tc trakya üniversitesi fen bilimleri enstitüsü helmholtz denklemi ve ...

T.C.
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
HELMHOLTZ DENKLEMİ VE ONBİR KOORDİNAT
SİSTEMİNDE ÇÖZÜMÜ
OĞUZ BAĞRAN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANA BİLİM DALI
DANIŞMAN
YRD. DOÇ. DR. CENGİZ DANE
Edirne 2007

T.C.
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
HELMHOLTZ DENKLEMİ VE ONBİR KOORDİNAT
SİSTEMİNDE ÇÖZÜMÜ
OĞUZ BAĞRAN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANA BİLİM DALI
Bu Tez / / 2007 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Tarafından Kabul Edilmiştir.
Yrd. Doç. Dr. Cengiz DANE
AKBAŞ
Prof. Dr. Hasan
(Danışman) (Üye)
Prof. Dr. Hülya İŞCAN
(Üye)

İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET … ……………...…………………………………………………………….i
SUMMARY ……………………………………………………………………...….ii
ÖNSÖZ ………………………………………………………………………..……iii
I. BÖLÜM
1.1 Giriş…………………………………………………………...1
1.2. Eğrisel Koordinatlar…………………………………………..2
1.3. Ortagonal Koordinat Sistemleri……………….……………..7
1.4. Gradyent, Diverjans, Rotasyonel ve Laplasyenin
Ortagonal Eğrisel Koordinatlardaki İfadeleri……………….9
II. BÖLÜM
2.1. Kartezyen koordinatlar……………………………………..12
2. 2. Dairesel Silindirik Koordinatlar……………………………15
2.3 Eliptik Silindirik Koordinatlar……………………………...18
2.4. Parabolik Silindirik Koordinatlar…………………………..22
2.5 Küresel Koordinatlar………………………………………..25
2.6 Prolate Küresel Koordinatlar………………………………..28
2.7 Oblate Küresel Koordinatlar………………………………...32
2.8. Parabolik Koordinatlar……………………………………....36
2.9. Konikal Koordinatlar…………………………………….....40
2.10. Elipsoidal Koordinatlar……………………………………..45
2.11. Parabolidial Koordinatlar…………………………………...63
III. BÖLÜM
3.1. Helmholtz Denklemi……………………………………….56
3.2. Basit Ayrıştırma ve Stackel Matris………………………...63

IV. BÖLÜM
Helmholtz Diferansiyel Denkleminin
4.1. Kartezyen koordinatlarda çözümü………………………...63
4.2. Dairesel Silindirik Koordinatlarda çözümü………………67
4.3. Eliptik Silindirik Koordinatlarda çözümü…………….…..72
4.4. Parabolik Silindirik Koordinatlarda çözümü……...………76
4.5. Küresel Koordinatlarda çözümü…………………………..80
4.6. Prolate Küresel Koordinatlarda çözümü………………….83
4.7. Oblate Küresel Koordinatlarda çözümü.....……………….85
4.8. Parabolik Koordinatlarda çözümü.…………………..…....87
4.9. Konikal Koordinatlarda çözümü……………….……........89
4.10. Elipsoidal Koordinatlarda çözümü.……………….…... …92
4.11. Paraboloidal Koordinatlarda çözümü.………………….…95
TARTIŞMA…………………………………………………………………..….97
SİMGELER DİZİNİ…………………………………………………………….98
KAYNAKLAR…………………………………………………………………...99
ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………………………..102

i
ÖZET
Doğadaki olayları açıklamak için en etkin ve sistematik yol Diferansiyel
Denklem dilini kullanmaktır. Fizik, Kimya, Biyoloji, Astroloji, Mühendislik, Ekonomi
ve diğer pek çok Uygulamalı Bilimler, Diferansiyel Denklemlerin önemli uygulama
alanlarıdır. Bunun dışında, matematiğin kendi içinde de diferansiyel denklemlerin
önemli bir yeri vardır.
Diferansiyel Denklemler ve koordinat sistemleri birbirleri ile yakından
ilişkilidirler. Özellikle denklemlerin çözümlerinin bulunması denklemlerin koordinat
sistemlerinde uygun ifade edilmelerine bağlıdır.
Çalışmanın I. Bölümünde Eğrisel Koordinatlar ve Ortogonal Koordinat
Sistemleri hakkında genel kavramlar ile Gradyent, Diverjans, Rotasyonel ve
Laplasyen ifadeleri verilmiştir.
II. Bölümde Özel Ortogonal Koordinat Sistemleri tanıtılarak özellikleri
irdelenmiştir.
III. Bölümde Helmholtz Denklemi tanıtılmış, Stackel Matris ve Helmholtz
Denkleminin Basit Ayrıştırması irdelenmiştir.
IV. Bölümde Helmholtz Denkleminin Özel Koordinat Sistemlerinde Çözümü
verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Eğrisel Koordinatlar, Helmholtz Denklemi, Ayrıştırma.

ii
SUMMARY
In order to explain the events in the nature, the most effective and systematic
way is to use the language of Differential Equation. Physics, Chemistry, Biology,
Astrnomy, Engineering, Economics and many other practical Applied Sciences are the
important fields for application of Differential Equation. A part from these, differential
equation have an important place in mathematics itself.
Differential Equations and coordinate systems are closely related to each other.
Especialy, finding the solutions of equations depens on the appropriate expression of the
equations in coordinate systems.
In the first chapter of this study, the general concepts about Curvilinear
Coordinates ant Orthogonal Coordinate Sysstems are given and the terms Gradient,
Divergence, Rotational and Laplacian are determined.
In the second chapter, Special Orthogonal Coordinate Systems are given and
their characteristics are studied.
In the third chapter, Helmholtz Equations is given and the Basic Separation of
Helmholtz Equations and Stackel Matrix are studied.
In the fourth chapter, The Solution of the Helmholtz Equation in Special
Coordinate Systems are given.
Key words: Curvilinear Coordinates, Helmholtz Equation, Separation.

iii
ÖNSÖZ
Tez çalışmam boyunca her türlü yardımlarını esirgemeyen ve çalışmamın ortaya
çıkmasında emeği geçen hocam Yrd. Doç. Dr. Cengiz DANE’ye teşekkürlerimi
sunarım.
Hem yardımları hem de manevi desteğiyle yanımda olan başta Prof. Dr. Hülya
İŞCAN olmak üzere tüm Matematik Bölümüne şükranlarımı sunarım.
En başından beri beni destekleyen ve daima yanımda olan sevgili eşime ve
aileme en içten teşekkürlerimi sunarım.

1.1 GİRİŞ
1
I.BÖLÜM
Matematik doğayı anlama ve anlatmada çok yararlı bir dildir. Örneğin bugün
insanların gözlerinin ve saçlarının rengi gibi somut özelliklerinin incelenmesi, gök
cisimlerinin hareketlerinden atom altı parçacıklarının hareketlerinin açıklaması gibi
olaylar ve kavramlar matematik dili ile ifade edilirler. Doğa ile matematik arasındaki
ilişkiyi açıklamak doğadaki düzenin bilinmesi ve bu düzenin nasıl çalıştığının
anlaşılması veya doğa sisteminin matematiksel olarak modellenmesi açısından
önemlidir.
Matematiksel model söz konusu olduğunda genellikle diferansiyel denklem veya
diferansiyel denklem sistemleri ile karşılaşırız. Matematiksel modellerle formüle edilen
ve diferansiyel denklemlere dönüştürülebilen olayların analizi genellikle bu
diferansiyel denklemlerin çözümü olan fonksiyonların incelenmesi ile yapılır.
Diferansiyel denklemlerin matematiksel ifadeleri denklemlerin karakterize
edildiği koordinat sistemleri ile yakından ilgilidir. Bir denklem bir koordinat sisteminde
uzun ve karmaşık matematik ifadelerle belirtildiği halde, uygun bir koordinat
sisteminde aynı denklem daha özlü bir biçimde ifade edilebilir ve çözümleri tam olarak
elde edilir. Fizik, Mühendislik ve Uygulamalı Bilimlerde sıkça karşılaştığımız
denklemlerden Laplace, Poisson, Difizyon ve Dalga Denklemleri gibi denklemler
benzer karaktere sahip denklemlerdir. Bu denklemler Helmholtz Denklemi olarak
bilinen ve çözümlerini inceleyebildiğimiz bir özel denkleme dönüştürülebilen
denklemlerdir.
2 2
∇ φ+ k φ = 0 Helmholtz Denkleminin çeşitli koordinat sistemlerinde yapılan
çözümleri, yukarıda belirtilen denklemlerin çözümlerinin bulunması ve bu çözümlerin
analizi açısından önemlidir.
Bu çalışmada on bir koordinat sistemi incelenmiş ve bu sistemlerde Helmholtz
Diferansiyel Denkleminin ayrıştırması yapılarak çözümleri bulunmuştur.

1.2.Eğrisel Koordinatlar
2
KOORDİNAT SİSTEMLERİ
( x,y,z ) Bir noktanın koordinatları olmak üzere,
f1( x,y,z ) , f2( x,y,z ) , f3( x,y,z ) verilmiş bölgede x,y,z nin sürekli fonksiyonları
olsun.
= ( ) = ( ) = ( )
( 1.2.1 )
u f x, y,z , u f x,y,z , u f x,y,z
1 2 3
1 2 3
denklemleri de x,y,z ye göre çözülerek
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( )
x g u ,u ,u , y g u ,u ,u , z g u ,u ,u
= = = ( 1.2.2 )
1 2 3
yazılabilsin. Ayrıca g 1,g 2,g 3 fonksiyonları da
zaman bölge içindeki koordinatları ( )
değer takımı karşılık gelir. Bu
1 2 3
u ,u ,u ün fonksiyonları olsun. O
1 2 3
x, y,z olan her P noktasına bir ( u,u,u )
1 2 3
u ,u ,u fonksiyonlarına P noktasının eğrisel
koordinatları, ( 1.2.1 ) ve ( 1.2.2 ) denklemlerine koordinat dönüşümü denklemleri denir.
Her ( )
1 2 3
x, y,z değer takımına tek bir ( )
u,u,u değer takımı veya her
1 2 3 ( u,u,u ) değer takımına tek bir ( x, y,z ) değer takımı karşı gelmesi için
x,y,z nin sürekli ve türevi alınabilen fonksiyonları, x,y,z yi de
1 2 3
u,u,u ü
1 2 3
u ,u ,u ün sürekli
ve türevi alınabilen fonksiyonları olarak kabul ediyoruz. Bununla beraber birçok
hallerde bu koşulların sağlanmadığı özel noktalar da bulunur.
Her P noktasından koordinat yüzeyleri denilen
u c , u c u c
= = = ( 1.2.3 )
1 2 3
1 2 3
yüzeyleri geçer. Burada c 1,c 2,c 3 birer sabiti göstermektedir. Bu üç yüzey ikişer ikişer
koordinat eğrileri denilen üç eğri boyunca kesişirler. Şekil ( 1.2.1 ) ve Şekil ( 1.2.2 )
Örneğin
ile
Her koordinat yüzeyi üzerinde bir koordinat sabit, diğer ikisi değişkendir.
= yüzeyi üzerinde her yerde 1
u , sabit c 1 değerine eşit olduğu halde
1
u c1
3
u noktadan noktaya değişik değerler alır. Bir yüzey sabit olan koordinatın adı ile
adlandırılır.
2
u

3
Şekil ( 1.2.1 )
Şekil ( 1.2.2 )
Başlangıç noktasını değişken ( )
yer vektörü ( 1.2.2 ) bağıntıları yardımı ile
olarak
r r
r = r u ,u ,u
1 2 3 ( )
r r r r
P x,y,z noktasına birleştiren r = xi+ yj+ zk
1 2 3
u,u,u değişkenlerinin fonksiyonu
( 1.2.4 )
şeklinde yazılır. r r 1
2 3
fonksiyonun u e göre kısmi türevi, u ve u sabit tutularak, yani
r
1
∂r
P noktası u eğrisi üzerinde değiştirilerek elde edilir. , 1
∂u
1
u eğrisine P noktasında
1
teğet olan bir vektördür. Buna göre u in P noktasındaki teğeti doğrultusundaki birim
vektörü e1 r ile gösterilirse,
olur. Eğer
ile gösterilirse
r
e
1
r
∂r
1
= ∂u
∂r
1
∂u
r
∂ r
= h 1
∂u
r ( 1.2.5 )
1
r
∂ r
= he 1
∂u
( 1.2.6 )
r
1 1
( 1.2.7
)

elde edilir. Benzer şekilde e2 ile e3
4
sırası ile
teğetleri yönündeki birim vektörleri gösterirse
r
∂r
2
∂u
= h
2
r
∂r
3
∂u
= h
3
1
u ve
3
u eğrilerinin P noktasındaki
( 1.2.8 )
olmak üzere
r
∂ r
2
∂u
r
= he 2 2
r
∂ r
3
∂u
r
= he 3 3
( 1.2.10 )
r r r
şeklinde yazılır. h 1,h 2,h 3 büyükleri metrik katsayılar olarak adlandırılır. e,e,e 1 2 3 birim
1 2 3
vektörlerinin yönleri sırası ile artan u ,u ,u yönlerindedir. Sekil(1.2)
1
∇u ur
, P noktasında 1
u = c yüzeyinin normali doğrultusunda bir vektördür.
1
u c1
1
= yüzeyi normali doğrultusundaki birim vektörünü E1 ur ile gösterirsek,
ur
ur ∇u1
E1
=
∇u
yazılabilir. Benzer şekilde
doğrultusundaki birim vektörleri 2
ur
ur
2
∇u
E2
= ur
2
∇u
ur
ur 3
∇u
ve E3
=
3
∇u
ur ( 1.2.11 )
1
2
u c2
= ve
E ur ve 3
3
u c3
E ur ile gösterilirse
= yüzeylerinin normalleri
ur ( 1.2.12 )
r r r ur ur ur
yazılır. Gerek e,e,e 1 2 3 birim vektörlerinin, gerekse E,E,E 1 2 3 birim vektörlerinin
yönleri bu vektör takımları bir sağ el vektör sistemi meydana getirecek şekilde seçilir.
1 2 3
Eğrisel sistemin her keyfi P noktasında, u ,u ,u koordinat eğrilerinin teğetleri
r r r
1 2 3
yönünde olan ( e,e,e 1 2 3)
diğeri u = c 1, u = c2 u = c3
koordinat
ur ur ur
yüzeylerinin normalleri yönünde olan ( E,E,E 1 2 3)
gibi iki sağ el birim vektör takımı
r r r ur ur ur
vardır. Genel olarak ( e,e,e 1 2 3)
ile ( E,E,E 1 2 3)
vektör takımları birbirinden farklıdır.
Ancak eğrisel koordinat sistemi ortogonal olursa bu iki vektör takımı özdeş olur.
Her keyfi A ur vektörü 1 2 3
1 1 2 2 3 3
a ,a ,a veya A 1,A 2,A 3 bileşenleri olmak üzere
ur r r r
A = a e + a e + a e
( 1.2.13
)

5
ur ur ur ur
A = A1E1+ A2E2 + A3E3 ( 1.2.14 )
r r r ur ur ur
şeklinde ( e,e,e 1 2 3)
veya ( E,E,E 1 2 3)
baz vektörleri cinsinden yazılabilir.
r r r ur ur ur
( e,e,e 1 2 3)
ve ( E,E,E 1 2 3)
vektör takımları ayrı ayrı üç boyutlu uzayın genel
olarak birbirinden farklı iki bazını oluştururlar.
veya
Keyfi bir A ur vektörünü genel olarak büyüklükleri birim olmayan
r r r
∂r ∂r ∂r
, ,
∂u ∂u ∂u
1 2 3
uur uur uur
∇.u , ∇.u , ∇.u
1 2 3
( 1.2.15 )
( 1.2.16 )
baz vektörleri cinsinden yazmak mümkündür. ( 1.2.15 ) ve ( 1.2.16 ) baz vektörlerine
üniter baz vektörleri denir. Bu baz vektörleri cinsinden A ur vektörü
r r r
ur ∂r ∂r ∂r
A= c1 + c 1 2 + c 2 3 3
∂u ∂u ∂u
uur uur uur
= c1α 1+ c2α 2 + c3α3
( 1.2.17 )
ur uur uur uur uur uur uur
1 2 3
A = C ∇ .u + C ∇ .u + C ∇ .u = C β + C β + C β
( 1.2.18 )
1 2 3 1 1 2 2 3 3
şeklinde yazılabilir. Burada
r
uur ∂r α 1 = 1
∂u r
uur ∂r α 2 = 2
∂u r
uur ∂r
α3
3
∂u
uur uur
β =∇.u ,
uur uur
β =∇.u ,
uur uur
β =∇.u
1 2 3
1 2 3
( 1.2.19 )
( 1.2.20 )
dır. C 1,C 2,C 3 bileşenlerine A ur vektörünün kovaryant, c 1,c 2,c 3 bileşenlerine de A ur
vektörünün kontravaryant bileşenleri denir.
Kartezyen koordinatlarda yay uzunluğunun denklemini;
2 2 2 2
ds = dx + dy + dz
( 1.2.21 )
şeklinde ifade edilir. Eğrisel koordinatlarda d r →
→ → →
için diferansiyel tanımından,
→ ∂ r ∂ r ∂ r
d r = du + du + du = α .du + α .du + α .du
∂u ∂u ∂u
elde edilir. d r →
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
nin bu değerini ( 1.2.22 ) de yerine yazılırsa;
( 1.2.22 )

2
3 3
i j
ij
i= 1 j= 1
6
ds = ∑∑ g du du
( 1.2.23 )
elde edilir. Burada
g .
ij = α iαj ur ur ( 1.2.24 )
dir. ij g ye metrik katsayıları denir. ij g = ji g dir. Yani g ij simetriktir. ( ) 1.2.24
bağıntısı, temel kuadratik form veya metrik form olarak adlandırılır.
Eğer i ile j nin farklı değerleri çin g ij =0 ise o zaman koordinat sistemi
ortogonaldir. Ortogonal koordinat sistemleri için,
→ →
2 2 2
∂ r ∂ r ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y
⎞ 2
ii = = i i ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = i
∂u ∂u ∂ui ∂ui ∂ui
( 1.2.25 )
g h
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dir. Burada i=1,2,3 değerleri için ayrı ayrı üç denklem elde edilir. Bu bağıntı
h 1,h 2,h 3 metrik katsayılarının hesaplanmasında kullanılır.

1.3. Ortogonal Koordinat Sistemleri
1.4.
Eğer koordinat eğrileri her P( x,y,z ) noktasında bibirine dik ise
eğrisel koordinatları ortogonaldir denir.
r r r
e,e,e 1 2 3 ( 1.2.5 ) de tanımlanan birim vektörler ve
7
1 2 3
u,u,u
1 2 3
s,s,s;u,u 1 2 3 ,u ün
pozitif yönünde koordinat eğrileri boyunca ölçülen yay uzunluklarını göstermek üzere
ds ds ds ds
= + + ( 1.3.1 )
2 2 2 2
1 2 3
şeklinde yazılır. Bu ifade h 1,h 2,h 3 metrik katsayıları cinsinden
2 2 2
( ) ( ) ( )
ds h du h du h du
= + + ( 1.3.2 )
2 2 1 2 2 2 3
1 2 3
şeklinde yazılır. Ayrıca dik koordinat sistemleri için,
r r r
⎛ ∂r ∂r ∂r
⎞
J = ⎜ 1 2 3 ⎟
⎝∂u ∂u ∂u
⎠
r r r
∂r ⎛ ∂r ∂r
⎞
= x
1⎜ 2 3 ⎟
∂u ⎝∂u ∂u
⎠
r r r
= he 1 1. ( he 2 2 xhe 3 3 )
r r r
= hhh.e1 exe 2 3
1 2 3
= hhh
1 2 3
( )
dir.
r r r
uur uur uur
⎛ ∂r ∂r ∂r
⎞
( ∇.u 1, ∇.u 2, ∇.u
3)
vektör takımı ⎜ , , 1 2 3 ⎟
⎝∂u ∂u ∂u
⎠
sistemler olduğundan ortogonal koordinat sistemleri için
r r
ur
ur
1 1⎛ ∂r ∂r
⎞ 1 e1
∇ u = ⎜ x 2 3 ⎟=
=
J⎝∂u ∂u
⎠ h1h2h3 h1
r r
uur
ur
2 1⎛ ∂r ∂r
⎞ 1 uur ur e2
∇ u = ⎜ x h 3 1⎟=
⎡ 3e3x h1e ⎤ 1 =
J ∂u ∂u
h1h2h ⎣ ⎦
⎝ ⎠
3 h2
dır.
ur
∇ u
r r
1⎛ ∂r ∂r
⎞
= x =
1
uur
ur uur e
⎡h e x h e ⎤ =
⎝ ⎠
3
3 ⎜ 1 2 ⎟ 1 1 2 2
J ∂u ∂u
h1h2h ⎣ ⎦
3 h3
( 1.3.3 )
vektör takımı ile ters
( 1.3.4 )
( 1.3.5)
( 1.3.6 )

Bu bağıntılar kullanılarak e,e,e 1 2 3 vektörleri için,
ur uur
2 3
e1 = h2h 3∇.u
xu
uur uur
3 1
e2 = h3h 1∇.u
xu
uur uur
1 2
e = h h ∇.u
xu
3 1 2
bağıntıları bulunur.
8
( 1.3.7 )

9
1.4. Gradyent, Diverjans, Rotasyonel Laplasyen’in Ortogonal Eğrisel
Koordinatlardaki İfadeleri
Bir f skaler fonksiyonun Gradyenti bir vektördür. Gradyent vektörünün
r r r
e,e,e)
bazındaki bileşenleri f,f,f 1 2 3 ise
uur r r r
∇ .f = f e1+ f e 2 + f e 3
( 1.4.1 )
( 1 2 3
şeklinde ifade edilir.
1 2 3
f,f,f 1 2 3 bileşenleri nin eğrisel koordinatlar cinsinden ifadesi r ;
fonksiyonu olmak üzere
r
r ∂r dr = du
∂u r
∂r + du
∂u r
∂r
+ du
∂u
ur
= h1e1du uur
+ h2e2du uur
+ h3e3du dır. Ayrıca
1 2 3 1 2 3
1 2 3
r
1 2 3
u,u,u ün
( 1.4.2 )
df =∇.f.dr uur r ( 1.4.3 )
bağıntısından ( 1.4.1) ve ( 1.4.2 ) bağıntılarını kullanarak
df h f du h f du h f du
= + + ( 1.4.4 )
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
elde edilir. Diğer taraftan f fonksiyonu ( u,u,u) eğrisel koordinatlarının bir skaler
fonksiyonu olduğu dikkate alınarak
r
∂r df = du 1
∂u r
∂r + du 2
∂u r
∂r
+ du 3
∂u
1 2 3
yazılır. ( 1.3.4 ) ,( 1.3.5 ) ,( 1.3.6 ) ve ( 1.4.5 ) bağıntılarından
1 ∂f
f = i= 1,2,3
i i
hi∂u elde edilir. Bu değerler ( 1.3.1 ) bağıntısında yerine konulursa f in gradyenti
r r r
uur e ∂f e ∂f e ∂f
∇ .f = + +
h u h u h u
1 2 3
1
1
∂ 2 ∂
2
3 ∂
3
şeklinde elde edilir. Burada ∇ ur işlemcisinin dik eğrisel koordinatlardaki ifadesi
r r r
ur e1 ∂ e2 ∂ e2
∂
∇= + +
1 2 3
h ∂u h ∂u h ∂u
olarak bulunur.
1 2 3
( 1.4.5 )
( 1.4.6 )
( 1.4.7 )
( 1.4.8 )

10
Eğrisel koordinatlardaki bileşenleri A,A,A 1 2 3 olan
ur r r r
A= A e1+ A e2 + A e3
( 1.4.9 )
1 2 3
vektör fonksiyonunun diverjansını hesaplamak için ( 1.4.7 ) bağıntısını kullanarak
den
ur ur r r r
∇ f =∇ A e + A e + A e
( 1 1 1 2 1 3)
ur
∇
r
=
hhh 1 2 3 ∂u
ur
∇
r
=
hhh 1 2 3 ∂u
ur
∇
r
=
hhh ∂u
1 ∂
( Ae 1 1)
( Ahh
1 1 2 3)
1 ∂
( Ae 2 2 ) ( Ahh
2 2 3 1)
1 ∂
( Ae 3 3 ) ( Ahh
3 3 1 2)
1 2 3
bulunur. A1 = A2 = A3 = 1 özel değerler için ( 1.4.11 ) bağıntıları
ur r 1 ∂
∇ e =
h h
( )
1
1 2 3
hhh 1 2 3 ∂u
ur r 1 ∂
∇ e =
h h
( )
2
2 3 1
hhh 1 2 3 ∂u
ur r 1 ∂
∇ e =
h h
( )
3
3 1 2
hhh 1 2 3 ∂u
şeklini alır. Böylece keyfi bir A ur vektörünün eğrisel koordinatlardaki diverjansı
ur ur 1
∇ A= hhh
⎡ ∂
u
( A h h ) +
∂
u
( A h h ) +
∂
u
( A h h
⎤
)
⎢ 1 1 3 1 2 2 3 1 3 3 1 2 ⎥
1 2 3 ⎣∂ ∂ ∂ ⎦
( 1.4.10 )
( 1.4.11 )
( 1.4.12 )
( 1.4.13 )
formunda elde edilir. Benzer şekilde keyfi bir A ur vektörünün rotastyoneli için
( 1.3.4 ) ,( 1.3.5 ) ,( 1.3.6 ) bağıntılarından
r r
ur r e2 ∂ e3
∂
∇ x( A1e1) = 3 ( A1h1) +
2 ( A1h1) hh 3 1 ∂uhh 1 2 ∂u
r
ur
ur r e3
∂ e1
∂
∇ x A e2 = A h − A h
2 3
hh 1 2 ∂uhh 2 3 ∂u
r r
ur r e1 ∂ e2
∂
∇ x A3e3= A 3 3h3 − A 1 3h3 hh ∂uhh∂u ( 2 ) ( 2 2) ( 2 2)
( ) ( ) ( )
3 2 3 1
( 1.4.14 )
elde edilir. Bu bağıntılardan yararlanarak A ur vektörünün dik eğrisel koordinatlardaki
rotasyoneli;

ur ur e1 ⎡ ∂ ∂ ⎤ e2
⎡ ∂ ∂ ⎤
∇ xA= Ah Ah Ah Ah
hh ⎢
− + −
⎣∂u∂u⎥ ⎦ hh ⎢
⎣∂u∂u⎥ ⎦
11
( 3 3) ( 2 2) ( 1 1) ( 3 3)
r
e3
⎡ ∂
( Ah )
∂ ⎤
( Ah)
( 1.4.15 )
2 3 3 1
1 2 3 1
+ −
hh u u
⎢ 1 2 2 2 1 1 ⎥
1 2 ⎣∂ ∂ ⎦
olarak bulunur. ( 1.4.15 ) ifadesini;
r
he
r
he
r
he
ur ur 1
∇ xA =
hhh 1 2 3
∂
1
∂u ∂
2
∂u ∂
3
∂u
Ah Ah Ah
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
( 1.4.16 )
şeklinde de yazabiliriz. ( 1.4.8 ) bağıntısından yararlanılarak f skaler fonksiyonunun
ortogonal eğrisel koordinatlardaki Laplasyeninin ifadesi;
2 1 ⎡ ∂ ⎛hh 2 3 ∂f ⎞ ∂ ⎛hh 3 1 ∂f ⎞ ∂ ⎛hh 1 2 ∂f
⎞⎤
∇ f = ⎢ 1⎜ 1⎟+ 2 ⎜ 2 ⎟+
3 ⎜ 3 ⎟⎥
h1h2h3 ⎣∂u ⎝ h1 ∂u ⎠ ∂u ⎝ h2 ∂u ⎠ ∂u ⎝ h3 ∂u
⎠⎦
olarak bulunur.
Bu koordinat sisteminde hacim elemanı;
dV h h h du du du
Yüzey elemanı;
( 1.4.17 )
1 2 3
= 1 2 3
( 1.4.18 )
dS h h du du
olarak bulunur.
1 2
= 1 2
( 1.4.19 )

12
II.BÖLÜM
ÖZEL ORTOGONAL KOORDİNAT SİSTEMLERİ
Uzay değişik amaçlar için farklı şekilde koordinatlandırılabilir. Kartezyen koordinat
sistemi genel olarak matematiğin bir çok dalında kullanılmakla birlikte bazı
matematiksel denklemlerin sade ve basit biçimde ifadeleri bu sistemde yazılamayabilir.
Başka bir deyişle kartezyen koordinat sistemindeki bazı büyüklüklerin hesaplanması
başka koordinat sistemlerinde daha sade biçimde yazılabilir. Fizik veya Mühendislik
alanlarında kullanılan denklemlerin çözümleri için Kartezyen koordinatlar yeterli
olmayabilir. Farklı koordinat sistemleri bilim alanında ilerlemeyi hızlandıran en önemli
etkenlerden biridir.
Bu bölümde on bir koordinat sistemi incelenerek bazı özellikleri verilmiştir.
2.1. Kartezyen koordinatlar
Kartezyen koordinatlar;
1
u = x −∞< x

13
şeklinde ifade edilir. Kartezyen koordinat sisteminde herhangi bir P( x, y,z ) noktasının
yer vektörü,
r r r r
r = xi+ yj+ zk
( 2.1.2 )
olarak yazılır.
Metrik katsayılar; ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarından,
r r r
∂r ∂r ∂r
i 2
h1 = = 1 h2 = = 1 h3 = = 1 g ij =δ j.h ij i,j= 1,2,3
∂x ∂y ∂z
dır.
⎡g⎤ matrisi ve bu matrisin determinantı;
⎣ ij⎦
⎡
⎡1 ⎤ =
⎢
0 0⎤
⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
det ⎡g ⎤ =1
⎣gij⎦ ⎢
0 1 0
⎥
, ij
şeklindedir.
Bu koordinat sisteminde,
Yay elemanı;
( 2.1.3 )
⎣ ⎦ ( 2.1.5 )
2 2 2 2
( ds) = ( dx) + ( dy) + ( dz)
( 2.1.6 )
Hacim elemanı;
Alan elemanı;
∇ ur operatörü;
dV = dxdydz
( 2.1.7 )
dA = dxdy
( 2.1.8 )
ur ∂ r ∂ r ∂ r
∇= i+ j+ k
∂x ∂y ∂z
şeklinde verilir.
( 2.1.9 )
f = f( x,y,z)
bir skaler fonksiyon ve E ur de kartezyen koordinatlardaki skaler
bileşenleri E,E,E x y z olan bir vektör olmak üzere

f fonksiyonunun Gradyenti;
14
uuuur ur ∂f r ∂f r ∂f
r
gradf =∇ .f = i + j+ k
( 2.1.10 )
∂x ∂y ∂z
E ur vektörünün Diverjansı;
ur ur ur ∂E ∂E
∂E
divE =∇ .E = + +
∂x ∂y ∂z
E ur vektörünün Rotasyoneli;
x y z
r
i
r
j
r
k
ur ur ur ∂
RotE =∇ xE =
∂x ∂
∂y ∂
∂z
E E E
f fonksiyonunun Laplasyeni;
∂ f ∂ f ∂ f
∂x olarak ifade edilir.
∂y ∂z
2 2 2
2
∇ f = + 2 + 2 2
x y z
( 2.1.11 )
( 2.1.12 )
( 2.1.13 )

2. 2. Dairesel Silindirik Koordinatlar
15
Şekil (2.2.1)
P( x,y,z ) noktasının xy düzlemindeki izdüşümü P' olsun.
u
u
1
2
=ρ
=ϕ
=
3
u z
0 ≤ ρ

( )
16
r r r r
P x,y,z noktasının r = xi + yj + zk yer vektörünün silindirik koordinatlardaki
ifadesi,
r r r r
r =ρcosϕ i +ρ.sinϕ j+ zk
( 2.2.4 )
ise; bu koordinat sisteminde metrik katsayılar ve ρ, ϕ ,z nin artan yöndeki birim
vektörleri
r
∂r h1 = = 1
∂ρ
r
∂r h2 = =ρ
∂ϕ
r
∂r
h3 = = 1
∂z
ve
dir.
r r r r
e1= eρ= cosϕ i+ sinϕj r r r r
e2= eϕ=−sinϕ i+ cosϕj r r r
e3 = ez = k
( 2.2.5 )
( 2.2.6 )
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu
koordinat sisteminde,
dır. ij
g g 1, g ve g g g g g g 0
= = =ρ = = = = = = ( 2.2.7 )
2
11 33 22 12 13 21 23 31 32
g ⎡
⎣
⎤
⎦ matrisi ve bu matrisin determinantı;
⎡1 0 0⎤
2
⎡g ⎢
ij 0 0
⎥
⎣
⎤
⎦ =
⎢
ρ
⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
olarak bulunur.
det ⎡g ⎤ =ρ
, ij
Silindirik koordinat sisteminde
Yay elmanı;
⎣ ⎦ ( 2.2.8 )
2 2 2 2 2
( ds) = ( dr) +ρ ( dψ ) + ( dz)
( 2.2.9 )
Hacim elemanı;
Alan elemanı;
dV =ρρϕ d d dz
( 2.2.10 )
dA =ρ.d ρ.dϕ ( 2.2.11
)

∇ ur operatörü;
17
ur ∂ r 1 ∂ r ∂ r
∇= eρ + eϕ + ez
( 2.2.12 )
∂ρ
şeklindedir.
ρ ∂ϕ ∂z
f = f ( ρ, ϕ ,z)
bir skaler fonksiyon ve E ur de silindirik koordinatlardaki skaler
bileşenleri E,E,E ρ ϕ z olan bir vektör olmak üzere
f fonksiyonunun Gradyenti;
uuuur ur ∂f r 1 ∂f r ∂f
r
gradf =∇ .f = eρ + eϕ + ez
∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
( 2.2.13 )
E ur vektörünün Diverjansı;
ur ur ur ∂Eρ Eρ 1 ∂Eϕ ∂E
∇ .E = divE = + + +
∂ρ ρ ρ ∂ϕ ∂z
E ur vektörünün Rotasyoneli;
r
e ρ
r
ρ.eϕ
r
ez
ur ur ur 1 ∂
rotE =∇ xE =
ρ∂ρ
∂
∂ϕ
∂
∂z
E ρ.E
E
ρ ϕ
f fonksiyonunun Laplasyeni;
∂ f 1 ∂f 1 ∂ f ∂ f
∂ρ
olarak elde edilir.
ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
2 2 2
2
∇φ= + 2 + 2 + 2 2
z
z
( 2.2.14 )
( 2.2.15 )
( 2.2.16 )

2.3. Eliptik Silindirik Koordinatlar
u
u
1
2
= η
= ψ
3
u = z
0 ≤ η

19
Bu koordinatlarla Kartezyen koordinatlar arasında
2 2
⎛ x ⎞
⎜ ⎟
⎝acoshη ⎠
⎛ y ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝asinhη ⎠
= 1
2 2
⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1
⎝acosψ ⎠ ⎝asinψ ⎠
z= z
bağıntıları vardır.
( 2.3.3 )
r r r r
P noktasının r = xi + y j+ zk yer vektörünün Eliptik Silindirik koordinatlardaki
ifadesi
r r r r
r = a coshηcosψi+ a sinhηsinψ j+ zk
( 2.3.4 )
ise; metrik katsayılar ve η, ψ ,z nin artan yöndeki birim vektörleri;
r r r
1 1
∂r 2 2 ∂r 2 2 2 ∂r
h 2
1 = = a ( cosh η− cos ψ) , h2 = = a ( cosh η− cos ψ)
, h3 = = 1
∂η ∂ψ ∂z
ve
dir.
r r
r r sinhη cosψi+ coshηsinψ j
= =
e1eη e2eψ e3 = ez = k
2 2
1
2
( cosh η−cos ψ)
r r
r r sinhη cosψi+ coshηsinψ j
= =
r r r
2 2
1
2
( cosh η−cos ψ)
( 2.3.5 )
( 2.3.6 )
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25) bağıntılarının yardımı ile bu
koordinat sisteminde
dır. ij
( η ψ)
g = g = a cosh − cos g = 1,
2 2 2
11 22 33
g = g = g = g = g = g = 0
12 13 21 23 31 32
g ⎡
⎣
⎤
⎦ matrisi ve bu matrisin determinantı;
( η−ψ) 2 2 2
⎡acosh cos 0 0⎤
⎢ ⎥
2 2 2
⎡g ⎢
ij
0 a ( cosh η cos ψ)
0⎥
⎣
⎤
⎦ = −
⎢ ⎥
⎢ 0 0 1⎥
⎣ ⎦
( 2.3.7 )
, ( 2.3.8
)

( η ψ )
20
2 2 2
⎣
⎡ ⎤ ij⎦
= −
( 2.3.9 )
det g a cosh cos
olarak bulunur.
Bu koordinat sisteminde
Yay elemanı;
2 2 2
( ds) = a ( cosh η−cos ψ) ⎡( dη ) + ( dψ ) ⎤+
( dz)
Hacim elemanı;
Alan elemanı;
∇ ur operatörü;
2 2 2 2
( )
2 2 2
dV a cosh cos d d dz
⎣ ⎦
( 2.3.10 )
= η − ψ η ψ
( 2.3.11 )
( )( ) 1
= ⎡ η ψ η ψ ⎤
⎣
− −
⎦
η ψ
4 2 2 2 2 2
dA a cosh cos cosh cos d d
2 2 2 2
( η− ψ) ( η− ψ)
( 2.3.12 )
ur 1 ∂ r 1 ∂ r ∂ r
∇= e e e
1
η + 1
ψ +
ψ ( 2.3.13 )
∂η ∂ψ ∂ψ
a cosh cos 2 a cosh cos 2
şeklindedir.
( ηψ )
f = f , ,z bir skaler fonksiyon ve E ur eliptik silindirik koordinatlardaki
skaler bileşenleri E ,E ,E
η ψ z olan bir vektör olmak üzere
f fonksiyonunun gradyenti;
uuuur ur 1 ⎡∂f r ∂f r ⎤ ∂f
r
gradf =∇ .f = e e e
1 ⎢ η + ψ + z
2 2 ∂η ∂ψ ⎥
( 2.3.14 )
∂z
2 ⎣ ⎦
E ur vektörünün Diverjansı;
( η−ψ) a cosh cos
ur ur ur
1
1 ⎧⎪ ∂ ⎡ 2 2 ⎤
divE =∇ .E = 2
1 ⎨ ⎢( cosh η− cos ψ)
+ Eη
⎥
2 2 ∂η
a ⎡cosh η cos ψ 2 ⎪⎩ ⎣ ⎦
⎣ − ⎤
⎦
1
∂ ⎡ 2 2 ⎤ ∂E
⎫
2
z ⎪
+ ⎢( cosh η− cos ψ)
+ Eψ
⎥+
⎬
∂ψ⎣ ⎦ ∂z⎪⎭ ( 2.3.15
)

E ur vektörünün Rotasyoneli;
ur
rotE =
1
2 2
( cosh η−cos ψ)
f fonksiyonunun Laplasyeni
21
⎡ ⎤
a ⎣
⎡cosh olarak elde edilir.
η−cos ψ⎦ ⎤ ⎣dη dψ ⎦ dz
⎡
⎣cosh η−cos ψ⎤ ⎦
r
e ⎡
⎣cosh η−cos ψ⎤
⎦
r
e
a r
e
a
∂ ∂ ∂
∂η ∂ψ ∂z
1
2 2
E 2
η( cosh η−cos ψ) 1
2 2
E 2
ψ(
cosh η−cos ψ)
Ez
a
2 2 2
2
1 d f d f d f
∇φ= 2 2 ⎢ + +
2 2⎥ 2
1 1
2 2 2
η
2 2 2
ψ
z
ψ
( 2.3.17 )

2.4. Parabolik Silindirik Koordinatlar
u
u
1
2
= µ
= ν
3
u = z
0 ≤ µ

23
bağıntıları vardır.
r r r r
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer vektörünün parabolik silindirik
koordinatlardaki ifadesi
r 1 r r r
2 2
r = ( µ − ν ) i+ µν j+ zk
2
( 2.4.4 )
ise; metrik katsayılar ve µ , ν ,z nin artan yöndeki birim vektörleri
ve
dir.
r r r
1 1
∂r 2 2 ∂r 2 2 2 ∂r
h 2
1 = = ( µ + ν ) h2 = = ( µ + ν ) h3 = = 1
∂η ∂ψ ∂z
r r
= =
e1eµ r r
= =
e2eν r r r
e3 = ez = k
r r
µ .i + ν j
2 2
1
2
( µ + ν )
r r
− ν .i + µ .j
2 2
1
2
( µ + ν )
( 2.4.5 )
( 2.4.6 )
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu
koordinat sisteminde
bulunur. ij g
g11= g 22
2 2
= µ + ν , g33 = 1
g = g = g = g = g = g = 0
12 13 21 23 31 32
⎡
⎣
⎤
⎦ matrisi ve bu matrisin determinantı;
2 2
⎡µ + ν 0 0⎤
⎢ 2 2 ⎥
⎡
⎣g ⎤ ij⎦
= ⎢ 0 µ + ν 0⎥,
⎢ 0 0 1⎥
⎣ ⎦
dır.
Bu koordinat sisteminde,
Yay elemanı;
2 2
( ds) = ( µ + ν ) ⎡( dµ ) + ( dν) ⎤+
( dz)
Hacim elemanı;
2 2 2 2
⎣ ⎦
( ) 2.4.7
2 2
⎣
⎡ ⎤ ij⎦
= +
( 2.4.8 )
det g µ ν
( 2.4.9 )

Alan elemanı;
∇ ur operatörü;
dır.
2 2 ( )
dV µ ν dµ dνdz 24
= + ( 2.4.10 )
2 2 ( )
dA µ ν dµ dν
= + ( 2.4.11 )
ur 1 ∂ r 1 ∂ r ∂ r
∇= e e e
1
µ + 1
ν + z
( 2.4.12 )
∂µ ∂ν ∂z
2 2
2 2 2 2
( µ + ν ) ( µ + ν )
( µν )
f = f , ,z bir skaler fonksiyon ve E ur parabolik silindirik koordinatlardaki
skaler bileşenleri E µ ,E ν ,Ezbir
vektör olmak üzere
f fonksiyonunun Gradyenti;
uuuur ur − ⎡∂f r ∂f r ⎤ ∂f
r
gradf =∇ f = + eµ + eν + ez
( 2.4.13 )
E ur vektörünün Diverjansı;
( ) 1
2 2
µ ν 2
⎢
µ ν
⎥
⎣∂ ∂ ⎦ ∂z
ur ur ur
1 1 1
− ⎪⎧ ∂ ⎡ ⎤ ∂ ⎡ ⎤⎪⎫ ∂E
divE =∇ E == + 2 2 E 2
⎢ + + ⎥+ ⎢ + + E ⎥ + 2.4.14
⎩⎪∂µ ⎣ ⎦ ∂ν ⎣ ⎦⎭⎪
∂z
E ur vektörünün Rotasyoneli;
ur
rotE = µ +ν
2 2 ( )
2 2 2 2 2 2 z
( µ ν ) ⎨ ( µ ν ) µ ( µ ν ) ν ⎬ ( )
−1
f fonksiyonunun Laplasyeni ;
r r r
e e e
1 1
2
µ
2
ν
2 2 2 2
( µ +ν ) ( µ +ν )
∂ ∂ ∂
∂µ ∂ν ∂z
1 1
µ
2
ν
2
2 2 2 2
( µ +ν ) ( µ +ν )
E E E
⎡
µ + ν
⎢
⎣∂µ olarak elde edilir.
⎤
∂ν ⎥
⎦ ∂z
2 2 2
2 1 ∂ f ∂ f ∂ f
∇ f = + +
2 2 2 2 2
z
z
( 2.4.15 )
( 2.4.16 )

2.5. Küresel Koordinatlar
25
Şekil (2.5.1)
Bir P( x, y,z ) noktasının küresel koordinatları, r; P noktasının başlangıç
uuur r r
noktasına uzaklığı. θ ; OP = r vektörünün Z ekseni ile yaptığı açı, ψ ; r vektörünün XY
düzlemi üzerindeki izdüşümünün ox ekseni ile yaptığı açı olmak üzere;
1
u r
2
u
u
3
=
=θ
=ψ
0≤ r

P( )
26
( ) 1
2 2
x + y 2
2 2 2 2
x + y + z = r
bağıntıları vardır.
tan θ=
z
y
tan ψ =
x
( 2.5.3 )
r r r r
x,y,z noktasının r = xi + yj + zk yer vektörünün küresel koordinatlar
üzerindeki ifadesi;
r r r r
r = r sin θcosψ i + r sin θsin ψ j+ r cos θk
( 2.4.4 )
ise; metrik katsayılar ve r, θψ , nin artan yöndeki birim vektörleri
r
∂r h1 = = 1
∂ρ
r
∂r h2 = = r
∂ϕ
r
∂r
h3 = = r.sinθ
∂z
ve
dir.
r r r r r
e = e = sinθ cosψi+ sinθsinψ j+ cosθk 1 r
r r r r r
e2 = eθ = cosθ cosψi+ cosθsinψ j−sinθk r r r r
e3 = eψ =− rsin sin i+ rsin cos j
θ ψ θ ψ
( 2.5.5 )
( 2.5.6 )
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu
koordinat sisteminde
g g 1 g r g g g g g g 0
= = = = = = = = = ( 2.5.7 )
2
11 33 22 12 13 21 23 31 32
olarak bulunur. ij g ⎡
⎣
⎤
⎦ matrisi ve bu matrisin determinantı;
⎡1 0 0⎤
2
⎡g ⎢
ij 0 r 0
⎥
⎣
⎤
⎦ =
⎢ ⎥
, det ij
⎢⎣0 0 1⎥⎦
g ⎡
⎣
⎤
⎦
dır.
Bu koordinat sisteminde,
Yay elemanı;
= r ( ) 2.5.8
2 2 2 2 2 2
2
( ds) = ( dr) + r ( dθ ) + r .sin θ( dψ)
( 2.5.9 )
Hacim elmanı;
2
dV r sin drd d
= θ θ ψ
( 2.5.10
)

Alan elemanı;
∇ ur operatörü;
27
dA = rdrdθdψ ( 2.5.11 )
ur ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ r
∇= er+ eθ+ eψ
( 2.5.12 )
∂r r ∂θ r.sinθ
∂ψ
f = f( r, θ, ψ ) bir skaler fonksiyon ve E ur de küresel koordinatlardaki skaler
bileşenleri r E,E,E θ ψ bir vektör olmak üzere
f fonksiyonunun Gradyenti;
uuuur ur ∂f r 1 ∂f r 1 ∂f
r
gradf =∇ .f = er + eθ + ez
∂r r ∂θ rsinθ
∂ψ
( 2.5.13 )
E ur vektörünün Diverjansı;
ur ur ur ∂E
2 1∂Ecotθ1 ∂Eψ
=∇ = + + + +
∂r r r ∂θr rsinθ
∂ψ
r
θ
divE .E Er Eθ
E ur vektörünün Rotasyoneli;
ur ur ur
RotE =∇ xE = 2
r sin r
f fonksiyonunun Laplasyeni
1
r
er r
eθr r
eψrsinθ ∂ ∂ ∂
θ ∂ ∂θ ∂ψ
E E r E rsinθ
r
θ ψ
∂ f 2 ∂f 1 ∂ f cotθ∂f 1 ∂ f
∂r olarak ifade edilir.
r ∂r r ∂θr ∂θ r sin θ ∂ψ
2 2 2
2
∇ f = + 2 + 2 + 2 2 + 2 2 2
( 2.5.14 )
( 2.5.15 )
( 2.5.16 )

2.6. Prolate Küresel Koordinatlar
u
u
u
1
2
3
= η
= θ
= ψ
0 ≤ η

29
Bu koordinatlarla kartezyen koordinatlar arasında
2 2 2
x y z
+ + = 1
2 2 2 2 2 2
a sinh η a sinh η a cosh η
( 2.6.3 )
2 2 2
x y z
− + = 1
2 2 2 2 2 2
a sin θ a sin θ a cos θ
bağıntıları vardır.
r r r r
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer vektörünün prolate koordinatlardaki
ifadesi,
r r r r
r = a sinhη sinθcosψi+ a sinhηsinθsinψ j+ a coshηcosθk ( 2.6.4 )
ise metrik katsayılar ve η, θψ , nin artan yöndeki birim vektörleri
r r r
∂r 1
∂r 1
∂r
1 2 3
2 2 2 2
( θ θ 2 ) ( θ θ 2 ) η θ ( )
h = = a sinh + sin h = = a sinh + sin h = = a ⋅sinh ⋅sin
2.6.7
∂η ∂ψ ∂z
ve
r r r
r r coshη sinθcosψi+ coshηsinθsinψ j+ sinhηcosθk e1= eη=
e2eθ e3= eψ=− sinψi+ cosψ j
2 2
1
2
( sinh θ + sin θ)
r r r
r r sinhη cosθcosψi+ sinhηcosθsinψ j−coshηsinθk = =
r r r r
dir.
bulunur. ij
2 2
1
2
( sinh θ + sin θ)
( 2.6.5 )
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile,
( )
g = g = a sinh θ+ sin θ g = a sinh ηsin θ
2 2 2 2 2 2
11 22 33
g = g = g = g = g = g = 0
12 13 21 23 31 32
g ⎡
⎣
⎤
⎦ matrisi ve bu matrisin determinantı;
( θ + θ)
2 2 2
⎡asinh sin 0 0 ⎤
⎢ ⎥
2 2 2
g ⎢
ij
0 a ( sinh θ sin θ)
0 ⎥
⎣
⎡
⎦
⎤ = +
⎢ ⎥
2 2 2
⎢ 0 0 a sinh η sin θ ⎥
⎣ ⎦
( )
⎡
⎣
⎤
⎦
= ⋅ η + θ η θ
3 2 2
det gij a sinh sin sinh .sin
( 2.6.8 )
, ( 2.6.9 )

olarak bulunur.
Bu koordinat sisteminde;
Yay elemanı;
30
2 2 2 2 2 2
( ds) = a ( sinh θ+ sin θ) ⎡( dη ) + ( dθ ) ⎤+
a sinh ηsin θ( dψ)
2 2 2 2
Hacim elmanı;
Alan elemanı;
( )
⎣ ⎦
2 2 2
dV a sinh sin a sinh sin d d d
( 2.6.10 )
= θ + θ η θ η θ ψ
( 2.6.11 )
( )
2 2 2
dA a sinh sin d d
= θ + θ η θ
( 2.6.12 )
∇ ur operatörü;
ur 1
∇=
2 2
a ( sinh θ + sin θ) ∂ r
e
1
+
2 2
a ( sinh θ + sin θ)
∂ r
e
1 ∂ r
+
eψ
a sinhηsinθ ∂ψ
şeklindedir.
( η θ ψ )
1
η
1
θ
∂η∂θ 2 2
( 2.6.13 )
f = f , , bir skaler fonksiyon ve E ur parabolik küresel koordinatlardaki
skaler bileşenleri E,E,E
η θ ψ bir vektör olmak üzere,
f fonksiyonunun Gradyenti;
uuuur ur 1 ⎡∂f r ∂f r ⎤ 1 ∂f
r
gradf =∇ f = ⎢ eη + eθ eψ
η θ
⎥+
( 2.6.14 )
∂ ∂ a sinhηsinθ ∂ψ
a sinh sin
⎣ ⎦
( ) 1
2 2
θ + θ 2
E ur vektörünün Diverjansı;
ur ur ur 1
divE =∇ .E ==
a sinh sin
2 2
( η + θ )
1 1
⎪⎧ 1 ∂ ⎡ 2 2 ⎤ 1 ∂ ⎡
2 2 2 ⎤⎫⎪
2
⎨ ⎢( sinh η+ sin θ) sinhηEη⎥+ ⎢( sinh θ + sin θ) sinθEθ⎥⎬ ⎪⎩sinhη ∂η ⎣ ⎦ sinθ
∂θ
⎣ ⎦⎪⎭
1 ∂Eψ
+
a sinhηsinθ ∂ψ
( 2.6.15
)

E ur vektörünün Rotasyoneli;
ur ur ur
1
RotE =∇ xE =
2 2
a ( sinh θ + sin θ) sinhηsinθ sinh θ sin θ
r
e sinh θ sin θ
r
e
r
sinhηsinθe f fonksiyonunun Laplasyeni ;
31
1 1
2
η
2
θ ψ
2 2 2 2
( + ) ( + )
∂ ∂ ∂
∂η ∂θ ∂ψ
1 1
η
2
θ
2
ψ
2 2 2 2
( ) ( )
E sinh η + sin θ E sinh η+ sin θ E sinhη⋅sinθ ⎧ ⎫
⎨ ⎬
a sinh + sin ⎩∂η∂η ∂θ ∂θ⎭
2 2
2
1 ∂ f ∂f ∂ f ∂f
∇ f = + cothη + + cotθ
2 2 2
2 2
( θ θ)
∂
+
a sinh θ + sin θ ∂ψ
olarak ifade edilir.
1
2
f
2 2 2 2
( 2.6.16 )
( 2.6.17 )

2.7. Oblate Küresel Koordinatlar
u
u
u
1
2
3
= η
= θ
= ψ
0 ≤ η

33
Bu koordinatlarla kartezyen koordinatlar arasında,
2 2 2
x y z
+ + = 1
2 2 2 2 2 2
a cosh η a cosh η a sinh η
2 2 2
x y z
+ − = 1
2 2 2 2 2 2
a sin θ a sin θ a cos θ
bağıntıları vardır.
( 2.7.3 )
P(x,y,z) noktasının
r r r r
r = xi + yj + zk yer vektörünün Oblate Küresel
Koordinatlardaki ifadesi
r r r
r = a coshη sinθcosψi+ a coshηsinθsinψ j+ a sinhηcosθ ise; metrik katsayılar ve η, θψ , nin artan yöndeki birim vektörleri,
( 2.7.4 )
r r r
1 1
∂r 2 2 ∂r 2 2 2 ∂r
2
h1 = = a(cosh η− sin θ) , h2 = = a(cosh η− sin θ) , h3 = = a cosh η.sinθ 2.7.5
∂η ∂θ ∂ψ
ve
r r r
r r sinhη sinθcosψi+ sinhηsinθsinψ j+ sinhηcosθk e1= eη=
1
2 2 2
(cosh η−sin θ)
r r
r r coshη cosθ cosψi+ coshηcosθsinψ j−sinhηsinθ e2= eθ=
1
2 2 2
(cosh η−sin θ)
r r r r
ψ ψ
e3= eψ=− sin i+ cos j
dir.
( 2.7.6 )
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu
koordinat sisteminde,
ve ij g
( )
g g a sinh sin
2 2 2
11 = 22 = θ+ θ
⎡
⎣
⎤
⎦ matrisi ve bu matrisin determinantı;
2 2 2
33 = ⋅ η⋅ θ ( 2.7.7 )
g a sinh sin
2 2 2
⎡a (cosh η−sin θ)
⎢
⎡
⎣g⎤ ij⎦
= ⎢ 0
⎢
⎣ 0
0
2 2 2
a (cosh η−sin θ)
0
0 ⎤
⎥
0 ⎥
2 2 2
a cosh η sin θ ⎥
⎦
3 2 2
det ⎡
⎣g⎤ ij⎦
= a ( sinh η+ sin θ) sinhηsinθ olarak bulunur.
, ( 2.7.8 )
( )

Bu koordinat sisteminde,
Yay elemanı;
34
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ds) = a (cosh η−sin θ)[(d η ) + (d θ ) ] + a cosh ηsin θ(d ψ )
( 2.7.9 )
Hacim elmanı;
Alan elemanı;
∇ ur operatörü;
3 2 2
dV a (cosh sin )cosh sin d d d
= η − θ η θ η θ ψ
( 2.7.10 )
2 2 2
dA a (cosh sin )d d
= η − θ η θ
( 2.7.11 )
ur
∇=
1 ∂ r
e +
1 ∂ r
e
a(cosh η−sin θ) a(cosh η−sin θ)
1 ∂ r
+
eψ
acoshηsinθ ∂ψ
şeklinde verilir.
1
η
1
θ
2 2 ∂η 2 2 2 ∂θ
2
( η θ ψ )
( 2.7.12 )
f = f , , ve E ur Obleyt Küresel koordinatlardaki skaler bileşenleri
E,E,E
η θ ψ bir vektör olmak üzere,
f fonksiyonunun Gradyenti;
uuuur ur 1 ∂f r ∂f r 1 r ∂f
gradf =∇ .f = [ e e ] e
1
η + θ +
ψ
2 2 ∂η ∂θ acoshηsinθ ∂ψ
2
a[(cosh η−sin θ)]
E ur vektörünün Diverjansı;
divE =∇ E =
2 2
a(cosh η sin θ)
( 2.7.13 )
ur ur ur
1
−
1 1
⎧⎪ 1 ∂ ⎡ 2 2 ⎤ 1 ∂ ⎡
2 2 2 ⎤⎫⎪
2
⎨ ⎢( cosh η− sin θ) coshηEη⎥+ ⎢( cosh η−sin θ) sinθEθ⎥⎬ ⎪⎩ coshη ∂η ⎣ ⎦ sinθ
∂θ
⎣ ⎦⎪⎭
1 ∂Eψ
+
acoshηsinθ ∂ψ
( 2.7.14)

E ur vektörünün Rotasyoneli;
ur
1
rotE =
2 2
a(cosh η−sin θ)coshηsinθ (cosh sin
r
) e a (cosh sin
r
) e cosh
r
sin e
∂ ∂ ∂
∂η ∂θ ∂ψ
35
1 1
2
η− 2 2 θ η θ
2
η− 2 2 θ θ η θ ψ
1 1
η
2
−
2 2
θ
2
−
2 2
ψ
E (cosh η sin θ) E (cosh η sin θ) E coshηsinθ f fonksiyonunun Laplasyeni ;
⎧ ⎫
⎨ ⎬
a (cosh η −sin θ) ⎩∂η ∂η ∂θ ∂θ
⎭
2 2
2
1 ∂ f ∂f ∂ f ∂f
∇ φ = + tanhη + + cotθ
2 2 2 2 2
1
2
∂ f
2 2 2 2
+
a cosh η.sin θ ∂ψ
olarak ifade edilir.
( 2.7.15 )
( 2.7.16 )

2.8. Parabolik Koordinatlar
u
u
u
1
2
3
= µ
= ν
= ψ
0 ≤ µ

37
x = µν cosψ
y= µν sinψ
1 2 2
z = ( µ −ν)
2
bağıntıları ile bağlıdır.
Bu koordinatlarla kartezyen koordinatlar arasında,
( )
( )
2 2 2 2
x + y = µ µ −2z
2 2 2 2
x + y = ν ν + 2z
( 2.8.2 )
( 2.8.3 )
y
tanψ
=
x
bağıntıları vardır.
r r r r
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer vektörünün Parabolik Koordinatlardaki
ifadesi,
r r r 1 r
2 2
r = µν cosψ i+ µν sinψ j+ ( µ −ν)
k
2
( 2.8.4 )
ise; metrik katsayılar ve µ , νψ , nin artan yöndeki birim vektörleri;
ve
dir.
r r r
1 1
∂r 2 2 ∂r 2 2 2 ∂r
h 2
1 = = ( µ + ν ) , h 2 = = ( µ + ν ) , h3
= = µν
∂µ ∂ν ∂ψ
r r r
r r ν cosψi+ ν sinψ j+ µ k
= =
e1eµ e2eν 2 2
1
2
( µ + ν )
r r r
r r µ cosψ i + µ sinψ j−νk = =
2 2
1
2
( µ + ν )
r r r r
= =− ψ + ψ
e3eψ sin i cos j
( 2.8.5 )
( 2.8.6 )
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu
koordinat sisteminde,
ve ij
g g µ ν
2 2
11 = 22 = + ,
g µ ν
g ⎡
⎣
⎤
⎦ matrisi ve bu matrisin determinantı;
2 2
33 = ( 2.8.7 )

2 2
⎡µ + ν 0 0 ⎤
⎢ 2 2 ⎥
⎡
⎣g ⎤ ij⎦
= ⎢ 0 µ + ν 0 ⎥,
⎢ 2 2
0 0 µ ν ⎥
⎣ ⎦
olarak bulunur.
Bu koordinat sisteminde
Yay elemanı;
38
det g
2 2 2 2
( ds) = ( µ + ν ) ⎡( dµ ) + ( dν ) ⎤+
µ ν ( dψ
)
Hacim elmanı;
Alan elemanı;
∇ ur operatörü;
şeklindedir.
2 2 2 2
2 2 ( )
⎣ ⎦
dV µ ν µν dµ dνdψ µ + ν
µ ν
2 2
⎡
⎣
⎤ ij⎦ = 2 2
( 2.8.8 )
( 2.8.9 )
= + ( 2.8.10 )
2 2 ( )
dA µ ν dµ dν
= + ( 2.8.11 )
ur 1 ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ r
∇= e + e + e
( 2.8.12 )
1
η
1
µ ψ
∂η ∂θ µν ∂ψ
2 2
2 2 2 2
( µ + ν ) ( µ + ν )
( µ ν ψ )
f = f , , bir skaler fonksiyon ve E ur Parabolik Koordinatlardaki skaler
bileşenleri E µ ,E ν ,Eψ
bir vektör olmak üzere
f fonksiyonunun Gradyenti;
uuuur ur
gradf =∇ .f =
1
r
⎡∂f r ∂f r ⎤ eψ∂f ⎢ eµ + eν
+
∂µ ∂ν ⎥
⎣ ⎦ µν ∂ψ
E ur vektörünün Diverjansı;
( µ + ν )
( ) 1
2 2
µ + ν 2
( 2.8.13 )
ur ur ur
1 1
1 ⎡1 ∂ ⎡ ⎤ 1 ∂ ⎡ ⎤⎤
1 ∂E
divE =∇ .E == µ µ ν Eµ ν µ ν E 2.8.14
1 ⎢ ⎢ + ⎥+ ⎢ + ⎥⎥+
2 2 µ ∂µ ν ∂ν µι ∂ψ
2 ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎦
2 2 2 2 2 2
ψ
( ) ( ) ν
( )

1 1
µ
2
+
2 2
ν
2
+
2 2
ψ
39
E ur vektörünün Rotasyoneli;
ur ur ur
1
RotE =∇ xE =
2 2
a(cosh η − sin θ)coshηsinθ 1r 2 2 2 ( µ + ν ) e µ
1r
2 2 2 ( µ + ν ) eν r
µνeψ
.
∂
∂µ ∂
∂ν ∂
∂ψ
E ( µ ν ) E ( µ ν ) E µν
f fonksiyonunun Laplasyeni;
⎡∂ ∂ ∂ ∂ ⎤ ∂
⎢ ⎥
µ + η ⎣∂µ µ ∂µ ∂ν ν ∂ν ⎦ µ ν ∂ψ
2 2 2
2 1 f 1 f f 1 f 1 f
∇ f = + + + +
2 2 2 2 2 2 2
olarak ifade edilir.
( 2.8.15 )
( 2.8.16 )

2.9. Konikal Koordinatlar
1
u = r
2
u
u
3
= θ
= λ
0≤ r

41
bağıntıları vardır.
r r r r
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer vektörünün Konikal Koordinatlar
üzerindeki ifadesi,
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )( )
( )
( )( )
( )
r ⎛r. θλ . ⎞r
⎛r θ −b b −λ ⎞ r ⎛r c −θ c −λ
⎞ r
r = ⎜ ⎟i+
⎜ ⎟ j+ ⎜ ⎟ k
( 2.9.4 )
2 2 2 2 2 2
⎝ b.c ⎠ ⎜ b c −b ⎟ ⎜ c c −b
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ise; metrik katsayılar ve µ , νψ , nin artan yöndeki birim vektörleri,
r
∂r h1 = = 1,
∂µ ve
1
r 2 2 2 2
∂r ⎛ r ( θ −λ ) ⎞
h 2 = = ⎜ ⎟ , 2 2 2 2 ∂ν ⎜( θ b )( c θ ) ⎟
⎝
− −
⎠
1
r
2 2 2 2
∂r
⎛ r ( θ −λ
) ⎞
h ⎜ ⎟
3 = = 2 2 2 2
∂ψ
⎜( b −λ )( c −λ
) ⎟
⎝ ⎠
2.9.5
⎡
1
−
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
r r ⎢⎛θλ . ⎞r
1⎛r
θ −b b −λ ⎞ ⎛2r θ −b b −λ
⎞r
e1 = er = ⎜ ⎟i+
⎜ ⎟ ⎜ ⎟j
2 2 2 2 2 2
e2eθ ( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
⎢
⎢⎝ b.c ⎠
⎣
2 ⎜
⎝
b c −b ⎟
⎠
⎜
⎝
b c −b
⎤
⎟
⎠
1
−
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 ⎛r c −θ c −λ ⎞ ⎛2r c −θ c −λ ⎞r⎥
+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟k
2 2 2 2 2 2 ⎥
2 ⎜ c c −b ⎟ ⎜ c c −b
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥
⎦
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )( )
−
2
( )
r ( θ − λ )
2 2 2 2
( θ −b )( c −θ
)
( )( )
( )
r r
=
⎛ . λ ⎞r
1⎛r
⎜ ⎟i+
⎜
⎝b.c ⎠ 2 ⎜
=
⎝
θ −b b −λ 2 2 2
b c −b ⎞
⎟
⎠
⎛2r θ −b b −λ
⎜
2 2 2
⎜
⎝
b c −b
1
⎞r
⎟j
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
2 2 2 ⎞2
⎟
⎠
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( −θ )( −λ )
−
2 ( −θ )( −λ
)
2( 2
−
2) 2( 2
−
2)
1
2 2 2 ⎛ 2
r ( θ − λ ) ⎞
⎜ ⎟
2 2 2 2
⎜( θ −b )( c −θ
) ⎟
1 ⎛r c c ⎞ ⎛2r c c ⎞r
+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟k
2 ⎜ c c b ⎟ ⎜ c c b ⎟
+
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
( 2.9.6.a )
( 2.9.6.b
)
( )

e3eλ 42
⎡ ⎤
1
−
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎢⎛r. θ ⎞r
1 ⎛r θ −b b −λ ⎞ ⎛r θ −b b −2λ
⎞r
⎥
⎢⎜ ⎟i+
⎜ ⎟ ⎜ ⎟j+
2 2 2 2 2 2 ⎥
( )( )
( )
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( −θ )( −λ )
−
2 ( −θ )( − λ)
2( 2
−
2) 2( 2
−
2)
1
2 2 2
⎛ r ( θ − λ ) ⎞2
⎜ ⎟
2 2 2 2
⎜( b −λ ) ( c −λ
) ⎟
( )( )
( )
⎝b.c ⎠ 2 ⎜ b c −b ⎟ ⎜ b c −b
⎟
r r ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥
= =
⎣ ⎦
1
2 2 2 ⎛ 2
r ( θ − λ ) ⎞
⎜ ⎟
2 2 2 2
⎜( b −λ )( c −λ
) ⎟
⎝ ⎠
dir.
1 ⎛r c c ⎞ ⎛r c c 2 ⎞r
⎜ ⎟ ⎜ ⎟k
2 ⎜ c c b ⎟ ⎜ c c b ⎟
+
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
( 2.9.6.c )
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu
koordinat sisteminde,
dır. ij
( )
( )( )
( )
( )( )
2 2 2 2 2 2
r θ −λ r θ −λ
g11 = 1, g 22 = , g
2 2 2 2 33 = 2 2 2 2
θ −b c −θ b −λ c −λ
g ⎡
⎣
⎤
⎦ matrisi ve bu matrisin determinantı;
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢1 0 0 ⎥
⎢ ⎥
2 2 2
⎢ r ( θ − λ )
⎥
⎡
⎣g ⎤ ij⎦ = ⎢0 0
2 2 2 2
⎥
⎢ ( θ −b )( c −θ
)
⎥
⎢ 2 2 2 ⎥
⎢ r ( θ − λ ) ⎥
⎢
0 0
2 2 2 2
( b λ )( c λ
⎥
⎣
− − ) ⎦
2 2 2
r ( θ − λ )
( θ −b )( c −θ )( b −λ )( c −λ
)
det ⎡
⎣g⎤ ⎦ =
⎡
⎣
⎤
⎦
olarak bulunur.
ij 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( 2.9.7 )
( 2.9.8 )
( 2.9.9 )

Bu koordinat sisteminde
Yay elemanı;
2 2 2 2 2
( ds) ( dr) r ( θ b )
( )
43
( )
2 2
⎡ ⎤
dθ dλ
= + − ⎢ +
⎥
2 2 2 2 2 2 2 2
⎢⎣( θ −b )( c −θ ) ( b −λ )( c −λ
) ⎥⎦
Hacim elmanı;
1 1
⎛
= ⎜
2
r
2
2 2
θ −λ 2 2 2
⎞2 ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
2
r
2
2 2
θ −λ
2 2 2
⎞2
⎟
( )
( )( )
( )
( )( )
dV drdθdλ ⎝
θ −b c −θ ⎠ ⎝
b −λ c −λ
⎠
Alan elemanı;
2 2 2
1
2
r ( θ − λ )
2 2 2 2
( θ −b )( c −θ
)
⎛ ⎞
dA = ⎜ ⎟ drdθ
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( 2.9.10 )
( 2.9.11 )
( 2.9.12 )
∇ ur operatörü;
ur ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ r
∇= er+ e 1
θ +
e 1
ψ ( 2.9.13 )
∂r2 2 2 ∂θ 2 2 2 2 ∂λ
⎛ 2
r ( θ −λ ) ⎞ ⎛ r ( θ −λ
) ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2 2 2 2 2 2 2
⎜( θ −b )( c −θ ) ⎟ ⎜( b −λ )( c −λ
) ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( θ λ )
f = f r, , bir skaler fonksiyon ve E ur Konikal Koordinatlardaki skaler
bileşenleri r E,E,E θ λ bir vektör olmak üzere,
f fonksiyonunun Gradyenti;
uuuur ur ∂f
r 1
gradf =∇ .f = er
+
1
∂r
2 2
r
2 ( θ − λ )
1 1 1 1
⎧ r
2 2 2 2 2 ∂f r
2 2 2 2 2 2 ∂f
⎫
2
⎨( θ −b ) ( c − θ ) eθ + ( b −λ ) ( c −λ
) eλ
⎬
⎩ ∂θ ∂λ
⎭
E ur vektörünün Diverjansı;
ur ur ur 1 d 2 1
divE =∇ E == 2 ( r Er
) + 2 2
r dr r θ λ
( − )
1 1 1 1 1 1
⎧ ⎫
( 2.9.14 )
⎪ ∂ ⎡ ⎤ ∂ ⎡ ⎤⎪
⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎬
⎩⎪ ∂θ ⎣ ⎦ ∂λ
⎣ ⎦⎪⎭
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( θ −b2 ) ( c −θ 2 ) ⋅ ( θ − λ 2 2 2 2
) Eθ + ( b −λ ) ( c −λ ) ( θ −λ
) Eλ ( 2.9.15)

E ur vektörünün Rotasyoneli;
r
( 2.9.16 )
44
2 2 2 2 2 2 2 2
1
2
( θ −b )( c −θ )( b −λ )( c −λ
)
2 2 ( θ − λ )
ur ur ur ⎡ ⎤
RotE =∇ xE =
⎣ ⎦
r
er
r
1
2 2 ( θ −λ 2 )
( θ −b ) ( c −θ )
r
e
b
1 r
2 2
θ −λ
2
−λ c −λ
∂
.
∂r ∂
∂θ ∂
∂ψ
E
r
( )
( ) ( )
f fonksiyonunun Laplasyeni;
( ) eλ
( ) ( )
1 1
θ
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
Eθ 2 2
θ −λ 2 Eλ
2 2
θ −λ
2
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )
( ) ( )
θ −b c −θ b −λ c −λ
2 2
2 ∂ f 2 ∂f 1 ⎡ 2 2 2 2 ∂ f 2 2 2 ∂f
∇ f = + + 2 2 2 2 ( θ −b )( c −θ ) −θ ⎡2θ − 2 ( b + c ) ⎤
∂r r ∂r ⎢
r ( θ − λ ) θ ⎣ ⎦
⎣
∂ ∂θ
− −
∂ f
+ 2
∂λ ⎣
− +
∂f
⎤
⎦∂λ
⎥
⎦
olarak ifade edilir.
2
2 2 2 2 2 2 2
( b λ )( c λ ) λ⎡2λ ( b c ) ⎤
( 2.9.17)

2.10. Elipsoidal Koordinatlar
45
Şekil (2.10.1)
2a; elipsin asal eksen uzunluğu, 2b; elipsin yedek eksen uzunluğu, c elipsin
odak uzunluğu olmak üzere
u
u
u
1
2
3
= η
= θ
= λ
2 2
c < η

46
bağıntıları ile bağlıdır.
Bu koordinatlarla kartezyen koordinatlar arasında
2 2
x y
+ 2 2 2
η η −b 2
z
+ 2 2
η −c
= 1
2 2
x y
+ 2 2 2
θ θ −b 2
z
+ 2 2
θ −c
= 1
( 2.10.2 )
2 2 2
x y z
+ + = 1
2 2 2 2 2
λ b −λ c −λ
bağıntıları vardır.
r r r r
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer vektörünün Elipsiodal Koordinatlardaki
ifadesi,
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )
r ⎛ηθλ ⎞r
⎛ η −b θ −b b −λ ⎞ r ⎛ η −c c −θ c −λ
⎞ r
r = ⎜ ⎟.i
+ ⎜ ⎟ .j + ⎜ ⎟ .k
2 2 2 2 2 2
⎝ bc ⎠ ⎜ b c −b ⎟ ⎜ c c −b
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( 2.10.3 )
ise metrik katsayılar ve η, θλ , nin artan yöndeki birim vektörleri;
1 1
r 2 2 2 2 r
2 2 2 2 2 2
∂r ⎛( η −θ )( η −λ ) ⎞ ∂r
⎛( θ −λ )( η −θ ) ⎞
h 1 = = ⎜ ⎟ , h 2 2 2 2 2 = = ⎜ ⎟ ,
2 2 2 2
∂µ ⎜( b )( c ) ⎟ ∂ν ⎜ ( b )( c ) ⎟
⎝
η − η −
⎠ ⎝
θ − −θ
⎠
1
r
2 2 2 2 2
∂r
⎛( η −λ )( θ −λ ) ⎞
h 3 = = ⎜ ⎟
2 2 2 2
∂ψ ⎜( b −λ )( c −λ ) ⎟
⎝ ⎠
ve
r
e
η
2 2 2 2 2 2 ( η −b )( θ −b )( b −λ )
−
2
2 2 2 2 2
( 2η−b )( θ −b )( b −λ
)
2( 2
−
2) 2( 2
−
2)
1
2 2 2 2 ⎛ 2
( η −θ )( η −λ
) ⎞
⎜ ⎟
⎜ 2 2 2 2
( η −b )( η −c
) ⎟
⎛θλ ⎞r
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r
⎜ ⎟i+
⎜ ⎟ ⎜ ⎟j
⎝ bc ⎠ 2 ⎜ b c b ⎟ ⎜ b c b ⎟
=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
1
2 2 2 2 2 2 ( η −c )( c −θ )( c −λ )
−
2
2 2 2 2 2
( 2η−c )( c −θ )( c −λ
)
2( 2
−
2) 1
2 2 2 2
⎛( η −θ )( η −λ
) ⎞2
⎜ ⎟
2 2 2 2
⎜ ( η −b) ( η −c)
⎟
2( 2
−
2)
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r
⎜ ⎟ ⎜ ⎟k
2 ⎜ c c b ⎟ ⎜ c c b ⎟
+
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
1
( 2.10.4 )
( 2.10.5.a )

e
θ
47
2 2 2 2 2 2 ( η −b )( θ −b )( b −λ )
−
2 2 2 2 2 2
( η −b )( θ −b )( b −2λ)
2( 2
−
2) 2( 2
−
2)
1
2 2 2 2 ⎛ 2
( η −λ )( θ −λ
) ⎞
⎜ ⎟
2 2 2 2
⎜ ( b −λ )( c −λ
) ⎟
⎛ηθ ⎞r
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r
⎜ ⎟.i
+ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟.j
⎝ bc ⎠ 2 ⎜ b c b ⎟ ⎜ b c b ⎟
=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
1
2 2 2 2 2 2 ( η −c )( c −θ )( c −λ )
−
2 2 2 2 2 2
( η −c )( c −θ )( c −2λ)
2( 2
−
2) 1
2 2 2 2
⎛( η −λ )( θ −λ
) ⎞2
⎜ ⎟
2 2 2 2
⎜ ( b −λ )( c −λ
) ⎟
2( 2
−
2)
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r
⎜ ⎟ . ⎜ ⎟k
2 ⎜ c c b ⎟ ⎜ c c b ⎟
+
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r
e
λ
dir.
⎝ ⎠
1
2 2 2 2 2 2 ( η −b )( θ −b )( b −λ )
−
2 2 2 2 2 2
( η −b )( 2θ −b )( b −λ
)
2( 2
−
2) 2( 2
−
2)
1
2 2 2 2 ⎛ 2
( θ −λ )( η −θ
) ⎞
⎜ ⎟
⎜ 2 2 2 2
( θ −b )( c −θ
) ⎟
⎛ηλ ⎞r
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r
⎜ ⎟.i
+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟.j+
⎝ bc ⎠ 2 ⎜ b c b ⎟ ⎜ b c b ⎟
=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
1
2 2 2 2 2 2 ( η −c )( c −θ )( c −λ )
−
2 2 2 2 2 2
( η −c )( c −2θ)( c −λ
)
2( 2
−
2) 1
2 2 2 2
⎛( θ −λ )( η −θ
) ⎞2
⎜ ⎟
2 2 2 2
⎜ ( θ − b ) ( c −θ
) ⎟
2( 2
−
2)
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r
⎜ ⎟ ⎜ ⎟k
2 ⎜ c c b ⎟ ⎜ c c b ⎟
+
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
1
( 2.10.5.b)
( 2.10.5.c)
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu
koordinat sisteminde
g
2 2 2 2
( η −θ )( η −λ )
( b )( c )
= η − η −
11 2 2 2 2
( 2.10.6 )
dır. ij g
g
2 2 2 2
( θ −λ )( η −θ )
( b )( c )
= θ − −θ
22 2 2 2 2
⎡
⎣
⎤
⎦ matrisi ve bu matrisin determinantı;
,
g
=
2 2 2 2
( η −λ )( θ −λ )
( b −λ )( c −λ )
33 2 2 2 2
,

2 2 2 2
( η −θ )( η −λ
)
2 2 2 2
( η −b )( η −c
)
⎡ ⎤
⎢ 0 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
2 2 2 2
⎢ ( θ −λ )( η −θ
)
⎥
⎡
⎣g ⎤ ij⎦ = ⎢ 0 0
2 2 2 2
⎥
⎢ ( θ −b )( c −θ
)
⎥
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎢ ( η −λ )( θ −λ
) ⎥
⎢
0 0
2 2 2 2
( b λ )( c λ
⎥
⎣
− − ) ⎦
det ij g
48
( )( )( )
2 2 2 2 2 2
η −θ η −λ θ −λ
⎡
⎣
⎤
⎦ =
⎡( η −b )( η −c )( θ −b )( c −θ )( b −λ )( c −λ ) ⎤
⎣ ⎦
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
2
olarak bulunur.
Bu koordinat sisteminde,
Yay elemanı;
( )
Hacim elmanı;
( )( )
( )( )
2 2 2 2
( η −λ )( θ −λ )
2 2 2 2
( b −λ )( c −λ )
( )( )
( )( )
ds
⎡ η −θ
⎢⎣ η −b η −λ
η −c ⎤
⎥⎦ d
⎡ θ −λ
⎢⎣ θ −b η −θ
c −θ
⎤
⎥⎦
d
⎡
+ ⎢
⎢⎣ ⎤ 2
⎥(
dλ)
⎥⎦
2 2 2 2 2 2 2 2
2
= ⎢
2 2 2 2
⎥( 2
η ) + ⎢
2 2 2 2
⎥(
2
θ)
1 1 1
2 2 ⎛ η −θ = ⎜ 2 2
2 2
η −λ 2 2
⎞2 ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
2 2
θ −λ 2 2
2 2
η −θ 2 2
2 2 2 ⎞ ⎛ η −λ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ 2 2
2 2
θ −λ
2 2
⎞2
⎟
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
, ( 2.10.7 )
( 2.10.8 )
( 2.10.9 )
( )
dV dηdθdλ 2.10.10
⎝
η −b η −c ⎠ ⎝
θ −b c −θ ⎠ ⎝
b −λ c −λ
⎠
Alan elemanı;
1 1
2 2 ⎛ η −θ = ⎜ 2 2
2 2
η −λ 2 2
⎞2⎛ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
2 2
θ −λ 2 2
2 2
η −θ
2 2
⎞2
⎟
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
dA d η.dθ ⎝
η −b η −c ⎠ ⎝
θ −b c −θ
⎠
( 2.10.11
)

49
∇ ur operatörü;
ur
∇=
1 ∂ r
e +
1 ∂ r
e
⎛( η −θ )( η −λ ) ⎞
⎜ ⎟
2 2 2 2 ⎜ ( η b )( η c ) ⎟
⎝
− −
⎠
⎛( θ −λ )( η −θ
) ⎞
⎜ ⎟
2 2 2 2
⎜ ( θ b )( c θ ) ⎟
⎝
− −
⎠
1 ∂ r
+
e 1
λ
2 2 2 2 ∂λ
⎛ 2
( η −λ )( θ −λ
) ⎞
⎜ ⎟
2 2 2 2
⎜ ( b −λ )( c −λ
) ⎟
⎝ ⎠
1
η
1
θ
2 2 2 2 ∂η 2 2 2 2 2 ∂θ
2
( η θλ)
( 2.10.12 )
f = f , , bir skaler fonksiyon ve E ur Konikal Koordinatlardaki skaler
bileşenleri E η ,E θ,Eλ bir vektör olmak üzere,
f fonksiyonunun Gradyenti;
1 1
2 2
−b 2 2
−c 2 2 2
−b 2
c −
2 2
2 2 2 2
η
2 2 2 2
θ
( )( )
( )( )
2 2 2 2
1
2
( b )( c )
2 2 2 2
( η −λ )( θ −λ
)
( )( )
( )( )
uuuur ur ⎡ η η ⎤ r ∂φ ⎡ θ θ ⎤ r ∂φ
gradf =∇ .f = ⎢ ⎥ e + ⎢ ⎥ e
⎢ η −θ η −λ ⎥ ∂η ⎢ θ −λ η −θ
⎥ ∂θ
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ −λ −λ ⎤ r ∂φ
+ ⎢ ⎥ eλ
⎢ ⎥ ∂λ
⎣ ⎦
E ur vektörünün Diverjansı;
2 ( η
2 2
b ) ( η
2
c )
2 ( η
2 2
θ )( η
2
λ )
2 ( θ
2 2
b ) ( c
2
θ )
2 ( η
2 2
θ )( θ
2
λ )
2 ( b
2 2
λ ) ( c
2
λ )
2 ( η
2 2
λ )( θ
2
λ )
1 1
2 2
∂
1
2
1
2
ur ur ur − − ⎡ 2 2 2 2 ⎤
divE =∇ .E == ⎢( η −θ ) ( η −λ
) Eη
⎥
− − ∂η
⎣ ⎦
1 1
2 2
∂
1
2
1
2
− − ⎡ 2 2 2 2 ⎤
+ ⎢( η −θ ) ( θ −λ
) Eθ
⎥
− − ∂θ
⎣ ⎦
1 1
2 2
∂
1
2
1
2
− − ⎡ 2 2 2 2 ⎤
+ ⎢( η −λ ) ( θ −λ
) Eλ
⎥
− − ∂λ
⎣ ⎦
( 2.10.13 )
( 2.10.14
)

E ur vektörünün Rotasyoneli;
50
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
2
( η −b )( η −c )( θ −b )( c −θ )( b −λ )( c −λ
)
2 2 ( η −θ
)
ur ⎡ ⎤
rotE =
⎣ ⎦
1 1 1
2
−
2
2
2
2
−
2
2
2
2 r
eη 2
−
2
2
2
2
−
2
2
2
2 r
eθ 2
−
2
2
2
2
−
2
2
2
2 r
eλ
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
⎡ η θ
⎢
⎢⎣ η −b θ λ
η −c ⎤
⎥
⎥⎦ ⎡ θ λ
⎢
⎢⎣ θ −b η θ
c −θ ⎤
⎥
⎥⎦ ⎡ η λ
⎢
⎢⎣ b −λ θ λ
c −λ
⎤
⎥
⎥⎦
.
∂
∂η ∂
∂θ ∂
∂λ
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( )( )
( )( )
⎡ η −θ θ −λ ⎤ ⎡ θ −λ η −θ ⎤ ⎡ η −λ θ −λ
⎤
Eη ⎢ ⎥ E E
2 2 2 2 θ ⎢ ⎥
2 2 2 2 λ ⎢
⎥
2 2 2 2
⎢⎣ η −b η −c ⎥⎦ ⎢⎣ θ −b c −θ ⎥⎦ ⎢⎣
b −λ c −λ
⎥⎦
f fonksiyonunun Laplasyeni;
1 1
2 2 1 1
2 2 2 2 2 2 2
( 2 2) ( 2 2)
( 2 2)( 2 2)
η −b η −c ∂ ⎡ ∂f⎤
∇ f = ⎢( η −b ) ( η −c
) ⎥
η −θ η −λ ∂η ⎣ ∂η⎦
1 1
2 2 1 1
2 2
( 2 2) ( 2 2)
( 2 2)( 2 2)
θ −b c −θ ∂ ⎡ 2 2 2 2 ∂f⎤
+ ⎢( θ −b ) ( c −θ ) ⎥
η −θ θ −λ ∂θ⎣∂θ⎦ 1 1
2 2 1 1
2 2
( 2 2) ( 2 2)
( 2 2)( 2 2)
b −λ c −λ ∂ ⎡ 2 2 2 2 ∂f
⎤
+ ⎢( b −λ ) ( c −λ ) ⎥
η −λ θ −λ ∂λ⎣∂λ⎦ olarak ifade edilir.
( 2.10.16 )
1
2

2.11. Parabolidial Koordinatlar
u
u
u
1
2
3
= µ
= ν
= λ
b < µ b > λ > c> ν > 0
bağıntıları ile bağlıdır.
Bu koordinatlarla kartezyen koordinatlar arsında,
( 2.11.2 )

52
2 2
x y
+ =−4( z−µ
)
µ −b µ −c
2 2
x y
+ =−4( z−ν)
( 2.11.2 )
b−ν c−ν
2 2
x y
+ =−4( z−λ)
b−λ λ−c
bağıntıları vardır.
r r r r
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer vektörünün Paraboloödial Koordinatlar
üzerindeki ifadesi,
( )( )( )
( )
r
+ ( µ + ν + λ−b−c)
k
1 1
2 2
r ⎛ 4 ⎞ r ⎛ 4
⎞ r
r = ⎜
µ −b b−ν b − λ ⎟ .i+ ⎜ ( µ −c)( c−ν)( c −λ)
⎟ .j
b−c ⎟ ⎜( b−c) ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ise; metrik katsayılar ve µ , ν, λ nin artan yöndeki birim vektörleri,
r
e
µ
1 1
r r
2 2
∂r ⎛( µ −ν )( µ −λ ) ⎞ ∂r
⎛( µ −ν)( λ−ν) ⎞
h 1 = = ⎜ ⎟ , h 2 = = ⎜ ⎟ ,
∂µ ⎜ ( µ b)( µ c) ⎟ ν ⎜ ( b ν)( c ν)
⎟
⎝ − − ⎠ ∂ ⎝ − − ⎠
1
r
2
∂r
⎛( λ−ν )( µ −λ)
⎞
h3
= =⎜ ⎟
∂ψ ⎜ ( b−λ)( λ−c)
⎟
⎝ ⎠
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4
⎞r
⎜ b b b ⎟ ⎜ b b ⎟.i
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c
=
⎠
( −
( µ −
)
)( −ν)( −λ) ( −
(
)
−ν)( −λ)
1
⎛ 2
( µ −ν )( µ −λ)
⎞
⎜ ⎟
( µ −b)( µ −c)
1
−
2
⎝ ⎠
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4
⎞r
r
+ ⎜ −c c− c− ⎟ ⎜ c− c − ⎟.j+
k
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c
⎠
( −
( µ
)
)( ν)( λ) ( −
(
)
ν)( λ)
1
⎛ 2
( µ −ν )( µ −λ)
⎞
⎜ ⎟
( µ −b)( µ −c)
1
−
2
⎝ ⎠
( 2.11.3 )
( 2.11.4 )
( 2.11.5.a
)

e
ν
r
e
λ
dir.
1
−
2
53
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4
⎞r
⎜ b b b ⎟ ⎜ b 1 b ⎟.i
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c
=
⎠
( −
( µ −
)
)( −ν)( −λ )
( −
( µ −
)
)( − )( −λ)
1
⎛ 2
( λ−ν )( µ −λ)
⎞
⎜ ⎟
( b−λ)( λ−c)
⎝ ⎠
1
−
2
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4
⎞r
r
+ ⎜ −c c− c− ⎟ ⎜ −c −1 c − ⎟.j+
k
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c
⎠
( −
( µ
)
)( ν)( λ )
( −
( µ
)
)( )( λ)
1
⎛ 2
( λ−ν )( µ −λ)
⎞
⎜ ⎟
( b−λ)( λ−c)
⎝ ⎠
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4
⎞r
⎜ b b b ⎟ ⎜ b b 1 ⎟.i
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c
=
⎠
1
−
2
( −
( µ −
)
)( −ν)( −λ )
( −
( µ −
)
)( −ν)( − )
1
⎛ 2
( λ−ν )( µ −λ)
⎞
⎜ ⎟
( b−λ)( λ−c)
⎝ ⎠
1
−
2
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4
⎞r
r
+ ⎜ −c c− c− ⎟ ⎜ −c c− − 1 ⎟.j+
k
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c
⎠
( −
( µ
)
)( ν)( λ )
( −
( µ
)
)( ν)(
)
1
⎛ 2
( λ−ν )( µ −λ)
⎞
⎜ ⎟
( b−λ)( λ−c)
⎝ ⎠
( 2.11.5.b )
( 2.11.5.c )
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu
koordinat sisteminde,
g11
ve ij g
( µ−ν )( µ−λ)
( b)( c)
= µ− µ−
g22
=
( µ −ν)( λ−ν)
( b−ν)( c−ν
)
⎡
⎣
⎤
⎦ matrisi ve bu matrisin determinantı;
( µ −ν )( µ −λ)
( µ −b)( µ −c)
g33
=
( λ −ν )( µ−λ)
( b − λ)( λ−c)
⎡ ⎤
⎢ 0 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ( µ −ν)( λ−ν) ⎥
⎡g ⎢ ij 0 0 ⎥
⎣
⎤
⎦ =
⎢ ( b−ν)( c−ν)
⎥
⎢ ⎥
⎢ ( λ −ν )( µ −λ)
0 0
⎥
⎢ ( b −λ)( λ−c)
⎥
⎣ ⎦
( 2.11.6 )
, ( 2.11.7
)

det[ g ] = g
olarak bulunur.
1
2
( η θλ)
54
( µ−ν )( µ−λ)( λ−ν)
( µ− b)( µ−c)( b−ν)( c−ν)( b−λ)( λ−c)
=
⎡⎣ ⎤⎦
1
2
( 2.11.8 )
f = f , , ve E ur Parabolidial Koordinatlardaki skaler bileşenleri E ,E ,E
bir vektör olmak üzere,
Yay elemanı;
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
µ ν λ
2 ⎡ µ −ν µ −λ ⎤ 2 ⎡ µ −ν λ−ν ⎤ 2 ⎡ λ−ν µ −λ
⎤ 2
ds = ⎢ ⎥( dµ ) + ⎢ ⎥( dν) + ⎢ ⎥ dλ 2.11.9
⎣ µ −b µ −c ⎦ ⎣ b−ν c−ν ⎦ ⎣ b−λ λ−c
⎦
Hacim Elemanı;
( )( )
( )( )
1 1 1
2 2 2
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
⎛
dV = ⎜
⎝
µ −ν µ −b µ −λ ⎞
⎟
µ −c ⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
µ −ν b−ν λ−ν ⎞ ⎛
⎟ ⎜
c−ν ⎟ ⎜
⎠ ⎝
λ−ν b−λ µ −λ
⎞
⎟
λ−c
⎟
⎠
dµ dνdλ Alan Elemanı;
( )( )
( )( )
1 1
2 2
( )( )
( )( )
⎛ µ −ν µ −λ ⎞ ⎛ µ −ν λ−ν ⎞
dA = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d µ .dν
µ −b µ −c ⎟ ⎜ b−ν c−ν
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∇ ur Operatörü
ur
∇=
1 ∂ r
e +
1 ∂ r
e
⎛( µ −ν )( µ −λ ) ⎞
⎜ ⎟
⎝ ( µ −b)( µ −c) ⎠
⎛( µ −ν)( λ−ν) ⎞
⎜ ⎟
⎝ ( b−ν)( c−ν)
⎠
1 ∂ r
+
e 1
λ
∂λ
⎛ 2
( λ−ν )( µ −λ)
⎞
⎜ ⎟
⎝ ( b−λ)( λ−c)
⎠
f fonksiyonunun Gradyenti;
( )( )
( )( )
( λ)( λ )
( )( )
1
2
1
µ
1
ν
∂µ ∂θ
2 2
1 1
2 2
( )( )
( )( )
uuuur ur ⎡ µ −b µ −c ⎤ r ∂f ⎡ b−ν c−ν
⎤ r ∂f
gradf =∇ f = ⎢ ⎥ eµ + ⎢ ⎥ eν
⎣ µ −ν µ −λ ⎦ ∂µ ⎣ µ −ν λ−ν ⎦ ∂ν
⎡ b− −c ⎤ r ∂f
+ ⎢ ⎥ eλ
⎣ λ−ν µ −λ ⎦ ∂λ
( ) ( )
( 2.11.10 )
( 2.11.11 )
( 2.11.12 )
( 2.11.13
)

E ur vektörünün Diverjansı;
1 1
2 2
( b ν ) ( c ν )
( )( )
1 1
2 2
( b λ) ( λ c)
( )( )
1 1
2 2
( µ b) ( µ c)
( )( )
55
ur − − 1 1
∂ ⎡ ⎤
divE = ( µ −ν ) 2 ( µ − λ)
2 E µ
µ −ν µ − λ ∂µ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
− − 1 1
∂ ⎡ ⎤
+ ( µ −ν ) 2 ( λ −ν
) 2 E ν
µ −ν λ −ν ∂ν ⎢ ⎥
⎣ ⎦
− − 1 1
∂ ⎡ ⎤
+ ( µ − λ) 2 ( λ −ν
) 2 E λ
µ − λ λ −ν ∂λ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
E ur vektörünün Rotasyoneli;
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 1 1
2 2 2
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
⎡
⎢
⎣
µ −ν µ −b µ −λ ⎤
⎥
µ −c ⎦
uur
eµ ⎡
⎢
⎣
µ −ν b−ν λ−ν ⎤
⎥
c−ν ⎦
uur
eν ⎡ λ−ν ⎢
⎣ b−λ µ −λ
⎤
⎥
λ−c
⎦
uur
eλ
∂ ∂ ∂
∂µ ∂ν ∂λ
1 1 1
2 2 2
( )( )
( )( )
⎡ µ −ν µ −λ ⎤ ⎡ µ −ν λ−ν ⎤ ⎡ λ−ν µ −λ
⎤
Eµ ⎢ ⎥ Eν ⎢ ⎥ Eλ
⎢ ⎥
⎣ µ −b µ −c ⎦ ⎣ b−ν c−ν ⎦ ⎣ b−λ λ−c
⎦
f fonksiyonunun Laplasyeni;
2
∇
⎡
=
1
⎤2
−
1
2 −
1
2
( b)( c)
( )( )
µ − µ − ∂ ⎡ ∂φ
⎤
φ ⎢ ⎥ ( µ b) ( µ c)
µ −ν λ−ν ∂µ ⎢
∂µ
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( b )( c )
( )( )
( b )( c)
( )( )
1
2 1 1
2 2
⎡ −ν −ν ⎤ ∂ ⎡ ∂φ⎤
+ ⎢ ⎥ ( b−ν) ( c−ν)
µ −ν λ−ν ∂ν ⎢
⎣ ∂ν
⎥
⎣ ⎦
⎦
1
2 1 1
2 2
⎡ −λ λ− ⎤ ∂ ⎡ ∂φ⎤
+ ⎢ ⎥ ( b−λ) ( λ−c)
µ −λ λ−ν ∂λ ⎢
⎣ ∂λ⎥
⎣ ⎦
⎦
olarak ifade edilir.
( µ −b)( µ −c)( b−ν)( c−ν)( b−λ)( λ−c)
( µ −ν )( µ −λ)( λ−ν) ur ur ur
⎡ ⎤
RotE =∇ xE =
⎣ ⎦
1
2
( 2.11.14 )
( 2.11.15 )
( 2.11.16 )

56
III. BÖLÜM
ÖZEL KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE HELMHOLTZ DENKLEMİNİN
AYRIŞTIRILMASI VE STACKEL MATRİSİ
3.1. Helmholtz Denklemi
Fizik, Mühendislik ve Uygulamalı Matematik alanında karşılaşılan diferansiyel
denklemlerden pek çoğu φ φ(
x,y,z,t )
= bir skaler fonksiyon ve k sabit olmak üzere
2 2
∇ φ+ k φ = f ( x,y,z,t)
( 3.1.1 )
şeklinde ifade edilebilir.
Örneğin;
f ( x,y,z,t) = 0 ise denklem Helmholtz veya Dalga Denklemi adını alır.
2
∇ φ = 0 ; Laplace Denklemi ( 3.1.2 )
2
∇ φ =− k ; Poisson Denklemi ( 3.1.3 )
1
∂φ
2
∇ φ = 2
h ∂ t
φ
2
1 ∂ φ
2 2
c ∂t
φ k φ 0
2
∇ =
; Düfizyon Denklemi ( ) 3.1.4
; Dalga Denklemi ( 3.1.5 )
2 2
∇ + = ; Helmholtz Denklemi ( 3.1.6 )
denklemleri bu türden ifade edilen denklemlerdir.
Bu denklemlerin ortak özellikleri lineer, ikinci dereceden ve kısmi türevli
diferansiyel denklemler olmalarıdır. Bu denklemler özel değerlerle ve ayrıştırmalarla
Helmholtz Denklemine indirgenebilirler.Helmholtz Denkleminin çözümleri yardımı ile
de bu denklemlerin çözümleri irdelenir.
3.2.Basit Ayrıştırma ve Stackel Matrisi
Eğer
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 3 3
φ = U u U u U u
( 3.2.1
)

alınması ile
ayrıştırma denir.
57
2
∇ φ = 0 denklemi üç adi denkleme ayrılabilirse bu ayrıştırmaya basit
Helmholtz Denklemi; φ skaler, f bir vektör fonksiyonu ve 2
∇ bir skaler
laplasyen olmak üzere
ve
2 2
∇ φ+ k φ = 0
( 3.2.2 )
r r
F k F 0
2 2
∇ + =
şeklinde verilir.
k=0 için Helmholtz Denklemi Laplace Denklemine dönüşür.
2 1 ⎡ ∂ ⎛h.h 2 3 ∂ ⎞ ∂ ⎛h.h 1 3 ∂ ⎞ ∂ ⎛h.h 1 3 ∂ ⎞⎤
∇ = ⎢ 1⎜ 1⎟+ 2 ⎜ 2 ⎟+ 3 ⎜ 3 ⎟⎥
h.h.h 1 2 3 ⎣∂u⎝ h1 ∂u⎠ ∂u⎝ h2 ∂u⎠ ∂u⎝ h2 ∂u⎠⎦
1 2 3
olmak üzere φ φ(
u,u,u)
için
= ve
h.h.h= g
1 2 3
1 1 1
⎡ 1 ⎛
2 1⎞ ⎛
2 2 ⎞ ⎛
2 3 ⎞⎤
−
2 1 ∂ g dU 1 ∂ g dU 1 ∂ g dU
2 ∇ φ = g
⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥
⎢
+ +
1 1 1 2 2 2 3 3 3
U ∂u ⎜g11 du ⎟ U ∂u ⎜g22du ⎟ U ∂u
⎜g22 du ⎟⎥
⎢
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦
dır.
2
∇ φ =
Böylece
1
1 ⎛ 3 2 i ⎞
− 1 ∂ g dU
2 g
⎜
.
⎟
i i i
i= 1U ∂u ⎜gii du ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2
( 3.2.3 )
( 3.2.4 )
( 3.2.5 )
∑ ( 3.2.6 )
2 2
∇ φ+ k φ = 0 şeklinde ifade edilen Helmholtz Denklemi
⎛ ⎞
1
−
3
2 g
i= 1
1
i
U
1
2 i
∂ ⎜g dU 2
.
⎟
+ k φ = 0
i i
u ⎜gii du ⎟
∑ ( 3.2.7 )
∂ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
şeklinde yazılır. Burada k zamanı içeren terimlerin ayrılmasından elde edilen ayırma
sabitidir. Bu denklem bazı koordinat sistemlerinde ayrılabilir. Helmholtz Denkleminin
basit ayrılabilmesi için bir koordinat sisteminin sağlaması gereken koşulları
inceleyelim.
Üç fonksiyonun çarpımı olarak ifade edilen
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 3 3
φ = U u U u U u
( 3.2.8
)

fonksiyonu ( 3.2.6) de yerine yazılırsa,
⎛ ⎞
1
−
3
2 g .
i= 1
1
i
U
1
2 i
∂ ⎜g dU 2
.
⎟
+ k = 0
i i
u ⎜gii du ⎟
∂ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
58
∑ ( 3.2.9 )
elde edilir. ( 3.2.9 ) denklemi parantezin içindeki her nicelik bir tek bağımsız değişkene
göre yazılamazsa denklem ayrıştırılmaz. Bu koşul genel olarak sağlanmayabilir.
Çünkü
1
2 g ve ii
g
g üç koordinatın fonksiyonları olabilir. Fakat
g
durumlarda ( 3.2.9) denklemi
sabit dU
1 3
i
2
2
g + k = 0
i i
i= 1 U du
1
2
ii
nin sabit olduğu özel
∑ ( 3.2.10 )
olur. Burada toplamın her terimi bir bağımsız değişkenin fonksiyonudur. Diğer bir özel
durum
g
g
1
2
ii
i
i ( )
= f u olması durumundadır. Bu durumda ( ) 3.2.9
1 3
i
− 1 d ⎛ dU ⎞ 2
2
g ∑ f i i ⎜ i k 0
i ⎟+
=
( 3.2.11 )
i= 1U
du ⎝ du ⎠
şeklini alır. Böylece toplamın her bir terimi yine sadece tek değişkenin bir
fonksiyondur.
Yani;
Ayrılabilme için en genel koşul
g
g
g
g
g
g
1
2
11
1
2
22
1
2
33
1 2 3
( ) ( )
= f u F u ,u
1 1
2 1 3
( ) ( )
= f u F u ,u
2 2
3 1 2
( ) ( )
= f u F u ,u
3 3
g
g
1
2
ii
nin iki fonksiyonun çarpımı olmasıdır.
( 3.2.12
)

koşulu basit ayırma için gerekli koşuldur.
59
( 3.2.12 ) Denklemi ( 3.2.9 ) denkleminde yerine yazılırsa,
F d ⎛ dU ⎞
+ =
ifadesi elde edilir.
⎝ ⎠
1 3
i
−
2 i
2
g . i i ⎜fik 0
i ⎟
i= 1U
du du
Burada
∑ ( 3.2.13 )
1
2
g ,F ve f koordinat sistemi tarafından belirtilir.
i i
1 2 3
φ = U.U.Unin
fonksiyonları koordinat sistemi ve ayırma sabitlerinin her ikisinin de fonksiyonları
olurlar.
Ayırma sabitleri ( ) 2
bağımsız iken ( 3.2.13 ) denkleminin
α1 = k , α2, α3
ile gösterilirse fi ve Fi ler α lardan
i
U
i
U leri α nın fonksiyonlarıdır. ( 3.2.13 )
Denkleminin α1, α2, α 3 göre diferansiyellenebildiği kabul edilirse,
1 2 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1
∂ 1 d ⎛ dU ⎞ ∂ 1 d ⎛ dU ⎞ ∂ 1 d ⎛ dU ⎞ 2
F1 ⎢ 1 1⎜f1 1 ⎟⎥+ F2 ⎢ f 2 2 ⎜ 2 F 2 ⎟⎥+ 3 ⎢ f 2 3 ⎜ 3 g 0
3 ⎟⎥+
=
∂α1 ⎣Udu ⎝ du ⎠⎦ ∂α1 ⎣Udu ⎝ du ⎠⎦ ∂α1
⎣Udu ⎝ du ⎠⎦
1 2 3
∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤ ∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤ ∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞ ⎤
F1 ⎢ f 1 1⎜ 1 F 1 ⎟⎥+ 2 ⎢ f 2 2 ⎜ 2 F 2 ⎟⎥+ 3 ⎢ f
2 3 ⎜ 3 3 ⎟⎥
= 0 3.2.14
∂α2 ⎣Udu ⎝ du ⎠⎦ ∂α2 ⎣Udu ⎝ du ⎠⎦ ∂α3
⎣Udu ⎝ du ⎠⎦
1 2 3
∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤ ∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤ ∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤
1 ⎢ 1 1⎜ 1 1 ⎟⎥ 2 ⎢ 2 2 ⎜ 2 2 ⎟⎥ 3 ⎢ 2 3 ⎜ 3 3 ⎟⎥
∂α3 U du du ∂α3 U du du ∂α3
U du du
F f + F f + F f = 0
⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦
elde edilr.Denklem yeni notasyonlar kullanılarak daha kısa ve özlü olarak,
varsa
1 1φ11 1
+ 2 2φ21 2
+ 3 3φ31 3
=
1
2
( ) ( ) ( )
( 1) ( 2) ( 3)
( 1) ( 2) ( 3)
fF u fF u fF u g
fFφ u + fFφ u + fFφ u = 0
1 1 12 2 2 22 3 3 32
fFφ u + fFφ u + fFφ u = 0
φ
şeklinde yazılır.
1 1 13 2 2 23 3 3 33
i
i 1 ∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤
ij ( u ) =− ⎢ f
i i ⎜ i i ⎟⎥
fiu α j U du du
i ( )
∂ ⎣ ⎝ ⎠⎦
( 3.2.15 )
( 3.2.16 )
( )

( fF 1 1)
, ( fF 2 2)
ve ( 3 3)
çözülebilir. Bu sistemden elde edilen,
11 12 13
60
fF nicelikleri için ij
φ ( )
3.2.15 denklemleri için
= [ ] = φ φ φ
( 3.2.17 )
S det S
φ φ φ
21 22 23
φ φ φ
31 32 33
determinantı ‘Stackel Determinant’ olarak adlandırılır.Bu determinantta Birinci satırın
elemanları sadece 1
u in, ikinci sıradakiler sadece
sadece
3
u ün fonksiyonlarıdır.
( )
2
u nin ve üçüncü satırın elemanları
3.2.15 sisteminin çözümü M i1 ler ‘Stackel Determinant’ nın birinci
sütunundaki φ i1 elemanlarının
M
11
φ22 φ23
=
φ φ
32 33
M
şeklinde kofaktörleri olmak üzere,
1
2
21
φ12 φ13
=−
φ φ
1
g
M 2
fF 1 1 = [ φ22. φ33− φ23. φ32
] = g
S S
1
2
1
g
M
fF 2 2 13. 32 12. 33 g
S S
32 33
11
M
φ φ
12 13
13 = ( 3.2.18 )
φ22 φ23
2 21
= [ φ φ − φ φ ] = ( 3.2.19 )
1
2
1
g
M 2
fF 3 3 = [ φ12. φ23 − φ13. φ22]
= g
S S
dır. ( 3.2.12 ) ve ( 3.2.18 ) denklemleri karşılaştırılırsa;
S
gii Mi1
31
= ( 3.2.20 )
olduğunu görülür. Bu basit ayrılabilme için birinci koşuldur. Aynı zamanda ( 3.2.19 )
denklemlerinden,
1
2
( 2 3)
( )
g ⎡ F 1 1 u ,u ⎤
= f1( u ) ⎢ ⎥
2 3
S ⎢⎣ M11 u ,u ⎥⎦

veya
1
2
( 1 3)
( )
g ⎡ F 2 2 u ,u ⎤
= f2( u ) ⎢ ⎥
1 3
S ⎢⎣ M21 u ,u ⎥⎦
1
2
( 1 2)
( )
g ⎡ F 3 3 u ,u ⎤
= f3( u ) ⎢ ⎥
1 2
S ⎢⎣ M31 u ,u ⎥⎦
( )
( )
61
( )
( )
( )
( )
2 3 1 3 1 2
⎡ F u ,u ⎤ ⎡ F u ,u ⎤ ⎡ F u ,u ⎤
1 2 3
f1( u ) ⎢ ⎥ = f 2 3 ( u ) ⎢ ⎥ = f 1 3 ( u ) ⎢ ⎥
1 2
⎢⎣ M11 u ,u ⎥⎦ ⎢⎣ M21 u ,u ⎥⎦ ⎢⎣ M31 u ,u ⎥⎦
bulunur. Bu sonuç sadece,
1
2
g
S
1 2 3
( ) ( ) ( )
1 2 3
( 3.2.22 )
( 3.2.23 )
= f u .f u .f u
( ) 3.2.24
olması ile mümkündür. ( 3.2.23 ) Denklemi Helmholtz Denkleminin basit ayrılabilmesi
için ikinci koşuldur. Eğer ( 3.2.19 ) ve ( 3.2.23 ) denklemleri verilen bir metrik
katsayıları kümesi tarafından sağlanırsa, denklem bu koordinat sisteminde basit bir
şekilde ayrılabilir.
Kısaca üç boyutlu Euclidean uzayda, Helmholtz Denkleminin basit
ayrılabilmesi için gerekli ve yeterli koşulların metrik katsayıların
S
gij = i= 1,2,3
M
1
2
g
S
i1
1 2 3
( ) ( ) ( )
= f u f u f u
1 2 3
koşullarını sağlanması gerektiğini söyleyebiliriz.
Diğer taraftan bir Stackel Matris
[ S]
şeklinde ifade edilir.
⎡φφ φ ⎤
11 12 13
=
⎢
φ21 φ22 φ
⎥
⎢ 23 ⎥
⎢φ31 φ32 φ ⎥ 33
⎣ ⎦
( 3.2.25 )
( 3.2.26 )
Bu matrisin determinantı S Stackel determinantıdır. ( 3.2.8 ) da belirtildiği gibi
bir Stackel matris ve metrik katsayılar arasında birebir uygunluk yoktur. φ ij
elemanlarını uygun şekilde seçmek mümkündür.

63
IV. BÖLÜM
HELMHOTLZ DENKLEMİNİN
ÖZEL KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE ÇÖZÜMÜ
Bu bölümde Helmholtz Denkleminin on bir koordinat sisteminde çözümü
irdelenecektir.
4.1. Kartezyen Koordinatlarda Çözüm
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris ve
determinantı;
⎡0 −1 −1⎤
S =
⎢
0 1 0
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ 1 0 1 ⎥⎦
[ ]
şeklinde yazılır, ( 3.2.18 ) bağıntısından,
S= det[ S] = 1
( 4.1.1 )
M11 = M21 = M31 = 1
( 4.1.2 )
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,
g g g 1 g 1
11 22 33
1
2
= = = = ( 4.1.3 )
şeklinde yazılarak f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,
f1 = f2 = f3 = 1
( 4.1.4 )
şeklinde hesap edilir.
olmak üzere
Bu durumda ( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;
2 1 2 3
α = = ( ) = ( ) = ( )
( 4.1.5 )
1 k, U Xx, U Yy, U Zz
i 3
1 d ⎛ dU ⎞ i
i ⎜fi i ⎟+
U φα ij j = 0
fi du ⎝ du ⎠ j= 1
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;
( 4.1.6 )

64
2
dX
− ( α 2 2 + α3)X=
0 4.1.7
dx
2
dY
dy
2
2
( )
( )
+ α Y = 0 4.1.8
2
dZ 2
− (k + α
2
3)Z
= 0 4.1.9
dz
şeklinde üç denklem elde edilir.
Eğer
α p veα q
= = alınırsa ( 4.1.7 ) ,( 4.1.8 ) ,( )
2 2
2 3
2
dX 2 2
(p q )X 0
2
dx
4.1.9 denklemleri;
( )
− + = ( ) 4.1.10
2
dY 2
pY 0
2
dy
+ = ( ) 4.1.11
2
dZ 2 2
(k q )Z 0
2
+ + = ( 4.1.12 )
dz
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
1 1
2 2
( p + q ) 2 x
2 2
− ( p + q ) 2 x
1 1
X= A e + Be
( 4.1.13 )
Y= A sin( py) + B cos(
py )
( 4.1.14 )
2 2
1 1
3
2 2 2
3
2 2 2
Z = A sin[( k + q ) z] + B cos[( k + q ) z ]
( 4.1.15 )
olarak bulunur.
Eğer
α p ve α q
=− =− alınırsa ( 4.1.7 ) ,( 4.1.8 ) ,( )
2 2
2 3
2
dX 2 2
(p q )X 0
2
dx
4.1.9 denklemleri:
+ + = ( ) 4.1.16
2
dY 2
pY 0
2
dy
− = ( ) 4.1.17
2
dZ 2 2
(k q )Z 0
2
+ − = ( ) 4.1.18
dz
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
1 1
1
2 2 2
1
2 2 2
X = A sin[( p + q ) x] + B cos[( k + q ) x ]
( 4.1.19 )
Y A B −
= e + e ( 4.1.20
)
py py
2 2

65
1 1
3
2 2 2
3
2 2 2
Z = A sin[( k − q ) z] + B cos[( k −q
) z ]
( 4.1.21 )
olarak bulunur.
Eğer α2 = α3
= 0 alınırsa ( 4.1.7 ) ,( 4.1.8 ) ,( 4.1.9 ) denklemleri;
2 2
dX dY
0
2 2
= = ( 4.1.22 )
dx dy
2
dZ 2
kZ 0
2
+ = ( ) 4.1.23
dx
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
X= A1+ B1x
( 4.1.24 )
Y= A2 + B2y
( 4.1.25 )
Z= A sin( kz) + B cos(
kz )
( 4.1.26 )
olarak bulunur.
3 3
φ ; z den bağımsız ise ( 4.1.7 ) ,( 4.1.8 ) ,( 4.1.9 ) denklemleri,
2
dX
dx
dy
halini alır.
2
− α X= 0
( 4.1.27 )
2
2
dY 2
(k α
2
2)Y
0
Eğer
+ + = ( 4.1.28 )
2
α 2 = p alınırsa ( )
2
dX 2
pX 0
2
dx
4.1.27 ve ( )
4.1.28 denklemleri,
− = ( ) 4.1.29
2
dY 2 2
(p q )Y 0
2
+ + = ( ) 4.1.30
dy
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
dır.
X A B −
= e + e ( 4.1.31 )
px px
1 1
1 1
2
2 2 2
2
2 2 2
Y = A sin[( k + p ) y] + B cos[( k + p ) y ]
( 4.1.32 )
Eğer
2
α 2 =− p alınırsa ( )
4.1.27 ve ( )
4.1.28 denklemleri

2
dX 2
pX 0
2
dx
66
+ = ( ) 4.1.33
2
dY 2 2
(k p )Y 0
2
+ − = ( ) 4.1.34
dy
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
X= A sin( px) + B cos(
px )
( 4.1.35 )
1 1
1 1
2
2 2 2
2
2 2 2
Y = A sin[( k − p ) y] + B cos[( k − p ) y ]
( 4.1.36 )
Eğer α 2 = 0 alınırsa ( 4.1.27 ) ve ( 4.1.28 ) denklemleri
2
dX
0 2
dx
= ( ) 4.1.37
2
dY 2
kY 0
2
+ = ( ) 4.1.38
dy
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
dır.
X= A1+ B1x
( 4.1.39 )
Y = A sin ky + B cos ky ( 4.1.40 )
2 2
φ ; y ve z den bağımsız ise ( 4.1.7 ) ,( 4.1.8 ) ,( 4.1.9 ) denklemleri
d φ
dx
2
2
+ k φ = 0
2
( 4.1.41 )
şeklini alır. Bu denklemin çözümü ise;
olarak bulunur.
φ = Asinkx + Bcoskx
( 4.1.42 )
1 1

67
4.2. Dairesel Silindirik Koordinatlarda Çözüm
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris ve
determinantı;
⎡ −1
⎤
⎢
0 −1
2
ρ ⎥
⎢ ⎥
S = ⎢0 1 0 ⎥
⎢
1 0 1
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
[ ]
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,
1
M11 = 1 M21 = M 2 31 = 1
ρ
, S= det[ S] = 1
( 4.2.1 )
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,
11 22
2
33
1
2
g = 1, g = , g = 1, g =
( 4.2.2 )
ρ ρ ( 4.2.3 )
olarak bulunur. f 1,f 2,f 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,
f1 = r f2 = 1 f3 = 1
( 4.2.4 )
şeklinde elde edilir.
olmak üzere
Bu durumda ( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;
2 1 2 3
α = = ( ρ) =Ψ ( ψ ) = ( )
( 4.2.5 )
1 k U R U U Z z
i 3
1 d ⎛ dU ⎞ i
i ⎜fi i ⎟+
U Φ ijαj = 0
fidu ⎝ du ⎠ j= 1
∑ ( 4.2.6 )
şeklini alır. ( 4.2.6 ) denklemi ayrıştırılırsa;
⎛α⎞ + − + R = 0
dρ ρ dρ
⎝ρ ⎠
2
dR 1dR 2
2 ⎜ α 2 3 ⎟
( 4.2.7 )
2
d Ψ
+ α 2 2Ψ=
0
( 4.2.8 )
dψ
2
dZ
dz
2
2 ( α3
)
+ k + Z= 0
( 4.2.9 )
şeklinde üç denklem elde edilir.

denklemleri,
Bu denklemlerde eğer
2 2
dR 1dR ⎛ 2 p ⎞
+ − q R 0,
2 ⎜ + 2 ⎟ =
dr ρ dr ⎝ ρ ⎠
d
dψ
68
α p α q
= = alınırsa; ( 4.2.7 ) ,( 4.2.8 ) ,( 4.2.9 )
2 2
2 3
( 4.2.10 )
2
Ψ 2
+ p Ψ= 0
2
( 4.2.11 )
2
dZ
2
dz
2 2 ( )
+ k + q Z= 0
( 4.2.12 )
şekline dönüşür. ( 4.2.10 ) ,( 4.2.11 ) , ( 4.2.12 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
( ρ ) ( ρ )
( 4.2.13 )
J iq J iq
R = A1 p + B1 − p
Ψ= A sin p + B cos p
ψ ψ ( 4.2.14 )
2 2
1 1
⎡ 2 2 ⎤ ⎡ 2 2 ⎤
Z= A 2 2
3sin⎢( k + q ) z⎥+ B3cos⎢( k + q ) z ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
olarak bulunur.
( 4.2.15 )
Eğer α p α q
= =− alınırsa ( 4.2.8 ) ,( 4.2.9 ) ,( )
2 2
2 3
2 2
dR 1dR ⎛ 2 p ⎞
+ + q R 0
2 ⎜ − 2 ⎟ =
dρ ρ dρ
⎝ ρ ⎠
d
dψ
4.2.10 denklemleri,
( 4.2.16 )
2
Ψ 2
+ p Ψ= 0
2
( 4.2.17 )
2
dZ
2
2 2 ( )
+
dz
k − q Z= 0
( ) 4.2.18
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
R = A J ( q ) + B J ( q )
ρ ρ ( 4.2.19 )
1 p 1 − p
Ψ= A sin p + B cos p
ψ ψ ( 4.2.20 )
2 2
1 1
⎡ 2 2 ⎤ ⎡ 2 2 ⎤
Z= A 2 2
3sin⎢( k − q ) z⎥+ B3cos⎢( k −q
) z ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
olarak bulunur.
( 4.2.21 )
Eğer α 0 α q
2
2 = 3 = alınırsa ( )
4.2.8 ,( 4.2.9 ) ,( )
4.2.10 denklemleri,

2
dR 1dR 2
+ − qR= 0
2
dρ ρ dρ
69
( 4.2.22 )
2
d Ψ
= 0 2
( 4.2.23 )
dψ
2
dZ
2
2 2 ( )
+
dz
k + q Z= 0
( 4.2.23 )
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
R = A J ( iq ) + B Y ( iq )
ρ ρ ( 4.2.23 )
1 0 1 0
Ψ= A2 + B2ψ
( 4.2.24 )
1 1
⎡ 2 2 ⎤ ⎡ 2 2 ⎤
Z= A 2 2
3sin⎢( k + q ) z⎥+ B3cos⎢( k + q ) z ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
olarak bulunur.
( 4.2.25 )
Eğer α2 = α3
= 0 alınırsa ( 4.2.7 ) ,( 4.2.8 ) ,( 4.2.9 ) denklemleri,
2
dR 1dR
+ = 0
2
dρ ρ dρ
( 4.2.26 )
2
d Ψ
= 0 2
( 4.2.27 )
dψ
2
dZ 2
kZ 0
2
+ = ( ) 4.2.28
dz
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
R = A1+ B1lnρ ( 4.2.29 )
Ψ= A2 + B2ψ
( 4.2.30 )
olarak bulunur.
Z= A sin( kz) + B cos(
kz )
( 4.2.31 )
3 3
φ ; z den bağımsız ise ( 4.2.7 ) ,( 4.2.8 ) , ( 4.2.9 ) ,denklemleri
2
dR 1dR
d
2
d
2 2 ( α2ρ )
+ + k − / R = 0
ρ ρ ρ
( 4.2.32 )
2
d Ψ
+ α 2 2Ψ=
0
dψ
olarak bulunur.
( 4.2.33 )

Eğer
2
α 2 = p alınırsa ( )
2
dR 1dR
2
2 2 2 ( ρ )
70
4.2.32 , ( )
+ + k − p / R = 0
dρ ρ dr
d
dψ
4.2.33 denklemleri
( 4.2.34 )
2
Ψ 2
+ p Ψ= 0
2
( 4.2.35 )
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
elde edilir.
R = A J ( x ) + B J ( x )
ρ ρ ( 4.2.36 )
( pψ ) ( pψ
)
( 4.2.37 )
1 p 1 − p
Ψ= A sin + B cos
2 2
Eğer α 2 = 0 alınırsa ( 4.2.32 ) , ( 4.2.33 ) denklemleri
2
dR 1dR 2
+ + kR= 0
2
dρ ρ dρ
2
d
0 2
dψ
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
elde edilir.
( 4.2.38 )
Ψ
= ( 4.2.39 )
R = A J ( k ) + B Y ( k )
1 0 ρ 1 0 ρ ( 4.2.40 )
Ψ= A2 + B2ψ
( 4.2.41 )
φ ; ψ den bağımsız ise ( 4.2.7 ) ( 4.2.8 ) , ( 4.2.9 ) ,denklemleri
2
dR 1dR
d
2
d
dz
olarak yazılır.
+ − α3R
= 0
ρ ρ ρ
2
dZ 2
(k α
2
3)Z
0
Eğer
( 4.2.42 )
+ + = ( 4.2.43 )
2
α 3 = q alınırsa ( )
2
dR 1dR 2
+ − qR= 0
2
dρ ρ dρ
2
dZ 2 2
(k q )Z 0
2
4.2.42 , ( )
4.2.43 denklemleri;
dz
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
( 4.2.44 )
+ + = ( ) 4.2.45

R = A J ( iq ) + B Y ( iq )
1 0 1 0
71
ρ ρ ( 4.2.46 )
2 2 2 2
( ) ( )
Z= A2sin⎡ ⎢
k
⎣
olarak bulunur.
+ q
1/2
z⎤+ B2cos⎡ ⎥⎦ ⎢
k
⎣
+ q
1/2
z ⎤
⎥⎦
( 4.2.47 )
Eğer
2
α 3 =− q alınırsa ( )
2
dR 1dR 2
+ + qR= 0
2
dρ ρ dρ
2
dZ 2 2
(k q )Z 0
2
4.2.42 , ( )
dz
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
4.2.43 denklemleri;
( 4.2.48 )
+ − = ( ) 4.2.49
R = A J (q ) + BY (q )
ρ ρ ( 4.2.50 )
1 0 1 0
2 2 2 2
( ) ( )
Z= A2sin⎡ ⎢
k
⎣
olarak yazılır.
− q
1/2
z⎤ B2cos⎡ ⎥
+ k
⎦ ⎢⎣ −q
1/2
z⎤
⎥⎦
Eğer 3
α = 0 alınırsa ( )
2
dR 1dR
+ = 0
2
dρ ρ dρ
2
dZ 2
kZ 0
2
4.2.42 , ( )
4.2.43 denklemleri;
dz
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
( ) 4.2.51
( 4.2.52 )
+ = ( ) 4.2.53
R = A 1 + B1 ln ρ ( 4.2.54 )
Z= A sinkz + B coskz
( 4.2.53 )
olarak bulunur.
2 2
φ ; ψ ve z den bağımsız ise ( 4.2.42 ) , ( 4.2.43 ) denklemleri;
2
d φ 1 dφ
2
+ + k φ = 0
2
dρ ρ dρ
şeklini alır ve bu denklemin çözümü
dır.
1 0 1 0
( 4.2.54 )
φ = A J ( kρ) + B Y ( kρ
)
( 4.2.53 )

72
4.3. Eliptik Silindirik Koordinatlarda Çözüm
determinantı;
[ ]
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris ve
2 2
⎡0 −1 −a
cosh η⎤
⎢ 2 2 ⎥
S = ⎢0 1 a cosh ψ ⎥
⎢1 0 1 ⎥
⎣ ⎦
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından
2 2 2
M11 M21 1 M31 a (cosh η cos ψ )
2 2 2
, S= det[ S] = a (cosh η− cos ψ)
( 4.3.1 )
= = = − ( 4.3.2 )
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları;
g11 g22 S g33 1
1
2 g
2 2
a (cosh η
2
cos ψ)
= = = = − ( 4.3.3 )
olarak yazılır. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından yaralanılarak
f1 = f2 = f3 = 1
( 4.3.4 )
şeklinde bulunur.
olmak üzere,
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;
2 1 2 3
= = ( ) =Ψ ( ) = ( )
( 4.3.5 )
α1k, U H η , U ψ , U Zz
i 3
1 d ⎛ dU ⎞ i
i ⎜fi i ⎟+
U φα ij j = 0
fidu ⎝ du ⎠ j1 =
∑ şeklinde yazılır. Bu denklem ayrıştırılırsa;
( 4.3.6 )
2
dH 2 2
( α 2 2 α3a cosh η)H
0
dη
2
d
2
dψ
− + = ( ) 4.3.7
Ψ
+ + Ψ = ( 4.3.8 )
2 2
( α2 α3a cos ψ)
0
2
dZ 2
(k α
2
3)Z
0
+ + = ( 4.3.9 )
dz
şeklinde üç denklem elde edilir.
Eğer
denklemleri;
= = + alınırsa, ( 4.3.7 ) ,( 4.3.8 ) , ( 4.3.9 )
q α a /4 ve λ α α a /2
2 2
3 2 3

2
dH
( λ 2qcosh2 η)H
0
2
dη
73
− + = ( ) 4.3.10
2
d Ψ
+ ( λ+ 2qcos2 ψ)
Ψ = 0
2
( 4.3.12 )
dψ
2
dZ 2 2
(k 4q / a )Z 0
2
+ + = ( ) 4.3.13
dz
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
H= A ce ( i , − q) + B fe ( i , −q)
η η ( 4.3.14 )
1 m 1 m
Ψ= A ce ( , − q) + B fe ( , −q)
olarak bulunur.
ψ ψ ( 4.3.15 )
2 m 2 m
1 1
3
2
3
2
2 2 2 2
( ) ( )
Z= A sin[ k + 4 q/ a z] + B cos[ k + 4 q/ a z ]
( 4.3.16 )
Eğer
denklemleri;
q α a /4 ve λ α α a /2
=− = + alınırsa, ( 4.3.7 ) ,( 4.3.8 ) , ( 4.3.9 )
2 2
3 2 3
2
dH
( λ 2qcosh2 η)H
0
2
dη
− − = ( ) 4.3.17
2
d Ψ
+ ( λ−2qcos2 ψ)
Ψ = 0
2
( 4.3.18 )
dψ
2
dZ
2
dz
2 2 ( )
+ k − 4q/a Z= 0
( ) 4.3.19
şeklini alır.
Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
dır.
H= A ce ( i , q) + B fe ( i , q)
η η ( 4.3.20 )
1 m 1 m
Ψ= A ce ( , q) + B fe ( , q)
ψ ψ ( 4.3.21 )
2 m 2 m
1 1
3
2
3
2
2 2 2 2
( ) ( )
Z = A sin[ k − 4 q/ a z] + B cos[ k −4
q/ a z ]
( 4.3.22 )
Eğer α2 = α3
= 0 alınırsa, ( 4.3.7 ) ,( 4.3.8 ) , ( 4.3.9 ) denklemleri;

2
dH
0 2
dη
74
= ( ) 4.3.23
2
d Ψ
= 0 2
( 4.3.24 )
dψ
2
dZ 2
kZ 0
2
+ = ( ) 4.3.25
dz
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
H= A1+ B1η
( 4.3.26 )
Ψ= A2 + B2ψ
( 4.3.26 )
Z = A sin( kz) + B cos(
kz )
( 4.3.27 )
olarak bulunur.
3 3
Eğer φ ; z den bağımsız ise ( 4.3.7 ) ,( 4.3.8 ) , ( 4.3.9 ) denklemleri,
2
dH 2 2 2
( α 2 2 k a cosh η)H
0
dη
2
d
2
dψ
şeklini alır.
− − = ( ) 4.3.28
Ψ
+ − Ψ = ( 4.3.29 )
2 2 2
( α2k a cosh ψ)
0
q k a /4 ve λ α k a /2
= = − için ( 4.3.28 ) , ( )
2 2 2 2
2
2
dH
( λ 2qcosh2 η)H
0
2
dη
4.3.29 denklemleri;
− − = ( ) 4.3.30
2
d
2
dψ
( λ 2qcosh2 ψ)
0
şekline dönüşür. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
Ψ
+ − Ψ = ( 4.3.31 )
H= A ce ( i , q) + B fe ( i , q)
η η ( 4.3.32 )
1 m 1 m
Ψ= A ce ( , q) + B fe ( , q)
olarak bulunur.
Eğer
ψ ψ ( 4.3.33 )
2 m 2 m
q k a /4 ve λ α k a /2
=− = − olarak alınırsa, ( 4.3.28 ) , ( )
2 2 2 2
2
2
dH
( λ 2qcosh2 η)H
0
2
dη
4.3.29 denklemleri
− + = ( ) 4.3.34

75
2
d
2
dψ
( λ 2qcosh2 ψ)
0
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
dır.
Ψ
+ + Ψ = ( 4.3.35 )
H= A ce ( i , − q) + B fe ( i , −q)
η η ( 4.3.36 )
1 m 1 m
Ψ= A ce ( , − q) + B fe ( , −q)
ψ ψ ( 4.3.37 )
2 m 2 m

76
4.4. Parabolik Silindirik Koordinatlarda Çözüm
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris ve
determinantı;
2
⎡0 −1
µ ⎤
⎢ 2⎥ 2 2
[ ] [ ]
S = ⎢0 1 − v ⎥,
S= det S = µ + v
⎢1 0 1 ⎥
⎣ ⎦
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,
M M 1, M v
( 4.4.1 )
2 2
11 = 21 = 31 = µ + ( 4.4.2 )
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) bağıntısından metrik katsayıları;
11 22
2
µ
2
33
1
2 3
µ
2
g g v g 1 g v
= = + = = + ( 4.4.3 )
şeklinde yazılarak ( 3.2.24 ) bağıntısından;
f1 = f2 = f3 = 1
( 4.4.4 )
değeri bulunur.
olmak üzere,
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;
α =
2 1
=Μ ( µ ) 2
= ( ) 3
= ( )
( 4.4.5 )
1 k U U N v U Z z
i 3
1 d ⎛ dU ⎞ i
i ⎜fi i ⎟+
U φα ij j = 0
fidu ⎝ du ⎠ j= 1
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;
( 4.4.6 )
2
dM 2
( α 2 2 α 3µ
)M 0
d
µ − + = ( )
4.4.7
2
dN 2
( α 2 2 αν 3 )N 0
dv
+ − = ( 4.4.8 )
2
dZ 2
(k α
2
3)Z
0
+ + = ( 4.4.9 )
dz
olarak üç denklem elde edilir.

Eğer
denklemleri,
77
α q (p 1/2) ve α q /4
= + = alınırsa ( 4.4.7 ) ,( 4.4.8 ) , ( )
2 4
2 3
2
dM 2 4 2
[q (p 1/ 2) q µ / 4]M 0
2
d
µ − + + = ( )
4.4.9 ,
4.4.10
2
dN 2 4 2
[q (p 1/ 2) q ν / 4]N 0
2
dv
2
dZ
2
+ + − = ( 4.4.11 )
2 4 ( )
+
dz
k + q /4 Z= 0
( ) 4.4.12
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
olarak bulunur.
denklemleri,
M = A W ( p, iq ) + B W ( p, iq )
µ µ ( 4.4.13 )
1 e
1 0
N= A W ( p, q ) + B W ( p, q )
ν ν ( 4.4.14 )
2 e
2 0
1 1
3
2
3
2
2 4 2 4
( ) ( )
Z = A sin[ k + q / 4 z] + B cos[ k + q / 4 z ]
( 4.4.15 )
α q (p 1/2) ve α q /4
=− + = alınırsa ( 4.4.7 ) , ( 4.4.8 ) , ( )
2 4
2 3
2
dM 2 4 2
[q (p 1/ 2) q / µ 4]M 0
2
d
µ + + − = ( )
4.4.9 ,
4.4.16
2
dN 2 4 2
[q (p 1/ 2) q ν / 4]N 0
2
dv
2
dZ
2
− + + = ( 4.4.17 )
2 4 ( )
+
dz
k + q /4 Z= 0
( ) 4.4.18
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
M = A W ( p, q ) + B W ( p, q )
µ µ ( 4.4.19 )
1 e
1 0
N= A W ( p, iq ) + B W ( p, iq )
ν ν ( 4.4.20 )
2 e
2 0
1 1
3
2
3
2
2 4 2 4
( ) ( )
Z= A sin[ k + q /4 z] + B cos[ k + q /4 z ]
( 4.4.21 )
olarak bulunur.
Eğer
α α
2
2 = 0, ve 3 =− q alınırsa ( )
4.4.7 , ( 4.4.8 ) , ( )
4.4.9 denklemleri,

2
dM 2 2
q µ M 0
2
d
µ + = ( )
78
4.4.22
2
dN 2 2
qνN 0
2
dv
+ = ( 4.4.23 )
2
dZ 2 2
(k q )Z 0
2
+ − = ( ) 4.4.24
dz
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
1
2
M = [A J ( q /2) + B J ( q /2)]
µ µ µ ( 4.4.25 )
1
2
2 2
1 1/4 1 −1/4
N = [A J ( q /2) + B J ( q /2)]
ν ν ν ( 4.4.26 )
2 2
2 1/4 2 −1/4
1 1
3
2 2 2
3
2 2 2
Z = A sin[( k − q ) z] + B cos[( k −q
) z ]
( 4.4.27 )
Eğer φ ; z den bağımsız ise, ( 4.4.7 ) , ( 4.4.8 ) , ( 4.4.9 )
2
dM 2 2
( α 2 2 k µ )M 0
d
µ − − = ( )
dv
şeklini alır.
4.4.28
2
dN 2 2
( α 2 2 k ν )N 0
Eğer
+ + = ( 4.4.29 )
2
α 2 = q alınırsa, ( )
2
dN 2 2 2
2 ( q k µ ) M 0
d
µ − − = ( )
4.4.28 , ( )
4.4.29 denklemleri;
4.4.30
2
dN 2 2 2
2 ( q kν) N 0
+ + = ( ) 4.4.31
dν
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
M = i [A J ( kqi , , ) + B J ( kqi , , )]
1
2
µ µ µ ( 4.4.32 )
1 1/2 1 −1/2
N = [A J ( k, q, ) + B J ( k, q,
)]
olarak bulunur.
Eğer
ν ν ν ( 4.4.33 )
2 1/2 2 −1/2
2
α 2 =− q alınırsa, ( )
4.4.28 , ( )
4.4.29 denklemleri;

2
dM 2 2 2
2 ( q k µ ) M 0
d
µ + + = ( )
79
4.4.34
2
dN 2 2 2
2 ( q k v ) N 0
− − = ( ) 4.4.35
dv
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
1
2
M = µ [A J ( k, q, µ ) + B J ( k, q , µ )]
( 4.4.36 )
1 1/2 1 −1/2
N = iν[A J ( k, q, iν) + B J ( k, q, i ν)]
( 4.4.37 )
olarak bulunur.
2 1/2 2 −1/2
Eğer α 2 = 0 alınırsa, ( 4.4.28 ) , ( 4.4.29 ) denklemleri;
2
dM 2 2
k µ M 0
2
d
µ + = ( )
4.4.38
2
dN 2 2
kνN 0
2
+ = ( 4.4.39 )
dv
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
dır.
1
2
M = µ [A J ( kµ /2) + B J ( k µ /2)]
( 4.4.40 )
1
2
2 2
1 1/4 1 −1/4
N = ν [A J ( kν /2) + B J ( k ν /2)]
( 4.4.41 )
2 2
2 1/4 2 −1/4

80
4.5. Küresel Koordinatlarda Çözüm
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris ve
determinantı;
2
⎡1 −1/r
0 ⎤
⎢ 2 ⎥
S = ⎢0 1 −1/sin
θ ⎥
⎢0 0 1 ⎥
⎣ ⎦
[ ]
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,
, S= det[ S] = 1
( 4.5.1 )
( )
M 1, M 1/r , M 1/ r sin θ
= = = ( 4.5.2 )
2 2 2
11 21 31
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,
11 22
2
33
2 2
1
2 2
g 1 g r g r sin θ g r sinθ
= = = = ( 4.5.3 )
olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,
f r , f sin θ,
f 1
= = = ( 4.5.4 )
2
1 2 3
şeklinde elde edilir.
olmak üzere,
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;
α =
2 1
= ( ) 2
=Θ ( θ) 3
=Ψ ( ψ)
( 4.5.5 )
1 k U R r U U
i 3
1 d ⎛ dU ⎞ i
i ⎜fi i ⎟+
U φα ij j = 0
fidu ⎝ du ⎠ j= 1
∑ ( 4.5.6 )
şeklini alır. ( 4.5.6 ) denklemi ayrıştırılırsa;
2
dR 2dR
2
dr r dr
2 2 ( α2
)
+ + k − /r R = 0
( 4.5.7 )
2
d d
2
cot θ ( α 2
2 α3/ sin θ)
0
Θ Θ
+ − Θ= ( 4.5.8 )
dθ dθ
2
d
α 2 3 0
dψ
şeklinde üç denklem elde edilir.
Ψ
Ψ= ( 4.5.9 )

Eğer α p(p 1) ve α q
2
dR 2dR
2
81
2
2 = + 3 = alınırsa ( )
4.5.7 , ( 4.5.8 ) , ( )
4.5.9 denklemleri;
2 2
⎡
⎣k p(p 1)/r ⎤
⎦ R 0
( 4.5.10 )
+ + − + =
dr r dr
2
d Θ dΘ
2 2
+ cotθ + ⎡p(p+ 1) −q / sin θ⎤Θ=
0
2
dθ dθ
⎣ ⎦ ( 4.5.11 )
d
dψ
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
dır.
2
Ψ 2
+ q Ψ= 0
2
( 4.5.12 )
1
−
2
R = r ⎡A J ( kr) + B J ( kr ) ⎤
( 4.5.13 )
⎣ 1 p+ 1/2 1 − ( p+
1/2)
⎦
q q
Θ= A 2Pp (cos θ ) + B 2L
p(cos
θ )
( 4.5.14 )
Ψ= A sinqψ+ B cosq
ψ
( 4.5.15 )
3 3
φ ; ψ den bağımsız ise; ( 4.5.7 ) , ( 4.5.8 ) , ( 4.5.9 ) denklemleri;
2
dR 2dR
2
dr r dr
2 2 ( α2
)
+ + k − /r R = 0
( 4.5.16 )
2
d Θ
2
dθ dΘ
cotθ dθ
α20
olarak yazılır.
+ + Θ= ( 4.5.17 )
2
dR 2dR
2
α 2 = p(p + 1) olarak alınırsa; ( 4.5.16 ) ve ( 4.5.17 ) denklemleri;
2 2
⎡
⎣k p(p 1)/r ⎤
⎦ R 0
( 4.5.18 )
+ + − + =
dr r dr
2
d Θ
2
dθ dΘ
cotθ dθ
p(p 1) 0
şekline dönüşür. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
+ + + Θ= ( 4.5.19 )
1
−
2
R = r ⎡A J ( kr) + B J ( kr ) ⎤
( 4.5.20 )
⎣ 1 p+ 1/2 1 − ( p+
1/2)
⎦
Θ= A P (cos θ ) + B L (cos θ )
( 4.5.21 )
2 p 2 p
olarak bulunur. φ ; θ ve ψ den bağımsız ise ( 4.5.7 ) , ( 4.5.8 ) , ( 4.5.9 ) denklemleri;
2
d φ 2 dφ
2
+ + k φ = 0
2
( 4.5.22
)
dr r dr

olarak yazılır. Denklemin çözümü ise;
1
φ = ⎡⎣ Asin 1 ( kr) + Bcos 1 ( kr)
⎤
r
⎦
dır.
82
( 4.5.23 )

83
4.6. Prolate Küresel Koordinatlarda Çözüm
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris ve
determinantı;
[ ]
2 2 2
⎡a sinh η −1
1/sinh η ⎤
⎢ 2 2 2 ⎥
S = ⎢−a sin θ 1 −1/sinh
ψ ⎥
⎢ 0 0 1 ⎥
⎣ ⎦
( 4.6.1 )
2 2 2 2 2 2
S= det[ S] = a (cosh η − sin θ) = a (cos η− cos θ)
( 4.6.2 )
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,
M M 1 M
2 2
sinh η + sin θ
sinh η sin θ
= = = ( 4.6.3 )
11 21 31 2 2
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,
g = g = a (sinh η − sin θ) g = a (sinh ηsin θ)
2 2 2 2 2 2
11 22 33
1
2 3 2 2
g = a (sinh η−sin θ)sinhηsinθ olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,
f sinh η, f sin θ,
f a
1 2 3
olarak ifade edilir.
olmak üzere,
( 4.6.4 )
= = = ( 4.6.5 )
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;
2 1 2 3
= = ( ) =Θ ( ) =Ψ ( )
( 4.6.6 )
α1 k, U H η , U θ , U ψ
i 3
1 d ⎛ dU ⎞ i
i ⎜fi i ⎟+
U φα ij j = 0
fidu ⎝ du ⎠ j= 1
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;
( 4.6.7 )
2
dH dH
2
dη dη
2 2 2 2
( 2 3 )
+ cothη + k a sinh η−α − α / sinh η H = 0
( 4.6.8 )
2
d d
d
2
d
Θ Θ 2 2 2 2
cot θ (k a sin θ α2 α3/ sinh η)
0
θ θ
+ + + − Θ= ( 4.6.9 )
2
d Ψ
α 2 3Ψ=
0
( 4.6.10
)
dψ

şeklinde üç denklem elde edilir.
Bu denklemlerde eğer
( 4.2.8 ) ,( 4.2.9 ) ,( 4.2.10 ) denklemleri;
2
dH dH
2
84
α α
2 2 2 2 2
( )
2
2 = p(p + 1) ve 3 = q alınırsa;
cot hη k α cosh η p(p 1) q / cosh η H 0
dη dη
+ + − + − = ( 4.6.11 )
2
d d
2
Θ Θ 2 2 2 2 2
cotθ ( k α sinh η p(p 1) q / sinh η)
0
dθ dθ
d
dψ
+ + + + − Θ= ( 4.6.12 )
2
Ψ 2
+ q Ψ= 0
2
( 4.6.13 )
şeklini alır. ( 4.6.11 ) ,( 4.6.12 ) ,( 4.6.13 ) denklemlerinin çözümü;
q q
P ( k a η ) L ( k a η )
( 4.6.14 )
H= A . ,cosh + B . ,cosh
1 p 1 p
q q
P ( k a θ ) L ( k a θ )
( 4.6.15 )
Θ= A . ,cos + B . ,cos
2 p 2 p
Ψ= A sinqψ+ B cosqψ
( 4.6.16 )
olarak bulunur.
3 3
φ ; ψ den bağımsız ise ( 4.6.8 ) , ( 4.6.9 ) , ( 4.6.10 ) denklemleri
2
dH dH
2
dη dη
2 2 2 ( 2 )
+ cothη + k a sinh η− α H = 0
( 4.6.17 )
2
d Θ dΘ
2 3 2
cot θ (k a sin θ α
2
2)
0
dθ dθ
olarak bulunur.
− + + Θ= ( 4.6.18 )
Eğer α 2 = p(p + 1) alınırsa ( 4.6.14 ) ve ( 4.6.15 ) denklemleri
2
dH dH
2
2 2 2 ( )
cot hη k α sinh η p(p 1) H 0
dη dη
+ + − + = ( 4.6.19 )
2
d Θ
2
dθ dΘ
cotθ dθ
2 2 2 ( k α sin θ p(p 1) ) 0
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
− + + + Θ= ( 4.6.20 )
H= A P ( ka,cosh η) + B L ( ka ,cosh η)
( 4.6.21 )
1 p 1 p
Θ= A P ( ka,cos θ ) + B L ( ka ,cos θ )
( 4.6.22 )
olarak bulunur.
2 p 2 p

85
4.7. Oblate Küresel Koordinatlarda Çözüm.
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris ve
determinantı;
[ ]
2 2 2
⎡a cosh η −1
1/cosh η ⎤
⎢ 2 2 2 ⎥
S = ⎢−asin θ 1 −1/
si nh θ ⎥
⎢ 0 0 1 ⎥
⎣ ⎦
( 4.7.1 )
2 2 2 2 2 2
S= detS [ ] = a(coshη− sin θ) = a(sinη+ cos θ)
( 4.7.2 )
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından
M M 1, M
2 2
cosh η − sin θ
cosh η sin θ
= = = ( 4.7.3 )
11 21 31 2 2
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,
g = g = a (cosh η− sin θ) g = a (cosh ηsin θ)
2 2 2 2 2 2
11 22 33
1
2 3 2 2
g = a (cosh η−sin θ)coshηsinθ olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından
f cosh η, f sin θ,
f a
1 2 3
( 4.7.4 )
= = = ( 4.7.5 )
şeklinde elde edilir.
olmak üzere
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;
2 1 2 3
= = ( ) =Θ ( ) =Ψ ( )
( 4.7.6 )
α1k U H η U θ U ψ
i 3
1 d ⎛ dU ⎞ i
i ⎜fi i ⎟+
U φα ij j = 0
fidu ⎝ du ⎠ j= 1
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;
( 4.7.7 )
2
dH dH
2
dη dη
2 2 2 2
( 2 3 )
+ tanhη + k a cosh η− α + α / cosh η H = 0
( 4.7.8 )
2
d d
d
2
d
Θ Θ 2 2 2 2
cot θ ( k a sin θ α2 α3/ sin θ)
0
θ θ
+ + − + − Θ= ( 4.7.9)
2
d Ψ
+ α 2 3Ψ=
0
( 4.7.10
)
dψ

şeklinde üç denklem elde edilir.
86
Bu denklemlerde eğer
( 4.7.8 ) ,( 4.7.9 ) ,( 4.7.10 ) denklemleri,
2
dH dH
2
α α
2 2 2 2 2
( )
tan hη k a cosh η p(p 1) q / cosh η H 0
dη dη
2
2 = p(p + 1) 3 = q alınırsa;
+ + − + + = ( 4.7.11 )
2
d d
2
Θ Θ 2 2 2 2 2
cotθ ( k a sin θ p(p 1) q / sin θ)
0
dθ dθ
d
dψ
+ + − + + − Θ= ( 4.7.12 )
2
Ψ 2
+ q Ψ= 0
2
( 4.7.13 )
şeklini alır. ( 4.7.11 ) ,( 4.7.12 ) , ( 4.7.13 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
q q
H= A 1Pp ( ika, isinh η) + B 1Lp(
ika, i sinh η)
( 4.7.14 )
q q
Θ= A 2Pp ( ika,cos θ ) + B 2Lp(
ika ,cos θ )
( 4.7.15 )
Ψ= A sinqψ+ B cosq
ψ
( 4.7.16 )
olarak bulunur.
3 3
Eğer φ; ψ den bağımsız ise ( 4.7.8 ) , ( 4.7.9 ) , ( 4.7.10 ) denklemleri
2
dH dH
2
dη dη
2 2 2 ( 2 )
+ tanhη + k a cosh η− α H = 0
( 4.7.17 )
2
d Θ dΘ
2 3 2
cot θ ( k α sin θ α
2
2)
0
dθ dθ
olarak yazılır.
+ + − + Θ= ( 4.7.18 )
Eğer α 2 = p(p + 1) alınırsa ( 4.7.17 ) ,( 4.7.17 ) denklemleri,
2
dH dH
2
2 2 2 ( )
tan hη k α sinh η p(p 1) H 0
dη dη
+ + − + = ( 4.7.19 )
2
d d
2
Θ Θ 2 2 2
cotθ ( k α sin θ p(p 1) ) 0
dθ dθ
+ + − + + Θ= ( 4.7.20 )
şeklini alır. ( 4.7.19) ve ( 4.7.20) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla
H= A 1Pp( ika, isinh η) + B 1Lp(
ika, i sinh η)
( 4.7.21 )
Θ= A P ( ika,cos θ ) + B L ( ika ,cos θ )
( 4.7.22 )
şeklinde ifade edilir.
2 p 2 p

87
4.8. Parabolik Koordinatlarda Çözüm
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris ve
determinantı;
[ ]
2 2
⎡µ −1 −1/
µ ⎤
⎢ 2 2⎥
S = ⎢ν 1 −1/
ν ⎥
⎢ 0 0 1 ⎥
⎣ ⎦
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,
M M 1 M
11 21 31 2 2
2 2
, S= det[ S ] = µ + ν
( 4.8.1 )
2 2
µ + ν
µ ν
= = = ( 4.8.2 )
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,
11 22
2 2
33
2 2
1
2 2 2
g g µ ν , g µ ν , g ( µ ν ) µν
= = + = = + ( 4.8.3 )
olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,
f µ f ν f 1
= = = ( 4.8.4 )
1 2 3
şeklinde elde edilir.
olmak üzere,
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;
α =
2 1
=Μ ( µ ) 2
= ( ν ) 3
=Ψ ( ψ )
( 4.8.4 )
1 k, U , U N , U
i 3
1 d ⎛ dU ⎞ i
i ⎜fi i ⎟+
U φα ij j = 0
fidu ⎝ du ⎠ j= 1
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;
( 4.8.5 )
2
dM 1dM 2 2 2
(k µ α 2
2 α 3/
µ )M 0
+ + − − = ( 4.8.6 )
dµ µ dµ
2
dN 1dN 2 2 2
(k ν α 2
2 α3/ ν )N 0
+ + + − = ( 4.8.7 )
dν ν dv
2
d Ψ
+ αψ 2 3 = 0
( 4.8.8 )
dψ
şeklinde üç denklem elde edilir.

denklemleri,
Bu denklemlerde eğer
88
α q ve α p
= = alınırsa; ( 4.8.6 ) ,( 4.8.7 ) ,( 4.8.8 )
2 2
2 3
2
dM 1dM 2 2 2 2 2
(k µ q p / µ )M 0
2
+ + − − = ( 4.8.9 )
dµ µ dµ
2
dN 1dN 2 2 2 2 2
(k ν q p / ν )N 0
2
+ + + − = ( 4.8.10 )
dν ν dν
d
dψ
2
Ψ 2
+ pψ= 0
2
( 4.8.11 )
şeklini alır. ( 4.8.9 ) ,( 4.8.10 ) , ( 4.8.11 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
M = A J ( k, iqµ ) + B J ( k, ik µ )
( 4.8.12 )
1 p 1 − p
N= A J ( k, qν) + B J ( k, q ν )
( 4.8.13 )
2 p 2 − p
Ψ= A sinpψ+ B cospψ
( 4.8.14 )
olarak bulunur.
3 3
φ ; ψ den bağımsız ise ( 4.8.6 ) ,( 4.8.7 ) ,( 4.8.8 ) denklemleri,
2
dM 1dM 2 2
(k µ α
2
2)M
0
+ + − = ( 4.8.15 )
dµ µ dµ
2
dN 1dN 2 2
(k ν α
2
2)N
0
dν ν dv
olarak yazılır.
Eğer
+ + = ( 4.8.16 )
2
α 2 = q ise ( )
4.8.15 ve ( )
2
dM 1dM 2 2 2
(k µ q )M 0
2
dµ µ dµ
4.8.16 denklemleri;
+ + − = ( 4.8.17 )
2
dN 1dN 2 2 2
(k ν q )N 0
2
+ + + = ( )
dν ν dv
4.8.18
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
M = A 1J0( k, qiµ ) + B 1Y0( k, qi µ )]
( 4.8.19 )
N= A J ( k, qν) + B Y ( k, q ν )
( 4.8.20 )
olarak bulunur.
2 0 2 0

89
4.9. Konikal Koordinatlarda Çözüm
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris ve
determinantı;
⎡ ⎤
⎢ ⎥
2
⎢1 −1/r
0 ⎥
⎢ ⎥
2
θ
−1
S =
⎢
0
⎥
⎢ 2 2 2 2 2 2 2 2
( θ −b )( c −θ ) ( θ −b )( c −θ
) ⎥
⎢ ⎥
⎢ 2
−λ
1 ⎥
⎢0 ⎥
2 2 2 2 2 2 2 2
⎢⎣ ( b −λ )( c −λ ) ( b −λ )( c −λ
) ⎥⎦
[ ]
S= det[ S]
=
2 2
θ − λ
2 2 2 2 2 2 2 2
( θ −b )( c −θ )( b −λ )( c −λ
)
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,
1 1 1 1
M11 = det[ S ] , M 21 = , M
2 31 = 2
r r
2 2 2 2 2 2 2 2
( b −λ)( c −λ ) ( θ −b )( c −θ
)
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,
2 2 2 2 2 2
r( θ −λ ) r( θ −λ
)
g11= 1, g 22 = , g
2 2 2 2 33 = 2 2 2 2
θ −b (c −θ ) b −λ (c −λ
)
g
( ) ( )
r( θ − λ )
1 2 2 2
2 =
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
[ θ −b (c −θ ) b −λ (c −λ
)]
olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,
1
2
2
2
θ
2 2 2
θ
1/2
3
2 2
λ
2 2
λ
1
2
( ) ( )
f r , f [ b (c )] , f [ b (c )]
( 4.9.1 )
( 4.9.2 )
( 4.9.3 )
( 4.9.4 )
( 4.9.5 )
= = − − = − − ( 4.9.6 )
şeklinde elde edilir.
olmak üzere,
( 3.3.2 ) Helmotz Denklemi;
2 1 2 3
= = ( ) =Θ ( ) =Λ ( )
( 4.9.7 )
α1 k U R r U θ U λ
i 3
1 d ⎛ dU ⎞ i
i ⎜fi i ⎟+
U φα ij j = 0
fidu ⎝ du ⎠ j= 1
∑ ( 4.9.8
)

şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;
2
dR 2dR 2 2
(k α
2
2 / r )R 0
dr r dr
90
+ + − = ( 4.9.9 )
2
2 2 2 2 d Θ 2 2 2 dΘ
2
θ −bc −θ −θ[2 θ − (b + c )] + ⎡α 2
2θ −α ⎤ 3 Θ= 0
dθ dθ
( )( )
⎣ ⎦ ( 4.9.10 )
2
2 2 2 2 d Λ 2 2 2 dΛ
2
( b −λ )( c − λ ) + λ[2 λ − (b + c )] −⎡α 2
2λ −α ⎤ 3 Λ= 0
dλ dλ
şeklinde üç denklem elde edilir.
⎣ ⎦ ( 4.9.11 )
2 2
Bu denklemlerde eğer α = p(p + 1) ve α = q(b + c ) alınırsa;
( 4.9.9 ) ,( 4.9.10 ) ,( 4.9.11 ) denklemleri,
2 3
2
dR 2dR 2 2
(k p(p 1)/ r )R 0
2
+ + − + = ( 4.9.12 )
dr r dr
2
2 2 2 2 d Θ 2 2 2 dΘ
2 2 2
( θ −b )( θ − c ) + θ ⎡2 θ − (b + c ) ⎤ − [p(p+ 1) θ − q(b + c )] Θ= 0
2
dθ dθ
⎣ ⎦ ( 4.9.13 )
2
2 2 2 2 d Λ 2 2 2 dΛ
2 2 2
( λ −b)( λ − c) + θ ⎡2 λ − (b+ c) ⎤ − [p(p+ 1) λ − q(b+ c)] Λ = 0
2
dλ dλ
⎣ ⎦ ( 4.9.14 )
şeklini alır. ( 4.9.12 ) ,( 4.9.13 ) , ( 4.9.14 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
−1/2
R = r [A1J p+ 1/2(kr) + B1 J − (p+ 1/2) (kr)]
( 4.9.15 )
2 ( ) 2 ( ) B
q q
Θ= AEp θ + F p θ
( 4.9.16 )
q q
Λ= E ( λ) + B. F ( λ )
( 4.9.17 )
olarak bulunur.
p p
Eğer α2 = α3
= 0 alınırsa, ( 4.9.9 ) ,( 4.9.10 ) ,( 4.9.11 ) denklemleri,
2
dR 2dR 2
kr 0
2
+ + = ( 4.9.18 )
dr r dr
d dΘ
θ θ
dθ dθ
− − = ( 4.9.19 )
2 2 1/2 2 2 1/2
[( b ) (c ) ] 0
d dΛ
λ λ
dλ dλ
− − = ( 4.9.20 )
2 2 1/2 2 2 1/2
[(b ) (c ) ] 0
şeklini alır. ( 4.2.10 ) ,( 4.2.11 ) , ( 4.2.12 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;

1
R = [A1sinkr + B1cos kr]
r
− ⎛θb⎞ sin
⎝b c ⎠
1
Θ= A2 + B 2 ⎜ , ⎟
λ − ⎛ b ⎞
sin
⎝b c ⎠
1
Λ= A3 + B 3 ⎜ , ⎟
91
φ ; θ ve λ den sağımsız ise ( 4.9.9 ) ,( 4.9.10 ) ,( 4.9.11 ) denklemleri,
φ φ
dr r dr
şeklini alır. Bu denklemin çözümü ise;
şeklindedir.
( 4.9.21 )
( ) 4.9.22
( ) 4.9.22
2
d 2 d 2
+ + k φ = 0
2
( 4.9.23 )
r ( kr) ( kr )
( 4.9.24 )
R = 1/ [A sin + B cos ]
1 1

determinantı;
[ ]
det S
92
4.10. Elipsoidal Koordinatlarda Çözüm
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris ve
[ S]
⎡ 4 2
η 1
η ⎤
⎢ ⎥
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎢ ( η −b )( η −c ) ( η −b )( η −c ) ( η −b )( η −c
) ⎥
⎢ 4 2
−θ −1−θ ⎥
= ⎢ ⎥
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎢ ⎥
( ) ( ) ( )
θ −b (c −θ ) θ −b (c −θ ) θ −b (c −θ
)
⎢ ⎥
4 2
⎢ λ 1
λ ⎥
⎢ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(b −λ )(c −λ ) (b −λ )(c −λ ) (b −λ )(c −λ
)
⎥
⎣ ⎦
2 2 2 2 2 2
( η −θ )( η −λ )( θ −λ
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
=
( η −b )( η −c )( θ −b )(c −θ )(b −λ )(c −θ )(b −λ )(c −λ
)
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından;
2 2
( θ − λ )
M 11 = 2 2 2 2 2 2 2 2
( θ −b )(c −θ )(b −λ )(c −λ
)
2 2
( η − λ )
M 21 = 2 2 2 2 2 2 2 2
( η −b )( η −c )(b −λ )(c −λ
)
2 2
( η −θ
)
M 31 = 2 2 2 2 2 2 2 2
( η −b )( η −c )( θ −b )(c −θ
)
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,
g
g
g
g
η θ η λ
( η −b )( η −c
)
θ λ η θ
( θ −b )(c −θ)
η λ θ λ
(b −λ)(c −λ)
2 2 2 2
( − )( − )
11 = 2 2 2 2
2 2 2 2
( − )( − )
22 = 2 2 2 2
2 2 2 2
( − )( − )
33 = 2 2 2 2
1/2
2 2 2 2 2 2
( η −θ )( η −λ )( θ −λ
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/2
=
[( η −b)( η −c)( θ −b)(c −θ )(b −λ )(c −λ
)]
olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,
( 4.10.1 )
( 4.10.2 )
( 4.10.3 )
( 4.10.4 )
( 4.10.5 )

2 2 2 2
1/2
f 1 = ⎡
⎣( η −b )( η −c
) ⎤
⎦
2 2 2 2
1/2
f 2 = ⎡
⎣( θ −b )(c −θ
) ⎤
⎦
2 2 2 2
1/2
f 3 = ⎡(b −λ )(c −λ
) ⎤
şeklinde elde edilir.
olmak üzere
⎣ ⎦
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;
93
( 4.10.6 )
2 1 2 3
= = ( ) =Θ ( ) =Λ ( )
( 4.10.7 )
α1 k, U H η , U θ , U λ
i 3
1 d ⎛ dU ⎞ i
i ⎜fi i ⎟+
U φα ij j = 0
fidu ⎝ du ⎠ j= 1
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;
( 4.10.8 )
2
2 2 2 2 dH 2 2 2 dH 2 4 2
( η −b )( η − c ) + η⎡2 η − (b + c ) ⎤ + ⎡k η + αη 2
3 + α ⎤ 2 H= 0
dη dη
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( 4.10.9 )
2
2 2 2 2 d Θ 2 2 2 dΘ
2 4 2
( θ −b )(c − θ ) + θ ⎡2 θ − (b + c ) ⎤ + ⎡k θ + α 2
3θ + α ⎤ 2 Θ= 0
dθ dθ
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( 4.10.10 )
2
2 2 2 2 d Λ 2 2 2 dΛ
2 4 2
(b −λ )(c − λ ) + λ⎡2 λ − (b + c ) ⎤ + ⎡kλ + α 2
3λ + α ⎤ 2 Λ = 0
dλ dλ
şeklinde üç denklem elde edilir.
Bu denklemlerde eğer
( 4.10.9 ) ,( 4.10.10 ) ,( 4.10.11 ) denklemleri,
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( 4.10.11 )
α = q(b + c ) ve α =− p(p + 1) alınırsa;
2 2
2 3
2
2 2 2 2 dH 2 2 2 dH
( η −b )( η − c ) + η⎡2 η (b c )
2
dη⎣ − + ⎤
⎦ dη
2 4 2 2 2
+ [k η − p(p + 1) η − q(b + c )]H = 0
2
2 2 2 2 d Θ 2 2 2 dΘ
( θ −b )( θ − c ) + θ ⎡2 θ (b c )
2
dθ⎣ − + ⎤
⎦ dθ
2 4 2 2 2
+ [k θ − p(p + 1) θ − q(b + c )] Θ= 0
2
2 2 2 2 d Λ 2 2 2 dΛ
( λ −b )( λ − c ) + λ⎡2 λ (b c )
2
dλ⎣ − + ⎤
⎦ dλ
2 4 2 2 2
+ [k λ − p(p + 1) λ + q(b + c )] Λ= 0
( 4.10.11 )
( 4.10.11 )
( 4.10.12
)

şeklini alır. ( 4.2.10 ) ,( 4.2.11 ) , ( 4.2.12 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
dır.
q q
1 p 1 p
94
H= A E ( k, η) + B F ( k , η)
( 4.10.13 )
Θ= A E ( k, θ ) + B F ( k , θ )
( 4.10.14 )
q q
2 p 2 p
λ = A E ( k, λ) + B F ( k , λ)
( 4.10.14 )
q q
3 p 3 p

determinantı;
95
4.11. Paraboloidal Koordinatlarda Çözüm
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris ve
[ S]
2 ⎡ µ −1
µ ⎤
⎢ ⎥
⎢( µ −c)( µ −b) ( µ −c)( µ −b) ( µ −c)( µ −b)
⎥
⎢ 2
v −1
v
⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ( b −v)( c−v) ( b−v)( c−v) ( b−v)( c−v) ⎥
⎢ 2
⎥
⎢ −λ 1
−λ
⎥
⎢ ( b −λ)( λ−c) ( b−λ)( λ−c) ( b−λ)( λ−c)
⎥
⎣ ⎦
( µ −ν )( µ −λ)( λ−ν) S= det[ S]
=
( µ −b)( µ −c)( µ −ν)( c−ν)( b−λ)( λ−c)
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından
M
M
M
11
21
31
=
=
=
( λ − v)
( b −v)( c−v)( b−λ)( λ−c)
( µ − λ)
( µ −b)( µ −c)( b−λ)( λ−c)
( µ − v)
( µ −b)( µ −c)( b−v)( c−v) kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,
( µ −v)( µ −λ ) ( µ −v)( λ−v) ( λ −v)( µ −λ)
g 11 = , g 22 = , g33=
( µ −b)( µ −c) (b −v)(c−v) (b −λ)( λ−c)
g
1
2
( µ −v)( µ −λ)( λ−v)
=
[( µ −b)( µ −c)(b −v)(c −v)(b −λ)( λ−c)]
olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,
1 1 1 1 1 1
1 µ 2 µ 2
2
2 2
3
2 λ λ 2
f ( b) ( c) , f (b v) (c v) , f (b ) ( c)
1/2
( 4.11.1 )
( 4.11.2 )
( 4.11.3 )
( 4.11.4 )
( 4.11.5 )
= − − = − − = − − ( 4.11.6 )
şeklinde elde edilir.
olmak üzere;
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;
2 1 2 3
= =Μ ( ) = ( ) =Λ ( )
( 4.11.7 )
α 1 k, U µ , U Nv, U λ

96
i 3
1 d ⎛ dU ⎞ i
i ⎜fi i ⎟+
U Φ ijαj = 0
fidu ⎝ du ⎠ j1 =
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;
( 4.11.8 )
2
dM 1 dM
2
dµ 2 dµ
2 2
( µ −b)( µ − c ) + [2 µ − (b+ c)] + [k µ + α µ − α ]M= 0 ( 4.11.9 )
2
dN 1 dN
d
2
2 d
3 2
2 2
( b-ν)( c − ν) + [2 ν − (b + c)] + [k ν + αν − α ]N = 0 ( 4.11.10 )
ν ν
2
d Λ 1 dΛ
2
dλ 2 dλ
şeklinde üç denklem elde edilir.
3 2
2 2
( b-λ)( λ−c ) − [2 λ− (b + c)] + [k λ + α λ−α ] Λ = 0 ( 4.11.11 )
3 2
Bu denklemlerde eğer α2 = (b + c)q ve α3
=− p(p + 1) alınırsa;
( 4.11.9 ) ,( 4.11.10 ) ,( 4.11.11 ) denklemleri,
2
dM 1 dM
2
dµ 2 dµ
2 2
( µ −b)( µ − c ) + [2 µ − (b+ c)] + [k µ + α µ − α ]M= 0 ( 4.11.12 )
2
dN 1 dN
2
dv 2 dv
3 2
2 2
( b-v)( c − v ) + [2v − (b + c)] + [k v + α v − α ]N = 0 ( 4.11.13 )
2
d 1 d
d
2
2 d
Λ Λ
λ λ
3 2
2 2
( b-λ)( λ−c ) − [2 λ− (b + c)] + [k λ + α λ−α ] Λ = 0 ( 4.11.14 )
3 2
şeklini alır. ( 4.11.12 ) ,( 4.11.13 ) , ( 4.11.14 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
dır.
q q
M = A 1Bp( k, µ ) + B 1Cp(
k , µ )
( 4.11.15 )
q q
N= A 2Bp( k, ν ) + B 2Cp(
k , ν )
( 4.11.16 )
Λ= A B ( k, λ) + B C ( k , λ)
( 4.11.17 )
q q
3 p 3 p
indirgenmiş dalga denklemi bilinir. normal dalga denklemini zamandan bağımsız

97
TARTIŞMA
Literatürde Helmhotz Diferansiyel Denklemlinin çözümlerinin incelendiği Özel
Ortogonal Koordinat Sistemleri genel olarak “Silindirik Koordinatlar”, “Dönel
Koordinatlar”, ve Genel Koordinatlar olarak üç ana başlıkta incelenmektedir. Bu
başlıklar altında yapılan sınıflandırmada Silindirik Koordinatlar;
Dairesel Koordinatlar
Eliptik Silindirik Koordinatlar
Parabolik Koordinatlar
alt ana başlıkları ile, Dönel Koordinatlar;
Küresel Koordinatlar
Prolate Koordinatlar
Oblate Koordinatlar
Parabolik Koordinatlar
alt ana başlıkları ile, Genel Koordinatlar;
Küresel Koordinatlar
Elipsoidal Koordinatlar
Parabolidal Koordinatlar
altında sınıflandırmaktadır.
Bu Koordinat sistemlerine ek olarak bazı özel koordinatlar ile yüzey
koordinatları da incelenmekte, bu koordinat sistemlerinin de özel fonksiyonların aldığı
biçim araştırılmaktadır.

q q
B , C : Bear Fonksiyonu.
p p
cem, fe m:
Mathieu Fonksiyonu.
q
E p ,
J p , 0
⎡g⎤ ⎣ ij ⎦
q
F p : Lame Fonksiyonu.
Y : Bessel Fonksiyonu.
: Metrik Katsayılar Matrisi.
Pe ve L p:
Legendre Fonksiyonu.
W p : Weber Fonksiyonu.
98
SİMGELER DİZİNİ

99
KAYNAKLAR
1- Moon,P., Spenser,D.E., 1961. Field Theory Handbook. Including Coordinate
Systems Differential Equations and Their Solutuons. Berlin. 1-48, 144-162.
2- Moon,P., Spencer,D.E.,1960 Field Theory For Enginers. D.Van Nostrant
Company, Inc. Toronto London. 301-331
3- Moon,P., Spencer,D.E., 1953. The Meaningof the Vector Laplacian. J.Franklin
Inst. 256-551.
4- Moon,P., Spencer,D.E. 1988 ‘Eleven Coordinate Systems’ and ‘The Vectör
Helmholtz Equation.’ Nevyork Springer Verlog . PP . 1-48 and 1-48, 136-143
5- Magnus,W., Oberhettinger,F., Tricomi,F. G., 1955 Higher transcendental
functions, McGraw-Hill Book Company, Inc., Volume III
6- Bell,W. W., 1968, Special Functions for Scientists and Engineers,D. Van
Nostrand Company Ltd.
7- Haberman,R.,1987, Elementray Applied Partial Differential Equations, Prentice
Hall, Inc.,Englewood Cliffs, New Jersey
8- Çağlayan,M.,Çelebi,O., 2002, Kısmi Diferansiyel Denklemler, Vipaş A.Ş.
Uludağ Üniversitesi Güçlendirme Vakfı.
9- Murray,R.S., 1963, Theory and Problems of Advanced Calculus, McGraw-Hill,
Inc, pp. 134-143
10- Gradsteny,I.S., Rhyzik. I. M. 1980, Tables of Integrals Series and Products,
Academic, New York.

100
11- Morse,P. M. and Feshbach, H. 1953. "Tables of Separable Coordinates in Three
Dimensions." Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill,
pp. 125-129, 509-511, 514, 658 ve 655-666,
12- Zwillinger,D. (Ed.). 1995. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae.
Boca Raton, FL: CRC Press, p.129, 417
13- Abramowitz,M., Stegun, I. A. (Eds.). 1972. "Mathieu Functions." Ch. 20 in
Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical
Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 721-746.
14- Arfken,G. "Conical Coordinates,. 1970. 16 in Mathematical Methods for
Physicists, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 103-119.
15- Byerly,W. E. 1959. An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical,
Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in
Mathematical Physics. New York: Dover, pp. 243-244.
16- Kriez,E. E.; Tsiboukis, T. D. 1992. Panas, S. M.; and Tegopoulos, J. A. "Eddy
Currents:theory and Applications,." Proc. IEEE 80, 1559-1589
17- Bitsadze,A.V.,1980,Equations of Mathemtiacl physics, Mir publishers
18- Koca,K. Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemler. 2001 Gündüz Eğitim
Yayınevi. Ankara.
19- Bitsade,A.V., Kalenizhenko, D.F. 1980. A Collection of Problems on the
Equations of Mathematical Physics.
20- Kerokian,J. 1993. Portical Differential Equations, Analtical Solution
Technigues. New York – London.

101
21- Snedon,I.N., 1957 Elements of Portical Differential Equations, New York-
Toronto –London: Me Grav –Hill.
22- Bleeker,D., Csordas,G.. 1996,Basic Partial Differential Equations, International
Press, Cambridge, Massachustts
23- Abramowitz,M.& Stegun,1,A.,1972 Handbook of Mathematical Functions,
Dover Publications, Inc.,New York, pp. 752-772

ÖZ GEÇMİŞ
Adı Soyadı : Oğuz BAĞRAN
102
Doğum Yeri : Yeşilhisar/KAYSERİ
Doğum Tarihi : 25.11.1969
Medeni Hali : Evli
Eğitim ve Akademik Durumu
İlkokul : Kayseri Alparslan İlkokulu
Ortaokul : Kayseri Sümer İlkokulu
Lise : Kayseri Merkez Atatürk Lisesi
Lisans : Erciyes Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü
Yabancı Dil : İngilizce
İş tecrübesi
1991 yılında Konya Ereğli Zengen Lisesi’nde Matematik Öğretmeni göreve
başladım. 1995 yılında askerlik görevimi Asteğmen olarak tamamladım. Aynı yıl
Edirne Fen Lisesine Öğretmen Seçme Sınavı ile atandım. Halen yeni ismi Edirne
Süleyman Demirel Fen Lisesi olan okulumuzda Matematik Öğretmeni olarak görev
yapmaktayım.