10.01.2011 KATEGOR˙I TEOR˙IS˙I F˙INAL SINAVI CEVAP ...

10.01.2011KATEGORİ TEORİSİ FİNAL SINAVI CEVAP ANAHTARI1. Her C-kesit bir C-monomorfizm olur mu? Tersi için ne söyleyebilirsiniz? Görüşünüzü doğrulayınız.Çözüm: f : A −→ B bir kesit olsun. Bu durumda g ◦ f = 1 Af ◦ h = f ◦ k olsun. Her iki tarafa g yi uygularsak;olacak şekilde g : B −→ A vardır.g ◦ (f ◦ h) = g ◦ (f ◦ k) ⇒ (g ◦ f) ◦ h = (g ◦ f) ◦ k ⇒ 1 A ◦ h = 1 A ◦ k ⇒ h = k.f bir C-monomorfizmdir. Her monomorfizm bir kesit değildir. Örneğin Top kategorisinde bir açıkaralığın bir kapalı aralığa gömmesi (embedding) bir monomorfizmdir fakat bir kesit değildir.2. F ◦ G dolu ise F doludur. F ◦ G güvendolu ise G güvendoludur. Gösteriniz.Çözüm: G : A −→ B ve F : B −→ C olmak üzere F ◦ G : A −→ C dolu funktor olsun.F : B −→ C dolu mu ?F | Hom(B,B ′ ) : Hom(B, B′ ) −→ Hom(F (B), F (B ′ ))∀h ∈ Hom(F (B), F (B ′ )) için F ◦G dolu olduğundan F ◦G(k) = h olacak şekilde k ∈ Hom(A, A ′ )vardır. F (G(k)) = h olduğundan G(k) ∈ Hom(B, B ′ ) olur. O halde F doludur.F ◦ G güvendolu olsun. G : A −→ B güvendolu mu?G| Hom(A,A ′ ) : Hom(A, A′ ) −→ Hom(F (A), F (A ′ ))∀h, k ∈ Hom(A, A ′ ) için G(h) = G(k) olsun. F ◦ G(h) = F ◦ G(k) olur. F ◦ G güvendoluolduğundan h = k olur. O halde G de güvendoludur.3. POS, Top, Grp kategorilerinin başlangıç(initial), bitiş(terminal), ve sıfır(zero) nesnelerini belirleyiniz.Çözüm: POS kategorisinin başlangıç nesnesi boş küme, bitiş nesnesi tek noktalı küme olup sıfır nesnesiyoktur. Top kategorisinin başlangıç nesnesi boş uzay, bitiş nesnesi tek noktalı uzay olup sıfır nesnesiyoktur. Grp kategorisinin başlangıç nesnesi aşikar grup, bitiş nesnesi aşikarı grup olup sıfır nesnesiaşikar gruptur.4. Epimorfizmlerin çarpımı da bir epimorfizm midir? Açıklayınız.Çözüm: Tors, burulmalı abel grupları içeren Ab kategorisinin dolu alt kategorisi olsun. M α , burulmalıabel grupların bir kolleksiyonu olmak üzere bunların Tors daki çarpımı, Ab de bunların1

çarpımının burulma altgrubudur. Aradaki farkı ayırt etmek için, çarpımları∏T ors M αve ∏ Ab M αşeklinde gösterelim. ∀m ≥ 1 için f m : Z 2 m −→ Z 2 dönüşümünün epimorfizm olduğu açıktır. Böyleceaşağıdaki şekilde değişmeli bir diyagram vardır.0 0 ∏T ors Z 2 m∏T ors Z 2∏Ab Z 2 m∏Ab Z 2(1, 1, ...) ∈ ∏ T ors Z 2 elemanını ele alalım. Bu eleman her m için f m (a m ) = 1 şartını sağlayan bir(a 1 , a 2 , ...) ∈ ∏ Ab Z 2 m elemanının görüntüsüdür. Bununla birlikte, f m(a m ) = 1 iken a m nin derecesi2 m ∏dir ve bundan dolayı (a 1 , a 2 , ...) burulmalı değildir. Böylece (1, 1, ...),T ors Z 2m deki herhangibir elemanın görüntüsü değildir. Böylece ∏ f mSonuç olarak epimorfizmlerin çarpımının bir epimorfizm olması gerekmez.çarpımı Tors kategorisinde bir epimorfizm değildir.5. f, g : A → B birer C-morfizm olsun. f = g olması için gerek ve yeter şart (A, 1 A ) ≈ Equ(f, g)olmasıdır.Çözüm: (⇒) f = g olsun.i) 1 A : A −→ A ∈ Mor(C)ii) f ◦ 1 A = f = g = g ◦ 1 Aiii) f ◦ e ′ = g ◦ e ′ , e ′ : E ′ −→ A olsun. Teklikten, e ′ = 1 A ◦ ē olsun.e ′ = 1 A ◦ e ′⇒ e ′ = ē ⇒ (A, 1 A ) ≈ Equ(f, g) bulunur.(⇐) (A, 1 A ) ≈ Equ(f, g) olsun. ⇒ f ◦ 1 A = g ◦ 1 A ⇒ f = g bulunur.6. Her i için f i = f ve (f i , X) bir batırma(sink) olsun. (f i , X) bir epi-batırma olması için gerek veyeter şart f nin bir epi olmasıdır.Çözüm: (⇒) (f i , X) epi batırma ise (f i , X) batırmadır ve her i için f i = f dir. r ◦ f = s ◦ f iser = s dir. Yani f sağ sadeleşmelidir böylece f epimorfizmadır.(⇐) (f i , X) batırma ve her i için f i = f ve f epimorfizma olduğundan sağ sadeleşmelidir. Yani(f i , X) epi-batırmadır.7. Herhangi bir kategoride retraksiyonların çarpımı yine bir retraksiyon olur mu? Açıklayınız.Çözüm: ∀i ∈ I için f i : A i −→ B i ; (ΠA i , π i ), (A i ) I ’nın çarpımı ve (ΠB i , π i ), (B i ) I ’nın bir çarpımı2

olsun. Bu durumda ∀j ∈ I için;Πf iΠA i ΠB iΠ j P jA j B jf jkomütatif diyagramı vardır.Her bir f j için f j ◦ g j = 1 Bj olacak şekilde bir g j varsa bu takdirde her bir j ∈ I için;f j ◦ (Πf j ) ◦ (Πg j ) = f j ◦ g j ◦ p j = p j = p j ◦ 1 ΠBif i ’lerin eş zamanlı sadeleştirmesinden (Πf i ) ◦ (Πg i ) = 1 ΠBiyani (Πf i ) bir retraksiyondur.8. Bir monomorfizmin geri-çekilimi(pullback) yine bir monomorfizm midir? Açıklayınız.Çözüm:QhPrAs fB gCkare diyagramın geri-çekilim olduğunu kabul edelim.f monomorfizm olsun. s ◦ k = s ◦ h olacak şekilde; h, k : Q −→ P morfizmler olsun.f ◦ (r ◦ h) = g ◦ (s ◦ h) = g ◦ (s ◦ k) = f ◦ (r ◦ k) ⇒ r ◦ h = r ◦ kgeri-çekilim, mono-kaynak olduğundan r sadeleştirilebilir.⇒ h = k⇒ s monomorfizmdir.⇒ her geri-çekilim monomorfizmdir.9. F : A → Sets dolu ve güvendolu olsun. Bir A-mesnesi A için F (A) ≠ ∅ ise F funktorununlimitleri koruduğunu gösteriniz.Çözüm: I bir kategori ve F : A −→ B funktor olsun. D : I −→ A bir funktor ve (L, (l i )) Dnin bir limiti olmak üzere (F (L), (F (l i ))), F ◦ D : I −→ B nin bir limiti ise F e I-limitleri korurdenir. Her küçük I kategorisi için F , I-limitleri koruyorsa F e limitleri korur denir. F : A → Setsdolu ve güvendolu olsun. D : I −→ A bir funktor ve (L, (l i )) D nin bir limiti olsun. Bir A-mesnesiA için F (A) ≠ ∅ ve I küçük kategori olmak üzere F ◦ D : I −→ Sets ve F dolu ve güvendoluolduğundan (F (L), (F (l i ))), F ◦ D : I −→ B nin bir limitidir. O halde, F : A → Sets funktorulimitleri korur.3

10. Bir D : I −→ C funktorunun herhangi bir limiti (L, (l i )) nin bir ekstremal mono-kaynak olduğunugösteriniz.Çözüm: ∀A ∈ Ob(C) için l i ◦ r = l i ◦ s olacak şekilde r, s : Q −→ L C-morfizmleri var olsun. Budurumda (Q, (l i ◦ r) i∈Ob(I) , D için bir alt sınırdır. Limit tanımından ∀A ∈ Ob(C) için l i ◦ h = l i ◦ rolacak şekilde bir tek h : Q −→ L morfizmi vardır. l i ’nin özelliğinden r = s’dir. Böylece (L, (l i ))bir mono-kaynaktır.(L, (l i ))’nin ekstremal olduğunu gösterelim. e bir epimorfizm olmak üzere (L, (l i ))’nin;LeRl iD(i)f il i = f i ◦ e faktorizasyonuna sahip olduğunu kabul edelim. e epimorfizm olduğundan (R, (f i )) D’ninbir doğal kaynağı olduğu açıktır. Limit tanımından; ∀i için l i = f i ◦e olacak şekilde bir tek g : R −→ Lmorfizmi mevcuttur.Sonuç olarak (L, (l i )) bir mono-kaynaktır ve g ◦ e = 1’dir. e bir kesit ve epimorfizm olduğundan eizomorfizmadır.4