18.11.2011 KOMB˙INATOR˙IK TOPOLOJ˙I ÖRGÜN Ö ˘GRET˙IM ...

18.11.2011
KOMB˙INATOR˙IK TOPOLOJ˙I ÖRGÜN Ö ˘GRET˙IM ARA SINAV CEVAP ANAHTARI
1. n < k ve R n vektör uzayı R k nın bir alt uzayına izomorf olsun. X, R n nin bir alt kümesi ise R n de X
tarafından gerilen afin küme, R k da X tarafından gerilen afin küme ile aynıdır. Gösteriniz.
Çözüm: X = {p0, p1, ..., pm} ⊂ R n olmak üzere, A afin kümesi X tarafından gerilsin. R n nin her afin
alt kümesinin sonlu bir küme tarafından gerildi˘gini biliyoruz. Bu durumda;
m m
∀a ∈ A için, a = tipi ve ti = 1
olacak ¸sekilde tek türlü ifadesi vardır. U ≤ R k ve R n ∼ = U olsun.
i=0
φ : R n −→ U ≤ R k
i=0
(x1, ..., xn) ↦→ φ(x1, ..., xn) = (x1, ..., xn, 0, ..., 0)
dönü¸sümü Rn ve U arasındaki izomorfizm olsun. Bu durumda, φ(a) ∈ φ(A) için
m
m
m
φ(a) = φ( tipi) = tiφ(pi) ve ti = 1
Teorem: (V ; F ) bir vektör uzayı olmak üzere dimF V = n ⇒ V ∼ = F n dir.
i=0
i=0
Burada U, R k nın bir alt uzayı olmak üzere (U, R) bir vektör uzayıdır. dimU = n ⇒ U ∼ = R n dir.
X ⊆ R n olmak üzere A =< X > ∼ =< φ(X) >= φ(A) dır. Yani U, R k nın n-boyutlu alt uzayına
izomorftur. O halde A ile φ(A) izomorfik olarak aynıdır.
2. Bir K simpleksler kompleksindeki bir σ simpleksinin içi (int(σ)) hangi durumlarda |K| da açık-
tır ? Açıklayınız.
Çözüm: K bir simpleksler kompleksi olmak üzere
|K| =
s
¸seklinde tanımlanır. |K| üzerindeki topolojiye göre verilen açık ve kapalı tanımlarını kullanalım :
s∈K
i=0
σ açıktır ⇔ ∀τ ∈ K için σ ∩ τ, τ da açıktır
σ ∈ K ve τ, K daki herhangi bir simpleks olmak üzere σ ∩ τ, hem σ nın hem de τ nun bir yüzüdür
çünkü K simpleksler kompleksidir. ¸Simdi bütün durumları inceleyelim :
• σ ∩ τ = σ ise int(σ) ∩ τ = int(σ) ∩ σ ∩ τ = ∅ dur. Dolayısıyla σ yı içermeyen herhangi bir τ
için int(σ) ∩ τ açıktır çünkü arakesiti bo¸stur.
1

• τ = σ, σ nın içi yani int(σ), τ da açıktır çünkü bir kümenin içi o kümede açıktır.
• σ, τ nun bir has yüzü olsun. O zaman σ ∩ τ, τ nun bir yüzünün içidir, bu nedenle int(σ), τ da açık
de˘gildir.
Sonuç olarak, σ nın içi yani int(σ) nın, |K| da açık olması için gerek ve yeter ko¸sul σ nın, di˘ger herhangi
bir simpleksin yüzü olmamasıdır.
3. S 2 (küre) polihedron mudur ? Açıklayınız.
Çözüm: K, 3-simpleks [p0, p1, p2, p3] in tüm yüzeylerini içeren simpleksler kompleksi olsun. K ′ , K nın
2-boyutlu iskeleti olsun. Böylece K ′ , [p0, p1, p2, p3] in has yüzeylerini içerir.
❅
❅
❅
❅
✟ ✟✟
✟ ✟✟
❅
❅
❅
❍
❍❍❍
✟
✟✟
✟✟
✟ ✟✟
✟ ✟
p3
✟✟
p0
p2
p1
K-simpleksler kompleksi
K ′ = [p0], [p1], [p2], [p3], [p0, p1], [p0, p2], [p0, p3], [p1, p2], [p1, p3], [p2, p3],
[p0, p1, p2], [p0, p1, p3], [p0, p2, p3], [p1, p2, p3]
|K ′ |, S 2 ye homeomorftur. Çünkü
p3
❅
❅
L : |K
❍
❅
p0
✟p2
❍❍❍
✟✟
✟
p1
′ | = −→ S2 homeomorfizması vardır. O halde S 2 bir polihedrondur.
4. Simpleksler kompleksi K ya ait kö¸seler kümesi {p0, p1, . . . , pm}, K da bir simpleks olu¸sturabilmesi
için gerek ve yeter ¸sart ∩ m i=0 st(pi) = 0 olmasıdır.
Çözüm: (⇒) {p0, p1, . . . , pm}, K simpleksler kompleksine ait kö¸se noktaları olsun ve bu kö¸selerin K
da olu¸sturdu˘gu simpleks ∆ olsun. ∆ nın içi int∆ olmak üzere
∅ = int∆ ⊂ st(p0) ∩ st(p1) ∩ . . . ∩ st(pm) ⇒ st(p0) ∩ st(p1) ∩ . . . ∩ st(pm) = ∅
2

oldu˘gundan ∩ m i=0 st(pi) = 0 dır.
(⇐) st(p0) ∩ st(p1) ∩ . . . ∩ st(pm) = ∅ olsun. Bu durumda a ∈ st(p0) ∩ st(p1) ∩ . . . ∩ st(pm) olacak
¸sekilde bir a ∈ K vardır. K nın farklı simplekslerinin içleri farklı oldu˘gundan her v ∈ |K| için v ∈ int∆
olacak ¸sekilde K da bir v simpleksi vardır.
O halde K simpleksler kompleksine ait {p0, p1, . . . , pm} noktalar kümesinden olu¸san bir ∆ simpleksi
için bu durumu sa˘glayan bir a simpleksini ele alalım.
a ∈ st(p0) ∩ st(p1) ∩ . . . ∩ st(pm) ⇒ ∀ 0 ≤ i ≤ m için a ∈ st(pi) ⇒ a ∈ int∆ dır.
O zaman p0, p1, . . . , pm noktaları ∆ nın kö¸se noktalarıdır. Dolayısıyla ∆, K da bir simpleks olu¸sturur.
5. Herhangi bir n-simpleksin süspansiyonu simpleks belirtir mi ? Cevabınızı açıklayınız.
Çözüm: X herhangi bir topolojik uzay olmak üzere X in süspansiyonu :
SX = (X × I)/X × {0, 1}
¸seklinde tanımlanır. X olarak 1-simpleksi ele alalım. X in süspansiyonu :
olup SX bir simpleks belirtmez. Çünkü iki noktadan olu¸san simpleks 1-simplekstir fakat SX 1-simplekse
homeomorf de˘gildir. Dolayısıyla herhangi bir n-simpleksin süspansiyonu simpleks belirtmek zorunda
de˘gildir.
6. |K| polihedronu sınırlı mıdır ? Kapalı mıdır ? Açıklayınız.
Çözüm: Bir kümenin çapı sonlu ise bu küme sınırlıdır. Her simpleks sınırlıdır. Çünkü ∆, {p0, p1, ..., pn}
afin ba˘gımsız noktalarından olu¸san bir simpleks olmak üzere ∆ nın çapı diam∆ = Suppi − pj ¸sek-
linde tanımlıdır. Yani ∆’nın çapı sonludur. K simpleksler kompleksi oldu˘gundan K nın her simpleksi
sınırlıdır. O halde; simpleksler kompleksi K nın simplekslerinin birle¸siminden olu¸san |K|, sınırlıdır.
Simpleks kapalı oldu˘gundan K simpleksler kompleksinin simplekslerinin birle¸siminden olu¸san |K|
kapalıdır.
3

7. K1 ve K2, K’nın simpleksler altkompleksleri ise K1\K2 ve K1 ∩ K2, K nın simpleksler
altkompleksleri olur mu ? Gösteriniz.
Çözüm: ∆, K1\K2’nin herhangi bir simpleksi olsun. Bu durumda, ∆ ∈ K1\K2 dir. K1\K2 ⊂ K1
ve hipotezden K1, K’nın simpleksler altkompleksi oldu˘gundan, ∆ nın yüzleri K1\K2’ye aittir.
Dolayısıyla ilk ko¸sul sa˘glanır. Yani, ∆ ∈ K1\K2 iken ∆ nın yüzleri de K1\K2’ye aittir.
∆1, ∆2 ∈ K1\K2 olsun. K1\K2 ⊂ K1 ve hipotezden K1, K’nın simpleksler altkompleksi oldu˘gun-
dan ∆1 ∩ ∆2 ya bo¸stur ya da ∆1 ve ∆2 simplekslerinin ortak bir yüzüdür. Dolayısıyla K1\K2, K
nın simpleksler altkompleksi olur.
Γ, K1∩K2’nin herhangi bir simpleksi olsun. Bu durumda, Γ ∈ K1∩K2 dir. K1∩K2 ⊂ K1 ve hipotez-
den K1, K’nın simpleksler altkompleksi oldu˘gundan, Γ nın yüzleri K1 ∩ K2’ye aittir. Dolayısıyla ilk
ko¸sul sa˘glanır. Yani, Γ ∈ K1 ∩ K2 iken Γ nın yüzleri de K1 ∩ K2’ye aittir.
Γ1, Γ2 ∈ K1 ∩ K2 olsun. K1 ∩ K2 ⊂ K1, K2 ve hipotezden K1 ile K2, K’nın simpleksler altkom-
pleksi oldu˘gundan Γ1 ∩ Γ2 ya bo¸stur ya da Γ1 ve Γ2 simplekslerinin ortak bir yüzüdür. Dolayısıyla
K1 ∩ K2, K nın simpleksler altkompleksi olur.
8. f, g : X −→ Y ve h : A −→ X sürekli dönü¸sümler olsun. f g ise f ◦ h g ◦ h oldu˘gunu
gösteriniz.
Çözüm: f g ise F : X × I −→ Y
olacak ¸sekilde F sürekli dönü¸sümü mevcuttur.
F (x, 0) = f(x) ve F (x, 1) = g(x)
h : A −→ X sürekli dönü¸süm ve 1 : I −→ I birim dönü¸sümü de sürekli oldu˘gundan
dönü¸sümü de süreklidir.
h × 1 : A × I −→ X × I
H : A × I −→ Y homotopisi H = F ◦ (h × 1) olarak alınırsa istenen homotopi elde edilmi¸s olur.
H(a, 0) = F ◦ (h × 1)(a, 0) = F (h(a), 0) = f ◦ h(a)
H(a, 1) = F ◦ (h × 1)(a, 1) = F (h(a), 1) = g ◦ h(a)
F ve (h×1) dönü¸sümleri sürekli olup sürekli dönü¸sümlerin bile¸skesi de sürekli oldu˘gundan H süreklidir.
O halde, f ◦ h g ◦ h dır.
4