MAT113 Lineer Cebir Ders Notlari

İçindekiler
1 Lineer Denklemler ve Matrisler 3
1.1 Lineer Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Matrisler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Matris İşlemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Matris Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Scaler ile Matris Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Bir Matrisin Transpozu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Matrislerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Matris İşlemlerinin Cebirsel Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Lineer Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Lineer Denklemlerin Çözümü 34
2.1 Bir Matrisin Eşelon Formu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Lineer Denklem Sitemlerinin Çözümü . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Homojen Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Elemanter Matrisler ve A −1 Ters Matrisi Bulmak . . . . . . . . 52
1

3 Determinantlar 61
3.1 Temel Tanımlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Determinant Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Kofactor Açılımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Bir Matrisin Tersi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Determinantların Bir Başka Uygulaması . . . . . . . . . . . . . 83
4 Reel Vektör Uzayları 88
4.1 Düzlemde (R 2 ) Vektörler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2 Uzayda (R 3 ) Vektörler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Reel Vektör Uzayları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2

Bölüm 1
Lineer Denklemler ve Matrisler
1.1 Lineer Denklem Sistemleri
Matematik, Fizik, Biyoloji, Kimya, Ekonomi, Muhendislik alanları, Sosyal Bilimler
gibi bir çok alanlardaki yapılan çalışmalarda çoğu kez karşılaşılan problemlerden
biri verilen bir Lineer Denklem Sisteminin çözümünü elde etmektir.
Şimdi a 1 , a 2 , . . . , a n ve
üzere
b önceden verilen reel veya komplex sabitler olmak
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + · · · + a n x n = b (1.1)
şeklindeki bir denkleme x 1 , x 2 , . . . , x n bilinmeyenlerine göre bir Lineer Denklem
denir.
Bir s 1 , s 2 , . . . , s n sayı dizisine (1.1) lineer denkleminin bir çözümü denir,
eğer x 1 = s1, x 2 = s 2 , . . . , x n = s n ler (1.1) de yerine konulduğunda denklem
sağlanıyorsa. Örneğin, x 1 = 2, x 2 = 3, ve x 3 = −4
denkleminin bir çözümüdür çünkü,
6x 1 − 3x 2 + 4x 3 = −13
6 · (2) − 3 · (3) + 4 · (−4) = −13 dür.
Daha genel olarak; x 1 , x 2 , . . . , x n bilinmeyenlerine göre m tane lineer denklemden
oluşan sistem
3

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + · · · + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + · · · + a 2n x n = b 2
a 31 x 1
.
+ a 32 x 2
.
+ a 33 x 3
.
+ · · · + a 3n x n
.
= b 3
.
(1.2)
a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + · · · + a mn x n = b m
şeklindedir. Bir s 1 , s 2 , . . . , s n sayı dizisine (1.2) lineer denklem sisteminin
bir çözümü denir, eğer x 1 = s1, x 2 = s 2 , . . . , x n = s n ler (1.2) deki herbir
denklemde yerine konulduğunda (1.2) deki denklemler sağlanıyorsa. Eğer (1.2)
denklem sisteminin bir çözümü yoksa denklem sistemine tutarsız denir.
Eğer, (1.2) denklem sisteminde b 1 = b 2 = b 3 = · · · b n = 0 ise bu sisteme
homojen sistem denir. Dikkat edecek olursak; x 1 = x 2 = x 3 = · · · x n = 0
homojen denklemin daima bir çözümüdür ve bu çözüme aşikar çözüm denir.
x 1 , x 2 , x 3 , · · · x n = 0 lerin hepsinin aynı anda sıfır olmadığı çözümlere de
aşikar olmayan çözüm denir.
Şimdi n bilinmeyenli r tane denklemden oluşan bir başka denklem sistemini
göz önüne alalım:
c 11 x 1 + c 12 x 2 + c 13 x 3 + · · · + c 1n x n = d 1
c 21 x 1 + c 22 x 2 + c 23 x 3 + · · · + c 2n x n = d 2
c 31 x 1
.
+ c 32 x 2
.
+ c 33 x 3
.
+ · · · + c 3n x n
.
= d 3
.
(1.3)
c r1 x 1 + c r2 x 2 + c r3 x 3 + · · · + c rn x n = d r
Eğer (1.2) ve (1.2) lineer denklem sistemlerinin çözümleri tamamen aynı ise
bu denklem sistemlerine denk sistemler diyeceğiz.
ÖRNEK 1.1.1
x 1 − 3x 2 = −7
2x 1 + x 2 = 7
lineer denklem sisteminin tek çözümü x 1 = 2 ve x 2 = 3 dür. Diğer yandan
(1.4)
8x 1 − 3x 2 = 7
3x 1 − 2x 2 = 0
10x 1 − 2x 2 = 14
(1.5)
sistemininde yegane çözümü x 1 = 2 ve x 2 = 3 dir. Dolayısıyla (1.4) ve (1.5)
denk sistemlerdir.
4

Bir lineer denklem sisteminin çözümünü bulmak için eleme yöntemi adını
vereceğimiz bir yöntem kullanacağız. Yani, bir denklemin herhangi bir katını
bir diğer denkleme ekleyerek bazı değişkenleri eleyebiliriz. Bunu yaparken
karşımıza çözümünü bulmak kolay ve orjinal denklem sitemine denk olan yeni
bir denklem sistemi ortaya çıkarır.
ÖRNEK 1.1.2 Bir kümeste yaşayan Tavuk ve Tavşanların sayısı 30 ve ayakları
toplamı da 100 olduğuna göre kümeste kaç tane tavuk ve tavşanın olduğunu
hesaplayalım.
x :=tavşan sayısı ve y :=tavuk sayısını göstersin.
sistemimiz
x + y = 30
4x + 2y = 100
Buna göre denklem
şeklinde oluşur. Şimdi birinci denklemin −4 katını ikinci denkleme eklersek
−2y = −20
elde ederiz. Yani x bilinmeyenini yok etmiş olduk. Buradan y = 10 buluruz.
Bunu birinci denklemde yerine yazarsak x = 20 elde ederiz.
ÖRNEK 1.1.3 Aşağıdaki denklem sistemini göz önüne alalım:
x + 2y + 3z = 6
2x − 3y + 2z = 14
3x + y − z = −2
(1.6)
Şimdi x değişkenini elemek için, birinci denklemin −2 katını ikinci denkleme
ve −3 katını da üçüncü denkleme eklersek
−7y − 4z = 2
−5y − 10z = −20
(1.7)
denklem sistemini elde ederiz. Burada bilinmeyenler y ve z dir. Bu sistemde
ikinci denklemi −1/5 ile çarparsak
−7y − 4z = 2
y + 2z = 4
(1.8)
5

elde ederiz. Denklemlerin sırasını değiştirirsek
y + 2z = 4
−7y − 4z = 2
(1.9)
Burada da birinci denklemin 7 katını ikinci denkleme eklersek
10z = 30
ki buradan da z = 3 buluruz. z = 3 değerini (1.9) daki birinci denklemde
yerine yazarsak y = −2 elde ederiz. Bu y = −2 ve z = 3 değerlerini (1.6) da
birinci denklemde yerine yazarsak da x = 1 buluruz.
Dikkat edecek olursak eleme sürecinde ortaya çıkan denklem sistemi
x + 2y + 3z = 6
y + z = 4
z = 3
(1.10)
Burada dikkat edecek olursak (1.6) ve (1.10) denklem sistemleri denk sistemlerdir
fakat (1.10) denklem sisteminin çözümünü elde etmek daha kolaydır.
Bazen denklem sistemlerinin çözümü birden fazla hatta hiç çözümüde olmayabilir.
Şimdi bunlara birer örnek verelim:
ÖRNEK 1.1.4
x − 3y = −7
2x − 6y = 7
Denklem sisteminde birinci denklemin −2 katını ikinci denkleme eklersek
0 = 21
(1.11)
buluruz ki, bu da verilen denklem sisteminin tutarsız olduğunu yani çözümünün
olmadığını gösterir.
ÖRNEK 1.1.5
x + 2y − 3z = −4
2x + y − 3z = 4
(1.12)
6

Burada birinci denklemin −2 katını ikinci denkleme eklersek
−3y + 3z = 12
denklemini elde ederiz. Bunun bir çözümü y = z − 4 ve z de herhangi bi
reel sayı olabilir. Bu değerleri (1.12) denklem sistemindeki birinci denklemde
yerine yazarsak
x = −4 − 2y + 3z
= −4 − 2(z − 4) + 3z
= z + 4
elde ederiz. Böylece (1.12) denklem sisteminin çözümü
x = z + 4
y = z − 4
z = herhangi bir reel sayı
şeklinde olur. Yani, her defasında z ye bir değer verirsek denklem sisteminin
bir başka çözümünü elde ederiz.
7

Eleminasyon yöntemini daha yakından inceleyecek olursak; verilen bir
denklem sistemini bir başka denk denklem sistemine çevirebilmek için 3
tane maniplasyon olduğunu görürüz:
1. i. ve j. denklemleri yer değiştirmek
2. denklem sistemindeki herhangi bir denklemi sıfırdan farklı bir sabitle
çarpmak
3. i. denklemin yerine j. denklemin c katını i.denkleme ekleyerek
elde edilen denklemi yazmak (i ≠ j); yani, denklem sistemindeki
i.denklem
a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n = b i
yerine
(ca j1 + a i1 )x 1 + (ca j2 + a i2 )x 2 + · · · + (ca jn + a in )x n = cb j + b i
denklemini yazmak
Bu maniplasyonlar yapılarak oluşturulan yeni denklem sistemi başta verilen
orjinal denklem sistemine denk olduğunu ispatlamak kolaydır. (ÖDEV)
8

ALIŞTIRMALAR 1.1
1. Aşağıdaki lineer denklem sistemlerini eleme yöntemini kullanarak çözünüz
a)
{ x + 2y = 8
3x − 4y = 4
b)
⎧
⎨
⎩
2x − 3y + 4z = −12
x − 2y + z = −5
3x + y + 2z = 1
c)
⎧
⎨
⎩
3x + 2y + z = 2
4x + 2y + 2z = 8
x − y + z = 4
d)
{ x + y = 5
3x + 3y = 10
e)
⎧
⎨
⎩
2x + 4y + 6z = −12
2x − 3y − 4z = 15
3x + 4y + 5z = −8
f)
{ x + y − 2z = 5
2x + 3y + 4z = 2
g)
i)
l)
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
{ x + y + 3z = 12
2x + 2y + 6z = 6
2x + 3y = 13
x − 2y = 3
5x + 2y = 27
x − 5y = 6
3x + 2y = 1
5x + 2y = 1
k)
m)
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
h)
{ 3x + 4y − z = 8
6x + 8y − 2z = 16
x + 3y = −4
2x + 5y = −8
x + 3y = −5
2x + 3y − z = 6
2x − y + 2z = −8
3x − y + z = −7
2.
2x − y = 5
4x − 2y = t
lineer denklem sisteminde;
a) hangi t değeri için sistem tutarlıdır?
b) hangi t değeri için sistem tutarsızdır?
c) sistemi tutarsız yapan kaç tane t değeri vardır?
9

3. Her homojen lineer denklem sistemi tutarlı mıdır? Açıklayınız.
4. Aşağıdaki lineer denklem sisteminde
2x + 3y − z = 11
x − y + 2z = −7
4x + y − 2z = 12
x = 1,
bulunuz.
y = 2 ve z = r olacak şekilde bir r değeri varmıdır? Varsa
5. Aşağıdaki lineer denklem sisteminde
3x − 2z = 4
x − 4y + z = −5
−2x + 3y + 2z = 9
x = r,
bulunuz.
y = 2 ve z = 1 olacak şekilde bir r değeri varmıdır? Varsa
6. Bir diyetisyen A, B ve C yiyeceklerinden oluşan bir öğün hazırlamak istiyor.
Bir kilo A yiyeceğinde 2 birim protein, 3 birim yağ ve 4 birim
karbonhidrat; bir kilo B yiyeceğinde 3 birim protein, 2 birim yağ 1 birim
karbonhidrat;bir kilo C yiyeceğinde 3 birim protein, 3 birim yağ, 2 birimde
karbonhidrat bulunmaktadır. Bu öğünde tam olarak 25 birim protein,
24 birim yağ ve de 21 birim karbonhidrat bulunması gerektiğine
göre herbir yiyecekten ne kadar kullanılmalıdır.
7. Bir p(x) = ax 2 + bx + c parabolü üzerinde üç notka (1, −5), (−1, 1) ve
(2, 7) olduğuna göre a, b ve c değerlerini bulunuz.
10

1.2 Matrisler
Bir önceki kısımda anlattığımız eleme yöntemini inceleyecek olursak; bu üç
tane maniplasyon bir denklem sistemine uygulandığında x 1 , x 2 , . . . , x n bilinmeyenlerinin
önündeki sayılar ile b 1 , b 2 , . . . , b n sayılarının değiştiğini görürüz.
Dolayısıyla bu eleme yönteminde her defasında bilinmeyenleri yazmak istemesek
bu konuda matrisler bize çok kullanışlı gelir. Aynı zamanda matrisler, bir
lineer denklem sistemini daha etkili biçimde yazabilmemizi ve de eleminasyon
yöntemi ile bilgisayarda otomatik olarak çözümleri daha kolay hesaplayabilmemize
imkan verir.
Matrisler sadece kullanışlı bir notasyon değildir. Matrisler üzerinde işlemler
tanımlayacağız ve bazı özelliklerini keşfedeceğiz. Bu da bize denklem sistemlerinin
çözümlerini ve başka hesaplamalara dayanan problemlerde oldukça etkili
ve de hızlı olabilmeyi mümkün kılar.
Herhangi iyi bir tanımın yaptığı gibi matris kavramı da sadece eski problemlere
yeni bir bakış getirmeyip aynı zamanda yeni bir takım problemlerde
ortaya çıkarırlar.
TANIM 1.2.1 Bir m × n tipinde A matrisi; m · n tane reel veya kompleks
sayının m−tane satır ve n−tane sütuna yerleştirerek oluşturulan aşağıdaki gibi
bir dikdörtgen tablodur:
⎡
A =
⎢
⎣
⎤
a 11 a 12 a 13 · · · · · · · · · a 1n
a 21 a 22 a 23 · · · · · · · · · a 2n
a 31 a 32 a 33 · · · · · · · · · a 3n
. . . · · · · · · · · · .
. . . · · · a ij · · · .
⎥
. . . · · · · · · · · · . ⎦
a m1 a m2 a m3 · · · · · · · · · a mn
↑
⏐
j.sütun
A matrisinin i.satırı (1 ≤ i ≤ m)
[
ai1 a i2 a i3 · · · a in
]
ve
←− i.satır
(1.13)
11

A matrisinin j.sütunu (1 ≤ j ≤ n)
⎡ ⎤
a 1j
a 2j
a 3j
⎢ ⎥
⎣ . ⎦
a mj
dir.
Eğer m = n ise A matrisine n.mertebeden bir kare matris ve a 11 , a 22 , a 33 , . . . , a nn
sayılarına da A nın esas köşegeni denir.
ÖRNEK 1.2.2
[
A =
1 2 3
−1 0 1
]
⎡
ve B = ⎣
1 1 0
2 0 1
3 −1 2
⎤
⎦
matrisleri için A, 2 × 3 tipinde bir matrisi ve B de 3 × 3 tipinde bir kare
matristir. Diğer yandan
a 12 = 1, a 13 = 3 ve a 22 = 0 dır ve b 11 = 1, b 22 = 0, b 33 = 2 dir.
,
ÖRNEK 1.2.3 Aşağıdaki matris belirtilen şehirler arası havayolu uzaklığını
göstermektedir.
London
Madrid
Newyork
Tokyo
⎡
⎢
⎣
London Madrid Newyork Tokyo
0 785 3469 5959
785 0 3593 6706
3469 3593 0 6757
5959 6706 6757 0
⎤
⎥
⎦
ÖRNEK 1.2.4 Bir üreticinin 3 farklı ürün üreten 4 tane atölyesi bulunmaktadır.
j.atölyenin bir hafta içinde i ürününden kaçtane ürettiğini a ij ile
12

gösterirsek (3 × 4) tipindeki
1.Ürün
2.Ürün
3.Ürün
1.Atölye 2.Atölye 3.Atölye 4.Atölye
⎡
⎣
560 360 380 0
340 450 420 80
280 270 210 380
⎤
⎦
matrisi üreticinin bir haftalık üretimini gösterir.
TANIM 1.2.5 İki m × n tipinden A = [a ij] ve B = [b ij ] matrisine eşittir
diyeceğiz eğer
oluyorsa
i = 1, 2, 3, . . . , m ve j = 1, 2, 3, . . . n için a ij = b ij
ÖRNEK 1.2.6
⎡
A = ⎣
1 2 −1
2 −3 4
0 −4 5
matrislerinin eşit olabilmeleri için
olması gereklidir.
⎤
⎡
⎦ ve B = ⎣
w = −1, x = −3, y = 0 ve z = 5
1 2 w
2 x 4
y −4 z
⎤
⎦
ÖRNEK 1.2.7
⎡
A = ⎣
1 2 −1
2 −3 4
0 −4 5
matrislerinin eşit olabilmeleri için
⎤
⎡
⎦ ve B = ⎣
w = −1, x = −3, y = 0 ve z = 5
olması gereklidir. Aşağıdaki soruları da siz çözünüz.
13
1 2 w
2 x 4
y −4 z
⎤
⎦

[ a + b c + d
A =
c − d a − d
ise a, b, c ve d değerlerini bulunuz.
]
=
[ 4 6
10 2
]
[ a + 2b 2a − b
A =
2c + d c − 2d
ise a, b, c ve d değerlerini bulunuz.
]
=
[ 4 −2
4 −3
]
14

1.3 Matris İşlemleri
Bu kısımda verilen matrislerden yeni matrisler oluşturan bazı işlemleri vereceğiz.
Bu işlemler sayesinde örneğin,lineer denklem sistemleri ile ilgilendiğimizde sadece
matrisleri değiştirerek denklem sistemini her defasında tekrar tekrar yazmamayı
mümkün kılar. Bu işlemler ve matris maniplasyonları matrislerin diğer
uygulama alanlarında da çok faydalıdır.
1.3.1 Matris Toplamı
TANIM 1.3.1 A = [a ij ] ve B = [b ij ] matrislerinin her ikisi de m × n tipinde
ise bunların toplamı A + B ile gösterilir ve
A + B := [a ij + b ij ]
ile tanımlanır. Yani, A ve B matrislerinde karşılıklı gelen elemanların toplamıyla
A+B matrisi elde edilmiştir. Dikkat edecek olursak, A+B matrisi de m×n
tipindedir.
NOT: Toplama işleminde toplanacak matrislerin tiplerinin aynı olması gerekmektedir.
ÖRNEK 1.3.2
A =
[ 1 −2 3
2 −1 4
]
ve B =
[ 0 2 1
1 3 −4
]
matrisleri verilsin. Bunların toplamı
[ ]
1 + 0 −2 + 2 3 + 1
A + B =
=
2 + 1 −1 + 3 4 + (−4)
[ 1 0 4
3 2 0
]
.
ÖRNEK 1.3.3 Bir fabrikatör belli bir ürünün 3 farklı A, B ve C modelerinden
üretiyor. Herbir modelin önce Ankara daki F 1 fabrikasında yarısı
yapılıyor sonra geri kalan kısmı İstanbul daki F 2 fabrikasında üretimi tamamlanıyor.
Bir modelin toplam maaliyeti üretim ve nakliye maaliyetlerinden
15

oluşmaktadır. Her bir fabrikadaki maaliyet 3 × 2 tipinde aşağıda ki şekilde
verilebilir.
Üretim Nakliye
⎡
maaliyeti maaliyeti
⎤
32 40
F 1 = ⎣ 50 80 ⎦
70 20
A modeli
B modeli
C modeli
Üretim Nakliye
⎡
maaliyeti maaliyeti
⎤
40 60
F 2 = ⎣ 50 50 ⎦
130 20
A modeli
B modeli
C modeli
Üretim Nakliye
maaliyeti
⎡
maaliyeti
70 100
F 1 + F 2 = ⎣ 100 130
200 40
⎤
⎦
A modeli
B modeli
C modeli
F 1 + F 2 Toplam matrisi her bir modelin toplam maaliyetini gösterir. Buna
göre örneğin C modelinin toplam üretim ve nakliye maaliyeti sırasıyla 200 TL
ve 40 TL dir.
1.3.2 Scaler ile Matris Çarpımı
TANIM 1.3.4 Bir m × n tipindeki A = [a ij ] matrisi ile bir r sayısının
çarpımı rA ile gösterilir ve
rA := [r a ij ]
ile tanımlanır. Yani, rA matrisi A matrisinin her bir bileşenini r sayısı
ile çarparak elde edilmiştir. Dikkat edecek olursak, rA matrisi de m × n
tipindedir.
16

ÖRNEK 1.3.5
[ ]
4 −2 −3
(−2)
=
7 −3 2
[ (−2)4 (−2)(−2) (−2)(−3)
(−2)7 (−2)(−3) (−2)2
]
=
[ −8 4 6
−14 6 −4
]
ÖRNEK 1.3.6 Bir mağazadaki 4 faklı ürünün fiyatı
⎡ ⎤
18, 95
F := ⎢ 14, 75
⎥
⎣ 8, 60 ⎦
16, 45
matrisi ile gösterilsin.
söylenmiştir.
a) Herbir üründe yapılan indirim miktarını
b) Her bir ürünün yeni fiyatını
Yapılan anonsta her bir ürüne %20 indirim geldiği
gösteren matrisi bulunuz.
a) 0.20 F =
⎡
⎢
⎣
b) F − 0.20 F =
(0.20)18, 95
(0.20)14, 75
(0.20)8, 60
(0.20)16, 45
⎡
⎢
⎣
18, 95
14, 75
8, 60
16, 45
⎤ ⎡
⎥
⎦ = ⎢
⎣
⎤ ⎡
⎥ ⎦ − ⎢
⎣
3, 79
2, 95
1, 72
3, 29
3, 79
2, 95
1, 72
3, 29
⎤
⎥
⎦
⎤ ⎡
⎥
⎦ = ⎢
⎣
15, 16
11, 80
6, 88
13, 16
⎤
⎥
⎦
1.3.3 Bir Matrisin Transpozu
TANIM 1.3.7 Bir m × n tipindeki A = [a ij ] matrisinin transpozu , A T , ile
gösterilir ve a ′ ij = a ji olmak üzere n × m tipindeki
A T := [a ′ ij]
matrisi ile tanımlanır . Yani, A T matrisi A matrisinin satırlarını sütun yaparak
veya aynı şey demek olan sütunlarını satır yaparak elde edilen matristir.
17

ÖRNEK 1.3.8
A =
[ 4 −2 −3
0 5 −2
matrislerinin transpozları
⎡
]
, B = ⎣
6 2 −4
3 −1 2
0 4 3
⎤
⎡
⎦ ve C = ⎣
5 4
−3 2
2 −3
⎤
⎦
⎡
A T = ⎣
dir.
4 0
−2 5
3 −2
⎤
⎡
⎦ , B T = ⎣
6 3 0
2 −1 4
−4 2 3
⎤
⎦ ve C T =
[ 5 −3 2
4 2 −3
]
1.3.4 Matrislerin Çarpımı
TANIM 1.3.9 Bir m × p tipindeki A = [a ij ] matrisi ile bir p × n tipindeki
B = [b ij ] matrisinin çarpımı A B ile gösterilir ve
(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n), c ij := a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j + · · · + a ip b 1p
p∑
= a ik b kj (1.14)
k=1
olmak üzere m × n tipindeki
matrisi ile tanımlanır .
A B = [c ij ]
ÖRNEK 1.3.10
A =
matrislerinin çarpımı
[ 1 2 −1
3 1 4
]
⎡
ve B = ⎣
−2 5
4 −3
2 1
⎤
⎦
18

A B =
=
[ (1)(−2) + (2)(4) + (−1)(2) (1)(5) + (2)(−3) + (−1)(1)
(3)(−2) + (1)(4) + (4)(2) (3)(5) + (1)(−3) + (4)(1)
[ ] 4 −2
6 16
]
ÖRNEK 1.3.11
⎡
A = ⎣
1 −2 3
4 2 1
0 1 −2
⎤
⎡
⎦ ve B = ⎣
1 4
3 −1
−2 2
matrislerinin çarpımının (3, 2) bileşenini bulmak istersek A matrisinin 3.satırı
ile B matrisinin 2.sütununu çarpacağız. Yani
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
0 4
⎣ 1 ⎦ · ⎣ −1 ⎦ = −5
−2 2
⎤
⎦
ÖRNEK 1.3.12
⎡
A = ⎣
1 x 3
2 −1 1
0 1 −2
⎤
⎡
⎦ ve B = ⎣
2
4
y
⎤
⎦
matrislerinin çarpımı
[ 12
A B =
6
]
ise x ve y değerlerini bulunuz.
⎡
1 x
⎤ ⎡
3
A B = ⎣ 2 −1 1 ⎦ ⎣
0 1 −2
2
4
y
⎤
⎦
[ 2 + 4x + 3y
4 − 4 + y
] [ 12
=
6
]
olduğundan
2 + 4x + 3y = 12
y = 6
Böylece x = −2 ve y = 6 bulunur.
19

Matrislerin çarpımının temel özelliklerini bir sonraki kısımda vereceğiz.
Fakat, matris çarpımı matris toplamamından biraz fazla dikkat gerektirir. Burada
birkaç hususu göz önüne getirmek gerekir. Çünkü, matris çarpımının cebirsel
özellikleri reel sayılardaki çarpma işleminin sağladığı cebirsel özelliklerden
farklıdır. Çünkü, sadece A nın sütun sayısı B nin satır sayısına eşit olduğunda
A B çarpım matrisi tanımlanabilmektedir. Peki B A çarpım matrisi ne olabilir?
Bunun için üç farklı durum ortaya çıkabilir:
A := [ a ij
]
m×p
ve B := [ b ij
]p×n
• n ≠ m olduğunda B A tanımlanamaz.
• B A tanımlanmış ise m = n olmak zorundadır. Bu durumda da B A
matrisi p × p tipinde ve A B matrisi de m × m tipinden olur. Yani,
m ≠ n ise A B ve B A matrisleri farklı tipten olurlar
• A B ve B A matrislerinin her ikisi de aynı tipten olursa bunlar eşit te
olabilirler farklı da olabilirler
ÖRNEK 1.3.13
1) A := [ ]
a ij ve B := [ b
2×3 ij matrisleri için
]3×4
A B = [ c ij şeklinde bir matris olabilirken B A matrisi tanımlanamaz.
]2×4
2) A := [ ]
a ij ve B := [ b
2×3 ij matrisleri için
]3×2
A B = [ ]
c ij ve B A = [ d
2×2 ij tipinde matrislerdir.
]3×3
[ ] [ ]
1 2
2 1
3) A :=
ve B := matrisleri için
−1 3
0 1
[ ]
[ ]
2 3
1 7
A B =
ve B A =
olup A B ≠ B A dır.
−2 2
−1 3
Matris toplamı ve matrislerin eşitliği doğal bir yolla tanımlanırken matrislerin
çarpımı neden daha karmaşık tanımlanmıştır diye sorulabilir. Bunun sebebini
ilerde fonksiyonların bileşke işlemini ve matrisler ile lineer dönüşümler
arasında var olan ilişkileri gördüğümüz zaman daha iyi anlayacağız. Matris
çarpımının biraz daha anlaşılmasına yardımcı olabilecek aşağıdaki örneği verebiliriz.
20

ÖRNEK 1.3.14 Bitkiler üzerine sıkılan böcek ilacının bir kısmı bitki tarafından
emilir. Bu ilaçlar bitkileri yiyen otcul hayvanların kanına karışır. Otcul hayvanların
kanına karışan böcek ilacının miktarını şu şekilde belirleyebiliriz:
Kabul edelim ki, 3 farklı böcek ilacı ve 4 farklı bitki bulunmaktadır. a ij ile
j.bitkiye karışan i.ilacının miktarını (miligram cinsinden) gösterirsek toplam
bilgi
1.Bitki 2.Bitki 3.Bitki 4.Bitki
⎡
2 3 4 3
A = ⎣ 3 2 2 5
4 1 6 4
⎤
⎦
1.İlaç
2.İlaç
3.İlaç
matrisi ile temsil edilebilir. Şimdi de 3 tane otcul hayvan var ve b ij ile de
j.hayvanın bir ayda yediği i.bitki miktarını gösterirsek toplam bilgi
B =
⎡
1.Hayvan 2.Hayvan 3.Hayvan
⎤
20 12 8
⎢ 28 15 15
⎥
⎣ 30 12 10 ⎦
40 16 20
1.Bitki
2.Bitki
3.Bitki
4.Bitki
matrisi ile temsil edilebilir. Bu durumda A B matrisinin (i, j) bileşeni j.hayvanın
kanına karışan i.ilacın miktarını gösterir. Örneğin, A B matrisinin (2, 3) bileşeni
b 23 = 3(8)+2(15)+2(10)+5(20) = 174mg (3.hayvanın kanına karışan 2.ilacın miktarı )
ALIŞTIRMALAR 1.2
1. A :=
D :=
[ 2 1 3
2 5 1
[ 3 −2
2 4
]
]
⎡
B := ⎣
⎡
E := ⎣
3 2
1 1
2 6
⎤
⎡
⎦ C := ⎣
2 −4 5
3 2 −7
−1 3 5
⎤
⎦ F :=
3 −1 3
4 3 6
2 2 4
⎤
⎦
[ −5 2
3 6
]
21

⎡
O := ⎣
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎤
⎦ matrisleri için (mümkünse) aşağıdakileri hesaplayınız
(a) C + E ve E + C (b) A + B (c) D − F (d)
−3C + 5O
(e) 2C − 3E (f) 2B + F (g) 3D + 2F (h)
3A + 2A
(i) 2(D +F ) ve 2D +2F (j) (2+3)D ve 2D +3D (k) 3(B +D)
(l) A T ve (A T ) T (m) (C + E) T ve C T + E T (n) (2D + 3F ) T
(o) D − D T (p) 2A T + B (r) (3B T − 2A) T
⎡ ⎤
[ ] y
[ ]
1 2 x
2. A :=
B := ⎣ x ⎦ 6
matrisleri için A B = ise x ve
3 −1 2
8
1
y değerlerini bulunuz.
⎡ ⎤
1 −1 2
⎡
⎤
3. A := ⎢ 3 2 4
1 0 −1 2
⎥
⎣ 4 −2 3 ⎦ B := ⎣ 3 3 −3 4 ⎦ matrisleri verilsin. A B
4 2 5 1
2 1 5
nin 1. ve 3.sütunlarını bulunuz.
22

1.4 Matris İşlemlerinin Cebirsel Özellikleri
TEOREM 1.4.1 (Matris Toplamının Özellikleri)
Kabul edelim ki A, B ve C matrisleri m × n tipinden olsunlar.
(a) A + B = B + A
(b) A + (B + C) = (A + B) + C
(c) Her m × n tipinden A matrisi için bütün bileşenleri 0 olan, m × n tipindenbir
tek O sıfır matrisi vardır ki,
A + O = A
dır.
(d) Her m × n tipinden A matrisi için m × n tipindenbir tek D sıfır matrisi
vardır ki,
A + D = O dır.
Bundan sonra D yerine −A yazacağız. Yani,
A + (−A) = O
dır.
−A matrisine A nın negatifi denir. Aynı zamanda −A matrisini (−1)A
olarak ta yazacağız.
İSPAT: Alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır.
✷
TEOREM 1.4.2 (Skaler Çarpımın Özellikleri)
Kabul edelim ki R ve s reel sayılar; A ve B de matrisler olsunlar.
(a) r(sA) = (rs)A
(b) (r + s)A = rA + sA
(c) r(A + B) = rA + rB
(d) A(rB) = r(AB) = (rA)B
İSPAT: Alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır.
✷
23

TEOREM 1.4.3 (Transpoz işleminin Özellikleri)
Kabul edelim ki R bir reel sayı; A ve B de matrisler olsunlar.
(a) (A T ) T = A
(b) (A + B) T = A T + B T
(c) (AB) T = B T A T
(d) (rA) T = r A T
İSPAT: Alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır.
✷
TEOREM 1.4.4 (Matris Çarpımının Özellikleri)
Kabul edelim ki A, B ve C matrisleri çarpım tanımına uyan tipten olsunlar.
(a) A(BC) = (AB)C
(b) (A + B)C = AC + BC
(c) C(A + B) = CA + CB
İSPAT:
,
(a) A := [ a ij
]
, B := [ ]
b
m×n ij C := [ c
n×p ij olsun. Aynı zamanda
]p×q
AB = D := [ ]
d ij , BC = E := [ e
m×p ij
]n×q
(AB)C = F := [ f ij
]
m×q
ve A(BC) = G := [ g ij
]m×q olsun.
24

g ij =
f ij =
=
=
=
n∑
a ir e rj =
r=1
r=1
(
n∑ p∑
)
a ir b rk c kj
k=1
)
p∑
p∑
d ik c kj = a ir b rk c kj
k=1
( n∑
k=1 r=1
p∑ ( )
ai1 b 1k + a i2 b 2k + · · · + a in b nk ckj
k=1
p∑ ( )
ai1 b 1k ckj + ( )
a i2 b 2k ckj + · · · + ( )
a in b nk ckj
k=1
p∑ ( ) ( ) ( )
a i1 b1k c kj + ai2 b2k c kj + · · · + ain bnk c kj
k=1
p∑
= a i1 b 1k c kj + a i2
=
= g ij
k=1
n∑
a ir e rj =
r=1
r=1
p∑
p∑
b 2k c kj + · · · + a in b nk c kj
k=1
(
n∑ p∑
)
a ir b rk c kj
k=1
(b) ve (c) şıkları alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır.
k=1
✷
ÖRNEK 1.4.5
A =
[ 5 2 3
2 −3 4
⎡
]
, B = ⎣
(2×3)
Matrisleri verilsin. Bu durumda
2 −1 1 0
0 2 2 2
3 0 −1 3
⎤
⎦
(3×4)
ve C =
⎡
⎢
⎣
1 0 2
2 −3 0
0 0 3
2 1 0
⎤
⎥
⎦
(4×3)
A(BC) =
(AB)C =
[ 5 2 3
2 −3 4
] ⎡ ⎣
[ 19 −1 6 13
16 −8 −8 6
0 3 7
8 −4 6
9 3 3
⎡
]
⎢
⎣
⎤
⎦ =
1 0 2
2 −3 0
0 0 3
2 1 0
[ 43 16 56
12 30 8
⎤
]
⎥
⎦ = [ 43 16 56
12 30 8
]
25

Yani, A(BC) = (AB)C dir.
ÖRNEK 1.4.6
A =
[ 2 2 3
3 −1 2
]
, B =
(2×3)
Matrisleri verilsin. Bu durumda
[ 0 0 1
2 3 −1
]
(2×3)
⎡
ve C = ⎣
1 0
2 2
3 −1
⎤
⎦
(3×2)
(A + B)C =
AC + BC =
[ 2 2 4
5 2 1
[ 15 1
7 −4
] ⎡ ⎣
]
+
⎤
1 0
2 2 ⎦ ==
3 −1
[ ] 3 −1
=
5 7
[ 18 0
12 3
[ 18 0
12 3
]
]
Yani, (A + B)C = AC + BC dir.
ÖRNEK 1.4.7
A =
[ 1 2
2 4
]
[
ve B =
4 −6
−2 3
]
matrislerinin her ikiside sıfır değiller fakat
A B =
[ 0 0
0 0
]
ÖRNEK 1.4.8
[ 1 2
A =
2 4
] [ 2 1
, B =
3 2
]
ve C =
[ −2 7
5 −1
]
matrisleri için
A B = A C =
fakat B ≠ C olduğuna dikkat edelim.
26
[ 8 5
16 10
]

Matris çarpımının reel sayıların çarpımından farklı olan özelliklerini şu
şekilde özetlebiliriz :
1. A B matrisi B A matrisine eşit olması gerekmiyor
2. A ≠ O B ≠ O iken A B = O olabiliyor.
3. B ≠ C iken A B = A C olabiliyor.
NOT: Matrislerin toplama işleminde sıfır matrisinin O etkisiz eleman ( birim
eleman) rolü oynadığını gördük. Aynı durum matris çarpımı işlemininde de
doğal olarak akla gelebilir. Şimdi bu hususu açıklığa kavuşturalım.
TANIM 1.4.9 d ii = 1 ve i ≠ j iken d ij = 0 olmak üzere I n := [ d ij
]n×n
matrisine n.mertabeden birim matris denir. Yani,
⎡
⎤
1 0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 0
I n :=
0 0 1 · · · 0
⎢
⎥
⎣ . . . ... . ⎦
0 0 0 · · · 1
n×n
Kolayca görülebilir ki, herhangi bir A := [ a ij
]m×n
matrisi için
A I n = A ve I m A = A dır.
Buradan da anlaşılacağı üzere I n matrisi çarpma işleminde etkisiz eleman
görevini yapmaktadır. Yalnız matris çarpımı matrislerin tiplerine bağlı olarak
tanımlandığından herhangi bir matrisin çarpma işlemine göre tersinden bahsedemeyiz.
Bunu sadece kare matrisler için yapabiliriz.
TANIM 1.4.10 Bir A := [ a ij kare matrisine terslenebilir matris denir,
]n×n
eğer
A B = I n ve B A = I n
27

olcak şekilde bir B := [ b ij kare matrisi bulunabiliyorsa. Bu B matrisine
]n×n
A nın tersi denir ve A −1 ile gösterilir.
NOT : Tanımdan da anlaşılacağı gibi verilen her kare matrisin bir tersi olmayabilir.
Bununla birlikte verilen bir matrisin tersi varsa bunu bulmak için
değişik yöntemler ilerki bölümlerde vereceğiz.
İlerde Teorem 2.4.13 de göstereceğiz ki A B = I n ise B A = I n dir. Dolayısıyla
bir B matrisinin verilen bir A matrsinin tersi olup olmadığını kontrol etmek
için sadece A B = I n olduğunu göstermek yeterli olacaktır.
ÖRNEK 1.4.11
matrisleri için
A =
[ 2 3
2 2
]
ve B =
[ −1
3
2
1 −1
]
Dolayısıyla B matrisi A nın tersidir.
A B = I n ve B A = I n dir.
TEOREM 1.4.12 Bir kare matrisin tersi varsa yeganedir. ( tek türlüdür)
İSPAT: A Kare matrsinin iki tane tersi B ve C matrsileri olsun.
durumda
Bu
Dolayısıyla,
A B = B A = I n ve A C = C A = I n dir.
B = B I n = B(AC) = (BA)C = I n C = C
dir.
✷
[ ] 3 2
ÖRNEK 1.4.13 A := matrsinin tersini bulmaya çalışalım.
[ ]
5 3
x z
A −1 := olsun. Bu durumda
y t
28

[ 3 2
A A −1 =
5 3
] [ x z
y t
[ 3x + 2y 3z + 2t
5x + 3y 5z + 3t
]
= I 2 =
]
=
[ 1 0
0 1
[ 1 0
0 1
]
]
3x + 2y = 1
5x + 3y = 0
ve
3z + 2t = 0
5z + 3t = 1
denklem sistemlerini çözersek x = −3, y = 5, z = 2 ve t = −3 buluruz.
Dolayısıyla
[ ] −3 2
A −1 =
dir.
5 −3
NOT: Tersi bulunacak matrisin tipi daha büyük olsaydı çözmemiz gereken
daha fazla sayıda denklem ve bilinmeyen ortaya çıkacaktı. Bu nedenle örnekte
kullanılan yöntem asla pratik ve kullanışlı değildir ve dolayısıyle hiç tercih
edilmez.
TEOREM 1.4.14
(i) A ve B terslenebilir kare matrisler ise A B de terslenebilir matrisdir ve
(A B) −1 = B −1 A −1 .
(ii) A terslenebilir bir kare matris ise A −1 de terslenebilir matrsidir ve
( ) A
−1 −1
= A.
(iii) A terslenebilir bir kare matris ise A T de terslenebilir matrisidr ve
(A T ) −1 = (A −1 ) T .
İSPAT: (i) (A B)(B −1 A −1 ) = A (B B −1 ) A −1 = (A I n ) A −1 ) = A A −1 = I n
Benzer şekilde (B −1 A −1 )(A B) = I n olduğu da gösterilebilir. Böylece, (A B) −1 =
B −1 A −1 olduğu gösterilmiş olur.
29

(ii) Tanımdan açıktır.
(iii) A A −1 = I n . Bu eşitsizliğin her iki tarafından
(A A −1 ) T = (A −1 ) T A T = I T n = I n
buluruz ve benzer şekilde A T (A −1 ) T = I n olduğu da gösterilebilir.
✷
ALIŞTIRMALAR 1.3
1. A :=
[ 1 3
2 −1
matrisleri için
]
, B :=
[ −1 3 2
1 −3 4
]
ve C :=
A(BC) = (AB)C özelliğinin sağlandığını gösteriniz.
[ ] [ ]
[
2 −3 2
0 1 2
2. A :=
, B :=
ve C :=
3 −1 −2
1 −3 2
matrisleri için
⎡
⎣
1 0
3 −1
1 2
1 −3
−3 4
C(A + B) = CA + CB özelliğinin sağlandığını gösteriniz.
⎡ ⎤
2
⎡ ⎤
3
⎡ ⎤
−1
3. A := ⎣ −1 ⎦ , B := ⎣ −2 ⎦ ve C := ⎣ 5 ⎦ matrisleri için
3
4
1
(a) (A B T ) C matrisini bulunuz.
(b) B T C matrisini hesaplayıp sonra sağdan A matrisi ile çarpınız.
(c)
Neden (A B T ) C = (B T C) A olduğunu açıklayınız.
4. Birbirine eşit olmayan iki tane 2 × 2 tipinde matris yazın ki, çarpımları
0 olsun.
5.
İki tane farklı 2 × 2 tipinde matrisler oluşturun ki, kareleri birim matris
olsun.
6. İki tane farklı 2 × 2 tipinde matrisler oluşturun ki, kareleri sıfır matrisi
olsun.
[ ] [ ]
2 1
1
7. A := ve x := matrisleri için A x = r x olacak şekilde
1 2
1
bir r skaleri bulunuz.
⎤
⎦
]
30

1.5 Lineer Denklem Sistemleri
n Tane bilinmeyenli ve m tane denklemden oluşan aşağıdaki denklem sistemini
göz önüne alalım.
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
a 21 x 1
.
+ a 22 x 2
.
+ · · · + a 2n x n
.
= b 2
.
(1.15)
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m
Şimdi aşağıdaki matrisleri tanımlayalım:
⎡
A := ⎢
⎣
Bu durumda
⎤
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
⎥
. . . ⎦ ,
a m1 a m2 · · · a mn
⎡
x := ⎢
⎣
⎤
x 1
x 2
⎥
. ⎦ ,
x n
⎡
b := ⎢
⎣
⎤
b 1
b 2
⎥
. ⎦ .
b n
⎡
A x = ⎢
⎣
⎤
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
⎥
. . . ⎦
a m1 a m2 · · · a mn
⎡
⎢
⎣
⎤
x 1
x 2
⎥
.
x n
⎡
⎦ = ⎢
⎣
⎤
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n
⎥
. .
. ⎦
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n
Görüldüğü gibi A x sütun matrisinin bileşenleri (1.15) in sol tarafına
eşittir. Dolayısıyla (1.15) denklem sistemi
Buradaki A matrisine (1.15) denklem sisteminin kat-
şeklinde yazılabilir.
sayılar matrisi ve
A x = b
⎡
⎢
⎣
∣ ⎤
a 11 a 12 · · · a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣ b 1
a 21 a 22 · · · a 2n b 2
⎥
. . . . ⎦
a m1 a m2 · · · a mn b n
31

matrisine de genişletilmiş katsayı matrisi (augmented matris ) denir ve
bazen [ A | b ] ile de gösterilir.
Lineer denklem sistemi (1.15) de eğer b 1 = b 2 = · · · = b m = 0 oluyorsa
lineer sisteme homojen sistem adını vermiştik. Böyle bir sistem de
ile gösterilir.
A x = O
ÖRNEK 1.5.1
−2x + z = 5
2x + 3y − 4z = 7
3x + 2y + 2z = 3
lineer denklem sistemi için
⎡
A := ⎣
−2 0 1
2 3 −4
3 2 2
⎤
⎡
⎦ , x := ⎣
x
y
z
⎤
⎡
⎦ , ve b := ⎣
5
7
3
⎤
⎦ .
matrislerini tanımlarsak verilen denklem sistemini
A x = b
şeklinde yazabiliriz. Katsayılar matrisi A matrisidir ve genişletilmiş katsayılar
matrisi de
⎡
⎣
−2 0 1
2 3 −4
3 2 2
∣
5
7
3
⎤
⎦ .
Şimdi A := [ a ij
]
n×n kare matrisi ise A x = b
32

lineer denklem sistemi n bilinmeyenli ve de n tane denklemden oluşur. Eğer A
katsayılar matrisi terslenebilen bir matris ise bu eşitliğin her iki tarafını A −1
ile çarparsak;
A −1 (A x) = A −1 b
(A −1 A) x = A −1 b
I n x = A −1 b
x = A −1 b
Ayrıca, x = A −1 b verilen denklem sisteminin açıkca bir çözümüdür. Böylece
A katsayılar matrisi terslenebilen bir matris ise denklem sisteminin bir tek
çözümü vardır.
33

Bölüm 2
Lineer Denklemlerin Çözümü
2.1 Bir Matrisin Eşelon Formu
Bu kısımda lineer denklem sistemlerini çözmek için kullanılan lise sıralarında
öğrendiğimiz eleme ( yok-etme) yöntemini ele alacağız ve matris terminolojisini
kullanarak yöntemi daha sistematik hale getireceğiz. Verilen n bilinmeyenli
m tane denklemden oluşan lineer denklem sisteminin genişletilmiş katsayılar
matrisine belirli işlemler yaparak yeni bir matris bulacağız. Bu bulduğumuz
yeni matrisin temsil ettiği denklem sistemi verilen orjinal denklem sistemine
denk ( çözümleri aynı )olacak. Burada en önemli husus yeni sistemin daha
kolay çözülebilmesidir. Örneğin, genişletilmiş katsayı matrisi
olan denklem sistemi
⎡
⎣
1 2 0
0 1 1
0 0 1
∣
3
2
1
⎤
⎦ .
x 1 + 2x 2 = 3
x 2 + x 3 = 2
x 3 = −1
olup çözümü
34

x 3 = −1
x 2 = 2 − x 3 = 2 + 1 = 3
x 1 = 3 − 2x 2 = 3 − 6 = −3.
Bu kısımda yapacağımız en temel iş, verilen denklem sisteminin genişletilmiş
katsayılar matrisini maniplasyonlar yaparak çözümün kolay bulunabileceği bir
şekle sokmak olacaktır.
TANIM 2.1.1 Bir A := [ a ij matrisine satırca indirgenmiş eşelon
]m×n
form da bir matris denir eğer aşağıdakiler sağlanıyorsa;
(a) Bütün bileşenleri sıfır olan bir satır ( varsa ) matrisin en alt satırlarında
olmalı
(b) Tamamı sıfır olmayan satırlarda soldan sağa doğru olan sıfırdan farklı
ilk bileşen 1 olmalı
(c) Tamamı sıfır olmayan satırlarda soldan sağa doğru yönde bulunan ilk 1
sayısı önceki satırlarda gözüken 1 lerin sağında ve aşağısında yer almalı
(d) Bir sütunda eğer 1 varsa bu sütunun diğer bütün bileşenleri sıfır olmalı
NOT : Tanımdaki (a), (b) ve (c) şılarını sağlayan matrise sadece eşelon
formda matris denir. İndirgenmiş eşelon formdaki bir matriste tamamı sıfır
olan satırlar olmayabilir. Tamamen benzer tanım sütun indirgenmiş eşelon
form tanımlanabilir. Bunu tanımdaki satır kelimesini sütun ve sütun kelimesinin
yerine de satır yazmakla yapabiliriz.
ÖRNEK 2.1.2 Aşağıdaki matrisler satır indirgenmiş formdadır.
⎡
⎤
⎡
⎤
1 0 0 0 −2 4
1 0 0 0
A = ⎢ 0 1 0 0
⎥
⎣ 0 0 1 0 ⎦ , B = 0 1 0 0 4 8
⎢ 0 0 0 1 7 −2
⎥
⎣ 0 0 0 0 0 0 ⎦ ,
0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
ve
⎡
C = ⎣
1 2 0 0 1
0 0 1 2 3
0 0 0 0 0
35
⎤
⎦ .

Aşağıdaki matrisler de indirgenmiş eşelon formda değildirler. ( Neden?)
⎡
D = ⎣
1 2 0 4
0 0 0 0
0 0 1 −3
⎤
⎡
⎦ , E = ⎣
1 0 3 4
0 2 −2 5
0 0 1 2
⎤
⎦ .
F =
⎡
⎢
⎣
1 0 3 4
0 1 −2 5
0 1 2 2
0 0 0 0
⎤
⎥
⎦ ,
Aşağıdaki matrisler de eşelon formdadır.
⎡
⎤
1 5 0 2 −2 4
0 1 0 3 4 8
H =
⎢ 0 0 0 1 7 −2
⎥
⎣ 0 0 0 0 0 0 ⎦ ,
0 0 0 0 0 0
ve
⎡
G = ⎢
⎣
1 2 3 4
0 1 −2 5
0 0 1 2
0 0 0 0
⎡
I = ⎢
⎣
⎤
⎥
⎦ .
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦ ,
⎡
J =
⎢
⎣
0 0 1 3 5 7 9
0 0 0 0 1 −2 3
0 0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
⎤
⎥
⎦ .
Şimdi her matrisin satır eşelon veya indirgenmiş satır eşelon forma getirilebileceğini
göreceğiz.
TANIM 2.1.3 Aşağıdakilerden herhangi birine matris üzerinde bir elemanter
satır operasyonu denir.
I.Tip Herhangi iki satırı ( sütunu )yer değiştirmek
II.Tip Bir satırı ( sütunu )sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak
36

III.Tip Bir satırın ( sütunun ) herhangi bir katını bir başka satıra ( sütuna
) eklemek
Verilen bir matrise lineer sistemin genişletilmiş katsayılar matrisi bakıldığında
elemanter satır operasyonlarının bir denklem sistemindeki denklemlere yaptığımız
maniplasyonlara denk olduğunu görürüz.
TANIM 2.1.4 Bir B := [ ]
b ij matrisi A := [ a
m×n ij matrisine satırca
]m×n
(sütunca) denktir denir, eğer A matrisine sonlu tane elemanter satır (sütun)
operasyonu uygulandığında B matrisi bulunabiliyorsa.
ÖRNEK 2.1.5
⎡
A := ⎣
1 2 4 3
2 1 3 2
1 −2 2 3
verilsin. Şimdi A matrisinin 3.satırının 2 katını 2.satıra eklersek
⎡
B := ⎣
1 2 4 3
4 −3 7 8
1 −2 2 3
matrisini buluruz. Dolayısıyla, B matrisi A matrisine denktir.
B matrisinde 2. ve 3. satırları yer değiştirirsek
⎡
C := ⎣
1 2 4 3
1 −2 2 3
4 −3 7 8
Böylece C matrisi de B ye denk olmuş olur.
C matrisinin 1. satırını 2 ile çarparsak
⎡
D := ⎣
2 4 8 6
1 −2 2 3
4 −3 7 8
⎤
⎦
⎤
⎦
⎤
⎦
⎤
⎦
Yani D de C ye denk olmuş olur.
denktir.
Tanım gereği D matrisi A matrisine
37

NOT: Kolayca gösterilebilir ki tanımda verilen bağıntı bir denklik bağıntısıdır.
Yani
(a) Her matris satırca kendine denktir.
(b) B matrisi A ya denk ise A matrisi de B ye denktir.
(c) C matrisi B ye denk ve B matrisi de A matrisine denmk olsun.
durumda, C matrisi A ya denktir.
Bu
TEOREM 2.1.6 Her sıfır olmayan A := [ a ij
]m×n
eşelon matrise satırca (sütunca) denktir.
matrisi bir satır (sütun)
İSPAT: A nın satır eşelon formdaki bir matrise satır denk olduğunu ispatlayacağız.
Yani, sadece elemanter satır operasyonlarını kullanarak A matrisini
satır eşelon formda bir matrise dönüştüreceğiz. Tamamen benzer ispat sütun
operasyonlarını yaparak sütun denklik için yapılabilir.
Öncelikle A matrisinde bütün bileşenleri sıfır olmayan ilk sütunu aramaya
başlarız. Bu sütuna pivot sütun ve sıfırdan farklı ilk bileşene de pivot denir.
Kabul edelim ki, pivot sütunu j ve pivot ta i. satırda bulunmaktadır. Şimdi,
gerekli olursa 1.satır ile i.satırı yer değiştirerek oluşan matrisi B := [ b ij
]m×n
ile gösterelim. Bu durmda pivot b 1j dir ve ≠ 0 dır. B matrisinin birinci satırını
1/b 1j ile çarparak oluşan matrisi C := [ c ij ile gösterelim. Dikkat edecek
]m×n
olursak, c ij = 1 dir. Eğer, 2 ≤ h ≤ m için, c hj ≠ 0 ise bu şekildeki bütün
h lar için C matrisinin birinci satırının −c hj katını h.satırına eklersek C nin
j.sütununun birinci bileşeni hariç diğer bütün bileşenleri sıfır olur. Oluşan matrisi
D ile gösterlim. D matrisinde birinci satır yokmuş gibi düşünelim ve aynı
işlemi tekrar edelim. Bu sefer de ikinci satır eşelon formdaki gibi olacaktır.
Böyle devam edersek sonuçta A matrisini satır eşelon forma dönüştürmüş oluruz.
✷
38

ÖRNEK 2.1.7
A :=
Pivot Sütunu
⎡
↓
⎤
0 0 2 3 −4 1
⎢
0 0 0 2 3 4
⎥
⎣ 0 2 2 −5 2 4 ⎦
0 2 0 −6 9 7
↖ Pivot
matrisinde Pivot sütunu 2.sütun ve pivot da a 31 = 2 dir. Şimdi 1.satır ile
3.satırı yer değiştirirsek
B :=
⎡
⎢
⎣
0 2 2 −5 2 4
0 0 0 2 3 4
0 0 2 3 −4 1
0 2 0 −6 9 7
B matrisinde birinci satırı 1//b 1j ile çarparsak
C :=
⎡
⎢
⎣
0 1 1 −5/2 1 2
0 0 0 2 3 4
0 0 2 3 −4 1
0 2 0 −6 9 7
matrisini buluruz. Bu matrisin birinci satırının (−2) katını 4.satırına eklersek
D :=
⎡
⎢
⎣
0 1 1 −5/2 1 2
0 0 0 2 3 4
0 0 2 3 −4 1
0 0 −2 −1 7 3
D de 2. satır ile 3.satırı yer değiştirelim.
⎡
⎢
⎣
0 1 1 −5/2 1 2
0 0 2 3 −4 1
0 0 0 2 3 4
0 0 −2 −1 7 3
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
39

2.satırı 1/2 ile çarpalım;
⎡
⎢
⎣
0 1 1 −5/2 1 2
0 0 1 3/2 −2 1/2
0 0 0 2 3 4
0 0 −2 −1 7 3
⎤
⎥
⎦ ∼ =
⎡
⎢
⎣
0 1 1 −5/2 1 2
0 0 1 3/2 −2 1/2
0 0 0 2 3 4
0 0 0 2 3 4
⎤
⎥
⎦ (S 3+(2)·S 2 )
⎡
⎢
⎣
2.satırı 1/2 ile çarpalım
0 1 1 −5/2 1 2
0 0 1 3/2 −2 1/2
0 0 0 1 3/2 2
0 0 0 2 3 4
⎤
⎥
⎦ ∼ =
Görüldüğü gibi en son matris eşelon formdadır.
⎡
⎢
⎣
0 1 1 −5/2 1 2
0 0 1 3/2 −2 1/2
0 0 0 1 3/2 2
0 0 0 0 0 0
⎤
⎥
⎦ (S 4+(−2)·S 2 )
TEOREM 2.1.8 Her sıfır olmayan A := [ a ij matrisi bir satır (sütun)
]m×n
indirgenmiş eşelon matrise satırca (sütunca) denktir.
İSPAT: Önce verilen A := [ a ij matrisini Teorem 2.1.6 nin ispatında
]m×n
ki gibi eşelon forma dönüştürürüz. Sonra 1 lerin üstlerini sıfırlayabiliriz: Bunu
aşağıdaki örnekle açıklayalım.
✷
ÖRNEK 2.1.9
Örnek 3.4.4 in devamı
⎡
⎤
0 1 1 − 5 1 2
2 3
0 0 1 −2 1 2 2
A 1 :=
3
⎢ 0 0 0 1 2
2 ⎥
⎣
⎦
0 0 0 0 0 0
matrisinde 3.satırın (−3/2) katını 2.satırın üstüne eklersek ve (5/2) katını da
1. satırın üstüne eklersek
40

⎡
⎤
19
0 1 1 0 7
4 0 0 1 0 − 17 − 5 4 2
A 2 :=
3
⎢ 0 0 0 1 2
2 ⎥
⎣
⎦
0 0 0 0 0 0
Şimdi de birinci satırın üstüne 2. satırın (−1) katını eklersek nihai sonuca
ulaşırız.
⎡
⎢
⎣
0 1 0 0 9
19
2
0 0 1 0 − 17 4
− 5 2
0 0 0 1
3
2
2
0 0 0 0 0 0
⎤
⎥
⎦
2.2 Lineer Denklem Sitemlerinin Çözümü
Şu ana kadar Lineer Denklem sistemleri için iki tane açık ve kolay yöntem
geliştirdik. Bunlardan biri eleme yöntemi diğeri de kare matrisin tersini kullanmak.
Şimdi bahsedeceğimiz yönteme Gauss Eleminasyon Yöntemi denir.
Burada temel fikir, bize
A x = b
lineer denklem sistemi verildiğinde [ A | b ] genişletilmiş katsayılar matrisine
denk olan ve ya eşelon formda ya da indirgenmiş eşelon formda bir [ C | d ]
matrisi bulacağız. Bu yöntemde [ A | b ] matrisine elemanter satır operasyonları
uygulayarak [ C | d ] matrisine ulaşacağız.
Gauss Eleminasyon Yöntemi iki adımdan oluşur:
1. Adım Elemanter satır operasyonlarını kullanarak [ A | b ] genişletilmiş katsayılar
matrisini satır eşelon formdaki [ C | d ] matrisine dönüştür.
41

2. Adım [ C | d ] matrisinde geriye doğru bilinmeyenleri yerine koyarak çözümleri
elde et
Eğer A matrisi n×n tipinde bir kare matris ise A x = b denklem sisteminin
bir tek çözümü olur ve de [ C | d ] matrisi de
⎡
⎢
.
⎣
1 c 12 c 13 · · · c 1n
0 c 22 c 23 · · · c 2n
. . .
0 0 0 · · · 1 c n−1 n
0 0 0 · · · 0 1
∣
d 1
d 2
.
d n−1
d n
⎤
⎥
⎦
şeklinde olur. Bu matrisin temsil ettiği denklem sistemi
x 1 + c 12 x 2 + c 13 x 3 + · · · + c 1n x n = d 1
x 2 + c 23 x 3 + · · · + c 2n x n = d 2
Geriye doğru yerine koyma ile çözümü
. . .
x n−1 + c n−1 n x n = d n−1
x n = d n
şeklinde elde ederiz.
x n = d n
x n−1 = d n−1 − c n−1 n x n
.
x 2 = d 2 − c 23 x 3 − c 24 x 4 − · · · − c 2n x n
x 1 = d 1 − c 12 x 2 − c 13 x 3 − · · · − c 1n x n
ÖRNEK 2.2.1
x + 2y + 3z = 9
2x − y + z = 8
3x − z = 3
denklem sisteminin genişletilmiş katsayılar matrisi
42

⎡
[ ]
1 2 3
A | b := ⎣ 2 −1 1
3 0 −1 ∣
Şimdi bu matrisi satır eşelon forma dönüştürürsek
9
8
3
⎤
⎦ .
[
C | d
]
:=
⎡
Geriye yerine koyma ile çözümü
⎣
1 2 3
0 1 1
0 0 1 ∣
9
2
3
⎤
⎦ .
z = 3
y = 2 − z = 2 − 3 = −1
x = 9 − 2y − 3z = 9 + 2 − 9 = 2
elde ederiz.
A nın m×n olması durumunda benzer şeyler yapılır fakat, ortaya çıkabilen
bazı karışık durumları açıklığa kavuşturmamız gerekiyor. Bu sebeple, C matrisi
m × n tipinden ve [ C | d ] de satır eşelon formda bir matris olmak üzere
C x = d
lineer denklem sistemini göz önüne alacağız.
⎡
⎤
1 c 12 c 13 · · · c 1n d 1
0 0 1 c 24 · · · c 2n d 2
. . . .
. .
[ ] 0 0 · · · 0 1 c
C | d = k−1 n d k−1
0 · · · 0 1 d k
.
0 · · ·
. 0 d k+1
⎢
⎥
⎣ .
. . ⎦
0 · · · 0 d m
Bu genişletilmiş katsayılar matrisinin temsil ettiği denklem sistemi
43

x 1 + c 12 x 2 + c 13 x 3 + · · · + c 1n x n = d 1
+ x 3 + c 24 x 4 + · · · + c 2n x n = d 2
.
x n−1 + c k−1 n x n = d k−1
x n = d k
0x 1 + · · · + 0x n = d k+1
.
.
0x 1 + · · · 0x n = d m
• Eğer d k+1 = 1 ise C x = d denklem sisteminin çözümü yoktur. Çünkü,
en azından bir denklem sağlanmıyor.
• [ C | d ] matrisi satır eşelon formda olduğundan, eğer d k+1 = 0 ise d k+2 =
· · · = d m = 0 olur. Bu durumda x n = d k , x n−1 = d k−1 − c k−1 n x n , ve
böylece geriye doğru devam ederek diğer bilinmeyenleri buluruz.
• Çözümlerde bazı bilinmeyenler herhangi değerler alabilen parametre olarak
seçtiğimiz diğer bilinmeyenler cinsinden ifade edilebilir. Bu ise C x = d
denklem sisteminin sonsuz çoklukta çözümünün olduğunu belirtir.
• Her bir bilinmeyenin belirlenmiş bir tek değeri olur ki, bu da sistemin
tek çözümünün olduğunu belirtir.
ÖRNEK 2.2.2
⎡
[ ] C | d = ⎢
⎣
1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 −1 7
0 0 1 2 3 7
0 0 0 1 2 9
⎤
⎥
⎦ .
x 4 = 9 − 2x 5
x 3 = 7 − 2x 4 − 3x 5 = 7 − 2(9 − 2x 5 ) − 3x 5 = −11 + x 5
x 2 = 7 − 2x 3 − 3x 4 + x 5 = 2 + 5x 5
x 1 = 6 − 2x 2 − 3x 3 − 4x 4 − 5x 5 = −1 − 10x 5
x 5 = herhangi reel sayı
44

Böylece bütün çözümler
x 1 = −1 − 10r
x 2 = 2 + 5r
x 3 = −11 + r
x 4 = 9 − 2r
x 5 = r, herhangi reel sayı
ÖRNEK 2.2.3
[
C | d
]
=
⎡
⎣
1 2 3 4 5
0 1 2 3 6
0 0 0 0 1
denklem sisteminin çözümü yok çünkü, son denklem
hiç bir zaman sağlanmaz.
0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 1
⎤
⎦ .
Gauss - Jordan eleminasyon yöntemini kullandığımız zaman [ A | b ] genişletilmiş
katsayılar matrisini satırca indirgenmiş eşelon matris olan [ C | d ] ye indirgeriz.
Bu durumda yerine koyma yapmaksızın direk çözümü yazarız.
ÖRNEK 2.2.4
denklem sisteminin çözümü
⎡
[ ] C | d = ⎢
⎣
1 0 0 0 5
0 1 0 0 6
0 0 1 0 7
0 0 0 1 8
⎤
⎥
⎦ .
x 1 = 5
x 2 = 6
x 3 = 7
x 4 = 8.
Lineer denklem sistemleri bir çok uygulamalarda karşımıza çıkarlar. Bunlardan
bazılarını orneklerle gorelim.
45

ÖRNEK 2.2.5 ( Quadratic İnterpolasyon )
i ≠ j için x i ≠ x j olmak üzere P (x) := ax 2 + bx + c parabolü üzerinde üç
nokta { (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ), } olsun. a, b, ve c katsayılarını bulunuz.
Olduğundan katsayılar matrisi
ve
⎡
v := ⎣
a
b
c
⎤
P (x 1 ) = y 1 veya ax 2 1 + bx 1 + c = y 1
P (x 2 ) = y 2 veya ax 2 2 + bx 2 + c = y 1
P (x 3 ) = y 3 veya ax 2 3 + bx 3 + c = y 1
⎡
⎦, ve y := ⎣
⎡
A := ⎣
⎤
y 1
y 2
y 3
x 2 1 x 1 1
x 2 2 x 2 1
x 2 3 x 3 1
⎤
⎦
⎦ matrislerini tanımlarsak denklem sistemini
[
C | d
]
şeklinde gösterebiliriz. Bu durumda da genişletilmiş katsayılar matrsi
[
A | y
]
=
⎡
⎣
⎤
x 2 1 x 1 1 y 1
x 2 2 x 2 1 y 2
⎦ .
x 2 3 x 3 1 y 3
Örneğin, üç farklı noktası { (1, −5), (−1, 1), (2, 7), } olan parabolü
bulmak istesek
[
A | y
]
=
⎡
⎣
1 1 1 −5
1 −1 1 1
4 2 1 7
Bunun çözümüde a = 5, b = −3, c = −7 dir. O halde aranan parabol
P (x) := 5x 2 − 3x − 7
⎤
dir.
⎦ .
ÖRNEK 2.2.6 ( Isı Dağılımı )
Bir kare plaka üzerinde ısı dağılımına ilişkin basit bir model bir lieer denklem
46

sisteminin oluşumuna neden olur. Uygun denklem sistemini oluşturmak için
aşağıdaki bilgiyi kullanalım. Bu kare plaka üst ve alt kısımlardan mükemmel
bir şekilde izole edilmiş öyleki, ısı akışı sadece plaka üzerinde oluşmaktadır.
Dört kenar değişik ısılara maruz bırakılmıştır. Kare üzerinde bir iç noktadaki
sıcaklığı tahmin etmek için bu noktanın etrafında (Kuzey, Güney, Doğu ve
Batısındaki) dört noktanın aritmetik ortalamasını alırız.
Kare plakanın üzerine eşit aralıklarla yerleştirilmiş bulunan T i (i =
1, 2, 3, 4) noktalarındaki sıcaklığı tahmin edelim
110 ◦
• •
• •
T
• •
1 T 2
60 ◦
40 ◦
• •
T
• •
3 T 4
• •
0 ◦
T 1 = 60 + 100 + T 2 + T 3
4
veya 4T 1 − T 2 − T 3 = 160
T 2 = T 1 + 100 + 40 + T 4
4
veya − T 1 + 4T 2 − T 4 = 140
T 3 = 60 + T 1 + T 4 + 0
4
veya − T 1 + T 3 − T 4 = 60
T 4 = T 3 + T 2 + 40 + 0
4
veya − T 2 − T 3 + 4T 4 = 40
Bu denklem sistemi için genişletilmiş katsayılar matrisi
⎡
[ ] A | b := ⎢
⎣
Gauss eleminasyon kullanılarak çözümleri
olarak buluruz.
4 −1 −1 0 160
−1 4 0 −1 140
−1 0 4 −1 60
0 −1 −1 4 40
T 1 = 65 ◦ , T 2 = 60 ◦ , T 3 = 40 ◦ , T 4 = 35 ◦
47
⎤
⎥
⎦

2.3 Homojen Denklem Sistemleri
n Bilinmeyenli ve m tane denklemden oluşan A x = 0 homejen denklemin her
zaman sıfır, 0 , çözümü vardır.
ÖRNEK 2.3.1 Homojen denklem sisteminin katsayılar matrisi
⎡
⎤
1 0 0 0 2 0
⎢ 0 0 1 0 3 0
⎥
⎣ 0 0 0 1 4 0 ⎦ .
0 0 0 0 0 0
satırca indirgenmiş eşelon formda olduğundan sistemin çözümü
Burada r ve s keyfi reel sayılardır.
x 1 = −2r
x 2 = s
x 3 = −3r
x 4 = −4r
x 5 = r
NOT: Bir homojen denklem sisteminde bilinmeyen sayısı n denklem sayısı m
den büyük olursa homojen sistemin her zaman sıfırdan farklı çözümleri olur.
ÖRNEK 2.3.2 Aşağıdaki homojen denklem sisteminin çözümlerini bulalım.
x + y + z + w = 0
x + w = 0
x + 2y + z = 0
sistemin genişletilmiş katsayılar matrisi
⎡
1 1 1 1
⎤
0
⎣ 1 0 0 1 0 ⎦ .
1 2 1 0 0
satırca
⎡
⎣
1 0 0 1 0
0 1 0 −1 0
0 0 1 1 0
48
⎤
⎦ .

matrisine denktir. Dolayısıyla çözümler
x =−r
y = r
z =−r
w = r, herhangi bir reel sayı.
NOT: Homojen ve Homojen olmayan denklem sistemleri arasında şöyle bir
ilişki vardır: A x = b, b ≠ 0 denklem sisteminin özel bir çözümü x p
ve
A x = 0 homojen kısmın bir çözümü de x h olsun.
Bu durumda x p +x h , verilen A x = b denklem sisteminin bir çözümüdür.
ALIŞTIRMALAR 2.1
1. A :=
⎡
⎢
⎣
1 2 −3 1
−1 0 3 4
0 1 2 −1
2 3 0 −3
⎤
⎥
⎦ matrisi veriliyor.
(a) A matrisine satırca denk olan satır eşelon formada B ve C matrisleri
bulunuz
(b) A ya satırca denk olan indirgenmiş eşelon formda bir D matrisi
bulunuz.
2. A matrisi n × n tipinde satırca indirgenmiş eşelon formda bir matris
olsun. Gösteriniz ki, A ≠ I n ise A matrisinde bir sıfır satırı vardır.
3. Aşağıdakileri ispatlayınız.
(a)
Her matris kendine satırca denktir.
(b) Eğer B matrisi A matrisine satırca denk ise A da B ye satırca
denktir.
(c) Eğer C matrisi B matrisine satırca denk ve B matrisi de A matrisine
satırca denk ise bu durumda C matrisi A matrisine satırca denktir.
49

4. Aşağıdaki lineer denklem sisteminin (varsa) bütün çözümlerini
x + y + 2z = −1
x − 2y + z = −5
3x + y + z = 3
(a)
(b)
Gauss eleminasyon yöntemiyle,
Gauss-Jordan yöntemiyle bulunuz.
5. Alıştırma 4 ü aşağıdaki herbir denklem sistemi için tekrar ediniz.
(a)
x + y + 2z + 3w = 13
x − 2y + z + w = 8
3x + y + z − w = 3
(b)
(c)
x + y + z = 1
x + y − 2z = 3
2x + y + z = 2
2x + y + z − 2w = 1
3x − 2y + z − 6w = −2
x + y − z − w = −1
6x + z − 9w = −2
5x − y + 2z − 8w = 3
5. Aşağıda ⎡ genişletilmiş ⎤ katsayılar⎡
matrisi verilen⎤
denklem sistemlerini ⎡ çözünüz. ⎤
1 1 1 0
1 2 3 0
1 2 3 0
(a) ⎣ 1 1 0 3 ⎦ (b) ⎣ 1 1 1 0 ⎦ (c) ⎣ 1 1 1 0 ⎦
0 1 1 1
1 1 2 0
5 7 9 0
(d)
[ 1 2 3 0
1 2 1 0
]
(e)
⎡
⎣
1 2 3 1 8
1 3 0 1 7
1 0 2 1 3
[ ] 4 1
6. A :=
0 2
matrisi icin sıfırdan farklı bir x =
bulunuz ki, Ax = 4 x olsun.
[ ] 2 1
7. A :=
1 2
matrisi icin sıfırdan farklı bir x =
bulunuz ki, Ax = 3 x olsun.
⎤
⎦
(f)
[
x1
[
x1
⎡
⎢
⎣
x 2
]
x 2
]
1 2 1 7
2 0 1 4
1 0 2 5
1 2 3 11
2 1 4 125
⎤
⎥
⎦
sütun matrisi
sütun matrisi
50

⎡
8. A := ⎣
9. A := ⎣
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
matrisi bulunuz ki,
⎡
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
matrisi bulunuz ki,
⎤
⎦ matrisi icin sıfırdan farklı bir x = ⎣
⎤
Ax = 3 x olsun.
⎦ matrisi icin sıfırdan farklı bir x = ⎣
Ax = 1 x olsun.
⎡
⎡
⎤
x 1
x 2
⎦
x 3
⎤
x 1
x 2
⎦
x 3
sütun
sütun
10. Aşağıdaki denklem sisteminde a değeri ne olmalıdır ki,
x + y − z = 2
x + 2y + z = 3
x + y + (a 2 − 5)z = a
(a) denklem sisteminin çözümü olmasın,
(b) denklem sisteminin tek çözümü olsun,
(c) denklem sisteminin sonsuz çoklukta çözümü olsun.
11. Aşağıdaki denklem sistemi için 10. soruyu tekrar et.
x + y + z = 2
2x + 3y + 2z = 5
2x + 3y + (a 2 − 1)z = a + 1
(a) denklem sisteminin çözümü olmasın,
(b) denklem sisteminin tek çözümü olsun,
(c) denklem sisteminin sonsuz çoklukta çözümü olsun.
[ ] [ ]
a b
x1
12. A := ve x := olsun. Gösteriniz ki, Ax = 0 denklem
c d
x 2
sisteminin sadece sıfır çözümü vardır ancak ve ancak a d − b c ≠ 0 ise.
13. a, b ve c parametrelerini içeren bir denklem yazınız ki,
x + 2y − 3z = a
2x + 3y + 3z = b
5x + 9y − 6z = c
denklem sistemi a, b ve c nin bütün değerleri için tutarlı olsun. Denklemi
sağladığını da gösteriniz.
51

14. a, b ve c parametrelerini içeren bir denklem yazınız ki,
2x + 2y + 3z = a
3x − y + 5z = b
x − 3y + 2z = c
denklem sistemi a, b ve c nin bütün değerleri için tutarlı olsun. Denklemi
sağladığını da gösteriniz.
15. Gösteriniz ki, aşağıdaki homojen denklem sisteminin
(a − r)x + dy = 0
cx + (b − r)y = 0
sıfırdan farklı çözümleri vardır ancak ve ancak r parametresi (a −
r)(b − r) − cd = 0 denklemini sağlıyorsa.
2.4 Elemanter Matrisler ve A −1 Ters Matrisi
Bulmak
Bu kısımda eğer varsa bir matrisin tersini bulmak için bir yöntem geliştireceğiz.
Bu yöntemi kullanmak için A −1 in var olup olmadığını bilmek zorunda değiliz.
A −1 matrisini bulmaya başlarız. Eğer hesaplamaların herhangi bir durumunda
belli bir durumla karşılaşırsak A −1 in olmadığını anlarız. Aksi halde ilerlemeye
devam ederiz ve A −1 i buluruz.Bu yöntem A matrisi üzerinde oluşturulacak
olan elemanter satır operasyonlarına (bakınız Tanım 3.1.4 ) dayanır.
TANIM 2.4.1 I n Birim matrisine sadece bir tane elemanter satır operasyonu
uygulanarak elde edilen n × n tipindeki matrise elemanter matris denir.
ÖRNEK 2.4.2 Aşağıdaki matrisler elemanter matrislerdir.
⎡
0 0
⎤
1
⎡
1 0
⎤
0
E 1 := ⎣ 0 1 0 ⎦ , E 2 := ⎣ 0 −2 0 ⎦ ,
1 0 0
0 0 1
⎡
E 3 := ⎣
1 2 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎡
⎦ ve E 4 := ⎣
52
1 0 3
0 1 0
0 0 1
⎤
⎦ .

TEOREM 2.4.3 A bir m×n tipinde bir matris; B matrisi de A ya herhangi
bir elemanter satır (sütun) işlemi yapılarak oluşturulan matris ve E matrisi
de I m ( I n ) birim matrise aynı satır ( sütun ) işlemi yapılarak elde edilen
elemanter matris olsun. Bu durumda
B = E A
(B = A E) dir.
İSPAT: Alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır.
✷
ÖRNEK 2.4.4
⎡
A := ⎣
1 3 2 1
−1 2 3 4
3 0 1 2
matrisinin üçüncü satırın (−2) katını birinci satıra eklersek
⎡
−5 3 0
⎤
−3
B := ⎣ −1 2 3 4 ⎦
3 0 1 2
matrisini buluruz. Şimdide I 3 birim matrisine aynı işlemi uygularsak
⎡
E := ⎣
1 0 −2
0 1 0
0 0 1
elemanter matrisini buluruz. Dolayısıyla kolayca kontrol ederiz ki, B = E A
dır.
⎤
⎦
⎤
⎦
TEOREM 2.4.5 A ve B matrisleri m × n tipinden olsunlar. Bu durumda A
matrisi B ye satırca (sütunca) denktir ancak ve ancak B = E k E k−1 · · · E 2 E 1 A
(B = A E 1 E 2 · · · E k−1 E k ) olacak şekilde E 1 , E 2 , . . . , E k elemanter matrisleri
vardır.
İSPAT: A matrisi B ye satırca denk olsun. Bu durumda, B matrisi A
ya sonlu sayıda elemanter satır işlemi yapılarak elde edilmiştir. Bu elemanter
satır işlemleriyle E 1 , E 2 , . . . , E k elemanter matrislerini elde ederiz öyle ki
B = E k E k−1 · · · E 2 E 1 A olur.
53

Tersine olarak, E 1 , E 2 , . . . , E k elemanter matrisler için B = E k E k−1 · · · E 2 E 1 A
ise B matrisi A dan elemanter satır işlemleriyle elde edilmiştir. Dolayısıyla A
B ye denktir.
✷
TEOREM 2.4.6 Bir E elemanter matrisinin tersi daima vardır ve E −1 de
aynı tipten bir elemanter matristir.
İSPAT: Alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır.
✷
LEMMA 2.4.7 A bir n × n tipinde bir kare matris olsun. A x = 0 homojen
denklem sisteminin sadece 0 çözümü varsa A matrisi satırca I n birim matrisine
denktir.
İSPAT: Kabul edelim ki, B matrisi satırca indirgenmiş eşelon formda ve
A ya denk olsun. Bu durumda A x = 0 ve B x = 0 homojen denklem
sistemleri denktir. Dolayısıyla, B x = 0 sisteminin de sadece aşikar çözümü
( sıfır çözümü ) vardır. Açık olarak, B nin sıfırdan farklı satırlarının sayısı
r ise bu durumda B x = 0 sistemi katsayılar matrisi B nin saıfırdan farklı
satırlarından oluşan homojen sisteme denktir ve böylece r × n tipindendir. Bu
en son homojen sistem sadece sıfır çözümüne sahip olduğundan denklem sayısı
en az bilinmeyen sayısı kadar olmalı yani r ≥ n. B matrisi n × n tipinden
olduğundan r ≤ n dir. Böylece, r = n dir. Bunun anlamı ise B de sıfır
satırları yoktur yani B = I n dir.
✷
TEOREM 2.4.8 A matrisi terslenebilirdir ancak ve ancak A matrisi elemanter
matrislerin çarpımı şeklinde yazılabilir.
İSPAT: A matrisi E 1 , E 2 , . . . , E k elemanter matrislerinin çarpımı şeklinde
yazılabiliyorsa yani,
A = E 1 E 2 · · · E k
Teorem 2.4.6 den dolayı biliyoruz ki, elemanter matrisler terslenebilirdir. Diğer
yandan Teorem 1.4.14 (i) den de terslenebilir matrislerin çarpımının da terslenebildiğini
biliyoruz. O halde, A terslenebilirdir.
54

Tersine, A matrisi terslenebilir olsun. Bu durumda A x = 0 homojen
sistemin sadece aşikar çözümü (sıfır çözümü) vardır. Çünkü
A x = 0 =⇒ A −1 (Ax) = A −1 0 = 0
=⇒ (A −1 A)x = 0 =⇒ I n x = 0 veya x = 0
Lemma 3.2.10 den dolayı A matrisi satırca I n birim matrisine denktir. Bunun
anlamı ise
I n = E k E k−1 · · · E 2 E 1 A
Buradan da A = (E k E k−1 · · · E 2 E 1 ) −1 = E1 −1 E2 −1 · · · E −1
k−1 E−1 k
yazabiliriz. Elemanter
matrislerin tersi de elemanter matris olduğundan ispat tamamlanmış
olur.
✷
Lemma 3.2.10 ve Teorem 2.4.8 ün bir sonucunu aşağıdaki şekilde verebiliriz.
SONUÇ 2.4.9 A matrisi terslenebilirdir ancak ve ancak A matrisi satırca I n
birim matrisine denktir.
Lemma 3.2.10 ve bu Sonuçtan görebiliriz ki, A x = 0 homojen sisteminin
çözümü sadece , x = 0 ise bu durumda A terslenebilirdir.
Tersine, A matrisi terslenebilir olsun. A x = 0 sisteminin yegane
çözümü 0 sıfır çözümüdür. Gerçekten,
A x = 0 =⇒ A −1 (Ax) = A −1 0 = 0
=⇒ (A −1 A)x = 0 =⇒ I n x = 0 yani x = 0
Böylece aşağıdaki Teoremi ispatlamış olduk.
TEOREM 2.4.10 A matrisinin tersi yoktur ancak ve ancak A x = 0 homojen
denklem sisteminin sıfırdan farklı (aşikar olmayan) çözümleri vardır.
Şimdi yaptıklarımızı şu şekilde özetleyebiliriz:
55

Bir A, n × n kare matrisi için aşağıdakiler birbirine denktir.
1. A matrisi terslenebilirdir.
2. A x = 0 denkelem sisteminin sadece sıfır çözümü vardır.
3. A satırca I n birim matrisine denktir.
4. Her b sütun matrisi için A x = b sisteminin bir tek çözümü vardır.
5. A elemanter matrislerin çarpımı şeklinde yazılabilir.
Teorem 2.4.8 ün ispatının saonunda A terslenebilirdi ve A = E1 −1 E2 −1 · · · E −1
k−1 E−1 k
şeklinde yazılabiliryordu. Buradan A −1 = E k E k−1 · · · E 2 E 1 dir.
Bu sonuç A −1 matrisini bulmak için çok kullanışlı bir algoritma verir.
matrisini oluştururuz. Sonra
[
A | In
]
(
Ek E k−1 · · · E 2 E 1
)[
A | In
]
=
[
(Ek E k−1 · · · E 2 E 1 )A | (E k E k−1 · · · E 2 E 1 )I n
]
= [ A −1 A | E k E k−1 · · · E 2 E 1
]
= [ I n | A −1]
Yani ilaveli [ A | I n
]
matrisini satır operasyonları yaparak satırca indirgenmiş
eşelon forma dönüştürürsek [ I n | A −1] matrisini buluruz.
ÖRNEK 2.4.11
matrisinin tersini bulalım.
⎡
A := ⎣
İlaveli matris
1 1 1
0 2 3
5 5 1
⎤
⎦
[
A | In
]
=
⎡
⎣
1 1 1 1 0 0
0 2 3 0 1 0
5 5 1 0 0 1
56
⎤
⎦

Şimdi [ I n | A −1] matrisini oluşturalım.
1 1 1 1 0 0
0 2 3 0 1 0
5 5 1 0 0 1
1 1 1 1 0 0
0 2 3 0 1 0
0 0 −4 −5 0 1
1 1 1 1 0 0
0 1
3
2
0
1
2
0
0 0 −4 −5 0 1
1 1 1 1 0 0
0 1
3
2
0
1
2
0
0 0 1
5
4
0 − 1 4
1 1 0 − 1 4
0
1
4
3
8
0 1 0 − 15 1
8 2
5
0 0 1
4
0 − 1 4
13
1 0 0
8
− 1 2
− 1 8
Dolayısıyla
0 1 0 − 15 1 3
8 2 8
5
0 0 1 0 − 1 4 4
1.satırın (-5) katını
3.satıra ekle
2.satırı ( 1 ) ile çarp
2
3.satırı (− 1 ) ile çarp
4
3.satırın, (− 3 ) katını 2.satıra
2
(−1) katını da 1.satıra ekle
2.satırın (−1) katını 1.satıra ekle
⎡
A −1 =
⎢
⎣
− 15 8
13
8
− 1 2
− 1 8
1
2
3
8
5
4
0 − 1 4
⎤
⎥
⎦
olduğu kolayca kontrol edilebilir.
A A −1 = A −1 A = I 3
TEOREM 2.4.12 Bir n × n tipinde A kare matrisinin tersi yoktur ancak ve
ancak A mastrisi sıfır satırları olan bir B matrisine denktir.
57

B = A −1 ✷
İSPAT: A matrisi bir satırı tamamen sıfır olan bir B matrisine satır denk
olsun. Bir alıştırma olarak gösterilebilir ki, B matrisinin tersi yoktur. Şimdi,
B = E k E k−1 · · · E 2 E 1 A olsun. Bu durumda A matrisi terlenebilir ise elemanter
matrislerde terslenebileceğinden B matrisi terslenebilir olur ki, bir çelişkidir.
Şu halde A nın tersi yoktur.
Tersine, A nın tersi olmasın. Bu durmda A matrisi I n birim matrisine denk
değildir. Böylece A matrisi satırca indirgenmiş formda olan bir B matrisine
denktir ve B ≠ I n dir. Bu durumda B bir sıfır satırına sahiptir. ( Alıştırma)
✷
TEOREM 2.4.13 A ve B mastrisleri n×n tipinden kare matrisler ve A B =
I n olsun. Bu durumda B A = I n dir. Dolayısıyla da B = A −1 dir.
İSPAT: Önce, A B = I n ise A nın terslenebilir olduğunu gösterelim. Kabul
edelim ki A nın tersi olmasın. Bu durumda A matrisi en az bir sıfır satırına
sahip bir C matrisine satırca denktir. Yani, C = E k E k−1 · · · E 2 E 1 A yazabiliriz.
Dolayısıyla CB = E k E k−1 · · · E 2 E 1 AB dir ve böylece de A B matrisi CB ye
satırca denktir. C B nin sıfır satırları olduğundan Teorem 2.4.12 gereğince A B
matrisinin tersi yoktur. Bu ise imkansızdır çünkü A B = I n ve I n birim matrisi
terslenebilirdir. Bu çelişki den dolayı A nın tersi vardır.
A −1( A B ) = A −1 I n
(A −1 A ) B = A −1
ALIŞTIRMALAR 2.2
1. A matrisi 4×3 tipinden bir matris olsun. Bir E elemanter matris bulunuz
ki, E A çarpımı yapıldığında A matrisinde aşağıdaki satır işlemi yapılmış
olsun.
(a)
(b)
(c)
A nın 2.satırını (−2) ile çarpma
A nın 3.satırının (3) katını 4.satıra ekleme
1. ve 3. satırların yer değiştirilmesi
58

2. A matrisi 3 × 4 tipinden bir matris olsun. Bir F elemanter matris bulunuz
ki, A F çarpımı yapıldığında A matrisinde aşağıdaki sütun işlemi
yapılmış olsun.
(a)
(b)
A nın 1.sütunun 4 katını 2. sütuna ekleme,
A nın 3.sütununu 4 ile çarpma
(c) 2. ve 3. sütunları yer değiştirilmesi
⎡
1 0
⎤
1
3. A := ⎣ 2 1 0 ⎦ matrisi verilsin.
0 −1 1
(a) A ya satırca denk olan satır indirgenmiş eşelon formda bir C matrisi
bulunuz.
Elemanter satır işlemlerini kayıt ediniz .
(b) Bu satır operasyonlarını I 3 birim matrisine uygulayınız ve oluşan
matrisi
B ile gösterelim.
(c) A ile B matrisleri arasında nasıl bir ilişki vardır? (A B ve B A yı
hesaplayınız)
4. Aşağıdaki matrislerin varsa terslerini bulunuz
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 2 3
3 1 2
(a) ⎣ 1 1 2 ⎦ (b) ⎣ 2 1 2 ⎦ (c)
0 1 2
1 2 2
(d)
⎡
⎢
⎣
1 2 −3 1
−1 3 −3 −2
2 0 1 5
3 1 −2 5
⎡
5. A −1 := ⎣
1 1 1
1 1 2
1 −1 1
⎤
⎤
⎥
⎦
(e)
⎡
⎢
⎣
⎡
⎣
1 1 2 1
0 −2 0 0
1 2 1 −2
0 3 2 1
⎦ ise A matrisini bulunuz.
2 1 3
0 1 2
1 0 3
⎤
⎥
⎦
(f)
⎤
⎦
⎡
⎢
⎣
1 1 1 1
1 3 1 2
1 2 −1 1
5 9 1 6
6. Aşağıdaki Lineer homojen denklem sistemlerinden hangisi sıfırdan farklı
çözümlere sahiptir.
⎧
⎧
⎨ x + 2y + 3z = 0 ⎨ x + y − z = 0
(a)
2y + 2z = 0 (b) x − 2y − 3z = 0
⎩
⎩
2x + 4y + 6z = 0
−3x − y + 2z = 0
⎤
⎥
⎦
59

⎧
⎨ 3x + y + 3z = 0
(c) −2x + 2y − 4z = 0
⎩
2x − 3y + 5z = 0
7. A :=
⎦ matrisinin tersinin olabilmesi için a değerlerini bulunuz
⎡
⎣
1 1 0
1 0 0
1 2 a
⎤
⎧
⎨ x + y + 2z = 0
(d) 2x + y + z = 0
⎩
3x − y + z = 0
60

Bölüm 3
Determinantlar
3.1 Temel Tanımlar
Bir A := [ a ij kare matrisinin izi (Trace) A nın köşegen elemanlarının
]n×n
toplamuı olarak tanımlanır ve T r(A) ile gösterilir. Yani,
T r(A) :=
n∑
i=1
a ij
Bir A kare matrisiyle ilişkilendirilmiş çok önemli bir sayı da determinant tır.
Determinantlar ilk önce denklem sistemlerini çözme yöntemleri geliştirilirken
ortaya çıkmalarına rağmen bir önceki bölümde anlatılan yöntem determinantları
içeren yöntemlerden daha etkili ve kullanışlıdır. Bununla birlikte, determinantlar
lineer dönüşümleri konusunda oldukça kullanışlı olacaklardır. Aynı
zamanda değişik uygulamalara da sahiplerdir.
TANIM 3.1.1 Bir n tamsayısına kadar olan sayıları S := { 1, 2, . . . , n }
kümesi ile gösterelim. S nin elemanlarının j 1 j 2 . . . j n şeklinde herhangi bir
sıralanışına S nin bir permütasyonu denir. Bir permütasyonu aynı zamanda
S den kendi üzerine bire-bir ve örten bir fonksiyon olarak ta düşünebiliriz.
S nin toplam n! tane permütasyonu vardır ve bütün permütasyonları kümesini
S n ile göstereceğiz.
61

ÖRNEK 3.1.2 S := { 1, 2, 3 } kümesinin bütün permütesyonları 3! = 6
tanedir. Bunlar
S 3 := { 123, 132, 213, 231, 312, 321 } dir.
Bir j 1 j 2 . . . j n permütasyonunda bir inversiyon vardır denir eğer büyük j r den
sonra küçük j s gelmiş ise. Bir permütasyondaki toplam inversiyon sayısı çift
ise bu permütasyona çift permütasyon eğer tek ise de tek permütasyon
denir. Eğer n ≥ 2 ise S n de tam olarak n!/2 tane çift ve n!/2 tane de tek
permütasyon vardır.
ÖRNEK 3.1.3 S 1 de 1! = 1 tane permütasyon vardır yani 1.
permütasyondur çünkü hiç inversiyon yoktur.
Bu da çift
S 2 de 2! = 2 tane permütasyon vardır. 12 çift permütasyondur çünkü inversiyon
yok,
21 tek tir çünkü bir tane inversiyon vardır.
S 4 de 4312 permütasyonunda 4 den sonra 3, 4 den sonra 1, 4 den sonra 2, 3
den sonra 1, ve 3 den sonra 2 geldiğinden toplam 5 tane inversiyon vardır.
Dolayısıyla 4312 permütasyonu tektir.
S := { 1, 2, 3 } kümesinin bütün permütesyonları 3! = 6 tanedir. Bunlardan
123, 231, 312 permütasyonları çift ve 132, 213, 321 permütasyonları da tektir.
TANIM 3.1.4 Bir A := [ a ij kare matris olsun. deteminant fonksiyonu
det ile gösterilir ve
]n×n
det(A) :=
∑
(±)a 1j1 a 2j2 a 3j3 · · · a njn
j 1 j 2 ...j n ∈S n
ile tanımlanır. Burada (±)
gelecek anlamındadır.
işaret permütasyon çift ise +, tek ise − işareti
det(A) nın her bir (±)a 1j1 a 2j2 a 3j3 · · · a njn teriminde satır indisleri doğa sırada
fakat sütun indisleri j 1 j 2 . . . j n deki sıradadır. Böylece det(A) nın her bir
terimi, uygun işaretle birlikte, A nın herbir satırından sadece bir bileşen ve
herbir sütundan da sadece bir bileşen alınmak suretiyle tam n tane bileşeninin
62

çarpımı şeklindedir. Bütün permütasyonlar üzerinden toplamö alındığından
det(A) toplamında n! terim vardır.
det(A) için bir diğer notasyon da |A| dır. Biz her ikisini de kullanacağız.
ÖRNEK 3.1.5
A :=
[ ]
a11 a 12
a 21 a 22
matrisinin determinantını bulmak istesek a 1− a 2− terimlerini yazacağız ve sonra
indisteki çizgileri S 2 nin elemanları ile değiştireceğiz. Yani 12 çift ve 21 de tek
olmak üzere iki permütasyon var. Böylece
det(A) = a 11 a 22 − a 12 a 21
Böylece, A :=
[ 2 −3
4 5
a 11 a 12
❅
❅❅❅❘
✠
a 21 a 22
]
ise |A| = (2)(5) − (−3)(4) = 22 dir
ÖRNEK 3.1.6
⎡
A := ⎣
⎤
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
⎦
a 31 a 32 a 33
matrisinin determinantını bulmak istesek 3! = 6 olduğundan a 1− a 2− a 3− , a 1− a 2− a 3− ,
a 1− a 2− a 3− , a 1− a 2− a 3− , a 1− a 2− a 3− , a 1− a 2− a 3− , 6 tane terimi yazacağız. Şimdi
indisteki çizgi yerlerine S 3 ün elemanlarını yazacağız. S 3 := { 123, 231, 312, 132, 213, 321 }
det(A) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32
−a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 .
|A| değerini aşağıdaki şekilde de bulabiliriz. A nın birinci ve ikinci sütununu
A ya sütun olarak ekleyelim. Sonra soldan sağa doğru olan vektörler üzerinde
bulunan bileşenlerin çarpımlarını toplayalım sonra sağdan sola olan vektörler
üzerindeki bileşenlerin çarpımlarını bundan çıkaralım.
63

⎡
Örneğin A := ⎣
2 1 4
1 2 3
5 3 4
⎤
a 11 a 12 a 13 a 11 a 12
❅ ❅ ❅
a 21 ❅❅❅❅❅❘ a 22 ❅❅❅❅❅❘ a 23 ❅❅❅❅❅❘ a 21
a 22
a 31 a 32 a 33 a 31 a
✠ ✠ ✠ 32
⎦ matrisinin determinantını bu yolla hesaplayalım
2 1 4 2 1
❅ ❅ ❅
1 ❅ 2 ❅❅❅❅❅❘ 3 1 2
❅❅❅❅❘
5 3 4 5 ❅ ❅❘
3
✠ ✠ ✠
|A| = (2)(2)(4)+(1)(3)(5)+(4)(1)(3)−(4)(2)(5)−(2)(3)(3)−(1)(1)(4) = −19
UYARI : Bu örnekte kullanılan yöntem mertebesi n ≥ 4 olan kare matrislere
uygulanmaz. Sadece 3 × 3 tipindeki matrislere uygulanır.
Determinantın hesaplanması büyük n değerleri için Tanım 3.1.4 de oldukça
can sıkıcı ve karmaşık bir yöntemdir. çünkü n! sayısı çok hızlı büyüyen bir
sayıdır. Determinant değerini daha kolay hesaplayabilmek için bir sonraki
kısımda determinant özelliklerini vereceğiz.
Permütasyonlar Cebir derslerinde daha detaylı ve derinliğine çalışılan bir
konudur. Determinant değerinin hesaplanması için geliştirdiğimiz yöntem permütasyonları
içermektedir. Dolayısıyla permütasyonların sıklıkla kullanacağımız önemli bir
özelliğini verelim.
ÖNERME 3.1.7 Bir j 1 j 2 j 3 . . . j n permutasyonunda herhengi iki sayının
yerini değiştirirsek inversiyon sayısı bir tek sayı kadar artar veya azalır.
İSPAT: Öncelikle, permütasyonda ardışık iki sayı yerdeğişirse inversiyon
sayısı açıktır ki, inversiyon sayısı ya 1 artar veya bir azalır. Bir j 1 j 2 j 3 . . . j n
permütasyonunda herhangi iki sayının yer değişmesini tek sayı defa ardışık iki
sayıyı yerdeğiştirerek te yapabiliriz. Gerçekten, (c < k) olmak üzere j c ve j k
64

sayılarını yer değiştirmek istesek ve aralarında da s tane sayı olsun. Şimdi j c
yi sağa doğru yanındaki sayı ile yerini değiştirerek j k ya kadar ilerlesek tam
s + 1 adımda varırız. Bundan sonra da j k yı sola doğru yanındaki sayı ile yer
değiştirerek j c nin yerine kadar ilerlesek bu seferde s adımda varırız.( çünkü
j k sayısı j c nin solunda kalır) Dolayısıyla, j c ile j k nın bu yer değişikliği için
toplam (s + 1) + s = 2s + 1 adımda ardışık sayıların yerdeğişmesi gerçekleşir.
Ardışık sayıların yerdeğişmesi inversiyon sayısını bir azaltır veya bir arttırdığı
için iddianın doğruluğu gösterilmiş olur.
✷
ALIŞTIRMALAR 3.1
1. S 5 de verilen aşağıdaki permütasyonların inversiyon sayılarını bulunuz
(a) 52134 (b) 45213 (c) 42135
(d) 13542 (e) 35241 (f) 12345
2. S 4 de verilen aşağıdaki permütasyonların tek veya çift olduklarını belirleyiniz.
(a) 4213 (b) 1243 (c) 1234
(d) 3214 (e) 1423 (f) 2143
3. (a) 436215 permütasyonundaki inversiyonların sayısını bulunuz.
(b)
416235 permütasyonundaki inversiyonların sayısı (a) şıkkındaki inversiyonların
sayısından bir tek sayı kadar farklıdır. (a) şıkkındaki
permütasyonda 3 ile 1 yerdeğiştirilerek (b) şıkkındaki permütasyon
bulunmuştur.
4. A := [ a ij matrisi için det(A) için genel bir ifade bulunuz.
]4×4
⎛
2 1
⎞
3
⎛
2 1
⎞
3
5. (a) det ⎝ −3 2 1 ⎠ =? (b) det ⎝ 3 2 1 ⎠ =?
⎛
−1 3 4
⎞
0 1 2
t − 1 0 1
(c) det ⎝ −2 t −1 ⎠ =?
0 0 t + 1
6. Yukarıdaki alıştırma (c) şıkkında determinantın 0 olması için t değeri ne
olmalıdır.
65

3.2 Determinant Özellikleri
Bu kısımda determinantın hesaplanmasını kolaylaştıran özellikleri inceleyeceğiz.
TEOREM 3.2.1
det(A) = det(A T )
İSPAT: Kabul edelim ki, A := [ ]
a ij ve bij := a ji olmak üzere A T := [ ]
b ij
olsun.
det(A T ) =
∑
(±)b 1j1 b 2j2 b 3j3 · · · b njn = ∑ (±)a j1 1a j2 2a j3 3 · · · a jnn
j 1 j 2 ...j n ∈S n
Sol taraftaki toplamın her bir terimini
b 1j1 b 2j2 b 3j3 · · · b njn = a j1 1a j2 2a j3 3 · · · a jn n = a 1k1 a 2k2 a 3k3 · · · a nkn
şeklinde yazabiliriz ki, bu da det(A) nın bir terimidir. Şu halde det(A T ) ile
det(A) nın terimleri aynıdır. Sadace işaretleri kontrol etmeliyiz. Soyut cebir
derslerinde permütasyonların özelliklerini kullanarak kolayca gösterilebilirki,
a 1k1 a 2k2 a 3k3 · · · a nkn teriminin işaretini belirleyen k 1 k 2 . . . k n permütasyonundaki
inversiyon sayısı b 1j1 b 2j2 b 3j3 · · · b njn teriminin işaretini belirleyen j 1 j 2 . . . j n permütasyonundaki
inversiyonların sayısına eşittir. Örneğin,
b 13 b 24 b 35 b 41 b 52 = a 31 a 42 a 53 a 14 a 25 = a 14 a 25 a 31 a 42 a 53
j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 = 34512 ve k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 = 45123
yani ikiside dairesel permutasyon olarak eşittir. Dolayısıyla inversiyon sayıları
da eşittir.
✷
TEOREM 3.2.2 B matrisi A matrisinde herhangi iki satırın (sütunun) yer
değiştirilmesi ile elde edilmiş olsun. Bu durumda
det(B) = −det(A).
66

İSPAT: Kabul edelim ki, B matrisi A matrisinde r ve s satırlarının (r < s)
yer değiştirilmesi ile elde edilmiş olsun. Bu durumda b rj = a sj , b sj = a rj ve
i ≠ r, i ≠ s için b ij = a ij dir.
det(B) = ∑ (±)b 1j1 b 2j2 · · · b rjr · · · b sjs · · · b njn
= ∑ (±)a 1j1 a 2j2 · · · a sjr · · · a rjs · · · a njn
= ∑ (±)a 1j1 a 2j2 · · · a rjs · · · a sjr · · · a njn
j 1 j 2 . . . j s . . . j r . . . j n permütasyonu j 1 j 2 . . . j r . . . j s . . . j n permütasyonunda iki
sayının yerdeğiştirilmesi ile elde edildiğinden Önerme 3.1.7 den dolayı inversiyon
sayısı tek sayı kadar fark edecektir. Dolayısıyla det(B) nin her bir teriminin
işareti det(A) nın karşılık gelen teriminin (−) işaretlisidir. Böylece
det(B) = −det(A) elde edilir.
✷
TEOREM 3.2.3 A matrisinde herhangi iki satır (sütun) eşit ise bu durumda
det(A) = 0.
İSPAT: Kabul edelim ki, A matrisinin r ve s satırları eşit olsun. Bu
satırları yer değiştirerek oluşturulan yeni matrisi B ile gösterirsek Teorem
3.2.2 den dolayı det(B) = −det(A) dır. Diğer yandan B = A olduğundan
det(B) = det(A) dır. Dolayısıyla det(A) = 0 elde edilir.
✷
TEOREM 3.2.4 Bir A matrisinde bir sıfır satırı (sütunu) varsa
det(A) = 0.
İSPAT: Kabul edelim ki A nın i.satırı tamamen sıfırlardan oluşsun. det(A)
yı oluşturan toplamdaki her bir terim i.satırdan bir çarpan içereceğinden sıfır
olur ki det(A) = 0. olmuş olur.
✷
67

TEOREM 3.2.5 B matrisi A matrisinde herhangi bir satırı (sütunu) bir k
reel sayısı ile çarpılarak elde edilmiş olsun. Bu durumda
det(B) = kdet(A).
İSPAT: A := [ a ij
]
Matrisinin r.satırını bir k reel sayısı ile çarpılarak
oluşturulan yeni matris B := [ b ij
]
olsun. Bu durumda i ≠ r ise bij = a ij ve
b rj = ka rj
det(B) = ∑ (±)b 1j1 b 2j2 · · · b rjr · · · b njn
= ∑ (±)a 1j1 a 2j2 · · · (ka rjr ) · · · a njn
(∑ )
= k (±)a1j1 a 2j2 · · · a rjr · · · a njn = kdet(A).
✷
TEOREM 3.2.6 B = [ b ij
]
matrisi, A =
[
aij
]
matrisinin s.satırının (sütununun)
k katını r.satırına (sütununa) ekleyerek edilmiş olsun. (r ≠ s) Bu durumda
det(B) = det(A).
İSPAT: i ≠ r için b ij = a ij ve r ≠ s içinde b rj = a rj + ka sj dir. Ayrıca
kabul edelim ki, r < s olsun. Bu durumda
det(B) = ∑ (±)b 1j1 b 2j2 · · · b rjr · · · b njn
= ∑ (±)a 1j1 a 2j2 · · · (a rjr + ka sjr ) · · · a sjs · · · a njn
= ∑ (±)a 1j1 a 2j2 · · · a rjr · · · a sjs · · · a njn
+ ∑ (±)a 1j1 a 2j2 · · · (ka sjr ) · · · a sjs · · · a njn
Bu son toplamda birince terim det(A) dır ve ikinci toplamın
[∑ ]
k (±)a1j1 a 2j2 · · · a sjr · · · a sjs · · · a njn
sıfır olduğunu gösterelim.
68

∑ (±)a1j1 a 2j2 · · · a sjr · · · a sjs · · · a njn
∣ a 11 a 12 · · · a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a 21 a 22 · · · a 2n
. . . .
a
=
s1 a s2 · · · a sn ← r.satır
. . . .
a s1 a s2 · · · a sn ← s.satır
. . . .
∣ a n1 a n2 · · · a nn
= 0
✷
TANIM 3.2.7
⎡
⎤
a 11 a 12 a 13 . . . a 1n
0 a 22 a 23 . . . a 2n
0 0 a 33 . . . a 3n
⎢
⎥
⎣ . . . . ⎦
0 0 0 . . . a nn
⎡
⎢
⎣
⎤
a 11 0 0 . . . 0
a 21 a 22 0 . . . 0
a 31 a 32 a 33 . . . 0
⎥
. . . . ⎦
a n1 a n2 a n3 . . . a nn
Üst Üçgen Matris
Alt Üçgen Matris
TEOREM 3.2.8 Bir alt (üst) üçgen A = [ a ij
]
matrisi için
det(A) = a 11 a 22 a 33 · · · a nn
69

İSPAT: A = [ ]
a ij matrisi üst eçgen matris olsun yani, i > j için aij = 0 dır.
Bu durumda det(A) ifadesindeki bir a 1j1 a 2j2 · · · a njn terimi sadece 1 ≤ j 1 , 2 ≤
j 2 , . . . , n ≤ j n olduğunda sıfırdan farklı olabilir. j 1 j 2 . . . j n bir permütasyon
olduğundan j 1 = 1, j 2 = 2, . . . , j n = n olmalıdır. Şu halde det(A)
ifadesindeki sıfırdan farklı sadece bir terim vardır o da köşegen elemanlarının
çarpımıdır. Dolayısıyla det(A) = a 11 a 22 a 33 · · · a nn .
✷
Bundan sonra elemanter satır ve sütun operasyonlarını aşağıdaki notasyonla
göstereceğiz:
• i ve j satırlarının (sütunlarının) yerlerinin değiştir :
r i ←→ r j (c i ←→ c j )
• i.satırın yerine yine i. satırın (sütunun bir k sayısı ile çarpılmış halini yaz
:
kr i −→ r i (kc i −→ c i )
• j.satırın (sütunun) yerine; i.satırın (sütunun) k katını j.satıra (sütuna)
ekleyerek oluşan satırı (sütunu) yaz :
kr i + r j −→ r j (kc i + c j −→ c j )
70

⎡
ÖRNEK 3.2.9 A := ⎣
4 3 2
3 −2 5
2 4 6
⎛⎡
det(A) = 2 det ⎝⎣
= (−1) 2 det ⎝⎣
⎛⎡
= −2 det ⎝⎣
⎛⎡
= −2 det ⎝⎣
⎛⎡
= −2 det ⎝⎣
⎤
4 3 2
3 −2 5
1 2 3
⎛⎡
⎦ matrisinin determinantını hesaplayalım.
⎤⎞
⎦
1 2 3
3 −2 5
4 3 2
1 2 3
3 −2 5
4 3 2
⎠ 1
⎤⎞
⎦⎠
1 2 3
0 −8 −4
0 −5 −10
1 2 3
0 −8 −4
0 0 − 30 4
⎤⎞
2 r 3 −→ r 3
⎦⎠ r 3 ←→ r 1
⎤⎞
⎦⎠ −3r 1 + r 2 −→ r 2
−4r 1 + r 3 −→ r 3
⎤⎞
Üst üçgen bir matris elde ettik Teorem 3.2.8 den dolayı
det(A) = −2(1)(−8)(− 30 4 ) = −120.
⎦⎠ − 5r 8 2 + r 3 −→ r 3
NOT : Yukardaki örnekte kullandığımız yöntem matrisi üçgen forma indirgeyerek
yapılan bir hesaplama olarak bilinen çok kullanışlı bir yöntemdir.
Birim matris I n de bir üçgen matris olduğundan şu halde det(I n ) = 1 dir.
Elemanter matrislerin de determinantını hesaplayabiliriz.
• E 1 matrisi I n de herhangi iki satır (sütun) değiştirilerek elde edilmiş ise
det(E 1 ) = −det(I n ) = −1 dir.
• E 2 matrisi I n de herhangi bir satırı (sütunu) bir k sayısı ile çarparak elde
edilmiş ise
det(E 2 ) = kdet(I n ) = k dır.
71

• E 3 matrisi I n nin s.satırının (sütununun) k katını r.satıra ekleyerek elde
edilmiş ise
det(E 3 ) = det(I n ) = 1 dir.
LEMMA 3.2.10 E bir elemanter matris olsun. Bu durumda
det(E A) = det(E) det(A) ve det(A E) = det(A) det(E) dir.
İSPAT: (i = 1, 2, 3) için E i ler yukardaki nottaki gibi olsunlar.
E 1 A matrisi A da herhangi iki satırı yer değiştirerek bulunmuştur. Dolayısıyla
det(E 1 A) = −det(A) olur. Diğer yandan, det(E 1 ) = −1 olduğundan
det(E 1 A) = det(E 1 ) det(A) elde edilir.
E 2 A matrisi A nın verilen bir satırını bir k sayısı ile çarparak elde edilmiştir.
Dolayısıyla, det(E 2 A) = kdet(A) olur. Diğer yandan, det(E 2 ) = k olduğundan
det(E 2 A) = det(E 2 ) det(A) elde edilir.
E 3 A matrisi A nın herhangi bir satırının bir k katını bir başka satıra ekleyerek
elde edilmiştir. Dolayısıyla, det(E 3 A) = det(A) olur. Diğer yandan,
det(E 3 ) = 1 olduğundan det(E 3 A) = det(E 2 ) det(A) elde edilir.
Böylece herbir durumda det(E A) = det(E) det(A) dır. Tamamen benzer
bir ispat ile det(A E k ) = det(A) det(E 2 ) olduğu da gösterilebilir. ✷
Lemma 3.2.10 den , eğer
B = E r E r−1 · · · E 2 E 1 A ise bu durumda
det(B) = det ( E r (E r−1 · · · E 2 E 1 A) )
= det(E r )det(E r−1 · · · E 2 E 1 A)
.
= det(E r )det(E r−1 ) · · · det(E 2 )det(E 1 )det(A)
TEOREM 3.2.11 Bir A kare matrisi terslenebilirdir ancak ve ancak det(A) ≠
0
İSPAT: A terslenebilir ise Teorem ???? den dolayı A matrisi elemanter
matrislerin çarpımı şeklindedir. Böylece A = E 1 E 2 · · · E k ise
det(A) = det(E 1 E 2 · · · E k ) = det(E 1 )det(E 2 ) · · · det(E k ) ≠ 0.
72

A terslenemez ise Teorem ??? den dolayı sıfır satırına sahip bir B matrisine
satırca denktir. Bu durumda A = E 1 E 2 · · · E r B dir. Lemma 3.2.10 nin
ispatından sonraki gözlemden dolayı
det(A) = det(E 1 E 2 · · · E r B) = det(E 1 )det(E 2 ) · · · det(E r )det(B) = 0
dir. Çünkü, det(B) = 0 dır.
✷
SONUÇ 3.2.12 A := [ a ij olsun. A x = 0 homojen sisteminin sıfırdan
]n×n
farklı çözümü vardır ancak ve ancak det(a) = 0 ise
İSPAT: Alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır.
✷
TEOREM 3.2.13 Bir A ve B kare matrisleri için det(A B) = det(A)det(B).
İSPAT: A terlenebilir bir matris ise I n birim matrise satırca denktir.
Böylece, A = E k E k−1 · · · E 2 E 1 I n = E k E k−1 · · · E 2 E 1 dir. Bu durumda
det(A) = det(E k E k−1 · · · E 2 E 1 ) = det(E k )det(E k−1 ) · · · det(E 2 )det(E 1 )
det(A B) = det(E k E k−1 · · · E 2 E 1 B)
= det(E k )det(E k−1 ) · · · det(E 2 )det(E 1 )det(B)
= det(A) det(B)
A terslenemez ise Teorem 3.2.11 den dolayı det(A) = 0 dır. Bundan başka
A matrisi bir sıfır satırına sahip C matrisine satırca denktir. Dolayısıyla C =
E k E k−1 · · · E 2 E 1 A) dır ve böylece
C B = E k E k−1 · · · E 2 E 1 A B.
A = E 1 E 2 · · · E k ise
det(A) = det(E 1 E 2 · · · E k ) = det(E 1 )det(E 2 ) · · · det(E k ) ≠ 0.
73

Bu ise A B matrisinin C B ye satırca denk olduğunu ifade eder. c B matrisinde
bir sıfır satırı olduğundan A B matrisinin de tersi yoktur. Böylece det(A B) =
0 olur ki bu durumda da det(A B) = det(A)det(B) eşitliği sağlanır.
✷
SONUÇ 3.2.14 Eğer A terslenebilir bir matris ise bu durumda
det(A −1 ) =
1
det(A) .
İSPAT: Alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır.
✷
ALIŞTIRMALAR 3.2
1. Aşağıdaki determinantları hesaplayınız.
(a)
∣ 3 0
2 1 ∣
(b)
∣ 2 1
4 3 ∣
(c)
(e)
∣
∣
4 0 0
0 2 0
0 0 3
∣
4 2 2 0
2 0 0 0
3 0 0 1
0 0 1 0
∣
(d)
(f)
∣
∣
4 1 3
2 3 0
1 3 2
∣
4 2 3 −4
3 −2 1 5
−2 0 1 −3
8 −2 6 4
∣
2.
∣
∣
a 1 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣
b 1 b 2 b 3 = 3 ise
c 1 c 2 c 3
∣
∣
a 1 + 2b 1 − 3c 1 a 2 + 2b 2 − 3c 2 a 3 + 2b 2 − 3c 3
b 1 b 2 b 3
c 1 c 2 c 3
∣ ∣∣∣∣∣
=?
74

3.
∣
4.
∣
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
c 1 c 2 c 3
∣ ∣∣∣∣∣
= −2 ise
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
c 1 c 2 c 3
∣ ∣∣∣∣∣
= 4 ise
∣
a 1 − 1a ∣
2 3 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣∣ b 1 − 1 b 2 3 b 2 b 3 =?
∣
c 1 − 1c 2 3 c 2 c 3
a 1 a 2 4a 3 − 2a 2
b 1 b 2 4b 3 − 2b 2
1
2 c 1
∣ ∣∣∣∣∣∣
=?
1
c 2 2 2c 3 − c 2
5. Aşağıdaki matrisler için det(A B) = det(A)det(B) eşitliğinin sağlandığını
gösteriniz.
⎡
(a) A := ⎣
⎡
(b) A := ⎣
1 −2 3
−2 3 1
0 1 0
2 3 6
0 3 2
0 0 −4
⎤
⎤
⎡
⎦ , B := ⎣
⎡
⎦ , B := ⎣
1 0 2
3 −2 5
2 1 3
3 0 0
4 5 0
2 1 −2
6. det(A B) = det(B A) eşiştliği sağlanırmı? Açıklayınız
7. det(A B) = 0 ise det(A) = 0 veya det(B) = 0 diyebilirmisiniz?
Nedenleriyle açıklayınız.
8. k bir skaler ve A matrisi n × n tipinden bir kare matris olsun. Gösteriniz
ki, det(k A) = k n det(A) dır.
9. Gösteriniz ki, A B = I n ise det(A) ≠ 0 ve det(B) ≠ 0 dır.
10. (a) Gösteriniz ki, A = A −1 ise det(A) = ∓1
(b) A T = A −1 ise det(A) =?
75
⎤
⎦
⎤
⎦

11. A ve B kare matrisler olmak üzere gösteriniz ki,
([ ]) A O
det
= (detA)(detB)
O B
12. A terlenebilen bir matris ve A 2 = A ise det(A) =?
13. A ve B kare matrisler olmak üzere gösteriniz ki,
(a) det(A T B T ) = det(A) det(B T )
(b) det(A T B T ) = det(A T ) det(B)
14.
∣
1 a a 2
1 b b 2
1 c c 2 ∣ ∣∣∣∣∣
= (b − a)(c − a)(c − b) olduğunu gösteriniz.
15. A B = A C olsun. Gösteriniz ki, ise det(A) ≠ 0 ise B = C dir.
3.3 Kofactor Açılımı
Determinant özelliklerini kullanarak bir determinantı hesapladık. Şimdi n × n
tipinde bir matrisin determinantı için (n − 1) × (n − 1) tipinden matrislerin
determinantını kullanacağız. AYnı yöntemi (n − 1) × (n − 1) tipinden bir
matrise uygularsak yine mertebe azalır. Böyle devam edersek 2 × 2 tipinden
bir matrise kadar problemi indirgemiş oluruz.
TANIM 3.3.1 A := [ a ij matrisinde i.satır ve j.sütunun çıkarılmasıyla
]n×n
elde edilen matris M i,j := [ m ij
](n−1)×(n−1) olsun. Bu durumda det(M ij)
determinantına a ij nin minörü denir.
TANIM 3.3.2 A := [ a ij
]n×n kare matris olsun. a ij nin kofatörü A ij ile
gösterilir ve A ij := (−1) i+j det(M ij ) ile tanımlanır.
76

⎡
ÖRNEK 3.3.3 A := ⎣
3 −1 2
4 5 6
7 1 2
⎤
⎦ matrisinde
det(M 12 ) =
∣ 4 6
7 2 ∣ = 8 − 42 = −34, det(M 23) =
∣ 3 −1
7 1
Aynı zamanda
det(M 31 ) =
∣ −1 2
5 6 ∣ = −6 − 10 = −16
∣ = 3 + 7 = 10
A 12 = (−1) 1+2 det(M 12 ) = (−1)(−34) = 34
A 23 = (−1) 2+3 det(M 23 ) = (−1)(10) = −10
A 31 = (−1) 3+1 det(M 31 ) = (1)(−16) = −16
TEOREM 3.3.4 A := [ a ij
]n×n
kare matris olsun. Bu durumda
(i.satıra göre açılım)
det(A) = a i1 A i1 + a i2 A i2 + a i3 A i3 + · · · + a in A in
ve
(j.sütuna göre açılım)
det(A) = a 1j A 1j +a 2j A 2j +a 3j A 3j +· · ·+a nj A nj
İSPAT: Birinci formül ikincisinden çıkar, çünkü det(A T ) = A dır. Burada
genel bir ispat vermeyeceğiz; sadece 3×3 tipinde A := [ a ij
]
matrisini göz önüne
alacağız. Hatırlayacak olursak
det(A) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32
−a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 (3.1)
Diğer yandan,
= a 11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) + a 12 (a 23 a 31 − a 21 a 33 ) + a 13 (a 21 a 32 − a 22 a 31 )
77

A 11 = (−1) 1+1 ∣ ∣∣∣ a 22 a 23
a 32 a 33
∣ ∣∣∣
= (a 22 a 33 − a 23 a 32 ),
A 12 = (−1) 1+2 ∣ ∣∣∣ a 21 a 23
a 31 a 33
∣ ∣∣∣
= (a 23 a 31 − a 21 a 33 ),
Böylece
A 13 = (−1) 1+3 ∣ ∣∣∣ a 21 a 22
a 31 a 32
∣ ∣∣∣
= (a 21 a 32 − a 22 a 31 ).
det(A) = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13
ki bu da birinci satıra göre det(A) nın açılımıdır. Benzer olarak (3.1) denklemini
tekrar düzenlersek
det(A) = a 13 (a 21 a 32 − a 22 a 31 ) + a 23 (a 12 a 31 − a 11 a 32 ) + a 33 (a 11 a 22 − a 12 a 21 )
Şimdi kolay bir şekilde
det(A) = a 13 A 13 + a 23 A 23 + a 33 A 33
gösterilebilir.
✷
ÖRNEK 3.3.5 ∣ ∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 −3 4
−4 2 1 3
3 0 0 −3
2 0 −2 3
determinantını hesaplamak istesek en iyi yol ya ikinci sütuna ya da üçüncü
satıra göre açmaktır. Çünkü bu satırlarda daha çok sıfır vardır.
∣
78

1 2 −3 4
−4 2 1 3
3 0 0 −3
∣ 2 0 −2 3 ∣
= (−1) 3+1 (3)
∣
+(−1) 3+3 (0)
∣
2 −3 4
2 1 3
0 −2 3
1 2 4
−4 2 3
2 0 3
∣ + 1 −3 4
(−1)3+2 (0)
−4 1 3
∣ 2 −2 3 ∣
∣ + 1 2 −3
(−1)3+4 (−3)
−4 2 1
∣ 2 0 −2
= (+1)(3)(20) + 0 + 0(−1)(−3)(−4) = 48
∣
3.4 Bir Matrisin Tersi
TEOREM 3.4.1 Bir kare A := [ a ij
]n×n
matrisi verildiğinde
i ≠ k için a i1 A k1 + a i2 A k2 + a i3 A k3 + · · · + a in A kn = 0
j ≠ k için a 1j A 1k + a 2j A 2k + a 3j A 3k + · · · + a nj A nk = 0
İSPAT: Sadece birinci formülü ispatlayacağız. Birinciyi kullanarak ikincisi
Teorem 3.2.1 den gösterilir.
A matrisindek.satırın yerine i.satırı yazarak oluşturulan matrisi B ile gösterelim.
Bu durumda B nin i. ve j. satırları aynıdır, dolayısıyla det(B) = 0 dır. Şimdi
det(B) değerini k.satıra göre açalım. B nin k.satır elemanları a i1 , a i2 , · · · , a in
dir. Diğer yandan k.satırın kofaktörleri A k1 , A k2 , · · · , A kn dir. Böylece,
0 = det(B) = a i1 A k1 + a i2 A k2 + · · · + a in A kn .
✷
Bu Teorem şunu demek istiyor: herhangi bir satırın(sütunun) elemanları ile
başka bir satırın ( sütunun) karşılık gelen kofaktörlerinin çarpımlarını toplarsak
sıfır elde ederiz. Bunu aşağıdaki örnekle açıklayalım;
79

ÖRNEK 3.4.2
matrisi için
Şimdi
⎡
A := ⎣
1 2 3
−2 3 1
4 5 −2
A 21 = (−1) 2+1 ∣ ∣∣∣ 2 3
5 −2
A 22 = (−1) 2+2 ∣ ∣∣∣ 1 3
4 −2
A 23 = (−1) 2+3 ∣ ∣∣∣ 1 2
4 5
⎤
⎦
∣ = 19,
∣ = −14,
∣ = 3,
a 31 A 21 + a 32 A 22 + a 33 A 23 = (4)(19) + (5)(−14) + (−2)(3) = 0,
a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 = (1)(19) + (2)(−14) + (3)(3) = 0.
TANIM 3.4.3 Bir kare A := [ a ij matrisinin adjointi, adjA, ile gösterilir
]n×n
ve
⎡
adjA := ⎢
⎣
⎤
A 11 A 12 · · · A 1n
A 21 A 22 · · · A 2n
⎥
. . . ⎦
A n1 A n2 · · · A nn
T
⎡
= ⎢
⎣
⎤
A 11 A 21 · · · A n1
A 12 A 22 · · · A n2
⎥
. . . ⎦
A 1n A 2n · · · A nn
ile tanımlanır.
ÖRNEK 3.4.4
⎡
A := ⎣
3 −2 1
5 6 2
1 0 −3
⎤
⎦
80

matrisinin adjointini hesaplayalım. Bunun için A nın bütün kofaktörleri gereklidir.
∣ ∣ ∣∣∣
A 11 = (−1) 1+1 6 2
∣∣∣ 0 −3 ∣ = −18, A 12 = (−1) 1+2 5 2
1 −3 ∣ = 17,
A 13 = (−1) 1+3 ∣ ∣∣∣ 5 6
1 0
A 22 = (−1) 2+2 ∣ ∣∣∣ 3 1
1 −3
A 31 = (−1) 3+1 ∣ ∣∣∣ −2 1
6 2
∣ ∣∣∣
A 33 = (−1) 3+3 3 −2
5 6 ∣ = 28
Şu halde,
∣ ∣∣∣ ∣ = −6, A 21 = (−1) 2+1 −2 1
0 −3 ∣ = −6,
∣ ∣∣∣ ∣ = −10, A 23 = (−1) 2+3 3 −2
1 0 ∣ = −2,
∣ ∣∣∣ ∣ = −10, A 32 = (−1) 3+2 3 1
5 2 ∣ = −1,
⎡
adjA := ⎣
−18 −6 −10
17 −10 −1
−6 −2 28
⎤
⎦
TEOREM 3.4.5 Bir kare A := [ a ij
]n×n
matrisi verilsin. Bu durumda
A (adjA) = (adjA) A = det(A) I n
İSPAT: Teorem 3.4.1 den biliyoruz ki bir satır(sütun) elemanları ile yine bu
satıra(sütuna) ait kofaktörleri çarpıp toplarsak det(A) yı hesaplıyorduk. Diğer
yandan bir satır (sütun) elemanları ile bir başka satıra (sütuna) ait kofaktörleri
çarpıp toplarsak ta 0 elde ediyorduk. Dolayısıyla Teoremi ispatlamış olduk.
Yani,
81

⎡
A (adjA) =
⎢
⎣
⎤
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
. . .
a i1 a i2 · · · a in
⎥
. . . ⎦
a n1 a n2 · · · a nn
⎡
⎢
⎣
⎤
A 11 A 21 · · · A j1 · · · A n1
A 12 A 22 · · · A j2 · · · A n2
⎥
. . . . ⎦
A 1n A 2n · · · A jn · · · A nn
a i1 A j1 + a i2 A j2 + a i3 A j3 + · · · + a in A jn = det(A) eğer i = j,
= 0 eğer i ≠ j.
Bu ise
⎡
A (adjA) = ⎢
⎣
det(A) 0 · · · 0
0 det(A) 0
. . . .
0 0 · · · det(A)
⎤
⎥
⎦ = det(A) I n
✷
ÖRNEK 3.4.6
matrisinin adjointini
Örnek 3.4.4 de
⎡
A := ⎣
⎡
adjA = ⎣
olarak hesaplamıştık. Buna göre
3 −2 1
5 6 2
1 0 −3
⎤
⎦
−18 −6 −10
17 −10 −1
−6 −2 28
⎤
⎦
⎡
A (adjA) = ⎣
3 −2 1
5 6 2
1 0 −3
⎤ ⎡
⎦ ⎣
−18 −6 −10
17 −10 −1
−6 −2 28
⎤
⎡
⎦ = ⎣
−94 0 0
0 −94 0
0 0 −94
⎡
= −94 ⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎦
⎤
⎦
82

SONUÇ 3.4.7 Bir A := [ a ij kare matrisi için det(A) ≠ 0 ise
]n×n
A −1 =
1
det(A)
(adjA)
İSPAT: Teorem 3.4.5 den det(A) ≠ 0 ise A (adjA) = (adjA) A =
det(A) I n dir. Dolayısıyla,
( )
1
A
det(A) (adjA) 1
( )
1
= A (adjA) =
det(A)
det(A)
(
det(A) In
)
= In
✷
3.5 Determinantların Bir Başka Uygulaması
TEOREM 3.5.1 ( Cramer Kuralı ) n Bilinmeyenli ve n tane denklemden
oluşan bir lineer denklem sistemi
şeklinde olsun.
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · a 2n x n = b 2
.
a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · a nn x n = b n
⎡
A := [ ] a ij bu sistemin katsayılar matrisi ve b = ⎢
⎣
olmak üzere denklem sistemini A x = b şeklinde yazabiliriz.
det(A) ≠ 0 ise sistemin bir tek çözümü vardır, bu çözüm
⎤
b 1
b 2
⎥
. ⎦
b n
Bu durumda,
x 1 = det(A 1)
det(A) , x 2 = det(A 2)
det(A) , . . . , x n = det(A n)
det(A)
dir.
Burada A i matrisi A daki i.sütunun yerine b sütun matrisini yazarak elde
edilen matristir.
83

İSPAT: det(A) ≠ 0 olduğundan Teorem 3.2.11 den dolayı A terslenebilirdir.
Dolayısıyla
⎡
x = ⎢
⎣
⎤
x 1
x 2
⎥
.
x n
⎡
⎦ = A−1 b =
⎢
⎣
A 11
det(A)
A 12
det(A)
.
A 1i
det(A)
.
A 1n
det(A)
A 21
det(A)
· · ·
A 22
det(A)
· · ·
.
A 2i
· · ·
det(A)
A 11
det(A)
A n2
det(A)
.
A ni
det(A)
.
.
A 2n
A
· · · nn
det(A) det(A)
⎤
⎡
⎢
⎣
⎥
⎦
⎤
b 1
b 2
⎥
. ⎦
b n
Bu ise
i = 1, 2, 3, . . . n için x i = A 1i
det(A) b 1 +
demektir. Şimdi
⎡
A i = ⎢
⎣
A 2i
det(A) b 2 + · · · +
⎤
a 11 a 12 · · · a 1 i−1 b 1 a 1 i+1 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2 i−1 b 2 a 2 i+1 · · · a 2n
⎥
. . . . . . ⎦ .
a n1 a n2 · · · a n i−1 b n a n i+1 · · · a nn
det(A i ) Determinantını i.sütuna göre açarsak
det(A i ) = A 1i b 1 + A 2i b 2 + · · · + A ni b n .
A ni
det(A) b n
Böylece
i = 1, 2, 3, . . . n için x i = det(A i)
det(A)
✷
ÖRNEK 3.5.2 Aşağıdaki denklem sisteminin çözmeye çalışalım:
−2x 1 + 3x 2 − x 3 = 1
x 1 + 2x 2 − x 3 = 4
−2x 1 − x 2 + x 3 = −3
84

|A| =
∣
−2 3 −1
1 2 −1
−2 −1 1
olduğundan Cramer Kuralını kullanabiliriz.
∣ = −2 ≠ 0
x 1 =
x 2 =
x 3 =
∣
∣
∣
1 3 −1
4 2 −1
−3 −1 1
|A|
−2 1 −1
1 4 −1
−2 −3 1
|A|
−2 3 1
1 2 4
−2 −1 −3
|A|
∣
∣
∣
= −4
−2 = 2,
= −6
−2 = 3,
= −8
−2 = 4.
ALIŞTIRMALAR 3.3
1. Aşağıdaki matrislerin determinantlarını hesaplayınız.
(a)
(c)
⎡
⎣
⎡
⎢
⎣
2 3 4
1 2 4
4 3 1
⎤
⎦
2 1 −1 2
2 −3 −1 2
1 3 2 −3
1 −2 −1 1
⎤
⎥
⎦
(b)
⎡
⎣
(d)
2 1 0
1 2 1
0 1 2
⎡
⎢
⎣
⎤
⎦
2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 1 2
⎤
⎥
⎦
2. Aşağıdaki matrisler için det(t I 3 −A) = 0 olacak şekildeki t değerlerini
bulunuz.
85

(a)
⎡
⎣
1 4 0
0 4 0
0 0 1
⎤
⎦
(b)
⎡
⎣
2 −2 0
−3 1 0
0 0 3
⎤
⎦
(c)
⎡
⎣
0 1 0
0 0 1
6 −11 6
⎤
⎦
(d)
⎡
⎣
0 1 0
0 0 1
3 1 −3
⎤
⎦
3. Pozitif bir n tamsayısı için A n = 0 ise det(A) = 0 olduğunu gösteriniz.
4. Determinant özelliklerini kullanarak
∣ a − b 1 a
∣∣∣∣∣ a 1 b
(a)
b − c 1 b
∣ c − a 1 c ∣ = b 1 c
c 1 a ∣
∣ 1 a a 2 ∣∣∣∣∣
1 b b 2
∣ 1 c c 2
(b)
∣
1 a bc
1 b ca
1 c ab
∣ =
5. Aşağıdaki ifadelerin doğrumu yanlışmı oplduklarına karar veriniz
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
det(A + B) = det(A) + det(B)
det(A −1 B) = det(B)
det(A)
det(A) = 0 ise A matrisinin en az iki satırı birbirine eşittir
A matrisinin bir sıfır sütunu varsa det(A) = 0 dır
A matrisi terslenemezdir ancak ve ancak det(A) = 0 ise
(f) B matrisi, A matrisinin satırca indirgenmiş eşelon formu ise det(B) =
det(A)
6. Gösteriniz ki det(A A T ) ≥ 0 dır.
7. A terslenebilir bir matris olsun. Bu durumda adjA nın da terslenebileceğini
gösteriniz.
8. Q matrisinin bütün bileşenleri 1 olsun . Gösteriniz ki, det(Q−n I n ) = 0
dır.
86

9. A tamsayılarda bir matris olsun. Gösteriniz ki, A terslenebilir ve A −1
matrisinin de bileşenleri tamasyıdır ancak ve ancak det(A) ± 1 dir.
10. A tamsayılarda bir matris det(A)±1 olsun. Gösteriniz ki, b sütun matrisininde
bileşenleri tamsayı ise A x = b denklem sisteminin çözümleri
de tamsayı olmak zorundadır.
87

Bölüm 4
Reel Vektör Uzayları
Bir çok uygulamada basınç, kütle ve ağırlık gibi ölçülebilir niceliklerle ilgileniriz.
Bu nicelikler büyüklükleri verilerek tamamen tarif edilebilirler. Bunlara
skaler denir ve c, d, r, s ve t gibi küçük harflerle gösterilir. Bunlardan
başka bir de hız, kuvvet, ivme gibi başka ölçülebilir nicelikler vardır ki,
tarif edilebilmeleri için sadece büyüklüklerinin verilmesi yetmez ayrıca bir de
yönlerinin belirtilmesi gerekir. Bu tip niceliklere de vektör adını vereceğiz
veu, v, x, y ve z gibi koyu küçük harflerle göstereceğiz.
Vektörler çok daha genel olarak tanımlanırlar. Vektör uzayı; grup, halka,
cisim vs gibi bir cebirsel yapıdır. Tamamen soyut olarak tanımlanır. Düzlemde
ve uzayda vektörleri açıklamak vektörlerin genel tanımını anlamakta yardımcı
olabilir.
4.1 Düzlemde (R 2 ) Vektörler
Orijin olarak adlandıracağımız ve O ile göstereceğimiz noktada birbirine dik
iki doğru çizeriz. Bunlardan yere paralel olan doğruya x − ekseni ve dik olana
da y − ekseni diyeceğiz.
Düzlemde her bir P noktasına reel sayıların sıralı bir (x, y) ikilisini karşılık
getiririz. Buna P noktasının koordinatları diyeceğiz. Tersine olarak, reel
sayıların sıralı her ikilisine düzlemde bir nokta karşılık getiririz. (x, y) Koordinatlarına
sahip P noktasını P (x, y) veya sadece (x, y) ile göstereceğiz.
88

3
2
1
y−ekseni
✻
✻
Pozitif yön
O 1 2 3 ✲
Pozitif yön
✲
x−ekseni
Şekil 4.1: Kartezyen Koordinat Sistemi
Düzlemdeki bütün noktaların kümesi de R 2 ile gösterilir.
x ve y Reel sayılar olmak üzere 2 × 1 tipindeki
[ ] x
x :=
y
matrisini gözönüne alalım. Bu x matrisi ile başlangıc noktası orjin ve bitiş
−→
noktası P (x, y) olan yönlü doğru parçasını, OP , eşleyebiliriz.
y−ekseni
✻
O
P (x, y)
✏ ✏✏✏✏✏✏✏ ✏✶
✲
x−ekseni
Şekil 4.2: Düzlemde Vektör
Şu halde yönlü doğru parçaları kuvvet, hız ve ivme gibi kavramları tarif
etmek için kullanılabilir. Tersine olarak, O dan P ye olan yönlü doğru parçası
89

−→
OP yi, 2 × 2 tipindeki
]
[ x
y
matrisi ile eşleyebiliriz. Yani, her vektör ile bir yönlü doğru parçası ve tersine
her yönlü doğru parçası ile de bir vektör eşleyebiriz. Bu yönlü doğru parçasının
uzunluğunu da vektörün boyu ( veya büyüklüğü, şiddeti) denir.
[ ] [ ]
x1
x2
u := ve v := vektörlerine eşittir diyeceğiz eğer, x
y 1 y 1 = x 2 ve
2
y 1 = y 2 ise.
Şekil 4.3 (a) da görüldüğü gibi; Fizikteki uygulamalarda sık sık P (x, y) noktasından
Q(x ′ , y ′ ) noktasına olan yönlü doğru parçalarıyla da karşılaşılır. Böyle
yönlü doğru parçaları da vektör olarak adlandırılırlar. Ancak böyle bir vektörün
bileşenleri x ′ − x ve y ′ −→
− y dir. Böylece, Şekil 4.3 (a) daki P Q vektörü
[ x ′ − x
y ′ − y
vektörüyle de temsil edilebilir.(başlangıç noktası orjin ve bitim noktası P ′′ (x ′ −
x, y ′ − y) ) Düzlemde bu şekildeki iki vektöre eşit diyeceğiz eğer, karşılık gelen
−−−→ −−−→
bileşenleri eşit ise. Şekil 4.3 (b) de gösterildiği gibi P 1 Q 1 , P 2 Q 2 , ve −−−→ P 3 Q 3
vektölerini göz önüne alalım. Bu vektörlerin bileşenleri hep aynı olduğundan
]
−−−→
P 1 Q 1 = −−−→ P 2 Q 2 = −−−→ P 3 Q 3
Bununla birlikte, başlangıç noktası P (−5, 2) ve bitim noktası Q 4 (x ′ 4, y ′ 4) olan
[
−−−→ 2
P 4 Q 4 =
3
]
= −−−→ P 2 Q 2
vektörü şu şekilde belirlenebilir: x ′ 4 − (−5) = 2 =⇒ x ′ 4 = −3 ve y 4 ′ − 2 =
3 =⇒ y 4 ′ = 5
Böylece her bir
[ x
x :=
y
]
90

y
✻
y
✻
✟
✟✟✟✟✯
P (x, y)
P ′′ (x ′ − x, y ′ − y)
O ✟✟✟✟✟✯
Q(x ′ , y ′ )
✲ x
(a) Aynı vektörü temsil
eden farklı yönlü doğru
parçaları
6
5
Q 3 (−1, 4)
4
✡ ✡✡✡✡✡✡✣
P 3 (−3, 1)
3
2
1
P 2 (0, 0)
Q 2 (2, 3)
✡ ✡✡✡✡✡✡✣
✡ ✡✡✡✡✡✡✣
P 1 (3, 2)
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
(b) Düzlemde Vektörler
Q 1 (5, 5)
✲ x
Şekil 4.3:
vektörüne bir tek P (x, y) noktası karşılık getirebileceğimiz gibi her bir P (x, y)
noktasına da bir tek
[ ] x
x :=
y
vektörü karşılık getirebiliriz. Bazen x vektörünü (x, y) şeklinde de göstereceğiz.
Dolayısıyla, düzlem bütün noktaların kümesi olarak görülebileceği gibi bütün
vektörlerin kümesi olarak ta görülebilir.
TANIM 4.1.1 u :=
şeklinde tanımlanır.
[
u1
] [ ]
v1
ve v := vektörlerinin toplamı
u 2 v 2
[ ]
u1 + v
u + v :=
1
u 2 + v 2
Vektör toplamını geometrik olarak şu şekilde de tarif edebiliriz; u + v
toplam vektörü, u ve v vektörlerinin tanımladığı paralelkenarın köşegenidir.(Şekil
4.5)
91

y
✻
u 2 + v 2 · ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· · ·
.
u · ·· ·· ·· ·· · ·
.
2
.
.
.
u
.
u + v
.
.
.
.
v 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · ✏✶.
· ·
.
·
✁ ✁✁✁✁✁✁✕ .
.
.
.
v
.
✁✏ ✁ .
✒ .
✏✏✏✏✏✏✏ .
. .
O
u 1 v 1 u 1 + v 1
✲
x
Şekil 4.4: Vektör toplamı
O
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ✟✯
♣ ♣ u ✒
u + v
✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟
✟ ✲ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣♣
v
✻ y cu
u
✟✯
✟ ✟
✟✟✟✟✟✟✯
✟
✟
✟ O
✟✙ ✟ du
✲ x
Şekil 4.5: Vektör toplamı
[ ]
u1
TANIM 4.1.2 u :=
u 2
çarpımı cu ile gösterilir ve
ile tanımlanır.
Şekil 4.6: Skaler çarpım
vektörünün c de bir skaleri (reel sayı) ile skaler
[ ] c u1
cu :=
c u 2
Şekil 4.6 de görüldüğü gibi c > 0 ise cu vektörü u ile aynı yöndedir ve
d < 0 ise du vektörü u ile ters yöndedir.
92

v
✘✘✘✘✘✘✘
✁ ✁✁✁✁✕ ✘ ✘✘✿
u
✁
❍ ❍❍❍❍❍❥ u − v
✁
−v✁
✁
✁☛ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
(a) Vektörler arasındaki
fark
Şekil 4.7:
u+v
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
v✂✍
✏✶ ♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ u − v
u
✚✂ ✏ ✂✂✂ ✚✚✚✚✚✚✚✚✚❃
✏✏✏✏✏✏✏
(b) Vektör toplamı ve farkı
0 ile göstereceğimiz
[ 0
0 :=
0
]
vektörüne sıfır vektörü diyeceğiz. Şimdi, u bir vektör olmak üzere
ve
u + 0 = u
u + (−1)u = 0
olduğunu göstermek alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır. Bununla birlikte
(−1)u yerine −u yazarız ve buna u nun negatifi deriz. Bundan başka, u −
v vektörüne de u ve v arasındaki fark deriz. Şekil 4.7 (a) gösterildiği gibi.
Bir diğer hususuda belirtelim: vekrör toplamı paralel kenarın bir köşegenini
verirken, vektör çıkarma işlemi de diğer köşegeni vermektedir.
( Şekil 4.7 (b) de gösterildiği gibi )
4.2 Uzayda (R 3 ) Vektörler
Düzlemde yaptığımız vektörler bahsi uzayda vektörler konusuna aşağıdaki şekilde
cok rahat genelleştirilebilir: Önce, orjin diye adlandıracağımız bir nokta ve biri
diğer ikisine dik olacak şekilde orjinden geçen, koordinat eksenleri adını
93

vereceğimiz üç tane doğru seçerekbir koordinat sistemi ni sabitleriz.
eksenler x−, y− ve z− ekseni olarak adlandırılır.
Bu
z
✻
✠
x
O
✲ y
Şekil 4.8: Koordinat sistemi
Uzayda her bir P noktasına, bu noktanın koordinatları adını verdiğimiz reel
sayıları sıralı bir (x, y, z) üçlüsünü karşılık getiririz. Tersine, reel sayıları
sıralı her bir üçlüsüne uzayda bir nokta karşılık getiririz. Koordinatları x, y
ve z olan P noktası P (x, y, z) ile veya daha basit olarak (x, y, z) ile gösterilir.
Uzaydaki bütün noktaların kümesi de R 3 ile gösterilir.
Uzayda bir x vektörü; x, y ve z reel sayı olmak üzere 3 × 1 tipinde
⎡
x := ⎣
ile gösterilir. Buradaki x, y ve z reel sayılarına vektörün bileşenleri denir.
Herhangi iki vektöre eşittir denir eğer, karşılık gelen bileşenler eşit ise.
⎡ ⎤
x
Düzlemde olduğu gibi x := ⎣ y ⎦ vektörü ile başlangıç noktası 0(0, 0, 0) dan
z
−→
P (x, y, z) noktasına doğru olan yönlü doğru parçası OP yi eşleyebiliriz. Tersine
olarak, her yönlü doğru parçasını da bir vektörle eşleyebiliriz ( Şekil 4.9 (a)
). Böylece bir x vektörünü (x, y, z) olarak da gösterebiliriz. Yine, düzlemde
olduğu gibi, orjinden farklı bir P (x, y, z) noktasından Q(x ′ , y ′ , z ′ ) noktasına
94
x
y
z
⎤
⎦

doğru olan yönlü doğru parçalarıyla da Fizik uygulamalarında sıklıkla karşılaşırız.
Bu şekildeki yönlü doğru parçasına (Şekil 4.9 (b) de görüldüğü gibi) başlangıç
noktası P (x, y, z) ve bitiş noktası Q(x ′ , y ′ , z ′ ) olan R 3 de bir vektör veya
kısaca vektör adını vereceğiz. Bu −→ P Q vektörünün bileşenleri x ′ − x, y ′ − y
ve z ′ −→
− z dir. İki vektörün eşitliği tanımından dolayı⎡
P Q vektörü, ⎤ O orjinden
x ′ − x
başlayıp P ′ (x ′ − x, y ′ − y, z ′ − z) noktasında biten ⎣ y ′ − y ⎦ vektörüyle de
z ′ − z
gösterilebilir.
✠
x
z
✻
P (x, y, z)
✟ ✟✟✟✟✟✯ ✲ y
O
(a) Uzayda bir vektör
z
✻
✟ ✟✟✟✟✟✯
P (x, y, z)
✟ ✟✟✟✟✟✯
O
✠
x
Q(x ′ , y ′ , z ′ )
P ′ (x ′ − x, y ′ − y, z ′ − z)
✲ y
(b) Aynı vektörü temsil eden
yönlü doğru parçaları
Şekil 4.9:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
u 1
v 1
R 3 de iki vektör u := ⎣ u 2
⎦ ve v := ⎣ v 2
⎦, ayrıca c de bir skaler olsun. Bu
u 3 v 3
iki vektörün toplamı u + v ve skaler çarpım cu sırasıyla
⎡
u + v := ⎣
⎤
⎡
u 1 + v 1
u 2 + v 2
⎦ ve cu := ⎣
u 3 + v 3
95
⎤
cu 1
cu 2
⎦
cu 3

ile tanımlanır.
⎡
ÖRNEK 4.2.1 u := ⎣
2
3
−1
⎤
u + v = ⎣
⎡
⎦ ve v := ⎣
⎡
−2u = ⎣
⎡
3u − 2v = ⎣
⎡
3(2)
3(3)
3(−1)
2 + 3
3 + (−5)
−1 + 1
−2(2)
−2(3)
−2(−1)
⎤
⎡
⎦ + ⎣
⎤
3
−5
1
⎡
⎤
⎦ = ⎣
⎤
⎡
⎦ = ⎣
−2(3)
−2(−5)
−2(1)
⎦ vektörleri için
5
−2
0
−4
−6
2
⎤
⎤
⎦
⎤
⎦
⎡
⎦ = ⎣
0
19
−5
⎤
⎦
⎡
R 3 de sıfır vektörü O := ⎣
0
0
0
⎤
⎦ dır ve R 3 deki her u vektörü için
u + O = u ve u + (−u) = O.
Dikkat edecek olursak düzlemde bir vektörü reel sayıların sıralı bir ikilisi
veya bir 2 × 1 tipinde bir matris olarak tanımladık. Aynı şekilde, uzayda bir
vektörü de reel sayıların sıralı bir üçlüsü veya 3 × 1 tipinde bir matris olarak
tanımladık. Buna ilaveten, Fizik biliminde de vektöre çoğunlukla yönlü doğru
parçası olarak bakarız. Böylece bir vektör için reel sayıların sıralı ikilisi, 2 × 1
tipinde bir matris ve yönlü doğru parçası diye elimizde üç farklı gösterim olmuş
oldu. Doğal olarak bunların üçününde neden aynı şeyi gösterdiğini açıklamaya
çalışalım.
Matematik konuşacak olursak vektör diye adlandırdığımız nesnenin davranışı
ile ilgileniriz. Cebirsel açıdan baktığımızda dagörürüz ki bu üç nesne tamamen
aynı şekilde davranır. Bundan başka, uygulama problemlerinde doğal
96

olarak ortaya çıkan bir çok nesne de yine cebirsel açıdan baktığımızda bu
üç nesne gibi davranır. Böyle bir durumda Matematikçi böyle nesnelerin
ortak özelliklerini soyutlaştırarak yeni bir Matematiksel yapı tanımlar. Bu
sayede, aynı zamanda özel bir nesneyi belirtmeksizin böyle bütün nesnelerin
özellikleri hakkında konuşabiliriz. Bu da herbir nesnenin özelliklerini ayrı ayrı
çalışmaktan çok daha etkilidir. Örneğin aşağıdaki Teorem, düzlemde ve uzayda
vektörlere ilişkin toplama ve skaler ile çarpma işleminin özelliklerini verir.
Bu Teorem aynı zamanda düzlem veya uzaydaki vektörlerin kümesini daha
soyut tanımlamaya model teşkil eder.
TEOREM 4.2.2 R 2 de ( veya R 3 ) üç vektör u, v ve w , ayrıca c ve d skalerler
olsun. Bu durumda
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
u + v = v + u
u + (v + w) = (u + v) + w
u + O = u = O + u
u + (−u) = O
c (u + v) = c u + c v
(c + d) u = c u + d u
c (d u) = (c d) u
1 u = u
ALIŞTIRMALAR 4.1
1
2
[ ] 2
vektörünün başlangıç noktası (−3, 2) olduğuna göre bitim noktasını
belirleyiniz ve grafiği çiziniz.
3
⎡ ⎤
2
⎣ 4 ⎦ vektörünün bitiş noktası (3, 2, 2) olduğuna göre başlangıç noktasını
belirleyiniz ve grafiği
−2
çiziniz.
97

3
[ ] [ ]
a − b 4
Hangi a ve b değerleri için ve vektörleri eşit olurlar?
3 a + b
⎡ ⎤
2a − b
⎡
−2
⎤
4 Hangi a, b ve c değerleri için ⎣ a − 2b ⎦ ve ⎣ 2 ⎦ vektörleri
6
a + b − 2c
eşit olurlar?
5 Aşağıdaki u ve v vektörleri için u + v, 2u − v, 3u − 2v ifadelerini
hesaplayınız.
(a) u :=
⎡
⎣
−3
1
2
⎤
⎦
(c) u :=
⎡ ⎤
5
⎣ −2 ⎦
1
[ 4
6 x :=
3
⎡
⎣
⎡
⎣
2
3
−1
1
5
−3
⎤
⎦, v :=
⎤
⎦, v :=
] [ −2
, y :=
1
⎡
⎣
⎡
⎣
2
1
−1
2
2
5
⎤
] [ r
, z :=
5
⎤
⎦ (b) u :=
⎦ (d) u :=
⎡
⎣
⎡
⎣
3
−2
4
7
6
−3
⎤
⎦, v :=
⎤
⎦, v :=
] [ ] −2
ve u := vektörleri verilsin.
s
3
(a) z = 2 x (b)
2 u = 2 y (c) z + u = x
olacak şekilde r ve s değerlerini bulunuz.
7 Eğer varsa aşağıdaki eşitliği sağlayan c 1 ve c 2 skalerlerini bulunuz.
[ ] [ ] [ ]
1 3 −5
c 1 + c
−2 2 =
−4 6
8 Eğer varsa aşağıdaki eşitliği sağlayan c 1 , c 2 ve c 3 skalerlerini bulunuz.
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
c 1
⎣ ⎦ + c 2
⎣ ⎦ + c 3
⎣ ⎦ = ⎣ ⎦
1
2
−3
−1
1
1
98
−1
4
−1
2
−2
3

9 Eğer varsa aşağıdaki eşitliği sağlayan c 1 , c 2 ve c 3 skalerlerini bulunuz.
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
c 1
⎣ ⎦ + c 2
⎣ ⎦ + c 3
⎣ ⎣ ⎦
1
2
−1
1
3
−2
3
7
−4
⎦ =
0
0
0
4.3 Reel Vektör Uzayları
Bu kısımda Teorem 4.2.2 i temel alarak vektör kavramını biraz daha genelleştireceğiz.
TANIM 4.3.1 Elemanları arasında aşağıdaki özellikleri sağlayan ⊕ ve ⊙ gibi
iki işlem olan bir V kümesine reel vektör uzayı denir.
(a) u, v ∈ V iken
u ⊕ v ∈ V dir.
(1) Her u, v ∈ V için u ⊕ v = v ⊕ u.
(2) Her u, v, w ∈ V için u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w.
(3) Her u ∈ V için bir (sıfır vektörü) 0 ∈ V vardır öyleki,
u ⊕ 0 = 0 ⊕ u = u
(4) Her u ∈ V için bir −u ∈ V vardır öyleki,
u ⊕ −u = −u ⊕ u = 0
(b) Her
u ∈ V vektörü ve her c ∈ R skaleri için c ⊙ u ∈ V dır. Ayrıca,
(5) Her u, v ∈ V ve her c ∈ R skaleri için c⊙(u⊕v) = c⊙u⊕c⊙v
(6) Her c, d ∈ R ve her u ∈ V için (c + d) ⊙ u = c ⊙ u ⊕ d ⊙ u
(7) Her c, d ∈ R ve her u ∈ V için c ⊙ (d ⊙ u) = (c d) ⊙ u
(8) Her u ∈ V için 1 ⊙ u = u
Bu V kümesinin elemanlarına vektör ve Reel sayılara da skaler denir. Bunundan
başka ⊕ işlemine vektör toplamı ve ⊙ işlemine de skaler çarpım denir.
99

Bu tanımda reel sayılar yerine kompleks sayılar C alınırsa ortaya çıkan
vektör uzayına da kompleks vektör uzayını elde ederiz. Daha genel olarak,
buradaki reel veya kompleks sayılar cismi yerine herhangi bir F cismini alabiliriz.
Bu durumda V ye F cismi üzerinde vektör uzayı adını verebiliriz. Bu tip
genel vektör uzaylarının Matematikte ve Fizikte önemli uygulamaları vardır.
Bu ders notlarında reel vektör uzayları üzerine yoğunlaşacağız.
Bir vektör uzayını belirleyebilmek için bize bir V kümesiyle birlikte Tanım
4.3.1 deki aksiyomları sağlayan ⊕ ve ⊙ işlemlerinin verilmesi gerekmektedir.
Bundan sonra reel vektör uzaylarına kısaca vektör uzayı diyeceğiz. Ayrıca
vektör uzayı V nin elemanlarına vektör dedikten sonra artık yönlü doğru
parçaları olarak vektörleri açıklamaya gerek kalmamıştır.
ÖRNEK 4.3.2 Bileşenleri reel sayılar olan n × 1 tipindeki matrislerin
kümesini R n ile gösterelim ve ⊕ ve ⊙ işlemleri de sırasıyla matris toplamı ve
matrisin skaler ile çarpımı işlemleri olsun. Bu işlemlerin cebirsel özelliklerinden
dolayı Tanım 4.3.1 deki aksiyomların sağlandığını açıkca görebiliriz.
⎡ ⎤
a 1
Böylece R n a 2 nin elemanı olarak, ⎢ ⎥
⎣ . ⎦
matrisine vektör de diyebiliriz. R2 ve
a n
R 3 ün geometrik yorumları için bazı şeiller çizebilmiştik ama R n için bu şekilleri
çizemeyiz. Bununla birlikte ileriki bölümlerde uzunluk ve açı gibi kavramları
aynen R n de de yapabileceğiz.
ÖRNEK 4.3.3 Bileşenleri reel sayılar olan m × n tipindeki matrislerin
kümesini M mn ile gösterelim ve ⊕ ve ⊙ işlemleri de sırasıyla matris toplamı ve
matrisin skaler ile çarpımı işlemleri olsun. Aksiyomların sağlandığı çık açıktır.
Dolayısıyla, M mn bir vektör uzayıdır.
ÖRNEK 4.3.4 Bütün reel sayılar kümesi R yi gözönüne alalım. Ayrıca
⊕ ve ⊙ işlemleri de sırasıyla alışılmış toplama ve çarpma işlemleri olsun. Bu
durumda açık olarak R bir vektör uzayıdır. Bu vektör uzayı n = 1 için R n nin
özel bir halidir.
100

ÖRNEK 4.3.5 Derecesi ≤ n olan reel katsayılı polinomların kümesini P n
ile gösterelim. Yani,
P n := { ∣
a n t n + a n−1 t n−1 + · · · + a 1 t + a 0 an , a n−1 , . . . , a 1 , a 0 ∈ R }
Ayrıca ⊕ ve ⊙ işlemleri de sırasıyla polinom toplamı ve bir polinomun bir
skaler ile çarpımı işlemleri olsun. Bunu biraz hatırlamaya çalışalım; Herhangi
reel katsayılı iki polinom
p(t) := a n t n + a n−1 t n−1 + · · · + a 1 t + a 0 ,
ve c ∈ R olsun.
q(t) := b n t n + b n−1 t n−1 + · · · + b 1 t + b 0
p(t) ⊕ q(t) := (a n + b n )t n + (a n−1 + b n−1 )t n−1 + · · · + (a 1 + b 1 )t + (a 0 + b 0 )
c ⊙ p(t) := (ca n )t n + (ca n−1 )t n−1 + · · · + (ca 1 )t + (ca 0 )
Açıkça görülmektedir ki, p(t) ⊕ q(t),
c ⊙ p(t) ∈ P n dir.
Reel sayılarda a i +b i = b i +a i özelliği sağlandığından p(t)⊕q(t) = q(t)⊕p(t)
olur. Sıfır polinomu 0 sıfır vektörüdür ve bir p(t) polinomunun negatifi
−p(t) = −a n t n − a n−1 t n−1 − · · · − a 1 t − a 0
dir. Şimdi sadece Tanım 4.3.1 deki (6) özelliğinin sağlandığını gösterelim.
Diğer özelliklerin sağlandığını göstermeyi okuyucuya alıştırma olarak bırakıyoruz.
(c + d) ⊙ p(t) = (c + d)a n t n + (c + d)a n−1 t n−1 + · · · + (c + d)a 1 t + (c + d)a 0
= ca n t n + da n t n + ca n−1 t n−1 + da n−1 t n−1 + · · · + ca 1 t + da 1 t + ca 0 + da 0
= c(a n t n + a n−1 t n−1 + · · · + a 1 t + a 0 ) + d(a n t n + a n−1 t n−1 + · · · + a 1 t + a 0 )
= c ⊙ p(t) ⊕ d ⊙ p(t)
Aşağıdaki Teorem ile bir vektör uzayının kullanışlı özelliklerini verir.
TEOREM 4.3.6 Bir V vektör uzayında aşağıdakiler gerçeklenir.
(a) Her u ∈ V için 0 ⊙ u = 0
101

(b) Her c ∈ R için c ⊙ 0 = 0
(c) c ⊙ 0 = 0 ise ya c = 0 ya da u = 0
(d) Her u ∈ V için −1 ⊙ u = −u
İSPAT: (a) 0 ⊙ u = (0 + 0) ⊙ u = 0 ⊙ u ⊕ 0 ⊙ u eşitliğinin her iki yanını
−0 ⊙ u vektörü ile toplarsak 0 ⊙ u = 0 eşitliğini buluruz.
(d) −1 ⊙ u ⊕ u = −1 ⊙ u ⊕ 1 ⊙ u = (−1 + 1) ⊙ u = 0 ⊙ u = 0
ve −u vektörü tek olduğundan −1 ⊙ u = −u dir.
(b) ve (c) şıkları alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır.
✷
102