjoint operatörü cinsindentemsil eder.Ayr ıca, A ve A Z 'nin izometrileri ve (5) no.lu formülden, kolayca, II 7- II = 11 TIIolduğunu söyleyebiliriz.Incelememizi tamamlamak için, X ve Y normlu uzaylar, H, ve H2 Hilbert uzaylar ıolmak üzere, T : X -* 'nin T" adjoint operatörü ile, T : tl, -› H2 'nin T* Hilbert adjointoperatörü aras ındaki temel farklardan baz ı lar ı n ı s ıralamakta yarar görüyoruz.T* ' ı n, doğrudan doğruya, T 'nin değer kümesini içeren uzay üzerinde tan ı mlanm ışolmas ına karşı n, Tx , T 'nin değer kümesini içeren uzay ın duali üzerinde tan ımlan ı r. T* 'inbu özeliğ i, kendilerinin Hilbert-adjoint operatörleri yard ı m ıyla, önemli operatör s ı n ıflar ıtan ımlamam ıza olanak Sa ğlar.(10) uyar ınca, T' için,yazabiliriz; ancak, 3.9.4uyar ınca, T* için,(an' =(aT)* = 71T*yaz ı l ı r.Sonlu boyutlu halde, T', T 'yi belirleyen matrisin transpozu yard ı m ıyla temsil edilir.Buna karşı n, T*, söz konusu matrisin, kompleks e şlenik transpozu ile temsil edilir.(Ayr ınt ılar için 4.5.3 ve 3.10.2 'ye bak ı n ız.)PROBLEMLER1. (1) formülü ile tan ımlanan fonksiyonelin lineer oldu ğunu gösteriniz.2. Bir 0 s ıfır operatörü ile, bir / özde şlik operatörünün adjointleri nedir?3. (9) 'u ispatlay ın ız.4. (10) 'u ispatlay ınız.5. (11) 'i ispatlay ın ız.6. (T")x = (P)" olduğunu gösteriniz.7. (11) no.lu formül ile, Örnek 4.5.3 'ü birle ştirerek matrisler için hangi formülü eldeederiz?8. (12) 'yi ispatlay ınız.9. (S ıf ırlayan) Xve Y normlu uzaylar, T : X Y s ı n ı rl ı lineer bir operatör ve T 'nindeğer bölgesinin kapan ış ! M= R(T) olsun.Ma = N(r)olduğunu gösteriniz. (Kis. 2.10, Prob.13 ile kar şılaşt ı r ı n ız.)10. (S ıf ırlayan) B normlu bir X uzay ı n ı n, Xi dual uzay ı n ın bir altkümesi olsun. B 'nin°B s ıf ırlayan ı ,
170° B = {x E X : j(x) = 0 (her f E B için)}şeklinde tan ımlan ır. Prob.9 'da,R(7) G a N(r)olduğunu gösteriniz. Bir Tx = y denkleminin çözümünde bu ne anlama gelir?4.6. YANSIMALI UZAYLARVektör uzaylar ınm cebirsel yans ımas ı K ıs.2.8 'de incelenmi şti. Bu k ıs ımdakikonumuz ise, normlu uzaylar ın yans ımalar' olacakt ı r. Bir X vektör uzay ı verildiğinde,C : X -+ X** kanonik dönüşümünün üzerine olmas ı halinde, X uzay ına cebirselyans ımal ı uzay denildiğini hat ı rl ıyoruz. Burada, X** = (X*)* X'in ikinci cebirsei duali olup,C dönüşümü,gx(f) = J(x) (f E X* değ işken) (1)olmak üzere, x g, ile tan ımlan ır; yani, herhangi bir x E X için görüntü, (1) iletan ımlanan gx lineer fonksiyonelidir. Xsonlu boyutlu ise, Xcebirsel yans ımal ıd ır. BunuTeorem 2.9.3 'de göstermi ştik.Şimdi esas konumuza dönelim. Normlu bir X uzay ı ile bunun 2.10.3 'detan ımlad ığ im ız X' dual uzay ını ve ayr ıca, X ' nün duali olan, (X ')' dual uzay ı n ı gözönüne alal ım. Bu uzay ı X " ile gösterip, X 'in ikinci cebirsel duali ad ını vericeğiz. (X" 'yeX'in bidual uzay ı da denir.)Sabit bir x E Xseçip,gx(f) = f(x) (f E Xideğ işken) (2)diyerek, X' üzerinde, bir gx fonksiyoneli tan ımlayal ım. Bu tan ım (1) 'e benzemekte isede, burada f 'nin, s ını rl ı olduğunu belirtmemiz gerekmektedir. Ayr ıca, aşağıdaki temellemmam ız alt ında gx fonksiyoneli de s ın ırl ı hale gelir:4.6.1. LEMMA. (g, 'in Normu). Normlu birXuzay ındaki her sabit x için, (2) iletan ımlanan g, fonksiyoneli, X' üzerinde, s ı n ırl ı lineer bir fonksiyonel olup, g, E X" 'dürveIIgiII = Ilx Ilnormuna sahiptir.Ispat. g„ 'in lineerliği, K ıs.2.8 'den bilinmektedir. (2) ve Sonuç 4.3.4 'den de (3) 'üyazabiliriz:( 3)ilg,11=-- sup igx ()51 - sup 11(x)i -11x il. (4)fev Ilf11 fEx 11/11İ.0Her x E X 'e (2) ile tan ımlanan bir tek s ını rl ı lineer g, E X" fonksiyoneli karşı l ık gelir.Bu da,birC X Xx -› g„(5)dönüşümü tan ımlar. C 'ye, X 'in, X" içine olan kanonik dönü şümü ad ı verilir. Şimdi C'nin, lineer, içine ve normu koruyan bir dönü şüm olduğunu göstermek istiyoruz. Budurum, K ıs.2.10 'da tan ımland ığı gibi, normlu uzaylar ın bir izomorfızmi cinsinden ifade
171edilebilir:4.6.2. LEMMA. (Kanonik Dönü şüm). (5) ile verilen C kanonik dönü şümü, normlu Xuzay ı n ın, normlu R(C) uzay ı (C 'nin değer kümesi) üzerine bir izomorfızmidir.ispat.g(ax±py)(1) = fiax + I3y) = af(x) + Igy) = agx(I) + figy(f)olduğundan, C 'nin lineerliğini K ıs.2.8 'deki gibi görebiliriz. Özel olarak, gx - gy = gx.„ 'dir.Buna göre, (3) uyar ınca,Ilgi - gy == IIx - Y IIyazabiliriz. Bu ise, C 'nin izometrik olduğunu ve normlar ı koruduğunu gösterir. İzometrikolma ise, bire-bir olmay ı gerektirecektir. Bunu, formüllerimizden de do ğrudan doğruyagörebiliriz: Gerçekten, x * y ise, K ıs.2.2 'deki (N2) aksiyomu gere ğince, gx * gy 'dir.Dolay ısıyla, C, kendi değer bölgesi üzerine bir dönü şüm olarak dü şünülebilen, bire-bir veüzerine bir dönü şümdür.Eğer X, normlu bir Z uzay ı n ın bir altuzay ına izomorfik ise, X uzay ı , Z normlu uzay ıiçine gömülebilir 'dir denir. Bu tan ım, her ne kadar, K ıs.2.8 'dekine benzemekte ise de,burada, normlu uzaylar ın izomorfizmi, yani, normu koruyan vektör uzaylar ı nizomo ıfızmleriyle uğraştığım ıza dikkat çekmek zorunday ız (Bkz. K ıs.2.10). Lemma 4.6.2,X 'in, X" 'de gömülebilir olduğunu göstermektedir ve C 'ye, X 'in X" içine kanonikgömülüşü de denir.Genel olarak, C, üzerine olmayaca ğından, R(C) değer bölgesi. X" 'nün bir gerçekaltuzay ı olacakt ı r. R(C) 'nin X" tümüne e şit olduğu, örten olma hali, kendisine bir isimverilmesine yetecek kadar önemlidir:4.6.3. TANIM. (Yans ıma). Normlu bir X uzay ı verilmiş olsun.R(C) = X"ise, X uzay ına yans ımal ı'd ı r denir.Bu kavram, ilk olarak, H.Hahn (1927) taraf ından ortaya at ı lm ış olup, "yans ıma"deyimi E.R.Lorch (1939) taraf ından kullan ılm ışt ı r.X yans ımal ı ise, Lemma 4.6.2 uyar ınca, X" ile izomorfık (dolay ıs ıyla izometrik)'dir.Ancak, ilginçdir ki, bunun tersi R.C.James (1950,1951) taraf ından da gösterildiği gibi,genellikle geçerli değildir.Ayr ıca, tam'l ık, yans ımal ı olmay ı gerektirmedi ği halde, tersi için, a şağıdaki teoremiifade edebiliriz:4.6.4. LEMMA. (Taml ık). Normlu bir X uzay ı yans ımal ı ise, tam'd ır (dolay ıs ıyla, birBanach uzay ıd ı r).ispat. X", X' 'nün dual uzay ı olduğundan, Teorem 2.10.4 uyar ınca tam'd ı r. X 'inyans ı mal ı olmas ı ,R(C) =olduğunu gösterir. Buna göre, X 'in taml ığı , Lemma 4.6.2 uyar ınca, X '"nüntaml ığı ndan elde edilir.Dikn yans ımal ıd ır. Bu durum,2.10.5 'den doğrudan doğruya ç ıkart ı labilir. Bu da, sonluboyutlu normlu uzaylar ın tipik bir özeliğidir. Gerçekten, e ğer dim X < co ise, X üzerindekiher lineer fonksiyonel s ın ı rl ıd ır (Bkz.2.7.8). Dolay ısıyla, X ' = X* oluşu ve X 'in cebirselyans ımas ı (Bkz.2.9.3) göz önüne al ınarak aşağıdaki teorem ifade edilebilir:TEOREM 4.6.5. (Sonlu Boyut). Sonlu boyutlu her normlu uzay yans ımal ıd ı r.
1721 < p < +co olmak üzere, t" 'nin yans ımal ı olduğunu 2.10.7 'den görebiliriz. Benzerşekilde, 1 < p < +GO olmak üzere, LP[a,b] 'nin yans ı mal ı olduğu da gösterilebilir. Ayr ıca,C[a,b] (Bkz. 2.2.5), QI (ispat' a şağıda), Li[a,b], (Bkz.2.2.4) ile, r"un altuzaylar ı olan cve co 'in yans ımah-olmayan uzaylar oldu ğu gösterilebilir.4.6.6. TEOREM. (Hilbert Uzay ı). Her H Hilbert uzay ı yans ımal ıdı r.ispat. Her g E H" için g = Cx olacak şekilde bir x E H ' ın var oldu ğunu göstererek,C : H --> H" kanonik dönü şümünün üzerine oldu ğunu ispatlayaca ğız. bir haz ı rl ık olarak,A : H' H dönüşümünü, z, 3.8.1'deki f(x) =< x,z > Riesz dönüşümüyle verilmeküzere, Af = z ile tan ımlayal ım. 3.8.1 'den, A 'n ın bire-bir, üzerine ve izometrik oldu ğunubiliyoruz. K ısım 4.5 'deki (16) ba ğı nt ıs ında gördüğümüz gibi, A eşlenik lineerdir. H ' ,2.10.4 uyar ınca, tam olup,< fı ,f2 >, =< Af2,Af ı >lççarp ımı alt ında bir Hilbert uzay ıd ır. Bu tan ım ı n her iki yan ındaki fı ve f2 'nin s ıras ınadikkat etmemiz yerinde olacakt ı r. K ıs.3.1. 'de verdiğimiz, (iç 1)-( İç 4) koşullar ı kolaycagerçeklenir. Özel olarak, (iç2) ko şulu, A 'n ın eşlenik lineerliğinden ç ıkart ı l ı r:< afı ,f2 > ı =< Aj2,A(af ı ) >=< Af2,Tı Af ı >= a < f ı ,f2g E H" keyfi olsun. g 'nin Riesz gösterimi de,g(f) ffo > ı =< Afo,Af >olsun. z = Af olmak üzere, f(x) =< x,z > olduğunu hat ı rl ıyoruz. Buna göre, Afo = xyazarak,< Afo,Af >=< x,z >= f(x)elde ederiz. Bu son iki sonucu birlikte ele al ırsak, g(J) = f(x), yani, C 'nin tan ı m ıuyar ınca, g = Cx yazabiliriz. g E H " keyfi olduğundan, C üzerinedir ve dolay ıs ıyla Hyans ı mal ıd ı r.Bazen, ayr ılabilir- olma ve ayr ılabilir-olmama durumu baz ı uzaylann yans ımal ıolmad ıklar ı n ın ispatlar ında işimize yaramaktad ır. Yans ımal ı-olma ve ayr ılabilir-olmaaras ındaki ilişki ilginç ve oldukça basittir. Bu konuda, X"nün ayr ılabilir olmas ın ın, X 'inayr ılabilir olmas ın ı gerektirdiğini (ki tersi genel olarak do ğru değildir) ifade edenaşağıdaki Teorem 4.6.8 'e gereksinme duyaca ğız. O halde, normlu bir Xuzay ıyans ı mal ı ise, 4.6.2 uyar ınca, X", X ile izomorfik olacakt ır; dolay ısıyla, bu durumda, X'in ayr ılabilir olmas ı , X ' t 'nün ayr ılabilir olmas ı n ı gerektirecek ve 4.6.8 uyar ınca, X'uzay ı ayr ılabilir olacakt ır. Bu durumu göz önüne alacak olursak, a şağıdaki sonucuyazabiliriz:X' dual uzay ı aynlabilir-olmayan, ayr ı labilir normlu bir X uzay ı yans ımal ı olamaz.Örnek. tl uzay ı yans ımal ı değildir.ispat. 1.3.10 uyar ınca, t' ayr ılabilir olduğu halde, (0 1 ) 1 = r ayr ılabilir değildir(Bkz.2.10.6 ve 1.3.9).Gereksinme duyulan Toerm 4.6.8, a şağıdaki lemmadan elde edilecektir. Lemmayailişkin basit bir çizim, Şekil 41.'de gösterilmi ştir.4.6.7. LEMMA. (Bir Fonksiyonelin Varl ığı ). Y, normlu bir X uzay ı n ın, kapal ı gerçek biraltuzay ı olsun. xo E X— Y keyfi bir nokta veXo 'dan Y 'ye olan uzakl ık olsun. Bu durumda,=inf IIY —xo II (6)yeY
17311711 =her y e Y için 7(y) = 0, 7(x0) = 8olacak şekilde bir 7 E X vard ı r.ispat. İspattaki dü şünce şekli basittir. Önce, Y ve xo taraf ından gerilen Z c Xaltuzay ı n ı göz önüne al ı p, Z üzerinde,f(z) = .f(y + axo) = a3ile tan ımlanan s ı n ı rl ı lineer bir f fonksiyoneli tan ımlayarak, f 'nin (7) 'yi gerçekledi ğinigösterecek ve daha sonra, 4.3.2 uyar ı nca, f 'i, X 'e genişleteceğiz. Şimdi ayr ınt ı lar ınagirelim.Her z E Z = span(Y U {xo}) tek birz y+ axo (Y E 17)(Y E Y) (8)gösterimine sahiptir. Bunu (8) 'de kullanabiliriz. f 'nin lineerliği kolayca görülür. Ayr ıca, Ykapal ı olduğundan, S > 0 olup, dolay ıs ıyla, f 0 'd ı r. Şimdi, a = 0 al ınmas ı, her y E Yiçin, f(y) = 0 sonucunu verir. a = 1 ve y = 0 için de, f(xo) = 3 elde ederiz.Şekil 43. Lemma 4.6.7'nin X=118 3 Euclid uzay ı için gösterimi.Burada, Y, y 2=41/2,ğ3=0 ile temsil edilmi ş olup xe=(1,3,0) / d ır vedolay ıs ıyla, 8=,s, Z—span(YU{xo}), 142-dLizlemi dir ve f(z)=(-4 ı +g2)/15.idir.Şimdi de, f 'nin s ı n ı rl ı olduğunu gösterelim. a = 0 al ı n ı rsa, j(z) = 0 bulunur. a # 0olsun. (6) 'y ı kullanarak ve — (I/a)y E Y olduğunu göz önüne alarak,f(z)I = jag = lai inf py — xo llyErlai II —71:( y — xo IIIlyaxo llelde ederiz; yani, Jf(x)I < 114 'dir. O halde, f s ı n ı rl ı olup, 5_ 1 'dir.Şimdi de, Iljli .? 1 olduğunu gösterelim. infimum tan ım ı gereğince, Y, Ilyn — xo II -›olacak şekilde bir (yn ) dizisi içerir. ın = yn —xo diyelim. a = olmak üzere, (8) uyar ınca,f(z„) = —(5 yazabiliriz. Ayr ıca, n -+ 00 için,
174—supv(z) 1 Km' _zz Hz il izni Hzn II s'dir. O halde, lin > 1 olup, dolay ısıyla, = 1 bulunur. Normlu uzaylara ilişkinHahn-Banach teoremi (4.3.2) uyar ınca, f normu büyütmeksizin, X 'e genişletebiliriz.Bu lemmay ı kullanarak, yukar ıda gereksinme duydu ğumuz teoremi elde edece ğiz:4.6.8. TEOREM. (Aynlabilirlik). Normlu bir X uzay ının X' dual uzay ı ayr ı labilir ise, X'in kendisi de aynlabilirdir.Ispat. X' 'nün ayr ılabilir olduğunu kabul edelim. Bu durumda, U= : I} c X ' birim küresi say ı labilir yoğun bir altküme içerir; örne ğin (f„)diyelim. f„ e U' olduğundan,yazabiliriz. Supremum tan ımı gereğince,IUnII = sup ıfn(x)i = 111x11-1if„(xn)I -›- 2.olacak şekilde, normu 1 olan xn e X noktalar ı bulabiliriz. Y, span(xn ) 'in kapan ış' olsun.Bu durumda, Y, say ılabilir yoğun bir altküme, daha aç ık olarak söylersek, x. ',erin, reelve sanal k ıs ımlar ı rasyonel olan katsay ılarla düzenlenmi ş tüm lineer kombinasyonlar ı n ı nkümesin', içerdiğinden, Y ayr ılabilirdir.Şimdi, Y = X olduğunu gösterelim. Bir an için, Y X olduğunu kabul edelim. Ykapal ı olduğundan, Lemma 4.6.7 gereğince, 11711 = 1 ve her y E Y için, 7(y) = 0olacak şekilde bir 7 e X' vard ı r. x. e Y olduğundan, 7(x„) = 0 yazabiliriz ve her ıl için,lix11 = 1 olmak üzere,-1. ımx.)1= 1f.(x.)-7(xn),= ı v-7xx.)1lif -711 IIbuluruz. O halde, lif —711 > z 'dir; ancak, bu sonuç (f,i ) 'in U"de yoğun olduğuvarsay ı m ı ile çelişir. Çünkü, 7 'n ın kendisi de U' 'nün içindedir; gerçekten, 11711 = 1 'dir.PROBLEMLER1. X = R » al ınmas ı halinde, (2) 'deki, f ve gx fonksiyonelleri nelerdir?2. X 'in bir Hilbert uzay ı olmas ı halinde, Lemma 4.6.7 'nin daha basit bir ispat ı n ıveriniz.3. Normlu bir Xuzay ı yans ımal ı ise, X' 'nün de yans ımal ı olduğunu gösteriniz.4. Bir X Banach uzay ının yans ımal ı olmas ı için gerek ve yeter ko şulun, duali olan X'nün yans ı mal ı olmas ı olduğunu gösteriniz. (Yol Gösterme: Yans ımal ı bir Banachuzay ının, kapal ı bir altuzay ı n ın da yans ımal ı olduğu gösterilebilir. Bu gerçe ğ iispatlamadan kullan ınız.)5. Lemma 4.6.7 'nin varsay ımlar' alt ında, X üzerinde,II h II = 1/8, her y e Y için, h(y) = 0, h(xo) = 1olacak şekilde, s ınırl ı lineer bir h fonksiyonelinin varolduğunu gösteriniz.6. Normlu bir X uzay ını n, Yı ve Y2 gibi farkl ı kapal ı altuzaylar ının, farkl ı
175s ıf ı rlayanlara sahip olduklar ı n ı gösteriniz. (Bkz. K ıs.2.10, Prob.13.)7. Y, normlu bir X uzay ı n ı n, Y 'nin üzerinde her yerde s ıf ı r olan her f E X ', tüm Xuzay ı üzerinde, her yerde s ıf ı r olacak şekilde, kapal ı bir altuzay ı olsun. Bu durumda,Y = X olduğunu gösteriniz.8. M, normlu bir X uzay ı n ın herhangi bir altuzay ı olsun. Gösteriniz ki, bir x o E X 'in,A = spanM 'in eleman ı olmas ı için gerek ve yeter ko şul, f 1 ti, = 0 olacak şekildeki her.f e X' içinf(x o) olmas ı d ı r.9. (Total Küme). Normlu bir X uzayin ı n bir M altkümesinin, X 'de total olmas ı içingerek ve yeter ko ş ul, M üzerinde, her yerde s ıf ı r olan, herf E X 'nün, X üzerinde heryerde s ıf ır olmas ıd ır. Gösteriniz.10. Gösteriniz ki, normlu bir X uzay ı , n elemandan olu şan lineer ba ğıms ız biraltkümeye sahip ise, X' dual uzay ı da sahiptir.4.7. KATEGORI TEOREMI. DÜZGÜN SINIRLILIK TEOREMI.S.Banach ve H.Steinhaus (1927) taraf ından verilen düzgün sinirlilik teoremi (ya dadüzgün sinirlilik ilkesi) matematikte önemli bir yer tutar. Gerçekten, analizde bu teoremleilişkili, ilk örnekleri H.Lebesgue taraf ı ndan yap ı lan incelemelerde görülen (1909), pek çoksonuç bulunmaktad ı r. Düzgün sinirlilik teoremi, ço ğunlukla, normlu uzaylarda,fonksiyonel analizin kö şe ta şlar ından birisi olarak görülür. Bilindi ği gibi, bu konudaki di ğerköşe ta şlar ı , Hahn-Banach Teoremi (K ıs.4.2, 4.3), Aç ık Dönüşüm Teoremi (K ıs. 4.12) veKapal ı Grafik Teoremi (K ıs.4.13) 'dür. Hahn-Banach Teoreminden farkl ı olarak, bu dörtteoremden üçü taml ık ilkesine gereksinme duyar. Gerçekten bunlar,Banach uzaylar ı n ı n,normlu uzaylann genellikle sahip olmad ığı , çok önemli özelikleri karakterize eder.Bu teoremlerin her üçünü de ortak bir kaynaktan elde etti ğimizi söylememiz,herhalde, ilginç olacakt ır. Daha aç ık olarak söylersek; önce, Baire Kateogori Teoremi ad ıverilen bir teorem ispatlayacak ve daha sonra Aç ı k Dönü şüm Teoreminin yan ı s ıra,Düzgün Yak ınsakl ık Teoremini elde edece ğiz. Ileride de Kapal ı Grafik Teoreminiispatlayaca ğız.Baire kategori teoremi, fonksiyonel analizde daha ba şka uygulamalara da sahiptir vekategori kavram ı n ın çeşitili ispatlarda çe şitli ispatlarda kar şı m ıza ç ıkmas ı n ın da nedenibudur. (Daha ileri düzeyde, örne ğin, R,E.Edwards (1965) ve J.L.Kelley ve I.Namioka(1963) 'e bak ı niz.)Tan ım 4.7.1 'de, 4.7.2 No.lu Baire Kategori Teoremi için gerekli kavramlar ı ifadeedeceğiz. Her bir kavram için iki isim bulunmaktad ır: bir yeni isim ve parantez içindeverilen bir eski isim. "Kategori" (bu kitapta ortaya ç ıkmayan) tümüyle farkl ı matematikselamaçlarla kullan ı ld ığından, eski isimler art ı k kullan ılmamaktad ı r.4.7.1. TANIM. (Kategori). Bir X metrik uzay ı n ın bir M altuzay ı verilmi ş olsun.(a) M 'nin kapani şı olan M hiç bir iç nokta içermiyorsa, M 'ye X 'de hiçbir yerdeyoğun değil (rare) dir denir.(b) Eğer M, her biri, X 'de hiçbir yerde yo ğun olmayan, say ı labilir çokluktakümenin birleşimi olarak ifade edilebiliyorsa, M, X 'de birinci kategoriden (meager) dirdenir.(c) X 'de birinci kategoriden olmayan bir M kümesine ise, ikinci kategoriden(nonmeager) dir denir.4.7.2. BAIRE KATEGORI TEOREM İ (Tam Metrik Uzaylar). Eğer bir X N metrik
176uzay ı tam ise, kendi içinde ikinci kategoridendir. Buna göre, X # tam veX = UAk(A k kapal ı) (1)ise, Ak 'lardan en az bir tanesi, bo ş olmayan aç ık bir altküme içerir.Ispat. İspattaki dü şünce şekli oldukça basittir. X # (I) tam metrik uzay ı n ın, kendiiçinde birinci kategoriden oldu ğunu varsayal ım. Buna göre, Mk 'lar ı n herbiri, X 'de hiçbiryerde yo ğun olmayan altkümeler olmak üzere,XMkk=1yazabiliriz. Şimdi, p limiti (ki taml ık nedeniyle mevcuttur) hiçbir Mk 'da bulunmayan bir(pk) Cauchy dizisi in şa edecek ve bunun yard ı m ıyla, (1*) ile bir çeli şki yarataca ğız.Kabulümüz gere ği, M I , X 'de hiçbir yerde yo ğun olmayan bir kümedir; dolay ıs ıyla,tan ım uyar ınca, Mi boş olmayan bir aç ık küme içermez. Fakat, X böyle bir küme içerir(örneğin kendisini içerir). Bu durum, M 1 * Xsonucunu gerektirir. O halde, M 1 'intümleyeni olan(11= X - M 1boş değildir ve aç ıkt ır. Bu nedenle, M; 'de birp, noktas ı ve bunun komşuluğunda,örneğin,B ı = B(p ı ;61) c (el < 1/2)gibi bir aç ık yuvar seçebiliriz. Benzer şekilde, M2, X 'de hiçbir yerde yoğun olmayan birküme olup, bu nedenle de M2 boş olmayan aç ık bir yuvar içermez. Dolay ısıyla,B(p ı ; ı )/2 aç ık yuvar ı n ı da içermez. Bu durum, r4 r1B(pi; E 112) 'nin boş olmad ığın ı veaç ık olduğunu gösterir. O halde, bu küme içerisinde, örne ğin,B2 = (p2;e2) c Mi nB(p 1 ;e 1 12) (e ı < el12)gibi bir aç ık yuvar seçebiliriz. Tüme var ım yoluyla bu işleme devam edersek,Bkn Mk=Q veolacak şekilde biraç ık yuvarlar dizisi elde ederiz.Bk+1 C B(pk ;Ek12) c Bk (k = 1,2,...)Bk = B(pk ;Ek) Ek pEX diyelim. Ayrıca, her m ven > m için, B,, c B(p„,;E.12) olup, dolay ısıyla, n --> oo için,d(p.,p) 5_ d(p.,p n)+ d(pn,P)< —1 eni + d(p.,P) -> 2em2yazabiliriz. O halde, her m için, p E B. 'dir. Bu durumda, B. c X, olduğundan, herm için, p M. olduğunu görürürz; o halde, p ix U Mm = X 'dir. Bu ise, p E Xvarsay ımı ile çelişir. Bu çelişki de Baire teoremini ispatlar.Burada, Baire teoreminin kar şıtı n ın genel olarak do ğru olmad ığı n ı belirtmemizyerinde olacakt ır. Kendi içinde, ikinci kategoriden olan, tam-olmayan normlu bir uzay
177örneği, N.Bourbaki (1955, Örnek 6 S.3-4 'de verilmi ştir.Baire teoreminden yararlanarak, düzgün sinirlilik teoremini kolayca elde edebiliriz.Bu teorem, X 'in bir Banach uzay ı ve Ta G B(X,Y) operatörler dizisinin, her x E Xnoktas ında s ı n ı rl ı olmas ı halinde, bu dizinin düzgün sinirli oldu ğunu ifade eder. Diğer birdeyimle, noktasal sinirlilik, daha kuvvetli anlamda bir sinirlili ği gerektirir ki bu türsinirlili ği düzgün sinirlilik olarak adlandir ıyoruz. (Aşağıdaki (2) no.lu formülde ad ı geçencx reel say ısı , asl ında, genel olarak, x 'e ba ğ l ı olarak değ işir. Bu gerçe ği c 'nin sağ altköşesine yazd ığım ız x alt indisiyle belirtiyoruz; burada esas nokta cx 'in n 'e ba ğ liolmay ışıd ı r.4.7.3. DÜZGÜN SINIRLILIK TEOREMI. (Ta), bir X Banach uzay ından, normlu bir Yuzay ı içine olan, s ı n ı rl ı lineer Tn : X - ■ Y operatörlerinin bir dizisi olsun. Burada, (Iirnxii)dizisinin her x e X için sinirli olduğunu varsay ıyoruz; yani, c, bir reel say ı olmak üzere,T„.x n = 1,2,... (2)al ınmaktad ır. Buna göre, ii Tn II normlar ından oluşan dizi de s ı n ı rl ıd ır yani,IITnII < c n = 1,2,...olacak şekilde bir c say ısı vard ı r.Ispat. Her k e N için, Ak C X, her n say ıs ına karşı l ı k,II Tnx il 5_ kkoşulunu gerçekleyen bütün x lerin olu şturduğu küme olsun. Ak kapal ıdır. Gerçekten,herhangi bir x e Ak için, Ak 'da x 'e yak ınsayan bir (xj) dizisi vard ır. Bu durum, Tn 'in vede normun sürekli olmas ı nedeniyle (Bkz. K ıs.2.2), her sabit n için, liTnxj II < kyazabileceğimizi ve ii Tnxil < k elde edeceğimizi gösterir. O halde, x e Ak olup, Akkapal ıdı r.(2) uyar ınca, x e X ',erin her biri, Ak lardan birisine aittir. O halde,(3)X= U Akk=1yazabiliriz. X tam olduğundan, Baire teoremi. baz ı Ak 'lar ın bir aç ık yuvar içerdiğiniifade eder; örne ğin,diyelim. x e X keyfi ve s ıf ırdan farkl ı olsun.Bo = B(xo;r) c Ak,z = xo+ yx-211x11yazal ım. Bu durumda, liz - x o < r. olup, dolay ıs ıyla, z e Bo 'd ır. (4) uyar ınca ve Ak„ 'intan ım ından, her n için, liTnzil < ko elde ederiz. Ayr ıca, xo e Bo olduğundan, Tnxo koyaz ılabilir. (5) 'den,elde ederiz. Bu da, her n için,x = Y —kz I ı xo)117;,x11 = y liTn(z - xo)II 5- +( Il Tnz Il + 117;ixo II) 5-ilxIlkosonucunu verir. Buna göre, her n için,=sup II Tnx< p ko
178yazabiliriz ki, bu da, c = 4ko/r olmak üzere, (3) formundad ı r.UYGULAMALAR4.7.4. Polinomlar Uzay ı . Tüm polinomlardan olu şan veIIxII =max x 'in katsay ı lar ı ) (6)ile tan ımlanan norma göre normland ı r ı lm ış X uzay ı tam değildir.ispat. X üzerinde (2) 'yi gerçekledi ği halde, (3) 'ü gerçeklemeyen, s ı n ı rl ı lineeroperatörlerin bir dizisini olu şturarak, X 'in tam olamayaca ğı n ı gösterece ğiz.Nx 'inci dereceden bir x * 0 polinomunu,x(t) = > N, için, cti = O)şeklinde yazabiliriz. (x = 0 için derece tan ımlanmaz. Ancak bu durum burada bir önemta şımamaktad ır.) X üzerinde tan ıml ı bir operatör dizisi olarak,T,i0 = f„(0) = 0, T„x = f„(x) = ao + a l +...+a,,--1ile tan ımlanan T„ =fn fonksiyoneller dizisini alabiliriz. fn lineerdir. Ayr ıca, (6) uyar ı nca,laj l < ilx11 olduğundan ve dolay ıs ıyla, if,i (x)1 5 nilx II yaz ılabileceğinden, f s ı n ı rl ıd ı r.Bunun yan ı s ıra, her sabit x E X için, (if„(x)l) dizisi (2) 'yi gerçekler. Çünkü, Nx 'incidereceden, bir x polinomu Nx + 1 tane katsay ıya sahip olup, bu nedenle, (7) 'yi gözönüne al ırsak,Ifn(x)1 5 (Nx + 1) max Iaji = cx( 7)yazabiliriz. Bu ise, (2) formundad ı r.Şimdi, (f„) 'in (3) 'ü gerçeklemedi ğini, yani, her n için, 117'n il = l(f„ ii 5 e olacakşekilde bir c say ıs ı n ın varolmad ığın ı göstereceğiz. Bunu da, özel olarak, uygun olmayanpolinomlar seçerek yapaca ğ' ız.fn için,x(t) = 1 + t +... +tnile tan ımlanan x polinomunu seçelim. (6) uyar ınca, IIxII = 1 'dir vef.(x) = 1 + 1 = n /Akilbulunur. Dolay ısıyla, ilf„ ff„(x)Viixii = n olup, (l[fn lj) s ı n ı rs ızd ı r.4.7.5. Fourier Serisi. 3.5.1. 'den, 2 ır periyoduna sahip periyodik bir x fonksiyonununFourier serisinin, x fonksiyonunun Fourier katsay ı lar ı , Euler formülleri olarak bilinen,formülleriyle verilmek üzere,2 ır 2ıra m ,-- x(t)costntdt, b m = —1 x(t)sintntılt71-OO(9)—ao1(a ni cos ınt b m sinmt)2m=1şeklinde olduğunu hat ı rl ıyoruz.((8)'de ao/2 yazmam ız ın nedeni, (9) 'da yaln ızca iki formülyazabilmektir. 3.5.1. 'de ao yazm ış ve üç Euler formülüne gereksinim duymu ştuk.)(8) serisinin, x 'in süreksiz oldu ğu noktalarda bile yak ınsak olabileceği iyibilinmektedir. (Prob.15, bu konuda basit bir örnek vermektedir.) Bu durum, süreklili ğinyak ınsakl ık için gerekli olmad ığı n ı göstermektedir. Süreklilik, sürpriz bir şekilde, yeterli(8)
1.7 9de değildir. (Süreklilik ve sa ğ ve sol türevlerin bir to noktas ı ndaki varl ığı , to noktas ındakiyak ınsakl ık için yeterlidir. (Bkz.W.Rogosinski (1959), s.70). Gerçekten, düzgün sinirlilikteoremini kullanarak a şa ğıdaki sonucu gösterebiliriz:Fourier serileri verilen bir to noktas ında ıraksak olan reel de ğerli sürekli fonksiyonlarvard ı r.ispat. X, 2 ır periyotiu, tüm reel de ğerli sürekli fonksiyonlar ın,ljx11 = max[x(t)1 ( o)ile tan ımlanan norma sahip bir normlu uzay olsun. 1.5.5'de a = 0 ve b = 2ır al ınarakgörülebileceği gibi, X bir Banach uzay ıd ır. Genellikten bir şey kaybetmeksizin, t o = 0alabiliriz. ifademizi ispatlayabilmek için, 4.7.3 düzgün sinirlilik teoremini,f, ı(x), x 'inFourier serisinin n. k ısmi toplam ın ın t = 0 'daki değeri olmak üzere, Tn =f,, 'euygulayacağız. t = 0 için, sinüs terimi s ıf ır ve kosinüs terimi bir oldu ğundan, (8) ve (9)'dan,fii(x) = la° + E am2ral2 ır= x(t)o+ cosmt dtolduğunu görürüz. Fonksiyonumuzun, integral işareti alt ında bir toplamla gösterimini eldeetmek istiyoruz. Bu amaçla,2 sin it E cosmt = E 2 sin ıtcosmt2 2rre=1 ~1= sin(m - 1-)t + sin(m += -sin2 + sin(n + -1 -)t2hesaplamas ı n ı yapabiliriz. Burada, son ifade, pek çok terimin iki şer ikişer devre d ışıkalmas ın ın sonucunda ortaya ç ıkm ışt ır. Bu sonucu, sin -12-t ile bölüp her iki tarafa 1eklersek,1 + 2 E cosmt -ıır=1sin(n +sin2telde ederiz.Sonuç olarak,f„(x) 'e ili şkin formül, basit bir biçimde,fn(x) -x(t)q„(t)cli,oolarak yaz ılabilir. Bu sonucu kullanarak,fn lineer fonksiyonelinin s ınırl ı olduğunugösterebiliriz. Gerçekten, (10) ve (11) 'den yararlanarak,2n.sin(n + ı)tqn(t) = 2sin 2maxix(01 f lq.(01 dt = 27tiqn (t)Idtooelde ederiz. Buradan da, f„ 'in s ını rl ı olduğunu görürüz. Ayr ıca, normu bir olan tüm x 'lerüzerinden supremum alarak,
lif. II180S Iq (t)Idtgir Jobuluruz. Asl ında, burada , şimdi ispatlayaca ğımız gibi, eşitlik işareti geçerlidir. Buamaçla, ilk olarak, qn(t) > 0 olacak şekildeki her t noktas ında y(t) = +1, ve diğernoktalarda y(t) = -1 olmak üzere,lq n (t)1 = y(t)q n(t)yazal ım. y 'nin sürekli olmamas ına karşın, verilen herhangi bir e > 0 için, normu 1 olansürekli bir x fonksiyonuna, bu x için,12 ıro[x(t) — y(t)]q n(t)dtolacak şekilde, dönü ştürülebilir. Bu sonucu iki integral halinde yaz ıp, (11) 'i kullan ırsak,12ır2 ır 2 ırox(t)q n(t)dt - y(t)q n (t)dto 0 keyfi olarak al ınd ığından ve ilxil = 1 olduğundan, bu sonuç istenilenformülü ispatlar:Ilf.11 =2ır2xlig n (OidtŞimdi de, son olarak. (llf„ Il) dizisinin s ı n ı rs ız olduğunu gösterelim. qn 'in (11) dekideğerini (12) 'de yerine koyarak, t (0,2/ı ] için, I sin 2tI < +t gerçeğini kullan ıp,+ = v konumunu yaparak, harmonik serinin ıraksak olmas ı nedeniyle,11;11 =>2xsin(n + I)/22 lir dtsinO 22xr sin(n + gt) Ij 2 dtt0(2,1+1)n= f Isin vl-ır J dv0I2n (k+ 1 )ır=4-E fOsin vi dv(12)2n(k+l)n> N" 1 Isinvidv‘..-+ (k + 1)xl
181durum, in 'lerin tan ım ı gereğince, x 'in Fourier serisinin t = 0 'da ıraksad ığı anlam ınagelir.Dikkat edilirse, yapm ış olduğumuz varl ık ispat ı , bir to noktas ında Fourier serisiıraksak olan, sürekli bir x fonksiyonunun nas ıl bulunaca ğı n ı göstermemektedir. Böylefonksiyonlara örnekler, L.Fejer (1910) taraf ı ndan verilmi ştir; diğer bir örnek de,W.Rogosinski (1959), s. 76-77 'de bulunabilir.PROBLEMLER1. Rasyonel say ı lar topluluğu, (a) R 'de, (b) kendi içinde (al ışı lm ış metrik alt ında)hangi kategoridendir?2. Tam say ılar topluluğu, (a) R 'de, (b) kendi içinde hangi kategoridendir? (Burada, R'den indirgenen metrik al ınm ışt ı r.)3. Bir X diskre metrik uzay ında, hiçbir yerde yo ğun olmayan kümeler bulunuz.4. R 2 'de birinci kategoriden yo ğun bir altküme bulunuz.5. Bir X metrik uzay ı n ı n bir M altkümesinin, X 'de hiçbir yerde yo ğun olmamas ı içingerek ve yeter ko şul (21-4)c 'nin X 'de yoğun olmas ıd ır. ispatlay ın ız.6. Bir X metrik uzay ın ın birinci kategoriden bir Maltkümesi verilsin. M 'nin tümleyeniolan Mc 'nin ikinci kategoriden oldu ğunu gösteriniz.7. (Rezonans) X bir Banach uzay ı , Y bir normlu uzay ve T,, E B(X,Y), n = 1,2,...,sup II Tnii = +00 olacak şekilde verilmiş dönüşümler olsun. sup II Tnxo II = -ı-oo olacakşekilde bir xo e X 'in varolduğunu gösteriniz. (xo noktas ına, çoğunlukla, rezonansnoktas ı ad ı verilir ve problemimiz, bizi düzgün sinirlilik teoremi için rezonans teoremdeyimine yöneltir.)8. Teorem 4.7.3 'de, X 'in taml ığı n ın esas oldu ğunu ve gözard ı edilemeyeceğinigösteriniz. (J, x'e bağ l ı olmak üzere, j>JE N için, 4; = 0 koşulunu gerçekleyen bütünx = 'terden olu şan X c altuzay ını göz önüne al ıp, T,, dönüşümünü,T„x = fi(x) = ıgn şeklinde tan ımlay ın ız. )9. S : Q 2 -9. Q 2 operatörü, ( 1 ,42,4 3,...) (53, ile tan ımlanmak üzere,T,, = S" olsun. 1lTnx11 için bir s ı n ır bulunuz. Ayr ıca, lim II Tnx II, II Tn II ve lim 11T„ 'ihesaplay ı n ız.10. (c o Uzay ı). y = (ni), ni e C, her x = E Co için, yak ınsak olacak şekildebir dizi olsun. Burada, co c s ıf ıra yak ınsayan kompleks terimli diziler uzay ıd ır. 4.7.3 'ükullanarak, »bi < c oldu ğunu gösteriniz.11. X bir Banach uzay ı , Y bir normlu uzay ve T„ e B(X,Y), (T„x) her x E X için, Y'de Cauchy olacak şekilde verilen dönü şümler olsun. (117;,11) 'in s ını rl ı olduğunugösteriniz.12. Prob.11 'deki koşullara ek olarak, Y tam ise, T E B(X, Y) olmak üzere, T wx -* Txolduğunu gösteriniz.13. Eğer (x„), bir X Banach uzay ında, her f e X' için, (f(x„)) s ını rl ı olacak şekilde birdizi ise, (11x„ II) 'in s ınırl ı olduğunu gösteriniz.14. X ve Y Banach uzaylari ve T„ e B(X,Y), n = 1,2,... ise, a şağıdaki ifadelerineşdeğer olduğunu gösteriniz.(a) (11Tn 11) s ın ırl ıd ı r,(b) (11T,,x11) her x E X için s ın ı rl ıd ı r,(c) (ig(T,,x)i) her x e X ve her g e Y' için s ı n ı rl ıdı r.15. Bir x fonksiyonunun Fourier serisinin, x 'in süreksiz oldu ğu bir noktada bile)1-1,0
yak ınsayabileceğini göstermek amac ıyla,182x(t) =, — ır < I < O, 0
1834.8.2. TANIM (Zay ıf Yak ınsakl ık). Normlu bir X uzay ında bir (x„) dizisi verilmi ş olsun.Eğer her f e X için,ilinn) = f(z)olacak şekilde bir x E X varsa, (x„) dizisi, zay ıf yak ınsak 't ı r denir vex„ xya da, x„ x şeklinde yaz ı l ır. x eleman ına, (x,,) dizisinin zay ıf limiti ad ı verilir ve (x n )dizisi x 'e zay ıf yak ınsar denir.Zay ıf yak ınsakl ık, analizde (örneğin, varyasyon hesap, genel diferensiyel denklemlerteorisi gibi) çok çe şitli uygulama alanlar ına sahiptir. Bu kavram, fonksiyonel analizintemel iikelerinden birisini, ya da daha aç ık söylersek, uzaylar ın incelenmesinin,çoğunlukla, bu uzaylar ı n dualleriyle ili şkin olduğu gerçeğini ortaya ç ıkar ı r.Zay ıf yak ı nsakl ığı uygulayabilmek için, a şağıdaki lemmada ifade edece ğimiz, baz ıtemel özeliklerini bilmemiz gerekmektedir. Görülece ği gibi, ispatta Hahn-Banach vedüzgün sinirlilik teoremini kullanaca ğız. Bu ise, söz konusu teoremlerin zay ıfyakinsakl ığa ilişkin olarak önemini ortaya koyacakt ı r.4.8.3. LEMMA (Zay ıf Yak ınsakl ı k). normlu bir X uzay ında zay ıf yak ınsak bir diziolsun: x„ x diyelim, Bu durumda,(a) (x„) 'in zay ıf limiti olan x tek'dir.(b) (xn) 'in her altdizisi, x 'e zay ıf yak ınsar.(c) ( II) dizisi s ı n ı rl ıd ı r.Ispat. (a) x„ y x ve ayn ı zamanda, x n y olduğunu varsayahm. Bu durumda,f(x n) f(y) olmas ı n ın yan ı s ıra,f(x n) f(x) yazabiliriz. (Axn)) bir say ı dizisi olduğundan,limiti tek'dir. O halde,f(x) = f(y) olup, her f E X' için,f(x) — f(y) = f(x — y) = 0yazabiliriz. Bu ise, Sonuç 4.3.4 uyar ınca, x —y = 0 olmas ın ı gerektirir ve zay ıf limitinteldiğini gösterir.(b) İspat ın bu k ısm ı , (fix„)) dizisinin yak ınsak bir say ı dizisi olmas ı gerçeğindenkaynaklan ı r ve dolay ıs ıyla, (f(x,,)) dizisinin her altdizisi de yak ınsak olup, dizi ile ayn ılimite sahiptir.(c) (fix n)) yak ınsak bir say ı dizisi olduğundan, ayn ı zamanda s ı n ı rl ıd ır; dolay ıs ıyla, cf, f 'e bağ l ı olduğu halde, n 'e bağlı olmayan bir sabit olmak üzere, her n için, 1/(x,,)1 < cfdiyebiliriz. C : X, X" kanonik dönüşümünü (Bkz.K ıs.4.6) kullanarak, gn E X " 'yü,gn(f) = n) (f E Xı )ile tan ımlayabiliriz. (Burada, alt indise yeniden bir alt indis vermekten kaç ınmak için, g,„yerine gn yazd ık.) Buna göre, her n için,= cfbulunur; yani, (Ign(f)I) dizisi, her f e X' için s ınırl ıd ır. 2.10.4 uyar ı nca, X' tamolduğundan, düzgün sinirlilik teoremi (4.7.3) uygulanabilir olup, (lig ?, dizisinins ın ı rl ı l ığı n ı gerektirir. Şimdi, 4.6.1 'i göz önüne al ırsak, jjgn jj = llx„II elde ederiz veböylece (c) ispatlanm ış olur.Okuyucu, zay ıf yak ınsakl ığın analizde neden bir rol oynamad ığı n ı merak edebilir.Bunun nedeni, sonlu boyutlu normlu uzaylarda, kuvvetli ve zay ıf yak ınsakl ık aras ı ndakifark ın tümüyle ortadan kalkmas ıd ır. Aşağıdaki teoremde bu gerçe ği ispatlayarak
1 Ş34"kuvvetli" ve "zay ıf" terimlerinin kullan ılma nedenlerini aç ıklayaca ğız.4.8.4. TEOREM (Kuvvetli ve Zay ıf Yak ınsakl ık). (x„), normlu bir X uzay ında bir diziolsun. Bu durumda,(a) Kuvvetli yak ınsakl ık, limit ayn ı kalmak üzere, zay ıf yak ınsakl ığı gerektirir.(b) (a) 'n ın tersi genelde doğru değildir.(c) dim X < x ise, zay ıf yak ınsakl ı k, kuvvetli yak ınsakl ığı gerektirir.ispat. (a) Tan ım gereğ i x„ x olmas ı , - -4 0 anlam ına gelir ve her f E X' için,1/(x„) -f(x)i =II(x n - x)1 1111111x„- xil 0sonucunu gerektirir. Bu ise, x„ - 14 x olduğunu gösterir.(b) Ispat ı n bu k ısm ı , bir H Hilbert uzay ındaki (e n) ortonormal dizisindenyararlan ılarak yap ılabilir. Gerçekten, her f e H', bir j(x) =< x,z > Riesz gösteriminesahiptir. Dolay ısıyla, f(e n) e n,z > yaz ılabilir. Bu durumda, Bessel e şitsizliğ i(Bkz.3.4.6),El< e n,z >1 2 < 11211 2sonucunu verir. O halde, sol taraftaki seri yak ınsak olup genel terimi, n oo için, s ıf ırayak ınsar. Bu da,f(e n) e n,z >-• 0olduğunu ifade eder. f e H' keyfi olduğundan, en s--+ 0 olduğunu görürüz. Bununlabirlikte,Ilem — enll 2 e,,,- e„,e„,- >= 2 (m # n)olduğundan, (e n) dizisi kuvvetli yak ınsak değildir.(c)x„ x ve dimX = k olduğunu varsayal ım. {el,...,ek}, X için bir baz olsun ve(n) (Xn = a t ei+...+a k n) ekvex = alei+...+a k ekdiyelim. Kabulümüz gereği, her f e X' için,f(x„)fj(e,) = 1, f(em) = 0 (m # j)'dir. Özel olarak,ile tan ımlanan, dizisini göz önüne alal ım. (Bunun, {e1,...,ek} 'n ın dual baz ıolduğundan daha önce söz etmi ştik;Bkz. Ks ı .2.9). Buna göre, f,(xn) fj(x) 'in, gri) -› a,'yi gerektirdiğini söyleyebiliriz. Buradan da kolayca, n oo için,11xn — x11 .=kkE(a •n)ai)ej< E1(ctin) II -* 0.fr Ielde ederiz. Bu ise, (xn) dizisinin, x 'e kuvvetli olarak yak ınsad ığını gösterir.Kuvvetli ve zay ıf yak ınsakl ığın denk kavramlar olarak kar şım ıza ç ı ktığı sonsuzboyutlu uzaylar ın da varoldu ğundan söz etmek ilginç olacakt ır. Bunlara bir örnek, I.Schur(1921) taraf ından verilen Qi uzay ıd ı r.
185Son olarak, özellikle önemli iki tip uzayda zay ıf yak ınsakl ığa bir göz alal ım.ÖRNEKLER4.8.5. Hilbert Uzay ı . Bir Hilbert uzay ında, x„ x olmas ı için, gerek ve yeter ko şul,uzaydaki her z için, < x„,z x,z > olmas ıd ı r.ispat. 3.8.1. uyar ınca ispat aşikard ı r.4.8.6. P Uzay ı . 1 < p < oo olmak üzere, QP uzay ında, x„ x olmas ı için, gerek veyeter ko şul,(A) (ilx„ ) dizisinin s ını rl ı ,(B) x„ = (4.7') ve x = (.„) olmak üzere, n -› co için, her sabit j 'ye karşı l ık,4;;) olmas ıd ırispat. QP 'nin dual uzay ı , Qq 'dur (Bkz.2.10.7). P 'nun Schauder baz' ı ise, e n =n.elemant 1, diğer elemanlar ı O olmak üzere, (en) 'dir. Span (e n), Qg 'da yoğun olup,aşağıdaki lemman ın ışığı alt ında arad ığım ız sonuca ula şır ız:4.8.7. LEMMA (Zay ıf Yak ınsakl ık). Normlu bir X uzay ında, x„ x olmas ı için, gerekve yeter ko şul,(A) (11xn dizisinin s ı n ı rl ı ,(B) Bir M c X' total aitkümesinin herf elemant için, j(xn) --*/(x)olmas ıd ır.ispat. Zay ıf yak ınsakl ık halinde, (A) şıkk ı,Lemma 4.8.3. 'den elde edilir. (B) şıkk ı iseaşikard ı r.Tersine olarak, (A) ve (B) 'nin gerçeklendi ğini varsayal ım. Herhangi bir f E X ' gözönüne alarak, f(xn) -> f(x) olduğunu gösterece ğiz ki, bu da, tan ım gereği zay ıfyak ınsakl ık anlam ına gelecektir.(A) uyar ınca, c yeterince büyük bir say ı olmak üzere, her n için, ii 5 c veilx11 < c yazabiliriz. M, X' 'de total oldu ğundan, her f E X' için, span M 'de, f, folacak şekilde bir (f,) dizisi vard ır. Dolay ıs ıyla, verilen bir e > 0 say ısına karşı l ık,—fll < 3eolacak şekilde bir j say ısı bulabiliriz. Ayr ıca, fi e span Molduğundan, (B) varsay ım ıgereğince, her n > N için,jf,(x„) — .1(x)1 Niçin,jf(xn)— f(x)I ..11(xn)f,(xn)1+ Ifi(xn) — fi(x)1 + lf,(x) —1(x)1< lif — 1:11111x.11 + 3 +IU—filllxII
1863. (x„) ve (y n) ayn ı bir normlu X uzay ında tan ı ml ı iki dizi ise, x r, x ve y n yolmas ı halinde, x r, + x + y ve a bir skaler olmak üzere, ax„ ax olduğunugösteriniz.4. x„ x ise, lim > llxo Il oldu ğunu gösteriniz. (Yol.Gös. Teorem 4.3.3 'ün—Kc ıkullan ı n ız.)5. Normlu bir X uzay ında, x„ x o ise, Y = span(x„) olmak üzere, x o E Y olduğunugösteriniz. (Lemma 4.6.7 'yi kullan ı n ız.)6. (x,,) normlu bir X uzay ında, zay ıf yak ınsak bir dizi ise (örne ğin, x„ —÷z xo diyelim),(x„) dizisinin elemanlar ı n ın lineer kombinasyonlar ından oluşan ve x o 'a kuvvetliyak ınsayan bir (y,n ) dizisinin varoldu ğunu gösteriniz.7. Normlu bir X uzaym ın kapal ı herhangi bir Y altuzay ını n, bu uzay ı n elemanlar ındanolu şturulan zay ıf yak ı nsak bütün dizilerin limitlerini içerdi ğini gösteriniz.8. (Zay ıf Cauchy Dizisi) Reel ya da kompleks normlu bir X uzay ında bir zay ıf Cauchydizisi, herf E X ' için, (Ax„)), s ıras ıyla, R ya da C 'de Cauchy olacak şekilde X 'detan ımlanan bir (x„) dizisidir. (Bu durumda, lim j(x„) 'in mevcut oldu ğuna dikkat ediniz.)Bir zay ıf Cauchy dizisinin s ı n ı rl ı oldu ğunu gösteriniz.9. A, normlu bir X uzay ında, boş-olmayan her altkümesi bir zay ıf Cauchy dizisiiçeren bir küme olsun. A 'n ın s ı n ı rl ı olduğunu gösteriniz.10. (Zay ıf Taml ık) Normlu bir X uzay ı verilmiş olsun. X 'deki her zay ıf Cauchy dizisi,X 'de zay ıf yak ınsak ise, X 'e zay ıf tam 'd ı r denir. X yans ı mal ı ise, X 'in zay ıf tamolduğunu gösteriniz.4.9. OPERATÖR VE FONKSIYONEL DIZILERININ YAKINSAKLI Ğ IS ı n ı rl ı lineer operatör ve fonksiyonel dizileri, örne ğin, Fourier serilerinin yak ınsakl ıkproblemi, interpolasyon polinom dizileri, ya da say ısal integrasyon yöntemleri gibi,yaln ızca bir kaç tanesinin ad ı n ı sayd ığı m ız, somut durumlar ı n soyut formülasyonu gibikonularda s ık s ık ortaya ç ıkar. Bu gibi durumlarda genellikle operatör ve fonksiyoneldizilerinin yak ı nsakliği, bunlara karşı l ık gelen norm dizilerinin sinirlili ği ya da benzeriözeliklerle ilgilenilir.Incelemeler, normlu bir uzaydaki eleman'lardan olu şan diziler için, daha öncekik ıs ımlarda tan ımlanan, kuvvetli ve zay ıf yak ınsakl ık kavramlar ı n ın yararl ı olduğunugöstermi ştir. Tn E B(X, Y) operatörlerinden olu şturulan diziler için de, pratik de ğerininyan ı s ıra teorik aç ıdan da önemli üç tip yak ınsakl ık tan ımlamak mümkündür. Bunlar,(1) B(X, Y) üzerindeki norma göre yak ınsakl ık,(2) (Tnx) 'in Y 'deki kuvvetli yak ınsakl ığı ,(3) (Tnx) 'in Y'deki zay ıf yak ınsakl ığıd ı r.J.von Neumann (1929-30b) taraf ından verilen tan ım ve gösterimler a şağıdaki gibidir:4.9.1. TANIM. (Operatör Dizilerinin Yak ı nsakl ığı ) X ve Y normlu uzaylar olsun.Tn E B(X, Y) operatörlerinden olu şan bir (Tn ) dizisini göz önüne alal ım.(1) Eğer, (Tn) dizisi, B(X, Y) üzerindeki norma göre yak ınsak ise, (Tn) düzgünoperatör yak ınsak't ı r denir.(2) Eğer, (Tnx) dizisi, her x e X için, Y 'de kuvvetli yak ınsak ise, (Tn) dizisi, kuvvetlioperatör yak ınsak't ır denir.(3)Eğer, (Tnx), her x E X için, Y 'de zay ıf yak ınsak ise, (Tn) dizisi, zay ıf operatör
yak ınsak't ır denir.Formüle edecek olursak, bu tan ımlar187Tn O,11 Tnx - Txfi 0, (her x E X için)jf(T„x) f(Tx)I 0 (her x e X ve her f E X' için)olacak şekilde, bir T:X-> Y operatörünün var oldu ğu anlam ına gelir. T 'ye ise,(Tn ) 'in, s ıras ıyla, düzgün, kuvvetli ve zay ıf operatör limiti ad ı verilir.Uyar ı : Bu tan ımlardaki "operatör" sözcü ğü, genellikle ihmal edilmekte ise de, konuyaaç ıkl ık getirmek bak ı m ından kullanmakta yarar görüyoruz.Önceki k ısımlarda, çok daha basit durumlarda,örneğin, diferensiyel ve integralhesapta bile, bir kaç farkl ı yak ınsakl ık kavram ı tan ımlaman ın bize büyük ölçüde esneklikkazand ı rd ığın ı belirtmiştik. Bununla birlikte, okuyucu az önce tan ımlad ığım ız çeşitliyak ınsakl ık kavramlar ı karşıs ında şaşırabilir ve operatör dizileri için üç çe şit yak ınsakl ı kkavram ı n ın neden gerekli olduğunu sorabilir. Bu sorunun yan ıt ı , uygulamal ıproblemlerde ortaya ç ıkan bir çok operatörün, daha basit operatörlerin "bir çe şit" limitiolarak verilebilmesidir. Ancak burada "bir çe şit" sözcüğüyle ne denilmek istendiğinin vedizinin özelikleri yard ım ıyla limitleme operatörünün ne gibi özelikler kazand ığı n ıbilmemizde yarar vard ı r. Ayr ıca, bir ara şt ı rman ın başlang ıc ında, hangi anlamda birlimitin varolaca ğı her zaman bilinmeyebilir; bu nedenle, çe şitli olanaklara sahip olmakyararl ı olur. Özel bir problemde, belki de, önce çok "yumu şak" bir anlamda biryak ınsakl ık oluşturabiliriz; bu durumda en az ından bir hareket noktas ına sahip oluruz vedaha sonra daha kuvvetli anlamda bir yak ınsakl ık geliştirip, bununla limit operatörünün"daha iyi" özeliklerini ortaya koyabiliriz. Bu, örne ğin, k ısmi türevli denklemlerde ortayaç ıkan tipik bir durumdur. Limit ayn ı kalmak üzere,( 1 ) (2) = (3)olduğu kolayca gösterilebilir; ancak bunun kar şıtı, aşağıdaki örneklerde degöreceğimiz gibi, her zaman do ğru değildir.ÖRNEKLER4.9.2. (Q 2 Uzay ı ) Q 2 uzay ında, x = (41,42,...) e Q 2 olmak üzere,T n(x) = (0,0,...,0 ,n+1 , n+2 , n+3 " • )ntan eile tan ımlanan, Tn : Q 2 Q2 operatörleriyle olu şturulan bir (Tn) dizisini göz önünealal ım. Bu T„ operatörü lineer ve s ı n ı rl ıd ı r. Aşikar olarak, Tnx 0 = Ox olmas ı nedeniyle,(Tn) dizisi 0 'a kuvvetli operatör yak ınsakt ır. Ancak, II Tn - Ot) = IITn II = 1 olduğundan,(Tn) dizisi, düzgün operatör yak ınFak değildir.4.9.3. (Q 2 Uzay ı). x = (41,2,...) E Q2 olmak üzere, TnQ 2 Q2 operatörlerinin diğerbir (Tn) dizisini,T n (x) = (0,0, • . • ,0n tane1 , 42 , 43 , •••)
188ile tan ımlayabiliriz. Bu Tn operatörü de lineer ve s ı n ı rl ıdı r. Şimdi, (Tn ) 'in, 0 'a zay ıfoperatör oldu ğu halde, kuvvetli operatör yak ınsak olmad ığı n ı gösterece ğ iz.Q 2 üzerindeki s ı n ı rl ı lineer herf fonksiyoneli, 3.8.1 ile verilen bir Riesz gösteriminesahiptir, yani, 3.1.6 uyar ınca, z = (4;) e Q 2 olmak üzere,j(x) =< x, zI- 1yaz ılabilir. Buna göre, j = n + k al ıp, Tn 'in tan ım ı n ı kullan ırsak,f(T,,x) =< T,,x,z >= E 4,-n -Ç-J= E kç n+ kpıt+1 k-1elde ederiz. Cauchy-Schwarz e şitsizliği ise,If(T,,x)1 2=i< Tnx,z >! 25E14k1 2 E Iç m1 2k-1sonucunu verir. Son seri, yak ınsak bir serinin kalan k ısm ıd ı r. Dolay ıs ıyla, n oo içineşitsizliğin sağ taraf ı 0 'a yakla şır. O halde, j(T„x) 0 =j(0x) 'dir. Sonuç olarak, (T n)dizisinin O 'a zay ıf operatör yak ınsak olduğunu söyleyebiliriz. Ancak, x = (1,0,0,...) için,Tmx — Tnx11=11 2 + 1 2 =,11 (m n)olduğundan, (T„) dizisi kuvvetli operatör yak ınsakLineer fonksiyoneller, de ğer bölgeleri R ya da C skaler cismi içinde bulunan, lineeroperatörlerdir. Bu nedenle, (1), (2) ve (3) no.lu tan ımlar hemen uygulanabilir. Bununlabirlikte, aşağıdaki nedenlerle, (2) ve (3) e şdeğer hale gelir. Tnx e Y olduğunu biliyoruz.Burada ise, fn(x) E Q8 (ya da C) 'dir. Dolay ısıyla, (2) ve (3) 'deki yak ınsakl ıktar, soniuboyutlu R, ya da, C uzay ında ortaya ç ıkmakta ve Teorem 4.8.4(c) uyar ınca, bu ikikavram birbirine denk olmaktad ır. Geriye kalan iki kavram ise, kuvvetli ve zay ı f*yak ınsakl ı k (Okunuşu "zay ıf y ıld ız yak ınsakl ık") olarak adland ı r ılmaktad ı r.4.9.4. TANIM (Bir Fonksiyonel Dizisinin Kuvvetli ve Zay ıf* Yak ı nsakl ığı ). (f„), normlubir X uzay ı üzerindeki s ın ı rl ı lineer fonksiyonellerin bir dizisi olsun. Bu durumda,(a) (f,,) dizisinin kuvvetli yak ınsakl ığı , 1[4 0 olacak şekilde bir f E X ' 'nünvarl ığı anlam ına gelir. Ve bu durum,fn -1şeklinde gösterilir.(b) (f,,) 'in zay ıf y ı ld ız yak ınsakl ığı ise, her x e X için, f„(x) j(x) olacak şekilde birf e X' 'nün varl ığı anlam ına gelir. Ve bu durum,fnfşeklinde gösterilir.(a) ve (b) tan ımlar ında ad ı geçen f 'e, (fn) dizisinin, s ıras ıyla, kuvvetli limiti ve zay ı f*limiti ad ı verilir.
189Yeniden T e B(X, Y) operatörlerine dönerek, (1), (2) ve (3) 'deki T : X Y limitoperatörü hakk ında ne söylenebileceğ ini sorabiliriz.Yak ınsakl ık düzgün ise, T e B(X, Y) 'dir; aksi halde, ii Tn - Til bir anlam ta şımaz. E ğeryak ınsakl ık kuvvetli ya da zay ıf ise, T yine de lineerdir. Fakat, X 'in tam olmamas ıhalinde s ın ırs ız olabilir.ÖRNEK. Q 2 'de, yaln ızca sonlu say ıda s ıf ırdan farkl ı terim içeren tüm x =dizilerinin oluşturdu ğu X uzay ı , g üzerindeki metrikle birlikte göz önüne al ınd ığı nda, tamdeğildir. X üzerinde, s ı n ı rl ı lineer operatörlerinin bir dizisi,Tnx = • • • ),yard ımıyla tan ımlanabilir; dolay ısıyla, Tnx dizisinin terimleri, j < n j > n için, 4,şeklindedir. Bu (T„) dizisi, 77, = g, olmak üzere, Tx = (rb) ile tan ımlanan s ı n ı rs ız lineer Toperatörüne kuvvetli yak ınsakt ır.Ancak, X 'in tam olmas ı halinde, bu örnekle belirlemeye çal ışt ığı m ız durum, a şağıdaispatlayaca ğımtz temel nitelikli lemman ın ışığı alt ında ortaya ç ıkmayacakt ı r.4.9.5. LEMMA. (Kuvvetli Operatör Yak ınsakl ı k). X bir Banach uzay ı ve Y bir normluuzay olmak üzere, T„ E B(X, Y) olsun. E ğer (T„) dizisi, bir T limitine kuvvetli operatöryak ınsak ise, T e B(X, Y) 'dir.ispat. T 'nin lineerliğ i, T,, 'in lineerliğinden kolayca elde edilir. Her x E X için,T„x -› Tx olduğundan, (T„x) dizisi, her x için s ın ı rl ıdı r. X 'in tam olmas ı nedeniyle,düzgün sinirlilik teoremi uyar ınca, (il T„ ii) dizisi s ın ı rl ıd ır; örneğin, her n için, il < cdiyelim. Bunu da gözönüne alarak, il Tnxli < IITnII IIx B < clix Il yaz ılabilir. Bu ise,Txli < ılk sonucunu gerektirir.Kuvvetli yak ınsakl ık için yararl ı bir kriteri a şağıdaki teoremle verece ğiz:4.9.6. TEOREM. (Kuvvetli Operatör Yak ınsakl ı k). X ve Y Banach uzaylar ı olmaküzere, Tn E B(X,Y) operatörlerinden olu şturulan bir (Tn ) dizisinin kuvvetli operatöryak ınsak olmas ı için gerek ve yeter ko şul,(A) (il Th dizisinin s ınırl ı ,(B) X 'in bir M total altkümesindeki her x için, (Tnx) dizisinin Y 'de Cauchyolmas ıd ır.ispat. Her x E X için, Tnx - ■ Tx ise, (X 'in tam olmas ı nedeniyle) düzgün sinirlilikteoremi uyar ınca, (A) 'n ın doğruluğunu hemen görebiliriz. (B) ise a şikard ı r.Tersine olarak, (A) ve (B) 'nin gerçeklendi ğini varsayal ım; dolay ısıyla, her n için,II T„ II < c olsun. Şimdi, herhangi bir x E X al ıp, (Tnx) 'in Y 'de kuvvetli yak ınsakolduğunu gösterece ğiz. s > 0 say ıs ı verilmiş olsun. span M, X 'de yoğun olduğundan,< 3colacak şekilde bir y e span M vard ı r. y e span M olduğundan, (B) uyar ınca, (T„y) dizisibir Cauchy'dir. Bu nedenle, m,n > N için,liTnx - T mx Il :5 Tnx - Tnyll + IIT ny - E nyll + IIT,ny - T„,x1I< 11 7;71111x - Y + 3 + IITmIIIIx - Y II< c + -§- + ct = ebulunur. Y 'nin tam olmas ı nedeniyle, (T„x) dizisi, Y 'de yak ınsakt ır. x e X keyfi
190olduğundan, bu sonuç, (T,i ) 'in kuvvetli operatör yak ınsak oldu ğunu ortaya koyar.4.9.7. SONUÇ. (Fonksiyoneller). Bir X Banach uzay ı üzerindeki s ı n ı rl ı lineerfonksiyonellerden olu şan bir (f,i) dizisinin, X üzerindeki s ı n ı rl ı lineer bir fonksiyonele,zay ır yak ınsak olmas ı için gerek ve yeter ko şul,(A) (j[f,, ii) dizisinin s ı n ı rl ı ,(B) X'in bir M total altkümesindeki her x için, (f„(x)) dizisinin Cauchy olmas ıd ı r.PROBLEMLER1. T„ E B(X,Y) olmak üzere, T,, --> Tdüzgün operatör yak ınsakl ığı n ın, T limiti ayn ıkalmak üzere, kuvvetli operatör yak ınsakl ığın ı gerektirdiğini gösteriniz.2. S„ ,T,, e B(X,Y) olmak üzere, (S„) ve (T„) dizileri, s ı ras ıyla, S ve T limitlerine,kuvvetli operatör yak ınsak ise, (S„ + T„) dizisinin, S+ T limitine kuvvetli operatöryak ınsak olduğunu gösteriniz.3. B(X,Y) 'de, kuvvetli operatör yak ınsakl ığı n, limit ayn ı kalmak üzere, zay ıf operatöryak ınsakl ığı gerektirdiğini gösteriniz.4. 6 nolu dipnotta sözü edilen zay ıf yak ınsakl ığın, zay ıf* yak ınsakl ığı gerektirdiğ inigösteriniz. X 'in yans ımal ı olmas ı halinde, karşıtı n ın da doğru olduğunu gösteriniz.5. Kuvvetli operatör yak ınsakl ık düzgün operatör yak ınsakl ığı gerektirmez. Budurumu,f,i(x) = 4„ ve x = (,,) olmak üzere, T,, = : -› R dönüşümünü göz önünealarak gösteriniz.6. n = 1,2,... için, T„ e B(X,Y) olsun. Tan ım 4.9.1 'deki "düzgün" deyimini aç ıklamaküzere, T„ --> T olmas ı için, gerek ve yeter ko şulun, verilen her e > 0 say ıs ına karşı l ık,her IZ > N ve normu 1 olan her x E X için,Il T„x — Txli < eolacak şekilde, yaln ızca, e 'a ba ğıml ı bir N say ıs ın ı n varl ığı olduğunu gösteriniz.7. X bir Banach uzay ı olmak üzere, T,, e B(X, Y) olsun. (T„) kuvvetli operatöryak ınsak ise, (il T„ 'in s ınırl ı olduğunu gösteriniz.8. T,, E B(X,Y) olmak üzere, T„ T olsun. Her e > 0 ve her kapal ı K c X yuvar ınakarşı l ık, her iz > N her x E K için, T„x Tx11 < e olacak şekilde bir N say ısın ınvarolduğunu gösteriniz.9. Lemma 4.9.5. 'de, jj TH
191yöntemine,bir örnektir. E ğ'er y (bilinen anlamda) bir ri limitine yak ınsak ise, x dizisi, buyönteme göre, toplanabilirdir ve genelle ştirilmi ş limiti ii 'dil- denir. Örne ğ in,'dir ve x 'in genelleştirilmiş limiti z 'dir.Bir toplanabilme yöntemi,x = (0,I,0,1,0,...) ise y = (O , , , , ,y = Axşeklinde yaz ılabiliyorsa bir matris yöntemi olarak adland ı r ı l ır; burada, x = (k) vey = (tl.) sonsuz kolon vektörleri olarak al ı nm ış olup, A = (ank), n,k = 1,2,... olmaküzere bir sonsuz matristir. y = Ax formülünde matris çarpim ı n ı kulland ık; yani, y dizisi,Iln = E ank 4k ( ı)k-1terimlerine sahiptir.Yukar ıdaki örnek bir matris yöntemini belirler. (Matris nedir?)Aşağıda, konuya ilişkin terimleri belirteceğiz. (1) ile verilen yöntem, kullan ılan matrisA ile belirtildiğinden, k ısaca, A -yöntemi olarak adland ır ı l ı r. Eğer (1) deki tüm serileryak ınsak ise, ve y = (N) bilinen anlamda yak ıns ıyorsa, bu dizinin limiti, x 'in A -limitiolarak adland ı r ı l ır ve x dizisi A -toplanabilir' dir denir. A -toplanabilen tüm dizilerinkümesi ise A - yönteminin toplanabilme alan ı ad ın ı al ı r.Bir A - yönteminin toplanabilme alan ı tüm yak ınsak dizileri içeriyor ve böyle herdizinin A -limiti, al ışı lm ış limitine eşitse, yani,oluşusonucunu gerektiriyorsa, A - yöntemi regüler (ya da, permanent) 'dir denir.Aşikar olarak, regülerlik oldukça do ğal bir istektir. Gerçekten, belirli yak ınsak dizilereuygulanamayan ya da onlar ın limitlerini değ iştiren bir yöntem uygulamada bir yararsağlamaz. Regülerlik için bir temel kriter, a şağıdaki teoremle verilebilir.4.10.1. TOEPLITZ LIMIT TEOREM İ (Regüler Toplanabilme Yöntemleri). A = (ank)matrisiyle verilen bir A -toplanabilme yönteminin regüler olmas ı için gerek ve yeter ko şul,lim atik = 0 (k--- 1,2,...) 12)12-.0rii. E anı, = 1k ıve y, n 'e bağ l ı olmayan bir sabit olmak üzere,-,co(3)Lankl 5 7 (n = 1 , 2,• • .) (4)k-1'dir.Ispat. (a) (2)-(4) 'ün regülerlik için gerek oldu ğunu, ve(b) (2)-(4) 'ün regülerlik için yeter oldu ğunu gösterece ğiz.Şimdi ayr ı nt ılara geçelim:(a) A - yönteminin regüler olduğunu varsayal ım. xk 'n ı n k. terimi 1 ve diğerbütün terimleri s ıf ır olsun. xk için, (1) 'de, li n = ank yazabiliriz. xk yak ınsak ve limiti 0olduğundan, bu sonuç, (2) 'nin gerçeklenmesinin gerekti ğini gösterir.Ayr ıca, x = (1, 1,1,...) dizisinin limiti 1 'dir. Ve, (1)'den, N 'in (3) 'deki seriye e şit
192olduğu görülür. O halde,(3) gerçeklenmelidir.Şimdi de, (4) 'ün regülerlik için gerekli oldu ğunu ispatlayal ım. c,IIx II =suP gitile tan ımlanan norm alt ında, tüm yak ınsak dizilerden olu şan Banach uzay ı olsun. (Bkz.1.5.3). c üzerinde fn„, lineer fonksiyonelleri,ile tan ı mlanabilir.fn.(x) = anı, (m,n = 1,2,...)k=1mJf,,„,(x)1 5_sup g, I E a nk 4k = (Elankl) Ilx Ilk- ı ıolmas ı nedeniyle, her bir fmn s ı n ı rl ıd ır. Regülerlik, her x E c için, (1) 'deki serininyak ınsakl ığın ı gerektirir. Dolay ıs ıyla, (1), c üzerinde,m(5)=f,i(x) = E ank k (n = 1,2,...)k=1ile tan ımlanan, lineer fonksiyonelleri tan ımlar. (5) 'den, her x e c için, m coolduğunda, f„„,(x) f,(x) olduğunu görebiliriz. Bu ise, zay ıf* yak ı nsakl ık olup, (T = f„al ı narak) Lemma 4.9.5 uyannca,f, 'in sinirlili ğ i elde edilir. Ayr ıca, (fn(x)), her x e c içinyak ınsakt ı r ve (iji,,11), Sonuç 4.9.7 uyar ınca s ı n ı rl ıd ır; her n için,lifn Il rdiyelim. Keyfi olarak belirlenmi ş bir m E N için,la nkila nk ; k < in ve a nk 00 ; k > m ve a nk = Otan ım ı n ı yapal ım. Buna göre, x„,„ = ( (kn'm) ) e c yazabiliriz. Ayr ıca, x. O ise,Ilxnm II = 1 ve x n,n = 0 ise, fix ıinı II = 0 'd ır. Bunun da ötesinde, her m için,'d ır. Dolay ısıyla,mfnin(xmn) = an = Ziankimk-1 k=1( 6)(7)(a) Lankl = f;.(xnm) 1lf. Ilk=1(b) lankl ILMI(8)bulunur. Bu da, (4) 'deki serinin yak ı nsakl ığı n ı gösterir ve (4), (7) 'den elde edilir.(b) Şimdi de, (2)-(4) 'ün regülerlik için yeter oldu ğunu ispatlayal ım. c üzerinde, lineerbir f fonksiyonelini, x = (4 k) e c olmak üzere,ile tan ı mlayabiliriz. f 'nin sinirliliği,j(x) = =limk=ojf(x)I = IDI 5_sup 14,1 = Ilx II
193eşitsizliğinden görülebilir. M c c, bir yerden itibaren terimleri e şit olan dizilerin kümesiolsun. j, x 'e ba ğ l ı olmak veğj+1 = ğj+2 =- • •— ğolmak üzere, x = (;) diyelim. Bu durumda, yukar ıda oldu ğ u gibi, f(x) = 4 olup, (1) ve(6) 'darfn =in(x) = sank ğ k ğ a nk= Eank (k + 4 ankelde ederiz. Buna göre, her x E M için, (2) ve (3) 'den ,qn --/;,(x) 0 4.1 = = J(x) (9)bulunur.Şimdi bir kez daha, Sonuç 4.9.7. 'yi kullanmak istiyoruz. Buna göre, üzerinde, (9) 'daifade edilen yak ınsakl ığı elde ettiğimiz M kümesinin, c 'de yoğ un olduğunugösterece ğiz. k ğ olmak üzere, x = (k) E e olsun. Bu durumda, her E > 0 say ıs ıiçin, k > N oldukça,olacak şekilde bir N say ıs ı vard ı r. Aşikar olarak,iğk< eve= € MX — = • • • N+I ğ, • • •)'dir. Buradan, lix — Yll < E bulunur. x e c keyfi olarak al ı nd ığından, bu sonuç, M 'nin c'de yoğun olduğunu gösterir. Son olarak, (4) uyar ınca, her x E e ve her n için,GOIf,i(x)I < ilx11 »41 5_ yllxllelde edilir. Dolay ıs ıyla, ilf,, Ii _5 y , yani, (Ilfn s ını rl ıdı r. Ayr ıca, (9) ifadesi, yo ğun Mkümesindeki her x için, fn(x) f(x) yak ınsakl ığın ı ortaya koyar. Bu da, Sonuç 4.9.7uyar ınca, fn f zay ır yak ınsakl ığı n ı gerektirir. Bu nedenle, 4 = lim4 k limitininvarolmas ı halinde, ri n ii sonucunun elde edilebilece ğini göstermiş olduk. Tan ımgereği, bu durum, regülerliği ifade eder ve teorem ispatlanm ış olur.PROBLEMLER1. C, Cesaro toplanabilme yöntemi►n = +. • •±ğ n) (n = 1,2,...)ile tan ımlan ır; yani, aritmetik ortalama al ı n ır. Bu yönteme karşı l ık gelen A matrisinibulunuz.2. Prob.1 'deki C ı yöntemini(1,0,1,0,1,0,...) ve (1,o,- 1- Z 34 ' — 8 ' — 16432' • • • )dizilerine uygulay ı n ız.3. Prob.1 'de, („) dizisini, ( ıi n) cinsinden ifade ediniz. (71„) = (1/n) olacak şekilde
194(4„) dizisini bulunuz.4. C, -toplanabilir olmayan bir dizi elde etmek için, Prob.3 'deki formülü kullan ı n ız.5. Hölder toplanabilme yöntemi a şa ğıdaki şekilde tan ımlan ır. H İ , Prob.1 'deki C ıyöntemiyle eşdeğerdir. H2 yöntemi, Win iki kez pe ş peşe uygulanmas ından olu şur; yani,önce aritmetik ortalama al ı n ır ve daha sonra yeniden aritmetik ortalamas ı al ı n ı r. H3yöntemi, H ı 'in üç kez pe ş peşe uygulanmas ından olu şur, v.b.. H ı ve H2 yöntemlerini(1,-3,5,-7,9,-11,...) dizisine uygulay ın ız. Sonucu yorumlay ınız.6. (Seriler). Bir sonsuz serinin k ısmi toplamlar dizisi A - toplanabilir ise, verilen seriA-toplanabilirdir denir. K ısmi toplamlar dizisinin A -limiti, serinin A -toplam ı olarakadland ı r ı l ı r. 1 + z + z2 +... serisinin, izi = 1 ve z * 1 için, C 1 -toplanabildiğini veC, -toplam ı n ın 1/(1 - z) olduğunu gösteriniz.7. (Cesaro Ck -yöntemi). (,,) verilmi ş bir dizi, a;,°) = ve(k) (k-1) (k1) (-= Cro
195oldukça yararl ı sonuçlara sahip bulunmaktad ı r. Bu k ısımda, say ısal integrasyonkonusunu, yani, verilen birx(t)dtintegrali için, yakla şı k değerler elde etme problemi ile u ğra şaca ğız. Bu problemuygulama alan ında önemli bir konu olduğundan, çözüm amac ıyla, yamuk kural ı ,Simpson kural ı ve daha karma şık olarak, Newton-Cotes ve Gauss taraf ından verilenformüller gibi. çok çe şitli yöntemler geli ştirilmiştir. (Konuya ili şkin elemanter bilgilerihat ırlamak için, k ıs ım sonundaki problemlerin gözden geçirilmesi yararl ı olur.)Bu ve diğer yöntemlerin karakteristik yan ı, önce, [a, 6] aral ığında dü ğüm ad ı verilennoktalar seçilip, daha sonra, x 'in bu düğüm noktalar ındaki değerlerinin lineer birkombinasyonu yard ım ıyla integralin bilinmeyen değerine yakla şılmas ıd ır. Düğümler velineer kombinasyonun katsay ı lar ı yönteme bağ l ı olup, x integrant ına bağ l ı değ ildir.Kuşkusuz, bir yöntemin yaran, bu yöntemin verdi ği sonucun doğruluk derecesiylebelirlenir ve bu konuda çal ışma yapan bir ki şi, düğüm noktalar ın ın say ıs ı n ı art ırarakgerçe ğe daha yak ın bir sonuca ula şmak isteyebilir.Bu k ıs ımda, fonksiyonel analizin, bu konuda, bize sa ğlad ığı kolayl ıklardan sözedeceğiz. Asl ında, bu tür yöntemler için, genel bir yap ı ortaya koyacak ve dü ğümnoktalar ı n ın artmas ı halinde ortaya ç ıkan yak ı nsakl ık durumunu inceleyece ğiz.Incelemelerimiz s ıras ında, sürekli fonksiyonlar ı gözönüne alacağız. Bu durum,J = [a, b] üzerinde tan ı ml ı , bütün sürekli, reel değerli fonksiyonlar ın oluşturduğu ve=max lx(01telnormuna sahip, X = C[a, bi Banach uzay ı n ı ele almam ıza yol açmaktad ır. Bu durumda,yukar ıdaki belirli integral, X üzerinde,f(x) = X(t)Ch (1)yard ım ıyla, lineer bir f fonksiyoneli tan ımlar. Say ısal integrasyon için, daha önce sözünüettiğimiz yöntemlerdekine benzer şekilde hareket edebiliriz. Dolay ısıyla, her pozitif ntamsay ıs ı için,olacak şekilde, düğüm ad ı verilen,a < 4”)
196Normun tan ı m ı gereğ i, Ix(t ş,n) I < 11.4 olduğundan, her birfn s ı n ı rl ıd ır. Sonuç olarak,Ifn(x)Iyazabiliriz. Daha sonra kullanmak üzere, fn 'inEla(;)11.,(4,0) I 5_HA a (n)kOnIlfn11---Ela (kn) 1(4)(5)(5) normuna sahip oldu ğunu gösterebiliriz. Gerçekten, (4) ba ğı nt ısı , lifn II 'in, (5) 'insağ taraf ından daha büyük olamayaca ğı n ı gösterir. E şitlik durumunu göstermek için de,J üzerinde, ixo(t)I < 1 olacak şekilde bir xo E X veal ı rsak, ilxo Il = 1 olup,(n) (n)1 ; ct," ) > 0xo(t k sgna k—1 ; ak" ) < Onfn(x0) -= ak") a k I a (kn) Ile=0elde ederiz.Verilen bir x E X için, (3) formülü, (1) 'deki j(x) 'in, fn (x) gibi bir yaklaşık değeriniverir. Ku şkusuz, daha önce de söylediğimiz gibi, doğruluk derecesiyle ilgileniyoruz vebunu da, n 'i art ırarak, ço ğaltmak istiyoruz. Bu durum a şağıdaki kavram ı vermemizeyol açmaktad ı r.4.11.1. TANIM (Yak ınsakl ık). Bir x e X alal ım. Eğer, f , (1) ile tan ımlanmak üzere,fn(x) -› f(x) (n oo) (6)ise, (3) ile tan ımlanan say ısal integrasyon yöntemi, bu x için, yak ınsak 't ı r denir.Polinomlar ın kesin integrasyonu kolay olduğundan, a şağıdaki ifadeyi yazmam ızdoğald ı r:4.11.2. Her n için, eğer x, derecesi n 'den büyük olmayan bir polinom ise,'dir.f„ 'ler lineer oldu ğundan, (7) 'deki n + 1 tane terimi,olarak almak yeterlidir. Gerçekten, x(t) =polinom için,f,,(x) = f(x)( 7)xo(t) = I, x ı (t) = t,...,x„(t) = t"ti ile verilen, n 'inci dereceden birfn(x) = E fl jf,(xı) =Z P:4(x j) = f(x)elde ederiz. Buna göre,fri(x) = .Axı )= 0,1,...,n)şeklinde, n + 1 tane koşul elde ettiğimizi görmekteyiz.Şimdi bu koşullar ın gerçeklendiğini göstereceğiz. n + 1 tane düğüm ve n + 1 tane de(8)
197katsay ı olmak üzere, 2n + 2 tane parametre vard ır. Bunlar ı n bir k ısm ın ı keyfi olarakseçebiliriz. ı
198'nin ışığı alt ında, teoremin ispat ı n ı elde etmiş oluruz.Bu teoremde, polinomlar yerine, C[a, b] reel uzay ında yoğun olan herhangi bir kümealabileceğimiz, aç ıkca görülmektedir.Ayr ıca, bir çok integrasyon yönteminde, katsay ılar negatif-olmayan say ılard ı r. x = 1alarak, 4.11.2 yard ı m ıyla,fn (1) = E a;,") = E l c4") 1 = f(1) = dt = b - ak=0yazabiliriz; dolay ısıyla, (11) gerçeklenir. Bu ise, a şağıdaki teoremi ispatlar:4.11.4. STEKLOV TEOREM İ (Say ısal integrasyon). 4.11.2 'yi gerçekleyen venegatif-olmayan ak") katsay ı lar ına sahip olan ve (3) ile tan ımlanan bir say ısalintegrasyon yöntemi, sürekli her fonksiyon için yak ınsakt ı r.Şimdi de, yukar ıda 4.11.3 'ün ispat ında kulland ığım ız bir teoremin ispat ı n ı verece ğiz.4.11.5. WEIERSTRASS YAKLAŞIM TEOREM İ . (Polinomlar). Reel katsay ı l ı bütünpolinomlar ın oluşturduğu W kümesi, C[a,b] reel uzay ında yoğundur.Buna göre, her X E C[a,b] ve verilen her e > 0 say ıs ı için, her t E [a,b] 'ye karşı l ı k,lx(t)- p(t)I < E olacak şekilde bir p polinomu vard ı rispat. Her x E C[a,b] fonksiyonu, J = [a,b] 'nin kompakt olmas ı nedeniyle, Jüzerinde düzgün süreklidir. Dolay ısıyla, her E > 0 say ısı için,max lx(t) -y(t)I
199yazabiliriz. Elde edilen bu ifade, x(a) = x(b) olacak şekildeki her x E C[a,b] için, biziamac ım ıza ulaşt ı r ı r. Eğer, x(a) # x(b) ise, u(a) = u(b) olacak şekildeki bir y katsay ıs ı ilebirlikte, u(t) = x(t) - y(t - a) al ı r ız. Bu durumda, J üzerinde, lu(t)-q(t)1 < E eşitsizliğ inigerçekleyen bir q polinomu vard ı r. Dolay ısıyla, x-p= u - q olduğundan,p(t) = q(t) + yt a) polinomu (15) 'i gerçekler. O halde, E > 0 say ısın ın keyfi olmas ınedeniyle, W 'nin C[a,b] 'de yoğun olduğunu söyleyebiliriz.Bu teoremin ispat!, ilk kez, 1885 'de K.Weierstrass taraf ı ndan verilmiş olup, bunund ışı nda daha bir çok ispat ı bulunmaktad ır. Örneğin bunlardan bir tanesi, S.N.Bernstein 'a(1912) ait olup, x cinsinden aç ık olarak ifade edilmi ş düzgün yak ı nsak polinom dizilerini(Bernstein polinomlar ın ı) ortaya koymaktad ır. Bernstein'n ın bu ispat ını K.Yosida (1971),s.8-9 'da bulabilirsiniz.PROBLEMLER1. Dikdörtgen kural ı , t'; = a + (k - -f)h olmak üzere,x(t) dı h[x(i7) +...+x(t;,)], h - b - aşeklinde tan ımlan ır. (Şekil 45) Bu formül nas ıl elde edilebilir? Dü ğüm ve katsay ılarnelerdir?Formül ile verilen yakla şık değer için, hata s ı n ırlar ı n ı nas ıl bulabiliriz?Şekil 45. Dikdörtgen kural ıŞekil 46. Yamuk kural ıya da,2. Yamuk Kural ı , xk = x(tk) ve tk = a + kh olmak üzere,tox(t) dt M 2 (xo + x 1), h b ax(t) dt h(--Fxo + x ı + 2 xn)formülleriyle verilir. x 'e noktasal lineer bir fonksiyon yard ım ıyla yaklaşmam ız halinde buformüllerin nas ıl elde edildiğini aç ıklay ı n ız. (Şekil 46)3. Simpson kural ı , n çift, xk = x(tk) ve tk = a + kh olmak üzere,
ya da,rZ200x(t) dt —h (xo + 4x1 + x2)31 0h = b n- ax(t) dt-3 -(xo + 4x1 + 2x2 +... + x,i)ş eklinde verilir. Bu formüllerin, x 'e, [to,t2] üzerinde, to,t ı,i2 'deki değerleri, x 'in bunoktalardaki değerlerine eşit olan bir karesel polinom yard ımıyla ([to,t2] v.b. üzerindeayni şekilde) yaklaşmam ız halinde, elde edilebilece ğini gösteriniz. (Şekil 47)Şekil 47.Simpson kural ı4.fa , yamuk kural ıyla elde edilen yaklaşım olmak üzere, f(x) =1;,(x)- e u(x) olsun. ikikez sürekli türetilebilen herhangi bir x fonksiyonu için, k„ = (b a) 3/12n2 ve m2 ilex" 'nün, [a,b] üzerindeki maksimum ve minimumfar ı olmak üzere.kn /71' < en(x) < ku m2hata s ın ırlar ını bulabileceğimizi gösteriniz.5. Simpson kural ı uygulamada s ıkça kullan ı l ır. Doğruluk derecesindeki art ışıgörebilmek için,/ = J e-t2dtointegraline, n = 10 alarak, yamuk ve Simpson kurallarm ın her ikisini de uygulay ın ız ve0.746211 ve 0.746825değerlerini (6 ondal ığa kadar) gerçek değer olan 0.746824 ile karşılaşt ır ınız.
teJ V-ı ■.0 N 00 C, Cı0 C> C> C> C> C> 0 C> C>e-'21.000 0000.990 0500.960 7890.913 9310.852 1440.778 8010.697 6760.612 6260.527 2920.444 8580.367 8792016. Problem 4 'ü kullanarak, Problem 5 'deki, 0.746211 'in hata s ı n ırlar ı n ı n, -0.001667ve 0.000614 ve dolay ıs ıyla,0.745597 < / < 0.747878olduğunu gösteriniz.7. Üç-Sekiz Kural ı , xk = x(tk) ve tk = a + kh olmak üzere,l3jto. x(1) dt-3-ğ11-(xo + 3xi + 3x2 +x3)formülüyle verilir. Bu formülün, x 'e, [to,t3] üzerinde, to,t1,t2,t3 dü ğüm noktalar ında, x'e eşit olan bir kübik polinom yard ım ıyla yaklaşmam ız halinde elde edilebilece ğinigösteriniz. (Problem 2, 3 ve 7 'deki kurallar, Newton-Cotes formüller dizisinin ilküyeleridir.)8. r hatay ı göstermek üzere,-hx(t) dt = 2hx(0) + r(x)integrasyon formülünü gözönüne alal ı m. x e Cl[-h,h], yani, x, J = [-h,h] üzerindesürekli türetilebilir olsun. Bu durumda,olmak üzere, hatan ı n,şeklinde tahmin edilebileceğini gösteriniz.9. x reel analitik ise,-hp(x) =max lx 1 (t)1jr(x)i < h 2p(x)x(t) dt = 2h(x(0) + x"(0)42f- + xgv(0) 115:: +... (16)olduğunu gösteriniz. integral için, 2h[a_ ıx(-h) + aox(0) + a ıx(h)] şeklinde bir yakla şıkifadenin varl ığın ı kabul edip, a_,,ao,a ı katsay ılar ın ı , olabildiğince çok say ıda, h, h2,...kuvvetleri (16) ile uyu şacak şekilde belirleyiniz. Bu sonucun,
202x(t) d ı 6 (x(-h) 4x(0) + x(h))Simpson kural ın' verdiğini gösteriniz. Bu elde edili ş , kural ı n kübik polinomlar için nedenkesin değer verdiğini gösterir.10. Weierstrass yakla şım teoreminin ispat ında, sürekli ve parçal ı lineer birfonksiyonun Fourier katsay ı lar ı için s ın ı rlar kullandik. Bu s ı n ırlar nas ıl elde edilebilir?4.12. AÇIK DÖNÜ Ş ÜM TEOREM İDaha önceki k ısımlarda. Hahn-Banach teoremini ve düzgün sinirlilik teoreminiincelemiştik. Şimdi de, bu bölümdeki üçüncü "büyük" teorem olan, aç ık dönü şümteoremini görece ğiz. Do ğal olarak, bu teorem aç ı k dönüşümlerle birlikte görülecektir. Butür dönü şümlerde, her aç ık kümenin görüntüsü yine bir aç ık küme olmaktad ı r (tan ı maşa ğıda). Aç ık kümelerin konu içindeki önemini hat ı rlayacak olursak, aç ık dönüşümlerinilginç yanlar ı kolayca ortaya ç ıkacakt ı r. Daha belirgin olarak, aç ı k dönü şüm teoreminin,s ı n ı rl ı lineer bir operatörün, hangi ko şullar alt ında bir aç ık dönü şüm olduğunu ifadeettiğini söyleyebiliriz. Düzgün sinirlilik teoreminde oldu ğu gibi, burada da taml ık özeliğinegereksinme duyuyoruz ve ispatlayaca ğ' ı m ız teorem, Banach uzaylann ın nedentam-olmayan normlu uzaylardan daha doyurucu oldu ğunu ortaya koymaktad ı r. Buteorem, ayr ıca, s ı n ı rl ı lineer bir operatörün tersinin hangi ko şullar alt ında s ı n ı rl ı olduğunuda göstermektedir. Aç ı k dönüşüm teoreminin ispat ı , K ısım 4.7 'de ifade edilerekaç ıklanan Baire Kategori teoremine dayanmaktad ı r.Aç ık dönü şüm kavram ı n ı tan ımlayarak işe ba şlayal ı m.4121 TAN}YW(Aç/kDönU şUnn).XveY metrik uzaylar olsun. D(7) c X olmak üzere,bir T : D(7) - ■ Y dönüşümünü gözönüne alal ım. Eğer D(T) 'deki her aç ık kümenin, Talt ındaki görüntüsü, Y 'de aç ık bir küme ise, T 'ye bir aç ı k dönü şüm ad ı verilir.Dönü şüm örten de ğilse, bu dönü şümün,(a) Tan ı m bölgesinden Y 'nin içine,(b) Tan ım Bölgesinden değer bölgesinin üzerine bir aç ık dönü şüm olmas ı aras ı ndakifarka dikkat etmemiz gerekir. (b) hali, (a) halinden daha zay ıft ı r. Örneğin, X c Y ise, X'den Y 'nin içine olan, x x donü şümünün aç ık olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, X 'in, Y'nin bir aç ık altkümesi olmas ıd ı r. Buna kar şı l ık, X 'den değer bölgesi üzerine (ki bu X'dir) olan x x donü şümü her zaman aç ı kt ı r. .Ayr ıca, bir yan ı lg ıya neden olmamak için, Teorem 1.3.4 uyar ınca, sürekli birT : X Y dönü şümünün, Y 'deki her aç ık kümenin ters görüntüsünün, X 'de yine biraç ık küme olmas ı özeliğine sahip olduğunu hat ı rlamam ız gerekmektedir. Bu durum, T'nin, X 'deki aç ık kümeleri, Y 'deki aç ı k kümelere donü ştürdüğü anlam ına gelmez.Örneğin, t sin I ile tan ımlanan, R -> dönü şümü sürekli oldu ğu halde, (0,27r)aral ığın' [-I, I] aral ığı üzerine dönü ştürür.4.12.2. AÇIK DÖNÜ Ş ÜM TEOREM İ , SINIRLI İNVERS TEOREM İ . Bir X Banachuzay ından, bir Y Banach uzay ı üzerine olan s ı n ı rl ı lineer bir T operatörü bir aç ı kdönüşümdür. Dolay ıs ıyla, T , bire-bir ve üzerine ise, 7-1 sürekli ve bu nedenle des ı nirl ıdir.Bu teoremin ispatini a şa ğıdaki lemmadan sonra, kolayca verebilece ğ iz.4.12.3. LEMMA (Aç ı k Birim Yuvar). Bir X Banach uzay ından, bir Y Banach uzay ı
203üzerine s ın ı rl ı lineer bir T operatörü verilmi ş olsun. Bu durumda, B o = B(0;1) c X aç ıkbirim yuvarm ı n T(B0 ) görüntüsü, 0 e Y komşuluğunda bir aç ı k yuvar içerir.Ispat. Ad ım ad ım giderek,(a) B i = B(0; aç ı k yuvar ı n ın görüntüsünün kapan ışının bir aç ık B* yuvar ıiçerdiğ ini,(b) = B(0; 2-n) c X olmak üzere, T(B„) 'in, 0 e Y komşuluğunda bir aç ık Vnyuvar ı içerdiğini,(c) T(B0) ' ın, 0 e Y komşuluğunda bir aç ık yuvar içerdiğini gösterece ğiz.Şimdi ayr ı nt ılara geçelim:(a) A c X altkümelerine ilişkin olarak, (a bir skaler olmak üzere) aA ve (w E Xolmak üzere) A + w ile,aA = {x E X : x = aa, a e A}A+w= {x E X:x = a+w, a A}şeklinde tan ımlanan kümeteri gösterecek ve benzer gösterimleri Y 'nin altkümeleri içinde yazaca ğız.Şekil 48.(1) formülünün gösterimiŞekil 49.(2) formülününB, = B(0; c X aç ık yuvar ını gözönüne alal ım. k yeterince büyük bir reel say ıolmak üzere (k > 211x (I), herhangi bir sabit x E X eleman' kB, 'in içindedir. O halde,yaz ı labilir. T, örten ve lineer oldu ğundan,tX= UkBik=1tY = T(X) = T(Uk Bi) =Uk T(131) =Uk T(131)ıc=1 Ic=1 le=1'dir. Burada kapan ış almakla, birteşime yeni noktalar eklemedi ğimize dikkat etmemizgerekir; çünkü, birle şim zaten Y uzay ı n ın tümüdür. Y tam olduğundan, 4.7.2 Bairekategori teoremi gere ğince, kendi içinde, ikinci kategoridendir. Dolay ısıyla, (3) 'ün, 4.7.2'deki (1) ifadesine benzerliğini de gözönünde bulundurarak, k T(B İ ) 'in mutlaka baz ı aç ıkyuvarlar içermek zorunda olduğu sonucunu ç ıkartabiliriz. Bu durumda T(BI) 'in de,B* = B(y0;E) c T(B İ ) gibi bir aç ık yuvar içerece ğini gösterir. Buradan,yazabiliriz.B* — yo = B(0 ; 6) c T(B1)— yo(3)(4)
204(b) Bo teoremde verildi ği gibi al ınmak üzere, B* - yo c T(B0 ) olduğunuispatlayaca ğız. Bunu da,7(B1) - yo c T(Bo)olduğunu göstererek yapaca ğız.y E T(B ı ) —yo olsun. Bu durumda, y +yo E T(B1) olup, ayr ıca, yo E T(BI) 'dir. 1.4.6(a) uyar ınca,(5)vey + yo olacak şekilde un = Tw n E T(B ı )v„ yo olacak şekilde v n = Tz n E T(B1)vard ı r. W n, n e B, olup, B i 'in yançap ı 1/2 olduğundan,liWn Zn Il + < 1/2 + 1/2 = 1yazabiliriz; dolay ısıyla, wn -z n E Bo bulunur.T(w n - Zn) = Tw n Tzn = Un — Vnifadesinden ise, y e T(B0) olduğunu görürüz. y e T(B))-yo ' ın keyfi olmas ı nedeniyle,bu sonuç, (5) 'i ispatlar. (4) 'ü gözönüne al ırsak,B* - yo = B(0;E) c T(B0)elde ederiz. Bn = B(0;2-n) C X olsun. T lineer oldu ğundan, T(B n ) = 2*-"T(Bo)yazabiliriz. Ve (6) yard ım ıyla da,Vn = B(0;d2") c T(Bn )elde ederiz.(c) Son olarak, her y e Vi 'in T(Bo ) 'da olduğunu göstererek,V ı= B(0;E/2) c T(Bo)olduğunu ispatlayaca ğız. y e Vi alal ım. n = 1 için, (7) 'yi gözönüne al ırsak, VI c T(B1)yazabiliriz. O halde, y e 7'(B1) Teorem 1.4.6 uyar ınca, y 'ye yeterince yak ı n,örneğ in, Ily — v < El4 olacak şekilde bir v E T(B i ) varolmal ıd ı r. V e T(B ı ) koşulu ise,bir x ı E Bi için, v = Txi sonucunu gerektirir. Buna göre,ilv — TxIII< £14yazabiliriz. Bu e şitsizliği ve n = 2 için, (7) 'yi gözönüne al ırsak, y Tx E V2 c T(B2)olduğunu görürüz. Önceden oldu ğu gibi, buradan da,- Tr ı ) - Tx2I1 < e I 8olacak şekilde bir x2 e B2 'nin varolduğu sonucunu ç ıkartabiliriz. Dolay ısıyla,y - Tıci - Tx2 e V3 C T(B3) 'dür. Bu şekilde devam edersek, n inci ad ımda,y -E Tx,
205yak ınsakt ı r: z n •-■ x diyelim. Bo 'in yar ıçap ı I veEikk II < E=k=1 k=1olduğundan, x E Bo 'd ı r. T 'nin sürekli olmas ı nedeniyle, Tz„ -› Tx yazabiliriz ve (8)ifadesi, Tx = y olduğunu gösterir. O halde, y E T(Bo) 'd ı r.Teorem 4.12.2 'nin ispat!. Şimdi, her A c X aç ık kümesi için, T(A) görüntüsünün Y'de aç ık olduğunu gösterece ğiz. Bunu da, her y = Tx e T(A) için, T(A) kümesinin,y = Tx komşuluğunda bir aç ık yuvar içerdiğini göstererek yapaca ğız.y = Tx E T(A) olsun. A aç ık olduğundan, x merkezli bir aç ık içerir. O halde, A - x, 0merkezli bir aç ık yuvar içerir; bu aç ık yuvar ı n yar ıçap ı r olsun ve k-11r, yani, r= Ilkdiyelim. Bu durumda, k(A -x) kümesi B(0; 1) aç ık birim yuvar ı n ı içerir. Lemma 4.12.3uyar ınca, T(k(A - x)) = k[T(A) - Tx] 'in ve dolay ıs ıyla, T(A) - Tx 'in, 0 kom şuluğundabir aç ık yuvar içerdi ğini söyleyebiliriz. O halde, T(A), Tx = y 'nin komşuluğunda bir aç ıkyuvar içerir. y E T(A) keyfi olarak al ı nd ığı ndan T(A) aç ıkt ı r.Son olarak, T-' : Y -› X dönü şümü mevcut ise, T 'nin aç ık olmas ı nedeniyle veTeorem 1.3.4 uyar ınca, süreklidir. Teorem 2.6.10 gere ğince, lineer olduğundan,Teorem 2.7.9 'un ışığı alt ında, ayn ı zamanda, s ı n ı rl ı olduğunu da söyleyebiliriz.PROBLEMLER1. (1,42) (el) ile tan ımlanan T : R 2 -4 R dönüşümünün aç ık olduğunu gösteriniz.(41,2) --> (1,0) ile verilen R 2 -+ R 2 dönüşümü de bir aç ık dönü şüm müdür?2. Bir aç ık dönüşiimün, kapal ı kümeleri, kapal ı kümeler üzerine dönü ştürmekzorunda olmad ığı n ı gösteriniz.3. (1) ve (2) 'yi geni şleterek, A,B c X olmak üzere,A+B={xEX:x=a+b,aeA,beB}tan ımı n ı yapabiliriz. Bu gösterimi daha yak ından tan ıyabilmek için, A = {1,2,3,4} olmaküzere, aA, A + w, A + A 'y ı bulunuz. Şekil 50 'yi aç ıklay ı n ız.2k(9)Şekil 50. Düzlemde A, B ve A+B
2064. (9) ifadesindeki e şitsizliğin kesin olduğunu gösteriniz.5. X, elemanlar ı yaln ızca sonlu say ıda s ıf ırdan farkl ı terim içeren kompleks terimlix = (4;) dizileri olan ve 11x11 =sup gj i ile tan ımlanan norma sahip bir normlu uzay olsun.T:X-+X dönüşümü,y = Tx =2/2, 43/3, • •)ile tan ımlans ı n. T 'nin lineer ve s ı n ı rl ı , fakat, T-1 'in s ı n ırs ız olduğunu gösteriniz. Budurum. 4.12.2 ile çeli şir mi?6. X ve Y Banach uzaylar ı , T:X-+Y s ı n ı rl ı lineer ve "içine" bir operatör olsun.Gösteriniz ki, T-1 : R(T)- ■ X olmas ı için gerek ve yeter ko şul, R(1) 'nin Y 'de kapal ıolmas ıd ı r.7. X ve Y Banach uzaylar ı olmak üzere, T : X Y s ı n ı rl ı lineer ve bir operatörolsun. T 'nin bire-bir ve üzerine olmas ı halinde, her x E X için, ailx11 11Txli 5 NAolacak şekilde, pozitif reel a ve b say ı lar ı n ın varoldu ğunu gösteriniz.8. (Eşdeğer Normlar). 11.11, ve 11. 11 2 , bir X vektör uzay ı üzerinde, XI - (X, 11• 11 1 ) veX2 = (X, II. 11 2 ) tam olacak şekilde tan ımlanm ış iki norm olsun. 11x,711 1 0 olmas ıhalinde, daima llx„11 2 -* 0 oluyorsa, X ı 'deki yak ınsakl ığı n, X2 'deki yak ınsakl ığıgerektirdi ğini ve tersinin de do ğru olduğunu ve her x E X için,a llxll ı 5_ Ilx11 2 Ş bilx11 1olacak şekilde, pozitif a ve b say ı lar ı n ı n varoldu ğunu gösteriniz. (Bu durumda,normlar ın eşdeğer oldu ğuna dikkat ediniz. Bkz. Tan ı m 2.4.4).9. X ı = (X, 111) ve X2 = 11 2 ) Banach uzaylar ı olsun. Her x E X için,Ilx 11 ı ellx11 2 olacak şekilde bir c sabiti varsa, her x E X için, 114 2 S kilxli İ olacakşekilde bir k sabitini varoldu ğunu gösteriniz. (Dolay ıs ıyla, Tan ım 2.4.4'ün ışığı alt ı nda,bu iki norm eşdeğer olur.)10. K ıs ım 1.3 'den, bir X metrik uzay ı n ın bütün aç ık altkümelerinin olu şturduğu z-kümesinin X için bir topoloji ad ı n ı ald ığı n ı biliyoruz. Dolay ıs ıyla, bir X vektör uzay ıüzerindeki her norm, X için bir topoloji tan ımlar. Eğer, X üzerinde, X ı = (X,11. II ,) veX2 = (X, II. 11 2 ) birer Banach uzay ı olacak şekilde iki norm varsa ve 11. 11, ve 11. 11 2taraf ından tan ımlanan, Tl ve T2 topolojileri, z ı T2 koşulunu gerçekliyorlarsa, z ı = T2olduğunu gösteriniz.
2074.13. KAPALI LINEER OPERATÖRLER. KAPALI GRAFIK TEOREM İBilindiği gibi uygulamada önemi olan lineer operatörlerin tümü s ı n ı rl ı değildir.Örneğin, 2.7.5 'deki diferensiyel operatör s ın ırs ızd ır ve kuantum mekani ği ve diğer baz ıuygulamalarda s ık s ık s ını rs ız operatörlere ihtiyaç duyulur. Ancak, analizciler,çoğunlukla, kapal ı lineer operatör ad ı verilen lineer operatörlerle çal ışmaktan hazduyarlar. Bu nedenle, normlu uzaylar üzerinde tan ıml ı, kapal ı operatörleri tan ımlay ıpbunlar ın baz ı temel özeliklerini inceleyecek ve özellikle, bir Banach uzay ı üzerindekikapal ı lineer bir operatörün s ı n ı rl ı olmas ı için yeterli ko şullar ı ifade eden ve dördüncübüyük teoremimiz olan kapal ı grafik teoreminden söz edece ğiz.Kapal ı ve Hilbert uzaylan üzerinde tan ı ml ı diğer s ı n ı rs ız operatörlerin daha ayr ı nt ı l ıincelenmesi Bölüm 10 ve kuantum mekani ğine uygulama ise Bölüm 11 'de eleal ınacakt ı r.Tan ım ı m ızia işe başlayal ım.4.13. TANIM (Kapal ı Lineer Operatör). X ve Y normlu uzaylar ve T : D(T) Y,D(T) c X olmak üzere lineer bir operatör olsun. E ğer T 'nin,G(T){(x,y) : x E D(7), y = Tx}şeklinde tan ımlanan grafiğ i, X x Y normlu uzay ında kapal ı ise, T 'ye bir kapal ı lineeroperatör ad ı verilir; burada, X x Y 'deki vektör uzaya ilişkin iki cebirsel operatör, al ışılm ışbiçimde, yani, a bir skaler olmak üzere,şeklinde ve X x Y üzerindeki norm ise,(xi,y1) + (x2,y2) = (x ı + x2,y ı +y2)a(x,y) = (ax,ay)II (x,Y)II = Ilx + 113'11olarak tan ımlan ı r. (Diğer normlar için Prob.2 'ye bak ı n ız.)Kapal ı lineer bir operatörün, hangi ko şullar alt ında s ı n ı rl ı olaca ğı n ın yan ıtı aşağıdakiönemli teoremle verilecektir.4.13.2. KAPALI GRAFIK TEOREM İ . X ve Y Banach uzaylar ı ve D(T) c X olmaküzere, T : D(T) Y kapal ı lineer bir operatör olsun. E ğer, D(T) tan ım kümesi, X 'dekapal ı ise T operatörü s ın ı rl ıd ı r.Ispat. Önce, Xx Y 'nin (1) 'de tan ımlanan norm alt ında tam olduğunu gösterelim.z„ = (x„,y,„) olmak üzere, (z„) dizisi Xx Y 'de bir Cauchy olsun. Bu durumda, her E > 0için,IIZn — z. 11 = 11xn — x. 11 + ily. —y. 11 < E (m,n > (2)olacak şekilde bir N say ıs ı vard ı r. (xn) ve (y„) dizileri, s ıras ıyla, X ve Y 'de birerCauchy olduklar ından ve X ve Y 'nin tam olmalar ı nedeniyle de yak ınsak olduklar ından,x„ x ve y,, -> y yazabiliriz. Bu durum, (2) 'den yararlanarak, m oo oldu ğunda, n > Niçin, IIzn —d S. e yaz ılabileceğinden, zn z = (x,y) sonucunu gerektirir. (z„) Cauchydizisi keyfi olarak al ı nd ığından, Xx Y 'nin taml ığını söyleyebiliriz.Varsay ım gereği, G(7), X x Y'de ve D(T), X 'de kapal ıd ır. Dolays ıyla, 1.4.7 uyar ınca,G(7) ve D(7) tam'd ır. Şimdi,(i)
208P : G(7) --+ D(T)(x,Tx) xdönü şümünü gözönüne alal ım. P lineerdir.11P(x,Tx)11 = 11x11 + 11Tx11 = 11(x,Tx)11yaz ılabileceğinden, P, ayn ı zamanda, s ı n ı rl ıd ı r. P bire-bir ve örtenolup, gerçekten, ters dönü şüm,: D(T) G(7)x -› (x,Tx)ile verilir. G(T) ve D(7) tam olduğundan, 4.12.2 'deki s ı n ı rl ı inversteoremini uygulayabilir ve 1) --1 'in s ı n ı rl ı olduğunu görebiliriz; örne ğin, herx e D(7) ve bir b say ıs ı için, 11(x, Tx)11 < b ı lx11 yazal ım. O halde, herx E D(7) için,11Tx11 5 11Tx11 + Ilxll = 11(x,Tx)11 < bIlx11yaz ı labildiğinden, T 'nin s ı n ı rl ı olduğunu söyleyebiliriz.Tan ım gereğ i, G(T) 'nin kapal ı olmas ı için gerek ve yeter ko şul, z = (x,y) E G(T)'nin, z E G(T) 'yi gerektirmesidir. Teorem 1.4.6 (a) gere ğince, z E G(T) olmas ı içingerek ve yeter ko şulun, ın z olacak şekilde, zn = (x„,Tx„) E G(T) 'lerin varolmas ı n ı nolduğunu biliyoruz; dolay ısıyla,x,, x, Tx,, -› y (3)ve z = (x,y) E G(T) olmas ı için gerek ve yeter ko şul, x E D(T) ve y = Tx olmas ıd ı r. Busonuç ise, bir lineer operatörün kapal ı l ığı n ın tan ı m ı olarak da al ınan bir özeliği ifadeeden aşağıdaki yararl ı kriteri ispatlar:4.13.3. TEOREM (Kapal ı Lineer Operatör). X ve Y Banach uzaylar ı ve D(7) c Xolmak üzere, T : D(7) -› Y lineer bir operatör olsun. Bu durumda, T 'nin kapal ı olmas ıiçin gerek ve yeter ko şul, aşağıdaki özeliğe sahip olmas ıd ı r: xn e D(T) ve Txn yolmak üzere, x n x ise, x e D(T) ve Tx = y 'dir.Bu özeliğin, s ın ı rl ı bir operatörün a şağıdaki özeliğinden farkl ı olduğuna dikkatetmemiz gerekmektedir. E ğer, lineer bir T operatörü s ı n ı rl ı ve dolay ıs ıyla sürekli, ve(x„), D(T) 'de tan ı ml ı ve yine D(T) içinde yak ınsak bir dizi ise, (Tx,,) dizisi de yak ınsakt ı r(1.4.8 ile karşılaşt ı r ı n ız). Bu özeliğin, kapal ı lineer bir operatör için ger şeklenmesigerekmez. Bununla birlikte, e ğer T kapal ı ve T 'nin tan ım kümesinde tan ı ml ı (xn ) ve(57,) gibi iki dizi ayn ı limite yak ıns ıyor ve bunlara kar şı l ık gelen (Tx,z) ve (n.) dizileride yak ınsak ise, bu son iki dizinin limiti de ayn ıd ır. (Prob.6 'ya bak ı n ız.)4.13.4. ÖRNEK (Diferensiyel Operatör). X = C[0, I] olsun ve "üssü" notasyonu türevibelirtsin. D(T), sürekli bir türeve sahip olan x E X fonksiyonlar ın ı n oluşturduğu altuzayolmak üzere,T : D(T) --> Xx
209şeklinde tan ımlanan dönü şümü gözönüne alal ım. Bu durumda, T sinirli olmad ığı haldekapal ıd ı r.ispat. 2.7.5 gözönüne alarak, T 'nin s ı n ı rs ız olduğunu söyleyebiliriz. Şimdi,Teorem 4.13.3 'ü uygulayarak, T 'nin kapal ı olduğunu gösterece ğiz. D(T) 'de, (x n) ve(Tx n ) 'in her ikisi de yak ınsak olacak şekilde, bir (x,„) dizisi alal ım vexn x ve Txn = xn -› Ydiyelim. C[0,1] 'in normuna göre, yak ınsakl ığın, [0,1] üzerinde düzgün yak ınsakl ıkolmas ı nedeniyle, x',, y yak ınsamas ındantJy( ı) dr = tim =lim xn(r) dı = x(1) -x(0),yani,ninrt.000 0 0x(t) = x(0) -I- y(r) dıoelde ederiz. Bu ise, x E D(T) ve x' = y olduğunu gösterir. Teorem 4.13.3 de, budurumda, T 'nin kapal ı olduğu sonucunu verir.Bu örnekte, D(7) 'nin X 'de kapal ı olmad ığın ı belirtmemiz yerinde olur. Zira, aksihalde, kapal ı grafik teoremi uyar ınca, T 'nin s ı n ı rl ı olmas ı gerekirdi.Kapatd ık bir lineer operatörün s ı n ı rlil ığın ı gerektirmez. Tersine olarak da, sinirlilikkapal ı l ığı gerektirmez.ispat. Ilk ifadenin do ğ ruluğu, 4.13.4 arac ı l ığıyla görülebilir. İkincinin doğruluğunu ise,aşağıdaki örnekle aç ıklayacağız. D(1) , normlu bir X uzay ın ın, gerçek ve yoğun biraltuzay ı olmak üzere, T : D(7) - ■ D(T) c X, D(T) üzerindeki özde şlik operatörü olsun.Bu durumda, T 'nin lineer ve s ı n ı rl ı olduğu aşikard ı r. Bununla birlikte, T kapal ı değildir.Bunu da, Teorem 4.13.3. 'ün ışığı alt ında, bir x E X-D(7) ve D(7) 'de x 'e yak ınsayanbir (xn) dizisi alarak, kolayca görebiliriz.Şimdiki incelememizde, s ı n ı rs ız operatörlere ilişkin olarak, tan ım kümelerininbelirlenmesi ve geni şleme problemlerinin önemli bir rol oynayabilece ğini göreceğiz. Budurum, Bölüm 10 'da ayr ı nt ı l ı olarak görece ğimiz gibi, doğald ır. Az önce ispatlad ığım ızifade oldukça negatif bir yap ıya sahiptir. Buna karşın pozitif aç ıdan aşağıdaki lemmay ıverebiliriz.4.13.5. LEMMA (Kapal ı Operatör). X ve Y normlu uzaylar olmak üzere, T : D(7)-› Y, tan ım kümesi D(T) c X koşuluna uygun, s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. Budurumda,(a) D(T) , X 'in kapal ı bir altkümesi ise, T kapal ıd ı r.(b) Eğer, T kapal ı ve Y tam ise, D(7), X 'in kapal ı bir altkümesidir.ispat. (a) Eğer (x n), D(7) 'de ise ve yak ınsaksa (örneğin, x n x diyelim) ve ayr ıca,(Tx„) de yak ınsak olacak şekilde bir dizi ise, bu durumda, D(T) kapal ı olduğundan ve T'nin sürekli olmas ı nedeniyle, Tx„ -* Tx yaz ılabileceğinden, x E D(T) = D(7) bulunur. Ohalde, Teorem 4.13.3 uyar ınca, T kapal ıd ı r.(b) x E D(7) için, D(7) 'de, x„ x olacak şekilde bir (x„) dizisi vard ır; Bkz.1.4.6. Ts ın ı rl ı olduğundan,11Tx„ - Tx„,11 = liT(x,, - x n )lj < 117111x „ x„,11yazabiliriz. Bu ise, (Tx„) 'in bir Cauchy oldu ğunu gösterir. Y 'nin tam olmas ı nedeniyle,
210(Tx „) ayn ı zamanda yak ınsakt ı r; Tx„ y E Y diyelim. T kapal ı olduğundan, Teorem4.13.3 uyar ınca, x E D(T) ( ve Tx = y) 'dir. Dolay ıs ıyla, x e D(7) 'nin keyfi olarakal ı nd ığı n ı gözönünde tutarsak, D(T) 'nin kapal ı olduğ unu söyleyebiliriz.PROBLEMLER1. (1) ifadesinin X x Y üzerinde bir norm tan ımlad ığı n ı gösteriniz.2. X ve Y normlu uzaylar ı n ı n X x Y çarp ı m ı üzerinde, s ık s ık kullan ılan, diğernormlar dave(x,Y) = max -{IlxilYl ı (x,y)11 0 = ( 114 2 ÷ ily112)112şeklinde tan ımlan ır. Bunlar için de norm ko şullar ı n ı n sağland ığın ı gösteriniz.3. Lineer bir T : X -+ Y operatörünün G(T) grafiğinin, X x Y 'nin bir alt vektör uzay ıolduğunu gösteriniz.4. Tan ım 4.13.1 'deki X ve Y uzaylar ı birer Banach uzay ı ise, V= Xx Y 'nin (1) 'detan ımlanan norm alt ında bir Banach uzay ı olduğunu gösteriniz.5. ( ınvers). Kapal ı lineer bir operatörün T -1 inversi mevcut ise, rl 'in de kapal ı lineerbir operatör oldu ğunu gösteriniz.6. T kapal ı lineer bir operatör olsun. E ğer, D(T) 'de, (x n) ve („) gibi iki diziyak ınsak ve ayn ı x limitine sahip ise ve (Tx „) ve (T „) dizilerinin her ikisi de yak ınsakise, (Tx„) ve (T ,,) dizilerinin de ayn ı limite sahip olduklar ı n ı gösteriniz.7. Teorem 4.12.2 'deki ikinci ifadeyi, kapal ı grafik teoreminden elde ediniz.8. X ve Y normlu uzaylar ve T : X -+ Y kapal ı lineer bir operatörlsun. (a) Kompaktbir C c Xaltkümesinin görüntüsü olan A kümesinin Y 'de kapal ı olduğunu gösteriniz. (b)Kompakt bir K c Y altkümesinin ters görüntüsü olan B kümesinin X 'de kapal ı olduğunugösteriniz. (Bkz. Tan ım 2.5.1).9. X ve Y normlu uzaylar ve Y kompakt olmak üzere, T : X -+ Y kapal ı lineer biroperatör ise, T 'nin s ı n ı rl ı olduğunu gösteriniz.10. X ve Y normlu uzaylar ve X kompakt olsun. Eğer, T : X .Y bire-bir, örten,kapal ı lineer bir operatör ise, T- ' 'in s ı n ı rl ı olduğunu gösteriniz.11. (S ıf ır Uzay ı). Kapal ı lineer bir T : X Y operatörünün s ıf ır uzay ı olan N(7) 'nin,X 'in kapal ı bir altuzay ı olduğunu gösteriniz.12. X ve Y normlu uzaylar olsun. T, : X -+ Y kapal ı lineer bir operatör ve T2EB(X,Y)ise, T, + T2 'nin kapal ı lineer bir operatör oldu ğunu gösteriniz.13. T, D(7) tan ım kümesi bir X Banach uzay ında ve R(1) değer kümesi normlu bir Yuzay ında bulunan kapal ı lineer bir operatör olsun. E ğer T-' mevcut ve s ı n ı rl ı ise, R(7)'nin kapal ı olduğunu gösteriniz.14. u t + u2 +... serisinin terimlerinin, J = [0,1] aral ığı üzerinde sürekli türetilebilirfonksiyonlar oldu ğunu, serinin .1 üzerinde düzgün yak ınsak olup, x toplam ına sahipbulunduğunu varsayal ı m. Ayr ıca, + u'2 +... serisinin de .1 üzerinde düzgün yak ınsakolduğunu kabul edelim. Bu durumda, x 'in, (0,1) üzerinde sürekli türetilebildi ğini ve= +1/2 +... olduğunu gösteriniz.15. (Kapal ı Genişleme). X ve Y Banach uzaylar ı , D(T) c X olmak üzere, G(T)grafi ğine sahip, lineer bir operatör, T : D(7) Y olsun. T 'nin, G(7) grafiğine sahipkat2alı lineer bir 7' genişlemesine sahip olmas ı için gerek ve yeter ko şulun, G(T) 'nin,y0 olmak üzere, (0,y) formunda bir eleman içermemesi oldu ğunu gösteriniz.
143 17 < Tx,y >=< x,Ty >165 7 ...T" X '-> X ' adjoint...175 16 ...çeşitli ispatlarda çeşitli ispatlarda...k184 6 ...= E(tz" ) aj )ejk184 5 5. (a. ") --> aj) I ile, O185 14 lf,(x n)- Ax)1 < f187 5 ... her f E X' için)189 2208 4 P(x,Tx)ii = IIxII +ilTxll = ii(x,Tx)II208 16 Xve Y Banach uzaylan....210 22 ... bir operatorsun.< Tx,y >=< x, T"y >: Y X' adjoint...çeşitli ispatlarda...kE(aY') - ai)e5_ El(ai") - aj)lije Oifi(xn) - fi(x)i < f... her fE Y' için)11P(x,Tx)11 =II xII 5 IIxH+II Txi1 = II(x,Tx) IIXve Y normlu uzaylar... bir operatör olsun.
Sayfa20Sat ı r Yanl ış7Doğru-x,2 125 13. ...bu dizinin..bu dizinin terimleri...25 8 Iğ, 5 - j") I +.. •.ıc1 14j 4.5N) +...k26 11 El4r)--4,1'96 11 ...=+(fix +y11 2 + lix - y11 2) YI1 2 - 11x—Y11 2 )96 13 ...=4(11x 4- Y 2 + IIX Yll 2 ) + YI1 2 — lix )11 2 )96 14 ...=-- (11x -1- /Y11 2 +11x -1-Y11 2) 411' — 11x — 41')97 3 ...=+ 11x -y11 2 - ÷il.z - +(x+y)11 2 ...=4-11x -y11 2 + 21Iz - (x + y)11 298 12 .. = 11x11 2 - •-• = 114 2 l'CV>12 ity l2102 10 Şekil 28. Konveks bir küme içindeki bir Şekil 28. Konveks bir küme içindeki103 13 =112y —x11 2 +... - -211y -4 2 +...105 7 ...y —y ı = z —z ı ... •..y - y ı = z ı - ı...105 10 (7) deki z değerine... (7) deki y değerine...106 17 Y = Y = Yil107 9 < x,x > llxp 2 = 0... = 114 2 = 0...112 2 El< x,e,i >1 2 5 I İX 11 2El< x,ek >1 2 < 11x11 2k=1 ka ı120 8 ... önemle belirtmeyiz. önemle belirtrneliyiz.122 14 Ms = {0} yazar ız. (4) 'ü ve yine ...137 5 Tan ım 3.8.1 'de ... Tan ım 3.8.3 'de137 9 ...= h(S(crx ı + fix2),Y) ...= h(ax, + fix2,y)Mj = {0}yazar ız, Buradan x y = 0,yani x = y ekle ederiz. (4)'ü ve yine...142 11 ancak, TT* II2 H2 'dir. ancak, 77' : H2 H2 'dir.
Change language