Math 101 Matematik I Dersnotlari Türev.pdf

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR#Tanım : O § MV olsun . Eğer Okümesinin herhangi iki noktasınıbirleştiren doğru parçası O kümesinin içinde kalıyorsa O'ya bir konveks küme adıverilir.Konveks kümeKonveks olmayan kümeTanım : 0 fonksiyonu Ò+ß,Ó'de sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer O œ ÖÐBßCÑÀB−Ò+ß,ÓveC 0ÐBÑ× kümesi, yani fonksiyonun grafiğinin üst tarafında bulunanbölge konveks ise 0 fonksiyonu konvekstir veya yukarı bükümlüdür denir.Örnek : 0ÐBÑ œ B # fonksiyonu konveks fonksiyondur. Yani O œ ÖÐBß CÑ ¸#B−MVß C B×kümesi bir konveks kümedir. Çünkü bu küme içinde alınanherhangi iki noktayı birleştiren doğrununtüm noktaları yine bu bölgededir.Türevle İlgili Teoremler :Kapalı bir aralıkta sürekli ve bu aralığın iç noktalarında türevlifonksiyonların arasında bazı ilişkiler vardır. Bu bölümde bununla ilgili teoremleriverip ispatını yapacağız.Teorem (Rolle Teoremi) :0 , Ò+ß ,Ó aralığında sürekli ve a B − Ð+ß ,Ñ noktasında türevli olsun. Eğer0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñwise Ð+ß ,Ñ aralığında 0 Ð-Ñ œ ! olacak şekilde en az bir - noktasıvardır.w0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ Ê b - − Ð+ß ,Ñ ½ 0 Ð-Ñ œ !İspat : 0 'nin Ò+ß,Ó ' de aldığı en büyük değer M , en küçük değer 7olsun.wEğer Qœ7ise fonksiyon sabit fonksiyon olur bu durumda aBiçin0 ÐBÑœ!olacağından teorem açıktır.Şimdi QÁ7 yani 7Qolsun. 0Ð+Ñœ0Ð,Ñolduğundan fonksiyon Qve7 değerlerini aralığın uç noktalarında olamaz. Kabul edelim ki 0 fonksiyonunun Qwdeğerini bir - − Ð+ß ,Ñ 'de alsın. Fermat teoreminden dolayı 0 Ð-Ñ œ ! olur. Böyleceteorem ispatlanmış olur.Not : 1) 0 ß Ò+ß ,Ó 'de sürekli ve Ð+ß ,Ñ de türevlenebilen ve 0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ ise eğrininen az bir noktasındaki teğeti O eksenine paraleldir. (teğetinin eğimi sıfırdır.)B Not : 2) 'de sürekli ve de türevli ve özel olarak ise0ß Ò+ß,Ó Ð+ß,Ñ 0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ œ !0 fonksiyonunun iki sıfır yeri (kökü) arasında türevinin sıfır olduğu en az bir yervardır.111© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®