Mukavemet - I, I. Ara Sınavı-17-3

Bir Boyutlu Statik Bakımdan Belirsiz Problem
(Mukavemet - I, I. Ara Sınavı-17-3)
F 1
3
2
1
A
F 2
B
¸Sekil 1.
Problem :
˙Iki aluminyum mil (1 ve 2), bir çelik tüp (3) içine yerle¸stirilmi¸s olup, miller ve tüp her
iki ucundan rijit A ve B plakalarına ¸sekil 1 de gösterildi˘gi gibi monte edilmi¸stir. F2 = 5000
N luk bir kuvvet B plakasına tesir ederken, F1 = 1000 N luk ikinci bir kuvvet yanlızca
çelik tüpe tesir etmektedir. A¸sa˘gıdaki malzeme özelliklerini kullanarak bu sistemin toplam
uzamasını, yani B plakasının ne kadar a¸sa˘gı indi˘gini hesap ediniz.
Çelik tüp için : Est =2£ 10 11 Pa, dı¸s çapı D =0:12 m, cidar kalınlı˘gı t =10mm
Aluminyum miller için : Eal =1£ 10 11 Pa, D1 =0:07 m, D2 =0:04 m.
Çözüm :
Çelik tüp ve aluminyum miller farklı yükleme ¸sartlarına maruzdur. Bu nedenle serbest
cisim diyagramları ayrı ayrı ¸sekil 2 de gösterildi˘gi gibi de˘gerlendirilmelidir.
F st
F al
(a)
F 2
B
F st
¸Sekil 2. Çelik tüp ve aluminyum millerin serbest cisim diyagramları
Dr. M. Kemal Apalak 1
F 1
3
F R
F st
F 1
(b)
F R
F st
F 1

¸Sekil 2a dan çelik tüp ve aluminyum mil için denge denklemi
F2 = Fst + Fal
5000 = Fst + Fal
¸Sekil 2b den çelik tüp için denge denklemi
FR = F1 + Fst
FR = 1000 + Fst
(2)
bulunur. Ba˘glantının geometrisi gere˘gince çelik tüp ve aluminyum millerdeki ¸sekil de˘gi¸stirme
miktarı aynı olacaktır. Yani,
(¢") st =(¢") al
olur. Çelik tüp için ¸sekil de˘gi¸stirme miktarı yüklemenin de˘gi¸smesi nedeniyle
µ µ
L
L
(¢") st =(¢") st;1 +(¢") st;2 = Fst
+ FR
AE st;1 AE st;2
ve aluminyum miller için toplam ¸sekil de˘gi¸stirme miktarı
µ µ
L
L
(¢") al =(¢") al;1 +(¢") al;2 = Fal
+ Fal
AE al;1 AE al;2
olacaktır. Çelik tüp kesit alanı
Di = Do ¡ 2 t =0:12 ¡ 2 £ 10 £ 10 ¡3 =0:1 m
Ast = ¼ ¡ 2
D
4
o¡D 2¢ ¼ ¡ 2 2
i = 0:12 ¡ 0:1
4
¢ =3:456 £ 10 ¡3 m 2
Mil kesit alanları
(A1) m = ¼
4 £ 0:072 =3:849 £ 10 ¡3 m 2
(A2) m = ¼
4 £ 0:042 =12:57 £ 10 ¡3 m 2
Çelik tüp için toplam ¸sekil de˘gi¸stirme denklemi (4) kullanılarak
(¢") st =
1
3:456 £ 10 ¡3 £ 2 £ 1011 (0:12 Fst +(0:3 ¡ 0:12) FR)
(¢") st = 1:4468 £ 10 ¡9 (0:12 Fst +0:18 FR) (6)
Aluminyum miller için toplam ¸sekil de˘gi¸stirme (5) denkleminden
(¢") al = Fal
à µ µ !
L L
+
E A al;1 A al;2
Dr. M. Kemal Apalak 2
(1)
(3)
(4)
(5)

(¢") al =
Fal
1 £ 10 11
µ
0:15
0:15
+
3:849 £ 10 ¡3 1:257 £ 10 ¡3
(¢") al = 1:58303 £ 10 ¡9 Fal (7)
Aluminyum millerin (7) ve çelik tüpün (6) toplam ¸sekil de˘gi¸stirmeleri geometri gere˘gince
birbirine e¸sit olacaktır:
(¢") st =(¢") al
1:4468 £ 10 ¡9 (0:12 Fst +0:18 FR) =1:58303 £ 10 ¡9 Fal
bulunur. FR kuvvetinin de˘geri (2) ifade de yerine yazılırsa,
1:4468 £ 10 ¡9 (0:12 Fst +0:18 (1000 + Fst)) = 1:58303 £ 10 ¡9 Fal
0:3 Fst + 180 = 1:09416 Fal
Bu ifadede Fal = 5000 ¡ Fst e¸sitli˘gi yerine yazılırsa
0:3 Fst + 180 = 1:09416 (5000 ¡ Fst)
1:39416 Fst = 5290:8
Fst = 3795 N
bulunur. Aluminyum millerdeki kuvvet
Fal = 5000 ¡ 3795; Fal = 1205 N
çelik tüpün ikinci yükleme bölgesindeki kuvvet
FR = F1 + Fst = 1000 + 3795; FR = 4795 N
bulunur. Aluminyum millerdeki ve çelik tüpteki toplam ¸sekil de˘gi¸stirme
bulunur.
(¢") al =(¢") st =1:58303 £ 10 ¡9 Fal =1:58303 £ 10 ¡9 £ 1205
(¢") al =(¢") st =1:9076 10 ¡6 m
Dr. M. Kemal Apalak 3