любого 8>0 и ія любого фиксировали го момента времени (s< 0 ...

Предложение 7.2. Движение g(t, q) системы G„ периодичнотогда и только тогда, когда его траектория g(R,, q) замкнутаи хотя бы одно нз его «-предельных и со предельных множествне пусто.Необходимость Предложения 7.2 очевидна, ибо траекториявсякого периодического движения компактна.Д о кажем достаточность. Предположим, что g(Rt, q) --'g(Rи Q) )! Для определенности примем, что U7( s i ,некоторой ^-последовательности {.’»} выполняется равенствоИ:п ,. •; q) — р и q). Это означает устойчивость II'и пня g(t, q). Предположим, что движение g(t, q) иепериодцчнои зафиксируем некоторое число в ;--0. Момент времениS. --R, определим так, чтобы 5, > / , и точка q,— g(su q) попалав е-окрестность точки с/, т. e. cf, 0 . ПОЛОЖИМ н,—— min{e/2, e (>( так, чтобы s2> hи точка q*— g (s?.. q) попала в е,-окрестность точки qt, т. e. q?G■~S( r,, с?,), причем 5 |к ,, •4 —j>fg( / ,• ' 7 < th, q), qh] > 0 . При этом также имеем нос.іедоыюtî, вложенных друг в друга лмкнутых шаров {S[e*.'/«J}- 5 [в, іу]=эі'[ғі, qt]^> ... -pSle*, ---- радиусы которістремятся к нулю быстрее чем е/2* стремится к нулю при к-*-оо.В силу полноты пространства R,., найдется единственная точкаq’(=R . принадлежащая одновременно всем этим шарам-Sfe*.