Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)

Chalmers Tekniska HögskolaMats GranathTentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)Tid och plats: Tisdag 12/1 2010, kl. 08.30-12.30 i V-huset.Examinator: Mats Granath, 7723175, 0766229026, mats.granath@physics.gu.se, rumO7109BHjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Termodynamiska tabeller (utdelade), ett A4blad (2 sidor) med egna anteckningar, Chalmersgodkänd räknare.Bedömning: Varje uppgift ger maximalt 10 poäng. Poäng från dugga och inlämningsuppgiftkan ge maximalt 8 extra poäng. För godkänt krävs 30 poäng.Rättningsgranskning: Kontakta examinatorn.Uppgift 1Den relativa luftfuktigheten ges av kvoten mellan partialtrycket för vattenångan (i gasform)i luften och trycket för mättad ånga vid samma temperatur.Den absoluta luftfuktigheten ges av massan av vattenånga per massenhet torr luft.Antag att den relativa luftfuktigheten är 40% en dag då lufttrycket är P = 0.1MP a ochtemperaturen T = 273K. Beräkna den absoluta luftfuktigheten vid dessa förhållanden.(10p)Uppgift 2En väteatom har elektrontillstånd med energi E n = −R ∞ /n 2 , där n = 1, 2, 3, ... är detså kallade huvudkvantalet och R ∞ = 13.6eV. För varje kvanttal n finns 2n 2 tillstånd(som ges av elektronens rörelsemängdsmoment och spinn). Antag en väteatom i termiskjämvikt vid temperatur Ta) Skriv ner ett uttryck för sannolikheten att en elektron har kvantal n.(3p)b) Vid vilken temperatur är det lika sannolikt att elektronen har n = 1 som n = 2? (7p)Uppgift 3I ett vattenkraftverk omsätts potentiell energi till arbete och kinetisk energi. Antag attvatten flödar i ett rör med cirkulärt tvärsnitt, enligt figuren, där arbete tas ut med hjälpav en turbin. Parametrar enligt följande: höjden z 1 = 100m, z 2 = 0m; rördiameterd 1 = 10m, d 2 = 3m; tryck P 1 = P 2 = 1atm; temperatur T 1 = T 2 = 25 o C. Flödet är80m 3 /s och värmeförluster kan försummas.1

12a) Beräkna effekten som genereras i turbinen. (7p)b) Beräkna verkningsgraden. (3p)Uppgift 4Ett värmekraftverk som genererar en effekt 1GW har en verkningsgrad på 40%.a) Antag ett kylvattenflöde av 200m 3 /s. Hur många grader värms kylvattnet? (Antagkonstant värmekapacitet för vattnet vid tryck 0.1MPa och temperatur 300K.) (5p)b) Om värme istället avförs med hjälp av förångning av vatten ut i atmosfären, hur mycketvatten måste förångas per sekund? (5p)Uppgift 5Betrakta en partikel med massa m i en dimension med rörelsemängd p och läge x i enpotential V (x) = cx 4 . Partikeln kan ses som klassisk där rörelsemängd och läge är kontinuerligafrihetsgrader. Antag att partikeln är i jämvikt med ett värmebad vid temperaturT och visa att väntevärdet av energin (kinetisk plus potentiell) är Ē = (3/4)k BT . (10p)Uppgift 6En gastub med volym V innehåller en ideal gas under tryck P 0 vid temperatur T 0 . Tubenfylls på med samma gas från en annan behållare vid ett högre tryck P 1 > P 0 och annantemperatur T 1 tills dess att trycket i gastuben uppgår till P 1 och gastuben stängs.Påfyllningen kan antas snabb så att det inte sker något värmeutbyte mellan befintlig ochpåfylld gas och inte heller till omgivningen.a) Beräkna mängden gas i gastuben efter påfyllingen. (5p)b) Antag att gasen blandas i gastuben och att temperaturen ekvilibrerar med omgivningentill en sluttemperatur T 0 . Vad blir sluttrycket P 2 ? (5p)2

Lösning Tenta 100112, Termodynamik och statistisk fysik, FTF140Uppgift 1Antag idealgas. Då ges partialtrycket för vattnet av P = (n/V )RT , trycket är alltsåockså proportionellt mot densiteten ρ = nM H2 O/V (M H2 O är molmassan). För mättadvattenånga vid 273K gäller P = 0.6113kPa och ρ 0 = 1/206kg/m 3 (ur tabell) alltså ärdensiteten vid 40% relativ luftfuktighet ρ = 0.4ρ 0 . Densiteten för torr luft (ur P.H.) ärρ luft = 1.239kg/m 3 vilket ger absolut luftfuktighet 0.4ρ 0 /ρ luft = 0.0015Uppgift 2a) P n = 2n 2 e −βEn /Z där Z = ∑ n 2n 2 e −βEnb) P 1 = P 2 svarar mot 2e βR∞ = 8e βR∞/4 vilket T = 3R∞k B 4 ln 4Uppgift 3Använd energikonservering för ett stationärt flöde, värmeförluster kan försummas ochentalpin för vattnet är detsamma i inflöde som utflöde eftersom temperatur och tryck ärsamma. Arbetet ut per kg av flödet ges av w = g(z 1 −z 2 )+ 1 2 (v2 1−v 2 2) där g = 9.81m/s 2 ochv är hastigheten på vattnet. Hastigheten fås ur konservering av massflödet ṁ = v i A i ρ därρ är densiteten och A i = π(d i /2) 2 (i = 1, 2) är arean vid in och utflöde och ṁ = 80m 3 /sρ.v i = 320πd 2 im/s = 1.02, 11.3m/s.a) w = 981−63.3 = 917.7m 2 /s 2 vilket ger en effekt Ẇ )ṁw = 80m3 /s997kg/m 3 917.7m 2 /s 2 =73.2MWb) Verkningsgraden definieras mest naturligt som kvoten (arbete ut)/(ändring i potentielenergi). η = 917.7/981 = 0.94(Extra fråga: är verkningsgraden termodynamiskt begränsad?)Uppgift 4Verkningsgraden ges av η = Ẇ / ˙Q in där Ẇ = ˙Q in − ˙Q ut så att den mängd värme som skaavledas är ˙Q ut = (1/η − 1)Ẇ = 1.5GWa) ˙Q ut = ṁc p ∆T där ṁ = 200m 3 /s997kg/m 3 och c p = 4.19kJ/kgK vilket ger ∆T =1.85Kb) Förångningsvärmet är 2.26MJ/kg vilket innebär att (1.5GJ/s)/(2.26MJ/kg) = 664kg/sförångas.Uppgift 5E = p 2 /2m + cx 4 . Enligt ekvipartition < p 2 /2m >= (1/2)k B T (i en dimension).1

cx 4 >= ∫ dxdpcx 4 e −βE / ∫ dxdpe −βE = ∫ dxcx 4 e −βcx4 / ∫ dxe −βcx4 = (1/β) ∫ dyy 4 e −y4 / ∫ dye −y4Den övre integralen partialintegreras (m.a.p. y 3 e −y4 och y) vilket ger till slut < cx 4 >=(1/4)k B T .Uppgift 6Ursprungligen har vi ett antal mol n 0 = P 0 V/RT 0 i behållaren.Den inflödande gasen gör ett arbete P 1 ∆V på den ursprungliga gasen i behållaren, där∆V är ändringen av volym för den ursprungliga gasen. Eftersom det är adiabatiskt gårdetta arbete till att öka energin på gasen och då den är ideal får vi C V ∆T = P 1 ∆V . Denursprungliga gasen får då en temperatur T ′ i en volym V ′ så att C v (T ′ −T 0 ) = P 1 (V −V ′ )och dessa måste också uppfylla P 1 V ′ /T ′ = P 0 V/T 0 och vi har C v = c v n 0 . Två linjäraekvationer i T ′ och V ′ och vi kan lösa ut V ′ = V (1 + (c v /R)(P 0 /P 1 ))/(1 + (c v /R))a) Mängden gas som fylls på är n 1 = P 1 (V − V ′ )/RT 1 med V ′ enligt ovan.b) Sluttrycket ges av att all gas n 0 + n 1 ekvilibrerar till en temperatur T 0 i en volym V ,dvs P 2 = (n 0 + n 1 )RT 0 /V där n 0 och n 1 ges ovan.(I denna uppgift skulle uppgiftstexten specificerat att värmekapaciteten är given.)2