Math 101 Matematik I Dersnotlari Türev.pdf

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARNot : 0ß Ò+ß,Ó de sürekli ve -ß. −Ð+ß,Ñ olsun. 0 fonksiyonu Ð+ß-Ñ'dewartan , Ð-ß ,Ñ 'de azalan yada 0 ÐBÑ ! fonksiyonu ise B œ - 'de bir yerelwmaksimuma sahiptir. Eğer 0 Ð+ß .Ñ 'de azalan , Ð.ß ,Ñ 'de artan yada 0 ÐBÑ ! ise .'de bir yerel minimuma sahiptir.$Örnek : 0ÐBÑ œ B #(B fonksiyonunun yerel ekstremmum noktalarını vedeğerlerini bulunuz.w # #0 ÐBÑ œ $B #( œ $ Þ ÐB *Ñ œ $ Þ ÐB $Ñ Þ ÐB $Ñinceleyelim.türevininişaretiniBu tabloya göre 0ÐBÑfonksiyonu Ð_ß $Óaralığında artan Ò$Þ$Óaralığında azalan ve Ò$ß _Ñ aralığında artandır. $ 'ün solunda artan sağındaazalan olduğundan Bœ $ de yerel maksimum ve benzer olarak da Bœ$ 'deyerel minimuma sahiptir.$Yerel maksimum değeri 0Ð$ÑœÐ$Ñ #(ÞÐ$Ñœ #( Þ Ð" $Ñ œ &%Þ$Yerel minimum değeri 0Ð$Ñ œ Ð$Ñ #( Þ Ð$Ñ œ #( Þ Ð" $Ñ œ &%Yerel extremum noktalarının sağında ve solunda türev farklı işaretlidir.Extremum noktalarında türev sıfırdır.Teorem (Fermat Teoremi) :0 À Ò+ß,ÓÄMV fonksiyonunun bir - −Ð+ß,Ñ noktasında bir yerelminimumu veya maksimumu varsa ve 0 fonksiyonu - noktasında türevlenebiliyorsaw0 Ð-Ñ œ ! dır.İspat : Kabul edelim ki 0 fonksiyonu - − Ð+ß,Ñ'de yerel maksimuma sahipolsun. Bu taktirde öyle bir $ − MV vardır ki ± B- ± $ şartını sağlayan herB için 0ÐBÑ Ÿ 0Ð-Ñ ± 2 ± $ olacak şekilde seçilen her 2 için - 2 ' da bukomşuluğa dahil olacağından 2 ister negatif ister pozitif olsun.0Ð- 2Ñ Ÿ 0Ð-Ñ Ê 0Ð- 2Ñ0Ð-Ñ Ÿ !dolayısı ile0Ð-2Ñ0Ð-Ñ2w2! için Ÿ! Ê0 Ð-ÑŸ!0Ð-2Ñ0Ð-Ñ22! için! Ê0 Ð-Ñ !f , c noktasında türevlenebilir olduğundan 2! yada 2! için0Ð-2Ñ0Ð-Ñlim2Ä!2107© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®ww w wœ 0 Ð-Ñ 0 Ð-Ñ œ 0 Ð-Ñ Ÿ !Not : 0 À Ò+ß,Ó Ä MV fonksiyonu için 0 - − Ð+ß,Ñve0 w Ð-Ñ œ 0 w Ð-Ñ ! olup 0 w Ð-Ñ œ !'de türevli ve