10.01.2011 KATEGOR˙I TEOR˙IS˙I F˙INAL SINAVI CEVAP ...

çarpımının burulma altgrubudur. Aradaki farkı ayırt etmek için, çarpımları∏T ors M αve ∏ Ab M αşeklinde gösterelim. ∀m ≥ 1 için f m : Z 2 m −→ Z 2 dönüşümünün epimorfizm olduğu açıktır. Böyleceaşağıdaki şekilde değişmeli bir diyagram vardır.0 0 ∏T ors Z 2 m∏T ors Z 2∏Ab Z 2 m∏Ab Z 2(1, 1, ...) ∈ ∏ T ors Z 2 elemanını ele alalım. Bu eleman her m için f m (a m ) = 1 şartını sağlayan bir(a 1 , a 2 , ...) ∈ ∏ Ab Z 2 m elemanının görüntüsüdür. Bununla birlikte, f m(a m ) = 1 iken a m nin derecesi2 m ∏dir ve bundan dolayı (a 1 , a 2 , ...) burulmalı değildir. Böylece (1, 1, ...),T ors Z 2m deki herhangibir elemanın görüntüsü değildir. Böylece ∏ f mSonuç olarak epimorfizmlerin çarpımının bir epimorfizm olması gerekmez.çarpımı Tors kategorisinde bir epimorfizm değildir.5. f, g : A → B birer C-morfizm olsun. f = g olması için gerek ve yeter şart (A, 1 A ) ≈ Equ(f, g)olmasıdır.Çözüm: (⇒) f = g olsun.i) 1 A : A −→ A ∈ Mor(C)ii) f ◦ 1 A = f = g = g ◦ 1 Aiii) f ◦ e ′ = g ◦ e ′ , e ′ : E ′ −→ A olsun. Teklikten, e ′ = 1 A ◦ ē olsun.e ′ = 1 A ◦ e ′⇒ e ′ = ē ⇒ (A, 1 A ) ≈ Equ(f, g) bulunur.(⇐) (A, 1 A ) ≈ Equ(f, g) olsun. ⇒ f ◦ 1 A = g ◦ 1 A ⇒ f = g bulunur.6. Her i için f i = f ve (f i , X) bir batırma(sink) olsun. (f i , X) bir epi-batırma olması için gerek veyeter şart f nin bir epi olmasıdır.Çözüm: (⇒) (f i , X) epi batırma ise (f i , X) batırmadır ve her i için f i = f dir. r ◦ f = s ◦ f iser = s dir. Yani f sağ sadeleşmelidir böylece f epimorfizmadır.(⇐) (f i , X) batırma ve her i için f i = f ve f epimorfizma olduğundan sağ sadeleşmelidir. Yani(f i , X) epi-batırmadır.7. Herhangi bir kategoride retraksiyonların çarpımı yine bir retraksiyon olur mu? Açıklayınız.Çözüm: ∀i ∈ I için f i : A i −→ B i ; (ΠA i , π i ), (A i ) I ’nın çarpımı ve (ΠB i , π i ), (B i ) I ’nın bir çarpımı2