n - Çukurova Üniversitesi
n - Çukurova Üniversitesi
n - Çukurova Üniversitesi
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4. YOĞUNLUK FONKSİYONELİ TEORİSİ Harun AKKUŞ<br />
4.4.2. Değişim İçin Yerel Yoğunluk Yaklaşımı<br />
Düzgün elektron gazının değişim enerjisi analitik olarak Bloch (1929) ve<br />
Dirac (1930) metotlarıyla belirlenebilir. Düzgün elektron gazı için Kohn-Sham<br />
orbitalleri<br />
r r<br />
r ik<br />
r<br />
r V e<br />
k<br />
r −1/<br />
2 ⋅<br />
( ) =<br />
φ düzlem dalgalarıdır. Verilen orbitaller için, (4.45)<br />
denklemindeki işgal edilmiş k r orbitalleri üzerinden toplam yerine<br />
2 1/<br />
3<br />
kF = ( 3π<br />
n)<br />
yarıçaplı küre üzerinden integral alınarak Kohn-Sham yoğunluk matrisi<br />
r r<br />
hesaplanabilir. Sonra r = r1<br />
,<br />
r r r<br />
u = r2<br />
− r1<br />
koordinat dönüşümleri yapılarak LDA<br />
değişim holu bulunabilir:<br />
h<br />
LDA<br />
X<br />
r 9 r ⎡sin( k ) cos( ) ⎤<br />
F u − k F u k F u<br />
( r,<br />
u)<br />
= − n(<br />
r ) ⎢<br />
⎥ . (4.56)<br />
2<br />
3<br />
⎢⎣<br />
( k F u)<br />
⎥⎦<br />
Bu son denklem (4.39) denkleminde kullanılarak değişim enerjisi belirlenir:<br />
E<br />
LDA<br />
X<br />
= −C<br />
X<br />
∫<br />
n<br />
4 / 3<br />
r<br />
( r ); C<br />
X<br />
3 ⎛ 3 ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
4 ⎝ π ⎠<br />
1/<br />
3<br />
Buradan da elektron başına düşen değişim enerjisi bulunur:<br />
2 / 3<br />
s<br />
2<br />
. (4.57)<br />
LDA<br />
1/<br />
3 3 ⎛ 3 ⎞ 1<br />
ε X ( n)<br />
= −C<br />
X n = − ⎜ ⎟ . (4.58)<br />
4 ⎝ 2π<br />
⎠ r<br />
1/<br />
3<br />
Burada = ( 3/<br />
4π<br />
n)<br />
, bir elektron yükünü içeren kürenin yarıçapıdır. Denk.<br />
r s<br />
4.57’deki LDA değişim formülü düzgün elektron gazı için kesindir. Fakat homojen<br />
olmayan elektron sistemleri için değildir.<br />
Denk. 4.57’nin spini polarize sistemlere genişletilmesi, yerel spin yoğunluk<br />
yaklaşımı (LSDA) olarak adlandırılır. (4.54) denklemine göre LSDA değişim enerjisi<br />
aşağıdaki gibi olur:<br />
42