Fms035 tenta 130603

Matematisk statistikTentamen: 2013–06–03 kl 14 00 –19 00FMS 035 — Matematisk statistik AK för M, 7.5 hpTill Del A skall endast svar lämnas. Samtliga svar skall skrivas på ett och samma papper.Övriga uppgifter fordrar väl motiverade lösningar med svar. Varje lösning skall börja överst på nytt blad.Institutionens papper skall användas både som kladdpapper och inskrivningspapper.Skriv fullständigt namn på varje papper. Rödpenna får ej användas.Tillåtna hjälpmedel:Miniräknare (utnyttjande av i förväg skrivna program och/eller textmassor är ej tillåtet),Formelsamling i Matematisk statistik för M, samtTEFYMA eller MaFyKe, eller likvärdig gymnasietabell.Totalt kan man få 120 poäng. För godkänt krävs 50 poäng.Resultatet läggs in i ladok senast 14 juni 2013.DEL A: ENDAST SVAR1. (a) Mia har funnit att sannolikheten att en bil som passerar i korsningen Tornavägen/Sölvegatan är röd är 0.15. Närhon står vid övergångsstället börjar hon notera bilarnas färg. Beräkna sannolikheten att det är först den femte bilenhon observerar som är röd. Svara med tre decimaler.(4p)(b) Diametern för axlar som tillverkas är normalfördelad med väntevärde 1 mm och standardavvikelse 0.0058 mm.Vid kvalitetskontroll sorterar man bort de axlar som är tjockare än 1.01 mm och smalare än 0.99 mm. Hur storandel av de tillverkade axlarna kommer att sorteras bort? Svara i procent med en decimal.(4p)(c) Du ber en granne vattna din sjukliga krukväxt när du ska på semester. Utan vatten kommer den att dö medsannolikheten 0.8, med vatten dör den med sannolikheten 0.15. Du är 90% säker att grannen kommer ihåg sittvattningsuppdrag. Beräkna sannolikheten att krukväxten lever när du kommer hem. Svara med tre decimaler. (4p)(d) Fortsättning från 1c. Krukväxten var död när du kom hem, vad är sannolikheten att din granne glömde vattnaväxten? Svara med tre decimaler.(4p)(e) Tiden mellan två översvämningar i ett flodområde anses vara exponentialfördelad med väntevärde 8 månader.Beräkna sannolikheten att det dröjer mer än ett år mellan två översvämningar. Svara med tre decimaler. (4p)(f) Fortsättning från 1e. Beräkna medianen för tiden mellan två översvämningar. Svara med två decimaler.(g) I en rapport står: ”Vi antog att våra 9 mätningar kom från en normalfördelning där vi skattadeμ ∗ = ¯x = 4.9 ochσ ∗ = s = 0.9. Konfidensintervallet förμblev (3.893, 5.907).” Vilken konfidensgrad har intervallet? Svara medtvå decimaler.(4p)(h) I en kvalitetskontroll av tillverkade enheter tas slumpmässigt 15 enheter ut och partiet avskiljs om mer än 1 enhetär felaktig. Vad är konsumentrisken om felandelen i partiet är 0.10, dvs vad är sannolikheten att ett så pass dåligtparti godkänns i kontrollen? Svara med 3 decimaler.(4p)(i) För de n talparen (x 1 , y 1 ),...,(x n , y n ) ansätter man en enkel linjär regressionsmodell: y i =α +βx i +ε i därε i är oberoende och normalfördelade. I en analys beräknas följande 95% intervall: I α = (−0.4, 0.7), I β =(−0.7, −0.4). Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. (Du får 1 poäng för ett korrekt svar, 0 poäng omdu inte ger något svar och -1 om du anger ett felaktigt svar. Totalt kan du dock få lägst 0 poäng på deluppgiften.)(4p)i. Modellen y i =α+ε i är att föredraii. Modellen y i =βx i +ε i är att föredraiii. Det finns en positiv korrelation mellan x och yiv. Från den skattade modellen ser vi att en ökning i x med 10 enheter innebär att y minskar i genomsnitt med5.5 enheter(j) På bordet finns fem tillagade svampar varav två av är giftiga. Du och din kompis väljer slumpmässigt varsin svampoch käkar upp den. Hur stor är sannolikheten att varken du eller din kompis blir förgiftad? Svara med en decimal.(4p)(4p)

DEL B: FULLSTÄNDIGA LÖSNINGART.ex. ska införda beteckningar noga redovisas, modeller alltid angesoch approximationer, hypoteser och slutsatser anges och motiveras2. Ett distributionssystem består av ett centrallager med 25 försäljningskontor. Kunderna efterfrågar varor på försäljningskontoren.Antag att antalet enheter som efterfrågas vid ett försäljningskontor av vara V under en vecka är Poissonfördelatmed väntevärde 3.6. Antag också oberoende mellan försäljningskontor. Leveranser från tillverkaren till centrallagret skerenbart en gång i veckan, nämligen varje måndag morgon.(a) Vad är sannolikheten att efterfrågan från kontor 1 överstiger 10 enheter av vara V en vecka?(b) I början av veckan, efter tillverkarens leverans, finns 100 enheter av V i centrallagret och ingen påfyllnad sker underveckans gång. Vad är sannolikheten att totala efterfrågan på V överstiger tillgången i centrallagret den veckan? (8p)(c) Max noterar vid försäljningskontor 17 att under en vecka efterfrågas 7 enheter av vara V. Tyder detta på attantagandet om att väntevärdet i Poissonfördelningen är 3.6 inte stämmer utan borde vara ett högre värde? Angelämpliga hypoteser.(8p)3. En förpackningsmaskin fyller på kaffe i förpackningar. Mängden kaffe i en förpackning varierar enligt en normalfördelningN(μ,σ) där man anser sig veta att standardavvikelsenσär 20 g. I förpackningarna ska den genomsnittligakaffemängden vara minst 500 g och nu vill man kontrollera att maskinen inte är felinställd så att den i genomsnittförpackar för liten mängd kaffe. Nio förpackningar valdes ut slumpmässigt och kaffeinnehållet vägdes (enhet g):495 504 488 513 483 484 488 456 522(a) Tyder data på att maskinen är felinställd och förpackar i genomsnitt för lite kaffe? Ange lämpliga hypoteser ochutför ett test på signifikansnivån 1%.(10p)(b) Antag att maskinen är felinställd så att den förpackar i genomsnitt enbart 490 g kaffe. Beräkna sannolikheten attvi inte kommer att upptäcka felinställningen?(10p)4. Två tillverkare av pumpar (Pump A och Pump B) levererar båda med specifikationen ”500 timmars livslängd”. Maninstallerade 60 pumpar från vardera tillverkaren och noterade pumparnas livslängd (timmar) samt sammanställde data ien tabell:SkattadMedelvärde standardavvikelse AntalPump A 482.096 19.484 60Pump B 498.610 19.532 60Man ritade också ut de två datamaterialen i normalfördelningspapper.Normal Probabilty Plot − Pump ANormal Probabilty Plot − Pump B(4p)0.990.990.980.980.950.950.900.900.750.75Probability0.50Probability0.500.250.250.100.100.050.050.020.020.010.01440 460 480 500 520Data460 480 500 520 540Data

(a) Uppskatta, utifrån figurerna, sannolikheten att pump B har en livslängd som överstiger 520 timmar.(b) Uppskatta, utifrån figurerna, medianlivslängden hos pumpar av typ A.(c) Undersök om den genomsnittliga livslängden för Pump A är kortare än för Pump B. Ange lämpliga hypoteser ochglöm inte att motivera dina fördelningsantaganden.(10p)(d) Man såg av datamaterialet att 32 pumpar av B-typ hade en livslängd under 500 timmar. Gör ett konfidensintervallför andelen B-pumpar som inte klarar tillverkarens specifikation.(6p)5. Fortsättning från uppgift 2: Man ändrar rutinerna i distributionssystemet så att leverans till centrallagret kan ske närsom helst under arbetsveckan. Dock är ledtiden, dvs tiden från beställning till leverans från tillverkaren, inte konstantutan slumpmässig och man noterar att ledtiderna har stor variation varför man beslutar att göra en närmare analys. Man(2p)(2p)∑ 40i=1 x i = 2.3.noterade ledtiderna från 40 beställningar och finner att medelledtiden var 2.3 arbetsdagar, dvs ¯x = 140Man plottade också data i några olika fördelningspapper och kom fram till att exponentialfördelning var en lämpligmodell för data. Om X är ledtiden antar man alltså att f X (x) = 1 a e−x/a , x ≥ 0.(a) Exponentialfördelningen innehåller en okänd parameter a som man vill skatta.Visa att ML-skattningen, a ∗ , för aär medelvärdet¯x.(5p)(b) Beräkna väntevärde och varians för a ∗ .(c) Gör ett konfidensintervall för a med approximativ konfidensgrad 95%.(d) Man är intresserad av p, sannolikheten att ledtiden överstiger 5 dagar. Formulera p som en funktion av a och görett konfidensintervall för p med hjälp av intervallet för a.(5p)(5p)(5p)Lycka till och glöm inte att svara på CEQ-enkäten som skickas till dig!