Hata Kurami ve Parametre Kestirimi - Lisans Ders Notlari

GirişMatris HesabıHata KuramıBilinmesi gereken gerçeklerTemel kavramlarKonu ve kapsamTarihçeÖlçme uzunluk, ağırlık, zaman vb. fiziksel bir niceliğinbüyüklüğünün belirlenmesi için yapılan işlemdir.Doğada, bu niceliklerden her hangi birinin “kesin” ya da“gerçek” değerini veren ölçe tekniği yoktur.Bir ölçme işlemi sonucunda elde edilen gözlem değeri mutlakahatalarla yüklüdür.Gözlem değerlerinin gerçek değerden ne kadar saptığı kesinolarak bilinemez.Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

TanımlarGirişMatris HesabıHata KuramıTemel kavramlarKonu ve kapsamTarihçeHata kuramıBir ya da birden fazla hata kaynağının ölçülmüş veya hesaplanmışbir büyüklük üzerindeki etkisini incelemek ve hata büyüklüğü ilemeydana gelme olasılığı arasındaki ilişkiyi açıklamak için kullanılanbir kavramdır.Parametre kestirimiDeneysel yollarla elde edilmiş ve belirli bir dağılım kümesinden(örneğin normal) çıktığı varsayılan verilerden bilinmeyenparametrelerin veya fonksiyonlarının belirlenmesini ifade eder.Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıDengeleme hesabının amacıTemel kavramlarKonu ve kapsamTarihçeBir ölçme işleminde, gereğinden fazla ölçü arasındakitutarsızlıkları (ölçme sırasında ortaya çıkan hatalardankaynaklı) gidermekDengeleme hesabı öncesi, yapılan ölçülerin önsel (apriori)önceden tahmin etmekDengeleme hesabı sonrası, hataların kestirilen parametrelerüzerindeki yayılma etkilerini, başka bir deyişle sonsal(aposteriori) hatalarını hesaplamakAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Dersin amacıGirişMatris HesabıHata KuramıTemel kavramlarKonu ve kapsamTarihçeÖlçü ve hata kavramlarının tanımlama ve aralarındaki ilişkiyiaçıklama,Gereğinden fazla yapılmış ölçüleri kullanarak bilinmeyenparametreleri en uygun değerlerini belirleme,Jeodezik uygulamalar için en küçük kareler yönteminikullanma,Kestirilmiş parametreler için duyarlık ve güven ölçütlerinihesaplamabecerilerini kazandırmak.Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıDers notu ve diğer kaynaklarTemel kavramlarKonu ve kapsamTarihçeDemirel, H. (2005) Dengeleme Hesabı, 2. Baskı, YTÜBasım-Yayın Merkezi, İstanbul.Öztürk, E. (1987) Dengeleme Hesabı, Cilt I, KTÜ Basımevi,Trabzon.Öztürk, E., Şerbetçi, M. (1989) Dengeleme Hesabı, Cilt II,KTÜ Basımevi, Trabzon.Koch, K. R. (1999) Parameter Estimation and HypothesisTesting in Linear Models, Springer-Verlag, Berlin.Ghilani, C. D. ve Wolf, P. R. (2006) AdjustmentComputations: Spatial Data Analysis, John Wiley & Sons,Hoboken, New Jersey.Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıTemel kavramlarKonu ve kapsamTarihçeEn Küçük Kareler (EKK) yönteminin gelişimi1800 1810 1820 1830 1840 185018021806 1809182318431850C. F. Gauss, EKKyönteminin ilk başarılısonucunu aldıA. M. Legendre,EKK konusunda ilkkitabını yayımladı1821 1826Gauss, EKK ile ilgilibir dizi makaleyayımladıL. Gerling, “UygulamalıGeometrideEKK” adlı kitabınıyayımladıRheiner, EKK’yi I.derece nirengi dengelemesindekullandıAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıTemel kavramlarKonu ve kapsamTarihçeEn Küçük Kareler (EKK) yönteminin gelişimi (devam)1900 1910 1920 1930 1940 195019.yy sonu1907192419521956F. G. Gauss, EKK’yiII. ve düşük dereceliağlarına uygulanmasıkonusundaki kitabınıyayımladıHelmert, korelasyonlugözlemler için “EKKYöntemine GöreDengeleme Hesabı”nıyayımladıF. R. Helmert,EKK yöntemini geliştirilmişbiçimiyleyayımladıE. Gotthard, “DengelemeHesabıBağıntılarının MatrisGösterimi”niyayımladıJ. M. Tienstra,“Normal DağılmışGözlemlerle DengelemeKuramı”nıyayımladıAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

MatrisGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıMatris gösterimi:kalın, büyük harfA = A =m,nSütun sayısı=n⎛a 11 a 12 a 13 ... a ⎞ 1na 21 a 22 a 23 ... a 2n⎜. ⎝ . . . .. .⎟⎠a m1 a m2 a m3 ... a mnSatır sayısı=mMatris elemanı:italik, küçük harfAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

VektörGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıVektör gösterimi:kalın, küçük harfa =m,1⎛ ⎞a 1a 2⎜ ⎟⎝ . ⎠a mb = ( b 1 b 2)... b n1,nSütun vektör (n = 1) Satır vektör (m = 1)Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Matris türleriGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıDikdörtgen matris (m ≠ n)⎛⎞−1 0 5 −2A = ⎝ 2 1 0 1 ⎠3,43 4 −1 −3Kare matris (m = n)⎛B =3,3⎝−3 −1 25 4 −13 −2 3⎞⎠Köşegen matris (c i ∈ R)⎛⎞c 1 0 ... 00 c 2 ... 0C = ⎜n,n ⎝.. . ..⎟0 ⎠0 0 0 c mSkaler matris (d ≠ 0)⎛ ⎞d 0 ... 00 d ... 0D = ⎜n,n ⎝.. . ..⎟0 ⎠0 0 0 dAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Matris türleri (devam)GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıAlt üçgen matris⎛⎞l 11 0 ... 0l 21 l 22 ... 0L = ⎜n,n ⎝.. . ..⎟. ⎠l n1 l n2 ... l nnÜst üçgen matris⎛⎞u 11 u 12 ... u 1n0 u 22 ... u 2nU = ⎜n,n ⎝.. . ..⎟. ⎠0 0 ... u nnBirim matris⎛ ⎞1 0 ... 00 1 ... 0E = ⎜n,n ⎝.. . ..⎟0 ⎠0 0 0 1Sıfır matris⎛ ⎞0 0 ... 00 0 ... 00 = ⎜n,n ⎝.. . ..⎟0 ⎠0 0 0 0Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Matris türleri (devam)GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıSimetrik matris(a ij = a ji )B =3,3⎛⎝−3 −1 2−1 4 −12 −1 3⎞⎠Ters simetrik matris(a ij = −a ji ,a ii = 0)B =3,3⎛⎝0 −1 21 0 3−2 −3 0⎞⎠Blok matrisA =( )A11 A 12=A 21 A 22⎛⎜⎝1 4 −3 0 13 2 2 1 00A1 11 −8A0 12 5−1 3 7 −1 −6−2 0 −3 7 5A 21 A 225 −1 −6 4 3⎞⎟⎠Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Özel vektörlerGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıSıfır vektörü⎛ ⎞000 = ⎜ ⎟⎝.⎠0Bir vektörü⎛ ⎞111 = ⎜ ⎟⎝.⎠1Birim vektör: elemanlarından sadece biri bire eşit, diğerleri sıfır⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 0 0 0e 1 = ⎜0⎟⎝0⎠ , e 2 = ⎜1⎟⎝0⎠ , e 3 = ⎜0⎟⎝1⎠ , e 4 = ⎜0⎟⎝0⎠0 0 0 1Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

DeterminantGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabın × n boyutlu kare matrisin determinantı,⎛⎞a 11 a 12 ... a 1na 21 a 22 ... a 2ndetA = |A| = det ⎜⎝.. . ..⎟. ⎠a n1 a m2 ... a nnbiçiminde gösterilir ve i. satır elemanları için yazılan,detA = |A| =n∑(−1) i+k a ik |A ik | =k=1n∑a ik c ikk=1eşitliği ile hesaplanır. Burada |A ik |, a ik elemanının minörü;c ik = (−1) i+k |A ik | ise kofaktörüdür. |A ik |, A’nın i. satır ve k.sütun elemanları çizilerek elde edilen alt matristir (n − 1 boyutlu).Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Determinant (devam)GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıKofaktör kuralına göre 3 boyutlu bir matrisin determinantı,⎛ ⎞a 11 a 12 a 13|A| = det ⎝a 21 a 22 a 23⎠a 31 a 32 a 33∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣ a= a 22 a 23∣∣∣∣∣∣ a11 − a 21 a 23∣∣∣∣∣∣ aa 32 a 12 + a 21 a 22∣∣∣33 a 31 a 1333 a 32= a 11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 (a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 − a 22 a 31 )2 × 2 boyutlu alt matrislerin determinatları yardımıyla kolaycahesaplanabilir.a 31Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıDeterminant hesabına ilişkin bazı özelliklerDeterminant bir kare matris için geçerli reel bir sayıdır. Kare matris doğrusal birdenklem sisteminin katsayıları olarak verilmişse, determinantın sıfır olduğudurumda denklem sisteminin çözümü yoktur:detA = 0detA ≠ 0A → tekil (singular)A → düzenli (regular)Üçgen ve köşegen matrislerin determinantı köşegen elemanlarının çarpımına eşittir:detA = a 11a 22a 33 · · · a nnBir matriste iki sütun (veya satır) elemanları yer değiştirise determinant işaretdeğiştirir:A = `a)1 . . . a i a j . . . a n´A = `a⇒ detA = − detA1 . . . a j a i . . . a n´Bir matrisin devriğinin determinantı kendisinin determinatına eşittir:detA = detA TAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Gauss eleminasyonuGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabı01a 11 a 12 a 13 1. satır aynı@ a 21 a 22 a 23A 2. satır-( a 21a 11)*1. satıra 31 a 32 a 33 3. satır-( a 31a 11)*1. satır0a 11 a 121a 13@ 0 a 22 ′ a 23′ A 2. satır aynı0 a 32 ′ a 33′ 3. satır-( a′ 32)*2. satıra ′ 2201a 11 a 12 a 13@ 0 a 22 ′ a 23′ A0 0 a 33′′ 3. satır aynıDeterminant|A| = a 11a ′ 22a ′′33Algoritmadouble detg(double **A, int n){double det=0.0;double p =0.0;int i,j,k;for(k=0;k

Matrisin izi ve normuGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıKare bir matrisin izi, köşegen elemanlarının toplamıdır:iz(A) = a 11 + a 22 + ... + a nn =Matrisin normu, skaler bir büyüklüktür olup değişik normkurallarına göre hesaplabilir. Norm denilince akla genellikle satır vesütun vektörler için tanımlanan Öklit normu gelir:n∑Satır normu ‖A i ‖ = √ aij √a 2 = i1 2 + a2 i2 + ... + a2 inj=1n∑i=1∑Sütun normu ‖A j ‖ = √ n aij √a 2 = 1j 2 + a2 2j + ... + a2 nji=1a iiAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Matrisin rangıGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıRang r(A), A’nın tekil olmayan en büyük minörünün, başkadeyişle, bazı satır veya sütunların kapatılmasıyla elde edilen vedeterminantı sıfırdan farklı en büyük alt kare matrisinboyutudur.Kare matrislerde rang sıfır ile matris boyutu arasındadır:|An,nr(An,n| ≠ 0 ise r(A) = n.n,n0 ≤ r(A) ≤ nn,n) < n ise d = n − r(A) farkına rang bozukluğu denir.n,nHerhangi bir matris için r(A T ) = r(A) eşitliği geçerlidir.Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Matrislerin eşitliğiGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıA ve B matrisleri verilsin.m,n p,qm = p ve n = q olmak üzere her iki matrisin karşılıklı tümelemanları arasında,⎛⎞a 11 = b 11 a 12 = b 12 ... a 1n = b 1qa 21 = b 21 a 22 = b 22 ... a 2n = b 2qA = B = ⎜m,n p,q ⎝.. . ..⎟. ⎠a m1 = b p1 a m2 = b p2 ... a mn = b pqeşitlikleri sağlanıyorsa bu iki matris eşittir denir:Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıMatrisin devriği (transpozesi)Matris özellikleriMatris hesabıA matrisinin devriği denildiğinde satırları sütünlara, sütünlarım,nsatırlara dönüştürülmüş matris anlaşılır:⎛⎛a 11 a 12 ... a 1na 11 a 21 ... a m1A =m,n⎞⎞a 21 a 22 ... a 2n⎜⎝.. . ..⎟. ⎠ ⇒ a 12 a 22 ... a m2AT = ⎜n,m ⎝.. . ..⎟. ⎠a m1 a m2 ... a mn a 1n a 2n ... a mnBurada T üst indisi A’nın devrik olduğunu işaret eder (bununyerine A ∗ veya A ′ biçimleriyle de gösterilebilir).A = (A T ) TA = A T(A simetrik ise)Algoritmafor(i=0;i

Matris toplamıGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabım = p ve n = q olmak üzere iki matrisin toplamı,⎛⎞a 11 + b 11 a 12 + b 12 ... a 1n + b 1qa 21 + b 21 a 22 + b 22 ... a 2n + b 2qC = A + B = ⎜m,n m,n p,q ⎝.. . ..⎟. ⎠a m1 + b p1 a m2 + b p2 ... a mn + b pqile tanımlanır (fark için C = A + (−B) eşitliği yazılabilir).A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + CDeğişim öz.Birleşim öz.Algoritmaif(m==p && n==q)for(i=0;i

Matris çarpımıGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıİki matrisin çarpımı,C = Am,q m,nBp,qile gösterilir. Burada n = p olmalıdır. C matrisinin c ij elemanıA’nın i. satır ve B’nin j. sütun elemanlarının karşılıklı çarpımlarınıntoplamına eşittir:c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + ...a in b nj =Algoritman∑a ik b kjk=1if(n==p)for(i=0;i

GirişMatris HesabıHata KuramıMatris çarpımının özellikleriMatris özellikleriMatris hesabıMatris çarpımı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:A(BC) = (AB)CA(B + C) = (AB) + ACBirleşim öz.Dağılma öz.A ve B matrislerinin sağdan ve soldan çarpımları mümkün olsa bile matrisçarpımının değişim özelliği genellikle yoktur:AB ≠ BAE birim matris olmak üzere A ile çarpımı aşağıdaki sonucu verir:m,nA E = E A = Am,n n,n m,m m,n m,nBir matris çarpımının devriği, ters sırada matris devriklerinin çarpımına eşittir:(ABC) T = C T B T A TAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıMatris çarpımının özellikleri (devam)Eşit dereceli A ve B matrislerinin determinantı için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:det(AB) = detAdetB = detBdetA = det(BA)A 2 = AA = A eşitliğini sağlayan matrise eşgüçlü (idempotent) matris denir.Bir matris soldan devriği ile çarpılırsa simetrik matris elde edilir (Gauss dönüşümü):0101 a 1 b 1 c 1 01a 1 a 2 . . . a nA T A = @ b 1 b 2 . . . b nAa 2 b 2 c 2[aa] [ab] [ac]B@c 1 c 2 . . . c n..C. A = @[ab] [bb] [bc] A[ac] [bc] [cc]a n b n c nKöşeli parantezler toplam anlamındadır: [aa] = a1 2 + a2 2 + . . . + an.2a ve b sütun vektörleri tanımlansın. İki vektör arasında iki farklı çarpım sözkonusudur.a T b = c = a 1b 1 + a 2b 2 + . . . + a nb nab T = Cİç çarpım (sayı)Dış çarpım (matris)Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Bir matrisin tersiGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıTekil olmayan bir A matrisi,AA −1 = A −1 A = Eeşitliğini sağlıyorsa A −1 matrisine A’nın tersi denir. Ters matrisKramer kuralı olarak bilinen ve matrisin i. satır ve k. sütunelemanlarının kapatılmasıyla hesaplanan kofaktör elemanları(−1) i+k |A ik | yardımıyla bulunabilir:A −1 = adjA|A|= 1|A|⎛⎜⎝|A 11 | −|A 21 | |A 31 | ∓ ...−|A 12 | |A 22 | −|A 32 | ± ...|A 13 | −|A 23 | |A 33 | ∓ ...∓. ±. ∓.⎞⎟⎠. ..Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıMatris tersinin özellikleriMatris özellikleriMatris hesabıMatris tersi için aşağıdaki özellikler geçerlidir:(A −1 ) −1 = A(kA) −1 = k −1 A −1|A −1 | = |A| −1(ABC) −1 = C −1 B −1 A −1A = A T ⇒ A −1 = (A −1 ) TA = A −1 ⇒ A 2 = EKöşegen matrisin tersi, köşegen elemanlarının terslerinden oluşan yeni bir matristir:diag(d 1,d 2, . . . , d n) = diag(1/d 1,1/d 2, . . . , 1/d n)Bir üst üçgen matrisin tersi yine üst üçgen matris, alt üçgen matrisin tersi de yinealt üçgen matristir.Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıGauss-Jordan yöntemi ile ters matris hesabıYöntem tersi alınacak matrisin (A) sağına aynı boyutlu birimmatrisin yazılmasına ve soldaki matrisin birim matriseindirgenmesine dayanır. İndirgeme işlemleri sonucunda sağdakibirim matris ters matrise dönüşmüş olur (B = A −1 ):⎛⎞a 11 a 12 ... a 1n 1 0 ... 0( ) a 21 a 22 ... a 2n 0 1 ... 0A E = ⎜⎝.. . .. . . . . ..⎟. ⎠a n1 a n2 ... a nn 0 0 ... 1⇓⎛⎞1 0 ... 0 b 11 b 12 ... b 1n0 1 ... 0 b 21 b 22 ... b 2n⎜⎝.. . .. . . . . ..⎟. ⎠ = ( E B )0 0 ... 1 b n1 b n2 ... b nnAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıGauss-Jordan eleminasyonu (örnek)2 0 −1 1 0 0−1 3 −2 0 1 00 −1 1 0 0 12 0 −1 1 0 0 1.satır aynı0 3 − 5 111 0 *1.satır+2.satır2 2 20 −1 1 0 0 12 0 −1 1 0 00 3 − 5 11 0 2.satır aynı2 21 1 1 10 01 *2.satır+3.satır6 6 3 32 0 0 2 2 6 6*3.satır+1.satır0 3 0 3 6 15 15*3.satır+2.satır1 1 10 06 6 31 3.satır aynı1 0 0 1 1 3 *1.satır 210 1 0 1 2 5 *2.satır 30 0 1 1 2 6 6*3.satır1Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıPivotlama yardımıyla Gauss-Jordan eleminasyonuPivot tersi alınacak matrisin köşegenelemanına verilen addır. Köşegenelemanı sıfır ise sayısal olarakindirgeme işlemini yürütmekolanaksızlaşır; köşegeni sıfırdan farklıyapacak en uygun satır değişikliğinegidilir. Çözümün sayısal kararlılığıiçin genellikle en büyük eleman pivotolarak seçilir.Örnek:0@2 2 4 1 0 01 1 1 0 1 01 4 6 0 0 11AAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)2 2 4 1 0 00 0 −1 − 1 21 00 3 4 − 1 20 12 2 4 1 0 00 3 4 − 1 20 10 0 −1 − 1 21 04 42 00 − 2 3 3 30 3 4 − 1 0 120 0 −1 − 1 1 022343− 2 32 0 00 3 0 − 5 4 120 0 −1 − 1 1 02131 0 0− 1 3 30 1 0 − 5 4 16 3 310 0 1 −1 02Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)2

GirişMatris HesabıHata KuramıSimetrik bir matrisin tersiMatris özellikleriMatris hesabıSimetrik bir matris için tanım daha önce A = A T eşitliğiyleyapılmıştı. En Küçük Kareler, simülasyon, Kalman filtreleme vb.uygulamalarda pozitif tanımlı simetrik matrisler ile igilihesaplamalar çoğu kez kaçınılmaz olur. Böylesi matrislerinterslerinin alınması sıradan matrislere göre daha kolaydır.Simetrik bir matrisin tersi denilince akla gelen ilk yöntem Choleskyayrıştırmasıdır. Bunun dışında daha önce anlatılan Gaussalgoritması da kullanılabilir. Aslında bu yöntem matrisin simetriközelliğinden yararlanılarak kısaltılmış (üçgene indirgenmiş) birçözümdür. Bu nedenle modernleştirilmiş Gauss yöntemi olarak dabilinir.Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıCholesky ayrıştırması ve simetrik bir matrisin tersiCholesky ayrıştırması, simetrik pozitif tanımlı bir A matrisinin altüçgen matris ve onun devriğinin çarpımı biçiminde ayrıştırılmasıdır:0c 11 c 21 c 31 . . . c n1c 22 c 32 . . . c n2c 33 . . . c n3= C TB@. ... C .. A01c 11c 21 c 22C =c 31 c 32 c 33B@... C. .. Ac n1 c n2 c n3 . . . c nn1c0nn1a 11 a 12 a 13 . . . a 1na 22 a 23 . . . a 2na 33 . . . a 3n= A = CCB Sim.T@. ... C .. Aa nnAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıCholesky ayrıştırması (köşegen elemanları)a 11 = c11 2 ⇒ c 11 = √ a 11√a 22 = c21 2 + c2 22 ⇒ c 22 = a 22 − c212√a 33 = c31 2 + c32 2 + c33 2 ⇒ c 33 = a 33 − c31 2 − c2 32.a nn = c 2 n1 + c 2 n2 + ... + c 2 nn ⇒ c nn =.√a nn − c 2 n1 − c2 n2 − ... − c2 nn−1Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıCholesky ayrıştırması (köşegen olmayanlar)a 12 = c 11c 21 ⇒ c 21 = a 12/c 11a 13 = c 11c 31 ⇒ c 31 = a 13/c 11. . .a 1n = c 11c n1 ⇒ c n1 = a 1n/c 11a 23 = c 21c 31 + c 22c 32 ⇒ c 32 = (a 23 − c 21c 31)/c 22a 24 = c 21c 41 + c 22c 42 ⇒ c 42 = (a 24 − c 21c 41)/c 22. . .a 2n = c 21c n1 + c 22c n2 ⇒ c n2 = (a 2n − c 21c n1)/c 22a 34 = c 31c 41 + c 32c 42 + c 33c 43 ⇒ c 43 = (a 34 − c 31c 41 − c 32c 42)/c 33a 35 = c 31c 51 + c 32c 52 + c 33c 53 ⇒ c 53 = (a 35 − c 31c 51 − c 32c 52)/c 33. . .a 3n = c 31c n1 + c 32c n2 + c 33c n3 ⇒ c n3 = (a 3n − c 31c n1 − c 32c n2)/c 33Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Cholesky ayrıştırmasıGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabı∑i−1c ii = √ aii −k=1c 2 ik)c ji = 1 ∑i−1(a ij − c ik c jkc iik=1i = j içinj > i içinAlgoritmafor(i=0;i

GirişMatris HesabıHata KuramıCholesky ayrıştırması (2. aşama)Matris özellikleriMatris hesabıCholesky ayrıştırması yapılmış bir matrisin tersi:A = CC T ⇒ A −1 = (C T ) −1 C −1Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafı C T ile çarpılırsa,C T A −1 = C T (C T ) −1 C −1 ⇒ C T A −1 = EC −1 = C −101c 11 c 21 c 31 . . . c n1c 22 c 32 . . . c n2C T =c 33 . . . c n3B@. ... C .. Ac nnAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)01q 11 q 12 q 13 . . . q 1nq 12 q 22 q 23 . . . q 2nq 13 q 23 q 33 . . . q 3n= QB@.... ... C .. Aq 1n q 2n q 3n . . . q0nn11/c 11? 1/c 22? ? 1/c 33= C −1B@... C. .. A? ? ? . . . 1/c nnHata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıCholesky yöntemine göre matris tersiÖrneğin 3 × 3’lük bir matris için çözüm:c 33q 33 = 1c 33⇒ q 33 = 1c332c 22q 23 + c 23q 33 = 0 ⇒ q 23 = − 1 c 23q 33c 22c 11q 13 + c 12q 23 + c 13q 33 = 0 ⇒ q 13 = − 1c 11(c 12q 23 + c 13q 33)c 22q 22 + c 23q 23 = 1c 22⇒ q 22 = 1c 22( 1c 22− c 23q 23)c 11q 12 + c 12q 22 + c 13q 23 = 0 ⇒ q 12 = − 1c 11(c 12q 22 + c 13q 23)c 11q 11 + c 12q 12 + c 13q 13 = 1c 11⇒ q 11 = 1c 11( 1c 11− c 12q 12 − c 13q 13)Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Blok matrisin tersiGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıN =( )N11 N 12N 21 N 22ve Q = N −1 =( )Q11 Q 12Q 21 Q 22olsun. İki matris arasında NQ = diag(E,E) sonucu bulunmasıgerektiğindenQ 11 = N −111 + N−1 11 N 12Q 22 N 21 N −111Q 22 = (N 22 − N 21 N −111 N 12) −1Q 12 = −N −111 N 12Q 22Q 21 = −Q 22 N 21 N −111matris işlemleriyle bir blok matrisin tersi oluşturulabilir.Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Bir matrisin türeviGirişMatris HesabıHata KuramıMatris özellikleriMatris hesabıSkaler değişkene göre türev:B = dA(t)dt⇒b ij (t) = da ij(t)dty = f (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) = f (x) fonksiyonunun x’e göre türevi,a T = ∂y∂x = (∂y∂x 1∂y∂x 2· · ·)∂y∂x ndx = (dx 1 ,dx 2 ,...,dx n ) T olmak üzere y’nin diferansiyeli,skaler bir sayıdır.dy = a T dxAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıBir matrisin türevi (devam)Matris özellikleriMatris hesabıAynı vektör elemanlarına bağlı birden fazla fonksiyondan(y i = f i (x 1 ,x 2 ,... ,x n )) oluşan y = f(x) vektörünün x’e göre türevi,⎛∂y 1 ∂y 1 ∂y∂x 1 ∂x 2· · · 1∂x n∂y∂y∂x = 2 ∂y 2 ∂y ∂x 1 ∂x 2· · · 2∂x n⎜ .⎝ . . .. ⎟ . m×nve diferansiyeli,∂y m∂x 1∂y m∂x 2· · ·dy = Fdx⎞∂y m∂x n⎠ = File gösterilir. Burada F Jacobi matris olarak bilinir; dengelemehesabında hata yayılma kuralının uygulanamsı ve düzeltmedenklemlerinin oluşturulmasında karşımıza çıkar.Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Hata türleriGirişMatris HesabıHata KuramıHata türleri ve hata kuramıKaba hatalar: Dikkatsizlik ve özensizlik sonucu oluşurlar, işaretolarak düzensiz ancak beklenen hata miktarının çok üzerindedirler,çoğu kez kolay farkedilirler ve ölçü kümesinden çıkartılmaları gerekir,standart hatanın üç ile altı katı arasındakileri belirlemek zordur,istatiksel karar testleriyle uyuşumsuz olup olmadıklarına kararverilebilirDüzenli (sistematik) hatalar: Ölçme donanımından kaynaklanırlar veeşit çevresel koşullarda yakın büyüklüktedirler (genellikle aynıyönlü), ölçülerin kestirim değerlerinde model hatalarına nedenolurlar. Başka ölçme donanımlarıyla büyüklükleri kestirilebilirler veölçülere düzeltme olrak getirilebilirrlerDüzensiz (rasgele) hatalar: Dengeleme hesabının konusunuoluştururlar, ölçme donanınımlarının ve insan duyularınınyetersizlikleri ile modellenemeyen çevresel koşulların toplam etkisiolarak ölçülere yansırlarAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıRasgele hataların dağılımı (örnek)Hata türleri ve hata kuramı%h-22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22ε (mm)Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

GirişMatris HesabıHata KuramıRasgele hataların dağılımı (örnek)Hata türleri ve hata kuramı%h-22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22ε (mm)Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Normal (Gauss) dağılımGirişMatris HesabıHata KuramıHata türleri ve hata kuramıf(ξ)f(ξ) = 1 ξ 2σ √ 2π e− 2σ 2 −σ σ0ξAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Doğruluk ölçütleriGirişMatris HesabıHata KuramıHata türleri ve hata kuramıf(ξ)Yüksek doğrulukDüşük doğrulukµ − σ 2 µ − σ 1µ µ + σ 1 µ + σ 2ξAydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)

Güven aralığıGirişMatris HesabıHata KuramıHata türleri ve hata kuramıBir x rasgele değişkeninin µ ± kσ aralığında değer alma olasılığıP(µ − kσ < x < µ + kσ) = Φ(k) − Φ(−k) = 2Φ(k) − 1Çeşitli k değerleri için olasılıklark Φ(k) P(µ − kσ < x < µ + kσ)0.674 0.7498 0.5000.798 0.7875 0.5751.000 0.8413 0.6831.645 0.9500 0.9001.960 0.9750 0.9502.000 0.9772 0.9542.576 0.9950 0.9903.000 0.9987 0.997Aydın ÜSTÜN (Selçuk Üniversitesi)Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.25.10.10)