любого 8>0 и ія любого фиксировали го момента времени (s< 0 ...

Q({) устойчива Л. Отсюда с учетом Предложения 5.3 получимдоказательство Предложения.Предложение 5.15. Если движение g (t, q) системы G,устойчиво Л , то1) постоянная энергии h системы отрицательна;2) существует «-последовательность {/„'} множеств времени/еУ ?,- такая, что1іш Т (/„) = — Л ; (3.5.15)ПXX)3) для каждого р> 0 мпожество видаRR(T) = {t\t^R~u }T(t) Ь Л |< е } (3.5.16)относительно плотно в4) для любого /> 0 не существует такого отрезка [/, / + /],что функция '/'(/) при всех f-f/] равна постоянной, отличнойот I h I, т. е.T(i)=s, s= co n st, s=j^|/i| (3.5.17)при условии, что вектор и отличен от нуля.Доказательство. Отметим, что первое из этих утвержденийизвестно (см., например, [127]). Однако мы докажем егов терминах устойчивости Л~ функций Т(1) и /(/). Пусть Л ^О .Тогда 2| T{i)-\h J ^2T(l) >0 для всех te=R, .причем inf T(t) =—Т‘> 0. Действительно, если Г°=0, то in! U (/) =0. Л это означалобы неограниченность всех взаимных расстояний r(j междутелами Ои Ot системы Gn. Последнее противоречит условиямПредложения. Итак, 'Г > 0 и 2Г® ^2[7’( /) + Л]. Интегрируя дваж ­ды предыдущее неравенство в пределах пт 0 до t, получим T t1—■■t(0)ts^I{t). Переходя к пределу при — со, получимlim /(/) = оо. Это противоречит условиям Предложения и дока-/ — позывает, что Л 0 п любого фиксированногомомента времени Ïœ.R,~ не существует такой моментвремени т е /? ,- , что т < t и |7(т)+А|0 и что \Т(і) + һ \^ гв для всех При этомв зависимости от знака принимаемых функцией T(l)~h значенийимеет место о.^но и только одно нз неравенств 2\T(t)-\-+ /i]^2«,! и 2[T(t)-\ һ]^2г„. Дважды интегрируя в пределахот t до /„ каждое нз этих неравенств и в полученных выраженияхпереходя к пределу при /—*— ос. получим противоречие с условиямиПредложение 5.15. Это и доказывает указанное выше положение.Рассмотрим последовательность таких положительныхчисел р„, чю lim вп - 0, и а последовательность {/.,} моментов