PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

A.Ü.F.F. Döner Sermayeişletmesi Yay ınlarıNo:49VEKTÖREL ANALIZCILT-IIDoç. Dr. M. Kemal SAĞELAnkara Üniversitesi .Fen Fakültesi Ö ğretim ÜyesiAnkara 2006(2. Baskı)

C.) Bu kitab ın bütün haklar ı sakl ıdır.Yazarın yaz ı l ı iznini almaks ızın bu kitabın herhangi birkısmı veya tamam ı herhangi bir şekilde ve herhangi biranlamda, elektronik, mekanik, foto ğrafık olarak veyaxerografik, mikrofilm ve hatta teyp, fax veya video yoluylaçoğaltılıp satılamaz veya kullan ılamaz. Bu hallerde yazartelif haklar ını korumak için kanuni yollar ı takip edebilir.

Annem ve Rahmetli Babam için

ÖNSÖZAnkara Üniversitesi Fen Fakültesinin Lisans ve MühendislikBölümlerinde ö ğrenim gören öğrencilerinin program ında yer alan biryanyıllık Vektörel Analiz dersi için haz ırladığım birinci cilt kitab ım daeksik olan yüzey integralleri, logaritma, ayr ıca vektör cebiri ve tekdeğişkenli vektörel fonksiyonlar üzerinde diferensiyel i şlemler bölümleriile ilgili al ışt ırmalann çözümlerinin bulundu ğu bu ikinci cilt kitab ıhazırlad ım.Bu kitab ı hazırlarken özellikle Eutiquio C. Young' ın Vector andTensor Analysis, Murray R. Spiegel'in Vektörel Analiz ve Tensör AnalizeGiriş kitaplarından geni ş ölçüde yararlan ılmıştır.Kitab ın her ne kadar eksiksiz ve hatas ız olmas ına gayret sarfettim.Fakat baz ı eksikliklerin olabilece ği düş_üncesindeyim bu eksiklerinbildirilmesini bekler, yard ımlar-n-11z için şimdiden te şekkür ederim.M. Kemal SAĞEL20061V

IÇINDEKILERV. BÖLÜM: YÜZEY IN'T'EGRALLER İ5.0 Giriş 15.1 Yüzey Üzerindeki Skaler ve Vektör Alanlann ın İntegralleri 35.2 Divergens Teoremi 55.3 Stokes Teoremi 10V. Bölüm İle İlgili Al ıştırmalar 14VI. BÖLÜM: LOGARİTMA6.1 Logaritma Özellikleri 186.2 Belli Bir Say ının Logaritmas ını Bulmak 196.3 Logaritmas ı Belli Olan Sayıyı Bulmak 216.4 Trigonometrik Fonksiyonlar ın Logaritmas ı 216.5 Logaritmas ı Belli Olan Trigonometrik Aç ıyı Bulmak 236.6 Derece, Grad ve Radyan Aras ındaki Bağıntı 236.7 Milâdi, Rumi ve Hicri Y ıllar Aras ındaki Bağıntı 24VII. BÖLÜM: VEKTÖR CEBIRİ7.1 Bölüm İle İlgili Alıştırmalar 267.2 Bölüm ile İlgili Alıştınnalann Çözümleri 32V

VIII. BÖLÜM: TEK DEĞİŞKENL İ VEKTÖREL FONKSİYONLARÜZERINDE DİFERENS İYEL IŞLEMLER8.1 Bölüm İle İlgili Alıştırmalar 548.2 Bölüm İle İlgili Al ıstırmalar ın Çözümleri 60Baz ı Sabitler 89Trigonometrik Bilgiler 90Trigonometrik Formüller 91İntegral Alma Formülleri 92Baz ı Metrik Sistem Değerleri 94Grek Alfabesi 95Index 96VI

V. BÖLÜMYÜZEY İ NTEGRALLER İ5.0. G İ R İŞBu bölümde yüzey integralleri olan Divergens (Gauss) teoremi ve Stokesteoremini inceleyece ğiz.Bir yüzey üzerinde integrel i şlemini yaparken yüzeyi düzgün yüzeyparçalar ına ay ırmak gerekir. Düzgün yüzeyler küre, silindir ve koni gibiyüzeylerdir. Düzgün yüzeylerde koordinatlar ın değ i ştirilmesi ile yüzeyin xOydüzlemi üzerindeki izdü şümünün kapal ı düzgün bir e ğri meydana getirdi ğ inikabul edelim. Bu yüzey z = f(x, y) denklemli, birinci mertebeden sürekli vediferensiyellenebilir olsun. Bu yüzeyler üzerindeki integral, yüzey parçalar ıüzerindeki integrallerin toplam ına e şit olduğundan burada bir yüzey parças ıüzerinden integral almak yeterlidir. Şekil 5.1 den de görüldüğü gibi z = f(x, y)denklemli yüzeyin herbir noktas ındaki te ğet düzlemi ve do ğrultmankosinüslerinin z x ,z y , 1 ile orant ı l ı olan normal bir do ğrultusu vard ı r.Şekil 5. 1

Yüzeyin herbir noktas ındaki ds alan parças ı , teğet düzlem içinde olup, x0ydüzlemi üzerindeki izdü şümü dxdy olan yüzey parças ıd ı r.Buradadxdy = cosadsdir. O halde a aç ı s ı yüzeyin herbir noktas ındaki normal vektör ile aras ı ndakiaç ı d ı r veCOSCL = y Z x 2 +Z y 2olur.T de S yüzeyinin x0y düzlemi üzerindeki izdü şümü olmak üzere yüzeyinalan ıdir.A = Jds= .\/1 + z >, 2 + dxdysTOrnek 5.0.1: 6x + 3y + 2z = 6 düzleminin koordinat düzlemlerikalan parças ı n ı n alan ı n ı bulunuz.aras ı ndaÇözüm:Şekil 5.2Şekil 5.2 den görüldü ğü gibi alan ı istenen düzlem parças ı n ı nx0y düzlemi üzerindeki izdü şümü xs ı n ı rlad ığı T bölgesidir. O halde=1 doğ rusu ile koordinat eksenlerinin26x+3y+2z=6z =3(1—x—Folur.2

Buradaz x = -3, z y = - 3 ve .\11+ z 2„ + z 2 = - 72 Y 2olduğundan,de yerine konursaA= fj + z x2 z 2y dxdyA =TıYY2 7 7 j. 2dy = dx x ı dyy ox_-0 2 2 o7A= 12 y t?dy=-2 , 2 4,2 ı'2oA = - 7 -2elde edilir.5.1. YÜZEY ÜZER İ NDE SKALER VE VEKTÖR ALANLARININİ NTEGRALLER İTan ım 5.1.1 : f,D bölgesinde sürekli bir skaler alan ve S de düzgün biryüzey. Bu yüzeyin vektörel denklemiFZ(x, y) = U(x, A i+ V(x, j>+ W(x, AIR> ,ayr ıca x0y düzleminin bir T bölgesinde sürekli diferensiyellenebilirolsun. S üzerinde f nin yüzey integralişeklinde tan ı mlan ır. O halde.ff fdsfjfds = fff[U(x, y) V(x, A W(x,STR x xR Ydxdydir.3

E ğer S yüzey alan ı için f =1 ise yüzey alan ıdir.A = ffTR x xR y dxdyÖrnek 5.1.1:R(x,y)= sinxcosy i +sinxsiny j + cosx k ,vektörel denklemli kürenin yüzey alan ı n ı bulunuz.Çözüm_den2nAJ f1,y O x-0R x xR y dxdyR x (x,y)= cosxcosyi + cosxsiny j - sinx kvey (x,y)=-sinxsinyi +sinxcosyj-->R x xR y = sin 2 xcosyi + sin 2 xsinyj +sinxcosxkR x xR y,ıs• •n 2 xcos 2 y + s ı n 4 xs ı n 2 y+ s ı . n 2 xcos 2 x=sinxbulunur.Bu ifadeler yerine konursa,2nılA = f fsinxdxdyy-0 x=02n n 2n 2ncos dy =f2dy = 2y1 .= 4ny o o o obulunur .4

5.2. D İVERGENS TEOREM İTeorem 5.2.1 : DIVERGENS ( GAUSS ) TEOREMID,S kapal ı yüzeyinin çevrelediği üç boyutlu uzay bölgesi ve ıl deyüzeye ait dışa doğru yönlendirilmi ş birim normal vektör olsun. Eğerbölgesinde sürekli k ısmi türevleri olan bir vektör alan ı isedir.ffF ds = Sildiv F dxdydzDIspat : F(x, y,z) = P(x, y, i + Q(x, y,z) j + R(x, y,z)k olsun.ii( _>' P i • n+ Q j • R k• s + + aR dxdydzs n)d D \ex ezdir.Teoremin ispat ı n ı yapmak için,— dxdydz = SSP ı •n dsfil

nŞ ekil 5.3S, koordinat eksenlerine paralel do ğrular ı n ın kendisini ikiden fazla noktadakesmedi ğ i kapal ı bir yüzey, yüzeyin üst k ı sm ı na S,, alt k ı sm ı na S 2 ve silindiryüzeyineS 3 diyelim. Bunlar ı n denklemleri iseS, : z = f, (x, y), S 2 : z = f 2 (x, y), S 3 : F2 (x, z (x, y)ve S yüzeyinin x0y düzlemindeki izdü şümüne T diyelim. Şimdi dee şitliklerin ispat ı birbirinin benzeri oldu ğundan, III .nün ispat ı n ı yapal ı m.i ff--dXdydZ = [D f3ZNy)T z"--fz(x,Y)z ydxfic.3)= ffR(x, y, z) ı dydxT z- f2t x y)= fj[R(x, y, f ı (x, y))- R(x, y, f 2 (x, y))]:lydxTdir. S, üst parças ı için k ile n ı vektörü aras ı ndaki a aç ı s ı bir dar aç ıolduğundandydx = cosads, = k- n i ds,dir. S 2 alt parças ı için k ile n 2 vektörü aras ı ndaki (3 aç ı s ı dar bir aç ıolduğundandir.dydx = - cos (3ds 2 =6

Bu durumda ,vedir.ff R(x, y, f, (x, y))dydx = ISR ds,Ts,_fiR(x, y, f2 (x, y))dydx = - .ff R k- n 2 ds 2Ts2nR(x, y, f, (x, y))dydx y, f2 (x, y))dydx =SSR k• n, ds, + Ir R 1.C• h2 ds 2T T S ı S,= k. n dsolduğundansis■DaR dxdydz = fiR k• n dsZTdir. Benzer şekilde S yüzeyinin di ğer koordinat düzlemleri üzerindekiizdü şümleri al ınarak di ğer e şitlikler ispatlan ı r. Böylece elde edilene ş itli ğinin toplam ı ile istenilen divergens teoremi ispat edilmi ş olur.Örnek 5.2.1 :x 2 + y 2 = 4, z = 0, z = 3 do ğrular ı taraf ından s ı n ı rlanan bölge üzerindeal ı nan F(x, y, = 4x i - 2y 2 j + z 2 k vektör alan ı n ı divergens teoremindenyararlanarak hesaplay ı n ız.7

Çözüm :ii n ds = ffidivFdxdydzSDdiv (4x)+ 2y 2)+ 4 2 ) 4 - 4y + 2zii nds =x- 2 re— vzz=o- 4y + 2z)cizdydx2 44-xi 3= (4Z — 4yz + z 2 )1 dydxx=-2o2 sı14-x,2= n12 -12y+ 9 )dydx2vr4- xx -2 x 21(21 — 1 2 y)clydx2 , x= (21Y — 6Y 2 ) I dxx--2 - \/4 x 2= r.1-,f4"-- x 2 -6-6- x 2)+21-,/4- x 2 +6(4- X 2 )1iXx- -22= J 42 Nİ4 - x 2 dxx , 2= 42—2XN/4- x 2 + —4 arcsin-?-(2 2= 42— 1 . 2 .2(21(< / 4 - 4 + 2 arcsin1- k -- 2).

Diye-dans teoreminin fizik aç ı s ı ndan izah':F = Br s ı v ı n ı n herhangi bir noktas ı ndaki h ı z ı ,sariyede ds den geçen s ı v ı n ı n hacmi = taban ds ve e ğik yüksekli ğ ivAt olan silindirin hacmi=j . \/At n ds0 halde bir saniyede geçen s ı v ı n ı n hacmi= v- n dsAtdir.H = v. n dsAkan bir ak ışkan ı n bir P(x,y,z) iç noktas ı ndaki h ı z ı F ve ak ışkan içindeki birD bölgesinin s ı n ı r ı olan kapal ı yüzey S olsun. Bu durumdaSSF- n dsintegrali birim zamanda bu bölgeden d ışar ıya ç ı kan ak ışkan ı gösterir. E ğerakışkan s ı k ışamaz ise içeri giren ak ışkan ile d ışar ı ç ı kan ak ışkan biribirine e şitveffF-nds= ili V. Fdv = Osd ıv Fhalde s ı k ışamaz bir ak ışkan ı n h ız ı n ı n divergensi s ıf ı rd ı r.NOT:Akan bir ak ışkan ı n her noktadaki h ızı , o noktadaki birim hacmin birimzamandaki de ğ i ş me miktar ı na e şit bir divergense sahiptir.NOT: Bir F vektör alan ı n ı n birim normal vektörünün kapal ı bir yüzey üzerindehesaplanan yüzey integrali, bu vektörünün divergens ı söz konusu yüzeytaraf ı ndan s ı n ı rlanan hacim üzerinden hesaplanan integraline e şittir.9

5.3. STOKES TEOREM İTeorem 5.3.1 : STOKES TEOREM İC, basit kapal ı , parçal ı düzgün , pozitif yönlü bir e ğri ve bu e ğrininçeyreledi ği yüzey, S olsun. Yüzey üzerinde pozitif tarafa yönlendkilmi ş birimnormal vektör n ve F nin bile şenleri S U C de sürekli ve diferensiyellenebilirfonksiyonlar olmak üzeredir.F. r = ffrot F• ndsIspat : F(x, y, z) = P(x, y, z) i +Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k olsun.Pdx + Qdy + Rdz = ffrot F• n dscsdir. Buradan,ı_;\Vx P i+Qj+Rk •nds_jPdx = ff V xP ı • n dssII„SQdy = if V xQ j • n dscsIII fRdz ff V xR k • n dsse şitliklerini hesaplayal ı m.Şekil 5.4 de görüldü ğü gibi,10şekil 5.4

S yüzeyinin xOy düzlemindeki izdü şümüne T diyelim. f,g ve h tek de ğerli,sürekli ve diferensiyellenebilir fonksiyonlar olmak üzere S yüzeyinindenkleminin z = f(x, y) veya x = g(y,z) veya y = h(x,z) ile gösterildi ğini kabuledelim. Şimdi, S yüzeyinin denklemi z = f(x, y) ve yer vektörüolduğundanr =x i+y j+zk =x i+y j+f(x,y)kray+fy (x,y)kd ı r. Bu vektör S yüzeyine te ğet oldu ğundan n 'ne diktir. O halden = j • n+ fy k• n = O-■ -T -7.j• n = -fy k. n = -z y k. nve S yüzeyi üzerinde P(x, y, z,) = P(x, y,f(x, y)) = F(x, y)olduğundanaF aP aP azay ay az aydir. Bunlar ı , 1 denkleminde yerine koyarsak,ff vxp .nds = ff -- aF) k ndss . caz ay= fsf aP -> aP-•j • n- —k • n dsH-P z y )k• —yff °F) azr aP aP= - -- —az ay ayk• ndsolur.11

Buradan da S yüzeyinin xOy düzlemi üzerindeki izdü şümü T olmak üzere,-ff —dxdyT avdir. Düzlemde Green teoremi gere ğincedir.= iFdxC* e ğrisinin çevreledi ği yüzey T oldu ğundan, F fonksiyonunun C*eğrisinin her ( x,y ) noktas ı ndaki de ğeri, P fonksiyonunun C e ğriS,nin her( x,y,z ) noktas ı ndaki değere e şit olmas ı C ve C* e ğrileri için dx ' indeğ i şmedi ğinden dolay ıFdx = iPdxc-= (V xP i • n dsdir. Benzer şekilde yOz ve zOx düzlemleri üzerindeki izdü şüm yap ı larak,vef Qdy = ff v xQ j ndssj- Rdz = f f V xR k • n dsse şitlikleri elde edilir. Bu e şitlikler taraf tarafa toplan ı rsaSPdx + Qdy + Rdz = ff Vx P i+Q j+Rk • ndsVxF •ndselde edilir.= LfrotF.ndss12

Not : Stokes teoreminin özel bir hali düzlemde Green teoremidir.E ğer, yukar ıdaki şartlar ı sağlamayan yüzeyler için de teorem geçerlidir.Bunun için yüzey S İ ,S 2 ,..., S, gibi alt yüzeylere ayr ı larak, yüzeylerin meydanageldi ğ i C İ , C 2 ,..., C r, eğrileri şartlar ı sağlas ı n. Bu taktirde her yüzey için Stokesteoremi geçerlidir. Bu durumda yüzey S İ , S 2 ,..., S n yüzeylerinin integralleritoplam ı al ınarak S yüzeyi üzerinden toplam integral bulunur.eğrileri boyunca hesaplanan e ğrisel integrallerin toplam ı al ınarak C eğrisiboyunca hesaplanan e ğrisel integral bulunur.Örnek 5.3.1: z = -‘la 2 — X 2 — y 2 yar ı küresininF(x,y,z) = (1- z)y ı + zex j + x sinz kvektör alan ı n! stokes teoreminden yararlanarak hesaplayin ız.Gözüm:Stokes teoremindenffrot F. n ds = rF.drdir. Burada= j(1- z)ydx + zexdy +xsinzdzx = a cosO , yr.asin , z = O ve dx = -a sin ede) , O _.E)27colup,ffrot F. n ds = Sydx2n= f a sin a sin 0):10o2n= -a 2 fsin 2 OdOo-= -na 2bulunur.13

V. BÖLÜM iLE İ LG İ L İ ALIŞTtRMALAR1. F(x,y,z)= x 2 i + xy j+ xz k ve S de z = 0,zsilindir yüzeyinin yüzey integralini bulunuz.x 2 + y 2 = a 2[o]2. F(x,y,z) xy i + z 2 j + 2yz k veSde O x 5.1,0 y 5_1,0 5_ Z 5. 1s ı n ı rl ı küp yüzeyinin yüzey integralini bulunuz.323. F(x,y,z)= x i+ y j+zk veSde x2+y2 + z2 = a2küre yüzeyinin yüzey integralini hesaplay ı n ız.[4 ıcal4. Aşağıda verilen vektör alanlar ı ile yüzeyler için divergens teoreminindo ğruluğunu gösteriniz.a) F(x, y, z) = xz i + xy j + yz k ve S de O= z, y + z 2, x 2 + y 2 = 4 yüzeyi için,b) F(x, y.,z) = xy i + y 2 j+ yz k veSde z = O z = N/4- x 2 - y 2 yüzeyi için,c) F(x,y,z)- + x 2 y j+x 2 zk veSde z = 0,z = 4 düzlemi ve x 2 + y 2 =1silindir yüzeyi için,d) F(x,y,z)=x 2 i+y 2 j+z 2 k veSde0.5..1,04_1,0_51s ı n ı rl ı küp yüzeyi için,„e) F(x, y, z) = 4xz i - y 2 j + yz k ve S de x = O, x = 1, y = O, y = 1, z = 0,z = 1düzlemlerinin belirledi ği küp yüzeyi için,f) F(x, y,z) =x i+y j+(z-1)k veSde z = 0,z = 1vex 2 + y 2 =(z- 2) 2yüzeyi için,14

g) F(x,y,z)= y 2 ı + yz j + xz k ve S de x=0, y=0 ve x+y+z=1taraf ından s ı n ırlanan yüzeyi için[a)6ır b)0 c)5n d)3 e)-3- f)721 g)2 245. y,z) = sin y T+ex + z 2 k' ve S de z=0 ve z = \ia. 2 _ x 2 _ y 2yüzeyinin SfP> ds integralini hesaplay ı n ı z.ıta 42ı6. x Ğ dx dy dz = f Jn x Ğ ds e ş itli ğ inin do ğrulu ğunu gösteriniz.DS(Yol gösterme: i -isabit bir vektör olmak üzeredivergens teoreminde F = G x H- alal ı m)7. S.F4) dx dydz = if(1). n ds e ş itli ğ inin do ğrulu ğunu gösteriniz.DS(Yol gösterme: Ğ sabit bir vektör olmak üzeredivergens teoreminde P= Ğ eD alal ı m)8. iff(clıV 2 ıg - ıvV 24)) dx dy dz = 11(0y - y .k7. (5) ds e şitli ğininDSdo ğrulu ğunu gösteriniz.(Yol gösterme: Divergens teoreminden F =alal ı m)9, Nx, y,z) = 2x 2y7- y 2j+4xz' lı ve S de y 2 + z 2 = 9, x = 2 iles ın ırlanan yüzeyin birinci bölgedeki k ı sm ı üzerindedivergens teoreminin do ğruluğunu gösteriniz.[180]15

10. x 2 + y 2 +z 2 =1 küresinin üst yar ı s ının yüzeyi, C, bu.-yüzeyin s ı n ırı ve Nx,y,z)= (2x — y) ı — yz 2 j — y 2 z k içinstokes teoreminin do ğrulu ğunu gösteriniz.[ it]11. y,z) = yz i — xz j + xy ( S de z = -Nia 2 — x2 y2 yar ı mküresi için stokes teoreminin do ğrulu ğunu gösteriniz.[ O ]12. Nx,y,z)= y[+z j+x re, S de y+z=2 ile x 2 + y 2 =4silindiri için stokes teoreminin do ğrulu ğunu gösteriniz.[ -87]13. F(x, y,z) = (X 2 + y — 4)T +3xy j+ (2xz+ z 2 ) Tc , S dex2 + y 2 z 2+ = 16 küresinin xoy düzleminin üstünde kalank ı sm ı için stokes teoreminin do ğrulu ğunu gösteriniz.[ - 1 61c ]14. F(x,y,z)= xz i —y j+xy k , S de A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)noktalar ı üçgenin kö şe noktalar ı ise stokes teoreminin do ğrulunugösteriniz.__I15. Li(n 3->c V')x Ğ ds = SĞ x di e şitli ğinin doğrulu ğunu gösteriniz.sc(Yol gösterme: H sabit bir vektör olmak üzerestokes teoreminde F = G x fi alal ı m.)16

16. Nx, y,z) = yz — xz + Tc , S de x 2 + y 2 = z (O z 1)paraboloidi için stokes teoreminin do ğrulu ğunu gösteriniz.[ -27t ]17. P(x, y,z) = (x 2 y — 4) { +3xy + (2xz + z 2 )1

VI. BÖLÜMLOGARİTMALogaritmay ı e taban ına göre 1614 y ılında yay ınlayan bilgin John Napier(1550- 1617) daha sonra 10 taban ına göre logaritma alman ın daha kolay olaca ğınıdüşündü ve onu da bir matematik profesörü olan arkada şı Henry Briggs 1624y ılında yayınlad ı .Logaritma: a >1 ve x >0 olmak üzere, ay = x e şitliğini sağlayan ysay ısını bulmaya logaritma i şlemi denir. loga x = y şeklinde yazıhr ve a taban ınagöre x' in logaritmas ı diye okunur.aY = x y loga xdir.Sayılarm logaritmas ı iki kısımdan olu şur. Birinci k ısım yani tam k ısmıkarakteristik, ikinci kısm ı yani ondal ık kısı-num da mantis denir.Örnek 1.1:log1298 — 3,11327Burada 3 karakteristik, 11327 de mantis dir.6.1. Logaritmat. loga xy = loga x + loga y2. loga x = loga x - loga yY3. 1.0ga xm = m loga x4. loga y x = -1- loga Xm5. loga x .logx a = 16. loga x - log„a18

Ayr ı ca e taban ı na - göre logaritma için,1'e = l ım 1 ı —.--\= 2,7182818 veya1e _ 1+ 1 4 — + • • • 2,71828181! 2! 3!sonsuz serisiyle ifade edilen say ı e taban ı olarak kullan ı l ı r velog o x = In xŞeklinde yaz ı l ı r. Buradadenlog e. In 10 = 11loge= 1 0,43429In10 2,3025bulunur.6.2: Belli bir Say ı n ı n Loqaritmas ı n ı BulmakÖrnek6.2.1: 53 say ı s ı n ı n logaritmas ı n ı bulal ı m.( log 53 = ? )Çözüm: Say ı m ız iki basamakl ı oldu ğ undan karakteristi ğit mantisi iselogaritma cetvelinden 53'e bak ı ld ığında 72428 oldu ğu görülür. 0 halde ,dir.Log 53 = 1,72428Örnek 6.2.2: 953 say ı s ı n ı n logaritmas ı nedir?( log 953 = ? )Çözüm: Say ı m ız üç basamakl ı oldu ğ undan karakteristi ği 2, mantisi iselogaritma cetvelinden 953 °ün sa ğındaki (o) sütunun üst taraf ındaki 97 ile busütunun 953 sat ır ıyla kesim noktas ındaki say ı 909 oldu ğunda mantisi 97909dur. O haldeLog 953 = 2,97909dur.19

Örnek 6.2.3: 1953 say ı s ın ı n logaritmas ı nedir?Çözüm: Say ı m ız dört basamakl ı oldu ğundan karakteristi ğ i 3, mantisi iselogaritma cetvelinden 195 say ı s ı n ı n saö ı ndaki (o) başl ı kl ı sütundan 29 ve (3)başhldı sütun ile 195 say ıs ının kesim noktasma karşılık gelen 070 sayısınınyanyana yaz ılmas ı ile mantis 29070 oldu ğundaolur.Log 1953 = 3,29070Örnek 6.2.4: 12,98 say ı s ı n ı n logaritmas ı nedir?( log 12,98 = ? )Çözüm: 12,98 say ı s ı n ı n karakteristi ği 1 dir. Mantisi için 1298 say ı s ı n ı nlogaritma de ğerine bak ı ld ığı nda 11327 oldu ğu görülür. 0 haldedir.Log 12,98 = 1,11327Örnek 6.2.5: 0,1298 say ı s ı n ı n logaritmas ı nedir?( log 0,1298 = ? )Çözüm: Ondal ı k say ı n ı n ba şında bir s ıfı r olduğundan karekteristik 1 ilegösterilir. Geriye kalan k ı sm ı 1298 olduğ undan bunun logaritmas ına bak ı l ı rsa11327 oldu ğu görülür. O haldedir.Log 0,1298 = 7,11327Örnek 6.2.6: 0,01298 say ı s ı n ı n logaritmas ı nedir?Gözüm: Ondal ı k say ı n ı n ba şı nda iki s ıf ır oldu ğundan karakteristik 2 ilegösterilir. Geriye kalan 1298 say ı s ı n ı n Logaritma de ğeri 11327 olduğundandir.Log 0,01298 = -2 ,1132720

6.3.: Loqaritmasi Belli Olan Say ı y ı BulmakÖrnek 6.3.1: log x = 3,11327 ise x = ?Çözüm: Karakteristik 3 oldu ğundan x say ı s ı 4 rakaml ı d ı r. Mantisk ı sm ı n ı n ilk iki rakam ı 11 olduğundan s ıf ı r ba ş l ı kl ı sütundan 11 bulunur.Geriye kalan 327 say ısı 11 say ı s ı n ın bulundu ğu sat ır veya alt ındaki sat ırlarabak ı larak 327 say ı s ı bulunur. Bu say ı n ı n bulunduğu sütun sekiz olduğundanAyn ı şekidex = 1298 elde edilir.log x = 2,11327 = x = 129,8log x = 1,11327 = x= 12,98log x = 0,11327 = x = 1,298logx=1,11327 = x= 0,1298log x = 2,11327 x = 0,01298log x = 3,11327 = x = 0,001298elde edilir.6.4: Trigonometrik Fonksiyonlar ı n LociaritmasiO ° ile 90 ° aras ındaki derece ve dakikalara ait aç ı lar ın trigonometrikfonsiyonlar ınin logaritmas ı , logaritma cetvellerinde be ş ondal ı kl ı olarakverilmi ştir. Ayr ıca bu cetvellerin yan taraf ında saniyeleri de bulmak için küçüktablolar vard ı r.ÖRNEK 6.4.1: Sin 30 ° 15' n ı n logaritmas ı n ı bulal ı m.( log sin 30 ° 15 1 =?)Çözüm: Trigonometrik fonksiyonlar ı n logaritmas ı n ı gösteren cetveldenönce 30 ° ait tablonun sol kenarinda15 1 bulunur. Ostlaraftan da sinüs bulunur.Datıa sonra da 151 ya ait sat ır ile sinüs sütununun kesim yerindeki de ğerokunur vebulunur.log s ın 30 ° 15' = 1:7022421

NOT: Baz ı logaritma cetvellerinde, tam k ı sm ı negatif olan logaritmalar ıkolayca yazmak için tam k ı sm ı 4, 5, 6, 7, 8, 9 olan bütün logaritmalara —10eklenerek bulunur.Ş imdi örnek 1.4.1' i buna göre çözelim.( log sin 30 ° 15 1 =?)Bu trigonometrik fonksiyonlar ı n değeri, trigonometriye ait tablodan önce30 ° , daha sonrada tablonun sol taraf ı ndan 15 1 ve üst k ı s ı mda sinüsbulunduktan sonra 15 1 ile kesim yerindeki say ı okunur. Bu say ı da 9,70224dür. O haldelog sin 30 ° 15' = 9,70224 -10olduğu görülür.= 1,70224Ayn ı şekilde cosinüs, tanjant ve cotanjant için de logaritmikfonksiyonlar bulunur.ÖRNEK 6.4.2: Sin 30 ° 15 1--( log sin 30 ° 15'logaritmas ı n ı bulal ım.29 11 ? )Çözüm: Sin 30 ° 15 1 n ı n logaritmas ı n ı bulmak için öncelog sin 30 ° 15 1 ='7,70224velog sin 30 ° 16' = 1,70245de ğerleri bulunacak ve bunlar ı n fark ı na bak ı lacak ve bulunan 21 dir. Bu 21say ı s ı logaritman ı n sa ğı nda (solunda) bulunan cetveldir. 21 say ı l ı cetvelden29 11 y ı bulmak için önce20 11 kar şı l ı k gelen 7,0ve9 11 kar şı l ı k gelen 3,2bulunur ve bu dakikalar toplan ı nca29 11 kar şı l ı k gelen 10,2 bulunur.0 halde log sin 30 ° 15' nin mantisi 70224'e bulunan, bu 10,2 ilave edilirse22log sin 30 ° 15 1 29 11 = 1,70234 bulunur.Ayn ı Şekilde cos, tan,cot için yap ı l ı r.

6.5: Logaritmas ı Belli Olan Tridonometrik Ac ıy ı BulmakÖrnek 6.5.1: Log sin A = 1, 70234 A = ?Çözüm: 1,70234 değeri logaritma sinüs sütunlar ında tam olarakbulunamayabilir. Bu durumda bu say ı ya yak ı n 2 aç ıya bak ı l ı r. Bunlarlog sin 30 ° 15 1 = 1,70224velog sin 30 ° 16 1 = 1,70245 dir.Bunlar ı n mantisierinin fark ı 21 artmas ı na karşı l ı k 1 1 (60 saniye) artt ığı görülür.0 halde bizim mantisimiz 70234 oldu ğundan log Sin 30 ° 15' = 170224 ünmantisinden ç ı k ılarak 10 fark bulunur. Bu durumda21 mantisi 60 1110 mantisiO halde610x - 0x 28,5 29" bulunur.21A = 30 ° 15 1 29 11 dir.6.6 , : Derece, Grad ve Radyan Aras ında Baö ı nt ıTANIM 6.6.1: Dairenin çevresinin 360 da birini gören merkez aç ı ya 1 derecedenir ve 1 ° ile gösterilir.TANIM 6.6.2: Dairenin çevresinin 400 de birini gören merkez aç ıya 1 graddenir ve 1 grad ile gösterilir.TANIM 6.6.3: Daire çevresinin yar ı çap uzunlu ğ undaki k ı sm ı n ı gören merkezaç ıya 1 radyan denir ve 1 rad ile gösterilir (Dairenin çevresi 2 7C radyand ı r).Tan ı m 1.6.1, Tan ı m 1.6.2, ve Tan ı m 1.6.3. dende anla şı laca ğı gibidairenin çevresinin derece, grad ve radyan aras ındaki ba ğınti360 ° = 400 grad = 2 TC radyan d ı r.Bu ba ğı nt ı yard ı m ıyla derece, grad ve radyan aras ındaki aç ı değ i şimiyap ı labilir.23

6.7: Milâdi, Rumi ve Hicri y ıllar aras ında ba ğı nt ı :Milâdi y ı l = MRuml y ı l = RHicri y ıl = Hve Hicri y ıl devir say ıs ı 33 olmak üzereMilâdi ve Rurrıl y ı llar aras ı ba!':ıı nt ı :M = R + 584R = M - 584Milâdi ve Hicri y ıllar aras ı baffint ı :32M = 33 H + 62233H -= — 32 (M-622 )Örnek6.7.1 : Rumi 1413 y ı l ı n ın Milâdi y ı l karşı l ığı nedir?Çözüm : M = 1413 + 584M = 1997 dir.Örnek6.7.2 : Milâdi 1953 y ı l ın ın Ruml y ı l karşı l ığı nedir?Çözüm : R = 1953 - 584R = 1369 dur.Örnek6.7.3 : Hicri 1299 y ı l ı n ı n Milâdi y ı l karşı l ığı nedir?Çözüm :32M = 33 1299 +62241568 +62233a.- 1259 +62224

Örnek6.7.4 Milâdi 1938 y ı l ı n ı n Hicri' y ı l karşı l ığı nedir?Gözüm :33H=— (1938 -622 )3233=- 32- 13164342832=1357Milâdi, Rumi ve Hicri y ı llar aras ındaki ba ğınt ı :32M=R+ 584= H + 62233 —dir. Bu ba ğınt ı yard ım ıyla Miradi, Ruml ve Hicri y ıllar aras ındaki değ işimbulunur.25

VII. BÖLÜMBÖLÜM İLE ILGILI ALIŞTIRMALAR1- Aşağıda başlang ıç ve bitim noktalar ı verilen F.;*Q doğru parçalar ının büyüklükve bile şenlerini bulunuz.a) P--( 1,2), Q=(3,4)b) P=(1,-1), Q=(-2,2)c) P=(0,1), Q=(4,-2)d) P=(1,2,3), Q=(4,6,8)e) P=(1,0,-1), Q—(2,3,-4)f) P=(-1,2,-2), Q=(3,-2,5)ra) (2,2), 2,[2- b) (-3,3), c) (4,-3),5[d) (3,4,5),5,İ1 e) (1,3,-3),-Ji§ f) (4,-4,7), 92- Aşağıda ba şlang ıç veya bitim noktas ı verilen P->ö = Â vektörünün di ğer noktas ınıbulunuz.a) A = (7,8), P = (-1,2)b) A = (3,-2), Q= (4,0)e)Q =\ 4 3 3d) -Â = (2,-3,4), P = (1,2,-3)e) A = (-8,1,-2), Q = (-7,1,3)= (1,0,2,5), P = (0,-1,3,-2)a) Q = (6,10) b) P = (1,2) c) P =4 3)[d) Q = (3,-1,1) e) P = (1,0,5) f) Q =3- A = (-3,4) vektörünün do ğrultman kosinüslerini bulunuz.[cos0 = , sin0 = -4- 5 ]4- A = (5,2,-1) vektörünün do ğrultman kosinü şlerini bulunuz.[cosa = 5 , cos(i = 2 , cosy =5- Uzunluğu 2 birim ve yönü e = 30° olan düzlemsel A vektörünün bile şenlerinibulunuz. (x-ekseni ile yapt ığı aç ı 30° ).26

-46- A = (-3,1,-2) vektörü veriliyor.a) A vektörü ile ayn ı yöndeki birim vektörü,b) -A> vektörü ile ters yöndeki birim vektörü bulunuz.( 3 1 2 h‘a) u = Nİ-171.7- -A> = (-4,3,-2) ve 1-3> = (1,-2,3) isea) A+ 4 -1.3 b) 2 -A>-1-3 , c) iiA+4b , d) 112 A-- 13 , e)bulunuz.{a) (0,-5,10), b) (-9,8,-7), c)5,S, d) Nrf -94, e) Nr2.--9- + Nr17:11+ 1118- El> = (0,1,2) ve C = (3,4,5) ise 4 -13+ 5 -A> = 3 -C> bağınt ısın ı sağlayan A vektörünübulunuz.[Z = 5'5'5 -9]9- -A* = (-5,6,-7) , B = (2,-3,4) ve C = (-3,4,-5) ise -A> = ki3+s -C> ba ğınt ıs ımsağlayan k ve s say ılar ın ı bulunuz. (k ve s bir skalerdir.)[ k = 2 , s = 310- -A> = (1,2,3) , i3> = (-5,1,-5) , C = (0,4,5) ve D = (2,3,6) ise1; = -;,+ k +si3 bağı nt ıs ım sağlayan m, k ve .s say ılar ı n ı bulunuz.[ m=1 k=2 , s=-311- Her -A> ve 13 vektörleri içinSIIA +Ii3>b) =-4 -4A- B11A>olduğunu gösteriniz.12- Aşağıda verilen A ve B vektörleri içinl-4 -4Ail nin B üzerindeki dik izdü şümününboyunu ve A ve B vektörleri aras ındaki aç ın ın kosinüsünü bulunuz.-+ -4 -9 -+ -> --> -■a) A=2i-2 j+k, B=-i-2j+2k-9 -4 -4 -›b) A= i-2 j+3k, B=3i+ j-2k27

-4 -4 -4 -4 -4 .4 -4c) A=3 i-5 j+4k, B=4 i+3 j-5k-4 -4 -4 -4 -› -4 -4d) A=2 i+3 j-6k, B= i-2 j+4k- a)(4 4cos8=-9-) b)"( 28 4 )2T cos =,İ5 5c°5°=-- 14)c)(- 52,[2- 3 , cos8 = - 5 2 0 3 )13- 12 inci problemde verilen A ve B vektörlerini gözönüne alaraküzerindeki dik izdü şümünün boyunu bulunuz.ra)-4 b)- c) — 23 ,-- d )- 4L 3 44 5,1214- A = (1,-2,1), B = (3,1,-1) ve C = (1,4,7) vektörlerinin birbirlerine dik(ortogonal) olduklar ı n ı gösteriniz.15- A = -i>+ 27+ 1->c ve B. = 2 -i>+ k vektörlerini gözönüne alal ım. Hem -Â ya hemde B vektörlerine dik olan bir vektör bulunuz. Bu vektör tek midir?-› -0. .416- A= i+3j-4k ve B=2i-3j+5k vektörlerini gözönüne alarak A- tBvektörüi) -A > vektörüne,ii) 13 vektörüne dik olacak şekilde t sabitini , bulunuz.(- 26, f8)-> -->-> -> -> -> -> -> ->17- A =3 i - j+ 5 k ve B= 2 i -4 j- 3k vektörlerini gözönüne alarak aA+ Bvektörüi) -A> vektörüne,ii) g vektörüne dik olacak şekilde a sabitinibulunuz.L 7' 1)118- A = (1,-2,3), B = (-3,4,-5) ve Ğ = (5,-6,7) vektörlerini gözönüne alal ım.28A- k B+ s e vektörü hem B ya hem de C ye dik olacak biçimde k ve ssabitierini bulunuz.[ k = -2 , s 1JB nin A

19-cauchy-schwarz e şitsizliğini ispatlay ı n ız.20- A+ B Büçgen e şitsizliğini ispatlay ınız. (Not: Vektörler yard ı m ıyla)21- Aşa ğıdaki herbir ;k ve i3 vektörünün paralel olduklar ını gösteriniz.-4 -4 -4. -4 -> -4. -4a) A=-i+2 j-3k, B=2 i-4 j+6kb) A=3i+6 j-9k, B= i+2 j-3k22- Aşa ğıdaki vektörlerin her ikisine birden dik olan bir birim vektör bulunuz.-4 -4 -4 --> -4 -4 -> ->a) A= i-2 j+3k, B=2 i+ j-k-3. -4. -> -4. -4 -4. ->b) A=3i- j+6k, B= i+4 j+k(-1,7,5)b) (-25,3,13)1La) 5i3--;$3--> •-> -> -> -4 -> -> -4. -4 -423- A=2 i+ j-k, B=- i+3 j+4k ve C= i -3 j +5k olmak üzere a şağıdakiifadeleri hesaplay ın ız.a) -A* x i:+t , b) i3> x , c) -A* , d) C) e) -A. ' xe13> x ›)-> --> -› -4 --> -> -->a)7i-7j+7k b)27 i+9 j c)-2 i+11j+7k-4 -4_d)63 e)9 i-27 j- 9k24- Vektörel çarp ım ı kullanarak, a şağıda kö şe noktalar verilen üçgenlerin alanlar ınıhesaplay ın ız. [Uyar ı : Üçgenin alan ı =111.1* 2a) P=(1,0,3), Q=(1,2,-1), R=(-2,1,3)b) P=(-2,-1,3), Q=(1,2,-1), R=(4,3,-3)c) P=(4,-2,3), Q=(-3,1,1), R=(1,1,1)d) P=(-1,-3,1), Q-(2,2,-1), R=(-3,2,-2)[a) 7 b)../.19 c)210 d) ş-J9 112-> -> ->25- Do ğrultman vektörü A = i +2 j- k olan ve P 0=(1,2,0) noktas ından geçendoğrunun simetrik ve parametrik denklemlerini bulunuz.[x-1=Y-2=2z , x=l+X, y=2+27., z=-2 ı ]29

26-L i :R ı = i-+ -›- j + k+ + j+ k) tL2 :R2 =3 i -3 j+ k+ - i+3 j+2k) t'-› (doğrular ın ın kesim noktalar ın' bulunuz ve aralar ındaki aç ıyı belirleyiniz.[P = (2,0,3) cos0 = 4 /.4- 12]27- (-1,3,2) noktas ından geçen ve A=21-3 j+5k vektörüne paralel olandoğrunun parametrik denklemini bulunuz.[x=-1+2X, y=3-32 ı,, z =2+5X , -0D

34- A ş a ğıda verilen vektörlerin karma çarp ımı n ı bulunuz.a) A = (2,1,0), B = (-1,4,0), C = (1,1,2)b) A = (-1,1,2), B = (1,2,0), C = (2,-1,4)c) A = (2,1,3), B = (-3,0,2), C = (2,-1,4)d) A = (3,1,2), i3* = (2,0,5), C* = (1,6,3)[a)18 b) - 22 c) 29 d) - 67]35- P=(1,2,0), Q=(3,5,0), R=(4,3,0), ve S=(-1,-1,2) bir paralel yüzün dört kö şesiolduğuna göre bu paralel yüzün hacmini bulunuz,[ 14 ]36- A = (1,2,m), i3= (2,3,0) ve C = (1,1,-3) vektörlerinin ayn ı düzlemde olmas ıiçin m ne olmal ıdı r.[ m = 3 ]37- Bir üçgenin kenarortaylar ın ın kesim noktas ı H ise HA +HB + HC = 0 d ır.Gösteriniz.38- Bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesiy, noktas ı 9 olsunAyr ıca üçgeninkenarortaylar ının kesim .noktas ı H ise QA + QB + QC = 3QH olduğun ıigösteriniz.--) -3 -3 -3 -3 -3. -3 -3, -3 -3 -339- A = 4 i - 3 j + k, B = - 1- 2 j + 2 k ve C = -7 i - 4 j vektörlerinin ayn ıdüzlemde oldu ğunu gösteriniz.40- A = 1- 2 j - k, B=2 j+3k ve C= i+2 j+4k olmak üzere a şağı dakiifadeleri hesaplay ı n ız.a) Axe-13>x) b) (Z,x11)x c) (A+ -1+3)x(A-)[a)-15T+51-251-+c b)- 26 -i*+311- 91: c)237+151-121131

L BÖLÜM İLE ILGILI ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERI1- a ) P =(1,2) , Q =(3, 4)PQ = OQ — OP = (3,4)— (1,2) = (2,2) bile şenleri cinsinden ifadesiPQ = yia, 2 a 2 2 = N/4 + 4 = 2-4- büyüklüğüb ) P = , — 1) , Q = (— 2,2)PQ = OQ = (-2,2)— (1,-1) = (-3,3)PQ = +9 =11c ) = (0,1), Q = (4,-2)PQ = OQ — OP = (4,-2)—(0,1) = (4,-3)PQ NI16 +9 = 5d) P = (1 ,2 ,3) , Q = (4 , 6 ,8)PQ = OQ OP = (4,6,8) — (1,2,3) = (3,4,5)11PQ(+ = -19 +16 + 25 =e) P =(1,0,-1), Q = (2,3,-4)PQ = 00 OP = (2,3,-4) — (1,0,-1) = (1,3,-3)PQ = N11+9+9f ) P = Q = (3,-2,5)PQ = OQ — OP = (3,-2,5)— (-1,2,-2) = (4,-4,7)PQ =V16+16+4932

2 a ) = (7,8) , P = (-1,2)A= PQ = OQ - OP = (7,8) = (q,,q 2 )- (-1,2)7=q,-1-1q,=68 = qz -2 = q 2 =10 Q = (6,10)b ) A = (3,-2) , Q = (4,0)A = PQ = OQ - OP (3,-2) = (4,0)- (p,, )72 )3 = 4 - p, api- 2 - p2 p, = 2 P = (1,2)), Q (_ i4'3) '3)= PQ = OQ - OP4 '31)- (p, p,)'33--4 = -1- Pi = --45 1 4 „ 1 41- = - - p2 p2 = r = , - - -3-3 33ı 4d) A = (2,-3,4) , P = (1,2,-3)71= PQ = OQ - OP (2,-3,4)= (1,2,-3)2 = q, -1q 1 =3-3=q 2 -2q 2 =-14=q3 -1-3q 3 =1Q=(3,-1,1)e) A = Q = 7,1,3)(- 8,1,-2) =( 7,1,3)- (p,, p 2 , p 3 )-8 = -7- p, p, =11=1- p2 p 2 = O- 2 = 3- p, p3 = 5P = (1,0 ,5)33

f ) = (1,0,2,5) , P =(1,0,2,5) = (q, ,q2 , q 3 , 14 )– (0,-1,3,-2)0 = q 2 +1 q, -= –12=q3 -3q 3 =55=q 4 +2q 4Q = (1,-1,5,3)3-7111= NI 9 16 = 5a 3cosa = = – = cose:41 5cos /3 = (İ 4' = sirı t9:1 5= (5,2,–/)1:411= 25 + 4 + 1 =,1:30acosa = –– V30cos fl = — a, =2,f5ö-a3 1cosy = =A -‘13034

5 A = 2cos0 = cos30 ° =A2 3 a =sin 8 = --2- a_br = 30 °sin 30 ° = - 1A 2a 2 = 16- a ) A = 3,1,-2)71j =V9+1+4-u =A7113 1 2u = ( i1: NA:4-( 3 1 2u ) - u =14 N/Fr ı 14)j7-a) + 473 4,3,-2)+ 41,-2,3) = (- 4 + 4,3 - 8,-2 + 12) = (0,-5,10)b ) 2A - B = 2(- 4,3,-2)- (1,-2,3) = (- 8 -1,6 + 2,-4 - 3) = 9,8,-7)e ) + 473 = (O ,5 ,1 O):4+41.3 =N/0+25+100 =5-f5d) 2:4 - =(-9,8,-7)- 7311 = ./81 + 64 + 49 = .V194e )= N/16+9+4=,/1+4+9 =N/14A1+ 1h = + Nİ1 2135

8 - 4 7-3' + 5 A- = 3 C :"4(0,1,2)+ 5(a, , a2 , a3 ) = 3(3,4,5)+ 5a, ,4 + 5a2 ,8+5a3 )= (9,12,15)5a, = 9 a, = 954+5a 2 =12a 2 =- 8578+5a 3 =15a 3 5(9 8 _7)9 - A- = k73 + sC,"5,6,-7)= k(2,-3,4)+ s(--5,6,-7) = (2k — 3s,-3k + 4s,4k — 5s)2k — 3s. = —5— 3k + 4s = 64k — 5s = —7k = 2 ,s -=- 310.- = mJ4 + kCj + sJ3(— = m(1,2,3)+ k(0,4,5)+ s(2,3,6)(— = + 2s,2m + 4k + 3s,3m + 5k + 6s)m + 2s = —52m + 4k + 3s = 13m+5k+6s=-5m=1, k =2 ,s=-32 = (71 4- A• (fi= + -4- 73• A> += 2 4- 271 +36

Burada Schwarz e şitsizliği ( A•B 1 A B kullanıhrsa,-ÂA-i3- 11 2 -A- 2 +2X+1B I:4+13 < ;1 H73B B 2 --. Bb ) I2 -73 2 = - ) •=:4 - 71 .73 +İ 3 •B-73 -73 .:4 -71 .73 +:1. • A= (B A) . - A)= 1B -c ) A - 73 2 =(A - 73)•(A - B)== 2 - 2X• -lj4- 2 X•f3ı 3 IAA12-Anün B üzerine dik izdü şümü:A IcosA ınin :4 üzerine dik izdü şümü:A.Bcoso, = cos0 =A BI -AltB cos37

a) ;1=27-2:/+ İc,B= —7 —2:2+2k.P =44+4+1=3=41+4+4 =3A.B =(2,-2, ı)•(— ı,-2,2) = —2+4+2=411:41cost9 = ;1J3 AcosB= 4 =cos D = 4B 3 9b ) A= i — 2j+3k , B=3i +j- 2kA • B (1,-2,3)- (3,1,-2) = 3— 2 — 6 = —5IA =41+4+9 =4F4:B=49+1+4=414A cos =İS31173c ) A=3i —5j+4k,B=4i +3.; —57c5 5cos9= cos0 =14 1471.73 =(3,-5,4).(4,3,-5)=12 —15 — 2 = —23=49+25+16=5,5Bil = 416 + 9 + 25 = 542-- f; 23 23Hicose = ,r = cos = — 50Bd) A= 2 7 + —67c , B = 7 — + 41cA • B = (2,3,-6)- (1,-2,4) = 2 — 6 — 24 = —28I!Ali = .44 +9 + 36 = 7Bil= ,I1+ 4+16 =1573 28 4A cos O = =-42111 73 cos .=38

13-a)A.BB cos0 =AA = 27- 2)-F , B=-21. + 2:4 • 73 = 1,-2,2)= —2 + 4 + 2 -= 4:41=V4+4+1=3B cos = — 43b ) A=i —2/— +37c , B =3iBj—2 İc= (3,1,-2) = 3 — 2 — 6 = —5= ,İ1+ 4 + 9 =cos0 = 74.B =5A N/14c ) A=3i — 5j+4k, 73 = +3:; -5kA 73. = (3,-5,4)-(4,3,-5)=12 —15— 20 -= —23A =N/9+25+16=5,5cos0 = = 23r-5Nİ 2d) A=2i +3j-6k, B=i —2j+4k, :4•13= —28,A = 7731 1cos B= :413 = —4A14 — A.B = O , A.0 = O , B.0 = O olmal ıdır.• 13 = (3,1,-1) = 3 — 2 — 1 .- O471 • C: = (1,4,7). 1— 8 + 7 -= O13 = (3,1,-1)-(1,4,7). 3+4 —7 = O39

15 - = (u,,a,,a3 ) =(b,,b2 ,b3 ) olmak üzereii x73 =jal az a3 = (a 2 .b3 - a3 .b2 ,a3 .b,-b, b2 b3 1a,.b,):Ax73 vektörü hemJ4 ya hemde B ye dik olan vektördür.i j;b

18 - B (;1--k73+s,)= o ve (:4 — + O olmal ıd ır.— kB + s Ğ = (1,-2,3)— k(— s(5,-6,7)=(1+ 3k + 5s,-2 — 4k — 6s,3 + 5k + 7s)73 -(7,1— k73 + sC)= 3,4,-5)• (1+ 3k + 5s,-2 — 4k — 6s,3 + 5k +7 s)—3(1+3k +5s)+ 4(— 2 — 4k — 6s)— 5(3 + 5k +7 s)= 0—26 — 50k — 74s = O ...I•(A> -- + s(7)= (5,-6,7)-(1+3k + 5s,-2 — 4k — 6s,3 + 5k + 7s)= O5(1+3k + 5s)— 6(— 2 — 4k — 6s)+ 7(3 + 5k + 7s)= O38+74k+110s=0 .../1Burada I ve II denklemlerinin çözümünden k = —2 , s = 1 bulunur.19 -B cos 071 • S'cos , icos 01 5_ 1 , A_LB:4 • ıi = O21•73)1 73;;I• 731

-21 - Not: İki vektörün paralel olmas ı için A x B = 0 olmal ıdır..1a) AxB= -1 2 -3 42-12)7 -(-6 +6)=; + (4 - 4)k. = O2 -4 6i j kb) AxB= 3 6 - 9 =(-18+10 -(-9+9)j+(6-6)k=01 2 -322 - Not: A ve B vektörlerinin her ikisine birden dik olan vektör 71x B vektörüdür.Bu vektörü birim vektör haline getirmek için,A x Bx Bifadesini oluşturmak gerekir.ia) AxB= 1 -2 32 1 -1=-i +7j+5k4 x B—V1+49+25=5,h-:4x13 --7+7:;+57c 1 - 7 - 1= ,. ı + ,j+--_-_- , kAxB 5,1:3 5N/3 SN/3 N/3b ) Ax B=- 73i j k3 -1 61 4 1= -25,1 + 3 +13k= V625+9 +169 = V803Ax B 25 - 3 - 13A xB803 N43-6-5 Nri6-3- k42

k23-a)71x73= 21-1-7j +7k-134b)-134=27i +9 j1-35e) C xA=k1 -3 52 1 -1+11.1+7k2 1 -1d) A (-B. >

-a ) A = PQ =Q— P = (1,0,3) = (0,2,-4)PR = R— P = (1,0,3)= ( 3,1,0)i j kAxB= 0 2 —4 =47+12;+67c3 1 0AxB = V16+144+36 =14!IA x 731i2= 7 br 2b ) = PQ =Q— P = (1,2,-1)— (— 2,-1,3). (3,3,-4)= PR = R— P = (4,3,-3)— (— 2,-1,3)= (6,4,-6)x 73 =7 )1171x 73 = N/4 +36+36 =Px 732 = ,fi9 br 23 3 —4 = — 2 — 6 J— — 6 1c6 4 —6c ) A = PQ =Q — P = (-3,1,1)— (4,-2,3)= ( 7,3,-2)- = PR = R— P = (1,1,1)— (4,-2,3) =7 ;A xB = —7 3 —2 = —127c—3 3 —2A x B = ,/64 + 144 =4,53-A xB2 -= 2,53:44

d ) A = P() = Q — P = (1,-3,0= (3,5,-2)B = PR = R— P = (—i j kAx73 = 3 5 —2 =-57+13:;+25 İc—2 5 —3x 73 = V25 +169 + 625 =A x B3Vği2 225- , y, z). —Uzayda bir Po (x o ,yo ,z o ) noktası ve bir de A = (a,,a2 ,a3 ) vektörüverilmiş olsun. P, noktas ından geçen ve A vektörüne paralel olan birtek doğru vardır.PoP=tA,te%OP —0P, = t ARo =tA R= R,+tA , t e 91 doğnmun vektörel denklemi(x,y,z)=(x o ,y o ,z o )+1(a,,a,,a3 )x = x, + ta,y = yo + ta2 , t e 91 dogrunun parametrik denklemiz = z o + ta3x— x o Y y o —a, a2=t , t e 91 doğrunun simetrik formu45

A doğrultman ı belli P, noktas ından geçen doğrunun denklemi:7A = (a,,a2 , .2 3 )Po(xo , Yo , z o)x — x o = y — y o ....... z — z o ____ t , t e 91a1 a 2 a 3(x, y, (x o , y„ , 0 )+ 2(a,, a2 , (1 3 )(x, y, z) = (1,2 ,0) + 2(1,2,-1) = + /1,2 + 22,-2)x = ı +2y = 2 +z =e ..1? doğrunun parametrik denklemix —1 y — 2 z — O = ,2 e 91 doğrunun simetrik formu2 — 126 -L, için ;L, in parametrik denklemi: x =1+ ty=-1+tz = 2 +1,t e 91L, in doğrultman vektörü: A = (1,1,1)46

L, için;722 =37-3;+747+3J+27c)t . 43-t'F+(3+3t.')j+(1+2t')ZL 2 nin parametrik denklemi: x = 3 - t'y = -3 +31'z =1+2t. ,t'L, nin doğrultman vektörü: B = (-1,3,2)İki doğrunun kesim noktas ı istendi ğine göre kesim noktas ında bileşenlerie şit olmal ıdır.1+ t = 3 - t'-1+t =-3+3t'2+t=1+2it=1,t' =IBulunan t ve t' nün değerlerini L ı ve L 2 nin parametrik denklemlerindeyerlerine yaz ılırsa x = 2, y = 0, z = 3 olarak bulunur. Buna görekesim noktas ı P = (2,0,3) dir.L ı = 0,13)=7 + İı.L,•• .13 =(-1,3,2)= -7 + 3 j- +İki doğru aras ındaki açı: cos O = 71. 73İrA 73-1+3+2 4cos e9 = =-N i/1+1+1,11+9+4 ,/4227 - P0 (x, y, , = (aı ,a,,a,)P, noktas ından geçen 71 vektörüne paralel olan do ğrunun parametrikdenklemi OP = OP + 2-74 olduğundan, P, (-1,3,2), A = (2,-3,5) veP(x, y, z) denklemde yerine konulursa,(x, y, z) = (x, , ye , z, )+ 2(a, , a,,a,)•(x,y,z)=(-1,3,2)+ .1(2,-3,5)= (1+ 22,3 - 32,2 + 5.1.)47

Doğrunun parametrik denklemi: x = -I+ 22y = 3- 3.1z=2+52,2e9128 - İki noktadan geçen doğrunun simetrik formux - xo y - yox, - xo y, - y, z, -Zolduğundan,x-3 y+I z-4-5 4dir.-- zo29 - (1,-2,1),72= (2,-3,4) X = P +2 ;İ(2,-3,4)(x, y, = (1,-2,1)+ 2(2,-3,4)x =1+2.1y = -2 - 3/1z .1+ 4230 -x-3y+5z+4 =Ov = i + 2j - kDüzlemin normali:- --3j +5k48

n vektörü düzleme dik olan bir vektör ve d-do ğrusu da düzleme paralel olduğundan n vektörü d-do ğrusuna dildir. Buna göre düzlemde ikikesi şen, vektöre dik olan do ğrunun doğrultman ı doğrultmanı bu vektörlerinvektörel çarp ımma eşittir. Buna göre şı x v d-doğrusunun doğrultmanıdır.fcnxv= 2 —3 5 =-7i +7j+7k1 2 —1Buna göre (3,4,6) noktas ından geçen P, =(7,7,7) doğrultmanl ı doğrununparametrik denklemi: x = 3 — 72y = 4 + 72ı =6+72,2,c9231 - R, =7+t7+2; . -2ti+iı +tİı .(1+t)1+(2-2trj+(1+t)7cx =l+ty = 2 — 2tz=l+t,tE91R, in doğrultman vektörü: A = (1,-2,1) dir.7?:=27+:;+27 ı +t1 7-3t s :j+t1 7c 42+4/4-3/ 1T/4+4k.x=2+t'y=1-3t'z=2+ti ,t1 E9IRZ nin doğrultman vektörü: 73 = (1,-3,1) dir.49

İki doğrunun kesim noktas ı istendiğine göre kesim noktas ında bileşenlere şit olmal ıdır.14- ı =2+/'2 — 2/ = 1— 3/'l+t=2+/',t`=1Bulunan t = 2 ve t' = 1 değerleri /7, ve 7?; de yerine yaz ı l ırsa,x = 3,y = —2,z = 3bulunur. Buna göre kesim noktas ı P(3,-2,3) dir.r?, = - +RZ = (1,-3A = 7- 37 +:4 • B 4cos =A B1 3332 - Doğrultman vektörleri: A = (1,2,1)= 7 +27 +73 = (2,1,2) = 27 +•73 2+2+2cos,„„=,r6-A Bil ıl1+4+1V4+1+4 — 333 - A = (1,-1,1) , B = 2,3,4) , C = 3,-2,1) ve gezici nokta S = (X, y,olsun.AB = 3,4,3) , AC = 4,-1,0)AS -=(x-1,y +1,z —1)iAB x AC = —3 4 3 = —12J+19it = (3,-12,19)—4 —1 0tı1h x ) - AS = 3(x — 1) — 12(y + 1) + 19(z — 1) = O3x-12y+1 9 z —34=0veya50

(AS, AB, AC). Ox-1 y +1 z —1—3 4 3 = O—4 —1 0dan 3x — 12y +19z — 34 = O bulunur.34— a ) 73, C).2—111 O4 01 2= 2(8— 0)— ( 2) = 18—112b ) (-1,73,C).12O— 8 — 4 + 2(— 1 — 4) = —222—14213c )—302= 2(2)— ( 12 — 4)+ 3(3) = 292—14d) 0,73,3 1 22 O 51 6 3= 3(— 30)— (6 — 5) + 2(12) = —6735 - P Q =:-.. /4 , P R , P S =CPQ = Q—P = (3,5,0)— (1,2,0) = (2,3 ,0)B = PR = R—P = (4,3,0) — (1,2,0) = (3,1,0)PS =S—P = (-1,-1,2)— (1,2,0) =(- 2,-3,2)2 3 OV = (A,B,C)-= 3 1 O =-141/=14—2 —3 251

36 - 71,73,C nin ayn ı düzlemde olmas ı için (:4,13,(:.')= 0 olmal ıdır.1(71, İi,C)=21231m0—3=-9-1-12—m=0m=337 -38 -HE = CE ve HE ED HD = 2HE = —2 CE =—HC3 311A+HB+HC=HD+HC=-11C+HC=0Ark"QA+ QB +QC = H + HA)+(QH + HB)+ H + HC)=3QH +(HA+ HB + HC)37. al ıstırmadan HA + HB + HC = 0 olduğundan,QA + QB + QC = 3QH39 — Not: 36. Al ışt ırmadan faydalanarak,—4 —3 1(71,73,(1= —1 — 2 2 = O— 7 —4 0olduğundan 71,73,C vektörleri ayn ı düzlemdedir.52

40—a) BxC=ıc.2 —1 31 2 4= —10; — + 5kk1 —2 —1— 10 —5 5= + — 25kb) AxB=j k1 — 2 —1 = -7i -5j+ 3k2 —1 3(71 x 73),j k—7 — 5 31 2 4= —26 ı + 31 — 9kc ) A+B = (1,-2,-1) + (2,-1,3) = (3,-3,2)("A- +— C = (1,2,4) -=T- ) = 3 —3 2 = 237 + 15:/ — 12k0 — 4 —553

VIII. BÖLÜMII. BÖLÜM İLE ILGILI ALI ŞTIRMALARF(t) = (3t - 1)7+ (t2 - 2) -f+ t 1( ve Ğ (t) = 2e t cos t j+ t2-1C , ( t O)--> -4 -4 -4-› -›oldu ğuna göre 3F- 2G , F G, F(t) ve Fx G bulunuz.P. Ğ = 2e` (3t -1) - (t 2 - 2) cos t + t 3 )1-->2. F(t) = t i + (1+ t') j - sin t k ve G(t) =111(1+ t) - j + k , (t O) oldu ğunagöre 2Ğ , F G , Fx G , 11(t) ve-›G ( t)Ibulunuz.= t 111(1+ t) - e t (1+ t2 ) - sirk t)(Fx G = I.(1+ t') - sinti i - [t + sin t 111(1+ O] j - [t + (1+ t 2 )1n(1 + t31C3. F(t) = tcos2t i + tsin2t1+e t--k , (t Z O) olsun. t Z o içinbiçimde bir h skaler fonksiyonunu bulunuz.[11(t) = (t2 +e2`)-112 ]h(t)F(t)il= I olacak4. Al ışt ın= 3 'ü F(t) = e-t cos t i + , sin t j+ t k (t Z O) için tekrar yap ınız.{h(t) (e -2` + t 2 )-112 ]5. F(t) = a(cos t i + sin t -İ) + brc ve dm= -sin cos t -j> (O t 2rc) a, bsabit, [0,2 ıt) deki bütün t ler için F(t) ve G(t) lerin dik olduklar ın ı gösteriniz.Ayr ıca () 5 t S 27z için-4(-bcost-bsint -j+al-e)Va 2b2x -Ğ(t) ye paralel bir birim vektör bulunuz.-->6. Al ışt ırma 5'i F(t) = (cos t - sin t) i + (sin t + dost)j+ 1c-->ve -Ğ(t) -(cos t + sin t) i + (cos t - sin 0 -j> , O 5 t S 27r olmak üzeretekrar çözünüz.-([-->-->(sin t - cos t) 1- (cos t + sin t)j + 2 k54

2 j+ ( I n7. ++ (cost) 1 ht-+0 tt 2 t 2 sec t ) 11 = (8. lim [(2 t +1)'t->o[(e2 7+ 2 -.O]sin 2 t -t1- cos t-->[(2 51/2 -I+ 2 /-11+ j+ t k = ?te - t-.* ->9. 114 + ı j + ?ı sın t cos t[sin tlo. lira — ı + COS t .1 + ln(1+ t) k]= ?t-->0 t t{(7+ 7 + :1*()]t+10 :1]=?11. Vt3[(ek7 + j)]12. (2tt+11Y 7+ nf =21- t -1 3t 2 +2 -j>13. 1432 18+ 141 .?ı--. 2 - t-2 5t 2 — 2 t + 1 V t2 j[( 2 -1()]-+14. F(t) = Asin t + Bcos t olsun. Asag ıdakileri hesaplay ın ı z.(Burada Aj ve B = + j dir.)-+ -+ --+a) lim F(t) , b) lim F(t)ii , c) lim (i+ j + k)- F(t) , d) lim (tan t)F(t)1—> ıc/3 t-->n13 t-+İs14t—>n/6[ a) 1+,r3"j b)../ı• e)v-1 d)(2-'5+3 1 -1++(3---i5 ).112 6 6 ) J55

-■ -+ -->15. F(t) = t ı +t 2 j+t 3 k ve G(0= 2t j+3t2 k (t Z O) olsun. Aşağıdaki lin-liderihesaplay ınız.a) lim 11(t) d(t) b) lim F( t) • G( t) , c) lim F(t) x G( t) , d) lim F(t) x -d(t)[a) 5 b) 4 c) 4 i j - 3 k d),T2-6]16. Aşağıda verilen fonksiyonlar için F( t) G(t) ve F(t) x G(t) nin türevlerini bulunuz.-F(t) = t 1> +2t2 -1*c ve -Ğ (t) = t 7+ cos t -j>+ t -k , t-F(t)= t2-j>+ t 2.1+c ve Ğ (t)= t -1>+ (t +1) j+(t 2 +1)1: , t 0c) - (t) = (74+ 1c)sin t + k)cos t veĞ (t) =i+ -j)e' - (j+ 2 -k)111 t , t > Oa) 2t - sin t - 6t 2 , (1 + 4t cos t - 2t 2 sin t)1)- (2t + 6t 2 )1+ (cos t - t si ıı t - 1)reb) 1- 3t 2 + 4t 3 , 4t 3 - 3t 2 - 4t)7+ (3t 2 - 201+ (3t 2 +1)1Cc) 2sin t + 4 cost)- (cost + 3 sin Oh' t + -1 (3cos t -sin t),tcos t - sin t)In t - 2e' sin t + - 1 Osin t + cos t) 2(2 sin t - cos t)ln t - 4e t sin t - 2 - (sin t + 2 costtF[(2ṣ ni t - cos t)ln t + e' cos t -sin t)- (sin t + 2 cos t)11Ç .t) J17. F vektör de ğerli fonksiyon iki defa diferensiyellenebilir olsun. Bu takdirde[F(t) x i*•-'(01 = -F(t) x F"(t) dir. Gösteriniz.18. F vektör değerli diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. F(t) = rF( t) iseF(t) • F'(t) = F(t)1 -7'( t) dir. Gösteriniz.19. Eğer G(t) = F(t))

(Teorem : -F> , (a,b) üzerinde diferensiyellenebilir ve V t E (a,b) içinsabit olacakbiçimde bir vektör fonksiyonu olsun. Bu durumda F(t) ile F'(t) ortogonaldir.)21. R(t) = e' cos t i + sin t j , OStS ıt ile verilen denklemin yan ında yaz ı l ıparametrelere kar şıl ık gelen parças ın ın uzunluğunu bulunuz.[s -.T1(eg — 1)]22. = a cos t i + a sin t j+ btk , (a ve b sabitler) 0 S t S 2n olan dairesel helisinuzunluğunu bulunuz.[s = 24 2 + b 2I nj23. Aşağıda vektörel denklemi verilen eğrilerin yanlar ında yaz ı l ı parametrelerine kar şılıkgelen noktas ındaki, teğet, normal, binormal vektörlerini ayr ıca eğrilik ve burulmas ın ıbulunuz.-+a) R(0=a(t-sint)i+a(1-tost) j , a> O , O StS 27cb) 1-2(t) = 12 -İ+ (i t)7+ .15tr( (t„,R(t) = cos t i+e t sint j-1-c' k , (t 0)R(t)= tcost i+ tsint j+ t k , (t O)e) it(t) = cosh t 7+ sinh t -k> , (t 0)t 2f) it(t) = (sin t - tcost) -i>+ (cos t + tsin t) j+ k , (t O)2.g) .1-.›Z,(t) = t -i> + at2-j+ 2-a 2 t 3 1->c , (t 0) a = sabit3h) = sin t 7+ t 7+ (I cos t) , t O1 Nİ e"'a) K(t) = 23/2a(1- cos 01/2 b) t(t) = 0 c) K(t) ....«Te -t , t(t) = 3(t 2 + 6) 1 2 1d) t(t) = (t4 + 5t2 4. 8) e) K(t) = sec h t , t(t) =2 2 cosh 2 tf) K(t) = — I 2a ,t(t)= -- g) t(t)=.2 t ' 2t (2a2t2 + 1) 2-,. 1 ( --› -? -›)--■ -■ ,t =co st i+ j+sintk , n=-sinti+costk11)-:› .._ ( . --.> i -›,i,--- c Ob s -- t ı - j + sin t k)■ 257

24. Aşağıda vektörel denklemi verilen e ğrilerin yanlar ında yaz ılı parametrelerine kar şılıkgelen noktas ındaki eğrilik merkezinin koordinatlar ı ve eğrilik yançap ı nedir ?a)t -›R( t) = (t + sin t) i + (1 cos t) j + 4 sin - k , t O ve t =2 - It2b) R( t) = cos t i + sin t j + cos t I-1c , O S t < 2rt ve t = 4a) p = 4,r2". , (-7C 2- 3,5,2-vr )(1 -ı- sin 2 03/2 -11)b) p =N8 4 8 )25. Aşağıda vektörel denklemi ile tan ımlanan yörüngeler üzerindeki bir hareket göz önüneal ınıyor. Hız vektörü, h ız ın büyüklüğü, ivme vektörü, ivmenin büyüklü ğü ve ivmeninbileşenlerini bulunuz.a) R(t) 3t i + 3t` j + 2t'' , k , (t = 1)b) 1-'2.(t) = m(sinh t - t) i + m(cosh t -1) j , (t = In 2). t2-›R*(0=tcosti+ts ınt j+—2 k , (t=rt)d) li.(t) = ın(1+ cos s sin m cos t I: , (t -= 3-4 -4e) R(t) = cosh t cos t + cosh t sin t j + sinh t 1-C , (t = 7C)a) v = 3i +6j +6k , v = 9 b) ȧ 4 =(— 3 i + 5 J ) , a =-4 -4 -4 .4 -4 -4 -› ,4c)v=-i-rcj+rck , a=rti-2 j+kd) v = - 1 ,i6m2 + s2 1 ı 2 2 --> -÷ -+), a = -k2 ırı + 3s ) 1/2 e) a = sinh 4-2 j + k2 226. Aşağıda vektörel denklemi ile tan ımlanan yörüngeler üzerindeki bir partikülün hareketigöz önüne al ın ıyor. H ız vektörünü, h ızın büyüklüğünü, ivme vektörünü, ivmeninbüyüklüğünü, h ız ın kutupsal bile şenlerini hesaplay ın ız.58a) R(t) = cosh w t(cos t -i>+ sin t -S) , w > O sabitb) h(t) = t 2(cosw t i + sinwt j) , w>0 sabit,44 mc) R(t) = r(t) cos3t i + sin 3t j ı , r(t) = a(1 - cos3t) a > O sabitd) it(t)= r(t) .11. , r(t) = a(1 + sint) , O = 1- e-t

-▪e) ii(t) = r(t)(cosw t i+ sin w t j , r(t) = 1+ cos ta > Of) R(t) = r(t)(cos t i + sin , r(t) =3a2(2 + cos t)(a >O)a) v = w sinh wt Ur+ cosh wt U0 b) a = (2 — w 2 t2)i-J,+ 4wtUu- -->c) v = r' Ur+ 3r U0 , r' = 3asin 3td) a = (r" — re-2`) U r + (2r'e-t — re') Uu , r' = a cosi , r" = —a sin t-+ asin te) v = r' Ur+ rw Uu , r' = (1+ cos59

II. BÖLÜM İLE ILGILI ALIŞTIRMALAR1- 3P(t)- 2Ğ(t)= 31(3t + (t 2 — 2)j+ 212e' — cos + t 2 1-1= [3(3t —1)— 4e' + [3(t 2 — 2)+ 2 costrj + [3t — 2t 2 ir((t). ö(t)= [(3t — + (t 2 — 2)j 1.2e t 1 cos tf +t 2 .1=(3t-1)2et —(t 2 — 2)COS t -I- t 3F(t) 4- Ö(t) = k3t 1) Ş 4- (t 2 — tici+ [2el r — costi + t 2= (3t —I+ 2e t )İ (t 2 —2—cost + + t 2 )1cĞ (t)11= Nj(3t — 1+ 2e' y +(t2 _ 2 — cost)2 + + t 2 y.•,(t)x Ğ(t)= 3t —1 t 2 — 2 t2e t —cost t 2=Et 2 (t 2 — 2)± t COS ti — [t 2 — — 2te 13. + [— (3t — 1)cos t — 2e t (t 2 — 2)]= [t 4 — 2t 2 + t eos t] [3t 3 — t 2 — 2te t + kes t — 3t cos t —2t 2e t +4e' jk2- Mt)— Ğ(t)= 21ti + (1 + t 2 )j süt tk j— [111(1+ t) — e' j + k]F(t). Ğ(t)== [2t — In(1+ t)ri + [2(1+ t 2 )+ e' + 2 sin t —111c+ + t 2 — sin t11-11n(1 + t) —e'3+11=t1n(l+t)—(1+t 2 ' — sint1cf(t)x d:(t) = t + t 2 —sintIn(1+ t) — e'+ t 2 — e sin — [t + sin t In0 + t) — [te` + + t 2 )1n0 + t*I_..60

,(11=,/t2+(1+t2y±sin2 t-d(t)1 = ‘İln 2 (1+ t) + e 2t +13- I h(t)F(11 =1 olmal ı .h(t)(t cos 2ti +tsin 2tj+e t k = N/11 2 (tXt 2 cos 2 2t + t 2 sin 2 2t + e 2t )h(t)- (t 2 + 2t)-Y2Nith 2 (tXt)= İ4- h(t)(t = 1h(t)(e -t costi + e -t sin tj+ tiC)11. - .‘111 2 (tXe -2t cos 2 t + e-2t sin 2 t + t 2h(t)= (e_2t2 y-Y2= 2 (t)(e5- Ğ(t)= 0 ise . (t).L.Ğ(t) dir.Ğ(t) [1. cos t1 a sin + sin + cos t3 .1= —a cos t sin t + a sin t cos t= Of'(t)1:6(t) dir.d(t)=acost asin t b— sin t cos t 0= —bcost; — b sin tj+ cos 2 t + a sin 2 t)Ic—bcosti — bsin + arc61

(t)x d(t)11 = vlb 2 cos 2 t + b 2 sin 2 +a 2 = a z +b zF(t)x d(t)bcost - bsin t a -= -I- kF(t)x,/a 2 + b2Va2 b2,42 +b26- (t)• Ğ(t)= 1(cos t - sin t) ı + (sin t + cos t)j. + (cos t + sin + (cos t - sin t)ij= -(cos t - sin t). (cos t + sin t) + (cos t + si ıı t). (cos t - sin t) = OG(t)= 0Ç'(t)ld(t) dir.6(t) = cos t- sin t sin t + cos t 1- cos t - sin t cos t - sin t 0= (sin t - cos t); - (cos t + sin t) -1 + ((cos t - sin t) 2 + (cos t + sin t) 2 .11c= (sin t - cost)i - (cos t + sin j + 2kF(t)x 6(t)1!= Nı (sin t - cos t)2 + (cos t + sin t)2 + 4 = Nf6--11P(t)x d(t) sin t - cos t :. cos t + sin t 2j(t)X ö(t1 1[6- + 1[6-7- lim ln(e + t) = Go •O 11mo 1 , t l - ln(e` + t)= Hut 111k --- 1- t - lim et ± 1 - 210 -> tt->0 t 1-ı0 e t ttı2'hm . ln cos tlim(cos t) lim(cos t) = lim — 1 In cos t1-›o t->o t->0 t 2 t->0 t 2= .2 2- in s t . - cos t - sin t t= l ım2t cos t t-+0 2 cos 2 t 2lim(cos t)t->0=. e --)4litn( 1 1 ) = Go lim( 1 , 1 ) - lim 1 —(1 - 1 --)t.--w t 2 t 2 sect t-A t' t 2 sect t•-40 t 2 sect62

-1 cos t .= lim = km sin t ht . ncos t = 1t->o t 2 t->0 2t t-40 2 2/ 1Iln(e t +t+ (cos t)/ t2 j +(t 2 1 )1c + =2it 2 sec te-Y2J+-21 Z .1/ı t / ı 1 ln(2t + 1)8- lim(2t + 1) = l lim(2t + = lim -1n(2t + 1) = limt->o t-->o t->o t t-->o t t-4o 2t + 1t ı ,1im(2t +1)/2 = e't-4o2lim sin 2 t 0 km sin 2 t- lim 2sin t cost -Itm2cost =2t-›o 1- cos t 0 t-*o 1- cos t t-40 sin t t->0linit =Ot ->0limt->o1 //t sit, 2 t(2t + 1 i + j + tk1 cos t2:-= ı + 2j9 -e t - e -t O . e t - e -t .,. e t + e= nmt->o 2 sin t 0 t->o 2 sin t t-->o 2 cos t. s in2tlim = Ot-->o cos t-t= 1e t - e -t sin 21.+ + k2 sin t cos t= i + k10- Inn sin t —=1t ->0 tlim cos t =1t->olim İn(1+ t) 0 1n(1 + 1 =1t->0 t 0 t->o t t->0 + tlim [sin t 1 7. + costj - 1n(1+ t) - --+ k =i + j +kt-40 t t63

kk-1- lim+—) o =ek,_+.0 t t_. tlimtCot= limt + ı o t->- Vt 3 ı o t-- / ı o1+t'limt(1± _ki t - ± tVt 3 +10k= e + jilin g(xXdx)-1]12- NOT: lim f(x)= 1 ve lim g(x)=co ise lim [f(x)Ig (x) = ex --->ax—>a x-->a x—>adir.2lim ı t +1 ) ( t +100') limt--›0°,2t +1 +1 )ıi. ''. e t—>os, L2t+1—t3t ( t-1_ 1) —2t(t —1 \t (t—lylim — ozı tim = e lt+1 e e -2t —>, t, t +1) t—›..\ t +Ilimr ( t+1 2t—>ool 2t +1L-1+1, J e —2 jJ13- l ım 3 1— t 3t—>. 2_ t -2 2t 2 (3 + —23t 2 -1- 2 t 2lim-,--' limt --->°' 5t 2 -2t + I t---", 2 ( 2t 5-? + --,--t t - ,35limt—>so.3 2 +2 —lim 31 37 37 —+ j 38+- k = -71 + - j +2kt›00 -- 2-t -2 5t 2 -2t+1 '‘,1 t 2 -2 564

14 - F(t) = t + + -ilcos t = (sin t + cos t)r + (cos t - sin t) -1a - lim F(t)= lim (sin t + cos t)t + lim (cos t - sin t)it --> - t -> - 3 3 3NİS 1 \ 1 -151- 1 + - 1+ - 1 _ + - — j + J\ 2 2 2 2 2 2b -ğ(t1 = „sin t + cos -02 + (cos t - sint)2 = aFİ=3c - lim i + + k • F(t) = 1im ksin t + cos t) + (cos t - sint)]-4 4= lim 2 cos t = Vr2TC4sin t sin td- (tan trF(t)= lim [ (sin t + cos t)i + (cos t - sin t)TCCOS tCOS tJt-->-6 6= İ1Mt6ıIsin 2 t . sin 2 t+ stn t i + sin t jcos tsin _) 2.6atcos -6rcos t(sin 2. it 7 . n 6+ sm 1 + sm 6 6 itcos --6Ji +12fJJ 2 -+ 11 + - J6 2 ) 2 6+ J6 665

15 — a - P(t)+ -6(0 = (t + 2t)i + t + 3t 2 )r( = 3tt+ (t 2 + 3t 2bin P(t)+ ,d(t)l ı \i9t 2 + (t 2 -1)2 + (t 3 +3t 2 )2 . 5t->1t-÷1b - Ğ(t) = 2t 2 - t 2 4- 3t 5tim f.(t). d(t)= lim (t 2 3t 5 )= 4t-> ıt-> ıc^ r;(t)xj kt t 2 t 32t -1 3t 2=(3t 4 + t 3 )1— (3t 3 2t 4 )3 + ( t —2t 3 )1(İİM - t) X d(t)= ii14(3t 4 t 3 - (3t 3 - 2 t 4 - + 2t 3 )1-1= 4 -17 - - 3kt-*1t-›1d- lim F(t)x Ğ(t)11 lim -\k3t 4 + t 3 + (3t 3 - 2t 4 )2 +(t+2t 3T.t ->116 - kt)•d(t)] = (t). Ğ(t)+ Ğ e (t)(t)x Ğ(t)1 = F (t)x Ğ(t)+ F(t)x d (t)a (t)= tf+ 2t 2 FC (t) = - 4tFCd(t) = COS tj + tfe (t) = - sin tj +k(t)• = (t). -d(t) -d(t)=(1-t +o -cost-4t•t)-4-t-sint •1 —1- 2t 2 )— 4t 2 +t — sin t — 2t 2 = —6t 2 + 2t sin t[p(t).--(01 (t)x (t) 1 01c— 4t t 1 —2t 2t cos t t 1 — sin t 1\- ,=14tcosti - (t + 4t - + cos tiCi+ 1(1 - 2t 2 sin tfi - + 2t` )j + (- sin t - 1) -q= cost +1— 2t 2 sin — (2t + 6t 2 )T + (cos t — t sin t — 1)1—c66

- F(t).-r—t 2i+t 2iı t)= —2tj+2tZÖ(t)= +(t+1):j + 2 +1 ö(t)= r + ıtrçk (t). ö(t)] = ö(t)+ P(t). 60= -2t(t + 2t(t 2 + 1)4- 1 - t 2 + 2t 3= —2t 2 2t + 2t 3 + 2t +1— t 2 + 2t 3—3t 2 + 4t 3 +1d(t)+ (t)x d(t) 2t 2t 1 — t 2 t 2jkt t+1 t 2 +1 1 1 2t▪ 2t(t2 44)_ 2t(t o]; 2t 2j + 2t 2i4- 2t 3 + + t 2 11-c.▪ 2t 3 — 4t-2t 2 —2t 3 — t 2 )i+ (2t 2 —2t + t 2 )-j: +(2t 2 + 1+ t 2 )1C=( 4t 3 — 3t 2 - 4t); + (3t 2 - 2t)T + (3t 2 + 1)iCc - = + in t + — 1c)c o s tF(t)= (sin t + 2 cos(t)= (cos t — 2 sin— (sin t + cost) j + (sin t — cos t)IC— (Gest — sin t):; + (cos t + sin t)lsa(t)= (21. + —V + 21c)ln t6(t)= 2e t ; + (et — t)1 — 21n tlÇS(t)= 2e t i+ (e t — —1tt(t) Ğ(t)] = F (t) ö(t)+N G (t)2e t (cos t — 2 sin t)— (e t — teos t — sin t)— 21n t(cos t + sin t)+ 2e t (sin t + 2 cos t)— (e t — 1 --)ksin t + cos t) ■ — — 2I ksin t — cos t)tt11= e t cos t — 2 sin t)+ In t(— cos t — 3 sin t)+ — tk— sin t + 3 cos t)(t)x -6(4 = F (t) x -6(0+ (t)x -d(t)-67

cos t — 2 sin t2esin t — cos te t In tkcos t + sin t— 2 In tsin t + 2 cos t2e t.17— sin t — cos te t — — Itsin t — eos t2--t= 21n t(sin t — cos t) — (e t — In t)(cos t + sin t)] — 21n t(cos t — 2 sin t)— 2e t (cos t + sin t).1+ [(e t — In tY,cos t — 2 sin t) — 2e t (sin t — cos t)] + [-2 (sin t + cos — (e t — —1)(sin — cos t) -1tt- —2 sin t + 2 cos t)— 2e t (sin t — cos t)1 + [(e t — —1 )(sin t + 2 cos t) + 2e I (sin t + cos t)]t= In [ t(3 cos t — sin t) — 2e t sin t + 1 (3 sin t + cos t.)]tr— [2 In t(2 sin t — cos t)— 4e` sin t — 2 (sin t + 2 cos t)]t1+ t(2 sin t — cos 0+ e t (7 cos t — sin —(sin t + 2 cos t)t17 - [F(t)x F (t)] = F (t) x F (t) + F(t) x F (t)1.(t) X F = O dır. [i(t) x F (t)] = F(t)x F (t) olur.18 - = F(t) (t)- P(t) = F 2 (t)İF'(t). F(t)1 = [F 2 (t)](t). F(t)+ (t) = 2F(t)F' (t)2F(t)• F -= 2F(t)F' (t)F ' (t) = F(t)F (t)68

19 - G (t) = (t) (t)-f.(t)xP' (t) = X(t) dersek,d(t)= (t) . (t)+ (t). P- (t)=.[P(t)oP(t)] P(t)+[P(t)xP(t)].P(t)=[P>'(t)ıd(t).-f- (t)ıtf.L(t)= F (t)+ [(t)xF(t) ,1 4 -f.". (t)= F(t)XF " (t) . P(t)›-P'(t).P-(t) , P(t)xP . (t).-- o)=P(t)xf . (t). -P- (t} ,

x(t)= e t cos t x (t)= cos t — e t sin ty(t)= e t sin t y r (t)= e t sin t + e t tostdRdt = •■Rx(t))2 4(t))2Nke l cos t — e t sint)2 +(e t sin t + e t cost7)/e 2i [(cos t — sin +(sin t + cos tfl= e t ..12:s(t)— eidt..Me. _ İ)22 - x(t) = a cos t = x' (t) = —asin ty(t) = a sin tz(t) = btdRdty' (t) = a cos t\/(x (t))2 4-(y (t))2 4-(z (of= Nia 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t + b 2."2b,4227zs(t)= --Hdt =o Il dt I227cb 2 idt = 2rc[22 a + bo23 — Teğet Vektörü:-t —R (t)Esas normal vektör:Binormal vektör:, (t)t01 (1-ı(t)= t(t)xn(t)70

Eğrilik:k(t)=li .(t)x R t3(11Burulma:t(t)—R (t)x R (t) • R (t)— "6K 2 (t)1 R (tR (t)x R (t) • R (t)k(t)x ii(t)1 2a - 12.(t) = a(t — sin t)i + a(1 — cos t)jR (t) = a(1 — cost)i + asin tj .= Nia 2 (1 — cos + a2 sin 2 t \ia2(i — 2cos t + cos 2 t)-1- a 2 sin 2 t= Nia2 (1 — 2 cos t + cos 2 t + sin 2 t).= 42(1 cost)] >'27ıTeğet vektör: kt)=(1 — cost)i» + sin tj[2(1 — cos tfi' ı ■ sin — (1— cost)Jt kt> = t (t2[2(1 — cost Li 11 Y2in tl' — ( 1—Esas normal vektör: n—(t)— s cost YY ?[2(1— cos t)] 2Binormal vektör: lı(t)=12(1 — cosEğrilik: k(t)— 3/2 /2 a(1 cos t)1:-ı1 cos tsin t....j 1c.sin t 0 = —— (1 — cos t) 071

R (t)= a sin +acos tjİ2: (t) = a costi —asin tjjR (t)x R (t)-- a(I — cos asin t 0[ii(t)xlEC(t)1•ii(t)= oJBurulma: t(t)= Ob - ft(t)= t 2 ç +(I +R (t)= 2 tr + j + i5rta sin t a cos t 012(01= (4t 2 + 1 + 3Y2= 2(t 2 +1) )2/= —a2 (1— cost)ft2tr + j+Nr.31

k(t)x it(t)=ı j k2t 1 VS2 O O= — 2k(t)x R (t) • R (t) = O[R * JJJt(t)= Oe - et + e sin tj +e t kR (t)= et (cos t —sin t)r + e t (sin t + cos t)j + e t 1‹*(t)11= Ee 2t(cos t —sin t)2 + e2t (sin t + cos t? + e 2tY2= Ç5et.. 1.(t)= -- kcos t — sin t); + (sin t + cos +1

jR(t)x R'(t)= e t (cost — sin e t (sin t + cos t) e t— 2e t sin t 2e t tost e t[ İZ(0X fi" (t)] • (t) = 2e3tt(t)=J= e 2t k İ st • n t — costp — e 2t (eos t sin t) j+2e Zt k2e 3t 1e_ t2 e -2t nebt 39Benzer şekilde diğerlerini de çözünüz.d - k(t)----teosti+tsintj+tk ,74

76f - ft: 2 (t). (sin t – t cost)i + (cos t + t sin t)j- + —t , O)2

•t24 - a - R kt \ = + sin t )i + - cos t) j + 4 s ın -k , t O ve t = -2(t)= + cos t› + sin + 2 cos ṯ 1--cR (11= 2Nf(cos 2)7klıt-)2 ). t--R (t) = - sin t ı + cos t j sın -k2= 2• j- kk"(t)= I + cos t sin t 2 cos ṯ2. tsin t tost - s ın -2=( - sin -t2 - sin t - 2 coslcos 2tl ı (- sin ṯ ■ṯ - sin cos t + 2 sin t cosṯ j + (cos t + 1)1c) \ 2 2 2)b- -ğ.(t)= costr + sin t]. +costrtR (t)= -sin ti + cos t j - sin tkR (t) ---4sin 2 t + cos 2 t + sin 2 t /2 1+ sin 2R (t) = - costi - sin t j - cos tkR" (t)= sin t- cos tcos t - sin t- sin t - cos t= + k .79

fi(t)xl.(t)1= ŞA-1=NriIKW-(1+ sin2 t) /3/ 2(1+ sin 2 t)3AP = KO =25 - H ız vektörü:Hızın büyüklüğü:dtV = 1V(t)tİvme vektörü:İvmenin büyüklüğü: a = F(t11d R dVaktj==dt 2 dtİvmenin bileşenleri: Teğet bileşeni: a t = dtV , Normal bileşeni: a n = kV 2 = V 2Pa- 12.(t)=3t1+3t 2 5+2t 3 1-C , (t=1)Hız vektörü: V(t)= d=3i +6tj +6t kt = 1 noktas ındaki hız vektörü: V(1) = 3 :1> + 6 j + 41Ct = 1 noktas ındaki hız ın büyüklüğü: V = İ.(111= (3 2 +6 2 + 2 =9d 2 dVivme vektörü: a kt)= = = 6i +12 ıkd t 2 dtt = 1 noktas ındaki ivme vektörü: a:(1)= 6j + 12kt = 1 noktas ındaki ivmenin büyüklüğü: a =F(1)1 = (6 2 + 2 2 .„.6.,[5-dV dt = 1 noktasındaki ivmenin teğet bile şeni: a t =— =—(9)= Odt dt80

a 2 = at 2 +an 2 denİvmenin normal bileşeni: a n2 = a 2 at2 = (6,5Y = (6M2t = 1 noktas ındaki ivmenin normal bile şeni: an =b - i(t)=m(sinb. t — t); + nı(cosh t —1)5 , =111 2)'Vr(t)= tn(cosh t - 1)1 + m(smh t)Tdt+ e -t2e t1)1 + me t j .•2 JIn2 -In 2 2 +-(2 - -e - eV(In 2)= 1n rCin2 e-ln2 2 2i 112 1 +m J2 2 2 2V = 11V(1n == 4- + -mi = +3j)4 410 m4dV - e t - e -t - e t + e -ta(tj= = msinlı ti + mcosh tj = m i + mdt 2 2a(1n2)=mIn 2 -In 2 hı 2 -hı 2 2-? 2 + 1 -2 -e r+me T2 +e 1=m mT2 f+m 2 = 3 m1+-52 2 4 4= 2-(3i + 5T)a = 11;(111211=5:t rn- -, t 2 -,-: (C - 1(t)= t costi + t sin ti +— x , kt 7i)2dR = kcos t - t sin 01. + (sin t + t eos t)T + ticdtV(7t)=( ı - 0)i + + 7c (- 1» j + ıtk = -1 - + ıtkV = F1(711= k-1)2 + 702 + ıt 2P = (1+ ın2 Y/281

.a(t) = dV = sin t - sin t - t costY; + (cos t + cos t - t s ın t) j + kdt,(- 2 sin t - t cos t ji + (2 cos t - t sin t ) j + k;.(7c)= (- 2 . O - 7E 1))i +(2-(- - . 0)j +ka= - 2j + k(n)1+(_2) 2 11/2 42 +5y/d- R(t)= m(1 + cos t)i + ssin tj + m cos tic ,t -= 37c)- 1 dRV(t)= — = m(- sin t)i + scos t j + m(- sin t )1( = -msin ti + scos t j- - msin tkV( 71) = dt - 2 mi + 1 sj - e%f ml-c3 2 2r-- 2 2 r- 2 -

V = ilV(ıt) = ksinh ıt)2 + (- cosh ır)2 + (cosh n)`"= (sinh + cosh 2 ır + cosh 2 71)Y 2 kSinh I 2 7C + 2 cosh 2 7CY2( '-‘2akti = ddtLcosh t cos t - sinh t sin t - sinh t sin t - cosh t cos ti ı,-+ [cosh t sin t + sinh t cos t + sinh t cos t - cosh t sin tfi + sinh t k. -= -2 sinh t sin ti + 2 sulh t cos tj + sinh tka(ıc)= -2 sinh ır • Or + 2 sinh ır • (- 1)j + sinh ırrc= -2 sinh ırj + sinh ıriC = sinh ıt( 2I +a =11;(711= sinh ır((- 2)2 + 12 t 2 = Nİ-5- sinh ıc26 - Kutupsal koordinatlarda:R(t) = r(t4cos0(t)i + sin 0(t)ii= r(t)u,,u r = cosi:« + sin etoidu r= de = - sin e(t)i- + cos e(t)iHız vektörü:ı d 12dtHızın büyüklüğü: V =111ivme vektörü: a = dV7 = d2itdt dt 2ivme büyüklüğü: a = IIaIa - it(t)= cosh wt(costi. + sin tJ) , w >O sabitHız vektörü: V =dt= w sinh wt(cos ti + sin tn+ cosh wt( sin ti + cos tj.)= w sinh wtu r + cosh wtu o.Kızın bilesenleri: wsinhwt ve coshwt dir.83

Hız ın büyüklüğü: V =• 1V2= [w 2 sulh 2 wt + cosh 2 wtj' -rivme vektörü: a = = w 2 cosh wtkcos ti + sin t j 1+ w sinh wt( sin ti + costj )dt- ı+ w sinh wt(– sin ti + cos tn+ cosh wt( cos t; – sin tj)= 2 cosh wt – cosh wt u t + 2w sinh wtu o= 2 - 1)COSh Wt + 2w sinh wtu oİvmenin büyüklü ğü: a = ra = [(W 2 - 1)2 cosh 2 wt + 4w 2 ssinh 2İvmenin bile şenleri:2 - 1)COSh wt ve 2w sinh wt dir.b - k(t)= t 2 (cos wtr + sin wti) , w >O sabitHız vektörü: V = — = 2t(cos wti + sin wt5)+ t 2 w sin wt; + w cos wt,j)dt=2tu r + wt u oHızın2t ve wt 2 dir.Hızın büyüklüğü: V = = (4t 2 +w 2 t 4) 1/2 =ivme vektörü: a = (1.V = 2keos wti + sin wt .n+ w sin wt; + w cos wt.0dt-"•‘ (+ 24- w sin wt; + w coswtj j+ t` 2 )cos pos wt; – w 2 sin wtj= (2 – w 2 t 2 XCOS Wt; sin wt1)+ 4wt( sin wtr + cos vvt:j)=(2 – w 2 t 2 ı r + 4wtueİvmenin büyüklüğü: a = a=(2 - w 2 t 2 + (4w02[İvmenin bile şenleri: 2 – w 2 t 2 ve 4wt dir.84

c - R(t)= r(t)(cos3tr + sin 3t -j) , r(t)= a(1 - cos3t) , a >O sabitV = — dR ---- 3a sin 34cos 3ti + sin 3tS)+ a(1 - cos 3t)( 3 sin 3ti + 3 cos 3ti)d- N3a sin 3t(cos + sin 3t j 3a(1 cos3t)(- sin 3ti + cos3t1)= 3a sin 3tu r + 3a(1 - cos 3t)u oV = r u r + 3ru o,r' =3asin3tH ızın bileşenleri: r ve3r dir.Vı -V [(r . + (3r)2 ] 3Iia"-> = dt= 9a cos 34cos + sin 3t-j')+ 3a sin 34( 3 sırt + 3 cos 3t3)N , .+ 9a sin 34- sin + cos3tj 3a(1 - cos3t)(- 3 cos 3t ı - 3 sın 3tj )N-..3a(4cos3t - 1)(cos + sin 3tj )+ 18a sin sin 3tr + cos3ti)= 3a(4 cos3t - 1)u, + 18a sin 3tu oa == k3a(4 ÇOS3t İD2 + (18a Sin 32)2 }Y2Ivmenin bile şenleri: 3a(4cos3t - °ve 18a sin 3t dir.d - r(t)ıı: , r(t) = a(1 + sin t) , = 1- e -t1.'0= acos t, r"(0= -as ılı t00= , 0" 0= -e -tu r = cos + sin 00ju o - sin 43(t)i + cos 00jV = — = r u r + re -t u odtHızın bileşenleri : r ' ve re-t dir.v.F11.[(r.)2.4.‘.0--ty] )485

- dV ,a--.—=r u r +re _t u o +re t ue - re -t uo - re -2t urdt= kr „ - re- + (2r'e' -re' u oa = i I[(r” - re -2t y re )21 2ivmenin bileşenleri: r" - re -2t ve 2r .e' - re' dir., ,.e - R (ir-, rktAcos wti s ın , r(t)= —a , a >O sabit1+ cos tV = dR = a sin t . . . a w sır,(cos wt ı + s ın wti )+dt (1+ cos t) 2 1+ cos tr u r + wru oH ızın bileşenleri: r' ve wr dir.V 11V = [(r' ± (wr) 2 1a =dVdt,—=r u r + r wu o + wr u o - w 2 ru r= İr" - + 2 wr u o. .wt ı + w cosa =[(r u - w 2rY + (2wr')2İvmenin bile şenleri: r" - w 2 r ve 2wr • d ır.. 3af - r(t)kcost ı + sın t j j , r(t) ,2(2 + cos t) , a >O sabit.V d R 6a sin t ( 3a (=„ kcost ı + sın t j )+ k sat . ti +cos tj )dt [2(2 + cos t)] 2(2 + cos t)=-r u r +ru oH ızın bileşenleri: r verdir.v(r . )2 +,1 /]/286

dVa=— =r u r dt+r u o +r u o —ru r =kr — r ---"+ 2r u oa= 11; 11 = [(r" —r) 42111 Y2İvmenin bile şenleri: r —r ve 2r' dir.87

88K K L E R

BAZI SABITLERBüyüklük2 ıc2-xlog x3,1415927 0,497156,2831853 0,798181,57080 0,196120,7853982 1,89509n 2v-şze0,3183099 1,502859,8696044 0,994301,7724539 0,248571,4645919 0,165722,718282 0,43429ēe 2eM = log e1- m= ln 101 radian 57° 17' 45"arc 1°gg 22g7C0,367879 1,565717,389056 0,868590,135335 1,131411,648721 0,217151,39561 0,144760,43429 1,637782,30258 0,362220,01745 2,241889,81 0,9916796,2361 1,983340,050968 2,707303,1320919 0,495834,429447 0,646351,003033 0,001320,709252 1,8508089

TR İ GONOMETRIK BILGILERAç ı 00 300 45° 60° 90 ° 180° 270° 360°sinı -J2 -51O0 —1 0222cos 1 -.5-2,r2-•tan 0 1 Nrj co220 —1 0 1Oco 0cot „ 3 0 00 0 GoAç ı — cc 90 ± a 180 ± a 270 t a 360 t asin —sina cosa ±sina —cosa tsinacos cosa ±sina —cosa tsina cosatan — tana ± cotcı ± tarla ±cota ± tanacot —cota ttana ± cota ± tana ±cotasec seca ±csca —seca ±csca seca90

TRIGONOMETR1K FORMÜLLERa b cSinüs Teoremi = =sina sinfl sinyKosinüs Teoremi a 2 = b 2 + c2 — 2bc cosasin2 a + cos 2 a = 1sinatan = cos acot ot. -= cosasinakana • cota = 1seca = 1cosacoseca =1sinasin(a T j3) = sina cosa T cosa sin pcos(a. -T P) = cosa cos /3 t sina sintan(a T P) =cot(a T p) =sina sin j3 = 2 sintana tanP1 + tana tanj3cota cot P ± 1cotP F cotacosa + cost3 = 2 cos a 2 2cosa cosi:3 = —2 sin a 2 +sin(a T P)tana tan = cosa cospcota T coti3 =2sin(j3 a)sina sinsin2 a =-1(1 cos2a)2cos2 a = — 1 (1+ cos2a)2sina a = 1(3 sina sin 3a)4cos a R2- Pcos a2— psin a 2cosa a = — 1 (cos3a + 3 cosa)491

İ NTEGRAL• Eğer F'(x) = f(x) ve c sabit olmak üzerejf(x) dx = F(x) + c• a sabit olmak üzere fa f(x) dx = a•jf(x) dx• J[f(x) T g(x)] dx = J f(x) dx Jg(x) dx• ff(ax+b)dx= 1F(ax+b)+c , a()• J u dv = uv — SN, du , u = f(x) , v = g(x) (K ısmi integrasyon)x'11-1• jx" dx =— n —1n +1• dx = ınixix• Sex dx = ex + c• faxdx =, (a>0,In a•i. dx _ 1 1arctan— x + c = --arc cot— x j -I- c , x2 + a 2 — a a a a(a O)ıı r 2 dx 2 =1 ln x — a +c , (a90).1 x — a 2a+ r dx inla+xl , c• -1- ,(a O)J a 2 — x 2 2a la — xdx•— In x+.1x 2 +a 2 1+c , (a ^ 0)+ a2f dx• — arcsin— x + c = —arccos— x +c , (a > O)i Va 2 — x2 a a• Din x dx = —cos x + c• j. sin 2 x dx = 1 x — 1-sinx cosx -1-.c2 2• sin" x dx = x cos x + sin n-2 x dx• Scosx dx sin x + c1 1 .• Scos 2 x dx = — 2x + — 2s ın x cosx + c92

S cosn x dx = —1 cos' i x sin x +rcot x dx — cot x — x + csec x dx = loglsec x + tan xl + ccos"-2 x dxdx=lnitan— x + c = lnIcos ec x — c,ofxI + csin x 2dxInItan(—x lt+ c = Initanx + sec xi + ccosx 2 4dx= cot x + csin- xr dxj =tanx+ccos xsinh x dx = cosh x + ccosh x dx = sinh x cr dx, — oth c x + csinh xdxcosh 2 x = tank x + cf sin mx cos nx dx -=cos(m + n)x cos(m — n)x + c2(m + n) 2(m — n)f sin mx sin nx dx =sin(m + n)x +sintm — n)x + c2(m + n) 2(m — n)arcsin x dx = x arcsin x +_sin,(m + n)x +sin ( m — n)x + c2(m + n) 2(m — n)+ cj cos mx cos nx dx = arccos x dx = x arccos x —arctan x dx = x arctan x — 2j arc cot x dx = x arc cot x + 2j x"ex dx = )( ne' — n f x"-lex dxlog x dx = x log x — x + c93+ c+ x2 I + c+ x2 I + cf log x dx =xx)2 + c

BAZI METRIK SISTEM DE ĞERLERIUzunluk Ölçüleri1 inç1 fut1 yarda1 kara mili= 2,54 cin= 0,3048 m... 3 fut = 0,9144 m= 1,60934 kmAlan Ölçüleri1 inç kare (in 2) = 6,4516 cm 22) = 929,03 cm2 1 fut kare (ft1 yarda kare (yd 2 ) = 0,83613 m 2= 0,40468 ha 1 acre1 mil kare = 640 acres = 2,590 km2Hacim Ölçüleri1 inç küp (ini ) =1 fut küp (ft 3 ) =1 yarda küp (yd 3 ) =16,387 cm30,028317 m330,76455 mS ı v ılar için1 pint = 0,4732 It (Amerikan)---- 0,5682 It (İngiliz)1 galon = 3,7853 It (Amerikan)= 4,5418 It (İngiliz)Ağı rl ı k Ölçüleri1 Ounce1 Pound1 Ton= 28,35 gr= 0,45359 kg,= 907,185 kg (Amerikan)= 1016,048 kg ( İngiliz)94

GREK ALFABESIA a AlfaB P BetaF 7 GammaA Ö DeltaE e EpsilonZ Ç ZetaH Tl EtaO O TetaI t İyotaK K KapaA X LamdaM 1-1. MüN v NüKsiO o OmikronfI as PiP P RocrSigmaT T Tor ıı Upsilon(I) (f> FiŞiPsiS2Omega95

INIDEXAAç ı 9Aç ısal Hız 55BBirim vektör 3Bileşen 2Binormal vektör 43, 44Burulma 47CCurl 75DDel 67Derece 23 -Dış çarp ım 12Diferensiyellenebilir 34Divergens 72Divergens Teoremi 5 -®Doğru denklemi 15Doğrultman kosinüsleri 3Doğrultman vektörü 17Düzlem denklemi 18EEğrilik 43Eğrilik çemberi 44Eğrilik yar ıçapı 44Eğrisel integral 87Esas normal vektör 43, 44Eylemsizlik momenti 85FFrenet Formülleri 47Frenet üçlüsü 44Frenet vektörleri 44GGeorge Green 98G rad 23 -®Gradiyent 67Green formülü 100Green Teoremi 98Grek Alfabesi 113HHarmonik fonksiyon 74Hız 49,54Hicri 24 -®İİç çarp ım 9integral alma formilleri 110İvme 50, 55İvme vektörü 55KKapal ı yüzey 71Karma çarp ım 20Korunumlu alan 74LLaplace denklemi 7496

Laplace operatörü 74Limit 33Logaritma 18 -OMMetrik sistem de ğerleriS ıfır vektörü 3Simetrik form 16Skaler alan 63Skaler çarp ım 8112 Stokes Teoremi 10 -OMiladi 24 -ONNabla operarörü 67Nokta çarp ımı 9Norm 3Normal düzlem 45Normal vektör 44OOrtogonal 32,60Oskülatör denklemi 45PParalel yüzün hacmi 21Parametrik denklem 16Potansiyel fonksiyon 74RRadyan 23 -eReel fonksiyon 29Rektifıyan düzlem 45Rotasyonel 75Rami 24 -0SSeviye düzeyi 70işaretli terimler II. Cil tte eklenmi ştirSüreklilik 33, 34TTeğet vektörü 37,39Teğetsel ivme 52Trigonometrik bilgiler 108Trigonometrik forinüller 109Türev 33UUzay eğrisinin vektörel denklemi 37vVektör 1Vektör alan ı 63Vektör değerli fonksiyonlar 29Vektörel çarp ım 12Vektörel denklem 16Vektörlerin bile şeni 2Vektörlerin ç ıkarmas ı 6Vektörlerin toplam ı 6YYay uzunluğu 41Yoldan bağıms ız 95Yüzey alan ı 86Yüzey integrali • 197