r = r(ϕ)

Arean av Descartes ögla:A = 1 2∫ π20r 2 (ϕ) dϕ = 1 2D : r =∫ π20[9− 1 2 3 ·3 sin ϕ cos ϕcos 3 ϕ + sin 3 ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2=9 sin 2 cos 2 ϕ(cos 3 ϕ + sin 3 ϕ) dϕ = 9 2 211 + tan 3 ϕ] π20= 3 2 (−0 + 1) = 3 2∫ π20tan 2 ϕ(1 + tan 3 ϕ) 2 1cos 2 ϕ =Jag hörde en del hade problem med det här så här är ett lite enklare menlängre lösningsförslag med substitutioner:∫tan 2 ϕ 1(1 + tan 3 ϕ) 2 cos 2 ϕ dϕSubstituerar u = tan ϕdu= 1dϕ cos 2 ϕ∫u 2(1 + u 3 ) du 2Substituerar 1 + u 3 = vdvdu = 3u2 ∫13v 2 dvGår tillbaka= − 13v− 13v = − 13(1 + u 3 ) = − 13(1 + tan 3 ϕ) = −1 3 · 11 + tan 3 ϕvilket är precis lika som där uppe2