лÑбого 8>0 и ÑÑ Ð»Ñбого ÑикÑиÑовали го моменÑа вÑемени (s< 0 ...
лÑбого 8>0 и ÑÑ Ð»Ñбого ÑикÑиÑовали го моменÑа вÑемени (s< 0 ... лÑбого 8>0 и ÑÑ Ð»Ñбого ÑикÑиÑовали го моменÑа вÑемени (s< 0 ...
Доказательство проведем от противного. Пусть условияПредложения выполнены и f(t) не сравнима R~ с #(*)Тогда найдется собственная а-последователыгость {/..} функцииg (О, которая не принадлежит множеству N (a, f). Следовательно,существует такое число ғ > 0, что для любого натуральногоп и ie^R,~ выполняется неравенствор,[/(< + to . (2-6-24;Согласно Предложению 6.2 вместе с условием (2.6.24) нместместо неравенствоSUP (>, I/ (* "Г to, f ( 0 ] > 8 .-i/eëfcSoТогда каждому номеру п соответствует хотя бы одна точкатакая, чюр ,[/ * . (2.6.25)Последовательность {«„} ограничена и, следовательно, содержитсходящуюся подпоследовательность {sr.}, т. e. lim sn— s.п-+ооПусть £ ( s ) = P , 8(Ип)=Рп и g(L+sn) = q n. Учитывая это, перепишемвыражения (2.6,25):Pi[o( f ( p B)]< p i[ü ( 9 » ). v(p)]+pt[v(p), ®(Р«)].Согласно выбору {ln}GN( a, g) и, следовательно, с пр я вед л иверавенство lim sup p2[£(H -*n). g(t)]— 0- Поэтому lim р(рп.(р)] = limp, [v(qn),v(p)] - 0.n won-+ooИначе юворя, имеет месторавенство lim Рі[А(р«), Л(для всех i-.-R r выражением (2.6.23), принадлежит пространстиу C(Rt . .VI) и сравнима RR~ {RR+ или RR) с функцией g(t)Доказательство от противного. Пусть условия Предложения выполнены, но функция /(/) не сравнима RR- с функциейg(i). Т о п а найдутся число ғ > 0. последователю! чть по79
ложительных, сходящихся к нулю чисел {6„} и две числовыепоследовательности {.s„} и {/„}. где s„, lnt= R r такие, чтоsup р2Ц Ч /-И »), g(t . Sn) ] < f > (2.6.27)sup Pi f/ (l ь to» f (l + V*] > 8-1/(Ь5*Г,о(2.6.28)для всех натуральных п. Из (2.6.28) вытекает, что каждому натуральномуп соответствует хотя бы одна точка — 1/р, 0]и выполняетсяP,[f(U+U). / ( * . + « . ) ] > 8. (2.6.29)Вводя обозначения g(Jn-\-tn) = p n, g (ï*-\-sn) = q a, перепишемвыражение (2.6.29) в видеp .U '( /0 . »)]>*■ (2.6.30)Так как lim ft„ = 0 и справедливо неравенство (2.6.27), то ус-П«хловие (2.6.30) противоречит равномерной непрерывности о i С р а жения v. Полученное противоречие доказывает Предложение.Предложение 6.26. Нели производная j(t) функции/( /) е С ( /? ,, М) равномерно непрерывна иа R. (Rt* или R,). то/(/) сравнимм RR (RR или RR) с функцией /(/).Л о к а л а те л ьство. Пусть выполнены условия Предложения.Тогда оператор дифферент!}- на ни я dUit осуществляет раинмерно непрерывное отображение множества f(Rc) в пространствоМ. При этом согласно Предложению 6.25 функция/( /) , определенная для всех t ^ R r равенством f(t)—df(t)fdt,бу.им сравнимой RR~ с функцией /(/).Из доказанного Предложения и Предложения 6.17 сле г v гПре можснис в виле утверждения.Предложение 6.27. Если функция j[i)(-C(Rl, М) устойчиваП~ (II ■или II) и имеет равномерно непрерывную производную.то эта производная также устойчива П~ (П* или Л).П редложение 6.28. Еслн функция f(t)^C(R,, М) устойчиваП~ (Л* или II) и имеет предкомпактную первообразную,то первообразная также устойчива Л' (Лу или II).Доказательство. В силу Предложения 6.9 первообразнаясравнима R с самой функцией. Следовательно, выполненывсе условия Предложения 6.17. Поэтому первообразная функции/(/) устойчива П.В заключение отметим известные из анализа для рекуррентныхи почти периодических функций утверждения.П р с д л о ж е н к с *6.29 [49, 85]. Равномерно непрерывнаяпрок водная рекуррентной (почти периодической) функции рекуррентна(почти периодична).П редложение 6.30 [49, 85]. Прелкомпактная первообразнаярекуррентной (почти периодической) функции рекуррентиа(почти периодична).
- Page 1 and 2: ■№, g, q) (W7(a, g, q)) мож
- Page 3 and 4: Предложение 2.7. Нел
- Page 5 and 6: быть tu- может. П олу
- Page 7 and 8: 11 n e i.'i о ж е н и е S.5.
- Page 9 and 10: 4 Почти периодическ
- Page 11 and 12: иитекаст, что для в
- Page 13 and 14: донателыюсть сходи
- Page 15 and 16: Вычислим среднее а
- Page 17 and 18: Используя это пред
- Page 19 and 20: отвеі -вч’ющая eft п
- Page 21 and 22: ния f(t. р), т. e. {тя—t*}
- Page 23 and 24: мостью на каждом ко
- Page 25 and 26: f(t)^C(R„ R„) » чисел / >
- Page 27 and 28: Определение 6.7. Дей
- Page 29: Обозначим/(/? ,) f(Rl) = {
- Page 35: g ( / * - / ) ] < « . Тогда
- Page 39 and 40: Тогда движение мех
- Page 41 and 42: времени І функции /
- Page 43 and 44: Напишем тож дествоU
- Page 45 and 46: ОтсюдаMiM, [(«, — Uj)* -4
- Page 47 and 48: ставляет уравнение
- Page 49 and 50: iРис. 3.1. Декартова с
- Page 51 and 52: Рис. з.З. Кемеровски
- Page 53 and 54: ввел переменные /, к
- Page 55 and 56: нне каждой планеты
- Page 57 and 58: Трудности суммиров
- Page 59 and 60: Доказательство это
- Page 61 and 62: канонических перем
- Page 63 and 64: вооть явление прин
- Page 65 and 66: где «/ — вектор, хар
- Page 67 and 68: Следовательно, каж
- Page 69 and 70: Введем /n-мерные пос
- Page 71 and 72: Q({) устойчива Л. Отс
- Page 73 and 74: Доказательство. Пу
- Page 75 and 76: Рассмотрим множест
- Page 77 and 78: Уравнение (3.5.27) име
- Page 79 and 80: (3.5.28) получим, что lim
- Page 81 and 82: — {.vc R, : s>up|lg(/-fs, q) —
- Page 83 and 84: для любого множест
- Page 85 and 86: суждения относител
ложительных, сходящихся к нулю чисел {6„} и две числовыепоследовательности {.s„} и {/„}. где s„, lnt= R r такие, чтоsup р2Ц Ч /-И »), g(t . Sn) ] < f > (2.6.27)sup Pi f/ (l ь to» f (l + V*] > 8-1/(Ь5*Г,о(2.6.28)для всех натуральных п. Из (2.6.28) вытекает, что каждому натуральномуп соответствует хотя бы одна точка — 1/р, 0]и выполняетсяP,[f(U+U). / ( * . + « . ) ] > 8. (2.6.29)Вводя обозначения g(Jn-\-tn) = p n, g (ï*-\-sn) = q a, перепишемвыражение (2.6.29) в видеp .U '( /0 . »)]>*■ (2.6.30)Так как lim ft„ = 0 и справедливо неравенство (2.6.27), то ус-П«хловие (2.6.30) противоречит равномерной непрерывности о i С р а жения v. Полученное противоречие доказывает Предложение.Предложение 6.26. Нели производная j(t) функции/( /) е С ( /? ,, М) равномерно непрерывна иа R. (Rt* или R,). то/(/) сравнимм RR (RR или RR) с функцией /(/).Л о к а л а те л ьство. Пусть выполнены условия Предложения.Тогда оператор дифферент!}- на ни я dUit осуществляет раинмерно непрерывное отображение множества f(Rc) в пространствоМ. При этом согласно Предложению 6.25 функция/( /) , определенная для всех t ^ R r равенством f(t)—df(t)fdt,бу.им сравнимой RR~ с функцией /(/).Из доказанного Предложения и Предложения 6.17 сле г v гПре можснис в виле утверждения.Предложение 6.27. Если функция j[i)(-C(Rl, М) устойчиваП~ (II ■или II) и имеет равномерно непрерывную производную.то эта производная также устойчива П~ (П* или Л).П редложение 6.28. Еслн функция f(t)^C(R,, М) устойчиваП~ (Л* или II) и имеет предкомпактную первообразную,то первообразная также устойчива Л' (Лу или II).Доказательство. В силу Предложения 6.9 первообразнаясравнима R с самой функцией. Следовательно, выполненывсе условия Предложения 6.17. Поэтому первообразная функции/(/) устойчива П.В заключение отметим известные из анализа для рекуррентныхи почти периодических функций утверждения.П р с д л о ж е н к с *6.29 [49, 85]. Равномерно непрерывнаяпрок водная рекуррентной (почти периодической) функции рекуррентна(почти периодична).П редложение 6.30 [49, 85]. Прелкомпактная первообразнаярекуррентной (почти периодической) функции рекуррентиа(почти периодична).
Change language