MEХANİKA

printsiptin’ ja’rdeminde biz izertlenip atırg’an fizikalıq qubılıslar boyınsha na’tiyjelerdi
analitikalıq formada (funktsiyalar, formulalar tu’rinde) ala alamız.
Lagranj-Eyler ten’lemeleri. Minimum noqatında (ekstremumda) funktsiyanın’ o’simi
nolge ten’, yag’nıy df = 0 . Tap usı sıyaqlı ta’sirdin’ minimumı onın’ variatsiyasının’ nolge ten’
ekenligin an’g’artadı ( δ S = 0 ).
A’piwayılıq ushın lagranjian L tek ulıwmalasqan koordinata q i den g’a’rezli dep
esaplaymız. Bunday jag’dayda
Endi
ekenligin esapqa alamız.
67
t ⎛ 2
t ⎞ 2
⎜ ⎟
⎛ ∂L
∂L
⎞
δS
= δ ∫ L dt = ∫⎜
δq
+ δq&
⎟ dt = 0
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ∂q
∂q&
t
⎠
1
t1
⎛ dq ⎞ d
δ& q = δ⎜
⎟ = δq
⎝ dt ⎠ dt
Ekinshi qosılıwshını esaplaw ushın bo’leklerge bo’lip integrallaw usılınan paydalanamız:
t 2
∫
t1
∂L
∂q&
d
dt
t
d ⎛ ∂L
dt ⎝ ∂q&
d ⎛ ∂L
⎞
dt ⎝ ∂q&
⎠
2
2
( δq)
d t = ⎜ δq⎟
d t − ⎜ ⎟ δq
d t
Bunday jag’dayda ta’sir variatsiyası mına tu’ske iye boladı:
t
∫
t1
2
⎛ ∂L
d ∂L
⎞ ∂L
δS = ∫ ⎜ − ⎟ δq
d t + δq
⎝ ∂q
dt ∂q&
⎠ ∂q&
t1
⎞
⎠
t
∫
t1
t2
t1
= 0 .
.
(8.
1)
Ma’selenin’ sha’rti boyınsha sistemanın’ baslang’ısh ha’m aqırg’ı orınları belgilengen.
Sonlıqtan baslang’ısh ha’m aqırg’ı koordinatalardın’ o’zgeriwi mu’mkin emes, yag’nıy
∂L
δ q( t1
) = δq(
t 2 ) = 0 . Demek (8.1) degi en’ keyingi qosılıwshı δq
nolge ten’ boladı.
∂q&
Eger lagranjian L ko’p sanlı ulıwmalasqan koordinatalar menen tezliklerge g’a’rezli
bolatug’ın bolsa, onda ol ko’p o’zgeriwshilerdin’ funktsiyası sıpatında differentsiallanadı ha’m
(8.1)-an’latpada summalaw a’melge asırıladı, yag’nıy
δS
=
t
2
∫∑
t i
1
⎛ ∂L
⎜ −
⎝ ∂qi
d
dt
∂L
⎞
⎟ δqi
dt = 0 .
∂q&
i ⎠
Biraq i q bolsag’a’rezsiz koordinatalar bolıp tabıladı ha’m olardın’ o’zgerisi i q δ shaması t
nın’ qa’legen funktsiyası bolıwı mu’mkin. Sonlıqtan integraldın’ nolge ten’ bolıwı ushın i q δ
dın’ qasındag’ı barlıq ko’beytiwshilerdin’ nolge ten’ bolıwı kerek: