Ders 4

AKMA VE KIRILMA
KRiTERLERi

AKMA:
Belirli bir kalıcı şekil değiştirmenin
meydana gelmesi durumuna akma
denir.

KIRILMA:
Kırılma, gerilme altında
malzemelerin parçalara ayrılmasıdır.
Kırılma olayı çatlağın oluşması ve
ilerlemesi safhalarından meydana
gelir.

İkiye ayrılır.
Sünek Kırılma: Malzeme ilk önce
plastik deformasyona uğrar,
ardından kırılma meydana gelir.
Gevrek Kırılma: Malzeme
deformasyona uğramadan kırılır.

Sünek ve Gevrek Malzemelere Ait Gerilme - Zorlanma Eğrileri

Gevrek Kayma Sünek Tam Sünek

AKMA VE KIRILMA KRiTERLERi
MUKAVEMET HESAPLARINDA
1) Gerilme teorileri
2) Şekil değişimi teorileri
3) Enerji teorileri
başlıkları altında çeşitli akma ve kırılma kriterleri
kullanılmaktadır.

GERİLME TEORİLERİ
Tresca
Coulomb Kayma Gerilmesi
Mohr Genel Kayma Gerilmesi
ENERJİ TEORİLERİ
Von Mises
Toplam Şekil Değiştirme Enerjisi Hipotezi
ŞEKİL DEĞİŞİMİ TEORİLERİ
En Büyük Uzama Hipotezi

AKMA veya KIRILMA KRİTERİ MALZEME TİPİ
Çarpılma Enerjisi (Biçim Değiştirme Enerjisi) Teorisi
(VON-MISES KRİTERİ)
(Maximum distortion energy)
Maksimum Kayma Gerilmesi Teorisi
(TRESCA KRİTERİ)
(Maximum shear stress)
SÜNEK MALZEME
İç Sürtünme Teorisi
(MOHR-COULOMB KRİTERİ) KIRILGAN MALZEME

AKMA KRiTERLERi
Belirli bir seviyede gerilme dağılımına
ulaşıldığında malzeme eski haline
dönemeyen gerinim gösterir ve bu sırada
malzemede akma meydana gelir.
Akma kriteri, meydana gelen elastik (eski
haline dönebilen) deformasyondan plastik
(kalıcı) deformasyona geçişte gerilme
dağılımlarının hangi kombinasyonlarda
olduğunu belirtir.

Akma Kriterinin Formülü
Yukarıda verilen fonksiyona temel alınarak
çıkarılan Tresca ve Von Mises kriterleri ele
alınacaktır.

GERiLME HiPOTEZLERi
TRESCA
COULOMB KAYMA GERiLMESi
MOHR GENEL KAYMA GERiLMESi

TRESCA KRiTERi
Tresca’ ya göre, genel çok boyutlu
gerilme durumlarında, akmanın
meydana gelmesi için maksimum
kayma gerilmesinin kritik bir değere
ulaşması gerekmektedir. Bu kriter
akmayı
σmax − σmin = C (C= Sabit sayı)

veya
σ1 − σ3 = C (C= Sabit sayı)
Akma Kriterini sağlayabilecek en
basit Tresca Kriteri budur.

C’nin değerini bulabilmek için, tek
yönlü çekme testinde bir durum ele
alınabilir.
σmax = σ1, σ2 = 0 , σ3 = 0 şartları
geçerlidir ve akma σ1 değeri akma
mukavemetine eşit olduğunda
gerçekleşir;
σ1 = Y olur. Böylece
σ1 − σ3 = C = Y

Bir de saf kayma durumu ele alınırsa ki bu
durumda;
σmax = σ1, σmin = σ3 = −σ1, σ2 = 0 şartları
geçerlidir ve akma maksimum kayma
gerilme değeri kayma akma
mukavemetine eşit olduğunda gerçekleşir.
Bu durumda;
σ1 = k böylece
σ1 − σ3 = 2σ1 = 2k = C olur ve
Tresca kriteri:
σ1 − σ3 = Y = 2k

Tresca Grafikle Gösterimi

ENERJi HiPOTEZLERi
VON-MiSES
TOPLAM ŞEKİL DEĞİŞTİRME
ENERJİSİ HİPOTEZİ
2. BÖLÜM

VON MiSES AKMA KRiTERi
•Plastik deformasyonun başlangıcı akma kriterine
göre belirlenir. Bu nedenle, malzemede oluşacak
gerilmeler akma kriterleri ile değerlendirilmektedir.
•Bu hipotez tehlikeli duruma geçmede
karşılaştırma kriteri olarak göz önüne alınır…

Hidrostatik basınç deneyinde mukavemetin sınırsız
oluşu tehlikeli durumun doğmasında, hacim
değiştirmenin bir rolü olmadığını açıkça göstermektedir.

O halde enerji esasına dayanan bir
hipotez kurulurken hacim değiştirme
enerjisini hesaba katmak doğru olmaz;
daha çok enerjinin cismin geometrisini
değiştirmeye sarf edilen kısmı,
yani biçim değiştirme enerjisi
(VON-MİSES )
esas alınmalıdır.

•Bu denklem her iki tarafından açık olan bir silindir yüzeyi
gösterir. Ve özellikle uzaması fazla olan malzeme için, deneyler
tarafından sağlanan sonuçlar verir.
• VON-MİSES ve arkadaşları tarafından bu hipotez, plastite
teorisinde, akma şartı olarak başarı ile kullanılmıştır.

a=√2.σo
b=√2/3 σo

Tresca ve Von Mises Grafikle Gösterimi

Tresca ve Von Mises
Grafikle Gösterimi

TRESCA – VON MİSES
HATIRLATMA
Tresca En Büyük Kayma Gerilmesidir.
Von Mises Enerji Hipotezlerinden
Biçim Değiştirme Enerjisi Hipotezidir.
Bu iki Kriteri de Sünek Malzemelerde
Kullanırız

TOPLAM ŞEKİL DEĞİŞTİRME ENERJİSİ HİPOTEZİ

•Beltrami tarafından konan bu hipoteze göre, mukayese her iki
zorlamada şekil değiştirme enerjilerinin eşit olması kabul edilerek
yapılır.
σ1,σ2 ve σ3 asal gerilmeleriyle verilen 3 eksenli hal ile σm ile
gösterilen tek eksenli hal ancak;

Formül 1
Ui = 1/2E[σ1²+ σ2²+ σ3² - 2 ט (σ1. σ2+ σ1 σ3+ σ2 σ3)]= 1/2E σm²
Eşitliği ile mukayese edilebilir. Bu formül yerine daha basit olan
Formül 2
Ui = σ1²+ σ2²+ σ3² - 2 ט (σ1. σ2+ σ1 σ3+ σ2 σ3)= σm²

σ1²+ σ2²+ σ3² - 2 ט (σ1. σ2+ σ1 σ3+ σ2 σ3)= σm²
Bu denklem yanda
gösterilen şekilde kapalı
bir sınır yüzeyi tarif eder.
Halbuki malzemenin
sınırsız hidrostatik basınç
deneyine dayanması bu
yüzeyin açık olmasını icap
ettirir.
Bu yönden bahis konusu olan hipotez ancak bazı
özel şartlarda gevrek olmayan malzemeler için
kullanılabilir.

a= √1/1- ט σm
b= √1/1+ ט σm
σ3=0 düzlemsel gerilme hali için;
σ1²+ σ2² - 2 ט (σ1. σ2)= σm²
ifadesine dönüşür.
Buda yandaki şekildeki gibi
bir elips çevre gösterir.
Yalnız bu halde yarıçaplar ;

3. BÖLÜM
ŞEKİL DEĞİŞTİRME HİPOTEZLERİ
MAKSiMUM UZAMA HiPOTEZi

Bu gruptaki hipotezler çizimde
akma veya kırılma halinin
doğmasında şekil değiştirmenin,
mesela uzunluk değişiminin
rolünü esas alırlar.

•Bu hipotez MARiOTTE, St VENANT ve
PONCELET tarafından ileri sürülmüştür.
•3 Eksenli zorlamada tehlikeli halin en büyük uzama
veya kısalmanın, bir eksendeki değere eşit olduğu
zaman doğacağı düşünülür.

Denklemleriyle yapılır.
Mutlak değer itibariyle en büyük boy değişimi bir kısalma ise yukarıdaki
denklem yerine
σ3- ט(σ2+σ1)=- σ’M
Kabul edelim mutlak değer
itibariyle en büyük asal boy
değişimi bir uzama olsun, o
halde bu hipoteze ait
mukayeseler bazı
denklemlerle yapılmaktadır.
1/E [ σ1-ט(σ2+σ3)]= σM/E
Veya
σ1- ט(σ2+σ3)= σM
Bağıntısı geçer burada σ’M cismin basınç mukavemetini gösterir.

Şekilde bu hipoteze göre düzlem
gerilme haline ait sınırları
göstermektedir.
Şekil çizilirken σM=- σ’M olarak
kabul edilmiştir.
Sınır AA’ ve BB’ köşegenlerine
göre simetriktir. Yani eşkenar
dörtgendir.

Bu hipotez hidrostatik basınç deneyini
sağlamadığı gibi 2 eksenli çekme
halinde de malzemenin tek eksenliden
daha büyük bir mukavemet göstereceği
gibi gerçeğe uymayan bir sonuç verir.
Bugün için bu hipotezin pratik bir değeri
yoktur.