n - Çukurova Üniversitesi

4. YOĞUNLUK FONKSİYONELİ TEORİSİ Harun AKKUŞ
4.4.2. Değişim İçin Yerel Yoğunluk Yaklaşımı
Düzgün elektron gazının değişim enerjisi analitik olarak Bloch (1929) ve
Dirac (1930) metotlarıyla belirlenebilir. Düzgün elektron gazı için Kohn-Sham
orbitalleri
r r
r ik
r
r V e
k
r −1/
2 ⋅
( ) =
φ düzlem dalgalarıdır. Verilen orbitaller için, (4.45)
denklemindeki işgal edilmiş k r orbitalleri üzerinden toplam yerine
2 1/
3
kF = ( 3π
n)
yarıçaplı küre üzerinden integral alınarak Kohn-Sham yoğunluk matrisi
r r
hesaplanabilir. Sonra r = r1
,
r r r
u = r2
− r1
koordinat dönüşümleri yapılarak LDA
değişim holu bulunabilir:
h
LDA
X
r 9 r ⎡sin( k ) cos( ) ⎤
F u − k F u k F u
( r,
u)
= − n(
r ) ⎢
⎥ . (4.56)
2
3
⎢⎣
( k F u)
⎥⎦
Bu son denklem (4.39) denkleminde kullanılarak değişim enerjisi belirlenir:
E
LDA
X
= −C
X
∫
n
4 / 3
r
( r ); C
X
3 ⎛ 3 ⎞
= ⎜ ⎟
4 ⎝ π ⎠
1/
3
Buradan da elektron başına düşen değişim enerjisi bulunur:
2 / 3
s
2
. (4.57)
LDA
1/
3 3 ⎛ 3 ⎞ 1
ε X ( n)
= −C
X n = − ⎜ ⎟ . (4.58)
4 ⎝ 2π
⎠ r
1/
3
Burada = ( 3/
4π
n)
, bir elektron yükünü içeren kürenin yarıçapıdır. Denk.
r s
4.57’deki LDA değişim formülü düzgün elektron gazı için kesindir. Fakat homojen
olmayan elektron sistemleri için değildir.
Denk. 4.57’nin spini polarize sistemlere genişletilmesi, yerel spin yoğunluk
yaklaşımı (LSDA) olarak adlandırılır. (4.54) denklemine göre LSDA değişim enerjisi
aşağıdaki gibi olur:
42