Akademik Bilişim '10 10 - 12 Şubat 2010 Muğla

Katsayıları Özellikli Bant Matris Olan Denklem Takımlarının Çözümü için Bir AlgoritmaMustafa Halûk Saraçoğlu, Mehmet Tevfik BayerAkademik Bilişim’10 - XII. Akademik Bilişim Konferansı Bildirileri10 - 12 Şubat 2010 Muğla ÜniversitesiElde edilen bu denklemler nümerik bir metodlaçözülmek zorundadırlar. Bu tür denklemtakımları doğrudan eliminasyon metodlarlaveya iteratif metodlarla çözülebilir. Doğrudaneliminasyon metodlardan bir tanesi de Gausseliminasyon metodudur.a11x1 + a12x2 + a13x3 L + a1mxm = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 L + a2mxm = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 L + a3mxm = b3M M M M M M Ma x + a x + a x L + a x = bm1 1 m2 2 m3 3 mm m m(1.2)Gauss eliminasyonu ileri doğru eliminasyonişlemi ile başlar. (1.2) ifadesindeki denklemtakımlarında ilk olarak x bilinmeyeni birinci1denklem haricindeki diğer denklemlerden elimineedilir. Bunun için; diğer denklemlerdebulunan x bilinmeyeninin katsayısının ters1işaretlisinin a ’e oranı ile ilk denklem çarpılır11ve mevcut denklem ile toplanır. Böylece denklemdekix bilinmeyeninin katsayısı sıfır olurkendiğer bilinmeyenlerin katsayıları ve karşı1tarafta bulunan b değişmiş olur. Burada diğerdenklemlerden çıkartılan denklem satırı pivotsatırı, bu denklemin köşegen elemanı ise pivotelemanıdır. Daha sonra ikinci denklem satırıpivot satırı olur ve işlemler son satıra kadardevam eder. İşlemler tamamlandığında eldeedilen denklem takımı ilk denklem takımınaözdeştir ve [ A]katsayı matrisi üst üçgen halegelmiş bir matristir. Bilinmeyen { x } vektörüise geriye doğru çözüm ile elde edilebilir [1].2. Özellikli Bant Matrisine Sahip ÇokBüyük Sayıda Bilinmeyeni Olan DenklemTakımlarının ÇözümüBu çalışmada çözülecek olan denklem takımlarınınoluşturduğu katsayı matrisi özelliklibant matris şeklindedir. Bu katsayı matrisi altmatrislerden oluşur ve bu alt matrisler de bantözelliğine sahiptir. Katsayı matrisinin ilk m sa-m× m boyutundaki n adet alt matristentırı ( )oluşmaktadır. Bu birinci bloğun altında da benzerşekilde n adet matris blokları yer almaktadır,Şekil 1a. Bu matris blokları, köşegen matrisbloğunun solunda ve sağında ikişer matrisbloğu dışında tüm elemanları sıfır olan matrisbloklarından oluşmaktadır. Bu nedenle katsayımatrisi, boyutları ( m m)× olan beş matrisbloğunun yan yana gelmesi ile oluşturulmuşve alt alta n adet olarak sıralanmış halde, yaniblok sıkıştırma yapılmış halde oluşturulabilir,Şekil 1b. Sıkıştırma yapılmış haldeki bu matrisinher bir matris bloğu da bant genişliği 5 olanbir bant karaktere sahiptir. Blok sıkıştırma yapılanbu katsayı matrisine bir de kolon sıkıştırmayapılabilir. Bu durumda katsayı matrisi25 kolona ve ( n m)∗ satır sayısına sahip tamsıkıştırılmış matris haline gelir, Şekil 1c. Eldeedilen bu tam sıkıştırılmış katsayı matrisi bilgisayardafiziksel belleğe yazılır.Sonuç olarak ( n ∗ m× n∗m)boyutundaki bukare katsayı matrisi, ( n ∗ m × 25)boyutuna indirgenerektam olarak sıkıştırılmıştır. Katsayımatrisinin bu özelliğinden faydalanılarak çokbüyük boyutlardaki matrislerin bilgisayardaoluşturularak çok büyük sayıda x% vektörününçözümü mümkündür. Örneğin m = 2080 alınarak4 milyon civarında x bilinmeyeni hesaplanabilmiştir.Bu hesabın yapılabilmesi için tamsıkıştırılmış matrislerden blok olarak sıkıştırılmışmatrisleri oluşturan ve Gauss eliminasyonmetodunu bu blok olarak sıkıştırılmış matrislereuyarlayan bir bilgisayar programı geliştirilerekkatsayı matrisleri üst üçgen matrislerhaline getirilmiş ve bu üst üçgen matrislerin deyarım bant özellikleri kullanılarak Şekil 2’dekigibi blok sıkıştırılmış matrisler olarak bilgisayarbelleğinde saklanması sağlanmıştır. Dahasonra bilgisayarda saklanan bu blok sıkıştırılmışmatrisler yine geliştirilen bir programyardımıyla okunarak x bilinmeyenleri sondanbaşa çözülmüştür.mmmmmmmmmm m m m m m mm m m m mmmmmmmmmmmmmŞekil 2. Yarım bant özellikli bloksıkıştırılmış üst üçgen matris.(a) (b) (c)a) ( n∗m n∗m)b) ( n∗m 5∗m)Şekil 1.3. Örnek ÇözümÖrnek olarak (Timoshenko ve Woinowsky-Krieger,1959) kitabının 105. sayfasında yeralan sinüzoidal yayılı yük altında dört kenarındanbasit mesnetli izotrop kare plağın orta noktasınınw0çökme değeri hesaplanmaktadır.İzotrop plak malzemesinin elastisite modülü E,Poisson oranı n , plak kalınlığı h, kare plağınuzunluğu a olarak kabul edilmektedir. Referanstaaşağıdaki bilgiler verilmektedir.3EhD =12 1 − u (plak rijitliği) (3.1)2( )ðx ðyq = −q0sin sina a(3.2)mmmmmmm× (A) kare matrisi,× blok sıkıştırılmış (A) matrisi,c) ( n ∗ m × 25)tam sıkıştırılmış (A) matrisi.mmmmmmmm5 5 5 5 5(sinüzoidal yayılı yük)456457