Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)
Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)
Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Chalmers Tekniska HögskolaMats Granath<strong>Tentamen</strong> i <strong>Termodynamik</strong> <strong>och</strong> <strong>Statistisk</strong> <strong>fysik</strong> för <strong>F3</strong>(<strong>FTF140</strong>)Tid <strong>och</strong> plats: Tisdag 12/1 2010, kl. 08.30-12.30 i V-huset.Examinator: Mats Granath, 7723175, 0766229026, mats.granath@physics.gu.se, rumO7109BHjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Termodynamiska tabeller (utdelade), ett A4blad (2 sidor) med egna anteckningar, Chalmersgodkänd räknare.Bedömning: Varje uppgift ger maximalt 10 poäng. Poäng från dugga <strong>och</strong> inlämningsuppgiftkan ge maximalt 8 extra poäng. För godkänt krävs 30 poäng.Rättningsgranskning: Kontakta examinatorn.Uppgift 1Den relativa luftfuktigheten ges av kvoten mellan partialtrycket för vattenångan (i gasform)i luften <strong>och</strong> trycket för mättad ånga vid samma temperatur.Den absoluta luftfuktigheten ges av massan av vattenånga per massenhet torr luft.Antag att den relativa luftfuktigheten är 40% en dag då lufttrycket är P = 0.1MP a <strong>och</strong>temperaturen T = 273K. Beräkna den absoluta luftfuktigheten vid dessa förhållanden.(10p)Uppgift 2En väteatom har elektrontillstånd med energi E n = −R ∞ /n 2 , där n = 1, 2, 3, ... är detså kallade huvudkvantalet <strong>och</strong> R ∞ = 13.6eV. För varje kvanttal n finns 2n 2 tillstånd(som ges av elektronens rörelsemängdsmoment <strong>och</strong> spinn). Antag en väteatom i termiskjämvikt vid temperatur Ta) Skriv ner ett uttryck för sannolikheten att en elektron har kvantal n.(3p)b) Vid vilken temperatur är det lika sannolikt att elektronen har n = 1 som n = 2? (7p)Uppgift 3I ett vattenkraftverk omsätts potentiell energi till arbete <strong>och</strong> kinetisk energi. Antag attvatten flödar i ett rör med cirkulärt tvärsnitt, enligt figuren, där arbete tas ut med hjälpav en turbin. Parametrar enligt följande: höjden z 1 = 100m, z 2 = 0m; rördiameterd 1 = 10m, d 2 = 3m; tryck P 1 = P 2 = 1atm; temperatur T 1 = T 2 = 25 o C. Flödet är80m 3 /s <strong>och</strong> värmeförluster kan försummas.1
12a) Beräkna effekten som genereras i turbinen. (7p)b) Beräkna verkningsgraden. (3p)Uppgift 4Ett värmekraftverk som genererar en effekt 1GW har en verkningsgrad på 40%.a) Antag ett kylvattenflöde av 200m 3 /s. Hur många grader värms kylvattnet? (Antagkonstant värmekapacitet för vattnet vid tryck 0.1MPa <strong>och</strong> temperatur 300K.) (5p)b) Om värme istället avförs med hjälp av förångning av vatten ut i atmosfären, hur mycketvatten måste förångas per sekund? (5p)Uppgift 5Betrakta en partikel med massa m i en dimension med rörelsemängd p <strong>och</strong> läge x i enpotential V (x) = cx 4 . Partikeln kan ses som klassisk där rörelsemängd <strong>och</strong> läge är kontinuerligafrihetsgrader. Antag att partikeln är i jämvikt med ett värmebad vid temperaturT <strong>och</strong> visa att väntevärdet av energin (kinetisk plus potentiell) är Ē = (3/4)k BT . (10p)Uppgift 6En gastub med volym V innehåller en ideal gas under tryck P 0 vid temperatur T 0 . Tubenfylls på med samma gas från en annan behållare vid ett högre tryck P 1 > P 0 <strong>och</strong> annantemperatur T 1 tills dess att trycket i gastuben uppgår till P 1 <strong>och</strong> gastuben stängs.Påfyllningen kan antas snabb så att det inte sker något värmeutbyte mellan befintlig <strong>och</strong>påfylld gas <strong>och</strong> inte heller till omgivningen.a) Beräkna mängden gas i gastuben efter påfyllingen. (5p)b) Antag att gasen blandas i gastuben <strong>och</strong> att temperaturen ekvilibrerar med omgivningentill en sluttemperatur T 0 . Vad blir sluttrycket P 2 ? (5p)2
Lösning Tenta 100112, <strong>Termodynamik</strong> <strong>och</strong> statistisk <strong>fysik</strong>, <strong>FTF140</strong>Uppgift 1Antag idealgas. Då ges partialtrycket för vattnet av P = (n/V )RT , trycket är alltsåockså proportionellt mot densiteten ρ = nM H2 O/V (M H2 O är molmassan). För mättadvattenånga vid 273K gäller P = 0.6113kPa <strong>och</strong> ρ 0 = 1/206kg/m 3 (ur tabell) alltså ärdensiteten vid 40% relativ luftfuktighet ρ = 0.4ρ 0 . Densiteten för torr luft (ur P.H.) ärρ luft = 1.239kg/m 3 vilket ger absolut luftfuktighet 0.4ρ 0 /ρ luft = 0.0015Uppgift 2a) P n = 2n 2 e −βEn /Z där Z = ∑ n 2n 2 e −βEnb) P 1 = P 2 svarar mot 2e βR∞ = 8e βR∞/4 vilket T = 3R∞k B 4 ln 4Uppgift 3Använd energikonservering för ett stationärt flöde, värmeförluster kan försummas <strong>och</strong>entalpin för vattnet är detsamma i inflöde som utflöde eftersom temperatur <strong>och</strong> tryck ärsamma. Arbetet ut per kg av flödet ges av w = g(z 1 −z 2 )+ 1 2 (v2 1−v 2 2) där g = 9.81m/s 2 <strong>och</strong>v är hastigheten på vattnet. Hastigheten fås ur konservering av massflödet ṁ = v i A i ρ därρ är densiteten <strong>och</strong> A i = π(d i /2) 2 (i = 1, 2) är arean vid in <strong>och</strong> utflöde <strong>och</strong> ṁ = 80m 3 /sρ.v i = 320πd 2 im/s = 1.02, 11.3m/s.a) w = 981−63.3 = 917.7m 2 /s 2 vilket ger en effekt Ẇ )ṁw = 80m3 /s997kg/m 3 917.7m 2 /s 2 =73.2MWb) Verkningsgraden definieras mest naturligt som kvoten (arbete ut)/(ändring i potentielenergi). η = 917.7/981 = 0.94(Extra fråga: är verkningsgraden termodynamiskt begränsad?)Uppgift 4Verkningsgraden ges av η = Ẇ / ˙Q in där Ẇ = ˙Q in − ˙Q ut så att den mängd värme som skaavledas är ˙Q ut = (1/η − 1)Ẇ = 1.5GWa) ˙Q ut = ṁc p ∆T där ṁ = 200m 3 /s997kg/m 3 <strong>och</strong> c p = 4.19kJ/kgK vilket ger ∆T =1.85Kb) Förångningsvärmet är 2.26MJ/kg vilket innebär att (1.5GJ/s)/(2.26MJ/kg) = 664kg/sförångas.Uppgift 5E = p 2 /2m + cx 4 . Enligt ekvipartition < p 2 /2m >= (1/2)k B T (i en dimension).1
cx 4 >= ∫ dxdpcx 4 e −βE / ∫ dxdpe −βE = ∫ dxcx 4 e −βcx4 / ∫ dxe −βcx4 = (1/β) ∫ dyy 4 e −y4 / ∫ dye −y4Den övre integralen partialintegreras (m.a.p. y 3 e −y4 <strong>och</strong> y) vilket ger till slut < cx 4 >=(1/4)k B T .Uppgift 6Ursprungligen har vi ett antal mol n 0 = P 0 V/RT 0 i behållaren.Den inflödande gasen gör ett arbete P 1 ∆V på den ursprungliga gasen i behållaren, där∆V är ändringen av volym för den ursprungliga gasen. Eftersom det är adiabatiskt gårdetta arbete till att öka energin på gasen <strong>och</strong> då den är ideal får vi C V ∆T = P 1 ∆V . Denursprungliga gasen får då en temperatur T ′ i en volym V ′ så att C v (T ′ −T 0 ) = P 1 (V −V ′ )<strong>och</strong> dessa måste också uppfylla P 1 V ′ /T ′ = P 0 V/T 0 <strong>och</strong> vi har C v = c v n 0 . Två linjäraekvationer i T ′ <strong>och</strong> V ′ <strong>och</strong> vi kan lösa ut V ′ = V (1 + (c v /R)(P 0 /P 1 ))/(1 + (c v /R))a) Mängden gas som fylls på är n 1 = P 1 (V − V ′ )/RT 1 med V ′ enligt ovan.b) Sluttrycket ges av att all gas n 0 + n 1 ekvilibrerar till en temperatur T 0 i en volym V ,dvs P 2 = (n 0 + n 1 )RT 0 /V där n 0 <strong>och</strong> n 1 ges ovan.(I denna uppgift skulle uppgiftstexten specificerat att värmekapaciteten är given.)2