10.01.2011 KATEGOR˙I TEOR˙IS˙I F˙INAL SINAVI CEVAP ...

10. Bir D : I −→ C funktorunun herhangi bir limiti (L, (l i )) nin bir ekstremal mono-kaynak olduğunugösteriniz.Çözüm: ∀A ∈ Ob(C) için l i ◦ r = l i ◦ s olacak şekilde r, s : Q −→ L C-morfizmleri var olsun. Budurumda (Q, (l i ◦ r) i∈Ob(I) , D için bir alt sınırdır. Limit tanımından ∀A ∈ Ob(C) için l i ◦ h = l i ◦ rolacak şekilde bir tek h : Q −→ L morfizmi vardır. l i ’nin özelliğinden r = s’dir. Böylece (L, (l i ))bir mono-kaynaktır.(L, (l i ))’nin ekstremal olduğunu gösterelim. e bir epimorfizm olmak üzere (L, (l i ))’nin;LeRl iD(i)f il i = f i ◦ e faktorizasyonuna sahip olduğunu kabul edelim. e epimorfizm olduğundan (R, (f i )) D’ninbir doğal kaynağı olduğu açıktır. Limit tanımından; ∀i için l i = f i ◦e olacak şekilde bir tek g : R −→ Lmorfizmi mevcuttur.Sonuç olarak (L, (l i )) bir mono-kaynaktır ve g ◦ e = 1’dir. e bir kesit ve epimorfizm olduğundan eizomorfizmadır.4