Matematik-lojik-9

9.Konu
Doğal sayılar
Kalanlı bölme; Peano aksiyomları; Tümevarım prensipleri;
∑ ve ∏ sembolleri
1. Kalanla bölme
2. Peano aksiyomları
3. Tümevarım prensipleri
4. ∑ ve ∏ sembolları
5. Doğal sayılarının kuvvetlerı
6. Kardinal sayılar
7. Alıştırmalar
1. Kalanlı bölme
1.Teorem: ve , olsun.
ve olacak biçimde bir tek ve bir tek
vardır.
1.Tanım: Herhangi bir y doğal sayılısını sıfırdan farklı bir x doğal sayısına
kalanla olarak bölmek demek,
ve
olacak biçimde ve doğal sayıları bulmak demektir.
Bu durrumda q sayısına bölüm, r sayısına kalan denir.
Tanıma göre doğa sayılar kümesinde tanımlanan kalanla bölme ile
kümesinden kümesine bir fonksiyon tanımlanmış olur.
( ) ( )
Burada, ve .
1.Örnek: , x=625
25=0∙625+25 ve 0

P5. ( ve ) (Matematik İndüksiyon
Prensibi)
3.Tümevarım prensipleri
3.Teorem: n doğal sayısına bağımlı bir B(n) bağıntısı
(a) 1 doğal sayısı için doğru: B(1) doğru.
(b) n için doğru ise n+1 için de doğru: B(n) doğru ise B(n+1) doğru olur.
Bu önermelerin ikisi de doğru ise B(n) bağıntısı bütün doğal sayılar için
doğrudur.
3.Örnek:
sayıma sayılar kümesi.
( )
önermesinin doğru olduğunu gösteriniz.
( ) ’’ biçimdedir. Bu açık önermesinin
Çözümü: Verilen önerme ‘‘
doğruluk kümesini D ile gösterelim. D=S olduğunu ispatlamak gerekir ve yeter.
olduğunu göstermek için P(n) de n yerine 1 yazılır. Böylece P(1)
( )
önermesi olur. P(1) önermesinin doğruluğuna göre .
olduğunu göstermek için, ’’ ( ) ( )’’
önermesinin doğru olduğunu gösterilmelidir.
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
olduğundan
( )
( )
( )
dır. Öyleyse, D=S.
4. ∑ ve ∏ sembolları
1.Tanım: ( ) değişmeli ve birimli halka olsun. için A
nın bir ve yalnız bir elemanının bulunduğunu varsayalım.
toplamı kısaca, ∑ biçiminde gösterilir ve “i nin
1 den n ye kadar değerleri için elemanlarının toplamı” diye okunur.
Bunun gibi, çarpımı kısaca, ∏ biçiminde gösterilir ve
“i nin 1 den n ye kadar değerleri için elemanlarının çarpımı” diye okunur.
Buna göre,
∑
∏
1.Teorem: ( ) değişmeli ve birimli halka olsun. için
ve 1

1.Teorem: ( ) değişmeli ve birimli halka olsun. olduğuna ğöre,
a) ∑
) ∏
5. Doğal sayılarının kuvvetlerı
1.Tanım: olsun.
a) dir.
b) dir.
c) olduğuna göre, dir.
ye x in n inci kuvveti denir ve “x üssü n” diye okunur. x e taban n ye üs
denir.
1.Teorem:
olsun.
a) dir.
b) ( ) ( ) dir.
c) ( ) ( ) dir.
d) dir.
6. Kardinal sayılar
1.Tanım: Kardinal sayılar ya da nicel sayılar, kısaca kardinaller; bir kümenin
kardinalitesi ya da nicesi olarak bilinen büyüklüğünü göstermek için kullanılan
sayılardır.
Sonlu kümelerde kardinalite, kümenin öğe sayısını gösteren doğal bir
sayıdır. Sonsuz kümelerin öğe sayısını tanımlamak için transfinite kardinal
sayılar vardır.
Sonsuz bir S kümesinin öz alt kümesi olan bir A kümesi, S ile aynı
kardinalitede olabilir. Bütün sonsuz kümeler aynı kardinaliteye sahip değildir.
Sonsuz kümelerin kardinaliteleri (okunuşu alef, ibranice alfabenin ilk harfi)
harfi ile tanımlanır.
Kardinal sayılar: .
Yukarıda görüleceği gibi doğal sayıları (sonlu kardinaller), alef sayıları (sonsuz
kardinaller) takip eder. Doğal sayılar ve alef sayıları sıral sayıların alt
sınıflarıdır.

. .
- . .
.
( а ).
7.Alıştırmalar
Aşağıdakilerin doğruluğunu gösteriniz (S= ).
1. ( )
2. ( ) ( )
3. ∑ ( ) ( )
4. ∑ ( )
5. ∑ ( )( )
6. ∑ ( ) ( )( )
7. ∑ ( )
8. ∑ ( )
9. ∑ ( ) ( )
10.
11. ( )
12. ( )
13. ( )
14. ( ( )( ))
15.
16.
17. ∑ ∑
18. ∏ ∏ ( )
19. ∏ ∏ ( )
20. ∑ ( ) sayısının birler basamağında hangi rakam bulunur?
Aşağıdaki problemlerde (H,+, .) bir tamlık bölgesidir, yani sıfırın böleni yok
olan değişmeli ve birimli bir halkadır. Önermelerin doğruluğunu gösteriniz.

21. ∑ ∑
22. için ve
∑ ( ) ∑ ∑
23. için ∑ ( ) ∑ ∑
24. için ∑ ( ) ∑ ∑
25. için ve ∑ ∑
26. için ∑ ( )
27. için ∏