You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Problem :<br />
Üç Boyutlu Gerilme ve ¸Sekil De˘gi¸stirme ˙Ili¸skileri<br />
(<strong>Mukavemet</strong> - I, <strong>Bütünleme</strong> <strong>Sınavı</strong>-<strong>20</strong>-1)<br />
180 mm<br />
Bakır<br />
60 mm<br />
Çelik<br />
t = 1 mm<br />
1. Sıcaklıkde˘gi¸simine maruz çelik tüp içine yerle¸stirilmi¸sbakırmil<br />
¸Sekil 1 de gösterilen 1 mm cidar kalınlıklı, 60 mm iç çaplı ve 180 mm uzunlukta, çelikten<br />
imal edilmi¸s bir tüp içine aynı çapa sahip bakırdan imal edilmi¸s bir mil yerle¸stirilmi¸stir.<br />
Bu milin iki ucu rijit iki plaka ile desteklenmi¸stir. Çelik tüpün sıcaklı˘gı sabit tutulurken,<br />
bakır milin sıcaklı˘gı 50 ± C yükseltilirse, a) çelik tüpte olu¸san gerilmeleri, b) alt ve üst rijit<br />
plakalara tatbik edilen yükü, c) tüp ve milde olu¸san ¸sekil de˘gi¸stirmeleri bulunuz.<br />
Çelik tüp için : Eç = 210 £ 10 9 Pa, Àç =0:29,<br />
Bakır mil için : Eb = 105 £ 10 9 Pa, ®b =17£ 10 ¡6 1= ± C, Àb =0:32.<br />
Çözüm :<br />
Bakır mil tüm yönlerde e¸sit miktarda genle¸secektir, yani, ¸sekil de˘gi¸stirecektir. Çelik tüp<br />
bu ¸sekil de˘gi¸stirmeyi kısmen engelleyecektir. Alttaki ve üstteki rijit plaka ¸sekil de˘gi¸stirmeyi<br />
tamamen önleyecektir. Bu durumda bakır ve çelik elemanlarda gerilmeler ortaya çıkacaktır.<br />
Bakır tüp için<br />
("xx) b = ®b¢T ¡ 1<br />
Eb<br />
("yy) b = ®b¢T ¡ 1<br />
Eb<br />
("zz) b = ®b¢T ¡ 1<br />
Eb<br />
y<br />
z<br />
x<br />
[¾xx ¡ À (¾yy + ¾zz)] b<br />
[¾yy ¡ À (¾xx + ¾zz)] b<br />
[¾zz ¡ À (¾xx + ¾yy)] b<br />
(1 a,b,c)<br />
son terimler çelik tüpün ve rijit plakaların neden oldu˘gu ¸sekil de˘gi¸stirmelerdir. Bakr tüp için<br />
sınır ¸sartları<br />
Dr. M. Kemal Apalak 1
("zz)<br />
b = 0<br />
("xx)<br />
b = ("yy)<br />
b (2 a,b)<br />
Çelik tüp ve bakır mil arasında q ¸siddetinde bir yük olu¸sur. Dolayısıyla<br />
(¾xx) b =(¾yy) b = ¡q (3)<br />
mile basınç ¸seklinde tesir eder. (1c) denklemi ve (2a) ¸sartından<br />
(3) denklemi yardımıyla<br />
("zz) b = 0 = ®b¢T ¡ 1<br />
®b¢T = 1<br />
Eb<br />
Eb<br />
[¾zz ¡ À (¾xx + ¾yy)] b<br />
®b¢T = 1<br />
Eb<br />
[¾zz ¡ À (¾xx + ¾yy)] b<br />
[¾zz ¡ À (¡q ¡ q)] b<br />
®b¢T Eb = (¾zz)<br />
b +2qÀb (4)<br />
bulunur. ˙Ince cidalı silindirik tüpte çevre boyunca ¸sekil de˘gi¸stirme ve gerilme olu¸sur. O<br />
halde<br />
("H) ç = qD 1<br />
2t Eç<br />
("H) ç = 1<br />
[¾H ¡ À (¾L + ¾zz)] ç<br />
Eç<br />
ince cidarlı silindir tüp boyunca ve cidar kalınlı˘gı boyunca gerilme olu¸smamaktadır. Yani,<br />
(¾L) ç =0ve (¾zz) ç =0dır. O halde (5 ve 6) nolu denklemler<br />
("H) ç = 1<br />
(¾H) ç<br />
Eç<br />
("H) ç = qD 1<br />
2t Eç<br />
sonucunu verir. Tüpün çevresel ¸sekil de˘gi¸stirmesi<br />
= 1<br />
(¾H) ç<br />
Eç<br />
("H) ç = ¼d2 ¡ ¼d1<br />
=<br />
¼d1<br />
d2 ¡ d1<br />
d1<br />
radyal yöndeki ¸sekil de˘gi¸stirmesine e¸sittir. O halde<br />
ve simetriden dolayı<br />
dolayısıyla<br />
("H) ç =("d) ç<br />
("d) ç =("xx) ç =("yy) ç<br />
=("d) ç<br />
Dr. M. Kemal Apalak 2<br />
(5)<br />
(6)<br />
(7)<br />
(8)<br />
(9)<br />
(10)
("xx)<br />
ç =("yy) ç = 1<br />
(¾H) ç =<br />
Eç<br />
1<br />
µ <br />
qD<br />
Eç 2t<br />
bulunur. Tüp ve mil için ¸sekil de˘gi¸stirmeler aynıdır. O halde<br />
(1a) denkleminden<br />
ve<br />
("xx) b = ®b¢T ¡ 1<br />
(11)<br />
("xx) ç = ("xx) b<br />
("yy) ç = ("yy) b (12 a,b)<br />
Eb<br />
("xx) b = ®b¢T ¡ 1<br />
Eb<br />
("xx) b = ®b¢T ¡ 1<br />
[¾xx ¡ À (¾yy + ¾zz)] b<br />
[¡q ¡ À (¡q + ¾zz)] b<br />
[¡q (1 ¡ À) ¡ À¾zz]<br />
b<br />
Eb<br />
("xx) ç =("xx) b<br />
e¸sitli˘ginden<br />
µ <br />
1 qD<br />
= ®b¢T ¡<br />
Eç 2t<br />
1<br />
Eb<br />
µ <br />
1 qD<br />
1 ¡ Àb<br />
= ®b¢T +<br />
Eç 2t<br />
Eb<br />
µ <br />
1 D 1 ¡ Àb<br />
¡ q = ®b¢T +<br />
Eç 2t Eb<br />
Àb<br />
Eb<br />
bulunur. Ayrıca (4) denkleminden<br />
[¡q (1 ¡ À) ¡ À¾zz] b<br />
q + Àb<br />
(¾zz)<br />
b<br />
Eb<br />
(¾zz) b<br />
(13)<br />
®b¢T Eb = (¾zz) b +2qÀb<br />
(¾zz) b = ®b¢T Eb ¡ 2qÀb (14)<br />
ifadesi elde edilir ve (13) nolu denklemde yerine yazılırsa<br />
µ <br />
1 D 1 ¡ Àb<br />
¡ q<br />
Eç 2t Eb<br />
= ®b¢T + Àb<br />
®b¢T + Àb®b¢T =<br />
(®b¢T Eb ¡ 2qÀb)<br />
Eb<br />
µ <br />
1<br />
q<br />
(1 + Àb) ®b¢T =<br />
Eç<br />
µ 1<br />
Eç<br />
q = (1 + Àb) ®b¢T<br />
1<br />
Eç<br />
D<br />
2t<br />
D 1 ¡ Àb<br />
¡ +2<br />
2t Eb<br />
À2 b<br />
Eb<br />
D 1 ¡ Àb<br />
¡ +2<br />
2t Eb<br />
À2 b<br />
Eb<br />
¡ 1¡Àb<br />
Eb +2À2 b<br />
Eb<br />
Dr. M. Kemal Apalak 3<br />
<br />
q
q =<br />
Denklem (3) den<br />
Denklem (14) den<br />
1<br />
210£10 3<br />
q =<br />
(1 + Àb) ®b¢T<br />
1 D 1<br />
Eç 2t + Eb (2À2 b + Àb ¡ 1)<br />
(1 + Àb) ®b¢T<br />
q = 1 D 1<br />
Eç 2t + Eb [Àb (2Àb +1)¡ 1]<br />
(1 + 0:32) £ ¡ 17 £ 10 ¡6¢ £ 50<br />
60<br />
2£(1) +<br />
1<br />
105£10 3 (0:32 £ (2 £ 0:32 + 1) ¡ 1)<br />
(15)<br />
q =8: 111 MPa (16)<br />
(¾xx)<br />
b = (¾yy)<br />
b = ¡q<br />
(¾xx)<br />
b = (¾yy)<br />
b = ¡8: 111 MPa (17)<br />
(¾zz) b = ®b¢T Eb ¡ 2qÀb<br />
(¾zz) b = ¡ 17 £ 10 ¡6¢ £ 50 £ 105 £ 10 3 ¡ 2(8: 111) £ 0:32<br />
(¾zz)<br />
b = 84: 059 MPa (18)<br />
(¾xx)<br />
ç = (¾yy)<br />
ç = qD<br />
2t<br />
(¾xx)<br />
ç =<br />
8:111 £ 60<br />
(¾yy)<br />
ç =<br />
2 £ 1<br />
(¾xx)<br />
ç = (¾yy)<br />
ç = 243:33 MPa<br />
Tüp ve mildeki ¸sekil de˘gi¸stirmeler<br />
("xx) b = ("yy) b =("xx) ç =("yy) ç<br />
("xx) b = ®b¢T ¡ 1<br />
Eb<br />
[¾xx ¡ À (¾yy + ¾zz)] b<br />
1<br />
("xx)<br />
b = ¡ 17 £ 10 ¡6¢ £ 50 ¡ [(1 ¡ 0:32) (¡8:11) ¡ 0:32 £ 84:1]<br />
105 £ 103 ("xx)<br />
b =("yy) b =("xx) ç =("yy) ç =1: 158 8 £ 10 ¡3<br />
("zz) ç = ("L) ç = 1<br />
("zz) b =0<br />
Eç<br />
[¾L ¡ À (¾H + ¾zz)] ç<br />
("zz)<br />
ç =<br />
1<br />
("L) ç = [0 ¡ 0:29 (243:33 + 0)]<br />
210 £ 103 ("zz)<br />
ç = ("L) ç = ¡3: 360 3 £ 10 ¡4<br />
Dr. M. Kemal Apalak 4
Change language