GİRİŞ Değerlendirme teorisi cebirsel fonksiyonlar ve cebirsel sayılar ...

GİRİŞ
Değerlendirme teorisi cebirsel fonksiyonlar ve cebirsel sayılar arasındaki
ilişkinin sonucu olarak ortaya çıkmıştır. Dedekind ve Weber’in cebirsel fonksiyonlar
teorisine aritmetik yaklaşımları Riemann yüzeyinin bir noktasında kuvvet serisi
açılımlarının elde edilmesi problemini ortaya koymuştur. Bu şekildeki bir yaklaşımı
p-adik sayılar teorisinde ele alan Hensel bunun cebirsel fonksiyonlar teorisinde sıkça
ortaya çıkan kongruens sistemlerini açıklamakta yardımcı olacağını göstermiştir. Ayrıca
1908 yılında yayımladığı “Theorie der Algebraischen Zahlen” adlı kitabında
değerlendirme teorisi alanındaki çalışmalara taban oluşturan ve polinomların asal olup
olmadıklarının belirlenmesi konusunda bir kriter olan indirgenebilirlik lemmasına yer
vermiştir. 1900’lü yıllarda değerlendirme teorisinin kullanılmasıyla birlikte cebirsel
sayılar teorisinin daha iyi anlaşılması üzerine değerlendirme teorisinde hızlı bir gelişme
olmuştur. Bu gelişimde göze çarpan en önemli kişiler Ostrowski, Chevalley ve
Krull’dur.
K cismi üzerinde bir v değerlendirmesi tanımlanmış ise K cisminin bir K ′
cebirsel genişlemesi ve v nin K′ cismine bir v′ genişlemesi ele alındığında K′
cisminin bir α elemanı için G v′
değer grubunda bazı sabitler tanımlanmıştır.
v′ değerlendirmesinin rezidü cismi ve değer grubunun belirlenmesinde kullanıldığı için
bu sabitler önemlidir. Bu sabitler arasında özellikle Krasner sabitinin özel bir yeri
vardır. Bu sabitlerle ilgili çalışmalar Krasner ile başlamış, James Ax ile devam etmiştir.
Khanduja da bu konudaki çalışmaları günümüze kadar getirmiştir.
Bir K cisminin v değerlendirmesinin K x ,..., x ) cismine genişlemelerinin
( 1 n
elde edilmesi çok eski ve önemli bir problemdir. Bunun için öncelikle v
değerlendirmesinin K (x)
cismine genişlemelerinin belirlenmesi hedeflenmiştir. K (x)
,
K nın bir transandant genişlemesi ise v nin K (x)
cismine genişlemeleri de yine K
cisminin cebirsel genişlemeleri yardımıyla elde edilmektedir. Dolayısıyla v
değerlendirmesinin K x ,..., x ) e tüm genişlemeleri de yine K nın cebirsel
( 1 n
genişlemeleri yardımıyla elde edilecektir. Bir K cisminin K (x)
cismine rezidül
transandant genişlemeleri ilk olarak Nagata tarafından ele alınmıştır. Bu çalışmaların
yardımıyla Alexandru, Popescu, Zaharescu ve Khanduja tarafından bir K cisminin
değerlendirmelerinin K (x)
cismine tüm genişlemeleri ve rezidül transandant

genişlemeleri tanımlayan minimal çiftler belirlenmiştir. Rezidül transandant
genişlemeler bir cebirsel genişleme yardımıyla tanımlanabildiğinden en uygun cebirsel
genişlemenin elde edilmesi için minimal çiftlerin belirlenmesi gereklidir. Minimal çiftin
belirlenmesi de K cisminin cebirsel genişlemelerinin kıyaslanması ile mümkündür.
Burada sözü edilen sabitler değerlendirilmiş cisimlerin kıyaslanmalarında kullanılan
teorilerin ifade ve kanıtlarında da önemli bir yere sahiptir.
Yine bu sabitler kullanılarak cebirsel genişlemeler için Henselian hata;
transandant genişlemeler için tanımlanan Henselian hata yardımıyla elde edilebilir.
Dolayısıyla ikinci bölümde öncelikle bu sabitlerin irdelenmesi amaçlanmıştır.
Üzerinde bir v değerlenmesi tanımlanan K cisminin cebirsel genişlemeleri
sağladıkları özelliklere göre adlandırılır. Bunlardan en önemlisi tame genişlemesi olarak
adlandırılan genişleme tipidir. Bu genişlemeler hatasızdır ve yukarıdaki sabitler
yardımıyla rezidü cisimleri ve değer grupları hakkında yorum yapmak mümkündür. Bu
yüzden bu bölümde tame genişlemeleri ayrıca irdelenmiştir.
Son bölümde de I. ve II. Bölümlerdeki çalışmalardan yararlanılarak
değerlendirilmiş bir K cisminin K ′ genişlemesinin tame genişlemesi olabilmesi için
literatürde rastlanmayan gerekli ve yeterli yeni koşullar elde edilmiştir. Ayrıca sabitlerin
kıyaslanmalarıyla ilgili orijinal sonuçlar elde edilmiştir.

1. BÖLÜM
ÖN BİLGİLER
1.1.Tanım: G çarpımsal (veya toplamsal) değişmeli bir grup , < (veya >) G
üzerinde bir sıra bağıntısı olsun. Her α , β,
γ ∈G
için
i) α < β , β < γ ise α < γ (veya α > β , β > γ ise α > γ )
ii) α < β , α = β , β < α (veya α > β , α = β , β > α ) dan yalnız biri sağlanır,
iii) α < β , δ ∈G
ise αδ < βδ (veya α > β , δ ∈G
ise α + δ > β + δ )
koşulları gerçekleniyorsa G grubuna üzerindeki < (veya >) bağıntısı ile sıralı bir grup
denir.
1.2.Tanım: K bir cisim , G çarpımsal (veya toplamsal) sıralı bir grup olsun.
v : K → G ∪{
0}
(veya v : K → G ∪{
∞}
)
biçiminde tanımlanan dönüşüm her a , b∈
K için
i) v ( a)
= 0 ⇔ a = 0
(veya v ( a)
= ∞ ⇔ a = 0 )
ii) v ( a.
b)
= v(
a)
v(
b)
(veya v ( a.
b)
= v(
a)
+ v(
b)
)
iii) v ( a + b)
≤ max{ v ( a)
, v ( b)
} (veya v ( a + b)
≥ min{ v ( a)
, v ( b)
} )
koşulları gerçekleniyorsa v dönüşümüne K cismi üzerinde bir değerlendirme adı
verilir.
grubu denir.
1.3.Tanım: 1.2. Tanımı’ndaki G sıralı grubuna v değerlendirmesinin değer
1.4.Tanım: K bir cisim olsun.
i) v ( a)
≥ 0 , v ( a)
= 0 ⇔ a = 0
ii) v ( a b)
= v ( a)
v ( b)
iii) v ( a + b)
= v ( a)
+ v ( b)
+
v: K → IR dönüşümü her a , b∈
K için
koşulları gerçekleniyorsa v dönüşümü K cisminin rankı 1 olan değerlendirmesi veya
K cisminin mutlak değeri olarak adlandırılır.
*
K
1.5.Tanım: K bir cisim , v K cismi üzerinde bir değerlendirme olsun. Her
a ∈ için v ( a)
= 1 (veya v ( a)
= 0)
oluyorsa v ye K cisminin aşikar
değerlendirmesi denir.

1.6.Önerme: K bir cisim , v K cismi üzeride değer grubu çarpımsal (veya
toplamsal) olan bir değerlendirme olsun. Aşağıdaki ifadelerin gerçeklendiği v
değerlendirmesinin tanımından kolayca görülür.
i) v ( −1)
= 1
(veya v ( −1)
= 0 )
ii) a, b∈
K , v ( a)
≠ v ( b)
ise
v ( a + b)
= max{ v ( a)
, v ( b)
} dir, (veya v ( a + b)
= min{ v ( a)
, v ( b)
} dir)
n
∑
i=
1
iii) 1 ≤ i ≤ n için ai ∈ K ise
v ( a ) ≤ max(
v ( a
dönüşümü
i
i
i
))
n
∑
i=
1
dir, (veya v ( a ) ≥ min { v ( a )} dir)
n
∑
i=
1
iv) 1 ≤ i ≤ n için ai ∈ K ve a i = 0 ise en az bir i ≠ j için v ( ai
) = v ( a j ) dir.
1.7.Tanım: K ve F iki cisim ve F cismi cebirsel kapalı olsun.
ϕ : K → F ∪{
∞}
−1
i) ϕ ( F ) = V bir halkadır,
ii)ϕ nin V halkasına kısıtlanışı ϕ V aşikar olmayan bir homomorfizmadır,
−1
iii) a ∈ K için ϕ (a)
= ∞ ise ϕ ( a ) = 0
koşulları gerçekleniyorsa ϕ dönüşümüne K cisminin bir place’i adı verilir.
−1
veya a ∈V
1.8.Tanım: K bir cisim , V K cisminin bir alt halkası olsun.
i
i
i
*
a ∈ K iken a ∈ V
oluyorsa V halkasına K cisminin bir değerlendirme halkası denir.
1.9.Tanım: K bir cisim ; V , K cisminin bir değerlendirme halkası olsun.
−
P = { a ∈V
a ∉
1 V
}
kümesi V değerlendirme halkasının tek maksimal idealidir.
1.10.Tanım: K bir cisim , V K cisminin bir değerlendirme halkası olsun.
−
U = { a ∈V
a ∈
1 V
}
birim grubu adı verilir.
kümesi bir gruptur ve bu kümeye V değerlendirme halkasının

1.11. Önerme: K bir cisim , v K cisminin bir değerlendirmesi ve G v nin
değer grubu olsun. G çarpımsal bir grup ise
V = { a ∈ K v ( a)
≤1}
, P = { a ∈ K v ( a)
< 1}
, U = { a ∈ K v ( a)
= 1}
ve Γ toplamsal bir grup ise
biçimindedir.
V = { a ∈ K v ( a)
≥ 0}
, P = { a ∈ K v ( a)
> 0 } , U = { a ∈ K v ( a)
= 0 }
1.12. Tanım: K bir cisim , v K cismi üzerinde bir değerlendirme , V v nin
değerlendirme halkası ; P , V nin tek maksimal ideali ise V / P kümesi bir cisimdir ve
bu cisme v değerlendirmesinin rezidü cismi adı verilir.
1.13. Teorem: K bir cisim olsun. K cismi üzerindeki değerlendirmeleri
değerlendirme halkaları ve place’leri arasında bire-bir bir eşleme vardır. (Bachman,
1964)
1.14. .Teorem: K bir cisim , A K cisminin bir alt halkası , F cebirsel
kapalı bir cisim ve f : A → F aşikar olmayan bir homomorfizma olsun. K
cisminin φ f olacak biçimde bir ϕ place’i vardır. (Bachman, 1964)
A =
1.15. Tanım: A tek türlü asal çarpanlarına ayrılabilen bir bölge ve K A nın
kesir cismi olsun. µ ∈ A birimsel eleman ve p ler A nın asal elemanları olmak üzere
herhangi bir x ∈ A elemanı
x = µ
∏
olarak yazılır. c ∈ IR , 0 < c < 1 olmak üzere
p
α
p
α
v p ( x)
= c (veya v p (x)
= α )
biçiminde tanımlanan dönüşüm değerlendirme tanımındaki koşulları gerçekler. Bu
dönüşüm A nın kesir cismi olan K ya tek şekilde genişletilir. Bu değerlendirmeye K
cisminin p-adik değerlendirmesi adı verilir.
1.16. Tanım: K bir cisim , v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. v
değerlendirmesi K cismi üzerinde bir Hausdorff topolojisi tanımlar. Her a ∈ K için
a nın komşuluklarının temel sistemi µ > 0 olmak üzere tüm
kümeleri ile verilir.
U ( a,
µ ) = { b ∈ K v ( a − b)
< µ }

1.17. Teorem: K bir cisim , 1
değerlendirmesi , T v ve
1
v ve 2
v K cisminin aşikar olmayan iki
T v K cismi üzerinde sırasıyla v
2
1 ve 2 v
değerlendirmeleriyle belirlenen topolojiler ve a ∈ K olsun.
α
i) v = v , α > 0
v) v a)
≤1 ⇒ v ( a)
≤1
2
1
1(
2
ii) T = T
vi) v a)
> 1⇒
v ( a)
> 1
iii)
v1
T v1
v2
v2
1 ( 2
T den daha incedir. v a)
≥1 ⇒ v ( a)
≥1
1(
2
iv) v a)
< 1⇒
v ( a)
< 1
v a)
= 1⇒
v ( a)
= 1
1 ( 2
1 ( 2
ifadeleri denktir. (Weiss, 1963)
1.18. Tanım:G sıralı bir grup, H G grubunun bir alt grubu olsun. a ∈ G olmak
−1
üzere b ∈ H ve b ≤ a ≤ b
isolated alt grubudur denir.
iken a ∈ H oluyorsa H alt grubuna G grubunun bir
1.19. Tanım: G sıralı bir grup olsun. G grubunun kendisinden farklı tüm
isolated alt gruplarının sayısına G sıralı grubunun rankı adı verilir.
1.20. Tanım: K bir cisim , v K cisminin bir değerlendirmesi , G v nin
değer grubu olsun. v değerlendirmesinin rankı G sıralı grubunun rankıdır.
1.21. Tanım: K bir cisim , v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. K
cisminde alınan her Cauchy dizisi v değerlendirmesine göre K cisminin bir
elemanına yakınsıyorsa K cismi v değerlendirmesine göre tamdır denir.
1.22. Teorem: K bir cisim , v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. K ~
cismi v değerlendirmesiyle tam ve K cismi K ~ cismi içinde yoğun olacak şekilde bir
K ~ cismi vardır. Bu K ~ cismine K cisminin v değerlendirmesine göre tamlanışı adı
verilir.
1.23. Teorem: K bir cisim v K cisminin bir değerlendirmesi ve K ~ ,
~
~ ~
K cisminin v değerlendirmesine göre tamlanışı ise char K = charK ve v ( K)
= v(
K)
dır. (Bachman, 1964 )
1.24. Tanım: K ve L iki cisim olsun. α ∈ L için L = K(α
) biçiminde
yazılıyorsa L cismine K cisminin bir basit genişlemesi denir.

1.25. Tanım: L K cisminin bir genişlemesi ve α ∈ L olsun. f ( α)
= 0 olacak
şekilde en az bir f ( x)
∈ K[
x]
, f ( x)
≠ 0 polinomu varsa α ∈ L elemanı K cismi
üzerinde cebirseldir denir ve α ceb / K ile gösterilir.
1.26. Tanım: L K cisminin bir genişlemesi olsun. Her α ∈ L elemanı K cismi
üzerinde cebirsel ise L K cisminin bir cebirsel genişlemesidir denir.
1.27. Tanım: L , K cisminin bir genişlemesi olsun. K = { a ∈ L a ceb / K}
cismine K cisminin L cismi içindeki cebirsel kapanışı adı verilir.
1.28. Tanım: L K cisminin bir genişlemesi, α ∈ L olsun. α K cismi
üzerindeki minimal polinomunun bir basit kökü ise α ∈ L elemanı K cismi üzerinde
ayrılabilirdir denir ve α ayr / K ile gösterilir.
1.29.Tanım: : L K cisminin bir genişlemesi olsun. Her α ∈ L elemanı K cismi
üzerinde ayrılabilir ise L K cisminin bir ayrılabilir genişlemesidir denir.
1.30 Tanım: L , K cisminin bir genişlemesi olsun. = { a ∈ L a ayr / K}
K ayr
cismine K cisminin L cismi içindeki ayrılabilir kapanışı adı verilir.
1.31. Tanım: K cisminin tüm genişlemeleri ayrılabilir ise K cismine
mükemmel cisim denir.
1.32. Tanım: L K cisminin bir genişlemesi, α ∈ L olsun. α elemanının K
cismi üzerindeki minimal polinomu L [x]
içinde doğrusal çarpanlarına ayrılabiliyorsa
α ∈ L elemanı K cismi üzerinde normaldir denir.
1.33. Tanım: L K cisminin bir genişlemesi olsun. Her α ∈ L elemanı K cismi
üzerinde normal ise L K cisminin bir normal genişlemesidir denir.
1.34. Tanım: L K cisminin normal ve ayrılabilir bir genişlemesi ise L cismine
K cisminin bir Galois genişlemesi denir.
1.35. Tanım: L K cisminin bir Galois genişlemesi olsun. L nin K cismini
sabit bırakan otomorfizmalarının kümesi bileşke işlemine göre bir gruptur ve bu gruba
L nin K cismi üzerindeki Galois grubu denir.
1.36. Tanım: L , K cisminin sonlu bir genişlemesi, a ∈ L ve p ( x)
= Irr(
a,
K)
olsun. Eğer p(
x)
= ( x − a)
, m > 1
m
ise a elemanına K cismi üzerinde tamamıyla
ayrılamaz denir. L, K cisminin bir genişlemesi olsun. Her a ∈ L elemanı K cismi
üzerinde tamamıyla ayrılamaz ise L, K cisminin tamamıyla ayrılamaz genişlemesidir

denir. [ K ayr : K]
derecesine L cisminin K cismi üzerindeki ayrılabilirlik derecesi,
[ L : Kayr
] derecesine ise L cisminin K cismi üzerindeki ayrılamazlık derecesi denir.
1.37. Tanım: K F cisminin sonlu bir genişlemesi , F nin K cismi içindeki
ayrılabilirlik derecesi n , ayrılamazlık derecesi [ K : F]
i olsun. σ ,......., σ n
otomorfizmaları olmak üzere a ∈ K elemanının F üzerindeki normu
ve trace’i
biçiminde tanımlanır.
N
T
K / F
K / F
( a)
⎡
n
= ⎢∏
⎢ i=
1
⎣
⎤
σ i ( a)
⎥
⎥⎦
n
i∑
i=
1
[ K:
F ] i
( a)
= [ K : F]
σ ( a)
i
1 K nın F-
1.38. Teorem: K bir cisim , v K cisminin bir değerlendirmesi ve L K
cisminin bir genişlemesi olsun. Bu durumda v değerlendirmesi L cismine
genişletilebilir. (Bachman, 1964)
1.39 Teorem: L K cisminin bir genişlemesi, v K cisminin bir değerlendirmesi,
v L v değerlendirmesinin L cismine bir genişlemesi olsun. V v v değerlendirmesinin
değerlendirme halkası , P v V v nin maksimal ideali, U v V v nin birim grubu,
değerlendirmesinin değerlendirme halkası,
nin birim grubu ise
şeklindedir.
v
vL
v
P vL
vL
V v nin maksimal ideali ve
L
V = K ∩V
, P = K ∩ P , U = K ∩U
v
vL
V v v
L L
U vL
1.40. Tanım:, K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. L K
cisminin bir genişlemesi ve v L v değerlendirmesinin L cismine bir genişlemesi olsun.
v ve v L değerlendirmelerinin sırasıyla değer grupları G v ve
k v ve
vL
V vL
G v , rezidü cisimleri
L
k ise e = e(
vL
/ v)
= [ Gv
: Gv
] indeksi dallanma indeksi,
f = f ( vL
/ v)
= [ kv
: kv
] derecesi rezidü derecesi olarak adlandırılır. Eğer e( vL
/ v)
= 1
L
ise v L değerlendirmesine v üzerinde dallanmamıştır denir.
L

1.41. Teorem: L K cisminin n. dereceden bir genişlemesi, v K cisminin bir
değerlendirmesi, v L v değerlendirmesinin L cismine bir genişlemesi olsun. e dallanma
indeksi, f rezidü derecesi olmak üzere e f ≤ n dir. (Bachman, 1964)
1.42.Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. v
değerlendirmesinin değer grubu sonsuz devirli bir grup ise v ye ayrık değerlendirme
denir.
1.43 Teorem: K bir cisim, v K cisminin ayrık bir değerlendirmesi olsun. K
cismi v değerlendirmesine göre tam ise ve L K cisminin n. dereceden bir genişlemesi
ise e f = n dir. (Bachman, 1964)
1.44. Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. K cisminin
her bir L cebirsel genişlemesi için v değerlendirmesinin L cismine bir tek genişlemesi
varsa v ye Henselian değerlendirme denir.
1.45. Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. L K
cisminin v değerlendirmesinin tek şekilde genişletilebildiği en küçük cisim ise L
cismine K cisminin Henselizasyonu denir.
1.46. Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi, L K cisminin
cebirsel bir genişlemesi ve v L , v değerlendirmesinin L cismine bir genişlemesi olsun.
e ve f sırasıyla dallanma indeksi ve rezidü derecesi olsun. L cisminin Henselizasyonu
h
( L) ve K cisminin Henselizasyonu
h
h
h
( K) olmak üzere L / K genişlemesinin
Henselian hatası [( L)
: ( K)
] / ef ile tanımlanır, def (( L,
vL
) /( K,
vK
)) veya
def ( L / K)
ile gösterilir. Eğer def ( L / K)
= 1 ise genişleme hatasızdır denir.
1.47. Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi, L K cisminin
bir genişlemesi ve v L v değerlendirmesinin L cismine bir genişlemesi olsun. Eğer v
değerlendirmesi ile v L değerlendirmesinin değer grupları ve rezidü cisimleri aynı ise
v L v değerlendirmesinin immediate genişlemesidir denir.
1.48. Tanım: K bir cisim, v K cisminin henselian bir değerlendirmesi, L K
cisminin bir genişlemesi ve v L , v değerlendirmesinin L cismine bir genişlemesi olsun.
e ve f sırasıyla dallanma indeksi ve rezidü derecesi olmak üzere
i) [ L : K]
= ef
ii)
k v , k
L v cisminin ayrılabilir bir genişlemesidir.

iii) chark v ł e
koşulları sağlanıyorsa L / K genişlemesine Tame genişlemesi denir.
1.49. Tanım: K bir cisim, v K cisminin henselian bir değerlendirmesi, L K
cisminin bir genişlemesi ve v L , v değerlendirmesinin L cismine bir genişlemesi olsun.
e dallanma indeksi charkv = p nin bir kuvveti ve kv / k
L v tamamıyla ayrılamaz bir
genişleme ise L / K genişlemesine tamamıyla wild genişleme denir.
1.50. Tanım: L, K cisminin bir genişlemesi olsun. α ∈ L elemanı K cismi
üzerinde cebirsel değilse α elemanı K cismi üzerinde transandanttır denir ve
α trans / K ile gösterilir. En az bir α ∈ L elemanı K cismi üzerinde transandant
oluyorsa L K cisminin transandant bir genişlemesidir.
1.51. Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. K (x)
K
cisminin basit transandant bir genişlemesi, v değerlendirmesinin K (x)
cismine
genişlemesi w , değer grubu G w , rezidü cismi k w olmak üzere k w / kv
genişlemesi de
transandant genişleme ise w değerlendirmesine v değerlendirmesinin bir rezidül
transandant genişlemesi denir.
*
ξ w nın değerlendirme halkasının bir elemanı, ξ nin w-rezidüsü
*
ξ ve
ξ trans / kv
ve w değerlendirmesinin K (ξ ) cismine kısıtlanışı v ξ olsun.
( K ( x),
w)
/( K(
ξ ), vξ
) sonlu genişlemesinin Henselian hatası D h olmak üzere
E , I ve
R
E = min{[ K(
x)
: K(
t)]
t ∈ K(
x)
, w(
t)
=
R [ : ] ( ′ :
I = [ Gw
: Gv
]
= kv′
kv
kv
kv
nin w
0,
t
*
trans / k
k içindeki cebirsel kapanışı )
eşitlikleri ile tanımlanır.
1.52. Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. K (x)
K
cisminin basit transandant bir genişlemesi, v v değerlendirmesinin K cismine
genişlemesi, w v değerlendirmesinin K (x)
cismine genişlemesi olsun. w ( x − a)
= δ
i
w i
i i
i
i
olmak üzere K (x)
cisminin w genişlemesi ( d ( x − a)
) = inf{
v(
d ) + iδ
} , d ∈ K
∑
v
}

şeklinde tanımlanmış olsun.
çift adı verilir.
( a , δ ) ∈ K × G çiftine w değerlendirmesini tanımlayan
v
1.53. Tanım: ( a , δ ) , K (x)
cisminin w değerlendirmesini tanımlayan bir çift
olsun. w değerlendirmesini tanımlayan her
[ K( a)
: K]
≤ [ K(
c)
: K]
oluyorsa
v
( c , γ ) ∈ K × G çifti için
( a , δ ) ∈ K × G çiftine w değerlendirmesini
tanımlayan minimal çift denir.
1.54 Tanım: : K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. Her
f = a + a x + ... + a x ∈ K[
x]
polinomu için
0
1
n
n
w ( f ) = inf{
v(
ai
)}
i
şeklinde tanımlanan w değerlendirmesi v değerlendirmesinin K (x)
cismine Gauss
genişlemesi olarak adlandırılır. Bu durumda w ( x)
= 0 ve kw = kv
x ) dır.
1.55. Lemma: : K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi; G , G v
grubunu kapsayan sıralı bir grup ve γ ∈G
olsun. Her f ( x)
a x K[
x]
∈ = ∑ için
w i
i
( f ( x))
= inf{
v(
a ) + iγ
}
şeklinde tanımlanan w, v değerlendirmesinin K (x)
cismine bir rezidül transandant
genişlemesini gösterir.
1.56. Tanım: K bir cisim, v K cisminin henselian bir değerlendirmesi olsun.
f ( x)
∈ K[
x]
, f ( x)
≠ 0 olan bir polinom olsun. Her bir F( x)
∈ K[
x]
polinomu
deg Fi ( x)
< deg f ( x)
olmak üzere
∑
F ( x)
= F ( x)
f ( x)
olarak tek şekilde yazılır ve bu yazılışa F (x)
polinomunun f-açılımı denir.
v
i
i
( α , δ ) ∈ K × G minimal çift olsun. K (x)
cisminin ( α , δ ) çiftine bağlı
tanımlanan w α, δ değerlendirmesi K [x]
de
i
i
( *
⎛
i ⎞
wα , δ ⎜ c x ⎟
i = v ci
+ i ci
∈ K
⎜∑
( − α)
min{
( ) δ}
,
⎟
⎝ i ⎠ i
i
i
v

şeklinde tanımlanır.
1.57. Teorem: w α, δ K (x)
cisminin ( α , δ ) minimal çifti yardımıyla
tanımlanan bir değerlendirmesi olsun. α elemanının K cismi üzerindeki minimal
i
polinomu f (x)
ise f-açılımı F ( x)
= ∑ Fi
( x)
f ( x)
olan herhangi bir F( x)
∈ K[
x]
polinomu için
olarak yazılır. (Khanduja, 1992)
i
( F x)
) = min{
v(
F ( )) iw
( f ( x)
)
wα, δ ( i α + α,
δ
i
1.58. Tanım: K karakteristiği charK = 0 olan bir cisim ve v K cisminin
i
i ∈
Henselian bir değerlendirmesi olsun. Herhangi bir f ( x)
= ∑ a x K(
x)
polinomu için
f
[ j]
⎛i
⎞
( x)
= ∑ ⎜ ⎟ a
⎝ j ⎠
i≥
j
polinomu yazılır. f (x)
polinomunun j. türevi
olur.
olacak şekilde
f
( j)
( x)
= j!
f
i
[ j]
x
( x)
i−
j
D = { α ∈ K v(
α − β ) ≥ λ}
β ∈ K ve λ ∈G
elemanları varsa K cisminin D alt kümesine disk
denir. β diskin merkezini, λ ise çapını gösterir.
v
1.59. Tanım: v K cisminin herhangi ranklı Henselian bir değerlendirmesi ve
α ∈ K \K elemanı K cismi üzerinde ayrılabilir olsun.α elemanının Krasner sabiti
wK ( α ) = max{ v(
α − α ′ ) α ′ α nın K-eşleniği, α′ ≠ α}
şeklinde tanımlanır. Ayrıca cisim genişlemelerinde
eşitliği de önemlidir.
mertebesi
∆ K ( α ) = min{ v(
α − α ′ ) α ′ , α nın K-eşleniği}
1.60. Tanım: G bir grup olsun.
k
p olan alt grubuna p-Sylow alt grubu denir.
i
k
G = mp , p asal, p ł m ise G grubunun

1.61. Tanım: ( P , ≤)
kısmi sıralı bir küme, A ⊆ P alt küme olsun. Her x ∈ P
için x ≤ y olacak şekilde y ∈ A elemanı varsa A ya P içinde bir kofinal denir.
1.62. Tanım: G bir grup olsun. Her x ∈ G için x = py olacak şekilde y ∈ G
elemanı varsa G grubuna p-bölünebilir grup denir.
1.63.Tanım: I kısmi sıralanmış bir küme olsun. I kümesinin herhangi iki i ve j
elemanı içini ≤ k ve j ≤ k olacak şekilde bir k ∈ I elemanı varsa I kümesine
yönlendirilmiş küme denir.
1.64. Tanım: X bir küme, I yönlendirilmiş bir küme olsun. I kümesinden X
kümesine bir f fonksiyonuna X de bir ağ (net) adı verilir. f (i)
fonksiyon değeri f i ile
ve ağın kendisi { fi } i∈I
ile gösterilir.
1.65. Tanım: G tam sıralı bir grup H ⊆ G alt grup olsun. h h ∈ H
1 , 2 ve g ∈ G
olmak üzere h1 ≤ g ≤ h2
iken g ∈ H oluyorsa H alt grubuna convex denir.
1.66. Tanım: L, K cisminin [ L : K]
= p asal olan bir devirli genişlemesi olsun.
y p
− y = c ∈ K , L = K(
y)
olacak şekilde y ∈ L elemanı varsa L / K genişlemesine
Artin-Schreier genişlemesi denir.
1.67. Teorem: (Hilbert Teorem 90) L, K cisminin bir Galois genişlemesi ve
α L K
Galois grubu σ ile üretilen devirli bir grup olsun. ∈ L , Tr / ( α)
= 0 olmak üzere en
az bir 0 ≠ β ∈ K elemanı için α = σ ( β ) − β yazılır.
1.68. Tanım: K cismi üzerindeki v mutlak değeri her a, b∈
K için
v( a + b)
≤ max{ v(
a),
v(
b)}
koşulunu sağlıyorsa Arşimetsel olmayan mutlak değer aksi
halde Arşimetsel mutlak değer olarak adlandırılır.
1.69. Lemma: (Hensel Lemma) K bir cisim, v K cisminin Arşimetsel
olmayan, rankı 1 olan bir değerlendirmesi, O v v değerlendirmesinin değerlendirme
halkası, M maksimal ideali, k v rezidü cismi olsun. f ( x)
∈ Ov[
x]
ve
( x),
H ( x)
∈ k ( x)
aralarında asal polinomlar olmak üzere f ( x)
= G(
x)
H ( x)
olsun.
G v
Bu durumda f ( x)
= g(
x)
h(
x)
olacak şekilde g( x),
h(
x)
∈ K[
x]
, deg G ( x)
= deg g(
x)
polinomları vardır. (Mc Charty, 1966)
*

2. BÖLÜM
TAME GENİŞLEMELERİ VE SABİTLER
K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. K ′ K cisminin bir
genişlemesi olmak üzere , v değerlendirmesinin K ′ cismine bir genişlemesi v′ , değer
grubu G v′
, rezidü cismi k v′
ile gösterilsin.
2.1. Lemma: K mükemmel bir cisim, v K cisminin Henselian bir
değerlendirmesi ve charK = p ≥ 2 olsun. K ′ , K cisminin hatasız bir Galois
genişlemesi ve [ K ′ : K]
= p olsun. Bu durumda her α ∈ K ′ elemanı için
v′ ( − a)
≥ ∆ ( α)
olacak şekilde en az bir a ∈ K elemanı vardır.
α K
Kanıt: K mükemmel bir cisim ve charK = p ≥ 2 olduğundan G v grubu p-
bölünebilirdir ve k v cismi de charkv = p olan mükemmel bir cisimdir. Buradan
dallanma indeksi e, p nin bir böleni olduğundan e = 1 dir ve K ′ , K cisminin hatasız bir
k
genişlemesi olduğundan [ : k ] = p dir. ξ , ′ Artin-Schreier genişlemesinin
p
v
kv ′ v
v
kv
ξ −ξ ∈ k olacak şekilde bir üreteci olsun. Hensel Lemma’dan v ′ ( β ) = 0 ve
v′ − rezidüsü β = ξ
p
*
olan bir β ∈ K ′ elemanı vardır ve en az bir c ∈ K elemanı için
2 ,...,
p−1
β − β − c = 0 dır. 1,
β , β β elemanlarının v′ − rezidülerinin k v cismi
üzerinde lineer bağımsız olduğu göz önüne alındığında a a a p K ∈
, ,..., olmak üzere
olduğu kolayca görülür.
p−1
0 1 p−1β
i
i
v ′ ( a + a β + ... + a ) = min v(
a )
(2.1)
Her i = 0, 1,...,
p −1
için ai ∈ K olmak üzere K ′ \ K da herhangi bir eleman
∑ − p 1
i
i=
0
i
α = a β olsun. ) ( ) a a v a v j = ′ − olacak şekilde en büyük j ≥ 1 indeksi seçilsin
ve
j
( 0
− a0 =
a
α
γ olsun. v′ ( α − a)
≥ ∆ K ( α)
olacak şekilde en az bir a ∈ K elemanının
varlığını göstermek için v′ ( γ ) ≥ ∆ K ( γ ) yani ∆ K ( γ ) ≤ 0 olduğunu göstermek yeterlidir.
b i = ai
/ j
a elemanı
0
1
−1

v ( b ) = 0 ve i > j iken v ( b ) > 0
(2.2)
j
olmak üzere γ ∈ K′ elemanı ∑ − p 1
i
γ = b β biçiminde yazılır. K ′ cisminin β yı
i = 1
β + 1 e götüren K-otomorfizması altında γ elemanının görüntüsü γ olsun. ci ∈ K
olmak üzere ∑ − p 1
( 1)
i
− γ = c β
i
γ i olur. c 0 , c1,...,
c p−2
katsayıları 1 , b2,...,
bp−1
i=
1
i
( 1)
b cinsinden
yazılır ve (2.2) ifadesi kullanılırsa ( 1 ) 0 = v c olduğu bulunur. (2.1) eşitliği yardımıyla
( 1)
j−
v ′ ( γ − γ ) ≤ 0 olur, buradan da ∆ K ( γ ) ≤ 0 elde edilir.
2.2. Lemma: K mükemmel bir cisim, v K cisminin Henselian bir
değerlendirmesi ve charkv = p ≥ 0 olsun. K ′ , K cisminin [ K′ : K]
derecesi p ile
bölünmeyen bir genişlemesi olsun. Bu durumda her α ∈ K ′ elemanı için
v′ ( − a)
≥ ∆ ( α)
eşitsizliğini sağlayan en az bir a ∈ K elemanı vardır.
α K
Kanıt: α ∈ K ′ \K alınsın. K (α ) cismi L ile gösterilsin. K mükemmel cisim
olduğundan L / K ayrılabilir bir genişlemedir ve dolayısıyla ayrılamazlık derecesi
[ L:
K ]
[ L : K]
i = 1 dir. Bu yüzden TrL / K ( α ) = ∑ σ i ( α ) dır. K cisminde
=
i
1
A = { σ σ : L → K , K − monomorfizma}
kümesi tanımlansın. [ L : K]
= A olduğu açıktır. Hipotezden dolayı p , [ L : K]
yı
bölmez. Bu durumda v ′ ( [ L : K]
) = 0 olur.
v′
( α − [ L : K]
−1
Tr
L / K
bulunur. Böylece kanıt tamamlanır.
( α )) = v′
([ L : K]
α −Tr
= v′
([ L : K]
α −Tr
= v′
(
= v′
(
[ L:
K ]
i=
1
[ L:
K ]
i=
1
α −
L / K
[ L:
K ]
i=
1
L / K
σ ( α))
( α −σ
( α )))
( α ))
= v′
( ( σ −σ
( α))
)
σ∈A
≥ min{
v′
( σ −σ
( α))}
= ∆
σ∈
A
∑
∑
∑
∑
i
i
( α )) − v′
([ L : K]
)
K
( α)

2.3. Lemma: K mükemmel bir cisim, v K cisminin Henselian bir
değerlendirmesi, charK = p ≥ 2 olsun. K ′ K cisminin bir Galois genişlemesi ve
v′ v nin K′ cismine hatasız bir genişlemesi olsun. Bu durumda her α ∈ K ′ elemanı
için v′ ( − a)
≥ ∆ ( α)
eşitsizliğini sağlayan en az bir a ∈ K elemanı vardır.
α K
Kanıt: [ K′ : K]
derecesini bölen p nin kuvveti
n
p ile gösterilsin. Eğer n = 0
ise 2.2.Lemma’dan istenilen gösterilmiş olur.
n ≠ 0 olsun. K ′ / K genişlemesinin Galois grubunun p − Sylow alt grubunun
sabit cismi L olsun. Buradan p , [ L : K]
derecesini bölmez ve i = 0, 1,...,
n −1
için
L / L
i+
1 i cisim genişlemeleri .
p dereceden normal genişlemeler olmak üzere
L = L0
⊆ L1
⊆ ... ⊆ Ln
= K ′ ara cisimleri vardır. ( K ′ , v′
) /( K,
v)
genişlemesi hatasız
olduğundan
v′ ( α − γ ) ≥ ∆ ( α ) ≥ ∆ K ( α )
Ln−1 (2.3)
sağlayan en az bir γ ∈ Ln−1
elemanı vardır. γ ′ , γ elemanının bir K − eşleniği ve
σ K cebirsel kapanışın σ ( γ ) = γ ′ sağlayan bir K − otomorfizması olsun. v Henselian
olduğundan v ( σ ( α − γ )) = v(
α − γ ) eşitlikleri sağlanır. (2.3) ifadesi de göz önüne
alındığında γ elemanının tüm eşlenikleri için
v(
γ − γ ′ ) = v(
γ −σ
( γ ′ )) = v(
γ −α
+ α − σ ( α)
+ σ ( α)
− σ ( γ ))
≥ min{ v(
γ −α
), v(
α −σ
( α)),
v(
σ ( α − γ ))}
≥ ∆
K
( α )
olur. Buradan ∆ ( ) ≥ ∆ ( α)
elde edilir. Benzer şekilde devam edilerek
K
γ K
v( − a)
≥ ∆ ( γ ) ≥ ∆ ( α)
(2.4)
γ K K
bulunur. Böylece (2.3) ve (2.4) ifadelerinden
v( − a)
= v(
α − γ + γ − a)
≥ min{ v(
α − γ ), v(
γ − a)}
≥ ∆ ( α)
α K
elde edilmiş olur.
2.4. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
K ′ , K cisminin bir Galois, tame genişlemesi olsun. Bu durumda her α ∈ K ′ elemanı
için v′ ( − a)
≥ ∆ ( α)
eşitsizliğini sağlayan en az bir a ∈ K elemanı vardır.
α K
(Khanduja,1998)

2
Bu lemmanın tersinin doğru olmadığı aşağıdaki örnek ile gösterilebilir.
2.5. Örnek: u 2 Q cismi üzerindeki 2-adik değerlendirmesi olsun. Bu durumda
u nin değer grubu Gu = Z
2
olmak üzere u 2 nin Q (θ ) cismine genişlemesi 2
ve rezidü cismi ku = Z 2 olur. θ birimin 3.ilkel kökü
2
v olsun. 2
v nin değer grubu Gv = Z
dir. Rezidü cismi k = Ω cismi olsun. t transandant bir eleman ve
2 vt
, v
2
v
2
değerlendirmesinin Q( θ , t)
cismine bir genişlemesi
∑
t i
2 ( 2
i
i
şeklinde tanımlı Gauss genişlemesi olsun.
v ai
x ) = min{
v ( ai
)} , ai
∈ Q(
θ )
( K , v)
, Q( θ , t),
v ) cisminin henselizasyonu ve ( K ′ = K(
t ), v′
) da K
( 2 t
cisminin 6. dereceden bir Galois genişlemesi olsun. v nin rezidü cismi = Ω t ) ve
* 1/
6
v′ nin rezidü cisminin ′ = Ω((
t ) ) olduğu açıktır. v′ v nin Gauss genişlemesi
k v
*
olduğundan t ∆ cismi üzerinde transandanttır. k v′ / kv
ayrılabilir bir genişleme
olmadığından K ′ / K bir tame genişlemesi olamaz. Oysa her α ∈ K ′ \K elemanına
v′ ( − a)
≥ ∆ ( α)
eşitsizliğini sağlayan en az bir a ∈ K elemanının karşılık geleceği
α K
örneğin sonunda gösterilmiş olacaktır.
1/
6
x = t ve ξ birimin 6. ilkel kökü olsun. 1 , σ 2,
σ 3,
σ 4,
σ 5,
σ 6
i
1/
6
k v
2
( *
σ fonksiyonları
K ′ / K genişlemesinin σ ( x)
= ξ x şeklinde tanımlı otomorfizmaları olsun. 3
ξ birimin
2. ilkel kökü olduğundan
6
∏
i=
1
i
i
2
3
( 2
v 1−
ξ ) = v ( 2)
= 1
(2.5)
dir. ( 1−
ξ ) = 6 ve Gv = Z olduğundan (2.5) ifadesi yardımıyla
6
∑
i=
1
v
2
i
( 1−
ξ ) = v ( 6)
= 1 = v ( 1−
ξ )
elde edilir. Buradan her i = 1,...,
6 için v ( 1 ξ ) ≥ 0 olduğundan
bulunur.
2
2
− i
2
1 ≤ i ≤ 5 , i ≠ 3 için v ( 1 ξ ) = 0
(2.6)
2
− i
3

2 3 4 5
x , x , x , x , elemanlarının −
1, x
bağımsız olduğu göz önüne alındığında ai ∈ K ise
5
′ ∑
i=
0
i
′
v rezidülerinin k v cismi üzerinde lineer
v ( a x ) = min{
v ( a
i
i
i
)}
(2.7)
olur. (2.5), (2.6) ve (2.7) ifadeleri birlikte kullanıldığında ai ∈ K olmak üzere herhangi
5
=∑
i=
0
i
bir α a x ∈ K ′ \ K elemanı için
i
v ′ ( α − σ1
( α )) = min{ v(
a1),
v(
a2
), v(
a3)
+ 1,
v(
a4
), v(
a5
)}
v ′ ( α − σ 2 ( α )) = min{ v(
a1),
v(
a2
), v(
a4
), v(
a5
)}
v′ ( α − σ 3 ( α )) = min{ v(
a1)
+ 1,
v(
a3)
+ 1,
v(
a5
) + 1}
v ′ ( α − σ 4 ( α )) = min{ v(
a1),
v(
a2
), v(
a4
), v(
a5
)}
v ′ ( α − σ 5 ( α )) = min{ v(
a1),
v(
a2
), v(
a3)
+ 1,
v(
a4
), v(
a5
)}
eşitlikleri kolayca elde edilir. Sonuç olarak
şeklinde bulunur.
∆ ( α ) = min{ v(
a1),
v(
a2
), v(
a3)
+ 1,
v(
a4
), v(
a5
)}
K
Eğer ∆ ( ) = v(
a3
) + 1
K α ise a a0
+ 2a3
= elemanı v′ ( − a)
= ∆ ( α ) eşitliğini
α K
sağlar. ∆ K ( α ) < v(
a3
) + 1 ise v ( ai
) elemanları tam sayı olduğundan 1 ≤ j ≤ 5,
j ≠ 3
için v( ai
) ≤ v(
a j ) ve ∆ K ( α ) = v(
a j ) dir. Burada j a a a +
v′ ( − a)
= ∆ ( α ) eşitliğini sağlayan bir elemandır.
α K
= 0 elemanı
2.6. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi ve
K ′ , K cisminin bir immediate cebirsel genişlemesi olsun. Her α ∈ K ′ elemanı için
v′ ( − c)
≥ ∆ ( α)
(2.8)
α K
olacak şekilde en az bir c ∈ K elemanı varsa K ′ = K dır.
Kanıt: K ⊂ K ′
≠
α′ eşleniği ve herhangi bir a ∈ K elemanı için
olduğu varsayılsın. α ∈ K ′ \ K olsun. α elemanının herhangi bir

v ( α′
−α
) = v ( α′
− a + a −α
)
= v ( α′
− a − ( α − a)
)
≥ min{ v ( α′
− a ), v ( α − a )}
= v ( α − a )
olur ve dolayısıyla her a ∈ K için ∆ ( α ) ≥ v ( α − a)
dır. (2.8) ifadesi de göz önüne
alındığında
K
∆ ( α ) = max{ v ( α − a)
a ∈ K}
(2.9)
K
bulunur. v′ ile v değerlendirmelerinin değer grupları aynı olduğundan en az bir b ∈ K
için v ′ ( α ) = v(
b)
olur. (2.8) ifadesinden dolayı
α α
v′ ( − c)
≥ ∆ K ( ) yani
b
b
v′ ( − bc)
≥ ∆ ( α)
olacak şekilde en az bir c ∈ K vardır. (2.9) eşitliği yardımıyla da
α K
v′ ( − bc)
= ∆ ( α)
bulunur. 0 ≠ d ∈ K ve v( d)
= v′
( α − bc)
olsun. v′ ile v
α K
− bc
değerlendirmelerinin rezidü cisimleri de aynı olduğundan v′ ( − s)
> 0
d
α
olacak
şekilde en az bir s ∈ K elemanı vardır. Buradan da v′ ( − bc − ds)
> v(
d)
= ∆ ( α )
olur. Bu da (2.9) ifadesi ile çelişir. O halde K ′ = K olmalıdır.
α K
2.7.Uyarı: K mükemmel bir cisim, charK = p > 0 , v K cisminin Henselian bir
değerlendirmesi ise k v cismi de mükemmeldir ve G v grubu p-bölünebilirdir. Sonuç
olarak (K,v) cisminin herhangi bir sonlu ve tamamıyla wild genişlemesi bir immediate
genişlemedir.
2.8.Teorem: K karakteristiği sıfırdan farklı mükemmel bir cisim, v K cisminin
herhangi ranklı Henselian bir değerlendirmesi olsun. Her α ∈ K elemanına karşılık
v( − a)
≥ ∆ ( α ) eşitsizliğini sağlayan en az bir a ∈ K elemanının olması için gerekli
α K
ve yeterli koşul v değerlendirmesinin hatasız olmasıdır.

Kanıt: 2.3.Lemma göz önüne alınırsa her α ∈ K elemanı için
v′ ( − a)
≥ ∆ ( α)
eşitsizliğini sağlayan en az bir a ∈ K elemanının olması durumunda
α K
(K,v) cisminin hatasız değerlendirilmiş bir cisim olduğunun gösterilmesi ile kanıt
tamamlanır.
K ′ K cisminin sonlu bir genişlemesi olsun. [12] den K ′ cismi 1
K ve 2
K ile
üretilen 1 2 K K cismi içinde kalacak şekilde (K,v) cisminin bir (K1,v1) tame genişlemesi
ve bir K , ) sonlu tamamıyla wild genişlemesi vardır. 2.5. Uyarı ve 2.4. Lemma’dan
( 2 2 v
K 2 = K bulunur ve buradan da 1 K K ′ ⊂ dir. K
olduğundan hatasızdır. Dolayıyla K ′ / K genişlemesi de hatasız olur.
K 1 cisminin bir tame genişlemesi
2.9. Teorem: K bir cisim, v K cisminin herhangi ranklı Henselian bir
değerlendirmesi olsun. Her α ∈ K elemanı için v( − a)
≥ ∆ ( α)
eşitsizliğini sağlayan
α K
en az bir a ∈ K elemanının var olması için gerekli ve yeterli koşul (K,v) cisminin bir
tame cismi olmasıdır.
Kanıt: 2.8. Teorem’inin kanıtına benzer olarak kolayca elde edilir.
2.10. Teorem: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
α ∈ K \ K elemanı K cismi üzerinde ayrılabilir olsun. v( − a)
≥ w ( α)
olacak şekilde
α K
en az bir a ∈ K elemanı varsa K (α ), K cisminin bir tame genişlemesidir.
Kanıt: K′ K cisminin α elemanının bulunduran en küçük Galois genişlemesi
ve K cisminin K ′ içindeki maksimal tame genişlemesi KT olsun. Varsayımdan
v( − a)
≥ w ( α )
(2.10)
α K
eşitsizliğini sağlayan en az bir a ∈ K elemanının olduğu biliniyor. K (α ) nın K
cisminin bir tame genişlemesi olmadığı yani T K ∉ α olduğu varsayılsın. Bu durumda
σ ( α)
≠ α olacak şekilde bir ( / T ) K K Gal ′ ∈ σ elemanı vardır.
v( σ ( α − a)
− ( α − a))
> v(
α − a)
(2.11)
olur. (2.10) ve (2.11) ifadelerinden v ( ( α)
− α)
> w ( α)
bulunur. Bu da w (α )
σ K
sabitinin tanımı ile çelişir. Bu durumda K (α ) / K bir tame genişlemesidir.
K

2.11. Teorem: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
K ′ , K cisminin bir Galois genişlemesi ve [ K ′ : K]
= n ve v değerlendirmesinin K′
cismine genişlemesi v′ olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir.
i) kv′ ≠ kv
ve her α ∈ K ′ \ K elemanı için ( α ) K ( α ) w a v ≥ − ′ eşitsizliğini
sağlayan en az bir a ∈ K elemanı vardır.
ii) n bir asal sayıdır ve k v′ / kv
genişlemesi n. dereceden bir Galois
genişlemesidir.
Kanıt: k v′ / kv
normal bir genişlemedir. Herhangi bir σ ∈ Gal ( K ′ / K)
dönüşümünün Gal ( K′
/ K)
grubundan k v′ / kv
nin otomorfizmaları grubuna tanımlı
kanonik homomorfizma altındaki görüntüsü σ olsun ve v′ nin değerlendirme
halkasındaki herhangi bir ξ elemanı için σ ( ξ ) = σ ( ξ ) şeklinde tanımlansın.
*
(i) ifadesinin sağlandığı varsayılsın. Buradan ′ v genişlemesi bir Galois
*
genişlemesidir. Her β ∈ k v′
\ k v elemanı için
*
*
k /
v k
[ k ( β ) : k ] = [ K ′ : K]
= [ k ′ : k ]
(2.12)
olduğu gösterildiğinde (ii) ifadesi kanıtlanmış olur.
v
v
*
β ∈ K ′ , v′
( β ) = 0 olmak üzere β ∈ k v′
\ k v olsun. (i) ifadesinden
( ) ( β ) w b v ≥ − ′ olacak şekilde b ∈ K elemanı vardır. Eğer 0 ) ( > β w olsaydı
*
β K
*
*
β = b olurdu. β ∈ k v′
\ k v olduğundan bu mümkün değildir. Dolayısıyla
w ( β ) = 0 olmalıdır.
K
* )
σ ( β ) ≠ β olacak şekilde σ ∈ Gal ( K ′ / K)
varsa
*
v
v
* )
K
*
σ ( β ≠ β dır. Çünkü
σ ( β = β olsaydı v ′ ( σ ( β ) − β ) > 0 ve dolayısıyla w ( β ) > 0 olacaktı. Bu da
w ( β ) = 0 ile çelişir. Buradan
K
olur. (2.12) eşitliğinin elde edilmesi için
olduğu gösterilmelidir.
*
[ K( β ) : K]
= [ k ( β ) : k ]
(2.13)
v
v
K
K (β ) = K′
(2.14)

(2.14) eşitliğinin sağlanmadığı varsayılsın. α , K ′ / K genişlemesinin bir
üreteci ve d , K cisminin v ′ ( dα
) > 0 eşitsizliğini sağlayan bir elemanı olsun. K (β ) ,
K ′ = K(α
) nın bir alt kümesi olduğundan τ ( α)
≠ α , τ ( β ) = β olacak şekilde bir
τ ∈ Gal ( K′
/ K)
elemanı vardır. d nin seçilişinden dolayı
v ′ ( τ ( dα
+ β ) − ( dα
+ β )) = v′
( d(
τ ( α)
−α
)) > 0
bulunur. Sonuç olarak wK ( dα
+ β ) > 0 olur. (i) ifadesinden dolayı
v′ ( dα
+ β − c)
≥ wK
( dα
+ β ) > 0 olacak şekilde c ∈ K elemanı vardır. v ′ ( dα
) > 0
olduğundan v′ ( β − c)
> 0 olduğu da görülür. Yani β = c olur. Fakat bu eşitlik de
mümkün değildir. Bu çelişki (2.14) eşitliğinin sağlandığını gösterir. (2.13) ve (2.14)
*
kv v
ifadeleri göz önüne alındığında [ ( β ) : k ] = [ K(
β ) : K]
= [ K ′ : K]
olur.
[
*
kv v ≤ v′
v
( β ) : k ] [ k : k ] ≤ [ K ′ : K]
ifadesi ile birlikte (2.12) ifadesi elde edilmiş olur.
2.12. Lemma: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi r ∈ IN ve
x, y ∈ K olsun. v ( x − y)
> v(
x)
ise v ( x − y ) > v(
x ) dir. (Khanduja,1999)
r
r
2.13. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
K (α ) , K cisminin bir tame genişlemesi ve [ K( α ) : K]
= n > 1 olsun. Bu durumda
[ K ( δ ) : K]
< n ve v( − δ ) ≥ w ( α ) olacak şekilde en az bir δ ∈ K(α
) elemanı
vardır.
α K
Kanıt: . K (α ) / K bir tame genişlemesi olduğundan ayrılabilir bir genişlemedir.
K ′ , K cisminin α elemanını bulunduran en küçük Galois genişlemesi olsun.
( K ′ , v′
) içindeki ( K , v)
cisminin maksimal tame genişlemesi T ile gösterilsin.
[10,21.2] den T , K cisminin K (α ) yı içeren bir Galois genişlemesidir. O halde T = K ′
olmalıdır. Gal ( K′
/ K)
nın bir alt grubu
r
*
{ ( / ) ( α σ ( α )) ( α ) } w
v K K Gal
H ≥ − ′ ′ ∈ = (2.15)
σ K
şeklinde tanımlanmış olsun ve H alt grubunun sabit cismi F ile gösterilsin. w (α )
nın tanımından Gal( K ′ / K(
α )) ⊂ H olduğu açıktır. Dolayısıyla F ⊂ K(α
) olur.
∆ ( α ) = min{
v(
α −α
′ ) α′
α nın F-eşleniği}
F
olmak üzere ∆ ( ) ≥ w ( α ) olduğu kolayca görülür. w ( ) ≥ ∆ ( α ) ≥ ∆ ( α )
F
α K
olduğu da göz önüne alındığında
*
K
K α K F

∆ ( ) = w ( α )
(2.16)
F
α K
bulunur. 2.4. Lemma’dan ve (2.16) eşitliğinden dolayı ( δ ) ( α)
w
v ≥ − ′ eşitsizliğini
α K
sağlayan en az bir δ ∈ K(α
) elemanı vardır. Ayrıca F ⊂ K(α
) olduğundan
[ K( δ ) : K]
< [ K(
α ) : K]
dır. Böylece kanıt tamamlanmış olur.
2.14. Lemma (Krasner Lemma): K bir cisim, v K cisminin Henselian bir
değerlendirmesi olsun. α ∈ K \K, α ayr / K olsun.
v ( − β ) > w ( α)
α K
olacak şekilde β ∈ K elemanı varsa K( α) ⊆ K(
β ) dır. [2,16.8]
2.15. Teorem: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
K (α ) , K cisminin bir tame genişlemesi, [ K( α ) : K]
= n > 1 ve w v
değerlendirmesinin K (α ) cismine bir genişlemesi olsun. Bu durumda aşağıdaki
ifadeler denktir.
i) ∆ ( ) = w ( α )
K
α K
ii) r v(α
− a)
= v(
b)
∈Gv
eşitliğini sağlayan en küçük pozitif tamsayı r olmak
üzere w nın değer grubu ve rezidü cismi sırasıyla = G + Z v(
α − a)
ve
k
w
r
*
= k (( α − a)
/ b)
) olacak şekilde bir a ∈ K elemanı vardır.
v
Gw v
Kanıt: v Henselian bir değerlendirme olduğundan α nın herhangi bir α′
eşleniği ve herhangi bir d ∈ K elemanı için v( α − d)
= v(
α′
− d)
dir. Buradan da
dir. Yani d ∈ K olmak üzere
olur.
v(
α −α
′ ) = v(
α − d + d −α
′ )
≥ min{ v(
α − d),
v(
α′
− d)}
= v(
α − d)
∆ ( α ) ≥ v(
α − d)
(2.17)
K
∆ ( ) = w ( α ) olsun. K (α ) / K bir tame genişlemesi olduğundan 2.9.
K
α K
Teorem’den v( − a)
≥ ∆ ( α ) olacak şekilde en az bir a ∈ K elemanı vardır. Böylece
α K
(2.17) ifadesi de kullanıldığında

v ( − a)
= ∆ ( α ) = w ( α )
(2.18)
α K K
olduğu görülür. α − a = β şeklinde yazılsın. K nin bir basit transandant genişlemesi
K (x)
ve v değerlendirmesinin K (x)
cismine bir genişlemesi u olsun. u
değerlendirmesi K [x]
üzerinde
∑
u( ci
x ) = min{
v(
ci
) + i v(
β )} , ci
∈ K
i
i
i
şeklinde tanımlansın. u nin K (x)
cismine kısıtlanışı u ile gösterilsin. u
değerlendirmesinin değer grubu = G + Zv(β
) olur. G u = Gw
olduğu
Gu v
gösterildiğinde (ii) ifadesinin ilk kısmı kanıtlanmış olur. Bunun için de derecesi n den
küçük olan herhangi bir g( x)
∈ K[
x]
polinomu için
olduğunun gösterilmesi yeterlidir.
v ( g(
β )) = u(
g(
x))
(2.19)
deg g ( x)
= m , g(
x)
polinomunun kökleri β 1 , β 2,...,
β m ve baş katsayısı c
olsun. (2.18) ifadesi ve Krasner Lemma’dan
v i
i K
( β − β ) = v(
α − a − β ) ≤ w ( α ) = v(
β )
dır. Yukarıdaki eşitsizlik ve genel değerlendirme teorisinden
olur. u nin tanımından da
v( β − βi
) = min{
v(
β ), v(
βi
)}
(2.20)
i
u( x − β i ) = min{
v(
β ), v(
βi
)}
(2.21)
i
bulunur. (2.20) ve (2.21) ifadeleri birlikte göz önüne alındığında v( β − βi
) = u(
x − βi
)
olduğu görülür. Sonuç olarak
v(
g(
β )) = v(
c)
+ ∑v(
β − βi
) = v(
c)
+ ∑u(
x − βi
) = u(
g(
x))
bulunur. Yani (2.19) eşitliği gösterilmiş olur.
i
(ii) ifadesinin ikinci kısmının kanıtı için K [x]
de derecesi t < n olan bir h (x)
polinomu alınsın.
*
( h ( β )) , k w cisminin sıfırdan farklı bir elemanı olsun.
i

(2.19) ifadesinden v( h(
β )) = u(
h(
x))
= 0 dır. Eğer i = 1,
2,...,
t için ai ∈ K
olmak üzere
t
t x
h ( x)
= a0
+ a1x
+ ... + a şeklinde yazılırsa
u( h(
x))
min{
v(
a ) + iv(
β )} = 0 olur. Burada her i için v( ai
) + iv(
β ) ≥ 0 olmalıdır.
= i i
i
r v(β
) = v(
b)
∈ G olacak şekilde en küçük pozitif tamsayı r olduğundan r ł i iken
v
i
v( ai
) + iv(
β ) > 0 olur. Buradan h( β ) = ∑ ai
β nin v − rezidüsü alındığında
*
∑
i
ir
ir
i
*
∑
( h(
β )) = ( a β ) = ( a b ) (( β / b)
)
dır.Böylece istenilen gösterilmiş olur.
Tersi için (ii) ifadesi sağlansın fakat (i) ifadesi sağlanmasın. Yani
i
ir
i
*
r
w ( ) > ∆ ( α)
(2.22)
K
α K
olsun. 2.13 Lemma’dan [ K ( δ ) : K]
< n ve v( − δ ) ≥ w ( α ) olacak şekilde
δ ∈ K(α
) elemanı vardır. (2.17) ve (2.22) ifadelerinden
v K K
α K
( α − δ ) ≥ w ( α ) > ∆ ( α ) ≥ v(
α − a)
bulunur. Yani v( α − δ ) > v(
α − a)
dır. Bu da
v( δ − a ) = v(
α − a)
(2.23)
olduğunu gösterir. 2.12 Lemma’dan v((
α − a)
− ( δ − a ) ) > v((
α − a)
) = v(
b)
dir.
Buradan
⎛
⎜
( α − a)
⎜
⎝
b
r
⎞
⎟
⎠
*
r
⎛
⎜
( δ − a)
=
⎜
⎝
b
r
⎞
⎟
⎠
*
r
i
*
r
(2.24)
yazılır. w nın K (δ ) cismine kısıtlanışı ile elde edilen w 0 değerlendirmesinin değer
grubu ve rezidü cismi sırasıyla
G w ve
0
birlikte (ii) deki varsayımlardan dolayı
olur. K (α ) / K hatasız bir genişleme olduğundan
w
w
0
k w olmak üzere (2.23) ve (2.24) ifadeleri ile
0
G G ⊆ ve k ⊆ k
(2.25)
w
w
0

n = [ K(
α)
: K]
= [ Gw
: Gv
] [ kw
: kv
] ≤ [ Gw
: Gv
] [ kw
: kv
]
≤ [ K(
δ ) : K]
< n
olur. Bu çelişki ile de aranılan sonuç elde edilmiş olur.
2.16. Teorem: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
α K cismi üzerinde ayrılabilir bir eleman ve asal sayı olsun. Bu durumda
w ( ) = ∆ ( α)
dır.
K
α K
Kanıt: K cisminin α elemanını bulunduran en küçük normal genişlemesi N
olsun. Gal ( N / K)
grubunun bir alt grubu
H = { ∈ Gal(
N / K)
v(
α −σ
( α)
) ≥ w ( α)}
σ K
şeklinde tanımlanmış olsun. H ın sabit cismi L olmak üzere Gal( N / K)
⊂ H olduğu
açıktır. Buradan da L ⊂ K(α
) olduğu görülür. [ K ( α ) : K]
= p asal olduğundan L = K
olmalıdır. Yani Gal ( N / K)
= H olur. Böylece α nın tüm α′ K -eşlenikleri için
v( − α′
) ≥ w ( α)
dır ve aranılan eşitlik de buradan kolayca elde edilir.
α K
2.17. Tanım: : K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi
olsun. α ∈ K \K elemanı için
kümesi tanımlanır.
M ( α , K)
= { v(
α − β ) β ∈ K,
[ K(
β ) : K]
< [ K(
α)
: K]
}
2.18. Teorem: K bir cisim, v K cisminin reel, Henselian bir değerlendirmesi
ve v değerlendirmesine göre K cisminin tamlanışı K ~ olsun. v değerlendirmesinin K ~
ya genişlemesi v ~ ve α ∈ K \K olsun. M ( α , K)
kümesinin G grubunda bir üst
v
sınırının olması için gerekli ve yeterli koşul ]
~ ~
[ K( α ) : K]
= [ K(
α)
: K olmasıdır.
(Alexandru ve Popescu ve Zaharescu, 1990)
2.19. Tanım: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
δ K (α ) , ( , K)
M α kümesinin
şeklinde tanımlı üst sınırıdır.
G grubundaki
v
δ ( α)
= sup{ v(
α − β ) β ∈ K,
[ K(
β ) : K]
< [ K(
α)
: K]
K
0
0

2.20. Teorem: K bir cisim, v K cisminin reel, Henselian bir değerlendirmesi
olsun. K (α ) K cisminin [ K( α ) : K]
= n > 1 olan hatasız, ayrılabilir bir genişlemesi, v
değerlendirmesinin K (α ) cismine genişlemesi v α olsun. Bu durumda aşağıdaki
ifadeler denktir.
i) v ( α)
= δ ( α)
α K
r
ii) v(α ) = v(
b)
∈ Gv
olacak şekilde en küçük pozitif tamsayı r olmak üzere v α
değerlendirmesinin değer grubu ve rezidü cismi sırasıyla
olur.
Gv α v
= G + Zv(α
) ve k k (( α / b)
)
vα
=
Kanıt: 2.15. Teorem’inin kanıtına benzer olarak kolayca kanıtlanır.
2.21. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
chark v > 0 iken p = charkv
, chark v = 0 iken p = 1 ve ( p , d)
= 1 olmak üzere
m
f ( x)
∈ K[
x]
polinomu n = p d dereceli bir polinom olsun. q = p n ve D f
polinomunun tüm köklerini bulunduran bir disk ise ( x)
D diskindedir. (Ax,1970)
v
[ ]
f q
r
*
m <
polinomunun da bir kökü
2.22. Lemma: K, karakteristiği charK = 0 olan bir cisim, v K cisminin bir
değerlendirmesi olsun. charkv = p > 0 olmak üzere f ( x)
∈ K[
x]
derecesi n p > 1
= m
olan bir polinom olsun. f polinomunun tüm kökleri β merkezli, λ yarıçaplı bir disk
içinde kalsın. Eğer
−1
= m
p
q ise
v(
p)
λ −
çaplı bir disk içindedir.
m m−1
p − p
[q]
f polinomunun kökleri de β merkezli,

2.23. Önerme: K mükemmel bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi,
charK = p > 0 olsun. v ( α)
≥ 0 olan her α ∈ K elemanına ve herhangi bir l > 1
tamsayısına, v( − a)
≥ ( 1−
1/
l)
∆ ( α)
olacak şekilde en az bir a ∈ K elemanı karşılık
α K
gelir. (Ax,1970)
2.24. Teorem: K mükemmel bir cisim, v K cisminin reel, Henselian bir
değerlendirmesi olsun. α ∈ K , [ K(
α)
: K]
= n > 1 ve charkv = p ≥ 0 olsun.
i) p = 0 olması durumunda ya da p > 1 iken charK = 0 olması ve n nin p nin
bir kuvveti olmaması durumunda ( α)
≥ ∆ ( α)
dır.
ii) charK = 0 , p > 1 ve
δ K K
m
n = p ise
iii) charK = p > 0 ise ( α)
≥ ∆ ( α)
dır.
δ K K
v(
p)
δ K ( α)
≥ ∆ K ( α)
−
dır.
m m−1
p − p
Kanıt: α elemanının K cismi üzerindeki minimal polinomu f (x)
olsun.
i) charK = 0 , charkv = p ≥ 0 olsun ve n p nin bir kuvveti olmasın. p = 0 ise
q = 1 olduğu, p > 0 ve d > 1,
p ł d olmak üzere n = p d ise
varsayılsın. 2.21. Lemma’da merkez α , çap; ∆ (α ) olarak alınırsa
K
m
m
q = p olduğu
[q]
f polinomunun
v( − β ) ≥ ∆ ( α)
olacak şekilde bir β kökü vardır. Buradan da ( α)
≥ ∆ ( α)
α K
olduğu görülür.
ii) charK = 0 , p > 1 ve
δ K K
m
n = p olsun. 2.22. Lemma’da merkez α , çap
v(
p)
∆ K (α ) olarak alınırsa δ K ( α)
≥ ∆ K ( α)
−
olduğu görülür.
m m−1
p − p
iii) charK = p > 0 olsun. v ( α)
≥ 0 ise 2.23. Önerme’den her l > 1 tamsayısı
için ( α)
≥ ( 1−
1/
l) ∆ ( α)
olur. Sonuç olarak ( α)
≥ ∆ ( α)
dır.
δ K
K
−1
Eğer v ( α)
< 0 ise δ ( α ) = δ ( α)
− 2v(
α)
K
K
δ K K
olduğu göz önüne alındığında ( α)
≥ ∆ ( α)
olduğu görülür.
δ K K
−1
ve ∆ ( α ) = ∆ ( α)
− 2v(
α)
K
K

2.25. Teorem: K mükemmel bir cisim, v K cisminin reel, henselian bir
değerlendirmesi ve α K üzerinde [ K( α ) : K]
= n > 1 olan cebirsel bir eleman olsun.
chark ł n ise ( α)
= w ( α)
olur.
v
δ K K
Kanıt: α = α1,
α2,...,
αs
elemanları α nın v( α − αi
) ≥ wK
( α)
eşitsizliğini
sağlayan K_eşlenikleri olsun.
Eğer s = n ise ∆ ( ) = w ( α)
dır ve 2.24. Teorem’in (i) ve (ii) ifadelerinden
K
α K
( α)
= w ( α)
olduğu görülür.
δ K K
s < n olsun. K cisminin ayrılabilir kapanışı K ayr olmak üzere K ayr / K nin
Galois grubunun bir alt grubu
H = { ∈ Gal(
K / K)
v(
α −σ
( α)
) ≥ w ( α)}
σ ayr
K
olsun ve H ın sabit cismi L ile gösterilsin. Gal( Kayr
/ K)
⊆ H olduğu açıktır.
Buradan da L ⊆ K(α
) olur.
α elemanının L cismi üzerindeki minimal polinomu s dereceli h (x)
polinomu
olsun. s n ve charK ł n olduğu için h (x)
in türevi h′ (x)
polinomu s −1
derecelidir.
h′ (x)
in kökleri c 1 , c2
,..., cs−1
olsun. Bu durumda her bir c i kökünün K üzerindeki
derecesi n den küçük olur. Buradan
v( h′
( )) = v(
s)
+ ∑ v(
α − c ) ≤ v(
s)
+ ( s −1)
δ ( α)
(2.26)
α i
K
i
s
olur. Diğer yandan h(
x)
= ∏ ( x −α
i ) den h′
( α ) = ∏ ( α −α
i ) dir ve
= 1
= 2
i
i
s
v( h′
( )) = ( s −1)
w ( α)
(2.27)
α K
olur. v ( s)
= 0 olduğundan (2.26) ve (2.27) göz önüne alındığında w ( ) ≤ δ ( α)
K
α K
olduğu bulunur. Krasner Lemma’dan da ( α)
≤ w ( α)
olduğu kolayca görülür.
δ K K
Böylece ( α)
= w ( α)
eşitliği gösterilmiş olur.
δ K K

2.26. Teorem: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi, v
değerlendirmesinin K (x)
cismine bir rezidül transandant genişlemesi w olsun. Bu
durumda w / v için E = I R Dh
eşitliği sağlanır. (Ohm ve Matignon,1990)
v
2.27. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi ve
γ , G grubunun bölünebilir kapanışında bir eleman olsun. v değerlendirmesinin K (x)
cismine bir w genişlemesi
∑
i
w i
i
i
i
( a x ) = min{
v(
a ) + iγ
}
şeklinde tanımlanmış olsun. Bu durumda Dh ( w / v)
= 1 dir.
Kanıt: s, sγ ∈ Gv
yi sağlayan en küçük pozitif tamsayı olsun.
sγ = v(
d)
, d ∈ K olarak alınsın. I ( w/
v)
= s olduğu açıktır. [10,10.1.2] dan x d
s /
elemanının w-rezidüsü k v üzerinde transandanttır. Sonuç olarak E( w / v)
≤ I(
w / v)
dir.
2.26. Teorem kullanılarak Dh ( w / v)
= 1 bulunur.
2.28. Teorem: K (x)
cisminin ( a , δ ) ile tanımlanan değerlendirmesi w ile
gösterilsin.. w nin K (x)
ve K (a)
cisimlerine kısıtlanışları sırasıyla w ve v a olsun. a
elemanının K üzerindeki minimal polinomu p (x)
, v a in değer grubu
va
G v ve s ;
a
sw( p(
x))
∈ G sağlayan en küçük pozitif tamsayı olsun. Bu durumda va / v nin
dallanma indeksi e( va
/ v)
ve rezidü derecesi f ( va
/ v)
olmak üzere
E ( w/
v)
= s[
K(
a)
: K]
, ( w / v)
= s ( e(
v / v))
, ( w / v)
= f ( v / v)
eşitlikleri
I a
sağlanır. (Alexandru ve Popescu ve Zaharescu,1988)
Henselian ise
R a
2.29. Sonuç: w ve v a değerlendirmeleri 2.28. Teorem’deki gibi olsun. v
olur. (Khanduja,1999)
Dh ( w / v)
= def (( K(
a),
v1)
/( K,
v)
2.30. Lemma: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. K1 K
cisminin bir genişlemesi, v değerlendirmesinin 1 K cismine genişlemesi 1
v olsun. t
transandant ve K 1 / K genişlemesi sonlu olsun. v 1 in 1( ) t K cismine Gauss genişlemesi

olsun.
t
v1 nin (t)
∑
K cismine kısıtlanışı
t i
v1 bit
) = min{
v1(
bi
)} , bi
i
i
( ∈ K
t
v olmak üzere
def (( K1,
v1)
/( K,
v))
= def (( K1(
t),
v1
) /( K(
t),
v ))
sağlanır. (Ohm, 1989)
2.31. Teorem: K bir cisim, v K cisminin herhangi ranklı Henselian bir
değerlendirmesi olsun. a ve b , K cisminin [ K ( c)
: K]
< [ K(
a)
: K]
eşitsizliğini
sağlayan her c ∈ K elemanı için v( a − b)
> v(
a − c)
özelliğini sağlayan elemanları
olsun. v değerlendirmesinin K ( a)
ve K(
b)
cisimlerine genişlemeleri sırasıyla va ve vb
olsun.
Gv ve Gv
sırasıyla a b
a
cisimlerini göstermek üzere
i) G ⊆ G
ii)
v
a
k ⊆ k
va
b
v
b
vb
iii) def ( K(
a)
/ K)
def ( K(
b)
/ K)
iv) [ K ( a)
: K]
[ K(
b)
: K]
özellikleri sağlanır.
t
1
v ve v nin değer gruplarını,
t
k ve k rezidü
Kanıt: v ( a − b)
= δ olsun. Hipotezden ( a , δ ) minimal çift olur. w ( a , δ )
minimal çifti ile tanımlanan bir değerlendirme ve w nın K (x)
cismine kısıtlanışı ile
elde edilen w değerlendirmesi v nin bir rezidül transandant genişlemesi olsun. a
elemanının K üzerindeki minimal polinomu p (x)
ve deg p ( x)
= n olsun.
elemanı olsun.
F ( x)
∈ K[
x]
, deg F(
x)
< n olmak üzere F( a)
∈ K(
a)
cisminin herhangi bir
olduğu gösterildiğinde (i) ve (ii) kanıtlanmış olur.
F i
i
i
( x)
= α ∏( x − β ) , a ∈ K , β ∈ K yazılsın.
v ( F(
a)
− F(
b))
> v(
F(
b))
(2.28)
v
a
v
b

F(
a)
=
F(
b)
∏
i
∏
i
( a − β )
i
=
( b − β )
i
∏
i
a − b
( 1+
)
b − β
i
(2.29)
olur. [ K( β i ) : K]
< n olduğundan hipotez yardımıyla her i için v( b − a)
> v(
a − βi
) dir.
v(
b − β ) = v(
b − a + a − β )
i
= min{
v(
b − a),
v(
a − β )}
i
= v(
a − β )
F(
a)
bulunur. Sonuç olarak v( a − b)
> v(
b − βi
) dir. Buradan (2.29) ile v ( −1)
> 0
F(
b)
bulunmuş olur. Böylece (2.28) ifadesi elde edilir.
k v cismi üzerinde w-rezidüsü transandant olan bir t ∈ K(x)
elemanı alınsın. w
~ ~
değerlendirmesinin K ( b)
ve K(
b,
x)
cisimlerine kısıtlanışları sırasıyla v ve w olsun.
w ( x − b)
= δ olduğu göz önüne alınarak w ~ değerlendirmesinin K [ b,
x]
üzerinde
~
(
i ~
α ( x − b)
) = min{
v ( α ) + iδ
} , α ∈ K(
b)
(2.30)
∑
w i
i
i
i
i
şeklinde tanımlandığı kolaylıkla görülür. Henselian hatanın çarpımsal olduğu
kullanılarak da
def ( K(
b,
x)
/ K(
b,
t))
def ( K(
b,
t)
/ K(
t))
(2.31)
= def ( K(
b,
x)
/ K(
x))
def ( K(
x)
/ K(
t))
olduğu bulunur. (2.31) eşitliğinin sol tarafı )
~ ~
Dh ( w / v dır. w ~ değerlendirmesinin (2.30)
ifadesindeki tanımından ve 2.27. Lemma’nın K( b,
( x − b))
/ K(
b)
basit transandant
genişlemesine uygulanmasından
~ ~
Dh ( w / v ) = 1 olur. 2.30. Lemma’dan ise
def ( K(
b,
t)
/ K(
t))
= def ( K(
b)
/ K)
elde edilir. (2.31) ifadesinden
def ( K(
x)
/ K(
t))
def ( K(
b)
/ K)
olur. 2.29. Sonuç’tan da
def ( K(
x)
/ K(
t))
= def ( K(
a)
/ K)
bulunur. Böylece
def ( K(
a)
/ K)
def ( K(
b)
/ K)
elde edilmiş olur. v Henselian olduğundan ilk üç ifade kullanılarak (iv) ifadesi
kolaylıkla görülür.
i
i
i

2.32. Teorem: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
a ∈ K , [ K( α ) : K]
= n > 1 ve charK = 0 olsun. n, chark v nin bir kuvveti olmasın. Bu
durumda [ K( c)
: K]
< n ve wK
( a)
= v(
a − c)
olacak şekilde en az bir c ∈ K elemanı
vardır. Eğer rank v = 1 ise δ ( ) = w ( a)
olur.
K
a K
Kanıt: charkv = p olmak üzere a elemanının K üzerindeki minimal polinomu
m
f (x)
ve derecesi n = p d olsun. f (x)
polinomunun tüm kökleri a merkezli (a)
[ ]
f q
çaplı bir diskin içinde olduğundan 2.21. Lemma’dan ( x)
∈ K[
x]
polinomunun
v K
( a − c)
≥ w ( a)
eşitsizliğini sağlayan en az bir c kökü vardır. a elemanının herhangi
bir K-eşleniği a′ olmak üzere
v(
a − a′
) = v(
a − c + c − a′
)
≥ min{ v(
a − c),
v(
c − a′
)}
= v(
a − c)
olduğu da kullanıldığında ( a)
= v(
a − c)
eşitliği elde edilir. rank v = 1 ise
w K
δ ( ) ≥ w ( a)
dır. Krasner Lemma’dan da ( a)
≥ δ ( a)
olduğu bilindiğine göre
K
a K
δ ( ) = w ( a)
eşitliği de sağlanır.
K
a K
wK K
2.33. Teorem: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi ve
K ( a)
/ K genişlemesi [ K ( a)
: K]
= n > 1 olan bir tame genişlemesi olsun. Bu durumda
[ K( c)
: K]
< n ve wK
( a)
= v(
a − c)
olacak şekilde en az bir c ∈ K(a)
elemanı vardır.
Eğer rank v = 1 ise δ ( ) = w ( a)
olur. (Khanduja ve Saha, 1999)
K
a K
2.34. Teorem: K bir cisim, v K cisminin herhangi ranklı Henselian bir
değerlendirmesi olsun. K cisminin; [ K ( c)
: K]
< [ K(
a)
: K]
eşitsizliğini sağlayan her
c ∈ K elemanı için v( a − b)
> v(
a − c)
özelliğini sağlayan elemanları a ve b olsun. Bu
durumda K ( a)
/ K genişlemesinin maksimal tame alt genişlemesi K ( b)
/ K
genişlemesinin maksimal tame alt genişlemesi içinde kalır.
Kanıt: K ( a)
/ K genişlemesinin maksimal tame alt genişlemesi F ile
gösterilsin. F / K basit ve ayrılabilir bir genişlemedir. F ⊆ K(b)
olduğu
gösterilmelidir.
w K

[ F : K]
= 1 ise kanıt aşikardır.
[ F : K]
≠ 1 olsun. s ≥ 2 F nin K cismi üzerindeki derecesini geçmeyecek
şekilde bir tamsayı olsun. F nin K cismi üzerindeki dereceleri s den küçük olan tüm
alt cisimlerinin K (b)
içinde kaldığı varsayılsın. F = K(
d)
cismi F nin K cismi
üzerindeki derecesi s olan bir alt cismi olsun. 2.33. Teorem’den [ K ( c)
: K]
< s ve
w K
1
( d)
= v(
d − c)
(2.32)
olacak şekilde 1 F c ∈ elemanı vardır. (2.28) ifadesi ) (a K c d − ∈ elemanına
uygulandığında
v( d − c − h)
> v(
d − c)
(2.33)
olacak şekilde en az bir h ∈ K(b)
elemanı vardır. (2.32) ve (2.33) ifadeleri birlikte göz
önüne alındığında
v K
( d − c − h)
> w ( d)
(2.34)
olduğu görülür. Krasner Lemma yardımıyla (2.34) ifadesinden
K( d)
⊆ K(
c + h)
⊆ K(
h,
c)
⊆ K(
b,
c)
olduğu elde edilir. Varsayımdan dolayı c ∈ K(b)
dir. Dolayısıyla F = K(
d)
⊆ K(
b)
elde edilmiş olur.
2.35. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
( α , δ ) ∈ K × G ikilisi K ve v ye göre bir minimal çift ve θ , K cisminin
v
v ( θ − α)
≥ δ eşitsizliğini sağlayan bir elemanı olsun. h( x)
∈ K[
x]
polinomu, tüm β
kökleri v ( α − β ) < δ sağlayan bir polinom olarak seçilsin. Bu durumda
v ( h(
θ ) − h(
α))
> v(
h(
α))
olur. (Aghigh ve Khanduja, 2002)
2.36. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
θ K \ K nın δ ( θ ) ∈ M ( θ , K)
özelliğini sağlayan bir elemanı olarak alınsın. α ∈ K
K
elemanı v( − α)
≥ δ ( θ ) eşitliğini sağlayan ve K cismi üzerinde en küçük dereceye
θ K
sahip bir eleman ise aşağıdaki ifadeler sağlanır.
1

i) ( α, δ K ( θ )) bir minimal çifttir.
ii) 1.56. Tanım’da = δ (θ ) alınarak tanımlanan değerlendirme w α, δ olmak
δ K
üzere θ elemanının K cismi üzerindeki derecesinden küçük dereceli herhangi bir
G( x)
∈ K[
x]
polinomu için w α,
δ ( G(
x))
= v(
G(
θ )) dır. (Aghigh ve Khanduja, 2002)
2.37. Teorem: K bir cisim, v K cisminin herhangi ranklı Henselian bir
değerlendirmesi olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir.
i) Her α ∈ K \K elemanına δ K ( α)
= v(
α − β ) eşitliğini sağlayan
[ K( β ) : K]
< [ K(
α)
: K]
olan en az bir β ∈ K elemanı karşılık gelir.
ii) Her θ ∈ K için v değerlendirmesinin kısıtlanışı ile elde edilen
değerlendirmeye göre K (θ ) K cisminin hatasız bir genişlemesidir.
Kanıt: (i) ifadesi sağlansın. (ii) ifadesinin kanıtlanması için her θ ∈ K \ K
elemanına [ K( α ) : K]
< [ K(
θ ) : K]
ve def ( K(
α ) / K)
= def ( K(
θ ) / K)
özelliklerini
sağlayan en az bir α ∈ K elemanının karşılık geldiğinin gösterilmesi yeterlidir.
θ ∈ K elemanı alınsın. degθ = m ≥ 2 olsun. α ∈ K elemanı δ ( θ ) = v(
θ −α
)
eşitliğini sağlayan K cismi üzerinde en küçük dereceli bir eleman olsun. α elemanının
minimal polinomu K cismi üzerindeki minimal polinomu derecesi n ≥ 1 olan f (x)
polinomu olsun. δ K ( θ ) = δ ile gösterilsin. 2.36. Lemma’nın (i) ifadesinden ( α , δ ) bir
minimal çifttir. w α, δ K (x)
cisminin
∑
wα , δ ( c ( x −α
) ) = min{
v(
ci
) + iδ
} , ci
∈ K
i
i
i
şeklinde tanımlı bir değerlendirmesi olsun. γ ∈ K ve deg γ < degα
= n ise
v ( θ − γ ) < v(
θ −α
) olur. Sonuç olarak v ( α − γ ) < v(
α −θ
) = δ dır. v
değerlendirmesinin K (θ ) ve K (α ) cisimlerinin kısıtlanışları sırasıyla v θ ve v α olsun.
2.31. Teorem’den
elde edilir.
G ⊆ G ,
vα
vθ
vα
vθ
i
k = k ve def ( K(
α ) / K)
def ( K(
θ ) / K)
ifadeleri
K

e ,
ev( f ( )) ∈ G olacak şekilde en küçük pozitif tam sayı olsun. Lagrange
θ vα
m
teoreminden e [ Gv
: G ]
θ v dır. Buradan en m olur. = l ile gösterilsin. Bu durumda
α
en
yazılır.
⎛[
Gv
: Gv
] ⎞
= ⎜ θ α
l ⎟
⎜ ⎟
[ kv
: k
θ v
⎝ e ⎠
α
⎛ def ( K(
θ ) / K)
⎞
] ⎜
⎟
⎝ def ( K(
α)
/ K ⎠
(2.35)
l = [ k : ]
(2.36)
v k
θ vα
eşitliğinin sağlandığı kanıtlanmalıdır. Böylece (2.35) ve (2.36) ifadelerinden
gösterilmek istenilen def ( K(
θ ) / K)
= def ( K(
α)
/ K eşitliği bulunmuş olacaktır.
Derecesi n den küçük olan ve ev( f ( θ )) = −v(
h(
α))
eşitliğini sağlayan bir
h( x)
∈ K[
x]
polinomu seçilsin. (2.36) eşitliğinin kanıtlanması için
elemanının
e
( f ( θ ) h(
α))
k v cismi üzerinde l. dereceden cebirsel olduğunun gösterilmesi yeterlidir.
α
Bu ifadenin tersinin doğru olduğu varsayılsın. Yani
üzerinde q < l dereceden cebirsel olsun. Bu durumda
e
*
q
*
e
( f ( θ ) h(
α))
* q−1
*
elemanı
(( f ( θ ) h(
α))
) + ( A ( α))
(( f ( θ ) h(
α))
) + ... + ( A ( α))
q−1
e
0
*
= 0
*
k v cismi
α
(2.37)
eşitliği sağlanacak şekilde dereceleri n den küçük ve ( A ( α))
≠ 0 olan Ai ( x)
∈ K[
x]
polinomları vardır. 0 ≤ i ≤ q −1
için her bir Bi ( x)
∈ K[
x]
polinomunun derecesi n den
i
α i i
küçük olmak üzere h ( ) A ( α)
= B ( α)
ve h ( ) = B ( α)
olarak yazılsın. Böylece
*
(2.37) eşitliği ( B ( α)) = ( A ( α))
≠ 0 olmak üzere
0
eq
0
*
*
0
q
α q
e(
q−1)
( Bq
( α) f ( θ ) ) + ( Bq−1
( α)
f ( θ ) ) + ... + ( B0
( α))
= 0 (2.38)
şeklinde yazılır. ( α , δ ) minimal çift, v ( θ − α)
= δ olduğu için 2.35. Lemma’dan
⎛ B ( ) ⎞
⎜ i α
( ) ⎟
⎝ Bi
θ ⎠
*
= 1
olduğunu görülür.
dir. Buradan (2.38) eşitliği kullanılarak
eq
e(
q−1)
( 0
*
v Bq
( θ ) f ( θ ) + Bq−1
( θ ) f ( θ ) + ... + B ( θ )) > 0 (2.39)
*
*

polinomu yazılsın.
eq
e(
q−1)
G(
x)
= Bq
( x)
f ( x)
+ Bq−
1(
x)
f ( x)
+ ... + B0
( x)
(2.40)
deg G( x)
< n + eqn < n + enl ≤ m − en + n = m − ( e −1)
n≤
m
dir. (2.40) ifadesi G (x)
polinomunun f -açılımıdır ve 1.57. Teorem’den
w i
0≤i≤q
α,
δ ( G(
x))
= min { v(
B ( α)) + iewα
, δ ( f ( x))}
≤ v(
B0
( α))
= 0
(2.41)
olur. deg G ( x)
< m olduğundan 2.36. Lemma’nın (ii) koşulu ve (2.39) eşitsizliğinden
w α,
δ ( G(
x))
= v(
G(
θ )) > 0 olur. Bu ifade ise (2.41) ifadesi ile çelişir. Böylece (2.36)
eşitliği gösterilmiş olur.
(ii) ifadesi sağlansın. K (θ ) , K cisminin hatasız bir genişlemesi olduğundan
K K
~
cisminin v değerlendirmesine göre tamlanışı olmak üzere
~ ~
[ K( θ ) : K]
= [ K(
θ ) : K]
eşitliği sağlanır. Böylece 2.18. Teorem’den M ( θ , K)
kümesinin G grubunda bir üst sınırı vardır. Bu üst sınır da δ K (θ ) ile gösterilir.
v
(i) ifadesinin doğru olmadığı varsayılsın. α K \ K nın K cismi üzerindeki
derecesi n olan ve δ ( α)
∉ M ( α,
K)
yı sağlayan bir elemanı olarak seçilsin. Aranan
K
çelişki K (α ) nın K cismi üzerinde hatasız bir genişleme olmadığının gösterilmesi ile
elde edilecektir
M ( α , K)
en büyük elemanı olmayan tam sıralı bir küme olduğundan iyi sıralı
bir kofinal alt kümesi vardır. O halde
dir.
(1) {δ i} i∈I
, M ( α , K)
da bir kofinal alt kümedir ve i, j ∈ I , i < j içinδ i < δ j
(2) β i ∈ K , deg βi
< n iken δ i = v( α − βi
) dır ve γ ∈ K , deg γ < deg βi
iken v( α − γ ) < δ i dır.
özelliklerini sağlayan M ( α , K)
da bir {δ i} i∈I
neti seçilebilir. Ayrıca β i lerin her
birinin K cismi üzerinde aynı s derecesine sahip olduğu varsayılabilir. i < j iken
δ i < δ j olduğu göz önüne alınırsa

v(
β − β ) = v(
β −α
+ α − β )
i
j
i
i
≥ min{ v(
β −α
), v(
α − β )}
= min{ δ , δ }
= δ
olur. Herhangi bir γ ∈ K , degγ
< s için
v(
β − γ ) = v(
β −α
+ α − γ )
i
= v(
α − γ )
i
i
i
i
= min{ δ , v(
α − γ )}
i
i
j
= min{ v(
β −α
), v(
α − γ )}
< δ
olduğu görülür. Sonuç olarak 2.31. Teorem’den
k
v
βi
G
v βi
⊆ G ,
vβ
j
i <
⊆ k , i < j , i,
j ∈ I
v
β j
j
j
j
(2.42)
(2.43)
yazılır. Tüm K( β i ) cisimleri K cismi üzerinde hatasız ve s < n dereceli olduğundan
(2.42) ve (2.43) ifadeleri eşitliğe dönüşür. Buradan herhangi bir j ∈ I için
olur.
U
i∈I
G
vβ
i
=
G
U
i∈I
vβ
j
,
U k k
(2.44)
i∈I
vβ
i
=
Gv
=
α
Gvβi
, kv
= Uk α vβi
i∈I
(2.45)
olduğu gösterilmelidir. Böylece K (α ) K cisminin n > s dereceli genişlemesi
olduğundan (2.44) ve (2.45) ifadeleri kullanılarak K (α ) nın K cismi üzerinde hatasız
olmadığı sonucu elde edilir. Bu da bir çelişkidir.
(2.45) deki eşitliklerin elde edilmesi için; derecesi n den küçük herhangi bir
F( x)
∈ K[
x]
polinomu alınsın.
v( F(
α ) − F(
β k )) > v(
F(
β k )) eşitsizliğini sağlayan k ∈ I elemanının var
olduğunun kanıtlanması yeterlidir.
vβ
j

γ F (x)
polinomunun bir kökü olsun. v( α − γ ) ∈ M ( α,
K)
olduğu için {δ i} i∈I
netinin (1) özelliğinden v( α − γ ) < δ k olacak şekilde k ∈ I elemanı vardır. k yeteri
kadar büyük seçilerek F (x)
polinomunun her bir γ t kökü için
v( α − γ ) < δ
(2.46)
olduğu varsayılabilir. F ( x)
= c∏(
x − γ ) olarak yazılsın. Buradan
t
F(
α)
=
F(
β )
k
t
t
⎛ α − γ ⎞
⎝ β − γ ⎠
∏ ∏
⎟ ⎜ k
⎜ ⎟ = 1+
olur. (2.46) eşitsizliği ile v( α − β k ) = δ k ifadesinden
olur. Sonuç olarak (2.47) ifadesinden
t
= v(
α − γ )
t
k
⎛
⎜
⎝
v(
β − γ ) = v(
β −α
+ α − γ )
k
t
k
α − β ⎞
β k − γ t ⎠
= min{ v(
β −α
), v(
α − γ )}
t
k
t
t
(2.47)
⎛ F(
α)
⎞
v
⎜ −1
> 0
( ) ⎟
⎝ F β k ⎠
eşitsizliği elde edilir. Böylece (2.45) deki eşitlikler sağlanmış olur ve kanıt tamamlanır.
2.38. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi ve
charkv = p > 0 olsun. n , n ≥ 2 olan ve p ile bölünemeyen bir doğal sayı ve ζ
birimin n. ilkel kökü olsun. Bu durumda K (ζ ) cismi K cisminin dallanmamış hatasız
bir genişlemesidir. (Khanduja, 2002)
2.39. Sonuç: K, v, n ve ζ 2.38. Lemma’daki gibi olsun. c K cisminin bir
elemanı ve θ , − c = 0 polinomunun bir kökü ise K ( ζ , θ ) cismi K cisminin bir
x n
tame genişlemesidir. (Khanduja, 2002)
2.40. Lemma: : K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi,
K (α ) K cisminin ayrılabilir bir genişlemesi, [ K ( α ) : K]
= n ve ∆ ( ) = w ( α)
K
α K
olsun. Q ( x)
K cismi üzerinde n. dereceden monik indirgenemez bir polinom olsun.
Eğer v( Q(
)) ≤ nw ( α)
oluyorsa Q (x)
polinomunun her β kökü için
α K
v ( α − β ) = v(
Q(
α))
/ n olur. (Bhatia ve Khanduja, 2002)

2.41. Lemma: K bir cisim, v K cisminin reel, Henselian bir değerlendirmesi,
α K cismi üzerinde v ( α)
= 0 sağlayan n > 1 dereceden ayrılabilir bir eleman olsun.
g(
x)
c x K[
x]
= ∑ polinomu min { v ( c )} = 0 olacak şekilde derecesi m < n olan
i
i
i ∈
bir polinom olsun. Bu durumda
i
i
v( g(
)) ≤ mδ
( α)
α K
sağlanır.
2.42. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi ve
charkv = p > 0 olsun. K ′ K cisminin ayrılabilir bir genişlemesi, [ K ′ : K]
= p asal
sayı ve v′ , v değerlendirmesinin K ′ cismine genişlemesi olsun. Bu durumda
i) Eğer K ′, K cisminin hatasız bir genişlemesi ve γ , K ′ cisminde ya
*
v′ (γ ) ∉ Gv
özelliğini ya da v ′ ( γ ) = 0 ve γ ∉ kv
özelliklerini sağlayan bir eleman ise
min{ ( Tr / ( δ )) − v′
( δ ) 0 ≠ δ ∈ K ′ } = ( p −1)[
w ( γ ) − v′
( γ )]
v K ′ K
K
sağlanır. (Bhatia ve Khanduja,2002)
ii) Eğer v reel bir değerlendirme ve γ , K ′\K da v ′ ( γ ) = 0 olan bir eleman ise
0 ≠ δ ∈ K ′ elemanı için
v( Tr / ( )) − v′
( δ ) = ( p −1)[
w ( γ ) − δ ( γ )]
K′
K δ K K
dır.
özellikleri sağlanır.(Khanduja, 2002)
2.43. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi,
charK = p > 0 olsun. α ∈ K elemanı K üzerinde p. dereceden ayrılabilir ve
v ( α)
≥ 0 ise her l > 1 doğal sayısına
1
v( α − β ) ≥ ( 1−
) ∆ K ( α)
l
eşitsizliğini sağlayan K üzerinde tamamıyla ayrılamaz olan β ∈ K elemanı karşılık
gelir. (Ax, 1970)

2.44. Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. K ′, K
cisminin [ K ′ : K]
= n olan bir genişlemesi ve v′ , v değerlendirmesinin K ′ cismine
genişlemesi olsun. Eğer her x ∈ K ′ elemanı için
∑
x = a x , a ∈ K , v′
( x)
= min{
v′
( a x )}
oluyorsa K ′ / K genişlemesinin x , x2
,..., xn
i
i
i
i
1 tabanına v / v
i
i
i
′ ye göre bir değerlendirme
tabanı denir. x , x ,..., x } bir değerlendirme tabanı ise y ∈ K ′ , y ≠ 0 olmak üzere
{ 1 2
{ 1 2 n
x / y,
x / y,...,
xn
/ y}
de bir değerlendirme tabanı olur.
2.45. Teorem: K bir cisim, v K cisminin reel, Henselian bir değerlendirmesi
ve , α ∈ K \ K elemanı K cismi üzerinde ayrılabilir bir eleman olsun. λ IR nin
β ∈ K için v ( α − β ) > λ iken K( α) ⊆ K(
β )
(2.48)
özelliğini sağlayan bir elemanı ise (α ) w ≥ dır.
λ K
Kanıt: λ teoremdeki (2.48) özelliğini sağlayan bir reel sayı olsun. λ ≥ v(α
)
olmalıdır. Çünkü v ( α ) = v(
α − 0)
> λ iken K(α ) ⊆ K olur ki bu mümkün değildir.
β ∈ K için v ( α − β ) > λ eşitsizliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli koşul
1 1
− − −
−1
wK K
v( α β ) > λ − 2v(
α)
olmasıdır. ( α ) = w ( α)
− 2v(
α)
olduğu da göz önüne
alındığında teoremin v ( α)
≥ 0 olması durumu için kanıtlanması yeterlidir.
N α elemanını bulunduran, K cisminin en küçük normal genişlemesi olsun.
Gal ( N / K)
grubunun
H = { ∈ Gal(
N / K)
v(
α −σ
( α))
≥ w ( α)
}
σ K
şeklinde tanımlanan H alt grubunun sabit cismi L ⊆ K(α
) olsun.
olduğu kolaylıkla görülür.
∆ ( ) = w ( α)
(2.49)
L α K
(α ) w < olduğu varsayılsın. ≤ α) ≤ λ ( 0 v olduğundan 0 ) ( > α w dır. α
λ K
elemanının herhangi bir α′ ≠ α L -eşleniği için (2.49) eşitliğinden v ( α −α
′ ) = w K ( α)
olur. λ nın (2.48) özelliğinden de K ( α ) ⊆ K(
α′
) dir. Buradan da L ( α ) = L(
α′
) olur.
Yani K (α ) L cisminin bir normal genişlemesidir. Gal( K(
α ) / L)
grubunun p-Sylow
K

alt grubunun sabit cismi F 0 ile gösterilsin. Her i için 1
bir normal genişlemesi olacak şekilde
F ⊂ F ⊂ ... ⊂ Fs
= K(
α)
0
1
F i+
i
F cisminin p dereceli
ara cisimleri vardır. Fs −1 = F olarak yazılsın.
1
1. durum: charK = p > 0 olsun. Her m > 1 doğal sayısı için λ ≥ ( 1−
) wK
( α)
m
olduğu gösterilmelidir.
Bu ifadenin doğru olmadığı varsayılsın. Yani l > 1,
1
λ < ( 1−
) wK
( α)
(2.50)
l
eşitsizliğini sağlayan bir doğal sayı olsun. 2.43. Lemma’da K ′ olarak K (α ) ve K
olarak F alınırsa
1
v( α − β ) ≥ ( 1−
) ∆ F ( α)
(2.51)
l
eşitsizliğini sağlayan F üzerinde tamamıyla ayrılamaz olan β ∈ K elemanı olduğu
görülür. (2.48) eşitsizliği ile L ⊆ F olduğu göz önüne alındığında
w ( ) = ∆ ( α)
= ∆ ( α)
(2.52)
K α L F
dır. (2.50), (2.51) ve (2.52) ifadelerinden v ( α − β ) > λ olduğu elde edilir. Sonuç olarak
K( α) ⊆ K(
β ) dır. Buradan da F( α) ⊆ F(
β ) olur. Bu bir çelişkidir. Çünkü F (β ) F
cisminin tamamıyla ayrılamaz bir genişlemesi iken F (α ) F cisminin, [ F ( α ) : F]
= p
olan ayrılabilir bir genişlemesi olamaz.
2. durum: charK = 0 olsun. F cisminin K içindeki tüm tame genişlemelerinin
bileşkesi T ile gösterilsin. T (α ) T nin bir tame genişlemesi değildir ve [ T ( α ) : T ] = p
dir. 2.16. Lemma’dan ∆ ( ) = w ( α)
= w ( α)
olur. (2.52) eşitliği göz önüne
alındığında
F α F T
w ( ) = ∆ ( α)
= w ( α)
= w ( α)
(2.53)
K α F F T
olduğu görülür. Eğer β ∈ K ve [ T ( β ) : T ] < p ise T (β ) , T cisminin bir tame
genişlemesidir ve β ∈T
olmalıdır. Buradan
δ ( α)
= sup{ v(
α − t)
t ∈T}
(2.54)
T

olarak bulunur. (α ) w < olarak varsayıldığından
λ K
1
λ < ( 1−
) wK
( α)
(2.55)
n
olacak şekilde p ile bölünmeyen n > 1 doğal sayısı vardır. Bu ifadenin de bir çelişkiye
neden olacağı gösterilecektir.
T (α ) = T ′ ile gösterilsin. v değerlendirmesinin T ve T ′ cisimlerine
kısıtlanışları sırasıyla v T ve v T′
olsun.
2. durumun 1. alt durumu: T ′ T cisminin hatasız bir genişlemesi olsun.
Eğer
G
v
T
≠ G ise τ ∈T
′ , v′ (τ ) ∉ G elemanı seçilsin. Eğer k
v
T′
*
v ′ ( τ ) = 0 ve τ ∉ k elemanı seçilsin. ti ∈ T olmak üzere
v
T
p 1
∑ i
i 0
−
=
i
v
T
v( t τ ) = min{
v(
ti
) + iv(
τ )}
şeklinde yazılır. i = 1, 2,...
p −1
için a, ai
∈T
iken
i
∑ − p 1
i
i=
1
α = a + a τ
i
v
T
≠ k ise τ ∈T
′ ,
olarak yazılırsa v ( α)
≥ 0 olduğu göz önüne alınarak v ( a)
≥ 0 ve
v i
i
( α − a)
= min{
v(
a ) + iv(
τ )} olduğu görülür.
G
k
v
v
T
T
≠ G iken v(α − a)
∉ G olduğu açıktır.
v
v
T′
T′
vT
≠ k ise b ∈ T elemanı ( α − a)
= min{
v(
a ) + iv(
τ )} = min{
v(
a )} = v(
b)
olacak şekilde seçilebilir. Böylece
yazılır. γ ∈T
′ elemanı
*
⎛α − a ⎞
⎜ ⎟
⎝ b ⎠
=
⎧α
− a
⎪
γ = ⎨α
− a
⎪
⎩ b
v
T′
v i
i
i
i
p
∑
i
−1
= 1
( a / b)
( τ )
;
;
i
*
G
k
vT
vT
*
i
≠ G
≠ k
∉ k
şeklinde tanımlansın. 2.42. Lemma’da K ′ = T ′ ve K =T olarak alınırsa
vT
′
vT
′
vT

olur.
min{ ( Tr ′ / ( δ )) − v′
( δ ) 0 ≠ δ ∈T
′ } = ( p −1)[
w ( γ ) − v′
( γ )] (2.56)
v T T
T
(2.55) ifadesi doğru olarak varsayıldığından
( Tr / ( α − a − β )) − v′
( α − a − β ) < ( p −1)[
w ( γ ) − v′
( γ )]
v T ′ T
T
olacak şekilde β ∈T
′ elemanı bulunacaktır. Bu da (2.56) ifadesi ile çeliştiğinden bu alt
durumun kanıtı tamamlanmış olacaktır.
K (α ) F cisminin [ K ( α ) : F]
= p olan bir Galois genişlemesi olduğundan T ′ ,
T cisminin bir Galois genişlemesidir ve [ T ′ : T ] = p olur. (2.53) eşitliklerinden en az
bir c ∈ F için ( α ) = v(
c)
olur. n (2.55) ifadesini sağlayan bir doğal sayı olmak
üzere
T cisminin
−1
− n n
c
pw K
x polinomunun bir y kökü alınsın. 2.39. Sonuç’tan y ∈ T olmalıdır. d,
eşitliğini sağlayan bir elemanı ve ξ ,
p v(
α − a)
= v(
d)
1+ pn n(
p−1)
x − d polinomunun bir kökü olsun.
Yine 2.39. Sonuç’tan T (ξ ) T cisminin bir tame genişlemesi olacağından ξ ∈T
elde
edilir.
elemanı
k
vT
≠ k iken b ∈ T için v ( α − a)
= v(
b)
olduğu göz önüne alınarak z ∈ T
vT
′
şeklinde tanımlansın. Buradan
⎧ 1
⎪ ( 1−
)
⎪ n
v(
z)
= ⎨
⎪
1
( 1−
)
⎪⎩
n
pw
pw
⎧ y
⎪
p
b
z = ⎨
⎪ y
⎪⎩
ξ
K
K
−1
;
;
k
G
v
v
T
T
≠ k
v
≠ G
( α)
− ( p −1)
v(
α − a)
T′
v
T′
⎡np(
p −1)
⎤
( α)
− ⎢ ⎥ v(
α − a)
⎣ 1+
pn ⎦
olur. α − a elemanının T cismi üzerindeki minimal polinomu
olsun. Q( x)
∈ T[
x]
polinomu da
p
p−1
P ( x)
= x + c x + ... + c
p
1
p−1
p−2
Q ( x)
= x + ( c + z)
x + c x + ... + c
1
2
p
;
;
k
v
G
p
T
v
T
≠ k
v
T′
≠ G
v
T′
(2.57)

şeklinde tanımlansın. Bu durumda
olur. (2.57) ve (2.58) karşılaştırıldığında
⎧ 1
⎪ ( 1−
) w
⎪ n
g = ⎨
⎪
1
( 1−
) w
⎪⎩
n
v(
Q(
α − a))
= v(
Q(
α − a)
− P(
α − a))
K
K
( α)
= v(
z(
α − a)
= pg
p
− 1
)
⎡ ( p −1)
⎤
( α)
− ⎢ ⎥ v(
α − a)
⎣ p(
1+
pn)
⎦
;
;
k
vT
G
vT
≠ k
vT
′
≠ G
vT
′
(2.58)
(2.59)
olarak bulunur. 0 ≤ v ( − a)
≤ w ( α)
= w ( α)
ve w ( α)
> 0 olduğu göz önüne
alındığında (2.59) ifadesinden
α T K
1
( 1−
) wK
( α) ≤ g < wK
( α)
n
olduğu bulunur. (2.55) ifadesi de kullanılarak
λ K
K
(α ) w < g <
(2.60)
elde edilir. Q (x)
polinomunun kökleri β 1 , β 2,...,
β p ise (2.58) ifadesi
∑
i
v(
α − a − β ) pg olduğunu gösterir. Bu durumda Q (x)
polinomunun
i =
v( α − a − β ) ≥ g
eşitsizliğini sağlayan bir β kökü vardır. λ > g olduğundan λ elemanının (2.48)
özelliğinden K ( α ) ⊆ K(
a + β ) olur. Buradan T ( α) ⊆ T ( a + β ) = T ( β ) olur.
[ T ( α ) : T ] = p ve β , Q( x)
∈ T[
x]
polinomunun bir kökü olduğundan T ( α) = T ( β ) dır
ve Q (x)
polinomu T üzerinde asaldır. 2.40. Lemma yardımıyla
bulunur.
v ( α − a − β ) = g
(2.61)
TrT ′ / T ( α − a − β ) = TrT
′ / T ( α − a)
− TrT
′ / T ( β ) = z
olduğundan (2.58) ifadesi göz önüne alınarak
eşitliklerinden
v T′
T
( Tr / ( α − a − β )) = v(
z)
= pg − ( p −1)
v(
α − a)
(2.62)

v T′
T
elde edilir. (2.56) ifadesinden de
olur.
G
vT
vT
′
( Tr / ( δ )) − v(
δ ) = ( p −1)[
g − v(
α − a)]
g − v(
α − a)
≥ wT
( γ ) − v′
( γ )
(2.63)
≠ G iken γ = α − a eşitliği ile w ( − a)
= w ( α)
= w ( α)
eşitlikleri göz
önüne alındığında (2.63) ifadesinden
g ≥ wK
(α )
olduğu elde edilir. Bu da (2.60) ifadesi ile çelişir.
ile
k
vT
T α T K
α − a
≠ kv
iken γ = , v′
( γ ) = 0
T′
b
wT T
K
( γ ) = w ( α − a)
− v(
b)
= w ( α)
− v(
α − a)
eşitlikleri göz önüne alındığında da (2.63) ifadesinden
g ≥ wK
(α )
olduğu elde edilir. Böylece bu çelişki ile birlikte 2. durumun 1. alt durumunun kanıtı
tamamlanır.
2. durumun 2. alt durumu: T ′ , T cisminin immediate bir genişlemesi olsun.
w ( α)
> 0 eşitsizliği ile p ile bölünemeyen n > 1 doğal sayısının
K
1
λ < ( 1−
) wK
( α)
n
eşitsizliğini sağladığı tekrar göz önüne alınsın. m n den daha büyük bir tamsayı olsun.
T cisminde
wK
( α)
v(
α − a)
> δT
( α)
−
(2.64)
m
eşitsizliğini sağlayan bir a elemanı vardır. T ′ , T cisminin bir immediate genişlemesi
olduğundan v(α − a)
= vT
( b)
, b ∈T
yazılır.
pw K
olacak şekilde c ∈ F elemanı seçilsin ve y,
z ∈ T elemanı
z
( α ) = v(
c)
=
p−1
b
y
−1
− n n
c
x polinomunun bir kökü olsun.

şeklinde tanımlansın. α − a elemanının T cismi üzerindeki minimal polinomu
olsun. Q( x)
∈ T[
x]
polinomu da
p
p−1
P ( x)
= x + c x + ... + c
p
1
p−1
p−2
Q ( x)
= x + ( c + z)
x + c x + ... + c
1
şeklinde tanımlansın. 2. durumun 1. alt durumunun kanıtında olduğu gibi benzer
işlemler sonucunda
1
v( α − a − β ) = ( 1−
) wK
( α)
(2.65)
n
ve
1
v( TrT
′ / T ( α − a − β )) = v(
z)
= p(
1−
) wK
( α)
− ( p −1)
v(
α − a)
(2.66)
n
eşitliklerini sağlayan en az bir β ∈T
′ elemanı bulunur. 2.42. Lemma’nın (ii) ifadesinde
α − a
K ′ = T ′ , K = T , γ = ve δ = α − a − β olarak alınırsa (2.65) ve (2.66)
b
eşitliklerinden
1
α − a α − a
( p −1)[(
1−
) wK
( α ) − v(
α − a)]
≥ ( p −1)[
wT
( ) − δT
( )] (2.67)
n
b b
sonucuna varılır. (2.53) ve (2.64) ifadelerinden de
α − a
α − a w
w w v a
K ( α)
T ( ) = K ( α)
− ( α − ) ve δT
( ) <
(2.68)
b
b m
olduğu görülür. (2.67) ve (2.68) ifadeleri birlikte göz önüne alındığında
1
1
( 1−
) wK
( α) > ( 1−
) wK
( α)
n
m
elde edilir. Buradan w ( α)
> 0 olduğundan m < n bulunur. Bu ifade ise m sayısının
K
seçilişi ile çelişir. Böylece kanıt tamamlanır.
2.46. Sonuç: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
K(α ) ⊆ K cismi K cisminin bir tame genişlemesi ve [ K( α ) : K]
> 1 olsun. λ G v
grubunu sıralı bir alt grup olarak içeren tamamıyla sıralı bir abel grubunun
β ∈ K için v ( α − β ) > λ iken K( α) ⊆ K(
β )
özelliğini sağlayan bir elemanı olsun. Bu durumda (α ) w ≥ dır.
2
p
λ K
p

Kanıt: K (α ) K cisminin bir tame genişlemesi olduğundan bu genişleme
ayrılabilir bir genişlemedir. Dolayısıyla kanıt yukarıdaki teoremin kanıtına benzer
şekilde elde edilir.
2.47. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
γ ∈ K elemanı K cismi üzerinde cebirsel ve [ K ( γ ) : K]
= p asal olsun. v(γ ) ∉ Gv
ise
v ( ) = δ ( γ ) olur. (Bhatia ve Khanduja, 2002)
γ K
2.48. Teorem:
i) K bir cisim, v K cisminin herhangi ranklı Henselian bir değerlendirmesi,
charK = ve α ∈ K \ K elemanı K cismi üzerinde ayrılabilir bir eleman olsun.
charkv
λ , G v grubunun bölünebilir kapanışında olan ve
β ∈ K için v ( α − β ) > λ iken K( α) ⊆ K(
β )
özelliğini sağlayan bir eleman olsun. Bu durumda (α ) w ≥ dır.
λ K
ii) K bir cisim, v K cisminin rankv > 1 olan Henselian bir değerlendirmesi ve
charK = 0 , charkv
= p asal ve α ∈ K \ K olsun. λ , G v grubunun bölünebilir
kapanışının
β ∈ K için v ( α − β ) > λ iken K( α) ⊆ K(
β )
özelliğini sağlayan bir elemanı olsun. En az bir n pozitif tamsayısı için n ( w ( α) − λ)
yı içeren G v grubunun en küçük konveks alt grubu p-bölünebilir grup değilse
λ K
(α ) w ≥ dır. (Bhatia ve Khanduja, 2002)
2.49. Teorem: K mükemmel bir cisim, v K cisminin herhangi ranklı
Henselian bir değerlendirmesi ve charkv = p > 0 olsun. K (α ) K cisminin tame
olmayan bir Galois genişlemesi ve [ K ( α ) : K]
= p olsun. K cisminin derecesi birden
büyük olan hiçbir tame genişlemesi olmasın. v α v değerlendirmesinin K (α ) cismine
kısıtlanışı olmak üzere G v grubu G v içinde yoğun olsun. λ G
α
v grubunun
bölünebilir kapanışının
β ∈ K için v ( α − β ) > λ iken K( α) ⊆ K(
β )
özelliğini sağlayan bir elemanı olsun. Bu durumda (α ) w ≥ dır.
λ K
K

Kanıt: ϕ ∈ K ve [ K ( ϕ ) : K]
< p ise K (ϕ ) , K cisminin bir tame
genişlemesidir. Hipotezden ϕ ∈ K olur. Buradan
δ ( α)
= sup{ v(
α − t)
t ∈ K}
(2.69)
K
olarak bulunur. G v grubunun bölünebilir kapanışındaki herhangi bir pozitif θ elemanı
için G v grubunda 0 < µ < θ özelliğini sağlayan bir µ elemanı seçilebilir.
r G
Çünkü r θ p ∈ v olacak şekilde bir tamsayı ise 2.39. Sonuç’tan
olur.
r
θ p
µ = ∈ G
r v ve 0 < µ < θ
p + 1
w K ( α ) > λ olduğu varsayılsın. µ , G v grubunun
eşitsizliğini yani
0 < µ <
wK
( α)
− λ
2
λ w ( α)
− 2µ
(2.70)
< K
eşitsizliğini sağlayan bir elemanı olsun. (2.69) eşitsizliğinden
µ
v ( α − a)
> δ K ( α)
−
(2.71)
2
olacak şekilde bir a ∈ K elemanı vardır. α − a elemanının K cismi üzerindeki
minimal polinomu
olsun. G v grubu
yani
p
p−1
P ( x)
= x + c x + ... + c
G v içinde yoğun olduğundan
α
1
p ( w ( α) 2µ
) < v(
z)
+ ( p −1)
v(
α − a)
≤ p(
w ( α)
− µ )
K
− K
p K
K
( w ( α ) − 2µ
) − ( p −1)
v(
α − a)
< v(
z)
≤ p(
w ( α)
− µ ) − ( p −1)
v(
α − a)
eşitsizliklerini sağlayan bir z ∈ K elemanı vardır. Q( x)
∈ K[
x]
polinomu
şeklinde tanımlansın.
Q(
x)
= x
p
+ ( c
1
+ z)
x
v ( Q(
α − a))
= pg olsun. Bu durumda
p
p−
1
+ ∑
i=
2
p
c x
i
p−i

v(
Q(
α − a))
= v(
Q(
α − a)
− P(
α − a))
= v(
z(
α − a)
= pg
olur. (2.70) eşitsizliği göz önüne alındığında
p
− 1
)
(2.72)
p λ p(
w ( α)
− 2µ
) < pg ≤ p(
w ( α)
− µ )
(2.73)
< K
K
olduğu görülür. Q (x)
polinomunun kökleri β 1 , β 2,...,
β p ise (2.72) ifadesi yardımıyla
∑
i
v(
α − a − β ) pg bulunur. Bu durumda Q (x)
polinomunun v ( α − a − β ) ≥ g > λ
i =
eşitsizliğini sağlayan en az bir β ∈ K kökü vardır. Hipotezden
K ( α) ⊆ K(
a + β ) = K(
β ) olur. [ K ( α ) : K]
= p ve β , Q( x)
∈ K[
x]
polinomunun bir
kökü olduğundan K ( α) = K(
β ) dır ve Q (x)
polinomunu K cismi üzerinde asaldır.
2.40. Lemma’dan
olur.
v ( α − a − β ) = g
(2.74)
TrK ( α ) / K ( ( ) /
( ) / K
olduğu ve (2.72) ifadesi göz önüne alınırsa
v( TrK
( ) / K
α − a − β ) TrK
α K ( α − a)
− TrK
α ( β ) = z
α ( α − a − β )) = v(
z)
= pg − ( p −1)
v(
α − a)
(2.75)
elde edilir. 2.42. Lemma (ii) de γ = α − a , δ = α − a − β alınarak
v K
K
( z)
− v(
α − a − β )) ≥ ( p −1)[
w ( α − a)
− δ ( α − a)]
(2.76)
eşitsizliği bulunur. w ( − a)
= w ( α)
ve ( α − a ) = δ ( α)
eşitsizlikleri ile (2.74)
K
α K
δ K
K
ve (2.75) ifadeleri kullanılarak (2.76) eşitsizliği g − v(
− a)
≥ w ( α)
− δ ( α)
olarak
α K K
µ
yazılır. (2.71) eşitliği yardımıyla da g ≥ wK
( α) + v(
α − a)
− δ K ( α)
≥ wK
( α)
− elde
2
edilir. Bu ifade ise (2.73) eşitsizliğinden elde edilebilen g ≤ w ( α) − µ eşitsizliği ile
çelişir. O halde (α ) w ≥ olmalıdır.
λ K
K

2.50 . Teorem: K bir cisim, v K cisminin herhangi ranklı Henselian bir
değerlendirmesi, rankv > 1,
charK = 0 , charkv = p asal olsun. K (α ) K cisminin
tame olmayan bir Galois genişlemesi ve [ K ( α ) : K]
= p olsun. λ , G v grubunun
bölünebilir kapanışında
β ∈ K için v ( α − β ) > λ iken K( α) ⊆ K(
β )
özelliğini sağlayan bir eleman olsun. K cisminin derecesi birden büyük olan hiçbir tame
genişlemesi olmasın. En az bir n pozitif tamsayısı için n ( wK
( α) − λ)
yı içeren G v
grubunun en küçük konveks alt grubu p-bölünebilir olmasın. Bu durumda (α ) w ≥
olur.
λ K
Kanıt: K (α ) = K ′ ile gösterilsin ve v değerlendirmesinin K ′ cismine
kısıtlanışı v′ olsun. K cisminin hiçbir tame genişlemesi olmadığından
r
p ( w ( α ) − λ)
∈ G olacak şekilde en az bir r pozitif tamsayısı vardır.
r w
K
v
p ( K ( α) − λ)
elemanını içeren G v grubunun en küçük konveks alt grubu H ile
gösterilsin.
G v = Gv′
ise 2.49. Teorem’den kanıt tamamlanır. O halde G v ≠ Gv′
yani
[ Gv : Gv′]
= p olsun. x K′ cisminin v′ ( x)
∉ Gv
sağlayan bir elemanı olmak üzere
şeklinde yazılırsa
α = a +
olur. (α ) w < olduğu varsayılsın.
λ K
∑ − p 1
ai
i=
1
1≤i≤
p−1
x
i
,
i
a,
a ∈ K
v( α − a)
= min { v(
a ) + iv′
( x)}
∉ G
1.Durum: p λ < θ + ( p −1)
v(
α − a)
< pwK
( α)
özelliğini sağlayan θ ∈ Gv
elemanı var olsun. α − a elemanının K cismi üzerindeki minimal polinomunun
olduğu varsayılsın. Q( x)
∈ K[
x]
polinomu
şeklinde tanımlansın.
p
p−1
P ( x)
= x + c x + ... + c
p
1
p−1
i
p
p−2
Q ( x)
= x + ( c + z)
x + c x + ... + c
1
2
v
p

olsun. Varsayım kullanılarak
v ( z)
+ ( p −1)
v(
α − a)
= pg
λ K
(α ) w < g <
(2.77)
olduğu görülür. 2.48. Teorem’inin kanıtında olduğu gibi K ′ cisminde Q ( β ) = 0 olan
ve
v K′
K
v ( α − a − β ) = g
(2.78)
( Tr / ( α − a − β )) = v(
z)
= pg − ( p −1)
v(
α − a)
(2.79)
eşitliklerini sağlayan bir β ∈ K ′ elemanı vardır. 2.42. Lemma’nın (ii) ifadesinde
γ = α − a , δ = α − a − β alınırsa
g K
K
− v(
α − a)
≥ w ( α − a)
− δ ( α − a)
(2.80)
elde edilir. v (α − a)
=∉ Gv
olduğu göz önüne alındığında 2.47. Lemma’da
δ ( α − a)
= v(
α − a)
olduğu görülür. Bu durumda (2.80) eşitsizliğinden g ≥ w (α )
K
elde edilir. Bu eşitsizlik de (2.77) ifadesi ile çelişir.
2. Durum: G v grubunun p λ < θ + ( p −1)
v(
α − a)
< pwK
( α)
eşitsizliğini
sağlayan hiçbir θ elemanı bulunmasın. p < θ + ( p −1)
v(
α − a)
< pw ( α)
eşitsizliğinden
λ K
( −1) v(
α − a)
< pw ( α)
−θ
< p(
w ( α)
− λ)
+ ( p −1)
v(
α − a)
p K
K
eşitsizliği kolaylıkla elde edilebilir. Dolayısıyla K cisminin K cismi içinde maksimal
tame cismi olması ve 2.39. Sonuç’u göz önüne alınarak G v grubunda
p
v ( α − a)
< θ1
< v(
α − a)
+ [ wK
( α)
− λ]
(2.81)
p −1
eşitsizliğini sağlayan hiçbir θ 1 elemanının olmaması durumunun incelenmesi yeterli
olacaktır. G v grubunun bölünebilir kapanışında pg ∈ Gv
1 ve λ 1 K ( α)
w g <
K
< olacak
şekilde bir g 1 elemanı seçilebilir. Çünkü 2.49. Teorem’inin kanıtının ilk kısmında
olduğu gibi µ , Gv
grubunun 0 < µ < w K ( α)
− λ özelliğine sahip bir elemanı olmak
üzere = ( α) − µ w g dır.
1 K

α − a elemanının K cismi üzerindeki minimal polinomu
p
p−1
P ( x)
= x + c x + ... + c
1
olsun. y , K cisminin v ( y)
= pg1
eşitliğini sağlayan bir elemanı olmak üzere
Q ( x)
∈ K[
x]
polinomu
1
p−1
Q ( x)
= x + c x + ... + ( c p + y)
1
p
1
şeklinde tanımlansın. 1. durumun kanıtında olduğu gibi Q ( ) polinomunun
v ( α − a − β1)
= g1
> λ eşitsizliğini sağlayan bir β 1 kökü vardır. Buradan da
K α) = K(
β ) eşitliği bulunur. TrK ′ K α − a − β ) = 0 olduğundan Hilbert Teorem
( 1
/
( 1
90’dan α − a − β = σ ( ξ ) − ξ olacak şekilde bir ξ ∈ K′ elemanı ve K′ cisminin bir σ
K-otomorfizması vardır. O halde
olur.
1
p
= ∑
i
−1
ξ
= 0
şeklinde yazılsın. ξ yerine − d0
olarak
g = v − a − β ) = v(
σ ( ξ ) − ξ ) = w ( ξ )
(2.82)
1
( α 1
K
i
d ( α − a)
, di
∈ K
i
p
1 x
ξ yazılarak d 0 olduğu varsayılabilir. Sonuç
1≤i≤
p−1
olur. 2.42. Lemma’nın (i) ifadesinden
i
0 =
v( ξ ) = min { v(
d ) + iv(
α − a)}
∉ G
wK K
( ξ ) − v(
ξ ) = w ( α − a)
− v(
α − a)
olduğu görülür. (2.82) eşitliği kullanılırsa yukarıdaki eşitlik
g
1
şekline dönüşür.
− w
K
⎛ ξ ⎞
( α)
= v(
ξ ) − v(
α − a)
= v⎜
⎟
⎝α
− a ⎠
⎛
= v⎜
⎜
⎝
=
p−1
∑
i=
1
min
1≤i≤
p−1
g ∈
d ( α − a)
i
i−1
v
{ v(
d ) + ( i −1)
v(
α − a)}
i
1 − wK
( α ) = v(
d1)
Gv
(2.83)
olduğu gösterilmelidir. Bu eşitliğin sağlanmadığı varsayılsın. O halde
⎞
⎟
⎠

olur.
eşitsizliği
g1 K
j
g1 K
j
− w ( α ) = v(
d ) + ( j −1)
v(
α − a)
, j > 1
= w ( α) + v(
d ) + ( j −1)
v(
α − a)
şeklinde yazılarak ( α)
w g < <
−1
λ 1 K
v(
d j )
1
v ( α − a)
< < v(
α − a)
+ [ wK
( α)
− λ]
j −1
j −1
şekline getirilebilir. Bu da (2.81) ifadesini sağlar. Oysa bu varsayımla çelişir. Böylece
(2.83) eşitliği elde edilir.
1 g elemanının G v grubunun
pg ∈ G
1 v ve λ 1 K ( α)
w g < <
özelliklerini sağlayan bir elemanı olduğu bilindiğine göre pwK (α ) ∈ Gv
olduğu göz
önüne alınırsa (2.83) ifadesinden pθ ∈ Gv
ve 0 < θ < w K ( α)
− λ olması durumunda
θ ∈ G olduğu sonucu elde edilir.
v
δ > 0 , H grubunun herhangi bir elemanı olsun. 0 δ < ( ( α)
− λ)
w n olacak
< K
şekilde ( p , n)
= 1 varsayılabilen n pozitif tamsayısı vardır. K cismi K içinde
maksimal tame genişlemesi olduğundan Gv
n ∈
δ
δ
olur. 0 < < wK
( α)
− λ eşitsizliği de
n
kullanılarak Gv
np ∈
δ
olur. Buradan H
np ∈
δ
dır. Yani H
n ∈
δ
olur. Bu ifade de H
grubunun p-bölünebilir olduğunu gösterir. Dolayısıyla bir çelişki elde edilmiş olur. O
halde (α ) w ≥ olmalıdır.
λ K
2.51. Lemma: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
α ve β , K cisminin v( − β ) ≥ ∆ ( α)
eşitsizliğini sağlayan elemanları ise
α K
∆ ( ) ≥ ∆ ( α)
dır. (Aghigh ve Khanduja, 2003)
K
β K
2.52. Lemma: K mükemmel bir cisim; charK = p > 0 ve v K cisminin reel
Henselian bir değerlendirmesi ise her α ∈ K \ K elemanı için ( α)
= w ( α)
olur.
(Aghigh ve Khanduja, 2003)
δ K K

2.53. Teorem: K bir cisim, v K cisminin herhangi ranklı Henselian bir
değerlendirmesi olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir.
i) ( K , v)
bir tame cismidir.
ii) Her α ∈ K \ K elemanı için v( − a)
≥ ∆ ( α)
eşitsizliğini sağlayan en az bir
a ∈ K elemanı vardır.
α K
iii) Her α ∈ K \ K elemanı için v( − β ) ≥ ∆ ( α)
eşitsizliğini sağlayan ve
α K
deg β < degα
olan en az bir β ∈ K elemanı vardır.
iv) Her α ∈ K \ K elemanı için v( − β ) ≥ w ( α)
eşitsizliğini sağlayan ve
α K
deg β < degα
olan en az bir β ∈ K elemanı vardır.
δ K K
v) Her α ∈ K \ K elemanı için K (α ) K cisminin hatasız bir genişlemesidir ve
( α)
= w ( α)
dır.
δ K K
vi) ( K , v)
hatasız değerlendirilmiş bir cisimdir ve her α ∈ K \ K elemanı için
( α)
= w ( α)
olur.
Kanıt: (i) ile (ii) ifadelerinin denkliği 2.9. Teorem’den görülür.
(ii) sağlanıyor ise (iii) ifadesi aşikardır.
(iii) sağlanıyor olsun. [ K ( α ) : K]
= n üzerinden tümevarım uygulansın. Eğer
n = 2 ise (ii) ifadesinin gerçeklendiği açıkça görülür. n ≥ 3 olsun. Derecesi n den
küçük olan her β ∈ K \ K elemanına
v( − α)
≥ ∆ ( β )
(2.84)
β K
olacak şekilde a ∈ K elemanı karşılık gelsin. (iii) ifadesinden dolayı
v( − β ) ≥ ∆ ( α)
(2.85)
α K
eşitsizliğini sağlayan β ∈ K elemanı vardır. O halde 2.51. Lemma’dan
∆ ( ) ≥ ∆ ( α)
(2.86)
K
β K
olur. (2.84), (2.85) ve (2.86) ifadeleri kullanılırsa
eşitsizliği elde edilir.
v( − a)
≥ min{ v(
α − β ), v(
β − a)}
≥ ∆ ( α)
α K
(iv) ifadesi sağlanıyor ise w ( ) ≥ ∆ ( α)
olduğundan (iii) ifadesi aşikardır.
K
α K

(iii) ifadesi sağlanıyor olsun. O halde 2.9. Teorem’den ( K , v)
bir tame cismidir.
Buradan K nın mükemmel bir cisim olduğu görülür. N, K cisminin α elemanını
bulunduran en küçük Galois genişlemesi olsun. Gal ( N / K)
grubunun H alt grubu
H = { ∈ Gal(
N / K)
v(
α −σ
( α))
} ≥ w ( α)
σ K
şeklinde tanımlansın ve H alt grubunun sabit cismi L olsun. w (α ) sabitinin
tanımından Gal( N / K(
α )) ⊂ H olduğu bulunur. Buradan da L ⊂ K(α
) olur.
w ( ) = ∆ ( α)
K
α L
olduğu kolaylıkla elde edilir. (iii) ifadesi ile (i) ifadesinin denk olduğu kullanılırsa K
tame cismi ve dolayısıyla L tame cismi olur. Böylece (ii) ifadesinden
v ( − β ) ≥ ∆ ( α)
= w ( α)
α L K
eşitsizliğini sağlayan en az bir β ∈ L elemanının var olduğu bulunur.
[ K( β ) : K]
≤ [ L : K]
< [ K(
α)
: K]
olduğundan (iv) ifadesi sağlanmış olur.
Kanıtın tamamlanabilmesi için (v) ifadesinin ilk dört ifadeden herhangi birine
denk olduğunun gösterilmesi yeterlidir.
(i) sağlanıyor olsun. O halde ( K , v)
mükemmel ve hatasız bir cisimdir. Her
α ∈ K \K elemanı için Krasner Lemma’dan dolayı ( α)
≤ w ( α)
olduğu biliniyor.
δ K K
Ayrıca (iv) ifadesinden ( α)
≥ w ( α)
olduğu da görülür. Böylece ( α)
= w ( α)
eşitliği elde edilir.
δ K K
K
δ K K
(v) sağlanıyor olsun. 2.37.Teorem’den δ ( α)
∈ M ( α,
K)
dır. Yani
v ( − β ) = δ ( α)
eşitliğini sağlayan deg β < degα
olan en az bir β ∈ K elemanı
α K
vardır. ( α)
= w ( α)
eşitliği göz önüne alındığında (iv) ifadesi elde edilir. Böylece
δ K K
kanıt tamamlanır.
K

3. BÖLÜM
TAME GENİŞLEMELERİ VE SABİTLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. K ′ K cisminin bir
genişlemesi olmak üzere , v nin K ′ cismine genişlemesi v′ , değer grubu G v′
, rezidü
cismi k v′
ile gösterilsin.
3.1. Önerme: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
K′ K cisminin bir genişlemesi ve [ K ′ : K]
= n olsun. charK chark = 0 ve
rankv = 1 ise K ′ / K bir tame genişlemesi olur.
= v
Kanıt: chark v = 0 olduğundan k v mükemmel bir cisimdir. Dolayısıyla k v′ / kv
ayrılabilir bir genişleme olur. Ayrıca charkv ł e olduğu da açıkça görülür.
chark = 0 ve rankv = 1 olduğundan K ′ / K hatasız bir genişlemedir. Böylece
v
K ′ / K bir tame genişlemesi olur.
3.2. Örnek: K = IR,
v = mutlak değerlendirme ve K ′ = C olarak alındığında
+
+
Gv = IR ∪{
0}
, kv
= IR ve Gv ′ = IR ∪{
0}
, kv
= C olduğu kolaylıkla elde edilir.
3.1. Önerme’si yardımıyla da C / IR genişlemesinin bir tame genişlemesi olduğu
görülür.
3.3. Önerme: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi,
charK = 0 ve charkv = p olsun. K ′ K cisminin bir genişlemesi ve [ K ′ : K]
= p
olsun. K ′ / K genişlemesinin bir tame genişlemesi olması için gerekli ve yeterli koşul
k v′ / kv
genişlemesinin derecesi p olan ayrılabilir bir genişleme olmasıdır.
Kanıt: K ′ K cisminin bir tame genişlemesi olsun. Bu durumda k v′ / kv
ayrılabilir bir genişleme, ef = p ve charkv = p ł e olur. O halde e ≠ p dir. Dolayısıyla
f = p olmalıdır.
Tersine k v′ / kv
ayrılabilir bir genişleme ve f = p olsun. O halde e = 1 dir ve
K ′ / K genişlemesi hatasız bir genişlemedir. p = charkv
ł e olduğu da açıktır. Böylece
K′ nün K cisminin bir tame genişlemesi olduğu görülür.

3.4. Önerme: K mükemmel bir cisim, v K cisminin Henselian bir
değerlendirmesi ve charK ≠ 0 olsun. Bu durumda (K,v) bir tame cismidir.
Kanıt: charK ≠ 0 iken K = kv
olur. K mükemmel bir cisim olduğundan K ′ K
cisminin herhangi sonlu bir genişlemesi olmak üzere k v′ / kv
ayrılabilir bir
genişlemedir. Buradan da f = [ K′
: K]
olur. Yani ef = [ K′
: K]
ve dolayısıyla e = 1
olmalıdır. Böylece charkv ł e olur. O halde K ′ K cisminin bir tame genişlemesidir.
Yani (K,v) bir tame cismidir.
3.5. Önerme: K bir cisim, v K cisminin rankı bir olan ayrık bir
değerlendirmesi ve charkv = q olsun. K′ K cisminin bir genişlemesi ve
q ≠ [ K ′ : K]
= p asal olsun. K ′ / K genişlemesinin bir tame genişlemesi olması için
gerekli ve yeterli koşul k v′ / kv
genişlemesinin ayrılabilir bir genişleme olmasıdır.
genişlemedir.
Kanıt: K′ K cisminin bir tame genişlemesi olduğundan k v′ / kv
ayrılabilir bir
Tersine k v′ / kv
ayrılabilir bir genişleme olsun. v değerlendirmesi ayrık ve
rankv = 1 olduğundan K ′ / K genişlemesi hatasız bir genişlemedir. ( p , q)
= 1
olduğundan charkv = q ł e olduğu açıktır. O halde K ′ / K genişlemesi bir tame
genişlemesi olur.
3.6. Önerme: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olsun.
( K , v)
bir tame cismi ise her α ∈ K \K, α ayr / K için ( α)
≥ ∆ ( α)
olur. Özellikle
[ K ( α ) : K]
= p asal ise ( α)
= ∆ ( α)
dır.
δ K K
δ K K
Kanıt: ( K , v)
bir tame cismi olsun. 2.9. Teorem’den her α ∈ K \K elemanı için
v( − a)
≥ ∆ ( α)
(3.1)
α K
eşitsizliğini sağlayan en az bir a ∈ K elemanı vardır. deg a = 1 < degα
olduğundan
v( − a)
≤ δ ( α)
(3.2)
α K
olduğu da kolayca görülür. (3.1) ve (3.2) eşitsizlikleri birlikte göz önüne alındığında
olduğu bulunur.
δ K K
( α)
≥ ∆ ( α)
(3.3)

[ K ( α ) : K]
= p asal ise 2.16. Teorem’den w ( ) = ∆ ( α)
olduğu
K
α K
bilinmektedir. Krasner Lemma’dan da ( α)
≤ w ( α)
dır. Buradan (3.3) eşitsizliği ile
birlikte ( α)
= ∆ ( α)
olduğu elde edilir.
δ K K
δ K K
3.7. Önerme: K bir cisim, v K cisminin reel Henselian bir değerlendirmesi
olsun. α ∈ K \K, α ayr / K olsun. λ IR nin
β ∈ K için v ( α − β ) > λ iken K( α) ⊆ K(
β )
(3.4)
özelliğini sağlayan bir eleman olsun. Bu durumda w ( ) > w ( α)
ve
δ K
K ( β ) ≥ δ ( α)
ve ∆ K ( β ) > ∆ K ( α)
olur.
K
β K
Kanıt: β ∈ K , v ( α − β ) > λ olsun ve λ (3.4) özelliğini sağlasın.
K( α) ⊆ K(
β ) olduğundan degα ≤ deg β olur. O halde
v( − β ) ≤ δ ( β ) ve v( − β ) ≥ δ ( α)
(3.5)
α K
dır. Böylece δ K ( β ) ≥ δ K ( α)
eşitsizliği görülür.
2.45. Teorem’den
λ K
α K
(α ) w ≥ (3.6)
dır. Krasner Lemma’dan yardımıyla elde edilen ( β ) ≤ w ( β ) eşitsizliği ile (3.5) ve
δ K K
(3.6) ifadeleri ve v ( α − β ) > λ olduğu birlikte göz önüne alınırsa w ( ) > w ( α)
olduğu bulunur.
v Henselian olduğundan
v(
β − β ′ ) = v(
β −α
+ α − β ′ )
≥ min{ v(
β −α
), v(
α − β ′ )}
= v(
β −α
)
K
β K
olur. Buradan da ∆ K ( β ) ≥ v(
β −α
) dır. wK ( α) ≥ ∆ K ( α)
eşitsizliğinden ve λ
elemanının (3.6) ifadesinden
yazılır. Yani ∆ ( ) > ∆ ( α)
olur.
K
∆
K
β K
( ) ≥ v( β −α
) > λ ≥ w ( α)
≥ ∆ ( α)
β K K

3.8. Önerme: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi olmak
üzere α ∈ K \K, α ayr / K ve charK = charkv
olsun. λ G v grubunun bölünebilir
kapanışının
özelliğini sağlayan bir elemanı ise
olur.
β ∈ K için v ( α − β ) > λ iken K( α) ⊆ K(
β )
w K ( β ) > wK
( α)
ve δ K ( β ) ≥ δ K ( α)
ve ∆ K ( β ) > ∆ K ( α)
Kanıt: 2.48. Teorem’inin (i) ifadesinden (α ) w ≥ olur. Böylece kanıt
λ K
3.7.Önerme’sinin kanıtına benzer şekilde tamamlanır.
3.9. Önerme: K mükemmel bir cisim, v K cisminin Henselian bir
değerlendirmesi ve charK ≠ 0 olsun. Aşağıdaki ifadeler sağlanır.
i) Her α ∈ K \K elemanı için v( − a)
≥ ∆ ( α)
olacak şekilde en az bir a ∈ K
elemanı vardır.
α K
ii) Her α ∈ K \K elemanı için v( − β ) ≥ ∆ ( α)
, deg β < degα
olacak şekilde
en az bir β ∈ K elemanı vardır.
α K
iii) Her α ∈ K \K elemanı için v( − β ) ≥ w ( α)
, deg β < degα
olacak şekilde
en az bir β ∈ K elemanı vardır.
δ K K
α K
iv) Her α ∈ K \K elemanı için K (α ) / K hatasız bir genişleme ve
( α)
= w ( α)
dır.
v) ( K , v)
hatasızdır ve her α ∈ K \K elemanı için ( α)
= w ( α)
dır.
δ K K
Kanıt: 3.4. Önerme göz önüne alındığında (K,v) bir tame cismi olduğu görülür.
Böylece kanıt 2.53. Teorem’inin kanıtına benzer şekilde tamamlanır.
3.10. Önerme: K bir cisim, v K cisminin Henselian bir değerlendirmesi ve
α ∈ K \K, α ayr / K olsun. c ∈ K , v( − c)
≥ w ( α)
ise aşağıdakiler gerçeklenir.
α K
i) Her α ∈ K \K elemanı için v( − β ) ≥ w ( α)
, deg β < degα
olacak şekilde
en az bir β ∈ K elemanı vardır
α K

ii) Her α ∈ K \K elemanı için v( − a)
≥ ∆ ( α)
olacak şekilde en az bir a ∈ K
elemanı vardır.
α K
iii) Her α ∈ K \K elemanı için v( − β ) ≥ ∆ ( α)
, deg β < degα
olacak şekilde
en az bir β ∈ K elemanı vardır.
δ K K
α K
iv) Her α ∈ K \K elemanı için K (α ) / K hatasız bir genişleme ve
( α)
= w ( α)
dır.
v) ( K , v)
hatasızdır ve her α ∈ K \ K elemanı için ( α)
= w ( α)
dır.
δ K K
Kanıt: c ∈ K , v( − c)
≥ w ( α)
olsun. [ K( c)
: K]
< [ K(
α)
: K]
ve
α K
w ( ) ≥ ∆ ( α)
olduğundan (i) ve (ii) ifadeleri aşikardır. (ii) ifadesi yardımıyla da (iii)
K
α K
ifadesi de kolayca görülür.
Ayrıca (ii) ifadesi tekrar göz önüne alınırsa 2.9. Teorem’den dolayı ( K , v)
bir
tame cismi olur. Dolayısıyla ( K , v)
hatasızdır. Yani her α ∈ K \K elemanı için
K (α ) / K hatasız bir genişleme olur. [ K( c)
: K]
< [ K(
α)
: K]
eşitsizliği
olduğunu da gösterir. Krasner Lemma’dan
δ ( α)
≥ v(
α − c)
(3.7)
K
w ( ) ≥ δ ( α)
(3.8)
K
α K
olduğu da biliniyor. Varsayımla birlikte (3.7) ve (3.8) eşitsizlikleri göz önüne
alındığında
eşitliği elde edilir.
w ( ) = δ ( α)
K
α K

KAYNAKLAR
1. Aghigh K, Khanduja S.K, 2002, On The Main Invariant of Elements Algebraic Over
A Henselian Valued Field, Proceeding of The Edinburg Mathematical Society, 45, 219-
227
2. Aghigh K, Khanduja S.K, 2003, A Note On Tame Fields, Fields Institute
Communications, Vol 33, 1-6
3. Alexandru V, Popescu N, Zaharescu A, 1988, A Theorem of Characterization of
Residual Transcendental Extensions of A Valuation, J. Math. Kyoto Univ. (Jmkyaz),
28, 579-592
4. Alexandru V, Popescu N, Zaharescu A, 1990, Minimal Pairs of Definition of A
Residual Transcendental Extensions of A Valuation, J. Math. Kyoto Univ. (Jmkyaz),
30, 207-225
5. Ax J, 1970, Zeros of Polynomials Over Local Fields –The Galois Action, J. Algabra, 15, 417-428
6. Bhatia S, Khanduja S.K, 2002, A Characterization of Krasner’s Constant,
Communications In Algebra, 30(6), 2975-2991
7. Bachman G, 1964, Introduction to p-adic Numbers And Valuation Theory, Academic
Press, New York And London
8. Bourbaki N, 1964, Commutative Algebra, Herman, Paris
9. Deuring M, 1966, Lectures On The Theory of Algebraic Functions of One Variable,
Springer-Verlag, Bombay
10. Endler O, 1972, Valuation Theory, Springer-Verlag, New York
11. Khanduja S.K, 1992, On Valuations of K(x), Proceedings of The Edinburgh
Mathematical Society, 35, 419-426
12. Khanduja S.K, 1995, On A Result of James Ax, Journal of Algebra, 172, 147-151
13. Khanduja S.K, 1998, Tame Fields And Tame Extensions, Journal of Algebra, 201,
647-655
14. Khanduja S.K, Saha J, 1998, On Invariants of Elements Over A Henselian Field,
Journal of The Indian Math. Society, Vol 65, Nos1-4, 127-132

15. Khanduja S.K,1999, On Krasner’s Constant, Journal of Algebra, 213, 225-230
16. Khanduja S.K, Saha J, 1999, A Generalized Fundamental Principle, Mathematika,
46, 83-92
17. Khanduja S.K, 2002, The Minimum Property of Kraner’s Constant, Fields Institute
Communications Vol 32, 237-246
18. Mc Charty P, 1966, Algebraic Extensions of Fields, Blaisdell Publishing Company,
Waltham, Massachusetts, Toronto, London
19. Ohm J, 1989, The Henselian Defect For Valued Function Fields, Proceedings of The
American Mathematical Society, Vol 107, No 2, 299-308
20.Ohm J. Matignon M, 1990, Simple Transcendental Extensions of Valued Fields-III;
The Uniqueness Property, J. Math. Kyoto Univ., 30, 347-365
21. Schilling O.F.G, 1950, The Theory of Valuations, AMS Surveys, Nr.4, Providence,
Rhode Island
22. Weiss E, 1963, Algebraic Number Theory, Chelsea Publishing Company, New
York

A
Aşikar değerlendirme 3
İNDEKS
Ağ (net) 13, 37, 39
Artin-Schreier genişlemesi 13, 14
Ayrık değerlendirme 9, 58
Ayrılabilir eleman 7, 20, 26, 40, 41, 48
Ayrılabilir genişleme 7, 15, 17, 22, 27, 33, 39, 40, 42, 48, 57, 58
Ayrılabilir kapanış 7, 29
Ayrılabilirlik derecesi 8
Ayrılamazlık derecesi 8, 15
B
Basit genişleme 6, 33
Birim grubu 4
C
Cebirsel eleman 7, 29, 36, 48
Cebirsel kapanış 7, 16
Conveks grup 13, 48, 51
D
Dallanma indeksi 8, 14
Dallanmamış genişleme 39
Değer grubu 1, 2, 3, 17, 19, 23, 24, 27, 31, 57
Değerlendirme 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
18,19
20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33,
34, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 47, 48, 51, 54, 55, 57, 58,
59, 60
Değerlendirme halkası 4
Değerlendirme tabanı 41
Disk 12, 27, 33

G
Galois genişlemesi 7, 14, 16, 17, 20, 21, 22, 44, 48, 51, 56
Galois grubu 7, 29
Gauss genişlemesi 11, 17, 30
H
Hatasız genişleme 2, 9, 14, 16, 20, 25, 35, 37, 39, 40, 43, 57,
58, 60, 61
Hensel Lemma 13, 14
Henselian değerlendirme 9, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,
35, 39, 40, 41, 47, 48, 51, 54, 55, 57, 58, 59,60
Henselian hata 2, 9, 32
Henselizasyon 9, 17
Hilbert Teorem 90 13, 53
İ
K
İmmediate genişleme 9, 18, 19, 46
İsolated alt grup 6
Krasner Lemma 23, 24, 29, 33, 34, 56, 59, 61
Krasner Sabiti 1, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 33, 34, 39, 40, 41, 42, 43,
44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 59, 60, 61
Kofinal 13, 37
M
Minimal çift 2, 11, 31, 34, 35, 36
Mutlak değer 3, 57
N
Norm 8
Normal genişleme 7, 16, 21, 26, 41, 42

P
p- adik değerlendirme 5
Place 4
p-Sylow alt grup 12, 16, 41
R
Rank 6
Rezidü cismi 1, 2, 5, 17, 19, 23, 27, 31, 57
Rezidü derecesi 8
Rezidül transandant genişleme 1, 2, 10, 30, 31
S
Sıralı grup 3, 47
T
Tamamıyla ayrılabilir eleman 7, 40, 42
Tamamıyla ayrılabilir genişleme 7, 42
Tamamıyla wild genişleme 10, 19, 20
Tame genişlemesi 2, 10, 16, 17, 20, 22, 23, 33, 42, 44, 47, 48, 49, 51, 52,
54, 55, 56, 57, 58, 60
Tamlanış 6, 26, 37
Trace 8, 15, 44, 45, 46, 47, 50, 52, 53
Transandant eleman 10, 17, 30, 32
Transandant genişleme 1, 10, 24, 32

ÖZGEÇMİŞ
12.10.1979 tarihinde Edirne’de doğdum. İlkokulu Edirne Kurtuluş İlkokulunda,
ortaokulu ve liseyi Edirne Anadolu Lisesinde okudum. 1997 yılında kayıt olduğum T.Ü.
Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’nden Haziran 2001 döneminde mezun
oldum. Ekim 2001 döneminde açılan yüksek lisans sınavını kazanarak yüksek lisansa
başladım. 2001 yılında Cebir ve Sayılar Teorisi Anabilim Dalı’nda açılan Araştırma
Görevlisi sınavını kazanarak göreve başladım. Halen araştırma görevlisi olarak
görevimi sürdürmekteyim.