Math 101 Matematik I Dersnotlari Türev.pdf

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARTürev Notasyonu :TÜREVTürev bulma işlemine diferasiyel alma prosesi denir. Diferansiyel almaişlemine fonksiyonlar üzerinde bir operasyon olarak bakabiliriz ve bu operasyon 0 wile alakalı olup 0 'den türetilir. Eğer bağımsız değişken B ise diferansiyeloperasyonu sıklıkla aşağıdaki gibi gösterilir.w .w w.B B0 ÐBÑ œ Ò0ÐBÑÓß H Ò0ÐBÑÓß C ÐBÑ ß 0 ÐBÑ ß CÐBÑBu0 fonksiyonunun Bdeğişkeninegöre türevidir.. $ # # .Örnek : ÒB B Ó œ$B #Bß Ò7B8Óœ7ßÈ. ".BÒ BÓ œ# ÈB.B .BCœ0ÐBÑfonksiyonununBœB ! noktasındaki türevi..BÒ0ÐBÑÓ ¹Bœ"wœ 0 ÐB Ñ!olarak gösterilir.. $ # $ # ..BBœ".BÒB B Ó ¹ œ " " œ # ß Ò7B 8Ó¹œ 7 8 ß. w ..B .BÒCÓ œ 0 ÐBÑ ve ÒCÓ ¹ œ 0 ÐB ÑBœBw .C w .Cw w.B .B ! !BœB!w!Bœ"C œ œ0ÐBÑve¹ œCÐBÑ œ0ÐBÑ.C!.B C 'nin B 'e göre türevi olarak okunur. Bağımsız değişkenin değiştirilmesisonucu değiştirilemez..C w .Cw w.B .?! !?œ?C œ 0Ð?Ñ Ê œ C Ð?Ñ veya ¹ œ C Ð? Ñ œ 0 Ð? ÑÞDiğer notasyonlar :w0ÐBÑœlim0ÐB2Ñ 0ÐBÑ0ÐB˜BÑ 0ÐBÑœ2Ä!2lim˜BÄ!˜B!w0ÐBÑœ7œ limBir Aralığın Uç Noktalarındaki Türev :˜C˜BÄ!˜B>+8œlim˜BÄ!0ÐB˜BÑ0ÐBјBCœ0ÐBÑfonksiyonu Ò+ß,Óüzerinde tanımlanmış olsun.77© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAREğerw0ÐBÑœlim2Ä!0ÐB2Ñ0ÐBÑ2mevcut isew0ÐB2Ñ0ÐBÑ w0ÐB2Ñ0ÐBÑ2 2Ä! 20 ÐBÑ œ limve 0 ÐBÑ œ lim2Ä!mevcut ve eşit olduğunu biliyoruz. Buna göre Cœ0ÐBÑfonksiyonu Bœ, noktasındasoldan dif.lenebilir eğerw0Ð,Ñ œlim2Ä!0Ð,2Ñ0Ð,Ñ2mevcut isebenzer olarak Cœ0ÐBÑfonksiyonu Bœ+ noktasında sağdan dif.lenebilirdir denirw0Ð+2Ñ0Ð+Ñancak 0Ð+Ñ œ lim 2mevcut ise2Ä!Bir C œ 0ÐBÑ fonksiyonu Ò+ß ,Ó üzerinde dif.lenebilirse Ð+ß ,Ñ üzerinde 0ÐBÑwœ 0ÐBÑ a B − Ð+ß ,Ñ sağdan ve soldan dif.lenebilir ve ek olarak ta + ve ,wwnoktasında sırası ile 0 sağdan 0 Ð+Ñ ve soldan 0 Ð,Ñ dif.lenebilir olmalıdır.Diferansiyel Alma Teknikleri :Sabit Fonksiyonun Türevi :0ÐBÑ œ - Sabit fonksiyonunun grafiği 9B /5=/83 ne yatay olan birww wwdoğru olup bu doğrunun tanjant (teğet) doğrusunun eğimi her x için ! sıfırdır.Bunun için sabit fonksiyonun her B reel sayısı için türevinin sıfır olmasını bekleriz.wTeorem :Cœ0ÐBÑ œ- sabit fonksiyonunun türevi sıfırdır...B Ò-Ó œ !wİspat : C œ 0ÐBÑ œ - ve 0 ÐBÑ œ--2Ä!22Ä!œ lim œ lim! œ !Örnek : Cœ1ß/ß"ß#ß8ß7ßÞÞÞ..B ÒCÓ œ !B 'in kuvvetlerinin türevi :lim2Ä!0ÐB2Ñ0ÐBÑ2Teorem : Eğer 8 bir pozitif tamsayı ise, o zaman8. 8 8" 8 8 5 85.BÒB Óœ8ÞB ÐBCÑ œ!ˆ ‰5B ÞC5œ!İspat :Cœ0ÐBÑ œB 8 olsun türevin tanımını ve binomial açılımı kullanarakˆ8‰8x5œÐÐ85ÑxÞ5xÑ78© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARw . 8 0ÐB2Ñ 0ÐBÑ ÐB2Ñ B.B2Ä!22Ä!20 ÐBÑ œ ÒB Ó œ limœ limˆ8‰8x5œÐÐ85ÑxÞ5xœ limÑ8 8ˆ 8 ‰ 2 ˆ 8 ‰ 2 B ˆ 8 ‰ 2 B ÞÞÞ ˆ 8‰! " # 8B B2Ä!2œ lim8 8" 8# # 8 88 8" 8ÞÐ8"Ñ 8# # 8 8#x2 82 B 2 B ÞÞÞB B2Ä!28" 8# Ð8 Þ Ð8"ÑÑ 8$ # 8"œ limÒ2 8 2 2 B ÞÞÞÞ 8B2Ä!#xœ8B 8""! * ! $ #.B .B .B. . .Örnek : ÒB Ó œ"!Bß ÒBÓ œ"ÞBß ÒBÓœ$BTeorem : 0 fonksiyonu B noktasında dif.lenebilir ve - herhangi bir sabit olmaküzere. ..BÒ-0ÐBÑÓ œ -.B.İspat : Ò-0ÐBÑÓÒ0ÐBÑÓ œ -Þ0 ÐBÑ-Þ0ÐB2Ñ-Þ0ÐBÑ.Bœ lim2Ä!2w0ÐB2Ñ0ÐBÑœ-Þlim2Ä!2œ - Þ..BÒ0ÐBÑÓ œ - Þ 0 ÐBÑ. ) . ) (Örnek : Ò"!B Ó œ "! Þ ÒB Ó œ "! Þ ) ÞB ß.B .B. "! . "!.BÒB Ó œ ".B. B " ..BÒ1Ó œ1 .BÒBÓÒB ÓßwToplamın ve Farkın Türevleri :Teorem : 0 ve 1 fonksiyonları dif.lenebilir iki fonksiyon olsun buna göreÐ0 1Ñ ve Ð0 1Ñ 'de dif.lenebilirdir.Ð01ÑÐB2Ñ Ð01ÑÐBÑ.B2Ä!2.İspat : Ò0 1Ó ÐBÑ œ lim0ÐB2Ñ1ÐB2Ñ0ÐBÑ1ÐBÑœ lim2Ä!20ÐB2Ñ 0ÐBÑ 1ÐB2Ñ 1ÐBÑœ lim2Ä!22Ä!2œ lim79© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARÖnce tanımı uygular payı ve paydayı organize ettikten sonra paya 0ÐBÑÞ1ÐBÑekleyip çıkarırsak ispat aşikar olur.0ÐB2Ñ.1ÐB2Ñ.BÒ0ÐBÑ Î 1ÐBÑÓ œ lim2Ä!20ÐB2ÑÞ1ÐBÑ0ÐBÑÞ1ÐB2Ñœ lim2Ä!2Þ1ÐBÑÞ1ÐB2Ñ0ÐBÑ1ÐBÑ0ÐB2Ñ Þ 1ÐBÑ 0ÐBÑ Þ 1ÐBÑ Ò0ÐBÑ Þ 1ÐB2Ñ 0ÐBÑ Þ 1ÐBÑÓœ lim2Ä!2Þ1ÐBÑÞ1ÐB2Ñ0ÐB2Ñ 0ÐBÑ1ÐB2Ñ 1ÐBÑ"2Ä!22Ä!2 lim1ÐBÑÞ1ÐB2Ñœ Ò 1ÐBÑ Þ lim 0ÐBÑ Þ lim Ó Þ Ò Ó. . "œ Ò 1ÐBÑ Þ.BÒ0ÐBÑÓ 0ÐBÑ Þ.BÒ1ÐBÑÓÓ ÞÒ1ÐBÑÓÞ #B" .B% .BÖrnek : 0ÐBÑ œ % ise Ò0ÐBÑÓ œ ?#2Ä!"1ÐBÑFonksiyonunun Türevi :Bölümün türevinde0ÐBÑ œ "alırsak. ".BÒ1ÐBÑÓ.B 1ÐBÑ Ò1ÐBÑÓ#Ò Ó œ ." " "B ÐB"Ñ"! B$ $B#$B$Örnek : 0ÐBÑ œ ß 1ÐBÑ œ ß 2ÐBÑ œYüksek Dereceden Türevler :w ww w w www ww w w w w0 ß 0 œ Ð0 Ñ ß 0 œ Ð0 Ñ œ ÒÐ0 Ñ Ó ÞÞÞ8 8. Ð8Ñ..B .B8 œ 0 ÐBÑ œ Ò0ÐBÑÓ Þw ww www Ð8ÑC ß C ß C ß ÞÞÞ ß C# $ 8.C .C .C .C.Bß.B# ß.B$ ß ÞÞÞ ß.B8#B ß B Ÿ !Örnek : 0ÐBÑ œ œ #olarak verilen 0ÐBÑfonksiyonuB #ß B !için lim 0 ÐBÑ œ lim 0 ÐBÑ olduğunu fakat 0 Ð!Ñ 'ın mevcut olmadığını gösteriniz.BÄ!w w wBÄ! #0ÐBÑB ß B Ÿ ! wœ œ $0 Ð!ÑBß B!ww'ın mevcut fakat 0 Ð!Ñolmadığını gösteriniz.'ın mevcut81© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR$B ß B Ÿ "0ÐBÑ œ œ0 'nin B œ "+B ,ß B "olması için + ve , değerleri ne olmalıdır?#noktasında dif.lenebilir) #Örnek : Kabul edelimki 0ÐBÑ œB #B #B" olsunbuna göre limw w www www0 Ð#2Ñ0 Ð#Ñ 0 ÐBÑ 0 Ð"Ñve lim2Ä!2BÄ"B"ßwwww0 Ð"2Ñ 0 Ð"Ñlim2Ä!282© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARTRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİW38Bß G9=Bß >+8Bß -9>Bß =/-Bve -=-Bgibi trigonometrikfonksiyonların türevlerini bulmak için, B radyan olarak kabul edilecek ve aşağıdakilimitlere ihtiyacımız olacaktır. Bunlar :=382 "-9= 2lim2Ä!22Ä!2œ" ve lim œ!ÞW38BveG9=B fonksiyonlarının türevleri ile işe başlayalım..=38 ÐB2Ñ =38 B.BÒ W38BÓ œ lim2Ä!2..B=38 B Þ -9=2 -9= BÞ=382=38Bœ lim2Ä!2-9= 2" -9= BÞ=38 22Ä!22Ä!2-9= 2" =38 2lim Š -9= B lim2Ä!2‹2Ä!2œ lim =38B Š ‹ limœ =38 BÞœ =38 BÞ! -9= B Þ"Ò W38BÓ œ -9=BÞ.Benzer olarak.BÒ -9=BÓ œ =38 B olarak elde edilir. Geri kalan trigonometrikfonksiyonların türevleri ise sırası ile:.# #.BÒ>+8 BÓ œ ">+8 B œ =/- B.# #.BÒ-9>BÓ œ Ð"-9> BÑœ -=- B..BÒ=/- BÓ œ =/-BÞ>+8B..BÒ-=- BÓ œ -=-BÞ-9>BBu türevler trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkilerden elde edilir. Bunlar ;=38B -9=B " ">+8B œ-9=Bß -9>B œ=38Bß -=-B œ=38 Bß =/-B œ-9= BÞÖrneğin >+8B 'in türevi :. .. . =38B -9=B.BÒ=38BÓ=38B .BÒ-9=BÓ.BÒ>+8 BÓ œ.BÒ-9=BÓ œÒ-9=BÓ## #-9= B=38 B "#œ-9=# Bœ-9=#Bœ =/- B.# #.BÒ>+8 BÓ œ ">+8 B œ =/- B#ÖRNEK: 0ÐBÑ œ Ð"B ÑÞ>+8B fonksiyonunun türevini bulunuz.w # #0 ÐBÑ œ Ð" B Ñ=/- B #BÞ>+8BCœ =38B .C"-9=B .B. ..CÐ"-9=BÑÞ.BÒ=38BÓ=38B.BÒ"-9=BÓ.BœÐ"-9=BÑ#ÖRNEK: Eğer ise, türevini bulunuz.Ð"-9=BÑÞ-9=B=38B=38B# #-9=B-9= B=38 BÐ"-9=BÑ# œÐ"-9=BÑ#"-9=B " "Ð"-9=BÑ # "-9=B -9=B"œœ œ œ2.yol:=38B Ð"-9=BÑCœ # œ À ’ “ œ"-9=B . "-9=B "=38 B =38B .B =38B -9=B".ÖRNEK: CÐBÑ œ =/- B ise.B#’ =/-B“¹ 1#83© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®Bœ%

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR#.C . C. ..B .B .B .B#œ =/-BÞ>+8Bß # œ =/-BÞ ’ >+8B“ >+8B ’ =/-B“œ =/-BÞ=/- B >+8BÞ=/-BÞ>+8B# #œ =/-B ’ =/- B >+8 B“#œ=/-B ’"#>+8B“#.C1 # 1 #.B#1Bœ% % È#¹ œ =/-Ð Ñ ’" #>+8 Ð Ñ“ œ Ð" #Ñ œ $ È#%# =38B#ÖDEV: 0ÐBÑ œ B -9=B 0ÐBÑ œB-9=B0ÐBÑ œ ÐB "Ñ-=-B-=-B=/-B# #0ÐBÑ œ">+8B0ÐBÑ œ>+8B0ÐBÑ œ =38 B-9= B# # =38B =/-B0ÐBÑœ-9=2B=382B 0ÐBÑœ"B#>+8B"0ÐBÑ œ B=38B B-9=B 0ÐBÑ œ =38BÞ-9=B0ÐBÑ œ >+8BÞ-9>B0ÐBÑ œ =/-BÞ-9=BÖRNEK: Kabul edelim ki güneş 100 m yüksekliğindeki bir binanın üzerindenyükseliyor ve ) da güneşin yükselme açısı olsun. ) =45° olduğunda binanıngölgesinin uzunluğu B ' deki değişim oranının ) ya bağlı olarak bulunuz."!! "!!Bœ >+8B Ê B œ>+8) œ "!! -9>)BÐ) Ñ œ "!! -9>).B .B1.) œ "!!-=-Ð) Ñ Ê.) ¹)1œ%%œ "!!-=-Ð Ñœ "!! Ð#È #ÑÖRNEK: Bir uçak 3800 mt yükseklikte yere paralel olarak uçuyor ve uçakla1kule arasındaki uzaklık = ise buna göre yolun ) 'ya bağlı değişim oranı ) œ'olduğunda ne olur?$)!!=.=Ð)Ñ.) )1 1 1=Ð'Ñ œ $)!! -=-'-9>'1È$' #1 12 'azaldı,sin ) œ=Ð) Ñ œ $)!!Þ-=-Ð)Ñ)œ $)!! Ð -=- -9> Ñ=Ð Ñ œ $)!!Þ#Þ œ $)!! È$ Ðyani azalma var)Ä $)!! Ä $)!! È$+ rttı.84© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARÖRNEK: Dünyanın yarıçapı < œ '$() km ve uydu ile uydunun kontrolmerkezine olan uzaklığı 2olsun. Buna göre 2'nin )'ya bağlı değişim oranın ) œ $! °olduğunda bulunuz.< -9=)B =38)2=rÐ-=-) "Ñ >+8) œ Ê B œ < -9>)œ +8BveB œ > > > ise.A .A .B# $ #.>œ.BÞ.>œ Ð" >+8 BÑÞÐ%> $> "Ñ# % $ $ #œ=/- Ð> > >ÑÞÐ%> $> "ÑÖRNEK:# $$0ÐBÑœÐB B"!Ñ#À?œB B"!0Ð?Ñ œ Ð?Ñ $$.0œ.0 .? $# # $#œ $$? Ð#B "Ñ œ $$ÐB B "!Ñ ÞÐ#B "Ñ.B .? .B. # . %ÖRNEK: ÐÑ a.BÒ=38ÐB ÑÓÐÑ b.BÒ>+8ÐB "ÑÓÐÑ c’ È B# -=-B “ ÐÑ d$ '’ Ð"B >+8BÑ “ÐÑ e.B .B.’ È#=38Ð " -9=B Ñ“ÐÑ f eger # =secÈA> à A œ =,>..B .BÖRNEK:ÐÑEger aCœE-9=ÐA>Ñise#.C.>##.C.>##œ ACÞÐÑEger b C œ E=38Ð$>Ñ ise #C œ %=38Ð$>ÑÞÖRNEK: CœB-9=Ð$BÑfonksiyonunun Bœ1noktasındaki teğetinindenklemini bulunuz." BCœŠ B ‹ ßBœ#$$Cœ=38Ð"B ÑßBœ $Þ85© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARZİNCİR KURALI :Problem : Kabul edelim ki 0 ve 1 fonksiyonlarının diferansiyellenebilir iki fonksiyonolsunlar, o zaman Ð091ÑÐBÑ œ 0Ð1ÐBÑÑ 'in türevini nasıl bulabiliriz.C œ Ð091ÑÐBÑ œ 0Ð1ÐBÑÑ À ? œ 1ÐBÑ Ê.C. ..B .B .Bœ ’ 0Ð1ÐBÑÑ“ œ ’ 0Ð?Ñ“. .?.? .Bœ ’ 0Ð?Ñ“ ’ 1ÐBÑ“. ..? .Bœ ’ 0Ð?Ñ“ ’ 1ÐBÑ“.?.Bwœ 1 ÐBÑTeorem : 1ÐBÑ fonksiyonu B noktasında diferansiyellenebilir ve 0ÐBÑ fonksiyonu 1ÐBÑnoktasında diferansiyellenebilir ise Ð091ÑÐBÑ fonksiyonu B noktasındadiferansiyellenebilir. Burada ;.C .C .?.B .? .BCœ0Ð1ÐBÑÑ ve ?œ1ÐBÑ ise Cœ0Ð?Ñolupœ Þ%ÖRNEK : Cœ$-9=ÐB "Ñ%?œB " ÊCœ$-9=Ð?Ñ.C .C .? $ % $.Bœ.? .Bœ $ =38Ð?ÑÐ%B Ñ œ $ =38ÐB "Ñ Þ %B$ %œ "# B =38 ÐB "Ñ.C .0Ð?Ñ .? w .?Eger Cœ0Ð?Ñ Ê œ œ0Ð?ÑTers Fonksiyonların Türevi :.B .? .B .BA,B § IR ve 0 À E Ä F birebir ve örten bir fonksiyon olsun. 0 fonksiyonuwB! − E da diferansiyellenebilir ve 0 ÐB!Ñ Á ! ise"0 À F Ä E fonksiyonu da C œ 0ÐB Ñ da diferansiyellenebilir ve! !Ðf" wÑ ÐC Ñ œ!"0 w ÐB Ñ!0 ÐCÑ0 ÐC ÑBB!.C CÄC CC! 0ÐBÑ0ÐB Ñ!CœC0ÐBÑÄ0ÐB Ñ!!. "!İspat : Ò0 ÐC!ÑÓ º œ limœ lim!œ limBÄB" "" "œ! 0ÐBÑ w0ÐBÑ0ÐB Ñ! BB !0 fonksiyonu B œ B! da dif.lenebilir olduğundan aynı zamanda süreklidir. 0 ÐC!Ñda C 'da süreklidir. Bunun için C Ä C için B Ä B dır.! ! !!"86© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR"! )Örnek : 0ÐBÑœB B "!B À0ÀMVÄMV..Cy"Ò0 ÐCÑÓ º bulunuz.Cœ"#"! )! ! !œ "# ve "# œ B B "! BÊB œ" !" w " "0ÐBÑ w 0Ð"Ñ wÐ0 Ñ Ð"#Ñ œ œ!œ" "œÐ"!B* )B( "!Ñ ¹#)B!œ"Ters trigonometrik Fonksiyonların Türevi :Ð0" w "ÐBÑÑ œ0ÐCÑ w 1 1# #1) C œ ++8C87© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR" "…BÈB" # ±B± ÈB"#œ œ Ð ± B ± "ÑBenzer şekildew "±B± È B#"Ð+

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR# # $ #Örnek : JÐBßCÑœ#BC BC B #C #B œ! fonksiyonunun Bœ"noktasındaki türevini hesaplayınız...BÒJ ÐBß CÑÓ ¹Bœ"ßCœ"œ# w # w # wœ%BC #B C C #BCC $B %CC # œ!"w # # #C Ð#B #BC%CÑ œ "$B C %BCCw¹Bœ"ßCœ"œ # #$B C %BC"#B##BC%C"œ $"%" *##%"œ"C œ +

#> œ "!B %.0ÐBÑ.Bœ.0 .>.>Þ.BœYrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARdersek">Ð691 $ /ÑÐ#!BÑ#!B"!B#% $œ 691 /Not:0ÐBÑ œ 691+ Ò?ÐBÑÓ ise.0ÐBÑ.Bœ.0 .?.?Þ.Bœ"?ÐBÑ +Þ 691 Ò/ÓÞ? ÐBÑwÖrnek : 0ÐBÑ œ M8Ð>+8BÑ için 0 Ð Ñw1%türevini hesaplayınız.ww #Ð>+8BÑ ">+8 B #>+8B >+8B "0 ÐBÑ œ œ œ œ #Üstel Fonksiyonların Türevi :+ − MV Ö"× olmak üzere 0ÐBÑ œ + şeklinde tanımlanan 0 À MV ÄMV logaritma fonksiyonunun ters fonksiyonu olduğundaBCœ+ Ê Bœ691+CB w " "Ð691 CÑ w "691 /Ð+ Ñ œ œ+œC691+ /Bœ+ 691+ /B w BÐ+ Ñ œ + M8+C +B w BÖzel olarak +œ/ ise Ð/ Ñ œ/ M8/œ/ BB90© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR-9=BÖrnek : 0ÐBÑœB À0 Ð Ñw1$M8Cœ BÞ-9=BÞM8Bw-9=BBC œ BÞ-9=BÞÒ =38BÞM8BÓœ 1 " $ " È$1$ # 1 # # $ÞÐ ÑÞÒ Þ Þ M8Ð ÑÓHiperbolik Fonksiyonların Türevleri :¹1Bœ$w w #1) Ð-9=2BÑ œ =382B 3) Ð>+82BÑ œ =/-2 Bw w #2) Ð=382BÑ œ -9=2B 4) Ð-9>2BÑ œ -9=/-2 Bw5) Ð=/-2BÑ œ =/-2B Þ >+82Bw6) Ð-=-2BÑ œ -=-2B Þ -9>2BÖrnek :C œ =382Ð?ÐBÑÑ À ?ÐBÑ œ >denilirseC œ =382Ð>Ñolup zincir kuralında.C .C .> w w.B .> .Bœ Þ œ -9=2Ð>Ñ Þ ? ÐBÑ œ -9=2Ð?ÐBÑÑ Þ ? ÐBÑÖrnek : C œ =382ÐM8BÑCw "œ -9=2ÐM8BÑÞB/ / " B "# B # BM8B M8B "BœÒ ÓÞ œÒ ÓÞ#œ B"#B#Örnek :C œ ++8Ð>+82BÑ.C Ð>+82BÑ#=/-2 B.Bœ">+82# Bœ">+82#B0 Ð!Ñ œ œ "w ""!w92© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARÖrnek : 0ÐBÑ œ M8 Ð=382Ð+BÑÑ M8Ð-9=2Ð+BÑÑœM8Ð=382Ð+BÑ-9=2Ð+BÑÑœ M8Ð>+82Ð+BÑÑw Ð>+82Ð+BÑÑ + =/-2 Ð+BÑ>+82Ð+BÑ >+82Ð+BÑ0 ÐBÑ œ œw ##Þ" / /////=/-2ÐBÑ œ ß >+82ÐBÑ œB B B B# / /////=/-2Ð+Ñ œ ß >+82Ð+Ñ œ+ + + +BB+ +w0 Ð"Ñ œ# #+=/-2 Ð+ Ñ>+82Ð+#ÑCÐBÑ œ 0ÐBÑ1ÐBÑM8CÐBÑ œ M80ÐBÑ M81ÐBÑw w wC 0 1Cœ01ww 0 0 1w w1 0 1C œ Ò Ó œ 0 0 0 1w 0 0 Þ1 1Þ0 0 Þ11 1# 1#C œ œww w w wCÐBÑ œ 0ÐBÑ Þ 1ÐBÑM8 CÐBÑœ M8 Ð0Þ1ÑÐBÑw w wC ÐBÑ 0 ÐBÑ 1 ÐBÑCÐBÑœ0ÐBÑ1ÐBÑœ80ÐBÑM81ÐBÑwC ÐBÑ œ 0 ÐBÑ Þ 1 ÐBÑ ÒÓw w wC ÐBÑ œ 1ÐBÑ Þ 0 ÐBÑ 0ÐBÑ Þ 1 ÐBÑÈÐ"B%Ñ$ #Örnek : CÐBÑ œ B Ð "$B ÑÖrnek :BCÐBÑ œ B ÞBÐ"B Ñ=38B"# $B"Örnek :CÐBÑ œ$ # "Î$ÐB &Ñ Þ ÐB #ÑÈ'B#BÖrnek :0ÐBÑ œÐB"ÑÞÐB"ÑÞÐB#Ñ93© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR$ #œB #B B#w #0 ÐBÑ œ $B %B "œ!˜B œ"B œ#œ"' %Þ$ÞÐ"Ñœ#)%# È( # È(#Þ$œ$%# È( # È(#Þ$œ$Üstel Fonksiyonun Türevi :+ − MV ˜" Bolmak üzere 0ÐBÑ œ + şeklinde tanımlanan0ÀMVÄMV fonkisyonu logaritma fonksiyonunun ters fonksiyonu olduğundanBœ+ ÍB œ691+ Cdir. Bu nedenleCB w " "Ð691 CÑ w "Þ691 / /Ð+ Ñ œ œ œ C Þ 691 +B w BÐ+ Ñ œ + Þ M8+Özel olarak+C +B w B+œ/ alınırsa Ð/ Ñ œ/$ #"!B B "!BÖrnek : Cœ/ için C'nin türevini hesaplayınız.$ # ?? œ "!B B "!B dersek C œ /olurZincir kuralından.C .C .? ? #.B .? .Bœ Þ œ / ÞÐ$!B #B "!Ñ.C.Bœ /$ #"!B B "!B #Ð$!B #B "!ÑGenel olarak?ÐBÑ w w ?ÐBÑÒ+ Ó œ? ÐBÑÞ+ ÞM8+ve?ÐBÑ w w ?ÐBÑÒ/ Ó œ ? ÐBÑ Þ /94© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR=38Ð"!BÑÖrnek : 0ÐBÑ œ "! için 0 Ð!Ñ'ın türevini hesaplayınız.w w =38Ð"!BÑ0 ÐBÑ œ Ð=38"!BÑ Þ "! Þ M8"!œ "! -9=Ð"!BÑ Þ "!w0 Ð!Ñ œ "! Þ M8"!w=38Ð"!BÑÞM8"!Hiperbolik Fonksiyonların Türevi :Daha önceki bölümde gördüğümüz gibi, hiperbolik fonksiyonlarB B B B////# #-9=2ÐBÑ œ ß =382ÐBÑ œ=382B -9=2ÐBÑ "-9=2B =382ÐBÑ >+82B>+82ÐBÑ œ ß -9>2ÐBÑ œ œ" "-9=2ÐBÑ=382ÐBÑ=/-2ÐBÑ œ ß -=-2ÐBÑ œolarak tanımlanmışlardı.1) 0ÐBÑ œ -9=2ÐBÑ fonksiyonunun türevi :wB B B B// w //# #Ð-9=2BÑ œ Ð Ñ œ œ =382ÐBÑ#Ñ 0ÐBÑ œ =382ÐBÑ fonksiyonunun türevi :wB B B B// w //# #Ð=382ÐBÑÑ œ Ð Ñ œ œ -9=2ÐBÑ3) 0ÐBÑ œ >+82ÐBÑ fonksiyonunun türevi :wÐ>+82ÐBÑÑ œ Ð Ñ œ# #œ">+82 ÐBÑ œ=/-2 ÐBÑ=382ÐBÑ w -9=2ÐBÑ Þ -9=2ÐBÑ =382ÐBÑ Þ =382ÐBÑ-9=2ÐBÑ Ð-9=2ÐBÑÑ #4) 0ÐBÑ œ -9>2ÐBÑ fonksiyonunun türevi :w w -9=2ÐBÑ w=382ÐBÑ0 ÐBÑ œ Ð-9>2ÐBÑÑ œ Ð Ñ œ=382ÐBÑ Þ =382ÐBÑ -9=2ÐBÑ Þ -9=2ÐBÑ=382#ÐBÑ# #œ " -9>2 ÐBÑ œ -9=/-2 ÐBÑ95© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR5) 0ÐBÑ œ =/-2ÐBÑ fonksiyonunun türevi :w"-9=2ÐBÑw=382ÐBÑ-9=2#ÐBÑ0 ÐBÑ œ Ð Ñ œ œ =/-2ÐBÑ Þ >+82ÐBÑ6) 0ÐBÑ œ -9=/-2ÐBÑ fonksiyonunun türevi :w"=382ÐBÑw-9=2ÐBÑ=382#ÐBÑ0 ÐBÑ œ Ð Ñ œ œ -9=/-2ÐBÑÞ -9>2ÐBÑbağlantıları elde edilir.wwÖrnek : C œ =382Ð?ÐBÑÑ ise C ÐBÑ œ ? ÐBÑ Þ -9=2Ð?ÐBÑÑBurada ?ÐBÑ œ > denirse C œ =382Ð>Ñ ve.C .C .> .>.Bœ.>Þ.Bœ -9=2Ð>ÑÞ.BwÖrnek : C œ >+82ÐM8ÐBÑÑ için C türevini bulunuz. C Ð!Ñ 'ı hesaplayınız..C .C .>.B .> .Bœ Þ burada > œ M8ÐBÑdirœ=/-2 Ð>ÑÞ# " #"Bœ=/-2 ÐM8ÐBÑÑÞB" " # "B / / Bœ Þ œ Þ/ M8ÐBÑ/M8ÐBÑ M8ÐBÑ M8ÐBÑ#.C.Bœ # BÞ " "" œB B#"w # #!" # "C Ð!Ñ œ œ œ #B# w wÖrnek : C œ 0ÐBÑ œ ++8Ð>+82ÐB ÑÑ için 0 Ð!Ñ ve 0 ÐÈM8#Ñ'nintürevlerini hesaplayınız.w#? œ >+82B dersek 0ÐBÑ œ ++8Ð?ÐBÑÑolurw .0 .0 .? " .?.B .? .B "?#.B0 ÐBÑ œ œ Þ œ Þ# .?#.B@ œ B dersek ?ÐBÑ œ >+82Ð@ÐBÑÑ olup œ =/-2 Ð@ÐBÑÑ.@.?# # #œ =/-2 Ð@ÐBÑÑ œ =/-2 ÐB Ñ Þ Ð#BÑ Þ Buna görew " .@ "# #"@# .B "Ð>+82# ÐB#ÑÑ0 ÐBÑ œ Þ œ Þ =/-2 ÐB Ñ Þ Ð#BÑw "#">+82#Ð!Ñ0 Ð!Ñ œ Þ =/-2 Ð!Ñ Þ Ð# Þ !Ñ œ !w0 ÐÈ"#M8#Ñ œ Þ=/-2 ÐM8#Ñ Þ #ÞÈM8#">+82#ÐM8#Ñ96© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR" $M8# M8#/ / #$/M8#/M8#"#&&# #>+82ÐM8#Ñ œ œ œ œve# ## # # %/M8#/M8# "#&&=/-2ÐM8#Ñ œ œ œ œ# #wBunlara göre 0 ÐÈ" "'M8#Ñ œ Þ Þ# È* M8#" #&#&"Ÿ#Ÿ/"'M8" Ÿ M8# Ÿ M8/ œ Þ# È "'$%M8# œ"(ÞÈM8#!ŸM8#Ÿ" œ Ÿ "'"(w M8$Örnek : 0ÐBÑ œ M8Ð>+82Ð&BÑÑ M8Ð=382Ð&BÑÑ için 0 Ð&Ñhesaplayınız.'ün türeviniw w #w Ð>+82Ð&BÑÑ Ð=382Ð&BÑÑ =/-2 Ð&BÑ -9=2Ð&BÑ>+82Ð&BÑ =382Ð&BÑ >+82&B =382Ð&BÑ0 ÐBÑ œ œ &Þ &Þ#w M8$ =/-2 ÐM8$Ñ -9=2ÐM8$Ñ& >+82ÐM8$Ñ =382ÐM8$Ñ$0 Ð Ñ œ & Þ &Þ œ &Þ Ò " $ $ Ó' # "! $ #Ð Ñ Ð Ñ) "! )%Î& $ &% % %Ð#Ñ#$$"$ " $"$ " $$"! $ &œ&ÞÒ Ó œ&ÞÒ Ó œ &Ò Ó œ&Þ#œ"!$ $ $Ters Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri :1) 0ÐBÑ œ +

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARw w " "-9=2ÐCÑ "B=382ÐCÑ œ B olup Ð-9=2ÐCÑÑ C œ " Ê C œ œ++82ÐCÑ œ B olup =/-2 ÐCÑ Þ C œ " Ê C œ=/-2 # C# # w ">+82 ÐCÑ œ B Ê C œ"B ## # #" >+82 ÐCÑ œ =/-2 ÐCÑ œ " BBenzer olarak fonksiyonunun tersini bularak çözdüğümüzdeC////C#BC C C CC C œB Ê/ / œB/ B/#C #CÊ/ "œB/ B#C #C "B/ Ð"BÑ œ "B Ê / œ"B"B " "B"B # "B#C œ M8Ð Ñ ve C œ M8Ð Ñ Ð ± B ± " ÑÐ"BÑ Ð"BÑÒ Ów " " " "#"BÐ"BÑ Ð"BÑ "BÐ"B#ÑC œ Þ œ Þ œolarak bulunur."B#98© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR%Ñ Benzer olarak C œ +ÐBÑfonksiyonunun türevini hesaplayalım.# w-9>2ÐCÑ œ B Ê Ð" -9>2 ÐCÑÑÞ C œ "-9>2ÐCÑ œ BÊ C œ +2ÐBÑ" B"œ#M8ÐB"Ñœ"#ÒM8ÐB "Ñ M8ÐB "ÑÓw " " "C œ#ÒB" B"Ó" B"B" " "# B " B " "Bœ Ò Ó œ œw " ""-9>2 ÐCÑ "BSonuç olarak C œ œ# # ## #5) Benzer olarak Cœ+

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARParametrik Denklemi Verilen Fonksiyon Türleri :0 À E § MV Ä MV fonksiyonu C œ 0ÐBÑ bağıntısı ile verildiği gibiB œ ?Ð>Ñ ve C œ @Ð>Ñ biçiminde de verildebilir. Bu bölümde fonksiyonun.Cparametrik olarak verilmesi halinde.Btürevinin nasıl bulunabileceğinigöstereceğiz.Burada C œ 0ÐBÑ fonksiyonunun B 'in ve ?Ð>Ñ ve @Ð>Ñ 'de > 'nintürevlenebilen birer fonksiyon olsunlar. Buna göre˜B œ ?Ð> ˜>Ñ ?Ð>Ñ ß ˜C œ @Ð> ˜>Ñ @Ð>Ñolduğundan˜C@Ð>˜>Ñ@Ð>ј>˜B œ ?Ð>˜>Ñ?Ð>Ñ yazılabilir. ve fonksiyonları dif.lenebilir olduklarından˜>süreklidirler. Dolayısı ile ˜t Ä ! Í ˜B Ä !ÞBuna görew0ÐB2Ñ 0ÐBÑ 0ÐBÑ 0ÐB Ñ ˜C2Ä!2 BÄB!BB!˜BÄ!˜B!C œ lim œ lim œ lim.C.Bœ lim Ò Ó œ˜>Ä!@Ð>˜>Ñ@Ð>Ñ .@˜> .>?Ð>˜>Ñ?Ð>Ñ .?˜>.>bulunur..C.C .C.?.B .B .> .>Buna göre œ.>Þ œ İ ve œ Ú ile gösterilirse.>.C w.?œC œ İ Ú, biçiminde yazılabilir.Örnek :BÐ>Ñ œ + Þ -9=Ð7>ÑCÐ>Ñ œ + Þ =38Ð7>Ñparametrik denklemiyle verilen bağıntının >œ$7ß( 7Á! için) anındakitürevini bulunuz..C.C .> +Þ7Þ-9=Ð7>Ñ.B .B +Þ7Þ=38Ð7>Ñœ œ œ -9=Ð7>Ñ.>1w1$C Ð Ñ œ"È$Örnek :>œ!>BÐ>Ñ œ / Ð" -9=Ð>ÑÑ>CÐ>Ñ œ / Ð" =38Ð>ÑÑw1ise C Ð Ñœ?>.C /Ð"-9=>=38>Ñ.B />Ð"=38>-9=>Ñœ Ê C Ð!Ñ œ !wÖrnek :>BÐ>Ñ œ / Þ =38Ð>Ñ ve B œ +Ð-9=Ð>Ñ >=38Ð>ÑÑ>CÐ>Ñ œ / Þ -9=Ð>Ñ C œ +Ð=38Ð>Ñ >-9=Ð>ÑÑ100© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR#.C.>#yi bulunuz.?Ð>Ñ @/ @Ð>Ñ Türevlenebilen Fonksiyonlar Olmak ÜzereFonksiyonunun İkinci Mertebeden Türevi :C œ 0ÐBÑw .CC œ.?œİÚww. w ..? .?İÚÊ C œ ÒC Ó œ Ò Óww . İ .>.> Ú .?C œ ÞÒ ÓÞ œ..>ÞÒ.?.>İÚÓœCwwÞ? w? wwÞCwÐ? w# Ñ? www w ww w#.?ww C Þ? ? ÞC.B# œC œÐ? w Ñ$Örnek : BÐ>Ñ œ + Þ -9=Ð7>Ñ ÊwB œ + Þ 7 Þ =38Ð7>ÑCÐ>Ñ œ + Þ =38Ð7>ÑwC œ + Þ 7 Þ -9=Ð7>ÑBCww #œ +Þ7 Þ-9=Ð7>Ñœ +Þ7 Þ=38Ð7>Ñww ## $ # # $ ##.C + Þ7 Þ=38 Ð7>Ñ+ Þ7 Þ-9= Ð7>Ñ.B# œ+$Þ7$ Þ=38$Ð7>Ñ" # #"1+ =38$Ð7>Ñ $7œ Þ Ò=38 Ð7>Ñ -9= Ð7>ÑÓ Þ > œ" $ " " " ) " %+ % % $ È$Þ#+ $ È$ + $ È$œ ÞÒ ÓÞ œ Þ œ ÞYüksek Mertebeden Türevler :% #w .C w wC œ 0ÐBÑ fonksiyonu verildiğinde C 'nin 1.türevi C œ.Bœ 0 ÐBÑ eğer C#ww .C . .C Ð#Ñtürevlenebilirse C œ œ ÞÒ Ó œ 0 ÐBÑ.B#.B .BBenzer olarak eğer..B8"8"türevlenebilirseÐ8Ñ. ..B .B8"Ð8ÑC œ Ò Óœ0 ÐBÑ8"Örnek :' $ #CÐBÑ œ 0ÐBÑ œ B "!B $B B" içinÐ&Ñ0 Ð"Ñhesaplayınız.türeviniw & #C œ 'B $!B 'B "CCCww %œ $!B '!B 'www $œ "#!B '!wwww #œ $'!B101© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARwwwwwÐ&ÑC œ (#!B Ê C Ð"Ñ œ (#!Örnek : CœM8ÐBÑfonksiyonu için y Ð"ÑÐ8Ñdeğerini bulunuz.w " ww # www $BC ÐBÑ œ ß C ÐBÑ œ B ß C ÐBÑ œ " Þ # Þ B ßwwww % Ð8Ñ 8" 8C ÐBÑœ "Þ#Þ$ÞB ÞÞÞ C ÐBÑœÐ"Ñ ÞÐ8"ÑxÞB ß8 œ "ß #ß $ß ÞÞÞÐ8Ñ 8"C Ð"Ñ œ Ð "Ñ Ð8 "Ñ x+B Ð8ÑÖrnek : Cœ/ fonksiyonu için 0 Ð!Ñtürevini hesaplayınız.w +B w w # +B Ð8Ñ 8 +BC ÐBÑ œ + Þ / ß C ÐBÑ œ + Þ / ß ÞÞÞ ß C ÐBÑ œ + Þ /Ð8Ñ 8 B Ð8Ñ B Ð8ÑC Ð!Ñœ+ Þ Eğer +œ" ise Cœ/ ve C ÐBÑœ/ ßC Ð!Ñœ"B Ð8Ñ 8 B Ð8ÑBenzer olarak + œ " ise C œ / ve C ÐBÑ œ Ð "Ñ Þ / , y Ð!Ñ œÐ"Ñ 8 Cœ-9=2ÐBÑ ÊC ÐBÑœÒ Ó œÐ8Ñ// Ð8Ñ /Ð"Ñ Þ/# #B B B 8 B8Ð8Ñ "Ð"Ñ "ß 8 œ #5C Ð!Ñ œ#œ œ!ß 8 œ #5 "Ð8Ñ// Ð8Ñ /Ð"Ñ Þ/# #C œ =382ÐBÑ Ê C ÐBÑ œ Ò Ó œB B B 8 BÐ8ÑÐ8Ñ "Ð"Ñ !ß 8 œ #5C Ð!Ñ œ#œ œ"ß 8 œ #5 "102© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR""BÖrnek : CÐBÑ œ œ Ð" BÑw # w w $C ÐBÑ œ Ð" BÑ ß C ÐBÑ œ "Þ#ÞÐ" BÑ ß"www %C ÐBÑ œ "Þ#Þ$ÞÐ" BÑ ÞÞÞCCÐ8Ñ 8 Ð8"ÑÐBÑœÐ"Ñ ÞÐ"BÑÐ8Ñ 8 8Ð!Ñ œ Ð "Ñ Þ Ð"Ñ œ Ð "Ñ ßÐ8Ñ 8 Ð8"ÑC Ð"Ñ œ Ð "Ñ Þ Ð# Þ Ð8 "ÑÑ""B" Ð8Ñ Ð8"ÑÖrnek : CÐBÑ œ œ Ð" BÑ Ê C ÐBÑ œ Ð" BÑÐ8Ñ Ð8Ñ " " 8"Ê C Ð!Ñ œ " ß C Ð"Î#Ñ œ Ð Ñ œ #Birbirine Bağlı Oranlar :# 8"Problem : Bir göktaşı okyanusa düşüyor ve düştüğü yerde halkalar oluşturuyor.Bu halkaların yarıçapı 6 cm/sn lik oranla artıyor ise 3. sn 'de çemberlerinalanındaki değişim oranı ne olur ?Eœ 1 < # ß .œ'-7Î=8ß >œ$=8 .>#B Þ #C Þ œ !.C.B ) Þ #%.> .> # Þ 'C œ ' œ B Þ Î #C œ œ "' 7Î=8#103© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARProblem : Helyum gazı ile şişirilen küre şeklindeki bir balonun < yarıçapınınartma oranı , < œ "! -7 olduğunda !Þ) -7Î=8 'dir.Buna göre :(i) Bu anda balonun hacmindeki değişme oranı nedir ?(ii) Bu anda balonun alanındaki değişim oranı nedir ?(ii) Kürenin$=8sonraki hacmindeki ve alanındaki değişim oranı nedir?.< .@ . œ $ =8 < œ "! #Þ% œ "#Þ% ¹ œ !Þ).@ %.> $# $Ð+Ñ ¹ œ Þ 1Þ $ ÞÐ"#Þ%Ñ Þ Ð!Þ)Ñ œ "'%Þ!" 1 œ &"&Þ#&% -7 Î=8# .E .E . .< .>Ð,ÑE œ%Þ1Þ< Ê œ Þ œ)Þ1Þ< ¹ ÞÐ!Þ)Ñ#œ ) Þ 1 Þ Ð"#Þ%Ñ Þ Ð!Þ)Ñ œ (*Þ$' -7 Î=8

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARProblem : ) metreye "& metre boyutundaki bir levha ile köşelerinden eşit parçaalınarak (kesilerek) maximum hacimli bir kutu yapılmak isteniyor. Buna görekutunun boyutlarını bulunuz. Maximum hacimi bulunuz.Z ÐBÑœ ÐBÑ Þ Ð) #BÑ Þ Ð"& #BÑ#œ Ð)B #B Ñ Þ Ð"& #BÑZ ÐBÑ$ #œ %B %'B "#!Bw #Z ÐBÑ œ "#B # Þ %' Þ B "#! œ !w # #$Z ÐBÑœB $ÞB"! œ!#$ ##$ %! Þ * "'*$ * *˜ œÐ Ñ %Þ"Þ"! œ œ$ * $ $B œ œ œ œ '"ß#œ"! &'œ$#$ "'*… É#$ "$… "## # ##& "% $& & "% $&$ $ $ $ $ $Boyutları ß ve Þ Maximum hacim = Þ Þ œ *!Þ(%!( 7 $Problem : Yarıçapı ' 7 yüksekliği "! 7 olan bir düzgün koni 'nin içinemaximum hacimli bir düzgün silindir konmak isteniyor. Buna göre silindirinyüksekliğini ve yarıçapını bulunuz. Maximum hacmi nedir ?İstenen silindirin hacmi : @œ1 Þ< # Þ2ÞBenzer üçgenleri kullanarak"!2 < "!2 & $!&

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARProblem : Kapalı silindir şeklinde bir kutu "!!! -7 $ sıvı tutabiliyor. Bu silindirien az malzemeyle yapmak için bu cismin yüksekliğini ve yarıçapını bulunuz.# #Wœ# 1< Þ2# 1

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARNot : 0ß Ò+ß,Ó de sürekli ve -ß. −Ð+ß,Ñ olsun. 0 fonksiyonu Ð+ß-Ñ'dewartan , Ð-ß ,Ñ 'de azalan yada 0 ÐBÑ ! fonksiyonu ise B œ - 'de bir yerelwmaksimuma sahiptir. Eğer 0 Ð+ß .Ñ 'de azalan , Ð.ß ,Ñ 'de artan yada 0 ÐBÑ ! ise .'de bir yerel minimuma sahiptir.$Örnek : 0ÐBÑ œ B #(B fonksiyonunun yerel ekstremmum noktalarını vedeğerlerini bulunuz.w # #0 ÐBÑ œ $B #( œ $ Þ ÐB *Ñ œ $ Þ ÐB $Ñ Þ ÐB $Ñinceleyelim.türevininişaretiniBu tabloya göre 0ÐBÑfonksiyonu Ð_ß $Óaralığında artan Ò$Þ$Óaralığında azalan ve Ò$ß _Ñ aralığında artandır. $ 'ün solunda artan sağındaazalan olduğundan Bœ $ de yerel maksimum ve benzer olarak da Bœ$ 'deyerel minimuma sahiptir.$Yerel maksimum değeri 0Ð$ÑœÐ$Ñ #(ÞÐ$Ñœ #( Þ Ð" $Ñ œ &%Þ$Yerel minimum değeri 0Ð$Ñ œ Ð$Ñ #( Þ Ð$Ñ œ #( Þ Ð" $Ñ œ &%Yerel extremum noktalarının sağında ve solunda türev farklı işaretlidir.Extremum noktalarında türev sıfırdır.Teorem (Fermat Teoremi) :0 À Ò+ß,ÓÄMV fonksiyonunun bir - −Ð+ß,Ñ noktasında bir yerelminimumu veya maksimumu varsa ve 0 fonksiyonu - noktasında türevlenebiliyorsaw0 Ð-Ñ œ ! dır.İspat : Kabul edelim ki 0 fonksiyonu - − Ð+ß,Ñ'de yerel maksimuma sahipolsun. Bu taktirde öyle bir $ − MV vardır ki ± B- ± $ şartını sağlayan herB için 0ÐBÑ Ÿ 0Ð-Ñ ± 2 ± $ olacak şekilde seçilen her 2 için - 2 ' da bukomşuluğa dahil olacağından 2 ister negatif ister pozitif olsun.0Ð- 2Ñ Ÿ 0Ð-Ñ Ê 0Ð- 2Ñ0Ð-Ñ Ÿ !dolayısı ile0Ð-2Ñ0Ð-Ñ2w2! için Ÿ! Ê0 Ð-ÑŸ!0Ð-2Ñ0Ð-Ñ22! için! Ê0 Ð-Ñ !f , c noktasında türevlenebilir olduğundan 2! yada 2! için0Ð-2Ñ0Ð-Ñlim2Ä!2107© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®ww w wœ 0 Ð-Ñ 0 Ð-Ñ œ 0 Ð-Ñ Ÿ !Not : 0 À Ò+ß,Ó Ä MV fonksiyonu için 0 - − Ð+ß,Ñve0 w Ð-Ñ œ 0 w Ð-Ñ ! olup 0 w Ð-Ñ œ !'de türevli ve

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARw0 Ð-Ñ œ ! olması, fonksiyonun - noktasında bir extremuma sahip olmasınıgerektirmez. Yani Fermat Teoreminin karşıtı her zaman doğru değildir."$$ w #Örnek : 0ÐBÑ œ Þ B " 0 À MV Ä MV 0 ÐBÑ œ B œ ! için"$Bœ!0ÐBÑœ$ÞB " için 0Ð!Ñœ" ne yerel maksimuma ne de yerelminimuma sahiptir.Not : Fonksiyon bir noktada yerel ekstremuma sahip olduğu halde onoktada türevli olmayabilir. Örneğin :0ÐBÑœB#Î$ß1ÐBÑœ ±B±w# "$ È $ Bfonksiyonları için 0 ÐBÑ œ Þ olup B ! ise 0 ÐBÑ ! ßwB! ise 0 ÐBÑ!Bœ! için 0Ð!Ñœ! bir yerel minimumdur fakat Bœ!noktasında 0ÐBÑ œ B #Î$ fonksiyonunun türevi yoktur.wBenzer şekilde 1ÐBÑœ ±B± için B! ise 1 ÐBÑœ "! ve B! ise 1wwÐBÑ œ " ! olup 1ÐBÑ B œ ! 'da yerel minimuma sahip 1Ð!Ñ œ ! Þ Fakat 1 ÐBÑBœ!noktasında türevi mevcut değildir.Tanım : 0À+©MVÄMV fonksiyonu için 0 Ð-Ñœ! şartını sağlayan -noktasına 0 fonksiyonunun duraklama yada kritik noktaları denir." #&& $Örnek : 0ÐBÑ œ&ÞB $ÞB "! fonksiyonunun varsa kritik noktalarınıbulunuz. Bunlardan hangileri yerel ekstremum noktalarıdır ?w % # # # #0 ÐBÑ œ B #& Þ B œ B Þ ÐB #&Ñ œ B Þ ÐB &Ñ Þ ÐB &Ñ œ !ÊB œB œ!ßB œ &ßB œ&" # $ %Kritik noktalar kümesi ˜!ß &ß & türevin işaret tablosu yapılırsa :bulunur. Tablodan görüldüğü gibi , Bœ & 'de yerel maksimum Bœ& 'deyerel minimum vardır. Bœ! kritik noktası bir ekstremum nokta değildir." & #& $& $Cœ0ÐBÑœ B B "!ww108© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARÖrnek : 0ÐBÑ œ BÞ/ B fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını vedeğerlerini bulunuz.wB0 ÐBÑ œÐB"ÑÞ/ œ!ÊBœ "0Ð"Ñ œ " /Teorem : 0 À Ò+ß ,Ó Ä MV fonksiyonunun kritik noktalarını c " ß - # ß ÞÞÞ ß - : ßtürevsiz olduğu noktalar D" ß D# ßÞÞÞß D

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARvardır.İspat :ww(ii) Eğer 0 Ð-Ñ ![(concave up) conkav] ise - 'de bir yerel maksimumw(i) 0 ÐBÑ œ 1ÐBÑ olsun. Buna göre 1 Ð-Ñ ! 'dır. 1 artandır.1ÐBÑ1Ð-Ñœ! B- için , !œ1Ð-Ñ1ÐBÑB-Þ0 ÐBÑ!ß B- ve !0 ÐBÑ BwO haldew0 fonksiyonu -noktasında bir yerel minimuma sahiptir.(ii) ' de benzer olarak ispatlanabilir.&Örnek : EÐ#ß !Ñ noktasının C œ ÈBeğrisine olan uzaklığını bulunuz.& &É # ## #. œ ÐB Ñ B Ê 0ÐBÑ œ ÐB Ñ Bww0 ÐBÑœ#B% œ!ÊBœ#kritik yada duraklama noktasıdır.Ê.œ $ #ww # *%0 ÐBÑœ#! olduğundan 0Ð#Ñyerel minimumdur. 0Ð#Ñœ. œÐ ÑÖrnek : 0ÐBÑ œ BM8B #B şeklinde tanımlanan 0 À MV Ä MVfonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulunuz.w "0 ÐBÑ œ M8B BÞB # œ M8B " # œ M8B "w0ÐBÑœ! ÊM8Bœ" ÊBœ/olur.ww" ww "B /0 ÐBÑ œ Ê 0 Ð/Ñ œ !olduğunda Bœ/yerel minimum noktasıdır.Yerel minimum değeri 0Ð/Ñ œ / Þ M8Ð/Ñ # Þ / œ / #/œ /olur.110© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR#Tanım : O § MV olsun . Eğer Okümesinin herhangi iki noktasınıbirleştiren doğru parçası O kümesinin içinde kalıyorsa O'ya bir konveks küme adıverilir.Konveks kümeKonveks olmayan kümeTanım : 0 fonksiyonu Ò+ß,Ó'de sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer O œ ÖÐBßCÑÀB−Ò+ß,ÓveC 0ÐBÑ× kümesi, yani fonksiyonun grafiğinin üst tarafında bulunanbölge konveks ise 0 fonksiyonu konvekstir veya yukarı bükümlüdür denir.Örnek : 0ÐBÑ œ B # fonksiyonu konveks fonksiyondur. Yani O œ ÖÐBß CÑ ¸#B−MVß C B×kümesi bir konveks kümedir. Çünkü bu küme içinde alınanherhangi iki noktayı birleştiren doğrununtüm noktaları yine bu bölgededir.Türevle İlgili Teoremler :Kapalı bir aralıkta sürekli ve bu aralığın iç noktalarında türevlifonksiyonların arasında bazı ilişkiler vardır. Bu bölümde bununla ilgili teoremleriverip ispatını yapacağız.Teorem (Rolle Teoremi) :0 , Ò+ß ,Ó aralığında sürekli ve a B − Ð+ß ,Ñ noktasında türevli olsun. Eğer0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñwise Ð+ß ,Ñ aralığında 0 Ð-Ñ œ ! olacak şekilde en az bir - noktasıvardır.w0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ Ê b - − Ð+ß ,Ñ ½ 0 Ð-Ñ œ !İspat : 0 'nin Ò+ß,Ó ' de aldığı en büyük değer M , en küçük değer 7olsun.wEğer Qœ7ise fonksiyon sabit fonksiyon olur bu durumda aBiçin0 ÐBÑœ!olacağından teorem açıktır.Şimdi QÁ7 yani 7Qolsun. 0Ð+Ñœ0Ð,Ñolduğundan fonksiyon Qve7 değerlerini aralığın uç noktalarında olamaz. Kabul edelim ki 0 fonksiyonunun Qwdeğerini bir - − Ð+ß ,Ñ 'de alsın. Fermat teoreminden dolayı 0 Ð-Ñ œ ! olur. Böyleceteorem ispatlanmış olur.Not : 1) 0 ß Ò+ß ,Ó 'de sürekli ve Ð+ß ,Ñ de türevlenebilen ve 0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ ise eğrininen az bir noktasındaki teğeti O eksenine paraleldir. (teğetinin eğimi sıfırdır.)B Not : 2) 'de sürekli ve de türevli ve özel olarak ise0ß Ò+ß,Ó Ð+ß,Ñ 0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ œ !0 fonksiyonunun iki sıfır yeri (kökü) arasında türevinin sıfır olduğu en az bir yervardır.111© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR% # wÖrnek : 0ÐBÑ œ B %B $ olsun. 0 ÐBÑ œ !birer sınır bulunuz.denkleminin kökleri için% # # #0ÐBÑ œ B %B $ œ ÐB $Ñ Þ ÐB "Ñ œ ÐB È$Ñ Þ ÐB È$Ñ ÞÐB "Ñ Þ ÐB "Ñolduğundanw0 ÐBÑ œ !denkleminin üç reel kökü vardır.B œ È$ß B œ "ß B œ "ß B œ È$" # $ %0Рȇ$Ñœ0Ð"Ñœ! olup bB −Ð Èw ‡$ß"ѽ0 ÐBÑœ!" "‡ w ‡# #0Ð"Ñ œ 0Ð"Ñ œ ! olup b B − Ð"ß"Ñ ½ 0 ÐB Ñ œ !0Ð"Ñ œ 0Рȇ$Ñ œ ! olup b B − Ð" ß È w ‡$Ñ ½ 0 ÐB Ñ œ !$ $w $ #Gerçekten 0 ÐBÑœ%B )B œ!Ê%BÐB #Ñœ! ʇB œ È ‡ ‡#ßB œ!ßB œ È#" # $olur.Örnek :Rolle teoreminden faydalanarak5x % %!B $ $B # ) œ !denklemininÐ!ß "Ñ aralığında bir köke sahip olduğunu gösteriniz.& % $0ÐBÑœB "!B B )Bdersekw % $ #0 ÐBÑ œ &B %!B $B ) olur. Diğer taraftan 0Ð!Ñ œ ! œ 0Ð"Ñwolduğundan 0 ÐBÑ œ ! olacak şekilde en az birB−Ð!ß"Ñvardyr. Dolayısı ile% $ #&B %!B $B "# œ ! denkleminin bir kökü B − Ð!ß "ÑTeorem :(Diferansiyel Hesabın O.D.T)0 À Ò+ß,Ó ÄMV fonksiyonunun Ò+ß,Ó de sürekli ve a B−Ð+ß,Ñ'detürevlenebilir olsun. Bu taktirdew0ÐBÑœ !0Ð,Ñ0Ð+Ñ,+olacak şekilde en az bir x! −Ð+ß,Ñvardır.İspat : KÀÒ+ß,ÓÄMVßKÐBÑœ0ÐBÑ5Bolarak tanımlayalım5 œ sabit K Ò+ß ,Ó 'de süerkli ve Ð+ß ,Ñ 'de türevlidir. Şimdi 5 değerini KÐ+Ñ œ KÐ,Ñolacak şekilde seçelim. 0Ð+Ñ5+ œ 0Ð,Ñ5,112© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR0Ð,Ñ0Ð+Ñ0Ð,Ñ0Ð+ÑÊ 5 œ ,+Þ Buna göre KÐBÑ œ 0ÐBÑ ,+B Þ KÐBÑ Rolle Teoremininwbütün şartlarını sağlar. Bu yüzden K ÐB Ñ œ ! olacak şekilde bB − Ð+ß,Ñvardır.! !w w 0Ð,Ñ 0Ð+Ñw! ! ,+!ÊK ÐBÑœ0 ÐBÑœ!Ê0 ÐBÑœ0Ð,Ñ0Ð+Ñ,+Sonuç : 0@/1ßÒ+ß,Óaralığında sürekli ve bu aralığın iç noktalarında tüervliwwolsun. a B − Ð+ß ,Ñ için 0 ÐBÑ œ 1 ÐBÑ ise 0ÐBÑ ile 1ÐBÑ bir sabit kadar farklıdır.Yani aB −Ò+ß,Óiçin 0ÐBÑœ1ÐBÑ5 olacak şekilde bir 5sabiti vardır.İspat : 2ÐBÑ œ 0ÐBÑ 1ÐBÑ denirse a B − Ð+ß ,Ñww2 ÐBÑ œ 0 ÐBÑ 1 ÐBÑ œ !için2ÐBÑ œ 5 œ sabit Þ 0ÐBÑ 1ÐBÑ œ 5 yada 0ÐBÑ œ 1ÐBÑ 5w %Örnek : 0 ÐBÑ œ &B "!B " ve 0Ð"Ñ œ ) olduğuna göre 0ÐBÑ nedir ?& # %1ÐBÑ œ B &B B türevi &B "!B" olan bir fonksiyon olduğundan b5 sabiti vardır ki& #0ÐBÑœ1ÐBÑ5œB &B B50Ð"Ñœ) olduğundafonksiyon :"&"5œ) Ê5œ" bulunur. Şu halde istenen& #0ÐBÑ œ B &B B"Belirsizlik Şekilleri :Bir 0 fonksiyonu B œ B ! noktasındaki limiti araştırılırken , belirsizlikşekiller denilen :! _! __ ! ! _ß ß__ß! ß!ß_ß"ifadelerinden biri ile karşılaşılabilir. Bu tip limitler türev yardımıyla kolaycahesaplanabilir.!!Belirsizlik Hali :Aşağıdaki verilen teorem bu belirsizlik halini ortadan kaldırır.Teorem (L' Hospital Kuralı) :0 ve 1 fonksiyonları B œ + noktasında sürekli , B Á + için türevli ikifonksiyon ve 1ÐBÑ Á ! olsun. Eğerlim0ÐBÑ œ lim1ÐBÑ œ ! iseBÄ+BÄ+113© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR0ÐBÑlimBÄ+ 1ÐBÑ0 ÐBÑBÄ+ 1wÐBÑœ limwİspat : 0 ve 1 fonksiyonları B œ + noktasında sürekli olduklarındanlim0ÐBÑ œ 0Ð+Ñ œ ! ve lim1ÐBÑ œ 1Ð+Ñ œ !BÄ+BÄ+Buna göreTeoreminden0ÐBÑ1ÐBÑ0ÐBÑ0Ð+Ñ1ÐBÑ1Ð+Ñœ Þ B +olsun. Genelleştirilmiş Ortalama Değerw0ÐBÑ0Ð+Ñ 0 ÐB!Ñ1ÐBÑ1Ð+Ñœ1wÐB Ñ !!olacak şekilde bir B − Ð+ßBÑvardır. Buna görebu ifade0ÐBÑ 0ÐBÑ0Ð+Ñ 0 ÐB ÑBÄ+ 1ÐBÑ BÄ+ 1ÐBÑ1Ð+Ñ BÄ+ 1 w ÐB Ñ !!w!lim œ lim œ lim olur. B Ä + için B Ä + olacağından0ÐBÑlimBÄ+ 1ÐBÑ0 ÐBÑBÄ+ 1wÐBÑœ limwB+için de benzer yol takip edilir.w0 ÐBÑ!Eğer lim şeklinde ise yani belirsizlik devam ediyorsa L'HospitalBÄ+ 1wÐBÑœ!!kuralı yeniden uygulanır.!belirsizlik halinde kurtuluncaya kadar kuraltekrarlanabilir.#M8ÐB #B#Ñ ! PÞLBÄ"B#" !BÄ"#B #B##B#Örnek : lim œ olup œ lim œ œ #Örnek : lim œ olup œ lim œ -9=Ð$Ñ#B#=38ÐBÑ=38Ð$Ñ ! PÞL -9=ÐBÑBÄ$B$ !BÄ$"lim1ÐBÑ œ lim ß B +1ÐBÑ1Ð+ÑBÄ+0ÐBÑBÄ+0ÐBÑ0Ð+ÑB+B+%"œlimBÄ+limBÄ+0ÐBÑ0Ð+ÑB+1ÐBÑ1Ð+ÑB+œ limBÄ+w0 ÐBÑ1wÐBÑÖrnek :B/ #B" !limBÄ!B # œ!BPÞL /#BÄ!#Bœ lim œ lim œ Mevcut Değildir.BÄ!Örnek :B=38ÐBÑ !limBÄ!B$ œ!limÐB =38BÑ œ ! œ limBBÄ!BÄ!$ !!olan Belirsizlik halidir. ,114© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARœœPÞL "-9=ÐBÑ !lim œBÄ!$B # !PÞL =38ÐBÑ !lim œBÄ!'B !Belirsizlik hali halaBelirsizlik hali halaœPÞL -9=ÐBÑlimBÄ!'œ"'Örnek :M8Ð-9=Ð7BÑÑ !limBÄ#5M8Ð-9=Ð8BÑÑœ1!5 œ!ß"ß#ßÞÞÞ7 œ "ß #ß ÞÞÞ8 œ "ß #ß ÞÞÞt Ä 07=38Ð7BÑPÞL7 -9=Ð8BÑ =38Ð7BÑ !BÄ#51 8=38Ð8BÑ 8BÄ#51 -9=Ð7BÑBÄ#51=38Ð8BÑ !-9=Ð7BÑœ lim œ Þlim Þ lim œ-9=Ð8BÑ7Þ-9=Ð7BÑ8BÄ#58Þ-9=Ð8BÑ 8#PÞL 7 7œ Þlim œ10ÐBÑ ! "1ÐBÑ ! >#œ belirsizliği için >Á! olmak üzere Bœ yazılırsa BÄ _ içinSonuç : 0 ve 1 fonksiyonları bir 7 reel sayısından büyük her B noktasındatürevlenebilir olsunlar. Ayrıcalim 0ÐBÑ œ lim 1ÐBÑ œ !BÄ_ BÄ_ve her B 7 için 1 ÐBÑ Á ! olsun. butaktirdew0ÐBÑlimBÄ_ 1ÐBÑ0 ÐBÑBÄ_ 1wÐBÑœ limw115© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARÖrnek :=38Ð ÑB !lim#BBÄ_!""B # œ limitini hesaplayalım.œ PÞL BÄ#ÞB Þ-9=Ð Ñlim_B #$ "Ð"B# Ñ #B#Ð"B##Ñœ lim -9=Ð ÑÞ #Þ limBÄ_œ"Þ!œ!"Blim0ÐBÑ œ lim1ÐBÑ œ !BÄ+BÄ+# #Ð"B ÑBÄ_B ÞÐ"B Ñ# $ #0ÐBÑlimBÄ+ 1ÐBÑ0 ÐBÑBÄ+ 1wÐBÑwœ lim ß 1 ÐBÑ Á !wBÄ " >" " JÐ>Ñ!> > KÐ>Ñ !İspat : 0Ð ÑœJÐ>Ñve 1Ð ÑœKÐ>Ñ olsun. > Ä! için ifadesiformundadır. Buna göre0ÐBÑ J Ð>Ñ J Ð>Ñlim lim limBÄ 1ÐBÑœKÐ>Ñœ_ >Ä! >Ä!Kw Ð>Ñœ lim>Ä!w " "0 Ð ÑÞÐ Ñ1w " "Ð ÑÞÐ Ñ BÄ> > #wœ lim> > # w_w0 ÐBÑ1 ÐBÑ!BÄ_için!belirsizliği elde edileceğinden aynı yönteminuygulanabileceği açıktır.__Belirsizlik Şekli :Bu belirsizlik halinde de L'Hospital kuralı geçerlidir. Çünkü ;? " " _ !@œ@À? _ !olup belirsizliği belirsizliğine dönüşür.limBÄ!M8Ð=38BÑM8Ð>+8BÑœ__belirsizlik biçimindedir.PÞLBÄ!-9=B=38BBuna göre œ lim œ lim Þ" "BÄ! ">+8#B " ">+8 # B>+8Bœ lim œ œ "BÄ!-9=B >+8B=38B ">+8#BBM8BBÄ_ / BBÄ! -=-BÖrnek : (a) lim œ! ß (b) lim œ!!Þ_ Belirsizlik Şekli :116© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR? ! _"! _? Þ @ œ eşitliği yardımıyla !Þ_ belirsizliği veya haline getirebilir.@" # " "Örnek : lim BÞ œ" ß lim B Þ ß lim ÈBÞ œ _BÄ+ BBÄ! BBÄ! BÖrnek :limBÄ!Ð" -9=BÑ Þ -9>B œ !__Belirsizlik Şekli :u@œ " "?@!eşitliği yardımıyla belirsizlik haline dönüştürülür."?Þ@!Þ_ Belirsizlik Şekli :!Örnek :Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.(a) lim BÞM8BBÄ!(b) limÐ">+8BÑÞ=/-#BBÄ1%(a)M8B PÞLBÄ! " BÄ! "BBÄ!Blim œ lim œ lim B œ ! B #"veyaB PÞL "#lim lim limBÄ!"ÎM8ÐBÑœ œ BÞÐM8BÑ BÄ! B" BÄ! ÐM8BÑ #œ limBÄ!#ÒM8ÐBÑÓ"Bœ__œ limBÄ!#ÞM8ÐBÑÞ"B #"Blim BÞM8B œ#ÞlimBÞM8BBÄ!BÄ!Ê lim BÞM8B œ !BÄ! (b)limBÄ">+8B ">+8B !" œ limBÄ-9=Ð#BÑœ!=/-Ð#BÑ1 1% %Belirsizliği mevcuttur.PÞL=/- B #œ lim œ œ "BÄ 1 # Þ =38Ð#BÑ #%#__Belirsizlik Şekli :Örnek :(a)Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.lim Ð Ñ œ __ belirsizlik şekli olupBÄ!" "B =38B117© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARlim Ð Ñ œ lim Ð Ñ œBÄ!" " =38BB !B =38BBÄ! B Þ =38B !belirsizlik şekli olupPÞLBÄ!-9=B " !=38BB-9=B !œ limÐ Ñ œbelirsizlik şekli olupPÞLBÄ!=38Bœ limÐ-9=B-9=BB=38BÑ!œ #œ !(b)limÐ Ñ œ __BÄ!" "B / B"belirsizlik şekli olupœ limÐ Ñ œ ß P œ lim œBÄ!B/"B ! /" !BÐ/ B"Ñ !BÄ!/ B"B/ B !BPÞL / " "BÄ!//B/ B B BBÄ!#B #Pœ lim œlimœB(c)limÐM8B M8Ð" BÑÑ _ _BÄ!belirsizlik şekli olupœ lim M8Ð Ñ œ M8ÐlimÑBÄ_PÞLB"B"BÄ_ "BBÄ_ "Bœ M8ÐlimÑœM8Ð"Ñœ!(d)lim ÐÈB#BBÑœ__ belirsizlik şekli olupBÄ_œ limBÄ_BBBBÈ #œ__belirsizlik şekli olupPÞL " " "BÄ_ "#B"È"" #œ lim œ œ# B#B#B É " " B(e)limÐ-=-B BÄ!"BÑ œ _ _ belirsizlik şekli olup" " B=38BBÄ!=38B BBÄ!B=38Bœ limÐ Ñ œ limÐ Ñ œ !(a) ' daki gibi118© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR! !! ß _ ß "_ Belirsizlik Şekillleri :1ÐBÑlimÒ0ÐBÑÓBÄ+"ÎBlim Ð" BÑ œ "BÄ!_şeklinde limitler bu belirsizlik şekillerini üretebilirler. ÖrneğinBu tip limitlerin hesabı içinalınıp daha sonra limiti hesaplanır._" ÀC œ Ò0ÐBÑÓ 1ÐBÑifadesinin doğal logaritmasıÖrnek :"BlimÐ" BÑ œ / olduğunu gösteriniz.BÄ!" _"BCœÐ"BÑ B " belirsizlik şekli olup M8CœM8Ð"BÑ"limÐ" BÑ B œ limC œ lim/ M8CBÄ! BÄ! BÄ!M8Ð"BÑœ lim/BBÄ!M8C œ"BÞM8Ð" BÑœ/ lim M8Ð"BÑBÄ!BM8Ð"BÑ ! PÞLlimBÄ!B !BÄ!""œ/ œ/"Bœ œ lim œ ""!! ÀÖrnek :lim Ð" / ÑBÄ!B >+8B !œ ! belirsizlik şekli olupCœÐ"/ ÑB >+8BÊM8Cœ>+8BÞM8Ð"/ ÑBM8CBÄ! BÄ! BÄ!lim Cœ lim / œ lim / œ/ lim >+8B Þ Ð"/ ÑBÄ! BB>+8BÐM8Ð"/ ÑÑœ limBÄ!BM8Ð"/ Ñ-9>Bœ__belirsizlik şekli olup L'Hospital uygularsakœPÞLBÄ!"/lim Bœ lim / Þ=38 B/ BB #-=/- ÐBÑBÄ! "/# B119© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®

Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKARB =38 B # Þ =38B Þ -9=BBÄ! BÄ!"/ B BÄ! / Bœ lim / Þlim œ limœ!lim CœlimÐ"/Ñ œ/ œ"BÄ!BÄ!#B >+8B !_!ÀÖrnek :limBÄ_"Î,B !Ð" +BÑ œ _ belirsizlik şekli olupbÁ 0 , a !ß , !CœÐ"+BÑ",BÊM8CœM8Ð"+BÑ,BPœlimÐ"+BÑ œ lim /BÄ_"M8Ð"+BÑ,B ,BBÄ_œ / M8ÐlimBÄ_M8Ð"+BÑ,BÑM8Ð"+BÑ _limBÄ_ ,Bœ_belirsizlik şekli olupPÞLœ lim +"+Bœ !BÄ_ ,M8Ð! Ñ_Pœ/ œ/ œ!1 _ ÀÖrnek : lim Ð" Ñ œ lim /BÄ_+ ,B ,B Þ M8 Ð"BÑB BÄ_+ ,B+BBC œ Ð" Ñ Ê M8C œ ,B Þ M8Ð" ÑM8Clim Cœ lim / œ lim /+,BÞM8Ð" ÑB+M8Ð"+Ñœ/ PœlimBœBÄ_ ",BPÞLBÄ_ +B #" B +"P œ lim œ+Þ, œ/,B #!!+Þ,Not :+œ"ß,œ" ise lim Ð" Ñ œ/BÄ_+ ,BB120© GYTE Mühendislik bölümleri için hazýrlanmakta, her hakký saklý olup izinsizçoðaltýlamaz ve daðýtýlamaz. ®