CEB RSEL TOPOLOJ ( .Ö.) ARA SINAV CEVAP ANAHTARI

ile tanmlansn. I üzerindeki identikasyon topolojisinin do§al topoloji oldu§unu gösteriniz.
Çözüm: I üzerindeki identikasyon topolojisini τ q , do§al topolojiyi de τ d
ile gösterelim.
I üzerindeki do§al topoloji için alt baz eleman olan [0, a) ve (b, 1] aralklar için
f −1 ([0, a)) = (−∞, a) ve f −1 ((b, 1]) = (b, ∞) aralklar do§al topolojinin alt baz elemanlardr.
Bu durumda τ d ⊆ τ q .
Tersine, her i için f −1 (G i ) = (a, b) ∨ (−∞, a) ∨ (b, ∞) olmak üzere identikasyon uzayndaki
bir açk küme A = ∪G i yazlabilirdir. Böylece 0 < a < b < 1 olmak üzere [0, a),
(b, 1] ve (a, b) aralklar bölüm topolojisinde açktr; yani τ q ⊆ τ d .
4. f : S 2 → R 3 ³eklindeki her sürekli fonksiyonun bir sabit fonksiyona homotop oldu§unu
gösteriniz.
Çözüm: f : S 2 → R 3 sürekli bir fonksiyon; p = (0, 0, 0) ∈ R 3 ve her x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ S 2
için c 0 (x) = p olmak üzere c 0 : S 2 → R 3 sabit fonksiyon olsun. R 3 konveks oldu§undan
H(x, t) = (1 − t)c 0 (x) + tf(x) ile tanml H : S 2 × I → R 3 dönü³ümü bir homotopidir;
çünkü f ve c 0 fonksiyonlar sürekli ve sürekli fonksiyonlarn çarpm ve toplam sürekli
oldu§undan H süreklidir; ayrca H(x, 0) = c 0 (x) = p ve H(x, 1) = f(x).
5. h : (X, x 0 ) → (Y, y 0 ) bir homeomorzm ise, h dönü³ümünün indirgedi§i h ∗ : π 1 (X, x 0 ) →
π 1 (Y, y 0 ) homomorzminin bir izomorzm oldu§unu ispatlaynz.
Çözüm: h : (X, x 0 ) → (Y, y 0 ) bir homeomorzm olsun. O zaman k◦h = id X ve h◦k = id Y
olacak ³ekilde k : (Y, y 0 ) → (X, x 0 ) sürekli dönü³ümü vardr.
(h ◦ k) ∗ = (id Y ) ∗ ⇒ h ∗ ◦ k ∗ = (id Y ) ∗ ⇒ h ∗ surjektif
(k ◦ h) ∗ = (id X ) ∗ ⇒ k ∗ ◦ h ∗ = (id X ) ∗ ⇒ h ∗ injektif
oldu§undan h bir izomorzmdir.
6. X basit ba§lantl bir topolojik uzay ve x, y ∈ X farkl noktalar olsun. X uzaynda