MEХANİKA

d
dt
68
∂L
∂L
− = 0 .
∂q&
∂q
Bul an’latpada i = 1,
2,
... , N ha’m ol Lagranj-Eyler ten’lemeleri dep ataladı.
i
Bul tenlemelerdin’ orınlanıwı en’ kishi ta’sir printsipi δ S = 0 din’ orınlanıwına ekvivalent.
Lagranj-Eyler ten’lemelerinin’ ma’nisin tu’sinip alıw ushın aykın mısal keltiremiz.
Potentsial energiyası U ( x,
y,
z)
bolg’an maydandag’ı bir bo’lekshenin’ qozg’alısı ushın bul
ten’lemelerdi jazamız:
2 2 2 ( v + v + v )
m x y z
L = Ekin
− U =
− U(
x,
y,
z)
.
2
Biz qarap atırg’an jag’dayda x,
q = y,
q = z,
bolg’anlıqtan mısal retinde q 1 koordinatası ushın mınanı alamız:
∂L
∂L
d
− =
dt ∂q&
∂q
dt
i
= & &
q1 = 2
3 al q 1 v x , q 2 = v y , q3
= v z
d ∂U
dv x
1 1
x
∂x
dt
∂U
∂x
( mv ) + = m + = 0
∂U
Biraq Fx = −(
grad U)
x = − bolg’anlıqtan (bul ku’shtin’ x ko’sherine tu’sirilgen
∂z
proektsiyası), na’tiyjede
dv
m =
dt
x Fx
formulasına iye bolamız ha’m mınaday juwmaq shıg’aramız:
Lagranj-Eyler ten’lemeleri dinamika ten’lemeleri (Nyuton nızamları) bolıp tabıladı. Bul
ten’lemeler ta’sirdin’ minimallıg’ına alıp keledi.
Nyuton meхanikasının’ qozg’alıs ten’lemelerin sheshiwdin’ ornına jokarıda quramalı bolıp
ko’ringen Lagranj usılın qollanıwdın’ nege keregi bar degen ta’biyiy soraw tuwıladı. Bul
sorawg’a mınaday juwap beriw kerek:
Quramalı sistemalar u’yrenilgende (izertlengende) bunday sistemalar ushın L di jazıw
a’meliy jaqtan a’dewir an’sat. Bunnan keyin lagranj-Eyler ten’lemeleri jazıladı ha’m bul
ten’lemeler integrallanadı (sheshiledi).
M ı s a l: 8-7 su’wrette ko’rsetilgen serpimlilik koeffitsientleri 1 k ha’m k 2 bolg’an
prujinalarg’a bekitilgen ha’m tek x ko’sheri bag’ıtında qozg’ala alatug’ın eki ju’ktin’ terbelis
nızamın tabıw kerek bolsın. Bul sistema 1 x ha’m x 2 koordinatalarına sa’ykes keliwshi eki
erkinlik da’rejesine iye boladı ( 1 x ha’m x 2 koordinataları ha’r bir ju’ktin’ ten’ salmaqlıq haldan
awısıwı bolıp tabıladı). Sonlıqtan sistemanın’ lagranjianı
mx&
L =
2
2
1
mx&
+
2
2
2
k1x
−
2
2
1
k1x
−
2
2
2
k
−
2
&
( x − x )
1
2
2
.