KARTOGRAFİK PROJEKSİYONLARDA DEFORMASYON ...

genel eşitliği bulunur. Yani, orijinal yüzeyde birbirlerine dik olan uzunlukdeformasyonlarının karelerinin toplamı, ana deformasyonların kareleri toplamına eşittir. Buise düzlem geometride çok tanınan ve elipsin eşlenik yarıeksenlerinin kareleri toplamınınsabit olduğunu söyleyen Apollonius’un 1.Teoremi olarak da bilinen eşitliğe karşılık gelir(Apollonius (MÖ262-MÖ190), Pergeli ünlü matematikçi) /5/.MλAaSaBϕPNY 1Y 2Rλ‘A’M’hbψR’ΩP’S’kaB’N’ϕ‘Şekil - 2 : Sonsuz küçük yarıçaplı dairenin izdüşümüŞekil-2’deki Y 1 düzlemindeki a yarıçaplı daireye Y 2 düzlemindeki a, b yarı eksenlideformasyon elipsi karşılık gelsin. MN // M′N′ ve MN⊥RS olsun. Bu durumdaMN = M′N′ = 2aRS = 2a (8)R′S′ = 2byazılabilir. Y 1 düzlemindeki APB üçgeninin alanı (AP⊥PB olmak üzere)f= 1 2a(9)2Y 2 düzlemindeki A′P′B′ üçgeninin alanı (P′A′ ve P′B′ eşlenik yarıçap olmak üzere)f′ =12khsin Ω (10)olur. Bu iki alan arasındaf′ = f cosΨ (11)33

ağıntısı vardır. Burada Şekil-2’dencosΨ= b a(12)yazılabilir. Eşitlikler (10) ve (11) de yerine konduğundaab= kh sin Ω (13)elde edilir. Buna da Apollonius’un 2. teoremi adı verilir ve elipsin iki eşlenik yarıçapınınoluşturduğu paralelkenar alanının, aynı elipsin yarı eksenlerinin oluşturduğu dikdörtgeninalanına eşit olduğunu ifade eder /5/.ϕ+dϕBCdsαϕAλDλ+dλŞekil - 3 : Küre üzerinde sonsuz küçük gridy∂x d∂ϕϕQ’dxC’P’B’Edϕds’dy∂y d∂ϕϕA’Ωα′β λ∂x d∂λλGdλβ ϕD’ R’S’∂y d∂λλŞekil - 4 : Sonsuz küçük gridin düzleme izdüşümü /5/xR küre yarıçapı (R=1 birim) olmak üzere A’dan geçen meridyen yayının uzunluk elemanıdsm = Rdϕ (14)ve A’dan geçen paralel daire yayının uzunluk elemanı34

2 2 2ds′ = Edϕ + 2Fdϕdλ+Gdλ (22)sonucu elde edilir /5,7,8/.Meridyen doğrultusu boyunca uzunluk deformasyonu katsayısıh = A′B′ / ABoranına eşittir. BuradaveAB = ds m = Rdϕ′ ′ = ′ ′ + ′ ′ = [( ∂ ∂ϕ)ϕ] +[ ( ∂ ∂ϕ)ϕ ]2 2 2 2 2AB BP AP x d y dAB ′ ′ =Edϕolduğu düşünülürseEdϕEh = = = +RdϕR R1 2 2( ∂x∂ϕ) ( ∂y∂ϕ)(23)biçiminde sonuç verir.Paralel daire doğrultusu boyunca uzunluk deformasyonu katsayısı isek = A′D′ / ADoranına eşittir. BuradaveAD = ds p = R cosϕ dλ′ ′ = ′ ′ + ′ ′ = [( ∂ ∂λ)λ] +[ ( ∂ ∂λ)λ ]2 2 2 2 2AD AS DS x d y dAD ′ ′ =Gdλolduğu bilindiğinden paralel daire doğrultusunda uzunluk deformasyonu katsayısıGdλGk = = = +Rcosϕλ d Rcos ϕ Rcosϕ1 2 2( ∂x∂λ) ( ∂y∂λ)(24)olur /5,9/.A′ noktasında meridyen ve paralel dairelerin izdüşümü arasındaki Ω açısıveyacos Ω=FE G(25)36

sin Ω=EG − FE G2(26)eşitliklerinden Gauss temel büyüklükleri kullanılarak hesaplanabilir /1,6/. Daha önce debelirtildiği gibi küre üzerinde Ω‘ya karşılık gelen açı, bir dik açıdır.Maksimum ve minimumuzunluk deformasyonu katsayılarının ( a ve b ) hesabı içineşitliği2 2 2 2h ± 2hksin Ω + k = a ± 2ab+b2 2( )1 2a± b = h + k ± 2hksinΩ (27)şeklinde düzenlenirse(2 22 sin Ω)(2 22 sin Ω)K = a+ b = h + k + hkL= a− b = h + k − hkve buradanK+La =2K−Lb =21 21 2(28)(29)olarak karşımıza çıkar.Alan deformasyonu katsayısı p ise Şekil 4’e göre ( A′B′ A′D′ sinΩ) biçimindedir. Bu isep= a b = h k sin Ω (30)olur. Alan deformasyonu katsayısının ayrıca1 ⎛ ∂x ∂y ∂x ∂y⎞p = ⎜ − ⎟R cosϕ ⎝ ∂ϕ ∂λ ∂λ ∂ϕ⎠(31)şeklinde de hesaplanabileceği diferansiyel geometri kuralları uygulanarak gösterilebilir /2/.(30) eşitliği (23), (24) ve (26) eşitlikleri kullanılarak yeniden düzenlenirse1 2p = EG −FR cosϕ(32)elde edilir. Bu eşitlikte, Gauss temel büyüklükleri(21) yerine konduğunda (31) eşitliğibulunur. Alan deformasyonu katsayısı, (31) eşitliğinden bulunduktan sonra (30) eşitliğigözönüne alınarak (27) eşitliği yeniden düzenlenirse, (28) eşitliği tekrar elde edilir.Buradan37

deformasyon elipsinin a ve b yarı eksen uzunluklarının Ω açısı hesaplanmadan dabulunabileceği görülür.3. DEFORMASYON ELİPSİNİN GÖRSELLEŞTİRİLMESİOrijinal yüzey üzerinde parametre eğrileri denilen eğriler ailesi, yüzeyi iki defa kaplayanbir ağ meydana getirirler. Bu eğriler, yer küresi için ya coğrafi koordinat ağını oluşturanparalel daire ve meridyen yaylarıdır, veya küresel-kutupsal koordinat ağlarını oluşturan yatayve düşey dairelerdir. Her iki koordinat sisteminde de koordinatları oluşturan eğri aileleri küreyüzeyi üzerinde birbirini dik olarak keserler. Bazı projeksiyon yöntemlerinde orijinal yüzeyüzerindeki birbirine dik parametre eğrileri izdüşüm düzleminde de dik olur. Parametreeğrilerinin karşılıklarının, izdüşüm yüzeyinde birbirlerine dik olmamaları durumundaparametre eğrileri ile deformasyon elipsi eksenleri çakışmaz, dolayısıyla parametre eğrileridoğrultusundaki h ve k uzunluk deformasyonu katsayıları, ana deformasyon eğrileridoğrultusundaki a ve b uzunluk deformasyonu katsayılarını göstermez. Eksenler arasındaki budönüklük deformasyon elipsinin grafik görselleştirilmesinde ilave bazı parametrelerin debilinmesini gerektirir.Yλ′ϕ′hbΩ a ν′kβ λϑβ ϕX′A′XŞekil - 5 : Deformasyon elipsinin parametreleria ve b değerlerinin sırasıyla (23), (24), (31), (28) ve (29) eşitlikleri kullanılmadanbulunabilmesi için Ω açısının bilinmesi gerektiği açıktır. Bu açıyı (21) Gauss temelbüyüklükleri kullanılarak (25) veya (26) den hesaplamak mümkündür. Bu amaçlakullanılabilecek bir başka yöntemi açıklamak için ise Şekil-5’den yararlanılabilir.Paralel daire ve meridyenlerin izdüşümlerinin koordinat eksenleri ile yaptıkları açılar β ϕ veβ λ olsunlar. Burada38

tan β( ∂y∂λ)dλ( ∂y∂λ)( ∂x∂λ)dλ( ∂x∂λ)( ∂x∂ϕ)dϕ( ∂x∂ϕ)βλ( ∂y∂ϕ)dϕ( ∂y∂ϕ)( ∂y∂ϕ)( ∂x∂ϕ)tan( °− ) = =tan βϕλ= =90 (33)=eşitlikleri yazılabilir. Bu durumda meridyen ve paralel daire izdüşümleri arasındaki açınınΩ= β −βλ ϕ (34)şeklinde hesaplanacağı kolayca görülebilir.A′ noktasında deformasyon elipsinin hem boyutlarının hem de konumunungörselleştirilmesi söz konusu olduğunda, bu kez elipsin eksenlerinden birinin koordinateksenlerinden biri ile yapmış olduğu açının hesaplanması gerekir.Paralel daire izdüşümü doğrultusunun (ϕ′) elipsin büyük ekseni ile yaptığı açı ν′ olsun. Buaçının küre üzerindeki karşılığı da ν olarak alınırsaya dabcosν = hcosν′asinν = hsinν′hcos ν = cos ν′bhsin ν = sin ν′a(35)(36)eşitlikleri yazılabilir. Eşitliklerin kareleri alınıp taraf tarafa toplandığındahb2222 h 2 2 2cos ν′ + sin ν′ = sin ν+ cos ν = 1(37)2aelde edilir. Bu eşitlikhb2222 h 2 2 2cos ν′ + sin ν′ = sin ν′ + cos ν ′(38)2aşeklinde yazılırsa⎛22h ⎞2⎛ h ⎞2⎜1−⎟ cos ν′ = ⎜ −1⎟ sin ν ′22⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠ve buradan da39

tan ν′ =±2 21−( h b )2 2( h a ) −1(39)bulunur /4/. Burada ν′ açısı, paralel daire projeksiyonu doğrultusunun(ϕ′), elipsin paraleldaire boyunca olan uzunluk deformasyonu katsayısına karşılık gelen ekseni ile yapmış olduğuaçıdır. (39) ifadesinde karekök içerisindeki değer, her durumda pozitif bir büyüklük olarakkarşımıza çıkar. Ancak karekök alındıktan sonra elde değerin, eğerh → ak → aise (+) pozitif olan değeri,ise (-) negatif olan değeri esas alınmalıdır.Kuzey-doğu çeyrek küre ve güney-batı çeyrek küre içinϑ = βϕ+ ν′ (40)ve kuzey-batı çeyrek küre ve güney-doğu çeyrek küre içinϑ = βϕ− ν′ (41)olarak hesaplanacak ϑ açısı x koordinat eksenininh → a olması durumunda elipsin büyük ekseni ile,k → a olması durumunda elipsin küçük ekseni ile yapmış olduğu açıdır.4. UYGULAMAYukarıda teorik olarak açıklanmaya çalışılan konu, bu çalışma çerçevesinde bir diziprojeksiyona uygulanmıştır. Deformasyon elipslerinin görselleştirilerek projeksiyonların,konunun uzmanı olmayan kullanıcılar tarafından da daha iyi değerlendirilmesini sağlamakamacıyla anılan uygulamalardan karakteristik ikisine aşağıda yer verilmiştir. Bunlarda biriparalel daire ve meridyen izdüşümlerinin birbirine dik olmaması nedeniyle gerçek anlamdaolmayan Winkel ve diğeri Mollweide projeksiyonudur.Projeksiyon eşitliklerinin kısmi türevleri alındıktan sonra sırasıyla (23), (24), (31), (28),(29), (33), (39), (40) ve (41) eşitlikleri kullanılarak deformasyon elipslerine ait parametreler30° aralıklı bir coğrafi ağ için bir bilgisayar programı altında hesaplanmış ve sonuçlar“SCRipt file” şeklinde bir çizim dosyası yaratılarak AutoCAD ortamına aktarılmıştır.Deformasyon elipsleri harita ölçeğinden 800 kat büyütülerek çizdirilmiştir. Örnek olarakalınan bu iki projeksiyona ait projeksiyon eşitlikleri, kısmi türevler ve elipslerin coğrafi paftaağı üzerindeki gösterimleri aşağıda sunulmaktadır.Gerçek anlamda olmayan ve yerkürenin tümden gösterilmesi sözkonusu olduğundadeformasyonların dengeli dağılması nedeniyle en uygun projeksiyonlardan biri olan WinkelProjeksiyonu 1921'de Alman Oswald Winkel (1873-1953) tarafından sunulmuştur.Projeksiyon eşitlikleri40

⎛ λ ⎞C = arccos⎜cos ϕ cos ⎟ D = 1−cos ϕ cos⎝ 2 ⎠olmak üzereλ22 2ve (42)⎡λ ⎤⎡CC ⎤⎢2cos ϕ sin1 sin ϕ 1⎥x = + ϕ y =2⎢+ λcosϕ0⎥2 ⎣⎢D ⎦⎥2 ⎢ D⎥⎣⎢⎦⎥ve (43)şeklinde verilmektedir /10/. Bunlara ait kısmi diferansiyeller ise⎡ λ ⎛⎢sin ϕ cos C cos ϕ⎜1− cos∂x⎝= ⎢ 2+∂ϕ ⎢ 2D3⎢2 D⎣2 2⎡ λ⎤ϕ∂x⎢sin2 sin2C ϕ ϕ λ=2 sin cos sin ⎥⎢−⎥∂λ ⎢ 8D38 D ⎥⎣⎢⎦⎥λ ⎞ ⎤⎟⎠⎥2 1+ ⎥2⎥⎥⎦λCsinϕsin∂ysin λsin2ϕ= − 2∂ϕ 4D3D⎡ 2 2 λλ 2 ⎤ϕ C ϕ ϕ∂y⎢cos sin cos cos sinϕ= 2⎥⎢+ 2 cos 0+ ⎥∂λ ⎢ 2D32 D2 ⎥⎣⎢⎦⎥(44)şeklindedir ( ϕ 0 = 50°. 467 ) /2/. Winkel projeksiyonu coğrafi pafta ağı ve deformasyonelipsleri Şekil-6’da gösterilmiştir.Şekil - 6: Winkel projeksiyonunda deformasyon elipsleri(Ölçek 1:300000000)Gerçek anlamda olmayan alan koruyan silindirik bir projeksiyon olan Mollweideprojeksiyonu 1805’de Alman Carl B. Mollweide (1774-1825) tarafından sunulmuştur.Projeksiyon eşitlikleri2θ+ sin 2θ = πsin ϕ(45)kapalı denklemine bağlı olarak41

2 2x = Rλcosθπy = 2Rsinθ(46)şeklinde verilmektedir /7,10/. (45) denklemif( θ) = θ+ sin θ− πsinϕ=2 2 0 (47)şeklinde yazılırsa herhangi bir ϕ enlemi için (47) denklemif θiθi+ = θi− ( )1f ′( θ )i(48)Newton-Raphson iterasyon formülü ile çözülerek θ değeri elde edilir. (47) denklemi vetürevi (48)’de yerine konduğundaθiθiπ ϕθi+ = θi− 2 + sin 2 − sin121 ( + cos 2θ)i(49)elde edilir.İterasyona seçilen bir θ 0 başlangıç değeri ile (θ 0 =ϕ ) girilir ve (47) denklemiistenilen doğrulukta sağlanana kadar devam edilir.Deformasyonların hesabı için gereken projeksiyon eşitliklerine ait kısmi diferansiyeller ise∂xπ cos ϕ=∂ϕ 2 2 cos θ∂yλ cos ϕ=− sin θ∂ϕ22 cos θ∂x∂λ∂y∂λ= 0(50)2 2= cos θπşeklindedirler. Buradan meridyen ve paralel daireler doğrultusundaki uzunlukdeformasyonu katsayıları2 2 cos θk =π cos ϕcos ϕh = 2 + 42 22 2 θ π λ tancosθ(51)olarak elde edilir. Mollweide projeksiyonu coğrafi pafta ağı ve deformasyon elipsleriŞekil-7’de gösterilmektedir.42

yayınları, 1977./5/ Maling, D.H. : Coordinate Systems and Map Projections, PergamonPress, 2 nd Edition, 1992./6/ Merkel, H. : Harita Projeksiyonları Bilgisi, İTÜ Kütüphanesi, Sayı:953, 1973./7/ Pearson II, F. : Map Projections, Theory and Applications, CRC Press,Inc. Boca Raton, Florida, 1990./8/ Richardus,P., R.K.Adler : Map Projections, for Geodesists, Cartographers andGeographers, North Holland Publishing Company, 1972./9/ Snyder, J.P. : Map Projections used by the U.S. Geological Survey, U.S.Geological Survey, Bulletin 1532, Washington,Government Printing Office, 1982./10/ Snyder,J.P., P.M.Voxland : An Album of Map Projections, U.S. Geological SurveyProfessional Paper 1453, Washington, GovernmentPrinting Office, 1989./11/ Tissot,N.A. : Netzentwürfe Geographischer Karten , Stuttgart B.Metzlersche Buchhandlung ,1887.44