ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ...

Tarık BARAN
ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ
FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
YAPILARIN DĐNAMĐK DAVRANIŞININ DENEYSEL VE TEORĐK
OLARAK ĐNCELENMESĐ
ADANA, 2008
ĐNŞAAT MÜHENDĐSLĐĞĐ ANABĐLĐM DALI
DOKTORA TEZĐ

ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ
FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
YAPILARIN DĐNAMĐK DAVRANIŞININ DENEYSEL VE TEORĐK
OLARAK ĐNCELENMESĐ
Tarık BARAN
DOKTORA TEZĐ
ĐNŞAAT MÜHENDĐSLĐĞĐ ANABĐLĐM DALI
Bu tez / / 2008 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından
Oybirliği/Oyçokluğu Đle Kabul Edilmiştir.
Đmza:.............................................. Đmza:................................... Đmza:..................................
Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR Prof. Dr. Hasan KAPLAN
DANIŞMAN ÜYE ÜYE
Đmza:..................................... Đmza:..............................................................
Doç. Dr. Hüseyin R. YERLĐ Yrd. Doç. Dr. S. Seren (AKAVCI) GÜVEN
ÜYE ÜYE
Bu tez Enstitümüz Đnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ
Enstitü Müdürü
Đmza ve Mühür
Bu Çalışma Çukurova Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi Tarafından
Desteklenmiştir.
Proje No: MMF2003D12
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların
kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere
tabidir.

ÖZ
DOKTORA TEZĐ
YAPILARIN DĐNAMĐK DAVRANIŞININ DENEYSEL VE TEORĐK
OLARAK ĐNCELENMESĐ
Tarık BARAN
ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ
FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
ĐNŞAAT MÜHENDĐSLĐĞĐ ANABĐLĐM DALI
Danışman: Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU
Yıl: 2008 Sayfa: 160
Jüri: Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU
Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR
Prof. Dr. Hasan KAPLAN
Doç. Dr. Hüseyin R. YERLĐ
Yrd. Doç. Dr. S. Seren (AKAVCI) GÜVEN
Bu çalışmada, yapıların dinamik davranışlarının deneysel olarak
incelebilmesi için bir sarsma tablası veri toplama sistemiyle birlikte kurulmuş ve
kurulan tablanın performans testleri gerçekleştirilmiştir. Elde edilen deneysel
sonuçlar, yapı analiz programları kullanılarak elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmış
ve tablanın istenen yer hareketlerini iyi bir hassasiyetle uyguladığı görülmüştür.
Çalışma kapsamında model yapı üretim teknikleri incelenerek, bu tekniklere ve
benzerlik/ölçekleme yasaları olarak bilinen yasalara uygun bir yapı modeli
oluşturulmuştur. Oluşturulan bu yapı tabla üzerinde test edilmiş, elde edilen deneysel
sonuçlarla, aynı yapının sayısal çözümleme sonuçları karşılaştırılarak dinamik
davranışı etkileyen unsurlar araştırılmıştır. Elde edilen sonuçlara göre yapısal analiz
programlarında, sınır şartlarının doğru modellenmesinin ve sönüm modellerinin
önem kazandığı gösterilmiştir. Çalışmanın deneysel kısmında, sinyal işleme,
filtreleme gibi teknikler kullanılarak elde edilen sinyallerin gürültüden nasıl
arındırılabileceği araştırılmıştır. Çalışma sonucunda, Çukurova Üniversitesi Đnşaat
Mühendisliği Bölümü Yapı Laboratuarına önemli bir alt yapı cihazı kazandırılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Sarsma tablası, Yapı dinamiği, Deprem mühendisliği,
Benzerlik/Ölçekleme yasası, Sinyal/Veri işleme
I

ABSTRACT
Ph. D THESIS
EXPERIMENTAL AND THEORITICAL INVESTIGATION OF
DYNAMIC BEHAVIOUR OF STRUCTURES
Tarık BARAN
DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF BASIC AND APPLIED SCIENCES
UNIVERSITY OF CUKUROVA
Supervisor: Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU
Year: 2008 Pages: 160
Jury: Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU
Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR
Prof. Dr. Hasan KAPLAN
Doç. Dr. Hüseyin R. YERLĐ
Yrd. Doç. Dr. S. Seren (AKAVCI) GÜVEN
In this study, a shaking table was constructed with a data acquisition system
to investigate experimental behaviour of structures and its performance tests were
realized. The results which were achieved from experimentally and using structural
analysis software were compared and it was seen that shake table was apply base
excitation with adequate sensitivity. In the study scope, the model/replica structure
construction techniques were investigated, a structural replica was built using these
techniques and laws which known as similarity/scale laws. The constructed model
was tested on the shake table, achieved results compared with results of numerical
analysis of the same replica structure and the conditions which effects on dynamic
behaviour was investigated. According to achieved results, it was seen that the
importance of the adequate boundary conditions and damping models in structural
analysis software. In the experimental part of the study, it was investigated that how
to clean the achieved noisy signal by signal processing, filtering etc. As a result of
the study, an important experimental facility was constructed in Structural
Laboratory of Civil Engineering Department of Cukurova University.
Keywords: Shaking table, Structural dynamics, Earthquake engineering,
Similarity/Scaling laws, Signal/Data processing
II

TEŞEKKÜR
Doktora çalışması süresince, çalışmalarıma yön veren, değerli katkılarını ve
zamanını benden esirgemen Sayın Hocam, Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU’ ya
teşekkür ederim.
Değerli katkılarıyla her zaman beni destekleyen Sayın Hocam Prof. Dr.
Cengiz DÜNDAR’ a ve bölüm hocalarıma teşekkür ederim.
Desteklerinden dolayı Araştırma Görevlisi arkadaşlarımdan, başta Serkan
TOKGÖZ, Hasan GÜZEL, Selahattin KOCAMAN ve M. Salih KESKĐN olmak
üzere, tüm araştırma görevlisi arkadaşlarıma teşekkür ederim.
Laboratuar çalışmalarıma destekte bulunan laboratuar teknisyeni Ömer
KÜTÜK ve Çukurova Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Atölyesi
teknisyenlerine teşekkür ederim.
Çalışmanın başarıya ulaşması konusunda elinden gelen bütün gayreti
gösterdiği için Elektronik Mühendisi Hasan Eray AKYILDIZ’ a ve başta Coşkun
BOYSAN olmak üzere tüm BOYSAN Mühendislik çalışanlarına teşekkür ederim.
Tez ve laboratuar çalışmalarımı maddi olarak destekleyen Çukurova
Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi’ ne teşekkür ederim.
En sıkıntılı zamanlarda bana destek olan ve sıkıntılarımı paylaşan eşim Selin
Eser’e ve hayatıma farklı bir bakış açısı getiren oğlum Deniz’e teşekkür ederim.
Hayatımın her aşamasında, desteklerini esirgemeyen anneme, babama ve
kardeşlerime teşekkür ederim.
III

ĐÇĐNDEKĐLER SAYFA NO
ÖZ ................................................................................................................................. I
ABSTRACT.................................................................................................................II
TEŞEKKÜR............................................................................................................... III
ĐÇĐNDEKĐLER .......................................................................................................... IV
ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ .............................................................................................VII
ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ..................................................................................................VIII
SĐMGELER ve KISALTMALAR .......................................................................... XIV
1. GĐRĐŞ ....................................................................................................................... 1
2. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR........................................................................................ 5
2.1. Sarsma Tablası Üretimi ve Kontrolü Çalışmaları ............................................. 5
2.2. Model Üretimi ve Deneyleri Đle Đlgili Çalışmalar............................................. 6
3. MATERYAL ve METOD...................................................................................... 13
4. SARSMA TABLASI ............................................................................................. 14
4.1. Giriş................................................................................................................. 14
4.2. Çukurova Üniversitesi Đnşaat Mühendisliği Bölümü Sarsma Tablası
(CUSHAKE) .................................................................................................. 17
4.3. Veri Toplama Sistemi (VTS) .......................................................................... 23
4.3.1. Veri Toplama Donanımı (Data Logger)................................................ 23
4.3.2. Doğrusal Deplasman Ölçme Cihazı (Linear Variable Differential
Transformer, LVDT) ............................................................................ 24
4.3.3. Đvme Ölçme Cihazı (Accelerometer) .................................................... 26
4.4. Sarsma Tablası Veri Toplama Sistemi............................................................ 27
4.5. Sinyal/Veri Đşleme........................................................................................... 29
4.5.1. Filtreleme .............................................................................................. 29
5. YAPISAL MODELLEME..................................................................................... 34
5.1. Giriş................................................................................................................. 34
5.2. Yapısal Modellerin Sınıflandırılması.............................................................. 35
5.3. Geometrik Ölçeğin Seçimi.............................................................................. 36
5.4. Modelleme Teorisi .......................................................................................... 36
IV

5.4.1. Boyut Analizi ........................................................................................ 37
5.4.1.1. Boyutsal Bağımlılık ve Bağımsızlık ....................................... 40
5.4.2. Benzerlik ve Yapısal Modelleme.......................................................... 44
5.4.3. Sarsma Tablası Deney Modelleri ve Ölçek Çarpanları......................... 48
5.5. Boyut Etkisi.................................................................................................... 53
6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER................................................................................... 54
6.1. Giriş................................................................................................................. 54
6.2. Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY).................................................................... 54
6.2.1. Sonlu Elamanlarla Ayrıklaştırma.......................................................... 55
6.2.2. Yapısal Çözümleme için Sonlu Eleman Teorisi ................................... 56
6.2.2.1. Minimum Potansiyel Eneji Đlkesiyle SEY Formülasyonu ....... 60
6.2.2.2. Rijitlik Matrisi.......................................................................... 62
6.2.2.3. Kütle ve Sönüm Matrisleri....................................................... 64
6.2.3. Referans Eleman Yaklaşımı.................................................................. 65
6.2.4. Diferansiyel Operatörlerin Dönüşümleri............................................... 68
6.2.5. Đntegral Dönüşümleri ............................................................................ 70
6.3. SAP2000 Programında Kullanılan Elemanlar ................................................ 72
6.3.1. Üç Boyutlu Çubuk Elemanı .................................................................. 72
6.3.2. Üç Boyutlu Kabuk Elemanı .................................................................. 76
6.3.2.1. Plak Eğilme Elemanı................................................................ 76
6.3.2.2. Membran Elemanı.................................................................... 78
6.4. SAP2000 Đle Yapı Sistemlerinin Dinamik Analizi ......................................... 79
6.4.1. Lineer Denklem Takımlarının Çözümü ................................................ 80
6.4.2. Sönümsüz Harmonik Analiz ................................................................. 81
6.4.3. Sönümsüz Serbest Titreşim Analizi...................................................... 82
6.4.4. Mod Birleştirme Yöntemi ..................................................................... 82
6.4.5. Yüklemeye Bağlı Ritz Vektörleri.......................................................... 85
6.4.6. Davranış Spektrumu Yöntemi............................................................... 86
6.4.7. Sayısal Đntegrasyon Yöntemleri ............................................................ 88
6.4.7.1. Newmark Sayısal Đntegrasyon Yöntemi .................................. 88
6.4.7.2. Ortalama Đvme Yöntemi........................................................... 90
V

6.4.7.3. Wilson θ Faktörü Yöntemi ...................................................... 91
6.4.7.4. Hilber, Hughes ve Taylor α Yöntemi ..................................... 92
6.4.8. Sönüm Modelleri................................................................................... 92
6.4.8.1. Lineer Viskoz Sönüm............................................................... 92
6.4.8.2. Rayleigh Sönümü..................................................................... 94
6.4.8.3. Klasik Sönüm Kullanmadan Analiz......................................... 95
7. DENEYSEL ÇALIŞMA ........................................................................................ 96
7.1. Giriş................................................................................................................. 96
7.2. Sarsma Tablasının Kalibrasyonu .................................................................... 96
7.3. LVDT’lerin Kalibrasyonu............................................................................... 99
7.4. Đvmeölçerin Kalibrasyonu............................................................................. 100
7.5. Deney Düzeneği ve Yapı Modelleri.............................................................. 102
7.5.1. Tek Serbestlik Dereceli Yapı Modeli.................................................. 103
7.5.2. Đki Katlı Çelik Yapı Modeli ................................................................ 103
8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI......................................... 113
8.1. Giriş............................................................................................................... 113
8.2. Uygulamalar.................................................................................................. 113
8.2.1. Uygulama 1 ......................................................................................... 113
8.2.2. Uygulama 2 ......................................................................................... 114
8.2.3. Uygulama 3 ......................................................................................... 117
8.2.4. Uygulama 4 ......................................................................................... 123
8.2.5. Uygulama 5 ......................................................................................... 127
8.2.5.1. Model Yapı için Efektif Elastisite Modülünün Belirlenmesi. 127
8.2.5.2. Model Yapının Serbest Titreşim Frekanslarının Belirlenmesi129
8.2.5.3. Model Yapının Deprem Davranışının Belirlenmesi .............. 135
8.2.6. Uygulama 6 ......................................................................................... 149
9. SONUÇLAR ve ÖNERĐLER............................................................................... 153
KAYNAKLAR ........................................................................................................ 155
ÖZGEÇMĐŞ ............................................................................................................. 160
VI

ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ SAYFA NO
Çizelge 4.1. En Çok Bilinen Sarsma Tablaları (Sollogoub, 2006) ............................ 14
Çizelge 4.2. Çeşitli Sarma Tablalarının Sınıflandırması (Harris ve Sabnis, 1999).... 18
Çizelge 4.3. CUSHAKE Fiziksel Özellikleri............................................................. 19
Çizelge 5.1. Geometrik ölçek seçimi (Harris ve Sabnis,1999) .................................. 37
Çizelge 5.2. Tipik fiziksel nicelik listesi (Harris ve Sabnis, 1999)............................ 39
Çizelge 5.3. δ = δ(x,y,z; E, ν,F) denkleminin boyutsal matrisi (Moncarz, 1981) ..... 40
Çizelge 5.4. F=(l,Q,M,σ,ε,a,δ,ν,E) denkleminin boyutsal matrisi
(Harris ve Sabnis, 1999)......................................................................... 45
Çizelge 5.5. Elastik Sarsıntılar için Benzerlik Şartları (Harris ve Sabnis, 1999)....... 49
Çizelge 5.6. Deprem yüklemesi ölçek çarpanları (Harris ve Sabnis, 1999) .............. 51
Çizelge 5.7. Deprem yüklemesi benzerlik yasaları (Sollogoub, 2006)...................... 52
Çizelge 7.1. Đvme benzerliğine göre prototip ve model yapı ilişkisi (λ=1/5) .......... 107
Çizelge 8.1. Sarsma tablası frekansları ve kümülatif kütle katılım oranları ............ 114
Çizelge 8.2. Çeşitli yöntemlerle elde edilen model yapı serbest titreşim
frekansları............................................................................................ 134
Çizelge 8.3. Farklı viskoz sönüm oranları için ortalama frekans değerleri ............. 143
Çizelge 8.4. Prototip ve model yapı frekansları....................................................... 149
Çizelge 8.5. Gergili durum ve gergisiz durum için frekanslar................................. 151
VII

ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ SAYFA NO
Şekil 1.1. Yarı dinamik (PSD) yöntem genel bileşenleri (Solloguob, 2006)............. 3
Şekil 4.1. Sarsma tablası üst görünümü ve açılımı .................................................. 20
Şekil 4.2. Sarsma tablasının kesit görünümleri ve parça listesi ............................... 21
Şekil 4.3. Sarsma tablasının laboratuardaki yerleşimi ............................................. 22
Şekil 4.4. Sarsma tablası sisteminin akış diyagramı ................................................ 22
Şekil 4.5. Veri toplama sistemi şematik gösterimi (Harris ve Sabnis, 1999)........... 24
Şekil 4.6. Schaevitz markalı bir LVDT’nin kesit fotoğrafı
(Harris ve Sabnis, 1999)........................................................................... 25
Şekil 4.7. LVDT şematik gösterimi (www.efunda.com) ......................................... 25
Şekil 4.8. Piezoelektrik bir ivme ölçerin iç yapısı (www.mmf.de).......................... 26
Şekil 4.9. National Instuments veri toplama cihazı.................................................. 27
Şekil 4.10. Veri toplama sistemi yazılımı ekran görüntüsü ....................................... 28
Şekil 4.11. Modele bağlı LVDT................................................................................. 28
Şekil 4.12. Tablaya bağlı ivmeölçer........................................................................... 29
Şekil 4.13. Periyodik bir fonksiyonun sinüs formlu fonksiyonlarla ifadesiaaaaaaaaaa
(www.originlab.de) ................................................................................. 30
Şekil 4.14. Periyodik bir fonksiyonun spektrum grafiği (www.originlab.de) ........... 31
Şekil 4.15. Alçak Geçiren Filtre (Low Pass Filter).................................................... 31
Şekil 4.16. Yüksek Geçiren Filtre (High Pass Filter) ................................................ 32
Şekil 4.17. Band Geçiren Filtre (Band Pass Filter).................................................... 32
Şekil 4.18. Band Blok Filtre (Band Block Filter) ...................................................... 33
Şekil 6.1. Ayrıklaştırılmış sistem ve elemanın gösterimi ........................................ 55
Şekil 6.2. Katı bir cisim üzerine etkiyen yükler....................................................... 56
Şekil 6.3. Şekil değiştirme bileşenleri...................................................................... 57
Şekil 6.4. Gerilme bileşenleri................................................................................... 59
Şekil 6.5. Eleman tipleri ve etkiyen dış yükler ........................................................ 63
Şekil 6.6. Referans ve gerçek eleman dönüşümleri ................................................. 65
Şekil 6.7. Yerela eksen takımında çubuk eleman uç kuvvetleri ve deplasmanları
(Wilson, 2002)......................................................................................... 72
VIII

Şekil 6.8. Global eksen takımında çubuk eleman uç kuvvetleri (Wilson, 2002)..... 74
Şekil 6.9. Kabuk elemanın elde edilişi (Wilson, 2002)............................................ 77
Şekil 6.10. Plak eğilme elemanı (Wilson, 2002)........................................................ 78
Şekil 6.11. Membran elemanı (Wilson, 2002) ........................................................... 78
Şekil 7.1. Sarsma tablasına uygulanan hız verisi grafiği ......................................... 97
Şekil 7.2. Sarsma tablasından ölçülen filtre edilmemiş deplasman değerleri ve hız
verisinden hesaplanan deplasmanlar ....................................................... 97
Şekil 7.3. Düzeltilmiş deplasman okumasının hesaplanan deplasman değerleri ile
karşılaştırılması ........................................................................................ 98
Şekil 7.4. Uygulanan sinüzoidal hız verisi............................................................... 98
Şekil 7.5. Sinüzoidal hız verisinin uygulanması sonucu sarsma tablasından ölçülen
ve hız verisinden hesaplanan deplasmanlar ............................................. 99
Şekil 7.6. Mikrometre ............................................................................................ 100
Şekil 7.7. LVDT kalibrasyon eğrisi ....................................................................... 100
Şekil 7.8. Đvmeölçer kalibrasyonu için kullanılan kosinüs formlu hız verisi......... 101
Şekil 7.9. Kosinüs formlu hız kaydı için sarsma tablasından ölçülen deplasmandan
türev yoluyla elde edilen ivmeler ve ivmeölçerden okunan ivmeler ..... 102
Şekil 7.10. Sarsma tablasından ölçülen deplasmandan türev yoluyla elde edilen
ivmeler ve ivmeölçer okunan ivmeler.................................................... 103
Şekil 7.11. Tipik deney düzeneği ve sistem bileşenleri ........................................... 104
Şekil 7.12. Tek serbestlik dereceli yapı modeli (a) fiziksel özellikler (b) model
yapının tabla üzerindeki yerleşimi ......................................................... 104
Şekil 7.13. Đki katlı prototip yapı ............................................................................. 105
Şekil 7.14. Prototip yapı kolon ve kiriş kesitleri...................................................... 106
Şekil 7.15. Model yapı kolon ve kiriş kesitleri ........................................................ 107
Şekil 7.16. Model yapı kesitlerini oluşturmak için üretilen C kesit......................... 108
Şekil 7.17. Model yapı I kesitleri............................................................................. 108
Şekil 7.18. Model yapı kesit ve döşeme birleşimleri ............................................... 109
Şekil 7.19. Model yapıya eklenen kütleler ve deplasman ölçüm noktası ................ 109
Şekil 7.20. Kolon mesnet noktası detayı ve model-tabla bağlantısı ........................ 110
Şekil 7.21. Model yapı boyutları.............................................................................. 111
IX

Şekil 7.22. Üretilen model yapının sarsma tablasındaki yerleşimi .......................... 112
Şekil 7.23. Model yapı üzerinde gergi elemanları ................................................... 112
Şekil 8.1. Sarsma tablası sayısal modeli ................................................................ 114
Şekil 8.2. Sarsma tablası deplasman sınırları......................................................... 115
Şekil 8.3. Sarsma tablası hız sınırları..................................................................... 116
Şekil 8.4. Sarsma tablası ivme sınırları.................................................................. 116
Şekil 8.5. Sarsma tablası performans grafiği ......................................................... 117
Şekil 8.6. Tek serbestlik dereceli yapının tepe noktası yatay deplasman grafiği... 118
Şekil 8.7. Tek serbestlik dereceli yapıya ait tepe noktası yatay deplasman verisinin
Fourier spektrum analizi ........................................................................ 118
Şekil 8.8. 1 Hz frekanslı ivme kaydı kullanılarak elde edilen model yapı ve tabla
deplasmanları ......................................................................................... 119
Şekil 8.9. 1 Hz frekanslı ivme kaydı için ölçülen ve hesaplanan tabla
deplasmanları ......................................................................................... 120
Şekil 8.10. Deneyden elde edilen ve farklı sönüm oranları için hesap yoluyla bulunan
model yapı tepe noktası maksimum yatay deplasmanları
(s : sönüm oranı).................................................................................... 121
Şekil 8.11. 1 Hz frekanslı ivme kaydı için model yapıdan ölçülen ve sayısal olarak
hesaplanan tepe noktası deplasmanları .................................................. 121
Şekil 8.12. 1.5314 Hz frekanslı ivme kaydı için model yapıdan ölçülen ve sayısal
olarak hesaplanan tepe noktası deplasmanları (1.5314 Hz model yapı
serbest titreşim frekansıdır).................................................................... 122
Şekil 8.13. 1.7 Hz frekanslı ivme kaydı için model yapıdan ölçülen ve sayısal olarak
hesaplanan tepe noktası deplasmanları ................................................. 122
Şekil 8.14. 2 Hz frekanslı ivme kaydı için model yapıdan ölçülen ve sayısal olarak
hesaplanan tepe noktası deplasmanları .................................................. 123
Şekil 8.15. λ = 1/10 oranıyla ölçeklenmiş El Centro depremi ivme kaydı .............. 124
Şekil 8.16. El Centro depremi ivme kaydı kullanılarak yapılan deney sonucu yapıdan
ve tabladan ölçülen deplasman............................................................... 124
Şekil 8.17. El Centro depremine ait kaydın uygulanması sonucu tabladan ölçülen
ivme kaydına ait Fourier spektrum grafiği............................................. 125
X

Şekil 8.18. Đvme benzerliği kullanılarak türetilen ivme kaydına ait Fourier spektrum
grafiği ..................................................................................................... 125
Şekil 8.19. El Centro depremine ait ivme kaydının uygulanması sonucu tabladan
ölçülen deplasmanlar ile ivme kaydından hesaplanan deplasmanların
karşılaştırılması ...................................................................................... 126
Şekil 8.20. Model yapının tepe noktasında ölçülen ve SAP 2000 ile hesaplanan
rölatif yatay deplasmanlar...................................................................... 127
Şekil 8.21. Statik deney yükleme düzeneği ............................................................. 128
Şekil 8.22. Statik deneyde kullanılan yüklerin görünümü ....................................... 128
Şekil 8.23. Statik yükleme altında kat hizalarında ölçülen deplasmanın grafik
görünümü .............................................................................................. 129
Şekil 8.24. Statik yükleme altında 1. katın ölçülen ve hesaplanan yatay deplasman
değerleri.................................................................................................. 130
Şekil 8.25. Statik yükleme altında 2. katın ölçülen ve hesaplanan yatay deplasman
değerleri.................................................................................................. 130
Şekil 8.26. 1~4 Hz aralığı için model yapıya ait maksimum deplasmanların frekans
ile değişimi............................................................................................. 131
Şekil 8.27. 7.95~13 Hz aralığı için model yapıya ait maksimum deplasmanların
frekans ile değişimi ................................................................................ 132
Şekil 8.28. Model yapı mod şekilleri ....................................................................... 132
Şekil 8.29. 5 Hz frekanslı ivme kaydının uygulanması sonucu model yapıdan ölçülen
yatay deplasmanlar ve tabla yatay deplasmanı ...................................... 133
Şekil 8.30. 5 Hz frekanslı ivme kaydının uygulanması sonrası model yapıda oluşan
serbest titreşim hareketi.......................................................................... 133
Şekil 8.31. 5 Hz frekanslı ivme kaydının uygulanması sonucu model yapıdan ölçülen
1.kat deplasmanının serbest titreşim kısmının Fourier spektrum
grafiği ..................................................................................................... 134
Şekil 8.32. El Centro (1940) depremi kayıtlarının uygulanması sonucu elde edilen
yatay kat deplasmanları ve tabla deplasmanları..................................... 135
Şekil 8.33. El Centro Depremi (1940) ivme kaydı için deneysel olarak belirlenen
rölatif kat deplasmanları......................................................................... 136
XI

Şekil 8.34. El Centro deprem kaydı için 1. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.03) ........................................................ 137
Şekil 8.35. El Centro deprem kaydı için 2. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.03) ........................................................ 138
Şekil 8.36. El Centro deprem kaydı için 1. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.025) ...................................................... 139
Şekil 8.37. El Centro deprem kaydı için 2. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.025) ...................................................... 140
Şekil 8.38. El Centro deprem kaydı için 1. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.015) ...................................................... 141
Şekil 8.39. El Centro deprem kaydı için 2. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.015) ...................................................... 142
Şekil 8.40. Farklı sönüm oranları için deneysel deplasman genliklerinin hesaplanan
teorik deplasman genliklerine oranı ...................................................... 143
Şekil 8.41. Model yapıda sönüm elemanlarının yerleşimi....................................... 144
Şekil 8.42. Ölçülen ve sönüm elemanı kullanılarak SAP2000 yazılımında hesaplanan
1. Kat yatay deplasmanlarının zamanla değişimi.................................. 145
Şekil 8.43. Ölçülen ve sönüm elemanı kullanılarak SAP2000 yazılımında hesaplanan
2. Kat yatay deplasmanlarının zamanla değişimi.................................. 146
Şekil 8.44. Ölçülen ve Newmark Direkt Đntegrasyon Yöntemi kullanılarak SAP2000
yazılımında hesaplanan 1. Kat yatay deplasmanlarının zamanla
değişimi ................................................................................................. 147
Şekil 8.45. Ölçülen ve Newmark Sayısal Đntegrasyon Yöntemi kullanılarak SAP2000
yazılımında hesaplanan 2. Kat yatay deplasmanlarının zamanla
değişimi ................................................................................................. 148
Şekil 8.46. Gergi uygulandıktan sonra model yapının serbest titreşim kat
deplasmanlarının zamanla değişimi ...................................................... 150
Şekil 8.47. Gergili model yapının serbest titreşimden elde edilen 2. Kat
deplasmanlarının Fourier spektrum grafiği........................................... 150
Şekil 8.48. Gergili ve gergisiz durumda El Centro Depremi altında kaydedilen 1. Kat
yatay deplasmanlarının zamanla değişimi............................................. 151
XII

Şekil 8.49. Gergili ve gergisiz durumda El Centro Depremi altında kaydedilen 2. Kat
yatay deplasmanlarının zamanla değişimi............................................. 152
XIII

SĐMGELER ve KISALTMALAR
Bölüm 1
a(t) : ivme vektörü
ag
: yer ivmesi
C : sönüm matrisi
d : deplasman vektörü
M : kütle matrisi
PSD : yarı dinamik (Pseudo-dynamic)
r : rijitlik matrisi
t : zaman
v(t) : hız vektörü
Bölüm 4
∆t : zaman adımı
ai
ai-1
: i inci adımdaki ivme değeri
: (i-1) inci adımdaki ivme değeri
B : genişlik
FFT : Fast Fourier Transform (sayısal Fourier dönüşümü)
g : yer çekimi ivmesi (g = 9.81 m/s 2 )
L : uzunluk
LVDT : linear variable differantial transformer (deplasman ölçme cihazı)
vi
: i inci adımdaki hız değeri
vi-1 : (i-1) inci adımdaki hız değeri
VTS : veri toplama sistemi (data acquisition system)
XIV

Bölüm 5
X = D(
F,
L,
T ) : boyutsal olarak yazılan denklemin kapalı formu
∂ : diferansiyel operatör
a : ivme
E : elastisite modülü
EN : enerji
f : frekans
F(q1,..., qn) : fiziksel bir davranışı idare eden q parametrelerine bağlı fonksiyon
G(π1,,..., π m) : F(q1,..., qn) fonksiyonun π parametrelerine bağlı olarak
J : Jacobian matrisi
l : boyutlar
L : uzunluk
M : kütle
m
P
Q : kuvvet
q : yük
q1,..., qn
Sa
SE
si
Sl
SM
SQ
Sδ
Sε
Sν
Sσ
T : zaman
indirgenmesiyle elde edilen fonksiyon
: model yapı tanımlamaları için alt simge
: prototip yapı tanımlamaları için alt simge
: bağımlı ve bağımsız değişkenler
: ivme için ölçek faktörü
: elastisite modülü için ölçek faktörü
: i’inci niceliğin ölçek faktörü
: boyutlar için ölçek faktörü
: kütle için ölçek faktörü
: kuvvet için ölçek faktörü
: deplasman için ölçek faktörü
: şekil değiştirme için ölçek faktörü
: Poisson oranı için ölçek faktörü
: gerilme için ölçek faktörü
XV

π m
: model yapı pi terimleri
π1,..., πm : Buckingham pi teoremi parametreleri
πp
: prototip yapı pi terimleri
δ : deplasman
ε : birim şekil değiştirme
φ1
γ : ağırlık
: iki fonksiyon arasındaki matematiksel ilişki
λ : ivme ve hız benzerliği için ölçek faktörü
ν : Poisson oranı
ρ : yoğunluk
σ : gerilme
Bölüm 6
N : geometrik şekil fonksiyonları vektörü
-1 [ ] : bir matrisin tersi (inverse)
r r r
i , j,
k : birim vektörler
(e)
∏ : eleman minumum potansiyel enerjisi
{ ∂ x}
: gerçek uzay eksenlerine göre türevleri içeren vektör
: matris transpoz gösterimi
∏ : minimum potansiyel enerji
{ ∂ ξ } : referans uzay eksenlerine göre türevleri içeren vektör
∂ : diferansiyel operatör
A : alan
B : şekil değiştirme matrisi
C e : eleman sönüm matrisi
D : izotrop malzeme matrisi
D : tüm sistem bölgesi (domain)
D e : eleman bölgesi
XVI

det( ) : bir matrisin determinantı
di, : i’inci bölgedeki deplasman vektörü
dV : hacimsel integral (dxdydz)
E : elastisite modülü
e : eleman gösterimi için üst simge
f1, …f2 : elemana etkiyen yükler
f e : eleman yük vektörü
fi
: i’inci dış yük vektörü
G : kayma modülü
J : Jacobian matrisi
K e : eleman rijitlik matrisi
M e : eleman kütle matrisi
N : şekil fonksiyonları matrisi
nf
: uygulanan dış yük sayısı
nx, ny, nz : x, y ve z yönlerindeki doğrultman kosinüsleri
r : referans eleman üst indisi
S : tüm sitem sınırı
S e : eleman sınırı
SEM : sonlu elemanlar metodu
Sn
: n inci eleman yüzeyi
t : yüzey gerilmeleri vektörü
T : matris transpozu
t : yüzey gerilmeleri
t : zaman
tx, ty, ty : x, y ve z yönlerindeki yüzey gerilmeleri
U : iç kuvvetlerin yarattığı şekil değiştirme enerjisi
u : deplasman vektörü
u e
: eleman kesin düğüm deplasman vektörü
u e : eleman yaklaşık düğüm deplasman vektörü
V : dış yüklerin yaptığı iş
V : cisim
XVII

Vc e : viskoz sönüm kuvvetlerinin yaptığı iş
Vδ e : virtüel deplasmanların yaptığı iş
x, y, z : yerel eksenler (eleman eksenleri)
X, Y, Z : global eksenler
x e (ξ) : referans uzay koordinat bileşenleri cinsinden eleman koordinatları
ε : şekil değiştirme
εεεε : şekil değiştirme vektörü
φ(x,y) : düğüm değerleri cinsinden problemin çözümünü içeren yaklaşık fonksiyon
φ1, ... φn : x, y, z koordinatlarına bağlı düğüm değerlerini içeren yaklaşık
γ : açısal şekil değiştirme
ν : Poisson oranı
ρ : yoğunluk
σ : gerilme
σσσσ : gerilme vektörü
τ : kayma gerilmesi
τ e : dönüşüm fonksiyonu
ξ, η, ζ : referans uzay koordinat eksenleri
ξ : sönüm oranı
ζ : sönüm
Bölüm 7
a : ivme
ai
f : frekans
: i’inci ivme değeri
l : uzunluk
LVDT : linear variable differantial transformer (deplasman ölçme cihazı)
m : kütle
m
P
: model yapı tanımlamaları için alt simge
: prototip yapı tanımlamaları için alt simge
XVIII

Q : kuvvet
t : zaman
v : hız
vi : i’inci voltaj değeri
W : ağırlık,
δ : deplasman
λ : ölçek faktörü
σ : gerilme
XIX

1. GĐRĐŞ Tarık BARAN
1. GĐRĐŞ
Türkiye sismik açıdan oldukça aktif bir bölgededir. Geçmiş yıllarda yaşanan
deprem felaketleri, Türkiye’de olduğu gibi dünyanın birçok yerinde binaların ve
inşaat mühendisliği yapılarının göçmesi sonucu birçok can kaybına sebep olmuştur.
Yapı dinamiği çalışmalarının en önemli amaçlarından biri yapıların dinamik
davranışını araştırarak her an yaşanabilecek depreme dayanıklı yapı tasarlamaktır.
Yapı dinamiğinin bu alanı, özel olarak “Deprem Mühendisliği” olarak
adlandırılmaktadır.
Depreme dayanıklı yapı tasarımı ilkeleri yönetmeliklerde belirtilmekte ve bu
yönetmelikler devamlı güncellenmektedir. Yapılan araştırmalar yönetmeliklere
sürekli yansımaktadır. Bu araştırmalar teorik ve deneysel olarak yürütülmektedirler.
Yapıların dinamik davranışlarını belirlemeye yarayan birçok teorik yöntem
mevcuttur. Ancak sınır şartlarının belirsizliği, malzeme davranışının tam olarak
modellenememesi ve zamana bağlı hareketin karmaşıklığı gibi birçok etken
yüzünden diğer birçok disiplinde olduğu gibi yapı dinamiğinde de deneysel çalışma
bir zorunluluk olarak ortaya çıkmaktadır.
Deprem mühendisliğinde deneysel çalışmanın amacı, birçok durumda
aşağıdaki üç maddeden birisidir (Moncarz, 1981).
a) Eleman ve yapı malzemelerinin yük-deformasyon karakteristiklerinin analitik
modellerinin geliştirilmesi veya sınanması.
b) Rüzgâr ve deprem gibi karmaşık dinamik yüklemeler için gerçekçi yükleme
kriterlerinin elde edilmesi.
c) Yapısal sistemlerin veya özel yapıların benzeştirilen (simüle edilen) yükler
altındaki davranışının araştırılması. Burada amaç yapının analitik modelinin
sınanması, çevresel yükleme faktörleri altında yapının bütünlük ve güvenliğinin
belirlenmesidir.
Yukarıda sayılan amaçlar için kullanılan deneysel yöntemler ve gerçek
zamanlı veri alma yolları ise şöyle sıralanabilir (Sollogoub, 2006).
1. Gerçek deprem deneyimi geri dönüşümü: Bu yöntem deprem
mühendisliğinin başlangıcından beri kullanılmaktadır. Yöntem hala depreme
1

1. GĐRĐŞ Tarık BARAN
dayanıklı yapı tasarımı ve yönetmeliklerin esaslarının oluşturulması için
kullanılmakta ve deprem esnasında neler olduğu ile ilgili oldukça değerli bilgiler
kazandırmaktadır.
2. Saha testleri: Hidrolik, eksantrik vb tahrik mekanizmaları kullanılarak
prototip veya gerçek bir yapının yüklenmesi ile sahada gerçek şartlar altında testin
yapılması en önemli avantajıdır. Dezavantajı ise daha sonra kullanılma ihtimali
yüzünden yapıya büyük miktarlarda enerji verilememesidir. Yöntem yapının doğal
titreşim frekansları, mod şekilleri ve sönüm üzerine bilgi sağlamaktadır.
3. Statik testler: Yapının kritik bölümleri veya genel davranışı hakkında
bilgi sağlayan artımsal itme analizi (pushover analysis) yöntemidir.
4. Santrifüj testleri: Daha çok geoteknik (zemin mekaniği)
mühendisliğinde kullanılan bir yöntemdir. Sistemin esası zemin içindeki gerilme
durumlarının yapay olarak zemin numunesi veya küçük ölçekli yapıda merkezkaç
kuvveti yoluyla oluşturulmasıdır.
5. Yarı dinamik (pseudo-dynamic)(PSD) testler: Büyük veya tam ölçekli
modellerin dinamik yük altındaki davranışını belirlemek için kullanılır. Karma bir
testtir, deney ve sayısal çözüm birlikte ilerler. Đlk adımda yapı dengededir, bir
sonraki aşamada bilinmeyen deplasman sayısal olarak hesaplanır, hesaplanan
deplasman hidrolik yükleyiciler yardımıyla model yapıya uygulanır, oluşan kuvvetler
ölçülür, bilinmeyen hız ve ivme değerleri sayısal olarak hesaplanır, bir sonraki adıma
geçilir. Yöntem analitik ve deney sonuçlarını birleştirdiği için zamanla artan
sistematik hatalar tamamen hatalı bir sonuca yol açabilmektedir. Test yönteminin
akış şeması Şekil 1.1’de verilmektedir.
6. Sarsma tablası testleri: Deprem davranışını en çok benzeştiren
(örnekleyen) yaklaşımdır. Model yapı rijit bir plaka üstüne yerleştirilmekte ve plaka
hidrolik veya elektrikli bir motor yardımıyla sarsılmakta ve model yapıdan ölçülmek
istenen büyüklük kaydedilmektedir. Eğer sınır şartları doğru bir şekilde belirlendiyse
deprem esnasındaki davranışına en yakın davranış elde edilmektedir. Önemli
dezavantajı ise ölçekli modeller üzerinde çalışılması gerekliliğidir. Ancak benzerlik
yasaları yardımıyla bu dezavantaj önemsiz bir hale dönüştürülebilmektedir. Çeşitli
ülkelerde tam ölçekli yapıları test etmeye olanak sağlayan tablalar da mevcuttur.
2

1. GĐRĐŞ Tarık BARAN
Sarsma tablaları, tahrik elemanına göre elektrik motorlu ve hidrolik tahrikli olmak
üzere iki tipte olmaktadır.
Eşlenik Sistem
ag
Yer hareketi
Ma(t)+Cv(t)+r(d)=-Mag(t)
Hareket denklemleri
PSD kontrol (zaman adımı ∆t)
Mevcut giriş r değerlerinden
sonraki d değerleri hesaplanır
Depls. kontr. (her serb. Derc. için) Sinyal üretici
di değerini yükle
ri değerini ölç
t
3
∆di
Ölçme
çerçevesi
Sensörler Hidrolik
yükleyiciler
PID
kontrolör
Şekil 1.1. Yarı dinamik (PSD) yöntem genel bileşenleri (Solloguob, 2006)
Đki sistemin de avantaj ve dezavantajları vardır. Elektrik motorlu olanların
avantajları arasında kontrol kolaylığı, düşük işletme ve kurulum maliyeti
sayılmaktadır. Dezavantajları ise görece sınırlarının ve faydalı yük kapasitesinin
düşük olmasıdır. Hidrolik sistemler ise daha büyük yapısal modeller için
kullanılabilmekte ve faydalı yük taşıma kapasiteleri daha büyük olabilmektedir.
Đşletme, kurulum ve temizliklerinin zorluğu ise dezavantajları arasında
sayılabilmektedir.
Bu çalışma kapsamında deneysel çalışmanın önemi göz önünde tutularak, bu
projeyle ortak bir çalışma olan Çukurova Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri
Birimi 2004K120360-7 nolu proje kapsamında, Đnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı
Laboratuarı’nda elektrik motorlu, orta ölçekli ve tek eksenli bir sarsma tablası inşa
edilmiştir. Ayrıca dinamik ölçüm kapasitesi olan bir veri toplama sistemi (VTS) bu

1. GĐRĐŞ Tarık BARAN
tablaya eklenerek yapılardan dinamik verinin toplanması için gerekli altyapı
sağlanmıştır.
Tablanın inşasından sonra, performans testleri gerçekleştirilmiş ve model
yapılar oluşturularak, geçmiş deprem kayıtları altında deneyler yapılmış, sayısal bina
analizi yazılımlarının sonuçlarıyla, deney sonuçları karşılaştırılmıştır. Sonuçların
uyumlu olduğu ve uyumu konusunda ne gibi parametrelerin etkili olduğu, sayısal
çözümlemede ne gibi iyileştirmelerin yapılabileceği belirlenmiştir. Model yapı
çalışmaları için gerekli olan ölçekleme/benzerlik gibi konular da araştırılarak
çalışmada sunulmuştur.
Çalışma, laboratuar araştırmalarında kullanılabilecek bir alt yapıyı devreye
sokmuş ve yapı dinamiği gibi önemli bir konuda deney imkânı sağlamıştır. Oldukça
değerli veriler sağlayan deneysel laboratuar şartlarının iyileşmesine katkı sağlamış ve
sayısal doğrulama için deneysel veriler elde edilmiştir.
4

2. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Tarık BARAN
2. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR
Deprem mühendisliğinde deneysel ve teorik çalışmaların geçmişi uzun yıllara
dayanmaktadır. Çalışmanın gidişatına uygun olarak bu konuyla ilgili çalışmalar
sarsma tablası üretimi ve kontrolü, deney çalışmaları için model üretimi ve model
deneyleri olarak iki bölümde incelenmektedir.
Đlk olarak sarsma tablası üretimi ve performansları ile ilgili literatürde
bulunan çalışmalar, daha sonra ise model üretimi ve deneyleri ile ilgili çalışmalar
sunulmaktadır.
2.1. Sarsma Tablası Üretimi ve Kontrolü Çalışmaları
Deprem mühendisliği testlerinde kullanılacak sarsma tablalarının imalatı,
geliştirilmesi ve kontrol edilmesiyle ilgili birçok çalışma mevcuttur. Deprem
kayıtlarının yapı laboratuar testlerinde kullanılması 19. yüzyıla kadar dayanmaktadır
(Aristazabal-Ochoa ve Clark, 1980: Delgado, 2005). Ancak asıl gelişme 1960’lı
yılların sonuna doğru elektronik, bilgisayar ve servo kontrol konusunda yaşanan
ilerlemeler sonucu yaşanmıştır. Bu dönem ve sonraki on yılda özellikle A.B.D.’de
birçok küçük ve orta ölçekli sarsma tablası imal edilmiştir (Delgado, 2005).
Sarsma tablası kullanılarak deprem testleri yapılmasıyla ilgili önemli bir
araştırma olan ve Stanford Üniversitesinde yürütülen bir çalışmanın ilk ayağı
Delgado (2005) tarafından bildirildiğine göre, Mills (1979) tarafından yürütülmüştür.
Çalışmada, deprem mühendisliğinde kullanılan küçük model sınırlamaları
araştırılmıştır. Mills (1979) küçültülmüş modeller için tabla performansı ve veri
toplama sistemi gereksinimleri üzerinde çalışmıştır. Çalışmanın ikinci ayağı ise
Moncarz (1981) tarafından yürütülmüştür. Moncarz (1981), dinamik modellemeyi,
küçültülmüş modellerde malzeme davranışını ve yaklaşıklıkları incelemiştir. Ulaşılan
sonuçlar ise yapıların dinamik davranışının küçük ölçekli modellerde kesin olarak
belirlenebildiği, bunun yanında model yapının dinamik davranışının malzeme
benzeştirmesinin ve deprem simülatörünün dinamik giriş sinyalinin tekrar
üretilebilirliğinin önemli olduğu olarak belirtilmiştir.
5

2. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Tarık BARAN
Latendresse (1999), Kanada Vencouver’ daki British Columbia
Üniversitesi’nde bulunan sarsma tablasının geliştirilmesi üzerine bir çalışma yapmış
ve daha sonra çeşitli ölçeklerdeki modelleri bu tabla üzerinde test etmiştir.
Muhlenkamp (1997), Rice Üniversitesi’ nde yaptığı çalışmada bir sarsma
tablası alt yapısının analizini, tasarımını ve kontrolünü gerçekleştirmiştir.
Trombetti (1996) hidrolik bir sarsma tablası imalatı ve kontrolü için gerekli
parametreleri belirlemek amacıyla bir çalışma yapmıştır. Çalışma bir sarsma tablası
sistemi için analitik bir ön çalışma niteliğindedir. Daha sonra Trombetti (1998)
sarsma tablasının yapısal uygulamaları için kalibrasyon ve optimizasyon
uygulamalarını sunmuştur. Çalışmada hidrolik bir sistemin istenilen performansı
vermesi için gerekli transfer fonksiyonları geliştirilmiş ve sunulmuştur.
Kuehn ve arkadaşları (1999), mevcut bir sarsma tablasının bilgisayar kontrol
yöntemini iyileştirmeye yönelik bir çalışma yapmışlardır.
Trombetti ve Conte (2002) çalışmalarında farklı faydalı yük ve işletme
şartları altında sarsma tablası dinamiğinin nasıl etkilendiğini araştırmışlar ve tablanın
dinamik davranışını analitik ve deneysel olarak karşılaştırmışlardır.
Twitchell ve Symans (2003), çalışmalarında “offline” bir düzeltme
yöntemiyle deprem kaydının tabla tarafından uygulanma başarısının
arttırılabileceğini göstermişlerdir.
Chase ve arkadaşları (2005), Canterbury Üniversitesi’ nde bulunan bir sarsma
tablası için sistem tanımlama ve kontrol parametrelerini geliştirmişlerdir.
Delgado (2005), Porto Rico Üniversitesi Mayagüez Kampusü’nde bir sarsma
tablasının kurulumu ve geliştirilmesi üzerine çalışmıştır.
2.2. Model Üretimi ve Deneyleri Đle Đlgili Çalışmalar
Bu bölümde, çeşitli ölçekte yapılması planlanan model yapıların üretim
teknikleri ve gerçekleştirilen deprem mühendisliği deneyleri ile ilgili çalışmalar
özetlenmiştir.
Deneysel modelleme teknikleriyle ilgili Moncarz (1981) oldukça detaylı bir
çalışma yapmıştır. Yapılan çalışmada Deprem Mühendisliği’nde deneysel amaçlı
6

2. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Tarık BARAN
kullanılacak model ve teknikler yanında malzeme modellemesi üzerine de yapılan
araştırmalar sunulmuştur.
Mo ve Hwang (1998), küçük ölçekli öngerilmeli çerçeveler üzerinde
yaptıkları sarsma tablası deneyleri ile çerçevelerin yatay yük- deplasman ilişkilerini
belirlemişlerdir. Bu tarz çerçeveler için sünekliğin beton dayanımıyla arttığını, etkili
öngergi kuvvetleri ile azaldığını belirlemişler ve süneklik faktörü olarak bir katsayı
önermişlerdir. Çalışmada, sundukları analitik statik modelin, dinamik yüke maruz
çerçevelerin yatay yük-deplasman ilişkilerini belirlemek için kullanılabileceğini
belirtmişlerdir.
Koh ve arkadaşları (1998), küçültülmüş üç boyutlu bir sıvı tankı modeli
kullanarak, deprem hareketi sonucu oluşan yapı-sıvı etkileşimi problemini
araştırmışlardır. Çalışmada, deneysel veriler, sarsma tablası kullanılarak elde edilmiş
ve yazarların geliştirdikleri sonlu eleman-sınır eleman karma modelinin analitik
sonuçlarını doğrulamak amacıyla kullanılmıştır.
Timler ve arkadaşları (1998), 1:4 ölçekli bir model kullanarak yapılarda çelik
perde kullanımıyla ilgili bir çalışma yapmışlardır. Deneylerden elde ettikleri
sonuçları analitik sonuçlarla karşılaştırmışlardır.
Filiatrault ve Tremblay (1998), çelik bir yapı modeli üzerinde yalnız çekmeye
çalışan diyagonal elemanların yapının dinamik davranışına etkisiyle ilgili sarsma
tablası deneyleri gerçekleştirmişlerdir. Çalışmada bu elemanların tasarımıyla ilgili bir
yöntem sunmuşlardır. Geliştirilen yöntem sonuçlarını, deney sonuçlarıyla
karşılaştırmışlar ve iyi bir uyum yakalandığını belirtmişlerdir.
Villaverde ve Mosqueda (1999), ölçekli bir model kullanarak sismik bir çatı
izolasyon sistemi üzerine çalışmışlardır. Çalışmada farklı ölçekteki yer hareketi
girdileri için sarsma tablası deneyleri yapmışlar ve deney sonuçlarını analitik yöntem
sonuçlarını doğrulamak amacıyla kullanmışlardır.
Harris ve Sabnis (1999), kitaplarında yapısal modelleme, deneysel teknikler
ve laboratuar ölçüm cihazları konusunda oldukça detaylı bilgiler vermişlerdir.
Kitapta yalnızca deprem mühendisliği değil, inşaat mühendisliği yapı deneylerinde
kullanılabilecek her türlü yöntem, modelleme teorileri ve benzer konular
incelenmiştir.
7

2. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Tarık BARAN
Lu ve Wu (2000), sismik enerji emen perdeli yapıları inceledikleri çalışmada,
10 katlı bir yapı modelini sarsma tablası üzerinde test etmişlerdir. Kendileri
tarafından geliştirilen perde modelinin sonlu eleman çözümüne ait sonuçlarını
doğrulamak için sarsma tablası deneylerinin sonuçlarını kullanmışlardır. Çalışma
sonucunda, yeni geliştirilen perde modelinin, enerji yutma kapasitesinin klasik perde
modellerine göre daha yüksek olduğu ve uygulama kolaylığı vurgulanmıştır.
Wu (2000), yapısal kontrol konulu çalışmasında, üç katlı tam ölçekli bir
yapıyı, ulaştığı sayısal sonuçları doğrulamak amacıyla sarsma tablası üzerinde test
etmiştir.
Lu ve Chung (2001), çalıştıkları modal kontrol konusunda geliştirdikleri
yöntemin doğruluğunu sınamak için tam ölçekli bir yapının sarsma tablası
deneylerinin sonuçlarını kullanmışlardır.
Adam (2001), 1:20 ölçekli kesme tipi bir yapı üzerinde, çerçevelerin elastik-
plastik sınırlar içindeki dinamik davranışını incelemiştir. Yapılan çalışma, elastik-
plastik sayısal modellerin, elastik sayısal modellere nazaran sarsma tablası
deneyleriyle daha uyumlu olduğunu göstermiştir.
Morin ve arkadaşları (2002), son gergi uygulanan ağırlık tipi barajlar üzerine
yürüttükleri çalışmada, sarsma tablası üzerinde test ettikleri 3.4 metre yüksekliğinde
bir baraj modeli kullanmışlardır. Dinamik yükleme altında kablo kopma ve göçme
tiplerini belirlemişlerdir.
Filiatrault ve arkadaşları (2002), iki katlı tek odalı, yönetmeliklere göre
tasarlanmış ve inşa edilmiş bir yapıyı sarsma tablası üzerinde test etmişlerdir.
Araştırmada Güney Kaliforniya deprem kuşağındaki bu tarz yapıların dinamik
karakteristiği araştırılmıştır. Yönetmeliklerin, yapının dinamik dayanımını sağlamak
için yeterli olup olamadığı araştırılmıştır. Çalışmanın ikinci amacı duvar-çerçeve
bağlantı elemanlarının sismik performansının araştırılmasıdır. Bu tarz elemanların
kullanımıyla yapı sismik performansının ve duvar hasarlarının ne şekilde etkilendiği
araştırılmıştır.
Wu ve Samali (2002), sismik temel yalıtımlı çelik bir yapı sistemini değişik
deprem kayıtları için sarsma tablası üzerinde test etmişler ve sayısal sonuçları deney
sonuçlarıyla kıyaslamışlardır. Çalışmada sismik temel yalıtımlarının deprem
8

2. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Tarık BARAN
karakteristiğine göre tasarlanması gerektiği ve bu tarz yalıtıcıların bazı deprem
kayıtları için etkisiz kaldığı sonucuna ulaşmışlardır.
Filiatrault ve arkadaşları (2003), ahşap binalar için kullanılabilecek bir sönüm
modeli geliştirdikleri çalışmada, sayısal sonuçları sarsma tablası testlerinin sonuçları
ile doğrulamışlardır.
Yoshida ve arkadaşları (2003), simetrik olmayan yapıların dinamik yükleme
altında ortaya çıkan burulma davranışının “magnetorheological (MR)”
sönümleyicilerle kontrolü üzerine bir çalışma yapmışlardır. Đki katlı bir model yapıyı
sarsma tablası üzerinde El Centro depremi kayıtlarını kullanarak test etmişlerdir.
Çalışmada, MR sönümleyici kontrol sistemlerinde kullanılan yarı aktif
kontrolcülerin, pasif sistemli kontrolcülere üstünlükleri gösterilmiştir.
Wu (2003), Tayvan Ulusal Deprem Mühendisliği Araştırma Merkezinde,
yapıların deprem davranışını ivme geri dönüşü yoluyla azaltmayı ve kontrol etmeyi
amaçlayan “Modified Sliding Mode Control (MSMC)” yöntemini test etmek için tam
ölçekli çelik yapıyı ve merkeze ait sarsma tablasını kullanmıştır. Elde ettiği deney
sonuçlarını sayısal sonuçlar ile karşılaştırarak, sayısal sonuçların doğruluğunu
göstermiştir.
Popovski ve arkadaşları (2003), yaptıkları 15 adet sarsma tablası deneyinde,
tek katlı bir yapı modelinde farklı bağlantılara sahip ahşap diyagonal elemanı
kullanmışlardır. Araştırmada, ahşap binalarda geniş açıklıkları geçmek amacıyla
kullanılan ahşap diyagonal elemanlarının farklı bağlantı tiplerinin dinamik
performansı incelenmiştir. Çalışma sonuçlarının geliştirecekleri analitik yöntem için
kullanılacağını belirtmişlerdir.
Ma ve arkadaşları (2003), yüksek frekanslı yer hareketlerinin sebep olduğu
hasarların modellenmesi çalışmasında, 1:5 ölçekli betonarme bir yapı modelinin
sarsma tablasında gerçekleştirilen deney sonuçlarını kullanmışlardır.
Ghalibafian ve arkadaşları (2004), elektrik iletiminde kullanılan
kondüktörleri, IEEE standartlarına uygun olarak test etmek amacıyla sarsma tablası
deneyleri gerçekleştirmişlerdir. Araştırmada, kondüktörler üzerindeki dinamik etki
araştırılırken elektrik aktarımını sağlayan elemanların dinamik davranışının da
hesaplara dahil edilmesi gerekliliği ortaya konmuştur.
9

2. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Tarık BARAN
Filiatrault ve arkadaşları (2004a), sarsma tablasında kullanılan ivme
kayıtlarının daha hassas saptanmasına yönelik bir çalışma yapmışlardır. Kanada’ya
ait iki bölgeden seçtikleri kayıtları kullanarak üç ve altı katlı yapı modellerini test
etmişler ve kat hizalarında ivme kayıtları türetmişlerdir. Türetilen kat ivmeleri
yapısal olmayan elemanların sarsma tablası testlerinde ivme kaydı olarak
kullanılmaktadır.
Filiatrault ve arkadaşları (2004b), daha önce kat hizalarında elde ettikleri kat
ivmelerini, sarsma tablasında taban ivmesi olarak kullanarak, yapısal olmayan bölme
duvar ve kitaplıkların dinamik davranışını incelemek amacıyla çok sayıda sarsma
tablası deneyi gerçekleştirmişlerdir. Bu tarz elemanların deprem esnasındaki
devrilme ve göçme yüzünden sebep oldukları yaralanma ve ölüm olayları açısından
tehlikeli olduğunu belirtmişlerdir. Çalışma sonucunda bu tarz elemanların, en az
hasar için nasıl sabitlenmesi gerektiğine dair sonuçlar sunulmuştur.
Chen ve Chen (2004), 1:4 ölçekli, üç katlı bir model yapı kullanarak sarsma
tablası deneyleri yapmışlardır. Deney sonuçları, piezoelektirik sürtünmeli
sönümleyicilerin ve yarı- aktif yapı kontrolü çalışmasının sayısal çözüm sonuçlarını
doğrulamak amacıyla kullanılmıştır. Çalışma sonucunda, bu tarz sönümleyicilerin
yatay yapı deplasmanını sınırlayıcı etkileri olduğu sonucuna ulaşmışlardır.
Liao ve arkadaşları (2004), Danimarka Teknik Üniversitesi’nde geliştirilen,
sürtünmeli sönüm cihazlarının kullanıldığı üç katlı bir yapı modelini sarsma tablası
üzerinde test etmişlerdir. Bu sönüm elemanlarının yatay kat ötelemelerini etkili bir
biçimde azalttığı sonucuna ulaşmışlardır. Deney sonuçları, kapasite spektrumu
yönteminin incelenmesi için de kullanılmıştır.
Elwood (2004), betonarme kolonların göçme yüzeylerinin belirlenmesine
yönelik geliştirdiği tek eksenli malzeme modeline ait analitik sonuçları sarsma
tablası deneyleri yaparak doğrulamıştır.
Folz ve Filiatrault (2004a), iki katlı ahşap bir yapının deprem analizi için
oluşturdukları formülasyonu sunmuşlardır. Formülasyon, ahşap yapılar için hızlı ve
basit bir sismik analiz sunmaktadır. Çalışmanın devamı niteliğindeki ikinci
çalışmada Folz ve Filiatrault (2004b), formülasyonun sağlamasını yapmak amacıyla,
10

2. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Tarık BARAN
formülasyon sonucu çıkan tasarım ilkelerine göre üretilen tam ölçekli ahşap bir
yapının sarsma tablası deneylerini kullanmışlardır.
Yu ve arkadaşları (2005), yapıların deprem etkisi altındaki davranışını
belirlemek amacıyla gerçek bir yapıya zorlanmış titreşim testi uygulamışlardır.
Çalışmadaki yenilik zorlanmış titreşimin doğrusal sarsıcı yardımıyla uygulanmasıdır.
Zorlanmış titreşim testlerinde kullanılan eksantrik sarsıcıya alternatif bir yöntemi
ortaya koymuşlardır.
El Damatty ve arkadaşları (2005a), bir kule üzerindeki su tankının küçük
ölçekli modelini sarsma tablası üzerinde test etmişler, deney sonuçlarını çalışmada
ulaştıkları analitik sonuçlar ile karşılaştırmışlardır. Aynı sonuçların kullanıldığı diğer
bir çalışmada El Damatty ve arkadaşları (2005b), test ettikleri yapının deneysel mod
şekillerini ve frekanslarını vermişler ve tank tasarımında kullanılabilecek çeşitli
parametreleri elde etmişlerdir.
Choi ve arkadaşları (2005), yakın fay bölgelerindeki nükleer güç
istasyonlarının sismik davranışını belirlemek amacıyla 4 katlı çelik bir yapı modeli
kullanarak sarsma tablası deneyleri gerçekleştirmişlerdir. Chi- Chi depremine ait
kayıtlar ve türetilmiş deprem kayıtları deneylerde kullanılmıştır. Çalışma sonucunda,
nükleer güç istasyonu yapılarının ağırlıklı frekansları deprem frekanslarından uzak
olduğu için yapılar zarar görmese de daha çok yapıların içinde yüksek katlarda
konumlandırılan ve yapısal olmayan elemanların deprem hareketinden daha çok
etkilendiğini belirtmişlerdir.
Trombetti ve Conte (2005), tek katlı burulmaya elverişli yapılar üzerine
gerçekleştirdikleri çalışmada küçük bir yapı modeli ile gerçekleştirdikleri 88 adet
sarsma tablası deneyinin sonuçlarını, geliştirdikleri sayısal yöntemin sonuçlarını
doğrulamak amacıyla kullanmışlardır.
Hutchinson ve Chaudhuri (2006), yapısal olmayan ve kimya laboratuarları
gibi mekânlarda bulunan, deprem sırasında devrilme, göçme yüzünden can ve mal
kayıplarına sebep olan tezgâh-raf sistemlerinin dinamik davranışını sarsma tablası
deneyleriyle belirlemişlerdir. Elde ettikleri deney sonuçlarını sayısal sonuçların
sağlaması amacıyla kullanmışlardır.
11

2. ÖNCEKĐ ÇALIŞMALAR Tarık BARAN
Lu ve arkadaşları (2006), 101 katlı Şangay Dünya Ticaret Merkezi Kulesi’nin
1:50 ölçekteki modelini sarsma tablası üzerinde test ederek Çin yönetmeliklerine
göre dizayn edilen yapının dinamik karakteristiğini ve göçme mekanizmalarını
belirlemişlerdir. Çalışma sonucunda, kulenin 7 büyüklüğünde bir depreme bile iyi bir
dayanım göstereceği belirlenmiştir. Kulenin, nadir görülen 8 büyüklüğündeki bir
depremde tamamen göçmese bile ne tarz hasarlar alacağını belirlemişlerdir.
Rodriguez ve arkadaşları (2006), küçük bir yapı modeli oluşturarak, yapıların
doğrusal ve doğrusal olmayan dinamik davranışını belirlemek amacıyla bir analitik
yöntem geliştirmişlerdir. Analitik yöntemi doğrulamak ve kalibre etmek amacıyla
yapı modelinin sarsma tablası deney sonuçlarını kullanmışlardır. Çalışmada,
kirişlerin sismik davranışı gibi konulara değinmişler ve sönümün dinamik hareket
süresince sabit kalmayıp değiştiğini belirlemişlerdir. Analitik modelde, modlar için
sarsma tablası deneylerinden elde ettikleri viskoz sönüm oranlarını kullanmışlardır.
Wang ve Li (2006a), 292 metre yüksekliğinde, mevcut bir betonarme kemer
barajın 1:300 ölçekli bir modelinin sarsma tablası deneylerini gerçekleştirmişlerdir.
Üretilen modelde, malzeme de benzerlik/ölçek yasaları uyarınca benzeştirilerek
üretilmiştir. Barajın, dinamik davranışı belirlenmiş, olası bir deprem durumundaki
hasarlar tespit edilmiştir.
Wang ve Li (2006b), gerçekleştirdikleri diğer bir çalışmada yüksekliği 278
metre olan kemer tipi betonarme bir barajın güçlü yer hareketleri altındaki dinamik
karakterini sarsma tablası deneyleri ile belirlemişlerdir. Baraj yapısının, hasar
modelini incelemişler ve tasarımda dikkat edilmesi gereken unsurları ortaya
koymuşlardır. Dinamik hareket sırasındaki çekme gerilmesi değerlerinin, yapı
doğrusal davranıştan uzaklaştığı için büyüdüğünü deneysel olarak tespit etmişlerdir.
Spiliopoulos ve Lykidis (2006), betonarme binaların analizinde
kullanılabilecek üç boyutlu “solid” elemanları kullandıkları çatlamayı da göz önüne
alan sonlu eleman analizine ait sonuçları, daha önce gerçekleştirdikleri sarsma tablası
deneyi sonuçlarıyla karşılaştırmışlardır.
12

3. MATERYAL ve METOD Tarık BARAN
3. MATERYAL ve METOD
Deprem mühendisliği, yapıların deprem yüklemeleri altındaki dinamik
davranışını inceleyen bilim dalıdır. Yapıların sismik karakteristiğinin belirlenmesi
için gerekli araştırmaları gerçekleştirmektedir. Bu karakteristiğin belirlenmesi için
gerekli deneysel ve analitik çalışmaları araştırmakta ve geliştirmektedir.
Yapı sistemleri ve yapısal olmayan elemanların sismik karakterinin
belirlenmesi öncelikli amaç olsa da, yapılan testlerin amaçları maddeler halinde şöyle
özetlenebilmektedir (Sollogoub, 2006).
a) Kalite kontrol: Deprem sonrası kullanılması gereken önemli donanımların
(hastane donanımları, iletişim donanımları, jeneratörler vb.), kimyasal depolama
tankları vb donanımların deprem esnasındaki hasar veya hasarsızlık durumunu
belirlemek.
b) Analitik modellerin geçerliliğini sınamak: Bir yapı ya da donanımın
tamamı veya bir parçası için kurulan sayısal modeli, gerçek sınır şartları, sönüm vb
etkileri göz önüne alarak sınamak.
c) Yönetmelik ve standart kurallarını sınamak: Yönetmeliklerde belirtilen
şartları ve yöntemleri modellemek.
d) Benzeri olmayan yapı veya donanımın sınanması: Özel amaçlı yapılan
veya hâlihazırda yönetmeliği bulunmayan yapı ve donanımlarını test etmek,
beklenen şekilde davranıp davranmadığını belirlemek.
e) Araştırma ve geliştirme çalışmaları: Özellik gösteren bir yapının
doğrusal olmayan davranışını test etmek vb.
Yukarıda anlatılan amaçlar doğrultusunda, bir deprem hareketinin tekrar
benzeştirilmesi ve üzerindeki bir model yapıya uygulaması için en uygun yöntem
olan sarsma tablası donanımı ve yöntemler bölümler halinde incelenmiştir. Sarsma
tablaları hakkında genel bilgiler, bu çalışmada kurulan sarsma tablası, deneysel
modelleme teknikleri ve teorileri, yapıların sonlu eleman yöntemiyle analizinin
temelleri ve kullanılan sayısal model yöntemleri bölümler halinde sunulmaktadır.
13

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
4. SARSMA TABLASI
4.1. Giriş
Deprem hareketinin benzeştirilmesi konusunda en doğal yaklaşım olan
sarsma tablaları özellikle servo motor, elektronik ve bilgisayar alanındaki gelişmeler
sonucu 60 ve 70’li yıllar sırasında ilerleme göstermişlerdir. Bu dönemler ve izleyen
yıllar boyunca dünyanın çeşitli bölgelerinde birçok sarsma tablası faaliyete
geçirilmiştir. Dünyanın çeşitli bölgelerinde bulunan ve en çok bilinen sarsma
tablaları Çizelge 4.1’de sunulmaktadır.
Çizelge 4.1. En Çok Bilinen Sarsma Tablaları (Sollogoub, 2006)
Araştırma Merkezi Ülke Serbestlik
14
Derecesi
Faydalı yük
(kN)
Alan
CEA Fransa 6 1000 36
Hyroproject
Research Enst.
(m 2 )
Rusya 3 450 36
LNEC Portekiz 3 360 31
Univ. SS Cyril and
Methodi
Makedonya
Cumhuriyeti
3 360 25
KFA Juelich Almanya 3 230 25
ENEL
HYDRO/IMES
Đtalya 6 150 16
Univ. BRISTOL Đngiltere 6 140 9
ENEA Đtalya 6 90 16
NTUA Athenes Yunanistan 6 90 16
Ansaldo Đtalya 3 60 12
Nishimatsu
Contruct. Corp.
Nat. Inst. for Earth
Dis. Prev. (MIKI)
Japonya 6 - 30
Japonya 3 12000 300

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
Çizelge 4.1. (devam)
Nuclear Power Eng.
Corp. (Tadotsu)
Public Works Res.
Inst.
Japonya 2 10000 225
Japonya 6 2720 64
Aichi Inst. of Tech. Japonya 1 1360 66
Sanryo Heavy Ind.
Corp.
Japonya 3 910 36
Hazama Cop. Japonya 3 910 36
Kumagai Corp. Japonya 6 640 25
Kajima Corp. Japonya 6 460 25
Nat. Research Inst.
of Agric Eng.
Obayashi-Gumi
Corp.
Inst. of Machinery
and Metals
Nation Center for
research in EE
Japonya 3 450 24
Japonya 3 450 25
Kore 6 270 16
Tayvan 6 270 25
Fujita Corp. Japonya 1 250 16
NYK Corp. Japonya 6 200 7
Shimizu Corp. Japonya 3 200 16
Tobishima Corp. Japonya 3 200 16
Taisei Corp. Japonya 2 200 16
Hitachi Eng. Cop. Japonya 1 200 16
Building Research
Inst.
Japonya 3 180 12
Kyoto Univ. Japonya 6 140 15
Tonji Univ. Çin 2 140 16
NPIC Chengdu Çin 6 600 36
15

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
Çizelge 4.1. (devam)
Univ. of Buffalo ABD 5 500 13
Univ. of Berkeley ABD 6 450 37
US Army Civil
Research Lab
Univ. of Nevada
RENO
Univ. of California
San Diego
ABD 3 450 13
ABD 2 450 19
ABD 1 330 15
Wyle Laboratories ABD 2 270 37
Univ. of Illinois
URBANA
Univ. of Pavia
(Eucentre)
ABD 1 50 14
Đtalya 1 600 39
Sarsma tablalarının temel çalışma prensibi, rijit bir plakanın üzerindeki
modelin istenilen hız ve ivmeyle bir tahrik mekanizması tarafından hareket
ettirilmesidir. Uygulanan ivme kaydı ve hareket geçmiş bir deprem kaydı olabileceği
gibi türetilmiş herhangi bir hareket de olabilir. Burada önemli nokta tablaların sınırlı
sarsma kapasitelerinden dolayı ölçekli modellerin kullanılması gerekliliğidir.
Sarsma tablalarını oluşturan bölümler aşağıdaki gibidir (Sollogoub, 2006):
• Rijit Tabla: Çelik, alüminyum veya betonarmeden olabilmektedir. Verilen
yer hareketini deforme olmadan üstündeki model yapıya aktarmalıdır. Deprem
hareketi düşük frekanslı olduğu için rijit tablaların frekansları yüksek seviyelerde
olmalıdır. Genel olarak boşken 70~80 Hz seviyelerinde tasarlanmaktadır.
• Tahrik Mekanizması: Sarsma tablalarında iki tip tahrik mekanizması
kullanılabilmektedir:
i. elektrodinamik sarsıcı
ii. hidrolik tahrik mekanizması
Her iki tipin de üstünlükleri ve zayıf yanları vardır:
16

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
Elektrodinamik sarsıcı geniş bir frekans aralığında çalışabilmektedir. Ancak
çok düşük frekanslarda sorun yaratabilmektedir. Deplasman sınırları genelde düşük
olmaktadır.
Hidrolik tahrikçiler ise daha büyük deplasman sınırları ile kullanışlı
olmaktadır. Düşük frekanslarda çalışabilmektedir. Yapısal sistemlerde hasar düşük
frekanslarda ortaya çıktığı için sismik testler için uygun olmaktadır. Yüksek yağ
basıncıyla çalışmaktadır. Tabla tasarımına ve serbestlik derecesine göre 1~8 adet
hidrolik tahrikçi kullanılabilmektedir. Hassas servo-valfler ve deplasman ölçme
cihazları (LVDT) sistemin bileşenleri arasında sayılmaktadır. Kirlenme, tozlanma vb
koşullara karşı çok hassas olmakta, düzenli bakım ve karmaşık transfer fonksiyonları
gerektirmektedir.
• Mesnetler: Sarsma tablaları, genelde reaksiyon kütlesi olarak kütle betona
sabitlenmektedir.
• Kontrol Sistemleri: Sarsma tablalarının tahrik mekanizmasını kontrol altında
tutmak için kullanılan bilgisayar sistemleridir. Hidrolik tahrikli sistemlerde, bu
kontrol sisteminin parçalarını servo-valf, servo sürücü, LVDT gibi elemanlar
oluşturmaktadır. Elektrik motorlu sistemlerde ise servo sürücü, bilgisayar-servo
sürücü iletişimini sağlayan harici de olabilen bilgisayar kartları sistemin elemanları
arasına dâhil edilmektedir. Sistemin önemli bileşenlerinden biri de yazılımdır.
Yazılım, istenilen fonksiyonu sürücüye ileten en önemli bileşen olarak sistemin bir
parçası haline gelmektedir.
4.2. Çukurova Üniversitesi Đnşaat Mühendisliği Bölümü Sarsma Tablası
(CUSHAKE)
Sismik test sistemleri içerisinde, sarsma tablaları en doğal davranışı
sağladıkları için Çukurova Üniversitesi Đnşaat Mühendisliği Yapı Laboratuarı’nda,
elektrik motorlu, tek eksenli bir sarsma tablası sistemi tasarlanarak kurulmuştur.
Sistem, işletme maliyetinin düşüklüğü, basitliği ve temiz çalışması gibi
avantajları yüzünden tercih edilmiştir. Sistemde SEW Eurodrive markalı bir motor
ve sürücü kullanılmıştır. Sarsma tablası sisteminin sarsma kapasitesi, 50 kN olarak
17

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
tasarlanmıştır. Bu kapasitenin 15 kN’luk kısmı rijit plaka ve güçlendirmeleri
tarafından kullanılmaktadır. Geriye kalan 35 kN ise faydalı yük (model yapıyı
sarsmak için kullanılan kuvvet) kapasitesi olarak ortaya çıkmaktadır.
Kurulan sarsma tablası sistemi, Çizelge 4.2’de verilen sınıflandırmaya göre
küçük-orta ölçekli tablalar sınıfına dâhil edilebilmektedir.
Çizelge 4.2. Çeşitli Sarma Tablalarının Sınıflandırması (Harris ve Sabnis, 1999)
Bulunduğu
Yer
Küçük (9 m)
Japonya Ulusal
Araştırma merk.
Berkeley
(önerilmiş)
Boyut
(m×m)
1.6x1.6
1.3x1.3
3x2
1.2x1.8
6x6
3.7x3.7
3.7x3.7
1.5x1.9
3.6x3.6
3.6x3.6
3.5x3.5
15x15
30x30
Faydalı
yük
Maks. Đvme
(g =9.81 m/s)
18
Maks. Deplasman
(±mm)
(kN) Yatay Düşey Yatay Düşey
22.2
9
1.3
8.9
444.8
587
444.8
89
44.5
53.4
42.3
4448
17792
5
20
100
3.6
1.5
2
1
5
7
34
8
0.6
0.6
-
-
-
-
1
1
1
-
-
60
8
1
0.2
63.5
76.2
-
6.4
127
3
152.6
76.2
101.6
55.9
76.2
30.5
152.4
-
-
-
-
50.8
6
76.2
-
-
45.7
76.2
-
76.2
Maks.
Frekans
(Hz)
50
-
800
2000
15
60
60
100
100
200
500
16
-

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
Çukurova Üniversitesi sarsma tablası, CUSHAKE olarak isimlendirilmiştir.
Kurulan sarsma tablasının fiziksel özellikleri ve motor karakteristikleri Çizelge 4.3’te
sunulmaktadır.
Çizelge 4.3. CUSHAKE Fiziksel Özellikleri
Özellik Değer Birim
Tabla Boyutu (B×L) 150×200 cm
Deplasman Sınırları ± 5 cm
Hız Sınırları (Yazılımla
Sınırlandırılmış)
19
± 40 cm/s
Maksimum Đvme 1 g (g=9.81 m/s 2 )
Çalışma Frekans Aralığı 0~25 Hz
Maksimum Motor Kuvveti 50 kN
Motor Gücü 45 kW
Tabla Kütlesi 1500 kg
Faydalı Sarsma Kapasitesi 3500 kg
CUSHAKE, tek eksende uygulanması istenen gelişigüzel bir ivme kaydını
uygulayabilen sarsma tablasıdır. Tasarımı yapılan tablanın teknik çizimleri Şekil 4.1
ve Şekil 4.2’de verilmiştir. Üretilen tablanın malzemesi çeliktir. Tabla şekillerden de
görüleceği gibi taşıyıcı bir ızgara sistem üzerine oturan rijit bir plakadan
oluşmaktadır. Plaka bir ray sistemi ve düşük sürtünmeli mesnetler aracılığı ile ızgara
sisteme bağlı bir elektrik motoru tarafından ileri ve geri hareket ettirilmektedir. Plaka
gerektiğinde 25 derecelik adımlarla 75 dereceye kadar dönebilmekte ve alttan
güçlendirici elemanlarla desteklenmektedir. Tabla üzerine yapı modellerini
sabitleyebilmek amacıyla 30 cm aralıklı dişli delikler açılmıştır. Taşıyıcı ızgara
sistemi laboratuar zeminine ankaraj çubukları ve elastomer mesnetler kullanılarak
sabitlenmiştir. Şekil 4.3’te tablanın laboratuardaki yerleşimi ve sistem bileşenleri
görülmektedir.
Motor kontrolü, bilgisayar aracılığıyla idare edilen bir servo sürücü
tarafından sağlanmaktadır. Servo sürücü ve bilgisayar bağlantısını bir kontrol kartı

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
sağlamaktadır ve 5 veya 10 milisaniye aralıklı komutlar bu sürücü tarafından
işlenebilmektedir. Kontrol kartı bilgisayardan aldığı ivme veya hız verisini okuyarak,
servo sürücüye iletmekte ve deplasman okuma cihazından gelen deplasman verisini
kaydetmektedir. Sistemin akış şeması Şekil 4.4’te verilmektedir.
80 cm
80 cm
40 cm
80 cm
B B
80 cm
80 cm
Şekil 4.1. Sarsma tablası üst görünümü ve açılımı
A
40cm 70 cm
40 cm
A
150 cm
20
55 cm
80 cm
90 cm
200 80 cm
80 cm
55 cm
80 cm

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
29 cm
1
1/1
12
13
14
15
10
cm
40 cm 70 cm
150 cm
40 cm
2 3
B-B Kesiti
200 cm
8
11
8/1
10
9/1
9
A-A Kesiti
PARÇA LĐSTESĐ
Şekil 4.2. Sarsma tablasının kesit görünümleri ve parça listesi
21
7
Poz Parçanın Adı
No
1 Üst tabla (Rijit plaka)
1/1 Üst tabla (Dönebilen rijit plaka)
2 Üst tabla kenar kaburgası
3 Alt tabla (Taşıyıcı ızgara sist.) kenar kaburgası
4 Üst tabla taşıyıcı şase
5 Alt tabla taşıyıcı şase
6 Düşük sürtünmeli mesnet
7 Ray
8 Tahrik mili yatağı (Motor tarafı)
8/1 Tahrik mili bağlantı şasesi
9 Tahrik mili yatağı
9/1 Tahrik mili bağlantı şasesi
10 Tahrik mili (Sonsuz dişli mil)
11 Tahrik motoru
12 Tahrik motoru bağlantı başlığı
13 Kaplin
14 Üst tabla tahrik somunu
15 Üst tabla tahrik somunu bağlantı başlığı
6
5
4

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
Düşük
sürtünmeli
mesnet
Bilgisayar
Şekil 4.3. Sarsma tablasının laboratuardaki yerleşimi
Kontrol
Kartı
Motor
Servo
Sürücü
22
Tabla
AC
Motor
Şekil 4.4. Sarsma tablası sisteminin akış diyagramı
Deplasman trans.
Sarsma tablası, Win32 tabanlı bir yazılım aracılığıyla kontrol edilmektedir.
DEPSĐM adı verilen bu yazılım, bir editör programdan aldığı liste halindeki ivme
verisini kontrol kartına bilgisayar seri portu aracılığı ile iletmektedir. Servo sürücü
hız verisi işleyebildiği için program editörden aldığı ivme verisini Denklem 4.1’i
Ray
kullanarak hız verisine dönüştürmekte ve daha sonra karta aktarmaktadır.
Elektrik ve
kontrol
kabloları
Kontrol ve
güç ünitesi
Taşıyıcı çerçeve
Sonsuz dişli mil
Tabla tahrik başlığı
Tahrik mili başlığı
Rijit tabla
ai
+ ai−
1 v i = ∆t
+ vi−1
(4.1)
2

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
Denklemde, vi ve vi-1 sırasıyla i inci ve (i-1) inci adımdaki hız değerlerini, ∆t zaman
adımını, ai ve ai-1 i inci ve (i-1) inci adımdaki ivme değerlerini göstermektedir.
Daha sonraki aşamada kartta depolanan bu veri açısal hız cinsinden servo
sürücüye yüklenmekte, bilgisayardan gelen komutla servo sürücü motoru harekete
geçirmektedir. Deprem verisinin kartta depolanmasındaki amaç işletim sisteminden
kaynaklanabilecek gecikmelerin önüne geçmektedir. Deney sırasında kontrol kartı
potansiyometrik deplasman ölçerden aldığı ve depoladığı verileri talep edilmesi
halinde DEPSĐM aracılığı ile bilgisayara aktarmaktadır. DEPSĐM bu veriyi istenilen
editör yazılıma liste halinde yazmaktadır.
DEPSĐM yazılımında veriler 5 ve 10 milisaniye aralıkla işlenebildiği için,
uygulanmak istenen veri farklı zaman adımlarına sahipse basit bir interpolasyon
algoritması kullanılarak 5 veya 10 milisaniyelik zaman adımlarına göre
düzenlenmelidir.
4.3. Veri Toplama Sistemi (VTS)
Yapı dinamiği deneylerinde kullanılan ölçme sistemleri, deneylerin zamana
bağlı ve çok kısa süreli karakterleri yüzünden çok küçük zaman aralıklarında yüksek
çözünürlüklü veri alabilecek kapasitede olmaktadır. Bu veri toplama sistemleri ve
bileşenleri aşağıda açıklanmaktadır.
4.3.1. Veri Toplama Donanımı (Data Logger)
Dinamik deneylere uygun olarak, çok küçük zaman aralıklarıyla verileri
kaydedip bilgisayar ortamına aktarmaktadır. Örnekleme hızları yüksektir ve elde
edilen veriyi filtreleyebilecek bir donanıma sahip olmaktadır. Şekil 4.5’te bu tarz
sistemlere ait şematik bir resim bu cihazların kullanım düzenini göstermektedir.
Cihazlara bağlanan ve fiziksel büyüklüğü ölçüp elektriksel büyüklüğe çeviren
bileşenlere genel olarak transdüser (algılayıcı, sensor) adı verilmektedir. Veri
toplama cihazları (veri edinme cihazları) genellikle çok kanallı olmaktadır. Cihaz
kullanıcı tarafından belirlenen zaman aralığına bağlı olarak her bir kanalı taramakta
23

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
ve burada bağlı bulunan algılayıcının uçlarındaki elektriksel büyüklüğü
kaydetmektedir. Bu büyüklük bilgisayara aktarılmakta ve cihazda elektriksel
büyüklüğü fiziksel büyüklüğe çevirmek için seçenek mevcutsa bu fiziksel büyüklük
cinsinden kullanıcıya sunulmaktadır. Eğer bu seçenek cihazda yoksa, elektriksel
büyüklük kullanıcı tarafından fiziksel büyüklüğe dönüştürülmektedir.
Transdüserler
Şekil 4.5. Veri toplama sistemi şematik gösterimi (Harris ve Sabnis, 1999)
Dinamik deneylerde aranan büyüklükler genellikle, ivme, deplasman, hız ve
kuvvetler olarak tarif edilmektedir. Đkinci aşamada gerilme ve şekil değiştirme gibi
büyüklükler gelmektedir. Önemli iki büyüklük olan deplasman ve ivme bu çalışmada
kullanıldığı için bu büyüklükleri ölçen iki cihaz aşağıda tanıtılmıştır.
4.3.2. Doğrusal Deplasman Ölçme Cihazı (Linear Variable Differential
Transformer, LVDT)
Sinyal Düzenleme
Deplasman ölçmeye yarayan bir aygıttır. Uygulamaya ve bağlantı şekline
göre şekil değiştirme de ölçülebilmektedir.
Oldukça hassas olan bu cihaz iki ana bölümden oluşmaktadır (Şekil 4.6). Dış
bölümü olan transformatör içinde bobinler mevcuttur ve hareket etmemektedir,
içerde ise hareket edebilen bir çekirdek bulunmaktadır. Yapının deplasmanıyla
hareket eden çekirdek bobinin uçları arasında elektriksel bir potansiyel farkı
24
Veri Toplama ve
analiz donanımı
Bilgisayar Yazılım

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
oluşturmaktadır. Böylelikle deplasman değişimi modelden okunmakta ve kayıt
yapılmaktadır (Şekil 4.7).
Şekil 4.6. Schaevitz markalı bir LVDT’nin kesit fotoğrafı (Harris ve Sabnis, 1999)
Armatür
(Metal çekirdek)
Birincil bobin Birincil bobin
Đkincil bobin
Etkilenen bölge
Transformatör
Şekil 4.7. LVDT şematik gösterimi (www.efunda.com)
LVDT tipi cihazların açısal deplasmanları ölçen tipleri de bulunmaktadır. Bu
cihazlar RVDT (Rotational Variable Differential Transformer) olarak bilinmektedir.
25
Đkincil bobin

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
LVDT tipi cihazların çözünürlüğü yüksek olduğu için çok tercih
edilmektedir. Statik ve dinamik her türlü uygulamada kullanılabilmektedir.
4.3.3. Đvme Ölçme Cihazı (Accelerometer)
Kuvvet dengeleme yöntemi ile veya piezoelektrik olarak ivmeyi ölçen
cihazdır. Tek eksende ölçüm yapabileceği gibi üç eksenli olan tipi de bulunmaktadır.
Đvmeölçerdeki aktif eleman piezoelektrik eğilme elemanıdır. Şekil 4.8’de
görülen piezoelektrik eğilme elemanı, iki elektrot arasına sıkıştırılmıştır ve kapasitör
görevi görmektedir. Yüzeylerine dik gelen bir kuvvet piezoelektrik eğilme
elemanında bir şarja neden olmakta, bu etki de elektrotlarda voltaj üretmektedir.
Piezoelektrik eğilme elemanın bir tarafı sensör tabanına oturtulmaktadır. Karşı
tarafta bulunan sismik kütle bir sarsıntıya maruz kaldığında, piezoelektrik eğilme
elemanı üzerinde bir kuvvete sebep olmaktadır. Bu kuvvet Newton kanunlarına göre
kütleyle ivme çarpımına eşittir. Piezoelektrik etki uyarınca şarj çıkışı, uygulanan
kuvvetten bulunmaktadır. Sismik kütle sabit olduğu ve bilindiği için, sadece ivme
bilinmeyen olarak kalmaktadır. Dolayısıyla şarj çıkışı sismik kütlenin ivmesi olarak
ölçülmektedir.
Aşırı yükleme
koruması
Kasa (Alt
bölüm)
Yaylar
Kaldıraç Çift katmalı piezoelektrik eğilme elemanı
Şekil 4.8. Piezoelektrik bir ivme ölçerin iç yapısı (www.mmf.de)
26
Kasa (Üst
bölüm)
Havalı sönümleyici
piston ve sismik
kütle
Bağlantı ve izolasyon başlığı

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
Yukarda anlatılan elemanların yanında diğer büyüklük ölçme sistemleri de
(yük hücresi, şekil değiştirme ölçme donanımlar vb) laboratuar çalışmalarında
kullanılmaktadır. Günümüzde, elektronik alanındaki gelişmeler sayesinde optik
ölçüm sistemleri de laboratuar çalışmalarında kullanılmaktadır.
4.4. Sarsma Tablası Veri Toplama Sistemi
Deneylerde hassas veri toplayabilmek için, bir veri toplama sistemi sarsma
tablası alt yapısına dâhil edilmiştir.
Veri toplama cihazı olarak, yazılımıyla birlikte 4 kanallı ve kanal başına
saniyede 100000 örnekleme alabilen National Instruments 9215A modeli bir veri
edinme cihazı (data logger) sistemin en önemli bileşenidir. Gerektiğinde farklı
uygulamalar için de kullanılabilecek cihaz Şekil 4.9’da, yazılım ekranı ise Şekil
4.10’da görülmektedir.
Şekil 4.9. National Instruments veri toplama cihazı
27

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
Sistemin deplasman ölçmekte kullanılan bileşenleri ise Şekil 4.11’de görülen
Schaevitz DC-SE serisi 15 cm stroklu LVDT’lerden oluşmaktadır. Bu LVDT’lerden
Đnşaat Mühendisliği Laboratuarı’nda üç adet bulunmaktadır.
Sistemin ivme ölçmekte kullanılan elemanı ± 5.5 m/s 2 sınırları arasında ivme
okuyabilen MMF KB 12 VB tipi sismik bir ivme ölçerdir. Şekil 4.12’de görülen
ivme ölçme cihazından tabla ivmelerini ölçmek amacıyla faydalanılmıştır.
Uygulanan ve ölçülen ivmelerin karşılaştırılması esnasında bu cihaza ait deneysel
veriler, tablanın istenilen ivmeyi uygulayıp uygulamadığını göstermektedir.
Şekil 4.10. Veri toplama sistemi yazılımı ekran görüntüsü
Şekil 4.11. Modele bağlı LVDT
28

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
4.5. Sinyal/Veri Đşleme
Şekil 4.12. Tablaya bağlı ivmeölçer
Veri toplama cihazında fabrika çıkışı bir filtreleme prosedürü bulunmaktadır.
Ancak ölçülecek deplasman ve ivme çok küçük olduğunda veri edinme işleminden
sonra tekrar dijital bir filtreleme gerekebilmektedir. Filtreleme, gürültü olarak
adlandırılan ve ortam şartlarında bulunan elektromanyetik alan vb gibi etkilerden
dolayı elektronik cihazlardan elde edilen sinyallerindeki bozuklukları gidermek
amacıyla kullanılmaktadır.
4.5.1 Filtreleme
Filtreleme yapılabilmesi için zaman uzayında ölçülen sinyalin, frekans
uzayında incelenmesi gerekmektedir. Bu işlemde en çok tercih edilen dönüşüm
yöntemlerden biri Fourier Dönüşümleri’dir (Fourier Transform). Fourier
Dönüşümü’nde, ifadesi bilinmeyen herhangi periyodik bir fonksiyonun, ifadesi
bilinen sonsuz sayıdaki periyodik fonksiyonların toplamı olarak gösterilebileceği
29

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
kabulü yapılmaktadır. Periyodik bir fonksiyonun, harmonik sinüs veya kosinüs
fonksiyonları cinsinden ifadesi için Fourier tarafından tanımlanan dönüşüm
formülleri kullanılmaktadır. Şekil 4.13’te periyodik bir fonksiyonun dört ayrı sinüs
fonksiyonun toplamı cinsinden ifadesi görülmektedir.
Toplam:
F(x)=F1+ F2+ F3+ F4
F1(x)= a1 sin f1x
F2(x)= a2 sin f2x
F3(x)= a3 sin f3x
F4(x)= a4 sin f4x
Periyod
Şekil 4.13. Periyodik bir fonksiyonun sinüs formlu fonksiyonlarla ifadesi
(www.originlab.de)
Ölçüm sonucu Şekil 4.13’teki gibi bir periyodik fonksiyon elde edilmiş ise
ifadesi bilinmeyen fonksiyon değerleri Ayrık Fourier Dönüşüm (Discrete Fourier
Transform-DFT) algoritmaları yardımıyla zaman uzayından frekans uzayına
dönüştürülmektedir. Yapılan bu işleme Spektrum Analizi adı verilmektedir. DFT
algoritmalarının daha hızlı bir şekilde hesaplanmasını sağlayan formülasyonlara ise
Hızlı Fourier Dönüşüm (Fast Fourier Transform-FFT) adı verilmektedir.
Şekil 4.13’te görülen karmaşık periyodik fonksiyonun spektrum analizi
yapılırsa, periyodik fonksiyonun spektrum grafiği Şekil 4.14’teki gibi olmaktadır.
30
x
x
x
x
x

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
Genlik
a4
a3
a2
a1
f1 f2 f3 f4
Frekans (Hz)
Şekil 4.14. Periyodik bir fonksiyonun spektrum grafiği (www.originlab.de)
Şekil 4.14’teki gibi bir spektrum grafiğinden periyodik fonksiyonda hangi
frekans bileşenlerinin bulunduğu analiz edilebilmektedir. Spektrum grafiğinden
gürültü olduğu tespit edilen kısımlar filtrelenerek atılabilmektedir. Böylece periyodik
fonksiyon daha az sayıda harmonik fonksiyonla ifade edilmektedir. Bu amaçla
kullanılan çeşitli filtreler mevcuttur. Bu filtreler aşağıdaki gibi ifade edilmektedir:
• Alçak Geçiren (Low Pass) Filtre: Alçak geçiren filtrede kesme frekansı
(cut-off frequency- Fc) adı verilen bir frekans değerinden küçük frekansa sahip
harmonik fonksiyonlar, ifadesi bilinmeyen periyodik fonksiyonun yeniden ifadesi
için kullanılmaktadır. Frekans değeri Fc’den büyük olan hareketler gürültü olarak
ayıklanmaktadır. Şekil 4.15’te alçak geçiren filtre görülmektedir.
Genlik
0
Geçirme
Bandı
Fc
Söndürme
Bandı
Şekil 4.15. Alçak Geçiren Filtre (Low Pass Filter)
31
Frekans

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
• Yüksek Geçiren (High Pass) Filtre: Yüksek geçiren filtrede kesme frekansı
(cut-off frequency- Fc) adı verilen bir frekans değerinden büyük frekansa sahip
harmonik fonksiyonlar, ifadesi bilinmeyen periyodik fonksiyonun yeniden ifadesi
için kullanılmaktadır. Frekans değeri Fc’den küçük olan hareketler gürültü olarak
ayıklanmaktadır. Şekil 4.16’da yüksek geçiren filtre görülmektedir.
Genlik
0
Şekil 4.16. Yüksek Geçiren Filtre (High Pass Filter)
• Band Geçiren (Band Pass) Filtre: Band geçiren filtrede belirlenen iki
kesme frekansı (Fc1, Fc2) değerinin arasında kalan frekansa sahip harmonik
fonksiyonlar, ifadesi bilinmeyen periyodik fonksiyonun yeniden ifadesi için
kullanılmaktadır. Frekans değeri Fc1’den küçük ve Fc2’den büyük olan hareketler
gürültü olarak ayıklanmaktadır. Şekil 4.17’de band geçiren filtre görülmektedir.
1
Genlik
0
Söndürme
Bandı
Söndürme
Bandı
Fc1
Fc
Geçirme
Bandı
Geçirme
Bandı
Şekil 4.17. Band Geçiren Filtre (Band Pass Filter)
• Band Blok (Band Block) Filtre: Band blok filtrede belirlenen iki kesme
frekansı (Fc1, Fc2) değerinden büyük ve küçük frekansa sahip harmonik fonksiyonlar,
32
Fc2
Söndürme
Bandı
Frekans
Frekans

4. SARSMA TABLASI Tarık BARAN
ifadesi bilinmeyen periyodik fonksiyonun yeniden ifadesi için kullanılmaktadır.
Frekans değeri Fc1’den büyük ve Fc2’den küçük olan hareketler gürültü olarak
ayıklanmaktadır. Şekil 4.18’de band blok filtre görülmektedir.
1
Genlik
Geçirme
Bandı
Söndürme
Bandı
Şekil 4.18. Band Blok Filtre (Band Block Filter)
Bu çalışmada kullanılan filtreleme yöntemi, deplasman büyüklüklerinde
genelde etkin hareket frekansı düşük olduğu için alçak geçiren (low pass)
filtrelemedir. Đvme okumalarında ise hem yüksek hem de düşük frekans bileşenleri
bulunabildiği için band geçiren (band pass) filtreleme yöntemi kullanılmıştır. Bu
işlem gerekli olduğu takdirde deney sonrası yardımcı yazılımlar kullanılarak
yapılmaktadır. Filtrelenecek verinin kesme frekansı (cut-off frequency) Fourier
genlik spektrumu incelenerek belirlenmiştir.
0
Fc1
33
Fc2
Geçirme
Bandı
Frekans

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
5. YAPISAL MODELLEME
5.1 Giriş
Ölçeklenmiş modeller, deneysel çalışmaların başarılı olabilmesi için önem
taşımaktadır. Yapıların modelleri oluşturulurken yapılan deneyin amacına ve tipine
uygun olarak farklı tiplerde modeller üretmek mümkündür. Modellerin üretimi
benzerlik yasalarına dayanılarak yapılmaktadır. Söz konusu yasalara uygun olmayan
deney modellerinden elde edilen sonuçlar güvenilir olmamaktadır. Bu yasaların
kullanıldığı modellerde hem geometrik hem de malzeme açısından benzerlikler
kullanılabilmektedir. Özellikle betonarme gibi bir malzeme söz konusu ise,
betonarmeyi oluşturan malzemeler düşünüldüğünde geometrik ölçek bu
malzemelerin boyutunu etkilemektedir. Dolayısıyla malzemenin davranışı tam
ölçekli modellerde olduğundan farklı olmaktadır.
Yapısal modelleme çalışmalarında, izlenecek adımlar şöyle verilebilir (Harris
ve Sabnis, 1999):
1) Problemin kapsamı tanımlanır, modelde nelere ihtiyaç olduğu nelere
olmadığı belirlenir.
2) Geometri, malzeme, yükleme ve sonuçların yorumlanması için
benzerlik gereksinimleri belirlenir.
karar verilir.
belirlenir.
3) Modelin boyutu ve istenilen güvenilirlik ve yaklaşıklık seviyelerine
4) 1-3. maddeler göz önüne alınarak modelde kullanılacak malzeme
5) Üretim aşaması planlanır.
6) Yapılması planlanan ölçümler için gerekli donanımlar seçilir.
7) Yükleme donanımları tasarlanır ve hazırlanır. Kalibrasyonları yapılır.
8) Yükleme sırasında yapının davranışı izlenir. Gerekli kayıtlar yapılır.
9) Sonuçlar analiz edilir.
Model üretimi ve deneyleri yukarıda anlatılan adımlara uygun olarak
gerçekleştirilmektedir.
34

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
5.2. Yapısal Modellerin Sınıflandırılması
Yapısal model, bir yapının (prototip) fiziki olarak benzerinin üretilmesidir.
Bu modeller tam ölçekli olabileceği gibi küçültülmüş veya büyütülmüş
olabilmektedir. Modellerin sınıflaması çeşitli şekillerde yapılmaktadır. Modelleri
fonksiyonuna göre yani deneylerden ne elde edilmek istendiğine göre sınıflamak en
doğru yaklaşımlardandır. Bu yolla yapılan bir sınıflama Harris ve Sabnis (1999)
tarafından aşağıdaki gibi verilmektedir.
Elastik Model: Bu tarz modeller direkt olarak geometrik benzerlik için
kullanılmaktadır. Homojen elastik malzemelerden üretilmektedirler. Malzeme
davranışını modelleme zorunluluğu yoktur. Davranış elastik sınırlar içinde
kalmaktadır. Genel davranışın gösterimi için kullanılmak üzere üretilmektedirler.
Plastik ve ahşap, elastik modelleri üretmek için kullanılabilecek malzemelerdendir.
Direkt Olmayan (Đndirekt) Model: Elastik modellerin özel bir türü olarak
ele alınabilmektedir. Tesir çizgisi diyagramları, momentler, gerilme bileşenleri ve
eksenel yükler gibi tesirlerin deneysel olarak elde edilmesinde kullanılmaktadır.
Đndirekt modeller prototipin birebir fiziksel örneği olmayabilir. Örneğin indirekt
modeldeki dairesel kesit bir putrel kesitini temsil edecek şekilde
kullanılabilmektedir. Bilgisayarların gelişmesiyle eskiden çok kullanılan bu
modellerin kullanımı azalmaktadır.
Direkt Model: Uygulanan yükler ve geometri açısından prototiple aynı
özellikleri taşıyan modeldir. Bu açıdan elastik modeller direkt model
olabilmektedirler.
Mukavemet Modeli: Bu modeller, gerçekçi veya replika modeller olarak da
adlandırılmaktadır. Model yapı ve prototip yapı benzer malzemedendir. Bütün
yükleme ve göçme aşamalarında model protiple aynı özellikleri göstermektedir.
Betonarme bir yapının mukavemet modelinde benzerlik koşullarını sağlayacak
şekilde malzeme de modellenmektedir. Çelik ve ahşap yapıların modellenmesinde de
kullanılmaktadır. Modellemede asıl sorun modelde kullanılacak uygun malzemenin
ve üretim tekniğinin tespit edilmesidir. Elastik sınırlar içinde kalan deneyler için
ekonomik olmamaktadır.
35

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
Rüzgâr Modeli: Bu modelleri sınıflamanın farklı yolları vardır. Rüzgar
basınçlarını ya da kuvvetlerini ölçmek için kullanılanlar şekilsel veya rijit modeller
bir türüdür. Diğer bir tür olan “aeroelastik” modeller de ise amaç yapının rijitlik ve
boyut özelliklerinin modellenmesidir. Rüzgârdan dolayı oluşacak her türlü etkinin
gözlemlenmesi ve rüzgâr-yapı etkileşiminin araştırılması amacıyla
kullanılabilmektedir.
Dinamik Model: Dinamik etkiye maruz herhangi bir yapının davranışının
araştırılmasında kullanılan modellerdir. Sarsma tablası modelleri ve “aeroelastik”
modeller bu grupta değerlendirilebilmektedir.
Bilgilendirme, Araştırma ve Tasarım Modeli: Bilgilendirme modelleri
basit gösterim amaçlı modellerdir. Araştırma modelleri öğrenciler için sınıf içi
etkinliklerde kullanılabilecek, hazırlanmasına özen gösterilmiş modellerdir.
Bilgilendirme modellerinden araştırma modellerine geçiş yapmaya yarayan
modellere tasarım modelleri adı verilmektedir. Bazı tasarım modelleri, yalnızca
kavram aracı olarak yükler altında yapıda nasıl deformasyon oluşacağı hakkında
daha iyi bilgilendirme için kullanılırken, bazıları ise yapının gerçek yük kapasitesinin
tahmininde kullanılabilmektedir.
Diğer Model Sınıflandırmaları: Termal modeller, fotomekanik modeller
gibi modeller bu başlığa dâhil edilebilmektedir.
5.3. Geometrik Ölçeğin Seçimi
Laboratuar şartlarına göre model yapılar için optimum bir ölçek seçilmelidir.
Laboratuar imkânları ve test yöntemleri bu konuda belirleyici faktörlerdir. Bazı yapı
türleri için seçilebilecek geometrik ölçek parametreleri Çizelge 5.1’ de verilmektedir.
5.4. Modelleme Teorisi
Literatürde modellemeyle ilgili birçok çalışma bulunmaktadır. Modelleme,
benzerlik/ölçek yasalarına uygun olarak yapılmaktadır. Benzerlik yasalarının
36

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
anlatıldığı birçok çalışmanın temeli benzerlik ve boyut analizi teorilerine
dayanmaktadır.
Çizelge 5.1. Geometrik ölçek seçimi (Harris ve Sabnis,1999)
Yapı Tipi Elastik Model Mukavemet Modeli
Kabuk eleman çatı 1/200~1/50 1/30~1/10
Otoyol Viyadükleri 1/25 1/20~1/4
Reaktör Yapıları 1/100~ 1/50 1/20~1/4
Kirişli/döşemeli Yapılar 1/25 1/10~1/4
Barajlar 1/400 1/75
Benzerlik yasalarının türetilmesinde kullanılan analitik bir araç olarak boyut
analizi ile ilgili çalışmalar Moncarz (1981) tarafından bildirildiğine göre
Buckingham(1914) ve Rayleigh(1915) tarafından geliştirilen teoriler üzerine
kurulmaktadır. Özel olarak inşaat mühendisliği ile ilgili çalışmalar ise Ashley (1973),
Goodier (1944), Rocha (1952), Borges (1952) ve Beaujoint (1960) tarafından
yürütülmüştür (Moncarz 1981).
5.4.1. Boyut Analizi
Fizik kanunları seçilen birim sistemlerinden bağımsızdır. Boyut analizinde
temel birimler kuvvet için F, uzunluk için L ve zaman için T gibi sembolik olarak
tanımlanmaktadır. Bu tarz fiziksel büyüklüklere bağımsız parametreler adı
verilmektedir. Bağımsız parametreler problemin fiziksel özelliklerinden doğrudan
ortaya çıkmaktadır. Bağımlı değişkenler ise deneylerde ölçülen parametrelerdir. Bu
ayrımda bağımsız parametrelere “nitel parametreler”, bağımlı parametrelere ise
“nicel parametreler” denilmektedir.
Temel fizik kurallarından çıkarılan her denklem boyutsal homojenliğe
sahiptir. Verilen denkleme aşina olunmasa bile aradaki tutarlılık boyut analizi ile
gösterilebilmektedir. Boyut analizi ise Buckingham Pi Teoremi yardımıyla
yapılmaktadır. Bu teoremin ifadesi; “kesin fiziksel büyüklükleri içeren boyutsal
37

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
olarak homojen bir denklem, boyutsuz çarpımlar (pi parametreleri) cinsinden
indirgenmiş bir denklemle ifade edilebilir” şeklinde verilmektedir. Örneğin, bağımlı
parametrenin n-1 adet bağımsız parametrenin fonksiyonu olduğu bir fiziksel denklem
kapalı olarak Denklem 5.1’deki gibi verilebilmektedir.
F(q1,q2, q3,..., qn) = 0 (5.1)
Denklemde, F, eşitliğin kapalı formdaki ifadesi, q1’ den qn’ e kadar olan değişkenler
ise bağımlı ve bağımsız parametrelerdir.
Denklem 5.1, teoreme uygun olarak Denklem 5.2 formunda ifade
edilebilmektedir.
G(π1, π 2, π 3,..., π m) = 0 (5.2)
Denklemde G, eşitliğin kapalı formdaki ifadesini, π1’ den π m’ e kadar olan
değişkenler ise boyutsuz çarpımları (pi parametreleri) göstermektedir.
edilmektedir.
Böylelikle n adet parametre m adet indirgenmiş çarpım cinsinden ifade
Örneğin, üzerinde q yayılı yükü bulunan l uzunluğundaki bir kirişin herhangi
bir kesitindeki gerilme (σ) değerine ait idare eden denklem, kapalı formda, Denklem
5.3’teki gibi ifade edilmektedir.
F(σ, q, l,) = 0 (5.3)
Denklem 5.3, Denklem 5.4’ teki gibi boyutsuz çarpım seti olarak ifade
edilebilmektedir.
π1 = σ l/q (5.4)
Denklem 5.4 Buckingham Pi Teoremi uyarınca Denklem 5.5’te verilen
formda veya φ aradaki matematiksel herhangi bir ilişkiyi sembolize eden bir
gösterim olarak Denklem 5.6’daki formda yazılabilmektedir.
G(σ l/q) = G(π1) = 0 (5.5)
38

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
σ = φ(q/l ) = (5.6)
Tipik bir fizik probleminin boyutsal analizinde boyutlar için kullanılan tipik
bir fizik problemindeki ana nicelikler Çizelge 5.2’de verilmektedir.
Çizelge 5.2. Tipik fiziksel nicelik listesi (Harris ve Sabnis, 1999)
Gösterim Nicelik Birim
L (X1)
Q (X2)
M(X3)
σ (X4)
ε(X5)
a (X6)
δ (X7)
ν (X8)
Ε(X9)
Uzunluk
Kuvvet
Kütle
Gerilme
Birim şekil değiştirme
Đvme
Deplasman
Poisson oranı
Elastisite modülü
39
L
F
FL -1 T 2
FL -2
-
LT -2
L
-
FL -2
Boyut analizi yapılırken bu tablolardan yararlanılarak bir boyutsal matris
oluşturulmaktadır. Bağımlı ve bağımsız değişkenler burada işaretlenmektedir. Bu
tablo boyutsal ilişkileri ve bağımlı bağımsız değişkenleri göstermektedir.
Örneğin kapalı formu δ = δ(x,y,z;E,ν,Q) olan ve elastik bir problemin
deplasmanını veren eşitliğe ait boyutsal matris Çizelge 5.3’te verildiği gibi
olmaktadır.
Problemin özelliğine göre tabloya zaman (T) değerlendirmesi de girmektedir.

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
Çizelge 5.3. δ = δ(x,y,z; E, ν,F) denkleminin boyutsal matrisi (Moncarz, 1981)
Kuvvet F
Uzunluk L
Bağımlı
Değişken
5.4.1.1. Boyutsal Bağımlılık ve Bağımsızlık
Bağımsız Değişkenler Bağımsız Parametreler
δ x y z E ν Q
0
1
0
1
40
0
1
Mekanik problemlerde nicelikler üç ana birimle ifade edilmektedir. Bunlar
kuvvet (F), uzunluk (L) ve zamandır (T). Boyutsal açıdan n adet nicelik bu birimlerin
fonksiyonu olarak Denklem 5.7 formunda yazılmaktadır.
X
X
X
1
L
2
= & D ( F,
L,
T )
1
= & D ( F,
L,
T)
2
& D ( F,
L,
T )
n =
n
0
1
1
-2
0
0
1
0
(5.7)
Bu formdaki denklemlerde değişken sadece birimlerin şiddetidir. Bu
denklemler boyutsal birimlerin üslerinin çarpımları cinsinden ifade edilmektedir. Bu
önermenin ispatını yapmak için Denklem 5.8’de görülen iki denklem ele alınmıştır,
X
X
1
2
= D(
aF,
bL,
cT )
= D(
pF,
qL,
rT )
(5.8)
Denklemde, a, b, c ve p, q, r boyutsal birimlerin (F, L, T) şiddetlerini belirtmektedir.
5.8 denklemleri birbirlerine oranlanır ve kuvvet 1/x, uzunluk 1/y ve zaman 1/z ile
çarpılırsa eşitlik bozulmadan Denklem 5.9 elde edilmektedir.

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
D(
aF,
bL,
cT ) D(
axF,
byL,
czT )
=
D(
pF,
qL,
rT ) D(
pxF,
qyL,
rzT )
veya
D(
aF,
bL,
cT )
D(
axF,
byL,
czT ) = D(
pxF,
qyL,
rzT )
D(
pF,
qL,
rT )
41
(5.9)
Zincir kuralı uygulanarak, x değişkenine göre kısmi türev alınırsa Denklem
5.10 elde edilmektedir.
∂D(
axF,
byL,
czT ) ∂D(
pxF,
qyL,
rzT ) D(
aF,
bL,
cT )
aF
= pF
∂axF
∂pxF
D(
pF,
qL,
rT )
(5.10)
aF, bL ve cT değişken tutulurken pF, qL, rT sabitlenirse, x=y=z=1
alındığında Denklem 5.11 formundaki adi diferansiyel denklem elde edilmektedir.
∂D(
axF,
byL,
czT ) ∂D(
pxF,
qyL,
rzT )
aF
pF
∂axF
∂pxF
=
sabit
D(
aF,
bL,
cT ) D(
pF,
qL,
rT )
veya, sabit = k ise,
∂D(
aF,
bL,
cT ) ∂aF
= k1
D(
pF,
qL,
rT ) aF
1
(5.11)
Denklem 5.11’deki diferansiyel denklemin çözümü Denklem 5.12 formunda
yazılabilmektedir.
ln D(
aF,
bL,
cT ) = k1
ln aF + lnG(
bL,
cT )
veya
D(
aF,
bL,
cT ) = G(
bL,
cT )( aF)
k1
(5.12)

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
Denklem 5.10’dan itibaren işlemler y ve z için uygulanırsa 5.8 denklemleri
Denklem 5.13’teki formda yazılabilmektedir.
D(
aF,
bL,
cT ) = sabit(
aF)
veya
D(
aF,
bL,
cT ) = sabit(
F)
k
1
k
1
( bL)
( L)
k
2
42
k
2
( T)
( cT )
k
3
k
3
(5.13)
Bu yolla fiziksel herhangi bir niceliğin boyutlarının fonksiyon formlarının bir
çarpımı olduğu görülmektedir.
Boyutsal bağlılık ve bağımsızlıkla ilgili literatürde iki yaklaşım
bulunmaktadır. Đlk yaklaşım 1900’lerin başlarında Buckingham (1914), Bridgman
(1922) ve Langhar (1951) tarafından geliştirilip kullanılan sayısal yöntemdir.
Yöntemde fiziksel niceliklere ait temel birimlerin üstel kuvvetleri matris formunda
yazılmaktadır. Eğer matrisin determinantı sıfırdan farklıysa seçilen büyüklükler
boyutça bağımsız, determinant değeri sıfıra eşitse en az iki nicelik boyutça bağımlı
olmaktadır (Harris ve Sabnis, 1999).
Đkinci yaklaşım ise Palh (1962) tarafından önerilen fonksiyonel yöntemdir
(Harris ve Sabnis, 1999). Bir set fonksiyonel ilişki matris formunda yazılırsa ve
Jacobian’lerinden elde edilen matrisin determinantı sıfıra eşitse, seçilen nicelikler
boyutça bağımlı olmaktadır. Eğer matrisin determinantı sıfırdan farklıysa seçilen
nicelikler boyutça bağımsız olmaktadır.
Örneğin, denklem 5.14 formunda yazılmış, Çizelge 5.2’de verilen nicelik
tablosundaki niceliklerin boyutça bağımlı ya da bağımsız oldukları şöyle tespit
edilmektedir.
X
X
X
1
K
2
n
= & F
= & F
= & F
a1
a2
an
L
b1
L
L
T
b2
bn
T
c1
T
c2
cn
(5.14)

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
Seçilen nicelikler tablodaki sıralamaya uygun olarak, uzunluk l=X1=F 0 L 1 T 0 ,
kütle M=X3=F 1 L -1 T 2 ve deplasman δ=X7=F 0 L 1 T 0 olarak Denklem 5.14’teki
formda yazılır. Birinci yönteme göre Denklem 5.15 elde edilmektedir.
a
a
1
∆ = a
3
7
b
b
b
1
3
7
c
c
c
1
3
7
0
= 1
0
1
−1
1
0
2 = 0
0
43
(5.15)
Denklem 5.15’e göre determinant sıfır olduğu için seçilen büyüklükler
boyutça bağımlı olmaktadır. Burada, l=X1=F 0 L 1 T 0 , δ=X7=F 0 L 1 T 0 birlikte
seçilememekte dolayısıyla, bu seçimle pi terimleri elde edilememektedir.
Farklı bir seçimle, uzunluk l=X1=F 0 L 1 T 0 , ivme a=X6=F 0 L 1 T -2 , elastisite
modülü E=X9=F 1 L -2 T 0 Denklem 5.14 formunda yazılırsa ve ikinci yöntem
uygulanırsa Denklem 5.16 elde edilmektedir:
∂X
∂F
1
∂(
X1,
X 6,
X 9 ) ∂X
6 ∂X
6 ∂X
6 1 2L
2
=
= 0 − = − ≠ 0
2
3
3
∂(
F,
L,
M ) ∂F
∂L
∂T
T T LT
∂X
∂F
9
∂X
∂L
1
∂X
∂L
9
∂X
∂T
1
∂X
∂T
9
0
1
2
L
1
2F
− 3
L
0
0
(5.16)
Denklem 5.16, seçilen l=X1=F 0 L 1 T 0 , a=X6=F 0 L 1 T -2 ve E=X9=F 1 L -2 T 0
niceliklerinin boyutça bağımsız olduğunu göstermektedir. Bu seçime göre diğer
niceliklerin boyutsal ilişkisi Denklem 5.17’deki formda elde edilmektedir. Boyutsuz
çarpımlar ise Denklem 5.18’deki gibi yazılmaktadır.

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
L = & X
X
X
X
X
X
X
X
2
3
4
5
7
8
1
= & 1
= & 1
,
= & F = & X
−1
= & FL T
X
= & FL
−2
= & L = & X
T = &
2
1
2
= & X
1
X
9
9
X
X
1
6
2
1
6
,
X X
= &
X
9
F = & X
2
1
44
X
9
olmak üzere
X 3X
6 X 4 X 7
= & = & = & X 5 = & = & X 8 & 1
2
X X X X
2 =
2
1 X 9 1 9 9
1
Anlatılan her iki yöntem de aynı sonuçları vermektedir.
5.4.2. Benzerlik ve Yapısal Modelleme
(5.17)
(5.18)
Ölçekleme yasaları olarak bilinen benzerlik yasaları, model ve prototip yapı
arasındaki ilişkileri tanımlamaya yarayan korelasyon fonksiyonlarının tümüne
verilen isimdir. Temeli boyutsal analize dayanan bu yasalar, yapısal sistemlere
uygulandığında üç model tipi ortaya çıkmaktadır.
1. Gerçek Modeller:
Birebir benzerlik içeren bu modellerde boyut analizi, tüm şartlar altında
boyutsuz çarpanların eşitliğini ifade etmektedir.
Buckingham teoremine göre fiziksel davranışın denklemi boyutsuz çarpanlar
cinsinden Denklem 5.19’daki gibi ifade edilmektedir.
edilmektedir.
π1 = φ(π 2, π 3,..., π n) (5.19)
Denklem 5.19 model ve prototip yapılar için yazılırsa Denklem 5.20 elde

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
π
π
1p
1m
φ(
π 2 p , π 3 p ,..., π np )
= (5.20)
φ(
π , π ,..., π )
2m
3m
nm
Denklemlerde, m indisi modeli, p indisi ise prototipi göstermektedir. Tam benzerlik
bütün boyutsuz parametrelerin eşitliğini öngördüğü için Denklem 5.21
yazılabilmektedir.
π
π
...
π
2m
3m
nm
= π
= π
= π
2 p
3 p
np
Bu durumda Denklem 5.22 elde edilir.
π
π
1p
1m
veya
π
1p
φ(
π 2 p , π 3 p ,..., π np )
=
= 1
φ(
π , π ,..., π )
= π
1m
2m
3m
nm
45
(5.21)
(5.22)
Örneğin, boyut matrisi Çizelge 5.4’te verilen ve kapalı formu
F=(l,Q,M,σ,ε,a,δ,ν,E) olan dinamik problemin uygulaması aşağıdaki gibi olmaktadır.
Çizelge 5.4. F = (l,Q,M,σ,ε,a,δ,ν,E) denkleminin boyutsal matrisi (Harris ve Sabnis,
1999)
Kuvvet F
Uzunluk L
Zaman T
l Q M σ ε a δ ν E
0
1
0
1
0
0
1
-1
2
1
-2
0
Buradan üç adet bağımsız nicelik seçilirse 6 adet pi terimi yazılmaktadır.
Zamana bağlı olan iki adet nicelik (M ve a) unutulmamalıdır. Seçilen bağımsız
0
0
0
0
1
-2
0
1
0
0
0
0
1
-2
0

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
nicelikler, uzunluk l, elastisite modülü E ve ivme a olursa pi terimleri Denklem
5.23’deki gibi yazılmaktadır.
Q
π1
= , 2
El
σ
π 3 = ,
E
δ
π 5 = ,
l
π
2
=
π = ε
π = υ
1
2
Ma
2
El
46
(5.23)
Elde edilen pi terimleri ile bağlantılı olarak benzerlik bağıntıları πm=πp
formunda eşitlenmekte ve Denklem 5.24’deki ölçek faktörü için çözümlenmektedir.
Si=ip/im (5.24)
Burada, Si i’inci niceliğin ölçek faktörünü, p ve m ise sırasıyla prototip yapı ve model
yapı indislerini göstermektedir.
Üç adet boyutça bağımsız nicelik (l, E ve a) altı adet pi terimi içinde
görünmektedir. Dolayısıyla ölçek faktörleri olarak da Sl, SE ve Sa seçilmektedir. Bu
durumda pi terimleriyle bağlantılı olarak altı adet ölçek çarpanı seçilen faktörler
cinsinden Denklem 5.25’teki gibi yazılmaktadır.
S
S
S
Q
M
σ
= S
= S
2
l
2
l
S S
=
S
E
S
,
a
E
E
,
,
S
S
S
δ
ε
υ
= 1
= S
l
= 1
2. Yeterli Modeller (Birinci Derece Benzerlik Modelleri):
(5.25)
Model yapıda araştırılan etkiye göre yapılan sıralamada birinci derece olarak
belirlenen konuya göre üretilen modellerdir. Örneğin eğer bir rijit çerçeve modelinde
eksenel kuvvet ve kesme kuvvetlerinin etkisi çok önemli değilse ve araştırılan konu
sadece eğilme momenti etkileriyse, model yapıda sadece kesit atalet momentleri

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
önem taşımaktadır. Model bu etkiye göre üretilmekte, kesit alanı için özel bir çaba
harcanmamaktadır.
Birçok uygulamada bu tarz modeller, kimi zaman modellemedeki teknolojik
zorluklar, kullanılan model malzemesinin Poisson oranının prototip yapının
malzemesininkinden farklı olması, boyut etkileri gibi açılardan birebir model
kullanmanın zorlaştığı durumlarda tercih edilmektedir.
Boyutsal açıdan ise Denklem 5.22’de görülen φ fonksiyonu devreye
girmektedir. Deneysel yöntemlerde, φ fonksiyonu tamamen 1’e eşit olmayabilir.
Modelleme sürecinde bazı hatalar yüzünden φprototip / φmodel oranı yaklaşık 1 çıkıyorsa
model birinci derece benzerlik modeli (yeterli model) adını almaktadır.
3. Çarpık Model:
φprototip / φmodel oranı genelde deney sonuna kadar bilinmeyen olarak
kalmaktadır. Eğer π 1prototip
= π1model
denklemi sağlanamıyorsa, model çarpılmış
(bozulmuş) kabul edilmektedir. Bu etkiye sınır ve başlangıç şartlarındaki farklılıklar,
malzeme ve geometrik benzemezlik gibi durumlar sebep olmaktadır.
Yapısal modellerde şöyle örneklenebilir, prototip malzeme ve model
malzemesinin gerilme-şekil değiştirme davranışı, belli bir ε değerine karşılık
Denklem 5.26’daki gibi ifade edilebiliyorsa tam bir benzerlik söz konusu olmaktadır.
Ancak malzeme davranışı εmodel ve εprototip olarak ifade edilen iki ayrı gerilme
noktasında 5.27 denklemlerindeki gibi ifade ediliyorsa modelde çarpılma (bozulma)
oluşmuştur. Yani malzemelerin elastisite modülleri arasında tek bir ölçek faktörüne
bağlı doğrusal bir ilişki bulunmamaktadır.
σmodel = A σprototip (5.26)
Denklemde, A ölçek faktörü, σmodel model yapı malzemesinin gerilmesi ve σprototip
prototip yapı malzemesinin gerilmesidir.
σmodel = A1 σprototip (5.27a)
εmodel = a1 εprototip (5.27b)
47

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
Denklemlerde, A1 ve a1 ölçek faktörü, εmodel model yapı malzemesinin birim şekil
değiştirmesi ve εprototip prototip yapı malzemesinin birim şekil değiştirmesidir.
Betonarme yapılara ait model uygulamaları gibi uygulamalarda model
malzemeleri ve prototip malzemeler bu tür modellerin kullanılmasını gerekli
kılabilmektedir.
5.4.3. Sarsma Tablası Deney Modelleri ve Ölçek Çarpanları
Dinamik yüke maruz yapıların modellenmesi için birçok model seçeneği
bulunmaktadır. Modellemede dikkat edilmesi gereken nokta model yapıda
araştırılacak büyüklüğün seçimi ile ilgilidir. Araştırılacak büyüklüğe göre benzerlik
yasalarına uygun farklı ölçekleme faktörleri kullanılabilmektedir.
Örneğin sarsıntıya maruz elastik bir sistemin idare eden denklemi boyutsuz pi
terimleri cinsinden Denklem 5.28’de verildiği gibidir.
2
⎛ δ σ f l ρgl
Q ⎞
φ ⎜ , , , , υ,
= 0 2 ⎟
(5.28)
⎝ l E g E El ⎠
Denklemde l uzunluğu, Q kuvveti, E elastisite modülünü, g yerçekimi ivmesini, f
frekansı, ρ yoğunluğu, ν Poisson Oranı’nı, δ deplasmanı ve σ dinamik gerilmeyi
göstermektedir.
Eğer deplasman birincil derecede aranan büyüklükse Denklem 5.29’daki
form elde edilmektedir.
δ
l
2
⎛ σ f l ρgl
Q
φ′
⎜ , , , υ,
⎝ E g E El
= 2
⎞
⎟
⎠
48
(5.29)
Eğer gerilme de aranan büyüklükse eşitliğin diğer formu Denklem 5.30’daki
gibi olmaktadır.
σ
E
2
⎛ δ f l ρgl
Q
φ ′′ ⎜ , , , υ,
⎝ l g E El
= 2
⎞
⎟
⎠
(5.30)

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
5.29 ve 5.30 denklemlerinden, yapının dinamik karakteri model yapıda
tanımlanmaktadır. 5.29 ve 5.30 denklemlerinde eşitliğin sağ tarafı model yapı ve
prototip yapı için aynı olmaktadır. Denklem 5.22’de gösterilen eşitlik kullanılarak
seçilen terimler cinsinden benzerlik 5.31 ve 5.32 denklemlerindeki gibi elde
edilmektedir.
⎛ δ ⎞
⎜ ⎟
⎝ l ⎠
m
⎛ σ ⎞
⎜ ⎟
⎝ E ⎠
m
⎛ δ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ l ⎠
p
⎛ σ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ E ⎠
p
veya δ = δ S
(5.31)
p
p
m
m
49
l
veya σ = σ S
(5.32)
Denklemlerde, SE elastisite modülü ölçek çarpanını, Sl uzunluk ölçek çarpanını
tanımlamaktadır.
verilmiştir.
E
Bu durumda nicelikler için ortaya çıkan ölçek çarpanları Çizelge 5.5’te
Çizelge 5.5. Elastik Sarsıntılar için Benzerlik Şartları (Harris ve Sabnis, 1999)
Grup Nicelik Birim Kesin
Yükleme
Geometri
Malzeme
özellikleri
Kuvvet, Q
Yer çekimi ivmesi, g
Zaman, T
Boyutlar, l
Deplasman, δ
Frekans, f
Elastisite modülü, E
Gerilme, σ
Poisson oranı, ν
Ağırlık, γ
F
LT -2
T
L
L
T -1
FL -2
FL -2
_
FL -3
ölçekleme
SESl 2
1
Sl 1/2
Sl
Sl
Sl -1/2
SE
SE
1
SE/Sl
Ölçek Çarpanları
Kuvvetler
ihmal edilerek
ölçekleme
SESl 2
1
Sl
Sl
Sl
Sl -1
SE
SE
1
Đhmal edilir

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
Çizelge 5.5’te görülen benzerlik yasaları deneyde ilgilenilen büyüklüğe ve
yükleme tipine göre türetilebilmektedir. Rüzgâr yüklemeleri (rüzgâr tünelleri) için,
“fulidelastik” model benzerlikleri, patlama gibi ani dinamik bir yük için patlama
yüklemesi ölçek faktörleri Harris ve Sabnis (1999) tarafından ayrıntılı olarak
verilmektedir.
Deprem davranışını elde etmek için verilen benzerlik yasası tablosu ise üç
farklı model tipi için Çizelge 5.6 sunulmaktadır. Çizelge 5.6 deprem esnasında yapı
davranışını belirleyen bütün büyüklükler için ölçek faktörlerini içermektedir.
Benzer bir tabloyu Sollogoub (2006), malzemeyi göz önüne almadan farklı
parametrelerle vermektedir. Eğer Çizelge 5.5’te verilen tabloda SE çarpanı 1 alınırsa
yani prototip ve modelde aynı malzeme kullanılırsa Sollogoub tarafından verilen
tablo elde edilmektedir. Çizelge 5.7’de Sollogoub tarafından verilen tablo
sunulmaktadır. Sollogoub verdiği tabloyu Đvme Benzerliği ve Hız Benzerliği olarak
ayırmaktadır. Đvme benzerliğinin inşaat mühendisliği yapıları için uygun olduğunu,
hız benzerliğinin ise ince duvarlı tank benzeri yapılar için uygun olduğunu
belirtmektedir. Buradaki ayrım ivme benzerliğinde bina türü yapılarda olduğu gibi
kütle eklemesi yoluyla kütlesel eşitliğin sağlanabilmesidir. Bu tarz modeller
toplanmış kütleli sistemler olarak da isimlendirilmektedir (Moncarz, 1981). Đvme
benzerliği, gerilmelerin prototipte ve modelde eşitliğine göre türetilmektedir. Hız
benzerliği ise kütlenin yayılı olarak kullanılması gerekliliğinden doğmaktadır. Hız
benzerliğinde yapının sismik etkiler altındaki gerilmeleri önem kazanmaktadır. Bu
durumda benzerlik çarpanları model ve prototip yapıda sadece sismik etkilerden
doğan gerilmelerin eşitliği göz önünde tutularak türetilmektedir.
Çizelge 5.7’de λ uzunluk ölçek çarpanını tanımlamaktadır. λ=1/n olarak
ifade edilmektedir. Burada n ölçekleme faktörüdür ve değer olarak genelde 1’den
büyük bir sayı olarak tanımlanmaktadır.
50

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
Çizelge 5.6. Deprem yüklemesi ölçek çarpanları (Harris ve Sabnis, 1999)
Grup Nicelik Birim
Yükleme
Geometri
Malzeme
özelliği
Kuvvet,Q
Basınç, q
Đvme, a
Yerçekimi
ivmesi ,g
Hız, v
Zaman, t
Boyutlar, l
Deplasman,δ
Frekans, f
Elastisite
Modülü, E
Gerilme, σ
Şekil
değiştirme, ε
Poisson
oranı, ν
Yoğunluk, ρ
Enerji, EN
F
FL -2
LT -2
LT -2
LT -1
T
L
L
T -1
FL -2
FL -2
_
_
FL -4 T 2
FL
Gerçek
kopya
model
SESl 2
SE
1
1
Sl 1/2
Sl 1/2
Sl
Sl
Sl 1/2
SE
SE
1
1
SE/Sl
SESl 3
51
Ölçek Çarpanları
Yapay (Artificial)
kütle
benzeştirmesi
modeli
SESl 2
SE
1
1
Sl 1/2
Sl 1/2
Sl
Sl
Sl 1/2
SE
SE
1
1
(gρl/E)m=(gρl/E)p
SESl 3
Yerçekimi
kuvvetlerinin
ihmal edildiği
prototip
malzemeli
model
Sl 2
1
Sl -1
Đhmal edilir
1
Sl
Sl
Sl
Sl -1
1
1
1
1
1
Sl 3

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
Çizelge 5.7. Deprem yüklemesi benzerlik yasaları (Sollogoub, 2006)
Nicelik Đvme benzerliği Hız benzerliği
Deplasman, δ λ λ
Hız, v λ 1/2
Đvme, a 1 1/λ
Kütle, m λ 2
Yoğunluk, ρ 1/λ 1
Ağırlık, W λ 2 λ 3
Kuvvet, Q λ 2 λ 2
Zaman, t λ 1/2 λ
Frekans, f 1/λ 1/2
Ağırlık gerilmesi, σ 1 λ
Sismik gerilme, σ 1 1
Çizelgeden görüldüğü gibi, ivme benzerliğinde, ivmenin etkisinin tam olarak
yapıya etkimesi için ivme çarpanı 1 olmaktadır. Bu çalışmada ivme benzerliği içeren
modeller kullanılmıştır. Benzerlik yasalarının kullanılmasını daha önce belirtildiği
gibi deneyde kullanılan donanımın sınırları zorunlu kılmaktadır. Sarsma tablasının
deplasman, ivme, hız ve faydalı yük kapasitesi gibi sınırları bahsi geçen
sınırlamalardır.
Sismik testlerde kullanılacak modeller arasında daha çok zemin mekaniği
açısından önemli santrifüj testlerinde kullanılan benzerlik modelleri de
bulunmaktadır. Santrifüj benzerliğinde hem ağırlık hem de sismik etkilerin yarattığı
gerilmelerin tam bir benzerliği söz konusu olmaktadır. Özelikle yapı-zemin
etkileşimi problemlerinde kullanılabilecek bir benzerliktir. Bu benzerlikler, Moncarz
(1981), Harris ve Sabnis (1999) ve Sollogoub (2006) tarafından ayrıntılı olarak
işlenmektedir. Diğer fiziksel yapı testlerinde kullanılabilecek benzerlik yasaları
Harris ve Sabnis (1999) tarafından ayrıntılarıyla verilmektedir. Deprem mühendisliği
konusunda ise Moncarz (1981), kullanılabilecek modelleri malzeme ve geometrik
benzerlikler açısından ayrıntılarıyla incelemektedir.
52
1
λ 3
1/λ

5. YAPISAL MODELLEME Tarık BARAN
5.5. Boyut Etkisi
Numune boyutunun küçülmesiyle dayanımın değişmesine boyut etkisi adı
verilmektedir. Boyut etkisi kullanılan malzeme ile yakından ilişkidir. Örneğin
malzeme olarak betonun kullanıldığı bir çalışmada boyut etkisinin araştırılması çok
önemli olmaktadır. Çalışmanın amacı da boyut etkisinin araştırılmasını önemli
kılmaktadır. Örneğin donatı miktarı az olan bir betonarme kiriş çalışmasında basınç
dayanımındaki değişim akma dayanımı kadar önemli değildir. Diğer taraftan yoğun
donatılı bir kiriş veya döşemede kayma dayanımının araştırılmasında basınç
dayanımındaki değişim oldukça önemli bir rol oynamaktadır.
Boyut etkisi daha çok beton gibi gevrek yapıya sahip malzemelerde
gözlemlenmektedir. Bunun yanında çelik gibi sünek yapıya sahip malzemeler
üzerinde yapılan çalışmalar da bulunmaktadır. Ancak metallerin homojen yapısından
dolayı boyut etkisi çok fazla görülmediği için bu çalışmalara az rastlanmaktadır.
Harris ve Sabnis (1999) tarafından bildirildiğine göre, Morrison (1940),
çalışmasında yük taşıma kapasitesinin eleman boyutlarından nasıl etkilendiğini
araştırmak için küçük çelik kirişler kullanmıştır. Çalışma sonucunda, kiriş taşıma
gücüne ulaştığında, kiriş boyutundaki azalmanın akma gerilmesinin büyümesine
sebep olduğu bildirilmiştir. Davidenkov ve arkadaşları (1947: Harris ve Sabnis
1999’dan) çalışmasında, dayanım ve standart sapmanın eleman boyutundaki
azalmayla arttığını bildirmişlerdir. Sidebottom ve Clark (1954: Harris ve Sabnis
1999’dan), kare kesitli çelik kirişleri kullandıkları çalışmada, teorik plastik
momentleri ve deneysel momentleri karşılaştırmışlardır. Sonuç olarak, deney
numunelerinin yüksekliğindeki azalmanın, yük taşıma kapasitesinde kesin bir artışa
sebep olduğunu bildirmişlerdir.
53

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER
6.1. Giriş
Yapıların dinamik davranışının incelenmesinde çeşitli analitik ve sayısal
yöntemler kullanılmaktadır. Eğer yapı sistemi tek serbestlik dereceli bir sistem ise
veya çeşitli kabullerle basitleştirilen çok serbestlik dereceli bir sistem ise el ile
çözümü mümkün kılan analitik yöntemler kullanılmaktadır. Ancak yapı sistemlerinin
serbestlik derecelerinin artması gibi durumlarda sonlu elemanlar, sonlu farklar vb
sayısal yöntemlerin kullanılması zorunlu hale gelmektedir. Bilgisayar
teknolojisindeki hızlı ilerleme çok karmaşık problemlerin sayısal yöntemlerle kısa
sürelerde çözümünü olanaklı hale getirmiştir. Yapısal sistemlerin çözümlenmesi
konusunda, Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY), kullanılan en etkili yöntemlerden biri
olarak ortaya çıkmaktadır. Yapısal sistemlerin çözümlenmesi konusunda bu yöntemi
kullanan SAP2000 ve ANSYS vb birçok ticari yazılım geliştirilmiştir.
Çalışmada kullanılan sonlu eleman yazılımlarının dayandığı ilkelere bu
bölümde kısaca değinilmektedir.
6.2. Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY)
Sürekli fiziki sistemlerin davranışı kısmi diferansiyel denklem formunda
ifade edilebilmektedir. Bilgisayar teknolojisinin de ilerlemesi sayesinde, bu
denklemlerin çözümü konusunda en çok kullanılan yöntem Sonlu Elemanlar
Yöntemi’dir.
Sonlu Eleman Yöntemi ile sürekli sistemleri matematiksel olarak
modellemek mümkün olmaktadır. Yöntemde sürekli bir sistem, kendi içinde sonlu
sayıda bileşen veya elemanlardan ve bu elemanları birleştiren düğüm noktalarından
oluşan ayrık bir sistem olarak modellenmektedir. Sonlu Elemanlar Yönteminde bu
ayrıklaştırma işlemi kısmi diferansiyel denklemlerin cebirsel denklemlere
dönüştürülmesidir. Her düğümde meydana gelen bilinmeyenler (sistemin maruz
kaldığı yüklemelere bağlı olarak deplasman, hız ve sıcaklık vb) bulunarak sürekli
54

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
sistemin maruz kaldığı etkiler altındaki davranışı elde edilmektedir. Yani sonlu
elemanlar yönteminde, sürekli fiziksel bir sistemin matematiksel modeli elemanlar
ve düğümler üzerinden eşlenik ayrık bir sistem olarak tanımlanmaktadır.
6.2.1. Sonlu Elamanlarla Ayrıklaştırma
Sonlu elemanlar yönteminde, çözüm bölgesi (domain), eleman adı verilen alt
bölgelere ayrıklaştırılmaktadır. Gerçek sistem sınırları ile ayrık sistem sınırları
arasında kalan bölgelere ayrılaştırma hatası adı verilmektedir. Bu elemanlar “node”
adı verilen düğümler yardımıyla ilişkilendirilmektedir. Çözüm bu noktalarda bazı
birinci derece bilinmeyenler (deplasmanlar gibi) cinsinden elde edilmektedir.
Düğümün serbestlik derecesi bu birinci derece bilinmeyenlerin sayısıyla
belirlenmektedir. Örneğin bir noktada deplasmanın üç ana eksendeki bileşeni varsa
düğümün serbestlik derecesi 3 olmaktadır. Eğer eksenler etrafındaki dönmeler de
varsa serbestlik derecesi en büyük değer olan 6’ya eşit olmaktadır.
Şekil 6.1 bu ayrıklaştırmayı göstermektedir. Çıkarılan eleman üzerinde
davranışı idare eden kısmi diferansiyel denklem yazılmaktadır. Eleman üzerinde bu
denklemin çözümü, D e eleman bölgesi üzerinde φ gibi bir yaklaşık fonksiyonla
değiştirilmektedir.φ1, φ2, ve φ3, şekildeki üçgen eleman için φ fonksiyonun
çözümünün bilinmeyen düğüm değerleri olarak tanımlanmaktadır.
Y
Sınır (S)
Ayrıklaştırma Hatası
Bölge (Domain) (D)
X
Şekil 6.1. Ayrıklaştırılmış sistem ve elemanın gösterimi
55
Eleman
Elaman Bölgesi
D e
Elaman Sınırı
S e
Düğüm (node)

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Bu durumda φ1, φ2, ve φ3 cinsinden elemanı formüle eden bir denklem
sistemi yazılabilmektedir. Bu eleman formülasyonu elde edildikten sonra tüm sistem
alanı (D) elemanların birleştirilmesiyle oluşturulmaktadır. φ’ nin düğüm değerleri
cinsinden ifadesini içeren φ(x,y) fonksiyonun çözümü ile problem parçalı bir
yaklaşımla ifade edilmiş olmaktadır.
6.2.2. Yapısal Çözümleme için Sonlu Eleman Teorisi
Dış yüklere maruz bir cisim Şekil 6.2’de verildiği gibidir. Şekilde f gösterimi
nokta yüklerini, t yayılı yükleri, S1 cismin yayılı yük etki eden yüzeyini ve V ise
cismi tanımlamaktadır.
Yüzey, S1
X
t
Şekil 6.2. Katı bir cisim üzerine etkiyen yükler
Cisim içinde oluşan gerilmeler, Şekil 6.2’deki gibi bir cisme etkiyen yüzey
yükleri veya cisim üzerine etkiyen noktasal yükler sayesinde oluşmaktadır. Yükler
altında cisim deforme olmaktadır. Cisim elastik kabul edilirse, Şekil 6.3’te görülen
ve cisim içinden çıkarılan sonsuz küçük tipik bir hacim elemanı üzerindeki birim
şekil değiştirmeler Denklem 6.1’deki gibi ifade edilmektedir.
Z
56
f2
f1
Cisim, V
Y

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
∂u
ε x = ,
∂x
γ
γ
γ
xy
xz
yz
= γ
= γ
= γ
yx
zx
zy
X
∂v
∂u
= +
∂x
∂y
∂w
∂u
= +
∂x
∂z
∂w
∂v
= +
∂y
∂z
Şekil 6.3. Şekil değiştirme bileşenleri
∂v
ε y = ,
∂y
∂w
ε z =
∂z
57
(6.1)
Denklemlerde u, v ve w sırasıyla x, y ve z yönlerindeki deplasman bileşenlerini. εx,
εy, εz normal birim şekil değiştirme bileşenlerini, γxy, γxz ve γyz ise açısal şekil
değiştirme bileşenlerini tanımlamaktadır.
εx
Z
γzx
γxz
εz
γxy
6.1 eşitlikleri matris formda 6.2 denklemlerindeki gibi ifade edilmektedir.
γzy
γyx
γyz
Tipik hacim elemanı
dV
εy
Y

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
⎡ ∂
⎢∂x
⎢
⎛ ε x ⎞ ⎢ 0
⎜ ⎟ ⎢
⎜ ε y ⎟ ⎢
⎜ ε ⎟ ⎢ 0
z ⎜ ⎟ = ⎢
⎜γ
⎟ ∂
xy ⎢
⎜ ⎟ ⎢∂
⎜
γ y
yz ⎟
⎜ ⎟
⎢
⎝γ
xz ⎠ ⎢ 0
⎢
⎢ ∂
⎢⎣
∂z
veya kapalı formda,
0
∂
∂y
0
∂
∂x
∂
∂z
0
⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
∂ ⎥
⎡u
⎤
∂z
⎥
⎢ ⎥
⎥
⎢
v
⎥
0 ⎥
⎢⎣
⎥
⎥
w⎦
∂ ⎥
⎥
∂y
⎥
∂ ⎥
∂x
⎥⎦
58
(6.2a)
ε = B u
(6.2b)
Denklemde, ε şekil değiştirme vektörünü, B şekil değiştirme matrisini ve u
deplasman vektörünü tanımlamaktadır.
Şekil 6.4’te görülen gerilme bileşenleri ile şekil değiştirme bileşenleri
arasındaki ilişki ise Hooke yasasına uygun olarak Denklem 6.3’te verildiği gibi
yazılmaktadır.
1
ε x = [ σ x −ν
( σ y + σ z )]
E
1
ε y = [ σ y −ν
( σ x + σ z )]
E
1
ε z = [ σ z −ν
( σ x + σ y )]
E
γ
xy
1
= τ xy,
G
E
G =
2(
1+
ν )
γ
xz
1
= τ xz,
G
γ
yz
1
= τ
G
yz
(6.3)
Denklemlerde, σx, σy, σz normal gerilmeleri, τxy, τxz, τyz kayma gerilmelerini, E
Elastisite Modülü’nü, ν Poisson Oranı’nı ve G Kayma Modülü’nü tanımlamaktadır.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
X
Şekil 6.4. Gerilme bileşenleri
Đfadeler matris formda Denklem 6.4’teki gibi yazılmaktadır.
σ σ σ σ = = = = D εεεε (6.4)
Denklemde görülen σσσσ, εεεε vektörleri ve D matrisi, sırasıyla Denklem (6.4a), Denklem
(6.4b) ve Denklem (6.4c) de tanımlanmıştır.
Z
σx
τzx
τxz
σz
τxy
τzy
⎛σ
x ⎞
⎜ ⎟
⎜σ
y ⎟
⎜σ
⎟
z
σ = ⎜ ⎟
(6.4a)
⎜τ
xy ⎟
⎜ ⎟
⎜
τ yz ⎟
⎜ ⎟
⎝τ
xz ⎠
59
τyx
τyz
σy
Tipik hacim elemanı
dV
Y

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
⎛ ε x ⎞
⎜ ⎟
⎜ ε y ⎟
⎜ ε ⎟
z
ε = ⎜ ⎟
(6.4b)
⎜γ
xy ⎟
⎜ ⎟
⎜
γ yz ⎟
⎜ ⎟
⎝γ
xz ⎠
⎡ E(
1−ν
)
⎢(
1+
ν)(
1−
2ν
)
⎢
⎢ νE
⎢
⎢(
1+
ν)(
1−
2ν
)
⎢ νE
⎢
⎢(
1+
ν)(
1−
2ν
)
D = ⎢
⎢ 0
⎢
⎢
⎢
⎢
0
⎢
⎢
⎢ 0
⎣
νE
( 1+
ν)(
1−
2ν
)
E(
1−ν
)
( 1+
ν)(
1−
2ν
)
νE
( 1+
ν)(
1−
2ν
)
0
0
0
νE
( 1+
ν)(
1−
2ν
)
νE
( 1+
ν)(
1−
2ν
)
E(
1−ν
)
( 1+
ν)(
1−
2ν
)
60
0
0
0
0
0
0
E
2(
1+
ν)
0
0
0
0
0
0
E
2(
1+
ν)
6.2.2.1. Minimum Potansiyel Enerji Đlkesiyle SEY Formülasyonu
0
⎤
0
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0
⎥
⎥
⎥
E ⎥
⎥
2(
1+
ν)
⎦
(6.4c)
Verilen bir deplasman fonksiyonu için şekil değiştirmeler Denklem 6.1
kullanılarak hesaplanabilmektedir. Bir cisim için sonsuz sayıda deplasman
fonksiyonu bulunmaktadır. Ancak üzerindeki yüklere göre cismi dengede tutan ve
deformasyonu fiziksel olarak tanımlayan tek bir deplasman fonksiyonu mevcuttur.
Bu fonksiyon minimum potansiyel enerji ilkesiyle tanımlanabilmektedir.
Π bir sistemin toplam potansiyel enerjisini göstermek üzere Denklem 6.5’teki
gibi tanımlanmaktadır.
∏ = U −V
(6.5)
Denklemde, U iç kuvvetlerin yarattığı şekil değiştirme enerjisini ve V dış yüklerin
yaptığı işi göstermektedir.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Minimum potansiyel enerji ilkesine göre, dengedeki cisimler minimum bir
potansiyel enerjiye sahip olmaktadır. Buna göre bir sistemin toplam şekil değiştirme
enerjisi Denklem 6.6’daki gibi hacim üzerinden alınan bir integralle
tanımlanmaktadır.
1
U =
2
∫∫∫
V
T
ε σ dV
61
(6.6)
Denklem 6.2 ve Denklem 6.4, Denklem 6.6’da yerine yazılırsa Denklem 6.7
elde edilmektedir.
U
=
1
2
∫∫∫
V
u
T
B
T
D B u dV
Dış yüklerin yaptığı iş ise Denklem 6.8’deki gibi tanımlanmaktadır.
V
=
T
∫∫ dS1
+ ∑
=
t
S
1
n f
(6.7)
( ) d
u (6.8)
i
1
i i f
Denklemde, u S1 yüzeyi üzerindeki kesin deplasman fonksiyonunu, fi i’inci dış yük
vektörünü, di, fi’nin uygulandığı noktadaki deplasman vektörünü ve nf ise uygulanan
tekil dış yük sayısını tanımlamaktadır. t ise yüzey gerilmeleri vektörü olup Denklem
6.8a’da tanımlanmaktadır.
⎛t
x ⎞ ⎛σ
xn
x + τ xyn
y + τ xzn
z ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
t = ⎜t
y ⎟ = ⎜σ
yn
y + τ yxnx
+ τ yzn
z ⎟
(6.8a)
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝t
z ⎠ ⎝σ
zn
z + τ zxn
x + τ zyn
y ⎠
Denklemde, tx, ty, tz sırasıyla x, y ve z yönlerindeki yüzey gerilmelerini; nx, ny, ve nz
ise doğrultman kosinüslerini tanımlamaktadır.
Denklem 6.7 ve Denklem 6.8, Denklem 6.5’te yerine yazılırsa Denklem 6.9
elde edilmektedir.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
1
∏ =
2
T T
dV −
n f
∫∫∫
V
S1
i=
1
u B D B
T
∫∫ dS1
− ∑ t u
( ) d
u (6.9)
Minimum potansiyel enerji ilkesi şöyle tanımlanabilir; olası tüm geometrik
deplasman fonksiyonlarından (u) sadece bir tanesi toplam potansiyel enerjiyi
minimum yapar.
Böylece toplam potansiyel enerjinin ( ∏ ) fonksiyonuna ulaşılmaktadır. Bir
çok durumda, kesin deplasman fonksiyonun tanımlanması imkansız olmaktadır. Bu
62
i i f
yüzden yaklaşık sayısal yöntemlerin kullanılması gerekmektedir.
6.2.2.2. Rijitlik Matrisi
Sürekli bir sistem, elemanlar arası deplasmanların sürekli olduğu elemanlarla
bölünerek ayrık olarak tanımlanırsa, toplam potansiyel enerji elemanların potansiyel
enerjilerinin toplamına eşit olmaktadır. m adet eleman bulunan bir sistemde toplam
potansiyel enerji Denklem 6.10 ile ifade edilmektedir.
∏ =
m
∑
i=
1
∏
( e)
(6.10)
Toplam potansiyel enerji tek bir eleman ele alınarak incelenebilmektedir.
Şekil 6.5 iki farklı eleman tipini göstermektedir. Şekil 6.5(a)’da görülen 4 yüzlü,
piramit şekilli eleman, “tetrahedron” eleman olarak isimlendirilmektedir. Şekil
6.5(b)’de görülen 6 yüzlü, prizmatik eleman ise “brick” eleman olarak
isimlendirilmektedir. Elemanların üzerlerindeki düğümlere etkiyen tekil düğüm
yükleri ve yüzeylerden etkiyen yayılı yükler Şekil 6.5’te görülmektedir.
Elemana ait kesin deplasman fonksiyonunun (u e ) elemandan elemana
değişimi, düğüm deplasmanları arasında interpolasyon yapılarak yaklaşık düğüm
deplasmanları (u e ) cinsinden Denklem 6.11’deki gibi yazılmaktadır.
e e
u = N u
Denklemde, N şekil fonksiyonlarını içeren matrisi göstermektedir.
(6.11)

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Yüzey
gerilmeleri
Düğüm
yükleri
Şekil 6.5. Eleman tipleri ve etkiyen dış yükler
Toplam potansiyel enerji tek bir eleman için Denklem 6.11 kullanılarak
Denklem 6.12’deki gibi yazılabilmektedir.
∏
e
1 e T T T
e e e T T T e T e
= ∫∫∫u
N B D B N u dV − ∫∫ u N t dS1
− u f (6.12)
2 e
e
V
Denklemde, V e eleman hacmini ve S1 eleman yüzey gerilmelerinin uygulandığı
yüzeyi, u e nokta deplasmanları vektörünü ve
göstermektedir.
63
S1
e
f eleman yük vektörünü
Toplam potansiyel enerjinin (∏ ) minimum olması için her bir elmanın
e
potansiyel enerjisinin ( ∏ ) minimum olması gerekmektedir. Eleman toplam
potansiyel enerjisini minimum yapmak için
e
∏ ’nin nokta deplasmanlarına (u e ) göre
bir defa türevi alınırsa bu eşitliğin minimum değer için sıfıra eşit olması
gerekmektedir. Bu durumda Denklem 6.13 elde edilmektedir.
∂ ∏
e
∂u
e
=
2
1 T T
e e
T T e
N B D B N u dV − N t dS1
− f
∫∫∫
V
e
∫∫
e
1
S
= 0
(6.13)
u e integral değişkenlerinden bağımsız olduğu için integralin dışına çıkartılıp,
gerekli düzenlemeler yapılarak Denklem 6.13 Denklem 6.14a’daki formda elde
edilmektedir.
Dört yüzlü tetrahedron
(a)
t
Altı yüzlü brick
(b)
t

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
K
e
u
e
=
f
e
+
∫∫
e
S1
N
T
t dS
e
1
64
(6.14a)
Denklemde, K e eleman rijitlik matrisi adını alır ve Denklem 6.14b’deki gibi ifade
edilmektedir.
K e
=
∫∫∫
e
V
N
T
B
T
D B N dV
e
(6.14b)
Şekil değiştirme enerjisi negatif olamayacağı için K e pozitif tanımlı ve
denklemlerdeki simetrik çarpım yüzünden simetrik bir matris olarak elde
edilmektedir.
6.2.2.3. Kütle ve Sönüm Matrisleri
Eleman rijitlik matrisinin çıkarılmasına benzer yöntemle eleman kütle ve
sönüm matrisleri de elde edilebilmektedir. Bu matrisler, dinamik davranışta atalet
kuvvetlerinin dengesinin sağlanması açısından önem kazanmaktadır.
Dinamik yüklemelere maruz bir sistemde virtüel deplasmanın yaptığı işi
Denklem 6.15 ve viskoz sönüm kuvvetlerinin yaptığı işi Denklem 6.16
göstermektedir. Bir elemanın dinamik davranışını ifade eden eşitlik Denklem 6.17’de
verilmektedir.
V
e
δ
2
e T ∂ u
= ∫∫∫du ρ 2
e ∂ t
V
e
e
∂u
Vc
= ∫∫∫du ∂ t
e ζ
T
M
e
e
V
2
∂ u
2
∂ t
e
+ C
e
e
dV
dV
e
∂u
e
+ K u
∂ t
e
=
f
e
+
∫∫
e
S1
N
T
t dS
e
1
(6.15)
(6.16)
(6.17)
Denklemde, M e eleman kütle matrisi, C e eleman sönüm matrisini göstermektedir ve
sırasıyla Denklem 6.17a, Denklem 6.17b denklemlerindeki gibi tanımlanmaktadır.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
M e
C e
=
=
∫∫∫
e
V
∫∫∫
e
V
T e
ρ N N dV
(6.17a)
T e
ξ N N dV
(6.17b)
6.2.3. Referans Eleman Yaklaşımı
Analitik yaklaşımı basitleştirmek için gerçek elemanlar, boyutsuz bir uzayda
basit geometrik şekiller kullanılarak referans elemanlar olarak tanımlanmaktadır.
Geometrik dönüşüm ifadeleriyle, gerçek eleman özellikleri, referans eleman
üzerinden hesaplanmaktadır.
Şekil 6.6’da görülen τ e dönüşüm fonksiyonu gerçek elemanın koordinatlarını
referans eleman üzerinde tanımlamaktadır. Şekilde < > gösterimi matris transpozunu
temsil etmektedir.
η
0,1
3
1 2
0,0 1.0
ξ = ξ,
η
ξ
τ e
(a) Referans eleman (b) Gerçek eleman
Şekil 6.6. Referans ve gerçek eleman dönüşümleri
Dönüşüm fonksiyonu (τ e ) Denklem 6.18’de verildiği gibi tanımlanmakta ve
gerçek elemanın şekline ve yerleşimine bağlı olarak her eleman için farklı
olmaktadır. Denklem 6.19 koordinatlara bağlı bu farklılığı göstermektedir.
65
y
xi
xj
x =
x,
y
xk
x

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
e
e e
τ : ξ → x = x ( ξ )
(6.18)
e
e e
τ : ξ → x = x ( ξ,
xi
, x j , xk
,...)
(6.19)
Sistemdeki aynı geometriye sahip farklı koordinattaki tüm elemanlar için
farklı dönüşüm fonksiyonları kullanılarak tek bir referans eleman üzerinden
hesaplamalar yapılmaktadır. Böylece dönüşüm Denklem 6.20’deki gibi
verilmektedir.
e
e
τ : ξ → x ( ξ ) = N ( ξ ) { xn}
(6.20)
Denklemde, N , geometrik şekil fonksiyonlarını tanımlamaktadır.
Bu durumda dönüşüm fonksiyonu koordinat bileşenleri 6.21
denklemlerindeki gibi ifade edilmektedir.
x ( ξ ) =
y ( ξ ) =
z ( ξ ) =
N ( ξ ) { x }
N ( ξ ) { y
N ( ξ ) { z
n
n
n
}
}
66
(6.21)
Örneğin açık formda 3 düğümlü bir elemanın koordinat dönüşümleri 6.22
denklemlerindeki gibi olmaktadır.
x(
ξ,
η)
= N ( ξ,
η)
x + N ( ξ,
η)
x + N ( ξ,
η)
x
1
i
y(
ξ,
η)
= N ( ξ,
η)
y + N ( ξ,
η)
y + N ( ξ,
η)
y
1
i
2
2
j
j
3
3
k
k
=
=
⎪
⎧xi
⎪
⎫
N ⎨x
j ⎬
⎪⎩ xk
⎪⎭
⎪
⎧y
i ⎪
⎫
N ⎨y
j ⎬
⎪⎩ yk
⎪⎭
Denklemlerde, (ξ,η) referans elemanın (V r ) koordinat bileşenlerini göstermektedir.
(6.22)
Doğrusal bir dönüşüm fonksiyonu için 6.22 denklemlerindeki şekil
fonksiyonları 6.23 denklemlerindeki gibi ifade edilmektedir.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
⎪
⎧xi
⎪
⎫
x(
ξ,
η)
= 1−
ξ −η,
ξ,
η ⎨x
j ⎬
⎪⎩ xk
⎪⎭
⎪
⎧y
i ⎪
⎫
y(
ξ,
η)
= 1−
ξ −η,
ξ,
η ⎨y
j ⎬
⎪⎩ yk
⎪⎭
67
(6.23)
Böylece alanı hesaplanmak istenen bir elemanın alanı, Jacobian matrisinin
determinant değerinin yarısına eşit olarak 6.24 denklemlerindeki gibi elde
edilmektedir.
⎧ ∂x
∂y
⎫
⎪ ⎪ x j − xi
y j − yi
⎪∂ξ
∂ξ
⎪
J = ⎨ ⎬ =
(6.24a)
⎪ ∂x
∂y
⎪
xk
− xi
yk
− y
⎪ ⎪
i
⎩∂η
∂η
⎭
[ ( x − x )( y − y ) − ( x − x )( y y ) ]
1
A = det( J ) = j i k i k i j − i
(6.24b)
2
Kesin deplasman fonksiyonuna (u), gerçek eleman üzerinden yaklaşım
Denklem 6.25’te verilmektedir.
u ≅ u(x)
= N ( x)
{ u}
(6.25)
Eğer bu fonksiyona referans eleman üzerinden yaklaşılırsa Denklem 6.20’de
tanımlanan dönüşüm fonksiyonu yardımıyla Denklem 6.26 elde edilmektedir.
Böylelikle deplasman fonksiyonu referans eleman üzerinden, referans uzayda
tanımlanmaktadır.
u ≅ u(
ξ ) = N ( ξ ) { u}
(6.26)

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
6.2.4. Diferansiyel Operatörlerin Dönüşümleri
Referans elemana dönüşümü Denklem 6.26’daki gibi tanımlanan bir
fonksiyonun analizler sırasında türevlerinin dönüşümü ve geri dönüşümüne de
ihtiyaç duyulmaktadır. Zincir kuralı kullanılarak bu dönüşümler
gerçekleştirilmektedir.
Gerçek uzaydan referans uzaya birinci derece türev dönüşümleri Denklem
6.27’deki gibi tanımlanmaktadır.
[ J ] { ∂ }
{ ∂ ξ } = x
(6.27)
Denklemde, { ∂ξ } terimi referans uzaydaki birinci derece türev terimlerini içeren
vektörü, [J] Jacobian matrisini ve { ∂ x}
ise gerçek uzaydaki birinci türev terimlerini
içeren vektörü göstermektedir. Bu vektörler Denklem 6.28’deki gibi ifade
edilmektedir.
⎧ ∂ ⎫ ⎡ ∂x
⎪ ⎪ ⎢
⎢
∂
⎪
∂ξ
ξ
⎪
⎪ ∂ ⎪ ⎢ ∂x
⎨ ⎬ = ⎢
⎪∂η
⎪ ⎢∂η
⎪ ∂ ⎪ ⎢
⎢
∂x
⎪ ⎪
⎩∂ζ
⎭ ⎢⎣
∂ζ
∂y
∂ξ
∂y
∂η
∂y
∂ζ
∂z
⎤⎧
∂ ⎫
∂ξ
⎥⎪
⎪
⎥
∂x
⎪ ⎪
∂z
⎥⎪
∂ ⎪
⎥⎨
⎬
∂η
⎥⎪∂y
⎪
∂z
⎥⎪
∂ ⎪
⎥⎪
⎪
∂ζ
⎥⎦
⎩∂z
⎭
68
(6.28)
Bu dönüşümlerin ters dönüşümleri ise Denklem 6.29 yardımıyla
sağlanmaktadır.
[ ] { } ∂
-1
J
{ }
ξ = ∂ x (6.29)
-1
Denklemde, [ J ] Jacobian matrisinin tersini tanımlamakta olup ifadesi Denklem
6.30’da verilmektedir.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
⎡∂ξ
∂η
∂ζ
⎤
⎢ ∂x
∂x
∂x
⎥
⎢
⎥
−1
⎢∂ξ
∂η
∂ζ
⎥
J = ⎢
⎥
(6.30)
⎢ ∂y
∂y
∂z
⎥
⎢∂ξ
∂η
∂ζ
⎥
⎢
⎥
⎣ ∂z
∂z
∂z
⎦
[ ]
Đkinci derece türevlerin dönüşümü ise Denklem 6.31 ile tanımlanmaktadır.
2
[ T ] { ∂ } + [ ] { ∂ ξ }
2
{ ∂ x } = T
(6.31)
1
ξ
2
Denklem 6.31 açık formda yazılırsa Denklem 6.32 elde edilmektedir.
2 ⎧ ∂ ⎫
⎪ 2 ⎪
⎪
∂x
2 ⎪
⎪ ∂ ⎪
2 ⎪ ∂y
⎪
⎪ 2
∂
⎪
⎪ ⎪
2 ⎪ ∂z
⎪
⎨ 2 ⎬ =
∂
⎪ ⎪
⎪∂x∂y
⎪
⎪ 2
∂ ⎪
⎪ ⎪
⎪∂y∂z
⎪
2
⎪ ∂ ⎪
⎪ ⎪
⎩∂x∂z
⎭
⎧ ∂ ⎫
⎪
∂ξ
⎪
⎪ ⎪
⎪ ∂ ⎪
⎨ ⎬
⎪∂η
⎪
⎪ ∂ ⎪
⎪ ⎪
⎩∂ζ
⎭
[ T ] + [ T ]
1
2
2 ⎧ ∂ ⎫
⎪ 2 ⎪
⎪
∂ξ
⎪ 2
⎪ ∂ ⎪
⎪ 2
∂η
⎪
⎪ 2 ⎪
⎪ ∂ ⎪
2 ⎪ ∂ζ
⎪
⎨ 2 ⎬
⎪
∂
⎪
⎪ ∂ξ∂η
⎪
⎪ 2
∂ ⎪
⎪ ⎪
⎪∂η∂ζ
⎪
2 ⎪ ∂ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ∂ξ∂ζ
⎭
Ters dönüşüm ise Denklem 6.33’te tanımlanmaktadır.
2
[ C ] { ∂ } + [ ] { ∂ x}
69
(6.32)
2
{ ∂ ξ } = C
(6.33)
1
x
2
Denklemlerde, görülen [T1], [T2], [C1] ve [C2] matrisleri ve aralarındaki ilişkiler ise
sırasıyla Denklem 6.34, Denklem 6.35, Denklem 6.36 ve Denklem 6.37’de
tanımlanmaktadır.
[ ] [ ][ ][ ] 1 −
= − T C J
T 1 (6.34)
2
[ ] [ ] 1 −
C
1
T 2 = 2
(6.35)

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
70
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
y
z
y
z
y
z
y
z
y
z
y
z
y
z
y
z
y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
z
z
z
z
z
z
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
ξ
ζ
ζ
ξ
ζ
η
η
ζ
η
ξ
ξ
η
ζ
η
ξ
ξ
ζ
ζ
ξ
η
ζ
ζ
η
ξ
η
η
ξ
ζ
η
ξ
ξ
ζ
ζ
ξ
η
ζ
ζ
η
ξ
η
η
ξ
ζ
η
ξ
ζ
ξ
ζ
η
η
ξ
ζ
η
ξ
ζ
ξ
ζ
η
η
ξ
ζ
η
ξ
ζ
ξ
ζ
η
η
ξ
ζ
η
ξ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
T
(6.36)
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
ζ
ξ
ζ
η
η
ξ
ζ
η
ξ
ζ
ξ
ζ
η
η
ξ
ζ
η
ξ
ζ
ξ
ζ
η
η
ξ
ζ
η
ξ
z
z
z
z
z
z
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
C (6.37)
6.2.5. Đntegral Dönüşümleri
Gerçek uzayda bir elemanın hacmi Denklem 6.38 kullanılarak
hesaplanmaktadır.
z
d
y
d
x
d
dV
r
r
r
⋅
×
= )
( (6.38)
Kartezyen koordinatlarda k
j
i
r
r
r
,
, birim vektörler olmak üzere Denklem
6.39’daki eşitlikler geçerli olmaktadır.
k
dz
z
d
j
dy
y
d
i
dx
x
d
r
r
r
r
r
r
=
=
= ,
, (6.39)
Bu durumda Denklem 6.38, Denklem 6.40’taki gibi yazılmaktadır.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
dV = dx dy dz
(6.40)
Referans uzayında ise elemanın hacmi için Denklem 6.41a yazılmaktadır.
r r r
dV = ( dξ
× dη)
⋅ dζ
(6.41a)
Denklemdeki terimlerin açılımı ise Denklem 6.41b, Denklem 6.41c ve Denklem
6.41d’ de verilmektedir.
yazılmaktadır.
r ⎛ ∂x
r ∂y
r ∂z
r⎞
d ξ = ⎜ i + j + k ⎟ dξ
⎝ ∂ξ
∂ξ
∂ξ
⎠
r ⎛ ∂x
r ∂y
r ∂z
r⎞
d η = ⎜ i + j + k ⎟ dη
⎝ ∂η
∂η
∂η
⎠
r ⎛ ∂x
r ∂y
r ∂z
r⎞
d ζ = ⎜ i + j + k ⎟ dζ
⎝ ∂ζ
∂ζ
∂ζ
⎠
71
(6.41b)
(6.41c)
(6.41d)
Türev terimleri Jacobian matrisi ile göstermek üzere; Denklem 6.42
dV = det( J) dξ
dη
dζ
(6.42)
Elde edilen terimler integral değişkenleri olduğu için, bu terimler yardımıyla
bir integralin dönüşümünü ifade etmek için Denklem 6.43 kullanılmaktadır.
∫ f ( x ) dx dy dz = ∫ f ( x(
ξ)
) det( J)
dξ
dη
dζ
(6.43)
V
e
V
r
Denklemde, f(x) x, y ,z değişkenlerine bağlı gerçek uzayda f(x,y,z) gibi bir
fonksiyonu, f(x(ξ)) ise referans uzaydaki fonksiyonu tarif etmektedir.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
6.3. SAP2000 Programında Kullanılan Elemanlar
6.3.1. Üç Boyutlu Çubuk Elemanı
Çerçeve sistem, ızgara sistem vb sistemlerin modellenmesinde kullanılan
çubuk elemanın rijitlik matrisi 12×12 boyutludur. Tipik bir çubuk eleman, bir
düğümüne ait uç kuvvetleri ve deplasmanları Şekil 6.7’de görülmektedir.
x
z
I
M2 (θ2)
V2 (v2)
Şekil 6.7. Yerel eksen takımında çubuk eleman uç kuvvetleri ve deplasmanları
(Wilson, 2002)
Elemanın J ucundaki kuvvelere göre oluşturulan 6×6 boyutundaki rijitlik
matrisi Şekil 6.7’de görülen 1-2-3 yerel eksen takımına göre elde edilmektedir.
Sistemin denge denklemi, Denklem 6.44’te verilmektedir.
72
P (∆)
J
V3 (v3)
M3 (θ3)
T (φΤ)
2 1
3
y
Yerel
eksen
takımı

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
⎡ P ⎤ ⎡k
⎢ ⎥ ⎢
⎢
V2
⎥ ⎢
0
⎢ V ⎥ ⎢ 3 0
⎢ ⎥ = ⎢
⎢ T ⎥ ⎢ 0
⎢M
⎥ ⎢
2 0
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣
M 3 ⎥⎦
⎢⎣
0
11
k
k
0
22
0
0
0
62
k
k
0
0
33
0
53
0
k
0
0
0
44
0
0
k
k
0
0
35
0
55
0
73
0 ⎤⎡
∆ ⎤
k
⎥⎢
⎥
26 ⎥⎢
v2
⎥
0 ⎥⎢v
⎥ 3
⎥⎢
⎥ veya f
0 ⎥⎢φT
⎥
0 ⎥⎢θ
⎥
2
⎥⎢
⎥
k 66 ⎥⎦
⎢⎣
θ3
⎥⎦
J
= k
J
d
J
(6.44)
Denklemde, kJ, elemanın J ucu için elde edilen rijtlik matrisini, fJ, elemanın J
ucundaki kuvvet vektörünü ve dJ ise elemanın J ucunda oluşan deformasyon
vektörünü tanımlamaktadır.
Elemanın I ucunda oluşan kuvvet vektörü bağımsız değildir ve J ucuna
etkiyen kuvvetler cinsinden Denklem 6.45’teki gibi yazılmaktadır.
⎡ P ⎤ ⎡−1
⎢ ⎥ ⎢
⎢
V2
⎥ ⎢
0
⎢ V ⎥ 3 ⎢ 0
⎢ ⎥ = ⎢
⎢ T ⎥ ⎢ 0
⎢M
⎥ ⎢
2 0
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣
M 3 ⎥⎦
⎢⎣
0
I
0
−1
0
0
0
L
0
0
−1
0
L
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
1/L
0
−1
0
0 ⎤⎡
P ⎤
1/L
⎥⎢
⎥
⎥⎢
V2
⎥
0 ⎥⎢
V ⎥ 3
⎥⎢
⎥ veya
0 ⎥⎢
T ⎥
0 ⎥⎢M
⎥
2
⎥⎢
⎥
−1⎥⎦
⎢⎣
M 3 ⎥⎦
J
f
I
= b
T
IJ
f
J
(6.45)
Denklemde, L eleman boyunu, b T IJ ve fI ise sırasıyla dönüşüm matrisi ve elemanın I
ucundaki kuvvet vektörünü tanımlamaktadır.
Böylece her iki uçtaki 12 adet eleman uç kuvveti elemanın J ucundaki uç
kuvvetleri cinsinden Denklem 6.46’daki gibi yazılmaktadır.
T
⎡fI
⎤ ⎡b
⎤ IJ
⎢ ⎢ ⎥f
J
f
⎥ =
⎣ J ⎦ ⎣ I ⎦
veya f
IJ
= b
Denklemde I birim matrisi göstermektedir.
T
f
J
(6.46)
Eleman uçlarındaki deplasman vektörü ise uygunluk ve statik denge
denklemlerinden yararlanılarak Denklem 6.47’deki gibi verilmektedir.
d = bd
(6.47)
I
IJ

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Böylece yerel eksen takımındaki bir çubuk elemanın 12×12 boyutundaki
rijitlik matrisi Denklem 6.48’deki gibi elde edilmektedir.
verilmektedir.
T
= b k b
(6.48)
k IJ J
Buna bağlı olarak kuvvet deplasman ilişkisi Denklem 6.49’daki gibi
f = k u
(6.49)
IJ
IJ
IJ
Elemanın yerel eksen takımında hesaplanan rijitlik matrisinin
kullanılabilmesi için Şekil 6.8’de görülen x-y-z global eksen takımındaki gibi ifade
edilmelidir. Şekilde R global eksende çubuk uç kuvvetlerini göstermektedir.
x
z
R4
I
R1
R6
R3
R2
Şekil 6.8. Global eksen takımında çubuk eleman uç kuvvetleri (Wilson, 2002)
Global eksen takımına dönüşüm için eleman uç kuvvet ve deplasman
vektörleri Denklem 6.50’deki gibi doğrultman kosinüsleriyle çarpılmaktadır.
R5
74
R10
J
R7
R12
R9
R8
R11
y

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
⎡u1
⎤ ⎡u
x ⎤
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢
u2
⎥
V
⎢
u y ⎥
⎢⎣
u ⎥⎦
⎢⎣
⎥
3 uz
⎦
⎡ f x ⎤ ⎡ f1
⎤
⎢ ⎥ T
ve =
⎢ ⎥
⎢
f y ⎥
V
⎢
f 2 ⎥
⎢⎣
f ⎥⎦
⎢⎣
f ⎥
z
3 ⎦
75
(6.50)
Denklemde, V doğrultman kosinüsü terimlerini içeren matristir ve Denklem
6.50a’daki gibi tanımlanmaktadır.
⎡V1x
V1
y V1z
⎤
⎢
⎥
V = ⎢V2
x V2
y V3z
⎥
(6.50a)
⎢
⎥
⎣V3
x V3
y V3z
⎦
Denklem 6.50a’daki terimler birim vektörlerin, yüzey normalleriyle arasındaki
açıların kosinüs değerlerini tanımlamaktadır.
Denklem 6.50’de görülen üç adet eleman uç deplasmanı, 12×12 boyutlu bir
sistem için 4×4 boyutlu alt matrisler cinsinden Denklem 6.51’deki gibi ifade
edilmektedir.
⎡V
0 0 0 ⎤
⎢
0 V 0 0
⎥
= ⎢
⎥ veya u = Tu
(6.51)
⎢ 0 0 V 0 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 0 V⎦
uIJ IJ
Denklemde uIJ, elemanın yerel eksen takımındaki 12×1 boyutlu deplasman
vektörünü, u elemanın global eksen takımındaki deplasman vektörünü ve T dönüşüm
matrisini göstermektedir.
x-y-z global eksen takımında, eleman için yazılan 12 adet denge denklemi ise
Denklem 6.52’de verilmektedir.
R = Ku + R
(6.52)
L
Denklemde R elemanın global eksen takımındaki uç kuvvetlerini içeren 12×1
boyutlu vektörü, K elemanın global eksen takımındaki rijitlik matrisini, u elemanın
global eksen takımındaki deplasman vektörünü ve RL ise eleman yayılı yüklerinin uç

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
kuvveleri cinsinde ifadesini içeren yük vektörünü göstermektedir. K ve RL sırasıyla
Denklem 6.53a ve 6.53b’deki gibi tarif edilmektedir.
T
= T k T
(6.53a)
K I J
T T
R L = T b rj
(6.53b)
Denklemlerde, kIJ yerel eksen takımındaki eleman rijitlik matrisidir. rJ ise eleman
yayılı yüklerinin J noktasına göre eleman uç kuvvetleri cinsinden ifadesini içeren
6×1 boyutlu yük vektörüdür ve Denklem 6.53b yardımıyla global eksen takımına
12×1 boyutlu olarak dönüştürülmektedir.
6.3.2. Üç Boyutlu Kabuk Elemanı
Duvar, döşeme, perde gibi alan üzerinde tanımlı elemanların
modellenmesinde kullanılan kabuk (shell) elemanı, plak eğilme elemanı ve membran
elemanlarının süperpozisyonu ile elde edilmektedir. Gelişigüzel geometriye sahip
klasik kabuk elemanın kullanılması, yüksek dereceli diferansiyel denklemlerin
yaklaşık olarak çözümlenmesiyle mümkün hale gelmektedir.
Bir noktasında 6 serbestlik derecesi bulunan dört düğümlü bir kabuk elemanı
Şekil 6.9’daki gibi tarif edilmektedir.
Elemana ait rijitlik matrisi 24×24 boyutludur. x-y-z yerel eksen takımına göre
elde edilen rijitlik matrisi X-Y-Z global eksen takımına dönüştürülmektedir. Yük
vektörü ve eleman rijitlikleri sistem denge denklemlerine dahil edilerek çözümleme
yapılmaktadır.
Kabuk elemanı en genel hal olduğu için yazılımda kullanım esnasında özel
durumlar olan plak ve membran çözümlemeleri için kısıtlama yapmak yeterli
olmaktadır. Dolayısıyla sadece yazılım programlanırken kabuk eleman için
oluşturulan formülasyon kullanılmaktadır. Formülasyon için plak ve membran
elemanlarının elde edilip birleştirilmesi gerekmektedir.
76

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
uz
θy
6.3.2.1. Plak Eğilme Elemanı
Şekil 6.9. Kabuk elemanın elde edilişi (Wilson, 2002)
Plak eğilme elemanı en yalın haliyle kiriş eğilme elemanın basit bir uzantısı
olarak tarif edilmektedir.
z
y x
θx
Đnce plak ve kirişlerin davranışını idare eden denklemleri elde etmek için üç
boyutlu elastisite teorisinin bazı kabullerle basitleştirilmesi gerekmektedir. Bu
kabuller şöyledir (Wilson, 2002).
+ =
1. Plak kalınlığı yönündeki deplasman (uz) plak kalınlığından çok küçüktür. Bu
deplasmanın diğer eksenlere göre 1. ve 2. mertebe türevleri çok küçüktür.
2. Eğilme sırasında plak orta düzlemi şekil değiştirmez.
3. Başlangıçta orta düzleme dik yüzeyler yüklemeden sonra da dik kalır. Orta
düzlemin düzlem içi şekil değiştirme bileşeni sıfırdan farklı, kalınlık yönündeki
kayma şekil değiştirme bileşenleri ise sıfır kabul edilir.
θz
4. Plak kalınlığı yönündeki uzunluk değişimi sıfır kabul edilir.
uy
Plak eğilme elemanı Membran eleman Kabuk eleman
z
y x
ux
xyz yerel referans eksen takımı XYZ global referans eksen takımı
5. Plak kalınlığı yönündeki normal gerilme diğer gerilmelerden çok küçüktür.
77
θz
Z
θy
uz
Y
X
uy
ux
θx

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Bu kabuller üzerine oturan klasik ince plak teorisini idare eden denklem,
deplasman bileşenleri cinsinden ifade edilen 4. mertebe kısmi bir diferansiyel
denklem olarak yazılmaktadır.
SAP2000 programında kullanılan klasik dört düğümlü bir plak elemanı Şekil
6.10’da görülmektedir
Şekil 6.10. Plak eğilme elemanı (Wilson, 2002)
SAP2000 yazılımında kullanılan bu plak elemanı DSE (Discrete Shear
Element) adını almaktadır ve kesme etkilerinin tamamını içermektedir. Klasik plak
elemanı ise DKE (Discrete Kirchhoff Element) adını almaktadır. DSE elemanı en az
hataya sebep olduğu için program yazarı tarafından kullanımı önerilmektedir
(Wilson, 2002).
6.3.2.2. Membran Elemanı
Kabuk elemanında oluşan membran etkilerinin modellenmesi amacıyla
geliştirilmiştir. Bu eleman kabuk elemanın yüzeyine dik oluşan dönme serbestlik
derecelerini ve düzlem içi deplasmanları içermektedir. Perde-kiriş birleşimlerinde
önem kazanan bu serbestlikler için membran etkileri gerekmektedir.
görülmektedir.
4
θy
1
uz
s
θx
(d)
3
SAP2000 yazılımında kullanılan 4 düğümlü membran elemanı Şekil 6.11’de
78
2
r

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Şekil 6.11. Membran elemanı (Wilson, 2002)
6.4. SAP2000 Đle Yapı Sistemlerinin Dinamik Analizi
Bir yapının dinamik dengesinin ifadesi Denklem 6.54’de tanımlanmaktadır
(Clough ve Penzien, 1993, Wilson, 2002).
F ( ) + F(
t)
+ F(
t)
= F(
t)
(6.54)
t I D S
Denklemde, t zamanı, F(t)I düğümlerdeki kütlelere etkiyen atalet kuvvetlerini, F(t)D
viskoz sönüm kuvvetlerini veya yapının enerji yutma kapasitesi kuvvetlerini, F(t)S
yapı tarafından taşınan iç kuvvetleri ve F(t) ise yapıya etkiyen dış yükleri
göstermektedir.
Denklem 6.54, deforme olmuş geometri göz önüne alındığında doğrusal ve
doğrusal olmayan tüm yapı sistemleri için geçerli olmaktadır.
Birçok yapısal sistemde denge durumundaki yapının davranışını idare eden
denklemi elde etmek için doğrusal davranış kabulü yapılmaktadır. Bu durumda
Denklem 6.54, Denklem 6.55’teki ikinci derece lineer diferansiyel denkleme
dönüşmektedir.
M u&
& ( ) + Cu&
( t)
+ Ku(
t)
= F(
t)
(6.55)
t a
a
a
Denklemde, M kütle, C viskoz sönüm, K statik rijitlik matrislerini göstermektedir.
u& & ( t) a , ( t) a
u& ve u ( t) a ise noktaların sırasıyla ivme, hız ve deplasmanlarını içeren
vektörleri tanımlamaktadır.
4
uy
1
θz
s
ux
3
(d)
Mutlak dönmeler
79
2
r

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Dinamik bir yükleme olan deprem için F(t) dış yük vektörü sıfıra eşit
olmaktadır. Deprem hareketi, analizlerde temel seviyesinde u ( t)
ig olarak tanımlanan
üç bileşenli yer hareketi olarak tanımlanmaktadır. Bu durumda 6.55 denklemindeki
ivmeler, hızlar ve deplasmanlar yer hareketine bağlı olarak Denklem 6.56’daki gibi
yazılmaktadır. Böylece Denklem 6.55’deki mutlak deplasman, ivme ve hız terimleri
düşmektedir (Wilson, 2002).
u(
t)
= u(
t)
+ I u(
t)
u&
( t)
= u&
( t)
+ I u&
( t)
u&
& ( t)
= u&
& ( t)
+ I u&
& ( t)
x
x
x
xg
xg
xg
+ I u(
t)
y
+ I u&
( t)
y
+ I u&
& ( t)
y
yg
yg
yg
+ I u(
t)
80
z
+ I u&
( t)
z
+ I u&
& ( t)
z
zg
zg
zg
(6.56)
Denklemlerde, Ii, i yönündeki yapı serbestliklerini içeren vektördür ve i yönü
dışındaki tüm serbestlikler sıfır olmaktadır.
yazılmaktadır.
Denklemlerin düzenlenmesiyle 6.55 denklemi, Denklem 6.57’deki formda
Mu& & ( t ) + Cu&
( t)
+ Ku(
t)
= −M
u&
& ( t)
− M u&
& ( t)
− M u&
& ( t)
(6.57)
Denklemde, Mi=MIi olarak tanımlanmaktadır.
x
xg
Denklem 6.57’nin çözümü için adım-adım çözümleme, Mod Birleştirme
Yöntemi, Davranış Spektrumu Yöntemi, Zaman-Tanım Alanında Çözüm gibi çeşitli
yöntemler bulunmaktadır.
SAP2000 yazılımında bu yöntemlerin uygulanabilmesi için geliştirilmiş
algoritmalar bulunmaktadır. Aşağıda bu yöntemlerin uygulanabilmesi için gerekli
olan ve yöntemlerde ortak olarak kullanılan denklem çözümleme yöntemleri ile
sönümsüz harmonik yükleme ve sönümsüz serbest titreşim çözümlemelerine
değinilmektedir.
6.4.1. Lineer Denklem Takımlarının Çözümü
Adım-adım çözümleme, frekans uzayında çözüm, özdeğer-özvektör analizi
ve Ritz vektörlerinin elde edilebilmesi için Denklem 6.58’de verilen formdaki
denklem sistemlerinin çözümlenmesi gerekmektedir.
y
yg
z
zg

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
AX = B
(6.58)
Denklemde, A n×n boyutlu katsayılar matrisini, X n×m boyutlu bilinmeyen matrisini
ve B ise n×m boyutlu yük matrisini tanımlamaktadır. m’ in değeri normalde 1’dir.
Ancak yükleme 1’den fazla ise aynı anda daha fazla yükleme için çözüm yapmak
amacıyla SAP2000 yazılımında m yükleme sayısı kadar arttırılmaktadır. Böylece
aynı anda birden fazla yükleme için eş zamanlı çözümleme üretilmektedir.
Çözümleme Gauss eliminasyon yöntemiyle yapılmaktadır (Wilson, 2002).
6.4.2. Sönümsüz Harmonik Analiz
Harmonik yüklemenin formu Denklem 6.59’da verilmektedir (Clough ve
Penzien, 1993, Wilson, 2002).
F( t ) = f sin( ϖ t)
(6.59)
Denklemde, F(t), n×1 boyutlu zamana bağlı harmonik yük vektörünü, f ise zamana
bağlı olmayan genlik vektörün tanımlamaktadır. ϖ , uygulanan yükün frekansıdır ve
kullanıcı tarafından tanımlanmaktadır. Bu durumda dinamik denge denklemi
Denklem 6.60’taki gibi olmaktadır.
Mu& & ( t ) + Ku(
t)
= f sin( ϖ t)
(6.60)
Denklemin kesin çözümü mümkündür ve Denklem 6.61’de verilmektedir (Clough ve
Penzien, 1993, Wilson, 2002).
u(
t)
= v sin(
ϖ t)
2
u&
& ( t)
= −vϖ
sin(
ϖ t)
81
(6.61)
Bu durumda harmonik düğüm deplasman genlikleri Denklem 6.62’de verilen
lineer denklem takımının çözümlenmesiyle elde edilmektedir.
[ K- M]
v f
2
=
ϖ (6.62)
Denklemde v bilinmeyen deplasman genlik vektörünü göstermektedir.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
6.4.3. Sönümsüz Serbest Titreşim Analizi
Yapıdaki tüm dış yüklerin kaldırılmasıyla, sönümsüz serbest titreşimi idare
eden denklem takımı Denklem 6.63’te verildiği gibi elde edilmektedir (Clough ve
Penzien, 1993, Wilson, 2002).
M u&
& ( t)
+ Ku(
t)
= 0
(6.63)
Denklemde u herhangi bir andaki şekil değiştirmiş sistemin düğüm deplasman
vektörünü göstermektedir. Denklem 6.63’ün kesin çözümü Denklem 6.64’te
tanımlanmaktadır.
u ( t)
= v sin(
ω t + θ )
(6.64)
Denklemde, v sistemin deformasyon şeklini tanımlayan genlik vektörünü ve θ ise faz
açısını göstermektedir.
Denklemlerin türetilmesi sonucu Denklem 6.65’te görülen özdeğer problemi
elde edilmektedir (Clough ve Penzien, 1993).
[ K - M]
v=
0
2
ω (6.65)
Denklemin 6.65’in çözümlenmesi sonucu n adet yapı titreşim frekansı (ωι) ve
mod şekil vektörü (v) elde edilmektedir.
6.4.4. Mod Birleştirme Yöntemi
Denklem 6.57’de verilen dinamik denge denklemi Denklem 6.66 formunda
tekrar yazılabilmektedir.
J
∑
j=
1
Mu& & ( t)
+ Cu&
( t)
+ Ku(
t)
= f g(
t)
(6.66)
j
Denklemde J fj ile temsil edilen bütün dinamik yüklemelerin sayısını, g(t)j ise bu
yüklemelerin zaman fonksiyonlarını içeren vektörü göstermektedir.
82
j

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Denklem 6.66’nın çözümü Denklem 6.67a’da verilen ayrıklaştırma
fonksiyonları yardımıyla yapılmaktadır.
u( t) = ΦY(
t)
(6.67a)
Denklemde, Φ mod vektörlerini içeren modal matrisi ve Y(t) zaman fonksiyonlarını
içeren vektörü tanımlamaktadır.
Denklem 6.67a’dan Denklem 6.67b ve 6.67c türetilmektedir.
u& ( t)
= ΦY&
( t)
(6.67b)
u& & ( t)
= ΦY&
& ( t)
(6.67c)
Denklem 6.66’da görülen kütle (M) ve rijitlik (K) matrisleri Denklem
6.68’de verilen ortogonallik şartını sağlamaktadır. Sönüm matrisinin (C) ise
ortogonallik şartını sağladığı kabul edilmektedir.
T
Φ M Φ = I
T
Φ K Φ = Ω
2
83
(6.68)
Denklemde I diyagonal birim matrisi ve Ω 2 ise ωi 2 terimlerini içeren diyagonal
matrisi tanımlamaktadır. ωi radyan/saniye birimli frekansları göstermektedir. Bu
frekanslar serbest titreşim frekansları da olabilmektedir.
Elde edilen 6.67 denklemleri, 6.66 denkleminde yerine yazılıp soldan Φ T
matrisi ile çarpılırsa n adet girişimsiz lineer denklem, Denklem 6.69’daki gibi elde
edilmektedir.
J
∑
j=
1
IY&
& ( t)
+ dY&
2
( t)
+ Ω Y(
t)
= p g(
t)
(6.69)
j
Denklemde, pj, j inci yükleme için modal katılım oranı olarak adlandırılmakta,
Denklem 6.69a’daki gibi tanımlanmakta ve d ise Denklem 6.69b’de
tanımlanmaktadır.
p
j
j
T
= Φ f
(6.69a)
T
d = Φ C Φ
j
(6.69b)

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Gerçek yapılar için n×n boyutlu d matrisi diyagonal olmamaktadır. Bu
yüzden denklemlerde girişim olmasını engellemek amacıyla klasik sönüm kabulü
yapılması gerekmektedir. Bu kabule göre diyagonal üzerindeki terimler Denklem
6.70’te verilmektedir. Diyagonal dışı terimler ise sıfır olmaktadır.
d = 2ζ
ω
(6.70)
ii
i
i
Denklemde ζi, i’inci modun sönüm oranını göstermektedir (Clough ve Penzien,
1993, Wilson, 2002).
verilmektedir.
Lineer bir yapı için girişimsiz tipik bir modal eşitlik Denklem 6.71’de
J
∑
j=
1
2
& y&
( t)
+ 2ζ
ω y&
( t)
+ ω y(
t)
= p g(
t)
(6.71)
n
n
n
n
n
n
Denklemde, sağ taraf terimleri üç boyutlu bir deprem yüklemesi için Denklem
6.71a’da verildiği gibi tanımlanmaktadır.
J
∑
j=
1
p g(
t)
= p u&
& ( t)
+ p u&
& ( t)
+ p u&
& ( t)
nj
j
nx
gx
ny
Denklemdeki modal katılım oranı pnj Denklem 6.71b’deki gibi tanımlanmaktadır.
nj
T
n
j
gy
84
nj
nz
j
gz
(6.71a)
p = −φ
M
(6.71b)
Herhangi bir yöndeki taban ivmesi için taban kesme kuvveti o yöndeki kütle
bileşenlerinin toplamına eşit olmaktadır. Bu durumda kütle katılım oranı tanımı, bir
yöndeki n’inci moda katkısı bulunan kütlelerin o yönde tanımlı tüm kütlelere bölümü
olarak yapılmakta ve X yönü için Denklem 6.72’deki gibi ifade edilmektedir.
X
kütle
=
N
∑
n=
1
∑
p
m
2
nx
x
(6.72)
Kütle katılım oranları, diğer yönlerde de benzer şekilde belirlenmektedir.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
6.4.5. Yüklemeye Bağlı Ritz Vektörleri
Mod şekilleri hesaplanarak mod birleştirme ve spektrum analizlerinde
kullanılan dinamik denge denklemleri girişimsiz hale getirilmektedir. Eleman
kuvvetlerinin ve düğüm deplasmanlarının belirlenmesinde kullanılan bu modların
bulunması için çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Bu yöntemlerin çoğu özdeğer
analizinde frekans taraması için kullanılmakta ve SAP2000 yazılımında da
kullanıcıya sunulmaktadır. Bu yöntemler arasında Yüklemeye Bağlı Ritz Vektörleri
mod şekillerinin ve frekansların belirlenmesi için hızlı ve etkili bir yöntem olarak
önerilmektedir (Wilson, 2002).
Yöntemde, mod şekillerini belirlemek için kullanılan dinamik denge
denklemi Denklem 6.73’deki gibi verilmektedir.
M u&
& ( t) + Ku(
t)
= R(
t)
(6.73)
Denklemde, R(t) zamana bağlı herhangi bir yüklemeyi göstermekte ve Denklem
6.74’teki gibi ifade edilmektedir.
J
R( t)
f g( t)
= FG( t)
(6.74)
= ∑
j=1
j
j
Denklemde, F vektörü zamanın fonksiyonu değildir ve yüklemenin şiddetlerini
içermektdir. G(t) zaman fonksiyonlarını içeren vektörü göstermekte ve Fourier
serileri cinsinden ifade edilebilmektedir. Bu durumda sönümü ihmal edilen bir sistem
için dinamik denge denklemi Denklem 6.73 formundan Denklem 6.75 formuna
dönüşmektedir.
Mu& & ( t ) + Ku(
t)
= Fsin
ϖ t
(6.75)
Bu durumda yükleme frekansı ϖ olan bir yapının kesin dinamik davranışı
Denklem 6.76’daki gibi yazılabilmektedir.
2
Ku = F + ϖ Mu
(6.76)
85

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Denklem 6.76 bilinmeyen frekans bileşenlerinden dolayı direkt olarak
çözülememektedir. Ancak kütle ve rijitlik matrisine ortogonal bir seri vektör
denklemi sağlamaktadır. Đlk vektör kütlenin ihmal edilmesiyle Denklem 6.77’deki
gibi belirlenmektedir.
Ku = F
0 (6.77)
Çözümde atalet kuvvetleri ihmal edildiği için çözüm hatalı olmaktadır. Bu
durumda Denklem 6.78’de verilen kabul yapılmaktadır.
Mu F ≈ (6.78)
1
0
Bu durumda bir grup düzeltme vektörü Denklem 6.79 kullanılarak
hesaplanmaktadır.
Ku = F
(6.79)
1
1
u1 vektörünün hesabında ek atalet kuvveleri ihmal edilmektedir. Bu işlem
devam ederse Denklem 6.80’deki eşitlik elde edilmektedir.
i = i Mu Ku (6.80)
−1
Oluşan lineer denklem takımları iteratif olarak çözülerek belli bir frekans için
oluşacak mod şekilleri belirlenmektedir.
Yöntemin uygulanmasında yüklemelerin sadece kütle serbestlik yönlerinde
yapılmasına dikkat edilmesi gerekmektedir. Yüklemeye bağlı Ritz vektörleri kesin
özvektörlerin lineer bir kombinasyonu olarak tanımlanmaktadır. Yöntem özvektör
belirlerken başlangıç vektörü olarak statik deplasman vektörünü kullanmaktadır
(Wilson, 2002).
6.4.6. Davranış Spektrumu Yöntemi
Deprem yüklemesi için davranış spektrumu yönteminin kullanılmasında
amaç, yapı deplasmanı ve eleman kuvvetleri için maksimum değerleri, birçok
86

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
deprem kaydından türetilen bir tasarım spektrumu kullanılarak hesaplamaktır.
Yöntem temelde etkili olmasına rağmen non-lineer ve karmaşık geometriye sahip
yapıların çözümlemesinde kullanılamamaktadır.
Yöntemdeki amaç Denklem 6.71’de tanımlanan dinamik denge denkleminin
yaklaşık olarak spektrum davranışının çözümlenmesidir.
Denklem 6.71 tek bir eksen için yazılırsa Denklem 6.81 elde edilmektedir.
& y &(
t)
+ 2ζ
ω y&
( t)
+ ω = ( t)
(6.81)
n
n
n
n
2
n y(
t)
n pniu&
&
Eldeki u & ( t)
g gibi bir deprem kaydı için sönüm değeri 1 ve p ni = −1
kabul
edilerek değişik ω değerleri için Denklem 6.81’in çözümü mümkün olmakta ve
maksimum davranış için y(ω)MAX grafiği çizilmektedir. Bu spektrum deplasman
spektrumu adını almakta ve değişik sönüm değerleri için tekrarlanmaktadır.
ωy(ω)MAX, hız spektrumu ve ω 2 y(ω)MAX ise ivme spektrumu adını almaktadır.
Standart spektrum grafik gösterimi S(ω) değerlerine karşı birimi saniye olan
periyodun (T) gösterimine dayanmaktadır. S(ω) ve T’nin tanımı sırasıyla Denklem
6.82a ve 6.82b’de verilmektedir.
( ω) = ω y(
)
(6.82a)
S a
2
ω MAX
2π
T =
(6.82b)
ω
Yapının lineer viskoz sönüm özellikleri belirlendikten sonra bir spektrum
grafiği çözümleme için seçilmektedir. Bu seçimden sonra maksimum modal
deplasman Ti periyotlu i’inci mod için hesaplanabilmektedir. Buna göre Ti’ye bağlı
maksimum modal davranış Denklem 6.83 ile elde edilmektedir.
S(
ω )
y(
Ti
) MAX =
(6.83)
ω
i
2
i
Maksimum modal deplasman ise Denklem 6.84 ile elde edilmektedir.
u = y(
T ) φ
(6.84)
i
i
MAX
i
87
g

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Modal atalet kuvvetleri ise hesaplanan deplasmanlar kullanılarak rijitlik
matrisi ve yükleme vektörleri yardımıyla bulunmaktadır.
6.4.7. Sayısal Đntegrasyon Yöntemleri
Sayısal integrasyon yöntemleri dinamik denge denklemini çözmek için
kullanılan en eski yöntem olarak bilinmektedir. t=0 başlangıç anından itibaren her
zaman adımında dinamik dengenin sağlanması esasına dayanmaktadır. Direkt ve
dolaylı yöntemler olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır. Direkt yöntemlerde daha
küçük zaman adımları çözümün sağlıklı olması açısından önem kazanmaktadır.
Yöntem, diferansiyel denklemin t anındaki çözümünden elde edilen sonuçları t+∆t
anındaki diferansiyel denklem çözümünde kullanmaktadır. Dolaylı yöntemlerde ise
daha büyük zaman adımlarıyla çalışma olanağı bulunmaktadır. Bu yöntemlerde, t-∆t
anında bulunan sonuçların t anında diferansiyel denklemi sağlayıp sağlamadığı
denenerek iterasyonlara devam edilmektedir.
SAP2000 yazılımında Newmark yöntemine dayanan birkaç farklı sayısal
integrasyon yöntemi kullanılabilmektedir.
6.4.7.1. Newmark Sayısal Đntegrasyon Yöntemi
Newmark tarafından şok ve deprem yüklemesi için geliştirilen bu yöntem,
1959’da sunulduğundan beri birçok modifikasyona uğramış ve geliştirilmiştir
(Wilson, 2002). Yöntemde Denklem 6.85’te görülen dinamik denge denklemi adım
adım çözümlenmektedir.
M u&
& + Cu&
+ Ku = F
(6.85)
t
t
t
t
Denklem 6.85’in çözümü için 6.86 denklemlerindeki Taylor serileri ile en
uygun yaklaşım elde edilmektedir.
2
3
∆t
∆t
u = u + ∆ u&
+ u&
& + &u&
&
t t−∆t
t t−∆t
t−∆t
t−∆t
+
2 6
88
K
(6.86a)

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
2
∆t
u & = u&
+ ∆ u&
& + &u&
&
t t−∆t
t t−∆t
t−∆t
+ K
2
89
(6.86b)
Newmark Yönteminde denklemler üçüncü derece türev teriminden itibaren
kesilmekte ve bu terimlerin katsayıları β ve γ olarak değiştirilmektedir. Yeni
denklemler 6.87 denklemlerindeki gibi yazılmaktadır.
edilmektedir.
∆t
ut = ut
−∆t
+ ∆
u&
2
t
t−∆t
2
3
tu& t−∆t
+ u&
& t−∆t
+ β∆t
&
t−∆t
2
tut −∆t
t t−∆t
(6.87a)
u& = u&
+ ∆ &
+ γ ∆ &u&
&
(6.87b)
Đvme değişimi doğrusal kabul edilirse Denklem 6.88 yazılabilmektedir.
( u&
& t − u&
& t−
∆t
)
& u&
& =
(6.88)
∆t
Denklem 6.88, 6.87 denklemlerinde yerine yazılırsa 6.89 denklemleri elde
1 2
2
ut = ut
t tu& t t β) t u&
& t t β t u&
&
− ∆ + ∆ −∆
+ ( − ∆ −∆
+ ∆ t
(6.89a)
2
u& & ( t& & + γ ∆tu&
&
(6.89b)
t = ut
−∆t
+ 1−
γ) ∆ ut
−∆t
t
6.89 denklemleri kullanılarak Denklem 6.85 adım adım her bir deplasman
serbestliği için çözülmektedir.
Wilson tarafından Newmark Yönteminin matris formülasyonu yapılmış ve
kütle orantılı sönüm eklenmiştir (Wilson, 2002). Bu durumda ivme ve hız
denklemleri 6.90 denklemlerindeki gibi olmaktadır.
u& & t = b ut
+ ut
− ∆t
+ b u&
t−∆t
+ b u&
&
1 ) 2
3 t−∆t
( (6.90a)
u& t = b ut
+ ut
− ∆t
+ b u&
t−∆t
+ b u&
&
4 ) 5
6 t−∆t
( (6.90b)
Denklemlerde verilen b sabitleri Denklem 6.90c’de görülmektedir.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
1
b1
=
β ∆t
b
4
edilmektedir.
2
= γ ∆tb1
b
5
b
2
=
1
β ∆t
= 1+
γ ∆tb
2
b
6
= ∆t(
1+
γ b
90
b
3
= β−
1
2
3
− γ)
(6.90c)
6.90 denklemlerinin Denklem 6.85’te yerine yazılmasıyla Denklem 6.91 elde
Ku = F + M(
u −∆
− b2u&
−∆
− b3u&
& −∆
) + C(
b4u
−∆
− b5u&
−∆
− b6u&
&
t
t
b1 t t t t t t
t t t t t−∆t
)
(6.91)
Denklemdeki K terimi efektif dinamik rijitlik matrisi adını almakta ve Denklem
6.91a’daki gibi tanımlanmaktadır.
= K + b M + b C
(6.91a)
K 1 4
Yöntemde ∆t seçimi önem kazanmaktadır. Çok serbestlik dereceli yapılar
için ∆t seçiminde kullanılabilecek kriter Denklem 6.92 ile tanımlanmaktadır (Wilson,
2002).
∆t
TMIN
≤
2π
1
γ
2
− β
Denklemde, TMIN yapı sisteminin en küçük periyodunu göstermektedir.
6.4.7.2. Ortalama Đvme Yöntemi
(6.92)
Ortalama ivme yöntemi, integrasyonda trapez kuralına dayanmaktadır.
Çözüm Denklem 6.93a’da verilen Taylor Serileri kullanılarak yapılmaktadır.
u
τ
= u
≈ u
t−∆t
t−∆t
+ τ u&
+ τ u&
t−∆t
t−∆t
2
τ
+ u&
& t−
2
2
τ u&
& t + (
2
∆t
−∆
3
τ
+ &u&
& t
6
t − u&
& t )
2
−∆t
+ K
(6.93a)

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Denklemde τ zaman adımları içinde değişken bir noktayı göstermektedir. Hız ise
Denklem 6.93b’deki gibi 6.93a denkleminin bir defa türevi alınarak bulunmaktadır.
u&
τ
u&
& t−∆t
− u&
& t
= u&
t−
∆t
+ τ( )
(6.93b)
2
Denklemlerde τ=∆t alınırsa deplasman ve hız ifadeleri 6.94 denklemlerindeki
gibi olmaktadır.
olmaktadır.
2
∆t
ut = ut
t tu& t t u&
&
− ∆ + ∆ −∆
+ t−∆t
4
2
∆t
+ u&
& t
4
(6.94a)
∆t
∆t
u& t = u&
t t u&
& t t u&
&
− ∆ + −∆
+ t
2 2
(6.94b)
Elde edilen bu denklemler γ=1/2 ve β=1/4 için Newmark denklemleriyle aynı
6.4.7.3. Wilson θ Faktörü Yöntemi
Newmark yönteminde ∆t’ de yapılan basit bir düzenlemeyi içermektedir. ∆t,
θ gibi bir faktörle düzeltilmektedir. Bu durumda ∆t, t′
∆ ile gösterilmektedir.
∆t ve yükleme için yapılan düzenlemeler 6.95 denklemlerinde
tanımlanmaktadır.
∆t′ = θ ∆t
(6.95a)
R t′ = R t−∆t
+ θ(R t − R t−∆t
)
(6.95b)
Denklemlerde θ ≥ 1alınan
bir katsayı göstermektedir ve θ = 1 için modifiye
edilmemiş Newmark yöntemiyle aynı forma dönüşmektedir. Yöntemde θ∆t aralığı
ile & u& t′ vektörü elde edilmekte sonra ivme, hız ve deplasman 6.96 denklemleriyle elde
edilmektedir.
1
u& & t = u&
& t−∆t
+ ( u&
& t′
− u&
& t−∆t
)
(6.96a)
θ
91

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
u& & ( t& & + γ ∆tu&
&
(6.96b)
t = ut
−∆t
+ 1−
γ) ∆ ut
−∆t
t
2
∆t
( 1−
2β)
2
ut = ut
t tu& t t
u&
& t t + β ∆t
u&
&
− ∆ + ∆ −∆
+
−∆
t
(6.96c)
2
Yöntem sayısal olarak yüksek dereceli modları sönümlemektedir. Ancak
herhangi bir t anında dinamik denge denklemlerini kesin olarak sağlayamadığı ve
daha kesin sonuçlar veren yöntemler geliştirildiği için program yazarı tarafından
kullanımı önerilmemektedir (Wilson, 2002).
6.4.7.4. Hilber, Hughes ve Taylor α Yöntemi
Yöntem, yeniden düzenlenmiş bir Newmark yaklaşımı olarak
tanımlanmaktadır. Bir α katsayısı ile dinamik denge denklemleri Denklem 6.97’de
verildiği gibi düzenlenmektedir.
Mu& & ( &
& α
t t
t
t t
t ∆ t
t ∆t
+ + − + = + + + + 1 α) Cu
( 1 α) Ku ( 1 α) F αF
αCu
- Ku -
92
(6.97)
α katsayısı sıfıra eşit olduğunda yöntem Newmark Yöntemine
dönüşmektedir.
6.4.8. Sönüm Modelleri
Sönüm, dinamik hareket esnasında yapının enerjiyi tüketmesi olarak
tanımlanmaktadır. SAP2000 yazılımında birkaç farklı sönüm modeli
kullanılmaktadır.
Viskoz sönüm gerçek fiziksel bir özellik değildir. Bu model daha çok
matematiksel bir yaklaşım yapmak için kullanılmaktadır. Gerçekte yapılarda
sönümleyici elemanlar yoksa yapının sönümünü modellemek için viskoz sönüm
yaklaşımı kullanılmaktadır.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Rayleigh sönümü olarak da bilinen, kütle ve rijitlik orantılı sönüm bir diğer
modeldir. Bahsedilen her iki sönüm modeli de yapının gerçek fiziksel özelliklerine
dayalı olarak üretilen ve analitik olarak ihtiyaç duyulan özellikleri içermektedir.
Yapıda gerçekten sönümleyici varsa SAP2000 yazılımındaki özel sönüm
elemanlarıyla modellenebilmektedir.
6.4.8.1. Lineer Viskoz Sönüm
Yapının sönüm oranının tespiti laboratuar ve saha testleriyle mümkün
olmaktadır. Yapıyı bir kuvvetle çekip bırakarak, yaptığı zamana bağlı deplasmanın
pik değerleri arasındaki fark kullanılarak sönüm oranını tahmin etme imkanı
bulunmaktadır. Ancak bu tek serbestlik dereceli yapı davranışına uygun bir yöntem
olarak bilinmektedir. Birçok modu içeren çok serbestlik dereceli yapılar için daha
karmaşık yöntemlerin kullanılması gerekmektedir.
Yapının enerjiyi tüketmesi malzeme sönümü ve düğüm noktalarındaki
sürtünme gibi farklı sebeplerden kaynaklanmaktadır.
Serbest titreşim altındaki tek serbestlik dereceli bir yapıda lineer viskoz
sönümün sebep olduğu deplasmanlardaki azalma Denklem 6.98’deki gibi
verilmektedir.
−ξωt
( t)
= u(
0)
e cos( ω t)
(6.98)
u D
Denklemde, t zamanı, u(t) zamana bağlı deplasmanı, u(0), t=0 anındaki deplasmanı,
ξ sönüm oranını ve ω frekansı göstermektedir. ω D ise
tanımlanmaktadır.
93
ω = ω 1− ξ
2
D ile
Denklem 6.98, m adet devir sonraki deplasman için yazılırsa 6.99
denklemleri elde edilmektedir.
u(
2πn)
u(
2π
( n
−ξω
2πn
/ ωD
= u = u(
0)
e
(6.99a)
n
−ξω
2π
( n+
m)
/ ωD
m))
u u(
0)
e
= + (6.99b)
n+
m =

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
Denklem 6.99b’nin 6.99a’ya oranı Denklem 6.100’deki gibi yazılmaktadır.
u
2πmξ
n+ m 1−ξ
= e = rm
un
2
94
(6.100)
Denklemde rm azalma oranı olarak adlandırılmaktadır. Denklemin doğal logaritması
alınırsa, sisteme ait sönüm oranı Denklem 6.101a’daki gibi bulunmaktadır.
− ln(
ξ = − ξ
2πm
rm ) 2
1
(6.101a)
Denklem iteratif formda Denklem 6.101b’deki hale gelmektedir.
2
ξ ( i)
= ξ0
1− ξ(
i−1)
(6.101b)
Elde edilen bu sönüm efektif veya klasik sönüm olarak da bilinmektedir.
6.4.8.2. Rayleigh Sönümü
Sönüm matrisinin kütle ve rijitlik matrisiyle orantılı olduğu kabulünün
yapıldığı sönüm modeli olarak tanımı yapılmaktadır. Bu model Denklem 6.102’deki
gibi ifade edilmektedir.
C = η M + δK
(6.102)
Mod birleştirme yönteminde modların girişimsiz olabilmesi için sönüm
matrisi Denklem 6.103’teki özellikte olmalıdır.
2ω
ζ = φ Cφ
= ηφ
Mφ
+ δφ
Kφ
n
n
0 = φ Cφ
T
n
T
n
m
n
T
n
n ≠ m
Denklemde n ve m mod numaralarını göstermektedir.
n
T
n
n
(6.103)
Denklem 6.103’teki kütle ve rijitlik matrisleri ortagonal olduğu için Denklem
6.104 yazılabilmektedir.

6. ANALĐTĐK YÖNTEMLER Tarık BARAN
1 ωn
ζ n = η+
δ
(6.104)
2ω
2
n
i ve j frekanslarında η ve δ için Denklem 6.104’ten türetilen Denklem 6.105
çözülerek modal sönüm belirlenebilmektedir.
⎡ 1
⎡ξi
⎤ ⎢
⎢ ⎥ 1 ωi
= ⎢
⎢ ⎥ 2 ⎢ 1
⎢
⎣ξ
⎥ j ⎦ ⎢
⎣ω
j
⎤
ωi
⎥⎡η⎤
⎥⎢
⎥
⎥⎢
⎥
ω j ⎥⎢⎣
δ⎥⎦
⎦
95
(6.105)
Sönüm oranının eşit olduğu iki frekans için kütle ve rijitlik matrisi orantı
katsayıları Denklem 6.106’daki gibi bulunmaktadır.
ξ = ξ = ξ =>
i
j
⎧ 2ξ
⎫
⎪
δ =
ω ⎪
i + ω j ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪⎩
η = ωiω
j δ ⎪⎭
6.4.8.3. Klasik Sönüm Kullanmadan Analiz
(6.106)
SAP 2000 yazılımında, sönüm için yukarıda bahsedilen iki modelin dışında,
sönüm elemanlarını yapının herhangi bir yerine yerleştirerek modelleme olanağı
bulunmaktadır (Wilson, 2002).
Lineer viskoz sönümleyiciler non-lineer sönüme bir yaklaşım olarak
kullanılabilmektedir. Non-lineer sönümü belirlemek için en etkili yöntem ise sönüm
kuvvetlerini dinamik denge denkleminde sağ tarafa atıp non-lineer analizin
yapılmasıdır. Bu amaçla SAP2000 yazılımında hızlı non-lineer analiz (FNA)
kullanılabilmektedir(Wilson, 2002).
Yapı mühendisliğinde deneysel olarak belirlenen sönüm oranını kullanmak
mümkündür. Yapı sistemleri için sönüm oranının pratikte kullanılan değeri 0.05
civarındadır. Ancak birçok deneysel çalışma bu değerin o kadar büyük olmadığını ve
0.02’den bile daha az olabileceğini göstermektedir (Wilson, 2002). Sayısal analizde
yüksek sönüm oranları, düğüm deplasmanlarının dolayısıyla eleman uç kuvvetlerinin
daha küçük hesaplanmasına sebep olabilmektedir.

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
7. DENEYSEL ÇALIŞMA
7.1. Giriş
Bu bölümde, İnşaat Mühendisliği Yapı Laboratuarında kurulan sarsma tablası
kullanılarak gerçekleştirilen deneyler sunulmaktadır.
Çalışmada öncelikle sarsma tablası ile ilgili analizler yapılmış, sarsma tablası
kalibre edilmiş, daha sonra sarsma tablasının sınırları belirlenmiştir. Tabla
sınırlarının belirlenmesi için çeşitli performans testleri yapılmıştır. Yapılan deneyler
ayrıntılı olarak bir sonraki bölümde sunulmuştur.
Ölçme sistemindeki LVDT’lerin kalibrasyonu ise bir mikrometre kullanılarak
geçekleştirilmiştir
İvmeölçer ise sarsma tablasının istenilen deplasmanı gerçekleştirdiği göz
önüne alınarak sarsma tablası kullanılarak kalibre edilmiştir. Aynı zamanda
LVDT’lerden elde edilen deplasman değerleri ivmeye dönüştürülerek ikinci bir
kalibrasyon gerçekleştirilmiştir.
7.2. Sarsma Tablasının Kalibrasyonu
İlk olarak, sarsma tablasının kalibrasyonu için doğrusal bir deplasman
fonksiyonu sağlayacak olan Şekil 7.1’de görülen hız fonksiyonu 5 saniye süresince
sarsma tablasına uygulanmıştır. Sarsma tablası deplasmanı potansiyometrik
deplasman ölçme cihazı yardımıyla kaydedilmiştir. Elde edilen deplasman eğrisi ile
hesaplanan deplasman eğrisi arasındaki ilişki Şekil 7.2’de sunulmuştur. Şeklin
incelenmesinden görüleceği gibi, ölçülen deplasman grafiği sinyalde oluşan
gürültüyle birlikte sunulmuştur.
Sinyalde oluşan gürültü Bölüm 4’te açıklandığı gibi filtre kullanılarak etkisiz
hale getirilebilmektedir. Sinyaldeki gürültü temizlenmiş olarak sarsma tablası
deplasmanı ve hesaplanan deplasman Şekil 7.3’te sunulmuştur.
Şekillerin incelenmesinden, ölçülen ve hesaplanan deplasmanların birbiri ile
uyumlu olduğu anlaşılmaktadır.
96

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
Hız(cm/s)
Deplasman (cm)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
0
0 1 2 3 4 5 6
Zaman (s)
Şekil 7.1. Sarsma tablasına uygulanan hız verisi grafiği
Ölçülen Hesaplanan
0 1 2 3 4 5 6
Zaman(s)
Şekil 7.2. Sarsmaa tablasındana ölçülena filtre edilmemiş deplasman değerleri ve hız
verisinden hesaplanan deplasmanlar
İkinci olarak, sarsma tablasına, Şekil 7.4 görülen genliği ± 15.9 cm/s olan
sinüzoidal bir hız verisi 10 saniye boyunca uygulanmış ve potansiyometrik
deplasman ölçme cihazı kullanılarak sarsma tablası deplasmanları kaydedilmiştir.
Elde edilen deplasman ve hesaplanan deplasman verileri Şekil 7.5’te
karşılaştırılmıştır.
97

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
Deplasman (cm)
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
Ölçülen Hesaplanan
0 1 2 3 4 5 6
Zaman(s)
Şekil 7.3. Düzeltilmiş deplasman okumasının hesaplanan deplasman değerleri ile
karşılaştırılması
Hız (cm/s)
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0 2 4 6 8 10
Zaman(s)
Şekil 7.4. Uygulanan sinüzoidal hız verisi
Şekil 7.5’ten görüldüğü gibi sarsma tablası hız verisini başarıyla
uygulamaktadır. Şekil 7.5’teki deplasmanlar Şekil 7.2’deki deplasmanlara göre
büyük olduğu için sinyaldeki gürültü deplasman verisini çok fazla bozmamaktadır.
Ancak potansiyometrik deplasman ölçme cihazlarının LVDT tipi deplasman ölçme
cihazlarına oranla daha fazla gürültü topladığı belirtilmelidir. Bu yüzden çalışmada
LVDT’lerden okunan deplasman verisi sıkça kullanılmıştır.
98

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
Deplasman (cm)
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
Hesaplanan Ölçülen
0 2 4 6 8 10
Zaman(s)
Şekil 7.5. Sinüzoidal hız verisinin uygulanması sonucu sarsma tablasından ölçülen ve
hız verisinden hesaplanan deplasmanlar
Sarsma tablasının performans araştırması esnasında benzer deneyler farklı
genlik ve frekanslar için tekrarlanarak, elde edilen deplasman ve ivme verileri
sayesinde bu kalibrasyonlar doğrulanmıştır.
7.3. LVDT’lerin Kalibrasyonu
Deneysel çalışmada kullanılan LVDT’ler 15 cm strokludur. Elektriksel olarak
topladığı verileri bilgisayara aktarma işlemini National Instruments 9215A tipi bir
veri kaydedici yapmaktadır. LVDT’nin çalışma voltaj aralığı 0~6 Volt’tur. Veri kayıt
cihazına ait yazılım kendi içinde kalibrasyon verilerini işleyerek, kullanıcıya direkt
olarak deplasman verilerini tablo veya grafik olarak vermektedir.
Cihazın kalibrasyonu için Şekil 7.6’da görülen mikrometre kullanılmıştır.
Mikrometre sayesinde bilinen bir deplasman LVDT’ye uygulanarak karşılık gelen
voltaj değeri tespit edilmiştir. Tespit edilen voltaj değerleri ile deplasman değerleri
arasında belirlenen doğrusal bağıntı katsayıları kalibrasyon sabitleri olarak
kullanılmıştır.
Elde edilen kalibrasyon eğrisi Şekil 7.7’de verilmektedir.
99

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
Deplasman (mm)
Şekil 7.6. Mikrometre
100
80
60
40
20
0
-40
-60
-80
-100
y = 31.432x - 105.29
R 2 = 1
0 1 2 3-20 4 5 6 7
7.4. İvmeölçerin Kalibrasyonu
Voltaj Değeri (V)
Şekil 7.7. LVDT kalibrasyon eğrisi
Kullanılan ivmeölçer ±5.5 m/s 2 aralığında ivme ölçümü yapabilen, ±10 V
aralığında giriş voltajı olan ve 1136.7 mV/m/s 2 hassasiyetinde bir cihazdır.
İvmeölçerin kalibrasyonu için kullanılan yöntem, genliği ve frekansı bilinen
bir hareketin kullanılması ve ivmeölçerden alınan voltaj değerinin bu harekete göre
100

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
düzenlenerek bir çarpanın belirlenmesidir. Ayrıca kalibrasyon için kullanılan özel
cihazlar mevcuttur.
Genliği ve frekansı bilinen bir hareket sarsma tablasına uygulanmıştır. Sarsma
tablasının hesaplanan deplasmanı uyguladığı bilindiği için sarsma tablası deplasmanı
bu kalibrasyonun yapılmasında kullanılmıştır.
Burada önemli nokta ivmeölçerden elde edilen verinin veri kayıt cihazının
filtresine ek olarak ikinci bir filtrelemeye ihtiyaç duymasıdır. Benzer şekilde ölçülen
deplasmandan ivmeye sayısal türev yoluyla geçilirken de aynı filtrenin aynı kesme
frekansıyla kullanılması gerekmektedir.
Şekil 7.8’de görülen hız fonksiyonu sinüs formlu bir deplasman kaydına aittir.
20 saniyelik bu hız verisinin tablaya uygulanması sonucu, LVDT kullanılarak
tabladan ölçülen deplasman verisinin iki defa sayısal türevi alınarak elde edilen ivme
ve ivmeölçerden elde edilen ivme verisi karşılaştırılmıştır. Yapılan karşılaştırma
Şekil 7.9’da sunulmaktadır.
Hız(cm/s)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Zaman(s)
Şekil 7.8. İvmeölçer kalibrasyonu için kullanılan kosinüs formlu hız verisi
101

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
İvme (cm/s/s)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Hesaplanan Ölçülen
0 2 4 6 8 10 12 14
Zaman(s)
Şekil 7.9. Kosinüsa formlua hız kaydı için sarsma tablasından ölçülen deplasmandan
türev yoluyla elde edilen ve ivmeölçerden okunan ivmeler
Tabladan elde edilen 1 Hz frekanslı bir deplasman verisinin iki defa sayısal
türevi alınarak ve ivmeölçerden elde edilen veriler kullanılarak yapılan benzer bir
karşılaştırma Şekil 7.10’da sunulmuştur.
Yapılan karşılaştırmalar sonucu, bir kalibrasyon katsayısı bulunmuştur. Bu
katsayı kullanılarak ivmeölçerden ölçülen voltaj okumaları cm/s 2 boyutuna
dönüştürülmektedir. Katsayı değeri 210 cm/s 2 /V olarak belirlenmiştir. Kaydedilen
voltaj değerlerinden ivmeye Denklem 7.1 kullanılarak geçilebilmektedir.
ai = 210 vi
Denklemde, ai i’inci ivme değeri, vi i’inci voltaj değerini tanımlamaktadır.
7.5. Deney Düzeneği ve Yapı Modelleri
(7.1)
Deneysel çalışma için biri tek serbestlik dereceli diğeri ise kesme tipi bir yapı
olmak üzere iki adet model hazırlanmıştır. Hazırlanan modeller sarsma tablası
üzerinde test edilmiştir. Testlerde kullanılan tipik deney düzeneği Şekil 7.11’de
görüldüğü gibidir.
102

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
İvme (cm/s/s)
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
Hesaplanan Ölçülen
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Zaman(s)
Şekil 7.10. Sarsma tablasından ölçülen deplasmandan türev yoluyla elde edilen ve
ivmeölçerden okunan ivmeler
7.5.1. Tek Serbestlik Dereceli Yapı Modeli
Sarsma tablasının performans testlerini gerçekleştirmek amacıyla kullanılan
modeldir. Malzemesi çelik olarak seçilen modele ait geometrik ve fiziksel özellikler
Şekil 7.12’de görülmektedir. Çelik çubuğun tepe noktasına yerleştirilen kütle çubuk
kütlesine göre çok büyük seçilerek, çubuk kütlesinin önemsiz hale gelmesi ve sistem
davranışının tek serbestlik dereceli sisteme yaklaşması sağlanmıştır.
7.5.2. İki Katlı Çelik Yapı Modeli
Model, yapıların dinamik davranışını inceleyebilmek amacıyla
benzerlik/ölçekleme yasalarına uygun olarak üretilmiştir. Yapı modeli, gerçek
boyutlarda bilgisayarda tasarlanmış bir yönde tek diğer yönde ise iki açıklığa sahip,
iki katlı bir yapıdır. Şekil 7.13’te tasarlanan prototip yapı ve boyutları görülmektedir.
Kat döşemeleri 1 cm kalınlığında çelik levhalar olarak tanımlanmıştır. Kolon
ve kirişler çelik malzemeli I kesitli putrel elemanı olarak tasarlanmış olup elemanlara
ait kesitler Şekil 7.14’te görülmektedir.
103

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
Veri
toplama
sistemi
Ölçülen sinyal
L = 95 cm
Ölçme çerçevesi
LVDT
İvmeölçer
Potansiyometrik
deplasman sensörü
Deney yapısı
Motor
Tabla yüzeyi
Tahrik Ünitesi
Şekil 7.11. Tipik deney düzeneği ve sistem bileşenleri
A A
m = 0.00204 kgf-s 2 2 kg
/cm
Çelik çubuk
Tabla yüzeyi
8 mm
A-A Kesiti
8 mm
(a) (b)
PC
Kontrol
sinyali
Kontrol birimi
Lab.
zemini
Şekil 7.12. Tek serbestlik dereceli yapı modeli (a) fiziksel özellikler (b) model
yapının tabla üzerindeki yerleşimi
104

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
300 cm
300 cm
250 cm
350 cm
Şekil 7.13. İki katlı prototip yapı
105
350 cm

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
belirlenmiştir.
Şekil 7.14. Prototip yapı kolon ve kiriş kesitleri
Prototip yapının dinamik davranış özellikleri, SAP2000 programı kullanarak
Prototip yapı tasarımından sonra bu yapının fiziksel modeli 1/5 ölçek oranıyla
üretilmiştir. Model üretimi sırasında daha önce Çizelge 5.7’de verilen ivme
benzerliği yasaları kullanılmıştır. Model yapı ve prototip yapı malzemesi aynı olduğu
için malzeme ölçek katsayısı 1 alınmıştır. Dolayısıyla sadece boyutlara bağlı bir
benzerlik yeterli olmuştur. Model ve prototip yapının ivme benzerliğine göre ilişkisi
Çizelge 7.1’ de verilmektedir.
Model yapı üretimi için bütün uzunluk nicelikleri 0.2 uzunluk katsayısıyla
küçültülmüştür. Model yapı testlerinde kullanılacak deprem kayıtları da 0.4472
zaman katsayısına göre tekrar düzenlenmiştir.
Model yapı üretimi için ölçekleme yasalarına göre hazırlanan I kesitli profil
boyutları Şekil 7.15’te görülmektedir.
4.5 1 4.5
Kesit boyutları Şekil 7.15’te verilen profilin hazırlanabilmesi için 0.1 cm
kalınlığında çelik saclara önce C kesit şekli verilmiştir. Daha sonra üretilen bu C
kesitler punta kaynakla birleştirilerek I kesitler oluşturulmuştur. Şekil 7.16’da
üretilen C kesit, Şekil 7.17’de ise üretilen I kesit görülmektedir.
106
0.5
9
(cm)
0.5
(cm)

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
Çizelge 7.1. İvme benzerliğine göre prototip ve model yapı ilişkisi (λ=1/5)
Nicelik Prototip Yapı Model Yapı
Deplasman, δ δp δm = 0.2 δp
Uzunluk, l lp lm = 0.2 lp
Hız, v vp vm= 0.4472 vp
İvme, a ap am= ap
Kütle, m mp mm =0.04 mp
Ağırlık, W Wp Wm = 0.04 Wp
Kuvvet, Q Qp Qm = 0.04 Qp
Zaman, t tp tm =0.4472 tp
Frekans, f fp fm = 2.2361 fp
Ağırlık gerilmesi, σ σpg σpg= σmg
Sismik gerilme, σ σps σms= σps
0.9 0.2 0.9
0.1 1.8 0.1 (cm)
(cm)
Şekil 7.15. Model yapı kolon ve kiriş kesitleri
107

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
Şekil 7.16. Model yapı kesitlerini oluşturmak için üretilen C kesit
Şekil 7.17. Model yapı I kesitleri
Yapı çerçevelerini oluşturan kolon-kiriş elemanları, gaz altı kaynak yöntemi
ile birleştirilmiştir. Harris ve Sabnis (1999), bu yöntemin çelik yapılarda kaynaklı
birleşimleri benzeştirmek için en uygun yöntem olduğunu belirtmişlerdir. Bu yöntem
narin kesitlerde kayıplara sebep olmadığından model yapı üretimi için uygundur.
Daha sonra 0.2 cm kalınlıklı sac levhalar ile modellenen döşeme elemanları kat
hizalarında yapıya gaz altı kaynağı ile bağlanmıştır. Üretimi gerçekleştirilen
kısımların görünümü Şekil 7.18 verilmektedir.
108

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
Şekil 7.18. Model yapı kesit ve döşeme birleşimleri
Prototip yapının kütlesi 4074.42 kg olarak hesaplanmıştır. Bu nicelikler
benzerlik yasalarına göre model yapı için uygulandığında, model yapının kütlesi
162.977 kg olarak hesaplanmıştır. Malzeme her iki yapıda da aynı olduğu için, yani
herhangi bir şekilde malzeme benzerliği kullanılmadığından, model yapının öz
ağırlığı ve öz kütlesinden gelen katılım hesaplandıktan sonra model yapıya
eklenmesi gereken kütle bulunmuştur. Model yapının kütlesi 32.6 kg’dır. Bu
durumda yapıya eklenmesi gereken kütle 130.377 kg olmalıdır. Model üretimi
esnasında kütle değerlerine her iki kat hizasına yerleştirilen 2 cm kalınlıklı çelik
plakalar kullanılarak ulaşılmıştır (Şekil 7.19).
Şekil 7.19. Model yapıya eklenen kütleler ve deplasman ölçüm noktası
109
Deplasman
ölçüm noktası

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
Model 0.5 cm kalınlıklı çelik levhalar kullanılarak sarsma tablası üzerine
bağlanmıştır. Yapı kolonlarının ankastre çalışmasını sağlayabilmek için yardımcı
bağlantılar kullanılarak kolonların altlarında rijit bölgeler oluşturulmuştur. Böylelikle
prototip yapı için öngörülen sınır koşuları model yapıda sağlanmıştır. Şekil 7.20’de
kolon mesnet noktalarına ait detay ve model-tabla bağlantısı görülmektedir.
Şekil 7.20. Kolon mesnet noktası detayı ve model-tabla bağlantısı
Yukarıda anlatılan işlemlere göre üretilen yapıya ait ölçüler Şekil 7.21’de,
yapının deneye hazır hali ise Şekil 7.22’de görülmektedir.
Üretilen model yapı üzerinde yapılması planlanan birinci etap testlerin
tamamlanmasından sonra yapının tek açıklıklı dış çerçevelerine çapraz 0.2 cm çaplı
çelik tel gergi elemanları yerleştirilerek yapı güçlendirilmiş ve deneyler
tekrarlanmıştır (Şekil 7.23).
110

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
60 cm
60 cm
50 cm
70 cm
Şekil 7.21. Model yapı boyutları
111
70 cm

7. DENEYSEL ÇALIŞMA Tarık BARAN
Şekil 7.22. Üretilen model yapının sarsma tablasındaki yerleşimi
Şekil 7.23. Model yapı üzerinde gergi elemanları
112

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI
8.1. Giriş
Bu bölümde sarsma tablasının sayısal analizi, performans araştırmaları ve
sarsma tablası kullanılarak gerçekleştirilen deneysel çalışmalar ile teorik çalışma
sonuçları kıyaslamalı olarak sunulmaktadır.
8.2. Uygulamalar
8.2.1. Uygulama 1
Doğru tasarlanmış bir sarsma tablasında, tablanın uygulayacağı hareket
doğrultusundaki serbest titreşim frekansının, uygulanması hedeflenen sismik frekans
değerlerinden (0~20 Hz) uzak olmasının gerektiği bilinmektedir (Sollogoub, 2006).
Bu uygulamada, üretilen sarsma tablasının serbest titreşim analizi
gerçekleştirilerek tablanın frekans özellikleri belirlenmiştir.
Bu amaçla sarsma tablasının rijit plaka kısmı ve güçlendiricileri SAP2000
programında modellenmiştir. Şekil 8.1’de sarsma tablasına ait sayısal model
görülmektedir. Modelde raylar üzerindeki kayıcı mesnet konumlarından ikisi
tutularak analizler gerçekleştirilmiştir.
Ritz vektörleri (Wilson, 2002) kullanılarak gerçekleştirilen modal analiz
sonucunda elde edilen modal frekans değerleri ve kütle katılım oranları Çizelge
8.1’de sunulmuştur.
Sarsma tablasının çalışma doğrultusu olan Y ekseni yönündeki ilk frekans
değeri 9. modda 378.62 Hz olarak elde edilmiştir. Belirlenen serbest titreşim
frekanslarının sismik frekanslardan uzakta olduğu, böylece tablanın sismik harekete
bağlı bir rezonanstan etkilenmeyeceği belirlenmiştir.
113

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
X
Z
Y
Şekil 8.1. Sarsma tablası sayısal modeli
Çizelge 8.1 Sarsma tablası frekansları ve kümülatif kütle katılım oranları
Mod Frekans
(Hz)
Toplam
UX
Toplam
UY
114
Toplam
UZ
Toplam
RX
Toplam
RY
Toplam
RZ
1 0.00019 0 0 0.36 0.82 0.24 0
2 15.244 0 6.3 10 -17 0.36 0.82 0.36 1.7E-17
3 33.004 0 6.3E-17 0.49 0.85 0.45 1.7E-17
4 51.792 0 1.5E-16 0.74 0.9 0.62 4.1E-17
5 65.688 0 1.1E-14 0.84 0.92 0.69 2.8E-15
6 87.342 0 7.9E-11 0.84 0.92 0.69 2.1E-11
7 143.6 0 7.9E-08 0.91 0.94 0.74 2.1E-08
8 207.53 0 4.5E-05 0.96 0.95 0.77 1.2E-05
9 378.62 0 0.86 0.96 0.99 0.77 0.23
10 697.01 0 0.93 0.96 0.99 0.77 0.25
8.2.2. Uygulama 2
Bu uygulamada sarsma tablasının efektif kullanım (performans) sınırlarının
belirlenmesi için bir dizi deney yapılmıştır. Yapılan deneylerde 10 saniyelik
sinüzoidal ivme kayıtları kullanılmıştır. Kayıtlar hazırlanırken önce, genlikler sabit
tutularak frekanslar 0.1~ 25 Hz aralığında değiştirilmiş, daha sonra frekanslar sabit
tutulup ivme genlikleri 0~1.4g (g=9.81 m/s 2 ) arasında değiştirilmiş ve son olarak

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
hem genlikler hem de frekanslar bahsedilen sınırlar arasında değiştirilerek tablanın
efektif kullanım sınırları belirlenmiştir.
Tablanın sinyal uygulamadaki başarı kriterleri motor sürücünün hata
durumuna göre değerlendirilmiştir. Eğer sürücü giriş verisini uygulama esnasında
hata verir ve simülasyon yarım kalırsa bu uygulama başarısız kabul edilmiştir. Hata
sebebi deplasman sınırlarının yetersizliği ise hata “strok yetersiz” olarak
raporlanmıştır. Eğer hata sebebi motorun anlık hızlanma değerini yakalayamaması
ise hata “yüksek hız” olarak raporlanmıştır. Sürücünün bilgisayara yolladığı
“simülasyon başarıyla tamamlanmıştır” mesajı ile biten uygulamalar “başarılı”
olarak raporlanmıştır. Bu veriler kullanılarak sarsma tablasının uygulayabildiği
sırasıyla deplasman, hız ve ivme sınırları belirlenerek, Şekil 8.2, Şekil 8.3 ve Şekil
8.4’te sunulmuştur. Sunulan grafiklerde deplasman, hız ve ivme genliklerinin
maksimum değerleri verilmektedir.
Elde edilen hız verileri kullanılarak performans grafiği gösteriminde genel bir
yol olan sarsma tablası üç parçalı (tripartite) grafiği ise Şekil 8.5’te sunulmaktadır.
Deplasman (cm)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Deplasman sınırı Strok yetersiz Yüksek hız Başarılı
0 5 10 15 20 25 30
Frekans (Hz)
Şekil 8.2. Sarsma tablası deplasman sınırları
115

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Hız (cm/s)
Đvme (cm/s/s)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
Hız sınırı Strok yetersiz Yüksek hız Başarılı
0 5 10 15 20 25 30
0
Frekans (Hz)
Şekil 8.3. Sarsma tablası hız sınırları
Đvme sınırı Strok yetersiz Yüksek hız Başarılı
0 5 10 15 20 25 30
Frekans (Hz)
Şekil 8.4. Sarsma tablası ivme sınırları
Grafiklerden görülebileceği gibi sarsma tablası 0~25 Hz aralığında verimli
olarak çalışabilmektedir ve sırasıyla kullanışlı ivme sınırları ±1g (g = 9.81 m/s 2 ), hız
sınırları ±40 cm/s ve deplasman sınırları ise ±5 cm olarak elde edilmiştir.
116

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Hız (cm/sn)
8.2.3. Uygulama 3
araştırılmıştır.
Frekans (Hz)
Şekil 8.5. Sarsma tablası performans grafiği
Bu uygulamada, sarsma tablasının giriş verisi uygulama performansı
Uygulama için Bölüm 7’de detayları verilen tek serbestlik dereceli yapı
modeli kullanılmıştır. Yapı sarsma tablası üzerine bağlanarak öncelikle serbest
titreşim frekansı belirlenmiştir. Bu amaçla tepe noktasına yatay yönde bir deplasman
uygulanıp yapı serbest titreşime bırakılmış ve tepe noktası yatay deplasmanları
LVDT kullanılarak kaydedilmiştir. Elde edilen yatay deplasman grafiğinden yapıya
ait serbest titreşim frekansı 1.5314 Hz olarak belirlenmiştir (Şekil 8.6).
Serbest titreşim frekansını belirlemenin bir diğer yolu ise elde edilen
deplasman verisinin Fourier spektrum analizidir. Bu grafikte oluşan piklerin yatay
bileşeni yapıya ait serbest titreşim frekanslarını deplasmanların kaydedildiği yön için
verecektir (Şekil 8.7). Bu yöntemle yapı serbest titreşim frekansı 1.5259 Hz olarak
tespit edilmiştir.
117

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0 2 4 6 8 10 12
Zaman(s)
Şekil 8.6. Tek serbestlik dereceli yapının tepe noktası yatay deplasman grafiği
Şekil 8.7. Tek serbestlik dereceli yapıya ait tepe noktası yatay deplasman verisinin
Fourier spektrum grafiği
Deneysel olarak yapı serbest titreşim frekanslarını ve mod şekillerini
belirlemenin bir diğer yolu ise yapıya frekansı değişen bir dizi yer hareketinin
uygulanarak, yapının rezonansa girdiği andaki frekans değerini ve hareketin şeklini
belirlemektir (Harris ve Sabnis, 1999). Yer hareketinin frekansının rezonans anındaki
değeri, yapıya ait serbest titreşim frekansına eşittir.
118

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Bu uygulamada ise ulaşılmaya çalışan sonuç bunun tersidir. Yani serbest
titreşim frekansı bilinen bir yapının rezonansa girdiği frekans değeri ile sarsma
tablası tarafından uygulanan yer hareketinin giriş verisi frekansı yakın değerlerde ise,
sarsma tablasının yer hareketine ait giriş sinyalini yeterli yaklaşıklıkta
uygulayabildiği anlaşılmaktadır.
Serbest titreşim frekansı bilinen yapı için hazırlanan ivme kayıtları 3 saniye
süresince tablaya uygulanmıştır. Hazırlanan ivme kayıtları 50 cm/s 2 genlikli ve
sinüzoidal formdadır. Kayıtların frekansları ise 1 Hz, 1.5 Hz 1.5314 Hz, 1.6 Hz,
1.6527 Hz, 1.7 Hz, 1.8 Hz, 1.9 Hz ve 2 Hz olarak seçilmiştir.
Bu kayıtlar tablaya uygulanarak, model yapının tepe noktasının yatay
deplasmanları kaydedilmiştir. Örnek olarak, 1 Hz frekanslı kayıt kullanılarak yapılan
deneyden elde edilen ham tabla ve yapı tepe noktası yatay deplasman verisi Şekil
8.8’de verilmiştir. Rölatif yapı deplasmanlarını elde etmek amacıyla ölçülen yapı
deplasmanları ile ölçülen tabla deplasmanlarının farkı alınmıştır.
Deplasman (cm)
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Tabla Deplasmanı Yapı Deplasmanı
0 2 4 6 8 10 12
Zaman(s)
Şekil 8.8. 1 Hz frekanslı ivme kaydı kullanılarak elde edilen model yapı ve tabla
deplasmanları
Bu uygulamada ayrıca, ölçülen tabla deplasmanları ile ivme verisinin iki defa
sayısal integrali alınarak hesaplanan tabla deplasmanları karşılaştırılmıştır. Ölçülen
tabla deplasman verisine 10 Hz alçak geçiren (low pass) filtre uygulanmıştır. Örnek
119

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
olarak seçilen 1 Hz frekanslı kayda ait karşılaştırma sonuçları Şekil 8.9’da
sunulmuştur.
Deplasman (cm)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Zaman(s)
Şekil 8.9. 1 Hz frekanslı ivme kaydı için ölçülen ve hesaplanan tabla deplasmanları
Şekil 8.9’dan görüldüğü gibi sarsma tablası ivme kaydını yeterli yaklaşıklıkta
uygulayabilmektedir.
Yapının maksimum rölatif yatay kat deplasman değerleri belirlendikten sonra
SAP2000 yazılımı kullanılarak yapılan analiz sonucu bulunan yatay kat
deplasmanları ile karşılaştırılmıştır. Karşılaştırmada SAP2000’de kullanılacak modal
sönüm oranının belirlenebilmesi için iteratif bir çalışma yapılmıştır. Farklı sönüm
oranları için elde edilen rezonans grafiği Şekil 8.10’da sunulmaktadır.
Şekil 8.10’dan görüldüğü gibi deneyden elde edilen sonuçlarla sayısal
uygulamadan elde edilen sonuçlar uyum içerisindedir. Model yapı tepe noktası yatay
deplasmanları, yapının doğal titreşim frekansına yakın bölgelerde artmaktadır. Bu
durum, sarsma tablasının girdi olarak verilen ivme kaydını başarıyla uyguladığını
göstermektedir.
Şekil 8.10’un incelenmesinden, bu yapı modeli için sönüm oranının 0.015
civarında olduğu görülmektedir. Bu yüzden bu yapı modelinin sayısal analizleri
yapılırken sönüm oranı olarak 0.015 değeri kullanılmıştır.
120

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
8
6
4
2
0
Ölçülen SAP 2000 s=0 SAP 2000 s=0.05
SAP 2000 s=0.015 SAP 2000 s=0.035 SAP 2000 s=0.01
SAP 2000 s=0.02
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
1.5314
Frekans (Hz)
Şekil 8.10. Deneyden elde edilen ve farklı sönüm oranları için hesap yoluyla bulunan
model yapı tepe noktası maksimum yatay deplasmanları (s: sönüm oranı)
Belirlenen sönüm oranı ve hazırlanan ivme kayıtları kullanılarak model
yapının SAP2000 analizleri gerçekleştirilip, deneylerden elde edilen ve sayısal olarak
hesaplanan model yapı tepe noktası deplasmanları karşılaştırılmıştır. Örnek olarak
seçilen dört adet kayıt için yapılan karşılaştırmalar Şekil 8.11-8.14’te görülmektedir.
Deplasman (cm)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Zaman(s)
Şekil 8.11. 1 Hz frekanslı ivme kaydı için model yapıdan ölçülen ve sayısal olarak
hesaplanan tepe noktası deplasmanları
121

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
Ölçülen Hesaplanan
-8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Zaman(s)
Şekil 8.12. 1.5314 Hz frekanslı ivme kaydı için model yapıdan ölçülen ve sayısal
olarak hesaplanan tepe noktası deplasmanları (1.5314 Hz model yapı
serbest titreşim frekansıdır)
Deplasman (cm)
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Zaman(s)
Şekil 8.13. 1.7 Hz frekanslı ivme kaydı için model yapıdan ölçülen ve sayısal olarak
hesaplanan tepe noktası deplasmanları
122

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Zaman(s)
Şekil 8.14. 2 Hz frekanslı ivme kaydı için model yapıdan ölçülen ve sayısal olarak
hesaplanan tepe noktası deplasmanları
Şekillerden görüldüğü gibi rezonans frekansından uzaklaştıkça deney
sonuçları ve sayısal sonuçlar da birbirinden bir miktar uzaklaşmaktadır. Bunun
sebebi bu bölgelerde sönümün etkisinin artması ve deplasmanların küçülmesidir.
Rezonans frekansına yakın bölgelerde sonuçlar iyi bir uyum sergilemektedir. Deney
sonuçlarıyla yakalanan bu uyum, SAP2000 yazılımında doğru bir modelin kurulduğu
ve yazılımın çok iyi bir yaklaşıklıkla bu tarz problemleri analiz edebildiğini
göstermektedir.
8.2.4. Uygulama 4
Bu uygulamada, tek serbestlik dereceli yapı modeli kullanılarak gelişigüzel
bir yer hareketi altında sarsma tablasının performansı test edilmiştir. Yapılan
testlerde El Centro (1940) depremi kayıtları kullanılmıştır. Tabla sınırlarını aşmamak
için deprem kayıtları ivme benzerliği uyarınca λ = 1/10 oranıyla küçültülmüştür. Bu
durumda 53.75 saniye süren gerçek deprem kaydı ivme genlikleri değişmemek
kaydıyla 17 saniye süreli bir kayıt halini almıştır. Şekil 8.15’te türetilen bu ivme
verisi görülmektedir.
123

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
İvme (cm/s/s)
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Zaman(s)
Şekil 8.15. λ = 1/10 oranıyla ölçeklenmiş El Centro depremi ivme kaydı
İvme kaydının tablaya uygulanması sonucu tabladan ve model yapı tepe
noktasından ölçülen yatay deplasman grafikleri Şekil 8.16’da düzeltilmemiş ve
filtrelenmemiş olarak verilmektedir.
Deplasman (cm)
4
2
0
-2
-4
-6
-8
Tabla Deplasmanı Yapı Deplasmanı
0 5 10 15 20
Zaman(s)
Şekil 8.16. El Centro depremi ivme kaydı kullanılarak gerçekleştirilen deney sonucu
yapıdan ve tabladan ölçülen deplasman
Deneyde aynı zamanda tabla ivmeleri de ölçülmüştür.
Tabladan kaydedilen ivmeler ile ölçeklenmiş El Centro depreminin ivme
verisine ait Fourier spektrum grafikleri Şekil 8.17 ve Şekil 8.18’de sunulmuştur.
124

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Şekillerden görülebileceği gibi her iki analizde de büyük genlikler aynı frekans
aralığındadır. Genliklerdeki farklılıklar ise ivmeölçerden alınan verideki gürültüye
bağlıdır.
Genlik
Frekans (Hz)
Şekil 8.17. El Centro depremine ait kaydın uygulanması sonucu tabladan ölçülen
ivme kaydına ait Fourier spektrum grafiği.
Genlik
Frekans (Hz)
Şekil 8.18. İvme benzerliği kullanılarak türetilen ivme kaydına ait Fourier spektrum
grafiği.
125

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Tabladan ölçülen ve ivmenin iki defa sayısal integrali alınarak türetilen yatay
deplasmanların karşılaştırmalı grafiği, sarsma tablasının ivme kaydını uygulamadaki
performansını ortaya koymak amacıyla Şekil 8.19’da verilmiştir.
Deplasman (cm)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
Ölçülen Hesaplanan
-1.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Zaman(s)
Şekil 8.19. El Centroa depreminea ait ivme kaydının uygulanması sonucu tabladan
ölçülen deplasmanlar ile ivme kaydından hesaplanan deplasmanların
karşılaştırılması
Grafikten görüldüğü gibi iki deplasman verisi arasında zaman ekseninde
küçük bir farklılık söz konusudur. Ölçülen deplasman değerinde, zaman ilerledikçe
artan bir gecikme şeklinde ortaya çıkan farklılığın sebebi, veri kayıt cihazında
bulunan ve devre dışı bırakılamayan filtredir. Bu filtre her veride 10 milisaniyelik bir
gecikmeye yol açmaktadır. Ancak tablanın ivme kaydını başarılı bir biçimde
uyguladığı görülmektedir.
Tepe noktası yatay deplasmanı için model yapıdan ölçülen ve SAP2000
kullanılarak elde edilen değerler Şekil 8.20’de karşılaştırılmıştır.
Şekil 8.20’den görüldüğü gibi ölçülen ve hesaplanan deplasmanlar arasındaki
uyum oldukça iyidir. Hareketin şiddetli olduğu bölgede SAP2000 yazılımıyla
bulunan deplasmanlar ölçülen deplasmanlara oldukça yakındır. Ancak yer
hareketinin şiddeti azaldıkça deplasman genliklerinde bir miktar farklılık
gözlemlenmektedir. Bu farkın kullanılan sönüm modeli ile ilgili olduğu
düşünülmektedir.
126

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
3
2
1
0
-1
-2
-3
Ölçülen Hesaplanan
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Zaman(s)
Şekil 8.20. Model yapının tepe noktasında ölçülen ve SAP 2000 ile hesaplanan
rölatif yatay deplasmanlar
Sonuç olarak, sarsma tablasının gelişigüzel bir ivme kaydını oldukça iyi bir
performansla uygulayabildiği görülmektedir. Sayısal çözümler ile, deney
sonuçlarının yakınlığı ise SAP2000 yazılımında hazırlanan modelin doğru bir model
olduğunu ve SAP2000 yazılımının zaman tanım alanında yapılan analizlerde oldukça
başarılı olduğunu göstermektedir.
8.2.5. Uygulama 5
Bu uygulamada Şekil 7.21’de görülen model yapının sismik davranışı ile
ilgili deneyler ve sayısal çalışmalar yapılmıştır.
Model yapıya uygulanan kayıtlar ve yüklemeler yapının kısa kenarı
doğrultusunda gerçekleştirilmiştir.
8.2.5.1. Model Yapı için Efektif Elastisite Modülünün Belirlenmesi
Model yapı malzemesinin ısıl işlem görmesi ve malzemenin standartları
sağlamama ihtimaline karşı model yapı için efektif bir elastisite modülü bulunmuş ve
sayısal analizlerde bu değerler kullanılmıştır.
127

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Efektif elastisite modülünün belirlenebilmesi için yapıya statik bir yükleme
yapılmış ve yüke bağlı yatay kat deplasmanları kaydedilmiştir. Statik deney için
hazırlanan deney düzeneği Şekil 8.21 ve Şekil 8.22’te sunulmaktadır.
Makara
Ağırlık
W
Ölçme çerçevesi
Yapı modeli
Şekil 8.21. Statik deney yükleme düzeneği
W
Şekil 8.22. Statik deneyde kullanılan yüklerin görünümü
Deneyde, yaklaşık 3 dakikalık süre içende, 98.1 N değerine kadar 9.81 N’luk
artımlarla yapı yatay yönde yüklenmiş, sonra boşaltılmış ve tekrar 98.1 N’luk yük bir
seferde yüklenmiştir. Kat hizalarında LVDT yardımıyla ölçülen deplasmanların
grafik görünümü Şekil 8.23’te verilmektedir.
128

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Statik deneyden elde edilen deplasmanlar temel alınıp SAP2000 programında
elastisite modülü değiştirilerek iteratif bir çalışma yapılmış ve efektif elastisite
modülü değeri 1.853×10 8 kN/m 2 olarak belirlenmiştir. Bu değer çelik için verilen
standart elastisite modülü değeri olan 2.059×10 8 kN/m 2 değerinin %90’ına eşittir.
39.24 N
29.43 N
19.62 N
9.81 N
68.67 N
58.86 N
49.05 N
98.1 N
88.29 N
78.48 N
Şekil 8.23. Statik yükleme altında kat hizalarında ölçülen deplasmanın grafik
görünümü
Efektif elastisite modülü kullanılarak sayısal programdan elde edilen kat
deplasmanlarının deneysel olarak elde edilen kat deplasmanlarıyla karşılaştırmaları
1. kat için Şekil 8.24 ve 2. kat için Şekil 8.25’te verilmiştir.
Grafikler statik yükleme deney sonuçlarından belirlenen efektif elastisite
modülü değerinin uygun olduğunu göstermektedir.
8.2.5.2. Model Yapının Serbest Titreşim Frekanslarının Belirlenmesi
Elastisite modülü statik deneylerle belirlendikten sonra model yapının serbest
titreşim frekansları belirlenmiştir. Bunun için iki farklı yöntem kullanılmıştır.
129

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Birinci yöntem frekans taramasıdır. Bu yöntemde, model yapının tahmini
doğal titreşim frekanslarını içerecek bir frekans aralığında, değişik frekanslı ivme
kayıtları altında titreşim deneyleri yapılmakta, yapının rezonansa girdiği frekans
değeri tespit edilmekte ve bu titreşim frekansları, yapının doğal titreşim frekansları
olarak belirlenmektedir.
İkinci yöntem ise yapıya herhangi bir titreşim hareketi uygulandığında
ölçülen deplasman veya ivme verilerinin Fourier spektrum analizinde oluşan en
büyük genlik değerlerinin frekanslarının belirlenmesidir. Bu pik değerlerin oluştuğu
frekanslar yapının doğal titreşim frekanslarıdır.
Yük (N)
120
100
80
60
40
20
Ölçülen Hesaplanan
0
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Deplasman (cm)
Şekil 8.24. Statik yükleme altında 1. katın ölçülen ve hesaplanan yatay deplasman
değerleri
Yük (N)
120
100
80
60
40
20
0
Ölçülen Hesaplanan
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
Deplasman (cm)
Şekil 8.25. Statik yükleme altında 2. katın ölçülen ve hesaplanan yatay deplasman
değerleri
130

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
a) Frekans Taraması Yöntemi: Yöntemin uygulanması için tahmini frekans
aralığı sayısal analiz sonuçları kullanılarak belirlenmiştir. Analizlerde 1. doğal
titreşim frekanslarının bulunması için, frekansları 1~4 Hz aralığında 0.5 Hz’lik
artımlarla değişen 10 saniye uzunluğunda ivme kayıtları kullanılmıştır. Hazırlanan
kayıtlarla bir seri deney yapılmış daha sonra kat yatay deplasman değerlerinin
büyüdüğü 2.5~3 Hz aralığında yeni kayıtlarla deneyler tekrarlanmıştır. Son olarak
kat yatay deplasmanlarının en büyük olduğu 2.80~2.85 Hz aralığında 0.01 Hz’lik
artımlarla deneyler tekrarlanmış ve 1. doğal titreşim frekansı 2.80 Hz olarak
belirlenmiştir.
Benzer işlemler 2. doğal titreşim frekansı için kayıt frekanslarının 7.95~13
Hz olduğu aralıkta tekrarlanmıştır. Yapının 2. doğal titreşim frekansı ise 10 Hz
olarak belirlenmiştir.
Belirlenen maksimum deplasman-frekans grafikleri, 1. doğal titreşim frekansı
için Şekil 8.26 ve 2. doğal titreşim frekansı için Şekil 8.27’de sunulmuştur.
Grafiklerde mod şekli hakkında bilgi vermesi için, 1. ve 2. kat deplasmanları birlikte
gösterilmiştir. Grafiklerden, model yapıya ait 1. ve 2. mod şekillerinin Şekil 8.28a ve
8.28b’de gösterildiği gibi olduğu anlaşılmaktadır.
Deplasman (cm)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
1. Kat 2. Kat
0.5 1 1.5 2 2.5 2.8
3 3.5 4 4.5
Frekans (Hz)
Şekil 8.26. 1~4 Hz aralığı için model yapıya ait maksimum deplasmanların frekans
ile değişimi
131

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
1. Kat 2. Kat
-0.3
7 8 9 10 11 12 13
Frekans (Hz)
Şekil 8.27. 7.95~13 Hz aralığı için model yapıya ait maksimum deplasmanların
frekans ile değişimi
(a)
1
1.80
Şekil 8.28. Model yapı mod şekilleri
b) Fourier Spektrum Yöntemi: Fourier spektrum analizleriyle frekansları
belirlemek için, model yapı herhangi bir şekilde (tabandan uygulanan ivme kaydı
veya şok yükleme ile) titreşime zorlanmakta, zorlanmış titreşim bittikten sonra
yapının serbest titreşime geçtiği andan sonraki kat yatay deplasman kayıtlarından
herhangi biri alınarak Fourier spektrumu analizi gerçekleştirilmektedir. Spektrum
grafiğinde oluşan pikler doğal titreşim frekansları olarak belirlenmektedir. Bu
uygulamada örnek olarak 5 Hz frekanslı sinüzoidal ivme kaydı model yapıya titreşim
vermek amacı ile kullanılmıştır. Deneyden elde edilen 1. ve 2. katlara ait işlenmemiş
132
(b)
0.07
1

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
yatay deplasmanların grafiği Şekil 8.29’da ve Fourier spektrum analizinde kullanılan
kısım Şekil 8.30’da sunulmuştur.
Deplasman (cm)
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
Tabla 1. Kat 2. Kat
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Zaman(s)
Şekil 8.29. 5 Hz frekanslı ivme kaydının uygulanması sonucu model yapıdan ölçülen
yatay deplasmanlar ve tabla yatay deplasmanı
Deplasman (cm)
-3.6
-3.7
-3.8
-3.9
-4
-4.1
-4.2
Tabla 1. Kat 2. Kat
12.125 13.125 14.125 15.125 16.125 17.125 18.125
Zaman(s)
Şekil 8.30. 5 Hz frekanslı ivme kaydının uygulanması sonrası model yapıda oluşan
serbest titreşim hareketi
Analiz için 1. kata ait yatay deplasmanların serbest titreşim kısmı seçilmiştir.
Analize ait Fourier spektrum grafiği Şekil 8.31’de verilmektedir. Grafikten de
133
Fourier Spektrum analizinde
kullanılan kısım

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
görüldüğü gibi yapının 1. doğal titreşim frekansı 2.8076 Hz, 2. doğal titreşim
frekansı ise 9.2773 Hz olarak tespit edilmiştir.
Model yapının yukarıda bahsedilen yöntemler ile ve SAP2000 yazılımında
Ritz vektörleri yöntemiyle tespit edilmiş serbest titreşim frekanslarına ait
karşılaştırmalı tablo kümülatif kütle katılım oranlarıyla birlikte Çizelge 8.2’de
sunulmuştur. Çizelgeden görüleceği gibi belirlenen serbest titreşim frekansları
birbirine yakın değerlerdedir.
Şekil 8.31. 5 Hz frekanslı ivme kaydının uygulanması sonucu model yapıdan ölçülen
1.kat deplasmanının serbest titreşim kısmının Fourier spektrum grafiği
Çizelge 8.2. Çeşitli yöntemler ile elde edilen model yapı serbest titreşim frekansları
Serbest Titreşim
Frekansları
Frekans
Taraması
Yöntemi
Fourier
Spektrum
Analizi
134
SAP2000
Kümülatif
Kütle Katılım
Oranları (%)
1. Frekans (Hz) 2.80 2.8076 2.8076 0.92
2. Frekans (Hz) 10 9.2773 8.0145 1

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
8.2.5.3. Model Yapının Deprem Davranışının Belirlenmesi
Serbest titreşim frekanslarının belirlenmesi tamamlandıktan sonra yapının
deprem davranışı tipik bir deprem kaydı olan El Centro Depremi (1940) kayıtları
kullanılarak deneysel ve teorik olarak belirlenmiştir. Bunun için 4. Uygulamada
farklı bir katsayı ile ölçeklenmiş olan ve formu Şekil 8.16’da verilen El Centro
Depremi ivme kayıtları benzerlik yasası uyarınca 5. uygulama için model ölçeği olan
λ=1/5 katsayısıyla ölçeklenmiştir. Bu durumda ivme genlikleri değişmeksizin kayıt
süresi 53.75 saniye olan gerçek deprem kaydı 24.04 saniyelik bir kayda
dönüşmüştür. Depremin yapıya etki yönü kısa açıklık yönüdür.
El Centro depremine ait ivme kaydının uygulanması sonucu elde edilen yatay
kat deplasmanları ve yatay tabla deplasmanı işlenmemiş halde Şekil 8.32’de verildiği
gibidir.
Şekil 8.32’deki katlara ait yatay deplasman kayıtları ile tabla deplasmanın
farkı alınarak rölatif kat deplasmanları bulunmuştur. Şekil 8.33’de hesaplanan rölatif
kat deplasmanları görülmektedir.
Deplasman (cm)
5
3
1
-1
-3
-5
-7
-9
-11
Tabla 1. Kat 2. Kat
0 5 10 15 20 25
135
Zaman(s)
Şekil 8.32. El Centro (1940) Depremi kayıtlarının uygulanması sonucu elde edilen
yatay kat deplasmanları ve tabla deplasmanları
SAP2000 yazılımı kullanılarak aynı deprem kaydı altında model yapının
analizleri gerçekleştirilmiştir. Yapılan analizlerde sönüm oranlarının ve modellerinin

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
sonuçları nasıl etkilediği deney sonuçlarıyla kıyaslanarak araştırılmıştır. Đlk analizde
modal sönüm oranı olarak 0.03 kullanılmıştır. Gerçekleştirilen analiz sonucu elde
edilen kat deplasmanlarının deney sonucu elde edilen kat deplasmanlarıyla
karşılaştırmaları 1. kat için Şekil 8.34 ve 2. kat için Şekil 8.35’te görülmektedir.
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
3
2
1
0
-1
-2
-3
3
2
1
0
-1
-2
-3
1. Kat 2. Kat
0 5 10 15 20 25
Zaman(s)
1. Kat 2. Kat
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman(s)
Şekil 8.33. El Centro Depremi (1940) ivme kaydı için deneysel olarak belirlenen
rölatif kat deplasmanları
136

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0 5 10 15 20 25
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Ölçülen Hesaplanan
Zaman (s)
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.34. El Centro deprem kaydı için 1. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.03)
137

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0 5 10 15 20 25
3
2
1
0
-1
-2
-3
Ölçülen Hesaplanan
Zaman (s)
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.35. El Centro deprem kaydı için 2. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.03)
Şekil 8.34 ve Şekil 8.35’ten görüldüğü gibi deneysel ve teorik sonuçlar
arasında genel bir uyum olmasına rağmen, sayısal sonuçların frekansı deney
sonuçlarına göre bir miktar faklıdır. Sayısal olarak hesaplanan deplasmanların
genliği ise çok çabuk azalmaktadır. Yani 0.03 viskoz sönüm oranı sayısal modelin
enerji yutma kapasitesini olduğundan fazla artırmaktadır. Benzer işlemler 0.025
sönüm oranı için tekrarlanmış ve yatay kat deplasmanlarının zamana bağlı
karşılaştırmaları 1. kat için Şekil 8.36 ve 2. kat için Şekil 8.37’de sunulmuştur.
138

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0 5 10 15 20 25
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Ölçülen Hesaplanan
Zaman (s)
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.36. El Centro deprem kaydı için 1. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.025)
139

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0 5 10 15 20 25
3
2
1
0
-1
-2
-3
Ölçülen Hesaplanan
Zaman (s)
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.37. El Centro deprem kaydı için 2. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.025)
Şekil 8.36 ve Şekil 8.37’den görüldüğü gibi sayısal olarak hesaplanan
deplasmanlar çok çabuk sönümlenmektedir. Son olarak viskoz sönüm oranı için
0.015 değeri alınarak analizler tekrarlanmıştır. Hatırlanacağı gibi bu değer 3.
Uygulamadaki tek serbestlik dereceli sistem için belirlenen sönüm oranı değeridir.
Deneysel olarak bulunan kat deplasmanları ile 0.015 viskoz sönüm oranı için
hesaplanan deplasmanların karşılaştırmaları 1. kat için Şekil 8.38 ve 2. kat için Şekil
8.39’da sunulmuştur.
140

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0 5 10 15 20 25
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Ölçülen Hesaplanan
Zaman (s)
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.38. El Centro deprem kaydı için 1. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.015)
141

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0 5 10 15 20 25
3
2
1
0
-1
-2
-3
Ölçülen Hesaplanan
Zaman (s)
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.39. El Centro deprem kaydı için 2. Kat rölatif yatay deplasmanının zamanla
değişimi (viskoz sönüm, ξ = 0.015)
Üç farklı viskoz sönüm oranı için yapılan analizler sonucunda elde edilen
ortalama frekans değerleri Çizelge 8.3’te, her bir devir için maksimum deneysel
deplasmanların maksimum teorik deplasmanlara oranının sönüm oranına göre
değişimleri ise Şekil 8.40’ta görülmektedir.
Çizelge 8.3’ten görüldüğü gibi sönüm oranı frekanslarda herhangi bir
farklılaşmaya sebep olmamaktadır. Ancak Şekil 8.40 incelendiğinde, sönüm oranının
deplasman genliklerinde önemli bir etkiye sahip olduğu görülmektedir. Şekil 8.40’ta
görülen eğilim çizgileri içerisinden 1’e en yakın oranı veren 0.015 sönüm oranı için
142

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
hazırlanan eğilim çizgisidir. Dolayısıyla model yapı için en uygun sönüm oranı
değerinin 0.015 olduğu görülmektedir.
Maksimum Genlik Oranı
Çizelge 8.3. Farklı viskoz sönüm oranları için ortalama frekans değerleri
Deneysel Ortalama Frekans (Hz)
5
4
3
2
1
0
143
Teorik Ortalama Frekans (Hz)
Sönüm Oranı
ξ=%3 ξ=%2.5 ξ=%1.5
2.594 2.826 2.826 2.820
ξ=%3 ξ=%2.5 ξ=%1.5
0 10 20 30 40 50 60 70
Pik No
Şekil 8.40. Farklı sönüm oranları için deneysel deplasman genliklerinin hesaplanan
teorik deplasman genliklerine oranı
Şekil 8.34’ten Şekil 8.40’a kadar olan grafikler incelendiğinde, matematiksel
bir model olan klasik viskoz sönüm modeli ile yapılan çözümlerin en iyi sonuçları
vermediği açıktır. Bu yüzden SAP2000 programında klasik sönüm modeli yerine
kullanılabilecek sönüm elemanlarının çözümleri ne şekilde etkilediği araştırılmıştır.
SAP2000’de link eleman ailesine dahil olan sönüm elemanı, sayısal modelde kolon
elemanlarına paralel olarak Şekil 8.41’deki gibi yerleştirilmiştir. Model yapının kısa
doğrultusu yönünde sönüm değeri 19.6133 N-s/m (0.02 kgf-s/cm) olarak alınmış ve
doğrusal özelliği kullanılmıştır. Viskoz sönüm oranı ise sıfır olarak yazılımda

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
tanımlanmıştır. Bu sönüm elemanları yapıda ortaya çıkan sönüm etkilerini sayısal
olarak modellemektedir.
Şekil 8.41. Model yapıda sönüm elemanlarının yerleşimi
Sayısal analizler sonucu elde edilen kat deplasmanları ile deneyden elde
edilen kat deplasmanlarına ait karşılaştırmalar 1. kat için Şekil 8.42 ve 2. kat için
Şekil 8.43’te sunulmuştur.
144

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0 5 10 15 20 25
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Ölçülen Hesaplanan
Zaman (s)
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.42. Ölçülen ve sönüm elemanı kullanılarak SAP2000 yazılımında hesaplanan
1. Kat yatay deplasmanlarının zamanla değişimi
145

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0 5 10 15 20 25
3
2
1
0
-1
-2
-3
Ölçülen Hesaplanan
Zaman (s)
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.43. Ölçülen ve sönüm elemanı kullanılarak SAP2000 yazılımında hesaplanan
2. Kat yatay deplasmanlarının zamanla değişimi
Şekillerin incelenmesinden görüldüğü gibi sönüm elemanı kullanılan
modellerde deplasmanlar daha geç sönümlenmektedir. Deneysel deplasmanlarla,
sayısal deplasmanların uyumlu olduğu grafiklerden görülmektedir.
Yukarıda anlatılan analizler, SAP2000 yazılımında Newmark direkt
integrasyon yöntemi kullanılarak tekrarlanmış olup sönüm modeli olarak kütle ve
rijitlik matrisleriyle orantılı sönüm modeli kullanılmıştır. Analizlerde her iki titreşim
modu için sönüm oranı 0.015 olarak kabul edilmiştir. Yapılan analizden elde edilen
yatay kat deplasmanları ile deneysel olarak elde edilen kat deplasmanlarının
karşılaştırmaları 1. kat için Şekil 8.44 ve 2. kat için Şekil 8.45’te sunulmuştur.
146

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0 5 10 15 20 25
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Ölçülen Hesaplanan
Zaman (s)
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.44. Ölçülen ve Newmark Direkt Đntegrasyon Yöntemi kullanılarak SAP2000
yazılımında hesaplanan 1. Kat yatay deplasmanlarının zamanla değişimi
147

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0 5 10 15 20 25
3
2
1
0
-1
-2
-3
Ölçülen Hesaplanan
Zaman (s)
Ölçülen Hesaplanan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.45. Ölçülen ve Newmark Sayısal Đntegrasyon Yöntemi kullanılarak SAP2000
yazılımında hesaplanan 2. Kat yatay deplasmanlarının zamanla değişimi
Grafikler incelendiğinde deneysel ve teorik frekanslar arasında bir miktar
farklılaşma görülmektedir. Bu farka daha önce ifade edildiği gibi veri toplama
yazılımındaki filtrenin sebep olduğu düşünülmektedir.
Bu uygulamada prototip olarak tasarlanan yapının SAP2000 kullanılarak
yapılan analizi sonucu bulunan serbest titreşim frekansları, model yapıdan deneylerle
belirlenen frekanslar ve ölçek yasaları uyarınca beklenen frekanslara ilişkin
karşılaştırmalar da yapılmıştır. Yapılan karşılaştırmalar Çizelge 8.4’te sunulmaktadır.
148

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Frekans
(Hz)
Çizelge 8.4. Prototip ve model yapı frekansları
Prototip
Beklenen
(A)
149
Model
(B)
Oran
(B/A)
1 1.2883 2.8808 2.80 0.972
2 3.7033 8.281 10 1.208
Çizelge 8.4’ten görüldüğü gibi deneysel model frekansları ve benzerlik
yasalarına göre prototipten beklenen frekanslar oldukça yakındır. Bu modelin yeterli
olduğunu göstermektedir.
8.2.6. Uygulama 6
Bu uygulamada yapıya Şekil 7.23’teki gibi gergi elemanları bağlanarak basit
bir güçlendirme yapılmış ve yeni modelin deprem davranışı incelenmiştir. Gergi
elemanlarının yatay deplasmanları ne kadar azalttığı araştırılmıştır.
Yapının serbest titreşim frekansları, yapı elle uygulanan bir şok yükleme ile
harekete geçirildikten sonra kaydedilen kat deplasmanlarının Fourier spektrum
analizi yoluyla belirlenmiştir. Şekil 8.46’da kaydedilen yatay kat deplasmanları
görülmektedir.
Şekil 8.46’da görülen yatay kat deplasmanı kayıtlarından 2. kat deplasmanına
uygulanan Fourier spektrum analizinden yapının 1. doğal titreşim frekansı 6.3477 Hz
olarak elde edilmiştir. Şekil 8.47’de analize ait Fouier spektrum grafiği
görülmektedir.

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
1. Kat 2. Kat
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 0.5 1 1.5 2 2.5
150
Zaman(s)
Şekil 8.46. Gergi uygulandıktan sonra model yapının serbest titreşim kat
deplasmanları
Şekil 8.47. Gergili model yapının serbest titreşimden elde edilen 2. Kat
deplasmanlarının Fourier spektrum grafiği
Şekil 8.47’den de görüleceği gibi gergi elemanı yapıyı rijitleştirmiş ve
frekansların yükselmesine neden olmuştur. Çizelge 8.5’te gergili ve gergisiz durum
için aynı yöntem ile elde edilen frekansların karşılaştırmaları sunulmuştur.

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Çizelge 8.5. Gergili durum ve gergisiz durum için frekans değerleri
Frekans
(Hz)
Gergi var Gergi yok Oran
1 6.3477 2.8076 0.4423
2 - 9.2773 -
Karşılaştırma yapabilmek amacıyla, gergili yapı modeli, daha önce gergisiz
yapı modelinin incelenmesinde kullanılan El Centro depremi kayıtları kullanılarak
test edilmiştir. Gergisiz ve gergili yapı modellerinin aynı etki altında test edilmesi
sonucu kaydedilen kat deplasmanları 1. ve 2. kat için sırasıyla Şekil 8.48 ve Şekil
8.49’da sunulmuştur.
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0 5 10 15 20 25
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Gergisiz Gergili
Zaman (s)
Gergisiz Gergili
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.48. Gergili ve gergisiz durumda El Centro Depremi altında kaydedilen 1. Kat
yatay deplasmanlarının zamanla değişimi
151

8. UYGULAMALAR ve ARAŞTIRMA BULGULARI Tarık BARAN
Deplasman (cm)
Deplasman (cm)
3
2
1
0
-1
-2
-3
3
2
1
0
-1
-2
-3
Gergisiz Gergili
0 5 10 15 20 25
Zaman (s)
Gergisiz Gergili
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Zaman (s)
Şekil 8.49. Gergili ve gergisiz durumda El Centro Depremi altında kaydedilen 2. Kat
yatay deplasmanlarının zamanla değişimi
Şekil 8.48 ve Şekil 8.49’dan görüldüğü gibi basit gergi elemanı yapıyı
rijitleştirerek yatay kat deplasmanlarını önemli ölçüde azaltmıştır.
152

9. SONUÇLAR ve ÖNERĐLER Tarık BARAN
9. SONUÇLAR ve ÖNERĐLER
Bu çalışmada, yapıların dinamik deprem davranışı deneysel ve teorik olarak
incelemiştir. Çalışmanın deneysel kısmı Çukurova Üniversitesi Đnşaat Mühendisliği
Yapı Laboratuarında gerçekleştirilmiştir. Teorik incelemeler ise SAP2000
yazılımıyla gerçekleştirilmiştir.
Çalışma kapsamında, Çukurova Üniversitesi Đnşaat Mühendisliği Yapı
Laboratuarında, tek eksenli, orta ölçekte elektrik motorlu bir sarsma tablası
kurulmuştur. Sarsma tablası bölümün önemli bir altyapı eksikliğini gidermiştir.
Çalışma sonucunda kurulan sarsma tablasının performans testleri gerçekleştirilerek
gelişigüzel formda hareketler de dâhil olmak üzere istenen formdaki ivme kayıtlarını
uygulayabildiği görülmüştür. Sarsma tablası, eğitim ve araştırma amaçlı olarak
kullanılabilecektir.
Kurulan sarsma tablası yapı dinamiği deneylerinde kullanılabilecek
kapasitedir. Seçilen sistemin performansının yükseltilmesi, çok kanallı ölçüm
sistemleri ve değişik büyüklüklerin ölçümünü yapabilen cihazlarla (strain gauge
sistemleri, yük hücreleri, optik ölçüm cihazları vb) mümkündür. Bu tarz eklemelerle
sarsma tablasının kullanım alanları genişleyecektir.
Çalışmada ayrıca modelleme teknikleri ve benzerlik/ölçek yasaları
araştırılarak ulaşılan sonuçlar sunulmuştur. Benzerlik yasaları sayesinde sarsma
tablasının sınırları arttırılabilecektir.
Çalışmada, üretilen iki farklı model yapı kullanılarak yapıların deprem
davranışı deneysel olarak araştırılmıştır. Kurulan model yapıların benzerlik
yasalarına uygun olarak tasarlanması sonucu deney hataları en aza indirgenmiştir.
Model yapı testlerinde elde edilen sonuçlar SAP2000 yazılımıyla hazırlanan model
sonuçlarıyla karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonuçları büyük oranda uyumludur.
Sonlu Elemanlar Yöntemi’yle elde edilen sonuçların deney sonuçlarıyla
uyumu yöntemin başarısını göstermektedir.
Çalışmada veri/sinyal işleme teknikleri sıklıkla kullanılmıştır. Elde edilen
sinyalleri filtrelemenin ve düzeltmenin önemi gösterilmiştir. Filtreleme için Fourier
spektrum analizi yapılarak gürültü seviyeleri ve kesme frekansları belirlenmiştir.
153

9. SONUÇLAR ve ÖNERĐLER Tarık BARAN
Yapıya ait deneysel serbest titreşim frekanslarının Fourier spektrum analizi
yapılarak belirlenebileceği gösterilmiştir.
Çalışma kapsamında, deney sonuçları kullanılarak, SAP2000 yazılımında
kullanılan değişik sönüm modelleri incelenmiştir. Klasik viskoz sönüm modelinin
gerçek yapılar için her zaman doğru bir yaklaşım olmadığı ancak yeterli yaklaşıklıkta
sonuçlar verdiği tespit edilmiştir. Söz konusu model kullanılırken her bir moda ait
sönüm oranının farklı olabileceği ve analizlerde bu şekilde kullanılması gerektiği
görülmüştür. SAP2000’de kullanılan alternatif sönüm modellerinin deney
sonuçlarıyla uyumlu olduğu görülmüştür. Ancak bu modeller çözüm için harcanan
bilgisayar işlem zamanını yükseltmektedir.
Çalışmada, SAP2000 uygulamalarında klasik viskoz sönüm modeli ve mod
birleştirme yöntemi tercih edilmiştir. Ayrıca daha çok direkt integrasyon
yöntemlerinde kullanılan kütle ve rijitlik matrisleriyle orantılı sönüm modeli ile
çözümler yapılmıştır. Harcanan bilgisayar işlem zamanı göz önüne alınırsa mod
birleştirme yöntemi yeterli yaklaşıklığı sağlayan optimum çözüm olarak görülmüştür.
Sönüm üzerine yapılan çalışmadan klasik viskoz sönümün tamamen fiziki
sistemleri temsil etmediği ve bu konu üzerine deneysel çalışmalarla paralel
yürütülecek çalışmaların yapılması gerektiği sonucuna ulaşılmıştır.
Model yapı üretimi esnasında, üretim tekniklerinin ve sınır koşullarının
sağlanmasının son derece önemli olduğu gözlemlenmiştir.
Ulaşılan sonuçlara göre sonlu eleman yöntemi kullanan ve mühendisler için
vazgeçilemez yapı analiz ve tasarımı yazılımlarının büyük ölçüde gerçeğe yakın
sonuçlar verdiği ancak model kurulması sırasında seçilen eleman, model ve oranların
dikkatle değerlendirilmesi gerektiği görülmüştür.
Üretilecek değişik modellerle yapılacak deneylerden, yazılımların
değerlendirilmesi ve yeni yaklaşımların belirlenmesi mümkündür. Yapı dinamiğinin
karmaşık doğasının anlaşılabilmesi açısından bu alanda deneysel çalışmaların ne
kadar önemli olduğu bu çalışma sonucunda ortaya çıkmıştır.
Deneysel çalışmalardan elde edilen sonuçlar sadece yapı dinamiğinin değil
bütün disiplinlerde değişik yöntem ve araştırmaların önünü açacaktır.
154

KAYNAKLAR
ADAM, C., 2001. Dynamics of Elastic-Plastic Shear Frames With Secondary
Structures: Shake Table and Numerical Studies. Earthquake Engng Struct.
Dyn.,(30):257-277.
CHASE, J.G., HUDSON, N.H., LIN, J., ELLIOT, R. ve SIM, A., 2005. Nonlinear
Shake Table Identification and Control for Near-Field Earthquake Testing.
Journal of Earthquake Engineering, 9(4):461–482.
CHEN, C. ve CHEN, G., 2004. Shake Table Tests of a Quarter-Scale Three-Storey
Building Model with Piezoelectric Friction Dampers. Struct. Control Health
Monit., (11):239–257.
CHOI, I.-K., KIM, M. K., CHOUN, Y.-S., ve SEO J. M., 2005. Shaking Table Test
of Steel Frame Structures Subjected to Scenario Earthquakes. Nuclear
Engineering and Technology, 37(2):191-200.
CLOUGH, R. W., ve PENZIEN, J., 1993. Dynamics of Structures- Second Edition.
McGraw-Hill Inc, Singapur, 648s.
CONTE, J. P. ve TROMBETTI, T. L., 2000. Linear Dynamic Modeling of a Uni-
Axial Servo-Hydraulic Shaking Table System. Earthquake Engng Struct. Dyn.
(29):1375-1404.
DELGADO, M. D. C., 2005. Development of the UPRM Earthquake Simulator
Facility for Dynamic Model Analysis. M.S. Thesis, University Of Puerto Rico,
Mayagüez.
DHATT, G. ve TOUZOT, G., 1985. Finite Element Method Displayed. A Wiley
Interscience Publication, New York, 503s
EL DAMATTY, A. A., SAAFAN, M. S ve SWEEDAN, A. M. I., 2005a. Dynamic
Characteristics Of Combined Conical-Cylindrical Shells. Thin-Walled
Structures, (43):1380–1397.
EL DAMATTY, A. A., SAAFAN, M. S ve SWEEDAN, A. M. I., 2005b.
Experimental Study Conducted on a Liquid-Filled Combined Conical Tank
Model. Thin-Walled Structures, (43):1398–1417.
155

ELWOOD, K. J., 2004. Modelling Failures in Existing Reinforced Concrete
Columns. Can. J. Civ. Eng., (31):846–859.
FILIATRAULT, A. ve TREMBLAY, R., 1998. Design of Tension-Only
Concentrically Braced Steel Frames for Seismic Induced Impact Loading.
Engineering Structures, 20(12):1087-1096.
FILIATRAULT, A., FISCHER, D. FOLZ, B.; ve UANG C.-M., 2002. Seismic
Testing of Two-Story Woodframe House: Influence of Wall Finish Materials.
Journal of Structural Engineering, 128(10):1337–1345.
FILIATRAULT, A., ISODA, H. ve FOLZ, B., 2003. Hysteretic Damping of Wood
Framed Buildings. Engineering Structures, (25):461–471.
FILIATRAULT, A., KUAN, S., ve TREMBLAY R., 2004a. Shake Table Testing of
Bookcase – Partition Wall Systems. Can. J. Civ. Eng., (31):664–676.
FILIATRAULT, A., TREMBLAY, R., ve KUAN, S., 2004b. Generation of Floor
Accelerations for Seismic Testing of Operational and Functional Building
Components. Can. J. Civ. Eng., (31):646–663.
FOLZ, B., ve FILIATRAULT A., 2004a. Seismic Analysis of Woodframe
Structures. I: Model Formulation. Journal of Structural Engineering,
130(9):1353–1360.
FOLZ, B., ve FILIATRAULT A., 2004b. Seismic Analysis of Woodframe
Structures. II: Model Implementation and Verification. Journal of Structural
Engineering, 130(9):1361–1370.
GHALIBAFIAN, H., BHUYAN, G. S., VENTURA, C., RAINER J. H.,
BORTHWICK, D., STEWART, R. P, ve ZHAI E., 2004. Seismic Behavior of
Flexible Conductors Connecting Substation Equipment—Part II: Shake Table
Tests. IEEE Transactions On Power Delivery, 19(4):1680-1687.
HARRIS, H. G. ve SABNIS, G. M., 1999. Structural Modelling and Experimental
Techniques- 2nd edition. CRC Press LLC, Boca Raton Florida, 761s.
HUTCHINSON, T. C. ve CHAUDHURI, S. R., 2006. Bench–Shelf System Dynamic
Characteristics and Their Effects on Equipment and Contents. Earthquake
Engng Struct. Dyn., (35):1631–1651.
156

KOH, H. M., KIM, J. K. ve PARK, J.-H., 1998. Fluid-Structure Interaction Analysis
of 3-D Rectangular Tanks by a Variationally Coupled Bem-Fem and
Comparison with Test Results. Earthquake Engng Struct. Dyn., (27):109-124.
KUEHN, J., EPP D. ve PATTEN, W. N., 1999. High-Fidelity Control of a Seismic
Shake Table. Earthquake Engng. Struct. Dyn., (28):1235-1254.
LATENDRESSE, V., 1999. Operation and Control of a Seismic Simulator. PhD
Thesis, The University of British Columbia, Vancouver.
LIAO W.- I., MUALLA, I. ve LOH, C.-H., 2004. Shaking-Table Test of a Friction-
Damped Frame Structure. Struct. Design Tall Spec. Build., (13):45–54.
LU L.-Y., ve CHUNG, L.-L., 2001. Modal Control of Seismic Structures Using
Augmented State Matrix. Earthquake Engng Struct. Dyn. (30):237-256.
LU, X., ve WU, X., 2000. Study on a New Shear Wall System with Shaking Table
Test and Finite Element Analysis. Earthquake Engng Struct. Dyn., (29):1425-
1440.
LU, X., ZOU, Y., LU, W. ve ZHAO B., 2006. Shaking Table Model Test on
Shanghai World Financial Center Tower. Earthquake Engng Struct. Dyn., (in
press)
MA, G., HAO, H. ve LU, Y., 2003. Modelling Damage Potential of High-Frequency
Ground Motions. Earthquake Engng Struct. Dyn., (32):1483–1503.
MO, Y. L. ve HWANG W. L., 1998. Shake Table Tests on Prestressed Concrete
Frames. Materials and Structures, 31(December):676-682.
MONCARZ, P.D., 1981. Theory and Application of Experimental Model Analysis in
Earthquake Engineering. Ph.D. Thesis, Stanford University, California.
MORIN, P. B., LEGER, P. ve ´ TINAWI, R., 2002. Seismic Behavior of Post-
Tensioned Gravity Dams: Shake Table Experiments and Numerical
Simulations. Journal of Structural Engineering, 128(2):140–152.
MUHLENKAMP, M.J., 1997. Analysis, Design and Construction of Shaking Table
Facility. M.S. Thesis, Rice University, Houston, Texas.
POPOVSKI M., PRION H. G. L., ve KARACABEYLĐ, E., 2003. Shake Table Tests
On Single-Storey Braced Timber Frames. Can. J. Civ. Eng., (30):1089–1100.
157

RODRÍGUEZ, M. E., RESTREPO, J. I. ve BLANDÓN, J. J., 2006. Shaking Table
Tests of a Four-Story Miniature Steel Building—Model Validation, Earthquake
Spectra, 22, (3):755–780.
SOLLOGOUB, P., 2006. Seismic Testing. Advanced Course on Advanced
Earthquake Engineering Analysis, CISM, Udine, Đtalya.
SPILIOPOULOS, K. V., ve LYKIDIS, G. CH., 2006. An Eficient Three-
Dimensional Solid Finite Element Dynamic Analysis of Reinforced Concrete
Structures. Earthquake Engng Struct. Dyn., (35):137–157.
TIMLER, P., VENTURA, C. E., PRION, H., ve ANJAM, R, 1998. Experimental and
Analytical Studies of Steel Plate Shear Walls as Applied to The Design Of Tall
Buildings. Struct. Design Tall Build., (7):233–249.
TROMBETTI, T. ve CONTE, J. P, 2002. Shaking Table Dynamics: Results from a
Test-Analysis Comparison Study. Journal of Earthquake Engineering,
6(4):513-551.
TROMBETTI, T., 1996. Analytical Modeling of a Shaking Table System. M.S.
Thesis, Rice University, Houston, Texas.
TROMBETTI, T., 1998. Experimental / Analytical Approaches to Modeling,
Calibrating and Optimizing Shaking Table Dynamics for Structural
Applications. Ph.D. Thesis, Rice University, Houston, Texas.
TROMBETTI, T.L., ve CONTE J.P., 2005. New Insight into and Simplified
Approach to Seismic Analysis of Torsionally Coupled One-Story Elastic
Systems. Journal of Sound and Vibration, (286):265–312.
TWITCHELL, B. S. ve SYMANS, M. D., 2003. Analytical Modelling, System
Identification, and Tracking Performance of Uniaxial Seismic Simulators.
Journal of Engineering Mechanics, 129(12):1485-1488.
VILLAVERDE, R., ve MOSQUEDA, G., 1999. A Seismic Roof Isolation System:
Analytic and Shake Table Studies. Earthquake Engng. Struct. Dyn., (28):217-
234.
WANG, H. ve LI, D., 2006a. Experimental Study of Dynamic Damage of an Arch
Dam. Earthquake Engng Struct. Dyn., (in press)
158

WANG, H. ve LI, D., 2006b. Experimental Study of Seismic Overloading of Large
Arch Dam. Earthquake Engng Struct. Dyn., (35):199–216.
WILSON, E. L., 2002. Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis of
Structures- 3rd edition. Computers and Structures Inc., California, 423s.
WU, J.-C., 2000. Modeling of an Actively Braced Full-Scale Building Considering
Control-Structure Interaction. Earthquake Engng Struct. Dyn., (29):1325-1342.
WU, J.-C., 2003. Experiments on a Full-Scale Building Model using Modified
Sliding Mode Control. Journal of Engineering Mechanics, 129(4): 363-372.
WU, Y. M. ve SAMALI B., 2002. Shake Table Testing of a Base Isolated Model.
Engineering Structures, (24):1203–1215.
YOSHIDA, O., DYKE, S. J., GIACOSA, L. M. ve TRUMAN, K. Z., 2003.
Experimental Verification of Torsional Response Control of Asymmetric
Buildings Using MR Dampers. Earthquake Engng Struct. Dyn., (32):2085–
2105.
YU, E., WHANG, D. H., CONTE, J. P., STEWART, J. P. ve WALLACE, J. W.,
2005. Forced Vibration Testing of Buildings Using The Linear Shaker Seismic
Simulation (LSSS) Testing Method. Earthquake Engng Struct. Dyn., (34):737–
761.
159

ÖZGEÇMĐŞ
1977 yılında Yozgat’a bağlı Çandır ilçesinde doğdum. Đlk ve orta öğrenimimi
doğum yerim olan Çandır’da, lise öğrenimimi ise Ankara’da Gazi Anadolu Teknik
Lisesi Bilgisayar Bölümünde tamamladım. 1994 yılında Çukurova Üniversitesi
Đnşaat Mühendisliği Bölümünde başladığım üniversite öğrenimimi 1999 yılında aynı
bölümde tamamladım. Aynı sene Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsünde yüksek lisans
programına ve Çukurova Üniversitesi Đnşaat Mühendisliği Bölümünde araştırma
görevlisi olarak göreve başladım. 2001 yılında yüksek lisans programını
tamamlayarak, doktora programına aynı enstitüde başladım. Evli ve bir çocuk
babasıyım.
160