Kirislerde Simetrik Olmayan Yükleme Hali (Mukavemet - II ...

Problem :
Kiri¸slerde Simetrik Olmayan Yükleme Hali
(Mukavemet - II, Bütünleme Sınavı-24-1)
¸Sekil 1 de gösterilen yüklemeye maruz iki ucu basit mesnetli 8 m boyunda 210 GPa lık
elastisite modülüne sahip malzemeden yapılmı¸s Lkesitlikiri¸ste en büyük normal gerilme
da˘gılımını tespit ediniz ve kesit üzerinde gösteriniz.
Çözüm :
1. Basit kiri¸sin yükleme ¸sartları ve kesiti
Kiri¸s kesitinin a˘gırlık merkezini tespit edelim. Kesitin toplam alanı
A =4£ 16 + 4 £ 10; A = 104 cm 2
KK eksenine göre
P
Ai ¹yi
¹y = P
Ai
LL eksenine göre
¹z =
Izz = ¹ Izz + A ¹y 2 =
Iyy = ¹ Iyy + A _ z 2 =
= (4 £ 16) £ 8+(4£ 10) £ (16 + 2)
P Ai ¹zi
P Ai
104
= (4 £ 16) £ 2+(4£ 10) £ 5
104
= 1232
104
=11:85 cm
= 328
=3:15 cm
104
4 £ 163
12 +(4£ 16) (8 ¡ 11:85)2 10 £ 43
+ +(10£ 4) (18 ¡ 11:85)2
12
Izz = 3880:21 cm 4
16 £ 43
12 +(16£ 4) (2 ¡ 3:15)2 4 £ 103
+ +(4£ 10) (5 ¡ 3:15)2
12
Iyy = 640:21 cm 4
Dr. M. Kemal Apalak 1

Iyz = ¹Iyz + A ¹y ¹z =0+(4£ 16) (8 ¡ 11:85) (3:15 ¡ 2)
+0 + (4 £ 10) (18 ¡ 11:85) (3:15 ¡ 5)
Iyz = ¡738:46 cm 4
Iyz 6= 0dır. Problemde y ve z asal eksenler de˘gildir, dolayısıyla asimetrik problemdir.
Genel e˘gilme formülü
¾xx = (My Izz + Mz Iyz) z ¡ (Mz Iyy + My Iyz) y
Iyy Izz ¡ I2 yz
My =0dır. E˘gilme denklemi
¾xx = Mz Iyz z ¡ Mz Iyy y
Iyy Izz ¡ I2 yz
¾xx =
Mz
Iyy Izz ¡ I 2 yz
En büyük e˘gilme momentinin yeri ve de˘gerini tespit edersek,
1
R A
80 N/m
(z Iyz ¡ yIyy) (1)
-80 N/m
2 m 5 m
R B
2. Kiri¸s yüklerinin singularity fonksiyonuna uyarlanması
X MA =0; 160 £ 2=8RB; RB =40N
X
Fy = 0; RA + RB = 160
RA = 160 ¡ 40; RA = 120 N
¸Sekil 2 deki x ¡ x kesitine göre singularity fonksiyonları cinsinden
hx ¡ 1i2 hx ¡ 3i2
Mz = 120 x ¡ 80 +80
2
2
Mz = 120 x ¡ 40 hx ¡ 1i 2 +40hx ¡ 3i 2 ; (0 · x · 8 m)
Dr. M. Kemal Apalak 2

Eğilme momenti M z, (N.m)
250
200
150
100
50
0
0.0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8 5.6 6.4 7.2 8.0
Mesafe x , (m)
3. E˘gilme momentinin de˘gi¸simi Mz
(1 · x · 3 m) aralı˘gında @Mz
@x =0¸sartıyla
en büyük e˘gilme momenti
120 ¡ 80 (x ¡ 1) = 0
x = 200
=2:5m 80
(Mz) max = 120 £ 2:5 ¡ 40 (2:5 ¡ 1) 2 = 210 Nm = 21000 Ncm
en büyük normal gerilme denklemi
21000
¾xx =
2 (¡738:46 z ¡ 640:21 y)
640:21 £ 3880:21 ¡ (¡738:46)
¾xx = ¡0:010831 (738:46 z + 640:21 y)
¾xx = ¡7:9985 z ¡ 6:9343 y
Tarafsız eksenin yeri ¾xx =0¸sartıyla bulunabilir:
¡7:9985 z ¡ 6:9343 y =0; tan µ = y ¡7:9985
=
z 6:9343
tan µ = ¡1:1535; µ = ¡49:08 ±
(¾xx) A = ¡7:9985 (3:15) ¡ 6:9343 (8:15)
(¾xx) A = ¡81:71 N/cm 2
Dr. M. Kemal Apalak 3

ulunur.
z
Tarafsız eksen
A
σA = -81.71 C σC = 26.01
49.08 º
G
y
B
4. Normal gerilme ¾xx da˘gılımı
σ B = 88.98 N/cm 2
(¾xx) B = ¡7:9985 (¡0:85) ¡ 6:9343 (¡11:85)
(¾xx) B = 88:98 N/cm 2
(¾xx)
C = ¡7:9985 (¡6:85) ¡ 6:9343 (4:15)
(¾xx)
C = 26:01 N/cm 2
Dr. M. Kemal Apalak 4