köklü sayılar
köklü sayılar
köklü sayılar
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
݊, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,<br />
nın ݊ yinci ߙ sayısına ݔ denklemini sağlayan ߙ ൌ ݔ<br />
dereceden kökü denir.<br />
ݔ<br />
ൌ ߙ ise, ݔ ൌ ߙξ dır.<br />
Özellik 1:<br />
<br />
ifadesinin bir reel sayı belirtebilmesi için iki<br />
durum söz konusudur.<br />
ߙξ ൌ ݔ<br />
KÖKLÜ SAYILAR<br />
Örnek: (2006 KPSS)<br />
olduğuna göre, ݔ kaçtır?<br />
A) ଵ<br />
ଶ<br />
B) ଵ<br />
ଷ<br />
ሺ͵௫ ሻ ହ ൌ ͻξ͵<br />
C) ଶ<br />
ଷ<br />
D) ସ<br />
ଷ<br />
E) ͳ<br />
I. ݊ tek ise, ߙ herhangi bir reel sayı olabilir. Bu<br />
II.<br />
Örnek:<br />
<br />
durumda ݔ ൌ ߙξ ifadesi bir reel sayı belirtir.<br />
<br />
ߙξ ൌ ݔ Ͳ olursa ߙ ise, ݊ çift<br />
reel sayı belirtir.<br />
<br />
ߙξ ൌ ݔ Ͳ olursa ߙ ise, ݊ çift<br />
belirtmez.<br />
ݔ ξʹͳ െ<br />
ifadesi bir<br />
bir reel sayı<br />
ifadesinin bir reel sayı belirtmesini sağlayan ݔ doğal<br />
sayıların toplamı kaçtır?<br />
A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8<br />
Özellik 2:<br />
Kökün derecesi ne olursa olsun (tek veya çift),<br />
kökün içi sıfır ise, kökün sonucu sıfırdır.<br />
Örnek:<br />
ర<br />
ݔξ െ Ͷ ݔʹඥ ݕ െ ͳͳ<br />
olduğuna göre, ݔ ݕ toplamı kaçtır?<br />
ൌ Ͳ<br />
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10<br />
Örnek:<br />
య<br />
ξͶ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
య<br />
A) ξʹ B) ξʹ<br />
Özellik 4:<br />
<br />
ifadesinde, ݔξ ൌ ߙ<br />
ల<br />
ǤξͳǤξͶ<br />
య<br />
C) ʹǤ ξʹ<br />
<br />
I. ݊ tek sayı ise, ݔξ <br />
II.<br />
య<br />
ξͳʹͷ<br />
ళ<br />
ξെͳʹͺ<br />
ర<br />
ඥሺെ͵ሻ ସ<br />
Örnek:<br />
<br />
݊ çift sayı ise, ݔξ <br />
య<br />
ൌ ඥͷ ଷ<br />
ൌ ͷ<br />
ళ<br />
ൌ ඥሺെʹሻ <br />
ൌ ȁെ͵ȁ ൌ ͵<br />
ൌ െʹ<br />
ర<br />
ඥሺെʹሻ ସ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
వ<br />
ൌ ݔ tir.<br />
ൌ ȁݔȁ tir<br />
య<br />
െ ξെʹ ξͳ<br />
D) 2 E) 4<br />
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5<br />
Özellik 3:<br />
Köklü sayılar üslü sayı biçiminde yazılabilir.<br />
<br />
ݔξ <br />
ൌ ݔ <br />
O halde tersi düşünülürse, bir üslü sayının üssü<br />
kesirli ise, o sayı köklü sayı biçiminde yazılabilir.<br />
మ<br />
ඥ͵ହ ൌ ඥ͵ହ<br />
ൌ ͵ହ<br />
ଶ<br />
ݔ<br />
ൌ ݔξ <br />
Örnek:<br />
üzere, Ͳ ܾ olmak ߙ<br />
య<br />
ඥܾଶ ඥሺെߙሻ ଷ ߙඥሺ െ ܾሻ ଶ<br />
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?<br />
A) ߙʹ െ ʹܾ B) ʹܾ െ ߙʹ C) Ͳ<br />
D) ߙʹെ E) െʹܾ<br />
ͷ ଶ య<br />
ଷ ൌ ඥͷ ଶ<br />
య<br />
ൌ ξʹͷ<br />
1
Özellik 5:<br />
Köklü ifadelerde, kökün içindeki sayının tamamı her<br />
zaman kök dışına çıkmayabilir. Böyle durumlarda,<br />
çıkan sayı köklü sayı ile çarpılırken, kökün içinde<br />
kalan sayı yine aynı kökle isimlendirilir.<br />
üzere, pozitif reel sayılar olmak ݕݔ<br />
<br />
ݕ Ǥ ݔඥ<br />
ξ͵ʹ ൌ ξͳǤʹ ൌ ඥͶ ଶ Ǥ ʹ ൌ Ͷξʹ<br />
య<br />
ξͷͶ<br />
య<br />
ൌ ξʹǤʹ<br />
య<br />
ൌ ඥ͵ଷǤ ʹ<br />
<br />
ݕඥ Ǥݔ ൌ<br />
య<br />
ൌ ͵Ǥ ξʹ<br />
KÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM<br />
üzere, pozitif reel sayılar olmak ݕݔ<br />
ξʹǤ ξͷ ൌ ξͳͲ<br />
య య య<br />
ξͷǤ ξʹͲ ൌ ξͳͲͲ<br />
Örnek:<br />
<br />
ݕ ඥݔǤ ൌ ݕඥ Ǥݔξ<br />
య<br />
ξʹ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
య<br />
A) B) ͵Ǥ ξ͵<br />
య<br />
య<br />
Ǥ ξ͵Ǥ ξͶǤ ξͻ<br />
య<br />
C) ͶǤ ξʹ<br />
య<br />
D) 8 E) 9<br />
1. Toplama ve Çıkarma İşlemleri<br />
Köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri<br />
yapabilmek için, kök derecelerinin ve kök içlerinin<br />
aynı olması gerekir. Burada; köklü ifadelerin<br />
katsayıları toplanır veya çıkarılır. Bulunan değer,<br />
ortak olan köklü ifadenin katsayısı olarak yazılır.<br />
<br />
ݔξ Ǥߙ<br />
<br />
<br />
ݔξ ܾ െ ܿሻǤ ߙሺ ൌ ݔξ െ ܿǤ ݔξ ܾǤ<br />
͵ξͷ Ͷξͷ െ ʹξͷ ൌ ͷξͷ<br />
Örnek: (2005 KPSS)<br />
͵ξͻͺ െ ʹξʹ ൌ ξͳͺݔ<br />
olduğuna göre, ݔ kaçtır?<br />
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6<br />
3. Bölme İşlemi<br />
Köklü ifadelerde bölme işlemi yapabilmek için, kök<br />
derecelerinin aynı olması gerekir. Burada; kökün<br />
içindeki sayılar bölünür ve bulunan değer, aynı<br />
dereceden kökün içine yazılır.<br />
üzere, pozitif reel sayılar olmak ݕݔ<br />
ξͺ<br />
ξͷ ൌ ඨͺ<br />
ͷ ൌ ඥͳǡ<br />
<br />
ݔξ <br />
<br />
ݕඥ<br />
<br />
ݔ ൌ ඨ<br />
ݕ<br />
య<br />
ξͻ<br />
య<br />
ξͶ<br />
య<br />
ൌ ඨ ͻ య<br />
ൌ ඥʹǡʹͷ<br />
Ͷ<br />
Örnek: (2006 KPSS)<br />
ξ͵ sayısının yaklaşık değeri 1,7 dir.<br />
ξʹͶ͵ െ ξʹ<br />
ifadesinin yaklaşık değeri kaçtır?<br />
A) 3,4 B) 5,1 C) 6,8 D) 8,5 E) 10,2<br />
Örnek: (2006 KPSS)<br />
ξͲǡͻ െ ξͲǡͶ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
ඥͲǡͷǤ ξͲǡʹ<br />
A) 1 B) 2 C) 10 D) ξʹ E) ξͳͲ<br />
2. Çarpma İşlemi<br />
Köklü ifadelerde çarpma işlemi yapabilmek için, kök<br />
derecelerinin aynı olması gerekir. Burada; kökün<br />
içindeki sayılar çarpılır ve bulunan değer, aynı<br />
dereceden kökün içine yazılır.<br />
2
Örnek: (2004 KPSS)<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
ξͲǡͺͳ ξͲǡͶ<br />
ඥͲǡʹͷ ξͲǡͲͶ െ ξ ͲǡͲͻ<br />
ξͲǡͶͻ<br />
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6<br />
Örnek:<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
A) ξଶ<br />
<br />
B) ξଷ<br />
<br />
൬ ͳ ξʹ ͳ ξ͵൰ Ǥ ͳ<br />
ξʹ ξ͵<br />
C) ξ<br />
<br />
ξଷ<br />
D)<br />
ଷ<br />
E) ξ<br />
ଷ<br />
Özellik 6:<br />
Kök dereceleri aynı olmayan köklü ifadelerde<br />
çarpma veya bölme yapabilmek için, kök dereceleri<br />
OKEKlerinde eşitlenir. Burada kök derecesi hangi<br />
sayı ile çarpılırsa, kökün içindeki sayının kuvveti de<br />
aynı sayı ile çarpılır.<br />
<br />
ݔξ <br />
ൌ<br />
Örnek:<br />
ೖǤ<br />
ݔξ Ǥ<br />
ܴା) א (݇<br />
య<br />
Ƚ ൌ ξ͵<br />
ర<br />
ǡ ൌ ξͷǡ ൌ ξʹ<br />
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi<br />
doğrudur?<br />
Örnek:<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
ʹ<br />
ξ͵ െ ͳ െ ξʹ<br />
ξʹ ͳ<br />
A) ξ͵ െ ξʹ െ ͳ B)ξ͵ ξʹ െ ͳ<br />
C) ξ͵ െ ξʹ ͳ D) ξ͵ െ ξʹ<br />
E) ξ͵ ξʹ<br />
A) ߙ ܾ ܿ B) ߙ ܿ ܾ C) ܾ ߙ ܿ<br />
ܾ ߙ D) ܿ <br />
ߙ E) ܿ ܾ Özellik 7:<br />
üzere; olmak ݕ ݔ pozitif reel sayı ve ݕݔ<br />
ܾolsun. ൌ ݕ Ǥݔߙ ൌ ݕ ݔ<br />
PAYDAYI RASYONEL YAPMA<br />
Kesirli ifadelerde payda köklü bir sayı ise, paydayı<br />
kökten kurtarma işlemine paydayı rasyonel yapma,<br />
bir başka deyişle eşlenik çarpımı denir.<br />
ݕඥ ݔξ ʹξܾ ൌ ߙඥ ü<br />
ݕඥ െ ݔξ െ ʹξܾ ൌ ߙඥ ü<br />
ටͺ ʹξͳͷ ൌ ξͷ ξ͵<br />
ü<br />
ü<br />
Örnek:<br />
ݔ ൌ ݔξ ξݔǤ<br />
ݕ െ ݔ ඥݕ൯ ൌ െ ݔ൫ξ ඥݕ൯Ǥ ݔ൫ξ<br />
ට െ ʹξͳͲ ൌ ξͷ െ ξʹ<br />
Örnek:<br />
ͳ<br />
ξʹ െ ͳ ൌ<br />
(ξʹ ͳሻ<br />
ʹ<br />
ξ͵ ͳ ൌ<br />
ξʹ ͳ<br />
൫ξʹ൯ ଶ ൌ ξʹ ͳ<br />
െ ͳ ଶ ʹ െ ͳ ൌ ξʹ ͳ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
ටͶ ʹξ͵ ටͶ െ ʹξ͵<br />
A) 1 B) ξ͵ C) 2 D) ʹξ͵ E) ʹξ͵ ʹ<br />
ͳ<br />
ξͷ െ ξʹ ൌ<br />
3
Örnek:<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
ටͺ ξͲ<br />
A) ξͷ െ ξ͵ B) ξ͵ ͳ C) ξͷ ͳ<br />
D) ξ͵ ξʹ E) ξͷ ξ͵<br />
Örnekler<br />
1.<br />
ܽξʹ ൌ ܽ ͳ<br />
olduğuna göre, a kaçtır?<br />
ሻξʹ െ ͳ ሻξʹ ሻ ξʹ ͳ<br />
ʹ<br />
ሻξʹ ͳ ሻʹξʹ<br />
Örnek:<br />
ට െ ξ͵ͷ<br />
2.<br />
ටͳͲ ݔξ ͳͳ ൌ Ͷ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
ξ െ ξͷ<br />
ሻ<br />
ʹ<br />
ξ ξͷ<br />
ሻ<br />
ʹ<br />
ξͳͶ െ ξͳͲ<br />
ሻ<br />
ʹ<br />
ξͳͶ െ ξͳͲ<br />
ሻ <br />
ʹ<br />
Özellik 8:<br />
iç içe geçmiş köklerde kural,<br />
C) ξͳͶ െ ξͳͲ<br />
olduğuna göre, ݔ kaçtır?<br />
A) -7 B) -2 C) 5 D) 25 E) 38<br />
3.<br />
ටܽ ඥܽଶ െ ͳ ൌ ʹ<br />
olduğuna göre, ܽ kaçtır?<br />
ü<br />
ü<br />
<br />
ඥ ݔξ ൌ<br />
<br />
<br />
ݕඥ ටݔǤ<br />
Ǥ<br />
ݔξ<br />
ൌ<br />
tir.<br />
Ǥ<br />
ݕ Ǥ ݔඥ<br />
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8<br />
య<br />
ටξʹ<br />
ൌ<br />
య<br />
ටͷǤ ξ͵<br />
మǤయ<br />
ξʹ<br />
ൌ<br />
ల<br />
ൌ ξʹ<br />
యǤమ<br />
ඥͷ ଶ Ǥ͵<br />
ల<br />
ൌ ξͷ<br />
Özellik 9:<br />
üzere; ͳሻ olmak ߙሺ Ǥߙ ൌ ݔ<br />
4. (2008 KPSS)<br />
ͺξͳͲ െ ͵Ͳξʹ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
ʹξͶͲ െ ͵ξͷͲ<br />
A) 2 B) 4 C) 5 D) 2ξʹ E) 3ξʹ<br />
ü<br />
ü<br />
ݔට ݔඥ ݔξ ڮ ൌ ߙሺ ͳሻ<br />
ߙ ൌ ڮ െ ݔξ െ ݔඥ െ ݔට<br />
Örnek:<br />
20=4.5 olduğundan<br />
5.<br />
ξͳͲͺsayısının yaklaşık değerinin hesaplanabilmesi<br />
için aşağıdaki sayılardan hangisinin yaklaşık değeri<br />
bilinmelidir?<br />
A) ξ B) ξ C) ξͷ D) ξ͵ E) ξʹ<br />
ටʹͲ ඥʹͲ ξʹͲ ڮ ൌ ͷ<br />
ඨʹͲ െ ටʹͲ െ ξʹͲ െ ڮ ൌ Ͷ<br />
4
6.<br />
ise, ݔ kaçtır?<br />
ξͷ ସ௫ା<br />
ൌ ͳ<br />
య<br />
ξͳʹͷ ௫ିଵ<br />
ʹͷ ଶ<br />
A) 8 B) 6 C) -4 D) -6 E) -8<br />
10.<br />
ൌ ݔʹ ݔξെ ଶ ݔ െ ͻ ifadesi reel bir sayıya eşit<br />
ise bu sayı kaçtır?<br />
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9<br />
7.<br />
ξͶͻͻǤͷͲͳ ͳ െ ξͶ͵ǤͶͷ ͳ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
A) 436 B) 446 C) 456 D) 466 E) 476<br />
11.<br />
ise, ݔ ݕ kaçtır?<br />
͵ െ ξʹ<br />
͵ ξʹ ൌ ݔ ʹξݕ<br />
A) ଵ <br />
B) ଶ <br />
C) ଷ <br />
D) ସ <br />
E) ହ <br />
8.<br />
ඥሺെ͵ሻ ଶ ఱ<br />
ඥሺെʹሻ ହ ర<br />
െ ඥሺെʹሻ ସ Ǥ ʹͷ ଶ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
A) -15 B) -9 C) 6 D) 9 E) 15<br />
12.<br />
ξͺ<br />
ඥ͵ ξͷ െ ඥ͵ െ ξͷ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
A) ξʹ B) 2 C) 2ξʹ D) 4 E) 3ξʹ<br />
9.<br />
ඨ ͳͺͳ ʹ<br />
Ͷͷ ͳʹͷ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
A) ଵଷ<br />
ସହ<br />
B) ଵସ<br />
ସହ<br />
C) ଵ ଽ<br />
D) ଵ ସହ<br />
E) ଵ ହ<br />
13. (2004 KPSS)<br />
൫ξ͵ െ ʹ൯଼Ǥ ൫ξ͵ ʹ൯ ଽ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
ሻʹ െ ξ͵ ሻξʹ ͵ ሻξ͵ െ ʹ<br />
ሻξ͵ ͳ ሻͳ െ ξ͵<br />
5
14. (2001 KMS)<br />
ସ<br />
sayısı ξͷ sayısının kaç katıdır?<br />
ξହ<br />
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 20<br />
18.<br />
ξ͵<br />
ξʹ െ ͳ ξʹ<br />
ξ͵ െ ʹ െ ʹ<br />
ξ͵ ξʹ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
ሻ െ Ͷξʹ ሻͲ ሻ െ ξ͵<br />
ሻ͵ξ͵<br />
ሻʹξ െ ξ͵<br />
15.<br />
ξܾܽ ටܽ<br />
ܾ ൌ ξܾ<br />
ξܽ<br />
olduğuna göre, a nın b türünden değeri<br />
aşağıdakilerden hangisidir?<br />
ሻܾ ͳ<br />
ܾ<br />
ሻܾ െ ͳ<br />
ܾ<br />
ܾ<br />
ሻ<br />
ܾ ͳ<br />
ܾ<br />
ሻ<br />
ܾ െ ͳ<br />
ሻܾ ͳ<br />
ܾ െ ͳ<br />
19.<br />
ೣ<br />
ඥʹǡସ<br />
olduğuna göre, ݔ kaçtır?<br />
ൌ<br />
మబబ<br />
ξͶ<br />
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6<br />
20.<br />
16.<br />
ڮ ൌ ඨ Ͷʹ െ ටͶʹ െ ξͶʹ െ ݔ<br />
ʹୟ ൌ ͵ୠ<br />
olduğuna göre, Ͷ ೌ್ ʹ್<br />
ೌ<br />
ifadesinin değeri kaçtır?<br />
A) 3 B) 4 C) 8 D) 9 E) 17<br />
olduğuna göre, ݕ kaçtır?<br />
ڮ ݔξ ݔට ݔඨ ൌ ݕ<br />
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6<br />
17.<br />
య<br />
ξ͵ʹ<br />
య<br />
య<br />
͵Ǥ ξͳͲͺ െ ξͶͲͲͲ<br />
işleminin sonucu kaçtır?<br />
య<br />
ሻ͵Ǥ ξ͵ʹ<br />
య<br />
ሻʹǤ ξͶ<br />
య<br />
ሻξʹ<br />
య<br />
ሻξͶ<br />
య<br />
ሻ͵Ǥ ξͶ<br />
6
Change language