любого 8>0 и ія любого фиксировали го момента времени (s< 0 ...

Предложение 7.6. Еслн движение g(l, q) системы G„устойчиво Л , то кинетическая энергия T\g\i, о) j рекуррентна.Доказательство. Согласно П редложению 7.5 движениеg(t, Q) устойчиво Л и устойчиво //. Поэтому функция T{l)устойчива II. Вместе с ней устойчива // функция Q({) и множествоR.(Q) относительно плотно в R, для каж дого £ > 0 . Следоательно,множество Ri(g), содерж ащ ее в себе R,{Q), такж е от-• i сителыю плотно в R Тогда g(t, q) рекуррентно и вместе с.ним рекурреитна функция 7 [g ( i, г/)].1Ъ доказанного П редложения вытекает, что если движениего движения минимальна но Бпркгофу оі раннченн. Это о -a іает, что минимальность по Биркгоф у кинетической энергии> стемы п тел является необходимым условием устойчивости поЛ агранж у ее движения.Рассмотрим геометрическую интерпретацию устойчивого Л 'Л!.-'Жеи;:я планетиоГ: системы, прел зрительно иек:::очіш переменныех,. уь Zi, и,, Vf, при помощи инвариантных соотношении(3.1.4) н обозначив решение через ? (/. .}). По докачгн.;;омуьыше движение g(t. q) рекуррентно. Тогда для каж дого е > 0 с у ­щее івует такое /(р)>0. что лугаq) с точіюс-іьіо дог аппроксимирует нею траекторию g(R,, q). Т;ікж< пап іу геи т а ­кие А,G-Л’. что равенства l — k'l; буду г выполни ; ьеи с гочностьюдо г. При ■>i ом дуга . ^ ( ( b '/ s j / , , q) аппроксимирует траекторию;'-й планеты. Учитывая это и вводя средние движения 1 1 .= 2 л ./„лучим соотношение ssü * -f s,U »-j-.. . + s n£2n=0, которое эквивалентновыражению s îk.,-\-s:l i ••• -И-Д’-.- 0, где s, — целые числа,не равные одновременно. Гак как все kt~ целые числа, топары индексов і. / (іУ-і — 2, 3..........п) можно подобрать минимальныецелые числа si', s / так, чтобы si‘kt \ s .к -() и положитьвсе остальные s, равными нулю. Указанные равенства булутсохраняться. С казанное можно проделать относительно л ю ­бой тройки индексов (t, j, k ) . а такж е для любого набора индексовi — 2 .......... п. Таким образом, если движение планетнойсистемы рекуррентно. то средние движения ее планет, опрсдеіенпыес точностью до е, в пределах этой точности соизмеримымежду собой.В связи с рекуррентными движениями отметим теорему, принадлежащую Хильми [82J.Теорема. Если движение g(i, q) и фазовое пространствоR,,. рекурренгны. то минимальное множество g(R,. q) содерж итсяв подпространстве размерности ие выше m- 1.Эта теорема позволяет сф ормулироватьПредложение 7.7. Если движение g{t, q) планетной системыGn устойчиво Л~, то множество g(Ri, q) минимально ивкладывается в подпространство размерности ие выше чемт—2.131