Unite2

2
UZAYDA
DOĞRU VE DÜZLEM
Sayfa No
1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektÖreL ve paraMetrik denkLeMi . . . . . . . . . . . . . . 71
2. BÖLÜM uzayda dÜzLeM denkLeMLeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3. BÖLÜM uzayda Bir noktanIn Bir doğruya uzakLIğI ve iki dÜzLeMin
BirBirine GÖre duruMLarI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4. BÖLÜM uzayda Bir noktanIn Bir dÜzLeMe uzakLIğI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5. BÖLÜM uzayda iki dÜzLeM araSIndaki aÇI, doğru ve dÜzLeMin
BirBirine GÖre duruMLarI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

KAVRAMSAL ADIM
uzayda Bir noktadan GeÇen ve Bir vektÖre
paraLeL oLan doğrunun denkLeMi
P(x 0 ,y 0 ,z 0 )
x
Uzayda bir P(x 0 , y 0 , z 0 ) noktasından geçen ve u = (a, b, c)
vektörüne paralel olan l doğrusunun denklemini bulalım.
l // u ise l doğrusunun üzerinden değişken bir A(x, y, z) noktası
için PA // u dur.
denklemine l doğrusunun vektörel denklemi denir.
vektörel denklemi
(x, y, z) = (x 0 , y 0 , z 0 ) + k.(a, b, c) şeklinde yazılabilir.
z
O
A(x,y,z)
A
→
u(a,b,c)
PA // u & PA = k.
u ^k!
Rh
& A – P = ku . & A = P+
ku . eldeedilir.
A = P + ku .
A = P + ku .
BÖLÜM
1
P(x 0 ,y 0 ,z 0 )
(x, y, z) = (x 0 , y 0 , z 0 ) + (k.a + k.b + k.c)
(x, y, z) = (x 0 + k.a, y 0 + k.b, z 0 + k.c)
x = x + k.
a_
0
b
y = y + k.
b denklem sistemi elde edilir.
0 `
z = z + k.
cb
0 a
O
A
y
→
u(a,b,c)
UZAYDA BİR DOĞRUNUN
VEKTÖREL VE PARAMETRİK
DENKLEMLERİ
Bu denklem sistemine l doğrusunun parametrik denklemi denir.
PA = A – P = ^xyz , , h – ^x , y,
z 0 0 0h
= ^x – x , y – y , z – z
0 0 0h
u = ^a, b,
ch
x – x y – y z – z
0 0 0
PA // u &
a
= =
b c
elde edilir.
Bu bağıntıya doğrunun kartezyen denklemi denir.
u
= (a, b, c) vektörüne doğrunun doğrultman vektörü denir.
Doğrultman parametrelerinden biri sıfır olması durumunda örneğin
u = (a, b, 0) şeklinde ise doğru z eksenine diktir.
Parametrik denklemi
x = x 0 + k.a
y = y 0 + k.b
z = z 0
şeklindedir. Bu durumda kartezyen denklemi
x – x –
a
0 y y0
= , z=
z
b 0
Doğrultman vektörü
Parametrik denklemi
Kartezyen denklemi
Doğrultman vektörü
dır.
= (a, 0, c) şeklinde ise;
x = x 0 + k.a
y = y 0
z = z 0 + k.c
x – x z – z 0 0
a
=
c
, y = y 0 dir.
= (0, b, c) şeklinde ise;
Parametrik denklemi x = x 0
y = y 0 + k.b
Kartezyen denklemi
u
u
z = z 0 + k.c
y – y0 z – z0
x = x0,
=
b c
dir.
Ünite – 2 uzayda doğru ve dÜzLeM
1. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri
71

Ünite – 2 uzayda doğru ve dÜzLeM
1. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri
KAVRAMSAL ADIM
Sonuç:
Uzayda herhangi bir P(x 0 , y 0 , z 0 ) noktasından geçen ve
u = (a, b, c) vektörüne paralel olan doğrunun
i. Vektörel denklemi; (x, y, z) = (x 0 , y 0 , z 0 ) + k.(a, b, c); k ∈ R
ii.
Parametrik denklemi; x = x 0 + k.a
y = y 0 + k.b
z = z 0 + k.c dir.
x – x y – y z – z
0 0 0
iii. Kartezyen denklemi;
a
= = dir.
b c
2.1.2. uzayda iki noktası verilen doğrunun denklemi
x
P
Uzayda P(x 0 , y 0 , z 0 ) ve B(x 1 , y 1 , z 1 ) noktaları verilsin. P ve B
noktalarından geçen l doğrusunun denklemini bulalım.
l doğrusunun üzerinde keyfi bir A(x, y, z) noktası için.
PA = k.
PB
A – P = k. ^B – Ph
(x, y, z) – (x 0 , y 0 , z 0 ) = k[(x 1 , y 1 , z 1 ) – (x 0 , y 0 , z 0 )]
(x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 ) = k.(x 1 –x 0 , y 1 –y 0 , z 1 –z 0 )
z
P(x 0 , y 0 , z 0 )
O
B(x 1 , y 1 , z 1 )
A(x,y,z)
denklemi iki noktadan geçen doğrunun vektörel denklemidir.
(x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 ) = k.(x 1 –x 0 , y 0 –y 0 , z 1 –z 0 )
x – x = k. x – x & x = x + k. x – x
_
0 ^ 1 0h
0 ^ 1 0h
b
y – y = k. y – y y y k. y – y
0 ^ 1 0h&
= + 0 ^ 1 0h`
z – z = k. z – z & z = z + k. z – z
0 ^ 1 0h
0 ^ 1 0h
b
a
y
denklem sistemi iki noktadan geçen doğrunun parametrik
denklemleridir.
PA = k. PB & PA // PB
dir.
PA = ^x – x , y – y , z – z
0 0 0h
PB = ^x – x , y – y , z – z
1 0 1 0 1 0h
olduğundan
x – x y – y z – z
0
0 0
x – x
=
y – y
=
z – z
bağıntısı iki noktadan geçen
1 0 1 0 1 0
doğrunun kartezyen denklemidir.
ETK‹NL‹K
A(2, –1, 4) noktasından geçen ve u = ^471
,, h
olan doğrunun denklemini bulalım.
Doğrunun değişken bir noktası P(x, y, z) olsun.
OP = OA+ AP& r = r0
+ k. u,
k!
R dir.
(x, y, z) = (2, –1, 4) + k.(4, 7, 1)
(x, y, z) = (2, –1, 4) + (4k, 7k, k)
(x, y, z) = (2 + 4k, –1 + 7k, 4 + k)
vektörüne paralel
⇒ x = 2 + 4k, y = –1 + 7k, z = 4 + k parametrik denklemi elde
edilir. Buradan,
x – 2
k, y + 1
= = k, z – 4 = k yazılabilir.
4 7
O halde doğrunun kartezyen denklemi
x – 2 y 1
= + = z – 4
4 7
A(2, –1, 4)
bulunur.
r 0
O
P(x, y, z)
r
u (4, 7, 1)
72

1. Uzayda bir A(–1, 3, 4) noktasından geçen ve u = (2, 1, 2)
vektörüne paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulalım.
Çözüm:
Doğrunun üzerindeki herhangi bir nokta P(x, y, z) olsun.
AP // u olduğundan AP = k.
u, k ∈ IR dir.
P – A = k. u & P = A + ku .
P = (–1, 3, 4) + k.(2, 1, 2) doğrunun vektörel denklemidir.
2. Uzayda bir A(–4, –1, 3) noktasından geçen ve u = (–1, 3, 2)
vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemini bulalım.
Çözüm:
P(x, y, z) doğru üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere,
P = A + k. u , k ∈ R doğrusunun vektörel denklemidir.
P
= (–4, –1, 3) + k . (–1, 3, 2)
(x, y, z) = (–4, –1, 3) + k.(–1, 3, 2)
(x, y, z) = (–4 – k, –1 + 3k, 3 + 2k)
x = –4 – k
y = –1 + 3k
z = 3 + 2k
doğrusunun parametrik denklemidir.
3. Uzayda bir A(0, –2, 5) noktasından geçen ve u = (–3, 5, –2)
vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemini
bulalım.
Çözüm:
4
Uzayda A(x 0 , y 0 , z 0 ) noktasından geçen ve u = (a, b, c) vektörüne
paralel olan doğrunun kartezyen denklemi
x – x y – y z – z
0 0 0
a
= =
b c
x y 2 z – 5
= + = = k,
– 3 5 – 2
dir. Buradan doğru denklemi
k ∈ IR dir.
UYGULAMA ADIMI
4.
x + 1 y – 2 = =
3 4
z – 3 doğrusunun doğrultman vektörlerinden
birini bulalım.
Çözüm:
A(x 0 , y 0 , z 0 ) noktasından geçen ve u = (a, b, c) vektörüne
paralel doğrunun denklemi
x – x y – y z – z
0 0 0
a
= = ,
b c
= k
x + 1 y – 2 z – 3
= =
3 4 1
k ∈ R olduğundan
doğrusunun doğrultman vektörü
u = (3, 4, 1) veya u ne paralel vektörlerden biri olabilir.
5.
x + 3 2y – 1 3z
+ 2
Uzayda denklemi = =
2 5 4
doğrusunun doğrultman
vektörlerinden birini bulalım.
Çözüm:
1 2
–
–
x y
y z
3 2 1
2b
l 3b
+ l
+ 3z+ 2 x+ 3 2 3
= = & = =
2 5 4 2 5 4
1 2
x + 3
y – z
2 5 2 +
= =
4 3
2 3
5 4
u = b2, , l olarak alınabilir.
2 3
olduğundan doğrultman vektörü
x – 2 y 1
6. Uzayda denklemi = + , z = 4 olan doğrunun doğrultman
vektörlerinden birini
3 4
bulalım.
Çözüm:
x – x0 y – y0
a
= , z = z
b 0 kapalı denklemiyle verilen doğrunun
doğrultman vektörü u = (a, b, 0) olduğundan
x – 2 y 1
= + , z = 4 doğrusunun doğrultman vektörü
3 4
u
= (3, 4, 0) olarak alınabilir.
Bu doğru z eksenine dik bir doğrudur.
Ünite – 2 uzayda doğru ve dÜzLeM
1. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri
73

Ünite – 2 uzayda doğru ve dÜzLeM
1. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri
UYGULAMA ADIMI
7. Uzayda A(1, –2, 4) ve B(–1, 0, 2) noktalarından geçen doğrunun
vektörel denklemini bulalım.
3 4 2
– –
10. Uzayda d:
x 2 y 1 z 3
= + = doğrusuna paralel olan ve
AP = k.AB olduğundan,
x + 3 y – 2 z – 5
= = = k,
k ∈ IR dir.
3 – 2 – 5
x–1 y–1 z–2
= = doğru denklemi elde edilir.
1 2 2
A(–2, 4, –3) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini
Çözüm:
P(x, y, z); A ve B noktalarından geçen doğrunun üzerinde herhangi
bir nokta olmak üzere,
bulalım.
Çözüm:
x–2 y 1 z–3
AP = k. AB dir.
d: = + =
3 4 2
doğrusunun doğrultman vektörü
P – A = k. AB & P = A+
k. AB,
k ∈ IR vektörel denklemi verir.
AB = B – A & B – A = ^– 1– 1, 0– ^– 2h, 2– 4h=
^– 2, 2, – 2h
u = (3, 4, 2) dir. Dolayısıyla u = (3, 4, 2) vektörüne paralel
ve A(–2, 4, –3) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemi,
P(x, y, z) bu doğru üzerindeki herhangi bir nokta olmak
üzere,
P = A+
k. AB
P = (1, –2, 4) + k.(–2, 2, –2), k ∈ R vektörel denklemi elde
P = A+
k.u, k ∈ IR
P= (–2, 4, –3) + k.(3, 4, 2), k ∈ IR dir.
edilir.
x – 2 y – 4 z – 1
11. Analitik uzayda = = denklemi ile verilen doğrunun
7 3 5
8. Uzayda A(–3, 1, 2) ve B(1, –2, 4) noktalarından geçen doğrunun
parametrik denklemini bulalım.
üzerinde bulanan noktalardan herhangi ikisini bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
x–2 y–4 z–1
Kartezyen denklemi = = olan doğrunun parametrik
denklemini yazalım.
7 3 5
P = A+
k. AB,
k ∈ IR olduğundan
(x, y, z) = (–3, 1, 2) + k.(1 –(–3), –2 – 1, 4 – 2)
x–2 y–4 z–1
x–2
= = = k, k ! IR & = k & x = 7k+
2
7 3 5
7
(x, y, z) = (–3, 1, 2) + k.(4, –3, 2)
y–4
z–1
= k & y = 3k+ 4, = k & z = 5k+
1
3
5
(x, y, z) = (–3 + 4k, 1 – 3k, 2 + 2k)
Bu doğru üzerindeki noktalar (7k + 2, 3k + 4, 5k + 1) şeklindedir.
x = –3 + 4k
y = 1– 3k
4 doğrusunun parametrik denklemidir.
k = 0 için A(2, 4, 1) k = 1 için B(9, 7, 6) doğru üzerinde
bulunan herhangi iki noktadır.
z = 2 + 2k
12. Analitik uzayda A(1, 1, 2) ve B(2, 3, 4) noktalarından geçen
doğrunun denklemini bulalım.
Çözüm:
9. Uzayda orijinden ve A(–3, 2, 5) noktasından geçen doğrunun
kapalı denklemini bulalım.
B(2, 3, 4) P(x, y, z)
Çözüm:
A(1, 1, 2)
O(0, 0, 0) ve A(–3, 2, 5) noktasından geçen doğrunun kapalı
denklemi
Doğrunun üzerinde keyfi bir P(x, y, z) noktası alalım.
AP = ^x – 1, y – 1, z – 2h
x – ^–
3h
y – 2 z – 5
= = = k, k ∈ IR
0– ^–
3h
0–
2 0–
5
AB = ^2 – 1, 3 – 1, 4 – 2h&
AB = ^1, 2, 2hdir.
74

1. Uzayda bir A(3, –1, 0) noktasından geçen ve u = (1, –1, 4)
vektörüne paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulunuz.
P = ^3,– 1, 0h
+ k. ^1,– 1,
4h
2. Uzayda bir A(4, 3, –5) noktasından geçen ve u = (–2, 1, 3)
vektörüne paralel olan doğrunun k parametresine göre
denklemini bulunuz.
x= 4 – 2k
y = 3 + k
z = –5 + 3k, k ∈ IR
3. Uzayda bir A(7, 2, 3) noktasından geçen ve u = (–4, 3, 1)
vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemini bulunuz.
PEKİŞTİRME ADIMI
x – 7 y – 2
= = z – 3
– 4 3
x – 2 y – 4 z – 6
4. Kartezyen denklemi = = olan doğrunun
3 5 7
geçtiği noktayı ve doğrultman vektörünü bulunuz.
A^246
, , h
u = ^357
, , h
y – 1 z
5. Kartezyen denklemi x = 2,
= + 3 olan doğrunun
– 4 2
geçtiği noktayı ve doğrultman vektörünü bulunuz.
A^21 , ,– 3h
u = ^0,– 4,
2h
6.
2x – 8 3y – 1 4z
+ 2
Kartezyen denklemi = =
3 4 5
olan doğrunun
doğrultman vektörünü bulunuz.
3 4 5
u = a , , k
2 3 4
Ünite – 2 uzayda doğru ve dÜzLeM
1. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri
75

Ünite – 2 uzayda doğru ve dÜzLeM
1. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri
7. Uzayda A(–1, –1, 4) ve B(2, 1, 3) noktasından geçen doğrunun
vektörel denklemini bulunuz.
P = ^– 1, – 1, 4h
+ k. ^3, 2, – 1h
8. Uzayda A(2, –3, 1) ve B(–4, 0, –3) noktasından geçen doğrunun
parametrik denklemini bulunuz.
x = 2 – 6k
y = –3 + 3k
z = 1 – 4k
9. Uzayda A(0, 2, –5) ve B(–4, –1, 1) noktasından geçen doğrunun
kapalı denklemini bulunuz.
PEKİŞTİRME ADIMI
x + 4 y 1 z – 1
= + =
4 3 – 6
–
10. Uzayda d:
x + 3 y + 1 4 z
= = doğrusuna paralel olan ve
– 4 – 2 1
A(1, 3, –3) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini
bulunuz.
P = ^13 , ,– 3h
+ k. ^– 4,– 2,–
1h
11. Uzayda A(1, 2, 3) ve B(–3, 1, 5) noktalarından geçen doğrunun
vektörel denklemini bulunuz.
P = ^1,2,3h
+ k. ^–4,–1,2h
=
x+ 4 y – 3
12. Uzayda denklemi = , z
2 3 – 1 olan doğruya paralel
olan ve A(–2, 5, –7) noktasından geçen doğrunun parametrik
denklemini bulunuz.
x = –2 + 2k
y = 5 + 3k
z = –7
76

KAVRAMSAL ADIM
BÖLÜM
2
UZAYDA BİR DÜZLEMİN PARAMETRİK
DENKLEMİ
x
Uzayda herhangi bir P noktasından geçen ve lineer bağımsız
u ve v vektörlerinin belirttiği düzlemin parametrik denklemini
bulalım.
x
O
Px vektörü u ve v vektörlerinin lineer bileşimi şeklinde yazılabilir.
λ 1 , λ 2 ∈ R olmak üzere,
Ox
= OP + Px
z
z
O
P
λ 2 v
P
→
u
→ → →
OX=OP+PX
Px = λ u+ λ v g 1 dir.
1 2
^ h
& x = P + Pxg^2h
dir. (1) deki eşitliği (2) de yerine yazarsak;
x = P + λ u+ λ v g 3 denklemi elde edilir. Bu denkleme düzlemin
1 2
^ h
parametrik denklemi denir. λ 1 , λ 2 reel sayılarına düzlemin
parametreleri, u ve v vektörlerine düzlemin doğrultu vektörleri
denir.
v
λ 1 u
→
v
u
X
x
PX=λ 1 u+λ 2 v
y
y
UZAYDA DÜZLEM DENKLEMLERİ
UZAYDA BİR DÜZLEMİN KAPALI DENKLEMİ
Bir düzlemin doğrultu vektörlerine dik olan vektörlere düzlemin
normal vektörü denir ve N ile gösterilir.
N = u
N = v
u ve v nün vektörel çarpımı u ve v ye dik olan bir vektör
olduğundan N = u # v alınabilir.
Dolayısıyla uzayda bir P noktasından geçen ve N vektörüne dik
olan düzlemin kapalı denklemi < Px,
N >= 0 şeklindedir.
Bu ifade < x – P,
N >= 0 şeklinde yazılabilir.
Buradan < N, x > – < N,
P >= 0 dır.
– < N, P >= d
halini alır.
P
alınırsa
eşitliği
P(x 0 , y 0 , z 0 ) noktasından geçen ve N = (a, b, c) vektörüne dik
olan düzlemin kapalı denklemi x = (x, y, z) olmak üzere;
ax + by + cz + d = 0 biçiminde verilebilir.
N
N
< Px,
N >= 0
u
v
x
< N,x>+ d=
0
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
2. Bölüm
Uzayda Düzlem Denklemleri
77

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
2. Bölüm
Uzayda Düzlem Denklemleri
KAVRAMSAL ADIM
UZAYDA DOĞRUSAL OLMAYAN ÜÇ NOKTADAN
GEÇEN DÜZLEM DENKLEMİ
Uzayda doğrusal olmayan A(x 0 , y 0 , z 0 ), B(x 1 , y 1 , z 1 ), C(x 2 , y 2 , z 2 )
noktaları verilsin.
AB x
AC vektörü hem AB hem de AC vektörüne dik olduğundan
belirttiği düzleme de diktir. Bu yüzden düzlemin normal vektörü
olarak alınabilir.
N = AB # AC
dir. Buna göre, düzlem denklemi
vektörlerinin
< Ax, ABxAC > = < ABxAC, Ax > = det^Ax, AB,
ACh=
0 olduğundan
düzlem denklemi
ÖZEL DÜZLEMLER
ABXAC
A
< AB x AC,
Ax
>= 0 dır. Bu çarpım AB, ACA , x
karma çarpımıdır.
x – x0
x – x 1 0
x – x 2 0
y – y0
y – y 1 0
y – y 2 0
z – z0
z – z 1 0
z – z 2 0
1. Koordinat Düzlemleri
x
y = 0
düzlemi
z
= 0
z = 0
düzlemi
C
B
X
biçiminde yazılabilir.
x = 0
düzlemi
y
2. Koordinat Düzlemlerine Paralel Düzlemler
x
3. Eksenleri Ayırdığı Parçalar Türünden Düzlem Denklemi
x
a + z c =1
do€rusu
x
z = c düzlemi
0.x + 0.y + z = c
a
4. Eksenlere Paralel Düzlemler
x
a + z c =1
do€rusu
x
a
z
a
c
z
c
O
y = b düzlemi
0.x + y + 0.z = b
x = a düzlemi
x + 0.y + 0.z = a
x
a + y =1 do€rusu
b
c
z
b
b
y
y
y
b + z =1 do€rusu
c
x
a + y b + z c
x=a do€rusu
x
a + z =1 düzlemi
c
x
a + 0.y + z
c =1
z=c do€rusu
y
78

KAVRAMSAL ADIM
5. Eksenlerden Geçen Düzlemler
x
SONUÇ: Koordinat eksenlerinden geçen veya koordinat eksenlerine
paralel olan düzlemlerin denklemlerinde o ekseni belirten
terim bulunmaz.
YARI UZAY
E
E, uzayında < N,x>+ d=
0 denklemiyle verilen bir düzlem olsun.
E düzleminin herhangi bir A noktası için
dir. E düzlemi
bulunduğu uzayı iki yarı uzaya ayırır. N vektörünün içinde
bulunduğu uzay U 1 , içinde bulunmadığı uzay U 2 ise
U 1 ∪ E ∪ U 2 kümesi uzaya eşittir.
z
N
A
y–kx=0 düzlemi
y=kx do€rusu
Uzayda bir P noktasının U 1 yarı uzayında bulunması için
< NAP , >> 0olmalıdır.
P
y
– < N, A >= d
A(–3, 2, 5) noktasından geçen ve
düzlemin denklemini yazalım.
ÇÖZÜM
ÖRNEK
vektörüne dik olan
A(–3, 2, 5) noktasından geçen ve normal vektörü N = ^214
, , h olan
düzlemin denklemi
A(x – x 1 ) + B(y – y 1 ) + C(z – z 1 ) = 0
⇒ 2(x + 3) + 1.(y – z) + 4(z – 5) = 0
veya 2x + y + 3z – 14 = 0 dır.
ETK‹NL‹K
N = ^214
, , h
x – 3 y – 1 z
a) A(2, 1, 3) noktasından geçen ve = = + 1 doğrusuna
dik olan düzlemin denklemini
4 2 – 2
bulunuz.
b) A(3, 4, –2) ve B(1, 1, –2) noktaları veriliyor. A noktasından
geçen ve AB vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulunuz.
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
2. Bölüm
Uzayda Düzlem Denklemleri
79

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
2. Bölüm
Uzayda Düzlem Denklemleri
1. A(–1, 3, 4) noktasından geçen ve N = (2, 1, 3) vektörüne dik
olan düzlem denklemini bulalım.
Çözüm:
x(x, y, z) aranan düzlemde keyfi bir nokta olmak üzere;
Ax
= N olduğundan < Ax,
N >= 0 olmalıdır.
Ax = x – A = ^x+
1, y – 3, z – 4h
N = ^213
, , h
< Ax, N > = 2. ^x+ 1h+ 1. ^y – 3h+ 3. ^z
– 4h=
0
2x+ 2+ y – 3+ 3z – 12= 0&
2x+ y+ 3z – 13 = 0 dir.
2. Uzayda A(2, 3, 4) noktasından geçen ve u = (2, –4, –1) ve
v = (3, 1, 2) vektörlerinin belirttiği düzlemin λ 1 ve λ 2 parametrelerine
bağlı (λ 1 , λ 2 ∈ IR) parametrik denklemini bulalım.
Çözüm:
Düzlem denklemi Ax = λ . u+
λ . v dir.
1 2
x – A = λ . u+
λ . v
1 2
x = A + λ . u+
λ . v
1 2
x = ^234 , , h + λ 2, – 4, – 1+
λ 312 , ,
1^ h
2^
h
Buradan,
x = 2+ 2λ
+ 3λ
_
1 2
b
y = 3–4λ
+ λ düzlemin parametrik denklemleridir.
1 2 `
z = 4– λ + 2λ
b
1 2 a
3. Başlangıç noktasından geçen ve N = (–2, 3, –5) vektörüne
dik olan düzlem denklemini bulalım.
Çözüm:
A(x, y, z) noktası aranan düzlemin keyfi bir noktası olmak
üzere, OA = N dir. Dolayısıyla < OA,N
>= 0 olmalıdır.
OA = A – O = ^xyz
, , h
N = ^– 2, 3, – 5h
⇒ –2.x + 3.y – 5.z = 0 ⇒ 2x – 3y + 5z = 0
düzlem denklemi elde edilir.
UYGULAMA ADIMI
x – 2 y 1 z – 1
4. A(–3, –1, 1) noktasından geçen ve = + =
4 – 2 3
doğrusuna dik olan düzlemin denklemini bulalım.
Çözüm:
x – 2 y 1 z – 1
= + = doğrusu düzleme dik olduğundan bu
4 – 2 3
doğanun u = (4, –2, 3) doğrultman vektörü aynı zamanda
düzlemin normal vektörüdür.
x(x, y, z) düzlemin herhangi bir noktası ise
< Ax, u > = 0&
^x+ 3h. 4+ ^y+ 1h.–2 + ^z
– 1h.3 = 0
4x + 12 – 2y – 2 + 3z – 3 = 0
4x – 2y + 3z + 7 = 0 düzlem denklemi elde edilir.
5. M(3, 2, –3) noktasından geçen ve 3 (4, 3, 2) doğultusuna dik
olan düzlemin genel denklemini yazalım.
Çözüm:
Düzlemin genel denklemi
4(x – 3) + 3(y – 2) + 2(z + 3) = 0 dan
4x + 3y + 2z – 12 = 0 olur.
6. A(–2, 0, –1) ve B(1, 3, 4) noktaları veriliyor.
A noktasındından geçen ve AB vektörüne dik olan düzlemin
denklemini bulalım.
Çözüm:
AB vektörü düzleme dik olduğundan bu düzlemin normal
vektörü olarak kabul edilebilir.
N = AB = B – A = ^1– ^– 2h, 3 – 0, 4 – ^– 1hh = ^3, 3,
5h
x = (x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun.
Ax = ^x+ 2, y,
z+
1h
< Ax, N > = 0&
3. ^x+ 2h
+ 3. y+ 5.
^z+ 1h
= 0
3x + 6 + 3y + 5z + 5 = 0
3x + 3y + 5z + 11 = 0 düzlem denklemi elde edilir.
80

7. A(2, 1, 0), B(–1, 0, 3), C(0, 2, –4) noktalarından geçen düzlem
denklemini bulalım.
Çözüm:
P(x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun.
AB, ACve
AP
x – 2 y – 1 z
–3 –1 3
–2 1 –4
x – 2 y – 1 z
–3 –1 3
vektörlerinin karma çarpımı sıfır olur.
x – 2 y – 1 z – 0
< AB x AC,
AP > = 0 & – 1–
2 0–
1 3–
0 = 0
0–
2 2–
1 – 4–
0
= 0
⇒ (4x – 8 – 3z – 6y + 6) – (2z + 3x – 6 + 12y – 12) = 0
⇒ x – 18y – 5z + 16 = 0 elde edilir.
8. Orijinden ve A(–2, 3, 0), B(1, 0, –2) noktasından geçen
düzlemin denklemini bulalım.
Çözüm:
P(x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun.
< OA x OB,
OP > = 0&
x y z
–2 3 0
1 0 –2
x y z
–2 3 0
⇒ (–6x) – (3z + 4y) = 0
⇒ –6x – 4y – 3z = 0 ⇒ 6x + 4y + 3z = 0 elde edilir.
UYGULAMA ADIMI
= 0
9. Uzayda x = 2, x = –4, y = 0, z = 0 ve y + z = 3
düzlemi ile sınırlı cismin şeklini çizelim.
Çözüm:
10. Uzayda x = 0, y = 0, z = 0, z = 4 ve x + y + z = 6
düzlemi ile sınırlı cismin şeklini çizelim.
Çözüm:
x
6
x
+2
3
z
O
z
6
4
11. M(1, 3, 5), N(4, 3, 2) noktalarının belirttiği doğru parçasına
orta noktasında dik olan düzlemin denklemini bulalım.
Çözüm:
[MN] doğru parçasının orta noktası M 0 olsun.
5 7
M0 b , 3 , l dir. MN nin doğrultu katsayıları MN(3, 0, –3) tür.
2 2
Aranan düzlem M 0 dan geçip MN doğrusuna dik olacağından,
denklemi
5
7
3bx – l + 0. ^y – 3h+ ^– 3h. bz – l = 0&
x – z+ 1 = 0 olur.
2
2
3
–4
6
y
y
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
2. Bölüm
Uzayda Düzlem Denklemleri
81

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
2. Bölüm
Uzayda Düzlem Denklemleri
1. A(2, –1, 4) noktasından geçen ve N = (–3, 2, 7) vektörüne dik
olan düzlem denklemini bulunuz.
3x – 2y – 7z + 20 = 0
2. Uzayda A(–1, 4, 3) noktasından geçen ve u = (1, 1, 3) ve
v = (2, 1, 2) vektörlerinin belirttiği düzlemin λ 1 ve λ 2
parametrilerine bağlı denklemini bulunuz.
x = –1 + λ 1 + 2λ 2
y = 4 + λ 1 + λ 2
z = 3 + 3λ 1 + 2λ 2
3. Başlangıç noktasından geçen ve N = (1, 3, 2) vektörüne dik
olan düzlem denklemini bulunuz.
PEKİŞTİRME ADIMI
4.
x + 1 y – 1 z
A(–2, 0, 3) noktasından geçen ve = =
3 4 2
doğrusuna
dik olan düzlem denklemini bulunuz.
5. A(1, 0, 2) ve B(3, 1, 4) noktaları veriliyor.
A noktasından geçen ve AB
denklemini bulunuz.
3x + 4y + 2z = 0
vektörüne dik olan düzlemin
2x + y + 2z – 6 = 0
6. A(1, 0, 1) ve B(–2, 2, 0), C(0, 3, 4) noktalarından geçen
düzlem denklemini bulunuz.
x + 3y + 2z = 0
9x + 10y – 7z – 2 = 0
82

KAVRAMSAL ADIM
BÖLÜM
3
UZAYDA BİR NOKTANIN BİR
DOĞRUYA UZAKLIĞI
// // .
z
E 1 E N 2 + 1 N N k . N
2 1 2 dir
E 1 düzleminin normal vektörü N 1 , E 2 düzleminin normal vektörü
E 2
N 2 olsun.
P
N = A , B , C , N A , B , C
1 ^ 1 1 1h
= 2 ^ 2 2 2h
olduğundan
(A 1 , B 1 , C 1 ) = k.(A 2 , B 2 , C 2 )
APxu O
(A 1 , B 1 , C 1 ) = (kA 2 , kB 2 , kC 2 ) ⇒ A 1 = k.A 2
H
y
θ
B 1 = k.B 2
A
u
C 1 = k.C 2 olur.
x
1 1 1
Buradan E // E + = = = k paralellik koşulu elde edilir.
1 2 A B 2 2 C2
A B C
Uzayda verilen bir P noktasının l doğrusuna uzaklığını bulalım.
E 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0
PH
sin θ = & PH = AP . sin θ dır.
E 2 = A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 düzlemleri çakışık ise
AP
A B C D
1 1 1 1
= = = dir.
1
A B C D
PH = u . AP . sin θ.
2 2 2 2
144 4244 43
u
PH = APxu
.
1
u
İKİ DÜZLEMİN DİK OLMA ŞARTI
PH =
AP xu
elde edilir.
u
N 2
UZAYDA İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE
N 1
P
DURUMLARI
E 1
İKİ DÜZLEMİN PARALEL OLMA ŞARTI
A
N 1
E 1
N2
E 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0
E 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 düzlemleri verilsin.
E 1 = A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0
E 2 = A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 düzlemleri verilsin.
E 1 düzleminin normal vektörü N 1 , E 2 düzleminin normal vektörü
N 2 olsun.
E 1 ve E 2 düzlemleri birbirine dik olması için
olmalıdır.
E 2
,
< N N > = 0
1 2
N = A , B , C ve N A , B , C olduğundan
1 ^ 1 1 1h
= 2 ^ 2 2 2h
ÜNİTE – 2
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
3. Bölüm
UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN
BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
E 1 ve E 2 düzlemlerinin birbirine paralel olması için N 1 // N 2
olmalıdır.
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 diklik bağıntısı elde edilir.
83

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
3. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN
BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
x – 2 y 1 z – 3
1. A(1, 0, 2) noktasının = + = doğrusuna uzaklığını
2 – 1 – 2
bulalım.
Çözüm:
Doğru denklemini sağlayan bir P noktası alalım. P(2, –1, 3)
noktası doğru denklemini sağlar.
u = (2, –1, –2) doğrultman vektörü olmak üzere
d =
AP xu
u
AP = ^1,– 1,
1h
değerini bulalım.
UYGULAMA ADIMI
3. A(–1, 1, 0) noktasının parametrik denklemi
x = 2k – 1, y = 1 – k, z = k + 2 olan doğruya olan uzaklığını
bulalım.
4e 2
AP x u = e 1 e 2 e 3
Çözüm:
1 –1 1
2 –1 –2
Doğru P(–1, 1, 2) noktasından geçmektedir.
–2e 3 e 1 e 2 e 2e 3 1
AP = P – A = ^002
, , h
–e 1
–e 3
1 –1 1
u = ^2, – 1,
1h
olmak ü zere,
–2e 2 2e 2
4 0 –5 –5e 2
36 = 9k ⇒ k = 4
AP xu
d =
AP xu= ^2e + 2e – e – – 2e – e – 2e
1 2 3h
^ 3 1 2h
u
dir.
AP xu= 3e + 4e + e = 3, 4,
1
1 2 3
^ h
2 2 2
AP xu = 3 + 4 + 1 = 26
AP x u = e 1 e 2 e 3
2 2 2
0 0 2
u = 2 + ^– 1h
+ ^–
2h
= 9 = 3
= 4e
+ 2e
2, 4,
0
2 –1 1
2 1
=^ h
AP xu 26
d = = bulunur.
u 3
0
e 1 e 2 e
0
3
–2e 1 0
y – 1
0 0 0 2 4e
2. A(–2, 1, 4) noktasından x – 2 = = z + 1 doğrusuna uzaklığını
2
2
bulalım.
AP xu =
2 2 2
2 + 4 + 0 = 4+ 16 = 2 5
Çözüm:
u =
2 2 2
2 + ^–
1h
+ 1 = 4+ 1+ 1 = 6
A(–2, 1, 4) noktasının doğruya uzaklığı d, bu doğrunun üzerindeki
bir nokta P(2, 1, –1) ve d = değerini bulalım.
u 6
AP xu 2 5
AP xu
d = =
u
bulunur.
AP = ^4, 0,–
5h
u = ^121
, , h
4. 3x + ky – 2z + 1 = 0
9x + 12y – nz + 5 = 0
AP x u = e 1 e 2 e 3
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine paralel olduğuna
4 0 –5
göre, k + n toplamını bulalım.
1 2 1
Çözüm:
0
e 1 e 2 e
0
3 k – 2
3
= =
–10e 1
8e 3
9 12 – n
olmalı
= 8 e – 5e + 10 e – 4e
3 2 1 2
= 10e – 9e + 8e
10,– 9,
8
1 2 3
=^ h
2 2 2
AP x u = 10 + ^–
9h
+ 8 = 100 + 81 + 64 = 245
2 2 2
u = 1 + 2 + 1 = 6
AP xu 245
d = = bulunur.
u 6
–3n = –18 ⇒ n = 6 bulunur.
k + n = 4 + 6 = 10 dur.
84

5. 2x + 3y – kz – 8 = 0
my + nx + 4z + 16 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler çakışık olduğuna göre,
m + n + k toplamını bulalım.
Çözüm:
2 3 – k – 8
m
=
n
= =
4 16
32 = –8m ⇒ m = –4
48 = –8n ⇒ n = –6
–32 = –16k ⇒ k = 2
olmalı
m + n + k = –4 – 6 + 2 = –8 bulunur.
6. A(2, 1, 1) noktasından geçen 3x – y + az – 6 = 0 düzlemi
6x + by + cz – 4 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre,
UYGULAMA ADIMI
Çözüm:
E 1 düzleminin normal vektörü
N 5,– 4,
3
1 = ^ h
E 2 düzleminin normal vektörü N 2,– a , 6
2 = ^ h
E E N N olduğundan
dır.
1 = 2 + 1 = 2
< N , N > = 1 2 0
5.2 + (–4).(–a) + 3.6 = 0
10 + 4a + 18 = 0 ⇒ 4a = –28 ⇒ a = –7 bulunur.
8. A(1, 0, –2) noktasından geçen
E 1 : x + 2y + kz – 5 = 0
E 2 : x + my + 3z – n = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre,
m + n + k toplamını bulalım.
Çözüm:
x = 1, y = 0, z = –2 için düzlem denklemleri sağlanır.
1 – 2k – 5 = 0 ⇒ 2k = –4 ⇒ k = –2 dir.
1 – 6 – n = 0 ⇒ n = –5 dir.
E 1 ve E 2 düzlemlerinin normalleri N 1 ve N 2 olsun.
ÜNİTE – 2
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
a + b + c toplamını bulalım.
Çözüm:
A(2, 1, 1) noktası 3x – y + az – 6 = 0 düzlemini sağladığından
3. 2– 1+ a. 1– 6= 0&
a = 1 olur.
3 x – y+ z –6=
0
düzlemleri paralel ise
6 x+ by+ cz – 4= 0
3
3 – 1 1
= =
6 b c
olmalı
3b = –6 ⇒ b = –2
3c = 6 ⇒ c = 2 bulunur.
a + b + c = 1 – 2 + 2 = 1 dir.
7. E 1 : 5x – 4y + 3z – 2 = 0
E 2 = 2x – ay + 6z + 5 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre,
a değerini bulalım.
N 1 = (1, 2, –2)
N 2 = (1, m, 3)
N = N + < N , N > = 0 olduğundan
1 2 1 2
1.1 + 2.m – 2.3 = 0 ⇒ 2m = 5
5 – 9
m+ n+ k = – 5–
2=
2 2
9. E 1 : kx + ky + 4z – 6 = 0
E 2 : kx – 8y + 4z + 7 = 0
bulunur.
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre,
k değerini bulalım.
Çözüm:
5
& m = 2
N 1 = (k, k, 4), N 2 = (k, –8, 4)
E = E + N = N + < N , N > = 0
1 2 1 2 1 2
kk . + k. ^–
8h
+ 4.4 = 0
2 2
k – 8k+ 16 = 0&
^k – 4h
= 0&
k = 4 bulunur.
3. Bölüm
UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN
BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
85

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
3. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN
BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
x + 1 y – 2 z
1. A(–1, –1, 3) noktasının = = doğrusuna
2 3 – 1
uzaklığını bulunuz.
2.
x – 2 y
A(0, 1, –2) noktasının = , z = 1
2 3
doğrusuna uzaklığını
bulalım.
3. A(2, 1, 1) noktasının parametrik denklemi
x = k – 2, y = 2k + 1, z = 3k + 1 olan doğruya olan uzaklığını
bulunuz.
PEKİŞTİRME ADIMI
6 3
14
133
13
4. 2x + 6y – kz + 1 = 0
mx + 3y + 12z + 6 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine paralel olduğuna
göre, k + m toplamını bulunuz.
5. kx + 2y – (m + 1)z + 15 = 0
3x + ny + 2z + 5 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler çakışık olduğuna göre,
m + n + k toplamını bulunuz.
6. A(–1, 3, 1) noktasından geçen x – 2y + kz + 8 = 0 düzlemi
4x – ny + mz + 6 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre,
k + m + n toplamı kaçtır?
–23
8
3
104
7
3
86

7. E 1 : 3x – 4y + z – 4 = 0
E 2 : 4x – 2y + pz + 1 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre,
p değerini bulunuz.
PEKİŞTİRME ADIMI
10. Denklemi 4x – 3y + z – 6 = 0 olan düzlemin normal vektörünü
bulunuz.
(4, –3, 1)
ÜNİTE – 2
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
–20
8. A(3, 1, 2) noktasından geçen
E 1 : 2x + y – mz + 1 = 0
E 2 : x – ny + z + k = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre,
m + n + k toplamını bulunuz.
11. Eksenleri kestiği noktalar A(3, 0, 0), B(0, –1, 0) ve C(0, 0, 2)
olan düzlemin denklemini bulunuz.
3. Bölüm
9. E 1 : mx – 2y – 4z + 2 = 0
E 2 : (1 – m)x + 3y – 2z + 3 = 0
düzlemleri birbirine dik olduğuna göre, m nin alabileceği
değerlerin toplamı kaçtır?
–5
3
–x + 3y – z+ 3 = 0 2
12. A(1, –1, 3) ve B(0, –2, 1) ve C(2, 1, –1) noktalarından geçen
düzlemin denklemini bulunuz.
UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN
BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
1
8x – 6y – z – 11 = 0
87

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
3. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN
BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
KAVRAMSAL ADIM
İKİ DÜZLEMİN ARAKESİT DOĞRUSU
N 2
N 1
Arakesit do€rusu
E 2
E 1
Uzayda E 1 ve E 2 paralel ve çakışık olmayan iki düzlem olsun. Bu
düzlemlerin arakesit doğrusu olan l doğrusunun denklemini
bulalım.
l arakesit doğrusunun doğrultman vektörü N ve N normal
1 2
vektörüne diktir. Dolayısıyla N x N vektörü l doğrusunun
1 2
doğrultman vektörüne paralel olacağından N x N nin herhangi
1 2
bir katı l doğrusunun doğrultman vektörü olarak kabul edilebilir.
E 1 ve E 2 düzlemlerinin arakesit doğrusu üzerinde herhangi bir
nokta A olmak üzere,
l : x = A+ k.
_ N x N arakesit doğrusunun denklemidir.
1 2i
İKİ DÜZLEMİN ARAKESİT DOĞRUSUNDAN GEÇEN
DÜZLEMLER (DÜZLEM DEMETİ)
İki düzlemin arakesit doğrusundan geçen bütün düzlemlere,
uzayda düzlem demeti denir.
Düzlemleri A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ve
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 olan düzlemlerin arakesit doğrusundan
geçen düzlem demetinin denklemi
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + k(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0, k ∈ IR dir.
ÖRNEK
Denklemleri 4x – 3y + 2z + 3 = 0 ve x + y + 3z + 1 = 0
olan düzlemlerin arakesitinden ve P(1, –1, 2) noktasından geçen
düzlemin denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM
Denklemleri 4x – 3y + 2z + 3 = 0 ve x + y + 3z + 1 = 0 olan
düzlemlerin arakesitinden geçen düzlemin denklemi:
4x – 3y + 2z + 3 + k.(x + y + 3z + 1) = 0 dır.
Bu düzlem P(1, –1, 2) noktasından geçiyorsa;
4.1 – 3.(–1) + 2.2 + k.(1 – 1 + 3.2 + 1) = 0
11
& k = –
7
olur. Bu değer denklemde yerine yazılırsa
11
4x – 3y + 2z + 3 – (x + y + 3z + 1) = 0
7
28x – 21y + 14z + 21 – 11x – 11y – 33z – 11 = 0
17x – 32y – 19z + 10 = 0 bulunur.
ETK‹NL‹K
a) Denklemleri x + 2y + 3z + 2 = 0 ve 2x – 3y – 2z + 1 = 0 olan
düzlemlerin arakesit doğrusunu bulunuz.
b) x + y – z + 1 = 0 ve 2x – 3y + z – 2 = 0 düzleminin arakesitinden
geçen ve = + = doğrusuna paralel olan düzle-
x – 1 y 1 z – 2
2 3 5
min denklemini bulunuz.
88

KAVRAMSAL ADIM
BÖLÜM
4
BİR NOKTANIN BİR DÜZLEME UZAKLIĞI
T
N
A
Uzayda bir E düzlemi ve bu düzlemin üzerinde olmayan P noktası
verilsin. P noktasının E düzlemine uzaklığını bulalım.
P noktasının E düzlemine uzaklığı, AP vektörünün N normal vektörü
üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu olduğundan,
< AP,
N >
AT = . N dir.
< N,
N >
< AP,
N > < AP,
N >
AT = 2 . N & AT = 2 . N dir.
N
N
< AP,
N >
Buradan AT = bulunur. Bu uzaklık AT = d^PE
, h
N
şeklinde gösterilir.
x
z
N = (A,B,C)
A
y
P(x 0 , y 0 , z 0 ) noktası Ax + By + Cz + D = 0 düzleminin dışında herhangi
bir nokta, P noktasının E düzlemine dik izdüşümü
S(x 1 , y 1 , z 1 ) olsun.
P
E
P(x 0 ,y 0 ,z 0 )
E
S(x 1 ,y 1 ,z 1 )
UZAYDA BİR NOKTANIN
BİR DÜZLEME UZAKLIĞI
S noktası E düzleminde olduğundan Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 dır.
PS ve N düzleme dik olduğundan PS // N dir.
OP = OS + SP & SP = OP – OS
& < NSP , > = < NP , – S> = < NP , > – < NS , >
& N . SP = ^Ax + By + Cz – Ax By Cz
0 0 0h
^ + +
1 1 1h
& N . SP = Ax + By + Cz + D
0 0 0
SP
Ax + By + Cz
0 0 0
= "
N
SP = "
Ax + By + Cz Ax + By + Cz
0 0 0 0 0 0
=
N
2 2 2
A + B + C
dir.
BİR DÜZLEMDEN EŞİT UZAKLIKTAKİ
NOKTALARIN GEOMETRİK YERİ
Bir düzlemden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bu
düzleme paralel olan iki düzlemdir.
E: Ax + By + Cz + D = 0 düzleminden eşit uzaklıkta bulunan düzlemler
E 1 : Ax + By + Cz + D 1 = 0, E 2 : Ax + By + Cz + D 2 = 0 ise
D D + 1 D 2
=
2
dir.
P
Q
R
E
E 1
E 2
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık
89

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık
KAVRAMSAL ADIM
Uzayda iki noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yeri bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikme düzlemidir.
P Q R
⎪PQ⎪ = ⎪QR⎪
Bu durumda P(x 1 , y 1 , z 1 ) ve R(x 2 , y 2 , z 2 ) noktalarından eşit uzaklıkta
bulunan normal vektörü N = (A, B, C) olan düzlemin denklemi
Ax By Cz – A x + 1 x 2 ^
B y + 1 y 2h
C z + 1 z 2
+ + ; b l +
+ b lE
= 0 dır.
2 2 2
İKİ DÜZLEMİN AÇIORTAY DÜZLEMLERİ
E 1 ... A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0
E 2 ... A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
düzlemleri bir doğru boyunca kesişen iki düzlem olsun. Bu iki düzlemin
açıortay düzlemi her iki düzleme uzaklıkları eşit olan noktaların
geometrik yeridir.
Açıortay düzlemi üzerindeki bir nokta P(x, y, z) ise açıortay düzlemlerinin
denklemleri
bulunur.
E
A x+ B y+ C z+
D A x+ B y+ C z+
D
1 1 1 1 2 2 2 2
= "
2 2 2
2 2 2
A + B + C
A + B + C
1 1 1
2 2 2
UZAYDA İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ UZAKLIK
i. Düzlemler Paralel ise;
E 1 düzleminin normali N 1 , N 2 düzleminin normali N 2 olsun.
N = λN = N IR olmak üzere iki düzlem arasındaki uzaklık
1 2
^λ
! h
d(E 1 , E 2 ) değerin i bulalım.
E 1 düzlemi üzerinde üzerinde herhangi bir P noktası ile E 2 düzlemi
üzerinde herhangi bir Q noktası alalım. PQ vektörünün N vektörü
üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu bize paralel iki düzlem
arasındaki uzaklığı verir.
Yani, d(E 1 , E 2 ) =
N
Q
< PQ,
N >
N
dir.
E 1 ve E 2 düzlemlerinin kapalı denklemleri
E 1 : Ax + By + Cz + D 1 = 0
E P 1
E 2
E 2 : Ax + By + Cz + D 2 = 0 olarak verilsin.
N = (A, B, C) ve E 1 düzlemindeki herhangi bir P = (x 0 , y 0 , z 0 ) E 2
düzlemindeki herhangi bir nokta Q = (x 1 , y 1 , z 1 ) olsun.
< PQ, N > = < Q – P, N > = < Q, N > – < P,
N >
= Ax + By + Cz – Ax – By – Cz
1 1 1 2 2 2
= – D – – D 1 ^ 2h
= D – D 2 1
D – D 2 1
olduğundan dE ^ , E
olduğu görülür.
1 2h=
2 2 2
A + B + C
ii. Düzlemler kesişiyor veya çakışıyor ise iki düzlem arasındaki
uzaklık sıfırdır.
90

1. E 1 : x – 2y + z – 1 = 0
E 2 : x + 2y – 2z + 3 = 0
düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemini bulalım.
Çözüm:
UYGULAMA ADIMI
2. E 1 : 2x – y + z – 5 = 0
E 2 : x + y – 2z – 4 = 0
düzlemlerinin arakesit doğrusunun parametrik denklemini
bulalım.
Çözüm:
münün uzunluğu P noktasının düzleme olan uzaklığını verecektir.
x + 1 y + 1 z
paralel olan doğrunun denklemi = = şeklinde
3 3 3
E 1 , düzleminin normal vektörü N 1 = (1, –2, 1)
E 2 , düzleminin normal vektörü N 2 = (1, 1, –2) dir.
N 1 = (2, –1, 1) ve N 2 = (1, 1, –2)
u = N 1 x N 2 = e 1 e 2 e 3
2 –1 1
N 1 x N 2 vektörel çarpımında oluşan u vektörü arakesit doğrusunun
1 1 –2
doğrultman vektörü olarak alınabilir.
A(x 0 , y 0 , z 0 ) arakesit doğrusu üzerinde herhangi bir nokta
olmak üzere,
e 1
2
e 2
–1
e 3
1
= 2e + 2 e + e – – e e – 4e
1 3 2 ^ + 3 1 2h
x = A+ k.
_ N x N arakesit doğrusunun denklemidir.
1 2i
= e + 5e + 3e
1 2 3
N 1 x N 2 = e 1 e 2 e 3
& u = ^153
, , h bulunur.
1 –2 1
A(x 0 , y 0 , z 0 ) arakesit doğrusu üzerinde bir nokta olsun.
z = 0 için 2 x – y – 5=
0
0 0
1 1 –2
x + y – 4=
0
0 0
e 1 e 2 e 3
3x = 9&
x = 3, y = 1,
z = 0
0 0 0 0
1 –2 1
x = A+
k.
u
(x, y, z) = (3, 1, 0) + k.(1, 5, 3)
= ^4e + e + e – – 2e + e – 2e
1 3 2h
^ 3 1 2h
= 3e + 3e + 3e u 333 , ,
1 2 3 &
x = 3 + k
= ^ h
y = 1+
5k4
arakesit doğrusunun parametrik denklemidir.
A(x 0 , y 0 , z 0 ) düzlem denklemlerini sağlar.
z = 3k
x – 2 y + z – 1 = 0
0 0 0
4 z = 0 için
x + 2 y – 2z
+ 3 = 0 0 x – 2 y – 1 = 0
0 0
0 0 0
3. Analitik uzayda P(3, –1, 2) noktasının 2x – 2y + z + 8 = 0 düzlemine
uzaklığını bulalım.
x + 2y
+ 3 = 0
0 0
2 x = –2 & x = –1
0 0
Çözüm:
y = – 1 0
2x – 2y + z + 8 = 0 düzleminde A(–3, 0, –2) noktasını alalım.
A(–1, –1, 0) noktasından geçen ve u = (3, 3, 3) vektörüne AP vektörünün N = (2, –2, 1) vektörü üzerindeki dik izdüşü-
bulunur.
AP = P – A = ^3, – 1, 2h– ^– 3, 0, – 2h=
^6, 1,
4h
dPE ^ , h =
< AP,
N > 62 . + ^– 1h. ^– 2h+
41 . 18
=
= = 6 birim
N
2 2
2 + ^–
2h
+ 1
3
bulunur.
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık
91

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık
4. P(3, –5, 4) noktasının, 2x – 6y + 3z + k = 0 düzlemine uzaklığı
6 birim olduğuna göre, k nın alabileceği değerleri bulalım.
Çözüm:
2x – 6y + 3z + k = 0 düzleminde A b – k , , noktasını alalım.
2 00l
k
k
AP P – A 3, – 5, 4 – – , , , – ,
2 00 6 +
= = ^ h b l=
b 54l
2
N = ^2, – 6,
3h
dPE ^ , h =
6 + k
< AP,
N >
2. + ^– 5h. ^– 6h
+ 3.
4
2
=
N
2 2 2
2 + ^–
6h
+ 3
= 6
k+ 6+ 30+
12 k+
48
= 6 &
49
7
= 6
k+ 48 = 42 & k+ 48 = 42 0 k+ 48 = – 42
k = – 6 0 k=
– 90 bulunur.
5. Denklemleri x – y + 2z – 1 = 0 ve 3x – 3y + 6z + 2 = 0
olan düzlemler arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
1
x – y + 2z + 1 = 0 düzlemi üzerinden x = 0, y = 0, z = – olup
2
1
1
P(0, 0, – ) noktasını alalım. P(0, 0, – ) noktasının
2 2
3x – 3y + 6z + 2 = 0 düzlemine uzaklığı paralel olan bu düzlemlerin
arasındaki uzaklıktır.
d =
1
30 . – 30 . + 6. b–
l + 2
2
=
32 2
+ ^–
3h
+ 62
birim bulunur.
6. 3x – 2y + 6z – 5 = 0 ve 6x – 4y + 12z + 18 = 0
düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yerini bulalım.
Çözüm:
E : 3x – 2y+ 6z
– 5 = 0
1
6 x – 4y+ 12 z –10 = 0
4 &
E : 6x – 4y+ 12z+ 18 = 0 2
6x – 4y+ 12z+ 18 = 0
düzlemleri birbirine paraleldir.
1
3 6
D = –10 1
–
D D + 1 D 2 10 + 18
4 & = = = 4
D = 18
2 2
2
⇒ aranan düzlem denklemi 6x – 4y + 12z + 4 = 0
UYGULAMA ADIMI
7. E 1 : 2x – 6y + 3z + 5 = 0
E 2 : 6x – 3y + 2z – 7 = 0
düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yerini bulalım.
Çözüm:
E 1 ve E 2 düzlemlerine eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yeri bu düzlemlerin açıortay düzlemleridir. Bu düzlemleri
D 1 ve D 2 ile gösterirsek;
2x – 6y+ 3z+
5 6x – 3y+
2z
– 7
D =
= "
1,
2 2 2 2 2 2 2
2 + ^–
6h
+ 3 6 + ^–
3h
+ 2
2x – 6y+ 3z+ 5 6x – 3y+
2z
– 7
D =
"
12 ,
=
49
49
D 1 : 2x – 6y + 3z + 5 = 6x – 3y + 2z – 7 ⇒ D 1 : 4x + 3y – z – 12 = 0
D 2 : 2x – 6y + 3z + 5 = –6x + 3y – 2z + 7 ⇒ D 2 : 8x – 9y + 5z – 2 = 0
olarak bulunur.
8. 2x – y + 2z – 6 = 0 ve 2x – y + 2z + 12 = 0
düzlemleri arasındaki uzaklığı bulalım.
Çözüm:
E 1 : 2x – y + 2z – 6 = 0 düzleminde A(0, 0, 3)
E 2 : 2x – y + 2z + 12 = 0 düzleminde P(–3, 0, –3)
noktalarını alalım. AP nin N = (2, –1, 2) üzerindeki dik
izdüşüm uzunluğu iki düzlem arasındaki uzaklığı verecektir.
AP = P – A = ^–3, 0, –6h
4 & dE ^ , E 1 2h
=
N = ^2, –1, 2h
olduğundan
< AP,
N >
N
– 32 . + 0. ^– 1h+
^– 6h. 2 – 18 18
dE ^ , E
6 birim
1 2h
=
= = =
2 2 2
2 + ^–
1h
+ 2 9 3
bulunur.
E : Ax+ By+ Cz+ D = 0
1 1
düzlemleri arasındaki uzaklık
E : Ax+ By+ Cz+ D = 0
4
2 2
D – D 1 2
dE ^ , E 1 2h=
2 2 2
A + B + C
formülünü kullanarak da bulunabilir.
12 – ^–
6h
18
dE ^ , E
6 birim bulunur.
1 2h
=
= =
2 2 2
2 + ^–
1h
+ 2
3
92

9. x + ky – 3z + 3 = 0 ve 2x + 4y + mz + n = 0
paralel düzlemler arasındaki uzaklık 14 birim olduğuna
göre, k + m + n toplamının kaç olabileceğini bulalım.
Çözüm:
E : x+ ky – 3z+ 3 = 0
1
düzlemleri paralel olduğuna göre,
E :2x+ 4y+ mz+ n = 0
4 2
1 k – 3
= =
m
olmalıdır. Buradan k = 2, m = –6 bulunur.
2 4
E : x+ 2y – 3z+ 3 = 0 E : 2x+ 4y – 6z+ 6=
0
1
1
&
E : 2x+ 4y – 6z+ n=
0 E : 2x+ 4y – 6z+ n = 0
2
2
alalım N = (2, 4, –6) dır.
E üzerinde A 1,1, 2
1
^ h
n noktalarını alalım.
E üzerindeP
0, 0, 4 a k
2
6
n – 12
AP = b– 1, – 1,
l
6
n – 12
< AP,
N >
^– 1h. 2 + ^– 1h. 4 + ^– 6h.
6
dE ^ , E
14
1 2h
= & =
N
2 2 2
2 + 4 + ^–
6h
– 2– 4– n+
12
6 – n
14 =
& 14 =
56
2 14
& 28 = 6 – n & 6 – n = 28 0 6 – n=
– 28
n = –22
0
n = 34 bulunur. Dolayısıyla
k + m + n = 2 – 6 – 22 = –26
k + m + n = 2 – 6 + 34 = 30 değerini alabilir.
10. Düzlemleri 2x + y – z – 8 = 0 ve x + y + z – 4 = 0 olan düzlemlerin
arakesit doğrusundan ve P(–1, 2, 2) noktasından
geçen düzlemin denklemini bulalım.
Çözüm:
2x + y – z – 8 = 0 ve x + y + z – 4 = 0 düzlemlerinin arakesit
doğrusundan geçen düzlemlerin denklemi
2x + y – z – 8 + k.(x + y + z – 4) = 0, k ∈ R şeklindedir.
P(–1, 2, 2) noktası düzlem denklemini sağlayacağından
2.(–1) + 2 – 2 – 8 + k.(–1 + 1 + 2 – 4) = 0
–10 + k.(–2) = 0
–2k = 10 ⇒ k = –5 bulunur.
2x + y – z – 8 + –5.(x + y + z – 4) = 0
2x + y – z – 8– 5x – 5y – 5z+ 20 = 0
–3x – 4y – 6z + 12 = 0
3x + 4y + 6z – 12 = 0 istenen düzlem denklemidir.
UYGULAMA ADIMI
11. Denklemleri x + y + z – 2 = 0 ve x – 2y + 2z – 6 = 0
x – 2 y 5
düzlemlerinin arakesitinden geçen ve = + = z – 4
2 3
doğrusuna paralel olan düzlem denklemini bulalım.
Çözüm:
x + y + z – 2 + k(x – 2y + 2z – 6) = 0 ⇒
(1 + k) x + (1 – 2k) y + (1 + 2k) z – 2 – 6k = 0 dır. Buradan
N = (1 + k, 1 – 2k, 1 + 2k) olur. Doğrunun doğrultmanı
u
= (2, 3, 1) dir. Doğru düzleme paralel olduğundan
N = u ve < N,
u > = 0 olmalıdır.
2.(1 + k) + 3(1 – 2k) + 1 + 2k = 0
2 + 2k + 3– 6k+ 1+ 2k = 0&
6–
2k = 0&
k = 3 tür.
x + y + z – 2 + 3(x – 2y + 2z – 6) = 0 ⇒
4x – 5y + 7z – 20 = 0 aranan düzlem denklemidir.
12. Merkezi M(–1, 2, 1) noktası ve 2x – 6y – 9z + 1 = 0 düzlemine
teğet olan kürenin denklemini bulalım.
Çözüm:
Küre verilen düzleme teğet ise kürenin yarıçapı M(–1, 2, 1)
noktasının 2x – 6y – 9z + 1 = 0 düzlemine uzaklığına eşittir.
r =
2. ^– 1h
– 6. 2– 9.
1+
1
22 2 2
+ ^– 6h
+ ^–
9h
22
= = 2 olur.
11
Kürenin denklemi; (x + 1) 2 + (y – 2) 2 + (z – 1) 2 = 2 2 olur.
13. P(1, 2, 3) noktasının 3x + 6y + 6z – 3 = 0 düzlemine uzaklığını
bulalım.
Çözüm:
d =
31 . + 62 . + 63 . – 3
30
= =
9
32+ 62+
62
10
3
birim olur.
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık
93

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık
1. Denklemleri x + 2y – z + 6 = 0 ve 4x + y – 2z – 4 = 0
olan düzlemlerinin arakesit doğrusunun vektörel denklemini
bulunuz.
2. Denklemleri 3x – y + 2z – 7 = 0 ve x + y – 2z – 1 = 0
olan düzlemlerin arakesit doğrusunun parametrik denklemini
bulunuz.
3. x – 2y + 3z + 4 = 0 ve 2x + y – 2z – 1 = 0
düzlemlerinin arakesitinden geçen ve
x – 2
–3
x = 1 – k
y = 2 + 3k
z = 1 + 2k
doğrusuna paralel olan düzlem denklemini bulunuz.
PEKİŞTİRME ADIMI
y 4
= + =
–2
z
–7
x = 2, y = –1 + 8k
z = 4k
x – 7y + 11z + 13 = 0
4. x – 4y + z – 1 = 0 ve 2x + y – 3z – 5 = 0
düzlemlerinin arakesit doğrusundan ve P(1, –1, 2) noktasından
geçen düzlem denklemini bulunuz.
5. Arakesit uzayda P(1, 0, –2) noktasının
x – 2y + 2z – 7 = 0 düzlemine uzaklığını bulunuz.
11x – 17y – 4z – 20 = 0
6. P(3, 1, –1) noktasının x – 3y + z – k = 0 düzlemine uzaklığı
11 birim olduğuna göre, k nın alabileceği değerleri bulunuz.
10
3
k = –12 veya k = 10
94

7. 3 x + 3y – 2z
– 8=
0 düzlemi ile 2 3x+ 6y – 4z+ 4 = 0
düzlemleri arasındaki uzaklığı bulunuz.
8. 3x – y + 2z – 7 = 0 ve 2x + y + 3z – 12 = 0
düzlemlerine eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yerini bulunuz.
9. 3x – 2y + 6z + 7 = 0 ve 6x – 4y + 12z – 2 = 0
x – 2y – z + 5 = 0
5x + 5z – 19 = 0
düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yerini bulunuz.
PEKİŞTİRME ADIMI
5
2
6x – 4y + 12z + 6 = 0
10. x + my – 2z + 4 = 0 ve 3x – 6y + nz + k = 0
düzlemleri arasındaki uzaklık 2 birim olduğuna göre,
m + n + k toplamının toplamının alabileceği değerleri bulunuz.
11. Denklemleri 2x – 3y + z – 11 = 0 ve x + 2y + 5z + 4 = 0
olan düzlemlerin arakesit doğrusundan geçen ve
x – 1 y 1 z – 3
= + = doğrusuna paralel olan düzlem denklemini
4 2 3
bulunuz.
12. 3x – y – z – 4 = 0 ve x + y – 2z – 6 = 0 düzlemlerinin arakesit
doğrusundan geçen ve x = –2k
y = 1 + k
z = 3 + 4k
doğrusuna paralel olan düzlem denklemini bulunuz.
–14 veya 22
41x – 79y – 2z – 273 = 0
16x – 20y + 13z + 30 = 0
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık
95

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
5. Bölüm Uzayda İki Düzlem Arasındaki Açı (Ölçek Açı)
KAVRAMSAL ADIM
BÖLÜM
5
UZAYDA İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ AÇI
E 1
Kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna dik olan düzlemde iki açı
oluşur. Bu açılardan biri dar açı diğeri ise geniş açıdır. Oluşan bu
iki açıdan dar olanına bu iki düzlem arasındaki açı denir. Geniş açı
dar açının bütünleyenidir.
İki düzlem arasındaki açı bulunurken bu düzlemlerin normalleri
arasındaki açı bulunarak hesaplanabilir.
E : A x+ B y+ C z+ D = 0
1 1 1 1 1
E : A x+ B y+ C z+ D = 0
2 2 2 2 2
düzlemleri arasındaki açı a ise;
cos a =
< N , N > 1 2
N . N 1 2
dir.
180–a
N 2
d
E 2
Normalleri dik olan iki düzlem arasındaki açı 90°, normalleri lineer
bağımlı olan
N 1 = λN 2 (λ ∈ IR) olan iki düzlem arasındaki açı 0° dir.
a
N 1
UZAYDA İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ AÇI
(ÖLÇEK AÇI)
UZAYDA BİR DOĞRU VE BİR DÜZLEMİN
BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
DOĞRU İLE DÜZLEMİN ARAKESİT NOKTASI
E: Ax + By + Cz + D = 0 düzlemi ile
– – –
d:
x x y y z z
p 0 =
q
0 =
r
0 = λ
Doğrunun parametrik denklemleri
doğrusu verilsin.
Bu ifadeler düzlem denkleminde yazılırsa
x = x 0 + λp
y = y 0 + λq
z = z 0 + λr dir.
A(x 0 + λ.p) + B(y 0 + λq) + C(z 0 + λr) + D = 0
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + λ(λ.p + B.q + C.r) + D = 0
Buradan λ ifadesi çekilirse
Ax + By + Cz + D
0 0 0
λ = –
parametresi bulunur. Bulunan λ değeri
Ap + Bq + Cr
yukarıdaki denklemlerde yerine yazılarak arakesit noktasının
koordinatları bulunur.
i. Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0
A.p + B.q + c.r ≠ 0 ise doğru ile düzlem tek noktada kesişir.
(ya da doğru düzlemi deler)
ii. Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0
A.p + B.q + Cr = 0 ise doğru düzleme paraleldir.
iii. Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0
Ap + Bq + Cr = 0 ise doğru düzlemin üzerindedir denir.
A
d
E
96

KAVRAMSAL ADIM
KESİŞEN BİR DOĞRU VE BİR DÜZLEMİN
ARASINDAKİ AÇI
E
Uzayda doğru düzleme çakışık veya paralel değilse düzlemi bir
noktada keser. Doğru ile düzlem arasında oluşan açı ya dar açıdır
ya da dik açıdır.
Dolayısıyla doğrunun doğrultman vektörü ile düzlemin normal vektörünün
skaler çarpımlarından yola çıkarak doğru ile düzlem arasındaki
açıyı bulabiliriz.
ifadesinden a açısı bulunur.
UZAYDA İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE
GÖRE DURUMLARI
Uzayda bir P(x 0 , y 0 , z 0 ) noktasından geçen ve u = ^pqr
, , h
vektörüne paralel l 1 doğrusu ile Q(x 1 , y 1 , z 1 ) noktasından geçen
ve V = (p 1 , q 1 , r 1 ) vektörüne paralel l 2 doğrusu verilsin.
l 1 : x = P + ku, (x, y, z) = (x 0 , y 0 , z 0 ) + k(p, q, r); k ∈ R
N
90°–a
π
< u, N > = u . N . cosa
– ak
2
π < u,
N >
cosa
– ak
=
2 u . N
Ap + Bq + Cr
sin a =
2 2 2 2 2 2
A + B + C . p + q + r
l 2 : x = Q + tv, (x, y, z) = (x 1 , y 1 , z 1 ) + t(p 1 , q 1 , r 1 ) doğruları için;
a
V
d
u=(p,q,r)
i. < PQ,uxv>=
0 ise doğrular aynı düzlemde bulunur. Aynı
düzlemde bulunan doğrular kesişebilir, parelel veya çakışık
durumlu olabilirler.
a. u ve v vektörleri lineer bağımsız ise doğrular bir nokta kesişir.
b. u ve v vektörleri lineer bağımlı ise doğrular ya çakışık ya da
paraleldir denir.
1. PQ = λ u olacak şekilde bir λ∈IR varsa yani PQ ile u lineer
bağımlı ise doğrular çakışıktır.
2. PQ = λ u olacak şekilde bir λ∈IR bulunamıyorsa yani PQ ve
u lineer bağımsız ise doğrular paraleldir.
ii.
iii.
< PQ, u xv>
≠ 0 ise doğrular farklı düzlemdedir. Bu tür
doğrulara aykırı doğrular denir.
< u,
v >= 0
ETK‹NL‹K
ise doğrular birbirine diktir.
x+ 3 y – 1 z+ 2 x+ 2 y – 2 z – 3
m = = ve =
3 2 – n =
2
6
olduğuna göre, m + n toplamını bulunuz.
doğruları paralel
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
5. Bölüm Uzayda İki Düzlem Arasındaki Açı (Ölçek Açı)
97

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
5. Bölüm Uzayda İki Düzlem Arasındaki Açı (Ölçek Açı)
1. Denklemleri –2x + 2y + z – 7 = 0 ve x – z + 4 = 0 olan
düzlemlerin ölçek açısının ölçüsünü bulalım.
Çözüm:
–2x + 2y + z – 7 = 0 düzleminin normali N 1 = (–2, 2, 1)
x – z + 4 = 0 düzleminin normali N 2 = (1, 0, –1) dir.
Düzlemlerin ölçek açısı a ise;
cos a =
cos a =
olduğundan
2. Denklemleri 3x – 2y + 3z
+ 2 3 = 0 ve
x + y – 3z
– 3 = 0 olan düzlemler arasındaki açının kosinüs
değerini bulalım.
Çözüm:
< N , N > 1 2
N . N 1 2
– 21 . + 20 . + 1. ^–
1h
2 2 2 2 2 2
^– 2h
+ 2 + 1 . 1 + 0 + ^–
1h
3
1
cos a = & cos a = & x = 45° bulunur.
3 2
2
3x – 2y+ 3z+ 2 3 = 0 düzleminin normali N 3,– 2,
3
1 = ^ h
x + y – 3 z – 3 = 0 düzleminin normali N 1, 1,–
3 dür.
2 = ^ h
< N1,
N2>
cos a =
N1 . N2
olduğundan
cos a =
31 . + 1. ^–
2h
+ 3.–
^ 3h
2 2 2 2 2 2
3 + ^– 2h + ^ 3h . 1 + 1 + ^–
3h
=
2
9+ 4+ 3.
1+ 1+
3
cos a =
2 2
1
= & cos a =
80 4 5
2 5
bulunur.
UYGULAMA ADIMI
3. Denklemleri x+ 2y
– z+ 4 = 0 ve k. x+ 2 y+ z – 7=
0
düzlemleri arasındaki açı 60° olduğuna göre, k değerini
bulalım.
Çözüm:
x+ 2y
– z+ 4 = 0 düzleminin normali N 1, 2,–
1
1 = ^ h
k. x+ 2 y+ z – 7= 0 düzleminin normali N k, 2,
1 dir.
2 = ^ h
cos a =
cos 60° =
olduğundan
x + 1 y – 2 z – 3
4. = = doğrusunun x – 2y + 4z + 5 = 0
– 2 2 3
düzleminin kestiği noktanın koordinatlarını bulalım.
Çözüm:
< N , N > 1 2
N . N 1 2
olsun. Buradan
x = –2k – 1, y = 2k + 2, z = 3k + 3 eşitliklerini
x – 2y + 4z + 5 = 0 düzleminde yerine yazalım.
–2k – 1 – 2.(2k + 2) + 4.(3k + 3) + 5 = 0
k = –2 bulunur.
1.
k + 2. 2 + ^– 1h.
1
2 2 2 2 2 2
1 + ^ 2h + ^– 1h . k + ^ 2h
+ 1
1 k + 1
2
=
& k + 3 = ^k
+ 1h
2 2
2. k + 3
2 2
& k + 3 = k + 2k+ 1&
k = 1 bulunur.
x + 1 y – 2 z – 3
= = = k
– 2 2 3
– 2k – 1– 4k – 4+ 12k + 12+ 5= 0&
6k+ 12= 0 & 6k
= – 12
x = –2k – 1 ⇒ x = –2.(–2) – 1 ⇒ x = 3
y = 2k + 2 ⇒ y = 2.(–2) + 2) ⇒ y = –2
z = 3k + 3 ⇒ z = 3.(–2) + 3 ⇒ z = –3 bulunur.
Doğru ile düzlemin kesim noktası P(3, –2, –3) dür.
98

5. Parametrik denklemi x = 3k + 2
y = 4k – 4
z = 1 – k
olan doğrunun 5x – 2y + z – 1 = 0 düzlemini kestiği noktanın
koordinatlarını bulalım.
Çözüm:
x = 3k + 2, y = 4k – 4, z = 1 – k, 5x – 2y + z – 1 = 0
düzlem denkleminde yerine yazılırsa;
5.(3k + 2) – 2.(4k – 4) + 1 – k – 1 = 0
15k + 10 – 8k + 8 – k = 0 ⇒ 6k + 18 = 0 ⇒ 6k = –18 ⇒ k = –3
x = 3k + 2 ⇒ x = 3.(–3) + 2 ⇒ x = –7
y = 4k – 4 ⇒ y = 4.(–3) – 4 ⇒ y = –16
z = 1 – k ⇒ z = 1 – (–3) ⇒ z = 4 bulunur.
Doğru ile düzlemin kesim noktası P(–7, –16, 4) dür.
x + 2 y – 3
6. 2 x + y+ z – 9 = 0 düzlemi ile = = z +4
2 – 1
doğrusunun arasındaki açıyı bulalım.
Çözüm:
2 x + y+ z – 9 = 0 düzleminin normal vektörü N = ^ 211 , , h
x + 2 y – 3 = = z +4 doğrusunun doğrultman vektörü
2 – 1
u = ^ 2,– 1,
1h
sin a =
sin a =
< u,
N >
u . N
dir. Doğru ile düzlem arasındaki açı a ise
dir. Buradan
2. 2 + 1. ^–1 h + 1.
1
2 2 2 2 2
^ 2h 2
+ ^1h + ^1h . ^ 2h + ^–
1h
+ 1
2 2 1
sin a = = & sin a = & a = 30°
22 . 4 2
bulunur.
UYGULAMA ADIMI
7. Parametrik denklemi x = 5 – k
y = –3 + k
z = 4
olan doğru ile x + z = 2 düzlemi arasındaki açının ölçüsünü
bulalım.
Çözüm:
x + z = 2 düzleminin normal vektörü, N = (1, 0, 1)
x = 5– k
y = –3 + k4 doğrusunun doğrultman vektörü, u = (–1, 1, 0)
z = 4
dır.
Doğru ile düzlem arasındaki açı a ise
< u,
N >
sin a =
dir. Buradan
u . N
1. ^–1 h + 0. 1+
1.
0
sin a =
2 2 2 2 2 2
1 + 0 + 1 . ^–
1h
+ 1 + 0
1
sin a = & a = 45° bulunur.
2
x – 2 y 1 z – 1
8. Uzayda l 1 : = + x + 1 y – 3
= ve l 2 : = = z – 2
1 – 2 3
4 – 1
doğrularının birbirine göre durumlarını inceleyelim.
Çözüm:
l 1 doğrusu A(2, –1, 1) noktasından geçer ve doğrultmanı
u 1,– 2,
3 dür.
1 = ^ h
l 2 doğrusu P(–1, 3, 2) noktasından geçer ve doğrultmanı
u 4,– 1,
1 dir.
2 = ^ h
Eğer < AP,u xu > = 0 ise doğrular aynı düzlemde bulunur.
1 2
AP = P – A = ^– 1– 2, 3– ^– 1h, 2– 1h=
^– 3, 4,
1h
u 1 x u 2 = e 1 e 2 e 3
1 –2 3
4 –1 1
e 1 e 2 e 3
1 –2 3
= ^– 2e – e + 12e – – 8e – 3e e
1 3 2h
^ +
3 1 2h
= – 2e – e + 12e + 8e + 3e – e
1 3 2 3 1 2
= e + 11e + 7e
1 2 3
u xu 111 , , 7 bulunur.
1 2 = ^ h
< AP, u xu > = – 3. 1+ 4. 11+ 1. 7 = 48≠0
olduğundan
1 2
l 1 ve l 2 doğruları aykırı doğrulardır.
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
5. Bölüm Uzayda İki Düzlem Arasındaki Açı (Ölçek Açı)
99

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
5. Bölüm Uzayda İki Düzlem Arasındaki Açı (Ölçek Açı)
1. Denklemleri 2 x – y+ z – 13 = 0 ve 2 x+ y+ z – 7 = 0 olan
düzlemler arasındaki ölçek açının değerini bulunuz.
PEKİŞTİRME ADIMI
60
5. Parametrik denklemi x = 2k + 1
y = 3k + 1
z = 1 – k
olan doğrunun 3x – 2y – z – 6 = 0 düzlemini kestiği noktanın
koordinatlarını bulunuz.
2. Denklemleri y = –x ve –2x + 2y + z – 4 = 0 olan düzlemler
arasındaki ölçek açının değerini bulunuz.
(13, 19, –5)
6.
x + 2 y + 1 z – 7
= = doğrusu ile 4x – 3y + 12z – 13 = 0
– 2 1 2
4.
x – 2 y – 1 z 1
= = + doğrusu 3x – 2y – z – 4 = 0 düzlemini
3 4 2
8. 2x – 3y – 2z+ 5 = 0ve 2x+ 3y+ 2z
– 7 = 0 düzlemi
düzlemi arasındaki açının kosinüs değerini bulunuz.
90
2 2
3. Denklemleri kx + 2y + kz + 7 = 0 ve kx – 2 y – kz+ 1 = 0
3
olan düzlemler arasındaki ölçek açı 60° olduğuna göre, k nın
alabileceği değerleri bulunuz.
x – 3 y 4 z – 2
7. = + = doğrusu ile
2 k – 1
2 x – y – z – 5=
0 düzlemi
arasındaki açı 30° olduğuna göre, k değerini bulunuz.
k = 1 v k = –1
1
kestiği noktanın koordinatlarını bulunuz.
arasındaki açının tanjant değerini bulunuz.
(5, 5, 1)
2 2
100

SINAMA ADIMI
1. A(–1, 0, 2) noktasından geçen ve u = (1, 4, –2) vektörüne
paralel olan doğrunun kartezyen denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
y z 1
A) x – 2 = = + x + 4 y – 2 z + 2
B) = =
4 – 2
– 1 2 4
y z – 2
x y – 2 z – 1
C) x + 1 = =
D) = =
4 – 2
4 – 2 2
y – 2 z
E) x + 1 = = + 2
– 2 4
2. A(5, –3, 2) noktasından geçen ve u = (1, 0, 4) vektörüne
paralel olan doğrunun kertezyen denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
z – 2
z – 2
A) x – 5 = = y + 3 B) x – 5 = y+ 3 =
4
4
z – 2
x – 1 y z – 4
C) x – 5 = y+ 3 =
D) = =
4
5 – 3 2
x – 5 y 3 z – 2
E) = + =
4 – 3 – 2
3. Orijinden geçen ve u = (–3, –2, 4) vektörüne paralel olan
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x – 3 y – 2 z – 4
A) = =
B)
x = y =
z
– 3 – 2 4
– 3 – 2 4
z – 2
C) x – 3 = y+ 2 =
D) x + 3 = y + 2 = z – 4
4
E)
x y z
= =
3 2 4
1
x – 2 y 1 z – 3
4. = + = doğrusunun doğrultman vektörü
4 2 5
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) (2, –1, 3) B) (2, 3, 1) C) (4, 2, 5)
D) (4, –1, 3) E) (2, 2, 3)
5. A(–1, –2, 7) noktasından geçen ve doğrultman vektörü
u = (4, 4, –3) olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
x + 1 y + 2 z – 7
x + 4 y + 4 z + 3
A) = = B) = =
– 3 4 4
– 1 – 2 7
x – 4 y – z
C) D)
– 1
= 4 3
– 2
= + x + 3 y – 4 z + 3
= =
7
– 1 – 2 7
x + 1 y + 2 z – 7
E) = =
4 4 – 3
6.
x – 2 y 3 z – 4
= + =
3 – 2 5
doğrusunun parametrik denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 2 + 3k B) x = 3 + 2k
y = –3 – 2k
y = –2 + 3k
z = 4 + 5k
z = 5 + 4k
C) x = 5 + 3k D) x = 3 + 2k
y = 3 – 2k
y = –2 – 3k
z = 4 – 5k
z = 5 + 4k
E) x = 4 – 5k
y = 3 + 2k
z = 2 – 3k
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
1) C 2) A 3) B 4) C 5) E 6) A
101

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
SINAMA ADIMI
7.
y – 4
x – 3 = = z +3
2
doğrusunun parametrik denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 3 + k B) x = 3 + k
y = 4 + k
y = 4 + 2k
z = 3 – 2k
z = –3 + k
C) x = 2k + 4 D) x = 4 + k
y = y = 1 + k
y = 2 – 3k
z = z = 3 – 3k z = –3k
E) x = 4 – k
y = 4 + 2k
z = 3 + k
8. Parametrik denklemi x = 2 + 3k
y = 1 – 2k
z = 4 + k
olan doğrunun geçtiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2, –2, 4) B) (3, –2, 1) C) (3, 1, 4)
D) (2, –2, 1) E) (2, 1, 4)
x – 2 y 1 z – 3
9. Kartezyen denklemi = + = olan doğrunun
4 2 – 1
geçtiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?
A) (4, 2, –1) B) (4, –1, 3) C) (2, –1, 3)
D) (–2, 2, –1) E) (3, 2, 4)
1
10. Parametrik denklemi x = 2 – k
y = 3
z = 1 + 3k
olan doğrunun doğrultman vektörü aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (–1, 0, 3) B)(2, 3, 1) C) (–1, 3, 3)
D) (2, 3, 3) E) (–1, 3, 1)
x + 3 2 – y 1 + z
11. Kartezyen denklemi = = olan doğrunun
– 2 3 – 4
doğrultman vektörü aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) (–3, –2, –4) B) (–2, –3, –4) C) (–2, 3, –4)
D) (–2, 2, –1) E) (–4, 3, –2)
12. Aşağıdaki noktalardan hangisi denklemi
x + 1 y – 2 z – 3
= = olan doğrunun üzerindedir?
1 2 3
A) (1, 2, –3) B) (0, –2, 4) C) (0, 4, 6)
D) (1, 1, 3) E) (2, 7, 1)
102
7) B 8) E 9) C 10) A 11) B 12) C

SINAMA ADIMI
1. A(2, 0, –1) ve B(1, 1, 4) noktasından geçen doğrunun kartezyen
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x – 1
x – 2 y z
A) = y – 4 = z+
1 B) = = + 1
2
– 1 1 5
x – 2 y z
C) D)
1
= 1
1 = + x – 1 z – 4
=
4
– = y – 1
2 1
x – 2 y 1
E) = + = z – 1
3 2
2. A(1, 2, –1) ve B(0, 0, –3) noktalarından geçen doğrunun
parametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 1 – 2k B) x = k
y = 2 – 2k
y = 2k
z = 1 + k
z = –1 – 3k
C) x = 1 – k D) x = 1 – k
y = 2 – k
y = 2 – 2k
z = –3 – 2k
z = –1 – 2k
E) x = k
y = 2k
z = –1 + 3k
3. Orijinden ve A(–3, 2, 2) noktasından geçen doğrunun kartezyen
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x y z
A) = =
B)
x = y =
z
2 2 3
– 3 2 2
C) x y z
x – 3 y – 2 z – 2
= =
D) = =
3 – 2 2
– 3 2 2
x + 3 y + 2 z + 2
E) = =
3 2 2
2
x + 2 y – 4 z + 5
4. A = (–4, m, n) vektörü = = doğrusuna paralel
olduğuna göre, m – n farkı
2 6 4
kaçtır?
A) –8 B) –4 C) –2 D) 4 E) 8
5. A(2, 1, 3) noktasından geçen ve u = (4, –3, 1) vektörüne
paralel olan doğrunun vektörel denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x = (2, 1, 3) + k.(4, –3, 1)
B) x = (4, –3, 1) + k.(2, 1, 3)
C) x = (4, –3, 1) + k.(2, –4, –2)
D) x = (2, 1, 3) + k.(2, –4, –2)
E) x = (–2, 4, 2) + k.(2, 1, 3)
2x – 2 3y – 1 4z
+ 2
6. Uzayda denklemi = = olan doğrunun
3 4 – 2
doğrultman vektörlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
3 4
A) (2, 3, 4) B) (3, 4, –2) C) , , – 1
b l
2 3 2
2 3 – 2 – 1
D) b , ,–2l
E) b , , – 1l
3 4 3 4
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
1) B 2) D 3) B 4) B 5) A 6) C
103

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
SINAMA ADIMI
7. A(–1, 0, 3) ve B(4, 4, 3) noktalarından geçen doğrunun
vektörel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = (–1, 0, 3) + k(5, 4, 0)
B) x = (4, 4, 3) + k.(–1, 0, 3)
C) x = (–1, 0, 3) + k.(4, 4, 3)
D) x = (5, 4, 0) + k.(4, 4, 3)
E) x = (5, 4, 0) + k.(–1, 0, 3)
8. A(3, 0, –4) ve B(1, 1, –1) noktalarından geçen doğrunun
parametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 1 + 3k B) x = 3 + k
y = k y = 1
z = –4 – k
z = –4 – k
C) x = 3 – 2k D) x = 2 + 3k
y = k
y = 1 – k
z = –4 + 3k
z = 4 – k
E) x = 3k
y = 1 + k
z = –4 + k
x + 1 y – 1 z + 2
9. = = doğrusuna paralel olan ve A(–1, 1, 4)
2 4 3
noktasından geçen doğrunun vektörel denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x = (–1, 1, 4) + k(1, –1, 2)
B) x = (2, 2, 4) + k.(–1, 1, –2)
C) x = (–1, 1, 4) + k.(2, 4, 3)
2
10.
x – 2 y – 1
= , z =3
3 2
doğrusuna paralel olan ve A(–1, 4, 5)
noktasından geçen doğrunun parametrik denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x = 2 + 3k B) x = –1 + 2k
y = 1 + 2k
y = 1 + 2k
z = 3
z = 3k
C) x = –1 – k D) x = –1 + 3k
y = 1 + 4k
y = 4 + 2k
z = 3 – 5k z = 4
E) x = 3 – k
y = 2 + 4k
z = 5k
11. Parametrik denklemi x = 1 – k
y = 2 + 3k
z = 3 – 4k
olan doğruya paralel ve A(–2, 1, –1) noktasından geçen
doğrunun vektörel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = (1, 2, 3) + k.(–1, 2, –4)
B) x = (–2, 6, –1) + k.(1, 2, 3)
C) x = (–2, 1, –1) + k.(–1, 3, –4)
D) x = (–1, 3, –4) + k.(–2, 1, –1)
E) x = (1, 2, 3) + k.(–2, 1, –1)
12. Parametrik denklemi x = 3k
y = 1 + 2k
z = 2 – k
olan doğruya paralel ve A(0, ,2, 3) noktasından geçen
doğrunun vektörel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = (0, –2, 3) + k.(3, 2, –1)
B) x = (3, 2, –1) + k.(0, ,2, 3)
C) x = (0, 2, 3) + k.(3, 2, 1)
D) x = (2, 4, 3) + k.(–1, 1, 4)
E) x = (–1, 1, –2) + k.(–2, 4, 3)
D) x = (0, 1, 2) + k.(0, –2, 3)
E) x = (0, –2, 3) + k.(3, 1, 2)
104
7) A 8) C 9) C 10) D 11) C 12) A

SINAMA ADIMI
1. A(–2, 1, 1) noktasından geçen ve N = (3, 1, 2) vektörüne dik
olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2x + y + z – 6 = 0 B) 2x – y – z + 4 = 0
C) 3x + y – 2z – 7 = 0 D) 3x + y + 2z + 3 = 0
E) x – 2y + 3z – 4 = 0
2. A(1, –1, –2) noktasından geçen ve
u = (2, 1, 5) ve λ 2 = (–3, –1, 4) vektörlerinin belirttiği düzlemin
λ 1 ve λ 2 parametrelerine bağlı (λ 1 , λ 2 ∈ IR)
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = (1, –1, –2) + (2, 1, 5) λ 1 + (–3, –1, 4) λ 2
B) x = (–3, –1, 4) + (1, –1, –2) λ 1 + (–3, –1, 4) λ 2
C) x = (–3, –1, 4) + (1, ,1, –2) λ 1 + (2, 1, 5) λ 2
D) x = (2, 1, 5) + (–3, –1, 4) λ 1 + (1, –1, –2) λ 2
E) x = (1, –1, –2) + (–5, –2, –1)λ 1 + (–3, –1, 4)λ 2
3. Başlangıç noktasından geçen ve N = (–4, ,2, –1) vektörüne
dik olan düzlem denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4x – 2y + z = 0 B) 4x + 2y + z – 4 = 0
C) x – 2y + 4z = 0 D) 2x – 4y – z + 2 = 0
E) 2x – y + 4z = 0
3
4. A(1, –3, –4) noktasından geçen ve
x + 1 y – z z – 3
= =
3 4 5
doğrusuna dik olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 4x – 3y – 2z – 9 = 0 B) 3x + 4y + 5z – 21 = 0
C) 2x – y + 4z – 12 = 0 D) 4x – 3y + 5z – 21 = 0
E) 3x + 4y + 5z + 29 = 0
5. A(0, 2, 4) ve B(1, –3, –1) noktaları veriliyor.
A noktasından geçen ve AB vektörüne dik olan düzlemin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5x – y – 5z + 19 = 0 B) x – 5y – 5z + 30 = 0
C) x – 3y – z + 12 = 0 D) 2x – 5y + 4z – 3 = 0
E) x + 4y – 2z – 9 = 0
6. A(1, 1, 2), B(–1, 0, –1) ve C(0, –3, 2)
noktalarından geçen düzlem denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x + 5y – 7z + 4 = 0 B) 9x – 5y + 3z – 21 = 0
C) 5x + 3y + 7z – 9 = 0 D) 12x – 3y – 7z + 5 = 0
E) 8x + 7y + 2z – 26 = 0
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
1) D 2) A 3) A 4) E 5) B 6) D
105

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
SINAMA ADIMI
7. Orijinden ve A(3, 3, 1), B(0, –1, 0) noktalarından geçen
düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 3z = 0 B) x + y – 2z = 0
C) 3x + 3y + z = 0 D) x – 2y = 0
E) 2x – y + 3z = 0
8. 4x – 2y + 3z + m = 0 düzlemi A(1, 2, –1) noktasından
geçtiğine göre, m kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
9. 4x + 4y – z + 7 = 0 düzlemin normal vektörü u = (12, m, n)
vektörüne paralel olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
3
10. 3x – y + 2z – 6 = 0 düzleminin normal vektörü
u
= (2, a, a + 1) vektörüne dik olduğuna göre,
a nın değeri kaçtır?
A) 6 B) 4 C) –2 D) –6 E) –8
11. –2x + 3y – 4z + 5 = 0 düzleminin normal vektörü
x – 2 y 3 z – 4
= + = doğrusunun doğrultman vektörüne dik
k 2 – 2
olduğuna göre, k değeri kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8
12. A(3, 2, –4) noktasından geçen ve x – 3y + 4z – 6 = 0 düzlemine
paralel olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x – 3y + 4z – 2 = 0 B) 3x – y + 4z + 15 = 0
C) x – 3y + 4z + 19 = 0 D) 3x + 2y – 4z – 17 = 0
E) 4x – 3y + z – 6 = 0
106
7) A 8) B 9) D 10) E 11) D 12) C

1.
x + 1 y – 3 z + 3 –
ve x 2 y 1
= = = + , z = 3
– 2 1 2 1 2
SINAMA ADIMI
doğrularının belirttiği düzlemin denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2x – y + 5z – 11 = 0
B) x + 3y + z – 8 = 0
C) 2x – 5y + 4z – 17 = 0
D) 4x – 2y + 5z + 25 = 0
E) 3x + 2y + 4z + 11 = 0
2. A(1, –1, 0) noktasının
x – 1 y 1
= + = z – 2
2 – 2
doğrusuna
uzaklığı kaç birimdir?
4 2
A) 3 2 B) 2 3
C)
3
3 3
4 2
D) E)
4
4
x – 2 y z – 1
3. A(1, 0, 1) noktasının = = doğrusuna uzaklığı
1 2 2
kaç birimdir?
4
4. A(1, 1, –1) noktasının parametrik denklemi
x = 2–3k
y = 1+
4k
z = –1 + 12k
4
doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
2 10
4 10
6 2
A) B) C)
13
13
13
5. A(3, 4, 2) noktasının vektörel denklemi
x
8 2
9 3
D) E)
13
13
= (4, 3, 1) + k.(2, 1, –2)
olan doğruya uzaklığı kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 6
6. Denklemleri 2x – 3y + 2z + 4 = 0 ve 4x – 6y + mz + n = 0
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
2 2
2
3 2
A) B) C)
3
3
5
2 3
D) E) 2 5
3
olan paralel düzlemler arasındaki uzaklık 17 birim
olduğuna göre, n nin pozitif değeri kaçtır?
A) 26 B) 30 C) 34 D) 42 E) 48
1) D 2) C 3) A 4) B 5) B 6) D
107

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
7. Denklemleri
6x – (m – 1)y + (n – 2)z + 4 = 0 ve
SINAMA ADIMI
2x + 3y + 6z – 21 = 0 olan düzlemler birbirine paralel
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20
8. Denklemleri (m + 3)x + 2y – (k + 3)z – 5 = 0 ve
(m – 2)x + y + 2z – 7 = 0 düzlemleri birbirine paralel olduğuna
göre, m + k toplamı kaçtır?
A) –4 B) –6 C) –8 D) –10 E) –12
9. Denklemleri 3x + (m – 2)y + 8z + 5 = 0 ve
mx + 2y + 8z + 7 = 0 olan düzlemler birbirine dik olduğuna
göre, m kaçtır?
A) –12 B) –10 C) –8 D) –6 E) –4
4
10. Denklemleri 2x + (n – 3)y + 2z – 1 = 0 ve
x – y + (m – 2)z + 11 = 0 olan düzlemler birbirine dik olduğuna
göre, 2m – n farkı kaçtır?
A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
11. Denklemleri 4x + ky + 6z – 5 = 0 ve
2x + 6y – (2m – 4)z – n = 0 olan düzlemler çakışık olduğuna
göre, m + n + k toplamı kaçtır?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24
12. A(–1, 0, 2) noktasından geçen x – 3y + nz + 7 = 0 düzlemi
2x + my – kz + 12 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre,
k + m + n toplamı kaçtır?
A) –7 B) –3 C) –1 D) 4 E) 8
108
7) C 8) C 9) A 10) B 11) C 12) B

1. Denklemleri x – 2y + z = 5 ve x + y – 2z = 2
SINAMA ADIMI
olan düzlemlerin arakesit doğrusu aşağıdakilerden hangisidir?
x – 2 y – 2 z – 4
A) = =
3 – 3 2
y 1 z
B) x – 4 = + =
2 4
x – 3 y 1 z
C) = + =
3 3 3
z – 2
D) x – 1= y+ 1 =
3
x + 1 y – 3 z + 4
E) = =
3 3 – 1
2. Denklemleri 3x – 2y + z – 4 = 0 ve
x + 2y + z + 12 = 0 olan düzlemlerin arakesit doğrusunun
parametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 2 + 4k, y = 1 + 2k, z = 4k
B) x = –2, y = –3 + 4k, z = 4 + 8k
C) x = 1 – 3k, y = 1 + k, z = 2 – k
D) x = 1 – 2k, y = 1 + 4k, z = 3 – 3k
E) x = 5 + 3k, y = 2k, z = 1 + 4k
3. Analitik uzayda A(1, 2, 4) noktasının
2x + 6y + 3z – 12 = 0 düzlemine uzaklığı kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5
4. A(0, –1, –2) noktasının 3x – 4y + 12z + k = 0
düzlemine uzaklığı 2 birim olduğuna göre,
k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 28 B) 32 C) 36 D) 40 E) 48
5. x – 4y + 2z + 12 = 0 ve 2x – 8y + 4z – 4 = 0
düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 4y + 2z + 5 = 0 B) 2x – 4y + 6z – 18 = 0
C) 4x + 2y + 2z – 10 = 0 D) 2x – 8y + 4z – 16 = 0
E) x – 4y + 2z – 3 = 0
6. x – 2y + 2z – 12 = 0 ve 2x – 4y + 4z + 6 = 0
düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
1) C 2) B 3) B 4) D 5) A 6) E
109

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
7. x – 2y + z + k = 0 ve 2x – my + nz + 4 = 0
paralel düzlemleri arasındaki uzaklık
k + m + n toplamının en küçük değeri kaçtır?
SINAMA ADIMI
6 birim olduğuna göre,
A) –8 B) –4 C) 2 D) 4 E) 8
8. Denklemleri x + y – 2z – 12 = 0 ve x – y + z + 7 = 0
olan düzlemlerin arakesit doğrusundan ve A(1, 0, –3)
noktasından geçen düzlemin denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2x + y + 3z + 8 = 0 B) x + 3y + 2z – 4 = 0
C) 2x – y + 3z – 6 = 0 D) x + y + 2z – 5 = 0
E) 2x – z – 6 = 0
9. Denklemleri 3x – y + 2z – 14 = 0 ve x + y – 2 = 0 düzleminin
arekesitinden ve A(2, 1, –2) noktasından geçen düzlem
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4x + 8y + 2z – 12 = 0 B) 8x + 6y + z – 20 = 0
C) x + 4y – 6z – 22 = 0 D) 2x + 4y – 3z – 7 = 0
E) 2x + y – 6z + 12 = 0
5
10. A(0, –2, –1) noktasının 6x – 2y + 3z – m = 0 düzlemine uzaklığı
3 birim olduğuna göre, m sayısının pozitif değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 12
11. 2x – 2 3 y –3z – 16 = 0 ve –2x + 2 3 y + 3z – 24 = 0
düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 1
12. 2x – y + 4z – 4 = 0 ve 4x + y + 2z + 12 = 0
düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 2y + 2z + 15 = 0 B) x + 2y + 2z – 8 = 0
C) 2x + 2y – z – 6 = 0 D) x + y – z – 4 = 0
E) x + 2y – z – 8 = 0
110
7) C 8) E 9) B 10) A 11) A 12) D

SINAMA ADIMI
1. Denklemleri x – 2y – z + 4 = 0 ve 2x + 2y + z + 11 = 0
olan düzlemlerin arekesit doğrusundan geçen ve
x – 2 y
= + 1 , z = –4 doğrusuna paralel olan düzlemin
4 – 2
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x + 7y – z + 7 = 0
B) 7x + 3y – 4z + 14 = 0
C) 5x – 6y + 11z – 12 = 0
D) 3x + 4y – 7z + 12 = 0
E) x + 2y + z + 6 = 0
2. Denklemleri x – 3y + 4z – 6 = 0 ve x + y – 2z – 2 = 0
olan düzlemlerin arakesit doğrusundan geçen ve
x = 1 – k
y = 2k
z = 3 + k doğrusuna paralel olan ve düzlemin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 3y – 5z = 0
B) 4x + 6y – 7z + 12 = 0
C) 4x + 7y – 8z – 4 = 0
D) 2x + 5y + 7z – 9 = 0
E) 6x + 5y – 8z – 14 = 0
3. 2 2x – 2y + 2z – 16 = 0 ve 2 2x + 2y + 2z – 11 = 0
düzlemleri arasındaki ölçek açının ölçüsü kaç derecedir?
6
4. x + y – 2 z + 7 = 0 ve x – y + 2 z – 4 = 0
düzlemleri arasındaki ölçek açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 120 B) 90 C) 60 D) 45 E) 15
5. 2x + y – 2z + 6 = 0 ve 2x + 2y – z – 2 = 0
düzlemleri arasındaki açının tanjant değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
17
15
A) B) C)
8
2
6
D) E)
3
6. x – y + 2 z + 6 = 0 ve a.x + y – 2 z – k = 0
düzlemleri arasındaki açının 60° olması için a değeri kaç
olmalıdır?
2
2
7
3
ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 90
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
1) E 2) A 3) D 4) C 5) A 6) D
111

ÜNİTE – 2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sinama Adımı
x z – 1
7. = y – 1 = doğrusunun 2x – 3y + z + 12 = 0
2 – 2
SINAMA ADIMI
düzleminin kesim noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) (11, 7, 21) B) (10, –7, 4)
C) (20, 11, –9) D) (3, 8, 12)
E) (–3, 11, 19)
8. Parametrik denklemi x = 2k + 1
y = 3k – 1
z = 2 – k
olan doğrunun x – y + 2z – 12 = 0 düzlemini kestiği noktanın
2x + 2y + z – 8 = 0 düzlemine olan uzaklığı kaç birimdir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
9. Vektörel denklemi x = (–1, –1, –2) + k.(2, 2, 1) olan doğru ve
x + 2y + z – 2 = 0 düzleminin kesim noktası aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (1, 1, –1) B) (–1, 0, 0)
C) (3, –2, –1) D) (1, 2, 1)
E) (2, 2, 9)
6
x – 2 y 2
10. = + = z doğrusu ile x + 2y + z – 7 = 0
– 1 2
düzlemi arasındaki açının cotanjant değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 5 B) 2 5 C) 3 5
5
D) E)
2
x + 1 y – 2
11. = = z +1 doğrusu ile 2x – y + z – 1 = 0
2 – 1
düzleminin arakesit noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–1, 0, 1) B) (1, 1, 0) C) (–1, 2, 2)
D) (1, 3, 1) E) (2, 2, –1)
x + 9
12. = y – 3 = 1–
z doğrusu ile x – y – 2z + 4 = 0
2
düzlemi arasındaki dar açının ölçüsü aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75
5
4
112
7) C 8) E 9) A 10) D 11) B 12) B

DERS NOTLARI
ÜNİTE – 2
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
113