Tam Metin

T.C.
BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
EKSTREMAL POLİNOMLARIN
KOMPLEKS DÜZLEMDE YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
DOKTORA TEZİ
Burçin OKTAY
Balıkesir, Mayıs - 2007

“Bu çalışma Balıkesir Üniversitesi Rektörlüğü Bilimsel
Araştırma Projeleri Birimi tarafından BAP 2006/39 Kodlu Proje İle
desteklenmiştir. Teşekkür ederiz.”

ÖZET
EKSTREMAL POLİNOMLARIN KOMPLEKS DÜZLEMDE
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Burçin OKTAY
Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
(Doktora Tezi / Tez Danışmanı: Prof. Dr. Daniyal M. İSRAFİLOV)
Balıkesir, 2007
Giriş ve sonuç bölümleri dışında bu tez esas olarak dört bölümden
oluşmaktadır.
2. Bölümde, kompleks düzlemde yaklaşım problemlerinin incelendiği bazı
bölge ve eğri sınıfları tanıtıldı. Daha sonra gereken analitik fonksiyon uzayları
tanımlanarak bu uzayların önemli özellikleri incelendi. Bölümün son kısmında,
pratikteki öneminden tezin giriş bölümünde söz edilen ve çalışmamızda yaklaşılan
fonksiyon konumundaki konform dönüşüm ve bu dönüşümün bir genelleşmesi olan
kvazikonform dönüşüm tanıtıldı.
3. Bölümde, bir bölgede analitik olan ve bazı ek koşulları sağlayan
fonksiyonlar sınıfında bir ekstremal problem ve bu problemin çözümü verildi. Daha
sonra benzer probleme belirli ek koşulları sağlayan polinomlar sınıfında bakılarak bu
problemin çözümü olan Bieberbach polinomları tanıtıldı ve özellikleri incelendi.
4. bölümün ilk kısmında Dini-düzgün bölgelerin bir alt sınıfı tanımlanarak bu
sınıftan olan bölgelerde Bieberbach polinomları ile konform dönüşüme yaklaşım
problemleri incelendi. Bölümün ikinci kısmında ise aynı sınıftan olan bölgelerde
genelleşmiş Bieberbach polinomları ile, konform dönüşüm yardımıyla ifade edilen
özel bir fonksiyona yaklaşım problemleri araştırıldı.
5. bölümde konform dönüşüm yardımıyla ifade edilen özel fonksiyona sınırlı
rotasyonlu düzgün bölgelerde, genelleşmiş Bieberbach polinomları ile yaklaşımın
hızı değerlendirildi.
ANAHTAR SÖZCÜKLER: Dini- düzgün bölge, Sınırlı rotasyonlu bölge, Riemann
konform dönüşümü, Bieberbach polinomları, Genelleşmiş Bieberbach polinomları
ii

ABSTRACT
THE APPROXIMATION PROPERTIES OF THE EXTREMAL
POLYNOMIALS IN THE COMPLEX PLANE
Burçin OKTAY
Balikesir University, Institue of Science,
Department of Mathematics
(PhD. Thesis / Supervisor: Professor Daniyal M. ISRAFILOV
Balikesir- Turkey, 2007
Except the introduction and the conclusion chapters, the thesis consists of
four chapters.
In Chapter 2, the classes of some domains and curves, where the
approximation problems in the complex plane were investigated, were introduced.
Then the required analytic function spaces were given and the important properties
of these spaces were investigated. In the final part of the chapter, the conformal
mapping whose importance in practice was emphasized at the introduction and
which was in the position of approximated function in our work, and the
quasiconformal mapping that was the generalization of the conformal mapping were
introduced.
In Chapter 3, an extremal problem and its solution in the class of the analytic
functions with some additional conditions were given. Then the similar problem was
considered in the class of the polynomials satisfying the same additional conditions.
As a solution of this problem, the Bieberbach polynomials were introduced and their
properties were investigated.
In the first part of Chapter 4, a subclass of Dini-smooth domains was defined
and the approximaton problems to the conformal mapping by the Bieberbach
polynomials on these domains were investigated. In the second part of this chapter,
on these domains, the approximation problems by the generalized Bieberbach
polynomials to the special function, expressed by conformal mapping were
investigated.
In Chapter 5, the rate of approximation by the generalized Bieberbach
polynomials to the special function mentioned above on the smooth domains with
bounded boundary rotation was studied.
KEY WORDS: Dini-smooth domain, Smooth domain bounded boundary rotation,
Riemann conformal mapping, Bieberbach polynomials, Generalized Bieberbach
polynomials.
iii

İÇİNDEKİLER
ÖZET, ANAHTAR SÖZCÜKLER ii
ABSTRACT, KEY WORDS iii
İÇİNDEKİLER iv
SEMBOL LİSTESİ v
ÖNSÖZ vi
1. GİRİŞ 1
2. ÖN BİLGİLER 3
2.1 Kompleks düzlemde bazı önemli eğri ve bölge sınıfları 3
2.2 Analitik fonksiyon uzayları 7
2.3 Konform Dönüşümler 11
2.4 Kvazikonform Dönüşümler 12
3. GEOMETRİK FONKSİYONLAR TEORİSİNİN BAZI EKSTREMAL 13
PROBLEMLERİ
3.1 Ekstremal Problemler 13
3.2 Ekstremal Polinomlar 14
4. BIEBERBACH VE GENELLEŞMİŞ BIEBERBACH POLİNOMLARININ 18
DINI-DÜZGÜN BÖLGELERDE YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
4.1 Bieberbach polinomlarının Dini-düzgün bölgelerde yaklaşım özellikleri 18
4.1.1 Yardımcı Sonuçlar 19
4.1.2 Ana Sonuçlar 23
4.2 Genelleşmiş Bieberbach polinomlarının Dini-düzgün bölgelerde
yaklaşım özellikleri 25
4.2.1 Yardımcı Sonuçlar 25
4.2.2 Ana Sonuçlar 27
5. GENELLEŞMİŞ BIEBERBACH POLİNOMLARININ DÜZGÜN SINIRLI 31
ROTASYONLU BÖLGELERDE YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
5.1 Yardımcı Sonuçlar 31
5.2 Ana Sonuçlar 40
6. SONUÇ 44
KAYNAKLAR 45
iv
sayfa

SEMBOL LİSTESİ
Simge Tanımı Sayfa
C Kompleks düzlem 3
ω ( δ)
Süreklilik modülü 4
θ () t Teğet yön açısı 5
( g, δ)
ω p g’nin p. dereceden integral süreklilik modülü 7
L ( L)
p
E ( G)
p
L ( L, ω)
p
E ( G, ω)
p
E o
ε n( f ) p L ( G)
p
n
( f, ω)
p
Lebesque uzayı 7
Smirnov uzayı 7
ω ağırlıklı Lebesgue uzayı 9
ω ağırlıklı Smirnov uzayı 9
uzaylarında en iyi yaklaşım sayısı 10
E ( G, ω
p ) uzayında en iyi yaklaşım sayısı 10
D Birim disk 11
T Birim diskin sınırı 11
−
G Bölge kapanışının tümleyeni 11
−
D Disk kapanışının tümleyeni 11
( z,
ζ )
K Bergman çekirdek fonksiyonu 13
π n (z) Bieberbach polinomları 14
π n, p (z) Genelleşmiş Bieberbach polinomları 14
Pj ( z)
Bölgenin ortogonal polinomları 14
v

ÖNSÖZ
Bilgi ve tecrübelerini benimle her zaman paylaşan, bana bilimsel
düşünebilmeyi kazandıran ve bu zor yolda beni yalnız bırakmayan değerli
danışmanım Prof. Dr. Daniyal M. İSRAFİLOV’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Hayatımın her aşamasında olduğu gibi tez aşamamda da bana destek olan
aileme de çok teşekkürler.
“Balıkesir, 2007 Burçin OKTAY”
vi

1. GİRİŞ
Konform dönüşümler, uygulamalı matematiğin ve mekaniğin pek çok
alanlarında önemli rol oynar. Fakat bu dönüşümlerin analitik ifadelerinin bulunması
oldukça güçtür. Sadece bazı özel bölgelerin konform dönüşümlerinin açık ifadeleri
bilinmektedir. Örneğin, bir çokgenin birim diske konform dönüşümü Schwarz-
Christoffell formülleri ile ifade edilir. Genel durumda konform dönüşümlerin
ifadelerini bulmak oldukça güç olduğundan ifadeleri kolaylıkla bulunabilen veriler
yardımıyla bu dönüşümlere yaklaşım problemi ortaya çıkmıştır.
Bieberbach polinomlarının konform dönüşümlerin pratik olarak
bulunmasında kullanılabilirliği ilk defa Bieberbach tarafından gözlenmiştir.
Bilindiği gibi, kompleks düzlemde bir bölge verildiğinde bu bölgede ortogonal olan
cebirsel polinomlar sistemi Gram-Schmidt yöntemi kullanılarak bulunmaktadır.
Bieberbach polinomları ise bu ortogonal polinomlar yardımı ile ifade
edilebildiklerinden bir bölge verildiğinde bu bölgenin Bieberbach polinomlarının
bulunması her zaman çözülmesi mümkün olan bir matematiksel hesaplama
problemidir. Böylece, Bieberbach polinomlarının bir bölgede konform dönüşüme
yakınsaklığını bilerek bu konform dönüşümü de yaklaşık olarak bulmak mümkündür.
Bergman uzaylarında polinomlarla yaklaşımın mümkünlüğü ile ilgili Markushevich -
Farrel teoreminin bir sonucuna göre Caratheodory bölgelerinin kompakt
altkümelerinde Bieberbach polinomlarının konform dönüşüme düzgün yakınsaklığı
bilinmektedir. M. V. Keldych ilk defa kapalı bölgelerde Bieberbach polinomlarının
konform dönüşüme düzgün yakınsaklık problemlerini incelemiş, bölge sınırının
sınırlı eğriliğe sahip bir eğri olduğu durumda yakınsamanın kapanışta da düzgün
olduğunu ispatlamış ve özel halde Bieberbach polinomlarının konform dönüşüme
kapanışta yakınsamadığı bölge örneği vermiştir. Böylece Bieberbach polinomlarının
kapanışta yakınsaklığı probleminin bölge sınırının geometrik yapısı ile bağlantılı
olduğu görülmüştür.
1

Daha sonra S. N. Mergelyan [34], Wu Xue-Mou [45], P. K. Suetin [41, 42], I. B.
Simonenko [39], V. Kulikov [30], V. V. Andrievskii [6,7,8], D. Gaier [13-17], D. M.
İsrafilov [19-27], I. Pritsker [36] ve diğer matematikçilerin yapmış olduğu
çalışmalarda yaklaşım hızının, bölge sınırının düzgünlük parametreleri ile doğru
orantılı olduğu sonucuna varılmıştır. Daha düzgün özelliğe sahip bölgelerde
Bieberbach polinomlarının bölgenin kapanışında konform dönüşüme yaklaşımının
daha hızlı olduğu gözetlenmiştir. Bieberbach polinomlarının yaklaşım özellikleri ile
ilgili araştırmalar daha sonra genelleşmiş Bieberbach polinomları durumunda da ilgi
odağı olmuştur.
Bu tezde uygulamalı matematik ve mekanik problemlerinin çözümünde çok
kullanılan ve Lyapunov eğrileri olarak adlandırılan eğriler sınıfının bir genelleşmesi
tanımlanmış, bu eğrilerle sınırlı kapalı bölgelerde Bieberbach ve genelleşmiş
Bieberbach polinomlarının yaklaşım özellikleri incelenmiş, bu polinomların konform
dönüşüme ve konform dönüşüm yardımı ile ifade edilen özel fonksiyonlara yaklaşım
hızı bölge sınırının geometrik özelliklerine göre değerlendirilmiştir. Bunun dışında
genelleşmiş Bieberbach polinomlarının sınırlı rotasyonlu düzgün bölgelerin
kapanışında yaklaşım özelliklerini incelenerek uygun yaklaşım hızı bulunmuştur.
2

2. ÖN BİLGİLER
2.1 Kompleks Düzlemde Bazı Önemli Eğri ve Bölge Sınıfları
C ile kompleks düzlemi göstereceğiz.
2.1.1 Tanım. Kompleks düzlemde birim çemberin homeomorfik bir dönüşüm
altındaki görüntüsüne Jordan eğrisi denir [28, s.1].
2.1.2 Tanım. γ : z()(
t a t ≤ b)
P := ( , t , t , .... , t ) :
≤ kompleks düzlemde bir eğri ve
{ a = t < t < ... < t − < t = b}
, [ b]
t0 1 2 n
0 1
n 1 n
bölüntüsü olsun. Eğer
sup ν
n
∑
= 1
z
( t ) − z(
t ) < ∞
ν
ν −1
a, kapalı aralığının bir
ise γ eğrisine sonlu uzunluklu eğri denir. Burada supremum P kümesi üzerinden
alınır [32, s. 246].
2.1.3 Tanım. Bir L eğrisinin γ ( τ ) ( 0 τ ≤ 2π
)
( τ )
≤ parametrik gösterimi için
γ ' ' fonksiyonu sınırlı ise L eğrisine sınırlı eğrilikli eğri denir [41].
2.1.4 Tanım. L bir Jordan eğrisi olsun. Eğer z1 , z2
∈ L,
z1
≠ z2
koşullarını
sağlayan bütün noktalar çifti için
d
[ ( z1,
z2
) ] : = max t1
− t2
γ ≤ c z1
− z2
t1,
t2∈γ
olacak şekilde bir c sabiti bulunabilirse L eğrisine kvazikonform eğri denir. Burada
( z , )
olanıdır.
, z ve z noktalarının L eğrisini bölmüş olduğu yaylardan çapı küçük
γ 1 z 2 1 2
3

Kvazikonform eğriler sınıfı oldukça geniştir ve özel halde sonlu uzunluklu olmayan
bazı eğrileri de içerebilir. Fakat sivri açıya sahip olan bir eğri kvazikonform değildir
[31, s.100].
2.1.5 Tanım. γ , sonlu uzunluklu bir Jordan eğrisi ve
olsun. Eğer
( z, r)
: = { t ∈ γ : z − t r}
D <
sup
z∈γ
D
( z,
r)
∩ γ ≤ cr
olacak şekilde r’den bağımsız bir c sabiti bulunabilirseγ eğrisine Regüler eğri veya
Carleson eğrisi denir. Burada ⋅ , ( z, r)
γ
s.2].
γ
2.1.6 Tanım. L Jordan eğrisi, ' ( τ)
()( τ 0 ≤ τ ≤ 2π)
D ∩ kümesinin Lebesgue ölçümüdür. [28,
γ sürekli ve ≠ 0 olacak şekilde bir
, parametrizasyonuna sahipse bu eğriye düzgün eğri denir.
Diğer bir deyişle düzgün eğri, sürekli değişen teğete sahip olan eğriye denir [35,
s.43].
2.1.7 Tanım. f, bir A ⊂ C bağlantılı kümesinde düzgün sürekli bir fonksiyon
olsun. f’nin süreklilik modülü
( δ)
≡ ω(
δ, f, A)
: = sup f ( ⋅)
− f ( ⋅ h)
A
ω +
h ≤δ
{ ( t ) − f ( t ) : t , t ∈ A, t − t ≤ δ}
δ ∈ ( 0, π]
= sup
,
biçiminde tanımlanır [35, s.46].
f 1 2 1 2
1 2
2.1.8 Tanım. ω ( h, t)
, bir h fonksiyonunun süreklilik modülü olmak üzere
π
∫
0
ω
( h,
t)
t
dt < ∞
koşulu sağlanıyorsa h fonksiyonuna Dini-sürekli fonksiyon denir [35, s.46].
2.1.9 Tanım. Eğer bir L eğrisi, γ' ( τ)
Dini sürekli ve ≠ 0 olacak şekilde
( τ)
, 0 ≤ τ 2π
L : γ ≤
4

parametrizasyonuna sahipse L’ye Dini-düzgün eğri denir [35, s.48].
ψ 0
, birim diskin L düzgün eğrisi ile sınırlı bölgeye konform dönüşümü olsun.
Bu durumda L eğrisinin
yazılabilir. ( t)
it () t ψ ( )
z = , 0 ≤ t ≤ 2π , konform parametrizasyonu
0 e
it
θ ile L düzgün eğrisine ( ) ( ) ψ t
z = noktasında çizilen teğetin x
0 e
ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıyı gösterelim.
Şimdi yeni bir eğriler sınıfı tanımlayalım.
2.1.10 Tanım. α ∈ ( 0, 1]
, β ∈[
0,
∞)
sayıları verildiğinde δ dan bağımsız bir c
sabiti için
ω
4
δ
α β
( θ,
δ ) ≤ c δ ln , δ ∈ ( 0,
π ]
koşulu sağlanıyorsa L eğrisi B ( α, β)
sınıfındandır denir.
Bu tanıma göre, < α < α ≤ 1 olduğunda
0 1 2
ve 0 β < β < ∞ olduğunda
≤ 1 2
bağıntıları geçerlidir.
B ( α , β)
⊃
2.1.11 Tanım. , t ∈ [ 0, 2π]
t1 2
1 B ( α 2 , β)
, β ∈ [ 0 , ∞)
B ( β ) ⊂
α 1
∀ için
θ
, B ( β )
α, , α ∈ ( 0, 1]
α
( t ) − θ(
t ) ≤ c t − t , α ∈ ( 0, 1)
1
2
olacak şekilde bir c sabiti bulunabilirse L eğrisine Lyapunov eğrisi denir [41].
B ( α, β ) sınıfının tanımından kolaylıkla görülebilir ki B ( α, 0 )( 0 < α < 1)
sınıfı Lyapunov eğrileri sınıfı ile çakışır. Üstelik B ( α, β)
, α ∈ ( 0 , 1]
, β ∈ [ 0,
∞)
sınıfı, Dini-düzgün eğrilerin bir alt sınıfıdır. Gerçekten:
L ∈ B ( α, β),
α ∈ ( 0, 1]
, β ∈[
0,
∞)
aldığımızda tanım gereği
c
∫
0
ω
( θ,
t)
t
1
2
2
4
ln dt < ∞
t
olduğundan [42, s.139] deki teorem 2 kullanılarak
5

c
' dt ( ψ , t)
< ∞
∫ ω 0
t
elde edilir. Böylece L ‘nin Dini-düzgün eğri olduğu görülür.
1].
0
2.1.12 Tanım. Kompleks düzlemde bağlantılı ve açık kümeye bölge denir [35 s.
2.1.13 Tanım. G basit bağlantılı bir bölge, G∞ ise CG
nin sonsuz noktasını
içeren bileşeni olsun. Eğer G ve G aynı sınıra sahipseler, G bölgesine
Caratheodory bölgesi denir [13, s.17].
∞
Her Jordan bölgesi bir Caratheodory bölgesidir, fakat bazı basit bölgeler bile
Caratheodory bölgesi olamayabilir. Örneğin yarıçapı çıkarılmış bir disk
Caratheodory bölgesi değildir. Caratheodory bölgeleri polinom yaklaşımı özelliğine
sahiptirler [13, s.17]: f, G de analitik ve
1/p
⎧
p ⎫
f p : = ( ) < ∞
( ) ⎨∫∫
f z dσ
L G
z ⎬ ,
⎩ G ⎭
p ≥ 1
ise ∀ ε > 0 için − P < ε ( ) olacak biçimde bir P cebirsel polinomu vardır.
f L
p
G
2.1.14 Tanım. G, sonlu uzunluklu L eğrisiyle sınırlı bir bölge olsun. Eğer
L eğrisi ∀ζ ∈ L noktasının bir komşuluğunda tanımlı yerel koordinat sisteminde
koşulunu sağlayan y ϕ(
x)
ϕ
( x) − ϕ(
x')
≤ c x − x' , x, x'∈
I
= fonksiyonu yardımıyla ifade edilebilirse G bölgesine
Lipschitz bölgesi denir. Burada I yerel koordinat sisteminde x değişkeninin ait
olduğu bir aralıktır [12].
2.1.15 Tanım. Eğer bir G bölgesinin θ ( t)
teğet yön açısı sınırlı varyasyonlu ise,
diğer bir deyişle,
2π
n
∫ dθ
0
=
() t θ ( t ) −θ
( t ) < ∞
= sup∑ tν
ν 1
koşulu bütün t < t < ... < t = 2π
bölüntüleri için sağlanıyorsa G’ye sınırlı
0 = 0 1
n
rotasyonlu bölge denir [35, s:63].
6
ν
ν −1

2.1.16 Tanım. θ () t teğet yön açısı sınırlı varyasyonlu olup bütün sıçramaların
modülleri π den daha küçük olan bölgelere Radon bölgeleri denir [12].
Eğer θ ( t)
teğet yön açısı sınırlı varyasyonlu ve bazı sıçramaların modülleri
π ye eşitse G bölgesi sınırlı rotasyonlu bölgedir.
Her konveks bölge Radon bölgesidir. Sivri açısı olmayan parçalı düzgün
bölgeler Radon bölgeleri sınıfındandır ve bütün Radon bölgeleri Lipschitz
bölgeleridir. Her Lipschitz bölgesi de Carleson bölgeleri sınıfındandır.
p p
2.1.17 Tanım. g ∈ L = L ( 0,
2π
), 1 ≤ p < ∞,
için
ω
p
2π ⎧
= ⎨∫
0<
h≤δ⎩
0
( g, δ)
: sup g(
x + t)
− g(
x)
p
⎫
dx⎬
⎭
fonksiyonuna g’nin p. dereceden integral süreklilik modülü denir [9, s.44].
p
2.1.18 Tanım. Eğer g ∈ L için
pg,t Ot , 0 ≤ 1,
p
koşulu sağlanırsa g fonksiyonu Λ sınıfındandır denir [10, s.71].
2.2 Analitik Fonksiyon Uzayları
α
2.2.1 Tanım. G sonlu uzunluklu bir L Jordan eğrisiyle sınırlı bölge ve 1 ≤ p < ∞
olsun. L’de Lebesgue ölçülebilir ve
p
f nin yay uzunluğuna göre Lebesgue
integrallenebilir olduğu kompleks değerli f fonksiyonların kümesine Lebesgue uzayı
( )
denir ve L L ile gösterilir [9, s.18].
p
2.2.2 Tanım. G sonlu uzunluklu L Jordan eğrisiyle sınırlı bir bölge ve f, G
bölgesinde analitik bir fonksiyon olsun.
7
1/p

Eğer
p
( z)
dz ≤ M
∫ f
, 1 ≤ p < ∞
Ln
olacak şekilde G içinde G’nin kompakt altkümelerini sınırlayan ve L eğrisine
L
∞
n n=1
yaklaşan { } sonlu uzunluklu Jordan eğrileri dizisi varsa f fonksiyonu Smirnov
uzayındandır denir. Smirnov uzayı
( G)
E ( G)
p
ile gösterilir [10 s, 169].
p
∀ f ∈ E fonksiyonu L üzerinde hemen her yerde açısal limite sahiptir ve eğer f
p
nin açısal limiti için aynı notasyonu kullanırsak f L ( L)
L ( ) p E ( G)
p
2.2.3 Uyarı. L ve
f
p
E
normuna göre Banach uzayıdırlar.
L ( G)
p
∈ dir.
uzayları p ≥ 1olduğunda
⎛
=
⎜∫
⎝ L
f ( ) p : = ⎜ f ( z)
G L ( L)
p
⎞
dz ⎟
⎠
’deki bir fonksiyonun G’nin bir noktasındaki değerini üstten L
p ( G)
normu ile değerlendiren aşağıdaki Lemmayı ileride, ana sonuçlarımızın ispatlarında
sıkça kullanacağız.
∈ ve : min z − z ise
p
2.2.4 Lemma. Eğer L ( G)
( p ≥ 1)
, z ∈ G
eşitsizliği sağlanır.
f 0
0
L
p ( G )
1
2
z
( ) p π d
0
1
p
d z = 0
0
z∈∂G
f
| f(z ) | ≤ (2.1)
p
İspat. f ∈ L G olduğundan f fonksiyonu G bölgesinde analitiktir. Böylece f
( z , r)
G
D 0 ⊂
gereğince
( )
diskinin içinde ve sınırında da analitiktir. Ortalama değer teoremi
2π
1
it
f ( z0
) = f ( z0
re )dt
2π ∫ +
0
8
f

eşitliği yazılabilir. Yukarıdaki eşitliğin her iki yanını rdr ile çarpıp 0 dan d ’ a
integrallersek
veya
ve buradan da
elde edilir.
tanımlıyoruz.
f
f
f
dz
( z ) rdr = f ( z)
0
∫
0
0
1
2π
D
∫∫
( z , d )
z0
( z ) = f ( z)
0
d
2
2
1
1
2π
D
0
∫∫
z
0
( z , d )
0
z0
( z ) = f ( z)
D
f 0
2
πd z
∫∫
( ) d , z
0 0 z0
1
p
d
2 z
πd
⎟
z0
D(
z0
, dz
) 0
⎟
⎛
⎞
≤
⎜
⎜ ∫∫ σ
⎝
⎠
( z ) f ( z)
dσ
dσ
dσ
z
1/
p
z
z
( ) q 2 1/
π d
0 z0
≤
f
2 ( πd )
z
L
p ( G )
1
1−
q
0
=
f
L
p ( G )
( ) 1/p 2
πd
Eğer f analitik fonksiyonu G ye sürekli genişlemeye sahipse aşağıdaki normu
f G
{ f ( z)
: z ∈ G}
: = sup .
2.2.5 Tanım. L, sonlu uzunluklu bir eğri olsun. Eğer ω : L → [ 0,
∞]
ölçülebilir
−1
fonksiyonu için ω ( { 0,
∞}
) kümesi sıfır ölçüme sahipse ω fonksiyonuna ağırlık denir
[28, s.27].
2.2.6 Tanım. ω , L de bir ağırlık fonksiyonu olsun.
L
p
{ }
1
p 1
( L, ω)
: = f ∈ L ( L)
: f ω ∈ L ( L)
biçiminde tanımlanan uzaya ω ağırlıklı Labesgue uzayı denir [12].
2.2.7 Tanım. ω , L de bir ağırlık fonksiyonu olsun.
E
p
{ }
1
p
( G, ω)
: = f ∈ E ( G)
: fω ∈ L ( L, ω)
9
z
0
z0

içiminde tanımlanan uzaya G’de analitik fonksiyonların p. mertebeden ω ağırlıklı
Smirnov uzayı denir [12].
2.2.8 Tanım. ω fonksiyonu L eğrisi üzerinde bir ağırlık fonksiyonu olsun. Eğer
⎛
⎜ 1
sup sup
z∈L
r>
0 ⎜
⎝
r
∫
ω
L∩D
( z, r )
( ζ )
⎞ ⎛
⎟ ⎜ 1
dζ
⎟ ⎜
⎠ ⎝
r
∫
L∩D
( z, r )
−1/
( p−1)
[ ω(
ζ ) ]
⎞
dζ ⎟
⎟
⎠
p−1
< ∞
oluyorsa ω fonksiyonu Muckennhoupt-Ap koşulu’nu sağlıyor denir [28, s.28].
L üzerinde Muckenhoupt-Ap koşulunu sağlayan bütün ağırlık fonksiyonlarının
kümesi Ap(L) ile gösterilir [28, s.28].
2.2.9 Tanım. G ⊂ C sınırlı bir bölge, ∈
p
ω Ap(L), f E ( G,
ω)
∈ ve 1 ≤ p < ∞
olsun. Pn derecesi n’yi aşmayan polinomlar sınıfı olduğunda f fonksiyonuna
E ( G, ω
p )
( G)
uzayında polinomlarla en iyi yaklaşım sayısı
( )
o
n
( f, ω)
p : inf f pn
L
p ( L, ω
E −
=
pn∈Pn
p
f ∈ L için L G uzaylarındaki en iyi yaklaşım sayısı ise
p
olarak tanımlanır [12].
n
( f ) p : inf f pn
L
p ( G )
ε −
=
pn∈Pn
2.2.10 Teorem. G bir Radon bölgesi veya düzgün sınırlı bölge, 1 < p < ∞,
ω ∈
( )
1
Ap(L) ve f ∈ E G olsun. Bu durumda ∀n = 1,
2,...
için
olur [11].
ε
n
−1/p
o
( f ) p cn En
( f, ω)
p
≤ (2.2)
D. M. İsrafilov tarafından [ 20 ] ispatlanan aşağıdaki lemmayı ana
sonuçlarımızın ispatlarında, normların değerlendirilmesi için kullanacağız.
2.2.11 Lemma. G kvazikonform eğriyle sınırlı sonlu bir bölge, z derecesi
n’yi aşmayan ve z0 ∈ G noktasında ( ) 0 z pn koşulunu sağlayan bir polinom
olduğunda
0 =
10
) ,
p n
( )

eşitsizliği sağlanır [20].
2.3 Konform Dönüşümler
p
n
G
⎧
⎪
'
c logn
p
⎪
n
⎪ '
≤ ⎨c
pn
,
L
p ( G )
⎪
⎪ ⎛ 2
⎜ − 1
⎪ ⎝ p
cn
⎩
⎞ 2K
2
⎟
⎠1+
K
2
p
L
( G )
'
p
n
,
p
L
( G )
,
p = 2
p > 2
1 < p < 2
2.3.1 Tanım. G, C de bir bölge olmak üzere f : G →C sürekli dönüşümü
verilsin. Eğer bir z ∈G
noktasından geçen ve aralarında α açısı oluşturan
herhangi iki düzgün γ 1 ve 2
( )
0
γ eğrilerinin f ( γ ) ve ( γ )
1
f resim eğrileri de
w = f z da aralarında yön ve büyüklük bakımından α açısı oluşturuyorlarsa f
0
0
fonksiyonuna z da bir konform dönüşümdür denir. Eğer f her z ∈G
noktasında
0
konform ise G de konformdur denir [33, s.120].
2.3.2 Teorem. (Riemann Konform Dönüşüm Teoremi): G ⊂ C sınırı en az iki
noktadan oluşan basit bağlantılı bir bölge ve
D diskine,
f ( z ) 0 ve f '( z0
) > 0
0 =
2
z ∈G
olsun. Bu durumda G bölgesini
koşulları altında resmeden bir tek f konform dönüşümü vardır [32, s.8].
G, kompleks düzlemde sonlu uzunluklu Jordan eğrisiyle sınırlı, basit
bağlantılı bir bölge ve z ∈ G olsun. Riemann konform dönüşüm teoremine göre
G’yi
( 0, r)
Dr = D diskine dönüştüren ve
koşullarını sağlayan bir tek ϕ ( z)
0
ϕ
0
w 0
( z ) = , ϕ '(
z ) = 1
0
0
0 0 0
= konform dönüşümü vardır.
G
−
: = C/ G,
D : = D
−
=
ve ϕ ( z)
fonksiyonunun tersini ( w)
0
( 0, 1)
, T : = ∂D,
D : C/ D
ψ ile gösterelim.
0
11
0

G
−
nin D
−
ye
ϕ
( ∞)
( z)
ϕ
= ∞,
lim > 0
z → ∞ z
koşullarını sağlayan konform dönüşümünü ϕ ile gösterelim ve ψ = ϕ
−1
olsun.
Şimdi tezde ana sonuçların ispatlarında sıkça başvurduğumuz, konform
dönüşümün türevi ile ilgili bazı değerlendirmeler vereceğiz:
[18, s.].
Eğer G bölgesi sonlu uzunluklu bir eğriyle sınırlı bölge ise E G dir
1 '
ϕ
G bölgesi düzgün sınırlı bir bölge olduğunda aşağıdaki değerlendirmeler
Warschawski tarafından [44] de ispatlanmıştır:
Eğer
2.4 Kvazikonform Dönüşümler
' ' 1 1 p
ϕ0 , ψ0
, , ∈ L 1,
' '
ϕ ψ
0
0
( L)
, p ∈ ( ∞)
2.4.1 Tanım. G ⊂ C bir bölge, h : G → C bir homeomorfizm ve K ≥ 1 olsun.
i-) h, G bölgesinde doğrular üzerinde mutlak sürekli ve
ii-)
.
0 ∈
K −1
k = olmak üzere G’de hemen her yerde h ≤ k h z z ise
K + 1
h dönüşümüne G üzerinde bir K-kvazikonform dönüşüm denir [3, s.24].
Konform dönüşümler 1-kvazikonformdur.
Daha önce kvazikonform eğrilerin geometrik tanımını vermiştik. Şimdi bu
eğrilerin tanımını kvazikonform dönüşümün tanımı yardımıyla verelim.
2.4.2 Tanım. C ’nin kendi üzerine K-kvazikonform bir dönüşümü altında bir
çemberin görüntüsüne K-kvazikonform eğri denir [31, s.97].
12
( )

3. GEOMETRİK FONKSİYONLAR TEORİSİNİN BAZI
EKSTREMAL PROBLEMLERİ
3. 1 Ekstremal Problem
Basit bağlantılı bir G bölgesinde analitik olan ve
f
( z ) = , f '(
z ) = 1
0
0 0
p
koşullarını sağlayan fonksiyonlar sınıfında L
p ( G )
fonksiyonu bulunuz.
[37 s.433] de ispatlanmıştır ki yukarıdaki problemin çözümü
fonksiyonudur.
z
' ( z)
: ϕ ( ζ )
z0
2 / p [ ] dζ
, z ∈ G,
p > 0
f' integralini minimize eden
ϕ p = ∫ 0
(3.1)
Özel halde p=2 durumunda ϕ2 ( z)
=
0
( z)
ϕ olur.
Basit bağlantılı bir G bölgesini birim diske dönüştüren ve
~ z = 0, ~ ϕ ' z >
( ) ( ) 0
ϕ0 0
0 0
koşullarını sağlayan konform dönüşümle Bergman çekirdek fonksiyonu arasındaki
bağıntılar aşağıdaki eşitlikler ile verilir.
π
~ ϕ0 () =
K(
z0
, z0
) ∫
ν=
K(
ν , z )dν
z 0
z
z0
1 ~
π
ve ( z, z ) = ϕ ' ( z)
ϕ'
( z ) , z ∈ G.
~
K 0
0 0 0
Bergman çekirdek fonksiyonunun, G’nin birim diske normalleştirilmemiş F
konform dönüşümü cinsinden ifadesi ise
biçimindedir.
( z)
F'
( z0
)
( z ) F(
z)
1 F'
K( z,
z0
) = z,
z0
∈ G
2
π
[ 1 − F ]
0
G’nin özel halde birim disk olması halinde F ( z)
= z seçerek D’nin çekirdek
fonksiyonu için
13

ifadesini elde ederiz.
K
Eğer ϕ ( z)
, G’nin ( 0, r)
0
( z, z )
D diskine
0
=
π
1
( ) 2
1 − zz
' ( ) = 0, ϕ ( z ) = 1
ϕ0 z0 0 0
koşullarını sağlayan konform dönüşümü ise
olur.
~ ϕ0
ϕ 0 ( z)
= ~ ϕ'
0
( z)
1
=
( z ) K(
z , z )
3. 2 Ekstremal Polinomlar
∏ n derecesi n’yi aşmayan ve
0
0
0
z
∫ K
ν=
z0
0
( ν, z ) dν,
z ∈ G
0
( z ) = 0, p ' ( z ) = 1
pn o
n 0
koşullarını sağlayan polinomların bir sınıfı olsun.
p
ϕ
' − p ' , p
p
n
L
p ( G)
( 1 < < ∞)
(3.2)
integrali bu sınıfta bir tek polinomu ile minimize edilir. Bu polinoma ( G,
z )
çifti için n. dereceden genelleştirilmiş Bieberbach polinomu denir. p=2 durumunda
elde edilen polinomları Bieberbach polinomları olarak bilinirler.
polinomlarının açık ifadesi (3.2) eşitliğinde
π n, p
0
π n
n π
( z z )
toplamını yazmak suretiyle aşağıdaki şekilde elde edilir.
( )
( z , z )
K , yerine onun n-1. kısmi
1 z
π n ( z)
: =
∫ K n−1
( ν, z0
) dν , (3.3)
K
ν=
z
n−1
burada K z,
z , z ortogonal polinomları yardımıyla
n−
1
0
P j
biçiminde ifade edilir.
( )
0
0
K n 1 0
n 1
∑
j 0
j 0 j
−
−
=
( z z ) = P ( z ) P ( z)
0
, (3.4)
Şimdi özel halde birim diskin Bieberbach polinomlarını bulalım.
14
0

Birim diskin ortogonal polinomları
P
j
j + 1
π
j
( z)
= z , j = 0,
1,
2,...
biçimindedir. Bu ortogonal polinomlar (3.4) de yerine yazılırsa
+
K n 1 0
n 1
∑
j 0
j 0 j
−
−
=
( z,
z ) = P ( z ) P ( z)
1
2
n−1
j 1 j
j
n−1
n−1
z0
z = + z0
z + ... + z0
z
j=
0 π π π π
= ∑
olduğu görülür. Burada 0
eşitliğinde yerine yazarsak
π
n
z0 = alırsak ( z, 0)
z
K n 1
n
1
− = elde edilir. Bunu (3.3)
π
1
π
( z)
: π K ( ν, 0)
dν = π dν = z
= ∫ ∫
n−
1
ν=
z0
= 0
z
ν=
z0
= 0
bulunur. Böylece birim diskin Bieberbach polinomları ( z)
= z
π olur.
Tezde incelenen temel problem bir G bölgesi verildiğinde bölge sınırının
geometrik özelliklerine göre
ϕ
p
n
( z)
− π ( z)
− π : = max ϕ p n, p
n, p
G
yaklaşım hatasının değerlendirilmesidir. Yapılan araştırmalar göstermiştir ki, bölge
sınırının düzgünlük derecesi ile orantılı olarak bu hata uygun bir hızla sıfıra yaklaşır.
z∈G
Farrell ve Markushevich’in sonuçlarından görüldüğü gibi eğer G bölgesi bir
Caratheodory bölgesi ise
ϕ
'
− π
'
→ 0 , n
p
n
L
p
( G)
ve böylece G’nin kompakt altkümelerinde düzgün olarak
olur.
π n,
p
( ) ⇒ ϕ ( z)
( n → ∞)
z p
( → ∞)
Gerçekten, Caratheodory bölgeleri polinom yaklaşımı özelliğine sahip olduğundan
en az bir pn
polinomu vardır ki
15
,

ϕ
'
− p
'
→ 0 n
p
n
L
p
( G)
( → ∞)
olur. Genelleştirilmiş Bieberbach polinomlarının ekstremal özelliği gereği
olduğundan ve (2.1) eşitsizliğine göre
yazılabildiğinden
ϕ
' '
− π → 0 n
( z)
− π ( ) ≤
p
' '
p n, p
ϕ z
π
'
n, p
n, p
L
p
( G)
ϕ
'
p
− π
'
n, p
2 ( πd )
' ( z)
⇒ ϕ ( z)
p
z
0
p
L
1
p
( → ∞)
() G
,
( ∀z
∈ G)
olduğu görülür. Buradan Weierstrass teoremine göre kompakt altkümelerde
düzgün yakınsaması elde edilir.
( z)
⇒ ϕ ( z)
π n, p
p
Bieberbach polinomlarının G kapalı bölgesinde düzgün yakınsaması ilk
olarak M. V. Keldych [29] tarafından incelenmiştir. Keldych, G’nin sınırının sınırlı
eğrilikli düzgün Jordan eğrisi olması durumunda c(
ε )
olmak üzere∀ ε > 0 için aşağıdaki sonucu ispatlamıştır:
ϕ
0
−
c
≤
n
π n G 1−ε
c = , n den bağımsız bir sabit
Daha sonra S. N. Mergelyan [34], G bölgesinin sınırı düzgün Jordan eğrisi
olduğunda ∀ε > 0 için
ϕ 0 − π n
c
≤ G 1
−ε
n2
olacak şekilde bir c = c(
ε ) >0 sabitinin olduğunu göstermiştir.
Mergelyan’ın aynı bölgeler için bir konjektürü de vardır ki bu yukarıdaki
1
sonuçta − ε
2
ispatlanamamıştır.
yerine 1 − ε yazılabileceğidir. Fakat bu şimdiye kadar
D. M. İsrafilov, Mergelyan’ın elde ettiği sonucu yine düzgün bölgeler için
aşağıdaki şekilde iyileştirmiştir:
16

0
− π
n
G
⎛ lnn
⎞
≤ c ⎜ ⎟
⎝ n ⎠
Burada c, n’den bağımsız bir sabittir.
ϕ
1
2
,
n ≥ 2
(3.5)
İsrafilov, Mergelyan’ın konjektürünün doğruluğunu bölgenin sınırlı rotasyonlu
düzgün bölge olması durumunda ispatlamıştır [23].
Daha sonra İsrafilov, Radon bölgelerinde Bieberbach polinomlarının
yakınsaklık problemini incelemiş ve yukarıdaki iyileşmenin bu bölgelerde de geçerli
olduğunu göstermiştir [24].
Bir sonraki bölümde bu sonuçların genelleşmiş Bieberbach polinomları için
benzerleri ispatlanacaktır.
17

4. BIEBERBACH VE GENELLEŞMİŞ BIEBERBACH
POLİNOMLARININ DINI-DÜZGÜN BÖLGELERDE YAKLAŞIM
ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde 1. bölümde tanımlanan Dini-düzgün bölgelerin B
( α, β)
altsınıflarında Bieberbach ve genelleşmiş Bieberbach polinomlarının ekstremal
fonksiyonlara yaklaşım problemleri incelenir ve uygun yaklaşım hızı bulunur.
özellikleri
4. 1 Bieberbach polinomlarının Dini-düzgün bölgelerde yaklaşım
Dini-düzgün bölgelerin bilinen bir altsınıfını oluşturan Lyapunov bölgelerin
de Bieberbach polinomlarının konform dönüşüme yaklaşımı ve yaklaşım hatasının
değerlendirilmesi problemi ilk defa Wu [45] tarafından incelenmiştir.
G, Lyapunov bölgesi olduğunda Wu [45] n den bağımsız c = c(
L)
> 0 için
c ln n
ϕ0
− π n ≤ , 0 < α < 1
(4.1)
G 1
+ α
2 n
eşitsizliğini ispatlamıştır. Farklı yöntemler kullanılarak Wu’nun elde etmiş olduğu
yukarıdaki değerlendirme Suetin [41] ve İsrafilov [24] tarafından iyileştirilerek
ϕ
0
− π
n
G
c
≤
lnn
,
1
+ α
n 2
0 < α < 1
değerlendirilmesi ispatlanmıştır. Burada c, n den bağımsız bir sabittir.
Bu bölümde biz Lyapunov bölgeleri sınıfından daha geniş olan B
bölgeler sınıfı için (4.1) in bir genellemesini vereceğiz. Özel halde G bölgesi
Lyapunov bölgesi olduğunda bulduğumuz değerlendirme (4.1) ile çakışır.
( α, β)
Ana teorem ve ispatını vermeden önce burada gerekecek yardımcı sonuçları ve
ispatlarını vereceğiz.
c c > 0 sabitler olduğunda a > 0 , b > 0 sayıları için b ≤ a ≤ c b eşitsizliğini
1 , 2
a ≈ b ile göstereceğiz.
18
c1 2

4.1.1 Yardımcı Sonuçlar
Aşağıdaki lemma, ∈
L B ( β)
α, olduğunda 0
modülü ile ilgili bir değerlendirmeyi içermektedir.
4.1.1 Lemma. ∈
L B ( β)
α, , α ∈ ( 0 , 1]
, β ∈ [ 0,
∞)
ise
ih
ω ( ψ '0 , δ ) : = sup ψ' ( we ) − ψ' ( w)
h ≤δ
değerlendirmesi geçerlidir.
ve
0
0
T
' ψ fonksiyonunun süreklilik
⎧ α β 4
⎪
cδ ln ,
δ
≤ ⎨
⎪ β+
1 4
δ ln ,
⎪⎩
δ
α ∈
α = 1
( 0,1)
İspat. L Dini-düzgün eğri olduğundan [35, s.44, teorem 3.2] den
eşitlikleri yazılabilir.
it
() t : argψ
' ( e )
g 0
it ( e ) = θ()
t
'
π
arg ψ0
− t −
(4.2)
2
2π
it
i e + w⎛
π ⎞
log ψ'0
( w)
= θ()
t t dt
it ⎜ ⎟
2π ∫
− −
(4.3)
e − w⎝
2 ⎠
= olsun. (4.2) den
ω ( g, δ)
: = g(
t + h)
− g(
t)
( ) ( )
[ ] ≤ ω θ , δ + ω t,
δ
olur. Bunu dikkate alırsak
modülü için
0
sup 0,
2π
2
h ≤δ
ω
*
( g, δ)
: =
⎧ α
⎪
cδ
ln
*
ω ( g,
δ )≤⎨
⎪ β
cδ
ln
⎪⎩
değerlendirilmesi elde edilir.
sabiti için
Gerçekten, eğer ∈ ( 0,
1)
β
+ 1
δ
∫
0
4
,
δ
4
,
δ
π ( g, t)
ω(
g, t)
dt + δ dt
ω
t
α ∈
α = 1
∫
δ
( 0,
1)
;
t
2
α
≤ c δ ln
β
4
δ
(4.5)
;
(4.4)
α ise yeterince küçük ε > 0 ve δ dan bağımsız bir c3
19

α −∈
β 4 α −∈
β 4
t ln ≤ c3δ
ln , t ∈
t
δ
olur. Diğer yandan ∀ β ∈[
0,
∞)
için
β 4 β 4
ln ≤ ln , t ∈
t δ
eşitsizliği yazılabilir. Böylece (4.4) bağıntısından
ω
*
δ
t
α−∈
4
t
[ δ , π )
( 0,
δ ]
( g, δ)
c
dt + c δ dt
∫
ln
≤ 2
1−∈
t 0
δ
β
π
δ
2
π
∫
δ
.
α
t ln
α −∈
β 4 ∈−1
β 4 α −2
α
≤ c4δ ln t dt + c5δ
ln t dt ≤ cδ
ln
δ ∫
δ ∫
bulunur. Eğer α = 1 ise benzer yöntemle
olduğu görülür.
0
4
t ln
π
t
∈ β
β
δ
*
ω ( g, δ ) ≤ c6
∫ dt + c7δ
dt
∈
t ∫ t
0
δ
δ
ε β 4 −ε
β
≤ c8δ
ln
t dt c7δ
ln
δ ∫ − ∫
0
β 4
β+
1 4
≤ c9δln
+ c10δln
≤ cδln
δ δ
L eğrisi Dini-düzgün olduğundan, 2 π periyotlu
g
it
() t : = argψ'
( e ) = θ()
t
0
π
δ
ln
t
2
4 4
dln
t t
− t −
fonksiyonu reel eksende Dini süreklidir. Bu durumda (4.2), (4.3) ve [35, s:47] deki
Önerme 3.4 den, ' ( w)
logψ fonksiyonunun D de sürekli genişlemeye sahip olduğu
0
β+
1
ve − w ≤ δ < 1 özelliğindeki w1 , w2
∈ D noktaları için,
w1 2
olduğu görülür.
Bu son eşitsizlikden
0
π
2
β
4
t
4
δ
( w ) − logψ
' ( w ) ≤ cω
* ( g δ )
log 0 1
0 2
ψ '
,
*
( w1
) − ψ'0
( w2
) c11
( g, δ)
, w w ≤ δ < 1
ψ' ≤
ω 1 2
eşitsizliği ve sonunda (4.5) ile (4.6) birleştirilerek
20
4
t
β
4
δ
− (4.6)

değerlendirmesi elde edilir.
⎧ α
⎪
cδ
ln
ω ( ψ'0
, δ)≤⎨
⎪ β
cδ
ln
⎪⎩
β
+ 1
4
,
δ
4
,
δ
α ∈
α = 1
( 0,
1)
G, düzgün sınırlı bir bölge ve Φ ( w ) : = ( ) ( ( w)
ψ ϕ
2 / p
'
( )
fonksiyonu L T dendir. Gerçekten;
p
p
0 ) olsun.
p
Φ p ( w)
L
p = ( ) ( we ) dw
( T )
ih
2
⎛
'
⎞
⎜ p ∫ ϕ0
o ψ⎟
⎝ ⎠
p
2
=
⎛ ⎞
0
p ∫ ⎜ ϕ o ⎟
T ⎝ ⎠ ∫
L
T
2
( ' ) ψ ( w)
dw = ϕ'
( z)
ϕ'
( z)dz
Sonuncu ifadeye
1
+
1
= 1 için Hölder eşitsizliğini uygularsak
p q
Φ
0
p
( ) L
p ( T )
p w
0
1/p0
⎛
2p ⎞ ⎛
′ 0
≤ c⎜
| 0 (z) | | dz | ⎟ ⎜
⎜ ∫ ϕ
⎟ ⎜ ∫
L
L
⎝
⎠
0
⎝
p
;
| ϕ′ (z) |
olur. L L olduğundan yukarıdaki çarpım sonludur ve
p
'
, '∈
bulunur.
q0
⎞
| dz | ⎟
⎠
Φ p ( w)
ϕ ( )
( ) ( ) ∞ <
p
Φ
0 ϕ
L ∈B
( α, β)
, α ∈ ( 0, 1]
, β ∈[
0,
∞)
olsun.
fonksiyonuna ( ) E ( G)
p p 2 /
' ∈
0
ih
( Φ p , δ)
sup Φ p ( we ) Φ p ( w)
T
ω −
=
h ≤δ
p w
1/q0
L
p
T
ϕ nin genelleşmiş süreklilik modülü diyeceğiz.
p=2 durumunda Φ ( w)
: = ( '0 oψ)
( w)
modülü ω ( , δ )
Φ elde edilir.
4.1.2 Lemma. ∈
ϕ fonksiyonunun genelleştirilmiş süreklilik
L B ( β)
( Φ δ )
ω ,
değerlendirilmesi geçerlidir.
α, , α ∈ ( 0, 1]
, β ∈[
0,
∞)
ise
⎧ α
⎪
cδ
ln
≤ ⎨
⎪ β
cδ
ln
⎪⎩
β
+ 1
21
4
,
δ
4
,
δ
α ∈
α = 1
( 0,
1)
;

İspat. L Dini-düzgün eğri olduğundan 0 '
ve G de, ψ ' ve ϕ ' fonksiyonları ise sırasıyla
ψ ve 0 '
−
D ve
ϕ fonksiyonları sırasıyla D
−
G de süreklidir. Ayrıca
w = 1 üzerinde ψ ≈ ψ ' ≈ 1 bağıntıları, L üzerinde de ϕ ≈ ϕ'
≈ 1 bağıntıları
sağlanır. Böylece
ϕ
0
' 0
ih
ih
ih
ih
[ ψ(
we ) ] − ϕ [ ψ(
w)
] ≈ ψ(
we ) − ψ(
w)
≈ we − w = e − 1 ≈ h
ve 4.1.1 lemma uygulandığında
bulunur.
0
ih
( Φ,
δ)
= Φ(
we ) Φ(
w)
ω :
E ( G)
p
h ≤δ
T
ih
sup − = sup ' ψ ( we ) − ϕ'
ψ w
= sup
h ≤δ
h ≤δ
T
T
' 0
[ ] ( )
ϕ 0
0
h ≤δ
1
1
−
' w
[ [ ( we ) ] ] ' ( )
ih
ϕ ψ ψ ϕ ψ
ψ 0 0
0 0
0
[ [ ] ] T
ih [ ϕ [ ψ(
we ) ] ] − ψ' ψ(
w)
≤ csup ψ'
ϕ
0
⎧ α
⎪
cδ
ln
≤ ⎨
⎪ β
cδ
ln
⎪⎩
β
+ 1
4
,
δ
4
,
δ
0
α ∈
α = 1
[ 0 [ ] ] T
( 0,
1)
;
T
[ ] T
de polinomlarla yaklaşımı ifade eden ve Alper [4] tarafından
ispatlanan aşağıdaki teoremi ana teoremin ispatında kullanacağız.
p
4.1.3 Teorem. f ∈ E ( G)
1 < p < ∞
doğal sayısı için
olacak şekilde derecesi n olan
bağımsız bir sabittir.
, ve L bir Dini-düzgün eğri olsun. Her n
⎛
1 ⎞
1 ⎞
f − P ( z, f ) ≤ cω~
n
= ( ) ( ) ⎜ f, ⎟ cω⎜
f o ψ ,
L
⎟
p L
⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
≤ ( z, f )
P n polinomu vardır. Burada c, n’den
22
⎛

4.1.2 Ana Sonuçlar
c>0 sabiti için
4.1.4 Teorem. ∈
değerlendirmesi geçerlidir.
≤ n
( )
L B ( β)
α, , α ∈ ( 0, 1]
, β ∈[
0,
∞)
ise n’den bağımsız bir
β+
⎧cln
⎪ α+
n
ϕ0 − π n ≤ G ⎨ β+
⎪cln
⎪⎩
n
İspat. z , ' fonksiyonuna
1/2
3/2
1/2
3/2
qn ϕ 0
L
2 ( G)
olan bir polinom, yani,
0
n
,
n
,
ϕ ' − ϕ −
α ∈
( 0, 1)
α = 1
;
⋅ normunda en iyi yaklaşan ve derecesi
qn L
2 = inf ' P 2
Pn
( G ) 0 n L ( G )
olsun. Burada inf derecesi ≤ n olan tüm Pn polinomları üzerinden alınır.
Qn z
= ∫ n
z0
n
n
n
( z)
: q ( t)
dt,
t ( z)
: = Q ( z)
+ [ 1−
q ( z ) ]( z − z )
olsun. Burada ( z ) = 0 ve t' ( z ) = 1
tn 0
n 0
(2.2) bağıntısında özel halde
ve buradan
, olduğu kolaylıkla görülür.
0
−
1
p
'
ω : = ϕ'
ve f = ϕ alınırsa p=2 için
1
−
2 0
ε n ( ϕ'0
) ≤ cn E
2
n
n L
2
0
⎛ 1 ⎞
⎜ '0
, ⎟
⎜
ϕ
' ⎟
⎝ ϕ ⎠
ϕ ' −t'
+
n
= ϕ'
( )
( G)
0 −qn
− 1 qn
z0
( ϕ'
0 ) + 1 qn
( z0
) 2
L
2 ( G )
≤ ε −
1
− ⎛
2 0 1 ⎞
≤ cn E ⎜ n '0
, ⎟
⎜
ϕ + ϕ'
0 −
' ⎟
⎝ ϕ ⎠
bulunur. Şimdi (2.1) bağıntısı p=2 için kullanılırsa
ϕ'
−t'
0
n
L
2 ( G )
≤ cn
1
−
2
≤
E
0
n
⎛
⎜
ϕ'
⎝
2
0
1 ⎞
, ⎟
ϕ'
⎟
⎠
⎛ 0
E ⎜ n ⎜
ϕ'
⎝
2
0
L
2 ( G )
( z0
) qn
( z0
) L
2 ( G )
2
1
−
2 c14 n
0
23
ε
+
n
( ϕ'
)
d
1 ⎞
, ⎟
ϕ'
⎟
⎠
2
0
z0
2
0

ve buradan da π n ’in ekstremal özelliğine göre
elde edilir.
ϕ'
−π'
0
L
2 ( G )
≤ c
n
1
−
2
E
0
n
⎛
⎜
ϕ'
⎝
0
1 ⎞
, ⎟
ϕ'
⎟
⎠
2. 2.11 Lemma p=2 durumunda uygulanır ve Simonenko ve
Andrievskii’nin
yöntemi kullanılırsa, sonuncu eşitsizlikten
eşitsizliğine ulaşılır.
böylece
n
14
1
⎛ ln n ⎞ 2
0
ϕ0 − π n ≤ c 15⎜
⎟ E
G
n
L Dini-düzgün olduğundan L
⎝
n
⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ '0
, ⎟
⎜
ϕ
' ⎟
⎝ ϕ ⎠
z ∈ için ' ( z)
≈ 1
2
2
ϕ bağıntısı geçerlidir ve
π n
1
⎛ lnn
⎞ 2
≤ c G 15 ⎜ ⎟
Pn
ϕ'
0 −Pn
L
2
ϕ
ϕ0 −
inf
⎝ n ⎠
1
2
⎛ lnn
⎞
≤ c16 ⎜ ⎟ inf ϕ'
0 −P
n P ⎝ ⎠ n
n
L
2 ( L)
bulunur. Şimdi 4.1.2 lemma ve 4.1.3 teorem uygulandığında
ϕ − π
eşitsizliği ispatlanmış olur.
olur.
0
n
G
≤ c
∈
15
⎛
⎜
⎝
1
ln 2
n ⎞
⎟
n ⎠
B ( α , 0)
4.1.5 Sonuç. Eğer L
ise
ϕ
0
− π
n
G
c
≤
n
β
⎧cln
⎛ 1 ⎞ ⎪ α
ω⎜Φ,
⎟ ≤
β
⎝ n ⎠ ⎪cln
⎪⎩
n
lnn
,
1
+ α
2
+ 1/2
n
⎨ + 3/2
α ∈
( L, 1/ ' )
+ 1/2
3/2
( 0,
1 )
n
,
n
,
α ∈
( 0, 1)
α = 1
Daha önce P. K. Suetin [42] ve D. M. İsrafilov [24] tarafından elde edilen bu
sonuç Wu’nun (4.1) deki sonucundan daha iyidir.
24
;

4.2 Genelleştirilmiş Bieberbach polinomlarının Dini-düzgün bölgelerde
yaklaş ım özellikleri
Bu bölümde L ∈ B ( α, β)
, α ∈ ( 0, 1]
, β ∈[
0,
∞)
olduğunda 4.1.4 Teoremde
elde edilen değerlendirme π n polinomunun genelleşmesi olan π n, p polinomu ile
z
' 2 / p
ϕ p ( z) : = ∫ [ ϕ0
( ζ ) ] dζ
, z ∈ G,
p > 0 , fonksiyonuna yaklaşım durumuna
z0
genelleştirilir.
olur.
dır.
4.2.1
Yardımcı Sonuçlar
Önce 4.1.1 Lemmasının aşağıdaki
genelleşmesini verelim.
4.2.1 Lemma. ∈
L B ( β)
α, , α ∈ ( 0, 1]
, β ∈[
0,
∞)
ise
2/
p
2/p ih
2/p
ω ( ψ'
) , δ ) : = sup
( ψ' ) ( we
) − ( ψ' ) ( w)
0
İspat.
Diğer yandan
için
h ≤δ
(4.4) bağıntısına göre
ω
*
0
ω
( g, δ)
( g, δ)
: =
δ
∫
0
ω
⎧ α β 4
⎪
cδ ln ,
∗
δ
ω ( g, δ)≤⎨
⎪ β+
1 4
cδ ln ,
⎪⎩
δ
0
T
⎧ α
⎪
cδ ln
≤ ⎨
⎪ β
cδln
⎪⎩
β
+ 1
4
,
δ
4
,
δ
α β 4
≤ c2δ
ln
(4.7)
δ
π ( g, t)
ω(
g, t)
dt + δ dt
t
α ∈
∫
δ
( 0,1)
α = 1
25
;
t
2
(4.8)
α ∈
α = 1
( 0,1)
;

olduğu (4.5) den bilinmektedir.
buna göre de
'0
( w)
logψ fonksiyonunun D de sürekli genişlemeye sahip olduğunu
ve
w1 2
− w ≤ δ < 1 özelliğindeki w1 , w2
∈ D ler için,
( ) − ψ ' ( w ) ≤ cω
* ( g δ )
logψ '0
w ,
1
log 0 2
bağıntısının yazılabildiğini
daha önce belirtmiştik.
Diğer y andan ζ ≤ M , ζ ≤ M için,
sağlanır, burada
Son iki eşitsizlikten
1
2
ζ1
e
ζ 2 − e
n 1
nM
≤ ζ 2 − ζ 1 ∑ ≤ c
∞ −
n=
1 n!
2
= logψ'0
( w ) ,
p
k = 1, 2 dir.
ζ k
k
( M ) ζ 2 − ζ 1
2/p
2/p
*
( ψ'0
) ( w1
) − ( ψ'0 ) ( w2
) ≤ c11
( g, δ)
, w w ≤ δ < 1
olduğu
görülür. (4.8) ile (4.9) birleştirilerek
değerlendirmesi elde edilir.
4.2.2 Lemma.
bağıntısı geçerlidir.
2 / p ( ψ ' ) δ )≤
∗
ω 0 ,
ω 1 2
⎧ α
⎪cδ
ln
⎨
⎪ β
cδ
ln
⎪⎩
β
+ 1
4
,
δ
4
,
δ
− (4.9)
α ∈
α = 1
( 0,
1)
L ∈ B ( α, β)
, α ∈ ( 0, 1]
, β ∈[
0,
∞)
ise
( Φ , δ)
ω p
⎧ α
⎪cδ
ln
≤ ⎨
⎪ β
cδ
ln
⎪⎩
β
+ 1
4
,
δ
4
,
δ
α ∈
α = 1
( 0,
1)
İspat. 4.1.2 Lemma’sının ispatında gösterildiği gibi
ϕ
0
ih
ih
ih
ih
[ ψ ( we ) ] −ϕ [ ψ ( w)
] ≈ ψ ( we ) −ψ
( w)
≈ we − w = e −1
≈ h
dır ve 4.1.2 Lemma’dan
( ) =
ω Φ p ,δ : sup Φ p
h ≤δ
0
T
ih ( we ) Φ ( w)
− = sup
p
T
h ≤δ
26
T
;
;
2 / p ih
2 / p
( ϕ'
) [ ψ ( we ) ] − ( ϕ'
) ψ ( w)
0
T
0
[ ] T

elde edilir.
= sup
≤δ
− 2 / p
[ we ] ( ψ '0
) ϕ ψ ( w)
2 / p
ih
h ( ' ) ϕ [ ψ ( ) ]
h ≤δ
1
ψ 0
0
0
1
[ [ ]
T
2/p
ih
2/p
( ψ' ) [ ϕ [ ψ(
we ) ] − ( ψ' ) ψ(
w)
≤ csup ϕ
0
0
⎧ α
⎪cδ
ln
≤ ⎨
⎪ β
cδ
ln
⎪⎩
β
+ 1
4
,
δ
4
,
δ
0
α ∈
α = 1
( 0,
1)
[ 0 [ ]
T
4.1.3 Teorem f fonksiyonu özel halde ϕ ' p olarak seçildiğinde buna Faber
serisinin n. kısmi toplamları yardımıyla yaklaşım teoremi aşağıdaki
şekilde olup ana
teoremin ispatında kullanılacaktır.
ϕ'
p
4.2.3 Teorem. G, Dini düzgün sınırlı bir bölge, p>1 ve
( ' ) ( ) ( z)
, n = 0,
1,
2,...
n
S n ϕ p , z : = ∑ ak
ϕ'
p Fk
k = 0
nün Faber serisinin n. kısmi toplamı olsun. Bu durumda c>0 sabiti için
bağıntısı vardır.
4.2.2 Ana Sonuçlar
( ϕ'
p , . ) L
p ( L)
⎛
ϕ ' p −S n ≤ cω⎜
Φ
⎝
p
;
1 ⎞
, ⎟
n ⎠
4 .2.4 Teorem. L ∈ B ( α, β)
, α ∈ ( 0, 1]
, β ∈[
0,
∞)
olsun. Bu durumda
aşağıdaki bağıntılar sağlanır.
1 . p > 2 olduğunda, bir c1 > 0 sabiti için
ϕ − π
p
n,
p
G
⎪⎧
n
≤ c1
⎨
⎪⎩ n
−α
−1/
p
−1−1
/ p
2. p = 2 olduğunda, bir c > 0 sabiti için
2
27
ln n
ln n
β
n,
β + 1
n,
α ∈
α = 1.
( 0,
1)
;

ϕ − π
3. 1 < p < 2 olduğunda, ε > 0 ve bir
0
n
G
1
⎧
β+
−α−1/2
2
⎪n
ln n n,
≤ c2
⎨
3
β+
⎪ −3/2
2
⎩n
ln n n,
∀ c ( ε)
ϕ − π
p
( )
n,
p
G
⎧
⎪n
≤ c 3 ⎨
⎪
⎩ n
c3 3
α ∈
α = 1.
( 0, 1)
;
= >0 sabiti için,
1
−α
−1+
+ ε
p
1
−2+
+ ε
p
,
,
α ∈
α = 1.
( 0,
1)
İspat. L ∈ B β olsun. L Dini-düzgün olduğundan
fonksiyonları her ≥ 1 için
Ayrıca ' p
ϕ E ( G)
1
α, , 0
p L ( L)
p
’ye, ' p
∈ olduğundan ϕ' E ( G,
1/
ϕ'
)
p
'
f = ϕ durumunda
da yazılabilir.
p
( z)
ϕ L
p ( G )
ϕ fonksiyonu ise L ( L,
1/
ϕ'
)
p
;
ϕ ' ve 1/ ϕ '
ye aittir.
p ∈ olur. Bu durumda (2.2) eşitsizliği
qn ’ in ' p fonksiyonuna ⋅ normunda en iyi yaklaşan ve derecesi ≤ n
olan bir polinom olduğunu varsayalım.
polinomlarını tanımlayalım.
pn ( z)
olur.
( )
( z ) = 0,
ˆ'
( z ) = 1
pˆ n 0
n 0
pn z
z
= ∫ qn
z0
ζ dζ , pˆ
n z : = pn
z + 1−
qn
ve ˆ z nin tanımlarından
p n
p olacak şekilde
( ) : ( ) ( ) ( ) [ ( z ) ]( z − z )
ϕ' − pˆ
'
+
p
n
L
p
Diğer yandan (2.1) ve (2.2) eşitsizliklerinden ϕ' − pˆ
'
p
n
p
L
( G )
= ϕ'
( )
( G ) p −qn
− 1 qn
z0
≤ ϕ ' − −
p
p
L
p ( G )
qn L
p + 1 q z0
n
L
p
( ) ( G ) n L ( G )
≤ ϕ'
−q
ϕ
= ϕ'
−q
p
n
p
L
( G )
+ c ( ) ( )
( ) 4 '
G
p z0
− qn
z0
+ c
⎛ c ⎞
4
≤ ϕ ' p −q
⎜
n 1 +
⎟
= c5ε
2 1/p
L
p ( G ) ⎜ ( πd z ) ⎟
⎝
0 ⎠
28
4
ϕ'
−q
p
( ) 1/p 2
πd
n
z
n
0
p
L
( ϕ'
) ,
p
p
0
p
( G )
0

≤ cn
1
−
p
⎛ 0
E ⎜ n ⎜
ϕ'
⎝
p
1 ⎞
, ⎟
ϕ'
⎟
⎠
ve π n, p polinomlarının ekstremal özelliği dikkate alındığında
olur. Böylece
ϕ ' −π
'
p
ϕ
n,
p
p
L
' p −π 'n,
p
( G )
p
L
p
≤ cn
=
≤
1
−
p
E
0
n
⎛ ⎞
⎜
1
⎟
⎜
ϕ'
p ,
⎟
⎝ ϕ'
⎠
−1
/ p
cn inf ϕ'
p −
pn
p
n
p
p
L
( L,
1/
ϕ ' )
( ' p , . ) L ( L,
1/
ϕ ' )
−1/
p
cn ϕ' p −S
n ϕ p
⎛
−1
/ p
= cn ⎜
∫
L
⎝
⎛
−1/
p
≤ cn ⎜
∫
L
≤
⎝
ϕ ' −S
p
p
n
ϕ ' −S
1
−
p
cn ϕ ' p −
S
n
p
p
dz ⎞
⎟
ϕ'
⎟
⎠
⎞
dz ⎟
⎠
( G ) L ( L)
bulunur. 4.2.3 Teorem ve 4.2.2 Lemma kullanılarak
elde
edilir.
1
−
p
ϕ' p −π 'n,
p
L
p ≤ cn ω ⎜ ⎟
( G )
p ,
⎝ ⎠
⎪⎧
n
≤ c ⎨
⎪⎩ n
n
⎛ 1 ⎞
Φ
n
−α
−1/
p
ln n
p
β
n,
1 −1−1
/ p β + 1
ln n n
1/
p
1/
p
α ∈ 0,
1 ;
α = 1.
Şimdi 2.2.11 Lemma’ya göre eğer p>2 ise bir c > 0 sabiti için
p=2 ise bir c2 > 0
ϕ
p
− π ≤ c
n, p
sabiti için
ϕ
0
− π
n
G
G
1
⎪⎧
n
⎨
⎪⎩ n
⎧
⎪n
≤ c2
⎨
⎪
⎩n
−α
−1/
p
−1−1
/ p
−α−1/2
−3/2
lnn
29
ln n
ln n
lnn
3
β+
2
β
n,
β + 1
1
β+
2
n,
n,
n,
1
α ∈
,
α = 1,
α = 1,
( 0,
1)
(
)
;
α ∈ 0, 1 ;
( )

olduğu görülür. 1 < p < 2 durumunda ise, düzgün bir eğrinin ∀ε > 0 için1 + ε
quasikonform katsayılı quasikonform eğri olduğu göz önüne alınarak [38] bir c3>0
sabiti için
ϕ −π
sonucuna ulaşılır.
p n,
p
G
≤ cn
⎛ 2 ⎞ 2
⎜ −1
⎟
⎝ p ⎠1+
⎪n
≤ c3
⎨
⎪
⎩n
⎧
⎪n
≤ c 3 ⎨
⎪
⎩n
2
( )
( ) 2
1+
ε
1+
ε
1 ⎧ −α
−1+
+ ε
p
1
−2+
+ ε
p
1
−2+
+ ε
p
ln
1
−α
−1+
+ ε
p
,
⎪⎧
n
⎨
⎪⎩ n
ln
β
β + 1
,
−α
−1/
p
−1−1
/ p
n,
n,
α ∈
α = 1
30
ln n
ln n
β
n,
β + 1
α ∈
α = 1,
( 0,
1)
n,
( 0,
1)
;
;
α ∈
α = 1,
( 0,
1)
;

5. GENELLEŞMİŞ BIEBERBACH POLİNOMLARININ SINIRLI
ROTASYONLU DÜZGÜN BÖLGELERDE YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Bir önceki bölümde ϕ p fonksiyonuna π n, p polinomu ile Dini düzgün
bölgelerde yaklaşımı inceledik. Bu bölümde ise aynı yaklaşımı sınırlı rotasyonlu
düzgün bölgeler sınıfında inceleyecek ve [23] deki sonucu ∈ ( 1,
∞)
genelleştireceğiz.
p için
Bu bölgeler sınıfındaki yaklaşımı değerlendiren sonuçları vermeden önce
yardımcı sonuçları verelim.
∀ε
> 0 için
olur.
5.1 Yardımcı Sonuçlar
5.1.1 Teorem. G , sınırlı rotasyonlu düzgün bir bölge ve p > 1 ise
2
′ p it p
( ψ 0 ) ( e ) ∈ Λ 1
İspat. G bölgesi düzgün sınırlı olduğundan ( 35, s. 43-44, Teorem 3.2 )
−ε
p
gereğince, bölge sınırının konform parametrizasyonu için
ve
arg
2
′ p it 2 ′
it
( ψ0
) ( e ) = argψ0
( e )
=
p
2 ⎡ π ⎤
⎢
θ()
t − t −
p ⎣ 2 ⎥
⎦
2
2π it
′ p i e + w 2 π
( ψ0
) (w)
( () t − t − )dt, w ∈ D
log it
0 e
bağıntıları yazılabilir.
=
2π ∫
(5.1) bağıntısında w’ya göre türev alınırsa
θ (5.1)
− w p 2
31

ve buradan
bulunur.
2
p
2
p
2
′ −1
p ′′
2π
( ψ ) ψ ( w)
it
0 0 i e
= 2
pπ ∫
′
it
p
0
( ) ( ) ( e − w)
ψ0
w
2
2
′ −1
p ′′ i ′ p
( ψ0
) ψ0
( w)
( ψ0
) ( w)
2π
=
pπ ∫
2
′ p ( ψ0
) ( w)
2π
= −
pπ ∫
0
0
2
e
it ( e − w)
π
( θ () t − t − )dt, w ∈ D
2
it
2
π
( θ()
t − t − )dt, w∈
D
2
π ⎛ 1 ⎞
( θ()
t − t − )dt
⎜ , w ∈ D
it ⎟
2 ⎝ e − w ⎠
⎛ π ⎞ 1
⎜θ()
t − t − ⎟ it
⎝ 2 ⎠ e − w
fonksiyonu periyodik olduğundan, kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak
elde edilir.
2
p
2
2
′
−1
p 2π
′ p ′′ ( ) ( ψ0
) (w) d( θ()
t
ψ0
ψ0
(w)
M
p
(r,
2
p
ise (5.2) bağıntısından
M
p
p
(r,
2
p
′ ( ψ0
)
=
pπ ∫
0
e
it
− t −
− w
π
2
)
, w ∈ D
2
′ −1
2π
2
′′ ⎛ 2 ′ −1
p
p iθ
′′
iθ
( ψ ) = ⎜
0 ψ0
) : | ( ψ0
) ( re ) ψ0
( re )
2
−1
p
ψ
′′
0
⎜
⎝
( pπ)
∫
0
2π
p
2 2π
′ p iθ d(θ
( ) ( ) () t
ψ0
re
1
) = p ∫ ∫
olduğu görülür ve burada, Hölder eşitsizliğini kullanırsak
M
0
2
r,
p
2
′ −1
′′ ( ψ 0 ) ψ )
p
( 0
p
p
⎛
≤ ∫
⎝ 0
⎠ ⎝ 0 0
2π 2
1/p0
2π 2π
1 ⎛ ′ p
⎞
iθ pp
d(
( ) ( ) () t
0
| ψ
p
0 re | dθ ⎜ θ
⎜
⎟
it
( pπ)
⎜ ∫
⎟ ⎜ ∫ e
0
e
it
|
p
⎞
dθ ⎟
⎠
− t − π/2)
iθ
− re
− t − π/2)
iθ
− re
pq0
(5.2)
1/p
p
⎞
dθ ⎟
⎟
⎠
dθ ,
bulunur. Burada / p + 1/
q = 1 dir. Bölgenin sınırı düzgün olduğundan ilk integral
sonludur ve böylece
1 0 0
32
1/q0

M
p
(r,
2
p
bağıntısı elde edilir.
2
1 ⎛ 2π 2π
′ −
p ′′
d(
( ) () t
ψ0
ψ0
) c ⎜ θ
1
≤
⎜ ∫ ∫
⎝ 0 0
Minkowski eşitsizliğini (5.3) bağıntısına uygularsak
M
p
(r,
olur ve burada
2
p
bağıntısını göz önüne alırsak
e
it
− t − π/2)
iθ
− re
pq0
⎞
dθ ⎟
⎟
⎠
1/(pq0
)
(5.3)
2
2π 2π
1/(pq0
)
′ −1
p ′′ ⎛ dθ ⎞
( ψ ) ψ0
) c ⎜
⎟
0
2
| d( θ()
t − t − π/2) |
M
p
(r,
eşitsizliğine ulaşılır.
2
p
≤ ∫ ⎜ ∫
0 ⎝ 0
2π
∫
0
′ ( ψ0
)
2
−1
p
| e
ψ
0
it
′′
dθ
− re
iθ
| e
|
it
pq0
( 1 − r)
− re
≤
iθ
2π c 4
) ≤ pq −1
∫
0
pq
0
|
pq0
c
3
⎟
⎠
pq0
−1
( 1 − r)
0
| d(
θ
() t − t − π/2) |
G bölgesi sınırlı rotasyonlu olduğundan , θ( t)
− t − π/2 fonksiyonu sınırlı
varyasyonludur. Bu özellik sonuncu integralin sonlu olduğunu gösterir ve bu
durumda
bulunur.
M
p
(r,
2
p
′ ( ψ0
)
2
−1
p
ψ
′′
0
) ≤
c
5
1−
1
( 1 − r)
pq0
1’e yeterince yakın bir q 1 sayısı seçilirse, 0 > ∀ε için
olur.
0 >
M
p
2
( r,
p
′ ( ψ 0 )
2 −1
p
′′
ψ ) ≤
0
c
5
⎛ ⎞
1−
1
⎜ −ε
⎟ ( 1−
r)
⎝ p ⎠
Son eşitsizliğe Hardy-Littlewood teoremi [10, s.78] uygulanırsa
′ ( ψ0
)
2
p
(e
it
) ∈ Λ
p
1
−ε
p
33

sonucuna ulaşılır ki bu da hipotezi ispatlamış olur.
Şimdi 5.1.3 teoremde gerekli olacak, Privalov Lemması olarak bilinen bir
lemmanın ifadesini vereceğiz.
5.1.2 Lemma. Eğer C sonlu uzunluklu bir Jordan eğrisi ve Cauchy singular
integrali C de hemen hemen her yerde mevcut ise C nin iç ve dış bileşenlerini
oluşturan bölgeler üzerinden bütün açısal yollar boyunca Cauchy integralinin limit
değerleri C de hemen hemen her yerde mevcuttur ve
z→z
'
0 C
eşitliği geçerlidir [18, s.431].
( z')
f ( z')
'
dz' = ∫ dz'±
πif ( z0
)
'
f
lim ∫
,
z'−z
z'−z
5.1.3 Teorem.. G , düzgün sınırlı bir bölge, p > 1 ve
n
′
Sn p ,z : ∑
k0
C
′
ak p 0
z '
0 ∈
Fkz, n 0,1,2,...
ϕ ' p fonksiyonunun Faber serisinin n. kısmi toplamı olsun. Bu durumda c>0 sabiti
için
bağıntısı geçerlidir.
+
Φ p
p ∈
′
ϕ
′ ( ϕ p ⋅)
L
p ( L)
′
p − S n
p+
ε p
, ≤ c ω ( Φ , 1/
n),
İspat. L (T ) , olduğunu daha önce göstermiştik.
p
Φ p ≥ 1
Φ p
p ∈
−
ve fonksiyonlarını aşağıdaki şekilde tanımlayalım.
E (G)
, olduğundan
p
ϕ p ≥ 1
( τ )
Φ
+ 1 p
Φ p (w) : = d w D,
2 i ∫ τ ∈
π T τ − w
( τ )
Φ
− 1 p
−
Φ p (w) : = dτ w ∈ D .
2π
i ∫T
τ − w
′
p z
∞
k = 0
k p k
′
( ) ∼ a ( ϕ ) F ( z)
ϕ ∑
34
C

yazabiliriz. Burada
′
p
′ 1 Φ p ( τ)
( p ) :
ak 1
T
ϕ fonksiyonunun Faber katsayılarıdır.
∫
ϕ = dττ k = 0, 1, 2,..., (5.4)
k +
2π
i τ
+ −
5.1.2 Lemma’ya göre, T üzerinde hemen her yerde = Φ − Φ olur.
Üstelik E (D),
ve
p
Φ +
− p −
Φ ∈ E ( D )
p ∈
bağıntısından
p Φ ( ∞)
= 0
−
Φ p p p
p olduğunu görebiliriz. (5.4)
+
−
′ 1 Φ p ( τ)
1 Φ p ( τ)
− Φ p ( τ)
( ϕ p ) dτ =
= k + 1
2π
i ∫ τ 2π
i ∫
dτ = a
+
ak k + 1
k p
T
T τ
p ∈
′
( )
elde edilir. Yani E G ‘nin orjindeki k. Faber katsayıları, ’nin
p
ϕ E (D)
p
Φ +
orjindeki k. Taylor katsayıları olur.
p ∈
′
( )
Diğer yandan E G olduğundan
p
ϕ
∫
L
ϕ
′
p () ς
′
−
ς − z
′
dς = 0,
z
∈ G
+ −
ve T üzerinde hemen her yerde sağlanan = Φ − Φ bağıntısından L üzerinde
hemen her yerde
yazılabilir.
z′
∈ G
−
ϕ
′
p
alalım. Bu durumda
p ∈
′
+
−
( ς ) Φ ( ϕ(
ς )) − Φ ( ϕ(
ς ))
= p
p
F
k
k ( z ) = ϕ ( z′
)
olur. p ≥ 1 için E (G)
olduğundan
p
ϕ
′
′
n
∑
Φ p p p
( ς)
dς
k
1
′ +
2 i ∫ ς − z′
ϕ
π
L
(5.5)
(Φ
p ∈
n
′
n
k
′
′ 1 a
( ) ( ) ( ) ( ϕ ) ϕ () ς
k
∑k
= 0 k p
ϕ F z′
p k = ak
ϕ p ϕ ( z′
) +
ς
S n(
ϕ p , z ) = ak
d
2π
i ς − z′
1
−
2π
i
∫
L
k = 0
ϕ
′
p
() ς
ς − z
′
dς =
n
∑
k = 0
a
k
∑
k = 0
n
′
k
′
a
( ) ( ϕ ) ϕ () ς
k 1 ∑k
= 0 k p
ϕ p ϕ ( z′
) +
dς
35
2π
i
∫
L
∫
L
ς − z′
)

olduğu görülür.
−
( ϕ(
ζ ) ) 1 Φ ( ϕ(
ζ ) )
dς
dς
+
Φ p
− +
′
2π
i ∫
ς z 2 i ∫
L − π L
1 p
ς − z
−
−
Kolaylıkla görülebilir ki, Φ ( ( )) ∈ E ( G ) , ve Buna göre
p
ϕ ς
p ≥ 1 Φ ( ( ∞))
= 0.
− ϕ
p
sınırsız bölgeler için Cauchy integral formülü kullanılırsa
ve buradan da
1
+
2π
i
∫
L
1
2i L
− p
− z ′
− ′ d −p z
n
Sn p ′ ,z ′ ∑ k0
′
ak p k z ′
n
′
k
+
[ ∑k
= 0 ak
( ϕ p ) ϕ ( ζ ) − Φ p ( ϕ(
ζ ) ) ] −
dς − Φ ( ϕ(
z′
))
ς − z′
olur. L nin dışındaki bütün açısal yollar boyunca z′ → z limiti alınırsa, görülür ki L
üzerinde hemen her yerde
′
Sn p,z
1
2 ∑ n
k0
′
ak p p z − p − z SL ∑ k0
n
k z − p z
′
ak p ′
p
p
k − p ∘ z
olduğu görülür. Üstelik (5.5) bağıntısı hesaba katılarak, L (L)
, (p>1) de singular
p
operatörün sınırlılığı ve de Hölder eşitsizliği kullanıldığında son eşitlikten
′
∥ p ′
− Sn p , ∥L p n
L ≤ c 6 ∥ ∑
k0
c6
n
′
∑ ak p k0
L
′
ak p k z − p z
36
k z − p z ∥L p L
p
|dz|
1
p

≤ c6
T
c6
T
n
′
∑ ak p k0
n
′
∑ ak p k0
1 1
bulunur. Burada p + q = 1 dir.
ve böylece her 1için
p
elde edilir.
′
∥ p 0
0 >
0
w k − p w
′
− Sn p , ∥L p L ≤ c7
w k − p w
pp0
p
ψ ′ ∈ L , ( > 1)
Şimdi (9, s.205 Teorem 2.2 ) kullanılarak
bulunur. Burada
n
∥ p w − ∑ k0
pp0 p ,1/n sup
∣h∣≤1/n
T üzerinde hemen her yerde
olduğundan
elde edilir.
ω
pp0
1
pp 0
p
| ′ w||dw|
T
1
p
| ′ w| 1
q 0 |dw|
1
pq 0
p den dolayı son integral sonludur
n
′
∑ ak p k0
w k − p w
ak p w k ∥L pp 0 T ≤ c8pp0 p ,1/n,
Φ +
∥ p we ih − p w ∥L pp 0T .
1
p = Φ p + ST ( Φ
2
STpw : P.V 1
2i
(Φ
+
p
1
, 1/n) ≤ sup Φ p(we
2
1
h ≤
n
+ sup S
1
h ≤
n
T
(Φ
p
p
)
p
− w d, |w| 1,
ih
) − Φ
)(we
ih
p
(w)
) − S
T
L
pp0
(Φ
p
( T )
)(w)
L
pp0
( T )
L pp 0 T
Şimdi L (T ), den kendisine singüler integralin sınırlılığı kullanılarak
p
p > 1
37

sonucuna ulaşılır.
Böylece
pp0 p ,1/n ≤ c9 sup
∣h∣≤1/n
ϕ
′
p
= c9ω pp (Φ p
∥ pwe ih − pw ∥ L pp 0T
0
′ ( ϕ p , ⋅)
L
p ( L)
1
,
n
− S n ≤ c9ω
pp (Φ p , 1/n)
olduğu görülür. 1 e yeterince yakın 0 1 sayısı seçilerek
> p
eşitsizliği bulunur.
∀ε
> 0 için
ϕ
′
′ ( ϕ p , ⋅)
L
p ( L)
− S n ≤ c9
ω p ε (Φ p , 1/n)
p +
5.1.4 Lemma. Eğer p > 1 ve G sınırlı rotasyonlu düzgün bir bölge ise
bağıntısı sağlanır.
ω ( Φ
İspat. Hölder eşitsizliğine göre
∥ pwe ih − pw ∥L p T T
⎛
≤ ⎜
⎝
⎛
⎜
×
⎜
⎝
∫
T
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎝
∫
T
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎝
∫
T
|
|
∫
T
p
p
, 1/
)
c
≤
n
0
n) 1 −ε
p
∣ 0 ′ 2 p we ih − 0 ′ 2 p w ∣ p ∣ dw ∣ 1/p
2
2
′ ( ) p
ih
′
ψ [ ϕ ( ψ(
we ) ] ( ψ ) p ϕ ψ(
w)
0
0
1
−
0
1
[ ( ) ]
2
2
′ ( ) p
′
ih
ψ [ ( ( ) ) ] ( ) p
0 ϕ0
ψ w − ψ0
[ ϕ0
( ψ(
we ) ]
2
2
′
ih
( ) p
′
ψ [ ϕ ( ψ(
we ) ] ⋅ ( ψ ) p [ ϕ ( ψ(
w)
) ]
0
0
2
2
′ ( ) p
′
ih
ψ [ ϕ ( ψ(
w)
) ] − ( ψ ) p [ ϕ ( ψ(
we ) ]
0
0
2
2
′ ( ) p
ih ′
ψ [ ϕ ( ψ(
we ) ] ⋅ ( ψ ) p ϕ ψ(
w)
0
0
| dw |
0
0
38
0
0
0
0
[ ( ) ]
0
|
pq0
|
p
p
pp0
⎞
⎟
⎟
⎠
dw
dw
1/(pq0
)
dw
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
1/p
1/p
1/(pp0
)
= : A ⋅ B
1
1

dir. Burada + 1/q = 1 dir. / p + 1/
q = 1 olduğunda Hölder eşitsizliğini
kullanırsak
B
1/p0 0
1
⎛
⎜
: =
⎜
⎝
∫
T
|
1 1 1
2
2
′ ( ) p
ih ′
ψ [ ϕ ( ψ(
we ) ] ⋅ ( ψ ) p ϕ ψ(
w)
0
×
⎜ ′
T | ψ0
0
⎛
⎜∫
⎝ ϕ0
≤
⎜ ′
T | ψ0
⎛
⎜∫
⎝ ϕ0
ve / p + 1/
q = 1 olduğunda
olur.
1 2 2
B
11
⎛
≤ ⎜
∫ | ′
⎝ L
ϕ
:
( z)
1
1
[ ( ψ(
w)
) ]
1
|
0
2q0
p1
⎞
| dw|
⎟
⎠
[ ( ) ]
0
dw
⎞
⎟
⎠
1/(pq q
0 1
|
1/(pq p
0
pq0
1
)
dw
ih 2q0q1
11 12
[ ( ψ(
we ) ] | ⎟
⎛
⎜∫
⎝ ϕ0
=
⎜ ′
T | ψ0
|
p2
=
⎜ ′
L | ψ0
| dz
1
[ ( ψ(
w)
) ]
|
| ϕ ( z)
[ ( z)
]
⎛ ′
⎜∫
⎝ ϕ0
⎞
| ⎟
⎠
1/(pq p p
0
1
2
)
2q0
p1
|
|
2q0q1
×
⎜ ′
L | ψ0
dw
| dz
⎛
⎜∫
⎝ ϕ0
⎞
⎟
⎠
⎞
| ⎟
⎠
)
= :
1/(pq p )
0
1/(pq p
1
[ ( z)
]
|
0
1
1
)
2q q q
B
0 1 2
⋅ B
dz
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
1/(pq0
)
1/(pq p q
)
0 1 2
′ ∈ L ( p > 1 olduğundan son eşitsizliğin sağındaki ilk integral sonludur ve böylece
p
ϕ )
B
11
≤ c
10
⎛
⎜
⎜
⎝
∫
T
′
ψ0
( w)
2q0q
′ [ ψ ( w)
]
0
1q2
⎞
⎟
| dw |
⎟
⎠
1/(pq0
p1q2
)
bulunur. Yine Hölder eşitsizliği kullanılırsa / p + 1/
q = 1 için
B
11
⎛
≤ ⎜
⎝
∫
T
ψ
′
0
( w)
p3
⎞
| dw | ⎟
⎠
′
eşitsizliği elde edilir. ∈ L ( p > 1)
p
B11
sayısı da sonlu olur.
0
1/(pq0
p1q2
p3
)
1 3 3
⎛
⎜
×
⎜
⎝
∫
T
′ [ ψ ( w)
]
0
| dw |
2p0q1q2
q3
)
⎞
⎟
⎟
⎠
1/(pq0
p1q2q3
)
ψ olduğundan ilk integral sonludur ve böylece
B 12 nin sonluluğu benzer şekilde ispatlanır. Sonuç olarak
bulunur.
ih
Φ p(we
) − Φ p(w)
L
p ≤ c
( T ) 11 A1
39

olduğundan, son eşitlikten
ω
p
(Φ
p
, 1/n) ≤ c
11
|
ve 5.1.2 Teorem den
olduğu görülür.
ω
p
ih
ω p (Φ p , 1/n) = sup Φ p(we
) −
| h | ≤1/n
sup
⎛
⎜
h | 1/n⎝
(Φ
∫ ≤
T
p
|
Φ
p
(w)
L
p ( T )
2
2
′ ( ψ ) p
ih ′
[ ϕ ( ψ(
we ) ] − ( ψ ) p ϕ ψ(
w)
0
, 1/n) ≤ c
0
sup | ϕ
12
| h | ≤1/n
0
0
ih ( ψ(
we ) − ϕ ψ(
w)
1/(pp
0
pp0
[ ( ) ] | | dw | ,
0
0
( )
|
1
−ε
pp
G bölgesinin sınırı düzgün olduğundan ϕ 0 ve ψ dönüşüm fonksiyonları sırasıyla L
ve T üzerinde ∀ ε > 0 için1 − ε katsayılı Hölder sınıfına aittir. Bunu dikkate alırsak
son eşitsizlikten
c
ω p(Φ
p , 1/n) ≤
n
1
−ε
pp0
elde edilir. Burada 1 e yeterince yakın p 1 sayısı seçilerek 0 > ε ∀ için
eşitsizliğine ulaşılır.
5.2 Ana Sonuçlar
0 >
pp,1/n ≤ c
n 1 ,
p −
5.2.1 Teorem G , sınırlı rotasyonlu düzgün bir bölge ise ∀ε > 0 için
ϕ
olacak şekilde c ε ve
.
p
− π
n, p
1 = () c c2
( ε)
c 1
G
⎧ c1
⎪ 2
⎪ p
≤ ⎨n
⎪ c2
⎪ 1−
⎩n
−ε
2 = sabitleri vardır.
ε
,
,
p > 2;
1 < p < 2
′
İspat. G düzgün bir bölge olduğundan ϕ | ve 1/ | ϕ′ | fonksiyonları
( )
| 0
için L L ’ye aittir [44]. Hölder eşitsizliği yardımıyla
p
40
0
⎞
⎟
⎠
)
∀p > 1

∫
L
ϕ
′
( z)
p
ϕ
′
1
( z)
dz
⎛
= ⎜
∫ ϕ
⎝ L
′
0
⎛
≤ ⎜
∫ ϕ
⎝ L
2p0
′
⎞
dz ⎟
⎠
p
( z)
1
p0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
pp0
∫
L
ϕ
⎞
dz ⎟
⎠
1
′
q0
1
p0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
∫
L
⎞
⎟
dz ⎟
⎟
⎠
1
q0
ϕ
′
1
( z)
< ∞
qo
⎞
⎟
dz ⎟
⎟
⎠
′
ve böylece ϕ ∈ L ( L,
1/
| ϕ′
| olur. Burada
p
1 1
p ) p + q = 1 dir. Sonuç olarak
′
ϕ ∈ E ( G,
1/
| ϕ′
| olduğu görülür. Diğer yandan
p
p ) 1/ | ϕ ′ | ∈ ( L),
( p > 1)
[21,
′
Lemma 12] olduğundan (2.2) eşitsizliği ϕ fonksiyonu ve ω : = 1/
| ϕ′
| ağırlık
fonksiyonu için geçerlidir.
′
Şimdi [23] deki Teorem 1 in ispatındaki metodu izliyoruz. ’ye
normunda en iyi yaklaşan polinomu qn ( z)
ile gösterelim.
pnz :
z0
p
o
0
A p
1
q0
ϕ p ⋅ Lp
( G )
z
qnd, pnz : pnz 1 − qnz0 z − z0
′
olsun. Bu durumda pnz0 0, pn z0 1. olur. Buradan
′
′
∥ p − pn
=
≤
ϕ
∥LpG ∥ p ′ − qn − 1 qnz0 ∥ LpG
ϕ
′
p
′
p
− q + 1 − q
n
Lp
n
Lp
( ) ( G ) n 0 Lp
( G)
− q −
olur. Diğer yandan (2.1) eşitsizliğine göre
′
ϕ − pˆ
p
′
n
Lp
≤
≤
′
+ c ( ) ( )
( ) 12 ϕ
G
p z0
qn
z0
ϕ − q
′
p
( G ) Lp
( G )
ϕ − q
′
p
n
Lp
n
( G )
41
⎛
⎜
⎜1
+
⎜
⎝
z
+ c
c
13
13
ϕ − q
′
p
( ) ⎟ ⎟⎟ 1
2
π d p
z0
n
( ) p
1
2
π d
⎞
⎠
z0
Lp
( G )

ve (2.2) bağıntısından
eşitsizliği elde edilir.
1
p 1
p pn c14n
En
p ⎟
Lp
( G )
⎟
′ ′
−
o ⎛ ′ ⎞
ϕ − ˆ ≤ ⎜
⎜ϕ
,
⎝ | ϕ′
| ⎠
π n polinomlarının ekstremal özelliğine göre,
ϕ
′
p
1
p 1
π n, p c14n
En
p ,
Lp
( G )
| | ⎟ ′
−
o ⎛ ′ ⎞
− ≤ ⎜
⎜ϕ
⎝ ϕ′ ⎠
olur. Hölder eşitsizliğini son eşitsizliğe uygulamak suretiyle
′
∥ p ′
− n,p ∥LpG ≤ c14n − 1 p
≤ c14n − 1 ′
p p ≤ c14n − 1 p
bulunur. Burada / p + 1/
q = 1 dir.
L
′
− Sn p ,
′
p − Sn
′
inf∥ p − pn ∥ p 1
p L L,
n
∣ ′ ∣
p
L p L, 1
∣ ′ ∣
p |dz|
∣ ′ ∣
1
−
1 ⎛ p
′
≤ c14n
⎜
∫ϕ
p − S n
pp0
⎞ pp0
⎛
dz ⎟ ⎜
⎟ ⎜∫
L
L
1 0 0
L düzgün olduğundan, son integral sonludur ve böylece
′
ϕ − π
p
′
⎝
n,
p
Lp
≤ c
15
n
−
1
p
⎠
⎝
1
| ϕ′
|
pp
p
1
p
q0
( G ) L 0 ( L)
′
ϕ − S
p
n
⎞
dz ⎟
⎠
olur. Şimdi sağdaki norma p : = pp0
olduğunda 5.1.2 Teorem ve daha sonra 5.1.3
Lemma’yı uygulayarak p , p 1 ve 0 > ε için
0 >
−
1
′ ′
p ⎛ 1 ⎞
ϕ p − π n,
p ≤ c16n ω pp + ⎜Φ
p , ⎟
0 ε
Lp
( G )
⎝ n ⎠
≤ c17n − 1 p
1
n 1
pp 0 −
olduğu görülür. Sonuncu eşitsizlikte p0
sayısı 1’e yeterince yakın seçilerek
′
ϕ − π
p
′
n,
p
Lp
≤
c17 2
p
( G ) −ε
42
n
1
1
pq0

elde edilir.
Diğer yandan her düzgün eğri∀ε > 0 için 1+ε quasikonform katsayılı quasikonform
eğridir [38]. Bu durumda ispatın geri kalan kısmı [20] deki Teorem 1 dekine benzer
olarak yapılır.
43

6. SONUÇ
1. Lyapunov eğrileri sınıfının bir genelleşmesi tanımlanmış, bu sınıftan olan
eğriler ile sınırlı bölgelerde Riemann konform dönüşümlerinin düzgünlük
modülleri için bazı önemli değerlendirmeler elde edilmiştir.
2. Yeni tanımlanmış bölgeler sınıfında Bieberbach ve genelleşmiş Bieberbach
polinomlarının konform dönüşüme ve konform dönüşüm yardımı ile ifade
edilen özel bir fonksiyona kapalı bölgelerde yaklaşım hızı bölge sınırının
geometrik özelliklerine göre değerlendirilmiştir.
3. Sınırlı rotasyonlu düzgün bölgelerin konform dönüşümlerinin düzgünlük
modülleri ile ilgili gerekli değerlendirmeler ispatlanmış ve bu
değerlendirmeler yardımı ile genelleşmiş Bieberbach polinomlarının verilen
bölgelerin kapanışında yaklaşım hızı ile ilgili uygun değerlendirmeler elde
edilmiştir. Özel halde p=2 durumunda elde edilen sonuç iyi bilinmekte olup
S. N. Mergelyan konjektürünün pozitif çözümünü vermektedir.
44

KAYNAKLAR
[1] Abdullayev, F. G. , “Uniform convergence of the generalized Bieberbach
polynomials in domains of complex plane”. In: Approximation Theory and its
Applications, Pr. Inst. Math. Nats. Akad. Nauk Ukr., Kiev, (1999), 5.
[2] Abdullayev, F. G. , “Uniform convergence of the Bieberbach polynomials inside
and on the closure of domains in the complex plane”, East Journal of Approximation,
7, 1, (2001), 77.
[3] Ahlfors, L.V. , Lectures on quasiconformal mappings, Wadswort, Brooks/ Cole
Advanced Books, Software, Monterey, California (1987).
[4] Alper, S. Y. , “Approximation in the mean of analytic functions of class E p”
(Russian), In: Investigations on the modern problems of the function theory of a
complex variable, Moscow: Gos. Izdat. Fiz. Mat. Lit., (1960), 273.
[5] Anderson, J. M., Gehring, F. W. , Hinkkanen, A., “Polynomial approximation on
Quasidisk”, Differential Geometry and Complex Analysis, Springer-Verlag, Berlin,
Heidelberg, (1985), 75.
[6] Andrievskii, V. V. , “Convergence of Bieberbach polynomials in domains with
quasi-conformal boundary”, Ukrainian Math. J. 35 (1983), 233.
[7] Andrievskii, V. V. , “Uniform convergence of Bieberbach polynomials in
domains with piecewise-quasiconformal boundary” (Russian). In: Theory of
Mappings and Approximation of Functions, Kiev: Nakova Dumka (1988) 3.
[8] Andrievskii, V. V.and Pritsker, I. E.: “Convergence of Bieberbach polynomials
in domains with interior cusps”, J. d′ Analyse Math. 82, (2000), 315.
[9] DeVore, R. A., Lorentz, G. G. “Constructive Approximation”. Springer-Verlag
(1993).
[10] Duren, P. L., “Theory of H p Spaces”, Academic Press, New York-London,
(1970).
[11] Dyn'kin, E. M. , “The rate of polynomial approximation in the complex
domain”. In Complex analysis and spectral theory (Leningrad, 1979/1980), Berlin:
Springer (1981), 90.
[12] Dyn'kin, E. M. , Osilenker, B. , “Weighted estimates for singular integrals and
their applications”, Mathematical Analysis, Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauc.n
Tekhn. Inform. Moscow, 21, (1983), 42.
[13] Gaier, D. , “Lectures on Complex Approximation”, Birkhäuser Verlag, Boston
(1987).
45

[14] Gaier, D. , “On a polynomial lemma of Andrievskii” , Arch. Math. 49, (1987),
119.
[15] Gaier, “On the convergence of the Bieberbach polynomials in regions with
corners”, Constr. Approx. 4, (1988), 289.
[16] Gaier, D. , “On the convergence of the Bieberbach polynomials in regions with
piecewise analytic boundary”. Arch. Math. 58, (1992), 289.
[17] Gaier, D., “Polynomial approximation of conformal maps”, Constr. Approx. 14,
(1998), 27.
[18] Goluzin, G. M., “Geometric Theory of Functions of a Complex Variable”,
Translation of Mathematical Monographs, Amer. Math. Soc. , 26, (1969).
[19] Israfilov, D. M., “Approximative properties of extremal polynomials”, Dep. in
viniti, Moscow, N. 5461, 82, (1982), 23.
[20] Israfilov, D. M. , “Uniform convergence of some extremal polynomials in
domains in domains with quasi conformal boundary”, East Journal of
Approximation, 4, 4, (1998), 527.
[21] Israfilov, D. M. , “Approximation by p-Faber polynomials in the weighted
Smirnov space E p (G, ω ) and the Bieberbach polynomials”, Constr. Approx. 17,
(2001), 335.
[22] Israfilov, D. M. , “Bergman type kernel function and approximation properties
of some extremal polynomials on quasidisks”, East Journal on Approx., 9, 2, (2003),
157.
[23] Israfilov, D. M. , “Uniform convergence of the Bieberbach polynomials in
closed smooth domains of bounded boundary rotation”, Journal of Approx. Theory,
125, (2003), 116.
[24] Israfilov, D. M. , “Uniform convergence of Bieberbach polynomials in closed
Radon domains”, Analysis (Munich), 23, (2003), 51.
[25] Israfilov, D. M. , Oktay, Burcin, “Approximation Properties of the Bieberbach
polynomials in the Dini-smooth domains” Bull Belgian Math. Soc. 13, (2003), 91.
[26] Israfilov, D. M. , Oktay, Burcin, “Approximation Properties of the Bieberbach
polynomials”, XVII. Ulusal Matematik Sempozyumu, Bolu, (2004), 32.
[27] Israfilov, D. M., Oktay, Burcin, “Approximation Properties of the Generalized
Bieberbach polynomials in the Dini-smooth domains”, Khazar Journal of
Mathematics, 2, (2006), 17.
[28] Karlovich, Y. I. , Böttcher, A., “Carleson curves, Muckenhoupt weights and
Toeplitz operators”, D’estvdıs Catalans Barcelona Inst. Barcelona, (1997).
46

[29] Keldych, M. V., “Sur l′approximation en moyenne quadratique des fonctions
analytiques”, Math. Sb., 5, 47, (1939), 391.
[30] Kulikov, V. , “L p convergence of Bieberbach polynomials” (Russian), Izv Akad
Nauk SSSR Ser. Mat. 43, (1979), 1121.
[31] Lehto, O. Virtanen, K. , “Quasiconformal mappings in the plane”, Springer-
Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, (1997).
[32] Markushevich, A. I. , “Theory of functions of complex variable III”, Prentice
Hall, Inc.(1967).
[33] Marsden, J. E. , “Basic Complex Analyis”, W. H. F. and Company, (1973).
[34] Mergelyan, S. N. , “Certain questions of the constructive theory of functions”
(Russian), Trudy Math. Inst. Steklov, 37, (1951), 1.
[35] Pommerenke, Ch. , “Boundary Behaviour of Conformal Maps”, Springer-
Verlag, Berlin (1992).
[36] Pritsker, I. G., “On the convergence of Bieberbach polynomials in domains
with interior zero angles”. In: Methods of approximation theory approximation
theory in complex analysis and mathematical physics, Leningrad, 1991. A. A.
Gonchar and E. B. Saff, eds.), Lecture Notes in Math. 1550, (1992), 169.
[37] Privalov, I. I. : “Introduction to the Theory of Functions of a Complex
Variable”, Nauka, Moscow, (1984).
[38] Rickman, S., “Characterization of quasiconformal maps”, Ann. Acad Sci. Fenn.,
Ser. A., Mathematica", 395, (1966).
[39] Simonenko, I. B. , “On the convergence of Bieberbach polynomials in the case
of a Lipschitz domain”, Math. USSR-Inv., 13, (1978), 166.
[40] Sobolev, S. L. , Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics,
SO AN SSSR, Novosibirsk, (1962).
[41] Suetin, P. K., “Polynomials orthogonal over a region and Bieberbach
polynomials”, Proc. Steklov Inst. Math, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 100
(1974).
[42] Suetin, P. K., “Series of Faber Polynomials”, Gordon and Breach Science
Publishers, Australia, (1998).
[43] Warschawski, S. E. “Über das Randverhalten der Abbildungsfunktionen bei
konformer” Abbildung. Math. Z. , 35, 321.
47

[44] Warschawski, S. E., Schober, G. P., “On Conformal Mapping of Certain
Classes of Jordan Domains”, Arch. Rational Mach. Anal. 22, (1966), 201.
[45] Wu Xue-Mou, “On Bieberbach polynomials”, Acta Math. Sinica, 13 (1963),
145.
48