tc trakya üniversitesi fen bilimleri enstitüsü helmholtz denklemi ve ...
tc trakya üniversitesi fen bilimleri enstitüsü helmholtz denklemi ve ...
tc trakya üniversitesi fen bilimleri enstitüsü helmholtz denklemi ve ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
T.C.<br />
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ<br />
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ<br />
HELMHOLTZ DENKLEMİ VE ONBİR KOORDİNAT<br />
SİSTEMİNDE ÇÖZÜMÜ<br />
OĞUZ BAĞRAN<br />
YÜKSEK LİSANS TEZİ<br />
MATEMATİK ANA BİLİM DALI<br />
DANIŞMAN<br />
YRD. DOÇ. DR. CENGİZ DANE<br />
Edirne 2007
T.C.<br />
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ<br />
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ<br />
HELMHOLTZ DENKLEMİ VE ONBİR KOORDİNAT<br />
SİSTEMİNDE ÇÖZÜMÜ<br />
OĞUZ BAĞRAN<br />
YÜKSEK LİSANS TEZİ<br />
MATEMATİK ANA BİLİM DALI<br />
Bu Tez / / 2007 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Tarafından Kabul Edilmiştir.<br />
Yrd. Doç. Dr. Cengiz DANE<br />
AKBAŞ<br />
Prof. Dr. Hasan<br />
(Danışman) (Üye)<br />
Prof. Dr. Hülya İŞCAN<br />
(Üye)
İÇİNDEKİLER<br />
Sayfa<br />
ÖZET … ……………...…………………………………………………………….i<br />
SUMMARY ……………………………………………………………………...….ii<br />
ÖNSÖZ ………………………………………………………………………..……iii<br />
I. BÖLÜM<br />
1.1 Giriş…………………………………………………………...1<br />
1.2. Eğrisel Koordinatlar…………………………………………..2<br />
1.3. Ortagonal Koordinat Sistemleri……………….……………..7<br />
1.4. Gradyent, Di<strong>ve</strong>rjans, Rotasyonel <strong>ve</strong> Laplasyenin<br />
Ortagonal Eğrisel Koordinatlardaki İfadeleri……………….9<br />
II. BÖLÜM<br />
2.1. Kartezyen koordinatlar……………………………………..12<br />
2. 2. Dairesel Silindirik Koordinatlar……………………………15<br />
2.3 Eliptik Silindirik Koordinatlar……………………………...18<br />
2.4. Parabolik Silindirik Koordinatlar…………………………..22<br />
2.5 Küresel Koordinatlar………………………………………..25<br />
2.6 Prolate Küresel Koordinatlar………………………………..28<br />
2.7 Oblate Küresel Koordinatlar………………………………...32<br />
2.8. Parabolik Koordinatlar……………………………………....36<br />
2.9. Konikal Koordinatlar…………………………………….....40<br />
2.10. Elipsoidal Koordinatlar……………………………………..45<br />
2.11. Parabolidial Koordinatlar…………………………………...63<br />
III. BÖLÜM<br />
3.1. Helmholtz Denklemi……………………………………….56<br />
3.2. Basit Ayrıştırma <strong>ve</strong> Stackel Matris………………………...63
IV. BÖLÜM<br />
Helmholtz Diferansiyel Denkleminin<br />
4.1. Kartezyen koordinatlarda çözümü………………………...63<br />
4.2. Dairesel Silindirik Koordinatlarda çözümü………………67<br />
4.3. Eliptik Silindirik Koordinatlarda çözümü…………….…..72<br />
4.4. Parabolik Silindirik Koordinatlarda çözümü……...………76<br />
4.5. Küresel Koordinatlarda çözümü…………………………..80<br />
4.6. Prolate Küresel Koordinatlarda çözümü………………….83<br />
4.7. Oblate Küresel Koordinatlarda çözümü.....……………….85<br />
4.8. Parabolik Koordinatlarda çözümü.…………………..…....87<br />
4.9. Konikal Koordinatlarda çözümü……………….……........89<br />
4.10. Elipsoidal Koordinatlarda çözümü.……………….…... …92<br />
4.11. Paraboloidal Koordinatlarda çözümü.………………….…95<br />
TARTIŞMA…………………………………………………………………..….97<br />
SİMGELER DİZİNİ…………………………………………………………….98<br />
KAYNAKLAR…………………………………………………………………...99<br />
ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………………………..102
i<br />
ÖZET<br />
Doğadaki olayları açıklamak için en etkin <strong>ve</strong> sistematik yol Diferansiyel<br />
Denklem dilini kullanmaktır. Fizik, Kimya, Biyoloji, Astroloji, Mühendislik, Ekonomi<br />
<strong>ve</strong> diğer pek çok Uygulamalı Bilimler, Diferansiyel Denklemlerin önemli uygulama<br />
alanlarıdır. Bunun dışında, matematiğin kendi içinde de diferansiyel denklemlerin<br />
önemli bir yeri vardır.<br />
Diferansiyel Denklemler <strong>ve</strong> koordinat sistemleri birbirleri ile yakından<br />
ilişkilidirler. Özellikle denklemlerin çözümlerinin bulunması denklemlerin koordinat<br />
sistemlerinde uygun ifade edilmelerine bağlıdır.<br />
Çalışmanın I. Bölümünde Eğrisel Koordinatlar <strong>ve</strong> Ortogonal Koordinat<br />
Sistemleri hakkında genel kavramlar ile Gradyent, Di<strong>ve</strong>rjans, Rotasyonel <strong>ve</strong><br />
Laplasyen ifadeleri <strong>ve</strong>rilmiştir.<br />
II. Bölümde Özel Ortogonal Koordinat Sistemleri tanıtılarak özellikleri<br />
irdelenmiştir.<br />
III. Bölümde Helmholtz Denklemi tanıtılmış, Stackel Matris <strong>ve</strong> Helmholtz<br />
Denkleminin Basit Ayrıştırması irdelenmiştir.<br />
IV. Bölümde Helmholtz Denkleminin Özel Koordinat Sistemlerinde Çözümü<br />
<strong>ve</strong>rilmiştir.<br />
Anahtar Kelimeler: Eğrisel Koordinatlar, Helmholtz Denklemi, Ayrıştırma.
ii<br />
SUMMARY<br />
In order to explain the e<strong>ve</strong>nts in the nature, the most effecti<strong>ve</strong> and systematic<br />
way is to use the language of Differential Equation. Physics, Chemistry, Biology,<br />
Astrnomy, Engineering, Economics and many other practical Applied Sciences are the<br />
important fields for application of Differential Equation. A part from these, differential<br />
equation ha<strong>ve</strong> an important place in mathematics itself.<br />
Differential Equations and coordinate systems are closely related to each other.<br />
Especialy, finding the solutions of equations depens on the appropriate expression of the<br />
equations in coordinate systems.<br />
In the first chapter of this study, the general concepts about Curvilinear<br />
Coordinates ant Orthogonal Coordinate Sysstems are gi<strong>ve</strong>n and the terms Gradient,<br />
Di<strong>ve</strong>rgence, Rotational and Laplacian are determined.<br />
In the second chapter, Special Orthogonal Coordinate Systems are gi<strong>ve</strong>n and<br />
their characteristics are studied.<br />
In the third chapter, Helmholtz Equations is gi<strong>ve</strong>n and the Basic Separation of<br />
Helmholtz Equations and Stackel Matrix are studied.<br />
In the fourth chapter, The Solution of the Helmholtz Equation in Special<br />
Coordinate Systems are gi<strong>ve</strong>n.<br />
Key words: Curvilinear Coordinates, Helmholtz Equation, Separation.
iii<br />
ÖNSÖZ<br />
Tez çalışmam boyunca her türlü yardımlarını esirgemeyen <strong>ve</strong> çalışmamın ortaya<br />
çıkmasında emeği geçen hocam Yrd. Doç. Dr. Cengiz DANE’ye teşekkürlerimi<br />
sunarım.<br />
Hem yardımları hem de manevi desteğiyle yanımda olan başta Prof. Dr. Hülya<br />
İŞCAN olmak üzere tüm Matematik Bölümüne şükranlarımı sunarım.<br />
En başından beri beni destekleyen <strong>ve</strong> daima yanımda olan sevgili eşime <strong>ve</strong><br />
aileme en içten teşekkürlerimi sunarım.
1.1 GİRİŞ<br />
1<br />
I.BÖLÜM<br />
Matematik doğayı anlama <strong>ve</strong> anlatmada çok yararlı bir dildir. Örneğin bugün<br />
insanların gözlerinin <strong>ve</strong> saçlarının rengi gibi somut özelliklerinin incelenmesi, gök<br />
cisimlerinin hareketlerinden atom altı parçacıklarının hareketlerinin açıklaması gibi<br />
olaylar <strong>ve</strong> kavramlar matematik dili ile ifade edilirler. Doğa ile matematik arasındaki<br />
ilişkiyi açıklamak doğadaki düzenin bilinmesi <strong>ve</strong> bu düzenin nasıl çalıştığının<br />
anlaşılması <strong>ve</strong>ya doğa sisteminin matematiksel olarak modellenmesi açısından<br />
önemlidir.<br />
Matematiksel model söz konusu olduğunda genellikle diferansiyel denklem <strong>ve</strong>ya<br />
diferansiyel denklem sistemleri ile karşılaşırız. Matematiksel modellerle formüle edilen<br />
<strong>ve</strong> diferansiyel denklemlere dönüştürülebilen olayların analizi genellikle bu<br />
diferansiyel denklemlerin çözümü olan fonksiyonların incelenmesi ile yapılır.<br />
Diferansiyel denklemlerin matematiksel ifadeleri denklemlerin karakterize<br />
edildiği koordinat sistemleri ile yakından ilgilidir. Bir denklem bir koordinat sisteminde<br />
uzun <strong>ve</strong> karmaşık matematik ifadelerle belirtildiği halde, uygun bir koordinat<br />
sisteminde aynı denklem daha özlü bir biçimde ifade edilebilir <strong>ve</strong> çözümleri tam olarak<br />
elde edilir. Fizik, Mühendislik <strong>ve</strong> Uygulamalı Bilimlerde sıkça karşılaştığımız<br />
denklemlerden Laplace, Poisson, Difizyon <strong>ve</strong> Dalga Denklemleri gibi denklemler<br />
benzer karaktere sahip denklemlerdir. Bu denklemler Helmholtz Denklemi olarak<br />
bilinen <strong>ve</strong> çözümlerini inceleyebildiğimiz bir özel denkleme dönüştürülebilen<br />
denklemlerdir.<br />
2 2<br />
∇ φ+ k φ = 0 Helmholtz Denkleminin çeşitli koordinat sistemlerinde yapılan<br />
çözümleri, yukarıda belirtilen denklemlerin çözümlerinin bulunması <strong>ve</strong> bu çözümlerin<br />
analizi açısından önemlidir.<br />
Bu çalışmada on bir koordinat sistemi incelenmiş <strong>ve</strong> bu sistemlerde Helmholtz<br />
Diferansiyel Denkleminin ayrıştırması yapılarak çözümleri bulunmuştur.
1.2.Eğrisel Koordinatlar<br />
2<br />
KOORDİNAT SİSTEMLERİ<br />
( x,y,z ) Bir noktanın koordinatları olmak üzere,<br />
f1( x,y,z ) , f2( x,y,z ) , f3( x,y,z ) <strong>ve</strong>rilmiş bölgede x,y,z nin sürekli fonksiyonları<br />
olsun.<br />
= ( ) = ( ) = ( )<br />
( 1.2.1 )<br />
u f x, y,z , u f x,y,z , u f x,y,z<br />
1 2 3<br />
1 2 3<br />
denklemleri de x,y,z ye göre çözülerek<br />
1 2 3 1 2 3 1 2 3<br />
( ) ( ) ( )<br />
x g u ,u ,u , y g u ,u ,u , z g u ,u ,u<br />
= = = ( 1.2.2 )<br />
1 2 3<br />
yazılabilsin. Ayrıca g 1,g 2,g 3 fonksiyonları da<br />
zaman bölge içindeki koordinatları ( )<br />
değer takımı karşılık gelir. Bu<br />
1 2 3<br />
u ,u ,u ün fonksiyonları olsun. O<br />
1 2 3<br />
x, y,z olan her P noktasına bir ( u,u,u )<br />
1 2 3<br />
u ,u ,u fonksiyonlarına P noktasının eğrisel<br />
koordinatları, ( 1.2.1 ) <strong>ve</strong> ( 1.2.2 ) denklemlerine koordinat dönüşümü denklemleri denir.<br />
Her ( )<br />
1 2 3<br />
x, y,z değer takımına tek bir ( )<br />
u,u,u değer takımı <strong>ve</strong>ya her<br />
1 2 3 ( u,u,u ) değer takımına tek bir ( x, y,z ) değer takımı karşı gelmesi için<br />
x,y,z nin sürekli <strong>ve</strong> türevi alınabilen fonksiyonları, x,y,z yi de<br />
1 2 3<br />
u,u,u ü<br />
1 2 3<br />
u ,u ,u ün sürekli<br />
<strong>ve</strong> türevi alınabilen fonksiyonları olarak kabul ediyoruz. Bununla beraber birçok<br />
hallerde bu koşulların sağlanmadığı özel noktalar da bulunur.<br />
Her P noktasından koordinat yüzeyleri denilen<br />
u c , u c u c<br />
= = = ( 1.2.3 )<br />
1 2 3<br />
1 2 3<br />
yüzeyleri geçer. Burada c 1,c 2,c 3 birer sabiti göstermektedir. Bu üç yüzey ikişer ikişer<br />
koordinat eğrileri denilen üç eğri boyunca kesişirler. Şekil ( 1.2.1 ) <strong>ve</strong> Şekil ( 1.2.2 )<br />
Örneğin<br />
ile<br />
Her koordinat yüzeyi üzerinde bir koordinat sabit, diğer ikisi değişkendir.<br />
= yüzeyi üzerinde her yerde 1<br />
u , sabit c 1 değerine eşit olduğu halde<br />
1<br />
u c1<br />
3<br />
u noktadan noktaya değişik değerler alır. Bir yüzey sabit olan koordinatın adı ile<br />
adlandırılır.<br />
2<br />
u
3<br />
Şekil ( 1.2.1 )<br />
Şekil ( 1.2.2 )<br />
Başlangıç noktasını değişken ( )<br />
yer <strong>ve</strong>ktörü ( 1.2.2 ) bağıntıları yardımı ile<br />
olarak<br />
r r<br />
r = r u ,u ,u<br />
1 2 3 ( )<br />
r r r r<br />
P x,y,z noktasına birleştiren r = xi+ yj+ zk<br />
1 2 3<br />
u,u,u değişkenlerinin fonksiyonu<br />
( 1.2.4 )<br />
şeklinde yazılır. r r 1<br />
2 3<br />
fonksiyonun u e göre kısmi türevi, u <strong>ve</strong> u sabit tutularak, yani<br />
r<br />
1<br />
∂r<br />
P noktası u eğrisi üzerinde değiştirilerek elde edilir. , 1<br />
∂u<br />
1<br />
u eğrisine P noktasında<br />
1<br />
teğet olan bir <strong>ve</strong>ktördür. Buna göre u in P noktasındaki teğeti doğrultusundaki birim<br />
<strong>ve</strong>ktörü e1 r ile gösterilirse,<br />
olur. Eğer<br />
ile gösterilirse<br />
r<br />
e<br />
1<br />
r<br />
∂r<br />
1<br />
= ∂u<br />
∂r<br />
1<br />
∂u<br />
r<br />
∂ r<br />
= h 1<br />
∂u<br />
r ( 1.2.5 )<br />
1<br />
r<br />
∂ r<br />
= he 1<br />
∂u<br />
( 1.2.6 )<br />
r<br />
1 1<br />
( 1.2.7<br />
)
elde edilir. Benzer şekilde e2 ile e3<br />
4<br />
sırası ile<br />
teğetleri yönündeki birim <strong>ve</strong>ktörleri gösterirse<br />
r<br />
∂r<br />
2<br />
∂u<br />
= h<br />
2<br />
r<br />
∂r<br />
3<br />
∂u<br />
= h<br />
3<br />
1<br />
u <strong>ve</strong><br />
3<br />
u eğrilerinin P noktasındaki<br />
( 1.2.8 )<br />
olmak üzere<br />
r<br />
∂ r<br />
2<br />
∂u<br />
r<br />
= he 2 2<br />
r<br />
∂ r<br />
3<br />
∂u<br />
r<br />
= he 3 3<br />
( 1.2.10 )<br />
r r r<br />
şeklinde yazılır. h 1,h 2,h 3 büyükleri metrik katsayılar olarak adlandırılır. e,e,e 1 2 3 birim<br />
1 2 3<br />
<strong>ve</strong>ktörlerinin yönleri sırası ile artan u ,u ,u yönlerindedir. Sekil(1.2)<br />
1<br />
∇u ur<br />
, P noktasında 1<br />
u = c yüzeyinin normali doğrultusunda bir <strong>ve</strong>ktördür.<br />
1<br />
u c1<br />
1<br />
= yüzeyi normali doğrultusundaki birim <strong>ve</strong>ktörünü E1 ur ile gösterirsek,<br />
ur<br />
ur ∇u1<br />
E1<br />
=<br />
∇u<br />
yazılabilir. Benzer şekilde<br />
doğrultusundaki birim <strong>ve</strong>ktörleri 2<br />
ur<br />
ur<br />
2<br />
∇u<br />
E2<br />
= ur<br />
2<br />
∇u<br />
ur<br />
ur 3<br />
∇u<br />
<strong>ve</strong> E3<br />
=<br />
3<br />
∇u<br />
ur ( 1.2.11 )<br />
1<br />
2<br />
u c2<br />
= <strong>ve</strong><br />
E ur <strong>ve</strong> 3<br />
3<br />
u c3<br />
E ur ile gösterilirse<br />
= yüzeylerinin normalleri<br />
ur ( 1.2.12 )<br />
r r r ur ur ur<br />
yazılır. Gerek e,e,e 1 2 3 birim <strong>ve</strong>ktörlerinin, gerekse E,E,E 1 2 3 birim <strong>ve</strong>ktörlerinin<br />
yönleri bu <strong>ve</strong>ktör takımları bir sağ el <strong>ve</strong>ktör sistemi meydana getirecek şekilde seçilir.<br />
1 2 3<br />
Eğrisel sistemin her keyfi P noktasında, u ,u ,u koordinat eğrilerinin teğetleri<br />
r r r<br />
1 2 3<br />
yönünde olan ( e,e,e 1 2 3)<br />
diğeri u = c 1, u = c2 u = c3<br />
koordinat<br />
ur ur ur<br />
yüzeylerinin normalleri yönünde olan ( E,E,E 1 2 3)<br />
gibi iki sağ el birim <strong>ve</strong>ktör takımı<br />
r r r ur ur ur<br />
vardır. Genel olarak ( e,e,e 1 2 3)<br />
ile ( E,E,E 1 2 3)<br />
<strong>ve</strong>ktör takımları birbirinden farklıdır.<br />
Ancak eğrisel koordinat sistemi ortogonal olursa bu iki <strong>ve</strong>ktör takımı özdeş olur.<br />
Her keyfi A ur <strong>ve</strong>ktörü 1 2 3<br />
1 1 2 2 3 3<br />
a ,a ,a <strong>ve</strong>ya A 1,A 2,A 3 bileşenleri olmak üzere<br />
ur r r r<br />
A = a e + a e + a e<br />
( 1.2.13<br />
)
5<br />
ur ur ur ur<br />
A = A1E1+ A2E2 + A3E3 ( 1.2.14 )<br />
r r r ur ur ur<br />
şeklinde ( e,e,e 1 2 3)<br />
<strong>ve</strong>ya ( E,E,E 1 2 3)<br />
baz <strong>ve</strong>ktörleri cinsinden yazılabilir.<br />
r r r ur ur ur<br />
( e,e,e 1 2 3)<br />
<strong>ve</strong> ( E,E,E 1 2 3)<br />
<strong>ve</strong>ktör takımları ayrı ayrı üç boyutlu uzayın genel<br />
olarak birbirinden farklı iki bazını oluştururlar.<br />
<strong>ve</strong>ya<br />
Keyfi bir A ur <strong>ve</strong>ktörünü genel olarak büyüklükleri birim olmayan<br />
r r r<br />
∂r ∂r ∂r<br />
, ,<br />
∂u ∂u ∂u<br />
1 2 3<br />
uur uur uur<br />
∇.u , ∇.u , ∇.u<br />
1 2 3<br />
( 1.2.15 )<br />
( 1.2.16 )<br />
baz <strong>ve</strong>ktörleri cinsinden yazmak mümkündür. ( 1.2.15 ) <strong>ve</strong> ( 1.2.16 ) baz <strong>ve</strong>ktörlerine<br />
üniter baz <strong>ve</strong>ktörleri denir. Bu baz <strong>ve</strong>ktörleri cinsinden A ur <strong>ve</strong>ktörü<br />
r r r<br />
ur ∂r ∂r ∂r<br />
A= c1 + c 1 2 + c 2 3 3<br />
∂u ∂u ∂u<br />
uur uur uur<br />
= c1α 1+ c2α 2 + c3α3<br />
( 1.2.17 )<br />
ur uur uur uur uur uur uur<br />
1 2 3<br />
A = C ∇ .u + C ∇ .u + C ∇ .u = C β + C β + C β<br />
( 1.2.18 )<br />
1 2 3 1 1 2 2 3 3<br />
şeklinde yazılabilir. Burada<br />
r<br />
uur ∂r α 1 = 1<br />
∂u r<br />
uur ∂r α 2 = 2<br />
∂u r<br />
uur ∂r<br />
α3<br />
3<br />
∂u<br />
uur uur<br />
β =∇.u ,<br />
uur uur<br />
β =∇.u ,<br />
uur uur<br />
β =∇.u<br />
1 2 3<br />
1 2 3<br />
( 1.2.19 )<br />
( 1.2.20 )<br />
dır. C 1,C 2,C 3 bileşenlerine A ur <strong>ve</strong>ktörünün kovaryant, c 1,c 2,c 3 bileşenlerine de A ur<br />
<strong>ve</strong>ktörünün kontravaryant bileşenleri denir.<br />
Kartezyen koordinatlarda yay uzunluğunun <strong>denklemi</strong>ni;<br />
2 2 2 2<br />
ds = dx + dy + dz<br />
( 1.2.21 )<br />
şeklinde ifade edilir. Eğrisel koordinatlarda d r →<br />
→ → →<br />
için diferansiyel tanımından,<br />
→ ∂ r ∂ r ∂ r<br />
d r = du + du + du = α .du + α .du + α .du<br />
∂u ∂u ∂u<br />
elde edilir. d r →<br />
1 2 3 1 2 3<br />
1 2 3<br />
1 2 3<br />
nin bu değerini ( 1.2.22 ) de yerine yazılırsa;<br />
( 1.2.22 )
2<br />
3 3<br />
i j<br />
ij<br />
i= 1 j= 1<br />
6<br />
ds = ∑∑ g du du<br />
( 1.2.23 )<br />
elde edilir. Burada<br />
g .<br />
ij = α iαj ur ur ( 1.2.24 )<br />
dir. ij g ye metrik katsayıları denir. ij g = ji g dir. Yani g ij simetriktir. ( ) 1.2.24<br />
bağıntısı, temel kuadratik form <strong>ve</strong>ya metrik form olarak adlandırılır.<br />
Eğer i ile j nin farklı değerleri çin g ij =0 ise o zaman koordinat sistemi<br />
ortogonaldir. Ortogonal koordinat sistemleri için,<br />
→ →<br />
2 2 2<br />
∂ r ∂ r ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y<br />
⎞ 2<br />
ii = = i i ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = i<br />
∂u ∂u ∂ui ∂ui ∂ui<br />
( 1.2.25 )<br />
g h<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
dir. Burada i=1,2,3 değerleri için ayrı ayrı üç denklem elde edilir. Bu bağıntı<br />
h 1,h 2,h 3 metrik katsayılarının hesaplanmasında kullanılır.
1.3. Ortogonal Koordinat Sistemleri<br />
1.4.<br />
Eğer koordinat eğrileri her P( x,y,z ) noktasında bibirine dik ise<br />
eğrisel koordinatları ortogonaldir denir.<br />
r r r<br />
e,e,e 1 2 3 ( 1.2.5 ) de tanımlanan birim <strong>ve</strong>ktörler <strong>ve</strong><br />
7<br />
1 2 3<br />
u,u,u<br />
1 2 3<br />
s,s,s;u,u 1 2 3 ,u ün<br />
pozitif yönünde koordinat eğrileri boyunca ölçülen yay uzunluklarını göstermek üzere<br />
ds ds ds ds<br />
= + + ( 1.3.1 )<br />
2 2 2 2<br />
1 2 3<br />
şeklinde yazılır. Bu ifade h 1,h 2,h 3 metrik katsayıları cinsinden<br />
2 2 2<br />
( ) ( ) ( )<br />
ds h du h du h du<br />
= + + ( 1.3.2 )<br />
2 2 1 2 2 2 3<br />
1 2 3<br />
şeklinde yazılır. Ayrıca dik koordinat sistemleri için,<br />
r r r<br />
⎛ ∂r ∂r ∂r<br />
⎞<br />
J = ⎜ 1 2 3 ⎟<br />
⎝∂u ∂u ∂u<br />
⎠<br />
r r r<br />
∂r ⎛ ∂r ∂r<br />
⎞<br />
= x<br />
1⎜ 2 3 ⎟<br />
∂u ⎝∂u ∂u<br />
⎠<br />
r r r<br />
= he 1 1. ( he 2 2 xhe 3 3 )<br />
r r r<br />
= hhh.e1 exe 2 3<br />
1 2 3<br />
= hhh<br />
1 2 3<br />
( )<br />
dir.<br />
r r r<br />
uur uur uur<br />
⎛ ∂r ∂r ∂r<br />
⎞<br />
( ∇.u 1, ∇.u 2, ∇.u<br />
3)<br />
<strong>ve</strong>ktör takımı ⎜ , , 1 2 3 ⎟<br />
⎝∂u ∂u ∂u<br />
⎠<br />
sistemler olduğundan ortogonal koordinat sistemleri için<br />
r r<br />
ur<br />
ur<br />
1 1⎛ ∂r ∂r<br />
⎞ 1 e1<br />
∇ u = ⎜ x 2 3 ⎟=<br />
=<br />
J⎝∂u ∂u<br />
⎠ h1h2h3 h1<br />
r r<br />
uur<br />
ur<br />
2 1⎛ ∂r ∂r<br />
⎞ 1 uur ur e2<br />
∇ u = ⎜ x h 3 1⎟=<br />
⎡ 3e3x h1e ⎤ 1 =<br />
J ∂u ∂u<br />
h1h2h ⎣ ⎦<br />
⎝ ⎠<br />
3 h2<br />
dır.<br />
ur<br />
∇ u<br />
r r<br />
1⎛ ∂r ∂r<br />
⎞<br />
= x =<br />
1<br />
uur<br />
ur uur e<br />
⎡h e x h e ⎤ =<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
3 ⎜ 1 2 ⎟ 1 1 2 2<br />
J ∂u ∂u<br />
h1h2h ⎣ ⎦<br />
3 h3<br />
( 1.3.3 )<br />
<strong>ve</strong>ktör takımı ile ters<br />
( 1.3.4 )<br />
( 1.3.5)<br />
( 1.3.6 )
Bu bağıntılar kullanılarak e,e,e 1 2 3 <strong>ve</strong>ktörleri için,<br />
ur uur<br />
2 3<br />
e1 = h2h 3∇.u<br />
xu<br />
uur uur<br />
3 1<br />
e2 = h3h 1∇.u<br />
xu<br />
uur uur<br />
1 2<br />
e = h h ∇.u<br />
xu<br />
3 1 2<br />
bağıntıları bulunur.<br />
8<br />
( 1.3.7 )
9<br />
1.4. Gradyent, Di<strong>ve</strong>rjans, Rotasyonel Laplasyen’in Ortogonal Eğrisel<br />
Koordinatlardaki İfadeleri<br />
Bir f skaler fonksiyonun Gradyenti bir <strong>ve</strong>ktördür. Gradyent <strong>ve</strong>ktörünün<br />
r r r<br />
e,e,e)<br />
bazındaki bileşenleri f,f,f 1 2 3 ise<br />
uur r r r<br />
∇ .f = f e1+ f e 2 + f e 3<br />
( 1.4.1 )<br />
( 1 2 3<br />
şeklinde ifade edilir.<br />
1 2 3<br />
f,f,f 1 2 3 bileşenleri nin eğrisel koordinatlar cinsinden ifadesi r ;<br />
fonksiyonu olmak üzere<br />
r<br />
r ∂r dr = du<br />
∂u r<br />
∂r + du<br />
∂u r<br />
∂r<br />
+ du<br />
∂u<br />
ur<br />
= h1e1du uur<br />
+ h2e2du uur<br />
+ h3e3du dır. Ayrıca<br />
1 2 3 1 2 3<br />
1 2 3<br />
r<br />
1 2 3<br />
u,u,u ün<br />
( 1.4.2 )<br />
df =∇.f.dr uur r ( 1.4.3 )<br />
bağıntısından ( 1.4.1) <strong>ve</strong> ( 1.4.2 ) bağıntılarını kullanarak<br />
df h f du h f du h f du<br />
= + + ( 1.4.4 )<br />
1 2 3<br />
1 1 2 2 3 3<br />
1 2 3<br />
elde edilir. Diğer taraftan f fonksiyonu ( u,u,u) eğrisel koordinatlarının bir skaler<br />
fonksiyonu olduğu dikkate alınarak<br />
r<br />
∂r df = du 1<br />
∂u r<br />
∂r + du 2<br />
∂u r<br />
∂r<br />
+ du 3<br />
∂u<br />
1 2 3<br />
yazılır. ( 1.3.4 ) ,( 1.3.5 ) ,( 1.3.6 ) <strong>ve</strong> ( 1.4.5 ) bağıntılarından<br />
1 ∂f<br />
f = i= 1,2,3<br />
i i<br />
hi∂u elde edilir. Bu değerler ( 1.3.1 ) bağıntısında yerine konulursa f in gradyenti<br />
r r r<br />
uur e ∂f e ∂f e ∂f<br />
∇ .f = + +<br />
h u h u h u<br />
1 2 3<br />
1<br />
1<br />
∂ 2 ∂<br />
2<br />
3 ∂<br />
3<br />
şeklinde elde edilir. Burada ∇ ur işlemcisinin dik eğrisel koordinatlardaki ifadesi<br />
r r r<br />
ur e1 ∂ e2 ∂ e2<br />
∂<br />
∇= + +<br />
1 2 3<br />
h ∂u h ∂u h ∂u<br />
olarak bulunur.<br />
1 2 3<br />
( 1.4.5 )<br />
( 1.4.6 )<br />
( 1.4.7 )<br />
( 1.4.8 )
10<br />
Eğrisel koordinatlardaki bileşenleri A,A,A 1 2 3 olan<br />
ur r r r<br />
A= A e1+ A e2 + A e3<br />
( 1.4.9 )<br />
1 2 3<br />
<strong>ve</strong>ktör fonksiyonunun di<strong>ve</strong>rjansını hesaplamak için ( 1.4.7 ) bağıntısını kullanarak<br />
den<br />
ur ur r r r<br />
∇ f =∇ A e + A e + A e<br />
( 1 1 1 2 1 3)<br />
ur<br />
∇<br />
r<br />
=<br />
hhh 1 2 3 ∂u<br />
ur<br />
∇<br />
r<br />
=<br />
hhh 1 2 3 ∂u<br />
ur<br />
∇<br />
r<br />
=<br />
hhh ∂u<br />
1 ∂<br />
( Ae 1 1)<br />
( Ahh<br />
1 1 2 3)<br />
1 ∂<br />
( Ae 2 2 ) ( Ahh<br />
2 2 3 1)<br />
1 ∂<br />
( Ae 3 3 ) ( Ahh<br />
3 3 1 2)<br />
1 2 3<br />
bulunur. A1 = A2 = A3 = 1 özel değerler için ( 1.4.11 ) bağıntıları<br />
ur r 1 ∂<br />
∇ e =<br />
h h<br />
( )<br />
1<br />
1 2 3<br />
hhh 1 2 3 ∂u<br />
ur r 1 ∂<br />
∇ e =<br />
h h<br />
( )<br />
2<br />
2 3 1<br />
hhh 1 2 3 ∂u<br />
ur r 1 ∂<br />
∇ e =<br />
h h<br />
( )<br />
3<br />
3 1 2<br />
hhh 1 2 3 ∂u<br />
şeklini alır. Böylece keyfi bir A ur <strong>ve</strong>ktörünün eğrisel koordinatlardaki di<strong>ve</strong>rjansı<br />
ur ur 1<br />
∇ A= hhh<br />
⎡ ∂<br />
u<br />
( A h h ) +<br />
∂<br />
u<br />
( A h h ) +<br />
∂<br />
u<br />
( A h h<br />
⎤<br />
)<br />
⎢ 1 1 3 1 2 2 3 1 3 3 1 2 ⎥<br />
1 2 3 ⎣∂ ∂ ∂ ⎦<br />
( 1.4.10 )<br />
( 1.4.11 )<br />
( 1.4.12 )<br />
( 1.4.13 )<br />
formunda elde edilir. Benzer şekilde keyfi bir A ur <strong>ve</strong>ktörünün rotastyoneli için<br />
( 1.3.4 ) ,( 1.3.5 ) ,( 1.3.6 ) bağıntılarından<br />
r r<br />
ur r e2 ∂ e3<br />
∂<br />
∇ x( A1e1) = 3 ( A1h1) +<br />
2 ( A1h1) hh 3 1 ∂uhh 1 2 ∂u<br />
r<br />
ur<br />
ur r e3<br />
∂ e1<br />
∂<br />
∇ x A e2 = A h − A h<br />
2 3<br />
hh 1 2 ∂uhh 2 3 ∂u<br />
r r<br />
ur r e1 ∂ e2<br />
∂<br />
∇ x A3e3= A 3 3h3 − A 1 3h3 hh ∂uhh∂u ( 2 ) ( 2 2) ( 2 2)<br />
( ) ( ) ( )<br />
3 2 3 1<br />
( 1.4.14 )<br />
elde edilir. Bu bağıntılardan yararlanarak A ur <strong>ve</strong>ktörünün dik eğrisel koordinatlardaki<br />
rotasyoneli;
ur ur e1 ⎡ ∂ ∂ ⎤ e2<br />
⎡ ∂ ∂ ⎤<br />
∇ xA= Ah Ah Ah Ah<br />
hh ⎢<br />
− + −<br />
⎣∂u∂u⎥ ⎦ hh ⎢<br />
⎣∂u∂u⎥ ⎦<br />
11<br />
( 3 3) ( 2 2) ( 1 1) ( 3 3)<br />
r<br />
e3<br />
⎡ ∂<br />
( Ah )<br />
∂ ⎤<br />
( Ah)<br />
( 1.4.15 )<br />
2 3 3 1<br />
1 2 3 1<br />
+ −<br />
hh u u<br />
⎢ 1 2 2 2 1 1 ⎥<br />
1 2 ⎣∂ ∂ ⎦<br />
olarak bulunur. ( 1.4.15 ) ifadesini;<br />
r<br />
he<br />
r<br />
he<br />
r<br />
he<br />
ur ur 1<br />
∇ xA =<br />
hhh 1 2 3<br />
∂<br />
1<br />
∂u ∂<br />
2<br />
∂u ∂<br />
3<br />
∂u<br />
Ah Ah Ah<br />
1 1 2 2 3 3<br />
1 1 2 2 3 3<br />
( 1.4.16 )<br />
şeklinde de yazabiliriz. ( 1.4.8 ) bağıntısından yararlanılarak f skaler fonksiyonunun<br />
ortogonal eğrisel koordinatlardaki Laplasyeninin ifadesi;<br />
2 1 ⎡ ∂ ⎛hh 2 3 ∂f ⎞ ∂ ⎛hh 3 1 ∂f ⎞ ∂ ⎛hh 1 2 ∂f<br />
⎞⎤<br />
∇ f = ⎢ 1⎜ 1⎟+ 2 ⎜ 2 ⎟+<br />
3 ⎜ 3 ⎟⎥<br />
h1h2h3 ⎣∂u ⎝ h1 ∂u ⎠ ∂u ⎝ h2 ∂u ⎠ ∂u ⎝ h3 ∂u<br />
⎠⎦<br />
olarak bulunur.<br />
Bu koordinat sisteminde hacim elemanı;<br />
dV h h h du du du<br />
Yüzey elemanı;<br />
( 1.4.17 )<br />
1 2 3<br />
= 1 2 3<br />
( 1.4.18 )<br />
dS h h du du<br />
olarak bulunur.<br />
1 2<br />
= 1 2<br />
( 1.4.19 )
12<br />
II.BÖLÜM<br />
ÖZEL ORTOGONAL KOORDİNAT SİSTEMLERİ<br />
Uzay değişik amaçlar için farklı şekilde koordinatlandırılabilir. Kartezyen koordinat<br />
sistemi genel olarak matematiğin bir çok dalında kullanılmakla birlikte bazı<br />
matematiksel denklemlerin sade <strong>ve</strong> basit biçimde ifadeleri bu sistemde yazılamayabilir.<br />
Başka bir deyişle kartezyen koordinat sistemindeki bazı büyüklüklerin hesaplanması<br />
başka koordinat sistemlerinde daha sade biçimde yazılabilir. Fizik <strong>ve</strong>ya Mühendislik<br />
alanlarında kullanılan denklemlerin çözümleri için Kartezyen koordinatlar yeterli<br />
olmayabilir. Farklı koordinat sistemleri bilim alanında ilerlemeyi hızlandıran en önemli<br />
etkenlerden biridir.<br />
Bu bölümde on bir koordinat sistemi incelenerek bazı özellikleri <strong>ve</strong>rilmiştir.<br />
2.1. Kartezyen koordinatlar<br />
Kartezyen koordinatlar;<br />
1<br />
u = x −∞< x
13<br />
şeklinde ifade edilir. Kartezyen koordinat sisteminde herhangi bir P( x, y,z ) noktasının<br />
yer <strong>ve</strong>ktörü,<br />
r r r r<br />
r = xi+ yj+ zk<br />
( 2.1.2 )<br />
olarak yazılır.<br />
Metrik katsayılar; ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarından,<br />
r r r<br />
∂r ∂r ∂r<br />
i 2<br />
h1 = = 1 h2 = = 1 h3 = = 1 g ij =δ j.h ij i,j= 1,2,3<br />
∂x ∂y ∂z<br />
dır.<br />
⎡g⎤ matrisi <strong>ve</strong> bu matrisin determinantı;<br />
⎣ ij⎦<br />
⎡<br />
⎡1 ⎤ =<br />
⎢<br />
0 0⎤<br />
⎥<br />
⎢⎣0 0 1⎥⎦<br />
det ⎡g ⎤ =1<br />
⎣gij⎦ ⎢<br />
0 1 0<br />
⎥<br />
, ij<br />
şeklindedir.<br />
Bu koordinat sisteminde,<br />
Yay elemanı;<br />
( 2.1.3 )<br />
⎣ ⎦ ( 2.1.5 )<br />
2 2 2 2<br />
( ds) = ( dx) + ( dy) + ( dz)<br />
( 2.1.6 )<br />
Hacim elemanı;<br />
Alan elemanı;<br />
∇ ur operatörü;<br />
dV = dxdydz<br />
( 2.1.7 )<br />
dA = dxdy<br />
( 2.1.8 )<br />
ur ∂ r ∂ r ∂ r<br />
∇= i+ j+ k<br />
∂x ∂y ∂z<br />
şeklinde <strong>ve</strong>rilir.<br />
( 2.1.9 )<br />
f = f( x,y,z)<br />
bir skaler fonksiyon <strong>ve</strong> E ur de kartezyen koordinatlardaki skaler<br />
bileşenleri E,E,E x y z olan bir <strong>ve</strong>ktör olmak üzere
f fonksiyonunun Gradyenti;<br />
14<br />
uuuur ur ∂f r ∂f r ∂f<br />
r<br />
gradf =∇ .f = i + j+ k<br />
( 2.1.10 )<br />
∂x ∂y ∂z<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Di<strong>ve</strong>rjansı;<br />
ur ur ur ∂E ∂E<br />
∂E<br />
divE =∇ .E = + +<br />
∂x ∂y ∂z<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Rotasyoneli;<br />
x y z<br />
r<br />
i<br />
r<br />
j<br />
r<br />
k<br />
ur ur ur ∂<br />
RotE =∇ xE =<br />
∂x ∂<br />
∂y ∂<br />
∂z<br />
E E E<br />
f fonksiyonunun Laplasyeni;<br />
∂ f ∂ f ∂ f<br />
∂x olarak ifade edilir.<br />
∂y ∂z<br />
2 2 2<br />
2<br />
∇ f = + 2 + 2 2<br />
x y z<br />
( 2.1.11 )<br />
( 2.1.12 )<br />
( 2.1.13 )
2. 2. Dairesel Silindirik Koordinatlar<br />
15<br />
Şekil (2.2.1)<br />
P( x,y,z ) noktasının xy düzlemindeki izdüşümü P' olsun.<br />
u<br />
u<br />
1<br />
2<br />
=ρ<br />
=ϕ<br />
=<br />
3<br />
u z<br />
0 ≤ ρ
( )<br />
16<br />
r r r r<br />
P x,y,z noktasının r = xi + yj + zk yer <strong>ve</strong>ktörünün silindirik koordinatlardaki<br />
ifadesi,<br />
r r r r<br />
r =ρcosϕ i +ρ.sinϕ j+ zk<br />
( 2.2.4 )<br />
ise; bu koordinat sisteminde metrik katsayılar <strong>ve</strong> ρ, ϕ ,z nin artan yöndeki birim<br />
<strong>ve</strong>ktörleri<br />
r<br />
∂r h1 = = 1<br />
∂ρ<br />
r<br />
∂r h2 = =ρ<br />
∂ϕ<br />
r<br />
∂r<br />
h3 = = 1<br />
∂z<br />
<strong>ve</strong><br />
dir.<br />
r r r r<br />
e1= eρ= cosϕ i+ sinϕj r r r r<br />
e2= eϕ=−sinϕ i+ cosϕj r r r<br />
e3 = ez = k<br />
( 2.2.5 )<br />
( 2.2.6 )<br />
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu<br />
koordinat sisteminde,<br />
dır. ij<br />
g g 1, g <strong>ve</strong> g g g g g g 0<br />
= = =ρ = = = = = = ( 2.2.7 )<br />
2<br />
11 33 22 12 13 21 23 31 32<br />
g ⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ matrisi <strong>ve</strong> bu matrisin determinantı;<br />
⎡1 0 0⎤<br />
2<br />
⎡g ⎢<br />
ij 0 0<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
⎢<br />
ρ<br />
⎥<br />
⎢⎣0 0 1⎥⎦<br />
olarak bulunur.<br />
det ⎡g ⎤ =ρ<br />
, ij<br />
Silindirik koordinat sisteminde<br />
Yay elmanı;<br />
⎣ ⎦ ( 2.2.8 )<br />
2 2 2 2 2<br />
( ds) = ( dr) +ρ ( dψ ) + ( dz)<br />
( 2.2.9 )<br />
Hacim elemanı;<br />
Alan elemanı;<br />
dV =ρρϕ d d dz<br />
( 2.2.10 )<br />
dA =ρ.d ρ.dϕ ( 2.2.11<br />
)
∇ ur operatörü;<br />
17<br />
ur ∂ r 1 ∂ r ∂ r<br />
∇= eρ + eϕ + ez<br />
( 2.2.12 )<br />
∂ρ<br />
şeklindedir.<br />
ρ ∂ϕ ∂z<br />
f = f ( ρ, ϕ ,z)<br />
bir skaler fonksiyon <strong>ve</strong> E ur de silindirik koordinatlardaki skaler<br />
bileşenleri E,E,E ρ ϕ z olan bir <strong>ve</strong>ktör olmak üzere<br />
f fonksiyonunun Gradyenti;<br />
uuuur ur ∂f r 1 ∂f r ∂f<br />
r<br />
gradf =∇ .f = eρ + eϕ + ez<br />
∂ρ ρ ∂ϕ ∂z<br />
( 2.2.13 )<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Di<strong>ve</strong>rjansı;<br />
ur ur ur ∂Eρ Eρ 1 ∂Eϕ ∂E<br />
∇ .E = divE = + + +<br />
∂ρ ρ ρ ∂ϕ ∂z<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Rotasyoneli;<br />
r<br />
e ρ<br />
r<br />
ρ.eϕ<br />
r<br />
ez<br />
ur ur ur 1 ∂<br />
rotE =∇ xE =<br />
ρ∂ρ<br />
∂<br />
∂ϕ<br />
∂<br />
∂z<br />
E ρ.E<br />
E<br />
ρ ϕ<br />
f fonksiyonunun Laplasyeni;<br />
∂ f 1 ∂f 1 ∂ f ∂ f<br />
∂ρ<br />
olarak elde edilir.<br />
ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z<br />
2 2 2<br />
2<br />
∇φ= + 2 + 2 + 2 2<br />
z<br />
z<br />
( 2.2.14 )<br />
( 2.2.15 )<br />
( 2.2.16 )
2.3. Eliptik Silindirik Koordinatlar<br />
u<br />
u<br />
1<br />
2<br />
= η<br />
= ψ<br />
3<br />
u = z<br />
0 ≤ η
19<br />
Bu koordinatlarla Kartezyen koordinatlar arasında<br />
2 2<br />
⎛ x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝acoshη ⎠<br />
⎛ y ⎞<br />
+ ⎜ ⎟<br />
⎝asinhη ⎠<br />
= 1<br />
2 2<br />
⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞<br />
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1<br />
⎝acosψ ⎠ ⎝asinψ ⎠<br />
z= z<br />
bağıntıları vardır.<br />
( 2.3.3 )<br />
r r r r<br />
P noktasının r = xi + y j+ zk yer <strong>ve</strong>ktörünün Eliptik Silindirik koordinatlardaki<br />
ifadesi<br />
r r r r<br />
r = a coshηcosψi+ a sinhηsinψ j+ zk<br />
( 2.3.4 )<br />
ise; metrik katsayılar <strong>ve</strong> η, ψ ,z nin artan yöndeki birim <strong>ve</strong>ktörleri;<br />
r r r<br />
1 1<br />
∂r 2 2 ∂r 2 2 2 ∂r<br />
h 2<br />
1 = = a ( cosh η− cos ψ) , h2 = = a ( cosh η− cos ψ)<br />
, h3 = = 1<br />
∂η ∂ψ ∂z<br />
<strong>ve</strong><br />
dir.<br />
r r<br />
r r sinhη cosψi+ coshηsinψ j<br />
= =<br />
e1eη e2eψ e3 = ez = k<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
( cosh η−cos ψ)<br />
r r<br />
r r sinhη cosψi+ coshηsinψ j<br />
= =<br />
r r r<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
( cosh η−cos ψ)<br />
( 2.3.5 )<br />
( 2.3.6 )<br />
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25) bağıntılarının yardımı ile bu<br />
koordinat sisteminde<br />
dır. ij<br />
( η ψ)<br />
g = g = a cosh − cos g = 1,<br />
2 2 2<br />
11 22 33<br />
g = g = g = g = g = g = 0<br />
12 13 21 23 31 32<br />
g ⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ matrisi <strong>ve</strong> bu matrisin determinantı;<br />
( η−ψ) 2 2 2<br />
⎡acosh cos 0 0⎤<br />
⎢ ⎥<br />
2 2 2<br />
⎡g ⎢<br />
ij<br />
0 a ( cosh η cos ψ)<br />
0⎥<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ = −<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ 0 0 1⎥<br />
⎣ ⎦<br />
( 2.3.7 )<br />
, ( 2.3.8<br />
)
( η ψ )<br />
20<br />
2 2 2<br />
⎣<br />
⎡ ⎤ ij⎦<br />
= −<br />
( 2.3.9 )<br />
det g a cosh cos<br />
olarak bulunur.<br />
Bu koordinat sisteminde<br />
Yay elemanı;<br />
2 2 2<br />
( ds) = a ( cosh η−cos ψ) ⎡( dη ) + ( dψ ) ⎤+<br />
( dz)<br />
Hacim elemanı;<br />
Alan elemanı;<br />
∇ ur operatörü;<br />
2 2 2 2<br />
( )<br />
2 2 2<br />
dV a cosh cos d d dz<br />
⎣ ⎦<br />
( 2.3.10 )<br />
= η − ψ η ψ<br />
( 2.3.11 )<br />
( )( ) 1<br />
= ⎡ η ψ η ψ ⎤<br />
⎣<br />
− −<br />
⎦<br />
η ψ<br />
4 2 2 2 2 2<br />
dA a cosh cos cosh cos d d<br />
2 2 2 2<br />
( η− ψ) ( η− ψ)<br />
( 2.3.12 )<br />
ur 1 ∂ r 1 ∂ r ∂ r<br />
∇= e e e<br />
1<br />
η + 1<br />
ψ +<br />
ψ ( 2.3.13 )<br />
∂η ∂ψ ∂ψ<br />
a cosh cos 2 a cosh cos 2<br />
şeklindedir.<br />
( ηψ )<br />
f = f , ,z bir skaler fonksiyon <strong>ve</strong> E ur eliptik silindirik koordinatlardaki<br />
skaler bileşenleri E ,E ,E<br />
η ψ z olan bir <strong>ve</strong>ktör olmak üzere<br />
f fonksiyonunun gradyenti;<br />
uuuur ur 1 ⎡∂f r ∂f r ⎤ ∂f<br />
r<br />
gradf =∇ .f = e e e<br />
1 ⎢ η + ψ + z<br />
2 2 ∂η ∂ψ ⎥<br />
( 2.3.14 )<br />
∂z<br />
2 ⎣ ⎦<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Di<strong>ve</strong>rjansı;<br />
( η−ψ) a cosh cos<br />
ur ur ur<br />
1<br />
1 ⎧⎪ ∂ ⎡ 2 2 ⎤<br />
divE =∇ .E = 2<br />
1 ⎨ ⎢( cosh η− cos ψ)<br />
+ Eη<br />
⎥<br />
2 2 ∂η<br />
a ⎡cosh η cos ψ 2 ⎪⎩ ⎣ ⎦<br />
⎣ − ⎤<br />
⎦<br />
1<br />
∂ ⎡ 2 2 ⎤ ∂E<br />
⎫<br />
2<br />
z ⎪<br />
+ ⎢( cosh η− cos ψ)<br />
+ Eψ<br />
⎥+<br />
⎬<br />
∂ψ⎣ ⎦ ∂z⎪⎭ ( 2.3.15<br />
)
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Rotasyoneli;<br />
ur<br />
rotE =<br />
1<br />
2 2<br />
( cosh η−cos ψ)<br />
f fonksiyonunun Laplasyeni<br />
21<br />
⎡ ⎤<br />
a ⎣<br />
⎡cosh olarak elde edilir.<br />
η−cos ψ⎦ ⎤ ⎣dη dψ ⎦ dz<br />
⎡<br />
⎣cosh η−cos ψ⎤ ⎦<br />
r<br />
e ⎡<br />
⎣cosh η−cos ψ⎤<br />
⎦<br />
r<br />
e<br />
a r<br />
e<br />
a<br />
∂ ∂ ∂<br />
∂η ∂ψ ∂z<br />
1<br />
2 2<br />
E 2<br />
η( cosh η−cos ψ) 1<br />
2 2<br />
E 2<br />
ψ(<br />
cosh η−cos ψ)<br />
Ez<br />
a<br />
2 2 2<br />
2<br />
1 d f d f d f<br />
∇φ= 2 2 ⎢ + +<br />
2 2⎥ 2<br />
1 1<br />
2 2 2<br />
η<br />
2 2 2<br />
ψ<br />
z<br />
ψ<br />
( 2.3.17 )
2.4. Parabolik Silindirik Koordinatlar<br />
u<br />
u<br />
1<br />
2<br />
= µ<br />
= ν<br />
3<br />
u = z<br />
0 ≤ µ
23<br />
bağıntıları vardır.<br />
r r r r<br />
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer <strong>ve</strong>ktörünün parabolik silindirik<br />
koordinatlardaki ifadesi<br />
r 1 r r r<br />
2 2<br />
r = ( µ − ν ) i+ µν j+ zk<br />
2<br />
( 2.4.4 )<br />
ise; metrik katsayılar <strong>ve</strong> µ , ν ,z nin artan yöndeki birim <strong>ve</strong>ktörleri<br />
<strong>ve</strong><br />
dir.<br />
r r r<br />
1 1<br />
∂r 2 2 ∂r 2 2 2 ∂r<br />
h 2<br />
1 = = ( µ + ν ) h2 = = ( µ + ν ) h3 = = 1<br />
∂η ∂ψ ∂z<br />
r r<br />
= =<br />
e1eµ r r<br />
= =<br />
e2eν r r r<br />
e3 = ez = k<br />
r r<br />
µ .i + ν j<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
( µ + ν )<br />
r r<br />
− ν .i + µ .j<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
( µ + ν )<br />
( 2.4.5 )<br />
( 2.4.6 )<br />
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu<br />
koordinat sisteminde<br />
bulunur. ij g<br />
g11= g 22<br />
2 2<br />
= µ + ν , g33 = 1<br />
g = g = g = g = g = g = 0<br />
12 13 21 23 31 32<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ matrisi <strong>ve</strong> bu matrisin determinantı;<br />
2 2<br />
⎡µ + ν 0 0⎤<br />
⎢ 2 2 ⎥<br />
⎡<br />
⎣g ⎤ ij⎦<br />
= ⎢ 0 µ + ν 0⎥,<br />
⎢ 0 0 1⎥<br />
⎣ ⎦<br />
dır.<br />
Bu koordinat sisteminde,<br />
Yay elemanı;<br />
2 2<br />
( ds) = ( µ + ν ) ⎡( dµ ) + ( dν) ⎤+<br />
( dz)<br />
Hacim elemanı;<br />
2 2 2 2<br />
⎣ ⎦<br />
( ) 2.4.7<br />
2 2<br />
⎣<br />
⎡ ⎤ ij⎦<br />
= +<br />
( 2.4.8 )<br />
det g µ ν<br />
( 2.4.9 )
Alan elemanı;<br />
∇ ur operatörü;<br />
dır.<br />
2 2 ( )<br />
dV µ ν dµ dνdz 24<br />
= + ( 2.4.10 )<br />
2 2 ( )<br />
dA µ ν dµ dν<br />
= + ( 2.4.11 )<br />
ur 1 ∂ r 1 ∂ r ∂ r<br />
∇= e e e<br />
1<br />
µ + 1<br />
ν + z<br />
( 2.4.12 )<br />
∂µ ∂ν ∂z<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
( µ + ν ) ( µ + ν )<br />
( µν )<br />
f = f , ,z bir skaler fonksiyon <strong>ve</strong> E ur parabolik silindirik koordinatlardaki<br />
skaler bileşenleri E µ ,E ν ,Ezbir<br />
<strong>ve</strong>ktör olmak üzere<br />
f fonksiyonunun Gradyenti;<br />
uuuur ur − ⎡∂f r ∂f r ⎤ ∂f<br />
r<br />
gradf =∇ f = + eµ + eν + ez<br />
( 2.4.13 )<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Di<strong>ve</strong>rjansı;<br />
( ) 1<br />
2 2<br />
µ ν 2<br />
⎢<br />
µ ν<br />
⎥<br />
⎣∂ ∂ ⎦ ∂z<br />
ur ur ur<br />
1 1 1<br />
− ⎪⎧ ∂ ⎡ ⎤ ∂ ⎡ ⎤⎪⎫ ∂E<br />
divE =∇ E == + 2 2 E 2<br />
⎢ + + ⎥+ ⎢ + + E ⎥ + 2.4.14<br />
⎩⎪∂µ ⎣ ⎦ ∂ν ⎣ ⎦⎭⎪<br />
∂z<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Rotasyoneli;<br />
ur<br />
rotE = µ +ν<br />
2 2 ( )<br />
2 2 2 2 2 2 z<br />
( µ ν ) ⎨ ( µ ν ) µ ( µ ν ) ν ⎬ ( )<br />
−1<br />
f fonksiyonunun Laplasyeni ;<br />
r r r<br />
e e e<br />
1 1<br />
2<br />
µ<br />
2<br />
ν<br />
2 2 2 2<br />
( µ +ν ) ( µ +ν )<br />
∂ ∂ ∂<br />
∂µ ∂ν ∂z<br />
1 1<br />
µ<br />
2<br />
ν<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
( µ +ν ) ( µ +ν )<br />
E E E<br />
⎡<br />
µ + ν<br />
⎢<br />
⎣∂µ olarak elde edilir.<br />
⎤<br />
∂ν ⎥<br />
⎦ ∂z<br />
2 2 2<br />
2 1 ∂ f ∂ f ∂ f<br />
∇ f = + +<br />
2 2 2 2 2<br />
z<br />
z<br />
( 2.4.15 )<br />
( 2.4.16 )
2.5. Küresel Koordinatlar<br />
25<br />
Şekil (2.5.1)<br />
Bir P( x, y,z ) noktasının küresel koordinatları, r; P noktasının başlangıç<br />
uuur r r<br />
noktasına uzaklığı. θ ; OP = r <strong>ve</strong>ktörünün Z ekseni ile yaptığı açı, ψ ; r <strong>ve</strong>ktörünün XY<br />
düzlemi üzerindeki izdüşümünün ox ekseni ile yaptığı açı olmak üzere;<br />
1<br />
u r<br />
2<br />
u<br />
u<br />
3<br />
=<br />
=θ<br />
=ψ<br />
0≤ r
P( )<br />
26<br />
( ) 1<br />
2 2<br />
x + y 2<br />
2 2 2 2<br />
x + y + z = r<br />
bağıntıları vardır.<br />
tan θ=<br />
z<br />
y<br />
tan ψ =<br />
x<br />
( 2.5.3 )<br />
r r r r<br />
x,y,z noktasının r = xi + yj + zk yer <strong>ve</strong>ktörünün küresel koordinatlar<br />
üzerindeki ifadesi;<br />
r r r r<br />
r = r sin θcosψ i + r sin θsin ψ j+ r cos θk<br />
( 2.4.4 )<br />
ise; metrik katsayılar <strong>ve</strong> r, θψ , nin artan yöndeki birim <strong>ve</strong>ktörleri<br />
r<br />
∂r h1 = = 1<br />
∂ρ<br />
r<br />
∂r h2 = = r<br />
∂ϕ<br />
r<br />
∂r<br />
h3 = = r.sinθ<br />
∂z<br />
<strong>ve</strong><br />
dir.<br />
r r r r r<br />
e = e = sinθ cosψi+ sinθsinψ j+ cosθk 1 r<br />
r r r r r<br />
e2 = eθ = cosθ cosψi+ cosθsinψ j−sinθk r r r r<br />
e3 = eψ =− rsin sin i+ rsin cos j<br />
θ ψ θ ψ<br />
( 2.5.5 )<br />
( 2.5.6 )<br />
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu<br />
koordinat sisteminde<br />
g g 1 g r g g g g g g 0<br />
= = = = = = = = = ( 2.5.7 )<br />
2<br />
11 33 22 12 13 21 23 31 32<br />
olarak bulunur. ij g ⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ matrisi <strong>ve</strong> bu matrisin determinantı;<br />
⎡1 0 0⎤<br />
2<br />
⎡g ⎢<br />
ij 0 r 0<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
⎢ ⎥<br />
, det ij<br />
⎢⎣0 0 1⎥⎦<br />
g ⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
dır.<br />
Bu koordinat sisteminde,<br />
Yay elemanı;<br />
= r ( ) 2.5.8<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2<br />
( ds) = ( dr) + r ( dθ ) + r .sin θ( dψ)<br />
( 2.5.9 )<br />
Hacim elmanı;<br />
2<br />
dV r sin drd d<br />
= θ θ ψ<br />
( 2.5.10<br />
)
Alan elemanı;<br />
∇ ur operatörü;<br />
27<br />
dA = rdrdθdψ ( 2.5.11 )<br />
ur ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ r<br />
∇= er+ eθ+ eψ<br />
( 2.5.12 )<br />
∂r r ∂θ r.sinθ<br />
∂ψ<br />
f = f( r, θ, ψ ) bir skaler fonksiyon <strong>ve</strong> E ur de küresel koordinatlardaki skaler<br />
bileşenleri r E,E,E θ ψ bir <strong>ve</strong>ktör olmak üzere<br />
f fonksiyonunun Gradyenti;<br />
uuuur ur ∂f r 1 ∂f r 1 ∂f<br />
r<br />
gradf =∇ .f = er + eθ + ez<br />
∂r r ∂θ rsinθ<br />
∂ψ<br />
( 2.5.13 )<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Di<strong>ve</strong>rjansı;<br />
ur ur ur ∂E<br />
2 1∂Ecotθ1 ∂Eψ<br />
=∇ = + + + +<br />
∂r r r ∂θr rsinθ<br />
∂ψ<br />
r<br />
θ<br />
divE .E Er Eθ<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Rotasyoneli;<br />
ur ur ur<br />
RotE =∇ xE = 2<br />
r sin r<br />
f fonksiyonunun Laplasyeni<br />
1<br />
r<br />
er r<br />
eθr r<br />
eψrsinθ ∂ ∂ ∂<br />
θ ∂ ∂θ ∂ψ<br />
E E r E rsinθ<br />
r<br />
θ ψ<br />
∂ f 2 ∂f 1 ∂ f cotθ∂f 1 ∂ f<br />
∂r olarak ifade edilir.<br />
r ∂r r ∂θr ∂θ r sin θ ∂ψ<br />
2 2 2<br />
2<br />
∇ f = + 2 + 2 + 2 2 + 2 2 2<br />
( 2.5.14 )<br />
( 2.5.15 )<br />
( 2.5.16 )
2.6. Prolate Küresel Koordinatlar<br />
u<br />
u<br />
u<br />
1<br />
2<br />
3<br />
= η<br />
= θ<br />
= ψ<br />
0 ≤ η
29<br />
Bu koordinatlarla kartezyen koordinatlar arasında<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
+ + = 1<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a sinh η a sinh η a cosh η<br />
( 2.6.3 )<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
− + = 1<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a sin θ a sin θ a cos θ<br />
bağıntıları vardır.<br />
r r r r<br />
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer <strong>ve</strong>ktörünün prolate koordinatlardaki<br />
ifadesi,<br />
r r r r<br />
r = a sinhη sinθcosψi+ a sinhηsinθsinψ j+ a coshηcosθk ( 2.6.4 )<br />
ise metrik katsayılar <strong>ve</strong> η, θψ , nin artan yöndeki birim <strong>ve</strong>ktörleri<br />
r r r<br />
∂r 1<br />
∂r 1<br />
∂r<br />
1 2 3<br />
2 2 2 2<br />
( θ θ 2 ) ( θ θ 2 ) η θ ( )<br />
h = = a sinh + sin h = = a sinh + sin h = = a ⋅sinh ⋅sin<br />
2.6.7<br />
∂η ∂ψ ∂z<br />
<strong>ve</strong><br />
r r r<br />
r r coshη sinθcosψi+ coshηsinθsinψ j+ sinhηcosθk e1= eη=<br />
e2eθ e3= eψ=− sinψi+ cosψ j<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
( sinh θ + sin θ)<br />
r r r<br />
r r sinhη cosθcosψi+ sinhηcosθsinψ j−coshηsinθk = =<br />
r r r r<br />
dir.<br />
bulunur. ij<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
( sinh θ + sin θ)<br />
( 2.6.5 )<br />
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile,<br />
( )<br />
g = g = a sinh θ+ sin θ g = a sinh ηsin θ<br />
2 2 2 2 2 2<br />
11 22 33<br />
g = g = g = g = g = g = 0<br />
12 13 21 23 31 32<br />
g ⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ matrisi <strong>ve</strong> bu matrisin determinantı;<br />
( θ + θ)<br />
2 2 2<br />
⎡asinh sin 0 0 ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
2 2 2<br />
g ⎢<br />
ij<br />
0 a ( sinh θ sin θ)<br />
0 ⎥<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎦<br />
⎤ = +<br />
⎢ ⎥<br />
2 2 2<br />
⎢ 0 0 a sinh η sin θ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
( )<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
= ⋅ η + θ η θ<br />
3 2 2<br />
det gij a sinh sin sinh .sin<br />
( 2.6.8 )<br />
, ( 2.6.9 )
olarak bulunur.<br />
Bu koordinat sisteminde;<br />
Yay elemanı;<br />
30<br />
2 2 2 2 2 2<br />
( ds) = a ( sinh θ+ sin θ) ⎡( dη ) + ( dθ ) ⎤+<br />
a sinh ηsin θ( dψ)<br />
2 2 2 2<br />
Hacim elmanı;<br />
Alan elemanı;<br />
( )<br />
⎣ ⎦<br />
2 2 2<br />
dV a sinh sin a sinh sin d d d<br />
( 2.6.10 )<br />
= θ + θ η θ η θ ψ<br />
( 2.6.11 )<br />
( )<br />
2 2 2<br />
dA a sinh sin d d<br />
= θ + θ η θ<br />
( 2.6.12 )<br />
∇ ur operatörü;<br />
ur 1<br />
∇=<br />
2 2<br />
a ( sinh θ + sin θ) ∂ r<br />
e<br />
1<br />
+<br />
2 2<br />
a ( sinh θ + sin θ)<br />
∂ r<br />
e<br />
1 ∂ r<br />
+<br />
eψ<br />
a sinhηsinθ ∂ψ<br />
şeklindedir.<br />
( η θ ψ )<br />
1<br />
η<br />
1<br />
θ<br />
∂η∂θ 2 2<br />
( 2.6.13 )<br />
f = f , , bir skaler fonksiyon <strong>ve</strong> E ur parabolik küresel koordinatlardaki<br />
skaler bileşenleri E,E,E<br />
η θ ψ bir <strong>ve</strong>ktör olmak üzere,<br />
f fonksiyonunun Gradyenti;<br />
uuuur ur 1 ⎡∂f r ∂f r ⎤ 1 ∂f<br />
r<br />
gradf =∇ f = ⎢ eη + eθ eψ<br />
η θ<br />
⎥+<br />
( 2.6.14 )<br />
∂ ∂ a sinhηsinθ ∂ψ<br />
a sinh sin<br />
⎣ ⎦<br />
( ) 1<br />
2 2<br />
θ + θ 2<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Di<strong>ve</strong>rjansı;<br />
ur ur ur 1<br />
divE =∇ .E ==<br />
a sinh sin<br />
2 2<br />
( η + θ )<br />
1 1<br />
⎪⎧ 1 ∂ ⎡ 2 2 ⎤ 1 ∂ ⎡<br />
2 2 2 ⎤⎫⎪<br />
2<br />
⎨ ⎢( sinh η+ sin θ) sinhηEη⎥+ ⎢( sinh θ + sin θ) sinθEθ⎥⎬ ⎪⎩sinhη ∂η ⎣ ⎦ sinθ<br />
∂θ<br />
⎣ ⎦⎪⎭<br />
1 ∂Eψ<br />
+<br />
a sinhηsinθ ∂ψ<br />
( 2.6.15<br />
)
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Rotasyoneli;<br />
ur ur ur<br />
1<br />
RotE =∇ xE =<br />
2 2<br />
a ( sinh θ + sin θ) sinhηsinθ sinh θ sin θ<br />
r<br />
e sinh θ sin θ<br />
r<br />
e<br />
r<br />
sinhηsinθe f fonksiyonunun Laplasyeni ;<br />
31<br />
1 1<br />
2<br />
η<br />
2<br />
θ ψ<br />
2 2 2 2<br />
( + ) ( + )<br />
∂ ∂ ∂<br />
∂η ∂θ ∂ψ<br />
1 1<br />
η<br />
2<br />
θ<br />
2<br />
ψ<br />
2 2 2 2<br />
( ) ( )<br />
E sinh η + sin θ E sinh η+ sin θ E sinhη⋅sinθ ⎧ ⎫<br />
⎨ ⎬<br />
a sinh + sin ⎩∂η∂η ∂θ ∂θ⎭<br />
2 2<br />
2<br />
1 ∂ f ∂f ∂ f ∂f<br />
∇ f = + cothη + + cotθ<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
( θ θ)<br />
∂<br />
+<br />
a sinh θ + sin θ ∂ψ<br />
olarak ifade edilir.<br />
1<br />
2<br />
f<br />
2 2 2 2<br />
( 2.6.16 )<br />
( 2.6.17 )
2.7. Oblate Küresel Koordinatlar<br />
u<br />
u<br />
u<br />
1<br />
2<br />
3<br />
= η<br />
= θ<br />
= ψ<br />
0 ≤ η
33<br />
Bu koordinatlarla kartezyen koordinatlar arasında,<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
+ + = 1<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a cosh η a cosh η a sinh η<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
+ − = 1<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a sin θ a sin θ a cos θ<br />
bağıntıları vardır.<br />
( 2.7.3 )<br />
P(x,y,z) noktasının<br />
r r r r<br />
r = xi + yj + zk yer <strong>ve</strong>ktörünün Oblate Küresel<br />
Koordinatlardaki ifadesi<br />
r r r<br />
r = a coshη sinθcosψi+ a coshηsinθsinψ j+ a sinhηcosθ ise; metrik katsayılar <strong>ve</strong> η, θψ , nin artan yöndeki birim <strong>ve</strong>ktörleri,<br />
( 2.7.4 )<br />
r r r<br />
1 1<br />
∂r 2 2 ∂r 2 2 2 ∂r<br />
2<br />
h1 = = a(cosh η− sin θ) , h2 = = a(cosh η− sin θ) , h3 = = a cosh η.sinθ 2.7.5<br />
∂η ∂θ ∂ψ<br />
<strong>ve</strong><br />
r r r<br />
r r sinhη sinθcosψi+ sinhηsinθsinψ j+ sinhηcosθk e1= eη=<br />
1<br />
2 2 2<br />
(cosh η−sin θ)<br />
r r<br />
r r coshη cosθ cosψi+ coshηcosθsinψ j−sinhηsinθ e2= eθ=<br />
1<br />
2 2 2<br />
(cosh η−sin θ)<br />
r r r r<br />
ψ ψ<br />
e3= eψ=− sin i+ cos j<br />
dir.<br />
( 2.7.6 )<br />
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu<br />
koordinat sisteminde,<br />
<strong>ve</strong> ij g<br />
( )<br />
g g a sinh sin<br />
2 2 2<br />
11 = 22 = θ+ θ<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ matrisi <strong>ve</strong> bu matrisin determinantı;<br />
2 2 2<br />
33 = ⋅ η⋅ θ ( 2.7.7 )<br />
g a sinh sin<br />
2 2 2<br />
⎡a (cosh η−sin θ)<br />
⎢<br />
⎡<br />
⎣g⎤ ij⎦<br />
= ⎢ 0<br />
⎢<br />
⎣ 0<br />
0<br />
2 2 2<br />
a (cosh η−sin θ)<br />
0<br />
0 ⎤<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
2 2 2<br />
a cosh η sin θ ⎥<br />
⎦<br />
3 2 2<br />
det ⎡<br />
⎣g⎤ ij⎦<br />
= a ( sinh η+ sin θ) sinhηsinθ olarak bulunur.<br />
, ( 2.7.8 )<br />
( )
Bu koordinat sisteminde,<br />
Yay elemanı;<br />
34<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
(ds) = a (cosh η−sin θ)[(d η ) + (d θ ) ] + a cosh ηsin θ(d ψ )<br />
( 2.7.9 )<br />
Hacim elmanı;<br />
Alan elemanı;<br />
∇ ur operatörü;<br />
3 2 2<br />
dV a (cosh sin )cosh sin d d d<br />
= η − θ η θ η θ ψ<br />
( 2.7.10 )<br />
2 2 2<br />
dA a (cosh sin )d d<br />
= η − θ η θ<br />
( 2.7.11 )<br />
ur<br />
∇=<br />
1 ∂ r<br />
e +<br />
1 ∂ r<br />
e<br />
a(cosh η−sin θ) a(cosh η−sin θ)<br />
1 ∂ r<br />
+<br />
eψ<br />
acoshηsinθ ∂ψ<br />
şeklinde <strong>ve</strong>rilir.<br />
1<br />
η<br />
1<br />
θ<br />
2 2 ∂η 2 2 2 ∂θ<br />
2<br />
( η θ ψ )<br />
( 2.7.12 )<br />
f = f , , <strong>ve</strong> E ur Obleyt Küresel koordinatlardaki skaler bileşenleri<br />
E,E,E<br />
η θ ψ bir <strong>ve</strong>ktör olmak üzere,<br />
f fonksiyonunun Gradyenti;<br />
uuuur ur 1 ∂f r ∂f r 1 r ∂f<br />
gradf =∇ .f = [ e e ] e<br />
1<br />
η + θ +<br />
ψ<br />
2 2 ∂η ∂θ acoshηsinθ ∂ψ<br />
2<br />
a[(cosh η−sin θ)]<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Di<strong>ve</strong>rjansı;<br />
divE =∇ E =<br />
2 2<br />
a(cosh η sin θ)<br />
( 2.7.13 )<br />
ur ur ur<br />
1<br />
−<br />
1 1<br />
⎧⎪ 1 ∂ ⎡ 2 2 ⎤ 1 ∂ ⎡<br />
2 2 2 ⎤⎫⎪<br />
2<br />
⎨ ⎢( cosh η− sin θ) coshηEη⎥+ ⎢( cosh η−sin θ) sinθEθ⎥⎬ ⎪⎩ coshη ∂η ⎣ ⎦ sinθ<br />
∂θ<br />
⎣ ⎦⎪⎭<br />
1 ∂Eψ<br />
+<br />
acoshηsinθ ∂ψ<br />
( 2.7.14)
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Rotasyoneli;<br />
ur<br />
1<br />
rotE =<br />
2 2<br />
a(cosh η−sin θ)coshηsinθ (cosh sin<br />
r<br />
) e a (cosh sin<br />
r<br />
) e cosh<br />
r<br />
sin e<br />
∂ ∂ ∂<br />
∂η ∂θ ∂ψ<br />
35<br />
1 1<br />
2<br />
η− 2 2 θ η θ<br />
2<br />
η− 2 2 θ θ η θ ψ<br />
1 1<br />
η<br />
2<br />
−<br />
2 2<br />
θ<br />
2<br />
−<br />
2 2<br />
ψ<br />
E (cosh η sin θ) E (cosh η sin θ) E coshηsinθ f fonksiyonunun Laplasyeni ;<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ ⎬<br />
a (cosh η −sin θ) ⎩∂η ∂η ∂θ ∂θ<br />
⎭<br />
2 2<br />
2<br />
1 ∂ f ∂f ∂ f ∂f<br />
∇ φ = + tanhη + + cotθ<br />
2 2 2 2 2<br />
1<br />
2<br />
∂ f<br />
2 2 2 2<br />
+<br />
a cosh η.sin θ ∂ψ<br />
olarak ifade edilir.<br />
( 2.7.15 )<br />
( 2.7.16 )
2.8. Parabolik Koordinatlar<br />
u<br />
u<br />
u<br />
1<br />
2<br />
3<br />
= µ<br />
= ν<br />
= ψ<br />
0 ≤ µ
37<br />
x = µν cosψ<br />
y= µν sinψ<br />
1 2 2<br />
z = ( µ −ν)<br />
2<br />
bağıntıları ile bağlıdır.<br />
Bu koordinatlarla kartezyen koordinatlar arasında,<br />
( )<br />
( )<br />
2 2 2 2<br />
x + y = µ µ −2z<br />
2 2 2 2<br />
x + y = ν ν + 2z<br />
( 2.8.2 )<br />
( 2.8.3 )<br />
y<br />
tanψ<br />
=<br />
x<br />
bağıntıları vardır.<br />
r r r r<br />
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer <strong>ve</strong>ktörünün Parabolik Koordinatlardaki<br />
ifadesi,<br />
r r r 1 r<br />
2 2<br />
r = µν cosψ i+ µν sinψ j+ ( µ −ν)<br />
k<br />
2<br />
( 2.8.4 )<br />
ise; metrik katsayılar <strong>ve</strong> µ , νψ , nin artan yöndeki birim <strong>ve</strong>ktörleri;<br />
<strong>ve</strong><br />
dir.<br />
r r r<br />
1 1<br />
∂r 2 2 ∂r 2 2 2 ∂r<br />
h 2<br />
1 = = ( µ + ν ) , h 2 = = ( µ + ν ) , h3<br />
= = µν<br />
∂µ ∂ν ∂ψ<br />
r r r<br />
r r ν cosψi+ ν sinψ j+ µ k<br />
= =<br />
e1eµ e2eν 2 2<br />
1<br />
2<br />
( µ + ν )<br />
r r r<br />
r r µ cosψ i + µ sinψ j−νk = =<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
( µ + ν )<br />
r r r r<br />
= =− ψ + ψ<br />
e3eψ sin i cos j<br />
( 2.8.5 )<br />
( 2.8.6 )<br />
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu<br />
koordinat sisteminde,<br />
<strong>ve</strong> ij<br />
g g µ ν<br />
2 2<br />
11 = 22 = + ,<br />
g µ ν<br />
g ⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ matrisi <strong>ve</strong> bu matrisin determinantı;<br />
2 2<br />
33 = ( 2.8.7 )
2 2<br />
⎡µ + ν 0 0 ⎤<br />
⎢ 2 2 ⎥<br />
⎡<br />
⎣g ⎤ ij⎦<br />
= ⎢ 0 µ + ν 0 ⎥,<br />
⎢ 2 2<br />
0 0 µ ν ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
olarak bulunur.<br />
Bu koordinat sisteminde<br />
Yay elemanı;<br />
38<br />
det g<br />
2 2 2 2<br />
( ds) = ( µ + ν ) ⎡( dµ ) + ( dν ) ⎤+<br />
µ ν ( dψ<br />
)<br />
Hacim elmanı;<br />
Alan elemanı;<br />
∇ ur operatörü;<br />
şeklindedir.<br />
2 2 2 2<br />
2 2 ( )<br />
⎣ ⎦<br />
dV µ ν µν dµ dνdψ µ + ν<br />
µ ν<br />
2 2<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤ ij⎦ = 2 2<br />
( 2.8.8 )<br />
( 2.8.9 )<br />
= + ( 2.8.10 )<br />
2 2 ( )<br />
dA µ ν dµ dν<br />
= + ( 2.8.11 )<br />
ur 1 ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ r<br />
∇= e + e + e<br />
( 2.8.12 )<br />
1<br />
η<br />
1<br />
µ ψ<br />
∂η ∂θ µν ∂ψ<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
( µ + ν ) ( µ + ν )<br />
( µ ν ψ )<br />
f = f , , bir skaler fonksiyon <strong>ve</strong> E ur Parabolik Koordinatlardaki skaler<br />
bileşenleri E µ ,E ν ,Eψ<br />
bir <strong>ve</strong>ktör olmak üzere<br />
f fonksiyonunun Gradyenti;<br />
uuuur ur<br />
gradf =∇ .f =<br />
1<br />
r<br />
⎡∂f r ∂f r ⎤ eψ∂f ⎢ eµ + eν<br />
+<br />
∂µ ∂ν ⎥<br />
⎣ ⎦ µν ∂ψ<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Di<strong>ve</strong>rjansı;<br />
( µ + ν )<br />
( ) 1<br />
2 2<br />
µ + ν 2<br />
( 2.8.13 )<br />
ur ur ur<br />
1 1<br />
1 ⎡1 ∂ ⎡ ⎤ 1 ∂ ⎡ ⎤⎤<br />
1 ∂E<br />
divE =∇ .E == µ µ ν Eµ ν µ ν E 2.8.14<br />
1 ⎢ ⎢ + ⎥+ ⎢ + ⎥⎥+<br />
2 2 µ ∂µ ν ∂ν µι ∂ψ<br />
2 ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎦<br />
2 2 2 2 2 2<br />
ψ<br />
( ) ( ) ν<br />
( )
1 1<br />
µ<br />
2<br />
+<br />
2 2<br />
ν<br />
2<br />
+<br />
2 2<br />
ψ<br />
39<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Rotasyoneli;<br />
ur ur ur<br />
1<br />
RotE =∇ xE =<br />
2 2<br />
a(cosh η − sin θ)coshηsinθ 1r 2 2 2 ( µ + ν ) e µ<br />
1r<br />
2 2 2 ( µ + ν ) eν r<br />
µνeψ<br />
.<br />
∂<br />
∂µ ∂<br />
∂ν ∂<br />
∂ψ<br />
E ( µ ν ) E ( µ ν ) E µν<br />
f fonksiyonunun Laplasyeni;<br />
⎡∂ ∂ ∂ ∂ ⎤ ∂<br />
⎢ ⎥<br />
µ + η ⎣∂µ µ ∂µ ∂ν ν ∂ν ⎦ µ ν ∂ψ<br />
2 2 2<br />
2 1 f 1 f f 1 f 1 f<br />
∇ f = + + + +<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
olarak ifade edilir.<br />
( 2.8.15 )<br />
( 2.8.16 )
2.9. Konikal Koordinatlar<br />
1<br />
u = r<br />
2<br />
u<br />
u<br />
3<br />
= θ<br />
= λ<br />
0≤ r
41<br />
bağıntıları vardır.<br />
r r r r<br />
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer <strong>ve</strong>ktörünün Konikal Koordinatlar<br />
üzerindeki ifadesi,<br />
1 1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( )( )<br />
( )<br />
( )( )<br />
( )<br />
r ⎛r. θλ . ⎞r<br />
⎛r θ −b b −λ ⎞ r ⎛r c −θ c −λ<br />
⎞ r<br />
r = ⎜ ⎟i+<br />
⎜ ⎟ j+ ⎜ ⎟ k<br />
( 2.9.4 )<br />
2 2 2 2 2 2<br />
⎝ b.c ⎠ ⎜ b c −b ⎟ ⎜ c c −b<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
ise; metrik katsayılar <strong>ve</strong> µ , νψ , nin artan yöndeki birim <strong>ve</strong>ktörleri,<br />
r<br />
∂r h1 = = 1,<br />
∂µ <strong>ve</strong><br />
1<br />
r 2 2 2 2<br />
∂r ⎛ r ( θ −λ ) ⎞<br />
h 2 = = ⎜ ⎟ , 2 2 2 2 ∂ν ⎜( θ b )( c θ ) ⎟<br />
⎝<br />
− −<br />
⎠<br />
1<br />
r<br />
2 2 2 2<br />
∂r<br />
⎛ r ( θ −λ<br />
) ⎞<br />
h ⎜ ⎟<br />
3 = = 2 2 2 2<br />
∂ψ<br />
⎜( b −λ )( c −λ<br />
) ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2.9.5<br />
⎡<br />
1<br />
−<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
r r ⎢⎛θλ . ⎞r<br />
1⎛r<br />
θ −b b −λ ⎞ ⎛2r θ −b b −λ<br />
⎞r<br />
e1 = er = ⎜ ⎟i+<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟j<br />
2 2 2 2 2 2<br />
e2eθ ( )( )<br />
( )<br />
( )( )<br />
( )<br />
( )( )<br />
( )<br />
( )( )<br />
( )<br />
⎢<br />
⎢⎝ b.c ⎠<br />
⎣<br />
2 ⎜<br />
⎝<br />
b c −b ⎟<br />
⎠<br />
⎜<br />
⎝<br />
b c −b<br />
⎤<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
−<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
1 ⎛r c −θ c −λ ⎞ ⎛2r c −θ c −λ ⎞r⎥<br />
+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟k<br />
2 2 2 2 2 2 ⎥<br />
2 ⎜ c c −b ⎟ ⎜ c c −b<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥<br />
⎦<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( )( )<br />
−<br />
2<br />
( )<br />
r ( θ − λ )<br />
2 2 2 2<br />
( θ −b )( c −θ<br />
)<br />
( )( )<br />
( )<br />
r r<br />
=<br />
⎛ . λ ⎞r<br />
1⎛r<br />
⎜ ⎟i+<br />
⎜<br />
⎝b.c ⎠ 2 ⎜<br />
=<br />
⎝<br />
θ −b b −λ 2 2 2<br />
b c −b ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛2r θ −b b −λ<br />
⎜<br />
2 2 2<br />
⎜<br />
⎝<br />
b c −b<br />
1<br />
⎞r<br />
⎟j<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 2 2 ⎞2<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( −θ )( −λ )<br />
−<br />
2 ( −θ )( −λ<br />
)<br />
2( 2<br />
−<br />
2) 2( 2<br />
−<br />
2)<br />
1<br />
2 2 2 ⎛ 2<br />
r ( θ − λ ) ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 2 2 2<br />
⎜( θ −b )( c −θ<br />
) ⎟<br />
1 ⎛r c c ⎞ ⎛2r c c ⎞r<br />
+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟k<br />
2 ⎜ c c b ⎟ ⎜ c c b ⎟<br />
+<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
( 2.9.6.a )<br />
( 2.9.6.b<br />
)<br />
( )
e3eλ 42<br />
⎡ ⎤<br />
1<br />
−<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
⎢⎛r. θ ⎞r<br />
1 ⎛r θ −b b −λ ⎞ ⎛r θ −b b −2λ<br />
⎞r<br />
⎥<br />
⎢⎜ ⎟i+<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟j+<br />
2 2 2 2 2 2 ⎥<br />
( )( )<br />
( )<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( −θ )( −λ )<br />
−<br />
2 ( −θ )( − λ)<br />
2( 2<br />
−<br />
2) 2( 2<br />
−<br />
2)<br />
1<br />
2 2 2<br />
⎛ r ( θ − λ ) ⎞2<br />
⎜ ⎟<br />
2 2 2 2<br />
⎜( b −λ ) ( c −λ<br />
) ⎟<br />
( )( )<br />
( )<br />
⎝b.c ⎠ 2 ⎜ b c −b ⎟ ⎜ b c −b<br />
⎟<br />
r r ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥<br />
= =<br />
⎣ ⎦<br />
1<br />
2 2 2 ⎛ 2<br />
r ( θ − λ ) ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 2 2 2<br />
⎜( b −λ )( c −λ<br />
) ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
dir.<br />
1 ⎛r c c ⎞ ⎛r c c 2 ⎞r<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟k<br />
2 ⎜ c c b ⎟ ⎜ c c b ⎟<br />
+<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
( 2.9.6.c )<br />
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu<br />
koordinat sisteminde,<br />
dır. ij<br />
( )<br />
( )( )<br />
( )<br />
( )( )<br />
2 2 2 2 2 2<br />
r θ −λ r θ −λ<br />
g11 = 1, g 22 = , g<br />
2 2 2 2 33 = 2 2 2 2<br />
θ −b c −θ b −λ c −λ<br />
g ⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ matrisi <strong>ve</strong> bu matrisin determinantı;<br />
⎡ ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎢1 0 0 ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
2 2 2<br />
⎢ r ( θ − λ )<br />
⎥<br />
⎡<br />
⎣g ⎤ ij⎦ = ⎢0 0<br />
2 2 2 2<br />
⎥<br />
⎢ ( θ −b )( c −θ<br />
)<br />
⎥<br />
⎢ 2 2 2 ⎥<br />
⎢ r ( θ − λ ) ⎥<br />
⎢<br />
0 0<br />
2 2 2 2<br />
( b λ )( c λ<br />
⎥<br />
⎣<br />
− − ) ⎦<br />
2 2 2<br />
r ( θ − λ )<br />
( θ −b )( c −θ )( b −λ )( c −λ<br />
)<br />
det ⎡<br />
⎣g⎤ ⎦ =<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
olarak bulunur.<br />
ij 1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( 2.9.7 )<br />
( 2.9.8 )<br />
( 2.9.9 )
Bu koordinat sisteminde<br />
Yay elemanı;<br />
2 2 2 2 2<br />
( ds) ( dr) r ( θ b )<br />
( )<br />
43<br />
( )<br />
2 2<br />
⎡ ⎤<br />
dθ dλ<br />
= + − ⎢ +<br />
⎥<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
⎢⎣( θ −b )( c −θ ) ( b −λ )( c −λ<br />
) ⎥⎦<br />
Hacim elmanı;<br />
1 1<br />
⎛<br />
= ⎜<br />
2<br />
r<br />
2<br />
2 2<br />
θ −λ 2 2 2<br />
⎞2 ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
2<br />
r<br />
2<br />
2 2<br />
θ −λ<br />
2 2 2<br />
⎞2<br />
⎟<br />
( )<br />
( )( )<br />
( )<br />
( )( )<br />
dV drdθdλ ⎝<br />
θ −b c −θ ⎠ ⎝<br />
b −λ c −λ<br />
⎠<br />
Alan elemanı;<br />
2 2 2<br />
1<br />
2<br />
r ( θ − λ )<br />
2 2 2 2<br />
( θ −b )( c −θ<br />
)<br />
⎛ ⎞<br />
dA = ⎜ ⎟ drdθ<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
( 2.9.10 )<br />
( 2.9.11 )<br />
( 2.9.12 )<br />
∇ ur operatörü;<br />
ur ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ r<br />
∇= er+ e 1<br />
θ +<br />
e 1<br />
ψ ( 2.9.13 )<br />
∂r2 2 2 ∂θ 2 2 2 2 ∂λ<br />
⎛ 2<br />
r ( θ −λ ) ⎞ ⎛ r ( θ −λ<br />
) ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
⎜( θ −b )( c −θ ) ⎟ ⎜( b −λ )( c −λ<br />
) ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
( θ λ )<br />
f = f r, , bir skaler fonksiyon <strong>ve</strong> E ur Konikal Koordinatlardaki skaler<br />
bileşenleri r E,E,E θ λ bir <strong>ve</strong>ktör olmak üzere,<br />
f fonksiyonunun Gradyenti;<br />
uuuur ur ∂f<br />
r 1<br />
gradf =∇ .f = er<br />
+<br />
1<br />
∂r<br />
2 2<br />
r<br />
2 ( θ − λ )<br />
1 1 1 1<br />
⎧ r<br />
2 2 2 2 2 ∂f r<br />
2 2 2 2 2 2 ∂f<br />
⎫<br />
2<br />
⎨( θ −b ) ( c − θ ) eθ + ( b −λ ) ( c −λ<br />
) eλ<br />
⎬<br />
⎩ ∂θ ∂λ<br />
⎭<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Di<strong>ve</strong>rjansı;<br />
ur ur ur 1 d 2 1<br />
divE =∇ E == 2 ( r Er<br />
) + 2 2<br />
r dr r θ λ<br />
( − )<br />
1 1 1 1 1 1<br />
⎧ ⎫<br />
( 2.9.14 )<br />
⎪ ∂ ⎡ ⎤ ∂ ⎡ ⎤⎪<br />
⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎬<br />
⎩⎪ ∂θ ⎣ ⎦ ∂λ<br />
⎣ ⎦⎪⎭<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( θ −b2 ) ( c −θ 2 ) ⋅ ( θ − λ 2 2 2 2<br />
) Eθ + ( b −λ ) ( c −λ ) ( θ −λ<br />
) Eλ ( 2.9.15)
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Rotasyoneli;<br />
r<br />
( 2.9.16 )<br />
44<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
1<br />
2<br />
( θ −b )( c −θ )( b −λ )( c −λ<br />
)<br />
2 2 ( θ − λ )<br />
ur ur ur ⎡ ⎤<br />
RotE =∇ xE =<br />
⎣ ⎦<br />
r<br />
er<br />
r<br />
1<br />
2 2 ( θ −λ 2 )<br />
( θ −b ) ( c −θ )<br />
r<br />
e<br />
b<br />
1 r<br />
2 2<br />
θ −λ<br />
2<br />
−λ c −λ<br />
∂<br />
.<br />
∂r ∂<br />
∂θ ∂<br />
∂ψ<br />
E<br />
r<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
f fonksiyonunun Laplasyeni;<br />
( ) eλ<br />
( ) ( )<br />
1 1<br />
θ<br />
1 1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
1 1<br />
Eθ 2 2<br />
θ −λ 2 Eλ<br />
2 2<br />
θ −λ<br />
2<br />
1 1 1 1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
θ −b c −θ b −λ c −λ<br />
2 2<br />
2 ∂ f 2 ∂f 1 ⎡ 2 2 2 2 ∂ f 2 2 2 ∂f<br />
∇ f = + + 2 2 2 2 ( θ −b )( c −θ ) −θ ⎡2θ − 2 ( b + c ) ⎤<br />
∂r r ∂r ⎢<br />
r ( θ − λ ) θ ⎣ ⎦<br />
⎣<br />
∂ ∂θ<br />
− −<br />
∂ f<br />
+ 2<br />
∂λ ⎣<br />
− +<br />
∂f<br />
⎤<br />
⎦∂λ<br />
⎥<br />
⎦<br />
olarak ifade edilir.<br />
2<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
( b λ )( c λ ) λ⎡2λ ( b c ) ⎤<br />
( 2.9.17)
2.10. Elipsoidal Koordinatlar<br />
45<br />
Şekil (2.10.1)<br />
2a; elipsin asal eksen uzunluğu, 2b; elipsin yedek eksen uzunluğu, c elipsin<br />
odak uzunluğu olmak üzere<br />
u<br />
u<br />
u<br />
1<br />
2<br />
3<br />
= η<br />
= θ<br />
= λ<br />
2 2<br />
c < η
46<br />
bağıntıları ile bağlıdır.<br />
Bu koordinatlarla kartezyen koordinatlar arasında<br />
2 2<br />
x y<br />
+ 2 2 2<br />
η η −b 2<br />
z<br />
+ 2 2<br />
η −c<br />
= 1<br />
2 2<br />
x y<br />
+ 2 2 2<br />
θ θ −b 2<br />
z<br />
+ 2 2<br />
θ −c<br />
= 1<br />
( 2.10.2 )<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
+ + = 1<br />
2 2 2 2 2<br />
λ b −λ c −λ<br />
bağıntıları vardır.<br />
r r r r<br />
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer <strong>ve</strong>ktörünün Elipsiodal Koordinatlardaki<br />
ifadesi,<br />
1 1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( )( )( )<br />
( )<br />
( )( )( )<br />
( )<br />
r ⎛ηθλ ⎞r<br />
⎛ η −b θ −b b −λ ⎞ r ⎛ η −c c −θ c −λ<br />
⎞ r<br />
r = ⎜ ⎟.i<br />
+ ⎜ ⎟ .j + ⎜ ⎟ .k<br />
2 2 2 2 2 2<br />
⎝ bc ⎠ ⎜ b c −b ⎟ ⎜ c c −b<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
( 2.10.3 )<br />
ise metrik katsayılar <strong>ve</strong> η, θλ , nin artan yöndeki birim <strong>ve</strong>ktörleri;<br />
1 1<br />
r 2 2 2 2 r<br />
2 2 2 2 2 2<br />
∂r ⎛( η −θ )( η −λ ) ⎞ ∂r<br />
⎛( θ −λ )( η −θ ) ⎞<br />
h 1 = = ⎜ ⎟ , h 2 2 2 2 2 = = ⎜ ⎟ ,<br />
2 2 2 2<br />
∂µ ⎜( b )( c ) ⎟ ∂ν ⎜ ( b )( c ) ⎟<br />
⎝<br />
η − η −<br />
⎠ ⎝<br />
θ − −θ<br />
⎠<br />
1<br />
r<br />
2 2 2 2 2<br />
∂r<br />
⎛( η −λ )( θ −λ ) ⎞<br />
h 3 = = ⎜ ⎟<br />
2 2 2 2<br />
∂ψ ⎜( b −λ )( c −λ ) ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
<strong>ve</strong><br />
r<br />
e<br />
η<br />
2 2 2 2 2 2 ( η −b )( θ −b )( b −λ )<br />
−<br />
2<br />
2 2 2 2 2<br />
( 2η−b )( θ −b )( b −λ<br />
)<br />
2( 2<br />
−<br />
2) 2( 2<br />
−<br />
2)<br />
1<br />
2 2 2 2 ⎛ 2<br />
( η −θ )( η −λ<br />
) ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 2 2 2 2<br />
( η −b )( η −c<br />
) ⎟<br />
⎛θλ ⎞r<br />
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r<br />
⎜ ⎟i+<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟j<br />
⎝ bc ⎠ 2 ⎜ b c b ⎟ ⎜ b c b ⎟<br />
=<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2 ( η −c )( c −θ )( c −λ )<br />
−<br />
2<br />
2 2 2 2 2<br />
( 2η−c )( c −θ )( c −λ<br />
)<br />
2( 2<br />
−<br />
2) 1<br />
2 2 2 2<br />
⎛( η −θ )( η −λ<br />
) ⎞2<br />
⎜ ⎟<br />
2 2 2 2<br />
⎜ ( η −b) ( η −c)<br />
⎟<br />
2( 2<br />
−<br />
2)<br />
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟k<br />
2 ⎜ c c b ⎟ ⎜ c c b ⎟<br />
+<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
( 2.10.4 )<br />
( 2.10.5.a )
e<br />
θ<br />
47<br />
2 2 2 2 2 2 ( η −b )( θ −b )( b −λ )<br />
−<br />
2 2 2 2 2 2<br />
( η −b )( θ −b )( b −2λ)<br />
2( 2<br />
−<br />
2) 2( 2<br />
−<br />
2)<br />
1<br />
2 2 2 2 ⎛ 2<br />
( η −λ )( θ −λ<br />
) ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 2 2 2<br />
⎜ ( b −λ )( c −λ<br />
) ⎟<br />
⎛ηθ ⎞r<br />
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r<br />
⎜ ⎟.i<br />
+ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟.j<br />
⎝ bc ⎠ 2 ⎜ b c b ⎟ ⎜ b c b ⎟<br />
=<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2 ( η −c )( c −θ )( c −λ )<br />
−<br />
2 2 2 2 2 2<br />
( η −c )( c −θ )( c −2λ)<br />
2( 2<br />
−<br />
2) 1<br />
2 2 2 2<br />
⎛( η −λ )( θ −λ<br />
) ⎞2<br />
⎜ ⎟<br />
2 2 2 2<br />
⎜ ( b −λ )( c −λ<br />
) ⎟<br />
2( 2<br />
−<br />
2)<br />
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r<br />
⎜ ⎟ . ⎜ ⎟k<br />
2 ⎜ c c b ⎟ ⎜ c c b ⎟<br />
+<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
r<br />
e<br />
λ<br />
dir.<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2 ( η −b )( θ −b )( b −λ )<br />
−<br />
2 2 2 2 2 2<br />
( η −b )( 2θ −b )( b −λ<br />
)<br />
2( 2<br />
−<br />
2) 2( 2<br />
−<br />
2)<br />
1<br />
2 2 2 2 ⎛ 2<br />
( θ −λ )( η −θ<br />
) ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 2 2 2 2<br />
( θ −b )( c −θ<br />
) ⎟<br />
⎛ηλ ⎞r<br />
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r<br />
⎜ ⎟.i<br />
+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟.j+<br />
⎝ bc ⎠ 2 ⎜ b c b ⎟ ⎜ b c b ⎟<br />
=<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2 ( η −c )( c −θ )( c −λ )<br />
−<br />
2 2 2 2 2 2<br />
( η −c )( c −2θ)( c −λ<br />
)<br />
2( 2<br />
−<br />
2) 1<br />
2 2 2 2<br />
⎛( θ −λ )( η −θ<br />
) ⎞2<br />
⎜ ⎟<br />
2 2 2 2<br />
⎜ ( θ − b ) ( c −θ<br />
) ⎟<br />
2( 2<br />
−<br />
2)<br />
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟k<br />
2 ⎜ c c b ⎟ ⎜ c c b ⎟<br />
+<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
( 2.10.5.b)<br />
( 2.10.5.c)<br />
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu<br />
koordinat sisteminde<br />
g<br />
2 2 2 2<br />
( η −θ )( η −λ )<br />
( b )( c )<br />
= η − η −<br />
11 2 2 2 2<br />
( 2.10.6 )<br />
dır. ij g<br />
g<br />
2 2 2 2<br />
( θ −λ )( η −θ )<br />
( b )( c )<br />
= θ − −θ<br />
22 2 2 2 2<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ matrisi <strong>ve</strong> bu matrisin determinantı;<br />
,<br />
g<br />
=<br />
2 2 2 2<br />
( η −λ )( θ −λ )<br />
( b −λ )( c −λ )<br />
33 2 2 2 2<br />
,
2 2 2 2<br />
( η −θ )( η −λ<br />
)<br />
2 2 2 2<br />
( η −b )( η −c<br />
)<br />
⎡ ⎤<br />
⎢ 0 0 ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
2 2 2 2<br />
⎢ ( θ −λ )( η −θ<br />
)<br />
⎥<br />
⎡<br />
⎣g ⎤ ij⎦ = ⎢ 0 0<br />
2 2 2 2<br />
⎥<br />
⎢ ( θ −b )( c −θ<br />
)<br />
⎥<br />
⎢ 2 2 2 2 ⎥<br />
⎢ ( η −λ )( θ −λ<br />
) ⎥<br />
⎢<br />
0 0<br />
2 2 2 2<br />
( b λ )( c λ<br />
⎥<br />
⎣<br />
− − ) ⎦<br />
det ij g<br />
48<br />
( )( )( )<br />
2 2 2 2 2 2<br />
η −θ η −λ θ −λ<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
⎡( η −b )( η −c )( θ −b )( c −θ )( b −λ )( c −λ ) ⎤<br />
⎣ ⎦<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
1<br />
2<br />
olarak bulunur.<br />
Bu koordinat sisteminde,<br />
Yay elemanı;<br />
( )<br />
Hacim elmanı;<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
2 2 2 2<br />
( η −λ )( θ −λ )<br />
2 2 2 2<br />
( b −λ )( c −λ )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
ds<br />
⎡ η −θ<br />
⎢⎣ η −b η −λ<br />
η −c ⎤<br />
⎥⎦ d<br />
⎡ θ −λ<br />
⎢⎣ θ −b η −θ<br />
c −θ<br />
⎤<br />
⎥⎦<br />
d<br />
⎡<br />
+ ⎢<br />
⎢⎣ ⎤ 2<br />
⎥(<br />
dλ)<br />
⎥⎦<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
2<br />
= ⎢<br />
2 2 2 2<br />
⎥( 2<br />
η ) + ⎢<br />
2 2 2 2<br />
⎥(<br />
2<br />
θ)<br />
1 1 1<br />
2 2 ⎛ η −θ = ⎜ 2 2<br />
2 2<br />
η −λ 2 2<br />
⎞2 ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
2 2<br />
θ −λ 2 2<br />
2 2<br />
η −θ 2 2<br />
2 2 2 ⎞ ⎛ η −λ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ 2 2<br />
2 2<br />
θ −λ<br />
2 2<br />
⎞2<br />
⎟<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
, ( 2.10.7 )<br />
( 2.10.8 )<br />
( 2.10.9 )<br />
( )<br />
dV dηdθdλ 2.10.10<br />
⎝<br />
η −b η −c ⎠ ⎝<br />
θ −b c −θ ⎠ ⎝<br />
b −λ c −λ<br />
⎠<br />
Alan elemanı;<br />
1 1<br />
2 2 ⎛ η −θ = ⎜ 2 2<br />
2 2<br />
η −λ 2 2<br />
⎞2⎛ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
2 2<br />
θ −λ 2 2<br />
2 2<br />
η −θ<br />
2 2<br />
⎞2<br />
⎟<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
dA d η.dθ ⎝<br />
η −b η −c ⎠ ⎝<br />
θ −b c −θ<br />
⎠<br />
( 2.10.11<br />
)
49<br />
∇ ur operatörü;<br />
ur<br />
∇=<br />
1 ∂ r<br />
e +<br />
1 ∂ r<br />
e<br />
⎛( η −θ )( η −λ ) ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 2 2 2 ⎜ ( η b )( η c ) ⎟<br />
⎝<br />
− −<br />
⎠<br />
⎛( θ −λ )( η −θ<br />
) ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 2 2 2<br />
⎜ ( θ b )( c θ ) ⎟<br />
⎝<br />
− −<br />
⎠<br />
1 ∂ r<br />
+<br />
e 1<br />
λ<br />
2 2 2 2 ∂λ<br />
⎛ 2<br />
( η −λ )( θ −λ<br />
) ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 2 2 2<br />
⎜ ( b −λ )( c −λ<br />
) ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
η<br />
1<br />
θ<br />
2 2 2 2 ∂η 2 2 2 2 2 ∂θ<br />
2<br />
( η θλ)<br />
( 2.10.12 )<br />
f = f , , bir skaler fonksiyon <strong>ve</strong> E ur Konikal Koordinatlardaki skaler<br />
bileşenleri E η ,E θ,Eλ bir <strong>ve</strong>ktör olmak üzere,<br />
f fonksiyonunun Gradyenti;<br />
1 1<br />
2 2<br />
−b 2 2<br />
−c 2 2 2<br />
−b 2<br />
c −<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
η<br />
2 2 2 2<br />
θ<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
2 2 2 2<br />
1<br />
2<br />
( b )( c )<br />
2 2 2 2<br />
( η −λ )( θ −λ<br />
)<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
uuuur ur ⎡ η η ⎤ r ∂φ ⎡ θ θ ⎤ r ∂φ<br />
gradf =∇ .f = ⎢ ⎥ e + ⎢ ⎥ e<br />
⎢ η −θ η −λ ⎥ ∂η ⎢ θ −λ η −θ<br />
⎥ ∂θ<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
⎡ −λ −λ ⎤ r ∂φ<br />
+ ⎢ ⎥ eλ<br />
⎢ ⎥ ∂λ<br />
⎣ ⎦<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Di<strong>ve</strong>rjansı;<br />
2 ( η<br />
2 2<br />
b ) ( η<br />
2<br />
c )<br />
2 ( η<br />
2 2<br />
θ )( η<br />
2<br />
λ )<br />
2 ( θ<br />
2 2<br />
b ) ( c<br />
2<br />
θ )<br />
2 ( η<br />
2 2<br />
θ )( θ<br />
2<br />
λ )<br />
2 ( b<br />
2 2<br />
λ ) ( c<br />
2<br />
λ )<br />
2 ( η<br />
2 2<br />
λ )( θ<br />
2<br />
λ )<br />
1 1<br />
2 2<br />
∂<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
ur ur ur − − ⎡ 2 2 2 2 ⎤<br />
divE =∇ .E == ⎢( η −θ ) ( η −λ<br />
) Eη<br />
⎥<br />
− − ∂η<br />
⎣ ⎦<br />
1 1<br />
2 2<br />
∂<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
− − ⎡ 2 2 2 2 ⎤<br />
+ ⎢( η −θ ) ( θ −λ<br />
) Eθ<br />
⎥<br />
− − ∂θ<br />
⎣ ⎦<br />
1 1<br />
2 2<br />
∂<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
− − ⎡ 2 2 2 2 ⎤<br />
+ ⎢( η −λ ) ( θ −λ<br />
) Eλ<br />
⎥<br />
− − ∂λ<br />
⎣ ⎦<br />
( 2.10.13 )<br />
( 2.10.14<br />
)
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Rotasyoneli;<br />
50<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
1<br />
2<br />
( η −b )( η −c )( θ −b )( c −θ )( b −λ )( c −λ<br />
)<br />
2 2 ( η −θ<br />
)<br />
ur ⎡ ⎤<br />
rotE =<br />
⎣ ⎦<br />
1 1 1<br />
2<br />
−<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
−<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 r<br />
eη 2<br />
−<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
−<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 r<br />
eθ 2<br />
−<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
−<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 r<br />
eλ<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
⎡ η θ<br />
⎢<br />
⎢⎣ η −b θ λ<br />
η −c ⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦ ⎡ θ λ<br />
⎢<br />
⎢⎣ θ −b η θ<br />
c −θ ⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦ ⎡ η λ<br />
⎢<br />
⎢⎣ b −λ θ λ<br />
c −λ<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
.<br />
∂<br />
∂η ∂<br />
∂θ ∂<br />
∂λ<br />
1 1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
⎡ η −θ θ −λ ⎤ ⎡ θ −λ η −θ ⎤ ⎡ η −λ θ −λ<br />
⎤<br />
Eη ⎢ ⎥ E E<br />
2 2 2 2 θ ⎢ ⎥<br />
2 2 2 2 λ ⎢<br />
⎥<br />
2 2 2 2<br />
⎢⎣ η −b η −c ⎥⎦ ⎢⎣ θ −b c −θ ⎥⎦ ⎢⎣<br />
b −λ c −λ<br />
⎥⎦<br />
f fonksiyonunun Laplasyeni;<br />
1 1<br />
2 2 1 1<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
( 2 2) ( 2 2)<br />
( 2 2)( 2 2)<br />
η −b η −c ∂ ⎡ ∂f⎤<br />
∇ f = ⎢( η −b ) ( η −c<br />
) ⎥<br />
η −θ η −λ ∂η ⎣ ∂η⎦<br />
1 1<br />
2 2 1 1<br />
2 2<br />
( 2 2) ( 2 2)<br />
( 2 2)( 2 2)<br />
θ −b c −θ ∂ ⎡ 2 2 2 2 ∂f⎤<br />
+ ⎢( θ −b ) ( c −θ ) ⎥<br />
η −θ θ −λ ∂θ⎣∂θ⎦ 1 1<br />
2 2 1 1<br />
2 2<br />
( 2 2) ( 2 2)<br />
( 2 2)( 2 2)<br />
b −λ c −λ ∂ ⎡ 2 2 2 2 ∂f<br />
⎤<br />
+ ⎢( b −λ ) ( c −λ ) ⎥<br />
η −λ θ −λ ∂λ⎣∂λ⎦ olarak ifade edilir.<br />
( 2.10.16 )<br />
1<br />
2
2.11. Parabolidial Koordinatlar<br />
u<br />
u<br />
u<br />
1<br />
2<br />
3<br />
= µ<br />
= ν<br />
= λ<br />
b < µ b > λ > c> ν > 0<br />
bağıntıları ile bağlıdır.<br />
Bu koordinatlarla kartezyen koordinatlar arsında,<br />
( 2.11.2 )
52<br />
2 2<br />
x y<br />
+ =−4( z−µ<br />
)<br />
µ −b µ −c<br />
2 2<br />
x y<br />
+ =−4( z−ν)<br />
( 2.11.2 )<br />
b−ν c−ν<br />
2 2<br />
x y<br />
+ =−4( z−λ)<br />
b−λ λ−c<br />
bağıntıları vardır.<br />
r r r r<br />
P(x,y,z) noktasının r = xi + yj + zk yer <strong>ve</strong>ktörünün Paraboloödial Koordinatlar<br />
üzerindeki ifadesi,<br />
( )( )( )<br />
( )<br />
r<br />
+ ( µ + ν + λ−b−c)<br />
k<br />
1 1<br />
2 2<br />
r ⎛ 4 ⎞ r ⎛ 4<br />
⎞ r<br />
r = ⎜<br />
µ −b b−ν b − λ ⎟ .i+ ⎜ ( µ −c)( c−ν)( c −λ)<br />
⎟ .j<br />
b−c ⎟ ⎜( b−c) ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
ise; metrik katsayılar <strong>ve</strong> µ , ν, λ nin artan yöndeki birim <strong>ve</strong>ktörleri,<br />
r<br />
e<br />
µ<br />
1 1<br />
r r<br />
2 2<br />
∂r ⎛( µ −ν )( µ −λ ) ⎞ ∂r<br />
⎛( µ −ν)( λ−ν) ⎞<br />
h 1 = = ⎜ ⎟ , h 2 = = ⎜ ⎟ ,<br />
∂µ ⎜ ( µ b)( µ c) ⎟ ν ⎜ ( b ν)( c ν)<br />
⎟<br />
⎝ − − ⎠ ∂ ⎝ − − ⎠<br />
1<br />
r<br />
2<br />
∂r<br />
⎛( λ−ν )( µ −λ)<br />
⎞<br />
h3<br />
= =⎜ ⎟<br />
∂ψ ⎜ ( b−λ)( λ−c)<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4<br />
⎞r<br />
⎜ b b b ⎟ ⎜ b b ⎟.i<br />
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c<br />
=<br />
⎠<br />
( −<br />
( µ −<br />
)<br />
)( −ν)( −λ) ( −<br />
(<br />
)<br />
−ν)( −λ)<br />
1<br />
⎛ 2<br />
( µ −ν )( µ −λ)<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
( µ −b)( µ −c)<br />
1<br />
−<br />
2<br />
⎝ ⎠<br />
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4<br />
⎞r<br />
r<br />
+ ⎜ −c c− c− ⎟ ⎜ c− c − ⎟.j+<br />
k<br />
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c<br />
⎠<br />
( −<br />
( µ<br />
)<br />
)( ν)( λ) ( −<br />
(<br />
)<br />
ν)( λ)<br />
1<br />
⎛ 2<br />
( µ −ν )( µ −λ)<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
( µ −b)( µ −c)<br />
1<br />
−<br />
2<br />
⎝ ⎠<br />
( 2.11.3 )<br />
( 2.11.4 )<br />
( 2.11.5.a<br />
)
e<br />
ν<br />
r<br />
e<br />
λ<br />
dir.<br />
1<br />
−<br />
2<br />
53<br />
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4<br />
⎞r<br />
⎜ b b b ⎟ ⎜ b 1 b ⎟.i<br />
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c<br />
=<br />
⎠<br />
( −<br />
( µ −<br />
)<br />
)( −ν)( −λ )<br />
( −<br />
( µ −<br />
)<br />
)( − )( −λ)<br />
1<br />
⎛ 2<br />
( λ−ν )( µ −λ)<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
( b−λ)( λ−c)<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
−<br />
2<br />
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4<br />
⎞r<br />
r<br />
+ ⎜ −c c− c− ⎟ ⎜ −c −1 c − ⎟.j+<br />
k<br />
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c<br />
⎠<br />
( −<br />
( µ<br />
)<br />
)( ν)( λ )<br />
( −<br />
( µ<br />
)<br />
)( )( λ)<br />
1<br />
⎛ 2<br />
( λ−ν )( µ −λ)<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
( b−λ)( λ−c)<br />
⎝ ⎠<br />
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4<br />
⎞r<br />
⎜ b b b ⎟ ⎜ b b 1 ⎟.i<br />
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c<br />
=<br />
⎠<br />
1<br />
−<br />
2<br />
( −<br />
( µ −<br />
)<br />
)( −ν)( −λ )<br />
( −<br />
( µ −<br />
)<br />
)( −ν)( − )<br />
1<br />
⎛ 2<br />
( λ−ν )( µ −λ)<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
( b−λ)( λ−c)<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
−<br />
2<br />
1⎛ 4 ⎞ ⎛ 4<br />
⎞r<br />
r<br />
+ ⎜ −c c− c− ⎟ ⎜ −c c− − 1 ⎟.j+<br />
k<br />
2⎝ b c ⎠ ⎝ b c<br />
⎠<br />
( −<br />
( µ<br />
)<br />
)( ν)( λ )<br />
( −<br />
( µ<br />
)<br />
)( ν)(<br />
)<br />
1<br />
⎛ 2<br />
( λ−ν )( µ −λ)<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
( b−λ)( λ−c)<br />
⎝ ⎠<br />
( 2.11.5.b )<br />
( 2.11.5.c )<br />
Diğer taraftan ( 1.2.23 ) , ( 1.2.24 ) , ( 1.2.25 ) bağıntılarının yardımı ile bu<br />
koordinat sisteminde,<br />
g11<br />
<strong>ve</strong> ij g<br />
( µ−ν )( µ−λ)<br />
( b)( c)<br />
= µ− µ−<br />
g22<br />
=<br />
( µ −ν)( λ−ν)<br />
( b−ν)( c−ν<br />
)<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ matrisi <strong>ve</strong> bu matrisin determinantı;<br />
( µ −ν )( µ −λ)<br />
( µ −b)( µ −c)<br />
g33<br />
=<br />
( λ −ν )( µ−λ)<br />
( b − λ)( λ−c)<br />
⎡ ⎤<br />
⎢ 0 0 ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ( µ −ν)( λ−ν) ⎥<br />
⎡g ⎢ ij 0 0 ⎥<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
⎢ ( b−ν)( c−ν)<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ( λ −ν )( µ −λ)<br />
0 0<br />
⎥<br />
⎢ ( b −λ)( λ−c)<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
( 2.11.6 )<br />
, ( 2.11.7<br />
)
det[ g ] = g<br />
olarak bulunur.<br />
1<br />
2<br />
( η θλ)<br />
54<br />
( µ−ν )( µ−λ)( λ−ν)<br />
( µ− b)( µ−c)( b−ν)( c−ν)( b−λ)( λ−c)<br />
=<br />
⎡⎣ ⎤⎦<br />
1<br />
2<br />
( 2.11.8 )<br />
f = f , , <strong>ve</strong> E ur Parabolidial Koordinatlardaki skaler bileşenleri E ,E ,E<br />
bir <strong>ve</strong>ktör olmak üzere,<br />
Yay elemanı;<br />
( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
µ ν λ<br />
2 ⎡ µ −ν µ −λ ⎤ 2 ⎡ µ −ν λ−ν ⎤ 2 ⎡ λ−ν µ −λ<br />
⎤ 2<br />
ds = ⎢ ⎥( dµ ) + ⎢ ⎥( dν) + ⎢ ⎥ dλ 2.11.9<br />
⎣ µ −b µ −c ⎦ ⎣ b−ν c−ν ⎦ ⎣ b−λ λ−c<br />
⎦<br />
Hacim Elemanı;<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
1 1 1<br />
2 2 2<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
⎛<br />
dV = ⎜<br />
⎝<br />
µ −ν µ −b µ −λ ⎞<br />
⎟<br />
µ −c ⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
µ −ν b−ν λ−ν ⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
c−ν ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
λ−ν b−λ µ −λ<br />
⎞<br />
⎟<br />
λ−c<br />
⎟<br />
⎠<br />
dµ dνdλ Alan Elemanı;<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
1 1<br />
2 2<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
⎛ µ −ν µ −λ ⎞ ⎛ µ −ν λ−ν ⎞<br />
dA = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d µ .dν<br />
µ −b µ −c ⎟ ⎜ b−ν c−ν<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
∇ ur Operatörü<br />
ur<br />
∇=<br />
1 ∂ r<br />
e +<br />
1 ∂ r<br />
e<br />
⎛( µ −ν )( µ −λ ) ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ( µ −b)( µ −c) ⎠<br />
⎛( µ −ν)( λ−ν) ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ( b−ν)( c−ν)<br />
⎠<br />
1 ∂ r<br />
+<br />
e 1<br />
λ<br />
∂λ<br />
⎛ 2<br />
( λ−ν )( µ −λ)<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ( b−λ)( λ−c)<br />
⎠<br />
f fonksiyonunun Gradyenti;<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( λ)( λ )<br />
( )( )<br />
1<br />
2<br />
1<br />
µ<br />
1<br />
ν<br />
∂µ ∂θ<br />
2 2<br />
1 1<br />
2 2<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
uuuur ur ⎡ µ −b µ −c ⎤ r ∂f ⎡ b−ν c−ν<br />
⎤ r ∂f<br />
gradf =∇ f = ⎢ ⎥ eµ + ⎢ ⎥ eν<br />
⎣ µ −ν µ −λ ⎦ ∂µ ⎣ µ −ν λ−ν ⎦ ∂ν<br />
⎡ b− −c ⎤ r ∂f<br />
+ ⎢ ⎥ eλ<br />
⎣ λ−ν µ −λ ⎦ ∂λ<br />
( ) ( )<br />
( 2.11.10 )<br />
( 2.11.11 )<br />
( 2.11.12 )<br />
( 2.11.13<br />
)
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Di<strong>ve</strong>rjansı;<br />
1 1<br />
2 2<br />
( b ν ) ( c ν )<br />
( )( )<br />
1 1<br />
2 2<br />
( b λ) ( λ c)<br />
( )( )<br />
1 1<br />
2 2<br />
( µ b) ( µ c)<br />
( )( )<br />
55<br />
ur − − 1 1<br />
∂ ⎡ ⎤<br />
divE = ( µ −ν ) 2 ( µ − λ)<br />
2 E µ<br />
µ −ν µ − λ ∂µ ⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
− − 1 1<br />
∂ ⎡ ⎤<br />
+ ( µ −ν ) 2 ( λ −ν<br />
) 2 E ν<br />
µ −ν λ −ν ∂ν ⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
− − 1 1<br />
∂ ⎡ ⎤<br />
+ ( µ − λ) 2 ( λ −ν<br />
) 2 E λ<br />
µ − λ λ −ν ∂λ ⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
E ur <strong>ve</strong>ktörünün Rotasyoneli;<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
1 1 1<br />
2 2 2<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
µ −ν µ −b µ −λ ⎤<br />
⎥<br />
µ −c ⎦<br />
uur<br />
eµ ⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
µ −ν b−ν λ−ν ⎤<br />
⎥<br />
c−ν ⎦<br />
uur<br />
eν ⎡ λ−ν ⎢<br />
⎣ b−λ µ −λ<br />
⎤<br />
⎥<br />
λ−c<br />
⎦<br />
uur<br />
eλ<br />
∂ ∂ ∂<br />
∂µ ∂ν ∂λ<br />
1 1 1<br />
2 2 2<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
⎡ µ −ν µ −λ ⎤ ⎡ µ −ν λ−ν ⎤ ⎡ λ−ν µ −λ<br />
⎤<br />
Eµ ⎢ ⎥ Eν ⎢ ⎥ Eλ<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ µ −b µ −c ⎦ ⎣ b−ν c−ν ⎦ ⎣ b−λ λ−c<br />
⎦<br />
f fonksiyonunun Laplasyeni;<br />
2<br />
∇<br />
⎡<br />
=<br />
1<br />
⎤2<br />
−<br />
1<br />
2 −<br />
1<br />
2<br />
( b)( c)<br />
( )( )<br />
µ − µ − ∂ ⎡ ∂φ<br />
⎤<br />
φ ⎢ ⎥ ( µ b) ( µ c)<br />
µ −ν λ−ν ∂µ ⎢<br />
∂µ<br />
⎥<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
( b )( c )<br />
( )( )<br />
( b )( c)<br />
( )( )<br />
1<br />
2 1 1<br />
2 2<br />
⎡ −ν −ν ⎤ ∂ ⎡ ∂φ⎤<br />
+ ⎢ ⎥ ( b−ν) ( c−ν)<br />
µ −ν λ−ν ∂ν ⎢<br />
⎣ ∂ν<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎦<br />
1<br />
2 1 1<br />
2 2<br />
⎡ −λ λ− ⎤ ∂ ⎡ ∂φ⎤<br />
+ ⎢ ⎥ ( b−λ) ( λ−c)<br />
µ −λ λ−ν ∂λ ⎢<br />
⎣ ∂λ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎦<br />
olarak ifade edilir.<br />
( µ −b)( µ −c)( b−ν)( c−ν)( b−λ)( λ−c)<br />
( µ −ν )( µ −λ)( λ−ν) ur ur ur<br />
⎡ ⎤<br />
RotE =∇ xE =<br />
⎣ ⎦<br />
1<br />
2<br />
( 2.11.14 )<br />
( 2.11.15 )<br />
( 2.11.16 )
56<br />
III. BÖLÜM<br />
ÖZEL KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE HELMHOLTZ DENKLEMİNİN<br />
AYRIŞTIRILMASI VE STACKEL MATRİSİ<br />
3.1. Helmholtz Denklemi<br />
Fizik, Mühendislik <strong>ve</strong> Uygulamalı Matematik alanında karşılaşılan diferansiyel<br />
denklemlerden pek çoğu φ φ(<br />
x,y,z,t )<br />
= bir skaler fonksiyon <strong>ve</strong> k sabit olmak üzere<br />
2 2<br />
∇ φ+ k φ = f ( x,y,z,t)<br />
( 3.1.1 )<br />
şeklinde ifade edilebilir.<br />
Örneğin;<br />
f ( x,y,z,t) = 0 ise denklem Helmholtz <strong>ve</strong>ya Dalga Denklemi adını alır.<br />
2<br />
∇ φ = 0 ; Laplace Denklemi ( 3.1.2 )<br />
2<br />
∇ φ =− k ; Poisson Denklemi ( 3.1.3 )<br />
1<br />
∂φ<br />
2<br />
∇ φ = 2<br />
h ∂ t<br />
φ<br />
2<br />
1 ∂ φ<br />
2 2<br />
c ∂t<br />
φ k φ 0<br />
2<br />
∇ =<br />
; Düfizyon Denklemi ( ) 3.1.4<br />
; Dalga Denklemi ( 3.1.5 )<br />
2 2<br />
∇ + = ; Helmholtz Denklemi ( 3.1.6 )<br />
denklemleri bu türden ifade edilen denklemlerdir.<br />
Bu denklemlerin ortak özellikleri lineer, ikinci dereceden <strong>ve</strong> kısmi türevli<br />
diferansiyel denklemler olmalarıdır. Bu denklemler özel değerlerle <strong>ve</strong> ayrıştırmalarla<br />
Helmholtz Denklemine indirgenebilirler.Helmholtz Denkleminin çözümleri yardımı ile<br />
de bu denklemlerin çözümleri irdelenir.<br />
3.2.Basit Ayrıştırma <strong>ve</strong> Stackel Matrisi<br />
Eğer<br />
( ) ( ) ( )<br />
1 1 2 2 3 3<br />
φ = U u U u U u<br />
( 3.2.1<br />
)
alınması ile<br />
ayrıştırma denir.<br />
57<br />
2<br />
∇ φ = 0 <strong>denklemi</strong> üç adi denkleme ayrılabilirse bu ayrıştırmaya basit<br />
Helmholtz Denklemi; φ skaler, f bir <strong>ve</strong>ktör fonksiyonu <strong>ve</strong> 2<br />
∇ bir skaler<br />
laplasyen olmak üzere<br />
<strong>ve</strong><br />
2 2<br />
∇ φ+ k φ = 0<br />
( 3.2.2 )<br />
r r<br />
F k F 0<br />
2 2<br />
∇ + =<br />
şeklinde <strong>ve</strong>rilir.<br />
k=0 için Helmholtz Denklemi Laplace Denklemine dönüşür.<br />
2 1 ⎡ ∂ ⎛h.h 2 3 ∂ ⎞ ∂ ⎛h.h 1 3 ∂ ⎞ ∂ ⎛h.h 1 3 ∂ ⎞⎤<br />
∇ = ⎢ 1⎜ 1⎟+ 2 ⎜ 2 ⎟+ 3 ⎜ 3 ⎟⎥<br />
h.h.h 1 2 3 ⎣∂u⎝ h1 ∂u⎠ ∂u⎝ h2 ∂u⎠ ∂u⎝ h2 ∂u⎠⎦<br />
1 2 3<br />
olmak üzere φ φ(<br />
u,u,u)<br />
için<br />
= <strong>ve</strong><br />
h.h.h= g<br />
1 2 3<br />
1 1 1<br />
⎡ 1 ⎛<br />
2 1⎞ ⎛<br />
2 2 ⎞ ⎛<br />
2 3 ⎞⎤<br />
−<br />
2 1 ∂ g dU 1 ∂ g dU 1 ∂ g dU<br />
2 ∇ φ = g<br />
⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥<br />
⎢<br />
+ +<br />
1 1 1 2 2 2 3 3 3<br />
U ∂u ⎜g11 du ⎟ U ∂u ⎜g22du ⎟ U ∂u<br />
⎜g22 du ⎟⎥<br />
⎢<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦<br />
dır.<br />
2<br />
∇ φ =<br />
Böylece<br />
1<br />
1 ⎛ 3 2 i ⎞<br />
− 1 ∂ g dU<br />
2 g<br />
⎜<br />
.<br />
⎟<br />
i i i<br />
i= 1U ∂u ⎜gii du ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
2<br />
( 3.2.3 )<br />
( 3.2.4 )<br />
( 3.2.5 )<br />
∑ ( 3.2.6 )<br />
2 2<br />
∇ φ+ k φ = 0 şeklinde ifade edilen Helmholtz Denklemi<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
−<br />
3<br />
2 g<br />
i= 1<br />
1<br />
i<br />
U<br />
1<br />
2 i<br />
∂ ⎜g dU 2<br />
.<br />
⎟<br />
+ k φ = 0<br />
i i<br />
u ⎜gii du ⎟<br />
∑ ( 3.2.7 )<br />
∂ ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
şeklinde yazılır. Burada k zamanı içeren terimlerin ayrılmasından elde edilen ayırma<br />
sabitidir. Bu denklem bazı koordinat sistemlerinde ayrılabilir. Helmholtz Denkleminin<br />
basit ayrılabilmesi için bir koordinat sisteminin sağlaması gereken koşulları<br />
inceleyelim.<br />
Üç fonksiyonun çarpımı olarak ifade edilen<br />
( ) ( ) ( )<br />
1 1 2 2 3 3<br />
φ = U u U u U u<br />
( 3.2.8<br />
)
fonksiyonu ( 3.2.6) de yerine yazılırsa,<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
−<br />
3<br />
2 g .<br />
i= 1<br />
1<br />
i<br />
U<br />
1<br />
2 i<br />
∂ ⎜g dU 2<br />
.<br />
⎟<br />
+ k = 0<br />
i i<br />
u ⎜gii du ⎟<br />
∂ ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
58<br />
∑ ( 3.2.9 )<br />
elde edilir. ( 3.2.9 ) <strong>denklemi</strong> parantezin içindeki her nicelik bir tek bağımsız değişkene<br />
göre yazılamazsa denklem ayrıştırılmaz. Bu koşul genel olarak sağlanmayabilir.<br />
Çünkü<br />
1<br />
2 g <strong>ve</strong> ii<br />
g<br />
g üç koordinatın fonksiyonları olabilir. Fakat<br />
g<br />
durumlarda ( 3.2.9) <strong>denklemi</strong><br />
sabit dU<br />
1 3<br />
i<br />
2<br />
2<br />
g + k = 0<br />
i i<br />
i= 1 U du<br />
1<br />
2<br />
ii<br />
nin sabit olduğu özel<br />
∑ ( 3.2.10 )<br />
olur. Burada toplamın her terimi bir bağımsız değişkenin fonksiyonudur. Diğer bir özel<br />
durum<br />
g<br />
g<br />
1<br />
2<br />
ii<br />
i<br />
i ( )<br />
= f u olması durumundadır. Bu durumda ( ) 3.2.9<br />
1 3<br />
i<br />
− 1 d ⎛ dU ⎞ 2<br />
2<br />
g ∑ f i i ⎜ i k 0<br />
i ⎟+<br />
=<br />
( 3.2.11 )<br />
i= 1U<br />
du ⎝ du ⎠<br />
şeklini alır. Böylece toplamın her bir terimi yine sadece tek değişkenin bir<br />
fonksiyondur.<br />
Yani;<br />
Ayrılabilme için en genel koşul<br />
g<br />
g<br />
g<br />
g<br />
g<br />
g<br />
1<br />
2<br />
11<br />
1<br />
2<br />
22<br />
1<br />
2<br />
33<br />
1 2 3<br />
( ) ( )<br />
= f u F u ,u<br />
1 1<br />
2 1 3<br />
( ) ( )<br />
= f u F u ,u<br />
2 2<br />
3 1 2<br />
( ) ( )<br />
= f u F u ,u<br />
3 3<br />
g<br />
g<br />
1<br />
2<br />
ii<br />
nin iki fonksiyonun çarpımı olmasıdır.<br />
( 3.2.12<br />
)
koşulu basit ayırma için gerekli koşuldur.<br />
59<br />
( 3.2.12 ) Denklemi ( 3.2.9 ) <strong>denklemi</strong>nde yerine yazılırsa,<br />
F d ⎛ dU ⎞<br />
+ =<br />
ifadesi elde edilir.<br />
⎝ ⎠<br />
1 3<br />
i<br />
−<br />
2 i<br />
2<br />
g . i i ⎜fik 0<br />
i ⎟<br />
i= 1U<br />
du du<br />
Burada<br />
∑ ( 3.2.13 )<br />
1<br />
2<br />
g ,F <strong>ve</strong> f koordinat sistemi tarafından belirtilir.<br />
i i<br />
1 2 3<br />
φ = U.U.Unin<br />
fonksiyonları koordinat sistemi <strong>ve</strong> ayırma sabitlerinin her ikisinin de fonksiyonları<br />
olurlar.<br />
Ayırma sabitleri ( ) 2<br />
bağımsız iken ( 3.2.13 ) <strong>denklemi</strong>nin<br />
α1 = k , α2, α3<br />
ile gösterilirse fi <strong>ve</strong> Fi ler α lardan<br />
i<br />
U<br />
i<br />
U leri α nın fonksiyonlarıdır. ( 3.2.13 )<br />
Denkleminin α1, α2, α 3 göre diferansiyellenebildiği kabul edilirse,<br />
1 2 3<br />
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />
1<br />
∂ 1 d ⎛ dU ⎞ ∂ 1 d ⎛ dU ⎞ ∂ 1 d ⎛ dU ⎞ 2<br />
F1 ⎢ 1 1⎜f1 1 ⎟⎥+ F2 ⎢ f 2 2 ⎜ 2 F 2 ⎟⎥+ 3 ⎢ f 2 3 ⎜ 3 g 0<br />
3 ⎟⎥+<br />
=<br />
∂α1 ⎣Udu ⎝ du ⎠⎦ ∂α1 ⎣Udu ⎝ du ⎠⎦ ∂α1<br />
⎣Udu ⎝ du ⎠⎦<br />
1 2 3<br />
∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤ ∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤ ∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞ ⎤<br />
F1 ⎢ f 1 1⎜ 1 F 1 ⎟⎥+ 2 ⎢ f 2 2 ⎜ 2 F 2 ⎟⎥+ 3 ⎢ f<br />
2 3 ⎜ 3 3 ⎟⎥<br />
= 0 3.2.14<br />
∂α2 ⎣Udu ⎝ du ⎠⎦ ∂α2 ⎣Udu ⎝ du ⎠⎦ ∂α3<br />
⎣Udu ⎝ du ⎠⎦<br />
1 2 3<br />
∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤ ∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤ ∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤<br />
1 ⎢ 1 1⎜ 1 1 ⎟⎥ 2 ⎢ 2 2 ⎜ 2 2 ⎟⎥ 3 ⎢ 2 3 ⎜ 3 3 ⎟⎥<br />
∂α3 U du du ∂α3 U du du ∂α3<br />
U du du<br />
F f + F f + F f = 0<br />
⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦<br />
elde edilr.Denklem yeni notasyonlar kullanılarak daha kısa <strong>ve</strong> özlü olarak,<br />
varsa<br />
1 1φ11 1<br />
+ 2 2φ21 2<br />
+ 3 3φ31 3<br />
=<br />
1<br />
2<br />
( ) ( ) ( )<br />
( 1) ( 2) ( 3)<br />
( 1) ( 2) ( 3)<br />
fF u fF u fF u g<br />
fFφ u + fFφ u + fFφ u = 0<br />
1 1 12 2 2 22 3 3 32<br />
fFφ u + fFφ u + fFφ u = 0<br />
φ<br />
şeklinde yazılır.<br />
1 1 13 2 2 23 3 3 33<br />
i<br />
i 1 ∂ ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞⎤<br />
ij ( u ) =− ⎢ f<br />
i i ⎜ i i ⎟⎥<br />
fiu α j U du du<br />
i ( )<br />
∂ ⎣ ⎝ ⎠⎦<br />
( 3.2.15 )<br />
( 3.2.16 )<br />
( )
( fF 1 1)<br />
, ( fF 2 2)<br />
<strong>ve</strong> ( 3 3)<br />
çözülebilir. Bu sistemden elde edilen,<br />
11 12 13<br />
60<br />
fF nicelikleri için ij<br />
φ ( )<br />
3.2.15 denklemleri için<br />
= [ ] = φ φ φ<br />
( 3.2.17 )<br />
S det S<br />
φ φ φ<br />
21 22 23<br />
φ φ φ<br />
31 32 33<br />
determinantı ‘Stackel Determinant’ olarak adlandırılır.Bu determinantta Birinci satırın<br />
elemanları sadece 1<br />
u in, ikinci sıradakiler sadece<br />
sadece<br />
3<br />
u ün fonksiyonlarıdır.<br />
( )<br />
2<br />
u nin <strong>ve</strong> üçüncü satırın elemanları<br />
3.2.15 sisteminin çözümü M i1 ler ‘Stackel Determinant’ nın birinci<br />
sütunundaki φ i1 elemanlarının<br />
M<br />
11<br />
φ22 φ23<br />
=<br />
φ φ<br />
32 33<br />
M<br />
şeklinde kofaktörleri olmak üzere,<br />
1<br />
2<br />
21<br />
φ12 φ13<br />
=−<br />
φ φ<br />
1<br />
g<br />
M 2<br />
fF 1 1 = [ φ22. φ33− φ23. φ32<br />
] = g<br />
S S<br />
1<br />
2<br />
1<br />
g<br />
M<br />
fF 2 2 13. 32 12. 33 g<br />
S S<br />
32 33<br />
11<br />
M<br />
φ φ<br />
12 13<br />
13 = ( 3.2.18 )<br />
φ22 φ23<br />
2 21<br />
= [ φ φ − φ φ ] = ( 3.2.19 )<br />
1<br />
2<br />
1<br />
g<br />
M 2<br />
fF 3 3 = [ φ12. φ23 − φ13. φ22]<br />
= g<br />
S S<br />
dır. ( 3.2.12 ) <strong>ve</strong> ( 3.2.18 ) denklemleri karşılaştırılırsa;<br />
S<br />
gii Mi1<br />
31<br />
= ( 3.2.20 )<br />
olduğunu görülür. Bu basit ayrılabilme için birinci koşuldur. Aynı zamanda ( 3.2.19 )<br />
denklemlerinden,<br />
1<br />
2<br />
( 2 3)<br />
( )<br />
g ⎡ F 1 1 u ,u ⎤<br />
= f1( u ) ⎢ ⎥<br />
2 3<br />
S ⎢⎣ M11 u ,u ⎥⎦
<strong>ve</strong>ya<br />
1<br />
2<br />
( 1 3)<br />
( )<br />
g ⎡ F 2 2 u ,u ⎤<br />
= f2( u ) ⎢ ⎥<br />
1 3<br />
S ⎢⎣ M21 u ,u ⎥⎦<br />
1<br />
2<br />
( 1 2)<br />
( )<br />
g ⎡ F 3 3 u ,u ⎤<br />
= f3( u ) ⎢ ⎥<br />
1 2<br />
S ⎢⎣ M31 u ,u ⎥⎦<br />
( )<br />
( )<br />
61<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2 3 1 3 1 2<br />
⎡ F u ,u ⎤ ⎡ F u ,u ⎤ ⎡ F u ,u ⎤<br />
1 2 3<br />
f1( u ) ⎢ ⎥ = f 2 3 ( u ) ⎢ ⎥ = f 1 3 ( u ) ⎢ ⎥<br />
1 2<br />
⎢⎣ M11 u ,u ⎥⎦ ⎢⎣ M21 u ,u ⎥⎦ ⎢⎣ M31 u ,u ⎥⎦<br />
bulunur. Bu sonuç sadece,<br />
1<br />
2<br />
g<br />
S<br />
1 2 3<br />
( ) ( ) ( )<br />
1 2 3<br />
( 3.2.22 )<br />
( 3.2.23 )<br />
= f u .f u .f u<br />
( ) 3.2.24<br />
olması ile mümkündür. ( 3.2.23 ) Denklemi Helmholtz Denkleminin basit ayrılabilmesi<br />
için ikinci koşuldur. Eğer ( 3.2.19 ) <strong>ve</strong> ( 3.2.23 ) denklemleri <strong>ve</strong>rilen bir metrik<br />
katsayıları kümesi tarafından sağlanırsa, denklem bu koordinat sisteminde basit bir<br />
şekilde ayrılabilir.<br />
Kısaca üç boyutlu Euclidean uzayda, Helmholtz Denkleminin basit<br />
ayrılabilmesi için gerekli <strong>ve</strong> yeterli koşulların metrik katsayıların<br />
S<br />
gij = i= 1,2,3<br />
M<br />
1<br />
2<br />
g<br />
S<br />
i1<br />
1 2 3<br />
( ) ( ) ( )<br />
= f u f u f u<br />
1 2 3<br />
koşullarını sağlanması gerektiğini söyleyebiliriz.<br />
Diğer taraftan bir Stackel Matris<br />
[ S]<br />
şeklinde ifade edilir.<br />
⎡φφ φ ⎤<br />
11 12 13<br />
=<br />
⎢<br />
φ21 φ22 φ<br />
⎥<br />
⎢ 23 ⎥<br />
⎢φ31 φ32 φ ⎥ 33<br />
⎣ ⎦<br />
( 3.2.25 )<br />
( 3.2.26 )<br />
Bu matrisin determinantı S Stackel determinantıdır. ( 3.2.8 ) da belirtildiği gibi<br />
bir Stackel matris <strong>ve</strong> metrik katsayılar arasında birebir uygunluk yoktur. φ ij<br />
elemanlarını uygun şekilde seçmek mümkündür.
63<br />
IV. BÖLÜM<br />
HELMHOTLZ DENKLEMİNİN<br />
ÖZEL KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE ÇÖZÜMÜ<br />
Bu bölümde Helmholtz Denkleminin on bir koordinat sisteminde çözümü<br />
irdelenecektir.<br />
4.1. Kartezyen Koordinatlarda Çözüm<br />
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris <strong>ve</strong><br />
determinantı;<br />
⎡0 −1 −1⎤<br />
S =<br />
⎢<br />
0 1 0<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢⎣ 1 0 1 ⎥⎦<br />
[ ]<br />
şeklinde yazılır, ( 3.2.18 ) bağıntısından,<br />
S= det[ S] = 1<br />
( 4.1.1 )<br />
M11 = M21 = M31 = 1<br />
( 4.1.2 )<br />
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,<br />
g g g 1 g 1<br />
11 22 33<br />
1<br />
2<br />
= = = = ( 4.1.3 )<br />
şeklinde yazılarak f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,<br />
f1 = f2 = f3 = 1<br />
( 4.1.4 )<br />
şeklinde hesap edilir.<br />
olmak üzere<br />
Bu durumda ( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;<br />
2 1 2 3<br />
α = = ( ) = ( ) = ( )<br />
( 4.1.5 )<br />
1 k, U Xx, U Yy, U Zz<br />
i 3<br />
1 d ⎛ dU ⎞ i<br />
i ⎜fi i ⎟+<br />
U φα ij j = 0<br />
fi du ⎝ du ⎠ j= 1<br />
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;<br />
( 4.1.6 )
64<br />
2<br />
dX<br />
− ( α 2 2 + α3)X=<br />
0 4.1.7<br />
dx<br />
2<br />
dY<br />
dy<br />
2<br />
2<br />
( )<br />
( )<br />
+ α Y = 0 4.1.8<br />
2<br />
dZ 2<br />
− (k + α<br />
2<br />
3)Z<br />
= 0 4.1.9<br />
dz<br />
şeklinde üç denklem elde edilir.<br />
Eğer<br />
α p <strong>ve</strong>α q<br />
= = alınırsa ( 4.1.7 ) ,( 4.1.8 ) ,( )<br />
2 2<br />
2 3<br />
2<br />
dX 2 2<br />
(p q )X 0<br />
2<br />
dx<br />
4.1.9 denklemleri;<br />
( )<br />
− + = ( ) 4.1.10<br />
2<br />
dY 2<br />
pY 0<br />
2<br />
dy<br />
+ = ( ) 4.1.11<br />
2<br />
dZ 2 2<br />
(k q )Z 0<br />
2<br />
+ + = ( 4.1.12 )<br />
dz<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
1 1<br />
2 2<br />
( p + q ) 2 x<br />
2 2<br />
− ( p + q ) 2 x<br />
1 1<br />
X= A e + Be<br />
( 4.1.13 )<br />
Y= A sin( py) + B cos(<br />
py )<br />
( 4.1.14 )<br />
2 2<br />
1 1<br />
3<br />
2 2 2<br />
3<br />
2 2 2<br />
Z = A sin[( k + q ) z] + B cos[( k + q ) z ]<br />
( 4.1.15 )<br />
olarak bulunur.<br />
Eğer<br />
α p <strong>ve</strong> α q<br />
=− =− alınırsa ( 4.1.7 ) ,( 4.1.8 ) ,( )<br />
2 2<br />
2 3<br />
2<br />
dX 2 2<br />
(p q )X 0<br />
2<br />
dx<br />
4.1.9 denklemleri:<br />
+ + = ( ) 4.1.16<br />
2<br />
dY 2<br />
pY 0<br />
2<br />
dy<br />
− = ( ) 4.1.17<br />
2<br />
dZ 2 2<br />
(k q )Z 0<br />
2<br />
+ − = ( ) 4.1.18<br />
dz<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
1 1<br />
1<br />
2 2 2<br />
1<br />
2 2 2<br />
X = A sin[( p + q ) x] + B cos[( k + q ) x ]<br />
( 4.1.19 )<br />
Y A B −<br />
= e + e ( 4.1.20<br />
)<br />
py py<br />
2 2
65<br />
1 1<br />
3<br />
2 2 2<br />
3<br />
2 2 2<br />
Z = A sin[( k − q ) z] + B cos[( k −q<br />
) z ]<br />
( 4.1.21 )<br />
olarak bulunur.<br />
Eğer α2 = α3<br />
= 0 alınırsa ( 4.1.7 ) ,( 4.1.8 ) ,( 4.1.9 ) denklemleri;<br />
2 2<br />
dX dY<br />
0<br />
2 2<br />
= = ( 4.1.22 )<br />
dx dy<br />
2<br />
dZ 2<br />
kZ 0<br />
2<br />
+ = ( ) 4.1.23<br />
dx<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
X= A1+ B1x<br />
( 4.1.24 )<br />
Y= A2 + B2y<br />
( 4.1.25 )<br />
Z= A sin( kz) + B cos(<br />
kz )<br />
( 4.1.26 )<br />
olarak bulunur.<br />
3 3<br />
φ ; z den bağımsız ise ( 4.1.7 ) ,( 4.1.8 ) ,( 4.1.9 ) denklemleri,<br />
2<br />
dX<br />
dx<br />
dy<br />
halini alır.<br />
2<br />
− α X= 0<br />
( 4.1.27 )<br />
2<br />
2<br />
dY 2<br />
(k α<br />
2<br />
2)Y<br />
0<br />
Eğer<br />
+ + = ( 4.1.28 )<br />
2<br />
α 2 = p alınırsa ( )<br />
2<br />
dX 2<br />
pX 0<br />
2<br />
dx<br />
4.1.27 <strong>ve</strong> ( )<br />
4.1.28 denklemleri,<br />
− = ( ) 4.1.29<br />
2<br />
dY 2 2<br />
(p q )Y 0<br />
2<br />
+ + = ( ) 4.1.30<br />
dy<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
dır.<br />
X A B −<br />
= e + e ( 4.1.31 )<br />
px px<br />
1 1<br />
1 1<br />
2<br />
2 2 2<br />
2<br />
2 2 2<br />
Y = A sin[( k + p ) y] + B cos[( k + p ) y ]<br />
( 4.1.32 )<br />
Eğer<br />
2<br />
α 2 =− p alınırsa ( )<br />
4.1.27 <strong>ve</strong> ( )<br />
4.1.28 denklemleri
2<br />
dX 2<br />
pX 0<br />
2<br />
dx<br />
66<br />
+ = ( ) 4.1.33<br />
2<br />
dY 2 2<br />
(k p )Y 0<br />
2<br />
+ − = ( ) 4.1.34<br />
dy<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
X= A sin( px) + B cos(<br />
px )<br />
( 4.1.35 )<br />
1 1<br />
1 1<br />
2<br />
2 2 2<br />
2<br />
2 2 2<br />
Y = A sin[( k − p ) y] + B cos[( k − p ) y ]<br />
( 4.1.36 )<br />
Eğer α 2 = 0 alınırsa ( 4.1.27 ) <strong>ve</strong> ( 4.1.28 ) denklemleri<br />
2<br />
dX<br />
0 2<br />
dx<br />
= ( ) 4.1.37<br />
2<br />
dY 2<br />
kY 0<br />
2<br />
+ = ( ) 4.1.38<br />
dy<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
dır.<br />
X= A1+ B1x<br />
( 4.1.39 )<br />
Y = A sin ky + B cos ky ( 4.1.40 )<br />
2 2<br />
φ ; y <strong>ve</strong> z den bağımsız ise ( 4.1.7 ) ,( 4.1.8 ) ,( 4.1.9 ) denklemleri<br />
d φ<br />
dx<br />
2<br />
2<br />
+ k φ = 0<br />
2<br />
( 4.1.41 )<br />
şeklini alır. Bu <strong>denklemi</strong>n çözümü ise;<br />
olarak bulunur.<br />
φ = Asinkx + Bcoskx<br />
( 4.1.42 )<br />
1 1
67<br />
4.2. Dairesel Silindirik Koordinatlarda Çözüm<br />
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris <strong>ve</strong><br />
determinantı;<br />
⎡ −1<br />
⎤<br />
⎢<br />
0 −1<br />
2<br />
ρ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
S = ⎢0 1 0 ⎥<br />
⎢<br />
1 0 1<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢⎣ ⎥⎦<br />
[ ]<br />
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,<br />
1<br />
M11 = 1 M21 = M 2 31 = 1<br />
ρ<br />
, S= det[ S] = 1<br />
( 4.2.1 )<br />
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,<br />
11 22<br />
2<br />
33<br />
1<br />
2<br />
g = 1, g = , g = 1, g =<br />
( 4.2.2 )<br />
ρ ρ ( 4.2.3 )<br />
olarak bulunur. f 1,f 2,f 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,<br />
f1 = r f2 = 1 f3 = 1<br />
( 4.2.4 )<br />
şeklinde elde edilir.<br />
olmak üzere<br />
Bu durumda ( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;<br />
2 1 2 3<br />
α = = ( ρ) =Ψ ( ψ ) = ( )<br />
( 4.2.5 )<br />
1 k U R U U Z z<br />
i 3<br />
1 d ⎛ dU ⎞ i<br />
i ⎜fi i ⎟+<br />
U Φ ijαj = 0<br />
fidu ⎝ du ⎠ j= 1<br />
∑ ( 4.2.6 )<br />
şeklini alır. ( 4.2.6 ) <strong>denklemi</strong> ayrıştırılırsa;<br />
⎛α⎞ + − + R = 0<br />
dρ ρ dρ<br />
⎝ρ ⎠<br />
2<br />
dR 1dR 2<br />
2 ⎜ α 2 3 ⎟<br />
( 4.2.7 )<br />
2<br />
d Ψ<br />
+ α 2 2Ψ=<br />
0<br />
( 4.2.8 )<br />
dψ<br />
2<br />
dZ<br />
dz<br />
2<br />
2 ( α3<br />
)<br />
+ k + Z= 0<br />
( 4.2.9 )<br />
şeklinde üç denklem elde edilir.
denklemleri,<br />
Bu denklemlerde eğer<br />
2 2<br />
dR 1dR ⎛ 2 p ⎞<br />
+ − q R 0,<br />
2 ⎜ + 2 ⎟ =<br />
dr ρ dr ⎝ ρ ⎠<br />
d<br />
dψ<br />
68<br />
α p α q<br />
= = alınırsa; ( 4.2.7 ) ,( 4.2.8 ) ,( 4.2.9 )<br />
2 2<br />
2 3<br />
( 4.2.10 )<br />
2<br />
Ψ 2<br />
+ p Ψ= 0<br />
2<br />
( 4.2.11 )<br />
2<br />
dZ<br />
2<br />
dz<br />
2 2 ( )<br />
+ k + q Z= 0<br />
( 4.2.12 )<br />
şekline dönüşür. ( 4.2.10 ) ,( 4.2.11 ) , ( 4.2.12 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
( ρ ) ( ρ )<br />
( 4.2.13 )<br />
J iq J iq<br />
R = A1 p + B1 − p<br />
Ψ= A sin p + B cos p<br />
ψ ψ ( 4.2.14 )<br />
2 2<br />
1 1<br />
⎡ 2 2 ⎤ ⎡ 2 2 ⎤<br />
Z= A 2 2<br />
3sin⎢( k + q ) z⎥+ B3cos⎢( k + q ) z ⎥<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
olarak bulunur.<br />
( 4.2.15 )<br />
Eğer α p α q<br />
= =− alınırsa ( 4.2.8 ) ,( 4.2.9 ) ,( )<br />
2 2<br />
2 3<br />
2 2<br />
dR 1dR ⎛ 2 p ⎞<br />
+ + q R 0<br />
2 ⎜ − 2 ⎟ =<br />
dρ ρ dρ<br />
⎝ ρ ⎠<br />
d<br />
dψ<br />
4.2.10 denklemleri,<br />
( 4.2.16 )<br />
2<br />
Ψ 2<br />
+ p Ψ= 0<br />
2<br />
( 4.2.17 )<br />
2<br />
dZ<br />
2<br />
2 2 ( )<br />
+<br />
dz<br />
k − q Z= 0<br />
( ) 4.2.18<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
R = A J ( q ) + B J ( q )<br />
ρ ρ ( 4.2.19 )<br />
1 p 1 − p<br />
Ψ= A sin p + B cos p<br />
ψ ψ ( 4.2.20 )<br />
2 2<br />
1 1<br />
⎡ 2 2 ⎤ ⎡ 2 2 ⎤<br />
Z= A 2 2<br />
3sin⎢( k − q ) z⎥+ B3cos⎢( k −q<br />
) z ⎥<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
olarak bulunur.<br />
( 4.2.21 )<br />
Eğer α 0 α q<br />
2<br />
2 = 3 = alınırsa ( )<br />
4.2.8 ,( 4.2.9 ) ,( )<br />
4.2.10 denklemleri,
2<br />
dR 1dR 2<br />
+ − qR= 0<br />
2<br />
dρ ρ dρ<br />
69<br />
( 4.2.22 )<br />
2<br />
d Ψ<br />
= 0 2<br />
( 4.2.23 )<br />
dψ<br />
2<br />
dZ<br />
2<br />
2 2 ( )<br />
+<br />
dz<br />
k + q Z= 0<br />
( 4.2.23 )<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
R = A J ( iq ) + B Y ( iq )<br />
ρ ρ ( 4.2.23 )<br />
1 0 1 0<br />
Ψ= A2 + B2ψ<br />
( 4.2.24 )<br />
1 1<br />
⎡ 2 2 ⎤ ⎡ 2 2 ⎤<br />
Z= A 2 2<br />
3sin⎢( k + q ) z⎥+ B3cos⎢( k + q ) z ⎥<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
olarak bulunur.<br />
( 4.2.25 )<br />
Eğer α2 = α3<br />
= 0 alınırsa ( 4.2.7 ) ,( 4.2.8 ) ,( 4.2.9 ) denklemleri,<br />
2<br />
dR 1dR<br />
+ = 0<br />
2<br />
dρ ρ dρ<br />
( 4.2.26 )<br />
2<br />
d Ψ<br />
= 0 2<br />
( 4.2.27 )<br />
dψ<br />
2<br />
dZ 2<br />
kZ 0<br />
2<br />
+ = ( ) 4.2.28<br />
dz<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
R = A1+ B1lnρ ( 4.2.29 )<br />
Ψ= A2 + B2ψ<br />
( 4.2.30 )<br />
olarak bulunur.<br />
Z= A sin( kz) + B cos(<br />
kz )<br />
( 4.2.31 )<br />
3 3<br />
φ ; z den bağımsız ise ( 4.2.7 ) ,( 4.2.8 ) , ( 4.2.9 ) ,denklemleri<br />
2<br />
dR 1dR<br />
d<br />
2<br />
d<br />
2 2 ( α2ρ )<br />
+ + k − / R = 0<br />
ρ ρ ρ<br />
( 4.2.32 )<br />
2<br />
d Ψ<br />
+ α 2 2Ψ=<br />
0<br />
dψ<br />
olarak bulunur.<br />
( 4.2.33 )
Eğer<br />
2<br />
α 2 = p alınırsa ( )<br />
2<br />
dR 1dR<br />
2<br />
2 2 2 ( ρ )<br />
70<br />
4.2.32 , ( )<br />
+ + k − p / R = 0<br />
dρ ρ dr<br />
d<br />
dψ<br />
4.2.33 denklemleri<br />
( 4.2.34 )<br />
2<br />
Ψ 2<br />
+ p Ψ= 0<br />
2<br />
( 4.2.35 )<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
elde edilir.<br />
R = A J ( x ) + B J ( x )<br />
ρ ρ ( 4.2.36 )<br />
( pψ ) ( pψ<br />
)<br />
( 4.2.37 )<br />
1 p 1 − p<br />
Ψ= A sin + B cos<br />
2 2<br />
Eğer α 2 = 0 alınırsa ( 4.2.32 ) , ( 4.2.33 ) denklemleri<br />
2<br />
dR 1dR 2<br />
+ + kR= 0<br />
2<br />
dρ ρ dρ<br />
2<br />
d<br />
0 2<br />
dψ<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
elde edilir.<br />
( 4.2.38 )<br />
Ψ<br />
= ( 4.2.39 )<br />
R = A J ( k ) + B Y ( k )<br />
1 0 ρ 1 0 ρ ( 4.2.40 )<br />
Ψ= A2 + B2ψ<br />
( 4.2.41 )<br />
φ ; ψ den bağımsız ise ( 4.2.7 ) ( 4.2.8 ) , ( 4.2.9 ) ,denklemleri<br />
2<br />
dR 1dR<br />
d<br />
2<br />
d<br />
dz<br />
olarak yazılır.<br />
+ − α3R<br />
= 0<br />
ρ ρ ρ<br />
2<br />
dZ 2<br />
(k α<br />
2<br />
3)Z<br />
0<br />
Eğer<br />
( 4.2.42 )<br />
+ + = ( 4.2.43 )<br />
2<br />
α 3 = q alınırsa ( )<br />
2<br />
dR 1dR 2<br />
+ − qR= 0<br />
2<br />
dρ ρ dρ<br />
2<br />
dZ 2 2<br />
(k q )Z 0<br />
2<br />
4.2.42 , ( )<br />
4.2.43 denklemleri;<br />
dz<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
( 4.2.44 )<br />
+ + = ( ) 4.2.45
R = A J ( iq ) + B Y ( iq )<br />
1 0 1 0<br />
71<br />
ρ ρ ( 4.2.46 )<br />
2 2 2 2<br />
( ) ( )<br />
Z= A2sin⎡ ⎢<br />
k<br />
⎣<br />
olarak bulunur.<br />
+ q<br />
1/2<br />
z⎤+ B2cos⎡ ⎥⎦ ⎢<br />
k<br />
⎣<br />
+ q<br />
1/2<br />
z ⎤<br />
⎥⎦<br />
( 4.2.47 )<br />
Eğer<br />
2<br />
α 3 =− q alınırsa ( )<br />
2<br />
dR 1dR 2<br />
+ + qR= 0<br />
2<br />
dρ ρ dρ<br />
2<br />
dZ 2 2<br />
(k q )Z 0<br />
2<br />
4.2.42 , ( )<br />
dz<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
4.2.43 denklemleri;<br />
( 4.2.48 )<br />
+ − = ( ) 4.2.49<br />
R = A J (q ) + BY (q )<br />
ρ ρ ( 4.2.50 )<br />
1 0 1 0<br />
2 2 2 2<br />
( ) ( )<br />
Z= A2sin⎡ ⎢<br />
k<br />
⎣<br />
olarak yazılır.<br />
− q<br />
1/2<br />
z⎤ B2cos⎡ ⎥<br />
+ k<br />
⎦ ⎢⎣ −q<br />
1/2<br />
z⎤<br />
⎥⎦<br />
Eğer 3<br />
α = 0 alınırsa ( )<br />
2<br />
dR 1dR<br />
+ = 0<br />
2<br />
dρ ρ dρ<br />
2<br />
dZ 2<br />
kZ 0<br />
2<br />
4.2.42 , ( )<br />
4.2.43 denklemleri;<br />
dz<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
( ) 4.2.51<br />
( 4.2.52 )<br />
+ = ( ) 4.2.53<br />
R = A 1 + B1 ln ρ ( 4.2.54 )<br />
Z= A sinkz + B coskz<br />
( 4.2.53 )<br />
olarak bulunur.<br />
2 2<br />
φ ; ψ <strong>ve</strong> z den bağımsız ise ( 4.2.42 ) , ( 4.2.43 ) denklemleri;<br />
2<br />
d φ 1 dφ<br />
2<br />
+ + k φ = 0<br />
2<br />
dρ ρ dρ<br />
şeklini alır <strong>ve</strong> bu <strong>denklemi</strong>n çözümü<br />
dır.<br />
1 0 1 0<br />
( 4.2.54 )<br />
φ = A J ( kρ) + B Y ( kρ<br />
)<br />
( 4.2.53 )
72<br />
4.3. Eliptik Silindirik Koordinatlarda Çözüm<br />
determinantı;<br />
[ ]<br />
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris <strong>ve</strong><br />
2 2<br />
⎡0 −1 −a<br />
cosh η⎤<br />
⎢ 2 2 ⎥<br />
S = ⎢0 1 a cosh ψ ⎥<br />
⎢1 0 1 ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından<br />
2 2 2<br />
M11 M21 1 M31 a (cosh η cos ψ )<br />
2 2 2<br />
, S= det[ S] = a (cosh η− cos ψ)<br />
( 4.3.1 )<br />
= = = − ( 4.3.2 )<br />
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları;<br />
g11 g22 S g33 1<br />
1<br />
2 g<br />
2 2<br />
a (cosh η<br />
2<br />
cos ψ)<br />
= = = = − ( 4.3.3 )<br />
olarak yazılır. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından yaralanılarak<br />
f1 = f2 = f3 = 1<br />
( 4.3.4 )<br />
şeklinde bulunur.<br />
olmak üzere,<br />
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;<br />
2 1 2 3<br />
= = ( ) =Ψ ( ) = ( )<br />
( 4.3.5 )<br />
α1k, U H η , U ψ , U Zz<br />
i 3<br />
1 d ⎛ dU ⎞ i<br />
i ⎜fi i ⎟+<br />
U φα ij j = 0<br />
fidu ⎝ du ⎠ j1 =<br />
∑ şeklinde yazılır. Bu denklem ayrıştırılırsa;<br />
( 4.3.6 )<br />
2<br />
dH 2 2<br />
( α 2 2 α3a cosh η)H<br />
0<br />
dη<br />
2<br />
d<br />
2<br />
dψ<br />
− + = ( ) 4.3.7<br />
Ψ<br />
+ + Ψ = ( 4.3.8 )<br />
2 2<br />
( α2 α3a cos ψ)<br />
0<br />
2<br />
dZ 2<br />
(k α<br />
2<br />
3)Z<br />
0<br />
+ + = ( 4.3.9 )<br />
dz<br />
şeklinde üç denklem elde edilir.<br />
Eğer<br />
denklemleri;<br />
= = + alınırsa, ( 4.3.7 ) ,( 4.3.8 ) , ( 4.3.9 )<br />
q α a /4 <strong>ve</strong> λ α α a /2<br />
2 2<br />
3 2 3
2<br />
dH<br />
( λ 2qcosh2 η)H<br />
0<br />
2<br />
dη<br />
73<br />
− + = ( ) 4.3.10<br />
2<br />
d Ψ<br />
+ ( λ+ 2qcos2 ψ)<br />
Ψ = 0<br />
2<br />
( 4.3.12 )<br />
dψ<br />
2<br />
dZ 2 2<br />
(k 4q / a )Z 0<br />
2<br />
+ + = ( ) 4.3.13<br />
dz<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
H= A ce ( i , − q) + B fe ( i , −q)<br />
η η ( 4.3.14 )<br />
1 m 1 m<br />
Ψ= A ce ( , − q) + B fe ( , −q)<br />
olarak bulunur.<br />
ψ ψ ( 4.3.15 )<br />
2 m 2 m<br />
1 1<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
( ) ( )<br />
Z= A sin[ k + 4 q/ a z] + B cos[ k + 4 q/ a z ]<br />
( 4.3.16 )<br />
Eğer<br />
denklemleri;<br />
q α a /4 <strong>ve</strong> λ α α a /2<br />
=− = + alınırsa, ( 4.3.7 ) ,( 4.3.8 ) , ( 4.3.9 )<br />
2 2<br />
3 2 3<br />
2<br />
dH<br />
( λ 2qcosh2 η)H<br />
0<br />
2<br />
dη<br />
− − = ( ) 4.3.17<br />
2<br />
d Ψ<br />
+ ( λ−2qcos2 ψ)<br />
Ψ = 0<br />
2<br />
( 4.3.18 )<br />
dψ<br />
2<br />
dZ<br />
2<br />
dz<br />
2 2 ( )<br />
+ k − 4q/a Z= 0<br />
( ) 4.3.19<br />
şeklini alır.<br />
Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
dır.<br />
H= A ce ( i , q) + B fe ( i , q)<br />
η η ( 4.3.20 )<br />
1 m 1 m<br />
Ψ= A ce ( , q) + B fe ( , q)<br />
ψ ψ ( 4.3.21 )<br />
2 m 2 m<br />
1 1<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
( ) ( )<br />
Z = A sin[ k − 4 q/ a z] + B cos[ k −4<br />
q/ a z ]<br />
( 4.3.22 )<br />
Eğer α2 = α3<br />
= 0 alınırsa, ( 4.3.7 ) ,( 4.3.8 ) , ( 4.3.9 ) denklemleri;
2<br />
dH<br />
0 2<br />
dη<br />
74<br />
= ( ) 4.3.23<br />
2<br />
d Ψ<br />
= 0 2<br />
( 4.3.24 )<br />
dψ<br />
2<br />
dZ 2<br />
kZ 0<br />
2<br />
+ = ( ) 4.3.25<br />
dz<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
H= A1+ B1η<br />
( 4.3.26 )<br />
Ψ= A2 + B2ψ<br />
( 4.3.26 )<br />
Z = A sin( kz) + B cos(<br />
kz )<br />
( 4.3.27 )<br />
olarak bulunur.<br />
3 3<br />
Eğer φ ; z den bağımsız ise ( 4.3.7 ) ,( 4.3.8 ) , ( 4.3.9 ) denklemleri,<br />
2<br />
dH 2 2 2<br />
( α 2 2 k a cosh η)H<br />
0<br />
dη<br />
2<br />
d<br />
2<br />
dψ<br />
şeklini alır.<br />
− − = ( ) 4.3.28<br />
Ψ<br />
+ − Ψ = ( 4.3.29 )<br />
2 2 2<br />
( α2k a cosh ψ)<br />
0<br />
q k a /4 <strong>ve</strong> λ α k a /2<br />
= = − için ( 4.3.28 ) , ( )<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
2<br />
dH<br />
( λ 2qcosh2 η)H<br />
0<br />
2<br />
dη<br />
4.3.29 denklemleri;<br />
− − = ( ) 4.3.30<br />
2<br />
d<br />
2<br />
dψ<br />
( λ 2qcosh2 ψ)<br />
0<br />
şekline dönüşür. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
Ψ<br />
+ − Ψ = ( 4.3.31 )<br />
H= A ce ( i , q) + B fe ( i , q)<br />
η η ( 4.3.32 )<br />
1 m 1 m<br />
Ψ= A ce ( , q) + B fe ( , q)<br />
olarak bulunur.<br />
Eğer<br />
ψ ψ ( 4.3.33 )<br />
2 m 2 m<br />
q k a /4 <strong>ve</strong> λ α k a /2<br />
=− = − olarak alınırsa, ( 4.3.28 ) , ( )<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
2<br />
dH<br />
( λ 2qcosh2 η)H<br />
0<br />
2<br />
dη<br />
4.3.29 denklemleri<br />
− + = ( ) 4.3.34
75<br />
2<br />
d<br />
2<br />
dψ<br />
( λ 2qcosh2 ψ)<br />
0<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
dır.<br />
Ψ<br />
+ + Ψ = ( 4.3.35 )<br />
H= A ce ( i , − q) + B fe ( i , −q)<br />
η η ( 4.3.36 )<br />
1 m 1 m<br />
Ψ= A ce ( , − q) + B fe ( , −q)<br />
ψ ψ ( 4.3.37 )<br />
2 m 2 m
76<br />
4.4. Parabolik Silindirik Koordinatlarda Çözüm<br />
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris <strong>ve</strong><br />
determinantı;<br />
2<br />
⎡0 −1<br />
µ ⎤<br />
⎢ 2⎥ 2 2<br />
[ ] [ ]<br />
S = ⎢0 1 − v ⎥,<br />
S= det S = µ + v<br />
⎢1 0 1 ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,<br />
M M 1, M v<br />
( 4.4.1 )<br />
2 2<br />
11 = 21 = 31 = µ + ( 4.4.2 )<br />
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) bağıntısından metrik katsayıları;<br />
11 22<br />
2<br />
µ<br />
2<br />
33<br />
1<br />
2 3<br />
µ<br />
2<br />
g g v g 1 g v<br />
= = + = = + ( 4.4.3 )<br />
şeklinde yazılarak ( 3.2.24 ) bağıntısından;<br />
f1 = f2 = f3 = 1<br />
( 4.4.4 )<br />
değeri bulunur.<br />
olmak üzere,<br />
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;<br />
α =<br />
2 1<br />
=Μ ( µ ) 2<br />
= ( ) 3<br />
= ( )<br />
( 4.4.5 )<br />
1 k U U N v U Z z<br />
i 3<br />
1 d ⎛ dU ⎞ i<br />
i ⎜fi i ⎟+<br />
U φα ij j = 0<br />
fidu ⎝ du ⎠ j= 1<br />
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;<br />
( 4.4.6 )<br />
2<br />
dM 2<br />
( α 2 2 α 3µ<br />
)M 0<br />
d<br />
µ − + = ( )<br />
4.4.7<br />
2<br />
dN 2<br />
( α 2 2 αν 3 )N 0<br />
dv<br />
+ − = ( 4.4.8 )<br />
2<br />
dZ 2<br />
(k α<br />
2<br />
3)Z<br />
0<br />
+ + = ( 4.4.9 )<br />
dz<br />
olarak üç denklem elde edilir.
Eğer<br />
denklemleri,<br />
77<br />
α q (p 1/2) <strong>ve</strong> α q /4<br />
= + = alınırsa ( 4.4.7 ) ,( 4.4.8 ) , ( )<br />
2 4<br />
2 3<br />
2<br />
dM 2 4 2<br />
[q (p 1/ 2) q µ / 4]M 0<br />
2<br />
d<br />
µ − + + = ( )<br />
4.4.9 ,<br />
4.4.10<br />
2<br />
dN 2 4 2<br />
[q (p 1/ 2) q ν / 4]N 0<br />
2<br />
dv<br />
2<br />
dZ<br />
2<br />
+ + − = ( 4.4.11 )<br />
2 4 ( )<br />
+<br />
dz<br />
k + q /4 Z= 0<br />
( ) 4.4.12<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
olarak bulunur.<br />
denklemleri,<br />
M = A W ( p, iq ) + B W ( p, iq )<br />
µ µ ( 4.4.13 )<br />
1 e<br />
1 0<br />
N= A W ( p, q ) + B W ( p, q )<br />
ν ν ( 4.4.14 )<br />
2 e<br />
2 0<br />
1 1<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2 4 2 4<br />
( ) ( )<br />
Z = A sin[ k + q / 4 z] + B cos[ k + q / 4 z ]<br />
( 4.4.15 )<br />
α q (p 1/2) <strong>ve</strong> α q /4<br />
=− + = alınırsa ( 4.4.7 ) , ( 4.4.8 ) , ( )<br />
2 4<br />
2 3<br />
2<br />
dM 2 4 2<br />
[q (p 1/ 2) q / µ 4]M 0<br />
2<br />
d<br />
µ + + − = ( )<br />
4.4.9 ,<br />
4.4.16<br />
2<br />
dN 2 4 2<br />
[q (p 1/ 2) q ν / 4]N 0<br />
2<br />
dv<br />
2<br />
dZ<br />
2<br />
− + + = ( 4.4.17 )<br />
2 4 ( )<br />
+<br />
dz<br />
k + q /4 Z= 0<br />
( ) 4.4.18<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
M = A W ( p, q ) + B W ( p, q )<br />
µ µ ( 4.4.19 )<br />
1 e<br />
1 0<br />
N= A W ( p, iq ) + B W ( p, iq )<br />
ν ν ( 4.4.20 )<br />
2 e<br />
2 0<br />
1 1<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2 4 2 4<br />
( ) ( )<br />
Z= A sin[ k + q /4 z] + B cos[ k + q /4 z ]<br />
( 4.4.21 )<br />
olarak bulunur.<br />
Eğer<br />
α α<br />
2<br />
2 = 0, <strong>ve</strong> 3 =− q alınırsa ( )<br />
4.4.7 , ( 4.4.8 ) , ( )<br />
4.4.9 denklemleri,
2<br />
dM 2 2<br />
q µ M 0<br />
2<br />
d<br />
µ + = ( )<br />
78<br />
4.4.22<br />
2<br />
dN 2 2<br />
qνN 0<br />
2<br />
dv<br />
+ = ( 4.4.23 )<br />
2<br />
dZ 2 2<br />
(k q )Z 0<br />
2<br />
+ − = ( ) 4.4.24<br />
dz<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
1<br />
2<br />
M = [A J ( q /2) + B J ( q /2)]<br />
µ µ µ ( 4.4.25 )<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
1 1/4 1 −1/4<br />
N = [A J ( q /2) + B J ( q /2)]<br />
ν ν ν ( 4.4.26 )<br />
2 2<br />
2 1/4 2 −1/4<br />
1 1<br />
3<br />
2 2 2<br />
3<br />
2 2 2<br />
Z = A sin[( k − q ) z] + B cos[( k −q<br />
) z ]<br />
( 4.4.27 )<br />
Eğer φ ; z den bağımsız ise, ( 4.4.7 ) , ( 4.4.8 ) , ( 4.4.9 )<br />
2<br />
dM 2 2<br />
( α 2 2 k µ )M 0<br />
d<br />
µ − − = ( )<br />
dv<br />
şeklini alır.<br />
4.4.28<br />
2<br />
dN 2 2<br />
( α 2 2 k ν )N 0<br />
Eğer<br />
+ + = ( 4.4.29 )<br />
2<br />
α 2 = q alınırsa, ( )<br />
2<br />
dN 2 2 2<br />
2 ( q k µ ) M 0<br />
d<br />
µ − − = ( )<br />
4.4.28 , ( )<br />
4.4.29 denklemleri;<br />
4.4.30<br />
2<br />
dN 2 2 2<br />
2 ( q kν) N 0<br />
+ + = ( ) 4.4.31<br />
dν<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
M = i [A J ( kqi , , ) + B J ( kqi , , )]<br />
1<br />
2<br />
µ µ µ ( 4.4.32 )<br />
1 1/2 1 −1/2<br />
N = [A J ( k, q, ) + B J ( k, q,<br />
)]<br />
olarak bulunur.<br />
Eğer<br />
ν ν ν ( 4.4.33 )<br />
2 1/2 2 −1/2<br />
2<br />
α 2 =− q alınırsa, ( )<br />
4.4.28 , ( )<br />
4.4.29 denklemleri;
2<br />
dM 2 2 2<br />
2 ( q k µ ) M 0<br />
d<br />
µ + + = ( )<br />
79<br />
4.4.34<br />
2<br />
dN 2 2 2<br />
2 ( q k v ) N 0<br />
− − = ( ) 4.4.35<br />
dv<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
1<br />
2<br />
M = µ [A J ( k, q, µ ) + B J ( k, q , µ )]<br />
( 4.4.36 )<br />
1 1/2 1 −1/2<br />
N = iν[A J ( k, q, iν) + B J ( k, q, i ν)]<br />
( 4.4.37 )<br />
olarak bulunur.<br />
2 1/2 2 −1/2<br />
Eğer α 2 = 0 alınırsa, ( 4.4.28 ) , ( 4.4.29 ) denklemleri;<br />
2<br />
dM 2 2<br />
k µ M 0<br />
2<br />
d<br />
µ + = ( )<br />
4.4.38<br />
2<br />
dN 2 2<br />
kνN 0<br />
2<br />
+ = ( 4.4.39 )<br />
dv<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
dır.<br />
1<br />
2<br />
M = µ [A J ( kµ /2) + B J ( k µ /2)]<br />
( 4.4.40 )<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
1 1/4 1 −1/4<br />
N = ν [A J ( kν /2) + B J ( k ν /2)]<br />
( 4.4.41 )<br />
2 2<br />
2 1/4 2 −1/4
80<br />
4.5. Küresel Koordinatlarda Çözüm<br />
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris <strong>ve</strong><br />
determinantı;<br />
2<br />
⎡1 −1/r<br />
0 ⎤<br />
⎢ 2 ⎥<br />
S = ⎢0 1 −1/sin<br />
θ ⎥<br />
⎢0 0 1 ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
[ ]<br />
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,<br />
, S= det[ S] = 1<br />
( 4.5.1 )<br />
( )<br />
M 1, M 1/r , M 1/ r sin θ<br />
= = = ( 4.5.2 )<br />
2 2 2<br />
11 21 31<br />
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,<br />
11 22<br />
2<br />
33<br />
2 2<br />
1<br />
2 2<br />
g 1 g r g r sin θ g r sinθ<br />
= = = = ( 4.5.3 )<br />
olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,<br />
f r , f sin θ,<br />
f 1<br />
= = = ( 4.5.4 )<br />
2<br />
1 2 3<br />
şeklinde elde edilir.<br />
olmak üzere,<br />
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;<br />
α =<br />
2 1<br />
= ( ) 2<br />
=Θ ( θ) 3<br />
=Ψ ( ψ)<br />
( 4.5.5 )<br />
1 k U R r U U<br />
i 3<br />
1 d ⎛ dU ⎞ i<br />
i ⎜fi i ⎟+<br />
U φα ij j = 0<br />
fidu ⎝ du ⎠ j= 1<br />
∑ ( 4.5.6 )<br />
şeklini alır. ( 4.5.6 ) <strong>denklemi</strong> ayrıştırılırsa;<br />
2<br />
dR 2dR<br />
2<br />
dr r dr<br />
2 2 ( α2<br />
)<br />
+ + k − /r R = 0<br />
( 4.5.7 )<br />
2<br />
d d<br />
2<br />
cot θ ( α 2<br />
2 α3/ sin θ)<br />
0<br />
Θ Θ<br />
+ − Θ= ( 4.5.8 )<br />
dθ dθ<br />
2<br />
d<br />
α 2 3 0<br />
dψ<br />
şeklinde üç denklem elde edilir.<br />
Ψ<br />
Ψ= ( 4.5.9 )
Eğer α p(p 1) <strong>ve</strong> α q<br />
2<br />
dR 2dR<br />
2<br />
81<br />
2<br />
2 = + 3 = alınırsa ( )<br />
4.5.7 , ( 4.5.8 ) , ( )<br />
4.5.9 denklemleri;<br />
2 2<br />
⎡<br />
⎣k p(p 1)/r ⎤<br />
⎦ R 0<br />
( 4.5.10 )<br />
+ + − + =<br />
dr r dr<br />
2<br />
d Θ dΘ<br />
2 2<br />
+ cotθ + ⎡p(p+ 1) −q / sin θ⎤Θ=<br />
0<br />
2<br />
dθ dθ<br />
⎣ ⎦ ( 4.5.11 )<br />
d<br />
dψ<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
dır.<br />
2<br />
Ψ 2<br />
+ q Ψ= 0<br />
2<br />
( 4.5.12 )<br />
1<br />
−<br />
2<br />
R = r ⎡A J ( kr) + B J ( kr ) ⎤<br />
( 4.5.13 )<br />
⎣ 1 p+ 1/2 1 − ( p+<br />
1/2)<br />
⎦<br />
q q<br />
Θ= A 2Pp (cos θ ) + B 2L<br />
p(cos<br />
θ )<br />
( 4.5.14 )<br />
Ψ= A sinqψ+ B cosq<br />
ψ<br />
( 4.5.15 )<br />
3 3<br />
φ ; ψ den bağımsız ise; ( 4.5.7 ) , ( 4.5.8 ) , ( 4.5.9 ) denklemleri;<br />
2<br />
dR 2dR<br />
2<br />
dr r dr<br />
2 2 ( α2<br />
)<br />
+ + k − /r R = 0<br />
( 4.5.16 )<br />
2<br />
d Θ<br />
2<br />
dθ dΘ<br />
cotθ dθ<br />
α20<br />
olarak yazılır.<br />
+ + Θ= ( 4.5.17 )<br />
2<br />
dR 2dR<br />
2<br />
α 2 = p(p + 1) olarak alınırsa; ( 4.5.16 ) <strong>ve</strong> ( 4.5.17 ) denklemleri;<br />
2 2<br />
⎡<br />
⎣k p(p 1)/r ⎤<br />
⎦ R 0<br />
( 4.5.18 )<br />
+ + − + =<br />
dr r dr<br />
2<br />
d Θ<br />
2<br />
dθ dΘ<br />
cotθ dθ<br />
p(p 1) 0<br />
şekline dönüşür. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
+ + + Θ= ( 4.5.19 )<br />
1<br />
−<br />
2<br />
R = r ⎡A J ( kr) + B J ( kr ) ⎤<br />
( 4.5.20 )<br />
⎣ 1 p+ 1/2 1 − ( p+<br />
1/2)<br />
⎦<br />
Θ= A P (cos θ ) + B L (cos θ )<br />
( 4.5.21 )<br />
2 p 2 p<br />
olarak bulunur. φ ; θ <strong>ve</strong> ψ den bağımsız ise ( 4.5.7 ) , ( 4.5.8 ) , ( 4.5.9 ) denklemleri;<br />
2<br />
d φ 2 dφ<br />
2<br />
+ + k φ = 0<br />
2<br />
( 4.5.22<br />
)<br />
dr r dr
olarak yazılır. Denklemin çözümü ise;<br />
1<br />
φ = ⎡⎣ Asin 1 ( kr) + Bcos 1 ( kr)<br />
⎤<br />
r<br />
⎦<br />
dır.<br />
82<br />
( 4.5.23 )
83<br />
4.6. Prolate Küresel Koordinatlarda Çözüm<br />
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris <strong>ve</strong><br />
determinantı;<br />
[ ]<br />
2 2 2<br />
⎡a sinh η −1<br />
1/sinh η ⎤<br />
⎢ 2 2 2 ⎥<br />
S = ⎢−a sin θ 1 −1/sinh<br />
ψ ⎥<br />
⎢ 0 0 1 ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
( 4.6.1 )<br />
2 2 2 2 2 2<br />
S= det[ S] = a (cosh η − sin θ) = a (cos η− cos θ)<br />
( 4.6.2 )<br />
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,<br />
M M 1 M<br />
2 2<br />
sinh η + sin θ<br />
sinh η sin θ<br />
= = = ( 4.6.3 )<br />
11 21 31 2 2<br />
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,<br />
g = g = a (sinh η − sin θ) g = a (sinh ηsin θ)<br />
2 2 2 2 2 2<br />
11 22 33<br />
1<br />
2 3 2 2<br />
g = a (sinh η−sin θ)sinhηsinθ olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,<br />
f sinh η, f sin θ,<br />
f a<br />
1 2 3<br />
olarak ifade edilir.<br />
olmak üzere,<br />
( 4.6.4 )<br />
= = = ( 4.6.5 )<br />
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;<br />
2 1 2 3<br />
= = ( ) =Θ ( ) =Ψ ( )<br />
( 4.6.6 )<br />
α1 k, U H η , U θ , U ψ<br />
i 3<br />
1 d ⎛ dU ⎞ i<br />
i ⎜fi i ⎟+<br />
U φα ij j = 0<br />
fidu ⎝ du ⎠ j= 1<br />
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;<br />
( 4.6.7 )<br />
2<br />
dH dH<br />
2<br />
dη dη<br />
2 2 2 2<br />
( 2 3 )<br />
+ cothη + k a sinh η−α − α / sinh η H = 0<br />
( 4.6.8 )<br />
2<br />
d d<br />
d<br />
2<br />
d<br />
Θ Θ 2 2 2 2<br />
cot θ (k a sin θ α2 α3/ sinh η)<br />
0<br />
θ θ<br />
+ + + − Θ= ( 4.6.9 )<br />
2<br />
d Ψ<br />
α 2 3Ψ=<br />
0<br />
( 4.6.10<br />
)<br />
dψ
şeklinde üç denklem elde edilir.<br />
Bu denklemlerde eğer<br />
( 4.2.8 ) ,( 4.2.9 ) ,( 4.2.10 ) denklemleri;<br />
2<br />
dH dH<br />
2<br />
84<br />
α α<br />
2 2 2 2 2<br />
( )<br />
2<br />
2 = p(p + 1) <strong>ve</strong> 3 = q alınırsa;<br />
cot hη k α cosh η p(p 1) q / cosh η H 0<br />
dη dη<br />
+ + − + − = ( 4.6.11 )<br />
2<br />
d d<br />
2<br />
Θ Θ 2 2 2 2 2<br />
cotθ ( k α sinh η p(p 1) q / sinh η)<br />
0<br />
dθ dθ<br />
d<br />
dψ<br />
+ + + + − Θ= ( 4.6.12 )<br />
2<br />
Ψ 2<br />
+ q Ψ= 0<br />
2<br />
( 4.6.13 )<br />
şeklini alır. ( 4.6.11 ) ,( 4.6.12 ) ,( 4.6.13 ) denklemlerinin çözümü;<br />
q q<br />
P ( k a η ) L ( k a η )<br />
( 4.6.14 )<br />
H= A . ,cosh + B . ,cosh<br />
1 p 1 p<br />
q q<br />
P ( k a θ ) L ( k a θ )<br />
( 4.6.15 )<br />
Θ= A . ,cos + B . ,cos<br />
2 p 2 p<br />
Ψ= A sinqψ+ B cosqψ<br />
( 4.6.16 )<br />
olarak bulunur.<br />
3 3<br />
φ ; ψ den bağımsız ise ( 4.6.8 ) , ( 4.6.9 ) , ( 4.6.10 ) denklemleri<br />
2<br />
dH dH<br />
2<br />
dη dη<br />
2 2 2 ( 2 )<br />
+ cothη + k a sinh η− α H = 0<br />
( 4.6.17 )<br />
2<br />
d Θ dΘ<br />
2 3 2<br />
cot θ (k a sin θ α<br />
2<br />
2)<br />
0<br />
dθ dθ<br />
olarak bulunur.<br />
− + + Θ= ( 4.6.18 )<br />
Eğer α 2 = p(p + 1) alınırsa ( 4.6.14 ) <strong>ve</strong> ( 4.6.15 ) denklemleri<br />
2<br />
dH dH<br />
2<br />
2 2 2 ( )<br />
cot hη k α sinh η p(p 1) H 0<br />
dη dη<br />
+ + − + = ( 4.6.19 )<br />
2<br />
d Θ<br />
2<br />
dθ dΘ<br />
cotθ dθ<br />
2 2 2 ( k α sin θ p(p 1) ) 0<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
− + + + Θ= ( 4.6.20 )<br />
H= A P ( ka,cosh η) + B L ( ka ,cosh η)<br />
( 4.6.21 )<br />
1 p 1 p<br />
Θ= A P ( ka,cos θ ) + B L ( ka ,cos θ )<br />
( 4.6.22 )<br />
olarak bulunur.<br />
2 p 2 p
85<br />
4.7. Oblate Küresel Koordinatlarda Çözüm.<br />
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris <strong>ve</strong><br />
determinantı;<br />
[ ]<br />
2 2 2<br />
⎡a cosh η −1<br />
1/cosh η ⎤<br />
⎢ 2 2 2 ⎥<br />
S = ⎢−asin θ 1 −1/<br />
si nh θ ⎥<br />
⎢ 0 0 1 ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
( 4.7.1 )<br />
2 2 2 2 2 2<br />
S= detS [ ] = a(coshη− sin θ) = a(sinη+ cos θ)<br />
( 4.7.2 )<br />
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından<br />
M M 1, M<br />
2 2<br />
cosh η − sin θ<br />
cosh η sin θ<br />
= = = ( 4.7.3 )<br />
11 21 31 2 2<br />
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,<br />
g = g = a (cosh η− sin θ) g = a (cosh ηsin θ)<br />
2 2 2 2 2 2<br />
11 22 33<br />
1<br />
2 3 2 2<br />
g = a (cosh η−sin θ)coshηsinθ olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından<br />
f cosh η, f sin θ,<br />
f a<br />
1 2 3<br />
( 4.7.4 )<br />
= = = ( 4.7.5 )<br />
şeklinde elde edilir.<br />
olmak üzere<br />
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;<br />
2 1 2 3<br />
= = ( ) =Θ ( ) =Ψ ( )<br />
( 4.7.6 )<br />
α1k U H η U θ U ψ<br />
i 3<br />
1 d ⎛ dU ⎞ i<br />
i ⎜fi i ⎟+<br />
U φα ij j = 0<br />
fidu ⎝ du ⎠ j= 1<br />
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;<br />
( 4.7.7 )<br />
2<br />
dH dH<br />
2<br />
dη dη<br />
2 2 2 2<br />
( 2 3 )<br />
+ tanhη + k a cosh η− α + α / cosh η H = 0<br />
( 4.7.8 )<br />
2<br />
d d<br />
d<br />
2<br />
d<br />
Θ Θ 2 2 2 2<br />
cot θ ( k a sin θ α2 α3/ sin θ)<br />
0<br />
θ θ<br />
+ + − + − Θ= ( 4.7.9)<br />
2<br />
d Ψ<br />
+ α 2 3Ψ=<br />
0<br />
( 4.7.10<br />
)<br />
dψ
şeklinde üç denklem elde edilir.<br />
86<br />
Bu denklemlerde eğer<br />
( 4.7.8 ) ,( 4.7.9 ) ,( 4.7.10 ) denklemleri,<br />
2<br />
dH dH<br />
2<br />
α α<br />
2 2 2 2 2<br />
( )<br />
tan hη k a cosh η p(p 1) q / cosh η H 0<br />
dη dη<br />
2<br />
2 = p(p + 1) 3 = q alınırsa;<br />
+ + − + + = ( 4.7.11 )<br />
2<br />
d d<br />
2<br />
Θ Θ 2 2 2 2 2<br />
cotθ ( k a sin θ p(p 1) q / sin θ)<br />
0<br />
dθ dθ<br />
d<br />
dψ<br />
+ + − + + − Θ= ( 4.7.12 )<br />
2<br />
Ψ 2<br />
+ q Ψ= 0<br />
2<br />
( 4.7.13 )<br />
şeklini alır. ( 4.7.11 ) ,( 4.7.12 ) , ( 4.7.13 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
q q<br />
H= A 1Pp ( ika, isinh η) + B 1Lp(<br />
ika, i sinh η)<br />
( 4.7.14 )<br />
q q<br />
Θ= A 2Pp ( ika,cos θ ) + B 2Lp(<br />
ika ,cos θ )<br />
( 4.7.15 )<br />
Ψ= A sinqψ+ B cosq<br />
ψ<br />
( 4.7.16 )<br />
olarak bulunur.<br />
3 3<br />
Eğer φ; ψ den bağımsız ise ( 4.7.8 ) , ( 4.7.9 ) , ( 4.7.10 ) denklemleri<br />
2<br />
dH dH<br />
2<br />
dη dη<br />
2 2 2 ( 2 )<br />
+ tanhη + k a cosh η− α H = 0<br />
( 4.7.17 )<br />
2<br />
d Θ dΘ<br />
2 3 2<br />
cot θ ( k α sin θ α<br />
2<br />
2)<br />
0<br />
dθ dθ<br />
olarak yazılır.<br />
+ + − + Θ= ( 4.7.18 )<br />
Eğer α 2 = p(p + 1) alınırsa ( 4.7.17 ) ,( 4.7.17 ) denklemleri,<br />
2<br />
dH dH<br />
2<br />
2 2 2 ( )<br />
tan hη k α sinh η p(p 1) H 0<br />
dη dη<br />
+ + − + = ( 4.7.19 )<br />
2<br />
d d<br />
2<br />
Θ Θ 2 2 2<br />
cotθ ( k α sin θ p(p 1) ) 0<br />
dθ dθ<br />
+ + − + + Θ= ( 4.7.20 )<br />
şeklini alır. ( 4.7.19) <strong>ve</strong> ( 4.7.20) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla<br />
H= A 1Pp( ika, isinh η) + B 1Lp(<br />
ika, i sinh η)<br />
( 4.7.21 )<br />
Θ= A P ( ika,cos θ ) + B L ( ika ,cos θ )<br />
( 4.7.22 )<br />
şeklinde ifade edilir.<br />
2 p 2 p
87<br />
4.8. Parabolik Koordinatlarda Çözüm<br />
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris <strong>ve</strong><br />
determinantı;<br />
[ ]<br />
2 2<br />
⎡µ −1 −1/<br />
µ ⎤<br />
⎢ 2 2⎥<br />
S = ⎢ν 1 −1/<br />
ν ⎥<br />
⎢ 0 0 1 ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,<br />
M M 1 M<br />
11 21 31 2 2<br />
2 2<br />
, S= det[ S ] = µ + ν<br />
( 4.8.1 )<br />
2 2<br />
µ + ν<br />
µ ν<br />
= = = ( 4.8.2 )<br />
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,<br />
11 22<br />
2 2<br />
33<br />
2 2<br />
1<br />
2 2 2<br />
g g µ ν , g µ ν , g ( µ ν ) µν<br />
= = + = = + ( 4.8.3 )<br />
olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,<br />
f µ f ν f 1<br />
= = = ( 4.8.4 )<br />
1 2 3<br />
şeklinde elde edilir.<br />
olmak üzere,<br />
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;<br />
α =<br />
2 1<br />
=Μ ( µ ) 2<br />
= ( ν ) 3<br />
=Ψ ( ψ )<br />
( 4.8.4 )<br />
1 k, U , U N , U<br />
i 3<br />
1 d ⎛ dU ⎞ i<br />
i ⎜fi i ⎟+<br />
U φα ij j = 0<br />
fidu ⎝ du ⎠ j= 1<br />
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;<br />
( 4.8.5 )<br />
2<br />
dM 1dM 2 2 2<br />
(k µ α 2<br />
2 α 3/<br />
µ )M 0<br />
+ + − − = ( 4.8.6 )<br />
dµ µ dµ<br />
2<br />
dN 1dN 2 2 2<br />
(k ν α 2<br />
2 α3/ ν )N 0<br />
+ + + − = ( 4.8.7 )<br />
dν ν dv<br />
2<br />
d Ψ<br />
+ αψ 2 3 = 0<br />
( 4.8.8 )<br />
dψ<br />
şeklinde üç denklem elde edilir.
denklemleri,<br />
Bu denklemlerde eğer<br />
88<br />
α q <strong>ve</strong> α p<br />
= = alınırsa; ( 4.8.6 ) ,( 4.8.7 ) ,( 4.8.8 )<br />
2 2<br />
2 3<br />
2<br />
dM 1dM 2 2 2 2 2<br />
(k µ q p / µ )M 0<br />
2<br />
+ + − − = ( 4.8.9 )<br />
dµ µ dµ<br />
2<br />
dN 1dN 2 2 2 2 2<br />
(k ν q p / ν )N 0<br />
2<br />
+ + + − = ( 4.8.10 )<br />
dν ν dν<br />
d<br />
dψ<br />
2<br />
Ψ 2<br />
+ pψ= 0<br />
2<br />
( 4.8.11 )<br />
şeklini alır. ( 4.8.9 ) ,( 4.8.10 ) , ( 4.8.11 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
M = A J ( k, iqµ ) + B J ( k, ik µ )<br />
( 4.8.12 )<br />
1 p 1 − p<br />
N= A J ( k, qν) + B J ( k, q ν )<br />
( 4.8.13 )<br />
2 p 2 − p<br />
Ψ= A sinpψ+ B cospψ<br />
( 4.8.14 )<br />
olarak bulunur.<br />
3 3<br />
φ ; ψ den bağımsız ise ( 4.8.6 ) ,( 4.8.7 ) ,( 4.8.8 ) denklemleri,<br />
2<br />
dM 1dM 2 2<br />
(k µ α<br />
2<br />
2)M<br />
0<br />
+ + − = ( 4.8.15 )<br />
dµ µ dµ<br />
2<br />
dN 1dN 2 2<br />
(k ν α<br />
2<br />
2)N<br />
0<br />
dν ν dv<br />
olarak yazılır.<br />
Eğer<br />
+ + = ( 4.8.16 )<br />
2<br />
α 2 = q ise ( )<br />
4.8.15 <strong>ve</strong> ( )<br />
2<br />
dM 1dM 2 2 2<br />
(k µ q )M 0<br />
2<br />
dµ µ dµ<br />
4.8.16 denklemleri;<br />
+ + − = ( 4.8.17 )<br />
2<br />
dN 1dN 2 2 2<br />
(k ν q )N 0<br />
2<br />
+ + + = ( )<br />
dν ν dv<br />
4.8.18<br />
şeklini alır. Bu denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
M = A 1J0( k, qiµ ) + B 1Y0( k, qi µ )]<br />
( 4.8.19 )<br />
N= A J ( k, qν) + B Y ( k, q ν )<br />
( 4.8.20 )<br />
olarak bulunur.<br />
2 0 2 0
89<br />
4.9. Konikal Koordinatlarda Çözüm<br />
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris <strong>ve</strong><br />
determinantı;<br />
⎡ ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
2<br />
⎢1 −1/r<br />
0 ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
2<br />
θ<br />
−1<br />
S =<br />
⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎢ 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( θ −b )( c −θ ) ( θ −b )( c −θ<br />
) ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ 2<br />
−λ<br />
1 ⎥<br />
⎢0 ⎥<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
⎢⎣ ( b −λ )( c −λ ) ( b −λ )( c −λ<br />
) ⎥⎦<br />
[ ]<br />
S= det[ S]<br />
=<br />
2 2<br />
θ − λ<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( θ −b )( c −θ )( b −λ )( c −λ<br />
)<br />
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından,<br />
1 1 1 1<br />
M11 = det[ S ] , M 21 = , M<br />
2 31 = 2<br />
r r<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( b −λ)( c −λ ) ( θ −b )( c −θ<br />
)<br />
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,<br />
2 2 2 2 2 2<br />
r( θ −λ ) r( θ −λ<br />
)<br />
g11= 1, g 22 = , g<br />
2 2 2 2 33 = 2 2 2 2<br />
θ −b (c −θ ) b −λ (c −λ<br />
)<br />
g<br />
( ) ( )<br />
r( θ − λ )<br />
1 2 2 2<br />
2 =<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( ) ( )<br />
[ θ −b (c −θ ) b −λ (c −λ<br />
)]<br />
olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
θ<br />
2 2 2<br />
θ<br />
1/2<br />
3<br />
2 2<br />
λ<br />
2 2<br />
λ<br />
1<br />
2<br />
( ) ( )<br />
f r , f [ b (c )] , f [ b (c )]<br />
( 4.9.1 )<br />
( 4.9.2 )<br />
( 4.9.3 )<br />
( 4.9.4 )<br />
( 4.9.5 )<br />
= = − − = − − ( 4.9.6 )<br />
şeklinde elde edilir.<br />
olmak üzere,<br />
( 3.3.2 ) Helmotz Denklemi;<br />
2 1 2 3<br />
= = ( ) =Θ ( ) =Λ ( )<br />
( 4.9.7 )<br />
α1 k U R r U θ U λ<br />
i 3<br />
1 d ⎛ dU ⎞ i<br />
i ⎜fi i ⎟+<br />
U φα ij j = 0<br />
fidu ⎝ du ⎠ j= 1<br />
∑ ( 4.9.8<br />
)
şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;<br />
2<br />
dR 2dR 2 2<br />
(k α<br />
2<br />
2 / r )R 0<br />
dr r dr<br />
90<br />
+ + − = ( 4.9.9 )<br />
2<br />
2 2 2 2 d Θ 2 2 2 dΘ<br />
2<br />
θ −bc −θ −θ[2 θ − (b + c )] + ⎡α 2<br />
2θ −α ⎤ 3 Θ= 0<br />
dθ dθ<br />
( )( )<br />
⎣ ⎦ ( 4.9.10 )<br />
2<br />
2 2 2 2 d Λ 2 2 2 dΛ<br />
2<br />
( b −λ )( c − λ ) + λ[2 λ − (b + c )] −⎡α 2<br />
2λ −α ⎤ 3 Λ= 0<br />
dλ dλ<br />
şeklinde üç denklem elde edilir.<br />
⎣ ⎦ ( 4.9.11 )<br />
2 2<br />
Bu denklemlerde eğer α = p(p + 1) <strong>ve</strong> α = q(b + c ) alınırsa;<br />
( 4.9.9 ) ,( 4.9.10 ) ,( 4.9.11 ) denklemleri,<br />
2 3<br />
2<br />
dR 2dR 2 2<br />
(k p(p 1)/ r )R 0<br />
2<br />
+ + − + = ( 4.9.12 )<br />
dr r dr<br />
2<br />
2 2 2 2 d Θ 2 2 2 dΘ<br />
2 2 2<br />
( θ −b )( θ − c ) + θ ⎡2 θ − (b + c ) ⎤ − [p(p+ 1) θ − q(b + c )] Θ= 0<br />
2<br />
dθ dθ<br />
⎣ ⎦ ( 4.9.13 )<br />
2<br />
2 2 2 2 d Λ 2 2 2 dΛ<br />
2 2 2<br />
( λ −b)( λ − c) + θ ⎡2 λ − (b+ c) ⎤ − [p(p+ 1) λ − q(b+ c)] Λ = 0<br />
2<br />
dλ dλ<br />
⎣ ⎦ ( 4.9.14 )<br />
şeklini alır. ( 4.9.12 ) ,( 4.9.13 ) , ( 4.9.14 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
−1/2<br />
R = r [A1J p+ 1/2(kr) + B1 J − (p+ 1/2) (kr)]<br />
( 4.9.15 )<br />
2 ( ) 2 ( ) B<br />
q q<br />
Θ= AEp θ + F p θ<br />
( 4.9.16 )<br />
q q<br />
Λ= E ( λ) + B. F ( λ )<br />
( 4.9.17 )<br />
olarak bulunur.<br />
p p<br />
Eğer α2 = α3<br />
= 0 alınırsa, ( 4.9.9 ) ,( 4.9.10 ) ,( 4.9.11 ) denklemleri,<br />
2<br />
dR 2dR 2<br />
kr 0<br />
2<br />
+ + = ( 4.9.18 )<br />
dr r dr<br />
d dΘ<br />
θ θ<br />
dθ dθ<br />
− − = ( 4.9.19 )<br />
2 2 1/2 2 2 1/2<br />
[( b ) (c ) ] 0<br />
d dΛ<br />
λ λ<br />
dλ dλ<br />
− − = ( 4.9.20 )<br />
2 2 1/2 2 2 1/2<br />
[(b ) (c ) ] 0<br />
şeklini alır. ( 4.2.10 ) ,( 4.2.11 ) , ( 4.2.12 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;
1<br />
R = [A1sinkr + B1cos kr]<br />
r<br />
− ⎛θb⎞ sin<br />
⎝b c ⎠<br />
1<br />
Θ= A2 + B 2 ⎜ , ⎟<br />
λ − ⎛ b ⎞<br />
sin<br />
⎝b c ⎠<br />
1<br />
Λ= A3 + B 3 ⎜ , ⎟<br />
91<br />
φ ; θ <strong>ve</strong> λ den sağımsız ise ( 4.9.9 ) ,( 4.9.10 ) ,( 4.9.11 ) denklemleri,<br />
φ φ<br />
dr r dr<br />
şeklini alır. Bu <strong>denklemi</strong>n çözümü ise;<br />
şeklindedir.<br />
( 4.9.21 )<br />
( ) 4.9.22<br />
( ) 4.9.22<br />
2<br />
d 2 d 2<br />
+ + k φ = 0<br />
2<br />
( 4.9.23 )<br />
r ( kr) ( kr )<br />
( 4.9.24 )<br />
R = 1/ [A sin + B cos ]<br />
1 1
determinantı;<br />
[ ]<br />
det S<br />
92<br />
4.10. Elipsoidal Koordinatlarda Çözüm<br />
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris <strong>ve</strong><br />
[ S]<br />
⎡ 4 2<br />
η 1<br />
η ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
⎢ ( η −b )( η −c ) ( η −b )( η −c ) ( η −b )( η −c<br />
) ⎥<br />
⎢ 4 2<br />
−θ −1−θ ⎥<br />
= ⎢ ⎥<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
⎢ ⎥<br />
( ) ( ) ( )<br />
θ −b (c −θ ) θ −b (c −θ ) θ −b (c −θ<br />
)<br />
⎢ ⎥<br />
4 2<br />
⎢ λ 1<br />
λ ⎥<br />
⎢ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
(b −λ )(c −λ ) (b −λ )(c −λ ) (b −λ )(c −λ<br />
)<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
2 2 2 2 2 2<br />
( η −θ )( η −λ )( θ −λ<br />
)<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
=<br />
( η −b )( η −c )( θ −b )(c −θ )(b −λ )(c −θ )(b −λ )(c −λ<br />
)<br />
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından;<br />
2 2<br />
( θ − λ )<br />
M 11 = 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( θ −b )(c −θ )(b −λ )(c −λ<br />
)<br />
2 2<br />
( η − λ )<br />
M 21 = 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( η −b )( η −c )(b −λ )(c −λ<br />
)<br />
2 2<br />
( η −θ<br />
)<br />
M 31 = 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( η −b )( η −c )( θ −b )(c −θ<br />
)<br />
kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,<br />
g<br />
g<br />
g<br />
g<br />
η θ η λ<br />
( η −b )( η −c<br />
)<br />
θ λ η θ<br />
( θ −b )(c −θ)<br />
η λ θ λ<br />
(b −λ)(c −λ)<br />
2 2 2 2<br />
( − )( − )<br />
11 = 2 2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
( − )( − )<br />
22 = 2 2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
( − )( − )<br />
33 = 2 2 2 2<br />
1/2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
( η −θ )( η −λ )( θ −λ<br />
)<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/2<br />
=<br />
[( η −b)( η −c)( θ −b)(c −θ )(b −λ )(c −λ<br />
)]<br />
olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,<br />
( 4.10.1 )<br />
( 4.10.2 )<br />
( 4.10.3 )<br />
( 4.10.4 )<br />
( 4.10.5 )
2 2 2 2<br />
1/2<br />
f 1 = ⎡<br />
⎣( η −b )( η −c<br />
) ⎤<br />
⎦<br />
2 2 2 2<br />
1/2<br />
f 2 = ⎡<br />
⎣( θ −b )(c −θ<br />
) ⎤<br />
⎦<br />
2 2 2 2<br />
1/2<br />
f 3 = ⎡(b −λ )(c −λ<br />
) ⎤<br />
şeklinde elde edilir.<br />
olmak üzere<br />
⎣ ⎦<br />
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;<br />
93<br />
( 4.10.6 )<br />
2 1 2 3<br />
= = ( ) =Θ ( ) =Λ ( )<br />
( 4.10.7 )<br />
α1 k, U H η , U θ , U λ<br />
i 3<br />
1 d ⎛ dU ⎞ i<br />
i ⎜fi i ⎟+<br />
U φα ij j = 0<br />
fidu ⎝ du ⎠ j= 1<br />
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;<br />
( 4.10.8 )<br />
2<br />
2 2 2 2 dH 2 2 2 dH 2 4 2<br />
( η −b )( η − c ) + η⎡2 η − (b + c ) ⎤ + ⎡k η + αη 2<br />
3 + α ⎤ 2 H= 0<br />
dη dη<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( 4.10.9 )<br />
2<br />
2 2 2 2 d Θ 2 2 2 dΘ<br />
2 4 2<br />
( θ −b )(c − θ ) + θ ⎡2 θ − (b + c ) ⎤ + ⎡k θ + α 2<br />
3θ + α ⎤ 2 Θ= 0<br />
dθ dθ<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( 4.10.10 )<br />
2<br />
2 2 2 2 d Λ 2 2 2 dΛ<br />
2 4 2<br />
(b −λ )(c − λ ) + λ⎡2 λ − (b + c ) ⎤ + ⎡kλ + α 2<br />
3λ + α ⎤ 2 Λ = 0<br />
dλ dλ<br />
şeklinde üç denklem elde edilir.<br />
Bu denklemlerde eğer<br />
( 4.10.9 ) ,( 4.10.10 ) ,( 4.10.11 ) denklemleri,<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( 4.10.11 )<br />
α = q(b + c ) <strong>ve</strong> α =− p(p + 1) alınırsa;<br />
2 2<br />
2 3<br />
2<br />
2 2 2 2 dH 2 2 2 dH<br />
( η −b )( η − c ) + η⎡2 η (b c )<br />
2<br />
dη⎣ − + ⎤<br />
⎦ dη<br />
2 4 2 2 2<br />
+ [k η − p(p + 1) η − q(b + c )]H = 0<br />
2<br />
2 2 2 2 d Θ 2 2 2 dΘ<br />
( θ −b )( θ − c ) + θ ⎡2 θ (b c )<br />
2<br />
dθ⎣ − + ⎤<br />
⎦ dθ<br />
2 4 2 2 2<br />
+ [k θ − p(p + 1) θ − q(b + c )] Θ= 0<br />
2<br />
2 2 2 2 d Λ 2 2 2 dΛ<br />
( λ −b )( λ − c ) + λ⎡2 λ (b c )<br />
2<br />
dλ⎣ − + ⎤<br />
⎦ dλ<br />
2 4 2 2 2<br />
+ [k λ − p(p + 1) λ + q(b + c )] Λ= 0<br />
( 4.10.11 )<br />
( 4.10.11 )<br />
( 4.10.12<br />
)
şeklini alır. ( 4.2.10 ) ,( 4.2.11 ) , ( 4.2.12 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
dır.<br />
q q<br />
1 p 1 p<br />
94<br />
H= A E ( k, η) + B F ( k , η)<br />
( 4.10.13 )<br />
Θ= A E ( k, θ ) + B F ( k , θ )<br />
( 4.10.14 )<br />
q q<br />
2 p 2 p<br />
λ = A E ( k, λ) + B F ( k , λ)<br />
( 4.10.14 )<br />
q q<br />
3 p 3 p
determinantı;<br />
95<br />
4.11. Paraboloidal Koordinatlarda Çözüm<br />
Bölüm 3 ( 3.2.17 ) bağıntısından bu koordinat sistemi için Stackel Matris <strong>ve</strong><br />
[ S]<br />
2 ⎡ µ −1<br />
µ ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎢( µ −c)( µ −b) ( µ −c)( µ −b) ( µ −c)( µ −b)<br />
⎥<br />
⎢ 2<br />
v −1<br />
v<br />
⎥<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎢ ( b −v)( c−v) ( b−v)( c−v) ( b−v)( c−v) ⎥<br />
⎢ 2<br />
⎥<br />
⎢ −λ 1<br />
−λ<br />
⎥<br />
⎢ ( b −λ)( λ−c) ( b−λ)( λ−c) ( b−λ)( λ−c)<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
( µ −ν )( µ −λ)( λ−ν) S= det[ S]<br />
=<br />
( µ −b)( µ −c)( µ −ν)( c−ν)( b−λ)( λ−c)<br />
şeklinde yazılır. ( 3.2.18 ) bağıntısından<br />
M<br />
M<br />
M<br />
11<br />
21<br />
31<br />
=<br />
=<br />
=<br />
( λ − v)<br />
( b −v)( c−v)( b−λ)( λ−c)<br />
( µ − λ)<br />
( µ −b)( µ −c)( b−λ)( λ−c)<br />
( µ − v)<br />
( µ −b)( µ −c)( b−v)( c−v) kofaktörleri elde edilir. ( 1.2.25 ) Bağıntısından bu sistemdeki metrik katsayıları,<br />
( µ −v)( µ −λ ) ( µ −v)( λ−v) ( λ −v)( µ −λ)<br />
g 11 = , g 22 = , g33=<br />
( µ −b)( µ −c) (b −v)(c−v) (b −λ)( λ−c)<br />
g<br />
1<br />
2<br />
( µ −v)( µ −λ)( λ−v)<br />
=<br />
[( µ −b)( µ −c)(b −v)(c −v)(b −λ)( λ−c)]<br />
olarak bulunur. f,f,f 1 2 3 değerleri ise ( 3.2.24 ) bağıntısından,<br />
1 1 1 1 1 1<br />
1 µ 2 µ 2<br />
2<br />
2 2<br />
3<br />
2 λ λ 2<br />
f ( b) ( c) , f (b v) (c v) , f (b ) ( c)<br />
1/2<br />
( 4.11.1 )<br />
( 4.11.2 )<br />
( 4.11.3 )<br />
( 4.11.4 )<br />
( 4.11.5 )<br />
= − − = − − = − − ( 4.11.6 )<br />
şeklinde elde edilir.<br />
olmak üzere;<br />
( 3.2.13 ) Helmotz Denklemi;<br />
2 1 2 3<br />
= =Μ ( ) = ( ) =Λ ( )<br />
( 4.11.7 )<br />
α 1 k, U µ , U Nv, U λ
96<br />
i 3<br />
1 d ⎛ dU ⎞ i<br />
i ⎜fi i ⎟+<br />
U Φ ijαj = 0<br />
fidu ⎝ du ⎠ j1 =<br />
∑ şeklini alır. Bu denklem ayrıştırılırsa;<br />
( 4.11.8 )<br />
2<br />
dM 1 dM<br />
2<br />
dµ 2 dµ<br />
2 2<br />
( µ −b)( µ − c ) + [2 µ − (b+ c)] + [k µ + α µ − α ]M= 0 ( 4.11.9 )<br />
2<br />
dN 1 dN<br />
d<br />
2<br />
2 d<br />
3 2<br />
2 2<br />
( b-ν)( c − ν) + [2 ν − (b + c)] + [k ν + αν − α ]N = 0 ( 4.11.10 )<br />
ν ν<br />
2<br />
d Λ 1 dΛ<br />
2<br />
dλ 2 dλ<br />
şeklinde üç denklem elde edilir.<br />
3 2<br />
2 2<br />
( b-λ)( λ−c ) − [2 λ− (b + c)] + [k λ + α λ−α ] Λ = 0 ( 4.11.11 )<br />
3 2<br />
Bu denklemlerde eğer α2 = (b + c)q <strong>ve</strong> α3<br />
=− p(p + 1) alınırsa;<br />
( 4.11.9 ) ,( 4.11.10 ) ,( 4.11.11 ) denklemleri,<br />
2<br />
dM 1 dM<br />
2<br />
dµ 2 dµ<br />
2 2<br />
( µ −b)( µ − c ) + [2 µ − (b+ c)] + [k µ + α µ − α ]M= 0 ( 4.11.12 )<br />
2<br />
dN 1 dN<br />
2<br />
dv 2 dv<br />
3 2<br />
2 2<br />
( b-v)( c − v ) + [2v − (b + c)] + [k v + α v − α ]N = 0 ( 4.11.13 )<br />
2<br />
d 1 d<br />
d<br />
2<br />
2 d<br />
Λ Λ<br />
λ λ<br />
3 2<br />
2 2<br />
( b-λ)( λ−c ) − [2 λ− (b + c)] + [k λ + α λ−α ] Λ = 0 ( 4.11.14 )<br />
3 2<br />
şeklini alır. ( 4.11.12 ) ,( 4.11.13 ) , ( 4.11.14 ) denklemlerin çözümleri ise sırasıyla;<br />
dır.<br />
q q<br />
M = A 1Bp( k, µ ) + B 1Cp(<br />
k , µ )<br />
( 4.11.15 )<br />
q q<br />
N= A 2Bp( k, ν ) + B 2Cp(<br />
k , ν )<br />
( 4.11.16 )<br />
Λ= A B ( k, λ) + B C ( k , λ)<br />
( 4.11.17 )<br />
q q<br />
3 p 3 p<br />
indirgenmiş dalga <strong>denklemi</strong> bilinir. normal dalga <strong>denklemi</strong>ni zamandan bağımsız
97<br />
TARTIŞMA<br />
Literatürde Helmhotz Diferansiyel Denklemlinin çözümlerinin incelendiği Özel<br />
Ortogonal Koordinat Sistemleri genel olarak “Silindirik Koordinatlar”, “Dönel<br />
Koordinatlar”, <strong>ve</strong> Genel Koordinatlar olarak üç ana başlıkta incelenmektedir. Bu<br />
başlıklar altında yapılan sınıflandırmada Silindirik Koordinatlar;<br />
Dairesel Koordinatlar<br />
Eliptik Silindirik Koordinatlar<br />
Parabolik Koordinatlar<br />
alt ana başlıkları ile, Dönel Koordinatlar;<br />
Küresel Koordinatlar<br />
Prolate Koordinatlar<br />
Oblate Koordinatlar<br />
Parabolik Koordinatlar<br />
alt ana başlıkları ile, Genel Koordinatlar;<br />
Küresel Koordinatlar<br />
Elipsoidal Koordinatlar<br />
Parabolidal Koordinatlar<br />
altında sınıflandırmaktadır.<br />
Bu Koordinat sistemlerine ek olarak bazı özel koordinatlar ile yüzey<br />
koordinatları da incelenmekte, bu koordinat sistemlerinin de özel fonksiyonların aldığı<br />
biçim araştırılmaktadır.
q q<br />
B , C : Bear Fonksiyonu.<br />
p p<br />
cem, fe m:<br />
Mathieu Fonksiyonu.<br />
q<br />
E p ,<br />
J p , 0<br />
⎡g⎤ ⎣ ij ⎦<br />
q<br />
F p : Lame Fonksiyonu.<br />
Y : Bessel Fonksiyonu.<br />
: Metrik Katsayılar Matrisi.<br />
Pe <strong>ve</strong> L p:<br />
Legendre Fonksiyonu.<br />
W p : Weber Fonksiyonu.<br />
98<br />
SİMGELER DİZİNİ
99<br />
KAYNAKLAR<br />
1- Moon,P., Spenser,D.E., 1961. Field Theory Handbook. Including Coordinate<br />
Systems Differential Equations and Their Solutuons. Berlin. 1-48, 144-162.<br />
2- Moon,P., Spencer,D.E.,1960 Field Theory For Enginers. D.Van Nostrant<br />
Company, Inc. Toronto London. 301-331<br />
3- Moon,P., Spencer,D.E., 1953. The Meaningof the Vector Laplacian. J.Franklin<br />
Inst. 256-551.<br />
4- Moon,P., Spencer,D.E. 1988 ‘Ele<strong>ve</strong>n Coordinate Systems’ and ‘The Vectör<br />
Helmholtz Equation.’ Nevyork Springer Verlog . PP . 1-48 and 1-48, 136-143<br />
5- Magnus,W., Oberhettinger,F., Tricomi,F. G., 1955 Higher transcendental<br />
functions, McGraw-Hill Book Company, Inc., Volume III<br />
6- Bell,W. W., 1968, Special Functions for Scientists and Engineers,D. Van<br />
Nostrand Company Ltd.<br />
7- Haberman,R.,1987, Elementray Applied Partial Differential Equations, Prentice<br />
Hall, Inc.,Englewood Cliffs, New Jersey<br />
8- Çağlayan,M.,Çelebi,O., 2002, Kısmi Diferansiyel Denklemler, Vipaş A.Ş.<br />
Uludağ Üni<strong>ve</strong>rsitesi Güçlendirme Vakfı.<br />
9- Murray,R.S., 1963, Theory and Problems of Advanced Calculus, McGraw-Hill,<br />
Inc, pp. 134-143<br />
10- Gradsteny,I.S., Rhyzik. I. M. 1980, Tables of Integrals Series and Products,<br />
Academic, New York.
100<br />
11- Morse,P. M. and Feshbach, H. 1953. "Tables of Separable Coordinates in Three<br />
Dimensions." Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill,<br />
pp. 125-129, 509-511, 514, 658 <strong>ve</strong> 655-666,<br />
12- Zwillinger,D. (Ed.). 1995. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae.<br />
Boca Raton, FL: CRC Press, p.129, 417<br />
13- Abramowitz,M., Stegun, I. A. (Eds.). 1972. "Mathieu Functions." Ch. 20 in<br />
Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical<br />
Tables, 9th printing. New York: Do<strong>ve</strong>r, pp. 721-746.<br />
14- Arfken,G. "Conical Coordinates,. 1970. 16 in Mathematical Methods for<br />
Physicists, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 103-119.<br />
15- Byerly,W. E. 1959. An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical,<br />
Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in<br />
Mathematical Physics. New York: Do<strong>ve</strong>r, pp. 243-244.<br />
16- Kriez,E. E.; Tsiboukis, T. D. 1992. Panas, S. M.; and Tegopoulos, J. A. "Eddy<br />
Currents:theory and Applications,." Proc. IEEE 80, 1559-1589<br />
17- Bitsadze,A.V.,1980,Equations of Mathemtiacl physics, Mir publishers<br />
18- Koca,K. Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemler. 2001 Gündüz Eğitim<br />
Yayınevi. Ankara.<br />
19- Bitsade,A.V., Kalenizhenko, D.F. 1980. A Collection of Problems on the<br />
Equations of Mathematical Physics.<br />
20- Kerokian,J. 1993. Portical Differential Equations, Analtical Solution<br />
Technigues. New York – London.
101<br />
21- Snedon,I.N., 1957 Elements of Portical Differential Equations, New York-<br />
Toronto –London: Me Grav –Hill.<br />
22- Bleeker,D., Csordas,G.. 1996,Basic Partial Differential Equations, International<br />
Press, Cambridge, Massachustts<br />
23- Abramowitz,M.& Stegun,1,A.,1972 Handbook of Mathematical Functions,<br />
Do<strong>ve</strong>r Publications, Inc.,New York, pp. 752-772
ÖZ GEÇMİŞ<br />
Adı Soyadı : Oğuz BAĞRAN<br />
102<br />
Doğum Yeri : Yeşilhisar/KAYSERİ<br />
Doğum Tarihi : 25.11.1969<br />
Medeni Hali : Evli<br />
Eğitim <strong>ve</strong> Akademik Durumu<br />
İlkokul : Kayseri Alparslan İlkokulu<br />
Ortaokul : Kayseri Sümer İlkokulu<br />
Lise : Kayseri Merkez Atatürk Lisesi<br />
Lisans : Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi Fen Edebiyat Fakültesi<br />
Matematik Bölümü<br />
Yabancı Dil : İngilizce<br />
İş tecrübesi<br />
1991 yılında Konya Ereğli Zengen Lisesi’nde Matematik Öğretmeni göre<strong>ve</strong><br />
başladım. 1995 yılında askerlik görevimi Asteğmen olarak tamamladım. Aynı yıl<br />
Edirne Fen Lisesine Öğretmen Seçme Sınavı ile atandım. Halen yeni ismi Edirne<br />
Süleyman Demirel Fen Lisesi olan okulumuzda Matematik Öğretmeni olarak görev<br />
yapmaktayım.