Akademik Bilişim '10 10 - 12 Şubat 2010 Muğla

Birbirleriyle Etkileşim Halinde Bulunan Maddelerin Bir Düzleme Yerleştirilmesi için Bir AlgoritmaPınar Dündar, Görkem Tokatlı, Moharram Challenger,Tufan TuracıAkademik Bilişim’10 - XII. Akademik Bilişim Konferansı Bildirileri10 - 12 Şubat 2010 Muğla ÜniversitesiTanım 1.1: Birleştirilmiş Graf, Herhangi birG grafında istenilen bir tepeden bir başka tepeyegidilebiliyorsa (bir tepeden diğer tepeyedaima ulaşılabiliyorsa) bu grafa birleştirilmişgraf denir [3,6].Tanım 1.2: Bağımsız Küme, S ⊆ V(G), bir Ggrafının tepeler kümesinin herhangi bir alt kümesiolsun. S kümesindeki tepeleri ikişerli aldığımızdabu tepeler, G grafında bir ayrıta sahipdeğilse bu kümeye bağımsız küme denir [3,6].Tanım 1.1.3: Maksimal Bağımsız Küme, Birbağımsız kümeyi içeren başka hiçbir bağımsızküme yoksa bu kümeye maksimal bağımsızküme denir [3,2,1].Tanım 1.4: Bağımsızlık Sayısı, Bir G grafı birdenfazla maksimal bağımsız kümeye sahipolabilir. Bu kümeler içinde en çok elemana sahipolan kümenin eleman sayısına G grafınınbağımsızlık sayısı (indepence number) denirve b(G) ile gösterilir [3,6].Örnek 1.1: Şekil 1.1’ deki 6 tepeli çevre grafdaa tepesini içeren bağımsız ve maksimal bağımsızkümelerini bulalım.S5= { a,c,e } Bağımsız kümedir.Şimdi bu S kümelerinin maksimal bağımsızküme olup olmadığını araştıralım.S1 kümesinde sadece a tepesi vardır. a tepesiniiçeren S2, S3, S4, S5bağımsız kümelerivardır. Bu yüzdenS1kümesi maksimal bağımsızbir küme değildir.S2 kümesi a ve c tepelerini içerir. a ve c tepeleriniiçeren başka bir bağımsız küme olan S5kümesi vardır. Bu yüzdenS kümesi maksi-2mal bağımsız bir küme değildir.S3 kümesi a ve e tepelerini içerir. a ve e tepeleriniiçeren başka bir bağımsız küme olan S5kümesi vardır. Bu yüzdenS3kümesi de maksimalbağımsız bir küme değildir.bir kümedir.S1= { a }Bağımsız kümedir fakat maksimalbağımsız küme değildir.S2= { a,c }Bağımsız kümedir fakat maksimalbağımsız küme değildir.S3= { a,e }Bağımsız kümedir fakat maksimalbağımsız küme değildirS4= { a,d }Bağımsız kümedir aynı zamandamaksimal bağımsız kümedir.S5= { a,c,e } Bağımsız kümedir aynı zamandamaksimal bağımsız kümedir.Aşağıdaki sonuçlar kolaylıkla görülebilir.→ Her maksimal bağımsız küme bir bağımsızkümedir.aij⎧1= ⎨⎩0, v vi, v vşeklinde tanımlanır [2].ijj∈ E(G)ise,∉ E(G)ise,Örnek 1.2: Şekil 1.1’ deki 6 tepeli çevre grafınbitişiklik matrisini yazalım.abcA( C6 ) =defa⎡0⎢⎢1⎢0⎢⎢0⎢0⎢⎣1b101000c010100d001010e000101f1⎤0⎥⎥0⎥⎥0⎥1⎥⎥0⎦Giriş bölümünde yerleştirme probleminin nasılgraf ile modelleneceği ve gerekli graf tanımlarıbelirtilmiştir. 2. Bölümde, çalışmayla bağlantılıolan Paull-Unger algoritması ve yerleştirmeprobleminin tam tanımı yer almaktadır. 3.Bölümde yeni algoritmanın detayları ve 4. Bölümdealgoritmanın analizi ve karşılaştırmalarmevcuttur. 5. Bölümde ise sonuç ve algoritmayıgeliştirebilecek fikirler bulunmaktadır.2. Paull-Unger AlgoritmasıS1= { a }Şekil 1.1Bağımsız kümedir.S2= { a,c } Bağımsız kümedir.S3= { a, e } Bağımsız kümedir.S4kümesi a ve d tepelerini içerir. a ve d tepeleriniiçeren başka bir bağımsız küme yoktur kibu da bize S4kümesinin maksimal bir bağımsızküme olduğunu gösterir.S5kümesi a, c ve e teperinden oluşur. S5kümesiniiçeren başka bir bağımsız küme yoktur.→ Her bağımsız küme bir maksimal bağımsızküme değildir.→Bir G grafında birden fazla maksimal bağımsızküme olabilir.Tanım 1.5: Bitişiklik Matrisi, p tepeli bir G =(V(G), E(G)) grafının bitişiklik matrisi A(G) ilegösterilir. Bu matris p x p tipinde olup, grafıntepeleri matrisin satırlarını ve sütunlarını oluşturur.Bir A(G) matrisinin elemanları,Paull-unger algoritması bir graftaki tüm maksimalbağımsız kümeleri ve bağımsızlık sayısınıbulur.Tanım 2.1: [5] ∑={σ 1,σ 2,…σ n} alfabesi ilei1i2i kx = s s ... s gibi kelimeleri oluşturabiliriz.(ε,uzunluğu sıfır olan bir kelimedir). ∑ *gösterilimi verilen ∑ alfabesinden üretilen bütünkelimelerin kümesinin bir yığınıdır.∑ * ={x: x, ∑ alfabesinin bir kelimesidir }S4= { a,d } Bağımsız kümedir.262Bu yüzden S5kümesi de maksimal bağımsız263