q p Çözüm: A ⊂ X

5. f, f ′ : X −→ Y , g : Y −→ B ve h : A −→ X sürekli olsunlar. f ≃ f ′ise g ◦ f ◦ h ≃ g ◦ f ′ ◦ h dr. Gösteriniz.Çözüm: f ≃ f ′ =⇒ F : X × I −→ YF (x, 0) = f(x)F (x, 1) = f ′ (x) olacak ³ekilde F sürekli dönü³ümümevcuttur.h : A −→ X sürekli dönü³üm ve 1 : I −→ I birim dönü³ümü de süreklioldu§undan h × 1 : A × I −→ X × I da süreklidir.H : A × I −→ B homotopisi H = g ◦ F ◦ (h × 1) alnrsa istenen homotopielde dilmi³ olur.6. Büzülebilir uzay yol ba§lantldr. Gösteriniz. (R, τ alt ) alt limit topolojisibüzülebilir midir?Çözüm: X uzay büzülebilir olsun. O zamanH : X × I −→ XH(x, 0) = xH(x, 1) = p olacak ³ekilde H sürekli dönü³ümümevcuttur.y, z ∈ X olsun. γ : I −→ X{ H(y, 2t), 0 ≤ t ≤ 1/2γ(t)) =H(z, 2 − 2t), 1/2 ≤ t ≤ 1dönü³ümü Pasting Lemma'dan süreklidir veγ(0) = H(y, 0) = yγ(1) = H(z, 0) = zγ( 1 ) = H(y, 1) = H(z, 1) = p2O halde X uzay yol ba§lantldr.(R, τ alt ) alt limit topolojisini ele alalm.2

R = (−∞, a) ∪ [a, ∞) olarak yazlabildi§inden ba§lantszdr.büzülebilir =⇒ yol ba§lantl =⇒ ba§lantlba§lantsz =⇒ yol balantsz =⇒ büzülemezO halde (R, τ alt ) büzülemez.7. h : (X, x 0 ) −→ (Y, y 0 ) homeomorzma ise Π 1 (X, x 0 ) ∼ = Π 1 (Y, y 0 ) olur.spatlaynz.Çözüm: X ≈ Y ise bir h : X −→ Y homeomorzmas mevcuttur. O haldeh ◦ k = 1 Y ve k ◦ h = 1 X olacak ³ekilde k : Y −→ X vardr.=⇒ (h ◦ k) ∗ = 1 Π1 (Y ) =⇒ h ∗ ◦ k ∗ = 1 Π1 (Y ) =⇒ h ∗ surjektif=⇒ (k ◦ h) ∗ = 1 Π1 (X) =⇒ k ∗ ◦ h ∗ = 1 Π1 (X) =⇒ h ∗ injektif=⇒ h ∗ izomorzmadr.8. √ 3, − √ 3 ∈ R için Π 1 (R, √ 3) temel grubunu hesaplaynz. Π 1 (R, √ 3)ile Π 1 (R, − √ 3) temel gruplar arasnda nasl bir ili³ki vardr? Açklaynz.Çözüm:Teorem α, X uzaynda x 0 dan x 1 e giden bir yol olsun.̂α : Π 1 (X, x 0 ) −→ Π 1 (X, x 1 )[f] ↦−→ ̂α([f]) = [α] ∗ [f] ∗ [α] dönü³ümü izomorzmadr.Sonuç X uzay yol ba§lantl uzay ise ∀x 0 , x 1 ∈ X için Π 1 (X, x 0 ) ∼ = Π 1 (X, x 1 )dir.R büzülebilir oldu§undan yol ba§lantldr. Ayrca büzülebilirlikten Π 1 (R, √ 3) ∼ ={0} ∼ = Π 1 (R, − √ 3) temel gruplar izomorftur.3