Kirislerde E˘gim ve Sehim Hesabı (Mukavemet - II, Yıl Sonu Sınavı ...

Problem :
y
Kiri¸slerde E˘gim ve Sehim Hesabı
(Mukavemet - II, YılSonuSınavı-23-2)
300 N/m
100 Nm
C
z
A 1 3m 1 1 B
R A
x
R B
z
1. ˙Iki ucu basit mesnetli kiri¸s
y
G
10
20 cm
¸Sekil 1 de gösterilen yüklemeye ve kesite sahip iki ucu basit mesnetli kiri¸siçinMacaulay
Metodunu kullanarak e˘gim ve sehim ifadelerini bulunuz. Ayrıca en büyük e˘gim ve sehim
de˘gerlerini, koordinatlarını tespit ediniz. Kiri¸s elastisite modülü 220 GPa olan malzemeden
imal edilmi¸stir.
Çözüm :
Öncelikle yükleme halinin tarifi yapılmalı ve mesnet reaksiyonları bulunmalıdır. ¸Sekil 1
den
X Fy = 0dan RA + RB = 450
X
MA =
µ
0dan ¡ 450 £ 1+ 2
£ 3 ¡ 100 + 6 RB =0
3
RB = 1450
= 241:67 N
6
(1)
RA = 450 ¡ 241:67
RA
ve ¸sekil 2 den
= 208:33 N (2)
BL
300
=
5
3
BL = 500 N/m
¸Sekil 2 deki yükleme haline göre CB arasındaki keyfi bir x kesitinde A mesnetine göre
e˘gilme momenti ifadesi
d
EIzz
2y dx2 = Mz (x) = 208:33x ¡ 1
yayılı yükler
+q3 (x)
hx ¡ 4i
2
2 q1 (x) hx ¡ 1i 1
3 hx ¡ 1i + q2 hx ¡ 4i
hx ¡ 4i
+ 100 hx ¡ 4i
3
0
hx ¡ 4i
2
Dr. M. Kemal Apalak 1

200 N/m
y 300 N/m
300 N/m
z
A 1 3m
100 Nm
1
C
1
x
B
L
300 N/m
200 N/m
2. Yükleme ¸sartlarını Macaulay metoduna uygun hale getirme
500
q1 (x) =
200
q3 (x) =
olur. E˘gilme momenti denklemi
e˘gim denklemi
sehim denklemi
5
x ¡ 1 ) q1 (x) = 100 (x ¡ 1) (3)
2
x ¡ 4 ) q3 (x) = 100 (x ¡ 4) (4)
d
EIzz
2y dx2 = Mz (x) = 208:33x ¡ 100
hx ¡ 1i3
6
dy
EIzz
dx
+ 300
2 hx ¡ 4i2 + 100
6 hx ¡ 4i3 + 100 hx ¡ 5i 0
208:33
= x
2
2 ¡ 100
hx ¡ 1i4
24
+ 300
6 hx ¡ 4i3 + 100
24 hx ¡ 4i4 +100hx ¡ 5i + C1
EIzzy = 208:33
x
6
3 ¡ 100
hx ¡ 1i5
120
+ 300
24 hx ¡ 4i4 + 100
120 hx ¡ 4i5 + 100
2 hx ¡ 5i2 + C1x + C2 (7)
olur. Sınır ¸sartları
1. x =0da y =0dır. Sehim (7) denkleminden
C2 =0
2. x =6da y =0dır. Sehim (7) denkleminden
Dr. M. Kemal Apalak 2
(5)
(6)

EIzzy =0= 208:33
6
6
3 ¡ 100
120 (6 ¡ 1)5 + 300
24 (6 ¡ 4)4 + 100
120 (6 ¡ 4)5 + 100
2 (6 ¡ 5)2 +6C1
0 = 6C1 + 5172: 4;
¡5172: 4
C1 =
6
C1 = ¡862: 07
bulunur. O halde, kiri¸sin herhangi bir x¡kesitinde e˘gilme momenti (5) denklemi
e˘gim (6) denklemi
d
EIzz
2y dx2 = Mz (x) = 208:33x ¡ 100
hx ¡ 1i3
6
dy
EIzz
dx
sehim (7) denklemi
+ 300
2 hx ¡ 4i2 + 100
6 hx ¡ 4i3 + 100 hx ¡ 5i 0
208:33
= x
2
2 ¡ 100
hx ¡ 1i4
24
+ 300
6 hx ¡ 4i3 + 100
24 hx ¡ 4i4 + 100 hx ¡ 5i¡862: 07 (9)
EIzzy = 208:33
x
6
3 ¡ 100
hx ¡ 1i5
120
+ 300
24 hx ¡ 4i4 + 100
120 hx ¡ 4i5 + 100
2 hx ¡ 5i2 ¡ 862: 07x (10)
olur. (8, 9, 10) denklemlerinde Macaulay terimleri h?i negatif ise ihmal edilir. Kesitin atalet
momenti
Izz = bh3 10 £ 203
=
12 12
Izz = 6666: 7 cm 4
Izz = 6666: 7 £ 10 ¡8 m 4
E˘gilme momenti, e˘gim ve sehim de˘gi¸simleri ¸sekil 3-5 de gösterilmi¸stir. En büyük e˘gilme
momenti 3 · x · 4 mdearanmalıdır,
@Mz
@x
@Mz
@x
= 0
= 0 = @
@x
0 = 208:33 ¡ 50 (x ¡ 1) 2
x1 = ¡1: 041 2
x2 = 3: 041 2 m
½
208:33x ¡ 100
¾
hx ¡ 1i3
6
Dr. M. Kemal Apalak 3
(8)

En büyük e˘gilme momenti x =3: 041 2 m konumunda olu¸sur
Mz (3: 041 2) = 208:33 £ 3: 041 2 ¡ 100
h3: 041 2 ¡ 1i3
6
Mmax = 491: 83 Nm
E˘gilme momentinin en büyük de˘geri aldı˘gı noktada e˘gim sıfırdır. E˘gilme momentinin en
küçük de˘geri aldı˘gı noktalarda e˘gim en büyüktür. ¸Söyle ki, x =0ve x =6m konumlarında
en büyük e˘gim de˘gerleri (denklem 9)
µ
dy
dy 862: 07
EIzz (x =0) = ¡862: 07;
= ¡
dx dx max
EIzz
µ
dy
862: 07
= ¡
dx max (220 £ 109 ) £ (6666: 7 £ 10 ¡8 )
µ
dy
= ¡5: 877 7 £ 10
dx
¡5 rad
dy
EIzz
dx
max
(x =6) =
208:33
6
2
2 ¡ 100
h6 ¡ 1i4
24
+ 300
6 h6 ¡ 4i3 + 100
24 h6 ¡ 4i4 µ
dy
dx max
=
+ 100 h6 ¡ 5i¡862: 07
850: 37
µ
dy
dx max
=
EIzz
850: 37
(220 £ 109 ) £ (6666: 7 £ 10 ¡8 µ
dy
dx max
=
)
5: 797 9 £ 10 ¡5 rad
E˘gilme momentinin en büyük de˘geri aldı˘gı noktada sehim en büyük de˘geri alır, o halde
x =3: 041 2 m de sehim (denklem 10)
EIzzy (3: 041 2) = 208:33
(3: 041 2)
6
3 ¡ 100
120 h3: 041 2 ¡ 1i5 ¡ 862: 07 £ 3: 041 2
ymax =
1674: 6
¡
ymax = ¡
EIzz
1674: 6
(220 £ 10 9 ) £ (6666: 7 £ 10 ¡8 )
ymax = ¡1: 141 8 £ 10 ¡4 m
Dr. M. Kemal Apalak 4

Eğilme momenti, (N.m)
Eğim, E I (dy/dx)
600
500
400
300
200
100
0
0.0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0
Mesafe, (m)
3. E˘gilme momenti Mz in de˘gi¸simi (Nm)
1000
800
600
400
200
0
0.0
-200
0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0
-400
-600
-800
-1000
Mesafe, (m)
³
4. E˘gimin EIzz dy
´
dx de˘gi¸simi ¡ N
m2 :m4 :rad ¢
Sehim (E I y)
-200
-400
-600
-800
-1000
-1200
-1400
-1600
-1800
0.0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0
0
Mesafe, (m)
5. Sehimin (EIzzy) de˘gi¸simi ¡ N
m 2 :m 4 .m ¢
Dr. M. Kemal Apalak 5