Matematiksel İktisat II Ders Notları

OYUN TEORİSİ VEUYGULAMALARIDr. Sanlı ATEŞ

Bu dersin amacı, oyun teorisini teknik olarak tanıtıp, baştaekonomi alanı olmak üzere değişik alanlara nasıluygulanabileceğini tartışmaktır. Günümüzde bireylerdenfirmalara, yerel kurumlardan evrensel kurumlara kadar hernoktada karar verme süreçleri stratejik düşünme biçimine2giderek oturmuştur. Karar birimleri daha sağlıklıkararlaraulaşabilmek için rakiplerinin davranışlarını daha yakındanizlemekte, daha çok bilgi toplamaktadırlar. Bu sürecin bilimseldüzeyde anlaşılması, oyun teorisinin ilgi alanı içindedir.

3HaftalarKonular1 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Normal Biçimli2 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Başat-altı Stratejiler3 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Nash Dengesi4 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Karma Stratejiler5 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Uygulamalar6 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Uygulamalar7 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Oyun Ağacı Kavramı8 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Yayvan Biçimli Oyunlar9 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Alt Oyunlarda Nash Dengesi10 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: İki Aşamalı ve Yinelenen Oyunlar11 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Pazarlık Modelleri12 İşbirlikçi Oyunlar13 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik ve İşbirlikçi Oyunlar: Uygulamalar14 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik ve İşbirlikçi Oyunlar: Uygulamalar

Ders Materyali4Bu ders için şu yayınlardan yararlanılmıştır.1. M.J. Osborne, A. Rubinstein, A Course in Game Theory, TheMIT Press, Mass., 1994.2. Edward T. Dowling, Introduction to Mathematical Economics,Mc Graw Hill, 1992.3. A.K. Dixit, B.J. Nalebuff, Stratejik Düşünme, Sabancı Ünv.Yay., İst., 2003.4. A.M. Brandenburger, B.J. Nalebuff, Ortaklaşa Rekabet, ScalaYay., İst., 1998.

Sınavlaraİlişkin5Yapılması planlanan sınavlar, dekanlıkça belirlenen tarihlerdekivize ve final sınavları olmak üzere iki tanedir. Ara sınavın (vize)%40’ı, yarıyıl sonu (final) sınavının da %60’ı toplanarak başarınotu belirlenecektir.İletişimimGörüşme Günleri: GCuma, 10.00 -12.00e-mail:asanli@cu.edu.trI. Blok, Ofis No.221WEB: http://idari.cu.edu.tr/sanli

TÜMEL BİLGBLGİYEDAYALI STATİKOYUNLAR

Mikro iktisadi analizin bazı konularında ekonomik karar7birimleri, diğer birimlerin davranışlarınıdikkate almaksızınkarar verirler. Örneğin fayda teorisinde bireyler faydalarınımaksimize ederlerken, yalnızca veri fiyatlar ve gelirçerçevesinde, diğer bireylerin kararlarından soyutlanmış olarakoptimal mal seçimini yaparlar.Benzer şekilde tam rekabetçi ya da monopol piyasalardakifirma davranışını da söyleyebiliriz.

Ancak iktisat biliminde, karar süreçlerinin karşılıklı bağımlılık8içerdiğini gösteren çok sayıda örnek vardır:1. Duopol piyasada farklılaştırılmış ürün satan iki firma kararverirken, ürün kalitesini, fiyatı ve reklamı dikkate almalıdır.2. İki ülke ithalat gümrük oranları, ihracat desteklemeleri gibidış ticaret politikalarını belirlemelidirler.

93. Bir firma, yöneticilerinin performansını artıracak primpolitikasını belirlemelidir.Bu örneklerdeki ortak nokta, karşılıklı bağımlılığın varlığıdır. Birkarar biriminin en iyi seçimi, diğerinin (diğerlerinin) seçiminebağlıdır.

10Oyun teorisi, bir karar biriminin kazançlarının, diğerlerininkararlarına bağlı olduğu karşılıklı stratejik karar almanın yeraldığı durumları inceleyen uygulamalı matematiğin bir dalıdır.Oyunlarıdeğişik biçimlerde sınıflandırabiliriz. Bir yaklaşımagöre statik oyunlar ve dinamik oyunlar biçiminde bir sınıflamayapılabilir.

11Statik oyunlar, veri bir zaman dilimi içerisinde tüm kararlarıneşanlı verildiği türden oyunlardır. Yani oyuncular bir kerelikkarar verirler ve oyun sona erer.Dinamik oyunlar, karar almanın bir dizimselliğe sahip olduğutürden oyunlardır. Bu anlamda, çok sayıda zaman dilimindekararlar alınmaktadır.

12Statik ve dinamik oyunlar arasındaki farkı daha iyianlayabilmek için, Cournot duopol piyasa modelini dikkatealalım. Temel mikro ders kitaplarında büyük ölçüde statik oyunçerçevesinde model anlatılmaktadır. Yani her iki firma kendikârını maksimize edecek şekilde, aynı anda ve tek üretim kararıvermektedir.

13Ancak bu modeli, firmaların birkaç aşamada karar alarak kârımaksimize eden üretim düzeylerine ulaştıklarını da düşünerekinceleyebiliriz. Bu durumda oyun dinamik bir çerçeveyeoturacaktır.

14Oyunları, oyuncuların sahip oldukları bilgi açısından dasınıflayabiliriz. Eğer tüm oyuncular oyunun yapısını tamamıylabiliyorlarsa, tümel bilgi altında oyun (complete(information)dan söz ederiz. Tikel bilgi altında oyunda (incompleteinformation)ise, oyunculardan bir kısmı, diğerlerinin sahipolmadığı özel bir bilgiye sahiptir.

15Buna benzeyen, ancak biraz farklı bir başka yaklaşıma göre,tüm oyuncular karar aşamasından önceki tüm davranışlarıbiliyorsa, oyun tam bilgiye(perfect information)dayalıdır.Oyunculardan bazılarıbunu bilmiyorsa, oyun eksik bilgiye(imperfect information) dayalıdır.

Oyunları, sınıflamanın yanında, betimleme ve çözüm yollarını16da sınıflayabiliriz. Bir betimleme yöntemi olan normal biçimim,stratejiler ve kazançlar üzerine odaklanır. Diğer betimlemeyöntemi olan yayvan (extensive(game) ) biçimim, davranışların vekararların dizilimiyle ilgilenir. Her iki biçimde birbirini dışlayanbir yapıda değildir.

Hangi yöntemin seçileceği, yöntemin kolaylığına ve sezgi17gücüne bağlıdır. Statik oyunlarda daha çok normal biçim,dinamik oyunlarda da yayvan biçim kullanılmaktadır.Çözüm yöntemlerine baktığımızda, statik oyunların Nashdengesi bulunarak çözüldüğünü, dinamik oyunların da ikinciloyun-mükemmel Nash dengesi üzerine kurulduğunu görebiliriz.

18Normal Biçimde imde OyunlarHer oyunun kendine özgü elemanları ve özelliği vardır. Statikoyunlarda bu elemanlar, küme ve fonksiyon kavramıyla temsiledilmektedir. Normal biçimde ifade edilen bir oyunda, biroyuncu kümesikmesi, her bir oyuncu için strateji kümesikve her biroyuncu için bir kazanç fonksiyonu yer alır. Her bir oyuncuyu birrakamla gösterebileceğimiz bir oyuncu kümesini şöyleyazabiliriz: N = { 1,2, 3,....., n}

Her oyuncu, bir strateji kümesine dayanarak karar verir.19Strateji, bir oyunda gerçekleşmesi mümkün olan oyuncudavranışını tanımlar. Bazı durumlarda strateji kümesi çokküçük olabilir. Örneğin ya yüksek ya da düşük fiyat uygulamakararı gibi. Ya da satranç oyunundaki gibi çok sayıda stratejivar olabilir. s ij , i. oyuncu için olanaklı j. stratejiyi göstersin. ibireyi için tüm olası stratejilerin kümesi:{ }1, 2, 3,.....,S = s s s si i i i it i

Tüm oyuncuların stratejilerinin oluşturduğu küme:20{ }S = S1, S2, S3,....., SnSon olarak, oyunun sonuç göstergesi olan kazançfonksiyonlarını tanımlayalım. Genel olarak bir oyuncunun biroyundan elde edeceği kazanç, tüm oyuncuların stratejiseçimlerine bağlıdır. i. birey için kazanç fonksiyonunu yazalım.Π =Π{ s , s , s ,....., s }i i 1 2 3 n

Normal Biçimde imde Oyunlar için i in Örnekler21Firmaların reklam stratejisini seçtikleri bir duopol piyasadüşünelim. Modelin varsayımları şöyledir:1. Firmalar ürünlerini sabit (dışsal) bir fiyattan satıyorlar.2. Reklam, piyasa toplam talep düzeyini etkilememektedir.3. Firmalar iki reklam düzeyi seçip uygulayabilirler. Yüksek (Y)ve düşük (D)4. Firmaların piyasa payları, seçecekleri reklam düzeyinebağlıdır.

Şimdi bu varsayımları, oyun teorisinin simgeleriyle yazalım. Heriki oyuncu, ikişer stratejiye sahiptir:{ }S = R , R , i = 1,2i Y D22Kazanç matrislerini yazabilmek için bazı ek değişkenlere gerekvar. Π 0 endüstrinin kâr düzeyini; m jk , rakip firma k stratejisini(k=Y , k=D) seçtiğinde, firmanın j stratejisini (j=Y , j=D) seçmesidurumunda oluşacak piyasa payını göstersin. Değişik reklamdüzeyi seçimlerinde piyasa payı toplamı bire eşittir:mjk+ m = 1kj

Dört olası reklam bileşimi vardır. Kazanç fonksiyonu, dört olasıreklam bileşiminin sonuçlarını gösterir. Birinci ve ikinci firmaiçin kazanç fonksiyonlarını yazalım:23Π ( R , R ) = m Π −R1 Y Y YY 0 YΠ ( R , R ) = m Π − R1 Y D YD 0 YΠ ( R , R ) = m Π − R1 D Y DY 0 DΠ ( R , R ) = m Π − R1 D D DD 0 DΠ ( R , R ) = m Π − R2 Y Y YY 0 YΠ ( R , R ) = m Π − R2 Y D YD 0 YΠ ( R , R ) = m Π − R2 D Y DY 0 DΠ ( R , R ) = m Π −R2 D D DD 0 D

Şimdi sayısal bir örnek de kullanarak, kazançları matris biçimdeyazalım. Matrisin satır ve sütunları, strateji seçimlerinigösterecektir. Aşağıdaki değerlere sahip bir piyasa düşünelim.Π0= 1000 , RY= 400 , RD= 2001 1 4 1mYY = , mDD = , mYD = , mDY=2 2 5 524Örneğin her iki firma yüksek reklam harcamasıyaparsa,piyasayı yarı yarıya paylaşırlar. Her bir firma 1000 birimlikendüstri kârının 500’ünü elde eder, reklam harcaması (400)çıkarıldıktan sonraki net kâr 100’dür.

Yukarıda hesapladığımız gibi, diğer kazançları da her bir firmaiçin hesaplayalım ve kazanç matrisini oluşturalım.251Π1( RY, RY) = mYYΠ0− RY= 1000 − 400 = 10024Π1( RY, RD) = mYDΠ0− RY= 1000 − 400 = 40051Π1( RD, RY) = mDYΠ0− RD= 1000 − 200 = 051Π1( RD, RD) = mDDΠ0− RD= 1000 − 200 = 3002

261Π2( RY, RY) = mYYΠ0− RY= 1000 − 400 = 10024Π2( RY, RD) = mYDΠ0− RY= 1000 − 400 = 40051Π2( RD, RY) = mDYΠ0− RD= 1000 − 200 = 051Π2( RD, RD) = mDDΠ0− RD= 1000 − 200 = 3002

Firma 1DYFirma 2DY⎡Π1( RDD ), Π2( RDD ) Π1( RDY ), Π2( RYD) ⎤⎢⎥⎢⎣Π1( RYD ), Π2( RDY ) Π1( RYY ), Π2( RYY) ⎥⎦27Firma 1DYDFirma 2Y⎡300, 300 0,400 ⎤⎢⎥⎢⎣400,0 100,100⎥⎦

28Şimdi Firma 1’in kararını dikkate alalım. Firma 2 düşük reklamharcamasını seçtiğinde, Firma 1 düşük reklam harcamasıkararında 300, yüksek harcamada 400 net kâr elde edecektir.Buna göre, Firma 2’nin düşük reklam harcamasıstratejisikarşısında Firma 1’in en iyi seçimi yüksek harcamadır.

29Firma 2 yüksek reklam harcamasını seçtiğinde, Firma 1 düşükreklam harcaması kararında 0, yüksek harcamada 100 net kârelde edecektir. Bu durumda da Firma 1 için en iyi stratejiyüksek reklam harcamasıdır. Benzer durum Firma 2 için degeçerlidir. Aynı anda her ki firma için de en iyi strateji yüksekreklam harcamasıdır.

Yukarıdaki örnek oyunun genel biçimi, “tutsaklar açmazamazı” dır(prisoner’s s dilemma). Bu oyunda suç işlemiş olan iki bireyin30suçun itiraf etmesi ile sessiz kalmasıarasındaki durumlarincelenmektedir. Mahkumiyet kararları, değişik stratejilerkarşısındaki kazançları oluşturmaktadır. İktisatta oldukçayaygın olan tutsaklar açmazı biçimindeki oyunlar şudurumlarda oluşur:1. Ekonomik karar birimleri işbirliği ve işbirliğinden kaçınmaarasında seçim yaparlarsa.2. İşbirliği ortak optimalken, işbirliğinden kaçınma bireyselrasyoneldir.

31Duopolda reklam modeli, firmalararası rekabete iyi bir tutsaklaraçmazı örneğidir. Benzer biçimde kamu maliyesi teorisindenkamusal mallara katkı yapmak (işbirliği) ve bedavayararlanmak (işbirliğinden kaçınma) örneği verilebilir.

Reklam örneğinde dengeyi şöyle tanımlayabiliriz. (Y,Y) durumu,32diğer firmanın seçimi belirliyken, hiçbir firmanın kendiniseçimini değiştirmek için hiçbir neden olmaması anlamında birdengedir. Her bir firma, rakibinin stratejisine en iyi tepkiyivermektedir. Bu denge kavramı, Nash Dengesiolarak ifadeedilmektedir.

Kesin Başat at Altı Stratejilerin Yinelemeli Eleme33Yoluyla ÇözümüTutsaklar açmazında olduğu gibi, bazı oyunlarda tüm başat altıstratejileri eleyerek bir dengeye ulaşılabilir. Eleme işlemisürecinin sonunda bir çift strateji kalırsa, bu denge değeridir.

s′′n oyunculu bir oyunda, gibi bir strateji mevcutken aşağıdakiikoşul sağlanıyorsa, i. oyuncu için stratejisinin kesin başatis′34altı olduğunu söyleyebiliriz.Π ′′ >Π′( s , s ,....., s ,....., s ) ( s , s ,....., s ,....., s )i 1 2 i n i 1 2 i n

35Yukarıdaki koşul şunu söylemektedir: Daima daha yüksekkazanç sağlayan başka bir strateji varken, bir strateji başataltıdır. Buna göre bir strateji karşısında daha egemen birstratejinin varlığı yeterlidir.

36Rasyonel birey başat-altıstratejiyi seçmeyeceğinden, bunukarar sürecinde eleyebiliriz. Aslında daha kesin olaraksöylersek, ortak bir rasyonalite varsayımı gereklidir. Bu, tümoyuncuların rasyonel olması anlamına gelmemektedir.Oyuncular, kendileri dışında kalanların dominant-altı stratejiyiseçmeyeceklerinin farkındadırlar.

37Şimdi bu koşulu ve başat-altıstratejilerin elenerek dengedeğerlerine ulaşılmasına bir örnek verelim. İki oyuncu ve herbirinin seçebileceği üç strateji olsun. Başlangıçtaki bu durumaG oyunu diyelim.1. OyuncuTMB2. OyuncuL C R⎡3, 3 2,6 3,1⎤⎢⎥⎢2,4 1,4 0,4⎥⎢⎥⎢⎣1, 5 0, 2 6,0⎥⎦

381. oyuncu için M stratejisi, T stratejisine göre başat altıdır.Diğer bir ifadeyle, T stratejisi M ’ye başattır. B stratejisinin M’ye başat olduğunu söyleyemeyiz. 2. oyuncunun L, C, Rstratejisini seçtiği durumlarda, 1. oyuncu için T ve Mstratejilerini kıyaslayalım:

393> 2 , 2> 1 , 3>0: T, M ’ye kesin başattır.Şimdi de T ve B stratejilerini kıyaslayalım:3> 1 , 2> 0 , 3

40Kesin başat-altıstrateji olan M stratejisini eleyerek oyunusürdürelim. Bu yeni oyuna G′ diyelim.1. OyuncuTB2. OyuncuL C R⎡3, 3 2,6 3,1⎤⎢⎥⎢⎣1, 5 0, 2 6, 0⎥⎦Bu durumda 1. oyuncunun hiçbir stratejisi kesin başat değildir.Ancak 2. oyuncunun stratejilerine bakarsak, hem L hem de C’nin R ’ye başat olduğunu görürüz. Bu nedenle R stratejisinieleyebiliriz.

41R ’nin elenmesi sonucu oluşan oyuna G″ diyelim.1. Oyuncu2. OyuncuTBL C⎡3, 3 2,6⎤⎢ ⎥⎢⎣1, 5 0, 2⎥⎦

42Bu durumda 1. oyuncunun T stratejisi, B ’ye kesin başattır. B ’yieledikten sonra, 2. oyuncu için C başat olduğundan L ’yi eleriz.En sonunda denge değerine (G*) ulaşmış oluruz.1. Oyuncu2. OyuncuTC[ 2,6]

43Nash Dengesiİktisat bilimindeki çoğu oyunlarda peşi sıra eleme yöntemiyledenge değerine ulaşmak mümkün değildir. Bu tür durumlardadaha güçlü bir çözüm yöntemine gerek duyarız. Nash dengesi,bu aracı sağlar.Diğer oyuncuların strateji seçimleri belirliyken, hiçbir oyuncuseçimini değiştirmek için bir neden görmüyorsa, stratejibileşimi bir Nash dengesidir. Bu tanımı biçimsel olarak verelim.

44n oyuncu için biçiminde bir vektörelstrateji seçim kümesiolsun. Aşağıdaki koşulu sağlayan strateji bileşimi, Nashdengesidir.Π( s * , s * ,....., s * ,....., s * ) ≥Π ( s * , s * ,....., s′,....., s*)i 1 1 i n i 1 1 i n

45Nash dengesinde hiçbir oyuncu stratejisini değiştirmekistemeyecektir.*s istratejisi, i. oyuncu için var olan stratejileriniçinde daha iyisidir. Zayıf eşitsizlik, en az stratejisi kadar iyi*s ioyunların da olabileceğini ifade etmektedir. Ayrıca bir oyuncuiçin aynı anda birden çok strateji vektörü Nash dengesinisağlayabilir.

46Yinelemeli eleme yöntemi ile Nash dengesi arasındaki bağı şuiki teoremle kurabiliriz:Teorem 1: Başat-altı stratejiler eleme yöntemiyle bir dengedeğerine ulaşabiliniyorsa, bu değer aynı zamanda oyunun tekNash dengesidir.

47Teorem 2: Herhangi bir Nash dengesi, kesin başat-altı stratejieleme yöntemine de olanak sağlar.Burada dikkat edilmesi gereken nokta şudur: Ne eleme yöntemiNash dengesinin bir parçası olabilir ne de Nash dengesi bireleme yöntemi çözümü değildir.

Nash dengesini anlatmanın bir başka yolu, en iyi tepki48fonksiyonudur. Bu yöntem özellikle strateji kümesi süreklibiçimdeyse yararlı olur. Örneğin iki oyunculu bir oyunda, 2.oyuncunun her seçimi karşısında 1. oyuncu için en iyi olanstratejiyi seçeriz. 2. oyuncunun stratejisi biliniyorken, aşağıdakiproblemi çözerek en iyi tepkiyi belirleriz.( s s )max Π ,1 1 2

49Bu problemi maksimizasyon için gereken birinci ve ikinci sırakoşulları elde ederek ve sınayarak çözebiliriz. Kazançfonksiyonları, türev alma yoluyla belirlenmiş olacaktır. Birincisıra koşuldan elde edilen en iyi tepki fonksiyonlarının eşanlıçözümünden, denge değerlerine ulaşılır.

Nash Dengesine Örnekler50Aşağıdaki iki oyunculu örneği dikkate alalım.1. OyuncuTMB2. OyuncuL C R⎡3, 3 2,1 3,1⎤⎢⎥⎢2,4 2,4 0,4⎥⎢⎥⎢⎣1, 5 0, 2 6,5⎥⎦

51Bu matriste hiçbir oyuncunun kesin başat-altıstratejisininbulunmadığına dikkat edin. Dolayısıyla çözüm yöntemi olaraken iyi tepki yoluyla Nash dengesinin belirlenmesi olacaktır.1. oyuncunun en iyi tepkilerini 2. oyuncunun seçimi belirliykenbulacağız. Aşağıdaki matriste altı çizgili mavi değerler, 1.oyuncunun en iyi strateji seçimlerini göstermektedir. Örneğin2. oyuncunun seçimi L stratejisiyken, 1. oyuncunun seçebileceğien iyi strateji T ’dir.

1. OyuncuTMB2. OyuncuL C R⎡3,3 2,1 3,1⎤⎢⎥⎢2,4 2,4 0,4⎥⎢⎥⎢⎣1,5 0, 2 6,5⎥⎦52Yukarıdakine benzer biçimde, 2. oyuncu için de en iyi tepkileribelirleriz (altı çizgili kırmızı seçenekler). Aynı anda her ikioyuncunun birden en iyi seçiminin oluştuğu strateji, Nashdengesini verecektir.

Aşağıdaki kazanç matrisi, 2. oyuncunun da seçimlerini53içermektedir. Her iki oyuncuya en iyiyi sağlayan (T,L), (M,C) ve(B,R) stratejileri Nash dengesini göstermektedir.1. OyuncuTMB2. OyuncuL C R⎡3, 3 2,1 3,1⎤⎢⎥⎢2, 4 2, 4 0, 4⎥⎢⎥⎢⎣1, 5 0, 2 6,5⎥⎦

Şimdi iki oyunculu sürekli biçimdeki bir oyunu inceleyelim. Her54bir oyuncu için strateji kümesinin şöyle olduğunu varsayalım:{ : 0}S = s s ≥i i iBunun anlamışudur: Her bir oyuncu strateji değişkenininnegatif olmayan düzeyini seçmelidir. Örneğin iktisatta miktar,fiyat, tüketim gibi değişkenlerin seçimi negatif değerler alamaz.

551. ve 2. oyuncunun kazanç fonksiyonlarının şu şekilde bildiğinivarsayalım.Π = 10s −s −s s −3s21 1 1 1 2 1Π = 10s −s −s s −2s22 2 2 1 2 2Oyun sürekli biçimde olduğundan, kazançmatrisini öncekiörnekteki gibi oluşturamayız. Bunun yerine, her ki kazancı daaynı anda maksimize edecek olan s 1 ve s 2 değerlerini ararız.

56∂Π∂s∂Π= 10 −2s −s − 3 , = 10 −2s −s−21 21 2 2 11∂s21 1s = R ( s ) = 7 − s , s = R ( s ) = 8−s2 2( ) ( )1 1 2 2 2 2 1 1En iyi tepki fonksiyonlarıs= 2 , s = 3* *1 2

Şekil 1. Nash Dengesi57s 274*s 2R 1EEn iyi tepkifonksiyonlarıR 2*s 13.5 8s 1

Karma Stratejilere Giriş58Tüm oyunlar, her bir oyuncunun %100 olasılıkla yalnızca tekstrateji seçtiği bir saf-strateji strateji Nash dengesi biçiminde değildir.Bazı iktisadi uygulamalarda oyuncular, olanaklı saf stratejileritesadüfi (olasılıklara dayalı) seçerler. Bu tür oyunlar karmastratejiye sahiptir.

59Şimdi her bir oyuncunun m kadar saf stratejiye sahip olduğu,iki oyunculu, sürekli olmayan bir durum düşünelim. s ij , i. oyuncuiçin j. stratejiyi göstersin. Bir karma strateji, i. oyuncunun herbir olanaklı saf stratejiyi oynayacağı olasılığı tanımlamaktadır.

p j , 1. oyuncunun saf j stratejisini seçme olasılığını; q k , 2.oyuncunun saf k stratejisini seçme olasılığını; p ve q da olasılıkvektörlerini göstersin. 1. ve 2. oyuncular için karma stratejikümesini şöyle yazabiliriz:60⎧m⎫S1= ⎨p:0≤ pj≤ 1 , ∑ pj= 1⎬⎩j=1 ⎭m⎧⎫S2= ⎨q:0≤qk≤ 1 , ∑ qk= 1⎬⎩k=1 ⎭

61Bir saf strateji, karma stratejinin alt kümesidir. s ij saf stratejisi,p = 1 ve p = 0 ( i ≠ j)jiolduğunda karma stratejiye özdeştir.Karma stratejili Nash dengesini nitelendirebilmek için,oyuncuların kazanç matrisinin beklenen değerlerinihesaplamamız gerekir. 1. oyuncu j , 2. oyuncu da k saf stratejileriniseçtiklerinde i. oyuncunun kazancının Π ijk olduğunu kabuledelim.

62i. oyuncunun beklenen kazancı, ortaya çıkacak her bir sonucunkazancı ile bu sonucun çıkma olasılığının çarpımının toplamınaeşittir:( )E Π = p q Π + p q Π + ..... + p q Π1 1 1 111 1 2 112 1 m 11m+ pqΠ + pqΠ + ..... + pq Π2 1 121 2 2 122 1 m 12m+ pqΠ + pqΠ + ..... + pqΠm 1 1m1 m 2 1m2 m m 1mm

Bunu kısaltılmış (toplama) simgeleri kullanarak yeniden63yazalım:E( )mm∑∑Π = p q Π1 j k 1jkj= 1 k=1Şimdi tanım olarak Karma Strateji Nash Dengesini yazalım.

Aşağıdaki koşullar sağlanırsa, p* ve q* olasılık vektörleri Nashdengesidir.64m m m m* * *pqj kΠ1jk ≥∑∑pq ′j kΠ1jkj= 1 k= 1 j= 1 k=1∑∑m m m m* * *pqj kΠ2jk ≥∑∑pq′j kΠ2jkj= 1 k= 1 j= 1 k=1∑∑Diğer bir ifadeyle bu iki koşul, daha yüksek kazanç sağlayankarma strateji mevcut değilse, p* ve q* vektörlerinin Nashdengesi olduğunu söylemektedir.

65Teorem 3:Sonlu sayıda saf strateji kümesine sahip her noyunculu oyun, en azından bir saf ya da karma strateji Nashdengesine sahiptir.Bu teorem, her oyunun bir çözümü olacağını garantietmektedir. Şimdi iki oyunculu ve iki stratejili bir oyunu dikkatealalım. Bunun kazanç matrisi aşağıda verilmiştir.

1. Oyuncu2. OyuncuL RT ⎡ A, a B,b⎤⎢ ⎥B⎢⎣C, c D,d⎥⎦66Bu oyunda her bir oyuncu bir olasılığı seçmektedir. Strateji 1 polasılığı ile oynanırsa, strateji 2 (1-p) stratejisiyle oynanacaktır.Buna göre 1. oyuncunun beklenen (olasılıklı) kazanç matrisiniyazalım:( )E Π1= pqA + p(1 − q) B + (1 − p) qC + (1 − p)(1 −q)D

Şimdi kazanç matrisinin p ’ye göre türevini alalım.67( )∂EΠ1= + − +− − −∂pqA (1 q) B qC (1 q)DBu sonuca göre, türevde p yer almadığından, 1. oyuncu türevinişaretini belirleyemez. Türev pozitif ise, p ’deki artış, 1.oyuncunun kazancının beklenen değerini artırır. Bu nedenle 1.oyuncu en yüksek p değeri olan 1’i seçmelidir. Bu saf stratejianlamına gelir. Türevin işareti negatifse, 1. oyuncunun enuygun seçimi p=0 ‘dır. Böyle bir durum, 2. oyuncu için safstrateji seçimi anlamına gelir.

Türev sıfıra eşitse, tüm p düzeylerinde 1. oyuncunun kazancı68aynıdır. Bu nedenle 1. oyuncu tüm karma strateji seçimlerikarşısında kayıtsızdır ve dengeyi göstermektedir. Karmastratejinin çözümünü bulmak için, yukarıdaki süreci 2. oyuncuiçinde yaparız.( )E Π = pqa + p(1 − q) b + (1 − p) qc + (1 − p)(1 −q)dE2( )∂ Π2= + + − − −∂qpa pb (1 p) c (1 p)d

Her ikisi için aynı anda denge, birinci türevlerin sıfıraeşitlenmesi ve p ile q değerlerinin çözülmesiyle belirlenir.69E( )∂ Π1= qA + − q B +− qC − − q D =E∂p( )∂ Π2= pa + pb + − p c − − p d =p∂q* *(1 ) (1 ) 0(1 ) (1 ) 0d −c D−B= , q =a−b− c+ d A−B− C + D

Yukarıdaki oyuna sayısal bir örnek verelim. Aşağıdaki oyunuinceleyelim.701. OyuncuTB2. OyuncuL R⎡3,1 2,4⎤⎢ ⎥⎢⎣2, 2 3,1⎥⎦Dikkat edilirse bu oyunun saf strateji Nash dengesi yoktur.Ancak teorem 3, karma stratejili bir Nash dengesinin eldeedilebileceğini söylemektedir. Çözüme ulaşabilmek için ilkolarak her iki oyuncuya ait beklenen kazanç fonksiyonlarınıyazalım.

71( )E Π = 3 pq + 2 p(1 − q) + 2(1 − p) q + 3(1 − p)(1 −q)1( )E Π = pq+ 4 p(1 − q) + 2(1 − p) q+ (1 − p)(1 −q)2( ) E( )∂EΠ1 ∂ Π1= 2q− 1= 0 , = − 4p+ 1=0∂p∂pp1 1= , q =4 2* *E( ) E( )Π = 2.5 , Π = 1.751 2

72Doğal Tekel Yatırım m OyunuBir piyasada doğal tekel oluşmasının ana nedeni, yalnızca birfirmanın ekonomik kâr elde edebilecek kadar piyasa ölçeğininbüyük olmasıdır. Piyasa ölçeği, hem talep düzeyine hem defirma maliyet düzeyine bağlıdır. Aşağıdaki Şekil 2, bir doğaltekeli göstermektedir. ½D talep eğrisi, iki firmalı bir durumda,her iki firmanın da zarar edeceğine dikkat çekmektedir.

73Şimdi iki firmalı bir durumu dikkate alalım. Ancak bu iki firmayeni bir ürün geliştirmek, fabrika binası kurmak gibi bir alandaortak yatırım kararı almış olsunlar.

Şekil 2. Doğal Tekel74PAC1D 2DQ

75Bu durumda her bir firmanın karşısında iki strateji vardır:1.Firmanın piyasaya girişine olanak sağlayan bir yatırımkararının verilmesi: E2.Yatırım kararından vazgeçilmesi ve piyasadan uzak kalmak: SPiyasaya bir firma girerse pozitif bir kâr elde edecek: Π>0; ikifirma girerse, zarar elde edecekler: -L

761. Oyuncu2. OyuncuE SE⎡−L, −LΠ,0⎤⎢⎥S ⎢⎣0, Π 0,0 ⎥⎦İlk çözüm denemesi olarak başat altı strateji eleme yönteminebaktığımızda, hiçbir firmanın başat altı stratejiye sahipolmadığını görebiliriz. Ancak her iki firma açısından birer safstrateji Nash dengesi vardır: (E,S) ve (S,E). Bunun dışındaoyunda bir de karma strateji dengesi vardır. Bunubelirleyebilmek için, beklenen kazanç fonksiyonlarını yazarakbaşlayalım.

( )E Π = − pqL + p(1 −q) Π+ (1 − p)0 = − pqL + p(1 −q)Π177( )E Π = − qpL + q(1 − p) Π+ (1 − q)0 = − pqL + q(1 − p)Π2( )∂EΠ1=− + − Π=∂p( )qL(1 q) 0∂EΠ1=− + − Π=∂ppL(1 p) 0pΠ= q = Π+* *LE( ) E( )Π = 0 , Π = 01 2

78Yukarıdaki sonucun anlamı şudur: Eğer piyasaya giriş yüksekkârlar ya da düşük zararlar nedeniyle çok cazipse, firma girişolasılığını artırır. Ancak giriş olasılığının artması, girişcazibesini azaltacağı için kârlar sıfırlanır.

Cournot Duopol ModeliCournot modelinde bir firmanın stratejisi, çıktı79miktarınınseçimidir. i. firma için strateji kümesini yazalım.{ : 0}S = q q ≥i i iBuna göre, firmanın strateji uzayı, negatif olmayan tüm çıktıkümesidir. Aşağıdaki talep ve maliyet fonksiyonlarına göre,kazanç fonksiyonu şöyle oluşacaktır:

( )P = a− bQ TC = c+t q,i80( ) [ ] ( )Π = Pq − c + t q = a −bQ q − c + t qi i i i i⎡n⎤Π = ⎢a−b∑q ⎥q − ( c+t)q⎣ ⎦i j i ij=1Diğer firmaların strateji seçimi belirliyken, i. firma en iyi tepkifonksiyonuna sahip olacaktır. En iyi tepki fonksiyonlarınıbulabilmek için, diğer firmaların stratejileri sabitken kârımaksimize ederiz.

⎡n⎤Π ( )i= ⎢a−b∑qj⎥qi − c+ t qi=⎣ j=1 ⎦81⎡Π = − −⎤− +⎣⎦n2( )i ⎢aqi bqi b∑qjqi⎥c t qij=2n∂Πi = a − 2bq ( )i − b∑qj− c + t = 0∂qij=2qia−c−t1= −2b2n∑j=2qj

Nash dengesi, n tane en iyi tepki fonksiyonunun eşanlı82çözümüyle elde edilir. Her bir firmanın oynayacağı Nash dengestratejisi (optimal üretim düzeyi) :q*i=a−c−t( n+1) bNash denge stratejisini, her bir firmanın kazançfonksiyonundaki yerine yazarak, denge kazanç değerlerinihesaplayabiliriz.

83⎛Π = −⎞− + = − − +⎝ ⎠n* * *( )*(*) *( )*i ⎜a b∑qj⎟qi c t qi a bnqi qi c t qij=1⎛ a−c−t ⎞a−c−t a−c−t= ⎜a−bn ⎟ − ( c+t)⎝ ( n+ 1) b⎠( n+ 1) b ( n+1) b=( a−c−t)( n+1)2b2

84Bu çözüm, her bir firmanın, diğer firmaların üretim düzeyisabitken karar aldığı biçimindeki Cournot varsayımı üzerinekuruludur. Bu nedenle denge, literatürde Cournot-Nash dengesiolarak anılmaktadır.

Bertrand Duopol Modeli85Cournot duopol modeli firmaların strateji seçimini üretimmiktarı üzerine oturtmaktadır. Cournot’un makalesinden 45 yılsonra Joseph Bertrand, aksak rekabet nedeniyle firmalarınüretim belirlemek yerine, fiyat stratejisine göre hareketedeceklerini öne sürmüştür. Bertrand’ın bu yaklaşımı, piyasadengesi üzerinde Cournot’ya göre önemli bir farklılıkyaratmaktadır.

86Bertrand modeli (Cournot modelindeki gibi) ürünühomojenvarsaymıştır. Ancak firmalar fiyat farklılaştırmasına gitmektedirler.Ürünler homojen olduğundan, tüketiciler ucuz malıalacak, yüksek fiyattan satan firmanın satış miktarı sıfırolacaktır. Bertrand modelinde firmalar fiyat stratejisi seçerler.i. firma için strateji kümesini yazalım.{ : 0}S = p p ≥i i i

87Kazanç fonksiyonlarını yazabilmek için, piyasa talepfonksiyonuna ihtiyaç duyarız. İlk olarak fiyat değişkeninitanımlayalım:p = min( p1, p2)Piyasa talep fonksiyonu:Q=Q( p)

88Bireysel firma için talep miktarı üç olasılığa sahiptir. Örneğin i.firma için bu üç olasılığı yazalım:p < p ⇒ q = Q( p)i j ip = p ⇒ q =i j ip > p ⇒ q =i j iQ( p)20

89Her iki firmanın da aynımarjinal maliyetle (c) çalıştığınıvarsayalım. i. firmanın kâr fonksiyonu:p < p ⇒ Π = pQ( p ) −cQ( p )i j i i i i1pi = pj ⇒ Πi=2⎡⎣pQ i( pi) −cQ( pi)⎤⎦p> p ⇒ Π =i j i0

Kâr fonksiyonu süreksiz biçimde olduğundan en iyi tepki90fonksiyonlarını türev yoluyla elde edemeyiz. Nash dengesini,tüm olası sonuç uzayı içinde arayacağız. Potansiyel denge, heriki firmanın da tüm pozitif fiyat bileşimlerini içerir. Uygulanacakfiyat, tekelci fiyattan (p m ) küçük, marjinal maliyetten (c) büyükolamaz. Diğer olasılıklar, aşağıdaki Şekil 3’de L biçimindekimavi alanla belirtilmiştir.

Şekil 3. Bertrand Duopol ModelindeFiyatlama Kararları91p 2p mccp mp 1

İki tür denge durumunu dışarıda bırakarak modelin çözümünü92yaparız. Birincisi, pozitif kâr sonuçları denge değildir. Her ikifirmanın fiyatı eşitse, bir firma çok küçük bir fiyat indirimiylepiyasanın tamamınıeline geçirir ve iki kat kâr elde eder.Fiyatlar eşit değilse, yüksek fiyatlı firma, diğer firma fiyatınınbiraz altına fiyatı çekerek sıfır kârdan pozitif kâra geçebilir. Bunedenle, pozitif kâr Nash dengesi için gereken koşulusağlayamaz.

Denge, her iki firmanın da sıfır kâr elde etmesini93gerektirmektedir. Yani düşük fiyat uygulayan firma, marjinalmaliyete eşit bir fiyatlama yapmalıdır. Yüksek fiyat uygulayanfirma marjinal maliyetten yüksek bir fiyatlama yapsaydı,marjinal maliyetten büyük, pozitif kâr elde etmişolan ilkfirmanın yüksek fiyatından küçük bir fiyat aralığı oluşurdu. Bunedenle, Nash dengesi olmaya aday tek olası durum şudur:p = p = c , Π =Π = 0* * * *1 1 1 1

Bunun bir denge olduğunu görebilmek için, bir firma fiyatını94düşürdüğünde negatif kâr elde edeceğini, fiyatını yükselttiğindede sıfır düzeyinde kalacağına dikkat edelim. Nash dengesi,dengedeki stratejiden daha yüksek bir kazanç sağlayan stratejiçiftinin olmamasını gerektirmektedir.Görüldüğü gibi Bertrand-Nash dengesi, Cournot-Nashdengesinden çok farklıdır. Şimdi de ürün farklılaştırması altındaBertrand modelini inceleyelim.

95Ürün n FarklılalaştırmasıÜrün farklılaştırması varsa, düşük ve yüksek fiyat stratejisiönemini yitirir. i.firmanın üretiminin, fiyatın doğrusal birfonksiyonu olduğunu varsayalım:q = a− p + bp , 0< b

96Her iki firma için de marjinal maliyetin sabit ve aynı(c)olduğunu varsayıyoruz. i. firmanın kâr fonksiyonu:( ) ( )( )Π = p q − cq = p − c q = p −c a− p + bpi i i i i i i i jMaksimizasyon birinci sıra koşulu oluşturalım ve buradan en iyitepki fonksiyonunu bulalım.∂Πia+ c ⎛b⎞= a− 2p + bp + c = 0 → p = + p∂p2 ⎜2 ⎟⎝ ⎠ii j i j

97Her iki firmaya ait tepki fonksiyonlarıaşağıdaki Şekil 4’degösterilmiştir. a>c olduğundan, her iki firma fiyatı, marjinalmaliyetten büyüktür. Ayrıca tepki fonksiyonları, Cournotmodelindekinin tersine, pozitif eğimlidir. Her bir firma rakibininfiyat artışına, kendi fiyatını artırarak tepki veriyor. Fiyatlamastratejisi, piyasa payına da değil, kârı korumaya yöneliktir.

Şekil 4. Fiyat Farklılaştırması ModelindeTepki Fonksiyonları98p 2R 1R 2a+c2E045a+c2p 1

Birinci sıra koşullardan elde ettiğimiz tepki fonksiyonlarını99eşanlı olarak çözersek, denge fiyatlarını elde ederiz.a+ c ⎛b⎞ a+c ⎛b⎞p = + p , p p2⎜2⎟ = +2⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 2 2 1pa+c= p =2 − b* *1 2

Rant Kollama Davranışı100Bu uygulamada, belirli miktardaki bir iktisadi pastanın,rekabetçi çerçevede paylaşımını inceleyeceğiz. Bazı durumlardaiktisadi karar birimleri ranttan pay alabilmek için rekabetçidavranış sergilerler. Örneğin vergi indirimlerini ya da gümrükkoruma oranlarının düşürülmesini isteyen sanayi lobilerinin budavranışı birer rant kollama davranışıdır.

101Bu türden rantlar elde edebilmek için, girişimciler bir deharcamaya katlanırlar. Elde edilecek rantın büyüklüğü, bununiçin yapılacak harcamaya bağlıdır. Rant kollama davranışıbireysel olarak rasyonel olmakla birlikte, tüm oyuncularaçısından kazanç azaltıcıdır.

İlk olarak iki oyunculu bir modeli dikkate alalım, daha sonrabunu n oyunculu duruma genelleştirelim.102R kadar bir iktisadi rantı paylaşan iki oyuncu varsayalım. Herbir oyuncu ranttan pay alabilmek için belirli bir harcama dayapmaktadır. Sırasıyla x 1 ve x 2 birinci ve ikinci oyuncunun buharcamasını göstersin. Her bir oyuncunun ranttan alacağı pay,rant için yapılan toplam harcamadaki harcama payına eşitolsun:si=xix+ixj

i. oyuncunun kazanç fonksiyonu:103Π = sR− x⎛= ⎜x ⎞⎟R−x⎝ ⎠ii i i⎜ixi+ x ⎟jBirinci sıra koşul:⎛⎞= R − = → x = x R−x( x ) i+ xj − xi1 0( ) 2 ⎟i j∂Πi ⎜ ⎟∂ x ⎜i x + x⎝⎠i j j

Oyuncular simetrik olduğundan, harcama düzeyleri dengede104eşit olacaktır.x xR x x*= − → =R4Aşağıdaki Şekil 5, oyuncuların en iyi tepki fonksiyonlarını vedengeyi göstermektedir. Tepki fonksiyonlarının doğrusalolmadığına dikkat edelim.

105Bunu yorumlayabilmek için 2. oyuncuyu dikkate alalım. Tepkieğrisinin pozitif eğime sahip bölümünde 2. oyuncu rantınyarısından çoğunu alır. Eğrinin negatif eğimli bölümünde ise,bunun tersi geçerlidir. Dengede toplam rantların yarısı, ikioyuncu arasında eşit paylaşılmıştır. Geri kalan yarı ise, verimsizrant harcamasına gitmiştir.

Şekil 5. Rant Kollama DavranışıModelinde Tepki Fonksiyonları106x 2RR 2x =*2R4E045R 1x =*1R4Rx 1

107Şimdi rant kollama davranışımodelini n oyunculu durumagenelleştirelim. Her bir oyuncunun rant payı:xs X xini,X j=1= =∑ji. oyuncunun kazanç fonksiyonu:Π =i⎛⎜⎜⎝nx∑j=1ixj⎞⎟⎟⎠R−xi

Birinci sıra koşul:108⎛⎜nx−x⎞⎟j i∂Π j 1i ⎜=⎟2n∂x⎜i⎛ ⎞ ⎟x⎜ ⎜∑j ⎟ ⎟j=1= R − 1=0⎝∑⎝⎠⎠Tüm oyuncuların simetrik olduğunu düşünerek x ’i çözelim.nx − x * n −1R− 1= 0 → x = R2 2n( nx)

109Toplam rant harcaması ve oyuncuların kazanç fonksiyonları daşöyle oluşacaktır.= =n −n1* *X nx RxΠ = − =XRn** *R x* 2

Şimdi karşılaştırmalı durağanlığı kullanarak, oyuncu sayısındakideğişimin denge değerini nasıl değiştirdiğine bakalım:110* 2∂x n −2 n( n−1) 2−n= R= R< 0 , n>24 3∂n n n*∂X n−( n−1) 1= R= R>2 2∂n n n0∂Π∂n*−2R=

111Kamusal MallarYukarıda incelediğimiz rant kollama davranışı modelinde sabitmiktardaki bir ekonomik kaynak (çıkar) oyuncular arasında, herbir oyuncunun bu ranttan pay almak için yaptığırekabetçiharcama ölçüsünde bölüşülmekteydi. Buradaki uygulamadarant oyuncuların harcamasına bağlıdır ve kamusal malniteliğindedir.

112Tam kamusal mallar (örneğin devlet televizyonu) iki özelliğesahiptir: Birincisi, oyunculardan birinin tüketim artışı, diğerinintüketim düzeyini düşürmez. İkincisi, bu tür malın üretiminekatkı yapmayanlar, tüketimden dışlanamazlar.

113Bu uygulamada şu sorulara yanıt arayacağız.1. Bireysel olarak seçilen Nash dengesi katkısı, toplumsal olarakoptimal midir?2. Oyuncu sayısındaki değişim, Nash dengesindeki ve toplumsaloptimal olan kamusal mallar düzeyini nasıl etkilemektedir?

114x i , i. oyuncunun harcama ya da kamusal mala katkı düzeyinigöstersin. Kamusal malın sağlayacağı toplam yarar (B), toplamharcamanın bir fonksiyonudur:B BX ( ) , X x= =∑nj=1j

Yarar fonksiyonunun konkav olduğunu, yani kamusal mallara115yapılan harcama artışının azalan marjinal getiriye sahipolduğunu varsayalım.2 2∂B ∂B ∂B ∂ B= = B′ ( X) > 0 , = = B′′( X) < 0∂X ∂x ∂X ∂xi2 2iBir bireyin kazancı, kamusal malın yararı eksi kamusal malısağlamak için oyuncu tarafından yapılan harcamadır:Π =iBX ( ) −xi

116Kazancın maksimizasyonu için gereken birinci ve ikinci sırakoşullara bakalım:∂Π∂xii2∂ Πi2∂xi= B′ ( X) − 1= 0 , = B′′( X) < 0

117Birinci sıra koşulların çözümünden, X* değerini elde ederiz.Birinci sıra koşulda nyer almadığından, toplam harcamakamusal malın denge düzeyi, oyuncu sayısından bağımsızdır.Toplumsal optimalite için de, kamusal maldan kaynaklanantoplam net yararların maksimize edilmesi gerekir. Toplam netyararlar, her bir bireyin kazançlarının toplamıdır:nnjj= 1 j=1( ) jΠ= ∑Π = ∑ − = −B( X) x nB( X)X

118Birinci ve ikinci sıra koşullara bakalım:∂Π∂Xj**= nB′ ( X ) − 1= 0 → B′( X ) =1nToplumsalOptimal2∂Πj∂X2= nB′′ X < B′X =*( ) 0 ( ) 1Nash DengesiBirinci sıra koşulun çözümünden elde ettiğimiz sonuç, Nashdengesi ile toplumsal optimalın farklı olduğunu göstermektedir.Şekil 6, kamusal mal düzeylerini göstermektedir.

Şekil 6. Kamusal Mallar DurumundaToplumsal Optimalite ve Nash Dengesi119B′( X)11nB′( X)X*X**X

120B(X) içbükey olduğundan, marjinal yarar fonksiyonuB′(X),negatif eğimlidir. Özel Nash dengesinin (X * ), toplumsaloptimaldan (X ** )küçük olmasının nedeni, her bireyin kamusalmal için yaptığıkatkının, diğer bireyler için dışsal yararlaryaratmasıdır. Bireysel maksimizasyon da bu yararlar gözönünde bulundurulmamaktadır.

121Ayrıca etkinsizlik derecesi (iki çözüm arasındaki fark), narttıkça büyür. Tüketici sayısının artması, bireysel tüketicinindiğer katkı yapanlar üzerinden bedavacılığını artırır. Bununsonucu olarak da fark büyür.

TÜMEL BİLGBLGİYEDAYALI DİNAMDNAMİKOYUNLAR

123Önceki bölümde, oyuncuların eşanlı seçim yaptıkları statikoyunları inceledik. Şimdi oyuncuların peşi sıra seçim yaptıklarıdinamik oyunları inceleyelim. Bu tür oyunlar, iktisadi ilişkilerintarihsel bir süreçte geliştiği durumlara uygundur. Bir piyasadayerleşik olan firmaların, kararlarını piyasa için potansiyelfirmaların girip girmeyeceği hesapları üzerine kurması buna birörnektir.

Ayrıca piyasadaki yerleşik firmalar arasındaki pazarlık süreci de124dinamik oyunlar ile incelemeye uygundur. Statik oyunlardakazanç matrisi, tepki fonksiyonu gibi araçları kullandık. Ancakbu araçlar dinamik oyunlara uygun değildir. Dinamik oyundastrateji bir hareket değil, oyun anında nda oluşabilecek tüm t m olasıdurumlar karşışısında bir oyuncunun hareketlerinin bütünsel bbirtanımıdır.

125Statik oyundaki normal biçimi dinamik bir oyundakullandığımızda, peşi sıra gelen hareketleri göstermemizolanaksızlaşır. Bu nedenle yayvan biçimim adını verdiğimiz biraraç kullanırız. Yayvan biçim, oyundaki dizimsel hareketleri eniyi anlatabilecek olan oyun ağacı ile betimlenmektedir.

Statik ve dinamik oyunlar arasındaki fark yukarıda söz ettiğimiz126bir araç yöntemi farkından ibaret değildir. Statik oyunlardaçözüm Nash dengesi ile ifade edilmektedir. Ancak bu kavramdinamik oyunlar için çok yetersizdir. Dinamik oyunlarda Nashdengesi, oyuncuların başat altı hareketleri (stratejileri değil)seçmelerine olanak sağlanması anlamında mantıksız sonuçlarıiçerebilir.

127Dinamik oyunlarda Nash dengesinin güçlü biçimi, alt oyunlu-tam Nash dengesiolarak ifade edilmektedir. Şimdi yayvanbiçime ilişkin tanımdan başlayarak, ayrıntılı incelemesinegirişelim. Oyunlarda oyuncular 0,1,.....,n biçiminde numaralandırılmıştır.0 doğayı, yani n sayıda oyuncu asıl kararları alırken,oluşabilecek tesadüfi olayları temsil etmektedir.

128Bir oyunun yayvan biçimi şunları tanımlar:1. Oyuncular kümesini.2. Hareketlerin sırasını.3. Oyuncunun yer alabileceği her bir hareketteki olasıdavranışlarını ve bu olası davranışları ile olasılık dağılımfonksiyonunca tanımlanmış olan doğa karşısındakihareketleri.

1294. Her bir harekette bir oyuncunun sahip olacağı bilgiyi.5. Her olası hareket bileşimlerine karşılık gelen n oyuncununkazançları.Oyun ağacının en basit biçimini tanımlayarak başlayalım: İkiseçim ve bir oyuncu. Oyun ağacı, çok sayıda dallar ve budalların birleştiği (ya da alt dallara ayrıldığı) noktalardanoluşur. Bağlantı noktaları kararları ya da sonuçları, dallar damevcut kararları gösterir.

130Şekil 7’de bir oyunculu oyun ağacı gösterilmiştir. Oyuncu ikiolası karara sahiptir. L ve R. Başlangıç noktası, 1. oyuncununkarar noktası olması anlamında 1’dir. Sol ve sağ dallarınucundaki noktalar, varış noktalarıdır ve kazançlarıgöstermektedir. Bu oyunda denge, bireye en yüksek kazancısağlayan davranışın seçilmesidir.

131Şekil 7. Tek Oyunculu Modelde Oyun Ağacı1LRΠLΠR

Buna benzer biçimde, iki oyunculu dinamik oyunu da132oluşturabiliriz. Bir yatırım kararı oyununu dikkate alalım. Herbir firma piyasaya girişe olanak sağlayan bir yatırımı yapıpyapmama kararı karşısında seçim yapma durumunda bulunsun.Firma yatırım yapmazsa, piyasa dışında kalır ve sıfır kâr eldeeder. Bu örneği eşanlı kararların verildiği bir statik oyun olarakgörmüştük.

133Kararlar peşi sıra (dizimsel) verilirse ne olur? 1. oyuncunun ilkkarar veren olduğunu kabul edelim. 2. oyuncu, 1. oyuncunundavranışını öğrendikten sonra kendi kararını verecektir. Buoyunun ağacı Şekil 8 ile verilmiştir. Şekilde E piyasaya girişi, Spiyasa dışında kalma kararını; Π kârı, -L zararı simgelemektedir.Kazanç bileşimlerindeki ilk kazanç 1. oyuncuyu, diğeri 2.oyuncuyu göstermektedir.

134Şekil 8. Dizimsel OyunE1S2 2E S E S −L,− L Π,00,Π 0,0

Bu oyunda dengeyi bulabilmek için geriye doğru tümevartmevarım135tekniğini kullanacağız. Bu teknik şunları içerir:1. Oyundaki son karar noktasının incelenmesi.2. Oynanmamış davranışların elenmesi.3. Bu elenmiş davranışların silinmesi.4. Oyun ağacının yeniden çizilmesi.5. Yukarıdaki sürecin yinelenmesi.

Yukarıda ele aldığımız iki oyunculu (firmalı) yatırım oyununda136son karar noktası, 2. oyuncununkidir. 1. firma (oyuncu)piyasaya giriş kararı aldığında (ağacın sol dalı), 2. firma için eniyi seçim piyasa dışında kalmaktır (çünkü piyasaya giriş kararıverirse, L kadar zarar edecektir). 1. firma piyasa dışında kalmakararıaldığında (sağdaki dal), 2. firma için en iyi kararpiyasaya giriş yapmaktır. Şekil 9, bu durumlar dikkate alınarakyeniden çizilmiş olan budanmışoyun ağacaacını göstermektedir.

137Şekil 9. Dizimsel Oyun: Geriye DoğruTümevarım ve BudamaE1S2 2SEΠ,00,Π

Şimdi oyunu çözebiliriz. Her iki oyuncunun da rasyonel138olduğunu ve rasyonelliğin de herkesçe bilindiğini varsayıyoruz.Bu durumda, 2. firmanın rasyonel davranışı gerçekleştireceğinibilen 1. firma, kendisi için rasyonel olan piyasaya girişiseçecektir. Çünkü bu durumda, kendisi Π kadar bir pozitif kâr,rakibi de sıfır kâr elde etmektedir. Bu nedenle denge, 1.firmanın piyasaya girme kararı, 2. firmanın piyasa dışındakalma kararıdır.

139Bilgi KümesiKYukarıdaki piyasaya giriş kararı örneğinde 2. firma, 1. firmakararından sonra karar alacağını bilmekteydi. Fakat 2. firmabunu başından bilmeseydi ne olurdu? Şimdi eşanlı bir kararverme süreci çerçevesinde oyun ağacını inceleyelim. Bunun içinbilgi kümesi kavramını tanıyalım.

140Bir bilgi kümesi, aynı karar dallarına sahip olan fakat oyununhangi karar noktasına ulaşıp ulaşmadığını bilmeyen biroyuncunun karar noktaları bütünüdür.Tüm bilgi kümesinin tek karar noktalarından oluştuğu oyunlar,tam bilgiye dayalı oyunlar olarak ifade edilmektedir. Eğer bazıoyunlarda karar noktalarıtek değilse, eksik bilgiye dayalıoyunlar söz konusudur.

141Şekil 10, piyasaya girişoyununun eşanlı-hareket durumunugöstermektedir. Bu, eksik bilgiye dayalı statik oyunun yaygınbiçimdeki gösterimidir. Kesikli çizgi, 2. oyuncu için bir bilgikümesidir. Kesikli çizgi, 2. oyuncunun piyasaya giriş yapma yada yapmama kararlarından birini seçeceği bir karar noktasındabulunduğunu, ancak 1. firmanın hangi kararı almış olduğunubilmediğini göstermektedir. Şekil 11, Şekil 10’un alternatif birgösterimidir. Her iki şekilde özdeştir.

142Şekil 10. Eşanlı Yatırım Oyunu: IE1S2 2E S E S −L,− L Π,00,Π 0,0

143Şekil 11. Eşanlı Yatırım Oyunu: IIE2S1 1E S E S −L,− L Π,00,Π 0,0

144Belirsizlik ve Tesadüfi Durumlara Göre GHareketYeniden yukarıdaki piyasaya giriş örmeğimizi dikkate alalım vepotansiyel tüketici talebinde bir belirsizlik olduğunuvarsayalım. İki piyasa ölçeği dikkate alalım. Büyük ölçeklipiyasa (L) ve orta ölçekli piyasa (M).

145Büyük ölçekli piyasaya her iki firmanın da giriş yaparak pozitifkâr elde edebileceğini; orta ölçekli piyasada ise yalnızca birfirmanın pozitif kâr elde edebileceğini varsayalım. q , büyükpiyasa olma olasılığını; 1-q , orta ölçekli piyasa olma olasılığınıgöstersin.

146Şekil 12-15, bu oyunun dört olası durumunu göstermektedir.İlk iki şekil dizimsel oyunu (1. oyuncu ilk karar veren veaçıklayandır), diğer ikisi eşanlı oyunu betimlemektedir. Sonuçnoktalarında pozitif kazançlar (+), zarar (-) ile simgelenmiştir.Şekil 12, tüm bilgi kümelerinin tek karar noktasından oluştuğubir durumu göstermektedir. Bu nedenle, bu oyunda:

1471. Piyasa büyüklüğü (ölçeği) tesadüfi olarak belirlenmektedir.2. Firmalar piyasa büyüklüğünü (L ya da M) öğrenmektedir.3. 1. firma piyasaya giriş (E) ya da piyasa dışında kalma (S)seçeneklerinden birini seçmektedir.4. 2. firma, 1. firmanın kararını öğrendikten sonra piyasayagirme ya da dışında kalmaya karar vermektedir.

148Şekil 12. Tesadüfi (Bilinen) TalepLNq 1−qM1 1E S E S 2 2 2 2 E S E S E S E S + , + + ,0 0,+ 0,0 −,− + ,0 0,+ 0,0

Şekil 13 firmaların yine dizimsel seçim yaptıkları, ancak bu149sefer piyasa büyüklüğünü bilmeden karar aldıkları bir oyunugöstermektedir. Bu durumda 1. firma için iki karar noktası tekbilgi kümesi anlamına gelir. 2. firma içinse iki bilgi kümesivardır. Bunlardan birisi, 1. firmanın piyasaya girmesi (ancakpiyasa büyüklüğünü bilmiyor), ikincisi de piyasa dışındakalması (yine piyasa büyüklüğünü bilmiyor) durumlarındaoluşmaktadır.

150Şekil 13. Tesadüfi (Bilinmeyen) TalepLNq 1−qM1 1E S E S 2 2 2 2E S E S + , + + ,0 0,+ 0,0 −,− + ,0 0,+ 0,0ESES

151Şekil 14. Eşanlı Hareketler ve Bilinen TalepLNq 1−qM1 1E S E S 2 2 2 2E S E S E S E S + , + + ,0 0,+ 0,0 −,− + ,0 0,+ 0,0

152Şekil 15. Eşanlı Hareketler ve Bilinmeyen TalepLNq 1−qM1 1E S E S2 2 2 2 E S E S E S E S + , + + ,0 0,+ 0,0 −,− + ,0 0,+ 0,0

Yayvan Biçimli imli Oyunlarda Denge153Statik oyunlarda olduğu gibi, dinamik oyunlarda da Nashdengesi vardır. Ancak çok zayıf olmasınedeniyle, dinamikoyunların çözümünde Nash dengesi kavramını kullanamayız.Nash dengesinin çok zayıf olmasından, bazı yayvan oyunlarınanlamsızlığını kastediyoruz.Anlamlı ve anlamsız Nash dengesini ayırt edebilmek için, altoyunkavramını tanımamız ve yayvan biçimli bir oyundastratejiyi tanımlamamız gerekir.

154Alt-OyunlarBir oyunun bir bölümü olan alt-oyun, şu özelliklere sahiptir:1. Tek bir bilgi kümesine sahip bir karar noktasında başlar.2. Başlangıç karar noktasından sonra, asıl oyunun tüm kararnoktalarını ve dallarını kapsar.3. Asıl oyunun hiçbir bilgi kümesini kesmez.

155Şimdi yukarıda verdiğimiz alt-oyun tanımına bakarak, öncekiörneklerimizde yer alan alt oyunları görebiliriz. Örneğin, Şekil12’de altı tane alt-oyun vardır. İki tanesi 1. firmanın her bir tekkarar noktasında, Dört tanesi 2. firmanın her bir tek kararnoktasında. Şekil 13’de yalnızca 1. firmanın her bir tek kararnoktasında olmak üzere iki tanedir.

156Şekil 13 ve 14’de tek karar noktaları bulunmadığından, alt-oyunyoktur. Üçüncü özelliği vurgulamak açısından, piyasaya girişoyununun son bir olası durumunu dikkate alalım. 1. firmanınpiyasa büyüklüğünü öğrendiğini, ancak 2. firmanın ne piyasabüyüklüğünü ne de 1. firmanın kararını bilmediğini varsayalım.1. firma için tek karar noktası vardır. Fakat asıl oyunun altoyunuyoktur. Bu, Şekil 16’da gösterilmiştir.

Şekil 16. Birinci Firma İçin Tam, İkinciFirma İçin Eksik Bilgi Altında Oyun157LNq 1−qM1 1E S E S2 2 2 2 E S E S E S E S + , + + ,0 0,+ 0,0 −,− + ,0 0,+ 0,0

Stratejiler158Eşanlı hareketli bir oyunda strateji, doğrudan yapılan eylemdir.Örneğin Cournot duopol modelinde firmanın stratejisi, üretimmiktarının seçilmesiydi. Buna karşın dinamik oyunlardaoyuncular yalnızca bir eylemi değil, aynı zamanda karşı eylemide gerçekleştirirler. Aynı zamanda, oyunun ilerleyenaşamalarında oluşabilecek tüm durumlarda nasıl bir karşıeylemde bulunacağını da planlar. Dolayısıyla dinamik biroyunda strateji tanımı, bu unsurları içerir.

159Buna göre dinamik oyunda strateji;Bir oyuncunun oyun ağacındaki tüm olasıkarar noktalarınıdikkate aldığı eylemleri tanımlayan geniş kapsamlı bir plandır.Bu tür bir plan oyunun kronolojik sürecine bağımlı olabilir vekarma stratejileri içerebilir.

160Yayvan biçimli bir oyunda strateji kavramını, farklı bir piyasayagiriş oyunuyla görelim. 1. firma hali hazırda piyasada faaliyetgösteriyor olsun. 2. firma ise piyasaya giriş yapıp yapmamakararını verecektir. 2. firmanın piyasaya giriş kararı karşısında,1. firma yüksek fiyat (H) ve düşük fiyat (L) stratejileriniseçebilecektir.

161Şekil 17’de bu oyun yer almaktadır. 2. firma bir kararnoktasına, iki de eyleme sahiptir. Strateji seçimleri piyasayagiriş (E) ve piyasa dışında kalmaktır (S). 1. firma iki eyleme (Hya da L), dört stratejiye sahiptir. Tüm olasılıklar çerçevesindebir strateji, bir eylem tanımlar.

162Burada 1. firma için bir strateji, bir çift olası eylem demektir:Birincisi 2. firma piyasaya girişyaparsa, ikincisi de piyasadışında kalırsa ortaya çıkmaktadır. 1. firma için olası stratejikümesini yazalım:{( ) ( )( )( )}S1 = H, H , H, L , L, H , L,L

163Şekil 17. İkinci Firmanın Yatırım KararıArdından Birinci Firmanın Fiyatlama KararıE2SH1 1LHL + , + −,− + ,0 −,0

164Alt-Oyun Tam Nash DengesiNash dengesinin dinamik oyundaki tanımı, statik oyundakiyleaynıdır: Eğer oyuncular farklı bir strateji seçmek için bir nedengörmüyorlarsa, bu durum Nash dengesidir. Nash dengesinibulabilmek için normal biçimli bir oyundan yararlanalım.

165Kazanç matrisi şöyledir:1. FirmaHHHLLHLL2. FirmaE S⎡+ , + + ,0⎤⎢ ⎥⎢+, + −,0⎥⎢ ⎥⎢−−, + , 0⎥⎢ ⎥⎢⎣−−, −,0⎥⎦

166Yukarıdaki kazançmatrisinde her bir oyuncunun rakibininstrateji seçimi karşısındaki en iyi tepkisi altı çizgili (renkli)gösterilmiştir. Aynı anda altı çizili olan üç seçim, Nashdengesidir. Bunları E 1 , E 2 ve E 3 olarak gösterelim.1. FirmaE : ( H , H )1E : ( H , L)2E : ( LH , )32. FirmaEES

167Bu oyunda üç Nash dengesi olmasına karşın, E 2 ve E 3 sorunludengelerdir. Şekil 17’yi yeniden inceleyerek bunu görebiliriz. 2.firma piyasaya giriş kararı aldığında, 1. firma için en iyi altoyunyüksek fiyat uygulamaktır. Aynı durum, 2. firma piyasadışında kalmaya karar verdiğinde de geçerlidir.

168Dolayısıyla her iki alt-oyunda da H başattır. Ancak E 2 ve E 3Nash dengesi olmakla beraber, potansiyel olarak başat-altıoyunları da (düşük fiyatlama) içermektedir.Her hangi birnedenle 2. firma kendisi için en iyi olan stratejiden sapmagösterirse, 1. firmanın rasyonel seçim yapması olanak dışı olur.

Asıl oyunun tüm alt oyunlarında bir strateji kümesinedayanarak yapılan eylemler Nash dengesine yol açıyorsa,yayvan biçimli oyundaki bu strateji kümesi alt-oyun tam Nashdengesidir.169Statik oyunlar için kullandığımız Nash dengesi kavramını,dinamik oyunlarda alt-oyun tam Nash dengesi olarakkullanıyoruz. Bir tam bilgiye dayalıoyunda geriye doğrutümevarım tekniğiyle, alt-oyun tam Nash dengesi aynışeylerdir. Dinamik oyunlar, karma strateji dengesine sahipolabilirler.

170Alt-Oyun Tam Nash Dengesi için i in ÖrnekŞimdiki örneğimiz iki oyunculu, sürekli değişkenler içeren birbiçime sahiptir. Oyunun kurgusu şöyledir:1. 1. oyuncu x 1 eylemini seçer.2. 2. oyuncu bunu izler ve ardından x 2 eylemini seçer.3. Oyuncular П 1 (x 1 ,x 2 ) ve П 2 (x 1 ,x 2 ) fonksiyonlarınca tanımlanankazançları elde ederler.

171Bu problemi çözmek için, asıl oyunun alt-oyunu olan 2.oyuncunun x 2seçimiyle başlarız. 2. oyuncunun kazancınınmaksimizasyonu problemini çözeriz. 2. Oyuncu için birinci sırakoşul:∂Π( x , x )2 1 2∂x2=0

x = R ( x )*2 2 1Bu denklemin çözümünden, biçimindeki tepki fonksiyonunubulabiliriz. 2. oyuncunun stratejisini belirlediktensonra, 1. oyuncunun kararına bakarız. Ortak rasyonellikvarsayımını benimsersek, 1. oyuncu, 2. oyuncunun rasyonelseçim yapacağını düşünecektir. Buna göre 1. oyuncunun kazançfonksiyonunu ve birinci sıra koşulu yazalım:(*x , x ) ( x , R ( x ))Π =1 1 2 1 2 1172( , ( ))dΠ1 x1 R2 x1 ∂Π1 ∂Π1 ∂R2= + =dx ∂x ∂x ∂x1 1 2 10

Yukarıdaki birinci sıra koşul iki etkiyi barındırmaktadır. Birinci173terim statik oyun dengesi (eşanlı), ikinci terim dizimselseçimlere sahip dinamik oyun dengesini yansıtmaktadır.Şimdidaha önce verdiğimiz bir örnekteki sayısal kazançfonksiyonlarını kullanarak açık çözüm elde edelim.

Π = 10x − x − x x −3x21 1 1 1 2 1174Π = 10x − x − x x −2x22 2 2 1 2 1Statik oyundaki en iyi tepki fonksiyonları şöyleydi:.( ) ( )x = R ( x ) = 7 − x , x = R ( x ) = 8−x1 11 1 2 2 2 2 2 1 2 1x= 2 , Π = 4 , x = 3 , Π = 9* *1 1 2 2

175Şimdi de ilk olarak 1. oyuncunun oyuna başladığı bir dinamikmodel düşünelim. Statik oyunda elde ettiğimiz (2. oyuncuyaait) tepki fonksiyonu, 2. oyuncunun strateji kuralını oluşturur.Bu fonksiyonu 1. oyuncunun kazanç fonksiyonuna uygulayarak,denge değerini bulabiliriz.

Π = 10x − x − x x −3x21 1 1 1 2 1176( )2 1Π x , R ( x ) = 10x − x − x ⎡⎣ ( 8− x ) ⎤⎦−3x1 1 2 1 1 1 1 2 1 1( )Π x , R ( x ) = 3x − x1 21 1 2 1 1 2 1( , ( ))dΠx R x1 1 2 1dx1= 3− x = 01x= 3 , Π = 4.5 , x = 2.5 , Π = 6.25* *1 1 2 2

177Statik ve dinamik oyunların sonuçlarınıkarşılaştırdığımızda,dinamik oyunda 1. oyuncunun oyuna ilk başlayan olmaavantajıyla daha iyi bir sonuç elde ettiğini görebiliriz. Ancakburadaki sonuçtan, tüm oyunlarda ilk hareket eden olmanınavantaj sağladığısonucunu çıkaramayız. Sonuçlar, oyununyapısına bağlıdır.

İki AşamalAamalı Oyunlar178İki aşamalıoyun, bir oyunun diğerini izlediği biçimde biroyundur. İktisadi uygulamalara baktığımızda, genellikle ilkoyun aşamayı ya da oyun ortamını oluşturur; ikinci aşamada daoyun oynanır. Örneğin ilk aşamada firmalar ürün kalitesini,ikinci aşamada da fiyatı belirlerler. Bir başka örneği de dışticaretten verebiliriz. İlk aşamada hükümet, dış ticarete katılanfirmalar için birinci aşama (ya da çevresel koşullar) olan dışticaret politikasını belirler, ikinci aşamada firmalar ihracat veithalat kararlarını verirler.

179Şimdi her aşamada eşanlı, ancak aşamalar arasında dizimselolan oyunlar üzerinde duracağız. Hareketlerin de kesikli değil,sürekli olduğunu varsayıyoruz. İlk aşamada 1. ve 2. oyuncularsırasıyla x 1 ve x 2 seçimlerini yaparlar. 3. ve 4. oyuncular buseçimi izledikten sonra, ikinci aşamada eşanlıolarak kendiseçim kararlarını (x 3 ve x 4 ) verirler.

180Alt-oyunun tamlığı, asıl oyunda dengenin var olabilmesi için,ikinci aşamadaki alt-oyunda da Nash dengesinin var olmasınıgerektirir. İkinci aşama alt-oyunu x 1 ve x 2 seçimlerini verialmaktadır. Bu nedenle 3. ve 4. oyuncular, kendi kazançfonksiyonlarını maksimize edecek olan x 3 ve x 4 seçimlerinigerçekleştirirler.

181Π =Π( x , x , x , x )3 3 1 2 3 4Π =Π( x , x , x , x )4 4 1 2 3 4∂Π∂x∂Π= 0 , = 0∂x3 43 4( , ) , ( , )x = R x x x = R x x* *3 3 1 2 4 4 1 2

182Burada dikkati çeken nokta, x 1 ve x 2 seçimleri içsel olmaklaberaber, x 3 ve x 4 seçimleri yıldız (asteriks) işaretiyle gösterilmişolmasıdır. Bu sanal sıkıntıyıaşmanın yolu, yeniden birinciaşamaya dönerek, 1. ve 2. oyuncular için kazanç*x 3maksimizasyonunu, ve veriyken belirlemektir.*x 4

183Π =Π( x , x , R ( x , x ) , R ( x , x ))1 1 1 2 3 1 2 4 1 2Π =Π( x , x , R ( x , x ), R ( x , x ))2 2 1 2 3 1 2 4 1 2dΠ ∂Π ∂Π ∂R∂Π ∂R= + + =dx x x x x x1 1 1 3 1 4* *1∂1∂3∂1∂4∂10dΠ ∂Π ∂Π ∂R∂Π ∂R= + + =dx x x x x x2 1 1 3 1 4* *2∂2∂3∂2∂4∂20

1841. ve 2. oyuncular arasında oynanan basit statik oyunla, birinciaşamada seçim yapılan dinamik oyun arasındaki farka dikkatedelim. Dinamik oyun, birinci aşamadaki oyuncularınkararlarının, ikinci aşama kararları üzerindeki dolaylı ya dastratejik etkilerini içerir.

185Tüm oyunun çözümü, dört oyuncunun da birinci sırakoşullarından elde edilen stratejileri sağlayan alt-oyun tamNash dengesidir. Bu dengeyi şöyle yazabiliriz:{ * * * ( * * ) * ( * *)}1, 2, 3 3 1, 2,4 4 1,2E = x x x = R x x x = R x x

186Yinelenen OyunlarYinelenen oyunlar, bir başka önemli oyunlar türüdür. Örneğintutsaklar açmazıya da Cournot duopol modelini yenidendikkate alalım. Bu oyunlar, bir statik oyunda oyuncularınbirbirlerini bir kerelik etkilemelerine izin vermektedir.

187Gerçek iktisadi yaşamda oyun belirli bir dönemde oynanmasınakarşın, alınan kararların etkileri izleyen dönemlerde desürebilmektedir. Yani statik oyunun yinelenen oyunlarındanoluşan bir dinamik oyundan söz ediyoruz. Yinelemeler, izleyenoyunlarda yeni beklentilerin oluşmasına yol açması bakımındanönemlidir.

188Örneğin tutsaklar açmazında her bir oyuncunun önünde ikistrateji vardır: işbirliği yapmak ya da işbirliğinden kaçınmak.Yinelenen tutsaklar açmazında, strateji uzayı daha karmaşıktır.Bir oyuncu, diğer oyuncunun geçmişte verdiği kararların etkisialtındadır.

Şimdi G olarak adlandıracağımız bir statik oyunu dikkate alalım.189G(T), T kere yinelenen bir dinamik oyun olsun. Örneğin Goyununu iki oyunculu bir tutsaklar açmazı olarak düşünelim.Kazanç matrisi şöyledir:1. Oyuncu2. OyuncuC DC ⎡ R, R L,W⎢D ⎢⎣W, L P,P⎤⎥⎥⎦

190C, işbirliği yapma; D, işbirliğinden kaçınma; R, ödül; L, kayıp,W, kazanma; P, ceza olarak kullanılmıştır. Aynı zamanda şueşitsizliklerin de sağlanması gerektiğini varsayalım:W > R> P > L , R>W+2L

191Yukarıdaki ilk eşitsizlik tutsakların çıkmazı oyununutanımlamakta, ikincisi de oyuncunun işbirliğine gitmekle eldeedeceği kazancının, işbirliği ve işbirliğinden kaçınma kararlarıarasında değişikliğe gitmekle elde edeceği kazancını aşacağınısöylemektedir. Daha önce ele aldığımız statik oyunda her ikitutsak için işbirliğinden kaçınmak tek Nash dengesiydi.

192Şimdi oyunun T sayıda yineleme ile oynandığını varsayalım veson dönemi dikkate alalım. Artık bu dönemde iki tutsağınbirbiriyle işbirliğine girip girmeyeceği davranışlarının neolacağının bir önemi yoktur. Yani adete bir statik tutsak çıkmazıoyunuyla karşı karşıyayızdır. Bu nedenle her iki tutsak için debu alt oyunun dengesi, işbirliği yapmamak stratejilerininseçimidir.

193Şimdi de T-1 dönemini dikkate alalım. Tutsaklar son dönemde(T) işbirliğine girmeyeceklerinden, T-1 dönemi için deişbirliğine gitmemek davranışı tek dengedir. Bu süreci geriyedoğru tümevarım tekniğiyle götürürsek, tüm dönemlerdedinamik oyunun alt-oyun tam Nash dengesinin işbirliğiyapmamak stratejisi olduğunu söyleyebiliriz.

194Teorem 4:G, T kere yinelenen bir statik oyun olsun. G tekNash dengesine sahipse, tek alt-oyun tam Nash dengesi, tüm Tdönemlerinde G ’nin bu statik denge stratejisini oynamaktır.

195Eğer yinelenen oyunun zaman ufku sınırsızsa, gelecekteoluşacak kazançların bugünkü değerine indirgenmesi gerekir.Sınırsız zaman ufkunda yinelemeli bir oyunda bir oyuncununkazancı, her bir dönemde elde edilen kazançların toplamınınbugünkü değeridir.

196Oyuncunun t döneminde elde ettiği kazanca Π tve indirgemeoranına da δ diyelim. Buna göre bugünkü değer:V∞t1= ∑ δ Πt, δ = < 11+rt = 0

197Sınırsız zaman ufkuna sahip bir oyunda son dönem belirliolmadığından, denge değerine geriye doğru tümevarım yoluylaulaşamayız. Bunun yerine, şimdi tanımlayacağımız farklıbiryöntem kullanırız. Bu yöntemde stratejiyi, her bir t dönemindeyaptıklarının özeti olarak tanımlayabiliriz. Yani t dönemindekidurum, oyuncunun tüm geçmiş davranışlarını göstermektedir.

198Ancak dengenin bu şekildeki aranışı bizi sonsuz sayıda dengeyegötürebilir. Bu türden sorunlardan uzak kalmak için genelliklebelirli bir sonuca odaklanırız. Örneğin Pareto optimal sonucagöre, herkesin kazancını aynı anda artıramayız. Tutsaklaraçmazı oyunu açısından bakarsak bu, her bir dönemdetutsakların işbirliğine girmesi demektir.

İlk olarak iki oyunculu bir pazarlık modelini inceleyelim.Örneğin firmalar ile sendikalar arasındaki ücret pazarlık süreci.Önce ister al ister alma biçiminde bir sürece bakalım. Ardından,bir anlaşmaya ulaşıncaya kadar kıyasıya bir pazarlığı ele alalım.199İkinci uygulama olarak dışticaret teorisi çerçevesinde ikiaşamalı bir oyuna bakıyoruz. Üçüncü uygulamamız, önce birincifirmanın ve ardından ikincinin karar aldığı bir duopol piyasadaliderlik konusu inceleniyor. Son olarak statik oligopol teori,yinelemeli oyun olarak ele alınıyor.

Dizimsel Pazarlık k Modeli200Bu oyunda oyuncular, önerilerini zaman içinde peşi sıravermektedirler. Ortak bir girişim yapacak olan iki firmadüşünelim. Her bir firma teknolojisi ya da uzmanlığıyla bugirişime katılabilir ve girişimin başarısında etkili olabilir.Girişimin belirli bir kâr sağladığını ve bunu firmaların bildiğinivarsayalım. Firmalar açısından sorun, bu kârın nasıl paylaşılacağıdır.Firmalar paylaşımda anlaşabilirlerse, girişim gerçekleşir,aksi halde iptal edilir.

Pazarlık modelinin ilk dönemini ele alalım. x ve y oyuncularınınbir liralık bir kazancı pazarlık yoluyla nasıl paylaşacaklarına201bakalım. t 0 anında x ’in s 0 kadar bir pay alma önerisindebulunduğunu varsayalım. Buna göre y, 1-s 0 kadar pay alacaktır. ybu öneriyi kabul ederse, bu kazanç paylaşımı üzerindeanlaşırlar. Reddederse, anlaşma olmaz ve oyun t 1dönemindeyeniden başlar. Ancak t 1dönemindeki kazancın, indirgenmesigerekir. Bu, anlaşma geciktikçe, taraflara bir yük gelmesidemektir.

202Şekil 18, bu oyunu göstermektedir. A, önerinin kabulünü, Rreddini ifade etmektedir. Oyunu çözmek için geriye doğrutümevarım yöntemini kullanalım. Son karar noktasında oyuncuy, x’in önerisini kabul ederse 1-s 0 , reddederse δΠ y kadar(indirgenmiş) kazanç elde eder. Eğer,1−s≥δΠ → s ≤1−δΠ0 y0yolursa, oyuncu y öneriyi kabul edecektir.

203Şekil 18. Bir Dönemlik Pazarlık ModelininOyun Ağacıxs 0yAs,1−s0 0RδΠx, δΠy

204Şekil 19, oyuncu y ’nin seçim kuralına göre budanmış olan oyunağacını göstermektedir. Oyuncu x kendisi için payınıs ≤−δΠisterse, önerisi reddedilmektedir. durumu kabul01ys >−δΠ01yedilmektedir. x kabul edilecek bir öneri götürürse, x açısındanoptimal öneri ‘dir. Bu nedenle, bu öneri oyunundengesidir ve x ile y sırasıyla, 1 − δΠ , δΠ kazançlarını eldeetmektedirler.s =−δΠ01yyy

205Şekil 19. Bir Dönemlik Pazarlık ModelininBudanmış Oyun Ağacıxs0= 1−δΠys0> 1−δΠyyyAR1 −δΠ , δΠ δΠ , δΠyyxy

206Şimdi bir uçΠ =Π =durum dikkate alalım. Eğer olursa, xxy0s =tüm kazancı alır: . Bu durum, y çok zayıf bir pazarlık01Π =Π =gücüne sahipse gerçekleşir. Diğer uç durum, ‘dir. yxy1δΠ ybugünkü değer ( ) ölçüsünde, x bugünkü değerden dahabüyük bir kazanç elde eder:s0= 1−δΠ = 1 −δ(1 −Π ) = (1 − δ)+δΠ > δΠy x x x

207İki Dönemli D(İki(Önerili) Bir Pazarlık k ModeliBu modelde oyuncuların öneriler yapabilme fırsatlarınınbulunduğunu varsayıyoruz. Peşi sıra oluşacak hareketlerşöyledir:1. x, s 0 kadar bir öneri yapar.2. y bunu kabul ederse oyun biter, reddederse oyun sürer.3. y , s 0 önerisini reddederse, x ’e s 1 önerisini götürür.

2084. x , y ’nin karşı önerisini kabul ya da reddeder.5. x karşı öneriyi reddederse, x’in s , y’nin de 1-s kadar birdışsal pay aldıkları bir paylaşımla oyun biter.

5. aşamada kazancın zaman içinde azalmadığı varsayılmıştır.209Ancak ödemelerin bugünküdeğeri azalacaktır. Bu oyununağacı, Şekil 20’dedir.Çözüm geriye doğru tümevarım yöntemiyle yapılmaktadır. Sonskarar noktasında x , gibi bir öneriyi kabul eder. y,1≥δsgereğinden fazla bir miktar önermeyeceğinden, önerisiolarak gerçekleşir. Şekil 20, son iki kararı çözdükten sonras1= δsçizilmiştir. Bir sonraki aşamada, s 0önerisinin kabul görüpgörmeyeceğine bakıyoruz.

Şekil 20. İki Dönemlik Pazarlık ModelininOyun Ağacı210xs 0yRyAs,1−s0 0s 1xAδs, δ(1 −s)1 1R2 2δ s, δ (1 −s)

211Şu koşullar gerçekleşirse, y, (1-s 0 ) önerisini kabul eder:( )21− s ≥δ 1−δs → s ≤1−δ+δs0 0s 0 ’ın maksimum değeri (δ 2 s), x ’in başlangıç önerisinden gelenkazancını aşar. Denge, x tarafındans* 20= 1 −δ+δsönerisi yapılırsave bu y tarafından kabul edilirse gerçekleşir. x ve y ’ninkazançları da sırasıyla şöyledir:1 − δ+δ s ,δ+δ2 2s

s =12212ise, pazarlık sürecinin denge sonucuna göre x yarıdanfazla, y yarıdan az kazanç elde eder:s≥1−s* *0 01− δ+δ s≥δ+δ s → 1−δ+ δ ≥δ+ δ− δ+δ ≥21 2 02 2 1 2 1 22 2Son aşamada dışsal paylaşım eşit olsa da, kazançlar bugünküdeğere indirgendiğinde, xdaha yüksek bir kazanca sahipolacaktır.

Dinamik pazarlık modelindeki son örnek modelimiz, oyuncularınbir anlaşmaya varılıncaya kadar birbirine sürekli önerilergetirdiği bir durumdur. Öneri sayısında herhangi bir sınıryoktur; oyun bir sınırsızlığa sahip olabilir. Ancak ilk öneri kabuledilirse, oyun başlar başlamaz sona erer. Şekil 21, iki dönemlibir pazarlık sürecini, son aşamadaki kazanç noktaları çıkarılmış213biçimiyle sunmaktadır. Oyunun bu kısmına G diyelim. Sınırsızbir yinelemeli oyunda, sonsuz sayıda yineleme peşi sıra gelir:G(∞).

Şekil 21. Yinelenen Pazarlık Oyununun Bir Aşaması214xs 0yRyAs,1−s0 0s 1xAδs, δ(1 −s)1 1R

Çözüm yöntemi olarak geriye doğru tümevarımı kullanamayız.Bu nedenle, oyunu ilk ele alış biçimimizdeki gibi, s ve 1-s215oyuncuların dengedeki kazancını göstersin. Şimdi ikinci biçimegidelim ve oyuncuların peşi sıra öneriler yaptığını varsayalım.Eğer bir anlaşmaya varamazlarsa, G(∞) sürecinde oyunusürdürürler. Kazançları s ve 1-s olur. Ancak diğer yandan ikidönemli pazarlık modelinde x ve y’nin denge kazançlarını21 −δ+δ sδ +δ 2 ssırasıyla ve olarak elde etmiştik.

216Aynı modelde görünürdeki bu iki farklı sonuç sıkıntısındankurtulmak için şunu kullanalım: s = f ( s)ya da G(∞) oyunu ile G’nin G(∞) oyununu izlemesi özdeş oyunlardır. Buna göre, her ikisonucun da kazançları aynıdır, Bu denklemi, s* içinmatematiksel olarak çözelim:

217( )s f s s s2 2= ( ) = 1−δ+δ → 1−δ = 1−δs1−δ1s1−δ 1+δ*= → =2Bu sonuca göre, x ’in önerdiği ve y ’nin kabul ettiği s* yinelemelioyunun dengesidir. Sınırsız bir yineleme söz konusu olsa da, ilkönerinin avantajı devam edecektir. Göreli kazançlar, indirgemeoranına bağlıdır.

218İndirgeme oranı 1’den küçükken, x ’in kazancı y ’ninkazancından yüksektir. İki öneri arasındaki zaman dilimiküçüldükçe faiz oranı sıfıra, indirgeme oranı da 1’e yaklaşır.Dolayısıyla her iki oyuncunun kazançları eşitlenme eğiliminegirer.

219Yukarıda ele aldığımız pazarlık modeli, tümel bilgi varsayımıüzerine kuruludur. Yani oyuncular birbirlerinin kazançfonksiyonlarını bilmektedirler. Ancak gerçek dünyada genelliklebu bilgiler ya eksiktir ya da asimetriktir (bakışımsız). Örneğinbir firma ile işçi sendikası arasındaki ücret pazarlığı sürecindefirma, gelecek dönemdeki talep ve kârlar konusunda daha çokbilgiye sahip olabilir. Dolayısıyla firma daha iyi bir pazarlıkgücü yakalayabilir.

220DışTicaret Politikası ve OligopolBurada oligopol piyasadaki ihracat desteğini, iki aşamalı biroyun çerçevesinde ele almaktayız. Birinci aşamada hükümet dışticaret politikasını oluşturmakta, ikinci aşamada firmalaryapacakları ihracata karar vermektedirler. Oyunu geriye dönüktümevarımla çözüyoruz. Bu model için aşağıdaki varsayımlarıyapıyoruz.

2211. Üç ülke vardır: X, Y ve Z.2. X ve Y ülkelerinde, homojen mal üreten birer firma vardır (xve y firmaları). Z ülkesinde üretim yoktur.3. Her bir firmanın toplam maliyet fonksiyonu: .TC = c q , i = x,yi i i

2224. X ve Y ülkelerinde mal tüketimi yoktur. Tüm üretim Z ’yeihraç edilmektedir.5. Z ’deki talep fonksiyonu:P = a− Q , Q = qx + qy6. X ve Y ülkeleri, birim ürün başına ihracat desteği (s x ve s y )uygulamaktadır. Z ülkesi tamamen serbest dış ticaretuygulamaktadır.

223Yukarıdaki varsayımlara göre x ve y firmalarının kârfonksiyonlarını şöyle yazabiliriz:( )Π = Pq − cq + sq = a−q −q q − cq + sqx x x x x x x y x x x x x( )Π = Pq − cq + sq = a−q −q q − cq + sqy y y y y y x y y y y y y

224Birinci sıra koşullar:∂Πx = a − 2qx − qy − cx + sx= 0∂qx∂Πy= a − 2qy − qx − cy + sy= 0∂qy

Birinci sıra koşulları çözelim:225qq*x*y==a− 2c + 2s + c −sx x y y3a− 2c + 2s + c −sy y x x3Q = q + q =* * *x y2a− c − c + s + sx y x y3* *P = a− Q =a+ c + c −s −sx y x y3

226Bu çözümler, firmalar için ikinci aşamadaki dengelerdir. Birinciaşamada ülke hükümetleri, iktisadi refah düzeyini maksimizeedebilmek için dış ticaret politikasını belirlemektedirler. Her birülkenin mal ihracatından elde ettiği özel kazanç, firmakârlarıdır. Tüm ülkedeki net refah artışınıise, toplam kârdüzeyinden toplam ihracat desteğini düşerek buluruz.

227X ve Y ülkelerinin iktisadi refah fonksiyonları:( ) ( )W =Π − s q = P− c + s q − s q = P−c qx x x x x x x x x x x( ) ( )W =Π − s q = P− c + s q − s q = P−cqy y y y y y y y y y y

İkinci aşamada elde ettiğimiz optimal değerleri, bu refahfonksiyonlarındaki yerlerine yazarak, refah fonksiyonlarınıtümüyle parametrelere ve dış ticaret politikalarınabağlayabiliriz:228Wx⎛a− 2cx + cy −sx −sy ⎞⎛a− 2cx + 2sx + cy −sy⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠Wy⎛a− 2cy + cx −sy −sx ⎞⎛a− 2cy + 2sy + cx −sx⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠

Her bir ülke, refah düzeyini maksimize edecek olan dış ticaretpolitikasını seçecektir.229∂Wx= a − 2 cx+ cy−4 sx− sy= 0∂sx∂W y= a − 2 cy+ cx−4 sy− sx= 0∂sysa− 3c + 2c a− 3c + 2c* x y *y xx= , sy=5 5

230Bu sonuçtan ilk olarak şunu çıkarabiliriz: Her iki ülke pozitifmiktarda ihracat yaparsa, destekleme oranları da pozitifolacaktır. Bunu görebilmek için, yukarıdaki değerleri, ikinciaşamadaki üretim miktarlarının yerlerine yazmalıyız.

231Her iki ülkenin üretim maliyetleri aynıysa, pozitif denge destekdeğeri, dış ticaret politikası seçiminde tutsaklar açmazıdurumunu yansıtır. İhracat desteği olmazsa, her bir firmatoplam piyasayı eşit paylaşırlar ve pozitif bir kâr elde ederler.

232Ancak her iki ülke destek politikası uygularsa, firmalar yinepiyasayı eşit paylaşırlar ve daha yüksek kârlar elde ederler.Ancak fiyatların düşmesi sonucu, sübvansiyon maliyeti kârartışını aşacağından, ihracatçı ülke refah kaybına uğrar. Tekkazançlı, Z ülkesidir.