любого 8>0 и ія любого фиксировали го момента времени (s< 0 ...

времени. Тогда по доказанному выше для каждой пары е„, /„найдется /,& /? ,-. что и ] 7 ( /я°)ч Л |< е „ . Если из /»', обладающихуказанным свойством. составим последовательность{/„“}. то. очевидно, {/„ } является а-последовательностью и для ееэлементов выполняется равенство (3.5.15). Этим доказываетсявторое утверждение Предложения 5.15.В силу условий Предложения функции 1(1), 1(1) и 2[T(t) \ h]изохронны R- и вместе с тем устойчивы Л~. Положимsup I/ ( / ) ] = / , . Как отмечено, 1, 0 и рассмотрим разность / ( / ; ) - - ./ ( / ,) , где /,. /2—произвольные моменты времени из R r . По теореме Лагранжа осреднем значении функции/ ( / , ) - / ( / , ) -2 [ Г ( < „ ) + Л] ( / , - / , ) . (3.5.18)где / ие [ / „ i ]. Оцепим эту разность:17 (/»)—/ ( / ,) | = 2 | 7 ( U I h\\tt- U \^ 2 ! ..Если для данного е положим / = / . ’» и выберем 1г так, чтобы11,—/ , |- I, то из последнего неравенства получим | 7*(/,?) -ь /г | ^— Л| — е. Это и доказывает, что для данного р множествовида (3.5.16) отпосителыю плотно в R..Последнее утверждение Предложения 5.15 докажем от противного.Допустим, что существует такой отрезок [/. ? + /] длиныI и действительно число ғ > 0 , что для любого момента времениt /1 имеет место равенство7 '( 0 + е = 0. (3.5.19)Обозначим через D, дугу g (ï^ t^ t-\-t, q) нолутраекторинg(R,~, q). В точках области D в силу интеграла энергия системыG„ и равенства (3.5.19) силовая функция U постоянна и равнаs—Һ. Так как силовая функция 0 системы G„ дифференцируемавдоль нолутраекторин f(Rf, q), то частные производныеâU/dxit ди/ду,, dUIoz, (/=1,2,..., п) существуют и равны нулю.Следовательно, в точках области D, выполняются равенствай (0 = const, ÿ((0 = const, z,(t) = const,где /е : ( /, / + / ) . С другой стороны, дифференцируя функциюТ(1) вдоль траектории f(R. , q), в точках области D, получимi« (0 = 0, ÿi(i) — П, ii(/) = 0 для каждого i=l, 2, л и / е ( < ./ +-Ь/). Тогда нз интеграла моментов (3.1.5) вытекает, что х —нуль-вектор вопреки условиям Предложения.Предложение доказано полностью.Предложение 5.16. Если движение g(t, q) системы G„устойчиво Л , то существует а-последователыгость {s„0} моментоввремени Iœ Rt , при которыхт (Sn) = — ft. (3.5.20)115