CEB RSEL TOPOLOJ (ÖRGÜN) ARASINAV CEVAP ANAHTARI

CEB RSEL TOPOLOJ(ÖRGÜN) ARASINAV CEVAP ANAHTARI06.11.2012 PROF. DR. SMET KARACA1. Alfabedeki X ve I harerini R 2 nin birer alt uzay olarak göz önüne alalim. Butakdirde X uzaynn I ya homeomorf olup olmad§n belirleyiniz.Çözüm: Bir an için iki harn birbirine homeomorf oldu§unu kabul edelim. Butakdirdef : X −→ Ihomeomorzmas mevcuttur. X harnin tam çaprazlama noktasna x ve bunoktann f homeomorzmas altndaki görüntüsüne de y diyelim. ki uzay birbirinehomeomorf olsayd X−{x} uzay ile I−{y} uzay da birbirine homeomorfolurdu. Bu ise çeli³kidir, çünki X − {x} uzaynn ba§lantl bile³en says 4 ikenI − {y} uzaynn ba§lantl bile³en says 2 dir. O halde kabülümüz yanl³tr. Xve I hareri birbirine homeomorf de§ildir.2. X diskret topolojik uzay ve ∼, X uzay üzerinde bir denklik ba§nts olsun. Butakdirde X/ ∼ bölüm topolojisi de diskret topolojidir. Gösteriniz.Çözüm:p : X −→ X/ ∼ bölüm dönü³ümü olmak üzere X/ ∼ üzerindeki τ bölümtopolojisi ³u ³ekilde tanmlanyordu:τ = {U ⊆ X/ ∼ : p −1 (U) ⊆ X açk}X uzay diskret uzay oldu§undan tüm p −1 (U) alt kümeleri X de açk olaca-§ndan X/ ∼ nn açklar X/ ∼ nn tüm alt kümeleridir. O halde X/ ∼ uzay dadiskret uzaydr.3. Ekli uzay tanmn verip bir örnek olu³turunuz.Çözüm: X ve Y topolojik uzaylar, A ⊂ X kapal alt uzay ve f : A −→ Ysürekli bir dönü³üm olsun. ∀a ∈ A için a ∼ f(a) elemanlarn özde³ klalm.X ∪ Y/ a∼f(a) bölüm uzayna Y nin X e eklenmi³ uzay denir ve X ∪ f Y ilegösterilir.“imdi bir örnek verelim.1

X = [0, 1], Y = {∗} ve A = {0, 1} ⊂ X noktalarn alalm. f : A −→ Y ,f(a) = ∗ sabit fonksiyonu süreklidir. a ∼ f(a) yani 0 ∼ ∗ ve 1 ∼ ∗ yi denkklalm. O halde [0, 1] ∪ f Y ekli uzay geometrik olarak çembere homeomorftur.4. Büzülebilir bir uzayn yol ba§lantl oldu§unu gösteriniz. Tersinin her zamando§ru olamayaca§na dair bir örnek veriniz.Çözüm: X uzaynn büzülebilir oldu§unu kabul edelim. Bu takdirde X uzaynnba§lantl olaca§n gösterelim.X büzülebilir oldu§undan birsürekli dönü³ümü vardr öyle ki• H(x, 0) = 1 X (x) = x• H(x, 1) = c(x) = x 0H : X × I −→ Xko³ullar sa§lanr. Burada 1 X birim dönü³üm, c de X üzerinde sabit dönü³ümdür.α : I −→ Xt ↦−→ α(t) = H(x, t)³eklinde bir dönü³üm tanmlayalm. H dönü³ümü sürekli oldu§undan α dasüreklidir. Ayrcaα(0) = H(x, 0) = x ve α(1) = H(x, 1) = x 0olur. O halde α dönü³ümü x noktasn x 0 noktasna ba§layan bir yoldur. x 0noktasndan X in herhangi bir noktasna giden bir yolu her zaman bu ³ekildeolu³turabilece§imizden dolay X uzay yol ba§lantldr.Sorunun tersinin do§ru olmad§na örnek olarak S 1 çemberi verilebilir. S 1 çemberiyol ba§lantldr ancak büzülebilir de§ildir.2

5. a) f, g : X −→ R sürekli iki dönü³ümün birbirine homotop oldu§unu gösteriniz.b) α : I −→ R dönü³ümü a³a§daki gibi tanmlanm³ olsun:{ 2t, t ≤1α(t) =22 − 2t, t ≥ 1 2Bu takdirde α dönü³ümünün sürekli oldu§unu gösteriniz. Bu dönü³ümün ∀t ∈ Iiçinβ(t) = 0 ³eklinde tanml yol dönü³ümüne homotop oldu§unu gösteriniz.Çözüm: a) f, g : X −→ R sürekli iki dönü³ümü arasndaki homotopi ba§ntsn³u ³ekilde tanmlayalm:H : X × I −→ R(x, t) ↦−→ H(x, t) = (1 − t)f(x) + tg(x)R uzay konveks oldu§undan bu dönü³üm tanmldr. Ayrca f ile g sürekli veR kendisi üzerinde bir vektör uzay oldu§undan H dönü³ümü süreklidir.• H(x, 0) = f(x);• H(x, 1) = g(x)olur. O halde f ≃ g dir.b) [0, 1] 2 ve [ 1 , 1] kümeleri R de kapaldr. Ayrca2dönü³ümü ilef : [0, 1 2 ] −→ Xt ↦−→ f(t) = 2tg : [ 1 , 1] −→ X2t ↦−→ f(t) = 2 − 2tdönü³ümü süreklidir. O halde α dönü³ümü Pasting Lemma'dan süreklidir.(a) ³kkndan hareketle R üzerinde herhangi ba³langç ve bitim noktas aynolan iki yol birbirine homotop olaca§ndan α ≃ β dr.3

6. X ve Y topolojik uzaylar, [X, Y ] de X den Y ye giden sürekli dönü³ümlerinhomotopi snarnn kümesi olsun. E§er Y uzay büzülebilir ise bu takdirde[X, Y ] kümesi tek elemanldr. Gösteriniz.Çözüm: Y uzay büzülebilir oldu§undan1 Y : Y −→ Ybirim dönü³ümü ilec : Y −→ Ysabit dönü³ümüne homotoptur. Ba³ka bir deyi³le 1 Yile c arasnda birH : Y × I −→ Yhomotopi dönü³ümü mevcuttur.α : X −→ Ysürekli dönü³üm olsun.H ◦ (α × 1) : X × α×1 I Y × I H Y³eklinde tanmlayalm.G : X × I −→ Y(x, t) ↦−→ G(x, t) = H ◦ (α × 1)(x, t)• α, 1 ve H dönü³ümleri sürekli oldu§undan G dönü³ümü de süreklidir.• G(x, 0) = H ◦ (α × 1)(x, 0) = H(α(x), 1(0)) = H(α(x), 0) = α(x);• G(x, 1) = H ◦ (α × 1)(x, 1) = H(α(x), 1(1)) = H(α(x), 1) = c(α(x));O halde X −→ Y ³eklindeki tüm sürekli dönü³ümler sabit fonksiyona homotopolaca§ndan [X, Y ] tek elemanldr.4