X - Süleyman Demirel Üniversitesi

ELASTİK PİEZOELEKTRİK BİR CİSMİNELEKTRO-TERMOMEKANİK DAVRANIŞI İÇİNMATEMATİKSEL BİR MODELLOKMAN YÜNLÜYÜKSEK LİSANS TEZİMAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALIISPARTA 2008

T.C.SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİFEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜELASTİK PİEZOELEKTRİK BİR CİSMİN ELEKTRO-TERMOMEKANİK DAVRANIŞI İÇİNMATEMATİKSEL BİR MODELLokman YÜNLÜDanışman: Yrd. Doç. Dr. Melek USALYÜKSEK LİSANS TEZİMAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİMDALIISPARTA- 2008

Fen Bilimleri Enstitüsü MüdürlüğüneBu çalışma jürimiz tarafından MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI’ nda oybirliği/oy çokluğu ile YÜKSEK LİSANS tezi olarak kabul edilmiştir.Başkan: Yrd. Doç. Dr. Ümran ESENDEMİRKurum: Süleyman Demirel Üniversitesi Müh.-Mim. Fakültesi Makine MühendisliğiÜye: Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USALKurum: Süleyman Demirel Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makine EğitimiÜye: Yrd. Doç. Dr. Melek USAL (Danışman)Kurum: Süleyman Demirel Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makine EğitimiONAYBu tez 23 / 01 / 2008 tarihinde yapılan tez savunma sınavı sonucunda, yukarıdaki jüriüyeleri tarafından kabul edilmiştir.…/…/20…Prof. Dr. Fatma GÖKTEPEEnstitü Müdürü

İÇİNDEKİLERSayfaİÇİNDEKİLER. .................................................................................................. iÖZET .................................................................................................................. iiiABSTRACT........................................................................................................ ivTEŞEKKÜR........................................................................................................ vŞEKİLLER DİZİNİ............................................................................................. viSİMGELER DİZİNİ .......................................................................................... vii1. GİRİŞ .............................................................................................................. 11.1. Sürekli Ortam Modeli .................................................................................. 91.2. Sürekli Ortam Hareketi ................................................................................ 101.3. Şekil Değiştirme........................................................................................... 121.4. Hareket ......................................................................................................... 221.4.1. Yay ve Hacim Elemanlarının Maddesel Türevi........................................ 251.4.2. Green- Gauss (Diverjans) Teoremi ........................................................... 281.5. Elektrostatik Denge Denklemleri................................................................. 321.5.1. Yük, Elektrik Alan ve Elektriksel Potansiyel ........................................... 321.5.2. Elektriksel Yer Değiştirme – Polarizasyon............................................... 331.5.3. Elektrostatiğin Maxwell- Faraday Teorisi ................................................ 341.6. Elektro – Termomekanik Denge Denklemleri ............................................ 361.6.1. Kütlenin Korunumu .................................................................................. 381.6.2. Lineer Momentum Denkliği...................................................................... 391.6.3. Açısal Momentum Denkliği...................................................................... 421.6.4. Enerji Denkliği.......................................................................................... 461.6.5. Termodinamiğin İkinci Kanunu (Clausius – Duhem Eşitsizliği).............. 522. KAYNAK ÖZETLERİ ................................................................................... 563. MATERYAL VE YÖNTEM .......................................................................... 623.1. Materyal ....................................................................................................... 623.1.1. Elastik Piezoelektrik Ortamların Termodinamiği ..................................... 623.1.2. Bünye Aksiyomları ................................................................................... 683.1.2.1. Nedensellik (Kozalite) Aksiyomu.......................................................... 683.1.2.2. Determinizm Aksiyomu......................................................................... 68i

3.1.2.3. Eşbulunma Aksiyomu ............................................................................ 693.1.2.4. Uygunluk Aksiyomu .............................................................................. 693.1.2.5. Objektivite Aksiyomu ............................................................................ 693.1.2.6. Maddesel Simetri Aksiyomu.................................................................. 713.1.2.7. Yöresellik Aksiyomu ............................................................................. 723.2. Yöntem......................................................................................................... 793.2.1. Anizotropik Ortamlarda Simetrik Gerime ve PolarizasyonunBünye Denklemlerinin Tayini................................................................. 794. ARAŞTIRMA BULGULARI ......................................................................... 874.1. Asimetrik Gerilmenin Tayini ....................................................................... 874.2. Yarı-Lineer Teori ......................................................................................... 874.2.1. Yarı-Lineer Bünye Denklemlerinin Uzaysal Koordinatlardaki İfadeleri.. 884.3. Yarı – Lineer Teoride Asimetrik Gerilmelerin Tayini................................. 924.3.1. Maddesel Koordinatlarda.......................................................................... 924.3.2. Uzaysal Koordinatlarda............................................................................. 935. TARTIŞMA VE SONUÇ ............................................................................... 976. KAYNAKLAR ............................................................................................... 99ÖZGEÇMİŞ ........................................................................................................ 102ii

ÖZETYüksek Lisans TeziELASTİK PİEZOELEKTRİK BİR CİSMİN ELEKTRO-TERMOMEKANİKDAVRANIŞI İÇİN MATEMATİKSEL BİR MODELLokman YÜNLÜSüleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri EnstitüsüMakine Eğitimi Anabilim DalıJuri: Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USALYrd. Doç. Dr. Ümran ESENDEMİRYrd. Doç. Dr. Melek USAL (Danışman)Bu çalışmada elastik piezoelektrik bir cismin elektro-termomekanik davranışımodern sürekli ortamlar mekaniği çerçevesinde sistematik olarak incelenmiştir.Mekaniğin denge kanunları ile tutarlı olan termodinamiğin birinci ve ikincikanunlarının birleştirilmiş şekli, serbest enerji fonksiyonunun zamana göre maddeseltürevi cinsinden ifade edilmiştir. Serbest enerji fonksiyonunun bağımsız değişkenleri;Green deformasyon tansörü ve elektrik alan vektörü olarak belirlenmiştir.Termodinamik kısıtlamaların neticesi olarak serbest enerji fonksiyonunun birsimetrik tansör ile bir polar vektöre bağlı olduğu görülmüştür.Maddesel ortamın malzemeden kaynaklanan esas yapısı itibariyle anizotrop olduğuvarsayılmıştır. Maddesel simetri aksiyomu kullanılmış ve ortamın sıkışabilirliği gözönüne alınarak gerilme ve polarizasyona ait bünye denklemleri bulunmuştur.Malzemenin anizotrop olma durumunu dikkate alıp, gerilme potansiyeli yaklaşıkteorilerden bulunmuş, mekanik ve elektromekanik etkileşimler nonlineer kabuledilerek seri açılımı yapılmıştır. Bu seri açılımda dikkate alınan terimlerin türü vesayısı ortamın nonlineerlik mertebesini belirlemiştir. Seri açılımıyla ortaya konulangerilme potansiyeli bünye denklemlerinde yerine yazılıp deformasyon tansörüne veelektrik alan vektörüne göre türevi alınarak gerilme ve polarizasyon alanıdenklemleri nonlineer formda elde edilmiştir. Elde dilden bünye denklemleriyleproblem çözmek zor olacağından dolayı bünye denklemleri belli ölçülerdelineerleştirilmiştir. Elde edilen lineer bünye denklemleri balans denklemlerindeyerlerine konularak alan denklemlerine ulaşılmıştır.ANAHTAR KELİMELER: Piezoelektrik, Polarizasyon, Anizotropi, BünyeDenklemleri, Gerilme, Lineerleştirme, Alan denklemleri.2008, 102 sayfaiii

ABSTRACTM.Sc. ThesisA MATHEMATICAL MODEL FOR THE ELECTRO-THERMOMECHANICAL BEHAVIOR OF AN ELASTİC PİEZOELECTRICBODYLokman YÜNLÜSüleyman Demirel University School of Applied and Natural SciencesMachine Education DepartmentThesis Committee: Asst. Prof. M. Reşit USALAsst. Prof. Ümran ESENDEMİRAsst. Prof. Melek USAL (Supervisor)In this study, in the frame of modern continuum mechanics, the electrothermomechanicalbehavior of an elastic piezoelectric body has been systematicallystudied. Second law of thermodynamics, combined with the fırst law and consistentwith mechanical balance laws, has been written in terms of the time rate of free energyfunction. Its arguments have been furnished with Green deformation tensor andelectric field in the reference state. After the thermodynamical constraints, it hasbeen seen that free energy function depends on a symmetric tensor and one polarvectors.The materialistic medium is supposed to be anisotropic due to its main structuresourced from the material. Material symmetry axioms have been used and byconsidering compressibility of medium constitutive equations of stress andpolarization fields have been obtained. Considering the state of being anisotropic ofthe material, stress potential have been found out from the approximate theories,by being accepted of the mechanical and electro mechanical interactions to benonlinear, the series expansion has been done. The kind and number of terms, inthis series expansion, determine the nonlinearity - degree for material. The stresspotential that is appeared by the series expansion is written in the place of it in theconstitutive equations and stress and polarization field equations have been obtainedin the form of nonlinear by taking its rate according to the deformation tensor and theelectrical field vector. The constitutive equations have been linearized in certaindegrees because solving problems with the obtained constitutive equations are veryhard. By putting the obtained linear constitutive equations in their places in thebalance equations, field equations have been reached.KEY WORDS: Piezoelectric, Polarization, Anisotropy, Constitutive Equations,Stress, Linearization, Field Equations.2008, 102 pagesiv

TEŞEKKÜRYüksek lisans çalışmamın yapılmasında yardım ve desteklerini esirgemeyen,çalışmayı titizlikle yöneten ve beni yönlendiren değerli Danışman Hocam Yrd. Doç.Dr. Melek USAL’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.Tez çalışmalarımda karşılaştığım problem ve engellerde bilgi ve tecrübelerinebaşvurduğum değerli Hocam Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USAL’a sonsuz şükranlarımısunarım. Ayrıca, tezin yazılması esnasında yardımlarını esirgemeyen mesaiarkadaşlarım Arş. Gör. Ahmet KABUL ve Arş. Gör. Benek HAMAMCI ya teşekkürederim.Bugünlere gelmemde büyük emekleri bulunan Annem, Babam ve Kardeşlerimeşükranlarımı sunuyorum.Lokman YÜNLÜISPARTA, 2008v

ŞEKİLLER DİZİNİSayfaŞekil 1.1. Ortalama yoğunluğun değişimi............................................................. 10Şekil 1.2. Maddesel ve uzaysal koordinatlar......................................................... 11Şekil 1.3. Sürekli ortamda belli bir andaki şekil değiştirme ................................. 14Şekil 1.4. Maddesel türev...................................................................................... 23Şekil 1.5. Yay elemanındaki değişim.................................................................... 25Şekil 1.6. Süreksizlik yüzeyi içeren bölge ............................................................ 29Şekil 1.7. Hareketli süreksizlik yüzeyi.................................................................. 31vi

SİMGELER DİZİNİCEBirim hacim başına elektrostatik kuvvet çiftiC ,Green – Piola deformasyon tansörleri−1KLC KLc ,Cauchy – Finger deformasyon tansörleri−1klc klDdklElektriksel yer değiştirme alanıŞekil Değiştirme (genleme) hızı tansörüdS, dsDDtE∂= + v ⋅∇∂tDeformasyondan önceki ve sonraki köşegen uzunluğuZamana göre hareketi takip eden türevElektrik alan vektörüEKL, e klMaddesel (lagrange) ve uzaysal (Euler) genleme tansörü~E , ~fKLe klSonsuz küçük Lagrange ve Euler genleme tansörleriBirim kütle başına mekanik hacimsel kuvvet−[ ] = f+ − ff f ’ in süreksizlik yüzeyi boyunca sıçramasıEFFhkKEh∂xBirim hacim başına düşen elektrostatik gövde kuvvetik= xk, K= Deformasyon gradyanı∂XKBirim kütle başına ısı kaynağıElektrostatik enerji kaynağıI i (i=1, 2, …..31)İnvaryant değerlerIK, ik( K,k = 1,2,3) Maddesel ve uzaysal koordinatlardaki birim vektörlerJnP= det F Deformasyon gradyanına ait matrisin determinantıDış birim normal vektörPolarizasyon vektörü (elektrik dipol yoğunluğu)vii

PpQq fQ K (X)=X K,k q kSttHidrostatik basınçP noktasının t anında uzaysal koordinatlardaki yeriMaddesel koordinat sisteminin tam- ortogonaltransformasyon matrisiBirim hacme düşen serbest elektrik yüküMaddesel koordinat sisteminde ısı vektörüSimetri grubuna ait dönüşüm matrisiAsimetrik gerilme tansörüSimetrik gerilme tansörüt(n)n yüzeyine tesir eden gerilme vektörüT , TT tansörü, T matrisiTKLJXK , kXL,l≡ t Maddesel koordinatlarda antisimetrik gerilme tansörüklT KL ≡ JXK , kXL,lt kl Maddesel koordinatlarda simetrik gerilme tansörüuYer değiştirme vektörüV , vDeformasyondan önceki ve sonraki hacimV∂v=kk , lDeformasyon hızı tansörü∂xlλ , ( i = 1,2,...) Denklemleri kısaltmak için kullanılan kısaltmalariβ iωwfAçısal hız vektörüYüzeysel serbest elektrik yük yoğunluğuwklSpin tansörüδKL, δ klMaddesel ve uzaysal koordinatlarda kronecker deltaωAçısal hız vektörüviii

εε0Birim kütle başına iç enerjiBoşluğun elektriksel permitivitesiεKLM, ε klmMaddesel ve uzaysal koordinatlarda permütasyon sembolüηθ (X,t)ργBirim kütle başına entropi yoğunluğuBir t anında X maddesel noktasının mutlak sıcaklığıBirim kütle başına entropi üretimiρ0, ρDeformasyondan önceki ve sonraki kütle yoğunluğuσSürekli ortam içinde yer alan süreksizlik yüzeyiΣ ≡ ρ 0ψGerilme potansiyeliXK, x k(K,k=1,2,3) Maddesel ve uzaysal koordinatlarX , xMaddesel noktanın deformasyondan önce ve sonrakikonum vektörleri−1ψ ≡ ε −θη− ρ E iP iGenelleştirilmiş serbest enerji yoğunluğu∇Gradyan operatörüPΠ ≡Birim kütle başına polarizasyonρΓToplam entropi üretimiix

1. GİRİŞBu çalışma, elastik piezoelektrik özellik taşıyan ortamların elektro-termomekanikdavranışlarını temsil eden bünye denklemlerine ait matematiksel bir modelinoluşturulması amacını taşımaktadır. Modern sürekli ortamlar mekaniğinin temel ilkeve aksiyomları, bu çalışmanın gerçekleştirilmesinde yol gösterici ve belirleyiciolmuştur. Hazırlanan bu tezin bilimsel bütünlük içindeki özel yerini tespit etmek içingerekli görülen kavramlarla ilgili genel bilgiler aşağıda sistematik olarak verilmiştir.Günümüzde mekanik ve malzeme bilimindeki gelişmeler ve eş zamanlı olarak ortayaçıkan dizayn ve imalat teknolojilerindeki ilerlemeler çok sayıda yeni ve ileriderecede mühendislik malzemesi üretti. Bu fonksiyonel malzemeler, mekanik,elektrik, magnetik alan veya ısınma gibi bir dış fiziksel olayın etkisinde kaldığızaman şeklini ve maddesel özelliklerini değiştirme konusunda farklı davranışlarsergilerler. Akıllı bir malzeme kendi içerisindeki ve çevresindeki değişikliklerereaksiyon gösterebilen, kendisinden beklenen bir davranışı tüm kullanım süresiboyunca optimum bir şekilde yerine getirebilen malzemelerdir. Piezoelektrik gibiyarı iletken malzemeler, akıllı malzemeler sınıfına girmektedir. Gelişen ve yenilenenteknolojide akıllı malzemelere olan talep her geçen gün daha da artmaktadır. Akıllımalzemeler içinde piezoelektriğin yeri, mevcut kullanım alanlarının yoğunluğubakımından gelecekte de en çok ihtiyaç duyulan malzemelerden olacağının birgöstergesidir. Bu tür malzemelerin nonlineer termomekanik davranışının bilinmesiuygulama alanlarının genişlemesi bakımından faydalı olacaktır.Piezoelektrik kelimesi Latince bastırmak-press anlamındaki “piezo” ön ekindentüretilen bir kavramdır. Piezoelektrik iletken olmayan billurdan yontulmuş bir levhabelli bir doğrultuda uygulanan bir baskı (çekme ya da sıkıştırma) sonunda, billurlevhanın iki yüzünde ters işaretli yüklerin (+q ve -q) çıkmasıyla nitelendirilen birolaydır. Bilindiği gibi katı maddeler, yüklü parçacıklardan oluşur ve bir katı maddeiçindeki negatif ve pozitif yüklü parçacıklar dengededir (yani katı madde elektrikselolarak yüksüzdür). Ancak mekanik bir yolla malzeme üzerine mekanik bir kuvvetuygulanarak, yüzey yüklerinin oluşması sağlanabilir. Bir kristalde piezoelektrik1

özelliğin gözlenmesi bu yüzey yüklerinin oluşmasına bağlıdır. Fakat simetriözellikleri bu yüklerin oluşması için gerekli koşulları kısıtlamaktadır. Bu nedenlesimetri merkezi olmayan kristaller bu iş için en uygun malzeme gurubunuoluşturmaktadır. Elektriksel olarak yüksüz ve yapısal simetri merkezi bulunmayanbir kristalde uygulanan basınç artı yüklerin merkezi ile eksi yüklerin merkezininbirbirinden hafifçe ayrılmasına ve kristalin karşılıklı yüzeylerinde zıt yüklerin ortayaçıkmasına neden olur. Yüklerin bu şekilde ayrılması bir elektrik alnı yaratır. Vekristalin karşılıklı yüzeyleri arasında ölçülebilir bir potansiyel fark oluşur.Piezoelektrik etkiyi ifade eden bu sürecin terside geçerlidir. Ters piezoelektrik etkidede karşılıklı yüzeylerin arasındaki bir elektrik gerilimi uygulanan kristalde boyutsalbir şekil değişikliği oluşmaktadır.Piezoelektrik etki 1880’de Pierre ve Jacgues Curie kardeşler tarafındankeşfedilmiştir. Pierre Curie önceleri Piroelektrik ve kristal simetrisi arasındaki ilgiüzerine çalışmıştır. Bu çalışma, kardeşleri sadece basınçtan meydana gelenelektriklenmeyi aramak zorunda bırakmış, fakat tahmini olarak basıncın ne yöndeuygulanabileceği ve kristal sınıflarının etkisi açıklanmamıştır. Aynı olay, turmalin veRochelle tuzu gibi birçok diğer kristalde de bulunmuştur. Hankel “piezoelektrik”ismini önermiştir. Piezoelektrik elektriksel ve mekanik sistemler arasındaki biretkileşimdir. Doğrudan (direkt) piezoelektrik etki mekanik gerilme tarafındanüretilen elektrik kutuplanmasıdır. Piezoelektrik özellik malzemenin kristal yapıyöneliminin bir sonucudur. Bu özellik, mekanik gerilmelerin etkisinde kaldığı zamanbir elektrik alanı üretebilen veya tersine elektrik alana sokulduğu zaman deformeolabilen belirli kristal yapıdaki malzemelerin bir yeteneği olarak ta tanımlanabilir(Yünlü, 2006).Piezoelektrik malzemeler, gösterdikleri hızlı davranıştan dolayı titreşim kontrolü veaktif yapısal akustik kontrol gibi küçük strokların gerekli olduğu yüksek frekansuygulamalarında tercihli bir şekilde kullanılmaktadırlar. Bir tetikleyicide veyasensörde kullanılan piezoelektrik davranış bir elektrik alanın sebep olduğu gerinmeyihesaplayarak önceden tahmin edilebilir veya bu prosesin terside kullanılabilir.Genellikle, gerinme ve elektrik alan arasındaki bağıntı nonlineerdir ve çevrim2

esnasında gerinme-elektrik alan düzleminde bir histerisis olarak gözlenir. Bubağıntıyı tesis etmek için, tasarımcı zamanla, sürtünme etkisiyle, yaşlanma vepiezoelektrik etkinin azalması ile değişen malzeme özelliklerini belirlemek zorundakalacaktır. Piezoelektrik malzemeler elektrik enerjisini mekanik enerjiye, mekanikenerjiyi elektrik enerjisine çevirme yeteneğine sahip malzemeler oldukların için buözelliklerden yararlanılarak algılayıcı (sensör) ve tetikleyici (actuator) olarak sıkçakullanılmaktadır. Elektrotlar yardımı ile bir gerilim uygulandığında mekanik birhareketle cevap vermesi veya mekanik bir baskı sonucunda bünyesine bağlananelektrotlardan gerilim elde edilmesi bu sert malzemelerin öncelikli olarak yapısalsistemlerin üzerine araştırma yapılmasını ortaya çıkarmıştır (Doğrukol, 2002).Malzemelerin incelenmesi genellikle mikromekanik ve makromekanik olmak üzereiki ana sınıfa ayrılır. Mikromekanik analiz, matris ve takviye elemanların fiziksel vemekanik özelliklerinden yola çıkarak malzemenin genel davranışına ait mekaniközelliklerin bulunmasını hedefler. Mikromekanik metotlar, enerji metodu vemalzeme mekaniği metodu olmak üzere üç kısım’a ayrılabilir. Enerji metodu,malzemenin bütününe ait elastik özellikler için alt ve üst sınırları belirlemeye çalışır.Elastisite metodu, elastisitenin alan denklemlerini, matris malzemesi ve takviyeelemanları arasındaki sınır şartlarını kullanarak elastik modülleri bulmaya yönelir vegenellikle sayısal çözümleme tekniklerini kullanır. Malzeme mekaniği metodu iseelemanter mukavemetin basitleştirici kabullerini kullanarak daha kolay yoldansonuca gider ve genellikle deneysel verilere uyum sağlayan sonuçlara ulaşmayıhedefler. Makromekanik metotlar da üç temel sınıfa ayrılır. Bunlar, LineerAnizotropik Elastisite, Nonlineer Anizotropik Elastisite Teorisi ve Sürekli OrtamlarTeorisidir. Lineer Anizotropik Elastisite genellikle tabakalı yapıların incelenmesindekullanılır ve tabakaya ait genelleştirilmiş hooke yasasını belirlemeye çalışır. Sonluelastisite yaklaşımında malzemenin bir deformasyon enerjisi dağılımına sahip olduğuve bu dağılımın deformasyon dağılımından etkilendiği, gerilme dağılımının ise buenerjinin deformasyon gradyanına göre türevinden elde edildiği bilinmektedir (Usal,2001).3

Mekanik, genel anlamda Kuantum Mekaniği ve Sürekli Ortamlar Mekaniği olarakikiye ayrılmaktadır. Kuantum Mekaniği fizikçilerin ilgi alanına girmekte, atomik veatom altı parçacıkların davranışını incelemektedir. Sürekli Ortamlar Mekaniği isedaha çok mühendislerin ilgilendiği ve uygulamasını yaptığı bir alan olup kendineözgü alt dallara ayrılmaktadır. Bunların arasında katılar Mekaniği ve AkışkanlarMekaniği önemli bir yer işgal etmektedir. Günümüzde mevcut olan gelişmişteknoloji farklı bilim dallarının işbirliği sonucunda ortaya çıkmıştır. Mekanik,sistemlerin denge ve hareket şartlarını, sistemin tersinmezlik derecelerini, sisteminmikro ve makro davranışlarını inceleyen bir bilim dalıdır. Mekanik, sistemleri vesistemlerin çevreleri ile etkileşimlerini incelerken kuvvet, hareket, deformasyonanalizi, ömür tahmini, boyutlandırma, işe yaramama koşulları, ekonomiklik,dayanım, estetik gibi kavramları bir arada kullanır. Tüm bunlar olurken disiplinleriişbirliğine zorlar ve dolayısıyla diğer bilim dalları ile ilişki kurarak gerek teorikgerekse uygulamalı alanlarda temel ilkelerini onların paylaşımına sunar (Usal, 2001).Sürekli ortamlar mekaniği, kütle dağılımı sürekli kabul edilebilen maddeselcisimlerin mekanik davranışını belirlemekle uğraşan bir bilim dalıdır. Maddesel bircisim gerçekte ayrık parçacıklardan oluştuğu için sürekli model ancak bir matematiksoyutlama olarak değerlendirilebilir. Bununla beraber sonlu bir hacimdeki parçacıksayısının sonlu kalmasına karşın, çok özel durumlar dışında, genellikle çok büyükolması, bu parçacıkların sayısını sonsuz kabul etmekle yapılan hatayı pek çok,özellikle teknolojik, uygulamada kabul edilebilir sınırların içine sokar. Ortamınmakroskopik davranışı ile ilgilendiğimiz sürece sürekli model ile elde ettiğimizsonuçlar, çoğu zaman, aradığımız büyüklüklerin yerel çalkantılarının sistematikolarak düzgünleştirilmiş değerlerine karşı gelir ve pratik açıdan gereksinimlerimizihemen hemen tümüyle karşılayabilen bilgileri bize sağlar. Ancak ortamı oluşturanparçacıkların yapısı çok çeşitli türden etkileşmelere yol açtığı için ilke olarak sürekliortamların genel mekanik davranışını, çeşitli alanlarla etkileşimini göz önünealmadan belirlemek mümkün değildir. Çağdaş sürekli ortamlar mekaniği bütün buetkileşimleri en genel biçimiyle rasyonel bir çerçeve içine sokabilme çabalarının birürünüdür (Şuhubi, 1994).4

Sürekli ortamlar mekaniği akışkanları (su, yağ, hava, vb.) ve katıları (kauçuk, metal,seramik, ahşap ve yaşayan doku gibi) içerir. Süreklilik gibi malzemenin makroskopikdoğasını tanımlamada fenomenolojik yaklaşım tekniği kullanılır. Fenomenolojikyaklaşım matematiksel denklemler ile deneysel verileri uygun hale getirmeyleuğraşır ve özellikle katı mekaniğinde başarılı olmuştur (Holzapfel, 2000).Kısım 1.1’de sürekli ortam modeli tanımlanmıştır. Geometrik ve kinematik temsildemaddesel noktaların başlangıç anında bulundukları yer ve daha sonra işgal etmişoldukları yerlerin tespiti için bir referans sistemine ihtiyaç vardır. Bu nedenle kısım1.2’de sürekli ortamın hareketi ile koordinat sistemleri hakkında bilgi verilmiştir.Kısım 1.3’de maddesel ve uzaysal koordinatlarda yer vektörü, hareket deformasyonutemsili, deformasyon gradyanı, Green, Cauchy, Piola ve Finger deformasyontansörleri, gerilmeyi oluşturan genleme (Strain) tansörü hakkında kısa bilgiler veilgili natosyan verilmiştir.Kısım 1.4’de ortamın hareketi sırasında parçacıklara ilişkin hız ve ivme gibikinematik büyüklükler ve daha genel olarak da şekil değiştirme karakteristiklerininzamanla değişim hızının nasıl ölçüleceği (maddesel türev) belirlenmeye çalışılmıştır.Süreksizlik yüzeyi tanımlanarak genelleştirilmiş Green – Gauss (diverjans) teoremiverilmiştir.Kısım 1.5’de elektro-termomekanik denge denklemleri verilmektedir. Her bir dengedenklemi hem ortam içinde hem de süreksizlik yüzeyi içinde (veya ortam sınırında)geçerli olan hali ile birlikte verilmiş olup sırasıyla kütle, lineer momentum, açısalmomentum, enerji dengesi ve entropi üretim eşitsizliğinden oluşmaktadır. Bunlardankütle balansı, katı ve akışkanlar mekaniğinden bilinen denklemin aynısıdır. Lineermomentum dengesinde, mekanik kütlesel kuvvete ilave olarak malzeme içindeoluşan elektrik dipol dağılımı ile elektrik alanının etkileşiminden ortaya çıkanelektrostatik kütle kuvveti yer almaktadır. Açısal momentum dengesinde, mekanik veelektrostatik gövde kuvvetlerinin momentlerine ilave olarak ponderomotif kuvvetEçifti C ≡ P × E ve süreksizlik yüzeyi üzerinde elektrostatik gerilme tansörününzıplamasından kaynaklanan yüzeysel kuvvetin momentinin katkıları gelmektedir.5

Açısal momentumun yerelleştirilmesinden, mekanik gerilme tansörünün (t)simetrikolmadığı ortaya çıkmaktadır. Mekanik gerilme tansörü ile polarizasyon tansörününtoplamından oluşan ve (t)şeklinde gösterilen, simetrik bir gerilme tansörütanımlanmıştır. Simetrik tansörlerin matematiksel yapıları önemli olduğu için, bünyeteorisi bu şekilde tanımlanan tansör üzerine kurulacak, neticede mekanik gerilmetansörü buradan kolayca çekilebilecektir. Termodinamiğin 1. kanunu, yani iş-enerjidengesi, termomekanik olaylar için serbest cismin toplam iç ve kinetik enerjisininzamana göre türevi, serbest cisme çevreden giren termomekanik yüklenme işi veserbest cisim içindeki ısı kaynağı ile dengededir. Eğer cisim dielektrik yani yalıtkanolup bir elektrostatik alan içine konulmuş ise hacimsel ısı kaynağına ( ρ h)ilaveEolarak, hacimsel elektrostatik enerji kaynağına ( ρ h ) sahip olacaktır. (1.153) ifadesiEile verilen ( ρ h ) , sürekli ortam parçacığı için enerji kaynak terimi olarakdüşünülebilir. Çünkü sürekli ortamlar teorisinde iç alanların katkısı iç-enerji vegerilme tansörü vasıtasıyla ifade edilebildiği için, enerji kaynak terimi olarak; sadecemaddesel noktanın dışında olan faktörlerin katkısı dikkate alınır. Örneğin, parçacığınkapsadığı uzay boşluğunda oluşan elektrik alanda depo edilen ve ( 1 2ε )2 0E şeklindeifade edilen elektriksel enerji, enerji denklemindeki iç enerji (ε ) teriminin içindeolduğu varsayılmıştır. Enerji denkleminin yerel ifadesini veren (1.152) 1 denklemindeEEC veω ’nin tanımlarından ve ( h )ρ yi veren (1.158) ifadesindenE Eρ h + C ω = P&⋅E&= ρ E ⋅ Π&olarak bulunmuştur. Burada E elektrostatik alanı, Pkkbirim hacim başına elektrik dipol yoğunluğu olarak tanımlanan polarizasyonu, Π isebirim kütle başına polarizasyonu göstermektedir. P nin üzerindeki nokta (⋅), zamanagöre hareketi takiben türev anlamında maddesel türevi göstermektedir. Balansdenklemlerine ilave olarak da termodinamiğin ikinci kanunu, yani entropi eşitsizliğitermomekanik denge denklemleri için olduğu gibi verilmiştir. Bu beş dengedenklemi daha sonra yerelleştirilerek zıplama şartı ile birlikte cismin herhangi birnoktası ve süreksizlik yüzeyi üzerinde herhangi bir nokta için geçerli olacak şekildeelde edilmiştir (Usal, 2001).6

Kısım 3.1 de elastik piezoelektrik ortamların termodinamiğinden bahsedilmektedir.Burada termodinamiğin 1. ve 2. kanunlarının birleştirilmesinden elde edilenClasusius-Duhem eşitsizliği temel başlangıç noktası olarak dikkate alınmaktadır. Bueşitsizlikte; entropi yoğunluğunun, iç enerjinin, polarizasyon yoğunluğunun vedeformasyonun zamanla sıcaklığında uzaysak koordinatlara göre değişimitermodinamik prososi temsil etmektedir. Bir termodinamik proseste iç enerji, entropive elektrik polarizasyon değişiminin kontrolü mümkün olmayacağından, (3.2) deverildiği tarzda bir Legendre transformasyonu uygulanarak, zamanla değişen terimleriç enerji, entropi ve polarizasyon yerine serbest enerji, sıcaklık ve elektrik alanlarınındeğişimi cinsinden yazılmıştır. Daha sonra bu eşitsizlikte yer alan asimetrik gerilmetansörü yerine, (1.137) ifadesi ile tanımlanan gerilme tansörü yazılmıştır.Clausius – Duhem eşitsizliğinin kullanılabilir hale getirilebilmesi için serbestenerjinin zamana göre maddesel türevinin hesaplanıp yerine konulması gerekir.Ancak bu işlem Σ nın hangi bağımsız değişkenlere bağlı olduğunu tespit etmedenönce yapılamaz. Burada her şeye ait bilginin serbest enerji fonksiyonuna ait bilgidenkaynaklandığını göz önünde bulundurarak daha kısa bir yol izlenmiştir. Eringen(1980) ve Şuhubi (1994) tarafından tüm bünye fonksiyonları için geliştirilmiş olanbünye aksiyomları tek tek ele alınmış ve bunların neticeleri, Clausius – Duhemeşitsizliğini temsil eden (3.15) eşitsizliğinde yer alan serbest enerji Σ için dilegetirilmiştir. Kozalite, determinizm, eşbulma, uygunluk, objektivite, maddeselsimetri ve yöresellik aksiyomlarına göre, t anında X maddesel noktasının serbestenerji yoğunluğu, cismi meydana getiren tüm X maddesel noktalarının hareket,sıcaklık ve elektrik alan tarihlerine bağlıdır. Buna göre diğer bünyefonksiyonellerinin argüman dağılımına bir benzerlik oluşturması açısından serbestenerji fonksiyoneli dikkate alıp, daha sonra da sırasıyla objektivite, yakın civarsallık,yakın hafıza ve uygunluk aksiyomlarını kullanılarak Σ nın genelde hangiargümanlara bağlı olması gerektiği (3.45) denkleminde verilmiştir.Kısım 3.2 de simetrik gerilme ve polarizasyon alanı hesaplanmıştır. Bunun içinsimetrik gerilme ve polarizasyon alanı, gerilme potansiyeli Σ dan elde edildiğindenΣ doğal durum olarak seçilen referans konumu etrafında, bağlı olduğu argümanların7

ileşenleri cinsinden bir kuvvet serisine açılmıştır. (3.69) ifadesi ile verilen buaçılımda Σ nın E tansörüne ve E vektörüne göre türevi alınıp (3.72) ve (3.77)denklemlerinde yerine yazılarak, sıkışabilir piezoelektrik anizotrop ortamda simetrikgerilmenin ve polarizasyon alanının nonlineer bünye denklemleri (3.75)ve (3.80)ifadeleri ile verilmiştir.Kısım 4.1 de asimetrik gerilme ortaya konulmuştur. Daha önce (3.76) ifadesi ile eldeedilen simetrik gerilme (3.80) ifadesi ile verilen polarizasyon alanında uygun indisdeğişikliği yapılarak (4.1) denkleminde yerine yazılmıştır.Kısım 4.2 de şekil değiştirmeler, x ) , yer değiştirme gradyanları, U ) çok(k,K(K ,Lküçük kabul edildiği takdirde (3.76), (3.81) denklemleri ile verilen polarizasyon alanıve simetrik gerilme belli ölçülerde lineerleştirilebilir ve lineer teoriyi de elde etmekiçin ortam şekil değiştirdiğinde oluşan genleme tansörünün; E

1.1. Sürekli Ortam ModeliBir maddesel cismin içinde alacağımız tamamen keyfi her hacim bu cisminkütlesinin bir kısmını içeriyorsa bu cisim bir sürekli ortam olarak nitelendirilebilir.Buna göre sürekli bir ortamın bir noktası etrafında keyfi, yani istediğimiz kadarküçük seçebileceğimiz bir Δv hacmini dikkate alırsak bu hacimde cismin bir Δmkütlesi bulunacaktır. Bu nokta civarında ortalama yoğunluk,Δmρort=(1.1)Δvolarak tanımlanır (Şuhubi, 1994). Sürekli ortam varsayımına göre Δv ne kadar küçükolursa olsun içinde kütle bulunacağından yukarıdaki ifadenin Δv → 0 için bir limitiolacaktır. Dolayısıyla ortamın göz önüne alınan noktadaki yoğunluğu bu limitişleminin sonucu olarak,Δmdmρ = lim =(1.2)Δv→0 Δvdvbulunur. Atomistik ölçeğe indiğimizde madde büyük ölçüde boşluklu bir yapısergiler. Buna göre bir noktada tanımlanan yoğunluğun statik olarak anlamlı birortalamaya karşı gelebilmesi için Δv hacminin bir Δv * kritik değerinden büyükolması gerekir. Δv < Δv * için bir noktada yoğunluk, Δv ye bağlı olarak, büyükçalkantılar gösterir (Şekil 1.1).Sürekli ortam modeli, sonlu bir hacimdeki parçacık sayısını sonsuz almayaeşdeğerdir. Buna göre cismin içinde alınan bir V hacminde bulunan kütle miktarı,M = ∫ ρ dv(1.3)Vintegrali ile hesaplanır. (Şuhubi, 1994).9

Δm/ΔvρΔv *ΔvŞekil 1.1. Ortalama yoğunluğun değişimi (Şuhubi, 1994)1.2. Sürekli Ortam HareketiBir sürekli ortamın hareketini belirlemek için bu ortamı oluşturan, sonsuz sayıdakibütün parçacıkların zamanla bulundukları uzaysal konumlarının belirlenmesi gerekir.Ortamın belli bir andaki konumunun tamamen bilindiği varsayılır, bu konum referanskonumu olarak adlandırılır ve oluşturduğu hacimsel bölge V ile gösterilir. Ortamınreferans konumunu belirli kılmak için bir X 1 , X 2 , X 3 kartezyen koordinat takımıseçilir. Ortamın bir parçacığı, şimdi referans konumunda işgal ettiği P noktasınınyerini tanımlayan R yer vektörü, ya da eşdeğer olarak X K (K = 1, 2, 3)koordinatlarıyla tamamen belirlenir. X K koordinatlarına maddesel koordinatlar(Lagrange Koordinatları) adı verilir.Sürekli bir ortamın hareketini belirlemek için referans konumundaki herhangi bir Pmaddesel noktasının t anında uzayda bulunduğu konumu, yani p noktasının yerini,belirlemek için x 1 , x 2 , x 3 kartezyen koordinat takımı seçilir (Şekil 1.2). Bu koordinattakımında p uzaysal noktası r yer vektörü, ya da x k (k = 1, 2, 3) koordinatlarıylabelirlenir. Bu koordinatlara uzaysal koordinatlar (Euler koordinatları) adı verilir.Gerek duyulduğu takdirde maddesel ve uzaysal koordinatlar çakışık olarakseçilebilir.10

v(t)X 3 x 3pVPx 2i 3 rI 3 bi 2Ri 1I 1I 2X 2X 1x 1Şekil 1.2. Maddesel ve uzaysal koordinatlar (Şuhubi, 1994)Bir t anında her P parçacığının işgal ettiği p noktaları zamanla değişen bir v(t)bölgesini oluşturur. Bu bölge ortamın t anındaki konumunu belirler. Buna göresürekli ortamın hareketi, her P noktasına bir t anında hangi p noktasının karşıgeldiğini gösteren bir dönüşüm olarak tanımlanır. Böyle bir dönüşüm,r = r( R,t),x x ( X , t)(1.4)k=kKsürekli bağıntıları yardımıyla tanımlanır. Tersi söylenmedikçe referans konumununt=0 anına karşı geldiği kabul edilir. Sürekli ortamın hareketini tanımlayan (1.4)dönüşümünün bir fiziksel harekete karşı gelebilmesi için sürekli olması gerekir.Ayrıca bu dönüşümün hacmi sonlu olan bir bölgeyi hacmi sıfır, ya da sonsuz birbölgeye dönüştürmemesi için, dönüşümün jakobyeni sıfırdan ve sonsuzdan farklıolması gerekir. Yani,∂x1∂x1∂x1∂X1∂X2∂X3∂x2∂x2∂x2J ( X , t)= det ( xk , K) =≠ 0,∞(1.5)∂X1∂X2∂X3∂x3∂x3∂x3∂X∂X∂X12311

şartının sağlanması gerekir. Bir J(X,t) fonksiyonunu (1.5) in mutlak değeri,j( X , t)= J ( X , t)= det( x,) , < j < ∞(1.6)k K0olarak tanımlanır. Temel varsayımımız uyarınca J ≠ 0 olduğundan j ile J arasındakifark çoğu zaman pratik bakımdan ortadan kalkar. Kapalı fonksiyon uyarınca (1.5) yada (1.6) koşulu (1.4) dönüşümünün sürekli bir tersinin olacağını ifade eder. Bu ilkeuyarınca (1.4) dönüşümünden,R = R( r,t),X X ( x , t)(1.7)K=KkYazılabilir (Şuhubi, 1994). Fiziksel olarak bu bağıntılar, seçilmiş, belli bir uzaynoktasından çeşitli zamanlarda ortamın hangi parçacıklarının geçtiğini belirler ve v(t)uzaysal bölgeler ailesini tek bir V maddesel bölgesine dönüştürür (Şuhubi, 1994).1.3. Şekil DeğiştirmeReferans konumunda verilen bir V bölgesini dolduran bir sürekli ortamın belli bir t,örneğin t 1 , anında v(t) uzay bölgesine dönüştüğünü ve bu sürekli dönüşümün verilen,x= x ( X , t)veya X X ( x , t)(1.8)k k KK=Kkhareket denklemlerinin t parametresinin t 1 değeriyle tamamen belirlenmiş olduğuvarsayılır. Dolayısıyla başlangıçtaki, yani referans konumundaki herhangi bir Pparçacığı t 1 anında p uzay noktasına taşınmış olur. P ve p noktalarının yer vektörleri,R = X I , r = x i(1.9)KKk kile verilir ve (1.8) bağıntıları yardımıyla birbirlerine bağlanır (Şekil 1.3). Bundansonra Einstein toplama uylaşımından yararlanılarak ve tekrarlanan iki indis üzerinde12

1 den 3 e kadar toplama yapılacağı kabul edilir. Uzaysal ve maddesel koordinattakımları arasındaki dönüşüm,ik= λ I , I = Λ i(1.10)kKKKKk kbağıntıları ile belirlenir. λ ve Λ katsayı matrisleri birbirinin tersidir ve,λ = i ⋅I, Λ = I ⋅i(1.11)kKkKKkKkolarak tanımlanır. Her iki koordinat takımı da dik olduğundan bu dönüşümortogonaldir. Yani,−1TΛ = λ = λ veya Λ = λKkkK(1.12)yazılabilir.bu katsayılar,ΛKkmatrisi λkKmatrisinin transpozu olarak tanımlanmıştır. Dolayısıylaλ λ = δ , λ λ = δ(1.13)kKlKklkKkLKLbağıntılarını gerçeklemek zorundadır. Burada δ kl ve δ KL büyüklükleri Kronecker deltaolarak adlandırılır ve birim matrisi temsil eder. Yani iki indis birbirine eşitse 1, farklıise 0 değerini alırlar. λ matrisi yardımıyla uzaysal koordinat takımında tanımlanmışbir vektörü kendisine paralel kalarak maddesel koordinat takımına kaydırabilir, ya dabu işlemin tersi yapabilir. Bu özellikler nedeniyle λ kK katsayıları kaydırıcılar(Shifter) olarak adlandırılır.Deformasyonu temsil etmek için, şekil 1.3 de P parçacığına çok yakın olan başka birP′ parçacığı göz önüne alınır. P′ nün P ye göre konumunu sonsuz küçük dRvektörüyle belirlenir. P′ maddesel noktası hareketle t 1 anında p′ uzay noktasınataşınmış olur. p′ noktasının P nin görüntüsü olan p noktasına göre konumu da yinesonsuz küçük olan dr vektörüyle belirlenir.13

X 1v(t)p′drX 3 xu+du 3pP′V udRPx 2i 3 rI 3 bi 2Ri 1I 1I 2X 2 t=t 1 anındaki konumReferans konumux 1Şekil 1.3. Sürekli ortamda belli bir andaki şekil değiştirme (Şuhubi, 1994)Bu vektörler maddesel ve uzaysal koordinat eksenleri üzerindeki bileşenlericinsinden,dR = dX I , dr = dx i(1.14)KKk kşeklinde yazılır. Ayrıca (1.8) bağıntısında zamanın sabit olduğunu göz önündetutularak diferansiyeli alınırsa,=,, = dxk(1.15)dxkxkKdXKdXKXK , kifadeleri elde edilir. Bir alt indisten önceki virgül o indisin belirttiği değişkene görekısmi türevini gösterir, (1.15) deki x k,K ve X K,k ifadeleri aşağıdaki gibi tanımlanır.x∂xX∂XkKk , K≡ ,K , k≡(1.16)∂XK∂xkBir P parçacığında, örneğin t 1 anında, hesaplanmış x k,K büyüklüklerine o maddeselnoktada ve o andaki şekil değiştirme gradyanı adı verilir ve boyutsuz F matrisi ilegösterilir.14

F(X , t1)=⎡ ∂x⎤1∂x1∂x1⎢⎥⎢∂X1∂X2∂X3 ⎥⎢ ∂x2∂x2∂x2⎥k , K=(1.17)⎢∂X∂ ∂ ⎥1X2X3⎢∂x∂ ∂⎥⎢3x3x3⎥⎢⎣∂X1∂X2∂X3 ⎥⎦[ x ]j = det F ≠ 0 olduğundan F matrisinin bir F -1 tersi vardır. (1.8) bağıntılarını gözönüne alır ve belli bir anda kısmi türevin zincir kuralını uygularsak,xk, KXK , l= δkl, XK , kxk, L= δKL(1.18)Yazılabilir. Buradan da,[ ]F −1 = X K , k(1.19)ifadesi elde edilir. Bir matrisin tersini hesaplamak için her elemanın yerinekofaktörünü koyarak oluşturduğumuz matrisin transpozunu matrisin determinantınabölünmesi gerekir.XK[ x ]Kofaktörk , K, k= (1.20)JBilindiği gibi bir determinantı hesaplarken bir satırdaki elemanları kofaktörleriyleçarpıp işaret kuralına uygun şekilde toplanır. Buna göre determinantın açılımı osatırdaki elamanlara göre birinci derecedendir ve determinantın bir elemanına göretürevini alırsak bu elemanın kofaktörünü elde ederiz. Bu sonuç,∂J∂xk , K= Kofaktör∂j[ xk, K] = JXK , k⇒ = jXK , k∂xk , K(1.21)15

özdeşliğini verir. dR vektörünün boyu dS, dr vektörünün boyu ise ds ile gösterildiğitaktirde,22dS = dR ⋅dR= dX dX , ds = dr ⋅dr= dx dx(1.22)KKkkşeklinde ifade edilir. (1.15) bağıntılarını kullanarak yukarıdaki ifadeler,dsdS22= xk , K= XxK , kk , LXdXK , lKdXkLl= CKLkldXkKdx dx = c dx dxdXlL,(1.23)şeklinde elde edilir. Burada t anında hesaplanmış bileşenleri,CKL( X , t)xk, Kxk, L, ckl( x,t)= XK , kXK , l= (1.24)ile verilen ifadeler sırasıyla Green ve Cauchy şekil değiştirme tansörleri veyamatrisleri adını alır. Bu matrislerin simetrik olduğu ve,C = C , c = c(1.25)KLLKkllkbağıntılarının sağlandığı görülmektedir. C ve c büyüklüklerini matrisin yanı sıratansör olarak ta nitelendirilmesinin nedeni sırasıyla maddesel ve uzaysalkoordinatları dönüştürüp yeni koordinat takımlarına geçildiğinde bileşenlerininbelirli bir kurala göre değişmesidir.XKkoordinat eksenleri yine dik X ′Kkoordinateksenlerine dönüştürülsün. Bu dönüşüm Q ortogonal matrisi yardımıyla gerçekleşirve koordinat eksenleri arasında,X ′ = Q X , X = Q X ′(1.26)KKLLKLKLilişkileri yazılabilir. Buna göre C tansörünün yeni koordinat takımındaki bileşenleri,16

C′KL∂xk=∂X′K∂xk∂X′L=∂x∂XkM∂XM∂X′K∂x∂XkN∂XN∂X′L=KMQLNxkMxk, NQ,= Q Q C(1.27)KMLNMNşeklinde bulunur. Bu da C nin ikinci mertebe bir maddesel tansör olduğunu gösterir.Burada (1.26) bağıntısının Q ortogonal bir matris olmasa da, yani koordinatları dikolmayan bir takıma dönüştürüldüğünde de Q T yerine Q -1 matrisini alma koşuluylageçerli kalacağına dikkat edilmeli. Benzer olarak uzaysal koordinatları,x ′ =Q x(1.28)kkllile dönüştürülürse c nin ikinci mertebe bir uzaysal tansör olduğunu gösteren,c′ = Q Q c(1.29)klkmlnmnifadesi elde edilir. Buraya kadar verilen ifadeler matris notasyonu kullanılarakyazılırsa; dX ve dx sütun vektörleri,⎡dX1 ⎤ ⎡dx1⎤dX =⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢dX2⎥, dx⎢dx2⎥(1.30)⎢⎣dX ⎥⎦⎢⎣⎥3dx3⎦şeklinde tanımlanır. (1.15) bağıntıları matris notasyonu ile,−1d x = Fd X , d X = F d x(1.31)yazılabilir. (1.22) ve (1.31) bağıntılarından,17

dsdS22T= d x d x = d X= d XTTd X = d xFTTFFd X−1TF−1d x(1.32)bulunur. (1.23) bağıntısı göz önünde tutulduğunda Green ve Cauchy şekil değiştirmetansörlerinin şekil değiştirme gradyanlarına bağlı olarak,T−1TC = F F,c = F F−1(1.33)şeklinde ifade edilebileceği görülür. Bazı durumlarda (1.33) ile verilen matrisleryerine terslerinin kullanılması gerekebilir. Bu matrisler ise,c−1TT −1−1−1= F F , C = F F(1.34)veya bileşenleri cinsinden,−1−1ckl= xk,Kxl,K, CKL= XK , kXL,k(1.35)şeklinde ifade edilir. c -1 ve C -1 tansörleri sırasıyla Finger ve Piola şekil değiştirmetansörleri olarak bilinir. Hareket denklemleri r = r( R,t)şeklinde verilmesi yerine Pparçacığının u yer değiştirme vektörüne bağlı olarak ifade edilir. Yer değiştirmevektörünü (Şekil 1.3),u = r − R + b(1.36)olarak tanımlanır. u vektörünü,u = u i = U I(1.37)kkKK18

şeklinde yazarak uzaysal ve maddesel bileşenleri belirlenir. (1.8) hareketdenklemlerinden yararlanarak uzaysal ve maddesel yer vektörlerini r = r(X K ,t) veR = R(x k ,t) olarak ifade edilirse,dr = C dX , dR = c dx(1.38)KKkkyazılabilir. Burada C K ve c k vektörleri,∂r∂R= I(1.39)CK= xk, Kik, ck= = XK , k∂XK∂xkKolarak tanımlanmıştır. Bu vektörler cinsinden şekil değiştirme tansörleri,CKL= C ⋅C, c = c ⋅c(1.40)KLklklolarak bulunur. (1.39) 1 bağıntısından,CKCL= xk, Kik⋅ xl,Lil= xk, Kxl,L kl= xk, Kxk,L⋅ δ (1.41)bulunur ve benzer şekilde (1.39) 2 bağıntısından da,ckcl= XK , kIK⋅ XL,lIL= XK , kXL,l KL= XK , kXK , l⋅ δ (1.42)bağıntısı bulunur. C K ve c k vektörlerinin fiziksel anlamı tanımlardan açıkçagörülmektedir. (1.39) ifadelerine benzer olarak,−1−1ck= xk, KIK, CK= XK , kik(1.43)vektörleri tanımlanır.−1ckvektörlerinin ckvektörlerine karşıt olduğu, yani,c⋅−1kc l= δkl(1.44)19

olarak tanımlanır ve sırasıyla maddesel (Lagrange) ve uzaysal (Euler) genlemetansörleri adını alır. Bir maddesel noktada E tansörünün değerini bildiğimiz takdirdebu noktadan geçen sonsuz küçük dX K maddesel vektörünün hareketi sırasındaboyundaki değişim (1.49) bağıntısıyla belirlenir. Aynı boy değişimi bu parçacığın tanındaki yerinde e tansörünün değeri yardımıyla da hesaplanabilir. (1.50) bağıntılarımatris formunda,11E = ( C − I),e = ( I − c)(1.51)22yazılabilir. (1.15) bağıntılarından (1.49) da yararlanılırsa maddesel ve uzaysalgenleme tansörlerinin,eklEKLXK , kXL,l, EKL= eklxk,Kxl,L= (1.52)eşitlikleriyle birbirlerine bağlandığı görülebilir. (1.36) ve (1.39) bağıntıları, b vektörükoordinatlara bağlı olmadığı için yer değiştirme vektörü cinsinden,CckK∂R=∂X∂r=∂xkK∂u+∂X∂u−∂xkK= i= IkK− u+ Uil,k lL,KIlkL= ( δ= ( δ − ul,kLK) il+ UL,K) IL(1.53)sonucu elde edilir. Şekil değiştirme tansörleri için yer değiştirme gradyanlarına bağlıolarak,CKL= CK⋅CL= ( δMK+ UM , K)( δNL+ UN , L) δMN= ( δcklMK= ck+ U⋅clM , K= ( δ)( δmkML− u+ Um,kM , L)( δnl) = δ− uKLn,l+ U) δmnK , L= ( δ+ UmkL,K− u+ Um,kM , K)( δmlUM , L− u,m,l)(1.54)= δ − uklk , l− ul,k+ um,kum,l21

sonuçları bulunur. Maddesel ve uzaysal genleme tansörleri de (1.50) tanımları yerdeğiştirme gradyanı cinsinden,EeklKL1= ( U21= ( u2k , lK , L+ u+ Ul,kL,K− u+ Um,kuM , Km,l)UM , L)(1.55)şeklinde ifade edilir.1.4. HareketBu bölümde, ortamın hareketi sırasında parçacıklara ilişkin hız ve ivme gibikinematik büyüklükler hesaplanacak ve daha genel olarak ta şekil değiştirmekarakteristiklerinin zamanla değişim hızının nasıl ölçülebileceği belirlenmeyeçalışılacak. Ortamın hareketini tanımlayan maddesel koordinatlarla uzaysalkoordinatlar arasındaki dönüşüm (1.4) bağıntısıyla aşağıdaki şekilde verilmişti.xk= x ( X , t),X ∈ v(1.56)kK(1.56) bağıntısı V bölgesindeki belli bir X parçacığı seçildiğinde t parametresine bağlıbir eğri gösterir. Sürekli ortamın hareketi sırasında X parçacığının izlediği yolugösteren bu eğriye göz önüne alınan parçacığın yörüngesi adı verilir. (1.56) bağıntısıtüm ortam parçacıklarının yörüngeler ailesini tanımlamaktadır. Bunun için ilk olaraksürekli ortamın parçacıklarına bağlı bir fonksiyonun zamanla değişim hızını ölçmekgerekir.Sürekli ortama bağlı bir skaler, vektör ya da tansör değerli bir alan büyüklüğüf(X,t) şeklinde verilebilir. Maddesel gösterilimde böyle bir fonksiyon, ilgili alan≈büyüklüğünün bir parçacıkta aldığı değerin bu parçacık yörüngesi üzerinde hareket22

ederken zamanla nasıl değiştiğini bize verir. (1.56) ifadesinin tersikullanılırsa,f fonksiyonunda≈[ X ( x t), t] f ( x t)f , = ,(1.57)yazılabilir. f(x,t) fonksiyonu göz önüne alınan alan büyüklüğünün uzaysal≈gösterilimi adını alır. Maddesel ve uzaysal gösterilimde bu fonksiyon aynı sembollegöstermesine karşın birbirine karşı gelen maddesel ve uzaysal noktalarda sayısaldeğerleri eşit olmakla beraberf(X,t) ve≈f(x,t) fonksiyonları tümüyle farklı≈fonksiyonlardır. Bir x uzay noktasında f (x,t) fonksiyonu alan büyüklüğünün bu≈noktadan çeşitli zamanlarda geçen farklı parçacıklarda aldığı değerleri gösterir.Uzaysal gösterilimden maddesel gösterilime geçiş,( X , t) f [ x( X , t)t]f = ,(1.58)≈≈dönüşümü yardımıyla sağlanır. Bir alan büyüklüğünün sürekli ortamın birparçacığını izlerken zamana göre değişim hızı maddesel türev olarak tanımlanır(Şekil 1.4).Xxtf(tx+dxt+dtf(t)+(df/dt)dtŞekil 1.4. Maddesel türev (Şuhubi, 1994)Eğer maddesel gösterilim kullanılıyorsa maddesel türev X K koordinatlarını sabittutarak zamana göre hesaplanan türev olduğundan,23

dfdt∂ f( X , t)≈=≈= f≈∂t&(1.59)yazılabilir. Uzaysal gösterilim kullanıldığında (1.57) bağıntısını X değişkenlerinisabit tutarak t değişkenine göre türetirsek zincir kuralına göre,df∂ f[ x( X , t), t]∂ f∂ f∂xkf& ≈ ≈≈≈= == +(1.60)≈ dt ∂t∂t∂xk∂tX = Sbt x = SbtX = Sbtelde edilir. Bir parçacığın hızı r(R,t) yer vektörüne bağlı olarak,drdt( R,t)∂r∂tdxdt∂x∂tk kv = = = ik= ik(1.61)veya bileşenleri cinsinden,dxk∂xkvk( X ,t) = = , v=vkik(1.62)dt ∂tşeklinde ifade edilebilir. Buna göre uzaysal gösterilimdemaddesel türevi,f alanının (1.60) ile verilen≈d f ff & ∂≈ ≈= = + f vk≈ dt ∂t(1.63)≈ , kolur. (1.63) ifadesinin sağ tarafındaki ilk terim x koordinatları sabit tutularak zamanagöre alınmış türev olduğundan yerel değişme hızını gösterir. İkinci terim ise t anındax noktasında bulunan parçacığın hareketinden kaynaklandığı için konvektif değişmehızı adını alır.24

1.4.1. Yay ve Hacim Elemanların Maddesel Türevip′P′dXPdSdsdxpds+[d/dt](ds)dtt=0tt+dtŞekil 1.5. Yay elemanındaki değişim (Şuhubi, 1994)Referans konumunda bir P maddesel noktasından geçen sonsuz küçük bir dS yayelemanı ve bu elemanın t anındaki ds görüntüsü göz önüne alınırsa (Şekil 1.5), tanına sonsuz yakın t+dt anında bu elemandaki değişim maddesel türevin tanımınagöreds + ds)dt olur. ds yay elemanının maddesel türevini belirlemek amacıyla önce( •p noktasını p′ noktasına birleştiren dx vektörünün maddesel türevi hesaplanmayaçalışılacak. Bu vektör referans konumundaki dX elemanter vektörünün hareketaltında t anındaki görüntüsü olduğundandx = x,dX yazılabilir. dX K bileşenlerizamana bağlı olmadığından türetmenin zincir kuralından uygun şekildeyararlanılarak,kk KKddt( dx ) =kddtk , K( xk , K K) = (k , K)= v dX = v X dx = vKdXk , K∂∂tK , lxldXKk , l∂=∂XdxlK⎛ ∂xk⎜⎝ ∂t⎞⎟dX⎠K(1.64)elde edilir. Dolayısıyla,⎛dx• ⎞⎜ k ⎟= vk ,ldxl(1.65)⎝ ⎠25

yazılabilir. (1.64) de üçüncü ve beşinci ifadelerde dX K bileşenlerinin katsayılarınıeşitlersek şekil değiştirme gradyanının maddesel türevi,ddt•⎛ ⎞( xk,K) = ⎜ xk ,K ⎟= vk ,K= vk ,lxl, K⎝⎠(1.66)olarak bulunur. Hız gradyanı tansörü,= , v(1.67)L ∇v L kl=l,kile tanımlanırsa, (1.65) ve (1.66) bağıntıları,⎛d • ⎞ TT⎜ x⎟ = L d x, F&= L F(1.68)⎝ ⎠şeklinde de ifade edilebilir. Hız gradyanı tansörünün simetrik ve antisimetrikkısımlarından oluşan iki yeni tansörü,dkl11= v22( vk ,l+ vl,k) = dlk, wkl= ( vk ,l−l ,k) = − wlk(1.69)veya,dT 1 TT( L + L) , w = ( L − L) L = d + w1= ,22(1.70)bağıntılarıyla tanımlanır. d tansörüne şekil değiştirme hızı (bazen de genleme hızı)tansörü, w tansörüne ise spin veya çevri tansörü adı verilir. (1.21) bağıntısındanyararlanarak önce,dJdtk ,K( xk,K) = J XK ,kvk ,lxl,K= J vk, k∂Jd= (1.71)∂xd t26

şeklinde jakobyenin maddesel türevi elde edilir. Bir ortamın hacim elemanınındeğişme hızı, dv = jdV olduğundan türetme ile,ddtdj= (1.72)dt( dv ) dVyazılabilir. jakobyenin maddesel türevinden faydalanılarak,ddt( dv ) j v dV = v dv = ∇ ⋅ vdv= (1.73)k ,kk ,kbulunur. Referans konumunda V hacmi hareketle t anında v(t) hacmine dönüşürsev(t) hacim integralinin maddesel türevi aşağıdaki şeklide hesaplanır.ddtv∫( t )φ( x , t )∂dv =∂t=v∫VΦ•∫ ( jφ)( X , t ) j dV = [ j Φ ( X , t )]j−1dv =∫( t ) v( t )⎛⎜⎝∫V∂∂t∂+ φ v∂tk , k⎞⎟ dv⎠dV(1.74)Maddesel türevin tanımından faydalanarak (1.74) ifadesi,ddtv∫⎡∂φ⎤φ dv = ∫ ⎢ + ( φ vk) dvk ⎥ (1.75),tv ⎣ ∂ ⎦( t )( t )şeklinde yazılabilir. t ye göre kısmi türevi x değişkenleri sabit tutularak alındığı için(1.75) bağıntısında sağ taraftaki ilk terimde türev ile integral operatörünün yerideğiştirilebilir. Son terim de Green – Gauss integral teoremi kullanılarak v(t) hacminiiçine alan S(t) kapalı yüzeyi üzerindeki bir integrale dönüştürülürse,ddtv∂φ∂∫φvnda(1.76)t∫ dv = ∫ φ dv +( t ) v( t ) S ( t )27

elde edilir.vn= v⋅nortam hızının yüzeye dik bileşenidir. φ vnbüyüklüğüneφ alanının yüzey boyunca akısı adı verilir ve ortam hareketiyle bu fiziksel alanın S(t)yüzeyinin bir tarafından öteki tarafına bu yüzeyin birim alanı başına birim zamandaaktarılan kısmını gösterir.1.4.2. Green – Gauss (Diverjans) TeoremiDoğa yasalarından sürekli ortamların hareketini yöneten denklemlerin çıkartılmasınaolanak sağlayan bazı integral teoremlerinin genelleştirilmesi gerekir. Bilindiği gibibir ∂v kapalı yüzeyi ile sınırlanmış v hacminde tanımlanmış vektör ya da tansördeğerli sürekli bir fonksiyon için Green – Gauss veya diverjans teoremi olarakbilinen teorem bu alanın diverjansının hacim içindeki integralini normal bileşenininyüzey üzerindeki integraline dönüştürür,∫v∫∇ ⋅φ dv = n ⋅φda(1.77)∂vn yüzeyin birim dış normalidir. φ bir vektör alanı olduğu takdirde yukarıdaki skalerdenklemin anlamı açıktır. φ ikinci mertebe bir tansör alanı ise (1.77) vektördeğerlidir ve,∇ ⋅φ = φ , =kl, kiln ⋅φnkφklil(1.78)olarak tanımlanır. Şimdi v bölgesinde hareketli de olabilen bir σ yüzeyi üzerinde φtansör alanının süreksizlik göstermesi halinde diverjans teoreminin genelleştirilmişşeklini elde etmeye çalışacağız. v hacmini iki parçaya ayıran σ yüzeyinin dışnormalini keyfi olarak yönleyelim ve v bölgesini σ yüzeyinin dış normalininyöneldiği tarafta kalan parçasını v + , öteki parçasını ise v - ile gösterelim. v=v + ∪ v -olduğu açıktır. σ yüzeyi φ alanı için bir süreksizlik yüzeyi ise bu alan σ üzerindeki28

9bir noktada, bu noktaya v + ya da v - bölgeleri içinden yaklaşıldığına göre farklıdeğerler alır. Bu değerler sırasıyla φ + ve φ - ile gösterilir (Şekil 1.6). φ tansöralanının σ üzerindeki süreksizliğini ölçen sıçraması,+ −φ = φ − φ(1.79)olarak tanımlanır.∂ v +nσv +nφ +φ −- nv −∂ v −Şekil 1.6. Süreksizlik yüzeyi içeren bölge (Şuhubi, 1994)Doğal olarak bu büyüklük σ yüzeyinin koordinatlarının bir fonksiyonudur. φ alanıv + ∪σ kapalı yüzeyi ile sınırlanmış v + ve v - ∪σ kapalı yüzeyi ile sınırlanmış v -bölgelerinde süreklidir. Dolayısıyla bu bölgelerde Green – Gauss teoremi (1.77)şekliyle uygulanabilir. σ yüzeyinin bu anlamda dış normalinin v + için –n olduğunadikkat edilirse,∫∫−v∫∇ ⋅φ dv = n ⋅φda − n ⋅φda,+ +v∂v∇ ⋅φdv =∫−∂vn ⋅φda +∫σ∫σ+−n ⋅φda(1.80)yazılabilir. Bu iki ifade taraf tarafa toplanırsa genelleştirilmiş Green – Gauss teoremi,29

∫v∫∇ ⋅φ dv = n ⋅φda − n φ da(1.81)∂v∫σşeklinde elde edilir. Sürekli alanlar için σ yüzeyi üzerinde φ = 0 olacağı için(1.81) denklemi (1.77) denklemine indirgenir. v(t) bölgesinin sürekli ortamda birmaddesel bölge olduğu kabul edilirse ve σ süreksizlik yüzeyinin de verilen bir u hızıile hareket ettiği varsayılır (Şekil 1.7). Amaç (1.75) denklemini φ tansör alanının σüzerinde süreksizlik gösterdiği hale genelleştirmektir. Bunun için kısmi türevoperatörünü integralin içine sokarak (1.76) denklemini φ alanının içinde sürekli v +ve v - bölgelerine ayrı ayrı uygulanırsa (Şekil 1.7),ddtddt+v−v∫+ +( t ) v () t∂v() t∫φ dv =φ dv =∫∫∂φdv +∂t∂φdv +∂t−−( t ) v () t∂v() t∫φ v∫nφ vda −nda +∫σ ( t)∫σ ( t)+φ u da,n−φ unda(1.82)elde edilir. Bu denklem taraf tarafa toplanırsa,ddt∂φφ dv = ∫ dv + ∫φvnda − ∫ unφ da,(1.83)∂t∫v(t)v() t∂v() tσ ( t)30

∂ v + (t)nv + (t)nu nσ (t)v − (t)- n∂ v − (t)Şekil 1.7. Hareketli süreksizlik yüzeyi (Şuhubi, 1994)sonucu elde edilir.v = n v olduğuna dikkat edilerek süreksizlik yüzeyi içeren birnkkbölgede diverjans teoremini ifade eden (1.81) denklemi kullanılırsa,∫∫∫ ( vkφ) dv + nkkda, k ∫ v φφ v da = n v φ da =(1.84)nk k∂v( t)∂v( t)v(t )σ ( t)yazılabilir. Bu ifade (1.83) bağıntısına yerleştirilir, v(t) ve σ(t) bölgeleri üzerindekiintegralleri bir araya toplanır ve σ(t) yüzeyinin u n normal hızının süreksizlikgösteremeyeceğine dikkat edilirse sonuç olarak,ddt∫v(t)φ dv ==∫v(t)∫v(t)⎛ dφ⎜ +⎝ dt⎛ dφ⎜ + φ v⎝ dt( φ v )k , kk , k⎞⎟dv−⎠⎞⎟dv−⎠∫σ ( t)∫σ ( t)UφdaUφda(1.85)elde edilir. Burada σ(t) yüzeyi üzerinde tanımlanan,U = u − v = ( u − v ) ⋅ n(1.86)nn31

üyüklüğüne yer değiştirme hızı adı verilir ve σ(t) yüzeyinin sürekli ortama görebağıl normal hızını gösterir. u = 0 olduğundan,nU = − v n(1.87)bağıntısı geçerlidir.1.5. Elektrostatik Denge DenklemleriPiezoelektrik özellik mekanik alan ile elektrostatik alanın etkileşiminin sonucuolarak ortaya çıkar. Bilindiği gibi, Piezoelektrik malzeme bir dış elektrik alanagirdiği zaman deforme olur ve bu elektrik alan cismi polarize eder. AyrıcaPiezoelektrik malzeme deformasyona uğradığı zaman bir elektrik alan üretir ve yinepolarizasyon görülür. Polarizasyon alanı yalnızca elektrik alan vasıtası ile oluşmaz,deformasyon alanı da belli bir polarizasyon alanı oluşturur.1.5.1. Yük, Elektrik Alan ve Elektriksel PotansiyelDeformasyon alanı ile elektrostatik alanın etkileşimi mikro düzeydeki kütle ve yüketkileşimlerinin bir sonucudur. Elektrik yükünün mevcudiyeti fiziğin temelpostülatlarından biridir ve deneysel gözlemlerle kanıtlanmaktadır. Elektrik akımınınvarlığı yüklerin hareketinden kaynaklanmaktadır. Modern fiziğe göre, malzemetemel partiküllerin bir bileşimidir ve bu partiküllerden bazıları partiküller arasıkuvvetlerle birbirine bağlıyken bazıları da serbestçe hareket edebilirler. Bu temelpartiküllerden bazıları kütleye ilaveten yük denilen başka bir özelliğe sahiptir.e = 1.6 10 −19Coulomb ile ifade edilen elektronik yük, yükün mümkün olan en küçükkısmını temsil etmektedir. Herhangi bir uzaysal hacimde bulunan toplam yükelektronik yükün tam katmanlarından meydana gelmektedir. Bu çalışmada, sürekliortam hipotezi gereğince yükün sonsuz bir şekilde bölünebileceği, ya daincelediğimiz mikro hacim elemanı ne kadar küçük olursa olsun yeterli sayıda yükiçerdiği kabul edilecektir. Maddenin, pozitif ve negatif olarak nitelendirilen iki farklı32

yük içerdiği düşünülmektedir. Deneysel gözlemler, izole edilmiş bir sistemde toplamyükün korunduğunu ifade eden hipotezi destekler. Sistem içerisinde pozitif bir yükmiktarı meydana çıkar ve kaybolursa, buna eşit miktarda negatif yük miktarı açığaçıkar veya kaybolur. Böylece yükün cebirsel toplamı sabit kalır. Yük aynı zamandaserbest veya bağlı olarak da karakterize edilebilir. Serbest elektronlarla taşınanyükler ve bir atomun iç elektron kabuklarında yer alan negatif yükler serbest ve bağlıyüklere örnek olarak verilebilir (Eringen, 1963; 1972; Eringen ve Maugin, 1990).Eğer V + S bölgesinde yük mutlak olarak sürekli ise, bir hacimsel yük yoğunluğu qve bir yüzeysel yük yoğunluğu w mevcuttur. Böylece V + S bölgesinde yer alantoplam yük aşağıdaki gibi ifade edilebilir,Q = ∫ q dV + ∫ w da [] q = [ ]32VSQLQw = (1.88)L1.5.2. Elektriksel Yer Değiştirme – PolarizasyonYüklere sahip partiküller bir dış elektrik alana girdiği zaman yükleri ile orantılı birşekilde belirli kuvvetlerin etkisi altında kalırlar. Ortamdaki serbest elektronlar bu dışkuvvetlerin etkisi ile harekete geçerler. Pozitif ve negatif yüklü bağlı partiküller isebirbirlerine göre bağıl bir yer değiştirmeye uğrarlar. Bu şekilde gerinmiş olanmalzemenin polarize olduğu kabul edilmektedir. Polarizasyon basit bir şekildeaşağıdaki gibi açıklanmaktadır. Malzeme başlangıçta, çekirdeği +q 0 yüküne sahipolan ve çekirdek etrafında hareket eden elektronları eşit miktarda –q 0 yüküne sahipolan atomlardan meydana gelmiş bir yapı olarak düşünülmektedir. Bu durumdayüklerin efektif merkezleri çakışıktır. Malzeme bir elektrik alanın etkisinde kaldığızaman, pozitif yükler negatif yüklere göre yer değiştirir. Bir V hacminin S yüzeyiboyunca toplam yük transferi,∫SQ = N q0 d.da(1.89)33

şeklinde ifade edilir. Burada N birim hacimde polarize olan atomların sayısı d isepozitif yüklerin negatif yüklere göre yer değiştirme vektörünü göstermektedir. V dekitoplam bağlı yük orijinal olarak sıfır olduğundan, V de kalan toplam polarizasyonyükü Q p aşağıdaki gibi ifade edilebilir,∫Nq d . da = − ∫P.da = − ∫ ∇0Q = − p.S S VPdVq p= −∇.P(1.90)burada,P0= N q d(1.91)Polarizasyon vektörü olarak bilinir.1.5.3. Elektrostatiğin Maxwell- Faraday TeorisiBu teori iki temel postülat ve bir bünye denklemi üzerine kurulmuştur:1- Elektrostatik alan konservatif olduğundan kapalı bir C – eğrisi üzerindekisirkülasyonu sıfırdır (Faraday Yasasının özel hali).∫ E . dx = 0(1.92)G2- Ortamın hacmi içindeki ve σ − süreksizlik yüzeyi üzerindeki serbest elektrikyükleri cismin içindeki ve yüzeydeki elektrik deplasman alanı oluşturur (Gauss-Coulomb Yasası).∫Dda = ∫ qfdV +S∫. w da(1.93)Vσf34

Burada elektriksel deplasman alanı;D ε E + P(1.94)= 0Şeklinde tanımlanmakta olup, ε0boşluğun elektriksel permitivitesi, P isepolarizasyon alanıdır. P, birim hacim başına elektrik dipol yoğunluğu olup bünyedenklemi ile tayin edilmesi gereken bir alandır. Bu alan rijid cisimlerde yalnızelektrik alanına bağlı olarak, şekil değiştirebilen cisimlerde ise aynı zamandadeformasyon alanına da bağlı olarak ortaya çıkar.Genelleştirilmiş Stokes teoremi kullanılarak (1.92) ifadesinin sol tarafındaki terimaşağıdaki gibi yazılabilir.∫E⋅ dx = ∫ n ( ∇ × E)da +CS∫γ[ E ]. h . ds(1.95)Genelleştirilmiş Greeen – Gauss Diverjans teoremi kullanılarak (1.93) denklemininsol tarafındaki terim ise aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.∫D⋅n da = ∫ ∇ ⋅ D)dV + ∫ n ⋅SVσ[ D ]( da(1.96)(1.96) denklemi (1.92) ifadesinde kullanılarak bilinen usullerle yerelleştirilirseaşağıdaki denklemler yazılabilir.V (t) İçinde; ∇ ⋅ D = qfσ (t) Üzerinde; [ D ] ⋅ n = wf(1.97)Ayrıca ortam ideal dielektrik kabul edilirse, hacımsal elektrik yük yoğunluğu q = 0alınır ve (1.97) 1 denklemi aşağıdaki gibi ifade edilir.f35

V (t) İçinde; ∇ ⋅ D = 0(1.98)(1.95) denklemi, (1.92) ifadesinde kullanılarak bilinen usullerle yerelleştirilirseaşağıdaki denklemler elde edilir.V (t) İçinde; ∇ × E = 0 , E = −∇φσ (t) Üzerinde; n × [ E ] = 0(1.99)Buradaki φ skalerdir ve Elektrostatik potansiyel olarak adlandırılır. φ ’ ninsonsuzdaki etkisi sıfırdır.Bir dielektrik ortamın lokal durumu kısmen polarizasyonun değeri ile karakterizeedilebilir. Polarizasyon elektrik alanın bir fonksiyonudur. Böylece elastik birdielektrik ortamın bağımsız durum değişkenlerinden biri olarak elektrik alan vektörüseçilebilir. İleride belirlenecek olan bünye denklemlerinden görüleceği gibi buçalışmada elektrik alan bağımsız bünye değişkeni olarak ele alınmaktadır (Eringenve Maugin, 1990; Erdem, 1975; Usal, 1994).1.6. Elektro – Termomekanik Denge DenklemleriBu kısımda, bütün sürekli ortamların mekanik davranışlarını yöneten temelilkelerden söz edilecektir. Bu çalışmada ele alınan sürekli ortama ait bir serbestcisme etki eden elektrostatik alan, bu cismin maddesel noktalarına hacimsel birkuvvet çifti uygular ve cismin enerjisine elektrostatik enerji olarak katkıda bulunur.Termomekanik denge denklemleri şeklinde yazılması gerekmektedir. Bu çalışmadasözü edilen denklemler önce global olarak yazılmış sonrada genelleştirilmiş Green-Gauss ve Stokes teoremleri yardımı ile yerelleştirilerek yazılmıştır. Globaldenklemlerde V (t)maddesel hacmi, σ (t)maddesel yüzeyi göstermektedir. Ayrıcaortamın bir süreksizlik yüzeyi içerdiği kabul edilmiştir.36

Korunum denklemlerinde sırasıyla aşağıda verilen genelleştirilmiş Gren-Gaussteoremi ve hacim integrallerinin maddesel türevi kullanılacaktır, bu ifadelere aitdetaylı bilgiler Eringen (1980) ve Şuhubi (1994) adlı kaynaklarda yer almaktadır.∫ ∇ ⋅ dV = ∫n⋅φda − ∫ n ⋅ [ φ ]φ da(1.100)V( t)∂ V ( t)σ ( t)ddt∫ ( x,t)dv = ∫ ⎜ + φ vk,k ⎟ dv −∫ [ Uφ]⎛ dφ⎞φ da(1.101)⎝ dt ⎠V( t)V ( t)σ ( t)Bu denklemlerde φ herhangi bir alan büyüklüğü, σ (t)süreksizlik yüzeyi, usüreksizlik yüzeyinin hızı, v sürekli ortamın hızı, U ise süreksizlik yüzeyinin sürekliortama göre bağıl yer değiştirme hızı olup aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:U≡ u − v = ( u − v)⋅ n(1.102)nnİntegral denklemlerde yer alan φ vesüreksizliğini ölçen sıçrama değerleriU φ gibi alan büyüklüklerinin σ üzerindeki−[ ] + + + − − + −φ ≡ φ − φ ve [ φ ] ≡ U φ −Uφ = U ( φ − φ )U (1.103)Şeklinde tanımlanmaktadır. Sık kullanılan operatörlerden biri olan maddesel türevoperatörü,d ∂= + v ⋅ ∇dt ∂tifadesiyle tanımlanarak bir φ fonksiyonu üzerineuygulanışıdφ∂φ∂φ≡ ⋅ φ = + v ⋅ ∇φ= + φ , kv k(1.104)dt ∂t∂tŞeklinde verilir.37

1.6.1. Kütlenin KorunumuKütlenin korunumu, bir maddesel hacmin toplam kütlesinin hareketi sırasındadeğişmediğini ifade eder. Matematiksel olarak bu ilke, ρ ( x,t)yoğunluk fonksiyonuolmak üzere aşağıdaki eşitlikle verilir.dMdtd= ∫ ρ ( x,t)dv = 0(1.105)dtV ( t)(1.101) denkleminde φ yerine yoğunluk fonksiyonu ρ alınarak (1.105) denklemiaşağıdaki gibi elde edilir,ddt∫∫[ ρ + ρ vk, k] dv − [ Uρ] da = 0ρ ( x,t)dv = ∫(1.106)V( t)V ( t)σ ( t)olur. Burada v(t) sürekli ortamın t anında doldurduğu uzay bölgesini, σ(t) ise buortamda hareketli bir süreksizlik yüzeyini göstermektedir. Maddesel türevintanımından faydalanarak ρ nun maddesel türevi,⋅dρ∂ρρ ≡ = +dt ∂tρ ,kv k(1.107)Şeklinde yazılır. (1.107) denkleminde integral altındaki ifadelerin sürekli olduğukabul edilirse, integrandların sıfır olması gerekir. Buna göre süreklilik denklemininyerel formu için,dρv(t) içinde + ρ vk , k= 0dt∂ρveya + ( ρ vk) ,k= 0∂tσ(t) üzerinde; [ ρ ] = 0U (1.108)38

Eşitlikleri elde edilir. Kütlenin korunumu bir parçacığı içine alan bir elemantermaddesel hacim için aşağıdaki gibi yazılabilir.ρ ( X ) dV ( X ) = ρ ( x,t)dv(x,)(1.109)0tDaha önce tanımlandığı gibi dv = JdV ye göre (1.109) denklemi,ρ0(X )ρ ( x,t)= (1.110)J ( x,t)şeklinde ifade edilir. Bu denklemde, ρ 0 (X); referans konumundaki ortamın bilinenyoğunluğudur, J (x,t); jakobyendir. (1.101) denklemindekütlenin korunumundan yararlanarak aşağıdaki ifade elde edilir.φ ≡ ρ ψ alınarak veddt∫v( t )dψρ ψ dv = ∫ ρ dv − ∫Uρψ da(1.111)dtv( t )σ ( t )burada ψ birim kütle başına herhangi bir alan büyüklüğüdür.1.6.2. Lineer Momentum DenkliğiBu ilke herhangi bir maddesel cismin toplam lineer momentumunun zamana göredeğişme hızının, bu cismin üzerine etkiyen toplam kuvvete eşit olduğunu ifade eder.Sürekli ortamın bir dm = ρdv elemanter parçacığının hızı v ise elemanter momentumvdm = ρ vdv ve t anındaki toplam momentum,P(t)=∫v(t)ρ vdv(1.112)olur. Ortamın üzerine etkiyen toplam kuvvet F ise bu ilkeye göre,39

dPdP dF = ise F = =dtdt dt∫v(t)ρ vdv(1.113)eşitliği geçerlidir.Newton mekaniğinin temel varsayımları uyarınca F yalnız cisme etkiyen dışkuvvetlerin toplamını gösterir. Bu kuvvet genellikle iki parçadan oluşur. Bunlardanbiri herhangi bir fiziksel dış alanın madde ile etkileşimi nedeniyle ortamınparçacıklarına etkiyen, ortamda yayılı kütle kuvvetidir. Bu kuvvet cismin birimkütlesi başına f yoğunluğuyla verilebilir. Dış kuvvetlerin diğer parçası ortamınçevresiyle yüzeyi aracılığı ile etkileşiminden kaynaklanan, değme kuvveti türünden,yüzeyinde yayılı yüzey kuvvetlerinden oluşur. Bu kuvvet, birim dış normali nvektörü olan bir alan elemanına birim alanı başına etkiyen t (n) vektörü ile belirlenir.Bu çalışmada sürekli ortam olarak düşünülen, Piezoelektrik özelliği olan ve elastikdavranış gösteren bir malzeme ele alınmıştır. Böylece bir malzemeye etkiyen dışkuvvetlerin toplamını gösteren F tanımlamalardan faydalanılarak,∫E( n)v( t)∂v(t)∫F = ( ρ f + F ) dv + t da(1.114)(1.114) denklemindeki F üç parçadan oluşur. Bunlar; ρ fbirim hacim başına etkiyenmekanik gövdesel (kütlesel) kuvvet.gövdesel kuvvet yoğunluğu olupEF birim hacim başına etkiyen elektrostatikF E = P ⋅ ∇ E(1.115)Şeklindedir (Eringen ve Maugin, 1990). t(n), herhangi bir noktada yönelimi n normalvektörüyle belirlenmiş bir alan elemanına etkiyen gerilme vektörü olup aşağıdakigibi ifade edilir.40

t(n)= n ⋅ t veya t( n)k= nltlk(1.116)Bu durumda lineer momentum denkliği,ddt∫∫∫Eρ v dv = ( ρ f + F ) dv + n ⋅tda(1.117)V( t)v(t)∂V( t)şeklinde yazılabilir. Lineer momentum denkliğinin (1.117) k. bileşeni,ddt∫∫∫ρ v dv = ( ρ f + F ) dv + n t da(1.118)kv( t)v(t)kEkl∂V( t)l kolarak ifade edilir. (1.118) bağıntısının sol tarafındaki ifade (1.111) bağıntısında ψyerine v k alınarak aşağıdaki gibi yazılır,ddt∫[ v ]dvkρ vkdv= ∫ ρ dv − ∫Uρkda(1.119)dtV ( t)v(t)σ ( t)şeklinde yazılabilir. (1.118) denkleminin sağ tarafında yer alan yüzey integrali terimiGreen – Gauss teoreminden faydalanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir.∫ nltlkda = ∫ tlk , ldv +l∂ v( t)v(t)σ ( t)∫n[ t ]l kda(1.120)(1.119) ve (1.120) ifadeleri (1.118) denkleminde yerine yazılıp eşitliğin sağtarafındaki ifadeler sol tarafa geçirilirse aşağıdaki denklem elde edilir.∫v(t)[ n t + ρ v U ] da 0⎡⎤⎢ρv&k− t∫(1.121)⎣Elk , l− ρ fk− Fk⎥ dv −l l k k=⎦ σ ( t)41

(1.121) eşitliğinin sağlanabilmesi için integrandların sıfıra eşit olması gerekir. Budurumda aşağıdaki ifadeler yazılabilir.v(t) içinde;ρk lk , lv&= t + ρ f + FkEkσ(t) üzerinde [ n t + v U ] = 0llkρ (1.122)k(1.122) 1 denklemindeki v& terimi ivme olarak adlandırılır ve maddesel türevintanımından aşağıdaki şekilde ifade edilir.dv∂va = v& = = + v ⋅ ∇ v(1.123)dt ∂t1.6.3. Açısal Momentum DenkliğiBu korunum yasası, herhangi bir maddesel cismin sabit bir noktaya göre açısalmomentumunun zamana göre değişme hızının cisme etkiyen dış kuvvetlerin aynınoktaya göre toplam momentine eşit olduğunu ifade eder. t anında ortamın birelemanter parçacığının sabit O noktasına göre yer vektörü x ise aynı noktaya göreaçısal momentumu, veya momentumunun momenti, x × v dm = ρ x × v dv olur.dolayısıyla O noktasına göre toplam açısal momentum,H= ∫ ( x × v ρ dv(1.124)0)v(t)Şeklinde yazılabilir. O noktasına göre dış kuvvetlerin toplam momenti M0, açısalmomentumun ilkesinden aşağıdaki gibi yazılabilir.dH0dM0= = ∫ ( x × v)ρ dv(1.125)dt dtV ( t)42

Bu çalışmada ele alınan malzeme için, dış kuvvetlerin dağılımına göre M0aşağıdakigibi yazılabilir.E E∫ [ x × ( f + F + C ] dv + ∫M = ρ x × t da(1.126)0)V ( t)∂V( t)( n)(1.126) denklemindekigibi tanımlanır (Eringen ve Maugin, 1990).EC terimi elektrostatik gövdesel kuvvet çifti olup aşağıdakiEC ≡ P × E(1.127)(1.126) denklemindeki t(n)terimi (1.116) denklemleriyle verilen ifadenin aynısıdır.Bu durumda (1.125) ve (1.126) ifadelerinden aşağıdaki denklem yazılabilir.ddt=∫V ( t)E E∫ [ x × ( ρ f + F ) + C ] dv + ∫ρ x × v dv =x × t da (1.128)V ( t)∂V( t)( n)(1.128) denkleminin sol tarafındaki ifade (1.111) denkleminde ψ terimi yerine x × valınarak, aşağıdaki ifade elde edilir.ddt⋅∫ x × v dv = ∫ ρ x × v dv − ∫ρU [ x × v ]ρ da(1.129)V ( t)V( t)σ ( t)(1.128) denkleminin sağ tarafında yer alan ∂ V (t)yüzey integrali Gren-Gaussintegral teoremi yardımıyla hacim integraline dönüştürülüp gerekli işlemleryapıldığında aşağıdaki denklem elde edilir.∫n( εk l pxltrpik) da = ∫( εk r ptrp+ εk l pxltrp.r)r∂v( t)v(t)∫nrσ (t)[ x t ]ε i da(1.130)k l pl r pkikdv+43

(1.129) ve (1.130) denklemleri, (1.128) denkleminde yerine yazılır, sağ taraftakiifadeler sol tarafa geçirilirse, (k) bileşeni cinsinden aşağıdaki ifade elde edilir.∫εv(t)∫σ ( t)k l pk l px ( ρ vll•p− ρ fp− FEP− t[ n t + ρ U ] da = 0rr pp∫Er p, r) dv − ( εk r ptrp+ Ck)V ( t)dv −ε xv (1.131)(1.131) denklemindeki birinci ve üçüncü integraller lineer momentumun yereldenkliğini gösteren (1.122) denklemi gereğince sıfırdır. Dolayısıyla (1.131) denklemiaşağıdaki gibi ifade edilir,∫v(t)Ek( ε t + C ) dv = 0(1.132)k r pr pŞeklinde elde edilir. (1.132) denkleminden açısal momentumun yerel dengedenklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.EkV(t) içinde; ε t + C = 0(1.133)k r pr p(1.127) ifadesindeki vektörel çarpım yapılarakyerine yazıldığındaECkbileşeni (1.133) denklemindeε ( t P E ) = 0(1.134)k r pr p+r pOlduğu görülür. (1.134) denklemindeki permütasyon tansörüε antisimetrikolduğundan eşitliğin sağlanması için aynı denklemin parantez içinde yer alanifadenin ( t + P E ) simetrik olması gerekir. Bu simetrik ifade aşağıdaki gibir prptanımlanmıştır ve simetrik özelliğinden dolayı ileride görüleceği üzere bünyedenklemlerinin bulunmasında kolaylık sağlar (Maugin, 1991)k r p44

t =rp ≡ trp+ PrEpt pr(1.135)(1.135) ifadesindeki PrEpterimi polarizasyon gerilme tansörü olarak adlandırılır veaşağıdaki şekilde ifade edilir (Eringen ve Maugin,1990; Parkus,1979).Et E = P E veya t rp = PrEp(1.136)(1.135) ifadesinden trptansörü çekilirse aşağıdaki ifade elde edilir.trp= t rp − PrEp(1.137)(1.137) ifadesinin r’ ye göre türevi alınırsa aşağıdaki ifade yazılabilir.trp, rt rp,r − ( Pr, rEp+ PrEp,r= (1.138)(1.122) 1 denklemi uygun indis değişimi yapılarak, (1.115) ve (1.138) ifadeleriyerlerine yazılırsa lineer momentumun balansı aşağıdaki şekle indirgenir.V(t) içinde;ρ & E(1.139)v p = ρfp+ t rp, r − Prp,rpBuradat rp, r simetrik bir tansördür. (1.131) denkleminden zıplama şartı olarakaşağıdaki ifade bulunur.σ(t) üzerinde; x [ n t ρ U ν ] = 0ε (1.140)klplrrp+p(1.140) denklemi, (1.122) 2 denklemi ile verilen lineer momentumun korunumundakisıçrama şartı ile aynı olduğundan, denge denklemlerine ilave bir katkı getirmez.45

1.6.4. Enerji DenkliğiBu ilke; herhangi bir maddesel cismin toplam kinetik enerjisi ile toplam iç enerjisinintoplamının zamana göre değişme hızının, cisme etkiyen dış kuvvetlerin gücü ilebirim zamanda cisme giren ya da cisimden çıkan tüm enerjilerin toplamına eşitoluğunu ifade eder. Enerji denkliği matematiksel olarak aşağıdaki eşitlikle verilir.ddt( K + E) = W + Q + ∑U αα(1.141)Bu denklemde yer alan terimler; K kinetik enerji, E cismin iç enerjisi, W cismeetkiyen kuvvetlerin birim zamanda yaptıkları toplam iş, Q birim zamanda cismegiren veya çıkan ısı enerjisi,U αbüyüklükleri ise çeşitli etkileşimler nedeniylecismin birim zamandaki enerji bilançosuna katkıda bulunan elektromagnetik veyakimyasal kaynaklı diğer enerjileri gösterir. Burada toplam kinetik enerji K, elemanter22parçacıkların dm v 2= ρ v dv 2 elemanter kinetik enerjilerinin toplamıdır. Bubüyüklükler sırası ile aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.K =12∫V ( t)2ρ v dv(1.142)W cisme etkiyen kuvvetlerin birim zamandaki toplam işi, başka bir deyişle toplamgücüdür. Dolayısıyla W büyüklüğü,W =∫t∫⋅ v da + ρ f ⋅ v dv(1.143)( n)∂ v(t )v(t)olarak tanımlanır. Q birim zamanda cisme giren, ya da cisimden çıkan ısı enerjisidir.Q iki türlü oluşur. Uygun bir etkileşim mekanizmasıyla, örneğin kimyasal, nükleerreaksiyonlarla ya da elektrik akımıyla cismin içinde ısı enerjisi üretilir veya cisimdenısı enerjisi çekilebilir. Böyle bir enerji birim zamanda cismin birim kütlesi başına h46

üyüklüğü ile belirlenebilir. Radyasyon ve ısı iletimi yoluyla da cismin yüzeyindencisme giren veya cisimden çıkan ısı enerjisi ise q ısı akısı vektörü ile belirlenir. Buvektör doğrultusuna dik olan bir birim alandan birim zamanda geçen ısı enerjisinigösterir. Buna göre,∫∫Q = ( −q⋅ n)da + ρ ( h + h E ) dv(1.144)∂v( t)v(t)yazılabilir. Gerçekten cismin ∂v(t) yüzeyinde bir alan elemanından cisme giren ya dacisimden çıkan ısı enerjisi buradaki ısı akısı vektörünün alan elemanının normalidoğrultusundaki bileşeni ile ölçülür. Zira q vektörünün yüzeye teğet olan bileşenicismin yüzeyini yalayıp geçen, dolayısıyla cismin enerji bilançosuna katkıdabulunmayan bir ısı enerjisine karşı gelir. Toplam ısı enerjisi (1.144) ifadesi iletanımlandığında, n yüzeyin birim dış normalini gösterdiği takdirde q ⋅n > 0olduğunda bu durumun cismin içinden dışına doğru bir enerji akısına karşıgeleceğine dikkat edilmelidir. U α büyüklükleri çeşitli etkileşimler nedeniyle cisminbirim zamandaki enerji bilançosuna katkıda bulunan elektromagnetik, kimyasal gibibaşka kaynaklı enerjileri gösterir ve bu çalışma çerçevesinde bu tür etkileşimler gözönüne alınmayacak. E iç enerji ise, gözlemler ve deneyler cisme etkiyen dışkuvvetlerin yaptığı işin, ısı enerjisinin v.s. yalnız cismin kinetik enerjisinideğiştirmeye harcanmadığını açıkça göstermektedir. Bu farkın, cismin iç enerjisinideğiştirmekte kullanıldığı kabul edilecek. İç enerji varlığı, kabaca, cisminparçacıkları arasında çeşitli etkileşimlerden kaynaklanan iç kuvvetlerin yaptığı işebağlanabilir. Cismin sıcaklığının değişimi iç enerji değişiminin en belirgingöstergesini oluşturur. Cismin iç enerjisi genellikle birim kütlesi başına ε iç enerjiyoğunluğu yardımıyla belirlenebilir,E =∫V (t)ρ ε dv(1.145)∑α∫∫EEUα = ( F ⋅ν) dν+ C ⋅ωdν(1.146)V( t)V ( t)47

İlk defa bu denklemlerde ortaya çıkan büyüklüklerin anlamı aşağıda verilmiştir:ε : birim kütle başına iç enerji yoğunluğuq : birim zamanda ve alanda sistem sınırlarından giren veya çıkan ısı akısı vektörüh : birim kütle başına ısı kaynağıEh : elektrostatik enerji kaynağıω : açısal hız(1.142) - (1.146) eşitlikleri ile verilen ifadeler (1.141) enerji denkleminde yerinekonursa enerji denkliği aşağıdaki formda ortaya çıkar;ddt∫v(t)⎛ 1 2 ⎞ρ⎜ε+ v ⎟dv= ∫⎝ 2 ⎠∫ (( n)⋅ − q ⋅ n )∂v(t)v(t)E EE[ ρ f ⋅ v + ρ ( h + h ) + F ⋅ν+ C ⋅ω] dv +t v da(1.147)(1.111) denkleminde ψ terimi yerinetarafındaki ifade,1 2ε + v alınır ve (1.147) denkleminin sol2ddt∫v(t)⎛ρ⎜ε+⎝12v2⎞⎟dv=⎠∫v(t)⎛ ⎞ ⎡ 1 2 ⎤⎜ & ε + v ⋅ v&⎟dv− ∫ ρ U ⎢ε+ v ⎥ da (1.148)⎝ ⎠ ⎣ 2 ⎦σ ( t)şeklinde elde edilir. (1.148) denklemindeki,&ε ve v&terimleri iç enerji ve hızınmaddesel türevlerini göstermektedir. (1.147) denkleminin sağ tarafındaki ∂v(t)üzerideki yüzey integrali Green – Gauss teoremi yardımıyla hacim integralinedönüştürülerek gerekli işlemler yapılırsa,∫n ( tv − q) da =∫( tk kl l kkl∂V( t)V ( t)∫n [ t v − q ]dakσ ( t)kllk, kvl+ tklvl,k− qk,k) dv +(1.149)48

ifadesi elde edilir. (1.148) ve (1.149) denklemleri (1.147) denkleminde yerineyazılırsa aşağıdaki ifade bulunur.∫v(t )⎡⎢ρ& ε − t⎣σ ( t)kl⎛− ∫ ⎜ ρ U⎝vE E− ρ( h + h ) − C ω ) + v ( ρ v&− t − ρ fEl, k+ qk,kk k l l kl,k l− Fl)ε +12⎤⎥ dv⎦2⎞v + nktklvl− qk⎟ da = 0(1.150)⎠(1.149) denkleminde (1.122) 1 ifadesiyle verilen lineer momentumun korunumudikkate alınarak gerekli sadeleştirme yapıldığında,∫v(t )⋅⎡⎛⎢⎜ρ ε − tk lv⎣⎝+ qE E ⎞⎤− ρ ( h + h − Ckωk⎟⎥ dv⎠ ⎦l, k k , k)⎛ ⎡ 1 2 ⎤⎞− ∫⎜⎟ρU⎢ε+ v + − = 02⎥ nktk lvlqkda(1.151)σ ( t)⎝ ⎣ ⎦⎠İfadesine ulaşılır ve gerekli yerelleştirilme işlemleri sonucunda,E Ev(t) içinde; ρ & ε = tklvl,k− qk,k+ ρ h + ρ h + Ckωk1 2σ(t) üzerinde; ρ U ε + v + nktklvl− qk= 0(1.152)2Denklemleri elde edilir. (1.152) 1 denklemindekiEρ h terimi birim hacim başınaelektrostatik enerji kaynağı olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi ifade edilir.Eρ = & : & t kl d(1.153)EEh E ⋅ P+t d = ElPl+l k(1.153) ifadesi sürekli ortam parçacığı için enerji kaynağı terimi olarak düşünülebilir.Çünkü sürekli ortamlar teorisinde içi alanların katkısı iç-enerji ve gerilme tansörüvasıtasıyla ifade edileceği için, enerji kaynağı terimi olarak sadece maddesel49

noktanın dışında olan faktörlerin katkısı dikkate alınır. Örneğin; parçacığın kapladığıuzay boşluğunda oluşan elektrik alanda depo edilen ( 12ε )20Eh şeklindekielektriksel enerji, iç-enerji (ε ) teriminin içinde olduğu düşünülür. (1.153)denklemindeki P & terimi aşağıdaki tanımla verilir (Eringen ve Maugin, 1990).P & ≡ P&+ P(∇ ⋅ν ) − P ⋅ ∇ν(1.154)(1.153) denklemindeki Et terimi, polarizasyon gerilme tansörü olarak adlandırılmışve (1.136) denklemiyle ifade edilmiştir. (1.153) denklemindeki simetrik bir tansörolan d, şekil değiştirme hızı (genleme hızı) tansörü olarak adlandırılır ve aşağıdakigibidir.1dkl= ( νk , l+ νl,k) = dlk(1.155)2(1.154) ve (1.155) de verilen ifadeler (1.153) denkleminde yerine yazılırsa aşağıdakiifade elde edilir.E1ρ h = E ⋅ P& + E ⋅ Pνk , k− ElPkνl,k+ PkEl( νk , l+ νl,k)(1.156)2Birim kütle başına polarizasyon Π ile gösterilerek aşağıdaki gibi tanımlanmıştır(Eringen ve Maugin, 1990).PΠ ≡(1.157)ρ(1.157) ifadesinden yararlanarak P vektörünün maddeseltürevi ρ•Π= & ρ Π + Π&ρ şeklinde alınıp süreklilik denklemi de göz önünde50

ulundurularak (1.156) ifadesi uygun indis değişiklikleri ve sadeleştirmelerdensonra,E1 1ρ h = ρ E ⋅ Π− & PkElνl,k+ PkElνk , l+ PkElνl,k(1.158)2 2Şeklinde elde edilir. (1.152) 1 denklemindeki C E terimi (1.127) denklemiyletanımlanmıştı. Açısal hız ω terimi de aşağıdaki gibidir.1ω = ∇ ×ν 2(1.159)(1.127) ve (1.159) ifadelerinin sağ tarafında yer alan vektörel çarpım işlemleriyapılarak, (1.152) 1 eşitliğinin sağ tarafında yer alan en son terimgibi elde edilir.EC mω aşağıdakim1 1ω = −(1.160)2 2C Em mPkElVl, kPkElVk, lE(1.152) 1 denklemindeki ρ h + CEm ωmterimi, (1.158) ve (1.160) ifadelerindengerekli sadeleştirmeler yapılarak aşağıdaki gibi bulunur.E Eρ h + C ω = ρ E ⋅ Π&(1.161)(1.161) ifadesi (1.152) 1 denkleminde yerlerine yazıldığında,v(t) içinde; & ε = t v − q + ρ h + ρ E ⋅ Π&(1.162)ρkl l,k k,kŞeklinde yerelleştirilmiş enerji denklemi elde edilir.51

1.6.5. Termodinamiğin ikinci kanunu (Clausius – Duhem Eşitsizliği)Entropi eşitsizliği veya Clausius – Duhem eşitsizliği de denilen bu kanuna göre,serbest cisim içindeki entropinin zamana göre artışı, cisme hacim kaynaklarından veyüzeyden giren entropiden daha büyüktür veya en az ona eşittir. Termodinamiğinikinci kanunu, matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilir.ddtV∫⎡ h ⎛ q ⎞ ⎤ρ η dv − ⎢ ∫ ρ dv − ∫ n ⋅ ⎜ ⎟ da⎥≡ Γ ≥ 0(1.163)⎢⎣θ⎝θ⎠ ⎥⎦( t ) V ( t )∂V( t )(1.163) denkleminin sol tarafındaki ilk terim, (1.111) denkleminde ψ yerine (η )yazılarakddtV∫( t )∫( t )∫σ ( t )[ η ]ρ η dv − ρη& dv − ρ U da(1.164)Vşeklinde elde edilir. (1.163) denkleminde son integral terimi Green – Gaussteoreminden faydalanılarak aşağıdaki şekilde yazılır.⎛ q ⎞ ⎛ q ⎞ ⎡ q ⎤∫ n ⋅ ⎜ ⎟ da = ∫ ∇ ⋅ ⎜ ⎟ dv + ∫ n ⋅ ⎢ ⎥ ⎦v t ⎝ θ ⎠ V ( t ) ⎝ θ∂ ⎠ σ ( t ) ⎣ θ( )da(1.165)(1.164) ve (1.165) denklemleri (1.163) eşitsizliğinde yerlerine yazılırsa aşağıdakiifade elde edilir.∫⎡ h ⎛ q ⎞ ⎤ ⎡q ⎤⎢ρ & η−ρ + ∇ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ dv − ∫ ⎢ ρ U η − n ⋅ ⎥ da ≥ 0 (1.166)⎦( ) ⎣ θ ⎝ θV t⎠ ⎦ σ ( t ) ⎣θ(1.166) denkleminin yerelleştirilmesi sonucunda,52

h 1 1v(t) içinde; ρ & η − ρ + ∇ ⋅ q − q ⋅ ∇θ≡ ρ γ ≥ 02θ θ θn ⋅ qσ(t) üzerinde; ρ U η − ≤ 0(1.167)θdenklemleri elde edilir. Burada ifade edilen denge denklemleri aşağıdaki gibiözetlenerek maddeler halinde yazılabilir.1. Kütlenin Korunumu (1.108) ve (1.110)v(t) içinde;∂ρρ& + ρ v k , k= 0 veya + ( ρ vk), k= 0∂ tσ(t) üzerinde; U ρ = 0ρ0(X )ρ ( x,t)=J ( x,t)(1.168)2. Lineer Momentumun Korunumu (1.122) 2 ve (1.139)v(t) içinde; ρ v&p= ρ fp+ t rp, r − Pr, rEpσ(t) üzerinde; [ v ] 0n tl lk+ ρ U =(1.169)k3. Açısal Momentumun Korunumu (1.133), (1.137) ve (1.140)Ekv(t) içinde; ε t + C = 0 , trp= t rp − PrEpkrp rpσ(t) üzerinde; ε x n t ρ U v = 0(1.170)k l plr r p+p53

4. Enerjinin Korunumu (1.152) 2 ve (1.162)v(t) içinde;& ε = t v − q + ρ h + ρ E ⋅ Π&ρkl l,k k,k1 2σ(t) üzerinde; ρ U ε + v + nktklvl− qk= 0(1.171)25. Entropi Eşitsizliği (1.167)h 1 1v(t) içinde; ρ & η − ρ + ∇ ⋅ q − q ⋅ ∇θ≡ ργ ≥ 02θ θ θn ⋅ qσ(t) üzerinde; ρ U η − ≤ 0(1.172)θ6. Gauss Kanunu (1.98)v(t) içinde; ∇ ⋅ D = 0 , D ε E + P= 0σ(t) üzerinde; n [ D ] = ωf⋅ (1.173)7. Faraday Kanunu (1.99)v(t) içinde; ∇ × E = 0 , E = −∇ϕσ(t) üzerinde; × [ E] = 0n (1.174)Yukarıda liste halinde verilen denge denklemlerinde yer alan ve bilinmeyen olarakgöz önüne alınacak büyüklükler sayılarıyla birlikte aşağıdaki gibi sıralanabilir.ρ ( 1) , ν (3) , t kl (6), q (3), θ (1) , η (1) , E (3) , Π (3), ε (1) (1.175)kkkk54

(1.169) 1 ve (1.171) 1 denklemlerindeki f ve h gibi dış kaynakların bilindiği kabuledilmiştir. (1.175) ifadesinden görüldüğü gibi bilinmeyen sayısı 22 tanedir. Bunakarşılık bu bilinmeyenleri tespit etmek için mevcut olan (1.168) - (1.174)ifadelerinden 1+3+3+1+1+1+3 = 13 tane denklem elde edilebilmektedir. Bilinmeyensayısı, denklem sayısından çok olduğu için ilave denklemlere ihtiyaç duyulmaktadır.İleride görüleceği üzere, aradaki farkı kapatacak olan 9 tane denklemin 6 tanesisimetrik gerilme tansörüne 3 tanesi de polarizasyon vektörüne ait skaler bileşenlerşeklinde ortaya çıkacaktır. Bu denklemler, sürekli ortam olarak kabul edilen, elastikPiezoelektrik bir maddesel cismin karakterini belirleyen bünye denklemleri olacaktır.55

2. KAYNAK ÖZETLERİModern sürekli ortamlar mekaniğine ait temel kavram, aksiyom ve denklemlerçalışmamızın her aşamasında kullanılmıştır. Sürekli ortalar mekaniği alanındaEringen (1967, 1980), ve Şuhubi (1994)’nin kitapları temel kaynaklar olarakkullanılmıştır. Eringen (1967), modern sürekli ortamlar mekaniğinin ana iskeletinioluşturduğu bu eserinde sırasıyla gerinme, hareket, gerilme, sürekli ortamıntermodinamiği, bünye denklemleri ve elastisite teorisi, akışkanların dinamiği vetermoelastisite konularını sistematik bir tarzda işlemiştir. Eringen (1980)’ deyukarıdaki konulardan farklı olarak sürekli ortamların elektrodinamiğini ayrı birbölüm olarak vermiştir. Şuhubi (1994)’nin eseri ise Eringen (1967)’nin paralelindeancak daha detaylı yazılmış ve sürekli ortamlar mekaniği konusunda Türkçeliteratüre kazandırılmış bir başyapıt mahiyetindedir. Sürekli ortamlar mekaniğikonusunda yabancı literatürde çok sayıda yayın bulunmaktadır. Bunlar arasındaJaunzemis (1967), Malvern (1969), Dawson (1976), Spencer (1980),Chandrasekharaih ve Debnath (1994) önemli eserler olarak görülmektedir.Termoelastisite ve uygulamaları konusunda Nowacki (1975)’ nin kitabı büyük birboşluğu doldurmaktadır. Nowacki bu eserinde termoelastisitenin temel denklemlerinioluşturmakta, termoelastik ortamda harmonik dalgalar, peryodik olmayankaynaklardan doğan termoelastik dalgaların yayılması, düzlem termoelastisiteproblemleri, anizotropik ve piezoelektrik cisimlerin termoelastisitesi,magnetotermoelastisite konularını büyük bir titizlikle incelemektedir. Bu kaynaközellikle uygulamalar yönünden oldukça zengindir (Usal, 2001).Singh vd. (2006), yayınlamış olduğu makalesinde, Cr 3+ katkılı basit PZN kristalinindielektrik ve piezoelektrik özelliklerini incelemiştir. %0.5 mol Cr 2 O 3 katkılı PZNkristallerini akış metoduyla üretmiştir. merkezli tekli kristallerin dielektrik vepiezoelektrik özellikleri incelemiş ve sonuçlar saf PZN tekli kristaliylekarşılaştırılmıştır. Kromiyumla birleştirildiğinde dielektrik geçişi ve artıkkutuplaşması ve d 33 değerlerinin düşüş gösterdiğini ve aksi bir durum olan zorlayıcıalanı ile nitelik faktörü (q m ) nin arttığını bulmuştur.56

Zong vd. (2006), yayınlamış olduğu makalesinde Pb 3 O 4 ile kuvvetlendirilmiş PZT-PFW – PMN piezoelektrik seramiğinin yapısına WO 3 ilave edilmesinin etkileri veelektriksel özelliklerini incelemiştir. WO 3 ’ ün yapıya eklenmesiyle hacim yoğunluğuve seramiğin elektriksel özellikleri belirgin oranda değişmiş, Seramiğinyoğunlaşmasını sağlayan likit- sıvı safhası oluşturulmuş ve kırılgan yapı değişmiştir.WO 3 ’ ün aşırı miktardaki karışımında ise dielektrik ve piezoelektrik özellikleri enuygun elektriksel özellikler olarak belirlenmiştir.Erdem vd. (2005), yayınlamış oldukları makalede, keyfi bir fiber ailesi ile takviyeedilmiş viskoelastik ve piezoelektrik bir malzemenin dış çevreden maruz kaldığıelektromekanik yükler karşısında davranışını Sürekli Ortamlar Mekaniği kapsamındasistematik bir şekilde incelemiştir. Cismin matris kısmının viskoelastik vepiezoelektrik anizotropiye sahip olduğu buna ilaveten fiber takviyesi nedeniyle decismin tüm ortam olarak anizotropik bir yapıya sahip olduğunu varsaymıştır. Genelyaklaşım tarzı olarak elastik gerilme ve elektriksel polarizasyon alanlarını, işlemleriçinde tanımlanan bir termodinamik potansiyelden (gerilme potansiyeli) türetmiştir.Gerilme potansiyelinin ve dissipatif gerilme fonksiyonunun analitik olduğunuvarsayarak bağlı oldukları argümanları cinsinden Taylor serisinde açmıştır. Mekaniketkileşimleri lineer, elektriksel etkileşimleri nonlineer olarak kabul etmiş ve bünyedenklemlerindeki fonksiyonları veren kuvvet serilerinin terimlerinin mertebelerinibuna göre tesbit etmiştir. Sonuç olarak ta elde edilen bünye denklemlerini dengedenklemlerinde yerine yazarak alan denklemlerini bulmuştur.Ray vd. (2005), yayınlamış olduğu makalesinde, işlevlerine göre sınıflandırılmıştabakaların, PFRC (Piezoelektrik Fiber takviyeli kompozit) malzemesiylebirleşmesinin statik analizi için sınırlı sonlu eleman modeli türetilmesiyleilgilenmiştir. PFRC malzemesinin katmanı, FG (işlevsel olarak sınıflandırılmış)tabakalarının dağıtımlı aktuatörü (dağıtımına neden olan) olarak görev yaptığınıkabul etmiştir. PFRC katmanındaki piezoelektrik fiber açısı değişkenliğinin FGtabakalarını harekete geçirme kabiliyeti üzerinde önemle durmuştur. Sonlu elamanmodeli (FEM) ile kalın ve ince tabakalar için tam/doğru çözümlerle, katman FG57

tabakasının yüzeyine minimum sertlikte bağlı olduğu zaman, maksimum sertliktebağlı olduğu zamandan daha etkili olduğunu gözlemlemiştir.Yang vd. (2005), “ PZT – PZM – PZN Piezoelektrik seramiğinin yapısı ve elektrikselözelliği ” konulu çalışmasında farklı içeriklere sahip olan Pb(Zr 0.52 Ti 0.48 )O 3 –Pb(Mn 1/3 Sb 2/3 )O 3 – Pb(Zn 1/3 Nb 2/3 )O 3 piezoelektrik seramiğini, erimiş tuz bireşimi ilesentezlemiş, PZN içeriğinin; yapı, mikroyapı, dielektrik ve piezoelektrik özellikleriüzerindeki etkisini detaylı bir şekilde incelemiştir. PZN içeriğinin %2 den %7 yekadar olduğu aralıklarda içerik arttıkça malzemenin tane boyutunun yavaş bir şekildeazaldığını, malzemenin dielektrik ve piezoelektrik özelliklerinin önemli ölçüdedeğiştiğini saptamışlardır.Çalışkan (2002), yapmış olduğu yüksek lisans tezinde piezoelektrik seramikler gibiakıllı yapıların havacılık ve uzay mühendisliğindeki uygulama alanları üzerine birçalışma yapmıştır. Çalışmasında kullandığı akıllı yapılar; düz, sonlu kiriş ve plakgeometrisindeki alüminyum yapılardan ve bunların yüzeylerine yapıştırılan PZT(Lead- Zirconate- Titanate) yamalardan oluşmaktadır. Bu çalışmada öncelikle akıllıkiriş ve plakaların yapısal modellemeleri yapılmış ve elde edilen bu modeller, akıllıelemanların boyut, yerleşim ve piezoelektrik uyarı gerilimi gibi etkileri düşünülerek,akıllı yapıların statik ve dinamik davranışlarının detaylı analizleri için kullanmıştır.Çalışkan, bu tez çalışmasında yapısal modellemeler için ANSYS yazılımındanyararlanarak tasarım ve analiz esnasında sonlu elemanlar yaklaşımı ve deneyselsistem tanımlama tekniklerini kullanmıştır.Gözen (2002), yapmış olduğu yüksek lisans tezinde yüzeyine piezoelektrik malzemeyapıştırılmış bir çubuğu analitik ve nümerik olarak incelemiş ve piezoelektrikkullanımı olarak bir robot eli modeli oluşturmuştur. Bu çalışması yapılarda şekilkontrolünün sağlanması ve dinamik davranışlarının anlaşılması açısından büyükkolaylık sağlamıştır. Her iki yüzeyine simetrik olarak piezoelektrik malzemeyapıştırılmış sonlu bir katılığa sahip yapıştırma katmanı varsayılan çubuğun statik birmodelini oluşturmuş ve kayma gerilmelerin piezoelektrik malzemeden ana yapıyanasıl iletildiğini incelemiştir. Ayrıca çalışmasının ikinci bölümünde akıllı yapılar,58

uyarıcı malzemeler, smart kompozit yapılar ve uyarıcı malzemelerin kıyaslanmasıgibi konularda da bilgi vermiştir.Usal (2001), yapmış olduğu doktora tezinde, tek fiber ailesi ile takviye edilmişviskoelastik ve piezoelektrik özellik taşıyan bir biyolojik yapı elemanının nonlineerdavranışını, modern sürekli ortamlar mekaniği çerçevesinde sistematik olarakincelemiştir. Mekaniğin denge kanunları ile tutarlı olan termodinamiğin birinci veikinci kanunlarının birleştirilmiş şeklini, serbest enerji fonksiyonunun bağımsızdeğişkenleri cinsinden ifade etmiştir. Matris malzemesinin izotrop olma özelliğinidikkate almış, invaryantlar teorisini kullanarak fiber takviyeli, viskoelastik vedielektrik özellikli bir ortamın nonlineer elektromekanik davranışını belirleyen bünyedenklemini elde etmiştir. Daha sonra matris ortamın izotrop olma kısıtlamasını birtarafa bırakarak genel anizotrop bir ortam için simetrik gerilme, polarizasyon alanıve dissipatif gerilme için nonlineer bünye denklemlerini elde etmiştir. Tezindemekanik ve elektromekanik etkileşimleri nonlineer olarak kabul etmiş ve anizotroportamlar için elde ettiği bünye denklemlerinde 5. ve 6. mertebeden malzemetansörlerine ulaşmıştır. Elde ettiği bu ifadelerin pratikte kullanılabilmesi için bünyedenklemlerini lineerleştirmiş ve en sonun da bu denklemleri Cauchy hareketdenklemi ve toplam elektriksel yer değiştirme vektörü ifadesinde yerine yazıp alandenklemine ulaşmıştır. Tüm bunların sonucunda fiber takviyeli viskoelastik vepiezoelektrik özellikler taşıyan ortamların elektro- termomekanik davranışlarınıtemsil eden bünye denklemlerine ait matematiksel bir model oluşturmuştur.Holmes vd. (2000), sensör uygulamaları için yeni piezoelektrik yapılar hakkındailginç araştırmalarda bulunmuşlardır. Bu araştırmalarda piezoelektrik seramikcihazlar helisel bir yay şeklinde sinterlenmiş bir seramik tüp formunda oluşturulmuş,tüpün iç ve dış yüzeyleri üzerine elektrodlar yerleştirilmiştir. Bu yapılar düşük elastikuygunluk ve düşük doğal rezonans frekanslarına sahiptir. Cihazların rezonansfrekanslarını önceden belirleyebilen denklemler geliştirilmiş, bu denklemlerden eldeedilen sonuçların ölçülen değerlerle uyum içerisinde olduğu görülmüştür. İncelenencihazın frekans davranışı belirlenmiş ve klasik elektromagnetik jeofonlarlakıyaslanmıştır. Klasik piezoelektrik sensörler piezoelektrik malzemeden yapılmış59

loklar veya diskler şeklindedir, hidrofonlarda veya ivmeölçerlerde basınçdalgalarının ölçülmesi amacıyla kullanılırlar. Bu incelemenin asıl amacı sensöruygulamaları için seramiklerin kesin şekli veya formu üzerinde bir inceleme yapmakbu formların avantajlarını net bir şekilde belirlemektir. Kullanılan malzeme PZTcinsinden bir piezoelektrik malzemedir.Tauchert vd. (2000), akıllı kompozit yapılarla ilgili termo-piezo-elastisiteteorisindeki gelişmeler hakkında teorik incelemeleri gözden geçirmişlerdir. Piezotermo-elastikortamın lineer davranışını yöneten denklemler belirlenmiş, potansiyelfonksiyonlara dayalı bir genel çözüm prosedürü tanımlanmıştır. Önceden belirlenentermal yükler ve elektriksel potansiyel dağılımlarının sonucunda sensöruygulamalarının sonuçları belirlenmiş kiriş, plak ve kabuk gibi kompozit yapılarınpiezoelektrik tetikleyicilerle nasıl kontrol edileceği anlatılmıştır.Yağcı (1998), yapmış olduğu yüksek lisans tezinde, üzerine piezoelektrik malzemeyapıştırılmış bir kirişin denetimini incelemiştir. Euler-Bernoulli kiriş varsayımınıkullanmış ve kirişleri değişik yapıştırıcı varsayımları kullanarak modellemiştir.Analitik çözüm ile daha önce elde ettiği sayısal çözümler kullanılarak modelleridoğrulamıştır. Algılayıcı ve eyleyici denklemleri statik ve dinamik durumlardadenetlemiştir. Model konusunda daha fazla bilgi sahibi olmak için parametrikçalışmalar yapmış, iki farklı yapıştırma modelini parametrik bir çalışma ilekıyaslamıştır.Ikeda (1990), yaptığı çalışmada piezoelektrik özelliğin temelleri konusunda çokönemli sonuçlara ulaşmıştır. Bu çalışmasında elektrik, mekanik ve termal sistemlerarasındaki etkileşim proseslerini belirlemiş malzemenin piezoelektrik ve piroelektriközelliklerinin nasıl ortaya çıktığını anlatmıştır. Elektromekanik etkileşim vepiezoelektrik bağlantıların termodinamik açıdan incelenmesini sağlamıştır. Kristalsimetri ve fiziksel sabitleri incelemiş, piezoelektrik ortamda sesin yayılımı, mekanikve dielektrik kayıpları ele almıştır. Ayrıca yaptığı bu çalışmada piezoelektrikmalzemeler ve elektromekanik transduserleri detaylı bir şekilde incelemiştir.60

Mindlin (1972), yaptığı çalışmada, elastisite, piezoelektrik özellik ve kristal kafesdinamiği hakkındaki çalışması bu tarihe kadar yapılan çalışmalara bir özet teşkiletmekte ve malzemelerin mikro davranışlarını temsil eden atomik ölçekten makrodüzeyde elastik ve piezoelektrik davranışları temsil eden denklemleri eldeetmektedir. Tiersten (1971), bu alanda yapılan bir başka önemli çalışmaya imzaatmıştır. Çalışmasında termo- elektroelastisitenin nonlineer denklemlerine ulaşmakiçin birisi elektronik yük sürekli ortamı, diğeri ise kafes (maddesel) sürekli ortamıolmak üzere iki sürekli ortam etkileşimini göz önüne almıştır. Bu çalışmasındaelektrostatik gerilme tansörünü çok açık bir şekilde ortaya koymuştur.61

3. MATERYAL VE YÖNTEM3.1. MateryalBu çalışmada, materyal olarak elastik-piezoelektrik bir cisim ele alınmış ve ortamınsıkışabilir olduğu kabul edilmiştir. Elektro-Termomekanik yükleme sonucunda elealınan ortamda ortaya çıkan gerilme ve polarizasyon alanı ifadelerinin hesabınısağlayan bünye ve alan denklemleri çıkartılmıştır. Öncelikle tüm ortamlar içingeçerli olan genel balans denklemleri, Termodinamiğin ikinci prensibi (Clausius –Duhem eşitsizliği), Elektrostatik alanların davranışı, bünye teorisinin aksiyomları veözellikle objektivite, maddesel simetri aksiyomları ve malzemenin simetri grubunailişkin kavramlar bünye denklemlerinin ortaya konulmasında bir yöntem olarakkullanılmıştır.3.1.1. Elastik Piezoelektrik Ortamların TermodinamiğiKısım 1.6’ nın sonunda bahsedildiği gibi denge denklemleri herhangi bir fizikselortam için geçerli olan denklemlerdir. Bu bölümde termodinamiğin birinci ve ikincikanunu birleştirilip, bünye aksiyomları da kullanılarak gerilme, polarizasyon, entropiyoğunluğu, iç enerji ve ısı akısı yoğunluğu tayin edilecektir. Çalışmanın bukısmında, ilk önce yukarıda adı geçen büyüklükler üzerindeki termodinamikkısıtlamaları kullanarak, ortamın fiziksel ve topolojik özellikleri de dikkate alınıpbünye denklemlerine de ait genel formüller çıkarılacak daha sonra da bünyeaksiyomlarının ilgili olanları kullanılarak bu formüller somutlaştırılacaktır.Kısım 1.6’ daki (1.167) 1 ifadesini pratik kullanım bakımından daha yararlı şekillerdeyazmak için, (1.162) ifadesinden ısı kaynağı ( ρ h)çekilir, (1.167) 1 ifadesinde yerineyazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.ρ1 1ργ ≡ − ( & ε −θ & η−E Π&) + t klνl, k− q,≥ 02 kθk(3.1)θθ θ62

Bu ifadedeki entropi yoğunluğunun ve polarizasyonun maddesel türevitermodinamik bir proses içinde kontrol edilemeyeceğinden dolayı bu büyüklüklerintürevini, yukarıda verilen (3.1) ifadesinde kontrol edilebilen θ ve E büyüklüklerineintikal ettirmek için aşağıdaki gibi tanımlanan bir Legendre transformasyonukullanılabilir.ψ ≡ ε −θη− E ⋅ Π veya ψ ≡ ε −θη− ρ−1 E kPk(3.2)Yukarıdaki ifadede ψ , genelleştirilmiş Helmholtz serbest enerjisi adını alır vetermodinamik bakımdan enerjinin kullanılabilir kısmını temsil eder. Daha ileridebelirtileceği gibi, serbest enerji yoğunluğunun hangi büyüklüklere bağlı olduğunumalzemenin bünyesi belirleyecektir.(1.157) tanımıyla verilen (Π)’nin ve (3.2) ifadesindeki (ε ) ’ nun maddesel türevi(3.1) eşitsizliğinde yerine yazılırsa, kontrol edilebilir bağımsız değişkenler cinsindenEntropi eşitsizliği (Termodinamiğin ikinci kanunu) aşağıdaki şeklini alır (Eringen veMaguin, 1990).ρ−11 1ργ ≡ − ( ψ& + & θ η + ρ E&kPk) + tk lνl,k− q,≥ 02 kθ(3.3)kθθ θ(θ ) pozitif değerli olduğundan, (3.3) eşitsizliği (θ ) ile çarpılırsa eşitsizlikdeğişmeyecektir. (3.3) eşitsizliği (θ ) ile çarpılıp gerekli sadeleştirmeler yapıldığındaaşağıdaki eşitsizlik elde edilir.−11 1− ρ ( ψ& + & θ η + ρ E&kPk) + tk lνl,k− qkθ,≥ 0(3.4)kθ θ(3.4) eşitsizliğinde yer alan gerilme tansörü mekanik ve elektrik yüklemelerdenkaynaklanmaktadır ve simetrik değildir. Bu gerilme tansörünün yerine (1.137) ifadesiile verilen gerilme ifadesi yazılırsa, elde edilen yeni entropi eşitsizliği sadece63

simetrik bir gerilme tansörünü ihtiva edeceğinden, simetrik tansörün avantajlarındanyararlanmayı sağlayacaktır. Dolayısıyla (3.4) eşitsizliği aşağıdaki şekilde yazılabilir.1− ρ ( ψ&+ & θη)+ t kl νl, k− PkElνl,k− qkθ,− PkE&k≥ 0(3.5)kθ(3.5) eşitsizliğindeki νl, kterimi hız gradyanı tansörü olarak bilinir ve aşağıdaki gibitanımlanmıştır (Şuhubi, 1994).ν ≡ L veya L ≡ ∇v(3.6)l,kk lHız gradyanı tansörünün transpozu, simetrik olan şekil değiştirme hızı tansörü d ileantisimetrik olan spin tansörü w ’nun toplamı olarak tanımlanmaktadır (Şuhubi,1994).TL ≡ d + dveyaν ≡ d + w(3.7)k,lklkl(3.7) ifadesinin transpozu alınırsa, hız gradyanı tansörü aşağıdaki gibi yazılabilir.L d + dT T= veyal,k= dlk+ wlkν (3.8)(3.6) eşitsizliğindeki t kl νl,kterimi (3.8) ifadesinden, t kl gerilme tansörünün simetrisivewlkspin tansörünün antisimetrisi nedeniyle aşağıdaki gibi elde edilir.kl νl,k kl dkl(3.9)t = t(3.9) ifadesi (3.5) eşitsizliğinde yerine yazılırsa, aşağıdaki eşitlik elde edilir.1− ρ ( ψ&+ & θη)+ t kl dkl− PkElνl, k− qkθ,− PkE&k≥ 0(3.10)kθ64

(1.24) 1 denklemiyle verilen Green deformasyon tansörünün maddesel türevi alınırsa,d kl cinsinden aşağıdaki gibi yazılır.& (3.11)CKL= 2dklxk, Kxl,L(3.11) eşitliğinde bilinen işlemler tekrarlanırsa, d kl simetrik şekil değiştirme hızıtansörüC & KLcinsinden aşağıdaki gibi bulunur.1= &(3.12)2dlkdkl= CKLXK , kXL,l(3.10) eşitsizliğinde; ρ yerine (1.110) ifadesi, ( d lk) yerine de (3.12) ifadesi yazılırve eşitsizlik (J) ile çarpılırsa aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.1− ρ0( ψ&+ θ η)+ J t C&KLXK , kXL,l− JPkElνl,2 kl1J qkθθ&, k− J PkEk≥0k−(3.13)ψ ye bağlı gerilme potansiyeli aşağıdaki gibi tanımlanabilir.Σ ≡ ρ 0ψ(3.14)Σ bundan böyle serbest enerji adı ile anılacaktır. (3.14) deki tanımıyla verilenserbest enerjinin (3.13) de yerine yazılmasıyla eşitsizlik aşağıdaki yeni formunakavuşur.1− ( Σ & + ρ0η & θ ) + J t C&KLXK , kXL,l− JPkElνl,2 kl1J qkθθ&, k− J PkEk≥0k−(3.15)65

Σ ’nın objektif olması istendiğinden, argümanların tümü aşağıdaki (3.16) - (3.17)ifadelerindeki tanımlarla maddesel koordinatlara göre yazılmıştır. Böylece (3.16)ifadesiyle, (3.15) eşitsizliğinde yer alan serbest enerji yoğunluğunun, bu çalışmadaele alınan ortam için hangi argümanlara bağlı olduğu ortaya çıkmıştır.T kl ≡ J XK , kXL , lt kl(3.16)QKJ XK , k≡ q(3.17)kPρ Πk(3.18)ρkΠ ≡ J XK , kPk=0XK , k= ρ0XK , kEKxk, K≡ E(3.19)kθ ≡ (3.20), Kxk , Kθ,k(3.16) - (3.20) tanımlarından aşağıdaki ifadeler yazılabilir.− 1t kl = J xk , Kxl , LT KL(3.21)−1qkJ xk, K= Q(3.22)KPK= J− 1x k , KΠK(3.23)EkXK , k= E(3.24)Kθ = (3.25), kXK , kθ,K(3.15) eşitliğinde, (3.16), (3.20), (3.22), (3.23) ifadeleri kullanılır ve gerekli işlemleryapılırsa aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.66

1 1− ( Σ+ & ρ0η & θ ) + T KL C&KL − θ,KQK− ΠK( xk, Kνl,kEl+ xk,KE&k ) ≥ 0 (3.26)2 θ(3.26) eşitsizliğinde parantez içindeki ifade, xk, Kνl,kterimi, şekil değiştirmegradyanının maddesel türevi dikkate alınarak,•l, kxk , K= νl,K= xl,Kν şeklinde ve•k KE&, k terimi ise indis değişikliği yapılarak xl KE&, l şeklinde, ayrıca xl KEl= E&,Kxşeklinde yazılabileceğinden, (3.26) eşitsizliği maddesel koordinatlardaki bileşenlericinsinden aşağıdaki formda ifade edilir.1 1− ( Σ+ & ρ0η & θ ) + T KL C&KL − θ,KQK− ΠKE&K≥ 0(3.27)2 θ(3.15) eşitliği elektrostatik bir alanın etkisinde bulunan ve elastik bir davranışgösteren termomekanik alanlar için entropi üretiminin genel bir ifadesidir. Bueşitsizliğin kullanılabilmesi için Σ ’nın hangi bağımsız değişkenlere ne şeklide bağlıolduğunun bilinmesi gerekir. Buna göre Σ ’nın argümanlarını seçmek formal olarakbelli bir malzeme seçmek demektir.Bu çalışmada elektro- termomekanik bir alanın etkisinde bulunan, elastik davranışgösteren bir maddesel cisim malzeme olarak seçilmiştir. Seçilen bu malzemeye göreΣ ’ nın argümanları ve bağlı olduğu değişkenler, Eringen (1980) ve Şuhubi (1994)daha genel ve sistematik bir yaklaşım izleyerek tüm bünye fonksiyonları içingeliştirdikleri bünye aksiyomlarını kullanarak bulunacaktır.67

3.1.2. Bünye AksiyomlarıŞimdiye kadar elde ettiğimiz ve sürekli ortamlarda geçerli olan denge denklemleriortamın davranışını belirlememize yetmeyecektir. Bir malzemenin davranışınıbilebilmemiz için o malzemeyi başka malzemelerden ayıran özellikleridenklemimizin içine almamız gerekir. Bir malzemenin fiziksel olarak geçerli bütündavranışlarında etkili olacak tüm özelliklerini yansıtıcı genellikte ilişkilere çoğuzaman gerek yoktur. Malzemenin incelenmek istenen davranışını belirleyen, dahasade ilişkiler yeterli olacaktır. Çeşitli alan büyüklükleri arasında geçerli olan ve gözönüne alınan malzemelerin yapısal özelliklerinden kaynaklanan bağıntılara bünyebağıntıları veya bünye denklemleri adı verilir. Elastik malzemelerin bünye teorileriüzerinde çalışırken yedi adet aksiyomu işleme katacağız. Bu denklemlerin cisimleringözlenen ve de incelenmesi arzu edilen özeliklerini yansıtacak şekilde rasyonel vesistematik olarak üretilmesi ile uğraşan teori de bünye teorisi adını alır. Heraksiyomda olduğu gibi bünye aksiyomları da doğadan elde edilen ilkel izlenimlere verasyonel bir dönüşüm sistemine uyumlu bazı önermelerdir (Şuhubi, 1994).3.1.2.1. Nedensellik (Kozalite) AksiyomuBu aksiyom yalnız termal etkileşimlerin göz önüne alındığı ortamlardagözlemlenebilir yada ölçülebilir kabul edeceğimiz hareket x ( X,t)ile sıcaklıkθ ( X,t)alanlarının bağımsız bünye değişkenler olarak seçilmesi gerektiğini veverilmiş kabul edilecek dış kuvvetlerle ısı kaynağı dışında denklik denklemlerine veentropi eşitsizliğine giren öteki alanların bağımlı bünye değişkenleri olduğunu ifadeeder. Başka bir deyişle bağımlı bünye değişkenleri, bağımsız bünye değişkenleri olanhareket, elektrik alan ve sıcaklığın neden olduğu, yani bu değişkenlerden türeyenbüyüklüklerdir.3.1.2.2. Determinizm AksiyomuBu aksiyom bir sürekli ortamın belli bir parçacığındaki bağımlı bünyedeğişkenlerinin, ya da bundan sonra kullanmayı tercih edeceğimiz deyimle sadece68

ünye değişkenlerinin, ortamın bütün parçacıklarındaki hareket, elektrik alan vesıcaklığın ortamın tüm geçmişinde aldıkları değerler ile belirleneceğini ifade eder.Yani cismin belli bir anda belli bir noktasındaki davranışı bütün parçacıklarının oandan önceki tüm zamanlardaki hareket, elektrik alan ve sıcaklıklarının bilinmesiylekestirilebilmelidir. Buna göre X maddesel noktanın t anındaki gerilme potansiyeli,[ x ( X′, t′), ( X′, t′), E ( X′, ) X]Σ ( X , t ) = Σ θ t′, X ∈ V − ∞ < t′≤ t (3.28)şeklinde olur. Malzemenin hafızası olmadığından[ x ( X′, t ), ( X′, t ), E ( X , X]Σ ( X , t ) = Σ θ ′ t ),(3.29)şeklini alır.3.1.2.3. Eşbulunma AksiyomuBu aksiyom bir malzemenin bünye denklemlerini geliştirirken başlangıçta bütündenklemlerin aynı bağımsız bünye değişkenlerini içermesi gerektiğini ifade eder.3.1.2.4. Uygunluk AksiyomuBu aksiyom her türlü bünye denkleminin sürekli ortamlar mekaniğinin temelilkelerine, yani kütlenin korunumuna, lineer ve açısal momentumun denkliğine,enerji denkliğine ve her bağımsız termodinamik süreç altında entropi eşitsizliğineuyumlu olması gerektiğini ifade eder.3.1.2.5. Objektivite AksiyomuBu aksiyom bünye denklemlerinin uzaysal koordinat takımının her hangi bir rijidhareketi altında form-invaryant kalması gerektiğini, başka bir deyişle bünyefonksiyonellerinin biçiminin objektif olarak eşdeğer hareketler altında değişmedenkaldığını ifade eder. Dolayısıyla birbirlerine göre rijid hareket eden koordinat69

takımlarına yerleşmiş gözlemcilerin ortamın bu bünye denklemlerine göregözlemledikleri ya da ölçtükleri davranışlarının birbirinin aynısı olması gerekir.Burada H (t)uygun bir ortogonal transformasyon matrisi ( H H = H H = I),det H = + 1 , I = birim matris, b(t)= Öteleme matris, t ise zaman orjininin t densabit bir a kayması ile elde edilen zaman dilimidir. Objektif olarak eşdeğer x ve xhareketli,TTx ( X ′,t ) = H ( t ) x(X ′,t ) + b(t ) , t = t − a(3.30)bağıntısı ile tanımlanmaktadır. Skaler değerli gerilme potansiyeli,Σ[ x ( X′, t ), θ ( X′, t ), E ( X′, t ), X ] = Σ [ x ( X′, t ), θ ( X′, t ) , E ( X′, t ), X]veyaΣΣ[ H ( t ) x ( X , t ) + b ( t ) , θ ( X,t ), E ( X,t ), X ][ x ( X′, t ), θ ( X′, t ), E ( X′, t ), X ]⇒(3.31)bağıntısı şeklinde olmak zorundadır.A. Uzaysal koordinatların ötelenmesiBu durum içinH ( t ) = I , b( t ) = −x(X , t ) alınır. Bu değerler (3.30) de yerineyazılırsa,x ( X′ , t ) = x(X′, t ) − x(X,t)(3.32)elde edilir. (3.32) denklemini (3.31) de yerine yazarsak gerilme potansiyeli aşağıdakişekilde olur.[ x ( X′, t ) − x ( X , t ), ( X′, t ) , E ( X , X ]Σ ( X , t ) = Σθ ′ t ),(3.33)70

B. Uzaysal koordinatların rijid dönmesiBu durum için b = 0 , a = 0 , H ( t ) : keyfi olarak alınır. Bu değerler (3.30) de yerineyazılırsa,x ( X′ , t ) = H ( t ) x ( X ′,t )(3.34)elde edilir. (3.34) denklemi (3.31) ifadesinde yerine yazılırsa gerilme potansiyeliaşağıdaki şekilde elde edilir.[ H ( t ) x ( X′, t ) , ( X′, t ) , E ( X , X]Σ ( X , t ) = Σθ ′ t ),(3.35)3.1.2.6. Maddesel Simetri AksiyomuBir sürekli ortamın bir parçacığına bağlı fiziksel özellikler o maddesel noktadangeçen doğrultulara bağlı değilse ve bu özellik ortamın bütün parçacıkları için geçerliise ortam izotroptur. Fiziksel özellikler doğrultuya göre değişiyorsa anizotroptur.Ortamın fiziksel özellikleri parçacıktan parçacığa değişmiyorsa ortam homojendir,değişiyorsa heterojendir. Bu durumda bünye denklemleri, maddesel koordinatsisteminin B kadar ötelenmesi ve H ortogonal transformasyonuna göre forminvaryanttır.X ′ = H X + B(3.36)Bu ifade (3.33) ifadesinde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.[ x ( H X + B ) − x ( X,t ) , ( X′, t ) , E ( X , X ]Σ ( X , t ) = Σθ ′ t ), (3.37)71

3.1.2.7. Yöresellik aksiyomuX noktasındaki bağımlı bünye değişkenlerinin ( t ,q,ε , η ) değerinin ancak oparçacığın yakın yöresindeki bağımsız bünye değişkenlerinden ( x , θ ) etkileneceğiniifade eder. Bir bakıma ortamı oluşturan parçacıklar arasındaki etkileşimlerin kısaerişimli olduğu anlamına gelir. Matematiksel bir yapı kazanabilmesi için ortamınX noktası civarındaki hareketi Taylor serisinde açarsak,E ( XkK'', t ) = x ( X , t ) + x ( X , t )( X − X ) +k1 'Kk , K K K K'xk , KL( XK, t )( XK− XK)( XL− XL) + ...(3.38)2şeklinde yazılabilir.(3.38) ifadesinin ilk iki teriminin alınmasıyla oluşan malzemeye basit termomekanikmalzemeler denir (Eringen, 1980). Yöresellik aksiyomuna göre Σ nın argümanlarınaolan bağımlılığıX ′KveXKarasındaki mesafe arttıkça hızla sönümlenmektedir.′xk( XK, t ) − xk( XK, t ) = xk, K( XK, t )( X ′K− XK)(3.39)Buna göre gerilme potansiyeli indeks notasyonuyla yazılırsa,Σ X , t ) = Σ[x ( X , t ) , E ( X , t) , θ ( X , t ) , X ](3.40)(k , K K K KK Kşeklini alır.Objektivite aksiyomu, (3.40) ifadesine bir kısıtlama daha getirir. Bu kısıtlamaya göregerilme potansiyeli, deforme olmuş malzemenin rijit hareketleri altında invaryantkalmalıdır. Bu durumda, uzaysal koordinat sisteminin zamana bağlıtransformasyonları altında, Σ ’nın invaryant kalması gerekir. Cauchy teoremine görebu şartın sağlanması ve Σ ’nın ilk argümanının tek değerli bir fonksiyonu olabilmesi72

içinx, K= xk, Kikya olan bağımlılığı,, Kx vektörlerinin aşağıda belirtildiği gibi ikişerikişer skaler ve üçlü karışık çarpımlarına bağımlılığı şeklinde olması demektir(Şuhubi, 1994).x = C(3.41), K.x , LKLx, K. x,L× x,M(3.42)(3.40) ifadesindeki diğer argümanlar, maddesel koordinatlarda ifade edildiğindenCauchy teoremi bu argümanlar için söz konusu değildir ve bu argümanlar aynenyerinde kalır. (3.41) ifadesi Green deformasyon tansörünün tanımıdır ve (3.35)ifadesi ile verilmiştir (Şuhubi, 1994). (3.42) ifadesi ise deformasyon gradyanınındeterminantını tanımlamakta olup (1.6) ve (1.168) denklemlerinde gösterildiği gibiaşağıdaki gibi ifade edilir (Şuhubi, 1994).ρ 1( )ε ερ ( X,t ) 3!0J ≡ d et X = =KLM klmxk, Kxl, Lxm, M(3.43)(1.24) 1 ve (3.43) ifadesinden faydalanarak (3.40) ifadesi aşağıdaki şekilde yazılabilir.−1[ C ( X,t ), ρ ( X,t ), X , θ ( X , t ), E ( X , t)]Σ ( X,t ) = Σ(3.44)KLKKKTutarlılık aksiyomuna göre, daha önce kütlenin korunumu yasasınıρ0J = = d et C KLρ ( X,t )şeklinde belirtmiştir, (3.44) ifadesinde de CKLnin mevcut−1olması nedeniyle ρ değişkenler listesinden çıkartılabilir.Bu durumda mekanik bir yüklemeye maruz, elastik-piezoelektrik bir ortamın gerilmepotansiyelinin hangi argümanlara bağlı olduğu aşağıdaki denklem ile ortayaçıkmıştır.73

[ C ( X , t ), E ( X , t),X , θ ( X , ) ]Σ ( X , t ) = Σt(3.45)KKLKKKKKBu eşitsizliğin bağımsız değişkenlerinin değişiminin bir lineer kombinezonu olarakifade edebilmek için Σ ’nın (3.45) ifadesiyle belirtilen argümanların maddeseltürevinin bilinmesi gerekir. Malzemelerin homojen olduğu kabul edilerek (3.45)ifadesine verilen Σ ‘nın bağlı olduğu argümanlardan X kaldırılır. (3.45) ifadesininmaddesel türevini alırsak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.& ∂Σ & ∂Σ & ∂Σ=C + + &KLEKθ∂C∂E∂ΣθKLK(3.46)Bu ifadeyi (3.27) eşitliğinde yerine yazarsak aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.1( T2KL− 2∂ Σ∂ CKL1 ∂ Σ∂Σ) C& KL− ρ0( η + ) & θ − ( ΠK+ ) E&K≥ 0 (3.47)ρ ∂θ∂E0K(3.47) ifadesiyle verilen Entropi eşitsizliğindeki termodinamik proses, aşağıdaki gibibir sütun vektörüyle gösterilebilir.⎡C&⎤KL⎢ ⎥S = ⎢E&K ⎥(3.48)⎢ ⎥⎣& θ ⎦(3.48) ifadesiyle verilen sütun vektör, elastik ve piezoelektrik bir malzeme içintermodinamik prosesi temsil eden keyfi bir vektör olarak düşünülmüştür.(3.47) eşitsizliğindeki argümanları, sağdan başlayarak θ ’ yı & θ şeklinde CKL’yi C &KLşeklindeEK’ yıE & Kşeklinde keyfi olarak değiştirebileceğimizden (3.47)eşitsizliğinin sağlanabilmesi için θ & ’ nınC & KL’ nın katsayıları sıfır olacaktır. C & KL’nın E & K’ nın & θ ’ nın katsayıları sıfıra eşitlenecek aşağıdaki ifadeler elde edilir(Şuhubi, 1994).74

TKL∂ Σ= 2 (3.49)∂ CKL1 ∂ Ση = −ρ ∂θ0(3.50)∂ΣΠK= −(3.51)∂EKQ = 0(3.52)Kelde edilir.Diğer taraftan bünye denklemlerinden olan iç enerji (ε ) ; (3.2) ve (3.14)ifadelerinden aşağıdaki gibi yazılabilir.1 −1ε = Σ + θη + ρ E kP k(3.53)ρ0Bu ifade10ρ parantezine alınırsa, )1ε = ( Σ + ρ0θη+ EKΠK(3.54)ρ0ifadesi elde edilir. Bu ifadede η ve ΠKterimi yerine (3.50) ve (3.51) ifadesi yerineyazılırsa, iç enerji (ε ) aşağıdaki formda ortaya çıkar.1ε =ρ0⎛ ∂Σ⎜ Σ −θ− E⎝ ∂θK∂Σ∂EK⎞⎟⎠(3.55)75

Maddesel koordinatlarda ifade edilmiş olan simetrik gerilme tansörü, (3.21) gözönüne alınarak uzaysal koordinatlarda aşağıdaki gibi yazılabilir.−1tklJ TKLxk, Kxl,L= (3.56)Bu ifadede, kütlenin korunumuJ−1ρ=ρ0tarzında kullanılır ve T KLterimi yerine(3.49) de ifadesi yazılırsa simetrik gerilme tansörü aşağıdaki tarzda yazılır.ρ ⎛ ∂Σ⎜2ρ0⎝ ∂Ctkl= xk, Kxl,LKL⎞⎟⎠(3.57)Benzer işlemler (3.23) ile verilen polarizasyon bünye denklemleri ilegerçekleştirilirse,∂Σ−1Pk= −Jxk, K∂EK(3.58)İfadesi elde edilir.(1.137) ifadesi ile verilen asimetrik gerilme tansörü t klyukarıdaki listede doğalolarak gözükmemektedir. Bütünlüğü sağlamak amacıyla bu gerilme ifadesinde yeralan simetrik gerilme polarizasyon terimleri (3.58) ve (3.57) de verilen formlar ileyerine yazılırsa,tkl= t kl − PkEl(3.59)İfadesi elde edilir. Bu ifade asimetrik gerilmenin uzaysal koordinatlardaki formudur.(3.59) denkleminin maddesel koordinatlardaki formu aşağıdaki gibi elde edilmiştir.T (3.60)−1KL= T KL − ΠKXM , lXL,lEM= TKL− ΠKEMCML76

Bu durumda asimetrik gerilmenin hesaplanması için; simetrik gerilme vepolarizasyon alanına ait bünye denklemlerinin bulunması gerekmektedir. Simetrikgerilme ve polarizasyon alanının serbest enerji fonksiyonu Σ ’ ya bağlı olduğu(3.49) ve (3.51) denkleminde açıkça görülmektedir.Bu aşamada, incelenen malzemenin uymak zorunda kaldığı maddesel simetrikısıtlamalarından bahsetmek uygun olacaktır. I , tercihli doğrultulara karşılık gelenbir maddesel koordinat takımını yeni bir maddesel koordinat takımına dönüştüren veyapının fiziksel özelliklerini invaryant bırakan ortogonal matrislerden oluşmuş sonlubir grup olsun. Bu gruba incelenen kristal yapının simetri grubu denir ve ortogonalgrubun bir alt grubunu oluşturur, dolayısıyla I ⊆ O(3)yazılabilir. Simetri grubu tamortogonal gruba eşitse malzeme izotroptur. I simetri grubunun üyesi olan ve sonlusayıda S ∈ Imatrislerinden oluşmuş bir simetri grubu dikkate alındığında, bünye=fonksiyonellerinin aşağıdaki koordinat dönüşümleri altında şeklen değişmez kalmasıgerektiği görülmekledir (Şuhubi, 1994).X = S'KKLXL,X = S X = SLTLK'KKLX'KS=−1= S=T∀S ∈I(3.61)=(3.61) ile verilen maddesel simetri kısıtlaması, Σ = Σ( C , E , θ ) bünyefonksiyonellerini aşağıdaki gibi ifade etmeyi gerektirir.''Σ ' = Σ ⇒ Σ ( C , E , θ ) = Σ ( C , E , θ )(3.62)77

Bu bünye fonksiyonellerinin argümanları ise (3.61) ile verilen dönüşüm dikkatealınarak aşağıdaki gibi yazılır.C = S S C ⇒ C = S C S'KLKMLNMN'T'E K = S E ⇒ E = S EKMM'(3.63)(3.63) de verilen ifadeler (3.62) bünye fonksiyonellerinde yerine yazıldığındaaşağıdaki ifadeler elde edilir.TΣ ( SCS , S,E , θ ) = Σ ( C , E , θ )(3.64)Bu çalışmada incelenen malzeme anizotroptur. Bu sebepten anizotropik yapıyı temsiletmek için bünye fonksiyonellerinin seri açılımı yapılacaktır.78

3.2. YöntemBu çalışmada, tüm ortamlar için geçerli olan genel balans denklemleri,Termodinamiğin 2. prensibi (Clausius-Duhem eşitsizliği ), Elektrostatik alanlarındavranışı, bünye teorisinin aksiyomları ve özellikle objektivite, maddesel simetriaksiyomları ve malzemenin simetri grubuna ilişkin kavramlar kaçınılmaz bir yöntemolarak kullanılmıştır. Ele alınan malzemenin piezoelektrik özelliğinden dolayıanizotrop bir ortam olduğu düşünülmüştür. Anizotrop bir ortamda bünyefonksiyonelinin (gerilme potansiyeli) açık formunun elde edilmesi için yaklaşıkteorilerden faydalanılacaktır. Yaklaşık teoriler elde etmede en sistematik yaklaşım;ortamın referans konumunu doğal durumu olarak seçmek ve bu durumda E=0 olduğuiçin gerilme potansiyelini doğal durum etrafında genleme tansörünün bileşenlericinsinden bir MacLaurin serisine açmaktır. Lastik gibi bazı elastomerler dışındakikatı cisimlerin çoğu ancak çok küçük genlemeler için elastik davranışgösterdiklerinden böyle bir serinin ilk birkaç mertebeden terimi ile yetinmekgenellikle yeterli olur. Seri açılımıyla ortaya konulan gerilme potansiyeli, bünyedenklemlerinde yerlerine yazılıp, deformasyon tansörüne ve elektrik alan vektörünegöre türevi alınarak gerilme ve polarizasyon alanı denklemleri non-lineer formdaelde edilecektir. Elde edilen bünye denklemleriyle problem çözmek zor olacağındandolayı bünye denklemleri lineerleştirilmesi gerekmektedir. Lineer teoriyi elde etmekiçin yer değiştirmeler, yer değiştirme gradyanları ve genleme hızları çok küçük kabuledilir. Elde edilen lineer bünye denklemleri balans denklemlerinde yerlerinekonularak alan denklemlerine ulaşılacaktır.3.2.1. Anizotropik Ortamlarda Simetrik Gerilme ve Polarizasyonun BünyeDenklemlerinin TayiniBu çalışmada ele alınan malzemenin Piezoelektrik özelliğinden dolayı genel anlamdaanizotrop olduğu düşünülmüştür. Bu kısımda simetrik gerilme ve polarizasyon içinbünye denklemleri bulunacaktır. Bunun için bir yaklaşım olarak; ortamın referanskonumu doğal durum olarak seçilip gerilme potansiyeli bu doğal durum etrafında,79

ağlı olduğu argümanların bileşenleri cinsinden bir kuvvet serisine açılarak gerilmepotansiyeline bağlı olan simetrik gerilme ve polarizasyon alanı hesaplanabilir.C tansörü, E tansörü cinsindenaşağıdaki ifade geçerlidir.C = δ + 2Eşeklinde ifade edilebildiğindenKLKLKLΣ = Σ ( E KL, E K, θ )(3.65)∂Σ ∂Σ2 =(3.66)∂C∂KLE KLEKLve EKmaddesel koordinatlara bağlı olduğundan, koordinat dönüşümlerinden buterimler etkilenir. Dolayısıyla notasyon kolaylığı sağlamak için Σ ’ nın θ ya olanbağımlılığı gösterilmeyecektir. Buna göre (3.65) ifadesi, aşağıdaki gibi yazılabilir.Σ = Σ E KL, E )(3.67)(K(3.67) fonksiyonu E , E cinsinden analitik kabul edilerek E = 0 , E = 0 civarında birTaylor serisine açılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.Σ ( EKL, EQ∂Σ) = Σ (0,0) +∂EKL0EKL∂Σ+∂EQ0EQ⎪⎧21 ∂ Σ⎨2! ⎪⎩∂EKL∂E2∂ Σ+∂E∂E∂+∂EΣ∂E2+ EKLEMNEQENEKLEQMN 0Q N0KL Q01 ⎪⎧⎨3! ∂E⎪⎩3∂ Σ∂E∂E3∂ Σ∂E∂E+ EKLEMNESQ+EQENESKL MN SQ∂E0Q N S0⎪⎫⎬⎪⎭3∂ Σ∂E3∂ Σ∂E∂E+ EKLEMNEQ+EKLEQEN∂EKLMN∂EQ∂E0KL Q N0⎪⎫⎬⎪⎭(3.68)80

(3.68) seri açılımındaki kısmi türevler, X parçacığına ve sabit θ bağlı birer katsayıolduklarından,Σ( E , E ) = Σ0(θ , X ) + Σ ( θ,X ) E + β ( θ , X ) EKLQKLKLQQ+12Σ1Σ3KLMNKLMNSQ1( θ , X ) EKLEMN+ βQN( θ , X ) EQEN+ λKLQ( θ , X ) E21( θ,X ) EKLEMNESQ+ βQNS( θ,X ) EQE3~1λKLMNQ( θ,X ) EKLEMNEQ+ λKLQN( θ,X ) EKLEQEN(3.69)2~~NES+KLEQ+İfadesi yazılabilir. Ortam homojen olduğunda (3.69) ifadesindeki katsayıfonksiyonlarının X ’e olan bağımlılığı kalkar. Bundan böyle katsayı fonksiyonlarınınargümanları yazılmayacaktır. (3.68) ve (3.69) ifadelerinden bu katsayılar aşağıdakigibi tanımlanır.Σ0≡ Σ(0,0)ΣKL≡∂Σ∂EKL0∂Σβ0≡∂E Q0ΣKLMN2∂ Σ≡∂E ∂EKLMN0βQN2∂ Σ≡∂E ∂EQN081

λKLQ≡122∂ Σ∂E ∂EKLQ0ΣKLMNSQ≡12∂EKL3∂ Σ∂E∂EMNSQ0βQNS≡163∂ Σ∂E∂E∂EQNS0λKLMNQ≡13∂EKL3∂ Σ∂EMN∂EQ031 ∂ ΣλKLQN≡(3.70)6 ∂E∂E∂EKLQN0E tansörünün simetrisi ve (3.70) ifadesindeki tanımlarda türevlerin sıraya bağlıolmaması nedeniyle, bu katsayılar aşağıda verilen simetri özelliklerini taşır.ΣKL= Σ LKΣKLMN= ΣLKMN= ΣKLNM= ΣMNKLβQN= β NQλKLQ= λ LKQΣKLMNSQ= ΣLKMNSQ= ΣKLNMSQ= ΣMNKLSQ= ΣKLSQMN= ΣSQMNKLβ = β = β = βQNSNQSQSNSNQ82

λ = λ = λ = λKLMNQLKMNQKLNMQMNKLQλ = λ = λ(3.71)KLQNLKQNKLNQ(3.66) ve (3.49) denklemine göreTPR∂Σ= (3.72)∂EPRŞeklinde tanımlanabilir.(3.72) denklemindeki∂Σ∂E PRterimi, (3.69) denkleminden aşağıdaki gibi hesaplanır.∂Σ∂EPR= ΣPR+1( Σ2PRMNEMN+ ΣKLPREKL) + λPRQEQ+1(ΣPRMNSQEMNESQ+ ΣKLPRSQEKLESQ+ ΣKLMNPREKLEMN) +31( λPRMNQEMNEQ+ λKLPRQEKLEQ) + λ2PRQNEQEN(3.73)(3.73) denklemindeki Katsayıların indisleri uygun şekilde değiştirilir, (3.71)ifadesiyle verilen simetri özellikleri de dikkate alınırsa, (3.73) ifadesi aşağıdaki gibiyazılır.∂Σ∂EPR= ΣPR+ ΣPRMNEMN+ λPRQEQ+ ΣPRMNSQEMNESQ+λ E E + λ E E(3.74)PRMNQMNQPRQNQN83

(3.74) bağıntısı (3.72) denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.T PR = ΣPR+ ΣPRMNEMN+ λPRQEQ+ ΣPRMNSQEMNESQ+λ E E + λ E E(3.75)PRMNQMNQPRQNQNE = 0 doğal durumda, ortamın gerilmesiz olduğu kabul edilirse Σ PR= 0 sonucunavarılır. Buna göre, (3.75) denklemi aşağıdaki gibi yazılır ve elde edilen denklempiezoelektrik anizotrop bir ortamda gerilmenin bünye denklemidir.T PR = ΣPRMNEMN+ λPRQEQ+ ΣPRMNSQEMNESQ+λ E E + λ E E(3.76)PRMNQMNQPRQNQN(3.1) kısmında polarizasyon alanı (3.51) ifadesiyle aşağıdaki gibi verilmişti.∂ΣΠR= −(3.77)∂ER∂Σ∂E Rterimi, (3.69) denkleminden aşağıdaki gibi hesaplanır.∂Σ∂ER1( β31= βR+ ( βRNEN+ βQREQ) + λ2RNSENESKLRE+ β E E + β E E ) +QRSQSQNR1λKLMNREKLEMN+ λKLRNEKLEN+ λ2QNKLQREKLKLE+Q(3.78)(3.78) denklemindeki katsayıların indisleri uygun şekilde değiştirilir. (3.71)ifadesiyle verilen simetri şartları göz önüne alınarak (3.78) ifadesi aşağıdaki gibiyazılabilir.84

∂Σ∂ER= β + βRRQEQ+ λKLREKL+ βRQNE1λKLMNREKLEMN+ 2λKLQREKLEQ(3.79)2QEN+(3.79) ifadesi (3.77) denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.ΠR= −{ β + β E + λ E + β E E +RRQQKLRKLRQNQN1λKLMNREKLE2λ2MN+KLQREKLEQ⎫⎬⎭(3.80)E = 0 doğal durumda, ortamda polarizasyon olmadığı kabul edilirse β = 0sonucuna varılır. Bu durumda mekanik ve elektromekanik etkileşimler nonlineerkabul edilerek anizotropik özellik taşıyan ortamlarda polarizasyon alanı aşağıdakişekilde ifade edilmiştir.RΠR= − [ β E + λ E + β E E +RQQKLRKLRQNQN1λKLMNREKLEMN+ 2λKLQREKLE(3.81)2Q](3.76) ve (3.81) denklemleri piezoelektrik bir anizotrop ortamda, ortamın sıkışabilirkabul edildiği, mekanik ve elektriksel etkileşimlerin nonlineer kabul edildiğidurumda polarizasyon alanının ve gerilmenin maddesel bünye denklemleridir.Polarizasyon alanının bünye denklemini veren (3.81) ifadesine dikkat edilirse, buçalışmada mekanik ve elektriksel etkileşimler ile ilgili yapılan kabuller altındaelektrik alanının, genleme tansörünün, elektrik alanının ikinci dereceden terimlerinin,genleme tansörü ile elektrik alan vektörünün birlikte etkileşiminin polarizasyonalanının oluşumuna katkıda bulundukları görülmektedir. Eğer mekanik ve elektrikseletkileşimler lineer kabul edilirse, (3.81) ifadesinin ilk iki terimi dışında kalan terimlerortadan kalkar. Ortamın sıkışabilir, mekanik ve elektriksel etkileşimlerin nonlineerkabul edildiği piezoelektrik bir anizotrop ortamlarda simetrik gerilmenin bünyedenklemini veren (3.76) ifadesine dikkat edilirse ilk terim genleme tansörünün, ikinci85

terim elektrik alandan kaynaklanan elektrostriktif etkinin, üçüncü terim genlemetansörünün nonlineer etkisinin, dördüncü terim genleme tansörü ile elektrik alanınınbirlikte etkileşiminin ve son terim ise elektrik alanın nonlineer etkisinin simetrikgerilmeye olan katkılarını ifade etmektedir. Buna göre, (3.76) ve (3.81)ifadelerindeki terimler bu çalışmada söz konusu kabuller altında ortaya çıkmış olupözel hallerde bilinen klasik ifadelere indirgenmektedir. Oluşturulan bu matematikselmodel polarizasyon alanı ve simetrik gerilme bünye denkleminin maddeselkoordinatlardaki ifadeleridir.86

4. ARAŞTIRMA BULGULARI4.1. Asimetrik Gerilmenin TayiniBu kısımda, ele alınan malzemede ortaya çıkan asimetrik gerilme tansörü hemmaddesel hem de uzaysal koordinatlarda bulunacaktır. Asimetrik gerilme tansörü(3.61) ifadesiyle aşağıdaki gibi verilmişti.T (4.1)−1PR= T PR − ΠPEMCMR(3.75) ile verilen simetrik gerilme denklemi ile (3.80) ifadesiyle verilen polarizasyonalanı denklemi, (4.1) denkleminde yerine yazılırsa asimetrik gerilme aşağıdaki gibielde edilir.TPR= ΣPRMNEMN+ λPRQEQ+ λPRMNQEMNEQ+ λPRQNEQEN+ΣβPRMNSQRQNEQEEMNNEEMSQC+ βRQEQ1+ λ2EMC+ λEEC−1−1MR KLR KL M MREEEC−1−1MR KLMNR KL MN M MR2λ E E E C(4.2)KLQRKLQM−1MR++(4.2) ifadesi mekanik etkileşimlerin ve elektriksel etkileşimlerin nonlineer kabuledildiği durumda ele alınan malzemede ortaya çıkan asimetrik gerilmenin maddeselkoordinatlardaki bünye denklemidir.4.2. Yarı -Lineer teoriŞekil değiştirmeler, x ) , yer değiştirme gradyanları, U ) ve çok küçük kabul(k ,K(K ,Ledildiği takdirde (3.76), (3.81) denklemleri ile verilen polarizasyon alanı ve simetrikgerilme belli ölçülerde lineerleştirilebilir. Lineer Teoriyi elde etmek için ortam şekildeğiştirdiğinde oluşan genleme tansörünün;87

E

~ 1+2( u u )ekl≅ ek, l=k , l l , k1& ~ & + &2( u&u )dkl≅ ekl≅ ek, l=k , l l,k~λ λ ~1λ λ2( u + u )EKL≅ EKL≡kK lLekl=kK lL k , l l,k& ~ 1λ λ & λ λ &2+( u&u )EKL≡kK lLekl=kK lL k , l l,kxp,Pxr,REK= xp,Pxr,Rxk, KEK≡ λpPλrRλkKEk−1J = ( 1− u k ,k)(4.7)Şeklindedir (Şuhubi, 1994).Simetrik gerilmenin polarizasyon alanının lineer bünye denklemleri (4.4) ve (4.5)ifadeleri ile maddesel formda elde edilmiştir. Bu lineer bünye denklemlerini uzaysalformda elde etmek için kısım 3.1.1 de verilen aşağıdaki ifadelerden yararlanılır.−1tpr= J xp,Pxr,RTPRPr= J− 1x r , RΠRtpr= t − P E(4.8)prpr(4.7) 8 denklemine göre (4.8) 1-2 denklemi tekrar yazılırsatpr( 1−uk, k) xp,Pxr,R= T(4.9)PR89

Pr= 1−um, m) xr,R( Π(4.10)RŞeklinde ifade edilir.yazılır. (4.4) denklemi ile (4.7) ifadeleri kullanılarak (4.9) ifadesi,tpr= ( 1−ukk[ λpPλrRλmMλnNΣPRMNe~,)mn+ λpPλrRλqQλPRQEq+λ λ λ λ λ E E(4.11)pPrRqQnNPRQNqn]Şeklinde bulunur. (4.12) ifadesi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.tprk k[ Σ e + λ E + λ E E ]= ( 1−u ) ~,(4.12)prmnmnprqqprqnqn(4.12) denklemindeki Σprmn,prqλ uzaysal malzeme tansörleri, ΣPRMN, λPRQtansörleriile aynı simetri özelliklerini taşır ve (4.11) ifadesinden aşağıdaki gibi tanımlanır.Σprmn≡λpPλrRλmMλnNΣPRMNλ ≡ λprqpPλrRλqQλPRQλ ≡ λ λ λ λ λ(4.13)prqnpPrRqQnNPRQN(4.5) denklemi, (4.10) ifadesinde yerine yazılır (4.7) ifadeleri de kullanılırsa, uzaysalpolarizasyon alanının lineer bünye denklemi aşağıdaki gibi bulunur.P −( 1−u )( E +e~,λ λ β λ λ λ λ +r=m m rR qQ RQ q kK lL rR KLR klkKlLqQrRKLQRklq)2λ λ λ λ λ e ~ E(4.14)90

(4.14) ifadesi aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir.rk k( β E + λ e~+ 2 e E )P = −( 1−u )~,λ(4.15)rqqklrklklqrkq(4.15) denklemindeki βrq, λklr, λklqruzaysal malzeme tansörleri, βRQ, λKLR, λKLQRtansörleri ile aynı simetri özelliklerini taşır ve (4.14) denkleminden aşağıdaki gibitanımlanır.β ≡ λrqrRλqQβRQλ ≡ λklrkKλlLλrRλKLRλ ≡ λ λ λ λ λ(4.16)kqlrkKlLqQrRRKLQ(4.12) ifadesindeki Σprmn(4.15) ifadesindeki λklrve λklqrkatsayılarıΣprmn= Σ prnmλklr= λ lkrλklqr= λ lkqr(4.17)Bu durumda (4.12) ve (4.15) bünye denklemleri, yer değiştirme gradyanının vetürevinin bileşenleri cinsinden aşağıdaki ifadelere dönüşmüş olur.tpr[ Σ u + λ E + λ E E ]= 1−uk, k)p r m n m,n( (4.18)p r qqprqnqnPr= − 1−u )( β E + λ u + 2λu E )(4.19)(m, m rq q klr k , l klqr k , l qgerekli işlemler yapıldıktan sonra (4.18) ve (4.19) denklemleri aşağıdaki şekli alır.91

tprΣprmnum, n+ λprqEq+ λprqnEqEn− λprquk, kEq− λprqnuk, k= E E (4.20)qn= β λ,2λ+ β Eq(4.21)Pr−rqEq−klrukl−klqruk, lEqrqum,mYukarıdakiΣp r mn,p r qλ ,prqnλrqβ , λklr, λklqrkatsayıları, X parçacığına ve sabit θsıcaklığına bağlıdır.(4.20) ve (4.21) denklemleri simetrik gerilmenin, polarizasyon alanının, ortamınsıkışır, piezoelektrik bir ortamda uzaysal koordinatlardaki yarı lineer bünyedenklemleridir. (4.20) ifadesi sıkışabilir Piezoelektrik ortamlarda gerilme ifadesinivermektedir.Bundan sonraki kısımda asimetrik gerilmelerin lineer bünye denklemleri, maddeselve uzaysal koordinatlarda elde edilecektir. Daha sonra da kısım 1.5 ve 1.6 da verilenelektriksel yer değiştirme vektörü ile alan denklemi bulunacaktır.4.3. Yarı – Lineer Teoride Asimetrik Gerilmelerin Tayini4.3.1. Maddesel KoordinatlardaDaha önce kısım 4.1 de (4.1) denklemiyle asimetrik gerilmenin maddeselkoordinatlardaki hali ifade edilmişti.(4.4) ve (4.5) ifadesiyle verilen polarizasyon alanı denkleminde uygun indisdeğişikliği yapılarak (4.1) ifadesinde yerlerine yazılırsa, toplam asimetrik gerilmeninmaddesel lineer formu aşağıdaki gibi elde edilir.TPR= ΣPRMNEMN+ λPRQEQ+ λPRQNEQEN+β E E C(4.22)PQQM−1−1−1MR+ λKLPEKLEMCMR+ 2λKLQPEKLEQEMCMR92

Gerilme ile bir arada gözükmesi açısından kısım 4.2 de (4.5) ifadesiyle verilenpolarizasyon alanının bünye denklemi aşağıda tekrar yazılmıştır.R[ β E + λ E + 2λE E ]Π = −(4.23)RQQKLRKLKLQRKLQ4.3.2. Uzaysal KoordinatlardaAsimetrik gerilme kısım 1.6 da uzaysal koordinatlarda (1.137) ifadesi ile aşağıdakigibi verilmişti.tpr= t pr − PpEr(4.24)(4.18) ve (4.19) ifadesiyle verilen polarizasyon alanı denkleminde uygun indisdeğişikliği yapılarak (4.24)denkleminde yerlerine yazılırsa, asimetrik gerilmeninlineer uzaysal formu aşağıdaki gibi elde edilir.= Σprmnum, n+ λprqEq+ λprqnEqEn− λprquk, kEq− λprqnukkEqEn+tpr,β+ λ,2λβ EqEr(4.25)pqE qErklpuklEr+klqpuk,lEqEr−pqum,mBuraya kadar yapılan işlemlerde uzaysal koordinatlarda gerilme tansörüyle (simetrikolmayan) polarizasyon vektörü (4.25)ve (4.21) denklemleriyle deplasmanvektörünün gradyanları elektrik alan cinsinden ifade edilmiş oldu. Bundan sonra ise,(4.21) bünye denklemi, kısım 1.5 te (1.98) ifadesiyle verilen toplam elektriksel yerdeğiştirme vektörünün diverjansını veren ifadede, elektrik alan vektörü yerine dekısım 1.5 te verilen (1.99) 1 ifadesi yazılarak, yani genel anlamda bünye denklemleribalans denklemlerinde yerine konularak alan denklemleri bulunacaktır.Kısım 1.5 te (1.94) ifadesiyle tanımlanan toplam elektriksel yer değiştirme vektörü,D = ε 0E + P veya Dr= ε 0Er+ Pr(4.26)93

Şeklinde ve Gauss kanunu ile Faraday kanunu da kısım 1.5 te sırasıyla (1.98) ve(1.99) 1 ifadeleriyle aşağıdaki gibi verilmişti.V (t) İçinde; ∇ ⋅ D = 0 veya ε E rP 0 (4.27)D r , r=0 , r+r,r=V (t) İçinde; Er= −φ,r(4.28)(4.21) denklemi (4.26) ifadesinde yerine yazılır ve elektrik alan yerine (4.28) ifadesiyazılırsa toplam elektriksel yer değiştirme vektörü aşağıdaki gibi bulunur,( β φ − λ u + λ u φ − β u )ε0φ2 φDr= −, r+rq , q klr k,l klqr k , l , q rq m,m , q= − ∈rqφ, q− λ 2λφ β φklru k , l+klqruk, l , q−rqum,m , q∈ ≡ ε0δ − β(4.29)rqrqrqOrtamın homojen ve izotermal olduğu göz önünde bulundurularak, (4.29) ifadesinindiverjansı alınır ve (4.27) 1 denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde,0r, r rq , q klr k , lr klqr k , lr , q k , l , qr= D = − ∈ φ − λ u + μ ( u φ + u φ ) −rq( um, mrφ,qum,mφ,qrβ +)μklqr = 2λ klqr(4.30)Kısım 1.6 de (1.169) 1 ifadesiyle verilen Cauchy hareket denkleminde elektrik alanıyerine (4.28)ifadesi yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.ρ & ν = ρ +(4.31)pfp+ trp, rPr, rφ,p94

Kütlenin korunumundan−1−1ρ = ρ0J ve (4.7) 8 ifadesinden J = ρ / ρ0= (1 − u k , k)olduğunu dikkate alarakρ = ρ0 ( 1− u k , k)(4.32)Yazılabilir. Ayrıca;vp∂up∂upu& p= + up kuk≅(4.33)∂t∂t≅,Şeklindedir. (Şuhubi, 1994). Buna göre (4.31) ifadesindekiρ & νpterimi (4.32) ve(4.33) ifadelerinden aşağıdaki gibi yazılabilir.22∂ up∂ upρ & νp= ρ0 (1 − uk, k) ≅ ρ2 0(4.34)2∂t∂tBu durumda çok küçük hareketler yapan sıkışabilir, piezoelektrik bütün ortamlardahareket denklemi aşağıdaki gibi elde edilir.2∂ upρ0= ρ0( 1−uk, k) fp+ tpr,r+ P2r,rφ∂t, p(4.35)(4.35) denklemindeki tpr, rterimi (4.18) denkleminden ortamın homojen ve izotermalolduğu göz önünde bulundurularak,tpr, r prmn m,nr prq , qr prqn(, qr , n , q , nr= Σ u − λ φ − λ φ φ + φ φ ) +[ u φ φ + u ( φ φ φ φ )]λprq( uk, krφ,q+ uk, kφ,qr) − λprqn k , kr , q , n k , k , qr , n+, q , nr(4.36)şeklinde ifade edilebilir.(4.35) denklemindeki ( Pr , r) terimi (4.21) ve (4.28) ifadelerinden,95

Pr, r rq , qr klr k , lr2klqr k , lr , q k , l , qr= β φ − λ u + λ ( u φ + u φ ) −β u φ + u φ )(4.37)rq(m, mr , q m,m , qrŞeklinde elde edilebilir. Bu durumda (4.36) ve (4.37) ifadeleri (4.35) hareketdenkleminde yerlerine yazılırsa aşağıdaki denklem elde edilir.2∂ uρ2∂tλβp0= ρ0( 1−uk, k) fp+ Σprmnum,nr− λprqφ,qr− λprqn( φ,qrφ,n+ φ,qφ,nrφ + u φ ) − λ [ u φ φ + u ( φ φ + φ φ )]+prq( uk, kr , q k,k , qr prqn k,kr , q , n k , k , qr , n , q , nrrqφ, qrφ,p klr k,lr , p2klqr k,lr , q , p k , l , qr , p− λ u φ + λ ( u φ φ + u φ φ ) −β u φ φ + u φ φ )(4.38)rq(m, mr , q , p m,m , qr , p) +(4.30) ve (4.38) ifadeleri ile u , φ bilinmeyenlerini ihtiva eden alan denklemlerikbulunmuş olur. Bu alan denklemlerinin probleme uygun olarak verilen ilk ve sınırşartları altındaki çözümü, göz önüne alınacak sınır değer probleminin matematikselyapısını oluşturur.Bu şekilde (4.30) ve (4.38) alan denklemlerinden oluşan sistem; (1.97) 2 , (1.122) 2 ve(1.99) 2 zıplama şartlarının muhteviyatı içinde bulunan sınır şartları ile birlikteanizotropik, nonlineer, elastik ve Piezoelektrik ortamlar ile ilgili sınır – değerproblemlerinin yönetici denklemleri oluşturulur. Adı geçen sınır şartları açıkçayazılacak olursa,DnD− ωf= + +n tl lk= t kE (4.39)+k= E kşeklinde olduğu kolayca gösterilebilir.96

5. TARTIŞMA VE SONUÇBu çalışmada elastik piezoelektrik bir cismin elektro-termomekanik davranışınımatematiksel modellemek için modern sürekli ortamlar mekaniği kapsamında bir yolizlenmiştir. Bu modellemeyi gerçekleştirirken genel termodinamik balansdenklemleri, Clausius-Duhem eşitsizliği, elektrostatik alanların davranışlarınıyöneten denklemler, bünye teorisi aksiyomlarına ilişkin kavramlar, gerilmepotansiyelinin (bünye fonksiyonelinin), ve alan denklemlerinin bulunmasımalzemenin nonlineer davranışının modellenmesinin teorik temellerioluşturulmuştur. Böyle bir malzeme için bünye fonksiyonelleri; Green deformasyontansörü ve elektrik alan olarak ortaya çıkan serbest enerji fonksiyonu olarakbelirlenmiştir. Bu bünye fonksiyoneli ile vasıtasıyla ele alınan malzemede elektrotermomekanikyükleme ile oluşan gerilme tansörü ve polarizasyon vektörü eldeedilmektedir. Malzemede ortaya çıkan gerilme tansörü ortamın polarize olmasındandolayı asimetrik bir formda ortaya çıkmıştır. Simetrik bir tansörün avantajlarındanyararlanmak için (1.134)’e dayanarak (1.135) ile simetrik bir gerilme tansörütanımlanmıştır. Simetrik gerilme hesaplandıktan sonra asimetrik gerilme (1.137) denbulunabilmektedir. Simetrik gerilme ve polarizasyon alanı argümanları belli olanserbest enerji fonksiyonundan türetilmiştir. Çalışmanın 3.2 kısmında mekanik veelektriksel etkileşimler nonlineer kabul edilmiş, malzemenin özelliğinden dolayıortam anizotrop alınarak simetrik gerilmenin ve polarizasyon alanının nonlineerbünye denklemleri elde edilmiştir. Bu denklemlerin elde edilmesinde seri açılımagidilmiştir. Seri açılımında alınan terimlerin türü ve sayısı belirlenirken mekanik veelektriksel etkileşimlerle ilgili kabuller dikkate alınmıştır. Polarizasyon alanı vesimetrik gerilme serbest enerji fonksiyonundan türetildiği için kısım 3.5 de serbestenerji fonksiyonu Taylor serisinde açılmış ve incelenen malzemede oluşanpolarizasyon alanının ve simetrik gerilmenin bünye denklemleri (3.75) ve (3.81)ifadeleriyle belirlenmiştir.Bulunması hedeflenen asimetrik gerilmeler çalışmanın 4. kısmında verilmiştir. Kısım3.5 te bulunmuş olan polarizasyon alanı ve simetrik gerilme ifadelerini kullanarakasimetrik gerilmenin bünye denklemleri elde edilmiştir (4.2).97

Elde edilen bünye denklemlerinin uygulamaya dönük problemlerin çözümündekullanılması çok zor olduğundan, bünye denklemlerinde belli ölçülerdelineerleştirme yapılmıştır. Lineer teoride şekil değiştirme ve yer değiştirmegradyanları çok küçük olduğu kabul edilerek işlemlere başlanmış simetrik gerilmeninve polarizasyon alanının maddesel koordinatlarda yarı-lineer bünye denklemleri eldeedilmiştir.Çalışmanın 4.3 kısmında daha önce kısım 4.2 de kısmen lineerleştirilen simetrikgerilme ve polarizasyon alanı ifadeleri kullanılarak asimetrik gerilmenin lineer bünyedenklemleri maddesel koordinatlarda (4.22) ile, uzaysal koordinatlarda ise (4.25)ifadeleri ile elde edilmiştir. Alan denklemlerine ulaşmak için (4.21) polarizasyonbünye denklemi kısım 1.5 te verilen (4.27) denkleminde, (4.20) simetrik gerilmebünye denklemi kısım 1.6 da verilen (4.31) Cauchy hareket denkleminde yerineyazılmıştır. Bu yerine koyma işlemi sonucunda (4.30) ve (4.38) alan denklemleribulunmuştur.98

6. KAYNAKLARAkdoğan, E.K., 1994. Dielectric and Piezoelectric Properties of Doped PZTCeramics. M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 163p.Chandrasekhariah, D.S., Debnath, L., 1994. Continuum Mechanics, Academics Pres,595p., Boston.Çalışkan, T., 2002. Piezoelectric Ceramics and Their Applications İn SmartAerospace Structure. M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University,279p.Dawson, T.H., 1976. Theory and Practice of Solid Mechanics. Plenum Pres, 281p.,New York and London.Doğrukol, S., 2002. Piezoelektrik Malzemelerin Bünye Denklemleri. SüleymanDemirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, 107s.,Isparta.Erdem, A. Ü., Usal, M.R., Usal, M., 2005. Keyfi Fiber Takviyeli ViskoelastikPiezoelektrik Bir Cismin Elektro-Termomekanik Davranışı İçin MatematikselBir Model. Gazi Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Dergisi, 20, 3,305- 319.Eringen, A.C., 1967. Mechanics of Continua. John Wiley and Sons. Inc, 502 p.,New York.Eringen, A.C., 1980. Mechanics of Continua. Robert E. Krieger Pub. Co.,Hungtington, 590p., New York.Gözen, Ş., 2002. Effects of surface-bonded piezoelectirc on beam structures. M.Sc.Thesis, İstanbul Technical University, 57s.Hamamcı, B., 2006. Fiber Takviyeli Termoelastik Malzemeler İçin Matematiksel BirModel. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, YüksekLisans Tezi, 90s., Isparta.Holmes, J. E., 2000. Novel Piezoelectric Structures for Sensor Applications. Journalof the European Ceramic Society, 20, 2697- 2701.Holzapfel, A.G., 2000. Nonlineer Solid Mechanics. John Wiley and Sons Ltd, 455p.,Chichester.Ikeda, T., 1990. Fundamentals of Piezoelectricity. Oxford University Pres, 263p.Jaunzemis, W., 1967. Continuum Mechanics. The Macmillan Company, 602p.,New York.99

Kabul, A., 2004. Fiber Takviyeli Hiperelastik Malzemeler İçin Matematiksel BirModel. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, YüksekLisans Tezi, 100s., Isparta.Malvern, L.E., 1969. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium.Prentice-Hall, 713p., New Jersey.Mindlin, R.D., 1972. Elasticity, Piezoelectricity and Crystal Lattice Dynamics. J.Elasticity, 2, 217- 282.Nowacki, W., 1975. Dynamic Problems of Thermoelasticity. Noordhoff InternationalPublishing, 436p., Netherlands.Petterman, H. E., ve Suresh, S., 1999. A Comprenshive Unitcell Model: A study ofCompled Effect in Piezoelectric 1-3 Composites. Solid and Structure, 37,5447- 5464.Ray, M.C., Sachade, H.M., 2005. Finite element analysis of smart functionallygraded plates. İnternational Journal of Solids and Structures, 43, 5468- 5484.Serra, Ç., 2000. Compositional Modifications of PZT Based Piezoelectric Ceramics.M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 150p.Singh, G., Bhaumik, I., Ganesamoorthy, S., Karnal, A.K., Tiwari, V.S., 2006.Dielectric and piezoelectric properties of the Cr +3 doped PZN single crystals.Materials Letters, 60, 3307- 3310.Spencer, A.J.M., 1980. Continuum Mechanics. Longman Inc, 182p.Spencer, A.J.M., 1972. Deformasyon of Fibre-Reinforced Materials. ClarendonPress, 182p., Oxford.Suresh, S., 1999. Theory of Indetation of Piezoelectric Materials. Acta Mat., 47, 7,2153-2164.Şuhubi, S.E., 1994. Sürekli Ortamlar Mekaniği – Giriş. İ.T.Ü. Fen Edebiyat FakültesiYayını, 243s.Tauchert, T.R., 1999. Developments in Thermopiezo Elasticity with Relevance toSmart Composite Structure. Composite Structures, 48, 31- 38.Taşpınar, E., 1997. Production and Characterization of Lead Zirconate Titanate andLead Magnesium Niobate-Lead Titanate Piezoceramics. M.Sc. Thesis, TheMiddle East Technical University, 169p.Tiersten, H.F., 1971. On The Nonlinear Equations of thermoelectro – Elasticity. Int.J.Engng. Sci., 9, 587- 604.100

Timoshenko, S.P., Goodier, J.N., 1970. Theory of Elasticity. Mcgraw Hill, 567p.Usal M., 2001. Biyolojik Bir Konstrüksiyon Elemanı için Matematiksel Modelleme.Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, 232s.,Isparta.Usal, M.R., 2007. A Constitutive Formulation of Arbitrary Fiber- ReinforcedViscoelastic Piezoelectric Composite Materials- I. İnternational Journal ofNonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8 (2), 257-275.Usal, M.R., 1993. Fiber Takviyeli Elastik Dielektrik Ortamların Elektro–Termomekanik Davranışına ait Matematiksel bir Model. Erciyes ÜniversitesiFen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, 108s., Kayseri.Yağcı, B., 1998. Modeling and Control of Beam Type Structures With SurfaceBonded Piezoelectric Sensors and Actuators. M.Sc. Thesis, The Middle EastTechnical University, 143p.Yang, Z., Li, H., Zong, X., Chang, Y., 2005. Structure and electrical properties ofPZT-PMS-PZN piezoelectric ceramics. Journal of the European CeramicSociety, 26, 3197- 3202.Yünlü, L., 2006. Piezoelektrik Malzemeler ve Teknolojideki Kullanım Alanları.Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek LisansSemineri, 40s., Isparta.Zong, X., Yang, Z., Li, H., Yuan, M., 2006. Effects of WO 3 addition on the structureand electrical properties of Pb 3 O 4 modified PZT-PFW-PMN piezoelectricceramics. Materials Research Bulletin, 41, 1447- 1454.101

ÖZGEÇMİŞAdı Soyadı: Lokman YÜNLÜDoğum Yeri ve Yılı: K.Maraş 1981Medeni Hali: BekarYabancı Dili: İngilizceEğitim DurumuLise: 1995–1997 Osmaniye Endüstri Meslek LisesiLisans: 1999–2003 Süleyman Demirel Üniversitesi Teknik Eğitim FakültesiTesisat ÖğretmenliğiÇalıştığı Kurum ve Yıl: 2005-… Arş. Gör. (Süleyman Demirel ÜniversitesiFen Bilimleri Enstitüsü)102