Akademik Bilişim '10 10 - 12 Şubat 2010 Muğla

Katsayıları Özellikli Bant Matris Olan Denklem Takımlarının Çözümü için Bir AlgoritmaMustafa Halûk Saraçoğlu, Mehmet Tevfik Bayerw(3.3)1=4ð0 4q a0D4(orta noktanın çökmesi)(3.1) ifadesi (3.3)’de yerine konularak aşağıdakitarif elde edilir.1wõ12 14ðwq a42 00=4 ( − ) 3Ehq a0.02802613 Eh400=3(3.4.a)(3.4.b)(3.4) tarifindeki katsayıya orta noktanın boyutsuzçökmesi w denilir ise aşağıdaki tarif elde0edilir.w0= 0.02802613(3.5)(3.5) tarifindeki orta noktanın boyutsuz çökmedeğeri ilgili referansın [3] sonucudur. Yukarıdaele alınan izotrop plak problemi Şekil 3’tekiproblemdir.w 0zayŞekil 3. Sinüzoidal yayılı yüke sahip dörtkenarından basit mesnetli kare plak örneği.Şekil 3’teki plak probleminin analizi için aşağıdakiplak denkleminin sınır şartlarına uygunolarak çözümü gerekmektedir.xah4584 4 4∂ w0 ∂ w0 ∂ w0 −q0ðx ðy+ 2 + = sin sin4 2 2 4∂x ∂x ∂y ∂yD a a(3.6)(3.6) diferansiyel denklemi Şekil 3’teki plağınçeyreği kullanılarak sonlu farklar metodu ileçözülebilir. Sonlu farklar ağ noktalarını eldeetmek üzere plak ( a/2m ) boyutlarında bölünür.Mesnet dışındaki ağ noktalarında (3.6)diferansiyel denklemi sonlu farklar metodukullanılarak komşu ağ noktalarının düşey deplasmanlarıkullanılarak yazılırlar. Bu şekilde2çeyrek plak için m sayısında lineer denklemyazılmış olur. Bu denklemlerde bilinmeyenlerağ noktalarındaki w0çökme değerleridir ve2bunların sayısı m ’ye eşittir.Geliştirilen bilgisayar programı ile tüm ağ noktalarınınw0çökme değerleri aşağıdaki gibihesaplanır.4q0aw0( x,yi j) = w0( x,yi j)(3.7)3Eh(3.7) ifadesinde ( i j)x ,y ağ noktalarının koordinatlarıdır.Bu ifadede0( i j)ğerleri,0( i j)w x ,y çökme de-w x ,y boyutsuz çökme değerlericinsinden tarif edilmektedir. Geliştirilen bilgisayarprogramı ( a/2 ) boyutunun m bölünmesayısına bağlı olarak (3.7) ifadesinde tarif edilenağ noktalarının boyutsuz çökme değerlerinihesaplamaktadır. Plağın orta noktasındaki boyutsuzçökme değerine ise w0denilmektedir.Geliştirilen bilgisayar programı Tablo 1’de yeralan çözümleri vermiştir.Tablo 1’de görüleceği üzere referansta ortanoktanın boyutsuz çökme değeri (3.5) ifadesinde0.02802613 olarak verilmektedir. Referanstaw0çökmesinin işareti geliştirilen bilgisayarprogramındakinin tersi olduğundan (3.5) ifadesinde( + ) olarak yer almaktadır. Referanstakibu w0değerine ulaşmak için Tablo 1’dengörüleceği üzere m = 366 olarak alınmaktadır.Bu durumda bilinmeyen toplam ağ noktasıçökme sayısı 133956 olmaktadır. Bu sayıdakibilinmeyeni çözebilmek için geliştirilen bilgisayarprogramını kullanmak gerekmektedir.Aksi takdirde mevcut bilgisayar imkanlarımızile m = 200 için 40000 bilinmeyeni bile çözebilmekancak mümkün olabilecektir.m w0BilinmeyenSayısı%Hata10 -0.02814166 100 0.4122220 -0.02805497 400 0.1029330 -0.02803895 900 0.0457640 -0.02803335 1600 0.0257780 -0.02802794 6400 0.00649100 -0.02802729 10000 0.00417120 -0.02802694 14400 0.00292160 -0.02802659 25600 0.00166200 -0.02802643 40000 0.00108240 -0.02802634 57600 0.00076280 -0.02802628 78400 0.00056320 -0.02802624 102400 0.00042360 -0.02802621 129600 0.00032365 -0.02802622 133225 0.00035366 -0.02802612 133956 0.00000367 -0.02802620 134689 0.00027368 -0.02802619 135424 0.00022369 -0.02802617 136161 0.00017370 -0.02802616 136900 0.00013380 -0.02802621 144400 0.00029390 -0.02802617 152100 0.00017400 -0.02802605 160000 -0.00027500 -0.02802575 250000 -0.001321000 -0.02799519 1000000 -0.110371250 -0.02787256 1562500 -0.547951500 -0.02762675 2250000 -1.425001750 -0.02729706 3062500 -2.601392000 -0.02643285 4000000 -5.68496Tablo 1. (m) bölüm sayısına göre ( w0 )boyutsuz orta nokta çökme değerleriAkademik Bilişim’10 - XII. Akademik Bilişim Konferansı Bildirileri10 - 12 Şubat 2010 Muğla Üniversitesi4594. SonuçGeliştirilen bilgisayar programı kullanılarakŞekil 3’teki plak problemi için m sayısı artırılarakbüyük lineer denklem takımları oluşturulmuşve çözümleri yapılmıştır. Bilinmeyensayısı 610 olduğunda %0.11 hata ile, bilinmeyensayısı 2.25× 10 olduğunda %1.436hata ile hesaplamaların yapıldığı Tablo1’de6görülmektedir. Bilinmeyen sayısı 4.00×10olduğunda ise %5.69 hata ile hesaplamalarınyapıldığı Tablo 1’den görülmektedir.Bu durumda yukarıdaki örnek probleme benzerplak problemlerinde m = 1000 olduğunda hassasçözümler elde edilebilecektir. m = 1500olduğunda ise %1.43 hassasiyet ile mühendislikproblemlerinin çözülebileceği anlaşılmaktadır.Ancak m = 2000 gerektiğinde çözümhassasiyetinin mühendislik açısından oldukçakaba bir değer olan %5.69 ’a ulaştığı görülmüştür.Bu gibi durumlarda çözümlerin hassasolmadığı kabul edilmelidir.5. Kaynaklar[1] Akai, T.J., “Applied Numerical Methodsfor Engineers”, John Wiley & Sons Inc., Canada,410,(1994).[2] McGuire, W., Gallagher, R.H. and Ziemian,R.D., “Matrix structural analysis”, John Wiley& Sons Inc., USA, 460,(2000).[3] Timoshenko, S.P. and Woinowsky-Krieger,S., “Theory of Plates and Shells”, Mc GrawHill, Singapore, 580 (1959).