Ker f

Sonuç olarak h izomorfizm olduğundan Q ⊗ Q ∼ = Q elde edilir.
f : Q −→ Q ⊗ Q, q ↦−→ f(q) = q × 1 dönüşümünün de bir izomorfizm olduğu kolayca görülebilir.
6. Q rasyonel sayılar olmak üzere Hom Z (Q, Q) ∼ = Q olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
φ : Hom(Q, Q) −→ Q
f ↦−→ φ(f) = f(1)
ile tanımlayalım.
•f, g ∈ Hom(Q, Q) , r ∈ Z için
φ(f + g) = (f + g)(1) = f(1) + g(1) = φ(f) + φ(g)
φ(rf) = (rf)(1) = f(1.r) = f(r.1) = r.f(1) = r.φ(f)
Böylece φ modül homomorfizmasıdır.
•f ∈ ker φ olsun. O halde φ(f) = 0 dır.∀r ∈ Z için
f(r) = r.f(1) = r.φ(f) = r.0 = 0 ⇒ f = 0 ⇒ Ker φ = 0 ⇒ φ monomorfizmadır.
• Her a ∈ φ için f(a) = ra ile tanımlanan f : Q −→ Q fonksiyonu bir homomorfizmadır. Diğer
taraftan;
φ(f) = f(1) = 1.a = a ⇒ φ epimorfizmadır. O halde φ izomorfizmadır. Böylece Hom(Q, Q) ∼ = Q olur.
7. Z n serbest Z-modül müdür Z n projektif modül müdür Açıklayınız.
Çözüm : 0 ∈ Z n elemanı n.1 ve 2n.1 olarak iki türlü yazılabildiğinden Z n serbest modül değildir.
Z n modülünün projektif olduğunu kabul edelim. f : Z −→ Z n ile çarpım homomorfizması ve
p : Z −→ Z n doğal homomorfizm olsun.
0 −→ Z −→ f
Z −→ p
Z n −→ 0
tam dizidir. Z n projektif olduğundan bu dizi parçalanandır. Böylece Z ∼ = Z ⊕ Z n elde edilir. Bu bir
çelişkidir. Z n projektif değildir.
8. Z 2 , Z 6 - modülünün projektif fakat serbest olmadığını gösteriniz.
Çözüm: Z 2 = {¯0, ¯1} olmak üzere {¯1} ⊂ Z 2 , Z 6 -modülünün bazı olsun. O halde ¯0 ∈ Z 2 için ¯2, ¯4 ∈ Z 6
olmak üzere;
¯2.1 = ¯0 ¯4.1 = ¯0 olacak şekilde iki türlü yazılır. ancak serbest modül olması için tek türlü yazılması
gerekirdi. Böylece Z 2 , Z 6 -modülü serbest değildir. Z 2 , Z 6 -modülünün projektif olduğunu gösterelim.
Z 2 modülü , her f : A −→ B epimorfizması ve her g : Z 2 −→ B homomorfizması için g = f ◦ h olacak
şekilde bir h : Z 2 −→ A homomorfizması bulunabilir mi
4