CEB RSEL TOPOLOJ ( .Ö.) ARA SINAV CEVAP ANAHTARI

24.11.2011
CEB RSEL TOPOLOJ
( .Ö.) ARA SINAV CEVAP ANAHTARI
1. [0, 1] ∪ (2, 3] → [0, 1] her sürekli bijeksiyon bir homeomorzm midir Cevabnz açklaynz.
Çözüm: f : [0, 1] ∪ (2, 3] → [0, 1] fonksiyonunu
⎧
⎨
f(x) =
⎩
x, x ∈ [0, 1];
2
x−1, x ∈ (2, 3].
2
ile tanmlarsak, f sürekli bir bijeksiyondur fakat f −1 sürekli de§ildir. Dolaysyla f bir
homeomorzm olmaz.
2. X = S 1 ∪ {(x, 0) : x ∈ R} ve Y = S 1 ∪ {(x, 1) : x ∈ R} uzaylar homeomorf mudur
Cevabnz açklaynz.
Çözüm: X uzayndan A ve B gibi iki nokta çkarld§nda kalan uzay hala ba§lantl
olur. Fakat Y uzayndan C noktas ile birlikte ba³ka bir nokta daha çkarlsa kalan uzay
ba§lantsz olur. Bu durumda X ve Y uzaylar birbirine homeomorf olmaz.
3. I = [0, 1] olmak üzere f : R → I fonksiyonu
⎧
0, x < 0 ise;
⎪⎨
f(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1 ise;
⎪⎩ 1, x > 1 ise.

ile tanmlansn. I üzerindeki identikasyon topolojisinin do§al topoloji oldu§unu gösteriniz.
Çözüm: I üzerindeki identikasyon topolojisini τ q , do§al topolojiyi de τ d
ile gösterelim.
I üzerindeki do§al topoloji için alt baz eleman olan [0, a) ve (b, 1] aralklar için
f −1 ([0, a)) = (−∞, a) ve f −1 ((b, 1]) = (b, ∞) aralklar do§al topolojinin alt baz elemanlardr.
Bu durumda τ d ⊆ τ q .
Tersine, her i için f −1 (G i ) = (a, b) ∨ (−∞, a) ∨ (b, ∞) olmak üzere identikasyon uzayndaki
bir açk küme A = ∪G i yazlabilirdir. Böylece 0 < a < b < 1 olmak üzere [0, a),
(b, 1] ve (a, b) aralklar bölüm topolojisinde açktr; yani τ q ⊆ τ d .
4. f : S 2 → R 3 ³eklindeki her sürekli fonksiyonun bir sabit fonksiyona homotop oldu§unu
gösteriniz.
Çözüm: f : S 2 → R 3 sürekli bir fonksiyon; p = (0, 0, 0) ∈ R 3 ve her x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ S 2
için c 0 (x) = p olmak üzere c 0 : S 2 → R 3 sabit fonksiyon olsun. R 3 konveks oldu§undan
H(x, t) = (1 − t)c 0 (x) + tf(x) ile tanml H : S 2 × I → R 3 dönü³ümü bir homotopidir;
çünkü f ve c 0 fonksiyonlar sürekli ve sürekli fonksiyonlarn çarpm ve toplam sürekli
oldu§undan H süreklidir; ayrca H(x, 0) = c 0 (x) = p ve H(x, 1) = f(x).
5. h : (X, x 0 ) → (Y, y 0 ) bir homeomorzm ise, h dönü³ümünün indirgedi§i h ∗ : π 1 (X, x 0 ) →
π 1 (Y, y 0 ) homomorzminin bir izomorzm oldu§unu ispatlaynz.
Çözüm: h : (X, x 0 ) → (Y, y 0 ) bir homeomorzm olsun. O zaman k◦h = id X ve h◦k = id Y
olacak ³ekilde k : (Y, y 0 ) → (X, x 0 ) sürekli dönü³ümü vardr.
(h ◦ k) ∗ = (id Y ) ∗ ⇒ h ∗ ◦ k ∗ = (id Y ) ∗ ⇒ h ∗ surjektif
(k ◦ h) ∗ = (id X ) ∗ ⇒ k ∗ ◦ h ∗ = (id X ) ∗ ⇒ h ∗ injektif
oldu§undan h bir izomorzmdir.
6. X basit ba§lantl bir topolojik uzay ve x, y ∈ X farkl noktalar olsun. X uzaynda

a³langç noktas x ve biti³ noktas y olacak ³ekilde bir tek yol homotopi snf vardr.
Gösteriniz.
Çözüm: f ve g, X uzaynda x noktasndan y noktasna iki yol olsun. ∗ i³lemi yol homotopi
snar üzerinde bir grupoid oldu§undan birim elemanlara sahiptir. Bu durumda
[f] ∗ [g] = [e x ] ⇒ [f] ∗ [g] ∗ [g] = [e x ] ∗ [g] ⇒ [f] = [g]
elde edilir.
7. Büzülebilir bir uzayn retraksiyonunun da büzülebilir oldu§unu gösteriniz.
Çözüm: X büzülebilir oldu§undan her x ∈ X için c 0 : X → X c 0 (x) = x 0 ile tanml bir
sabit fonksiyon olmak üzere H(x, 0) = id X ve H(x, 1) = c 0 olacak ³ekilde bir H : X ×I →
X homotopi dönü³ümü vardr. r : X → A retraksiyon olsun. Bu durumda her (a, t) ∈ A×I
için G(a, t) = r(H(a, t)) ile tanml G : A × I → A dönü³ümü süreklidir; çünkü r ve H
süreklidir ve bile³keleri de sürekli olur. Ayrca G(a, 0) = id A ve G(a, 1) = r(x 0 ). O halde
id A ≃ c r(x0 ) dr; yani A büzülebilirdir.
8. I = [0, 1], Y yol ba§lantl bir uzay ve [I, Y ], I dan Y uzayna sürekli dönü³ümlerin
homotopi snarnn kümesi olmak üzere [I, Y ] kümesinin tek elemanl oldu§unu
gösteriniz.
Çözüm: f : I → Y , f(0) = x ve f(1) = y olacak ³ekilde bir yol; c 0
: I → Y , her
t ∈ I için c 0 (t) = p ile tanml bir sabit dönü³üm olsun. Y yol ba§lantl oldu§undan
α(0) = x = f(0) ve α(1) = p = c 0 (t) olacak ³ekilde bir α : I → Y yolu vardr.
⎧
⎨ f((1 − 2s)t), s ∈ [0, 1/2];
H(t, s) =
⎩ α(2s − 1), s ∈ [1/2, 1].
ile H : I × I → Y dönü³ümünü tanmlayalm. f ve α sürekli, ayrca s = 1/2 için
H(s, 1/2) = f(0) = x = α(0) oldu§undan Pasting lemmadan H süreklidir. H(s, 0) = f(s)
ve H(s, 1) = α(1) = p = c 0 (t). O halde f ≃ c 0 . ≃ bir denklik ba§nts oldu§undan tüm f
yollar ≃ altnda denk olaca§ndan [I, Y ] tek elemanldr.