r = r(ϕ)

Volymen är alltsåEx: Klotetuppstår då cirkelkivanV = π∫ bay 2 (x) dxx 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 med radie Rx 2 + y 2 ≤ R 2 , y ≥ 0roterar kring x-axeln (1 varv). Klotets volymV = π∫ R−R[(R 2 − x 2 ) dx = 2π R 2 − 1 ] R3 x3 0= 4πR33Då området D (som ovan. : x ≥ 0) roterar kring y-axeln alstras en rotationskropp:gör sedvanliga apprroximationena = x 0 < x 1 < . . . < x n = bK approximeras av hålcylindrar med volymenπx 2 kf(ξ k ) − π (x k−1 ) 2 f(ξ k )K:s volym approximeras dån∑k=1πf(ξ k )(x k + x k−1 )(x k − x k−1 ) max ∆x k→0−−−−−−−→Rotationsytor: Då kurvan∫ bC : r = r(t) = (x(t),y(t)), a t −→ bi 1:a kvadranten roterar, alstras rotationsyta S (surface)S:s area: kring x-axeln. Sedvanliga:aπ · f(x) · 2x dxa = t 0 < t 1 < ... < t : n = b, τ k ∈ [t k−1 ,t k ], ∆t k = t k − t k−1ytan approximeras av ”stympade koner” med radiernagerr = y(x k−1 ), R = y(x k )dess mantelyta har arean π(R + r) · s s = ∣ −−−−→ ∣ ∣∣P k−1 P kn∑π(y(t k−1 ) + y(t k )) · ∣ −−−−→ ∣ ∣∣P k−1 P k =k=1n∑∣ π(y(t k−1 ) + y(t k )r(t k ) − r(t k−1 ) ∣∣∣∣∆t k∆t kk=14